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MARATONA INSS – GRAN ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO

TEORIA

& EXERCÍCIOS PARTE 01

LÓGICA SENTENCIAL & PROPOSICIONAL Estruturas Lógicas – Sentenças fechadas, sentenças abertas, proposições simples e compostas. Número de linhas de uma tabela-verdade. Construção de tabelas. Aplicação do Princípios Fundamentais (questões com verdades e mentiras). Fundamentação Teórica I - SENTENÇAS - Expressão de um pensamento completo; - São compostas por um sujeito (algo que se declara) e por um predicado (aquilo que se declara sobre o sujeito). Ex.: José passou no concurso público. Lógica não é difícil. Que horas começa o filme? Que belas flores! Pegue essa xícara agora. OBS. Percebemos que as sentenças podem ser: - Afirmativas; Ex.: A lógica é uma ciência do raciocínio. S e n t e n ç a s

- Negativas; Ex.: José não vai à festa. - Imperativas; Ex.: Faça seu trabalho com dedicação.

- Exclamativas; Ex.: Que dia lindo! - Interrogativas. Ex.: Qual é o seu nome? A - SENTENÇAS ABERTAS

São as sentenças nas quais não podemos determinar o sujeito da sentença. Uma forma mais simples de identificar uma sentença aberta é quando a mesma não pode ser nem V(verdadeiro) nem F( falso) . Ex.:Ela foi a melhor atleta da competição. Algumas sentenças são chamadas abertas porque são passíveis de interpretação para que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Por exemplo, se tivermos uma proposição expressa: “Para todo a, P(a)”, em que a é um elemento qualquer do conjunto U, e P(a) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, logo se torna necessário explicitar U e P para que seja possível valorar. Ex.: { x ∈ R/ x > 2 }, neste caso x pode ser qualquer número maior que dois, ou seja, não há um sujeito especifico. Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, por exemplo: “Ele é juiz do TRT da 1.ª Região”, ou “x + 5 = 10”. O sujeito é uma variável que pode ser substituído por um elemento arbitrário, transformando a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F. Expressões dessa forma são denominadas sentenças abertas, ou funções proposicionais. Pode-se passar de uma sentença aberta a uma proposição por meio dos quantificadores “qualquer que seja”, ou “para todo”, indicado por ∀ , e “existe”, indicado por ∃ . Por exemplo: a proposição ( ∀ x)(x ∈ R)(x + 3 = 9) é valorada como F, enquanto a proposição ( ∃ x)(x ∈ R)(x + 3 = 9) é valorada como V.

B - SENTENÇAS FECHADAS São as sentenças nas quais podemos determinar o sujeito da sentença. Ex.: Antônio está de férias. Ex.: O professor Josimar foi trabalhar.

Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições porque a primeira é pergunta( sentença interrogativa ) e a segunda não pode ser nem V nem F.

II – EXPRESSÕES Por exclusão temos que são aquelas que não são sentenças. Ex.: Vinte e cinco centésimos; Ex.: A terça parte de um número. III- PROPOSIÇÕES Dá-se o nome de proposição a uma sentença (afirmativa ou negativa) formada por palavras ou símbolos que expressam um pensamento de sentido completo, as quais se podem atribuir um valor lógico, ou seja, uma valoração (verdadeiro ou falso). Esta valoração também é chamada de valor-lógico ou valor-verdade. DIAGRAMA

SIMBOLIZAÇÃO

Na lógica proposicional não analisamos o conteúdo das proposições, e sim, a forma como se relacionam com outras proposições. Por exemplo, as proposições 'A Terra é quadrada’ ou 'Todo cachorro é rosa', sendo valoradas como verdadeira mesmo que saibamos que em nosso cotidiano não são. Por isso são representadas por símbolos. As proposições são indicadas com maior freqüência pelas letras 'p', 'q', 'r' ou 's', maiúsculas ou minúsculas.

PROPOSIÇOES SIMPLES OU BÁSICAS: São as proposições que expressam apenas um pensamento.

Ex.: Guarapari tem lindas praias. Ex.: José passou no concurso.

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: São as proposições que expressam mais de um pensamento. As proposições compostas costumam ser chamadas de fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. Ex.: José passou no concurso e Guarapari tem lindas praias.

Nas provas de concursos quando uma questão perguntar sobre a quantidade de proposições, está implícito que se trata da quantidade de proposições simples (pensamentos completos). Uma proposição simples corresponde a um pensamento completo. As proposições simples e compostas também são chamadas respectivamente de átomos e moléculas.

QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS

JULGUE OS ITENS: . 1 (CESPE) A frase “Você sabe que horas são?” é uma proposição.

2 (CESPE) A frase “Se o mercúrio é mais leve que a água, então o planeta Terra é azul”, não é considerada uma proposição composta.

3 (CESPE) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em 1980. (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.

4 (CESPE) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. “A frase dentro destas aspas é uma mentira.” A expressão X + Y é positiva.

O valor de .√4 +3=7 Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto? 5 (CESPE) Na lista de frases a seguir, há exatamente 2 proposições. I Esta frase é falsa. II O TCE/AC tem como função fiscalizar o orçamento do estado do Acre. III Quantos são os conselheiros do TCE/AC?

6 (CESPE) É correto concluir que as três frases seguintes são proposições. I No ano de 2002, os brasileiros usuários da Internet gastavam, mensalmente, em média, 10 horas e 11 minutos navegando na rede. II Em quantos anos a média mensal de tempo de uso da Internet no Brasil saltou de 8 horas para 21 horas e 40 minutos? III Se, em 2006, o tempo médio mensal online dos brasileiros era de 21 horas e 20 minutos, então essa média aumentou em mais de 20 minutos em 2007.

7 (CESPE) A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma proposição simples.

8 (CESPE) Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos.

9 (CESPE) A proposição “Ninguém ensina a ninguém” é um exemplo de sentença aberta.

10 (CESPE) A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção.

11 (CESPE) Considere a seguinte lista de sentenças: I Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? II O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. III As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y.

IV O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma proposição.

12 (CESPE) Considere a seguinte lista de frases: 1 Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. 2 Qual é o horário do filme? 3 O Brasil é pentacampeão de futebol. 4 Que belas flores! 5 Marlene não é atriz e Djanira é pintora. Nessa lista, há exatamente 4 proposições.

Texto para os itens 13 à 15 Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade. Tendo como referência as quatro frases acima, julgue o itens seguintes. 13 (CESPE/STF) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. 14 (CESPE/STF) A segunda frase é uma proposição lógica simples. 15 (CESPE/STF) A terceira frase é uma proposição lógica composta. 16 (CESPE/STF) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos.

17 (CESPE) Na lista de afirmações abaixo, há exatamente 3 proposições. • Mariana mora em Piúma. • Em Vila Velha, visite o Convento da Penha. • A expressão algébrica x + y é positiva. • Se Joana é economista, então ela não entende de políticas públicas. • A SEGER oferece 220 vagas em concurso público.

18 (CESPE) A frase “Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?” não pode ser considerada uma proposição.

19 (CESPEJ) Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições. A: 12 é menor que 6. B: Para qual time você torce? C: x + 3 > 10. D: Existe vida após a morte.

20 (CESPE /TCE–ES 2013) A sentença “A democracia é consequência de um anseio, de um desejo do homem por decidir seu próprio destino e buscar por felicidade à sua própria maneira” A) pode ser corretamente representada na forma P v Q, em que P e Q sejam proposições convenientemente escolhidas. B) não é uma proposição lógica. C) constitui uma proposição lógica simples. D) pode ser corretamente representada na forma P → Q, em que P e Q sejam proposições convenientemente escolhidas. E) pode ser corretamente representada na forma P→[Q^R], em que P, Q e R sejam proposições convenientemente escolhidas.

Fundamentação Teórica LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL Símbolo

Significado

Símbolo

Significado

~

Não



Pertence

/\

E



Não pertence

V

Ou



União



se ..., então...



intersecção



se e somente se



Contém

|

tal que



Está contido



Implica

=

Igual



Equivalente



Diferente



existe, algum



qualquer que seja, todo

∃|

existe um e somente um



Menor ou igual que



Maior ou igual que



congruente

>

Maior que

<

Menor que

Conectivos

Símbolos

Significados

CONJUNÇÃO

/\

“e “ / “mas”

DISJUNÇÃO INCLUSIVA

V

“ou”

Operadores

DISJUNÇÃO EXCLUSIVA

V



“ou...ou...”

CONDICIONAL



“Se...então..”/ “Quando”

BICONDICIONAL



“ Se , e somente se”

A “ordem de precedência” para os conectivos é: ↔ depois de → depois de( ∨ ou ∧ ou V ) depois de ~

Sendo assim, o elemento mais “fraco” é ~ e o mais “forte” é o ↔.

QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS

Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S: P: Nesse país o direito é respeitado. Q: O país é próspero. R: O cidadão se sente seguro. S: Todos os trabalhadores têm emprego. Considere também que os símbolos “∨”, “∧”, “→” e “¬” representem os conectivos lógicos “ou”, “e”, “se ... então” e “não”, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 21 (CESPE/STF) A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” pode ser representada simbolicamente por P∧ (¬R).

22 (CESPE/STF) A proposição “Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego” pode ser representada simbolicamente por Q→S.

23 (CESPE/STF) A proposição “O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma conseqüência de, nesse país, o direito ser respeitado” pode ser representada simbolicamente por (Q∧R) →P.

Suponha que P represente a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens seguintes.

24(CESPE) A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por ¬ P → (¬R ∧ ¬Q).

25 (CESPE) A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ∧ ¬ Q.

Considere que P, Q, R e S representem proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam “não”, “e”, “ou” e “então”, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor — verdadeiro (V) ou falso (F). Considere, ainda, que P, Q, R e S representem as sentenças listadas abaixo. P: O homem precisa de limites. Q: A justiça deve ser severa. R: A repressão ao crime é importante. S: A liberdade é fundamental. Com base nessas informações, julgue os itens.

26 (CESPE) A sentença “A liberdade é fundamental , mas o homem precisa de limites”, pode ser corretamente representada por P ∧ ¬S.

27 (CESPE) A sentença “A repressão ao crime é importante, se a justiça deve ser severa”. Pode ser corretamente representada por R → Q.

28 (CESPE) A sentença “Se a justiça não deve ser severa nem a liberdade fundamental, então a repressão ao crime não é importante”, pode ser corretamente representada por (¬Q) ∧ (¬S) → ¬R.

29 (CESPE) A sentença “Ou o homem não precisa de limites e a repressão ao crime não é importante, ou a justiça deve ser severa”, pode ser corretamente representada por ((¬P) ∧ (¬R)) ∨ Q.

30 (CESPE) A sentença “Se a justiça deve ser severa, então o homem precisa de limites” pode se corretamente representada por Q → P.

31 (CESPE/TSE) Na análise de um argumento, pode-se evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita

das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e que “∧”, “∨”, “¬” e “→” sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente “e”, “ou”, “negação” e o “conector condicional”. Considere também a proposição a seguir. Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado. Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal, assumindo que: P= “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”, Q= “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”, R= “ ele sempre leva um guarda-chuva” e S= “ele sempre leva dinheiro trocado”. a) b) c) d)

P → (Q ∨ R) (P→Q) ∨ R (P ∨ Q) → (R ∧ S) P ∨ (Q → (R ∧ S)).

Texto para os itens Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

Considere as sentenças abaixo. I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. II Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. III Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. IV Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. V Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam. Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.

.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. 32 (CESPE) A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬T). 33 (CESPE) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ (¬ R). 34 (CESPE) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P. 35 (CESPE) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P. 36 (CESPE) A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ∧ (¬ P)).

37 (CESPE) Considere as seguintes proposições: p: Pedro é rico; q: Pedro é forte; r: É falso que Pedro é pobre ou forte. Nesse caso, a proposição r pode ser escrita na forma simbólica como r: ¬ (¬p ∨ q).

38 (CESPE) A proposição “Tanto João não é norte-americano como Lucas não é brasileiro, se Alberto é francês” poderia ser representada por uma expressão do tipo P→ [(¬Q) ∧ (¬R)].

39 (CESPE)proposição “Se a vítima não estava ferida ou a arma foi encontrada, então o criminoso errou o alvo” fica corretamente simbolizada na forma (¬A)∨B →C.

Uma proposição pode ter valoração verdadeira (V) ou falsa (F). Os caracteres ¬, ∨ e ∧ que simbolizam “não”, “ou” e “e”, respectivamente, são usados para formar novas proposições. Por exemplo, se P e Q são proposições, então P∧Q, P∨Q e ¬P também são proposições. Considere as proposições seguir.

A: as despesas foram previstas no orçamento B: os gastos públicos aumentaram C: os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único

D: a lei é igual para todos. A partir dessas informações, julgue os itens subseqüentes.

40 (CESPE-2006) A proposição “Ou os gastos públicos aumentaram ou as despesas não foram previstas no orçamento” está corretamente simbolizada por (∨B)∨(¬A).

41 (CESPE) A∧(C∨(¬B)) simboliza corretamente a proposição “As despesas foram previstas no orçamento e, ou os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único ou os gastos públicos não aumentaram.”

42 (CESPE) A proposição “Não é verdade que os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único nem que os gastos públicos aumentaram” está corretamente simbolizada pela forma (¬C)∧(¬B). Texto para os itens de 1 a 4 Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V — ou falsas — F —, de forma que um julgamento exclui o outro, e são simbolizadas por letras maiúsculas, como P, Q, R etc. Novas proposições podem ser construídas usando-se símbolos especiais e parênteses. Uma expressão da forma P → Q é uma proposição cuja leitura é “se P então Q” e tem valor lógico F quando P é V e Q é F; caso contrário, é V. Uma expressão da forma P v Q é uma proposição que se lê: “P ou Q”, e é F quando P e Q são F; caso contrário, é V. Uma expressão da forma P ^ Q, que se lê “P e Q”, é V quando P e Q são V; caso contrário, é F. A forma ¬P simboliza a negação da proposição P e tem valores lógicos contrários a P. Um argumento lógico válido é uma sequência de proposições em que algumas são chamadas premissas e são verdadeiras por hipótese, e as demais são chamadas conclusões e são verdadeiras por consequência das premissas. Considerando que cada proposição lógica simples seja representada por uma letra maiúscula e utilizando os símbolos usuais para os conectivos lógicos, julgue os itens seguintes. 43 (TRT 21 RG CESPE -2010) - A sentença “Homens e mulheres, ou melhor, todos da raça humana são imprevisíveis” é representada corretamente pela expressão simbólica (P ^ Q) → R. 44 (TRT 21 RG CESPE -2010) A sentença “Trabalhar no TRT é o sonho de muitas pessoas e, quanto mais elas estudam, mais chances elas têm de alcançar esse objetivo” é representada corretamente pela expressão simbólica S ^ T. 45 (TRT 21 RG CESPE -2010) A sentença “Maria é mais bonita que Sílvia, pois Maria é Miss Universo e Sílvia é Miss Brasil” é representada corretamente pela expressão simbólica (P ^ Q) → R. 46(TRT 21 RG CESPE -2010) A sentença “Mais seis meses e logo virá o verão” é representada corretamente pela expressão simbólica P → Q.

