Ensayo UC Septiembre 2
Content
PREUNIVERSITARIO UC
ENSAYO PSU
PRUEBA DE MATEMÁTICA
INSTRUCCIONES
Forma
Masivo
115
1.-
Esta prueba consta de 80 preguntas. Cada pregunta tiene 5
opciones, señaladas con las letras A; B; C; D y E, una sola de las
cuales es la respuesta correcta.
2.-
Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.
3.-
Las respuestas a las preguntas se marcan en la hoja de respuestas que se
le ha entregado. Complete todos los datos pedidos, de acuerdo con las instrucciones
contenidas en esa hoja. Se le dará tiempo para ello antes de comenzar la prueba.
4.-
Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta
que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse
de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz grafito N°2 o portaminas HB.
5.-
Lea atentamente las instrucciones específicas para responder las preguntas N°74 a
N°80, que se encuentran a continuación de la pregunta N°73. ESTAS
INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS.
6.-
No se descontarán del puntaje las preguntas erróneas.
7.-
Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar
oportunamente sus respuestas a la hoja, ya que NO habrá tiempo extra para ello.
Tenga presente que se considerarán para la evaluación EXCLUSIVAMENTE las
respuestas marcadas en dicha hoja.
8.-
Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba
en ella solamente los datos pedidos y las respuestas.
9.-
Evite borrar para no deteriorar la hoja. Si lo hace, límpiela de los residuos de goma.
10.-
Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque ESTOS SON
DE SU EXCLUSIVA RESPONSABILIDAD. Cualquier omisión o error en ellos impedirá
que se entreguen los resultados.
11.-
A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el
desarrollo de los ejercicios.
12.- Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas
a escala.
DECLARACIÓN: Estoy en conocimiento de que el presente material es
propiedad exclusiva de la Pontificia Universidad Católica de Chile y que está
prohibida su reproducción parcial o total.
.
MATEMÁTICA
.
–
FIRMA
ENSAYO
Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.
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INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS
1. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede
consultar durante el desarrollo de los ejercicios.
2. Las figuras que aparecen en la prueba son solo indicativas.
3. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un
sistema de ejes perpendiculares.
4. Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al
lanzarlo las caras son equiprobables de salir.
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
<
>
≤
≥
∢
es menor que
es mayor que
es menor o igual a
es mayor o igual a
ángulo recto
ángulo
≅
~
⊥
≠
//
∈
es congruente con
es semejante con
es perpendicular a
es dist int o de
es paralelo a
pertenece a
log
φ
log aritmo en base 10
conjunto vacío
AB
x
trazo AB
valor absoluto de x
∪
∩
unión de conjuntos
intersección de conjuntos
x!
Ac
factorial de x
complemento del conjunto A
u
vector u
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1.
(0,5)−1
0, 9
A)
B)
C)
D)
E)
2.
+
0, 99
=
5−1
26
50
7
93
18
7
−
10
2
¿Cuál de las siguientes aseveraciones es FALSA?
A)
Todo número entero es racional.
B)
Todo número natural posee sucesor.
C)
Todo número entero posee antecesor.
D)
Todo número natural tiene antecesor.
E)
Los números reales corresponden a la unión de los números
racionales e irracionales.
(n+ 1)
2
3.
Si n = 3 , entonces el valor de
A)
2,66
B)
1,33
C)
2,67
D)
1,34
E)
2,65
MATEMÁTICA
6
truncado a la centésima es
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4.
Si a es un número real positivo, b es el opuesto de a y c es el recíproco
de b, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
c ( a − b) = 0
II)
(a + b)
3
=1
III) ac + 1 + a + b = 0
A)
B)
C)
D)
E)
5.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
I
II
III
I y III
II y III
Al ordenar en forma creciente los números a = 4 7 , b = 3 y c = 3 5 se
obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
6.
a, b, c
a, c, b
b, c, a
c, a, b
b, a, c
2
1
de ellos no hace deporte,
juega
5
6
fútbol y los 26 restantes juegan tenis. ¿Cuál es el doble de estudiantes
que tiene el grupo?
En un grupo de estudiantes,
A)
B)
C)
D)
E)
520
260
240
120
60
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7.
Dada la expresión
( −1) (
n n +1) + 2n
con n un número natural. ¿Cuál(es) de
los siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) Si n es par, entonces la expresión es positiva.
II) Si n es impar, entonces la expresión es positiva.
III) Si n es divisor de 12, entonces la expresión es cero.
A)
B)
C)
D)
E)
8.
9.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Si el precio de un artículo es $ 800.000, el cual se aumenta en su
cuarta parte y este nuevo precio se disminuye en su cuarta parte,
entonces el precio final, en pesos, es
450 ⋅ 103
A)
B)
60 ⋅ 104
C)
0,1 ⋅ 107
D)
0,75 ⋅ 105
E)
7,5 ⋅ 105
Dado un número natural n cualquiera, ¿cuál(es) de las siguientes
expresiones es (son) siempre divisible(s) por 2?
I)
n2 + n + 2
II) n + 4
III) n3 − n
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III.
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10.
Si 9 amigos se dividen en partes iguales 67 kg de azúcar, pero
aproximan el valor obtenido a la décima por truncamiento y llaman M a
este número, ¿cuál es la diferencia entre la cantidad inicial a repartir y
9·M, en gramos?
A)
B)
C)
D)
E)
11.
Sea z el complejo 1 + i , donde i es la unidad imaginaria. ¿Cuál de las
siguientes alternativas corresponde a un número imaginario puro?
A)
z
i
B)
z2 ⋅ i
C)
z
D)
E)
12.
0,4
400
40
0
0,04
z
z
(z ⋅ z) i
Si
a es un número racional distinto de cero, ¿cuál(es) de las
siguientes expresiones siempre representa(n) un número racional?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
MATEMÁTICA
a3
1
a
2a
I
III
I y II
I y III
II y III
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13.
14.
De acuerdo a los estudios científicos, la masa de un electrón es
aproximadamente 0, 000091083 ⋅ 10−23 gramos. Este valor, en
kilogramos, expresado en notación científica es
A)
9,1083 ⋅ 10−31
B)
9,1083 ⋅ 10−30
C)
9,1083 ⋅ 10−29
D)
9,1083 ⋅ 10−28
E)
9,1083 ⋅ 10−27
Sea n un número entero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
15.
I)
(5
II)
III)
5−n es siempre positivo.
5n es siempre divisible por 5.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
n
)(
)
+ 1 5n − 1 es siempre un número par.
I
II
III
I y II
II y III
El valor de
(
)
13 − 4 3 ⋅ 1 + 2 3 es
A) –11
B) 11
C) 12
D)
5 3
E)
22 3 − 11
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16.
17.
¿Cuál de las siguientes expresiones NO representa la unidad?
A)
log (5 ) + log (2 )
B)
log ( 40 ) − 2 log (2 )
C)
1
− log
10
D)
log (100 ) − 1
E)
log (10 ) ⋅ log (1)
Se planea construir un edificio de una cierta cantidad de pisos. Para
ello se dispone de 80.000 gramos de mezcla para concreto. En el
primer piso del edificio se usan P veces Q kilos de tal mezcla. ¿Cuánto
de la mezcla restante, en kilos, se debe usar para que, luego de
terminado el segundo piso del edificio, queden solo 10 kilos del total de
la mezcla guardada?
A)
B)
C)
D)
E)
18.
70PQ
70 − PQ
PQ − 70
PQ − 70.000
PQ
70 −
1.000
Se compraron A artículos en $ B. Si de los artículos comprados, se
B−C
pagó $ C al contado en la primera cuota, entonces, la expresión
A
puede ser interpretada como
A)
B)
C)
D)
E)
el dinero que se queda debiendo.
lo pagado por cada artículo.
lo que se queda debiendo por cada artículo.
lo que se paga en total.
ninguna de las afirmaciones anteriores.
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19.
−1
x
1
x
+
− 1 : 2
Para x ≠ ±1 , el resultado de
es igual a
x +1
x +1 x −1
A)
B)
C)
20.
x2 − 1
x2 − 1
(x
2
+1
)
(x
2
+1
2
)
2
x2 − 1
D)
x +1
x −1
E)
x2 + 1
Dado que 4x + 8 = 2y + 8 , ¿en cuál(es) de las siguientes opciones se
presenta una afirmación que es siempre verdadera?
I)
Si
x
=2
a
e
y
= 4 , entonces a = b .
b
II)
Si
x 1
=
c 2
e
y
= 1 , entonces c ≠ d .
d
III) Si
x
=2
e
e
y
e 1
= 1 , entonces
= .
f
f 2
A)
Solo en I
B)
Solo en II
C)
Solo en I y en III
D)
Solo en II y en III
E)
En ninguna de ellas.
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21.
¿Cuál de las siguientes alternativas presenta una situación que se
resuelve mediante un sistema de ecuaciones lineales?
A)
La suma de dos números es 20 y la suma de sus cuadrados es 15.
B)
El perímetro de un rectángulo es igual a 100 cm y su área es igual
a 50 cm2 .
1
5
La suma de dos números es
y la suma de sus recíprocos es .
