imo 2001

XLII OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Washington, DC, EE.UU 8 e 9 de julho de 2001

PRIMEIRO DIA

DURAÇÃO: 4 horas e meia.

PROBLEMA 1

Seja ABC  Seja ABC  um   um triângulo acutângulo com circuncentro O. Seja PA Seja  PA uma  uma altura do triângulo com  P  no lado BC  lado  BC . ˆ A ≥  A B ˆ C  + 30° . Considere que  BC  ˆ B + C O ˆ P  < 90° . Prove que C  A

PROBLEMA 2

Prove que a a

2

+

b

+

8b

b

2

+



+

8a



2

+

≥1

8ab

 para quaisquer nmeros nmeros reais positivos a, b, e .

PROBLEMA 3

!inte !inte e uma meninas e vinte e um meninos participaram numa competi"#o matem$tica. • •

Cada participante resolveu no m$%imo seis pro&lemas. Para cada menina e cada menino' e%iste pelo menos um pro&lema que (oi resolvido por  am&os.

Prove que e%iste um pro&lema que (oi resolvido por pelo menos tr)s meninas e pelo menos tr)s meninos.

XLII OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Washington, DC, EE.UU 8 e 9 de julho de 2001

SEGUNDO DIA

DURAÇÃO: 4 horas e meia.

PROBLEMA 4

Seja n um inteiro *mpar maior do que 1 e sejam n+ permuta",es

a

! 1 ' ! 2 '...' ! n

 inteiros dados. Para cada uma das

= 0a1 ' a 2 '...' a n / de 1'2'...' n-'  de(ina n

" 0a/

=

∑ !  a . i

i

i =1

Prove que e%istem duas permuta",es b e ' b ≠ ' tais que n+  um divisor de

" 0b /

−

" 0 /.

PROBLEMA 5

 2um triângulo ABC ' seja AP   a &issectri3 de  B AC  com P   no lado BC ' e seja B# a &issectri3 de  A BC   com # no lado CA. ˆ C  = 40° e que AB 5 BP  6 A# 5 #B. Sa&emos que  B A 7uais s#o os poss*veis valores dos ângulos do triângulo  ABC 8 ˆ

ˆ

PROBLEMA 6

Sejam a, b, , d inteiros com a 9 b 9  9 d  9 0. Considere que a + bd  = 0b + d  + a −  /0b + d  − a + /.

Prove que ab 5 d  n#o  um nmero primo.