Questões de concurso público

1 E 24 C

2 E 25 C

3 C 26 E

4 E 27 E

5 E 28 C

6 E 29 C

7 C 30 C

8 E 31 C

9 E 32 E

10 C 33 C

11 E 34 C

12 E 35 C

13 E 36 E

14 C 37 C

15 E 38 C

16 E 39 C

17 C 40 E

18 C 41 C

19 C 42 C

20 C 43 E

21 C 44 C

22 C 45 E

23 E 46 E

As três “Leis do Pensamento” ou Princípios Fundamentais da Lógica Proposicional Fundamentação Teórica VERDADES E MENTIRAS

Os que definiram a Lógica como a ciência. das leis do pensamento sustentaram, freqüentemente, que existem exatamente três leis fundamentais do pensamento, as quais são necessárias e suficientes para que o pensar se desenvolva de maneira "correta". Essas leis do pensamento receberam, tradicionalmente, os nomes de Princípio de Identidade, Princípio de Contradição (por vezes, Principio de Não-Contradição) e Princípio do Terceiro Excluído. Há formulações alternativas desses princípios, apropriadas a diferentes contextos. No nosso caso, as formulações apropriadas são as seguintes:

O Princípio de Identidade afirma .que se qualquer enunciado é verdadeiro, então ele é verdadeiro. ,

O Princípio da Não-contradição afirma que nenhum enunciado pode ser verdadeiro e falso.

O Princípio do Terceiro Excluído afirma que um enunciado ou é verdadeiro, ou é falso.

Experimentação e Contradição QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS

1) (FCC/TST/TÉCNICO/2012) Huguinho, Zezinho e Luizinho, três irmãos gêmeos, estavam brincando na casa de seu tio quando um deles quebrou seu vaso de estimação. Ao saber do ocorrido, o tio perguntou a cada um deles quem havia quebrado o vaso. Leia as respostas de cada um.

Huguinho → “Eu não quebrei o vaso!” Zezinho → “Foi o Luizinho quem quebrou o vaso!” Luizinho → “O Zezinho está mentindo!” Sabendo que somente um dos três falou a verdade, conclui-se que o sobrinho que quebrou o vaso e o que disse a verdade são, respectivamente, (A) Huguinho e Luizinho. (B) Huguinho e Zezinho. (C) Zezinho e Huguinho. (D) Luizinho e Zezinho. (E) Luizinho e Huguinho. 2) (ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: “Sou inocente” Celso: “Edu é o culpado.” Edu: “Tarso é o culpado” Juarez: “Armando disse a verdade” Tarso: “Celso mentiu”. Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: A)Armando B)Celso C)Edu D)Juarez E)Tarso

Um grupo de 4 jovens foi encontrado por um policial que passava pelo local e frente a um muro recémpichado. O policial, tentando encontrar o autor do vandalismo, pergunta: - Quem pichou o muro? Jorge, um dos jovens, responde: -Não fui eu. Eu estava apenas de passagem por aqui, assim, como o senhor. Marcelo responde e seguia, apontando para outro:

- Quem pichou o muro foi Marcos. Pedro defende o amigo: -Marcelo está mentindo. Marcos se manifesta, acusando outra pessoa: -Eu jamais picharia o muro, quem pichou foi Pedro. O policial percebe que apenas um deles mentiu.

3) ( FUNIVERSA/PAPILOSCOPISTA) Com base no texto VI, assinale a alternativa correta. a) Jorge mentiu b) Marcos mentiu c) Marcelo mentiu d) Pedro mentiu e) O diálogo e a dedução do policial são insuficientes para descobrir qual dos jovens mentiu.

4) ( FUNIVERSA/PAPILOSCOPISTA) Ainda com base no texto, assinale a alternativa correta. a) Jorge pichou o muro b) Marcos pichou o muro c) Marcelo pichou o muro d) Pedro pichou o muro e) O diálogo e a dedução do policial são insuficientes para descobrir qual dos jovens é o autor do vandalismo.

5) (CESPE-PF) Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes declarações. • A afirmou que C matou o líder. • B afirmou que D não matou o líder. • C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e, por isso, não tiveram participação no crime. • D disse que C não matou o líder.

Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em suas declarações, enquanto um deles falou a verdade, julgue os itens seguintes. 1 A declaração de C não pode ser verdadeira. 2 D matou o líder.

6) (CESPE) Considere que, em um pequeno grupo de pessoas — G — envolvidas em um acidente, haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se, do conjunto G, o indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos, então, nesse caso, é correto concluir que P e Q mentem.

7) (ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: – “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. – “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. – “Foi a Mara”, disse Manuel. – “O Mário está mentindo”, disse Mara. – “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi:

a) Mário

b) Marcos

c) Mara d) Manuel e) Maria

8) (ESAF) Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações: Nestor: "Marcos é casado com Teresa" Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina" Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra" Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente: a)Sandra, Teresa, Regina

b)Sandra, Regina, Teresa c)Regina, Sandra, Teresa d)Teresa, Regina, Sandra e) Teresa, Sandra, Regina

09) (ESAF) Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tias ou irmãs de Zilda. As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda, isto é: se uma é tia a outra é irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o número de irmãs de Zilda neste conjunto de cinco amigas é dado por: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10) (ESAF) Percival encontra-se à frente de três portas, numeradas de 1 a 3, cada uma das quais conduz a uma sala diferente. Em uma das salas encontra-se uma linda princesa; em outra, um valioso tesouro; finalmente, na outra, um feroz dragão. Em cada uma das portas encontra-se uma inscrição: Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está atrás da porta 2.” Porta 2: “Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro; mas cuidado: não entres na porta 3 pois atrás dela encontra-se um feroz dragão.” Porta 3: “Podes entrar sem medo pois atrás desta porta não há dragão algum.” Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as duas outras verdadeiras), Percival conclui, então, corretamente que atrás das portas 1, 2 e 3 encontram-se, respectivamente: a) o feroz dragão, o valioso tesouro, a linda princesa b) a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz dragão c) o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz dragão d) a linda princesa, o feroz dragão, o valioso tesouro e) o feroz dragão, a linda princesa, o valioso tesouro

11) (ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram os quatro primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa: Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo” Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro” Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto” Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, respectivamente: a) André, Caio, Beto, Dênis b) André, Caio, Dênis, Beto c) Beto, André, Dênis, Caio d) Beto, André, Caio, Dênis e) Caio, Beto, Dênis, André

12) (ESAF) Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: as que sempre falam a verdade e as que sempre mentem. Um explorador contrata um ilhéu chamado X para servir-lhe de intérprete. Ambos encontram outro ilhéu, chamado Y, e o explorador lhe pergunta se ele fala a verdade. Ele responde na sua língua e o intérprete diz – Ele disse que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos. Dessa situação é correto concluir que: a)Y fala a verdade. b)a resposta de Y foi NÃO. c)ambos falam a verdade. d)ambos mentem. e)X fala a verdade.

13) (ESAF) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentada no meio". A que está sentada no meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente, a que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente: a) Janete, Tânia e Angélica

b) Janete, Angélica e Tânia c) Angélica, Janete e Tânia d) Angélica, Tânia e Janete e) Tânia, Angélica e Janete 14) (ESAF/ANEEL) Três rapazes - Alaor, Marcelo e Celso - chegam a um estacionamento dirigindo carros de cores diferentes. Um dirigindo um carro amarelo, o outro um carro bege e o terceiro um carro verde. Chegando ao estacionamento, o manobrista perguntou quem era cada um deles. O que dirigia o carro amarelo respondeu: “Alaor é o que estava dirigindo o carro bege”. O que estava dirigindo o carro bege falou: “eu sou Marcelo”. E o que estava dirigindo o carro verde disse: “Celso é quem estava dirigindo o carro bege”. Como o manobrista sabia que Alaor sempre diz a verdade, que Marcelo às vezes diz a verdade e que Celso nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar quem era cada pessoa. As cores dos carros que Alaor e Celso dirigiam eram, respectivamente, iguais a:

a) amarelo e bege b) verde e amarelo c) verde e bege d) bege e amarelo e) amarelo e verde

15) (ESAF/AFC) Cinco aldeões foram trazidos à presença de um velho rei, acusados de haver roubado laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou tão baixo que o rei – que era um pouco surdo – não ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram: Bebelim: “Cebelim é inocente”. Cebelim: “Dedelim é inocente”. Dedelim: “Ebelim é culpado”. Ebelim: “Abelim é culpado”.

O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados, disse então ao rei: “Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado, e ele disse a verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram”. O velho rei, que embora um pouco surdo era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era:

A)Abelim B)Bebelim C)Cebelim D)Dedelim E)Ebelim

16) (ESAF) Três irmãs- Ana, Maria e Cláudia – foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra branco e a terceira preto. Chegando a festa, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “ Ana é a que está de branco”. A de branco falou: “Eu sou Maria”. E a de preto disse: “ Cláudia é quem está de branco”. Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria às vezes diz a verdade e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente que era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram, respectivamente: a) preto, branco e azul b) preto, azul e branco c) azul, preto e branco d) azul, branco e preto e) branco, azul e preto

17) (ESAF) Cinco moças, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, estão vestindo blusas vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as moças que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusa amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Por fim, Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. Desse modo, as cores das blusas de Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda são, respectivamente: a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela. b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela. c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela. d) vermelha, amarela, vermelha, amarela e amarela. e) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela.

18) ( CESPE) Considere que um delegado, quando foi interrogar Carlos e José, já sabia que, na quadrilha à qual estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre mentiam. Considere, ainda, que, no interrogatório, Carlos disse: José só fala a verdade, e José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos. Nesse caso, com base nessas declarações e na regra da contradição, seria correto o delegado concluir que Carlos e José mentiram. 19. (FCC/TRT2/TÉCNICO/2014) Em certo planeta de uma galáxia distante, existem apenas dois partidos, o BEM e o MAL. Quando são perguntados sobre qualquer assunto, os habitantes desse planeta sempre

respondem com uma única dentre as duas seguintes palavras: sim ou não. Porém, os integrantes do BEM sempre respondem a verdade, enquanto que os integrantes do MAL necessariamente mentem. Zip e seu irmão Zap são habitantes desse planeta, sendo o primeiro um integrante do BEM e o segundo do MAL. Dentre as perguntas a seguir, qual é a única que, se for feita tanto para Zip quanto para Zap, gerará respostas diferentes? (A) Você é mentiroso? (B) Você é o Zip? (C) Zip é mentiroso? (D) Seu irmão chama-se Zip? (E) Seu irmão é mentiroso? O casal Cássio e Cássia tem as seguintes peculiaridades: tudo o que Cássio diz às quartas, quintas e sextasfeiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ele nos outros dias da semana; tudo o que Cássia diz aos domingos, segundas e terças-feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ela nos outros dias da semana. A respeito das peculiaridades desse casal, julgue os itens subsecutivos. 20.(Cespe/MI/2013) Se, em certo dia, ambos disserem “Amanhã é meu dia de mentir”, então essa afirmação terá sido feita em uma terça-feira. Gabarito

1 A

2 E

3 C

4 D

5 CC

6 CC

7 C

8 D

9 D

10 E

11 B

12 E

13 B

14 C

15 C

16 A

17 E

18 C

19 C

20 C

TABELAS-VERDADE 01 - DISJUNÇÃO INCLUSIVA

A disjunção inclusiva é a proposição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “ou”.

P V V F F

Tabela Verdade Q PvQ V V F V V V F F

O operador “ou” tem o sentido de “um ou outro, possivelmente ambos”. O operador “ou” em operações de conjuntos dá idéia de União e uma idéia de Soma.

02- DISJUNÇÃO EXCLUSIVA Denomina-se disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “ou...ou...”

R V V F F

Tabela Verdade S RvS V F F V V V F F

O operador “ou...ou...” tem o sentido de “um ou outro e não ambos”.

O operador “ou..ou...” em operações de conjuntos dá idéia de União dos exclusivos e uma idéia da Soma dos exclusivos. Quando se utilizar o “ou” no sentido exclusivo é comum adicionar no final a expressão: “ mas não os dois “.

APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS

1) (ESAF) De três irmãos - José, Adriano e Caio. Sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se também que, ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente: A) Caio e José B) Caio e Adriano C) Adrianoe Caio D) Adrianoe José E) José e Adriano

Comentário : Aplicando mão da dica acima temos que todas as proposições “premissas” são verdadeiras , logo iremos valorá-las com “V” e aplicando a tabela verdade do conectivo utilizado na proposição iremos valorando as proposições simples que compõem as premissas P1e P2. P1: ou José é o mais velho

ou

Adriano é o mais moço

P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho .

 

V V

Para que os resultados das premissas (P1e P2) sejam verdadeiros temos que valorar as proposições simples sublinhadas de acordo com a tabela-verdade da disjunção exclusiva. Então teremos: F V P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço  V F V P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho .  V

Logo,

“ Conclusão (o mais velho é Caio e o mais moço é Adrinano ) ” 

V

III-CONJUNÇÃO Denomina-se conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo "e". Exemplo: T: José trabalha no Tribunal. (1º Conjuntivo) U: José mora em Brasília. (2º Conjuntivo)

I V V F F

Tabela Verdade E I /\ E V V F F V F F F

Concluindo... O operador “e” tem o sentido de “ ambos”, “simultaneidade”, “ao mesmo tempo” . O operador “e” em operações de conjuntos dá idéia de “Intersecção” e uma idéia de “multiplicação”. 01( FUNIVERSA) Os valores lógicos – verdadeiro e falso – podem constituir uma álgebra própria, conhecida como álgebra booleana. As operações com esses valores podem ser representadas em tabelas-verdade, como exemplificado abaixo: A

B

AeB

Falso

falso

falso

Falso

verdadeiro

falso

verdadeiro

falso

falso

verdadeiro verdadeiro verdadeiro As operações podem ter diversos níveis de complexidade e também diversas tabelas-verdade. Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta. I- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão então o valor lógico dessa expressão é falso.

( A e B e C), são, respectivamente, falso, falso e verdadeiro,

II- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão ( A ou B ou C), são, respectivamente, falso, verdadeiro e falso, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro.

III- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [ A e (B ou C)], são, respectivamente, falso, verdadeiro e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro. IV- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão falso, então o valor lógico dessa expressão é falso

[ A ou (B e C)], são, respectivamente, verdadeiro, falso e

a) Todas as afirmativas estão erradas. b) Há apenas uma afirmativa certa. c) Há apenas duas afirmativas certas. d) Há apenas três afirmativas certas. e) Todas as afirmativas estão certas. f) Comentário: Esta questão trata-se apenas da aplicação da tabela verdade. O item I - A ^B ^C ⇒ F ^F ^ V = F ( certo o item ) O item II – A v B v C ⇒ F v V v F = V ( certo o item ) O item III - [ A ^ (B V C)] ⇒ [ F ^ ( V v V )] = F ( errado o item ) O item IV – [ A ou (B e C)] ⇒ [ V v (F ^ F)] = V ( errado o item) RESPOSTA “C”

IV-CONDICIONAL Denomina-se condicional a proposição composta formada por duas proposições que estejam ligadas( operadas) pelo conectivo “Se..., então...”/ “Quando”. A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas idéias de natureza lógica que são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio. Por exemplo, a implicação lógica denotada por A → B pode ser interpretada como uma inclusão entre conjuntos, ou seja, como A ⊂ B, em que A é o conjunto cujos objetos cumprem a condição a, e b é o conjunto cujos objetos cumprem a condição b. A V V F F

B V F V F

A→B V F V V

Em uma proposição condicional não existe a possibilidade de termos a primeira verdadeira e a segunda falsa, então se sabemos que a primeira é verdadeira, a segunda, por dedução, deverá ser considerada verdadeira e se sabemos que a segunda é falsa a primeira deverá ser considerada falsa.