2
8
Dos números están en la razón 2 : 3 y el número mayor menos el
número menor es igual a 30.
C)
D)
E)
22.
Los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 5 : 3 y su
superficie mide 120 cm2 .
Sean x e y números enteros positivos. De acuerdo a ello, ¿cuál de los
siguientes sistemas de ecuaciones tiene solución?
A)
B)
C)
D)
E)
2x + y =
x−y
9
= 15
2x + y = 9
x−y = 3
2x + y = 1
x−y
= 0
2x + y = −1
x−y = 1
2x + y = 0
x−y
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= 0
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23.
Si una ecuación cuadrática, de incógnita x, tiene por raíces a los
números x1 y x2 , ¿qué alternativa relaciona correctamente las raíces
de ella y la incógnita?
24.
A)
x2 + ( x1 − x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0
B)
x2 − ( x1 − x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0
C)
x2 + ( x1 + x2 ) x − x1 ⋅ x2 = 0
D)
x2 − ( x1 − x2 ) x − x1 ⋅ x2 = 0
E)
x2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0
Si x1 , x2 y x3 son las soluciones de la ecuación cúbica x3 − 1 = 0 ,
donde x1 es un número real, entonces es incorrecto el afirmar que
A)
x2 = x3
B)
x22 + x2 + 1 = x32 + x3 + 1 = 0
C)
x13 = ( −1)
D)
E)
25.
2n + 2
, donde n es un número entero positivo.
x2
= x1
x3
x1 + x2 + x3 = 0
−
La inecuación (1 − x ) ( x + 3) ≥ − ( x − 2 ) es equivalente a
2
A)
6 ≤ 7x
B)
6x ≤ 7
C)
6 ≥ 7x
D)
6x ≥ 7
E)
−6 ≤ 7x
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26.
Si el doble del cuadrado de la diferencia entre un número real positivo
y tres es igual al triple del cuadrado del mismo número aumentado en
1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con
respecto a tal número?
I)
Si x es el número, entonces la ecuación que permite resolver
el problema es x2 + 12x − 19 = 0 .
II)
El número es irracional.
III) El número es menor que 1.
A)
B)
C)
D)
E)
27.
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas es verdadera.
Un adivino plantea el siguiente desafío: “el triple de las ovejas de mi
rebaño menos una es mayor al número de ovejas que tengo, más dos,
pero la mitad de ellas es a lo más la cuarta parte de la ovejas, más
tres”. Si una persona aceptó el desafío del adivino y respondió
correctamente la pregunta, entonces tal persona afirmó que el adivino
tiene
A)
más de una oveja, pero menos de 12.
B)
más de dos ovejas, pero menos de 14.
C)
entre dos y 13 ovejas.
D)
más de una oveja pero no más de 12.
E)
más de dos ovejas pero siempre menos de 10 ovejas.
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28.
Siendo a y b números reales cualquiera. ¿Cuál(es) de las siguientes
desigualdades es (son) siempre verdadera(s)?
29.
A)
Solo I
B)
Solo I y II
C)
Solo I y III
D)
Solo II y III
E)
I, II y III
I)
a2 + b2
≥ ab
2
II)
a2 ≥ 2a − 1
III)
(1 + a)
2
≥ 1 + 2a
En una empresa, se sabe que si se producen 10 barriles de petróleo,
entonces ganarán US$ 1.100, pero si producen 5 barriles, la ganancia
es de US$ 1.000. Si se sabe que esta situación la modela una función
afín, ¿cuántos barriles se deberán producir exactamente para obtener
una ganancia de US$ 3.600?
A)
135 barriles.
B)
262 barriles.
C)
354 barriles.
D)
412 barriles.
E)
500 barriles.
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30.
x ≥ 1 se define la función
Para
f (x) =
4 + 5 x − 1 . ¿Cuál es la
preimagen de 3 bajo f?
4+5 2
A)
B)
C)
D)
E)
31.
3
2
1
0
La siguiente figura corresponde a la gráfica de una cierta función f.
Entontes, de acuerdo a ella, es correcto que
y
5
3
2
–2
I)
II)
3 4
x
f (3) = f ( −2 ) + 5
f ( 4 ) ⋅ f (0) = 0
III) En el intervalo − 2, 4 la función es creciente.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
Ninguna de las afirmaciones es correcta.
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32.
Dadas las funciones f ( x ) = x + 3 con dominio en los números reales y
g (x) =
33.
x , para x ≥ 0 . ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?
A)
La función f ( g ( x ) ) está definida para los números no negativos.
B)
La función g ( f ( x ) ) está definida para todos los números reales.
C)
Ambas funciones, f y g, son crecientes en todo su dominio.
D)
f ( g ( 4 ) ) = f (2 )
E)
g ( f (1) ) = 1 + g (1) + f ( −3)
Para la función cuadrática f ( x ) = x2 − 5x + q , se afirma que
I)
si q = −6 , entonces la gráfica de f corta al eje x en un valor
positivo y en otro negativo.
II)
si q = 0 , entonces la gráfica de f pasa por el origen del
sistema coordenado.
III) si q > 0 , entonces la gráfica de f corta en dos valores
positivos al eje x.
De tales afirmaciones, es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
solo I.
solo I y II.
solo I y III.
solo II y III.
todas ellas son verdaderas.
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34.
Si el máximo valor de la función f ( x ) = −2x2 + px − 1 se alcanza cuando
x toma el valor
A)
2 2
B)
1
4
2
, entonces, p es igual a
2
2
C)
35.
1
D)
−2 2
E)
2
¿Cuál de las siguientes gráficas es la que mejor representa a la función
x
1
f (x) = ?
2
D)
MATEMÁTICA
C)
B)
A)
E)
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36.
En el cuadrilátero convexo ABCD, AD ⊥ DC , con ángulos DAB y ABC
congruentes, DE y CF son alturas, se traza CG paralelamente a AB ,
intersectando al lado AD en su punto medio G y a la altura DE en H,
como en la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
siempre verdadera(s)?
I)
∆GHD ≅ ∆BFC
II)
∆AED ~ ∆GDC
III) El trapecio AFCG es semejante al trapecio DEFC.
A)
Solo I
B)
Solo II
C)
Solo I y II
D)
Solo I y III
E)
Solo II y III
D
G
A
37.
H
E
C
F
B
Si al punto (–3, 4) se le aplica una simetría con respecto a una recta M
se obtiene el punto (–3, –2), y si a este último se le aplica una simetría
con respecto a otra recta P se obtiene el punto (1, –2). Entonces el
punto que está en la intersección de las rectas M y P es
A)
(–1, 1)
B)
(1, –1)
C)
(4, 6)
D)
(2, –3)
E)
(0, 0)
MATEMÁTICA
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38.
Dados los puntos P ( −7,1) y R ( −1,1) , para que el segmento PR
corresponda a una de las diagonales del rombo PQRS, de perímetro 20,
las coordenadas de Q y S deben ser
39.
A)
( −4,5 )
y
( −4, −5 )
B)
( −4,5 )
y
( −4, −3 )
C)
( −4, 3)
y
( −4, −5 )
D)
( −3, −4 )
E)
( −3, 4 )
y
y
(5, −4 )
(5, 4 )
En la figura se tiene el rectángulo AEFJ, en que JI = t, IH = HG = 3t y
GF = 2t, y en cuyo interior se han dibujado triángulos de modo que B,
C y D son las intersecciones de las simetrales de IH, HG y GF,
respectivamente, con el lado AE . ¿Cuál de las siguientes alternativas
es FALSA?
A)
DF ≅ DG
B)
∆BCH ≅ ∆GHC
C)
∆CDG ≅ ∆FGD
D)
∆DEF ≅ ∆IJA
E)
∆ABI ≅ ∆DCG
J
I
A
MATEMÁTICA
H
B
G
C
F
D
E
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40.
Si se tienen los vectores OA = (3, 0 ) , AB = (1,1) y BC = ( 0, 4 ) , entonces
el vector OC y su módulo son, respectivamente,
41.
A)
(5, 4)
y
41
B)
(4, 5)
y
41
C)
(4, 5)
y
3
D)
(–3, 4)
y
5
E)
(–2, –3)
y
5
Dado un cuadrilátero ABCD, con A(1, 1), B(7, –1) , C(8, 2) y D(2, 4),
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
AB // CD y BC // AD
II)
AB = 2BC
III) El área de ABCD es 20.
A)
Solo I
B)
Solo II
C)
Solo I y II
D)
Solo I y III
E)
I, II y III
MATEMÁTICA
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42.
Según las medidas dadas en los triángulos de la figura siguiente, el
valor de x es
35 b
A)
B)
C)
D)
E)
43.
p
x
40º
4
p
5
4c p
5b
28 c
20 b
16 c
40º
4b
5c p
5
p
4
Falta información para determinarlo.
El trapecio isósceles ABDE, de base mayor AB , está dividido por CF ,
paralelo a AB , de modo que los dos trapecios ABCF y FCDE son
semejantes. Si AB = 32 cm, ED = 8 cm, AE = 24 cm, entonces
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
CF = 16 cm.
II)
CD = 12 cm.
III) La razón de las áreas de los trapecios ABCF y FCDE es 1 : 4 .
