Capitol

Published on November 2016 | Categories: Documents | Downloads: 46 | Comments: 0 | Views: 381
of 16
Download PDF   Embed   Report

Comments

Content


CAPITOLUL I
Dichotomia semigrupurilor de clasă
0
C
In cele ce urmeaza vom pune în evidenţă rezultate de dichotomie pentru
0
C
-
semigrupuri cu ajutorul metodei Perron, Datko şi Liapunov.
Fie
0
} {
≥ t t
T
un
0
C
-semigrup şi
)} ( ) ( : {
1
X L x T X x X

∈ ⋅ ∈ ·
despre care presupunem că este complementabil şi notăm
2
X un complement al său. Este
uşor de observat că subspaţiul
1
X este invariant la T(t), adică 0 , ) (
1 1
≥ ∀ ⊂ t X X t T şi deci
restricţia operatorului T(t) la subspaţiul
1
X , notată ) (
1
t T are proprietatea că
0 1
)} ( {
≥ t
t T
este
un
0
C
-semigrup pe subspaţiul
1
X , iar
0 ) ( ≠ x t T
, pentru orice 0 ≥ t şi orice } 0 { \
2
X x ∈ .
In adevăr, dacă ar exista un
0
0
> t
cu
0 ) (
0
· x t T
, atunci
0 0 0
, 0 ) ( ) ( ) ( t x t T t T x T ≥ ∀ · − · τ τ τ
,
ceea ce din proprietatea de continuitate a funcţiei
X x T → ∞ → ) , 0 [ : ) (τ τ
implică
1
x X ∈
si deci
x
1 2
{0} x X X ∈ ∩ ·
, fapt ce contrazice alegera lui } 0 { \
2
X x ∈ .
Notăm
1
P şi
2
P proiectorii complementabili corespunzători descompunerii
2 1
X X X ⊕ · . Atunci proprietatea
1 1
) ( X X t T ⊂ pentru orice 0 ≥ t se scrie cu ajutorul
proiectorului
1
P astfel :
0 , ) ( ) (
1 1 1
≥ ∀ · t P t T P t T P
Definiţia 3.5.1. Semigrupul
0 1
)} ( {
≥ t
t T
se zice că este exponenţial dichotomic dacă
există 0 , ,
2 1
> ν N N astfel încât:
. , 0 , ) (
; , 0 , ) (
2 2 2
1 1 1
X x t x P e N x P t T
X x t x P e N x P t T
t
t
∈ ∀ ≥ ∀ ≥
∈ ∀ ≥ ∀ ≤

ν
ν
Remarca 3.5.1. Definiţia precedentă coincide cu cea de la semigrupuri uniform
continue formulată în Teorema 3.1.5. (A se vedea [71])
Exemplul3.5. 1. (Exemplu de
0
C
-semigrup,
0
} {
≥ t t
S
exponenţial dichotomic cu
proprietatea că restricţia lui S(t) la
2
X , notată ) (
2
t S nu este operatoi inversabil.)
Fie A o matrice în
p
N cu
0 ) ( Re sup < A σ
,
)} . ( , : ) , {( ) , (
1 1
R R L f R x f x R R L R X
p p
+ +
∈ ∈ · ⊕ ·
cu norma
1
) , ( f x f x + ·
; iar ) , ( ) , ( : ) (
1 1
R R L R R L t T
+ +
→ ,