Note também que: se sabemos que a primeira é falsa, não temos como deduzir o valor-lógico da segunda, e, se sabemos que a segunda é verdadeira não temos como deduzir o valor-lógico da primeira. Veja: A

B

Antecedente

Conseqüente

Em uma proposição condicional temos as seguintes condições: X Antecedentes

Conseqüentes Y

X= Condicional suficiente Y= Condicional Necessária Ex:

Se o dia estiver claro, estão José vai ao comércio. Temos que: O dia estar claro é condição suficiente para José ir ao comércio. ou José ir ao comércio é condição necessária para o dia estar claro

O Operador “Se...então...” dá idéia de inclusão de dois conjuntos, em que, p→ q ⇒ p ⊂q Uma observação muito importante para o conectivo condicional é que o mesmo não pode (comutar) a tabela verdade ostra isto claramente nas linhas 2 e 3, em que os resultados são diferentes. V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Uma outra demonstração é por meio dos diagramas, onde temos: p → q



APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA 01) (ESAF) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: A) O jardim é florido e o gato mia; B) O jardim é florido e o gato não mia; C) O jardim não é florido e o gato mia; D) O jardim não é florido e o gato não mia; E) Se o passarinho canta então o gato não mia Comentário : Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras temos: V

V

P1: O jardim não é florido  O gato mia F

(V)

F

P2: O jardim é florido  o passarinho não canta

P3: O passarinho canta

(V)

(V)

Partindo da premissa p3 como (V) temos as seguintes valorações para as demais proposições simples, de acordo com a tabela verdade da condicional analisando as respostas: a) o jardim é florido e o gato mia. F /\ V = F b) o jardim é florido e o gato não mia. F /\ F = F c) o jardim não é florido e o gato mia. V /\ V = V d) o jardim não é florido e o gato não mia.

V /\ F = F e) Se o passarinho canta então o gato não mia. V→F=F Logo temos que a sentença “C” é verdadeira. Obs: você percebeu que tivemos que analisar cada uma das opções para encontrar o item verdadeiro.

V - BICONDICIONAL Denomina-se bicondicional a proposição composta formada por duas proposições que estejam ligadas pelo conectivo “se, e somente se”. Exemplo: A: Gosto de lógica. B: Gosto de matemática.

A proposição bi-condicional ‘A se, e somente se, B' pode ser escrita como: A↔ B: Gosto de lógica se, e somente se,Gosto de matemática. Quando declaramos que esta proposição bicondicional devemos de acordo com os axiomas da Lógica aceitar como verdadeiro que: Se é verdade que Gosto de lógica, obrigatoriamente, é verdade que Gosto de matemática. Se é verdade que gosto de matemática, obrigatoriamente, é verdade que Gosto de lógica. Se é falso que gosto de lógica, obrigatoriamente, é falso que gosto de matemática, e, se é falso que gosto de matemática, obrigatoriamente, é falso que gosto de lógica. Qualquer outra possibilidade representa um conjunto vazio. A tabela e o diagrama abaixo representam esta situação.

Tabela Verdade A V V F F

B V F V F

Quando temos:

A↔B V F F V

V F

Conclusão: Na proposição bi-condicional se a primeira das duas proposições simples que a compõem for verdadeira a segunda será verdadeira e se a primeira for falsa a segunda será falsa. Se a segunda for falsa a primeira será falsa e se a segunda for verdadeira a primeira será verdadeira. Veja:

V F

P→Q ⇒ P ⊂ Q e Q→P ⇒ Q ⊂ P

Logo P=Q ⇒ P↔Q

Uma aplicação deste conceito foi comentada na prova do TRF 1ª REGIÃO. Se todos nossos atos tem causas, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos nossos atos tem causas. Tomando como proposições: P1: Todos nossos atos tem causas. P2: Não há atos livres. P→Q → P↔Q “Todos nossos atos tem causas se e somente se não há atos livres.” Q→P P é condição necessária e suficiente para Q

Temos que observar que em muitas questões de concursos públicos os conectivos lógicos: condicional e bicondicional são expressões não em uma linguagem formal ( seu significado), mas por meio de condições impostas as proposições simples que compõem uma sentença composta. Vejamos nas questões abaixo:

APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS 01-(EPPGG - ESAF) Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Alexandre ir à Alemanha. Helena não ir à Holanda é condição suficiente para Carlos ir ao Canadá. Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para Carlos não ir ao Canadá. Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à Alemanha. Portanto: a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha. e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. Comentário : Primeiramente vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos a uma conclusão verdadeira. (F) (F) P1: Alexandre ir à Alemanha Carlos não ir ao Canadá (V) (V) (V) P2: Helena não ir à Holanda  Carlos ir ao Canadá (V) (F) (V)

P3: Carlos não ir ao Canadá Alexandre não ir à Alemanha(V) (F) (F) P4: Helena ir à Holanda  Alexandre ir à Alemanha (V) Logo partindo de que todas as premissas ( proposições ) são verdadeiras e utilizando as tabelasverdade valoramos as proposições simples. Analisando os itens propostos pela questão para se chegar a uma conclusão verdadeira, temos: a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. V ^ F ^ V = F ( errado ) b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. F ^ V ^V = F ( errado ) c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. V ^ V ^V = V ( certo ) d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha. F ^ F ^ F = F ( errado ) e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. F ^F ^ F = F ( errado ) Logo temos como item correto a letra C .

02 (ESAF/TÉCNICO) Sabe-se que Beto beber é condição necessária para Carmem cantar e condição suficiente para Denise dançar. Sabe-se, também, que Denise dançar é condição necessária e suficiente para Ana chorar. Assim, quando Carmem canta, a) b) c) d) e)

Denise não dança ou Ana não chora. nem Beto bebe nem Denise dança. Beto bebe e Ana chora. Beto não bebe ou Ana não chora Denise dança e Beto não bebe

Comentário : Primeiramente vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos a uma conclusão verdadeira. (V) (V) P1: Carmem cantar Beto beber (V) (V) (V) P2: Beto beber  Denise dançar (V) (V) (V) P3: Denise dançar ↔ Ana chorar (V) (V) P4: Carmem cantar (V) Logo partindo de que todas as premissas ( proposições ) são verdadeiras e utilizando as tabelasverdade valoramos as proposições simples. Analisando os itens propostos pela questão para se chegar a uma conclusão verdadeira, temos: (F) v (F) = (F) a) Denise não dança ou Ana não chora (F) ^ (F) =F

b) Nem Beto nem Denise dançam (V) ^ (V) = V c) Beto bebe e Ana chora (F) ^ (F) =F d) Beto não bebe e Ana não chora (V) ^ (F) =F e) Denise dança e Beto não bebe. Logo temos como item correto a letra C .

VI- NEGAÇÃO OU MODIFICADOR LÓGICO O 'não' é chamado de modificador lógico porque ao ser inserido em uma proposição muda seu valor lógico, ou seja, faz a negação da proposição. Quando formos representar a negação de uma proposição, vamos usar o sinal de til (~) ou (¬) antes da letra que representa a proposição Proposição p Reginaldo é trabalhador

Proposição ¬p Reginaldo não é trabalhador Não é verdade que Reginaldo é trabalhador É falso que Reginaldo é trabalhador

Se uma proposição p é verdadeira, então a sua negação, a proposição ¬p, é falsa. Veja: Se a proposição... A bola é pesada então a proposição... A bola não é pesada

tem valor lógico... verdadeiro tem valor lógico... Falso

Se uma proposição ¬p é verdadeira, então a sua negação, proposição p, é falsa.Veja: Se a proposição... Não quero. então a proposição... Quero.

tem valor lógico... verdadeiro tem valor lógico... Falso

Não quero, verdadeiro. Quero, falso Podemos representar as tabelas acima apenas por: p V F

~ p ou ¬ p F V

EXERCÍCIOS

01- (CESPE/TRT 21RG -2010) Se a expressão lógica envolvendo R e T for (R → T) ↔ R, a tabela-verdade correspondente será a seguinte.

02-(CESPE/TRT 21RG -2010) Se a expressão lógica envolvendo R e T for (R ^ T)v (¬ R), a tabela-verdade correspondente será a seguinte

03- (CESPE/STF-2008) Caso as colunas em branco na tabela abaixo sejam corretamente preenchidas, a última coluna dessa tabela corresponderá à expressão [P∧ (¬Q)] ∨ [Q→P].

04-(CESPE/STF) A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição (P∧R) →Q.

05- (CESPE/STF) A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição (¬P) ∨ (Q→R).

06- (CESPE/TSE) Um dos instrumentos mais importantes na avaliação da validade ou não de um argumento é a tabela-verdade. Considere que P e Q sejam proposições e que “∧”, “∨”, e “→” sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”, e o “conector condicional”. Então, o preenchimento correto da última coluna da tabela-verdade da proposição (P → Q) ∧ (P ∨ Q) é a) VVFF b) VFFV c) VFVF d) FVFV e) VVVV 07- ( CESPE/ TCE – ES 2013)

08-(TRT 17RG – ANALISTA -2013) Considerando a proposição P: “Se estiver sob pressão dos corruptores ou diante de uma oportunidade com baixo risco de ser punido, aquele funcionário público será leniente com a fraude ou dela participará”, julgue os itens seguintes relativos à lógica sentencial.

01-A tabela-verdade da proposição P contém mais de 10 linhas.

Nos termos da Lei n.º 8.666/1993, “É dispensável a realização de nova licitação quando não aparecerem interessados em licitação anterior e esta não puder ser repetida sem prejuízo para a administração”. Considerando apenas os aspectos desse mandamento atinentes à lógica e que ele seja cumprido se, e somente se, a proposição nele contida, — proposição P — for verdadeira, julgue os itens seguintes. 9-(Cespe-2013) O gestor que dispensar a realização de nova licitação pelos simples fato de não ter aparecido interessado em licitação anterior descumprirá a referida lei. Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; 10.(Cespe-2012) Se a proposição “Eu não sou traficante” for verdadeira, então a premissa 2 será uma proposição verdadeira, independentemente dos valores lógicos das demais proposições que a compõem.

(TRT 17RG- 2013) Considerando a proposição P: “Se estiver sob pressão dos corruptores ou diante de uma oportunidade com baixo risco de ser punido, aquele funcionário público será leniente com a fraude ou dela participará”, julgue os itens seguintes relativos à lógica sentencial. 11.( Cespe ) Se a proposição “Aquele funcionário público está diante de uma oportunidade com baixo risco de ser punido e participará da fraude” for verdadeira, então a proposição P também será verdadeira

GABARITO: 1 E

2 C

3 C

4 E

5 C

6 C

7 C

8 C

9 E

10 C

11 C

PARTE 02 Compreensão do processo lógico que a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas. – Diagramas Lógicos.

INFERÊNCIAS E DEDUÇÕES LÓGICAS É uma operação mental pela qual extraímos uma nova proposição denominada conclusão, de proposições já conhecidas, denominadas premissas P1: Proposição  Premissa (Hipótese) P2: Proposição  Premissa (Hipótese) P3: Proposição  Premissa (Hipótese) P4: Proposição  Premissa (Hipótese) P5: Proposição  Premissa (Hipótese) Pn: Proposição  Premissa (Hipótese) C: Proposição  Conclusão (Tese)

Regras de inferência 1. Modus Ponens A, AB

B

2. Generalização Universal A Teoremas Nos teoremas abaixo: - As premissas estão sempre à esquerda do sinal (Lê-se portanto); - Uma vírgula separa duas premissas - Rec. Significa teorema recíproco do apresentado na linha anterior. T1: A A T2: ~(~A) A REC: A ~(~A) T3: A, B A/\B T4: A AVB T5: A/\B A T6: AVB, ~A B T7: AB, BC AC T8: A, (AB) B

T9: (AVB), BC (AVC) T10: AB ~B~A REC: ~B~A AB T11: AB, (~AB) B T12: (A/\B)C A(BC) REC: A(BC) (A/\B)C T13: (A/\~B) (C/\~C) AB (Princípio a não-contradiçao) T14: A(BVC, ~B AC)

Nestes últimos concursos públicos temos observado que as bancas têm cobrado do candidato uma interpretação do que é uma inferência lógica, onde questões bem elaboradas fazem parte do processo seletivo. Sendo assim torna-se necessário entendermos que uma inferência lógica é constituída de premissas verdadeiras para se deduzir uma conclusão também verdadeira, uma vez que a lógica afirma: Se as premissas fornecem bases ou boas provas para a conclusão, se a afirmação da verdade das premissas garante afirmação da verdade da conclusão, então o raciocínio é correto.

DIAGRAMAS LÓGICOS

01- Particular afirmativo: Algum A é B públicos:

Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concursos - Ao menos um - Pelo menos um INTERSEÇÃO (A ∩ B) ≠ø - Existe Conjunto unitário - Alguém Relação de qualidade

Algum

A

é

B

Relação de quantidade

O conjunto interseção é formado pelos elementos que pertencem aos conjuntos A e B simultaneamente. (A ∩ B) = {x / x ∈ A e x ∈ B}

Simbologicamente: ∃ x (A(x) ^B(x))  ∃ x (B(x) ^A(x))

02- Universal Negativo: Nenhum A é B CONJUNTOS DISJUNTOS O termo “nenhum” pode ser substituído pela a palavra “não existe” nas provas de concursos públicos: A e B são disjuntos se A ∩ B = Ø.

Relação de qualidade

Nenhum

A

é

Conjunto vazio

B

Relação de quantidade

Simbologicamente: ¬ ∃ x (A(x) ^B(x))  ¬ ∃ x (B(x)^A(x))

03- Particular negativo: Algum A não é B

Algum

Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concursos públicos: - Ao menos um Relação de qualidade - Pelo menos um - Existe B C A = A - B = {x / x ∈ A e x ∉ B} Alguém A não é B COMPLEMENTAR

Relação de quantidade

Simbologicamente: ∃ X (A(X)^¬B(X))

04- Universal Afirmativo: Todo A é B

AUB=B A∩B=A INCLUSÃO DE CONJUNTOS (A C B)

Alguns termos que podem substituir a palavra “todo” nas provas de concursos públicos: - Para todo; - Qualquer que seja. Relação de qualidade

Todo

A é B

Relação de quantidade

U A

B AeB B-A

~A e ~B

Simbologicamente: OBS.: ∀x( A( x) → B ( x)) ≠ ∀x( B ( x) → A( x)) NÃO POSSUI A PROPRIEDADE COMUTATIVA.

NEGAÇÕES NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES CATEGORICAS Duas proposições categóricas distintas que tenham o mesmo sujeito e o mesmo predicado ou não poderão ser ambas verdadeiras ou não poderão ser ambas falsas, ou as duas coisas.

Dizemos que estarão sempre em oposição.

CONTRADITÓRIAS

Todo A é B

Algum A não é B

Algum A é B ↔ Nenhum A é B( Todo A não é B) Nega quantidade e qualidade

EXERCÍCIOS 1- Deduções e Inferências formadas em que as premissas são constituídas por conectivos lógicos:

01. (CESPE) Considere a seguinte seqüência de proposições: I Ou Penha não é linda ou Penha vencerá o concurso. II Penha não vencerá o concurso. III Penha não é linda. Nessa situação, a seqüência de proposições constitui um raciocínio lógico correto.