A)
Solo I
B)
Solo II
C)
Solo III
D)
Solo I y III
E)
Solo II y III
E
F
A
MATEMÁTICA
D
C
B
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44.
Si Q es un punto en la prolongación de AB , entonces ¿en cuál(es) de
las siguientes opciones se puede afirmar que la razón AQ : BQ =5 : 2?
I)
5k
2k
α
B
A
II)
α
12 cm
30 cm
A
Q
Q
B
0,63 m
III)
A
Q
B
1,05 m
45.
A)
Solo en I
B)
Solo en I y en II
C)
Solo en I y en III
D)
Solo en II y en III
E)
En I, en II y en III
Si las rectas L1 y L 2 son paralelas, y las rectas L 3 y L 4 se intersectan
en O, con las medidas indicadas en la figura, si OQ – OR = 4 cm,
entonces la medida del segmento OS es
A)
32
cm
3
B)
16 cm
C)
28 cm
D)
36 cm
E)
48 cm
MATEMÁTICA
Q
R
4x
O
L3
S
L2
6x
12x
L1
P
L4
ENSAYO
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21
PREUNIVERSITARIO UC
46.
Si se trazan desde P dos rectas secantes a la circunferencia en A, B C y
D, como en la figura, con BA = AP = 6 cm y PC = 4 cm, entonces CD
mide
B
47.
A)
4 cm
B)
9cm
C)
56 cm
D)
18 cm
E)
14 cm
A
P
C
D
En el octógono regular ABCDEFGH de la figura, inscrito en la
circunferencia de centro O, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es
(son) verdadera(s)?
I)
3 ⋅ ∢ECD = ∢BCG
II)
∢GFE = 2 ⋅ ∢BCG
III)
2 ⋅ ∢ EOG = ∢ECG
A)
Solo I
B)
Solo II
C)
Solo I y II
D)
Solo I y III
E)
Solo I, II y III
F
G
D
O
H
C
A
MATEMÁTICA
E
B
ENSAYO
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48.
7
x + 7 se le aplica una simetría con
5
respecto al origen O del sistema coordenado, se obtiene otra recta de
ecuación
Si a la recta de ecuación y =
A)
B)
C)
D)
E)
49.
x
y
+
=1
7 −5
x
y
+ =1
−5 7
x
y
+
=1
− 5 −7
x
y
+
=1
5 −7
x y
+ =1
5 7
Dada la recta de ecuación 3 kx − 2y + 1 = 0 , ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
1
.
3
II) Para que la recta sea perpendicular a otra de ecuación
5
2x + 5y = 0 , k debe valer .
3
III) Para que la recta contenga al punto (3, −4 ) , k debe valer 1.
I)
Para que la recta tenga pendiente 1, k debe valer
A)
Solo I
B)
Solo II
C)
Solo I y II
D)
Solo I y III
E)
Solo II y III
MATEMÁTICA
ENSAYO
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23
PREUNIVERSITARIO UC
50.
Si los rectángulos ABCG y CDEG son semejantes, AB : BC = 3 : 1, y F
está en la intersección de BG y DE , como en la figura, entonces ¿cuál
es la razón entre las áreas de los triángulos BDF y GEF?
F
A)
3:1
B)
9:1
C)
10 : 9
D)
100 : 81
E)
100 : 1
A
B
51.
52.
G
E
C
D
En el triángulo ABC rectángulo en C, su hipotenusa mide 13 cm.
¿Cuánto deben medir, en centímetros, el mayor de los catetos (z) y su
proyección sobre la hipotenusa (x), respectivamente, para que su
altura desde C sea 6 cm?
C
A)
B)
6 2
10
y
y
6
8
C)
3 13
y
9
D)
2 34 y
10
E)
6 5
y
12
z
A
B
x
El triángulo OAB está determinado por la intersección de la recta de
ecuación 2x + y − 8 = 0 y los ejes coordenados, como en la figura.
¿Cuál es la ecuación de la recta que contiene a la altura
correspondiente al lado AB ?
y
A) y = −2x
B
1
B) y = − x
2
1
C) y = x
2
O
A x
D) y = 2x
E) y = x
MATEMÁTICA
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
53.
Siendo a y b números reales positivos, ¿en cuál(es) de los siguientes
casos la gráfica corresponde con la afirmación?
I)
y
El
sistema
de
ecuaciones
correspondiente
a
las
rectas
graficadas tiene solución vacía.
a
–a
x
b
–b
II)
La recta de la gráfica es coincidente con la
recta de ecuación 4ax + 2y − 4a = 0 .
y
2a
a
III) El sistema que corresponde con las
y=x
rectas graficadas es
y = −x + 2a
x
y
a
A)
Solo I
B)
Solo II
C)
Solo III
D)
Solo I y II
E)
Solo I y III
MATEMÁTICA
a
2a
ENSAYO
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x
25
PREUNIVERSITARIO UC
54.
La siguiente gráfica muestra una homotecia que transforma el
triángulo ABC en el triángulo RST. De acuerdo a esta gráfica, ¿cuál de
las siguientes alternativas es FALSA?
S
R
C
O
T
A
55.
B
A)
B)
C)
La homotecia tiene una razón de valor negativo.
Si AB = 12 cm y RS = 4 cm, entonces CO : CT = 3 : 4 .
El centro de la homotecia es O.
D)
E)
AC // RT
Si BC = 15 cm, entonces RT = 5 cm.
En el romboide de la figura siguiente, la diagonal AC es perpendicular
al lado CD . Según las medidas indicadas, el volumen generado al
hacer girar indefinidamente el romboide en torno a su lado AB , es
equivalente al volumen de
A)
B)
C)
D)
E)
D
un cilindro de radio basal 8 cm y altura 6 cm.
un cono de generatriz 10 cm y radio basal 8 cm.
un cilindro de radio basal 10 cm y altura 6 cm.
una pirámide de arista 10 cm y altura 8 cm.
un cono de radio basal 8 cm y altura 12 cm.
A
6 cm
C
10 cm
B
MATEMÁTICA
ENSAYO
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56.
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación
vectorial p ( t ) = (3, 4,1) + t ( −1,2,1) ?
A)
B)
C)
D)
E)
57.
(0, 0, 0 )
(5, 0, 0 )
(0, 3, 4 )
(0,10, 4 )
(2, 0,2 )
Siendo x ( t ) = (1, −1,2 ) t + ( 0,7, 9 ) e y ( t ) = ( −1,1, −2 ) t + (1,2,3) dos rectas
paralelas en el espacio, para t variando en los números reales. ¿Cuál
de las siguientes alternativas representa la ecuación del plano que las
contiene completamente?
A)
B)
C)
D)
E)
58.
4x + 2y − z = 5
4x + y − 2z = 5
4x + 2y − z = 0
x − y + 2z = 9
x + y − 4z = 1
Si la región achurada de la figura siguiente está formada por un
cuadrante de círculo con centro en O y radio OA = r, al que se le ha
quitado un cuadrado cuyo lado mide la mitad del radio del círculo.
¿Cuál es el volumen, en términos de r, que se genera al hacer girar
indefinidamente la figura en torno a OA ?
A)
B)
C)
D)
E)
13 3
πr
24
1
πr 3
24
3
πr 3
24
1
πr 3
12
5
πr 3
12
MATEMÁTICA
A
O
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
59.
60.
En un grupo de 50 jóvenes el promedio de peso es 56 kg. Si el peso
promedio de los 30 hombres es de 64 kg, entonces el promedio de
peso de las mujeres es de
A)
40 kg
B)
56 kg
C)
36 kg
D)
25 kg
E)
44 kg
En una encuesta realizada a un grupo de estudiantes de arte se les
preguntó en qué les gustaría especializarse, ante lo cual respondieron
lo reflejado en la tabla siguiente.
Pintura
Número de
estudiantes
13
Grabado
2
Escultura
12
Diseño Gráfico
10
Educación Artística
13
Especialidad
Entonces, es falso afirmar que
I)
el 20% de estos estudiantes prefiere Diseño Gráfico.
II)
la moda es tanto Pintura como Educación Artística..
III) la mediana es Escultura.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
MATEMÁTICA
II
III
I y II
I y III
II y III
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
61.
En una sala de espera de un hospital se registró las edades de las
personas presentes, llenándose la siguiente tabla
Intervalo
de edad
[0, 18[
[18, 36[
[36, 54[
[54, 72[
[72, 90]
Frecuencia
Acumulada
10
25
45
55
60
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?
I) El total de datos es 60.
II) El promedio de edades de la tabla es menor a 45.
III) Los mayores de 54 años constituyen el 25% del total de
personas.
A)
B)
C)
D)
E)
62.
Solo I
Solo I y II
Solo II y III
Solo I y III
I, II y III
Se le preguntó a 30 personas por el número de verdaderos amigos
con los que contaban en su vida actual, obteniéndose las siguientes
respuestas: 1, 3, 3, 5, 3, 3, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 3, 2, 1, 5, 5, 5, 4, 2,
1, 1, 4, 3, 2, 3, 5, 5. Según tales datos, la mediana corresponde a
A)
1 amigo
B)
3 amigos
C)
2 amigos
D)
5 amigos
E)
4 amigos
MATEMÁTICA
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
63.
