Ball and Beam _ultimo

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
SISTEMA BALL AND BEAM CON PID
(Proyecto –Concurso)
Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Control II

RESUMEN:El sistema deBall and beam es un importante
y clásico modelo de ingeniería de control. Es muy popular porque
es un sistema simple y fácil de entender en cuanto a su
funcionamiento, pero que posee una propiedad muy importante
para la ingeniería, este proyecto de “Ball and beam” fue
desarrollado con materiales de uso común para un estudiante de
ingeniería electrónica tanto en la parte de hardware como software
utilizando como método de control las sintonización de PID para
poder realizar el control de la planta.
Sistema ball and beam

PALABRAS CLAVE:Ball and beam; Control;PID.
I INTRODUCCION
Sistema de “Ball and beam” consiste en una larga viga que
puede inclinarse por un servo o un motor eléctrico junto con una
pelota que rueda hacia atrás y adelante en la parte superior de la
viga. Es un ejemplo de libro popular en la teoría de control.
La importancia del sistema de balón y la viga es que es un sistema
simple que es de bucle abierto inestable. Incluso si el haz se limita a
ser muy casi horizontal, sin activa de retroalimentación, que se
moverá hacia un lado o el otro, y la bola rodará fuera del extremo de
la viga. Para estabilizar la pelota, un sistema de control debe ser
utilizado para que mida la posición de la bola y ajuste la salida.

II MARCO TEÓRICO
Los Controladores Proporcional Integral y Derivativo[3] (PID)
se han utilizado en aplicaciones de control industrial durante mucho
tiempo. Controladores PID datan desde 1890. A pesar de haber sido
de alrededor durante mucho tiempo, la mayoría de las aplicaciones
industriales siguen utilizando controladores PID. Según una
encuesta realizada en 1989, el 90% de las industrias la utilizan. Este
uso generalizado de PID en la industria se puede atribuir a su
simplicidad y facilidad de re-sintonización en línea.
El controlador PID se llama así porque suma la salida de tres
términos, proporcional, integral y derivado. Cada uno de estos
términos es dependiente del valor de error entre la entrada y la
salida,
Output=

El Ball andbeam es un caso de estudio típicoen la ingeniería de
control, puesto que introduceel tema de sistemas no lineales e
inestables,como se expresa en [1]. Esto se debe a que en lazo abierto
la salida del sistema, es decir, la posición de la bola en la viga
aumenta indefinidamente hasta encontrar un final de la viga, cuando
el ángulo de la viga permanece constante en cualquier valor distinto
de cero, lo que puede asociarse con una señal de entrada al sistema
de tipo escalón, como se explica en [2].
Para el sistema realizado se tomócomo Setpoint el punto medio de
la varilla, y se utilizó a la bolita como un potenciómetro (junto con
la varilla) para así poder censar.

( )



( )

Cuando
y
son las parámetros de P, I y D respectivamente
también se puede escribir como

donde Ti y Td son tiempo de reposición y tiempo
derivativo, respectivamente. Estos términos determinan el tipo de
respuesta del sistema. Las propiedades de P, I y D se discuten
brevemente aquí.

Respuesta a un escalón del sistema de primer orden

Proporcional: Este término acelera la respuesta a medida que baja
constante de tiempo de bucle cerrado con el término proporcional,
pero no cambia el orden del sistema cuando la salida es proporcional
a la entrada. El proporcional reduce pero no elimina el error de
estado estacionario, o compensado.
Integral: Este término elimina el error en estado estable, ya que
aumenta el tipo y el orden del sistema en uno. Este término también
aumenta la velocidad de respuesta del sistema, pero a costa de las
oscilaciones sufridas.

A. Método de ZieglerNichols
Este es por lejos el método de sintonización más popular en uso.
Fue propuesto por John Ziegler y Nathaniel Nichols en 1942 y
sigue siendo un método de sintonización PID simple, bastante
eficaz. Hay dos métodos propuestos por Ziegler y Nichols. El
ajuste ZieglerNichols propuesto se da en la Tabla I. Este método
se utiliza para sintonizar controladores PID para sistemas de
motores.

Derivativo: Este término reduce principalmente la respuesta
oscilatoria del sistema. Este no cambia el ti orden del sistema, ni
afecta a la compensación.
Un cambio en las constantes de proporcionalidad de estos términos
cambia el tipo de respuesta del sistema. Es por eso que la
sintonización de PID, es crucial al momento de hacer control a tu
planta.
Ha habido varios tipos de técnicas aplicadas para la sintonización de
PID, uno de las técnicas más tempranases la de ZieglerNichols.
Estas técnicas se pueden clasificar ampliamente como técnicas
clásicas.

IIIMÉTODOLOGÍA
La mayoría de las técnicas clásicas hacen supuestos del
modelo de la planta y tratan de obtener los valores del controlador
para estos modelos generales. Para determinar la dinámica de estos
sistemas, se obtienen la respuesta al escalón de los sistemas. Esta
respuesta se caracteriza por diferentes ecuaciones, con el que se han
desarrollado diferentes métodos clásicos. Ziegler y Nichols [4]
propone que muchos procesos industriales tienen respuesta de paso
como se indica en la figura. 1. Donde K es la ganancia estática, θ el
tiempo muerto y τ1 la constante de tiempo. El parámetro A se
determina por la intersección de la línea (tangente a la gráfica) con
el eje Y y θ la intersección x.