02. (CESPE) Considere a seguinte seqüência de proposições: I Ou Josélia é ótima estagiária ou Josélia tem salário baixo. II Josélia é ótima estagiária. III Josélia tem salário baixo. Nessa situação, essa seqüência constitui um raciocínio lógico correto. 03.(FCC/TRT19/TÉCNICO/2014) Considere verdadeiras as afirmações: I. Se Ana for nomeada para um novo cargo, então Marina permanecerá em seu posto. II. Marina não permanecerá em seu posto ou Juliana será promovida. III. Se Juliana for promovida então Beatriz fará o concurso. IV. Beatriz não fez o concurso. A partir dessas informações, pode-se concluir corretamente que (A) Beatriz foi nomeada para um novo cargo. (B) Marina permanecerá em seu posto. (C) Beatriz não será promovida. (D) Ana não foi nomeada para um novo cargo. (E) Juliana foi promovida. 04. (FCC/TRT16/TÉCNICO/2014) Ou como macarronada ou como arroz e feijão. Se estou com muita fome, então como arroz e feijão. Se não estou com muita fome, então como saladas. Hoje, na hora do almoço, não comi saladas. A partir dessas informações, pode-se concluir corretamente, que hoje, na hora do almoço,

(A) não estava com muita fome. (B) não comi arroz e feijão. (C) comi saladas no jantar. (D) comi arroz e feijão. (E) comi macarronada. 05. (CESPE/TRT-2008) Considere que são V as seguintes proposições: - “Se Joaquim é desembargador ou Joaquim é ministro, então Joaquim é bacharel em direito”; - “Joaquim é ministro”. Nessa situação, conclui-se que também é V a proposição A) Joaquim é bacharel em direito. B) Joaquim não é desembargador. C) Joaquim não é desembargador, mas é ministro. D) Se Joaquim é bacharel em direito então Joaquim é desembargador. E) Se Joaquim não é desembargador nem ministro, então Joaquim não é bacharel em direito. QUESTÃO 22 06. (CESPE/TRT-2008) Considere que todas as proposições listadas abaixo são V. I Existe uma mulher desembargadora ou existe uma mulher juíza. II Se existe uma mulher juíza então existe uma mulher que estabelece punições ou existe uma mulher que revoga prisões. III Não existe uma mulher que estabelece punições. IV Não existe uma mulher que revoga prisões. Nessa situação, é correto afirmar que, por conseqüência da veracidade das proposições acima, é também V a proposição A) Existe uma mulher juíza mas não existe uma mulher que estabelece punições. B) Existe uma mulher que estabelece punições mas não revoga prisões. C) Existe uma mulher que não é desembargadora. D) Se não existe uma mulher que estabelece punições então existe uma mulher que revoga prisões. E) Não existe uma mulher juíza.

O cenário político de uma pequena cidade tem sido movimentado por denúncias a respeito da existência de um esquema de compra de votos dos vereadores. A dúvida quanto a esse esquema persiste em três pontos, correspondentes às proposições P, Q e R, abaixo: P: O vereador Vitor não participou do esquema ; Q: O prefeito Pérsio sabia do esquema; R: O chefe de gabinete do prefeito foi o mentor do esquema. Os trabalhos de investigação de uma CPI da câmara municipal conduziram às premissas P1, P2 e P3 seguintes: P1: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o prefeito Pérsio não sabia do esquema. P2: Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema , ou o prefeito Persio sabia do esquema, mas não ambos. P3: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas. 07.( Cespe/TRE/RJ /2012)

- Das premissas P1, P2 e P3, é correto afirmar que “O chefe de gabinete foi o

mentor do esquema ou o vereador Vitor participou do esquema”. 08.( Cespe/TRE/RJ /2012) 09.( Cespe/TRE/RJ /2012)

A premissa P2 pode ser corretamente representada por RVQ. A partir das premissas P1, P2 e P3, é correto inferir que o prefeito Pérsio não

sabia do esquema. 10. (FUNDAÇÃO UNIVERSA) Pedro namora ou trabalha; lê ou não namora; rema ou não trabalha. Sabendo-se que Pedro não rema, é correto concluir que ele: (A) trabalha e namora. (B) não namora e lê. (C) não lê e trabalha. (D) não trabalha e não lê. (E) lê e namora. 11. (ESAF) Ana é artista ou Carlos é compositor. Se Mauro gosta de música, então Flávia não é fotógrafa. Se Flávia não é fotógrafa, então Carlos não é compositor. Ana não é artista e Daniela não fuma, Pode-se, então, concluir corretamente que: a)Ana não é artista e Carlos não é compositor. b)Carlos é compositor e Flávia é fotógrafa. c)Mauro gosta de música e Daniela não fuma d)Ana não é artista e Mauro gosta de música. e) Mauro não gosta de música e Flávia não é fotógrafa

12. (CESPE-2008) Considere como verdadeira a seguinte proposição (hipótese): “Joana mora em Guarapari ou Joana nasceu em Iconha.” Então concluir que a proposição “Joana mora em Guarapari” é verdadeira constitui um raciocínio lógico correto.

13. (CESPE-2008) Se a proposição “A cidade de Vitória não fica em uma ilha e no estado do Espírito Santo são produzidas orquídeas” for considerada verdadeira por hipótese, então a proposição “A cidade de Vitória não fica em uma ilha” tem de ser considerada verdadeira, isto é, o raciocínio lógico formado por essas duas proposições é correto. 14. (ESAF) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: I. Se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; II. Ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; III. O mordomo não é inocente. Logo: A) A governanta e o mordomo são os culpados. B) Cozinheiro e o mordomo são os culpados. C) Somente a governanta é culpada. D) Somente o cozinheiro é inocente. E) Somente o mordomo é culpado.

O exercício da atividade policial exige preparo técnico adequado ao enfrentamento de situações de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes, incluindo interpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições seguintes. P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões. P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. Com base nessas proposições, julgue os itens a seguir.

15.(Cespe/PCCE/2012) A partir das proposições P2 e P4, é correto inferir que “O policial que tenha tido treinamento adequado e tenha se dedicado nos estudos não toma decisões ruins” é uma proposição verdadeira. 16.(Cespe/PCCE/2012) Da proposição P3 é correto concluir que também será verdadeira a proposição “O policial que tenha tido treinamento adequado não se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, mesmo estando em situações de estresse”.

A esse respeito, um ex-síndico formulou as seguintes proposições: — Se o síndico troca de carro ou reforma seu apartamento, dizem que ele usou dinheiro do condomínio em benefício próprio. (P1) — Se dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio, ele fica com fama de desonesto. (P2) — Logo, se você quiser manter sua fama de honesto, não queira ser síndico. (P3) Com referência às proposições P1, P2 e P3 acima, julgue os itens a seguir. 17.(Cespe/SERPRO/2013) Considerando que P1 e P2 sejam as premissas de um argumento de que P3 seja a conclusão, é correto afirmar que, do ponto de vista lógico, o texto acima constitui um argumento válido. 18.(Cespe/SERPRO/2013) A partir das premissas P1 e P2 , é correto concluir que a proposição “Se o síndico ficou com fama de desonesto, então ele trocou de carro” é verdadeira. 19.(Cespe/SERPRO/2013) Se a proposição “Dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio” for falsa, então, independentemente do valor lógico da proposição “O síndico fica com fama de desonesto”, a premissa P2 será verdadeira. Ao comentar a respeito da qualidade dos serviços prestados por uma empresa, um cliente fez as seguintes afirmações: P1: Se for bom e rápido, não será barato. P2: Se for bom e barato, não será rápido. P3: Se for rápido e barato, não será bom. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 20.(Cespe/MI/2013) Um argumento que tenha P1 e P2 como premissas e P3 como conclusão será um argumento válido. Considere que as seguintes proposições sejam verdadeiras. I Se o dólar subir, as exportações aumentarão ou as importações diminuirão.

II Se as exportações aumentarem e as importações diminuírem, a inflação aumentará. III Se o BACEN aumentar a taxa de juros, a inflação diminuirá. Com base apenas nessas proposições, julgue os itens a seguir. 21. (Cespe/ BACEN /2013) Se o BACEN aumentar a taxa de juros, então as exportações não aumentarão ou as importações não diminuirão. 22. (Cespe/ BACEN /2013)

Se o dólar subir, então a inflação diminuirá.

23. (Cespe/ BACEN /2013) Suponha que o aumento da taxa de juros diminua o consumo, e o decréscimo do consumo diminua as importações. Nessa situação, é possível que juros e exportações aumentem na mesma época.

2- Deduções e Inferências formadas em que as premissas são constituídas por diagramas lógicos:

Em determinado estabelecimento penitenciário, todos os detentos considerados perigosos são revistados diariamente, e todos os detentos que cometeram crimes utilizando armas são considerados perigosos. Com base nessa informação, julgue os itens seguintes.

24.( Cespe -2013)

Se um detento cometeu um assalto à mão armada, então ele é revistado diariamente.

25.( Cespe -2013)

Somente os detentos perigosos serão revistados diariamente.

26.( Cespe- 2013) A negação da proposição “Todos os detentos considerados perigosos são revistados diariamente” é equivalente à proposição “Nenhum detento perigoso é revistado diariamente”. 27.( Cespe- 2013) Sabendo-se que um detento não cometeu crime estando armado, é correto afirmar que, seguramente, ele não será revistado. 28.( Cespe -2013) Sabendo-se que um detento é considerado perigoso é correto afirmar que ele cometeu crime à mão armada.

29. (CESPE-2008) Considere as seguintes proposições: I Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o direito de herança. II Joaquina não tem garantido o direito de herança. III Todos aqueles que têm direito de herança são cidadãos de muita sorte. Supondo que todas essas proposições sejam verdadeiras, é correto concluir logicamente que

1 Joaquina não é cidadã brasileira. 2 todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros. 3 se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte. 30. (ANPAD) Considere as seguintes proposições: I

Todo artista é simpático.

II

Todo político não é simpático. Pode-se afirmar que:

A)Alguns artistas são políticos. B)Algumas pessoas simpáticas são políticos. C)Nenhum artista é simpático D)Nenhum artista é político E)Nenhuma pessoa simpática é artista.

31.(FCC/TST/ANALISTA/2012) A declaração abaixo foi feita pelo gerente de recursos humanos da empresa X durante uma feira de recrutamento em uma faculdade: “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês.” Mais tarde, consultando seus arquivos, o diretor percebeu que havia se enganado em sua declaração. Dessa forma, conclui-se que, necessariamente, (A) dentre todos os funcionários da empresa X, há um grupo que não possui plano de saúde. (B) o funcionário com o maior salário da empresa X ganha, no máximo, R$ 3.000,00 por mês. (C) um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês. (D) nenhum funcionário da empresa X tem plano de saúde ou todos ganham até R$ 3.000,00 por mês. (E) alguns funcionários da empresa X não têm plano de saúde e ganham, no máximo, R$ 3.000,00 por mês.

32. (FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:

a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

33. (ESAF) Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente,

a) todo responsável é artista b) todo responsável é filósofo ou poeta c)) todo artista é responsável d) algum filósofo é poeta e) algum trabalhador é filósofo

34. (CESPE-2008) Considere as seguintes frases. I Todos os empregados da PETROBRAS são ricos. II Os cariocas são alegres. III Marcelo é empregado da PETROBRAS. IV Nenhum indivíduo alegre é rico.

Admitindo que as quatro frases acima sejam verdadeiras e considerando suas implicações, julgue os itens que se seguem. 1 Nenhum indivíduo rico é alegre, mas os cariocas, apesar de não serem ricos, são alegres. 2 Marcelo não é carioca, mas é um indivíduo rico. 3 Existe pelo menos um empregado da PETROBRAS que é carioca. 4 Alguns cariocas são ricos, são empregados da PETROBRAS e são alegres.

35. Julgue os itens

1-(CESPE-2008) Considerando que P seja a proposição “ Todo jogador de futebol será craque algum dia”, então a proposição ¬p é corretamente enunciada como “Nenhum jogador de futebol será craque sempre”.

2-.( Cespe/ DEPEN /2013) A proposição [(P^Q) R] v R é uma tautologia, ou seja, ela é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de P, Q e R. 36. (FCC) Considere que S seja a sentença: “todo político é filiado a algum partido”. A sentença equivalente á negação da sentença S acima é: a) b) c) d)

Nenhum político é filiado a algum partido. Nenhum político não é filiado a qualquer partido. Pelo menos um político é filiado a algum partido. Pelo menos um político não é filiado a qualquer partido.

37. (TRT) A correta negação da proposição “Todos os cargos deste concurso são de analista judiciário” é: a) b) c) d) e)

Alguns cargos deste concurso são de analista judiciário. Existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. Existem cargos deste concurso que são de analista judiciário. Nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. Os cargos deste concurso são ou de analista, ou de judiciário.

38. (ANPAD) A negação da proposição “Todos os homens são bons motoristas”é: a) b) c) d) e)

Todas as mulheres são boas motoristas. Algumas mulheres são boas motoristas. Nenhum homem é bom motorista. Todos os homens são maus motoristas. Ao menos um homem é mau motorista.

39. Dizer que a afirmação “Todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) b) c) d) e)

Pelo menos um economista não é médico. Nenhum economista é médico. Nenhum médico é economista. Pelo menos um médico não é economista. Todos os não médicos são não economistas.

40. A negação da afirmativa “Todo tricolor é fanático” é: a) b) c) d) e)

Existem tricolores não fanáticos Nenhum tricolor é fanático Nem todo fanático é tricolor Nenhum fanático é tricolor Existe pelo menos um fanático que é tricolor

41.(FCC/TRT16/ANALISTA/2014) Se nenhum XILACO é COLIXA, então (A) todo XILACO é COLIXA. (B) é verdadeiro que algum XILACO é COLIXA.

(C) alguns COLIXA são XILACO. (D) é falso que algum XILACO é COLIXA. (E) todo COLIXA é XILACO.

42. (ESAF) Fábio, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Fábio seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) b) c) d) e)

No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

43. (ANPAD) negação da sentença “Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola” é: a) b) c) d) e)

Todas as pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola. Todas as pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola. Algumas pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola. Algumas pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola. Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola.

44. (ESAF) Se não é verdade que “alguma professora universitária não dá aulas interessantes”, portanto é verdade que: a) b) c) d) e)

Todas as professoras universitárias dão aulas interessantes. Nenhuma professora universitária dá aulas interessantes. Nenhuma aula interessante é dada por alguma professora universitária. Nem todas as professoras universitárias dão aulas interessantes. Todas as aulas não interessantes são dadas por professoras universitárias.

45. (CESPE) tautologia. S. f. 1. Vício de linguagem que consiste em dizer, por formas diversas, sempre a mesma coisa: “A gramática usual é uma série de círculos viciosos, uma tautologia infinita.” (João Ribeiro, Cartas Devolvidas, p. 45). 2. Filos. Proposição que tem por sujeito e predicado um mesmo conceito, expresso ou não pelo mesmo termo. 3. Filos. Erro lógico que consiste em aparentemente demonstrar uma tese repetindo-a com palavras diferentes. Novo Dicionário Aurélio da Língua Portuguesa. Rio de Janeiro: Nova Fronteira. 4. Na linguagem da lógica proposicional, denomina-se tautologia a toda fórmula α (nessa linguagem) para a qual toda valoração verdadeira ou falsa dada a seus símbolos proposicionais resulta que α é verdadeira. Considerando as acepções listadas acima, julgue, em cada item seguir, se a proposição apresentada é uma tautologia de acordo com a acepção que a precede. 1- Acepção 2: O sal é salgado. 2- Acepção 2: Todo indivíduo gordo ingere mais alimentos do que necessita.

3- Acepção 3: Para provar que 0 < 1, suponha que 1 > 0; como isso é claramente verdade, conclui-se que 0 < 1. 4- Acepção 4: Se 7% dos candidatos inscritos no concurso público do Senado Federal concorrem a vagas para o cargo de Consultor de Orçamentos e 93% concorrem para Consultor Legislativo, então a maioria dos candidatos no concurso público do Senado Federal concorre para o cargo de Consultor Legislativo.

46. (CESPE 2008- SEBRAE) Os conectivos e, ou, não e o condicional se... então são, simbolicamente, representados por ^, v, ¬ e , respectivamente. As letras maiúsculas do alfabeto, como P, Q e R, representam proposições. As indicações V e F são usadas para valores lógicos verdadeiro e falso, respectivamente, das proposições. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 1.A proposição [(P→Q) ∧ (Q→R)] → (P→R) é uma tautologia.