Si un profesor otorgó 5 décimas en la última prueba a los 10 alumnos
que entregaron la tarea, entonces ahora la media aritmética de la nota
de la prueba de ese grupo de alumnos
64.
A)
aumentó en 5 décimas.
B)
aumentó en 50 décimas.
C)
disminuyó en 5 décimas.
D)
disminuyó en 50 décimas.
E)
aumentó 5 veces.
La siguiente tabla muestra las notas de una evaluación de los alumnos
de un curso. Si el promedio es 5,55, ¿cuál es el valor de x?
A)
3
Número de
B)
4
alumnos
C)
5
4
7
D)
6
x
6
E)
7
7
5
3
4
MATEMÁTICA
Nota
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
65.
Si dos distribuciones de datos, P y Q, tienen un rango de 9 unidades
cada una y ambas una mediana igual a 20, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
Si P y Q tienen iguales valores mínimo y máximo, entonces la
media aritmética será igual en ambas.
II)
En P y en Q la desviación estándar no puede ser cero.
III) Puede ser que la media aritmética de P sea menor que 20 y la
media aritmética de Q sea mayor que 20.
A)
B)
C)
D)
E)
66.
Solo I
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas es verdadera.
Al adentrarse hacia la cordillera, la probabilidad de encontrar un
2
camino cordillerano C, tapado de nieve en invierno, es de
.
5
Entonces, la probabilidad de que en 5 excursiones ningún día esté el
camino C tapado es
A)
35
55
B)
5⋅
C)
25
55
D)
5⋅
E)
0
25
55
35
55
MATEMÁTICA
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
67.
Si se lanza al aire dos dados normales de seis caras, enumeradas del
1 al 6, ¿cuál es la probabilidad de obtener ambas veces una cara en la
que aparezca un número primo?
68.
A)
1
B)
2
12
C)
1
4
D)
2
3
E)
2
4
La siguiente tabla muestra la probabilidad de que un cliente tenga
desde 1 a 5 observaciones financieras a lo largo de un año. Con
respecto a ella, es correcto afirmar que
I)
II)
III)
El número esperado de observaciones financieras es de 3,2
documentos anuales aproximadamente.
La probabilidad de que un cliente tenga menos de 3
observaciones anuales es igual a 0,2.
La desviación estándar de la variable aleatoria es 1,96 .
A)
Solo I
B)
Solo I y II
C)
Solo I y III
D)
Solo II y II
E)
I, II y III
MATEMÁTICA
X
1
2
3
4
5
P ( X = x ) 0,2 0,1 0,2 0,3 0,2
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
69.
70.
A Julia le regalan una caja que contiene diez bombones de chocolate,
de los cuales tres son rellenos de menta. Si Julia saca al azar dos
bombones consecutivamente, ¿cuál es la probabilidad de que no sean
de menta?
A)
7
15
B)
28
45
C)
2
7
D)
2⋅
E)
14
90
7
10
Se realiza un concurso en que José debe lanzar al aire una moneda
normal 4 veces. En cada lanzamiento solo es posible obtener Cara o
Sello. En base a ello se define X como la variable aleatoria “número de
veces que obtiene Cara”. ¿Cuál de las siguientes alternativas es
INCORRECTA?
A)
El recorrido de la variable aleatoria tiene 5 elementos.
B)
1
La probabilidad de que X valga cero es .
2
C)
Es igualmente probable que X tome el valor 1 que el valor 3.
D)
La probabilidad de que X tome el valor 1 es
E)
El conjunto de posibles valores de la variable aleatoria X es
4
1
.
5
{0,1,2,3, 4} .
MATEMÁTICA
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PREUNIVERSITARIO UC
71.
Se tiene una bolsa con fichas idénticas, pero de distintos colores: 3
verdes, 5 blancas y 7 amarillas. Si el experimento de extraer de la
bolsa una ficha, registrar el color que sale y devolverla a la bolsa, se
realiza 3 veces y se define la variable aleatoria X como el número de
veces que la ficha salió verde o amarilla, ¿cuál es la probabilidad de
que X tome el valor 3?
3
A)
B)
C)
D)
E)
72.
10
15
3
15
3 7
⋅
15 15
10
15
10
⋅3
15
Luego de la gran hazaña del atleta olímpico Usain Bolt en los cien
metros planos, un grupo de estadísticos hizo un estudio de los tiempos
de llegada de los atletas. Se determinó que los tiempos de llegada X de
los atletas siguen una distribución normal de media aritmética 15
segundos y de desviación estándar 3 segundos. Si se considera que Z
es una variable aleatoria de distribución normal estándar, ¿cuál es la
probabilidad de que un atleta demore más de 13 segundos y menos de
17 segundos en llegar a la meta?
2
A) P Z ≤
9
B)
C)
D)
E)
13
P Z ≥
17
13
2 ⋅ P Z ≤
17
2
P Z ≤
3
2
2 ⋅ P Z ≤
3
MATEMÁTICA
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PREUNIVERSITARIO UC
73.
En una tómbola se tienen 5 bolitas enumeradas del 1 al 5. Si 200.000
veces se saca una de ellas, se mira el número y se devuelve a la
tómbola, según la Ley de los Grandes Números, aproximadamente,
¿qué porcentaje de las veces saldría un número impar?
A)
20%
B)
30%
C)
40%
D)
60%
E)
80%
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EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS
INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N°74 A LA N°80
En las siguientes preguntas no se pide la solución al problema, sino que se decida si
con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) se
pueda llegar a la solución del problema.
Es así, que se deberá marcar la opción:
A)
(1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para
responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente,
D) Cada una por sí sola, (1) o (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder
la pregunta,
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes
para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la
solución.
Ejemplo: Se puede determinar el monto total de una deuda, en términos de P y Q, si se
sabe que
(1)
(2)
A)
B)
C)
D)
E)
La cuota mínima a pagar es del P% de la deuda.
La cuota mínima a pagar es de $ Q.
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
Se requiere información adicional
En la información (1) se tiene que la cuota mínima a pagar es del P% de la deuda. Si
x representa el monto total de dicha deuda, entonces este porcentaje queda expresado por
Px
, el cual no permite determinar el monto total de la deuda.
100
Con la afirmación (2) se conoce la cuota mínima a pagar, que es de $ Q, pero esta
información por sí sola es insuficiente para determinar el monto total de la deuda.
Px
= Q , luego
100
esta ecuación permite determinar el monto total de la deuda. Por lo tanto, se debe marcar
la opción C), Ambas juntas, (1) y (2).
Ahora, si se juntan los datos entregados en (1) y en (2) se tiene que
MATEMÁTICA
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36
PREUNIVERSITARIO UC
74.
75.
La expresión xy − 1 es siempre negativa si:
(1)
x<0
(2)
y≠0
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
La ecuación a ( x + 1) = a ( a + 1) − x tiene por solución, para x, un número
real positivo si:
(1) a ≥ 0
(2) a ≠ −1
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
MATEMÁTICA
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37
PREUNIVERSITARIO UC
76.
Sean las funciones
f:A →B
y
g : C → D , es posible realizar la
composición g ( f ( x ) ) si se sabe que:
(1) C es subconjunto de B.
(2) Los conjuntos B y C tienen los mismos elementos.
77.
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
Se puede conocer las coordenadas de la imagen del punto P ( − 4, 6 ) , en
el plano cartesiano luego de una transformación T, si se sabe que:
(1) T es una transformación que traslada el punto S (2, 8 ) al
punto ( −1, 3 ) .
(2)
T ( T ( x, y ) ) = ( x − 6, y − 10 ) .
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
MATEMÁTICA
ENSAYO
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38
PREUNIVERSITARIO UC
78.
Se puede determinar el número de lados n de un polígono regular que
se dividió en n triángulos al trazar las uniones entre su centro O y sus
vértices, si se sabe que:
(1) Los triángulos son congruentes y n es múltiplo de 3.
(2) Al rotar alguno de los triángulos en k·120º en torno a O,
con k un número natural, su imagen siempre coincide con
otro de los triángulos del polígono.
79.
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
El gráfico circular de la figura adjunta representa las 4 marcas de
estufa más elegidas este año. Se puede determinar el número de
personas que prefirió la marca C, si se sabe que:
(1)
La frecuencia de D es 4.000 y C es el 25% del total.
(2)
A y B obtuvieron cada una el 30% de las preferencias.
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
MATEMÁTICA
D
A
C
B
ENSAYO
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39
PREUNIVERSITARIO UC
80.
Se puede calcular la probabilidad de elegir de un curso, dos alumnos
que tengan solo un hermano menor si se sabe que:
(1)
El 50% de los alumnos tiene hermanos menores.
(2)
El 50% de los alumnos tiene solo un hermano.
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
MATEMÁTICA
ENSAYO
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40
ENSAYO PSU
PRUEBA DE MATEMÁTICA
INSTRUCCIONES
Forma
Masivo
115
1.-
Esta prueba consta de 80 preguntas. Cada pregunta tiene 5
opciones, señaladas con las letras A; B; C; D y E, una sola de las
cuales es la respuesta correcta.