¹
'
¹
≥ −
≤ ≤
·
, ), (
0 , 0
) ( ) (
t s t s f
t s
s f t T
0
C
-semigrupul din Exemplul 2.1.3. Atunci
) ) ( , ( ) , )( ( ), ( ) ( f t T e x e f x t S t T e e t S
t tA t tA
· ⊕ ·
este exponenţial dichotomic cu } : ) 0 , {(
1
p
R x x X ∈ · şi
)} , ( : ) , 0 {(
1
2
R R L f f X
+
∈ · ,
) ( ) ( ), ( ) ( ), , 0 ( ) , ( ), 0 , ( ) , (
2 2 1 1 2 1
t S P P t S t S P P t s f f x P x f x P · · · · ,
pentru orice 0 ≥ t , iar restricţia lui S(t) la
2
X notată ) (
2
t S este semigrupul ) ( ) (
2
t T e t S
t
· ,
despre care am arătat în Exemplul 2.1.3. că nu este inversabil, pentru orice 0 ≥ t .
Acest exemplu arată că există semigrupuri exponenţial dichotomice care nu sunt
hiperbolice în terminologia din literatura consacrată acestui subiect (adică există
2
X un
complement al lui
1
X cu 0 , ) (
2 2
> ∀ ⊂ x X X t T , iar restricţia lui T(t) la
2
X este operator
inversabil şi
0
} {
≥ t t
T
este exponenţial dichotomic ).
Definiţia3.5 2. Semigrupul
0
} {
≥ t t
T
se zice că satisface condiţiei Perron pentru
dichotomie dacă pentru orice
C f ∈
, există X x ∈ astfel încât:

∈ − + ·
t
f f
C x d f t T x t T t x
0
, ) ( ) ( ) ( ) ( τ τ τ
.
Propoziţia 3.5.1. Dacă semigrupul
0
} {
≥ t t
T
satisface condiţiei Perron pentru
dichotomie, atunci pentru orice
C f ∈
, există un singur
2
X x ∈ , cu:

∈ − + ·
t
f f
C x ds s f s t T x t T t x
0
, ) ( ) ( ) ( ) (
.
Demonstraţie: Fie
C f ∈
şi X x ∈ cu proprietatea

∈ − + ·
t
f f
C x d f t T x t T t x
0
, ) ( ) ( ) ( ) ( τ τ τ
Atunci

∈ − + − ·
t
C y d f t T x P x t T t y
0
1
, ) ( ) ( ) )( ( ) ( τ τ τ
, si
2
) 0 ( X y ∈
Pentru unicitate se procedează prin reducere la absurd. In adevăr, dacă pentru
C f ∈
exista C x x ∈
2 1
, cu

∈ · − + ·
t
i i i
X x i d f t T x t T t x
0
2
, , 2 , 1 , ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( τ τ τ
atunci
, ), 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (
2 1
C z z t T t x t x t z ∈ · − ·
şi deci
1 2
(0) {0}. z X X ∈ ∩ ·
Astfel obţinem z = 0, ceea ce arată că
2 1
x x · □
Propoziţia3.5 2. Daca semigrupul
0
} {
≥ t t
T
satisface condiţiei Perron pentru dichotomie,
atunci există k > 0 cu proprietatea că pentru orice
C f ∈
există un unic
2
X x ∈ cu
0
( ) ( ) ( ) ( )
t
f
x t T t x T t f d τ τ τ · + −

si
. ||| ||| ||| ||| f k x
f

Demonstraţie: Fie
2
) 0 ( , ) ( , : X x x f u C C u
f f
∈ · →
. Dacă f f
c
n
÷→ ÷ si g uf
c
n
÷→ ÷
, atunci
, ) 0 (
2
X x uf
n n
∈ ·
si
) 0 ( ) 0 ( g uf
n

.
Dar
∫ ∫
≥ ∀ − + → → − + ·
t t
n n n
t d f t T g t T d t T f t T x t T t uf
0 0
0 , ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ τ τ τ τ τ
. Deci
g uf ·
, ceea ce arata ca
u
este marrginit si deci exista k>0 astfel incat
C f f k x uf
f
∈ ∀ ≤ · |||, ||| ||| ||| ||| |||
Teorema 3.5.1. (Teorema Perron pentru dichotomie)
Dacă semigrupul
0
} {
≥ t t
T
satisface condiţiei Perron pentru dichotomie, atunci
0
} {
≥ t t
T
este
exponenţial dichotomie.
Demonstraţie: Fie 0 > δ si } 0 { \
2
X x ∈ . Definim aplicaţia
+ +
→ R R : χ
si X R f →
+
: ,
x t T
x t T
t
t f ) (
) (
) (
) (
χ
− ·
.Atunci ,
C f ∈
,
1 ||| ||| ≤ f
si
∫ ∫
∫ ∫
∞ ∞
≥ ∀ + ·
· − · −
0
0 0
0 , ) (
) (
) (
) (
) ) ( (
) (
) (
) (
) (
) ( ) (
t x t dsT
x s T
s
x t dsT
x s T
s
x t dsT
x s T
s
ds s f s t T
t
t t
χ χ
χ