GABARITO:

1

2

3

4

5

6

C 2 4 C

E 2 5 E

D 2 6 E

D 2 7 E

A 2 8 E

E 29 CE E

7

8

3 0 D

E 3 1 C

9 3 2 B

1 0 E 3 3 C

11 B 34 CCE E

1 2 E 3 5 E E

1 3 C 3 6 D

1 4 B 3 7 B

1 5 E 3 8 E

1 6 E 3 9 A

1 7 E 4 0 A

1 8 C 4 1 D

1 9 C 4 2 C

2 0 C 4 3 C

2 1 C 4 4 A

22 E 45 cec c

2 3 E 4 6 C

PARTE 03 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

Duas proposições, uma é negação da outra quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados das tabelas-verdade são contrários.

AFIRMAÇÃO NEGAÇÃO

A V V F F

B V F V F

A/\B V F F F

AVB V V V F

AB V F V V

A ↔B V F F V

¬A F F V V

¬B F V F V

¬AV¬B F V V V

¬A/\¬B F F F V

A/\¬B F V F F

(A/\¬B)V(B/\¬A) F V V F

De acordo com as tabelas-verdade temos o seguinte: Afirmação P/\Q Ex: O réu é culpado e a testemunha mente PVQ Ex: Bárbara come ou dorme P Q Ex: Se molhar então vai desmanchar P↔Q Ex: Eu te darei um carro, se e somente se eu ficar rico

Negação ¬PV¬Q Ex: O réu não é culpado ou a testemunha não mente ¬P/\¬Q Ex: Bárbara não come e não dorme P/\¬Q Ex: Vai molhar e não vai desmanchar (P/\¬Q)V(Q/\¬P) Ex; Eu fico rico e não te dou um carro ou eu não fico rico e te dou um apartamento

NEGAÇÃO DE UMA SENTENÇA AFIRMAÇÃO

NEGAÇÃO

X>A

X≤A

X<A

X≥A

X=A

X≠A

APLICAÇÃO: QUESTAO DE CONCURSO COMENTADA

1.(UnB/CESPE-ANALISTA) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes. ( ) A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”. Comentário A negação da sentença “2+5 = 9” é” 2+5 ≠ 9”, sendo assim temos que o item está errado.

Momento de Treinamento 01. (FCC/TRT16/TÉCNICO/2014) Não gosto de ficar em casa e vou ao cinema todos os dias. Do ponto de vista lógico, uma afirmação que corresponde a uma negação dessa afirmação é: (A) Não gosto de sair de casa e não vou ao cinema todos os dias. (B) Vou ao cinema todos os dias e gosto de ficar em casa. (C) Não vou ao cinema todos os dias ou não gosto de ficar em casa. (D) Se não gosto de ficar em casa, então vou ao cinema todos os dias. (E) Gosto de ficar em casa ou não vou ao cinema todos os dias. 02. (FCC/TRT19/TÉCNICO/2014) Considere a seguinte afirmação: Se José estuda com persistência, então ele faz uma boa prova e fica satisfeito. Uma afirmação que é a negação da afirmação acima é (A) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova e ele não fica satisfeito. (B) José não estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou fica satisfeito. (C) José estuda com persistência ou ele faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. (D) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. (E) Se José fica satisfeito então ele fez uma boa prova e estudou com persistência. 03. (FUNCAB-2013) A negação de “Arthur ou Paulo são agentes administrativos e Mauro mora em Brasília” é: A) Arthur e Paulo não são agentes administrativos e Mauro mora em Brasília. B) Arthur e Paulo não são agentes administrativos ou Mauro mora em Brasília. C) Arthur e Paulo não são agentes administrativos ou Mauro não mora em Brasília. D) Arthur ou Paulo não são agentes administrativos e Mauro não mora em Brasília. E) Arthur ou Paulo não são agentes administrativos ou Mauro não mora em Brasília. Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; 04. (Cespe/2012) A proposição correspondente à negação da premissa 2 é logicamente equivalente a “Como eu não sou traficante, não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi”.

05. (Cespe/2012) A negação da proposição “Ocorre falha técnica na chamada ou a operadora interrompe a chamada de forma proposital” é corretamente expressa por “Não ocorre falha técnica na chamada nem a operadora interrompe a chamada de forma proposital”. P1: A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por ligações é quatro vezes superior à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos. 06. (Cespe/2012) A negação de P1 é corretamente expressa por “A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por ligações é quatro vezes inferior à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos”. 07.(Cespe/2013) A negação da proposição “A licitação anterior não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” está corretamente expressa por “A licitação anterior somente poderá ser repetida com prejuízo para a administração”. 08.(Cespe/2013) A negação da proposição “Não apareceram interessados na licitação anterior e ela não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” está corretamente expressa por “Apareceram interessados na licitação anterior ou ela pode ser repetida sem prejuízo para a administração”. F4 – havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue à mulher de Gavião. 09.(Cespe /2010) A negação da proposição F4 é logicamente equivalente à proposição “Não havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro não foi entregue à mulher de Gavião”. — Mário, você não vai tirar férias este ano de novo? Você trabalha demais! — Ah, João, aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias. Considerando o diálogo acima, julgue os itens seguintes, tendo como referência a declaração de Mário. 10.(Cespe /2013) A negação da declaração de Mário pode ser corretamente expressa pela seguinte proposição: “Aquele que não trabalha com o que não gosta não está sempre de férias”. 11.(Cespe/SERPRO/2013) A negação da proposição “O síndico troca de carro ou reforma seu apartamento” pode ser corretamente expressa por “O síndico não troca de carro nem reforma seu apartamento”.

Ao comentar a respeito da qualidade dos serviços prestados poruma empresa, um cliente fez as seguintes afirmações: P1: Se for bom e rápido, não será barato. P2: Se for bom e barato, não será rápido.

P3: Se for rápido e barato, não será bom. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 12.(Cespe/2013) Se P3 for falsa, então o serviço prestado é bom, é rápido e é barato.

Ao comentar a respeito da instabilidade cambial de determinado país, um jornalista fez a seguinte colocação: “Ou cai o ministro da Fazenda, ou cai o dólar”. Acerca desse comentário, que constitui uma disjunção exclusiva, julgue o item seguinte.

13.(Cespe/2013) A negação da colocação do jornalista é equivalente a “Cai o ministro da Fazenda se, e somente se, cai o dólar”.

14. (TRT 17RG – ANALISTA -2013) A negação da proposição “Aquele funcionário público será leniente com a fraude ou dela participará” pode ser expressa por “Aquele funcionário público não será leniente com a fraude nem dela participará”.

15.( Cespe/TRE/RJ /2012) A negação da proposição “Se eu não registrar minha candidatura dentro do prazo, também não poderei concorrer a nenhum cargo” estará corretamente expressa por “Se eu registrar minha candidatura dentro do prazo, então poderei concorrer a algum cargo”.

16.(FCC/TRT2/ANALISTA/2014) Durante um comício de sua campanha para o Governo do Estado, um candidato fez a seguinte afirmação: “Se eu for eleito, vou asfaltar 2.000 quilômetros de estradas e construir mais de 5.000 casas populares em nosso Estado.” Considerando que, após algum tempo, a afirmação revelou-se falsa, pode-se concluir que, necessariamente, (A) o candidato não foi eleito e não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas no Estado. (B) o candidato não foi eleito, mas foram construídas mais de 5.000 casas populares no Estado. (C) o candidato foi eleito, mas não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas no Estado. (D) o candidato foi eleito e foram construídas mais de 5.000 casas populares no Estado. (E) não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas ou não foram construídas mais de 5.000 casas populares no Estado.

GABARITO:

1 E

2 D

3 C

4

5

6 E

7 E

8 C

9

10

11

12

13

14

15

16

PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES Duas proposições são ditas equivalentes quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados das tabelas-verdade são idênticos. A B

LEIS DE EQUIVALENCIAS LÓGICAS:

A) LEIS ASSOCIATIVAS 1) (A /\ B) /\ C A /\ (B /\ C) 2) (A v B) v C A v (B V C)

DEMONSTRAÇÃO: (A /\ B) /\ C A /\ (B /\ C) A V V V V F F F F

B V V F F V V F F

C V F V F V F V F

(A/\B) V V F F F F F F

(A/\B) /\C V F F F F F F F

B/\C V F F F V F F F

A/\(B/\C) V F F F F F F F

Exemplo B) LEIS DISTRIBUTIVAS 3) A /\ (B V C)  (A /\ B) V (A /\ C) 4) A v (B /\ C)  (A v B) /\ (A v C)

DEMONSTRAÇÃO: A /\ (B V C)  (A /\ B) V (A /\ C) A V V V V F F F F

B V V F F V V F F

C V F V F V F V F

BVC V V V F V V V F

A/\(BVC) V V V F F F F F

A/\B V V F F F F F F

A/\C V F V F F F F F

(A/\B)V(A/\C) V V V F F F F F

Exemplo : C) LEI DA DUPLA NEGAÇÃO 5) ~(~A) A DEMONSTRAÇÃO: ~(~A) A A V F

~A F V

~(~A) V F

Exemplo : PROPOSIÇÕES

PROPOSIÇÕES EQUIVALENTES

Não é verdade que o Prof. Josimar Padilha não é brasiliense

O Prof. Josimar Padilha é brasiliense

D) EQUIVALÊNCIA DA CONDICIONAL 6) ( A → B  ~A v B) / ( A → B ~B → ~A ) I ) A → B  ~A v B DEMONSTRAÇÃO: A → B  ~A v B A B ~A A→B ~A vB V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições A → B e ~A v B são proposições logicamente equivalentes, isto é: A→ B  ~A v B II) A → B ~B → ~A ( TEOREMA DA CONTRA-RECÍPROCO OU CONTRA-POSITIVA)

DEMONSTRAÇÃO: A → B ~B → ~A A B ~A ~B A→B ~B→~A V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V

As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo são proposições logicamente equivalentes, isto é: A→ B  ~B→ ~A Essa relação é chamada de teorema contra recíproco.

Exemplos: Dizer que: Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. É logicamente equivalente a dizer que: Se Beatriz não briga com. Bia, então Beraldo não briga com Beatriz.

Uma relação existente entre as equivalências condicionais é dada pela inferência que se tem por meio da intersecção das sentenças A→ B  ~A v B e A→ B  ~B →~A , em que podemos concluir: A v B  ~A→ B ou A v B  B →A.

Observe a tabela abaixo:

A V V F F

B V F V F

~A F F V V

~B F V F V

AvB V V V F

~A→B V V V F

~B→A V V V F

As três últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições A V B, ~A → B e ~B→ A são proposições logicamente equivalentes, isto é: A V B  ~A → B, A V B  ~B→ A, ~A → B  ~B→A. Exemplos: PROPOSIÇÃO

PROPOSIÇÃO EQUIVALENTE

Se Enny tomar remédio, ela vai ficar boa.

Enny não toma remédio ou fica boa

Clara anda ou corre

Se Clara não anda, então Clara corre.

E) LEI DE AUGUSTUS DE MORGAN 7) ~(A /\ B)  (~A) V (~B) / ~(A v B)  (~A) /\ (~B)

I) ~(A /\ B)  (~A) V (~B) DEMONSTRAÇÃO: ~(A /\ B)  (~A) V (~B)

A V V F F

B V F V F

A /\ B V F F F

~(A /\ B ) F V V V

~A F F V V

~B F V F V

(~A) V (~B) F V V V

As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições ~(A /\ B) e ( ~A ) V (~ B ) são proposições logicamente equivalentes, isto é: ~(A /\ B)  ~A V ~ B .

II) ~(A v B)  (~A) /\ (~B)

A V V F F

DEMONSTRAÇÃO: ~(A /\ B)  (~A) V (~B) B AVB ~(A V B ) ~A ~B (~A) /\ (~B) V V F F F F F V F F V F V V F V F F F F V V V V

As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições ~(A V B) e ( ~A ) /\ (~ B ) são proposições logicamente equivalentes, isto é: ~(A V B)  ~A /\ ~B .

F) EQUIVALÊNCIA DA BICONDICIONAL 8) [(AB) /\ (BA)]  [AB]

DEMONSTRAÇÃO A V V F F

B V F V F

AB V F V V

BA V V F V

(AB) /\ (BA) V F F V

A B V F F V

As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições [(AB) /\ (BA)] e [AB] G) EQUIVALÊNCIA COMUTATIVA : Como já visto antes, ao estudarmos as tabelas-verdade, foi comentado que os conectivos: conjuntivo, disjuntivo, disjuntivo exclusivo e bicondicional possuem a propriedade comutativa, isto é, ao trocarmos a ordem das proposições simples, os resultados das tabelas-verdade permanecem idênticos. Com relação ao conectivo condicional não ocorre o mesmo, uma vez que os resultados de suas tabelasverdade não serão os mesmos, resumindo temos que o conectivo condicional não possui a propriedade comutativa. (A) /\ (B) (B) /\ (A) (A) V (B) (B) V (A)

COMUTAM

NÃO COMUTA

(A ) ↔ (B) (B) ↔ (A)

(A)  (B)

 (B)  (A)

(A) v (B)  (B) v (A)

Nas últimas provas de concursos públicos temos visto a importância das equivalências lógicas, aparecendo com maior freqüência. As leis são cobradas, mas torna-se interessante identificar quando duas proposições são equivalentes. Então para isto, torna-se necessário construir as tabelas-verdade possibilitando uma a análise concreta.

APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS 01. (CESPE 2008 SEBRAE ANALISTA) Os conectivos e, ou, não e o condicional se... então são, simbolicamente, representados por ^, V, ¬ e , respectivamente. As letras maiúsculas do alfabeto, como P, Q e R, representam proposições. As indicações V e F são usadas para valores lógico verdadeiro e falso, respectivamente, das proposições. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 1. A proposição ¬(P^Q) é equivalente à proposição (¬P)V(¬Q).

Comentário: A proposição composta: ¬(P^Q) “não é verdade que P e Q“ , ao aplicar a Lei de De Morgan temos : (¬P)V(¬Q). As suas tabelas verdades são idênticas. “ O item está correto.

02.( CESPE) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A→B, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬A, lida como “não A”, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A∧B, lida como “A e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F. Uma expressão da forma A∨B, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem. 1 Uma expressão da forma ¬ (A∧¬B) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A→B. Comentário: Se uma questão afirmar ou perguntar sobre proposições que possuem as mesmas valorações, está implícito que se trata de uma equivalência lógica, o que no caso podemos ganhar tempo aplicando uma das leis. A proposição composta: ¬ (A∧¬B) “não é verdade que A e não B”, ao aplicar a Lei de De Morgan temos :(¬A)V(B), logo pela Lei Condicional [ A → B (¬A)V(B)] , “As suas tabelas verdades são idênticas.” O item está correto.

03) (ESAF/TÉCNICO-2006) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo,

a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar. Comentário: Dada a proposição temos: Elaine não ensaia 

Elisa não estuda.