2.-
Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.
3.-
Las respuestas a las preguntas se marcan en la hoja de respuestas que se
le ha entregado. Complete todos los datos pedidos, de acuerdo con las instrucciones
contenidas en esa hoja. Se le dará tiempo para ello antes de comenzar la prueba.
4.-
Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta
que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse
de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz grafito N°2 o portaminas HB.
5.-
Lea atentamente las instrucciones específicas para responder las preguntas N°74 a
N°80, que se encuentran a continuación de la pregunta N°73. ESTAS
INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS.
6.-
No se descontarán del puntaje las preguntas erróneas.
7.-
Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar
oportunamente sus respuestas a la hoja, ya que NO habrá tiempo extra para ello.
Tenga presente que se considerarán para la evaluación EXCLUSIVAMENTE las
respuestas marcadas en dicha hoja.
8.-
Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba
en ella solamente los datos pedidos y las respuestas.
9.-
Evite borrar para no deteriorar la hoja. Si lo hace, límpiela de los residuos de goma.
10.-
Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque ESTOS SON
DE SU EXCLUSIVA RESPONSABILIDAD. Cualquier omisión o error en ellos impedirá
que se entreguen los resultados.
11.-
A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el
desarrollo de los ejercicios.
12.- Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas
a escala.
DECLARACIÓN: Estoy en conocimiento de que el presente material es
propiedad exclusiva de la Pontificia Universidad Católica de Chile y que está
prohibida su reproducción parcial o total.
.
MATEMÁTICA
.
–
FIRMA
ENSAYO
Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.
1
PREUNIVERSITARIO UC
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS
1. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede
consultar durante el desarrollo de los ejercicios.
2. Las figuras que aparecen en la prueba son solo indicativas.
3. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un
sistema de ejes perpendiculares.
4. Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al
lanzarlo las caras son equiprobables de salir.
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
<
>
≤
≥
∢
es menor que
es mayor que
es menor o igual a
es mayor o igual a
ángulo recto
ángulo
≅
~
⊥
≠
//
∈
es congruente con
es semejante con
es perpendicular a
es dist int o de
es paralelo a
pertenece a
log
φ
log aritmo en base 10
conjunto vacío
AB
x
trazo AB
valor absoluto de x
∪
∩
unión de conjuntos
intersección de conjuntos
x!
Ac
factorial de x
complemento del conjunto A
u
vector u
MATEMÁTICA
ENSAYO
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2
PREUNIVERSITARIO UC
1.
(0,5)−1
0, 9
A)
B)
C)
D)
E)
2.
+
0, 99
=
5−1
26
50
7
93
18
7
−
10
2
¿Cuál de las siguientes aseveraciones es FALSA?
A)
Todo número entero es racional.
B)
Todo número natural posee sucesor.
C)
Todo número entero posee antecesor.
D)
Todo número natural tiene antecesor.
E)
Los números reales corresponden a la unión de los números
racionales e irracionales.
(n+ 1)
2
3.
Si n = 3 , entonces el valor de
A)
2,66
B)
1,33
C)
2,67
D)
1,34
E)
2,65
MATEMÁTICA
6
truncado a la centésima es
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3
PREUNIVERSITARIO UC
4.
Si a es un número real positivo, b es el opuesto de a y c es el recíproco
de b, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
c ( a − b) = 0
II)
(a + b)
3
=1
III) ac + 1 + a + b = 0
A)
B)
C)
D)
E)
5.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
I
II
III
I y III
II y III
Al ordenar en forma creciente los números a = 4 7 , b = 3 y c = 3 5 se
obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
6.
a, b, c
a, c, b
b, c, a
c, a, b
b, a, c
2
1
de ellos no hace deporte,
juega
5
6
fútbol y los 26 restantes juegan tenis. ¿Cuál es el doble de estudiantes
que tiene el grupo?
En un grupo de estudiantes,
A)
B)
C)
D)
E)
520
260
240
120
60
MATEMÁTICA
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
7.
Dada la expresión
( −1) (
n n +1) + 2n
con n un número natural. ¿Cuál(es) de
los siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) Si n es par, entonces la expresión es positiva.
II) Si n es impar, entonces la expresión es positiva.
III) Si n es divisor de 12, entonces la expresión es cero.
A)
B)
C)
D)
E)
8.
9.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Si el precio de un artículo es $ 800.000, el cual se aumenta en su
cuarta parte y este nuevo precio se disminuye en su cuarta parte,
entonces el precio final, en pesos, es
450 ⋅ 103
A)
B)
60 ⋅ 104
C)
0,1 ⋅ 107
D)
0,75 ⋅ 105
E)
7,5 ⋅ 105
Dado un número natural n cualquiera, ¿cuál(es) de las siguientes
expresiones es (son) siempre divisible(s) por 2?
I)
n2 + n + 2
II) n + 4
III) n3 − n
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III.
MATEMÁTICA
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
10.
Si 9 amigos se dividen en partes iguales 67 kg de azúcar, pero
aproximan el valor obtenido a la décima por truncamiento y llaman M a
este número, ¿cuál es la diferencia entre la cantidad inicial a repartir y
9·M, en gramos?
A)
B)
C)
D)
E)
11.
Sea z el complejo 1 + i , donde i es la unidad imaginaria. ¿Cuál de las
siguientes alternativas corresponde a un número imaginario puro?
A)
z
i
B)
z2 ⋅ i
C)
z
D)
E)
12.
0,4
400
40
0
0,04
z
z
(z ⋅ z) i
Si
a es un número racional distinto de cero, ¿cuál(es) de las
siguientes expresiones siempre representa(n) un número racional?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
MATEMÁTICA
a3
1
a
2a
I
III
I y II
I y III
II y III
ENSAYO
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13.
14.
De acuerdo a los estudios científicos, la masa de un electrón es
aproximadamente 0, 000091083 ⋅ 10−23 gramos. Este valor, en
kilogramos, expresado en notación científica es
A)
9,1083 ⋅ 10−31
B)
9,1083 ⋅ 10−30
C)
9,1083 ⋅ 10−29
D)
9,1083 ⋅ 10−28
E)
9,1083 ⋅ 10−27
Sea n un número entero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
15.
I)
(5
II)
III)
5−n es siempre positivo.
5n es siempre divisible por 5.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
n
)(
)
+ 1 5n − 1 es siempre un número par.
I
II
III
I y II
II y III
El valor de
(
)
13 − 4 3 ⋅ 1 + 2 3 es
A) –11
B) 11
C) 12
D)
5 3
E)
22 3 − 11
MATEMÁTICA
ENSAYO
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16.
17.
¿Cuál de las siguientes expresiones NO representa la unidad?
A)
log (5 ) + log (2 )
B)
log ( 40 ) − 2 log (2 )
C)
1
− log
10
D)
log (100 ) − 1
E)
log (10 ) ⋅ log (1)
Se planea construir un edificio de una cierta cantidad de pisos. Para
ello se dispone de 80.000 gramos de mezcla para concreto. En el
primer piso del edificio se usan P veces Q kilos de tal mezcla. ¿Cuánto
de la mezcla restante, en kilos, se debe usar para que, luego de
terminado el segundo piso del edificio, queden solo 10 kilos del total de
la mezcla guardada?
A)
B)
C)
D)
E)
18.
70PQ
70 − PQ
PQ − 70
PQ − 70.000
PQ
70 −
1.000
Se compraron A artículos en $ B. Si de los artículos comprados, se
B−C
pagó $ C al contado en la primera cuota, entonces, la expresión
A
puede ser interpretada como
A)
B)
C)
D)
E)
el dinero que se queda debiendo.
lo pagado por cada artículo.
lo que se queda debiendo por cada artículo.
lo que se paga en total.
ninguna de las afirmaciones anteriores.
MATEMÁTICA
ENSAYO
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19.
−1
x
1
x
+
− 1 : 2
Para x ≠ ±1 , el resultado de
es igual a
x +1
x +1 x −1
A)
B)
C)
20.
x2 − 1
x2 − 1
(x
2
+1
)
(x
2
+1
2
)
2
x2 − 1
D)
x +1
x −1
E)
x2 + 1
Dado que 4x + 8 = 2y + 8 , ¿en cuál(es) de las siguientes opciones se
presenta una afirmación que es siempre verdadera?
I)
Si
x
=2
a
e
y
= 4 , entonces a = b .
b
II)
Si
x 1
=
c 2
e
y
= 1 , entonces c ≠ d .
d
III) Si
x
=2
e
e
y
e 1
= 1 , entonces
= .
f
f 2
A)
Solo en I
B)
Solo en II
C)
Solo en I y en III
D)
Solo en II y en III
E)
En ninguna de ellas.
MATEMÁTICA
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
21.
¿Cuál de las siguientes alternativas presenta una situación que se
resuelve mediante un sistema de ecuaciones lineales?
A)
La suma de dos números es 20 y la suma de sus cuadrados es 15.
B)
El perímetro de un rectángulo es igual a 100 cm y su área es igual
a 50 cm2 .
1
5
La suma de dos números es
y la suma de sus recíprocos es .