Dar
χ
are suportul compact, şi deci funcţia
X R x t dsT
x s T
s
t
t



+
: ) (
) (
) ( χ

ste in C , iar
τ τ τ τ
τ
τ χ
τ
τ
τ χ
d f t T x d
x T
t T x t T d
x T
t
t
) ( ) (
) (
) (
) ( ) (
) (
) (
0 0
∫ ∫ ∫
− +


,
_


¸
¸
·
∞ ∞
.
¹
¹
¹
'
¹
+ ≥
+ ∈ − +

·
1 , 0
) 1 , ( , 1
] , 0 [ , 1
) (
δ
δ δ δ
δ
χ
t daca
t daca t
t daca
t
Din Propoziţia 2, rezultă că există k > 0 cu
0 , ) (
) (
) (
≥ ∀ ≤


t k x t T d
x T
t
τ
τ
τ χ
.
Fie δ ≤ t . Atunci
δ δ
τ
τ
δ
≤ ∀ ≥ ∀ ≤

t k x t T
x T
d
t
, 0 , ) (
) (
.
Făcând ∞ → δ în ultima relaţie, obţinem
} 0 { \ , 0 ,
) ( ) (
2
X x t
x t T
k
x T
d
t
∈ ∀ ≥ ∀ ≤


τ
τ
.
Dacă notăm


∈ ∀ ·
t
x
X x
x T
d
t } 0 { \ ,
) (
) (
2
τ
τ
ϕ
atunci
} 0 { \ , 0 ), ( ) (
2
X x t t k t
x
∈ ∀ ≥ ∀ − ≤ ϕ ϕ 
Deci
} 0 { \ , 0 , ) 0 ( ) (
) (
2
1
X x t
x
k
e t e
x T
d
x
k
t
x
k
t t
t
∈ ∀ ≥ ∀ ≤ ≤ ≤

+
ϕ ϕ
τ
τ
.
Dar pentru
] 1 , [ + ∈ t t τ
avem
X x t x t T Me x t T t T x T ∈ ∀ ≥ ∀ ≤ − ≤ , 0 , ) ( ) ( ) ( ) (
ω
τ τ
.
Astfel obţinem
2
, 0 ,
1
) ( X x t x e
k Me
x t T
k
t
∈ ∀ ≥ ∀ ≥
ω
Punând
k Me
N
ω
1
2
· si
k
1
· ν , deducem că
2 2
, 0 , ) ( X x t x e N x t T
t
∈ ∀ ≥ ∀ ≥
ν
Fie x t T t g X R g ) ( ) ( , : · →
+
, pentru
1
X x ∈ . Atunci
C g ∈
şi deci există
2
X y ∈ cu
0 , ) ( ) ( ) ( ≥ ∀ + · t x t tT y t T t x
g
.
Dacă
0 ≠ y
atunci
0 |||, ||| || || || ) ( || || ) ( || || ) ( || ||| |||
2
≥ ∀ − ≥ − ≥ ≥ t g t y e N x t T t y t T t x g k
t
g
ν
,
ceea ce este o contradicţie, şi deci y = 0, iar
0 ) ( ) ( ≥ ∀ · t t x x t tT
g
.
Astfel obţinem că
1
0
, ) ( sup X x x t T t
t
∈ ∀ ∞ ≤

,
ceea ce implică existenţa unei constante L > 0 cu
0 , ) (
1
≥ ∀ ≤ t L t T t
,
unde ) (
1
t T este restricţia lui
) (t T
la
1
X . Cum
1
T este
0
C
-semigrup pe
1
X din Teorema
2.1.1., deducem că există 0
1 1
> ν N , astfel încât
t
e N t T
1
1 1
) (
ν −