O antecedente (Elaine não ensaia) é condição suficiente para o conseqüente (Elisa não estuda). O conseqüente (Elisa não estuda) é condição necessária o antecedente (Elaine não ensaia). Segundo os itens da questão não temos nenhum que esteja de acordo com o comentário acima realizado. O que fazer? Percebemos que as respostas propostas pela ESAF não satisfazem a proposição: Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Sendo assim podemos concluir que não foi utilizada esta proposição, mas outra e logo iremos lançar mãos dos nossos conhecimentos quanto a equivalências lógicas, pois utilizaremos uma proposição logicamente equivalente a dada pelo enunciado da questão. Como sabemos que segundo a lei condicional temos duas equivalências, qual a indicada: A contrapositiva, umas vez que a mesma possuem condições o que neste caso exige a questão. Aplicando a lei condicional: Elaine não ensaia  Elisa não estuda.  Elisa estuda  Elaine ensaia Agora sim, temos que: I - Elisa estudar é condição suficiente para Elaine ensaiar. II- Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar A resposta correta é a letra E

04) (ESAF) Uma sentença logicamente equivalente a “ Se Ana é bela, então Carina é feia” é: a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia. b) c) d) e)

Ana é bela ou Carina não é feia. Se Carina é feia, Ana é bela. Ana é bela ou Carina é feia. Se Carina não é feia, então Ana não é bela.

Comentário: Dada a proposição temos: Ana é bela  Carina é feia Segundo a lei condicional temos duas equivalências: I - Se Carina não é feia, então Ana não é bela. II – Ana não é bela ou Carina é feia.

Assim temos:

A resposta correta é a letra E

EXERCÍCIOS 1. (CESPE/TRT) Com base nas informações do texto I, é correto afirmar que, para todos os possíveis valores lógicos, V ou F, que podem ser atribuídos a P e a Q, uma proposição simbolizada por ¬[P→ (¬Q)] possui os mesmos valores lógicos que a proposição simbolizada por A) (¬P) V Q. B) (¬Q) →P. C) ¬[(¬P) ∧ (¬Q)]. D) ¬[¬(P→Q)]. E) P∧Q. 2. (CESPE/TRT) Proposições compostas são denominadas equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos V ou F, para todas as possíveis valorações V ou F atribuídas às proposições simples que as compõem. Assinale a opção correspondente à proposição equivalente a “¬[[A∧ (¬B)] →C]”. A) [(¬A) ∧B] → (¬C) B) A∧ (¬B) ∧ (¬C) C) (¬A) V (¬B) V C D) C→ [A∧ (¬B)] E ) (¬A) V B V C

P3: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema. 03.( Cespe/TRE/RJ /2012)

A premissa P3 é logicamente equivalente à proposição “O vereador Vitor

participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema”. 04. (FGV ) Suponha que “Se X=1, então Y>7”. Assinale a conclusão correta. a) b) c) d) e)

Se X ≠ 1 , então Y<7 Se X ≠ 1 , então Y ≤ 7 Se Y>7, então X=1 Se Y ≤ 7 , então X ≠ 1 Se Y=7, então X=1

05. (FCC/TST/TÉCNICO/2012) A Seguradora Sossego veiculou uma propaganda cujo slogan era: “Sempre que o cliente precisar, terá Sossego ao seu lado.” Considerando que o slogan seja verdadeiro, conclui-se que, necessariamente, se o cliente

(A) não precisar, então não terá Sossego ao seu lado. (B) não precisar, então terá Sossego ao seu lado. (C) não tiver Sossego ao seu lado, então não precisou. (D) tiver Sossego ao seu lado, então não precisou. (E) tiver Sossego ao seu lado, então precisou.

Considerando a proposição P: “Se estiver sob pressão dos corruptores ou diante de uma oportunidade com baixo risco de ser punido, aquele funcionário público será leniente com a fraude ou dela participará”, julgue os itens seguintes relativos à lógica sentencial. 06. (TRT 17RG – ANALISTA -2013) A proposição P é equivalente a “Se aquele funcionário público foi leniente com a fraude ou dela participou, então esteve sob pressão dos corruptores ou diante de uma oportunidade com baixo risco de ser punido”. P3: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema. 07.( Cespe/TER/RJ /2012)

A premissa P3 é logicamente equivalente à proposição “O vereador Vitor

participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema”. 08.(Cespe/2012) A proposição “Se estou há 7 anos na faculdade e não tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades, então não tenho um mínimo de maturidade” é equivalente a “Se eu tenho um mínimo de maturidade, então não estou há 7 anos na faculdade e tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades”.

09. (TRT) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista: “Se os juros bancários são altos então a inflação é baixa”. Uma proposição logicamente equivalente à do economista é: a) b) c) d) e)

Se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos. Se a inflação é alta, então os juros bancários são altos. Se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa. Os juros bancários são baixos e a inflação é baixa. Ou os juros bancários, ou a inflação é baixa.

10. (UM-SP) Duas grandezas x e y são tais que “Se x = 3, então y = 7”. Pode-se concluir que: a) b) c) d) e)

Se x ≠ 3, então y ≠ 7 Se y = 7, então x = 3 Se y ≠ 7, então x ≠ 3 Se x = 5, então y = 5 Nenhuma das conclusões acima é válida

11.(Cespe/PRF/2012) A proposição “Se não ajo como um homem da minha idade, sou tratado como criança, e se não tenho um mínimo de maturidade, sou tratado como criança” é equivalente a “Se não ajo como um homem da minha idade ou não tenho um mínimo de maturidade, sou tratado como criança”.

12. (CESPE/SENADO) O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que: Se n for um número natural diferente de 1, então n pode ser decomposto como um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores. Julgue se cada um dos itens subseqüentes reescreve, de modo correto e equivalente, o enunciado acima. 1 É condição suficiente que n seja um número natural para que n possa ser decomposto como um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores. 2 É condição necessária que n seja um número natural para que n possa ser decomposto como um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores. 3 Se n não possuir decomposição como um produto de fatores primos, que seja única, a menos da ordem dos fatores, então n não é um número natural diferente de 1. 4 Ou n não é um número natural diferente de 1, ou n tem uma decomposição como um produto de fatores primos, que é única, a menos da ordem dos fatores. 5 n é um número natural diferente de 1 se puder ser decomposto como um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.

13.(CESPE/SENADO) A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas idéias de natureza lógica que são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio. Por exemplo, a implicação lógica denotada por p → q pode ser interpretada como uma inclusão entre conjuntos, ou seja, como P ⊂ Q, em que P é o conjunto cujos objetos cumprem a condição p, e Q é o conjunto cujos objetos cumprem a condição q. Com o auxílio do texto acima, julgue se a proposição apresentada em cada item a seguir é equivalente à sentença abaixo. Se um indivíduo está inscrito no concurso do Senado Federal, então ele pode ter acesso às provas desse concurso.

1 Se um indivíduo não pode ter acesso às provas do concurso do Senado Federal, então ele não está inscrito nesse concurso. 2 O conjunto de indivíduos que não podem ter acesso às provas do concurso do Senado Federal e que estão inscritos nesse concurso é vazio. 3 Se um indivíduo pode ter acesso às provas do concurso do Senado Federal, então ele está inscrito nesse concurso. 4 conjunto de indivíduos que podem ter acesso às provas do concurso do Senado Federal é igual ao conjunto de indivíduos que estão inscritos nesse concurso.

5 O conjunto de indivíduos que estão inscritos no concurso do Senado Federal ou que podem ter acesso às provas desse concurso está contido neste último conjunto.

Nos termos da Lei n.º 8.666/1993, “É dispensável a realização de nova licitação quando não aparecerem interessados em licitação anterior e esta não puder ser repetida sem prejuízo para a administração”. Considerando apenas os aspectos desse mandamento atinentes à lógica e que ele seja cumprido se, e somente se, a proposição nele contida, — proposição P — for verdadeira. 14. (Cespe/2013) A proposição P é equivalente a “Se não apareceram interessados em licitação anterior e esta não puder ser repetida sem prejuízo para a administração, então é dispensável na realização de nova licitação” Ao comentar a respeito da qualidade dos serviços prestados poruma empresa, um cliente fez as seguintes afirmações: P1: Se for bom e rápido, não será barato. P2: Se for bom e barato, não será rápido. P3: Se for rápido e barato, não será bom. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 15.(Cespe/2013) A proposição P1 é logicamente equivalente a “Se o serviço for barato, não será bom nem será rápido”. 16.(Cespe/2013) A proposição P2 é logicamente equivalente a “Ou o serviço é bom e barato, ou é rápido”.

GABARITO: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

PARTE 04

11

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15

16

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS UNIÃO OU REUNIÃO

Identificaremos uma união entre dois conjuntos quando tivermos o termo “OU”.

Consideremos os dois conjuntos:

A = {b, l, o, g, i, e} e B = {b, v, i, l, c, h, e}

Podemos pensar em um novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão, esse novo conjunto é: C = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

O conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, em que os elementos repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A ∪ B. Com esta notação tem-se: A ∪ B = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

Esse exemplo sugere-nos a seguinte definição geral para a reunião de conjuntos.

Conceito: dados dois conjuntos quaisquer, A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos: Exemplos: {1; 2} ∪ {3; 4} = {1; 2; 3; 4}

A ∪ B = {X ∈ U | X ∈ A ou X ∈ B}

{n, e, w, t, o, n} ∪ {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}

A definição acima nos diz que se um elemento x pertencer a A ∪ B, é equivalente dizer que uma das

proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato decorre que: A⊂A∪B e B⊂A∪B

Propriedades da União Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades: 1. Idempotência: A ∪ A = A. A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A.

2. Comutativa: A ∪ B = B ∪ A.

3. Elemento Neutro: Ø ∪ A = A ∪ Ø = A. O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos. 4. Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). INTERSECÇÃO

Identificaremos uma intersecção entre dois conjuntos quando tivermos os termos “e”, “simultaneamente” e “ao mesmo tempo”.

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Josimar para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Enny Giuliana para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2008. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim, somos levados a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral: Conceito: sejam A e B dois conjuntos quaisquer, chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:

Exemplos: {1, 2} ∩ {3, 4} = Ø

A ∩ B = {X ∈ U| X ∈ A e X ∈ B}

{n, e, w, t, o, n} ∩ {h, o, r, t, a} = {o, t}

Da definição de intersecção resulta que: (∀X ∈ U) X ∈ A ∩ B ⇒ X ∈ A (∀X ∈ U) X ∈ A ∩ B ⇒ X ∈ B

Os fatos nos dizem que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja: A∩B⊂A A∩B⊂B

Propriedades da Intersecção Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades: 1. Idempotência: A ∩ A = A 2. Comutativa: A ∩ B = B ∩ A

3. Elemento Neutro: o conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos: A ∩ U = A 4. Associativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.

Propriedades da União e Intersecção Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes propriedades que inter-relacionam a

união e intersecção de conjuntos: 1. A ∪ (A ∩ B) = A 2. A ∩ (A ∪ B) = A

3. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 4. A ∩ (B U C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

DIFERENÇA

Identificaremos uma diferença entre dois conjuntos quando tivermos os termos “apenas”, “somente” e “exclusivamente”, ligados ao conjunto.

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Josimar para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Enny Giuliana para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2008. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Josimar mas não votaram em Enny Giuliana. Isto nos leva ao conjunto dos elementos que pertencem a A que não são elementos que pertencem a B.

Conceito: sejam A e B dois conjuntos quaisquer, chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Exemplos: {a, b, c} – {a, c, d, e, f} = {b} {a, b} – {e, f, g, h, i} = {a, b} {a, b} – {a, b, c, d, e} = Ø

A – B = {X ∈ U | X ∈ A e X ∉ B}

Temos, a seguir, uma interpretação concreta por meio do diagrama de Euler-Venn em que a diferença corresponde à parte branca de A.

COMPLEMENTAR DE B EM A

Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A – B, e indicamos como: C BA= A= A − B

Exemplos: A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b}. Complementar: A – B = {c, d, e, f} A = B = {1}. Complementar: A – B = Ø

Verificamos que no diagrama exposto temos o conjunto B em relação a A definido como: (B está contido em A). Propriedades da Complementação Sendo B e C subconjuntos de A, valem as propriedades a seguir: B A ∅ e C BA ∪ B = 1. C A ∩ B =

A A ∅ e C∅A = 2. C A = B

C 3. C AA = B

(B∧C) B C 4. C A = C A ∪ C A (B∨C) B C 5. C A = C A ∩ C A

INTERVALOS

Abordaremos agora o conceito de intervalo na reta real R, ou seja, dos subconjuntos de R que satisfazem à seguinte propriedade: Se a e b pertencem a A ⊂ R, a ≤ b, então para todo c tal que a ≤ c ≤ b, então c pertence a A. Podemos representar da seguinte maneira:

A = {c ∈ R | a ≤ c ≤ b}

Os intervalos podem ser classificados: I – Características topológicas: abertos, fechados e semiabertos (fechados ou abertos à esquerda ou à direita).

II – Características métricas: comprimento nulo, finito não nulo ou infinito.

Notação Utilizam os colchetes – “[” e “]” – para indicar que um dos limites do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou, também, os colchetes invertidos – “]” e “[” – para indicar o contrário. Assim, por exemplo, dados x e y números reais, com x ≤ y, o intervalo W = (x, y] = ]x, y] representa o conjunto dos a ∈ R, tal que x < a ≤ y. Note que x não faz parte do intervalo. Tipos de Intervalos Dados t e z números reais, com t ≤ z, s pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como: a) Intervalo fechado de comprimento finito k = z – t: [t, z] = {s ∈ R | t ≤ s ≤ z}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito k = z – t: [t, z[ = [t, z) = {s ∈ R | t ≤ s < z}

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito k = z – t: (t, z] = ]t, z] = {s ∈ R | t < s ≤ z}

d) Intervalo aberto de comprimento finito k = z – t:

]t, z[ = (t, z) = {s ∈ R | t < s < z}

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:

]-∞, z[ = (-∞, z) = {s ∈ R | s < z}

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:

]-∞, z] = (-∞, z] = {s ∈ R |s ≤ z}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:

[t,+ ∞) = [t, + ∞[ = {s ∈ R | t ≤ s}

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:

]t, + ∞[ = (t, + ∞) = {s ∈ R | s > t}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞, + ∞[ = (-∞, + ∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo: Como o comprimento é nulo e o intervalo é fechado, então t = z e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {t}, isto é, a um ponto da reta real.

Representação Gráfica Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos (elemento) extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto (elemento) extremo pertence ao intervalo.

União e Intersecção de Intervalos Sendo intervalos conjuntos é natural que as operações mencionadas anteriormente possam ser efetuadas. E, é importante para resolução de questões de concursos públicos. A forma mais prática de realizar essas operações é por meio da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vejamos um exemplo: Sejam X = [–1, 6] = {x ∈ R | –1 ≤ x ≤ 6} e Y = (1, + ∞) = {x ∈ R | x > 1} dois intervalos e vamos

determinar X ∪ Y e X ∈ Y.

X ∩ Y = {x ∈ R | 1 < x ≤ 6} e X ∪ Y = {x ∈ R | –1 ≤ x}

QUESTÕES COMENTADAS 1. (Esaf) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X ∩ Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y – X é igual a: a) 4. b) 6. c) 8. d) vazio. e) 1.

Comentário Nessa questão são dados dois conjuntos não vazios, ou seja, possuem elementos, mas é fornecida a quantidade de subconjuntos de cada conjunto, em que deveremos encontrar o número de elementos da seguinte maneira: Para o conjunto X temos que:

P(X) = 64, sendo P(X) = 2n. Logo,

2n = 64, fatorando o número 64 temos que 64 = 26 2n = 26

n = 6 (o número de elementos do conjunto n(X) = 6)

Para o conjunto Y temos que: P(Y) = 256, sendo P(Y) = 2n. Logo, 2n = 256, fatorando o número 256 temos que 256 = 28 2n = 28

n = 8 (o número de elementos do conjunto n(Y) = 8) Para o conjunto Z, segundo o enunciado, temos: Z = X ∩ Y possui 2 elementos(n(Z) = 2). Logo, observe o diagrama.