2
8
Dos números están en la razón 2 : 3 y el número mayor menos el
número menor es igual a 30.
C)
D)
E)
22.
Los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 5 : 3 y su
superficie mide 120 cm2 .
Sean x e y números enteros positivos. De acuerdo a ello, ¿cuál de los
siguientes sistemas de ecuaciones tiene solución?
A)
B)
C)
D)
E)
2x + y =
x−y
9
= 15
2x + y = 9
x−y = 3
2x + y = 1
x−y
= 0
2x + y = −1
x−y = 1
2x + y = 0
x−y
MATEMÁTICA
= 0
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
23.
Si una ecuación cuadrática, de incógnita x, tiene por raíces a los
números x1 y x2 , ¿qué alternativa relaciona correctamente las raíces
de ella y la incógnita?
24.
A)
x2 + ( x1 − x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0
B)
x2 − ( x1 − x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0
C)
x2 + ( x1 + x2 ) x − x1 ⋅ x2 = 0
D)
x2 − ( x1 − x2 ) x − x1 ⋅ x2 = 0
E)
x2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0
Si x1 , x2 y x3 son las soluciones de la ecuación cúbica x3 − 1 = 0 ,
donde x1 es un número real, entonces es incorrecto el afirmar que
A)
x2 = x3
B)
x22 + x2 + 1 = x32 + x3 + 1 = 0
C)
x13 = ( −1)
D)
E)
25.
2n + 2
, donde n es un número entero positivo.
x2
= x1
x3
x1 + x2 + x3 = 0
−
La inecuación (1 − x ) ( x + 3) ≥ − ( x − 2 ) es equivalente a
2
A)
6 ≤ 7x
B)
6x ≤ 7
C)
6 ≥ 7x
D)
6x ≥ 7
E)
−6 ≤ 7x
MATEMÁTICA
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
26.
Si el doble del cuadrado de la diferencia entre un número real positivo
y tres es igual al triple del cuadrado del mismo número aumentado en
1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con
respecto a tal número?
I)
Si x es el número, entonces la ecuación que permite resolver
el problema es x2 + 12x − 19 = 0 .
II)
El número es irracional.
III) El número es menor que 1.
A)
B)
C)
D)
E)
27.
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas es verdadera.
Un adivino plantea el siguiente desafío: “el triple de las ovejas de mi
rebaño menos una es mayor al número de ovejas que tengo, más dos,
pero la mitad de ellas es a lo más la cuarta parte de la ovejas, más
tres”. Si una persona aceptó el desafío del adivino y respondió
correctamente la pregunta, entonces tal persona afirmó que el adivino
tiene
A)
más de una oveja, pero menos de 12.
B)
más de dos ovejas, pero menos de 14.
C)
entre dos y 13 ovejas.
D)
más de una oveja pero no más de 12.
E)
más de dos ovejas pero siempre menos de 10 ovejas.
MATEMÁTICA
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PREUNIVERSITARIO UC
28.
Siendo a y b números reales cualquiera. ¿Cuál(es) de las siguientes
desigualdades es (son) siempre verdadera(s)?
29.
A)
Solo I
B)
Solo I y II
C)
Solo I y III
D)
Solo II y III
E)
I, II y III
I)
a2 + b2
≥ ab
2
II)
a2 ≥ 2a − 1
III)
(1 + a)
2
≥ 1 + 2a
En una empresa, se sabe que si se producen 10 barriles de petróleo,
entonces ganarán US$ 1.100, pero si producen 5 barriles, la ganancia
es de US$ 1.000. Si se sabe que esta situación la modela una función
afín, ¿cuántos barriles se deberán producir exactamente para obtener
una ganancia de US$ 3.600?
A)
135 barriles.
B)
262 barriles.
C)
354 barriles.
D)
412 barriles.
E)
500 barriles.
MATEMÁTICA
ENSAYO
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30.
x ≥ 1 se define la función
Para
f (x) =
4 + 5 x − 1 . ¿Cuál es la
preimagen de 3 bajo f?
4+5 2
A)
B)
C)
D)
E)
31.
3
2
1
0
La siguiente figura corresponde a la gráfica de una cierta función f.
Entontes, de acuerdo a ella, es correcto que
y
5
3
2
–2
I)
II)
3 4
x
f (3) = f ( −2 ) + 5
f ( 4 ) ⋅ f (0) = 0
III) En el intervalo − 2, 4 la función es creciente.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
Ninguna de las afirmaciones es correcta.
MATEMÁTICA
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
32.
Dadas las funciones f ( x ) = x + 3 con dominio en los números reales y
g (x) =
33.
x , para x ≥ 0 . ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?
A)
La función f ( g ( x ) ) está definida para los números no negativos.
B)
La función g ( f ( x ) ) está definida para todos los números reales.
C)
Ambas funciones, f y g, son crecientes en todo su dominio.
D)
f ( g ( 4 ) ) = f (2 )
E)
g ( f (1) ) = 1 + g (1) + f ( −3)
Para la función cuadrática f ( x ) = x2 − 5x + q , se afirma que
I)
si q = −6 , entonces la gráfica de f corta al eje x en un valor
positivo y en otro negativo.
II)
si q = 0 , entonces la gráfica de f pasa por el origen del
sistema coordenado.
III) si q > 0 , entonces la gráfica de f corta en dos valores
positivos al eje x.
De tales afirmaciones, es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
solo I.
solo I y II.
solo I y III.
solo II y III.
todas ellas son verdaderas.
MATEMÁTICA
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34.
Si el máximo valor de la función f ( x ) = −2x2 + px − 1 se alcanza cuando
x toma el valor
A)
2 2
B)
1
4
2
, entonces, p es igual a
2
2
C)
35.
1
D)
−2 2
E)
2
¿Cuál de las siguientes gráficas es la que mejor representa a la función
x
1
f (x) = ?
2
D)
MATEMÁTICA
C)
B)
A)
E)
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
36.
En el cuadrilátero convexo ABCD, AD ⊥ DC , con ángulos DAB y ABC
congruentes, DE y CF son alturas, se traza CG paralelamente a AB ,
intersectando al lado AD en su punto medio G y a la altura DE en H,
como en la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
siempre verdadera(s)?
I)
∆GHD ≅ ∆BFC
II)
∆AED ~ ∆GDC
III) El trapecio AFCG es semejante al trapecio DEFC.
A)
Solo I
B)
Solo II
C)
Solo I y II
D)
Solo I y III
E)
Solo II y III
D
G
A
37.
H
E
C
F
B
Si al punto (–3, 4) se le aplica una simetría con respecto a una recta M
se obtiene el punto (–3, –2), y si a este último se le aplica una simetría
con respecto a otra recta P se obtiene el punto (1, –2). Entonces el
punto que está en la intersección de las rectas M y P es
A)
(–1, 1)
B)
(1, –1)
C)
(4, 6)
D)
(2, –3)
E)
(0, 0)
MATEMÁTICA
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
38.
Dados los puntos P ( −7,1) y R ( −1,1) , para que el segmento PR
corresponda a una de las diagonales del rombo PQRS, de perímetro 20,
las coordenadas de Q y S deben ser
39.
A)
( −4,5 )
y
( −4, −5 )
B)
( −4,5 )
y
( −4, −3 )
C)
( −4, 3)
y
( −4, −5 )
D)
( −3, −4 )
E)
( −3, 4 )
y
y
(5, −4 )
(5, 4 )
En la figura se tiene el rectángulo AEFJ, en que JI = t, IH = HG = 3t y
GF = 2t, y en cuyo interior se han dibujado triángulos de modo que B,
C y D son las intersecciones de las simetrales de IH, HG y GF,
respectivamente, con el lado AE . ¿Cuál de las siguientes alternativas
es FALSA?
A)
DF ≅ DG
B)
∆BCH ≅ ∆GHC
C)
∆CDG ≅ ∆FGD
D)
∆DEF ≅ ∆IJA
E)
∆ABI ≅ ∆DCG
J
I
A
MATEMÁTICA
H
B
G
C
F
D
E
ENSAYO
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40.
Si se tienen los vectores OA = (3, 0 ) , AB = (1,1) y BC = ( 0, 4 ) , entonces
el vector OC y su módulo son, respectivamente,
41.
A)
(5, 4)
y
41
B)
(4, 5)
y
41
C)
(4, 5)
y
3
D)
(–3, 4)
y
5
E)
(–2, –3)
y
5
Dado un cuadrilátero ABCD, con A(1, 1), B(7, –1) , C(8, 2) y D(2, 4),
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
AB // CD y BC // AD
II)
AB = 2BC
III) El área de ABCD es 20.
A)
Solo I
B)
Solo II
C)
Solo I y II
D)
Solo I y III
E)
I, II y III
MATEMÁTICA
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
42.
Según las medidas dadas en los triángulos de la figura siguiente, el
valor de x es
35 b
A)
B)
C)
D)
E)
43.
p
x
40º
4
p
5
4c p
5b
28 c
20 b
16 c
40º
4b
5c p
5
p
4
Falta información para determinarlo.
