Formulario de variable compleja
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√ a + bi se define como r = a2 + b2 donde (vi) |z − z ≥ ||z | − |z || b tan(θ) = a . (vii) |z1 w1 + · · · z n wn | ≤ Puesto que a = r cos θ y b = r sin θ, entonces 2 2 2 2 |z1 | + · · · |zn | |w1 | + · · · |wn | . tenemos que a + bi = r(cos θ + i sin θ), a su ves tabien podemos denotar θ = argz . Definicion: si z = x + yi, entonces definimos ez como ex (cos y + i sin yy ) Para cualesquiera n´ umeros complejos Propocici´ on 1.3.2: Sea z, w ∈ C |z1 z2 | = |z1 | ∗ |z2 | y arg (z1 z2 ) = argz1 + argz2 (mod2π ). (i) ez +w = ez ew , para toda z, w ∈ C . Regla de De Moivre: si z = r(cos θ + i sin θ) (ii) ez nunca es 0. y n es un entero positivo entonces (iii) Si x real, entonces ex > 1, cuando x > 0 , z n = rn (cos nθ + i sin nθ). y ex < 1, cuando x < 0.
x+iy | = ex Sea w un numero complejo diferente de 0, (iv) |e (v) eπi/2 = i, eπi = −1, e3πi/2 = −i, e2πi = 1 con representaci´ on polar
w = r(cos θ = i sin θ). Entonces, las ra´ ıces n − e ´simas de w est´ an dadas por los n n´ umeros complejos zk = √ n 2πk θ + r cos n n 2πk θ + + i sin n n
(vi) ez es periodica, cualquier periodod de ez tiene la forma 2πni, n entero. Funciones Trigonometricas: eix − e−iz eiz + e−iz sin z = y cos z = cosh y , k = 0, 1, . . . n− 1 2i 2
Propocici´ on1.2.4: (i) z + z = z + z . (ii) zz = z · z . (iii) z/z = z/z . para z = 0. (iv) zz = z −1 = |zz|2 . |z |2 Propicici´ on 1.3.4: (i) sin2 z + cos2 z = 1. (ii) sen(z + w) = senz · senw + cos z · cos w. y
si y solo si z = 0, tenemos que (iii) cos(z + w) = cos z · cos w − senz · senw. Logaritmo: log z = |z | + iargz., donde argz toma valores en el eintervalo [y0 , y0 + 2π [ y (v) z = z si y solo si z es real. log |z | es el logaritmo ususla del n´ umero real (vi) Rez = (z + z )/2 e Imz = (z − z )/2i pisitivo |z |. (vii) Propocici´ on1.2.5: Potencia Complejas: Sea a, b ∈ C y a = 0 se define como ab = (i) |zz | = |z | · |z |. (elog a )b = eb log a . √ (ii) Si z = 0, entonces |z/z | = |z |/|z |. La funci´ on raiz n-´ esima: n z = z 1/n = (iii) −|z | ≤Rez ≤ |z | y −|z | ≤Imz ≤ |z |; esto e(log z )/n . propocici´ on 1.3.12: Si z = reiθ , enes, |Rez | ≤ |z | y |Imz | ≤ |z |. tonces √ √ n z = n reiθ/n (iv) |z | = |z |. (v) |z + z | ≤ |z | + |z |. 1 .
x+iy | = ex Sea w un numero complejo diferente de 0, (iv) |e (v) eπi/2 = i, eπi = −1, e3πi/2 = −i, e2πi = 1 con representaci´ on polar
w = r(cos θ = i sin θ). Entonces, las ra´ ıces n − e ´simas de w est´ an dadas por los n n´ umeros complejos zk = √ n 2πk θ + r cos n n 2πk θ + + i sin n n
(vi) ez es periodica, cualquier periodod de ez tiene la forma 2πni, n entero. Funciones Trigonometricas: eix − e−iz eiz + e−iz sin z = y cos z = cosh y , k = 0, 1, . . . n− 1 2i 2
Propocici´ on1.2.4: (i) z + z = z + z . (ii) zz = z · z . (iii) z/z = z/z . para z = 0. (iv) zz = z −1 = |zz|2 . |z |2 Propicici´ on 1.3.4: (i) sin2 z + cos2 z = 1. (ii) sen(z + w) = senz · senw + cos z · cos w. y
si y solo si z = 0, tenemos que (iii) cos(z + w) = cos z · cos w − senz · senw. Logaritmo: log z = |z | + iargz., donde argz toma valores en el eintervalo [y0 , y0 + 2π [ y (v) z = z si y solo si z es real. log |z | es el logaritmo ususla del n´ umero real (vi) Rez = (z + z )/2 e Imz = (z − z )/2i pisitivo |z |. (vii) Propocici´ on1.2.5: Potencia Complejas: Sea a, b ∈ C y a = 0 se define como ab = (i) |zz | = |z | · |z |. (elog a )b = eb log a . √ (ii) Si z = 0, entonces |z/z | = |z |/|z |. La funci´ on raiz n-´ esima: n z = z 1/n = (iii) −|z | ≤Rez ≤ |z | y −|z | ≤Imz ≤ |z |; esto e(log z )/n . propocici´ on 1.3.12: Si z = reiθ , enes, |Rez | ≤ |z | y |Imz | ≤ |z |. tonces √ √ n z = n reiθ/n (iv) |z | = |z |. (v) |z + z | ≤ |z | + |z |. 1 .