,
fapt ce încheie demonstraţia.
Teorema3.5. 2. Dacă
0
} {
≥ t t
T
este un
0
C
-semigrup cu
0 ), ( ) (
1 1
≥ ∀ · t t T P P t T şi satisface condiţiei Perron pentru dichotomie, atunci
2 2
: ) ( X X t T → este inversabil, oricare ar fi 0 ≥ t .
Demonstraţie: Fie
2
X y ∈ şi X R f →
+
:
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
'
¹
>
∈ − −
∈ − −
∈ − −

·
4 , 0
] 4 , 3 ( , ) 1 ( ) 4 (
2
1
] 3 , 2 ( , ) 1 (
2
1
] 2 , 1 [ , ) 1 ( ) 1 (
2
1
) 1 , 0 [ , 0
) (
t
t y t T t
t y t T
t y t T t
t
t f
Atunci
C f ∈
şi
ω 3
2
1
||| ||| Me f ≤ , unde M şi
ω
sunt din creşterea exponenţială a lui
0
} {
≥ t t
T
.Deci există un singur
2
X x ∈ astfel încât
C x d f t T x t T t x
f
t
f
∈ − + ·

, ) ( ) ( ) ( ) (
0
τ τ τ
Dar pentru 4 ≥ t
). ) 1 ( )( 1 ( ) 1 ( ) (
) 1 (
4
1
) 1 (
2
1
) 1 (
4
1
) (
) 1 ( ) 4 (
2
1
) 1 (
2
1
) 1 ( ) 1 (
2
1
) ( ) (
2
1
4
3
y x T t T y t T x t T
y t T y t T y t T x t T
y t T d y t T y t T d x t T t x
f
− − · − − ·
· − − − − − − ·
− ⋅ − + − − − ⋅ − + ·
∫ ∫
τ τ τ τ
Atunci din Teorema3.5. 1. există
0 , > ν N
astfel încât:
, 4 , ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) (
) 1 (
≥ ∀ − ≥ − − ·

t y x T Ne y x T t T t x
t
f
ν
iar condiţia
C x
f

obligă la
y x T · ) 1 (
, fapt ce arată că
2 2
: ) 1 ( X X T → este bijectiv.
Corolarul 3.5. 1. Fie
0
} {
≥ t t
T
un
0
C
-semigrup cu 0 ), ( ) (
1 1
≥ ∀ · t t T P P t T . Atunci
0
} {
≥ t t
T

este hiperbolic dacă şi numai dacă satisface condiţiei Perron pentru dichotomie.
Demonstraţie: Necesitatea. Fie
C f ∈
şi
τ τ τ τ τ τ d f P t T d f P t T t y
t
t
∫ ∫


− − − · ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
2
1
1
0
Atunci
. 0 ,
1
||| |||
1
||| ||| || || ||| ||| || || || ) ( ||
2
1
) (
2
0
) (
1
≥ ∀
,
_

¸
¸
+ ≤
+ ≤
− −

− −
∫ ∫
t P
N
P
N
f
d e
N
f P d Ne f P t y
t
t
t
t
ν ν
τ τ
τ ν τ ν
Dar
) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )( ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) (
2
1
0
1
0 0
2 1 2
1
2
0
0
2 1
0
2
1
0
2
0
2 1
0
2
1
2
1
0
0 0
2 1
0 0
2
1
t y d f P t T f P t T
f P t T d f P t T d f P t T d P t T
d f P t T d f P t T d f P t T t T t T d f P t T
f P t T d f P t T d f P T t T d f P T T
d f P t T d f P t T d f P T t T d f t T y t T
t
t
t
t t t
t t t
t
t t
t
t
t
t t t
· − − − ·
· − + − + − − − − ·
· − + − + − − − − ·
· − + − + − − ·
· − + − + − · − +
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫







− −


τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
si deci
C x y
f
∈ ·
.
Suficienta este imediata din Teoremele3.5. 1 si3.5. 2.
In cele din urma vom nota
} ) ( : {
1
q
q
L x T X x X ∈ ⋅ ∈ ·
,
Despre care presupunem ca este un subspatiu complementabil si notam
q
X
2
un
complement al sau
Definiţia 3.5.3. Spunem că
0
C
-semigrupul
0
} {
≥ t t
T
satisface condiţiei Perron pentru
dichotomie de tip (p,q), dacă pentru orice
p
L f ∈ , există X x ∈ cu
q
f
t
f
L x d f t T x t T t x ∈ − + ·