El trapecio isósceles ABDE, de base mayor AB , está dividido por CF ,
paralelo a AB , de modo que los dos trapecios ABCF y FCDE son
semejantes. Si AB = 32 cm, ED = 8 cm, AE = 24 cm, entonces
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
CF = 16 cm.
II)
CD = 12 cm.
III) La razón de las áreas de los trapecios ABCF y FCDE es 1 : 4 .
A)
Solo I
B)
Solo II
C)
Solo III
D)
Solo I y III
E)
Solo II y III
E
F
A
MATEMÁTICA
D
C
B
ENSAYO
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20
PREUNIVERSITARIO UC
44.
Si Q es un punto en la prolongación de AB , entonces ¿en cuál(es) de
las siguientes opciones se puede afirmar que la razón AQ : BQ =5 : 2?
I)
5k
2k
α
B
A
II)
α
12 cm
30 cm
A
Q
Q
B
0,63 m
III)
A
Q
B
1,05 m
45.
A)
Solo en I
B)
Solo en I y en II
C)
Solo en I y en III
D)
Solo en II y en III
E)
En I, en II y en III
Si las rectas L1 y L 2 son paralelas, y las rectas L 3 y L 4 se intersectan
en O, con las medidas indicadas en la figura, si OQ – OR = 4 cm,
entonces la medida del segmento OS es
A)
32
cm
3
B)
16 cm
C)
28 cm
D)
36 cm
E)
48 cm
MATEMÁTICA
Q
R
4x
O
L3
S
L2
6x
12x
L1
P
L4
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
46.
Si se trazan desde P dos rectas secantes a la circunferencia en A, B C y
D, como en la figura, con BA = AP = 6 cm y PC = 4 cm, entonces CD
mide
B
47.
A)
4 cm
B)
9cm
C)
56 cm
D)
18 cm
E)
14 cm
A
P
C
D
En el octógono regular ABCDEFGH de la figura, inscrito en la
circunferencia de centro O, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es
(son) verdadera(s)?
I)
3 ⋅ ∢ECD = ∢BCG
II)
∢GFE = 2 ⋅ ∢BCG
III)
2 ⋅ ∢ EOG = ∢ECG
A)
Solo I
B)
Solo II
C)
Solo I y II
D)
Solo I y III
E)
Solo I, II y III
F
G
D
O
H
C
A
MATEMÁTICA
E
B
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
48.
7
x + 7 se le aplica una simetría con
5
respecto al origen O del sistema coordenado, se obtiene otra recta de
ecuación
Si a la recta de ecuación y =
A)
B)
C)
D)
E)
49.
x
y
+
=1
7 −5
x
y
+ =1
−5 7
x
y
+
=1
− 5 −7
x
y
+
=1
5 −7
x y
+ =1
5 7
Dada la recta de ecuación 3 kx − 2y + 1 = 0 , ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
1
.
3
II) Para que la recta sea perpendicular a otra de ecuación
5
2x + 5y = 0 , k debe valer .
3
III) Para que la recta contenga al punto (3, −4 ) , k debe valer 1.
I)
Para que la recta tenga pendiente 1, k debe valer
A)
Solo I
B)
Solo II
C)
Solo I y II
D)
Solo I y III
E)
Solo II y III
MATEMÁTICA
ENSAYO
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23
PREUNIVERSITARIO UC
50.
Si los rectángulos ABCG y CDEG son semejantes, AB : BC = 3 : 1, y F
está en la intersección de BG y DE , como en la figura, entonces ¿cuál
es la razón entre las áreas de los triángulos BDF y GEF?
F
A)
3:1
B)
9:1
C)
10 : 9
D)
100 : 81
E)
100 : 1
A
B
51.
52.
G
E
C
D
En el triángulo ABC rectángulo en C, su hipotenusa mide 13 cm.
¿Cuánto deben medir, en centímetros, el mayor de los catetos (z) y su
proyección sobre la hipotenusa (x), respectivamente, para que su
altura desde C sea 6 cm?
C
A)
B)
6 2
10
y
y
6
8
C)
3 13
y
9
D)
2 34 y
10
E)
6 5
y
12
z
A
B
x
El triángulo OAB está determinado por la intersección de la recta de
ecuación 2x + y − 8 = 0 y los ejes coordenados, como en la figura.
¿Cuál es la ecuación de la recta que contiene a la altura
correspondiente al lado AB ?
y
A) y = −2x
B
1
B) y = − x
2
1
C) y = x
2
O
A x
D) y = 2x
E) y = x
MATEMÁTICA
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
53.
Siendo a y b números reales positivos, ¿en cuál(es) de los siguientes
casos la gráfica corresponde con la afirmación?
I)
y
El
sistema
de
ecuaciones
correspondiente
a
las
rectas
graficadas tiene solución vacía.
a
–a
x
b
–b
II)
La recta de la gráfica es coincidente con la
recta de ecuación 4ax + 2y − 4a = 0 .
y
2a
a
III) El sistema que corresponde con las
y=x
rectas graficadas es
y = −x + 2a
x
y
a
A)
Solo I
B)
Solo II
C)
Solo III
D)
Solo I y II
E)
Solo I y III
MATEMÁTICA
a
2a
ENSAYO
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x
25
PREUNIVERSITARIO UC
54.
La siguiente gráfica muestra una homotecia que transforma el
triángulo ABC en el triángulo RST. De acuerdo a esta gráfica, ¿cuál de
las siguientes alternativas es FALSA?
S
R
C
O
T
A
55.
B
A)
B)
C)
La homotecia tiene una razón de valor negativo.
Si AB = 12 cm y RS = 4 cm, entonces CO : CT = 3 : 4 .
El centro de la homotecia es O.
D)
E)
AC // RT
Si BC = 15 cm, entonces RT = 5 cm.
En el romboide de la figura siguiente, la diagonal AC es perpendicular
al lado CD . Según las medidas indicadas, el volumen generado al
hacer girar indefinidamente el romboide en torno a su lado AB , es
equivalente al volumen de
A)
B)
C)
D)
E)
D
un cilindro de radio basal 8 cm y altura 6 cm.
un cono de generatriz 10 cm y radio basal 8 cm.
un cilindro de radio basal 10 cm y altura 6 cm.
una pirámide de arista 10 cm y altura 8 cm.
un cono de radio basal 8 cm y altura 12 cm.
A
6 cm
C
10 cm
B
MATEMÁTICA
ENSAYO
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56.
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación
vectorial p ( t ) = (3, 4,1) + t ( −1,2,1) ?
A)
B)
C)
D)
E)
57.
(0, 0, 0 )
(5, 0, 0 )
(0, 3, 4 )
(0,10, 4 )
(2, 0,2 )
Siendo x ( t ) = (1, −1,2 ) t + ( 0,7, 9 ) e y ( t ) = ( −1,1, −2 ) t + (1,2,3) dos rectas
paralelas en el espacio, para t variando en los números reales. ¿Cuál
de las siguientes alternativas representa la ecuación del plano que las
contiene completamente?
A)
B)
C)
D)
E)
58.
4x + 2y − z = 5
4x + y − 2z = 5
4x + 2y − z = 0
x − y + 2z = 9
x + y − 4z = 1
Si la región achurada de la figura siguiente está formada por un
cuadrante de círculo con centro en O y radio OA = r, al que se le ha
quitado un cuadrado cuyo lado mide la mitad del radio del círculo.
¿Cuál es el volumen, en términos de r, que se genera al hacer girar
indefinidamente la figura en torno a OA ?
A)
B)
C)
D)
E)
13 3
πr
24
1
πr 3
24
3
πr 3
24
1
πr 3
12
5
πr 3
12
MATEMÁTICA
A
O
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
59.
60.
En un grupo de 50 jóvenes el promedio de peso es 56 kg. Si el peso
promedio de los 30 hombres es de 64 kg, entonces el promedio de
peso de las mujeres es de
A)
40 kg
B)
56 kg
C)
36 kg
D)
25 kg
E)
44 kg
En una encuesta realizada a un grupo de estudiantes de arte se les
preguntó en qué les gustaría especializarse, ante lo cual respondieron
lo reflejado en la tabla siguiente.
Pintura
Número de
estudiantes
13
Grabado
2
Escultura
12
Diseño Gráfico
10
Educación Artística
13
Especialidad
Entonces, es falso afirmar que
I)
el 20% de estos estudiantes prefiere Diseño Gráfico.
II)
la moda es tanto Pintura como Educación Artística..
III) la mediana es Escultura.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
MATEMÁTICA
II
III
I y II
I y III
II y III
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
61.
En una sala de espera de un hospital se registró las edades de las
personas presentes, llenándose la siguiente tabla
Intervalo
de edad
[0, 18[
[18, 36[
[36, 54[
[54, 72[
[72, 90]
Frecuencia
Acumulada
10
25
45
55
60
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?
I) El total de datos es 60.
II) El promedio de edades de la tabla es menor a 45.
III) Los mayores de 54 años constituyen el 25% del total de
personas.
A)
B)
C)
D)
E)
62.