Após construirmos os diagramas e suas respectivas operações, temos que a questão solicita o número de elementos do conjunto P = Y – X. Sendo assim, trata-se da diferença entre os conjuntos Y e X, em que devemos selecionar os elementos pertencentes a Y mas não pertencentes a X.

De acordo com o diagrama, temos que P = Y – X = 6 elementos. Resposta: b

2. (Cespe) Para preencher vagas disponíveis, o departamento de pessoal de uma empresa aplicou um teste em 44 candidatos, solicitando, entre outras informações, que o candidato respondesse se já havia trabalhado I – em setor de montagem eletromecânica de equipamentos; II – em setor de conserto de tubulações urbanas; III – em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão. Analisados os testes, o departamento concluiu que todos os candidatos tinham experiência em pelo menos um dos setores citados acima e que tinham respondido afirmativamente • 28 pessoas à alternativa I. • 4 pessoas somente à alternativa I. • 1 pessoa somente à alternativa III. • 21 pessoas às alternativas I e II. • 11 pessoas às alternativas II e III. • 13 pessoas às alternativas I e III.

Com base nas informações acima, assinale a opção incorreta. a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores. b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas. c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações. d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de subestações. e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubulações urbanas e de ampliações e reformas de subestações.

Comentário Nesta questão são dados três conjuntos: I – em setor de montagem eletromecânica de equipamentos; II – em setor de conserto de tubulações urbanas; III – em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão. A questão deixa claro que todos têm experiência em pelo menos um dos setores citados, logo não existem elementos do lado de fora. De outro lado temos candidatos que possuem experiências nos três setores. Sendo assim, construiremos o diagrama para melhor interpretação.

Vamos agora preencher o diagrama referente ao setor de montagem: O setor de montagem possui 28 candidatos com experiência.

Ao analisar o diagrama, temos que 4 candidatos têm experiência apenas no setor de montagem, logo, podemos inferir que no espaços (X + Y + Z) que estão hachuradas, sobraram (28 – 4) = 24 candidatos. De acordo com os valores dados de 21 candidatos nos setores (I e II) e 13 candidatos nos setores (I e III), se somarmos, temos: 21 + 13 = 34, mas a quantidade real das áreas pintadas é igual 24, logo, temos 10 candidatos a mais. O que passa da realidade encontra-se na interseção, pois é na interseção que os elementos são contados mais de uma vez, logo, temos 10 candidatos com experiências nos três setores (Y = 10).

Segundo os valores encontrados, podemos agora preencher de forma completa o diagrama para julgar os itens, não esquecendo de que o total de candidatos, ou seja, a soma dos números abaixo deve totalizar 44 candidatos.

Com base nas informações adquiridas, assinale a opção incorreta. a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores. (o item está de acordo) b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas. (o item está de acordo) c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações. (o item está de acordo) d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de

subestações. (o item está incorreto, pois temos 3 candidatos) e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubulações urbanas e de ampliações e reformas de subestações. (o item está de acordo) Resposta: d

3. (Cespe – adaptada) No curso de línguas Esperanto, os 180 alunos estudam Inglês, Espanhol ou Grego. Sabese que 60 alunos estudam Espanhol e que 40 estudam somente Inglês e Espanhol. Com base nessa situação, julgue os itens que se seguem. a) Se 40 alunos estudam somente Grego, então mais de 90 alunos estudam somente Inglês. b) Se os alunos que estudam Grego estudam também Espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando Inglês do que Espanhol. c) Se os 60 alunos que estudam Grego estudam também Inglês e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando somente Inglês do que Espanhol. Analisando a questão, temos que: – 180 alunos estudam Inglês, Espanhol ou Grego, e representaremos da seguinte maneira (I ∪ E ∪ G); – 60 estudam Espanhol (E = 60); – 40 estudam somente Inglês e Espanhol ((I ∩ E) – G).

Comentário a) Se 40 alunos estudam somente Grego, então mais de 90 alunos estudam somente Inglês. Se 40 alunos estudam somente Grego, então mais de 90 alunos estudam somente Inglês.

Vimos que as duas áreas pintadas totalizam 100 alunos, o que resta 80 para preencher os espaços em branco, supondo que a interseção de somente Inglês e Grego fosse igual a zero, ou seja, não tivesse nenhum aluno, mesmo assim, não teríamos 90 alunos que estudam apenas Inglês. O item está errado.

b) Se os alunos que estudam Grego estudam também Espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando Inglês do que Espanhol.

De acordo com o diagrama acima o item está certo.

c) Se os 60 alunos que estudam Grego estudam também Inglês e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando somente Inglês do que Espanhol.

Resposta: O terceiro item está errado.

4. (Esaf) Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de aprovação popular a três diferentes propostas de políticas governamentais para redução da criminalidade. As propostas (referidas como “A”,

“B” e “C”) não eram mutuamente excludentes, de modo que o entrevistado poderia declarar-se ou contra todas elas, ou a favor de apenas uma, ou a favor de apenas duas, ou a favor de todas as três. Dos entrevistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas. Ainda do total dos entrevistados, 50% declararam-se favoráveis à proposta A, 30% à proposta B e 20% à proposta C. Sabe-se, ainda, que 5% do total dos entrevistados declararam-se favoráveis a todas as três propostas. Assim, a percentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis a mais de uma das três propostas foi igual a: a) 17%. b) 5%. c) 10%. d) 12%. e) 22%. Comentário

Resposta: d + e + f + 5% = 17%

Aproveitando a questão para uma análise mais profunda e melhor entendimento, fiz umas inferências que poderiam ser perguntas da banca.

5. (Funiversa) Em um grupo de 200 profissionais da área de saúde de determinado estado brasileiro, apenas 50 têm olhos verdes, apenas 100 são servidores públicos e apenas 83 residem na capital desse estado. Assinale a alternativa que apresenta o número máximo desses profissionais que podem, simultaneamente, ter olhos verdes, ser servidores públicos e residir na capital do estados. a) 16. b) 17.

c) 33. d) 50. e) 83.

Comentário No primeiro comentário, a resolução é trivial, uma vez que a banca não exime a possibilidade de uma inclusão entre os conjuntos. Se a banca tivesse realizado tal restrição, a questão se tornaria mais interessante. Não há restrição a que o conjunto “olhos verdes” esteja contido no conjunto “residentes na capital” nem que esse esteja contido no conjunto “servidores públicos”. Então, de fato, é possível que até 50 profissionais pertençam simultaneamente aos três conjuntos.

Sendo assim, a quantidade máxima desses profissionais é 50.

Obs.: se a questão formulada pela Funiversa tivesse dito que não havia uma inclusão entre os conjuntos, ou seja, deixasse claro tal situação, esta seria resolvida da maneira abaixo. É importante ressaltar que no gabarito preliminar da referida prova, a resposta está de acordo com a resolução a seguir.

Resposta: a

Em uma página da Polícia Federal, na Internet, é possível denunciar crimes contra os direitos humanos. Esses crimes incluem o tráfico de pessoas – aliciamento de homens, mulheres e crianças para exploração sexual – e a pornografia infantil – envolvimento de menores de 18 anos de idade em atividades sexuais explícitas, reais ou simuladas, ou exibição dos órgãos genitais do menor para fins sexuais. Com referência a essa situação hipotética e considerando que, após a análise de 100 denúncias, tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia infantil; outras 30 não se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relação a 60 dessas denúncias, havia apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes, acerca dessas 100 denúncias analisadas. 6. (Cespe/Polícia Federal/2012) Dez denúncias foram classificadas apenas como crime de tráfico de pessoas.

Comentário Tomando como TP = tráfico de pessoas e PI = pornografia infantil, para responder à questão vamos construir o seguinte diagrama:

Pelo diagrama, podemos inferir que são 10 denúncias.

Resposta: C

7. (Cespe/Polícia Federal/2012) Os crimes de tráfico de pessoas foram mais denunciados que os de pornografia infantil. Comentário Tomando como TP = tráfico de pessoas e PI = pornografia infantil, para responder à questão vamos construir o seguinte diagrama:

Pelo diagrama anterior, podemos inferir que TP < PI.

Resposta: E

8. (Cespe/MDIC/2014) Em um grupo de 2.000 empresas, 1/9 das que encerraram as atividades este ano foram abertas em anos anteriores, 1/10 das que foram abertas em anos anteriores encerraram as atividades este ano e 200 empresas não encerraram as atividades este ano e não foram abertas em anos anteriores. Com base nessas informações, julgue os próximos itens. a) O número de empresas que foram abertas em anos anteriores é superior ao número de empresas que

encerraram as atividades este ano. b) O número de empresas que encerraram as atividades este ano e que foram abertas em anos anteriores é superior a 110. c) Do grupo de 2.000 empresas, metade foi aberta em anos anteriores.

Comentário: Temos uma questão de conjuntos devido à presença de elementos que pertencem aos dois conjuntos: empresas que encerraram as atividades este ano (E) e empresas que foram abertas em anos anteriores(A). A questão é de alta complexidade, pois temos um universo de 2000 empresas em que 200 não fazem parte dos conjuntos citados. Sabe-se que 1/9 das que encerraram as atividades este ano e foram abertas em anos anteriores é igual a 1/10 das que foram abertas em anos anteriores e encerraram as atividades este ano. Desta forma podemos escrever a seguinte equação: 1 E=X 9

Logo, podemos inferir que

1 10 A = X, em que X são as empresas em comum.

1 9 E = X, isto significa que E = 9X

Construindo o diagrama teremos:

1 10 A = X, isto significa que a = 10X

E= empresas que encerraram as suas atividades este ano; A= empresas que foram abertas em anos anteriores. 8X + X + 9X + 200 = 2000 18X = 2000 – 200 18X = 1800 X = 10

X é a quantidade de empresas em comum em A e B

Substituindo os valores no diagrama teremos:

Julgando os itens: a) O número de empresas que foram abertas em anos anteriores é superior ao número de empresas que encerraram as atividades este ano. A > E, ou seja, 1000> 900. Resposta: C

b) O número de empresas que encerraram as atividades este ano e que foram abertas em anos anteriores é superior a 110. X é igual a 100. Resposta: E c) Do grupo de 2.000 empresas, metade foi aberta em anos anteriores. A = 1000, ou seja , A = 1/2 de 2000( total de empresas). Resposta: C

FIXAÇÃO DE APRENDIZAGEM 01) Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de alunos da classe é:

A) 30 B) 35

C) 37 D) 42 E) 44

02) Em certa comunidade há indivíduos de três raças: branca, negra e amarela. Sabendo que 70 são brancos, 350 são não negros e 50% são amarelos, responda: A) quantos indivíduos tem a comunidade? B) quantos são os indivíduos amarelos?

03) Numa classe de 45 alunos, 28 falam francês e 14 falam espanhol. Desses alunos, 8 não falam nem francês nem espanhol. Quantos falam as duas línguas?

04) Numa classe de 43 alunos, 27 falam inglês, 15 falam alemão, 6 falam inglês e alemão. Quantos alunos não falam nem inglês, nem alemão?

05) Considere o conjunto M = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} e responda quantos subconjuntos tem M.

06) Quantos elementos tem o conjunto do qual se pode obter 32.768 subconjuntos?

07) (PUC-Rio) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente :

17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel Qual o percentual dos que não tem casa própria nem automóvel?

08) Uma senhora que costuma fazer saladas de frutas para servir aos fregueses em seu restaurante, dispõe de oito frutas diferentes. Sabendo que cada mistura de pelo menos duas frutas resulta numa salada diferente, calcule o número de saladas de frutas diferentes que podem ser obtidas

09) Numa escola existem 84 meninas, 48 crianças loiras, 26 meninos não loiros e 18 meninas loiras. Pergunta-se:

A) Quantas crianças existem na escola? B) Quantas crianças são meninas ou são loiras?

10) Dos funcionários de uma empresa, sabe-se que existem: 35 homens; 18 pessoas que possuem automóvel; 15 mulheres que não possuem automóvel; 7 homens que possuem automóvel; A) Qual o número de funcionários que há nessa empresa? B) Quantos funcionários são homens ou quantos possuem automóvel?

11) Numa classe colheu-se os seguintes dados em relação as três matérias estudadas:

20 alunos foram aprovados nas 3 matérias. 35 alunos foram aprovados em Química e Física. 42 alunos foram aprovados em Matemática e Física. 22 alunos foram aprovados em Química e Matemática O professor de Matemática aprovou 50 alunos. O professor de Física aprovou 70 alunos. O professor de Química aprovou 40 alunos.

Quantos alunos foram aprovados:

a) em uma matéria?

b) somente em uma matéria?

c) em pelo menos uma matéria?

d) em duas matérias?

e) somente em duas matérias?

f) em mais de duas matérias?

g) somente em três matérias?

h) em matemática e física?

i) em matemática ou física?

j) em matemática e física e não foram aprovados em química?

Ainda com relação a questão 11, julgue os itens,

1 seis alunos foram aprovados em matemática.

2 apenas seis alunos foram aprovados em matemática.

3 seis alunos foram aprovados somente em matemática.

4 apenas 6 alunos foram aprovados somente em matemática.

5 mais de 60 alunos foram aprovados em pelo menos 2 matérias.

6 o número de alunos na classe é 81.

12) Em um exame vestibular, 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses candidatos, 20% optaram pelo curso de Direito. Do total de candidatos, qual a porcentagem dos que optaram por direito? A)50%

B) 20% C) 10% D) 6% E) 5%

13) Numa universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam nas três faculdades. Sabendo-se que esta Universidade somente mantém as três faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade?

A) 304 B) 162

C) 146 D)154 E) n.d.a

QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS 14) (ESAF/TÉCNICO-2006) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X ∩ Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y - X é igual a:

A) 4 B) 6

C) 8 D) vazio E) 1

15) (CESPE-2002) Para preencher vagas disponíveis, o departamento de pessoal de uma empresa aplicou um teste em 44 candidatos, solicitando, entre outras informações, que o candidato respondesse se já havia trabalhado I em setor de montagem eletromecânica de equipamentos;

II em setor de conserto de tubulações urbanas; III em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão. Analisados os testes, o departamento concluiu que todos os candidatos tinham experiência em pelo menos um dos setores citados acima e que tinham respondido afirmativamente • 28 pessoas à alternativa I. • 4 pessoas somente à alternativa I. • 1 pessoa somente à alternativa III. • 21 pessoas às alternativas I e II. • 11 pessoas às alternativas II e III. • 13 pessoas às alternativas I e III.

Com base nas informações anteriores, assinale a opção incorreta. a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores. b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas. c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações. d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de subestações. e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubulações urbanas e de ampliações e reformas de subestações.

16) (CESPE-2003) Vacinas

Crianças Vacinadas

Sabin

5300

Sarampo

5320

Tríplice

4600

Sabin e sarampo

1020

Sabin e tríplice

900

Sarampo e tríplice

800

Sabin, sarampo e tríplice

500

Nenhuma

2000

Considerando os dados da tabela acima, que representam as quantidades de crianças de uma determinada cidade que receberam em 2002 as vacinas Sabin, sarampo e tríplice, julgue os itens seguintes: A) Exatamente 3880 crianças receberam apenas a vacina Sabin.

B) Exatamente 3700 crianças receberam apenas a vacina tríplice. C) Exatamente 4300 crianças receberam apenas a vacina sarampo. D) 2720 crianças receberam pelo menos duas vacinas. E) Mais de 16000 crianças foram vacinadas nessa cidade em 2002.