, ) ( ) ( ) ( ) (
0
τ τ τ
.
Remarca 3 5 2 Daca
2
{0}
q
x X ∈ −
, atunci
( ) 0, 0 T t x t ≠ ∀ ≥
.
In adevar, daca exista
0
0 t ≥
cu
0
( ) 0 T t x ·
, atunci
0
( ) 0, T t x t t · ∀ ≥
, de unde deducem ca
(.)
q
T x L ∈ ,fapt ce arata ca
1 2 q q
x X X ∈ ∩
si deci 0 x ·
Remarca 3 5 3 Daca
0
} {
≥ t t
T
satisface conditiei Peronn pentru dichotomie de tip (p,q), atunci
pentru orice
p
f L ∈ , exista un singur
q
f
x L ∈
cu
2
(0)
f q
x X ∈
.
Justificarea acestei afirmatii este identical cu cea din propozitia 3 5 2.
Remarca 354 Daca
0
} {
≥ t t
T
satisface conditiei Peronn pentru dichotomie de tip (p,q), atunci
exista k>0 cu proprietatea ca pentru orice
p
L f ∈ ,
q
f
x L ∈
cu
2
(0)
f q
x X ∈
satisface
conditiile
f
p
q
x k f ≤
si
(0)
f
p
x k f ≤
.
In adevar aplicatia liniara
2
: , ( (0), )
P q
q f f
L X L f x x υ υ → ⊕ ·
este un operator inchis, deorece
n
f f →
in
p
L
si
in
2
q
q
X L ⊕
implica existenta unui subsir
( )
k
n
f
al sirului
( )
n
f
cu
a.p.t si a.p.t
k k
n n
f f xf g → →
.,
Iar din
0
( ) ( ) (0) ( ) ( )
k k k
t
n n n
xf t T t xf T t f d τ τ τ · + −

Si Teorema Convergentei Dominate a lui Lebesquie obtinem
0
( ) ( ) ( )
t
g t T t y T t d τ τ · + −

,
Ceea ce arata ca
( , ) f y g υ ·
. Din Principiul Graficului Inchis rezulta ca operatorul
υ
este
marginit si deci exista k>0:
(0), (0) ,
p
f f f f
p
q
f x x x x k f f L υ · · + ≤ ∀ ∈
Remarca 3 5 5 Daca
0
} {
≥ t t
T
satisface conditiei Peronn pentru dichotomie de tip (p,q), atunci
satisface conditiei Perron pentru dichotomia de tip
( , ) p ∞
cu
( 1) ,
p
f
p
x Me k f f L
ω

≤ + ∀ ∈
.
In adevar, pentru 1 t ≥ si
[ 1, ] s t t ∈ −
, din
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
t
f
s t
s
t
f
s
x t T t x T t f d
T t s T s x T s f d T t f d
T t s x s T t f d
τ τ τ
τ τ τ τ τ τ
τ τ τ
· + − ·
· − + − + − ·
· − + −

∫ ∫

deducem
1
( ) ( ) ( )
t
t
f f
t
x t Me x s Me f d
ω ω
τ τ

≤ +

,
ceea ce arată ca
1
( ) ( ) ( ) ( 1)
t
f f f
p p p
q
t
x t Me x s ds Me f Me x f Me k f
ω ω ω ω

≤ + ≤ + ≤ +

unde constanta k este din Remarca 3.5.4.
Dacă ,
[0,1] t ∈
atunci
0
( ) ( ) ( )
t
f
x T t x T t f d τ τ τ ≤ + − ≤