Solo I
Solo I y II
Solo II y III
Solo I y III
I, II y III
Se le preguntó a 30 personas por el número de verdaderos amigos
con los que contaban en su vida actual, obteniéndose las siguientes
respuestas: 1, 3, 3, 5, 3, 3, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 3, 2, 1, 5, 5, 5, 4, 2,
1, 1, 4, 3, 2, 3, 5, 5. Según tales datos, la mediana corresponde a
A)
1 amigo
B)
3 amigos
C)
2 amigos
D)
5 amigos
E)
4 amigos
MATEMÁTICA
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
63.
Si un profesor otorgó 5 décimas en la última prueba a los 10 alumnos
que entregaron la tarea, entonces ahora la media aritmética de la nota
de la prueba de ese grupo de alumnos
64.
A)
aumentó en 5 décimas.
B)
aumentó en 50 décimas.
C)
disminuyó en 5 décimas.
D)
disminuyó en 50 décimas.
E)
aumentó 5 veces.
La siguiente tabla muestra las notas de una evaluación de los alumnos
de un curso. Si el promedio es 5,55, ¿cuál es el valor de x?
A)
3
Número de
B)
4
alumnos
C)
5
4
7
D)
6
x
6
E)
7
7
5
3
4
MATEMÁTICA
Nota
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
65.
Si dos distribuciones de datos, P y Q, tienen un rango de 9 unidades
cada una y ambas una mediana igual a 20, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
Si P y Q tienen iguales valores mínimo y máximo, entonces la
media aritmética será igual en ambas.
II)
En P y en Q la desviación estándar no puede ser cero.
III) Puede ser que la media aritmética de P sea menor que 20 y la
media aritmética de Q sea mayor que 20.
A)
B)
C)
D)
E)
66.
Solo I
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas es verdadera.
Al adentrarse hacia la cordillera, la probabilidad de encontrar un
2
camino cordillerano C, tapado de nieve en invierno, es de
.
5
Entonces, la probabilidad de que en 5 excursiones ningún día esté el
camino C tapado es
A)
35
55
B)
5⋅
C)
25
55
D)
5⋅
E)
0
25
55
35
55
MATEMÁTICA
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
67.
Si se lanza al aire dos dados normales de seis caras, enumeradas del
1 al 6, ¿cuál es la probabilidad de obtener ambas veces una cara en la
que aparezca un número primo?
68.
A)
1
B)
2
12
C)
1
4
D)
2
3
E)
2
4
La siguiente tabla muestra la probabilidad de que un cliente tenga
desde 1 a 5 observaciones financieras a lo largo de un año. Con
respecto a ella, es correcto afirmar que
I)
II)
III)
El número esperado de observaciones financieras es de 3,2
documentos anuales aproximadamente.
La probabilidad de que un cliente tenga menos de 3
observaciones anuales es igual a 0,2.
La desviación estándar de la variable aleatoria es 1,96 .
A)
Solo I
B)
Solo I y II
C)
Solo I y III
D)
Solo II y II
E)
I, II y III
MATEMÁTICA
X
1
2
3
4
5
P ( X = x ) 0,2 0,1 0,2 0,3 0,2
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
69.
70.
A Julia le regalan una caja que contiene diez bombones de chocolate,
de los cuales tres son rellenos de menta. Si Julia saca al azar dos
bombones consecutivamente, ¿cuál es la probabilidad de que no sean
de menta?
A)
7
15
B)
28
45
C)
2
7
D)
2⋅
E)
14
90
7
10
Se realiza un concurso en que José debe lanzar al aire una moneda
normal 4 veces. En cada lanzamiento solo es posible obtener Cara o
Sello. En base a ello se define X como la variable aleatoria “número de
veces que obtiene Cara”. ¿Cuál de las siguientes alternativas es
INCORRECTA?
A)
El recorrido de la variable aleatoria tiene 5 elementos.
B)
1
La probabilidad de que X valga cero es .
2
C)
Es igualmente probable que X tome el valor 1 que el valor 3.
D)
La probabilidad de que X tome el valor 1 es
E)
El conjunto de posibles valores de la variable aleatoria X es
4
1
.
5
{0,1,2,3, 4} .
MATEMÁTICA
ENSAYO
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71.
Se tiene una bolsa con fichas idénticas, pero de distintos colores: 3
verdes, 5 blancas y 7 amarillas. Si el experimento de extraer de la
bolsa una ficha, registrar el color que sale y devolverla a la bolsa, se
realiza 3 veces y se define la variable aleatoria X como el número de
veces que la ficha salió verde o amarilla, ¿cuál es la probabilidad de
que X tome el valor 3?
3
A)
B)
C)
D)
E)
72.
10
15
3
15
3 7
⋅
15 15
10
15
10
⋅3
15
Luego de la gran hazaña del atleta olímpico Usain Bolt en los cien
metros planos, un grupo de estadísticos hizo un estudio de los tiempos
de llegada de los atletas. Se determinó que los tiempos de llegada X de
los atletas siguen una distribución normal de media aritmética 15
segundos y de desviación estándar 3 segundos. Si se considera que Z
es una variable aleatoria de distribución normal estándar, ¿cuál es la
probabilidad de que un atleta demore más de 13 segundos y menos de
17 segundos en llegar a la meta?
2
A) P Z ≤
9
B)
C)
D)
E)
13
P Z ≥
17
13
2 ⋅ P Z ≤
17
2
P Z ≤
3
2
2 ⋅ P Z ≤
3
MATEMÁTICA
ENSAYO
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PREUNIVERSITARIO UC
73.
En una tómbola se tienen 5 bolitas enumeradas del 1 al 5. Si 200.000
veces se saca una de ellas, se mira el número y se devuelve a la
tómbola, según la Ley de los Grandes Números, aproximadamente,
¿qué porcentaje de las veces saldría un número impar?
A)
20%
B)
30%
C)
40%
D)
60%
E)
80%
MATEMÁTICA
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EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS
INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N°74 A LA N°80
En las siguientes preguntas no se pide la solución al problema, sino que se decida si
con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) se
pueda llegar a la solución del problema.
Es así, que se deberá marcar la opción:
A)
(1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para
responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente,
D) Cada una por sí sola, (1) o (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder
la pregunta,
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes
para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la
solución.
Ejemplo: Se puede determinar el monto total de una deuda, en términos de P y Q, si se
sabe que
(1)
(2)
A)
B)
C)
D)
E)
La cuota mínima a pagar es del P% de la deuda.
La cuota mínima a pagar es de $ Q.
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
Se requiere información adicional
En la información (1) se tiene que la cuota mínima a pagar es del P% de la deuda. Si
x representa el monto total de dicha deuda, entonces este porcentaje queda expresado por
Px
, el cual no permite determinar el monto total de la deuda.
100
Con la afirmación (2) se conoce la cuota mínima a pagar, que es de $ Q, pero esta
información por sí sola es insuficiente para determinar el monto total de la deuda.
Px
= Q , luego
100
esta ecuación permite determinar el monto total de la deuda. Por lo tanto, se debe marcar
la opción C), Ambas juntas, (1) y (2).
Ahora, si se juntan los datos entregados en (1) y en (2) se tiene que
MATEMÁTICA
ENSAYO
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36
PREUNIVERSITARIO UC
74.
75.
La expresión xy − 1 es siempre negativa si:
(1)
x<0
(2)
y≠0
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
La ecuación a ( x + 1) = a ( a + 1) − x tiene por solución, para x, un número
real positivo si:
(1) a ≥ 0
(2) a ≠ −1
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
MATEMÁTICA
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37
PREUNIVERSITARIO UC
76.
Sean las funciones
f:A →B
y
g : C → D , es posible realizar la
composición g ( f ( x ) ) si se sabe que:
(1) C es subconjunto de B.
(2) Los conjuntos B y C tienen los mismos elementos.
77.
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
Se puede conocer las coordenadas de la imagen del punto P ( − 4, 6 ) , en
el plano cartesiano luego de una transformación T, si se sabe que:
(1) T es una transformación que traslada el punto S (2, 8 ) al
punto ( −1, 3 ) .
(2)
T ( T ( x, y ) ) = ( x − 6, y − 10 ) .
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
MATEMÁTICA
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38
PREUNIVERSITARIO UC
78.
Se puede determinar el número de lados n de un polígono regular que
se dividió en n triángulos al trazar las uniones entre su centro O y sus
vértices, si se sabe que:
(1) Los triángulos son congruentes y n es múltiplo de 3.
(2) Al rotar alguno de los triángulos en k·120º en torno a O,
con k un número natural, su imagen siempre coincide con
otro de los triángulos del polígono.
79.
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
El gráfico circular de la figura adjunta representa las 4 marcas de
estufa más elegidas este año. Se puede determinar el número de
personas que prefirió la marca C, si se sabe que:
(1)
La frecuencia de D es 4.000 y C es el 25% del total.
(2)
A y B obtuvieron cada una el 30% de las preferencias.
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
MATEMÁTICA
D
A
C
B
ENSAYO
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39
PREUNIVERSITARIO UC
80.
Se puede calcular la probabilidad de elegir de un curso, dos alumnos
que tengan solo un hermano menor si se sabe que:
(1)
El 50% de los alumnos tiene hermanos menores.
(2)
El 50% de los alumnos tiene solo un hermano.
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
MATEMÁTICA
ENSAYO
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