El segundo método se basa en el conocimiento de la respuesta a las
frecuencias específicas. La idea es que los ajustes del controlador se
pueden basar en los puntos de frecuencia más críticos para la
estabilidad. Este método se basa en determinar experimentalmente
el punto de estabilidad marginal. Esta frecuencia se puede encontrar
mediante el aumento de la ganancia proporcional del controlador,
hasta que el proceso se vuelve marginalmente estable. Estos dos
parámetros definen un punto en el diagrama de Nyquist. La
ganancia se llama ganancia final Ku y el período de tiempo Tp.
El método de Ziegler y Nichols es uno de las primeras técnicas de
sintonización PID que se hicieron y que se hacen sobre la base de
ciertos supuestos de controlador. Por lo tanto, siempre hay un
requisito de un ajuste más; porque los ajustes del regulador
derivativo son bastante agresivos y por lo tanto resultan en
rebasamiento excesivo y en una respuesta oscilatoria. También para
el primer método de los parámetros son bastante difíciles de estimar
en ambiente ruidoso. En el segundo método, como el sistema es
impulsado hacia la inestabilidad para la determinación de los
parámetros, prácticamente esto puede ser bastante perjudicial para el
sistema.

IV MODELAMIENTO DEL SISTEMA
La planta mecánica “Ball and Beam” consiste en una base, barra,
una bola, un brazo de palanca conectada al servomotor como muetra
la Figura

Donde x es la posición de la pelota en la barra y ̈ es la aceleración
La ecuación anterior puede ser utilizado para modelar la dinámica
del sistema de Barra y Bola
Aplicando Laplace a la ecuación anterior tenemos
( )
( )

(

)

Mecanismo de Ball and Beam

V. SIMULACION Y DESARROLLO
“Que el ángulo entre la línea que conecta el conjunto de labrazo de
palanca con el centro de la rueda, y la línea horizontal sean Ө” (debe
haber algunos límites en su gama para que pueda alcanzar el
máximo de seguridad y un mínimo), la distancia entre el centro de la
rueda dentada y la articulación del brazo de palanca será d, y la
longitud de la viga sean L. Entonces el ángulo del haz α puede
expresarse en términos del ángulo de rotación del engranaje Ө de
acuerdo con la siguiente ecuación:

La dinámica de la pelota, se somete a la gravedad, la inerciay las
fuerzas centrífugas. La aceleración rodamiento lineal a lo largo de la
viga está dada por la siguiente ecuación simple:
(

( )

) ̈

̇( )

Donde, g es la aceleración de la gravedad, M es la masa de
la pelota, J es el momento de inercia de la bola, r es la posición de la
bola a lo largo de la viga, R es el radio de la bola.
En este caso, se supone que la bola rueda sin resbalar y ella fricción
entre la viga y la bola es insignificante.Dado que estamos
interesados en mantener el ángulo alfa cerca 0, podemos linealizar la
ecuación dinámica
Anteriormente con respecto aα en el barrio de cero y después de
( )
tomar en cuenta
̈
obtenemos la siguiente
aproximación lineal del sistema

̈

(

)

(

)

Diseño del circuito (Proteus 8)

Se realizó pruebas para diferentes valores de Kp y Kd, a
continuación mostramos las respuestas:

CASO 1: Kp=10 Kd= 4

Se observa que la bola se sale muchísimo de la longitud de la viga.
Esto se debea que la respuesta sobre la viga es muy lenta, y no da
tiempo a cambiar su giro sin que la bola apenas se desplace. Lo que
se hace es aumentar Kphasta que la bola no se salga de la viga.
CASO 2: Kp=20 Kd= 4

CASO 4: Kp=25Kd= 4

Al aumentar Kp se obtiene que sea imposible mantener la bola
dentro de la viga.
Si se actúa también sobre el lazo de control de la bola (Kp), se
observa que han disminuido los valores, pero la bola sigue estando
fuera.

VI CONCLUSIONES

 Se concluye por la simulación y los resultados que se logro la
estabilidad deseada, a pesar que en momentos la componente
derivativa hace que el sistema oscile.
 Se probo que los potenciómetros de precisión multivuelta que
colocamos para implementar el sistema no tienen la precisión
deseada ya que las contantes varían un poco después de
utilizar el sistema un cierto tiempo.

VII REFERENCIAS
Todavía se debe incrementar aún más Kp, ya que la bola se sale
ahora únicamente cuando se encuentra en la parte inferior de la viga.
CASO 3: Kp=21.5Kd= 4

Con este tipo de control, la bola ya no se sale de la viga. Vemos si es
óptimo también para el caso más desfavorable de condición inicial.

]

 [1] https://www.google.com.pe/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source

=web&cd=4&cad=rja&ved=0CEcQFjAD&url=ftp%3A%2F%2Fftp
.unicauca.edu.co%2FFacultades%2FFIET%2FDEIC%2FMaterias%
2FNolineales%2520Master%2FNotas%2520clase%2520del%2520
Khalil%2FApunte.pdf&ei=ayyuUtnaB_ShsQSvy4GgDg&usg=AFQ
jCNF_PPj2RFVRkrbezC5nn5LjX6n8ww&sig2=vLKTWyobQcdw
C_do5-mPJw
 [2]http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_la_respuesta_te
mporal_de_un_sistema
 [3] http://en.wikipedia.org/wiki/PID_controller
 [4] https://sites.google.com/site/picuino/ziegler-nichols

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