1
0
( )
t
Me x Me f d
ω ω
τ τ ≤ + ·

( ) ( 1)
p p p
Me k f f Me k f
ω ω
· + · +
.
Deci
( ) ( 1) , 0
f
p
x t Me k f t
ω
≤ + ∀ ≥
.
Teorema 3.5.3. Dacă
0
{ }
t t
T

satisface condiţiei Perron de tip (p,q) pentru dichotomie cu
( , ) (0, ) p q ≠ ∞ ( , ) (1, ) p q ≠ ∞
, atunci 1 1 q
X X ·
şi 0
{ }
t t
T
≥ este exponenţial dichotomic.
Demonstraţie: Fie
2
{0}
q
x X ∈ −
şi
0
0 t ≥
, iar
0 0
[ , 1]
( )
( ) ( )
( )
t t
T t x
f t t
T t x
χ
+
·
,
unde
χ
este funcţia caracteristică a mulţimii A.
Atunci
p
f L ∈ , iar
0 0
[ , 1]
( ) ( ) ( )
( )
t t
t
d
y t T t x
T x
τ
χ τ
τ

+
· − ·

0 0
[ , 1]
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( )
t
t t
d
T t x T t f d
T x
τ
χ τ τ τ τ
τ

+
¸ _
· − ⋅ + − ·


¸ ,
∫ ∫
0
0
0
0
1
0
1
0 0
0 , 1
( ) ,
( )
( ) , ( , 1)
( )
t
t
t
t
t t
d
T t x t t
T x
d
T t x t t t
T x
τ
τ
τ
τ
+
+
¹
¹
≥ +
¹
¹
¹
− ≤
'
¹
¹
¹
− ∈ +
¹
¹


ceea ce arată că
2
, (0)
q
q
y L y X ∈ ∈
Deci
f
y x ·
cu
2
(0)
f q
x X ∈
. Astfel din Remarca 3.5.4. şi Remarca 3.5.5. avem că
( ) ( 1), 0
f
x t Me k t
ω
≤ + ∀ ≥
.
Dacă
0
t t ≤
, atunci
0
0
1
( ) ( 1)
( )
t
t
d
T t x Me k
T x
ω
τ
τ
+
≤ +

Dar
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) [ , 1] T x T t T t x Me T t x t t
ω
τ τ τ · − ≤ ∀ ∈ +
De unde rezulta
0
0
1
0
1
( ) ( )
t
t
d
Me T t x T x
ω
τ
τ
+


şi deci
0
( )
( 1),
( )
o
T t x
Me k t t
Me T t x
ω
ω
≤ + ∀ ≤
Astfel obţinem
0 0 2
1
( ) ( ) , 0
( ) ( 1)
T t x T t x t t
Me k
ω
≥ ∀ ≥ ≥
+
.
Fie acum
0 2
0, {0}, 0
q
t x X δ ≥ ∈ − >
si
0 0
[ , 1]
0
( )
( ) ( )
( )
t t
T t x
g t t
T t x
χ
δ
+
·
+
.
Atunci
p
g L ∈ si
1
2
( ) ( 1)
p
p
g Me k
ω
δ ≤ +
, iar
0 0
[ , ]
0
( ) ( ) ( )
( )
t t
t
d
z t T t x
T t x
δ
τ
χ τ
δ

+
· − ⋅ ·
+

0 0
[ , ]
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( )
t
t t
d
T t x t T t g d
T t x
δ
τ
χ τ τ τ τ
δ

+
¸ _
− ⋅ + − ·


+
¸ ,
∫ ∫
0
0 0
0
0
0
0 ,
( )
( ) ,
( )
( )
,
( )
o
t t
T t x
t t t t t
T t x
T t x
t t
T t x
δ
δ δ
δ
δ
δ
¹
¹
≥ +
¹
¹
¹
− + − ≤ ≤ +
'
+
¹
¹
− ≤ ¹
+
¹
¹
,
q
z L ∈
si
2
(0)
q
z X ∈
, ceea ce arată că
g
z x ·
si
1 1
3 2
( ) ( 1) ( ) ( 1) , 0
p p
p
z t Me k g Me k L t
ω ω
δ δ ≤ + ≤ + · ⋅ ∀ ≥
.
Dar pentru 0
0
( )
, ( )
( )
T t x
t t z t
T t x
δ
δ
≤ · −
+
ceea ce arată că
1
0
( )
( )
p
T t x
L
T t x
δ δ
δ
⋅ ≤ ⋅
+
şi deci
1
1
0 0
( ) ( ) ,
p
T t x T t x t t
L
δ
δ

+ ≥ ∀ ≥
.
Punând
0
t t ·
în ultima inegalitate obţinem
1
0 0 0 2
( ) ( ) , 0,
p
q
T t x T t x t x X
L
δ
δ + ≥ ∀ ≥ ∀ ∈
,
de unde deducem că pentru
1 p >
există
0
0 δ >
astfel încât
1
1
0
1
p
L
δ
η

· >
cu
0 0 0 0
( ) ( ) , 0 T t x T t x t δ η + ≥ ∀ ≥
,
iar din relaţia (*) şi Lema 2.2.4. rezultă că există
2 2
, 0 N ν >
cu
T
2
2 2
( ) ,
t
q
T t x N e x x X
ν
≥ ∀ ∈ .
Dacă
1 p ·
atunci
0
0
0
0
0
0
2
0 0
0
0 0
2
0
0
1
1
2 2
1
2
4 2
( ) ( )
( )
2 ( ) ( )
( )
( )( ) ( 1)
( )
( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1)
( ) ( 1)
t
t
t
t
t
q
g g
q
t
q
T t x T t x
t s ds
T t x T t x
T s x
t s Me k ds
T t x
Me k x s ds Me k x
Me k k
δ
δ
ω
δ
ω ω
ω
δ
δ
δ δ
δ
δ
δ
δ
+
+
+


· + − ≤
+ +
≤ + − + ·
+
+ ≤ + ≤
≤ +



Deci
1
0 0 0 2 4 2
1
( ) ( ) , 0, 0,
2( ) ( 1)
q
q
T t x T t x t x X
Me k k
ω
δ δ δ + ≥ ∀ > ∀ ≥ ∀ ∈
+ .
Pentru aceleaşi motive ca mai sus, deducem că şi în acest caz există
2 2
, 0 N ν >
cu
2
2 0 2
( ) , 0,
t
q
T t x N e x t x X
ν
≥ ∀ ≥ ∀ ∈
Dar
1 1 1 q
X X X

⊂ ·
(**)
In adevăr dacă
1q
x X ∈
, atunci pentru 1 t ≥ şi
[ 1, ] s t t ∈ −
avem
( ) ( ) ( ) ( ) T t x T t s T s x Me T s x
ω
≤ − ≤
de unde rezultă
1
( ) ( ) ( ) , 1
t
q
t
T t x Me T s x ds Me T x t
ω ω

≤ ≤ ⋅ ∀ ≥

Dacă ,
[01) t ∈
avem
( ) T t x Me x
ω

şi deci ( ) T x L

⋅ ∈ , fapt ce arată că
1 1 q
X X ⊂
.
Fie acum
1q
x X ∈
. Atunci din Principiul Mărginirii Uniforme deducem că există ' 0 L > ;
1
( ) ' , 0,
q
T t x L x t x X ≤ ∀ ≥ ∀ ∈

Notăm pentru
0
0, 0 t δ ≥ ≥
si
1q
x X ∈
cu
0 0
[ , ]
( ) ( ) ( ) , :
t t
h t t T t x h X
δ
χ
+ +
· → ¡
Atunci
P
h L ∈ si
1
'
p
p
h L x δ ≤
, iar
0
0
0 0 0
0
( ) ( ) ( )
0 ,
( ) ( ) ,
( ) ,
t
u t T t h d
t t
t t T t x t t t
T t x t t
τ τ τ
δ
δ δ
· − ·
≤ ¹
¹
· − ≤ ≤ +
'
¹
≥ +
¹

are proprietatea că
2
(0) 0 ,
p
q
u X u L · ∈ ∈
, ceea ce implică
h
u x ·
cu
2
(0)
q
u X ∈
Deci
1
( ) (1 ) (1 ) ' , 0
p
p
u t Me k h Me k L x t
ω ω
δ ≤ + ≤ + ∀ ≥
şi astfel obţinem că pentru
0
t t δ ≥ +
.
1
1
( ) (1 ) '
p
T t x Me k L x
ω
δ

≤ +
Pentru
1 p >
exista
0
0 δ >
cu
1
1
0
(1 ) ' 1
p
Me k L c
ω
δ

+ · <
şi

0 0 0 1
( ) , 0,
q
T t x c x t x X δ + ≤ ∀ ≥ ∀ ∈
Cum
1 1
( ) , 0
q q
T t X X t ⊂ ∀ ≥
deducem că C
0
-semigrupul
1 1 1 1
( ) : , ( ) ( )
q q
T t X X T t x T t x → ·
este exponenţial stabil şi deci există
1 1
, 0 N ν >
cu
1
1 1
( ) , , 0
t
q
T t x N e x x X t
ν −
≤ ∀ ∈ ∀ ≥
Dacă p = 1, atunci
0 0
0 0
0
0
2
0 0 0 0
1 1
1 2
2
( ) ( ) ( ) ' ( ) ( )
2
' ( ) ' ( ')
t t
t t
t
q q
h h
q
t
T t x s t T t x ds L s t T s x ds
L x s L x L k x
δ δ
δ
δ
δ δ
δ δ
+ +
+
− −
+ · − + ≤ − ·
· ≤ ≤
∫ ∫

de unde rezultă că
1
2
0 0 1
( ) 2( ') 0, 0,
q
q
T t x L k x t x X δ δ δ

+ ≤ ∀ > ∀ ≥ ∀ ∈
,ceea ce arata ca si mai susa ca
exista
1 1
, 0 N ν >
cu
1
1 1
( ) , 0,
t
q
T t x N e x t x X
ν −
≤ ∀ ≥ ∀ ∈
.
Această ultimă inegalitate ne permite să arătăm că
1 1 q
X X ·
.
In adevăr, pentru
1
x X ∈
, notăm
1q
u X ∈
si
2q
v X ∈
.
Dacă 0 v ≠ , atunci
2 1
2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
t t
T t x T t v T t u T t v T t u
N e v N e u
ν ν −
· + ≥ − ≥
≥ − →∞
când
t →∞
fapt ce contrazice alegerea lui
1
x X ∈
. Deci v = 0 şi astfel
1q
x X ∈
, adică
1 1q
X X ⊂
, iar din relaţia (**) obţinem afirmaţia dorită şi teorema este complet
demonstrată.
Teorema 3.5.4. Dacă
1 1
( ) ( ), 0 T t P PT t t · ∀ ≥
si
0
{ }
t t
T

satisface condiţiei Perron pentru
dichotomie de t i p
( , ) p q
cu
( , ) (1, ) p q ≠ ∞
, atunci
2 2
( ) : T t X X →
este inversabil pentru
fiecare 0 t ≥ .
Demonstraţie: Fie
2
y X ∈
şi
[1,2]
( ) ( ) ( 1) f t t T t y χ · − −
, unde
A
χ
este funcţia caracteristică
a mulţimii A. Atunci
p
f L ∈ si
p
f Me y
ω

.
Deoarece
0
{ }
t t
T

satisface condiţiei Perron pentru dichotomie de tip ( p, q) , rezultă că
există un singur
2
x X ∈
cu
0
( ) ( ) ( ) ( ),
t
q
f f
x t T t x T t f x L τ τ · + − ∈

.
Dar
( ) , [0,1]
( ) ( ) (1 ) ( 1) , (1, 2)
( ) ( 1) , 2
f
T t x t
x t T t x t T t y t
T t x T t y t
∈ ¹
¹
· + − − ∈
'
¹
− − ≥
¹
Si deci pentru 2 t ≥
( ) ( 1)( (1) )
f
x t T t T x y · − −
,
Fapt care din Teorema 3.5.3 arata ca exista
2 2
, 0 N ν >
;
2
( 1)
2
( ) (1) , 2
t
f
x t N e T x y t
ν −
≥ − ∀ ≥
.

Sponsor Documents

Or use your account on DocShare.tips

Hide

Forgot your password?

Or register your new account on DocShare.tips

Hide

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link to create a new password.

Back to log-in

Close