17) (CESPE/METRÔ-2005) Uma associação de motoristas e de pilotos de trens elétricos distribui a seus associados dois jornais periódicos A e B, que tratam de assuntos de interesse das duas categorias profissionais. Um total de 4540 membros compõe a associação. Devido a problemas de comunicação, 75 associados não receberam nenhum dos jornais, 980 receberam os dois jornais e 2840 receberam o jornal A. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 1 Mais de 1800 associados receberam apenas o jornal A. 2 Menos de 2500 associados receberam o jornal B.

18) (CESPE-2008) Com relação às operações com conjuntos, julgue o item abaixo. 1 Considere que os candidatos ao cargo de programador tenham as seguintes especialidades: 27 são especialistas no sistema operacional Linux, 32 são especialistas no sistema operacional Windows e 11 desses candidatos são especialistas nos dois sistemas. Nessa situação, é correto inferir que o número total de candidatos ao cargo de programador é inferior a 50.

19) (CESPE/STF-2008) Uma pesquisa envolvendo 85 juízes de diversos tribunais revelou que 40 possuíam o título de doutor, 50 possuíam o título de mestre, 20 possuíam somente o título de mestre e não eram professores universitários, 10 possuíam os títulos de doutor e mestre e eram professores universitários, 15 possuíam somente o título de doutor e não eram professores universitários e 10 possuíam os títulos de mestre e doutor e não eram professores universitários. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 1 Menos de 35 desses juízes são professores universitários. 2 Mais de 10 desses juízes são professores universitários mas não têm título de doutor nem de mestre. 3 Menos de 50 desses juízes possuem o título de doutor ou de mestre mas não são professores universitários. 4 Mais de 3 desses juízes possuem somente o título de doutor e são professores universitários.

20) (FCC-2006) Uma escola de música oferece apenas os cursos de Teclado, Violão e Canto e tem 345 alunos. Sabe-se que - nenhum aluno estuda apenas Canto. - nenhum aluno estuda Teclado e Violão. -225 alunos estudam Teclado. -90 alunos estudam Teclado e Canto. -50 alunos estuda apenas Violão. Quantos alunos estudam Canto e violão? A) 70 B) 120 C) 140 D) 150 E) 160

21) (CESPE-2008) Considere que os livros L, M e N foram indicados como referência bibliográfica para determinado concurso. Uma pesquisa realizada com 200 candidatos que se preparam para esse concurso usando esses livros revelou que: 10 candidatos utilizaram somente o livro L; 20 utilizaram somente o livro N; 90 utilizaram o livro L; 20 utilizaram os livros L e M; 25 utilizaram os livros M e N; 15 utilizaram os três livros. Considerando esses 200 candidatos e os resultados da pesquisa, julgue os itens seguintes. 1 Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M. 2 Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros. 3 Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses livros. 4 O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi inferior a 105.

22) (CESPE-2008) No teste a seguir, elaborado com base em uma pesquisa internacional sobre auto-estima, o entrevistado deve marcar a opção que mais se aplica ao seu caso, em cada tópico. Considere que um entrevistado tenha assinalado as opções especificadas abaixo.

Considere que um conjunto de empregados de uma empresa tenha respondido integralmente ao teste apresentado e tenha sido verificado que 15 deles fizeram uso da opção “às vezes”, 9, da opção “raramente” e 13, da opção “sempre”. Além disso, 4 desses empregados usaram as opções “às vezes” e “raramente”, 8 usaram as opções “às vezes” e “sempre”, 4 usaram as opções “raramente” e “sempre”, e 3 usaram “às vezes”, “sempre” e “raramente”. Nessas situação, é correto afirmar que menos de 30 empregados dessa empresa responderam ao teste.

23) (CESPE-2007) Em um estado, 720 escolas assinam os jornais A e B e 268 dessas escolas assinam apenas o jornal B. Com relação a essa situação, julgue os itens subseqüentes. 1 Se 284 escolas assinam apenas o jornal A, então mais de 160 escolas assinam esses dois jornais. 2 Menos de 450 escolas assinam o jornal A.

24) (FUNIVERSA) Uma escola de artes tem 1000 alunos, oferecendo a eles cursos de pintura , teatro e música. Desses alunos, somente 400 estudam apenas pintura, somente 200 estudam apenas teatro, somente 150 estudam apenas música. Sabe-se que 150 fazem os cursos de pintura e teatro; 150 os cursos de pintura e música ; 150 teatro e música . Quantos fazem os três cursos simultaneamente? A)150 B)200 C)100 D)300

25) (CESPE-2004) Uma organização contratou convênios com um plano de saúde, um plano de previdência privada e uma seguradora veículos para adesão voluntária de seus 5.350 empregados. Sabe-se que as adesões ficaram assim distribuídas: ● 870 aderiram ao plano de saúde e ao seguro de veículos; ● 580 aderiram ao seguro de veículos e ao plano de previdência; ● 1.230 aderiram aos planos de saúde e de previdência; ● 320 aderiram apenas ao seguro de veículos; ● 2.280 aderiram ao plano de previdência; ● 350 aderiram às três modalidades de convênio; ● 280 não aderiram a nenhum convênio. Com base nessa situação, julgue os itens seguintes.

1 Mais de 2.000 empregados aderiram apenas ao plano de saúde. 2 O número de empregados que aderiram apenas aos planos de saúde e de previdência foi 850. 3 O número de empregados que aderiram a apenas duas modalidades de convênios foi inferior a 1.650. 4 Menos de 900 empregados aderiram apenas ao plano de previdência.

26) ( FUNIVERSA)

Os dois retângulos M e P acima representam, respectivamente, o conjunto dos alunos de uma escola que têm notas altas em matemática e o conjunto dos alunos desta escola que têm notas altas em português. Sabendo que o retângulo listrado representa um conjunto que não possui nenhum elemento, é correto concluir que:

(A) todo aluno que tem nota alta em matemática tem nota alta em português. (B) todo aluno que tem nota baixa em matemática tem nota baixa em português. (C) todo aluno que tem nota alta em português tem nota alta em matemática. (D) nenhum aluno que tem nota alta em matemática tem nota alta em português. (E) nenhum aluno que tem nota baixa em matemática tem nota baixa em português.

27) .( FUNIVERSA/PCDF-2008) Em um grupo de 200 profissionais da área de saúde de determinado estado brasileiro, apenas 50 têm olhos verdes, apenas 100 são servidores públicos e apenas 83 residem na capital desse estado. Assinale a alternativa que apresenta o número máximo desses profissionais que podem simultaneamente, ter olhos verdes, ser servidores públicos e residir na capital do estado.

A)16 B)17 C)33 D)50 E)83

28) (ESAF/AFC-2004) Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de aprovação popular a três diferentes propostas de políticas governamentais para redução da criminalidade. As propostas (referidas como “A”, “B” e “C”) não eram mutuamente excludentes, de modo que o entrevistado poderia se declarar ou contra todas elas, ou a favor de apenas uma, ou a favor de apenas duas, ou a favor de todas as três. Dos entrevistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas. Ainda do total dos entrevistados, 50% declararam-se favoráveis à proposta A, 30% à proposta B e 20% à proposta C. Sabe-se , ainda, que 5% do total dos entrevistados se declararam favoráveis a todas as três propostas. Assim, a percentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis a mais de uma das três propostas foi igual a:

A)17% B) 5% C)10% D)12% E) 22%

29) (ESAF/AFC-2006) Uma escola de idiomas oferece apenas três cursos: um curso de alemão, um curso de francês e um curso de inglês. A escola possui 200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos desejar. No corrente ano, 50% dos alunos estão matriculados no curso de alemão, 30% no curso de francês e 40% no de inglês. Sabendo-se que 5% dos alunos estão matriculados em todos os três cursos, o número de alunos matriculados em mais de um curso é igual a:

A)30. B)10. C)15. D)5. E)20.

30) (CESPE-2006) Os 35 empregados de uma empresa podem escolher, entre três opções, o seu regime de trabalho: turno único pela manhã, turno único à tarde ou turno completo, manhã e tarde. Nessa empresa, 23 empregados trabalham pela manhã e, no turno único da manhã, trabalham 5 empregados a menos que o total de empregados que trabalham à tarde. Com relação à situação apresentada, julgue os seguintes itens. 1 Mais de 13 empregados trabalham apenas à tarde. 2 Oito empregados trabalham no regime de turno completo manhã e tarde. 3 No turno único da manhã trabalham menos de 13 empregados.

31) (CESPE-2006) Julgue o item a seguir Uma empresa possui 13 postos de trabalho para técnicos em contabilidade, 10 para técnicos em sistemas operacionais e 12 para técnicos em eletrônica. Alguns técnicos ocupam mais de um posto de trabalho, isto é, 4 são técnicos em contabilidade e em sistemas operacionais, 5 são técnicos em sistemas operacionais e em eletrônica e 3 possuem todas as três especialidades. Nessas condições, se há 22 técnicos nessa empresa, então 7 deles são técnicos em contabilidade e em eletrônica.

32) (CESPE) Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, • 20 alunos praticam vôlei e basquete; • 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; • 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; • o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei; • 17 alunos praticam futebol e vôlei; • 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei. O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a a) 93. b) 110. c) 103. d) 99. e) 114.

33) (CESPE-2006) O setor jurídico de uma instituição pública possui 25 funcionários. Desses, 15 atuam na área de direito civil, 9, na área de direito penal e 13, na de direito do trabalho. Sabe-se que há interseções nas áreas de atuação, sendo que 4 desses funcionários atuam nas áreas de direito civil e penal, 8, nas áreas de direito civil e do trabalho, 4, nas áreas de direito penal e do trabalho. Sabe-se, ainda, que 22 funcionários atuam em pelo menos uma das três áreas. A respeito dessa situação, julgue os itens que se seguem. 1 Mais de 4 desses funcionários não atuam em nenhuma das áreas citadas. 2 Menos de 5 desses funcionários atuam em todas as áreas citadas. 3 Se nenhum dos funcionários atuar em todas as 3 áreas, então é correto concluir que 11 funcionários atuam somente na área de direito civil. 4 Se 4 funcionários atuam em todas as três áreas citadas, então é correto concluir que nenhum dos 25 funcionários atua apenas nas áreas de direito civil e penal.

34) (CESPE-2008) Considere que, em um centro de treinamento para empregados da PETROBRAS, esteja sendo treinada uma turma com 150 empregados que trabalharam em pelo menos um dos seguintes campos petrolíferos: Marlim, Albacora e Barracuda. Considere, ainda, que uma pesquisa revele que, entre esses empregados, 30% trabalharam nos campos de Albacora e Barracuda, 30% trabalharam nos campos de Marlim e Barracuda, 6% trabalharam somente nos campos de Marlim e Albacora, 10% trabalharam somente no campo de Barracuda, 20% trabalharam somente no campo de Albacora e 20% trabalharam nesses três campos. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

1 O número de empregados que trabalharam no campo petrolífero de Marlim é superior a 95. 2 O número de empregados que trabalharam somente nos campos de Barracuda e Albacora é inferior a 20.

3 O número de empregados que não trabalharam em Barracuda é superior a 70. 4 O número de empregados que trabalharam em pelo menos dois dos campos petrolíferos é inferior a 60. 5 O número de empregados que trabalharam em somente um dos campos petrolíferos é superior a 80.

Trinta lojistas compraram, para revender, calças, camisas e vestidos, em uma fábrica de confecções. Sabe-se que dos 30 lojistas: I apenas 3 compraram os três produtos referidos; II 9 compraram calças e vestidos; III 6 compraram camisas e vestidos; IV 3 compraram apenas camisas; V 9 compraram camisas; VI 15 compraram vestidos. QUESTÃO 20 35) (CESPE-2008) A quantidade de lojistas que compraram apenas calças é igual a

A) 12. B) 10. C) 8. D) 6. QUESTÃO 21 36) (CESPE-2008) O número de lojistas que compraram apenas vestidos é igual a

A) 2. B) 3. C) 4. D) 5. QUESTÃO 22 37) (CESPE) O número de lojistas que compraram apenas calças e camisas é igual a

A) 6. B) 4. C) 2. D) 0.

38) (CESPE-2008) No curso de línguas Esperanto, os 180 alunos estudam inglês, espanhol ou grego. Sabe-se que 60 alunos estudam espanhol e que 40 estudam somente inglês e espanhol. Com base nessa situação, julgue os itens que se seguem. 1 Se 40 alunos estudam somente grego, então mais de 90 alunos estudam somente inglês. 2 Se os alunos que estudam grego estudam também espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando inglês do que espanhol. 3 Se os 60 alunos que estudam grego estudam também inglês e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando somente inglês do que espanhol.

39) (CESPE/TRT-2008) Em uma universidade, setorizada por cursos, os alunos de cada curso podem cursar disciplinas de outros cursos para integralização de seus currículos. Por solicitação da diretoria, o secretário do curso de Matemática informou que, dos 200 alunos desse curso, 80 cursam disciplinas do curso de Física; 90, do curso de Biologia; 55, do curso de Química; 32, dos cursos de Biologia e Física; 23, dos cursos de Química e Física; 16, dos cursos de Biologia e Química; e 8 cursam disciplinas desses três cursos. O secretário informou, ainda, que essa distribuição inclui todos os alunos do curso de Matemática. Com relação a essa situação, julgue os itens seguintes.

1 Se as informações do secretário acerca das matrículas dos alunos em disciplinas estiverem corretas, então, dos alunos que cursam disciplinas de apenas um desses cursos, a maior concentração de alunos estará no curso de Física.

2 Considerando corretas as informações do secretário acerca das matrículas dos alunos, mais de 50 desses alunos cursam disciplinas de apenas dois dos cursos mencionados.

3 De acordo com os dados da situação em apreço, as informações do secretário estão realmente corretas.

40. (FUNIVERSA-2008) Em uma cela, há 12 condenados por diversos crimes, entre eles, assassinato, roubo e seqüestro. Dos condenados, naturalmente, há alguns que cometeram mais de um crime entre os três delitos. Entretanto, entre os que cometeram outros delitos, não há nenhum que também tenha cometido assassinato, roubo ou seqüestro. A respeito desses presos, é sabido que:

• 4 cometeram assassinato; • 4 foram condenados por roubo; • 5 foram condenados por seqüestro; • apenas 1 foi condenado por assassinato, roubo e seqüestro; • apenas 1 cometeu somente assassinato; • apenas 1 foi condenado somente por roubo; • apenas 1 foi condenado somente por roubo e assassinato;

A respeito da situação descrita no texto, analise as afirmativas e assinale a alternativa correta. I- Apenas um dos presos foi condenado somente por assassinato e seqüestro. II- Mais de três dos presos podem ter sido condenados por estelionato. III- Apenas um dos presos foi condenado somente por roubo e seqüestro. IV- Exatamente seis dos presos cometeram roubo ou assassinato.

A) Todas as afirmativas estão erradas.

B) Há apenas uma afirmativa certa. C) Há apenas duas afirmativas certas. D) Há apenas três afirmativas certas. E) Todas as afirmativas estão certas.

41) (CESPE-2008) Julgue o item 1 Considere que em um canil estejam abrigados 48 cães, dos quais: - 24 são pretos; - 12 têm rabos curtos; - 30 têm pêlos longos; - 4 são pretos, têm rabos curtos e não têm pêlos longos; - 4 têm rabos curtos e pêlos longos e não são pretos; - 2 são pretos, têm rabos curtos e pêlos longos. Então, nesse canil, o número de cães abrigados que são pretos, têm pêlos longos mas não têm rabos curtos é superior a 3 e inferior a 8.

42) (CESPE-2008) Considere que determinado projeto apoiado pelo SEBRAE conte com a participação de diversas empresas com o seguinte perfil: 15 empresas atuam no ramo de comércio e serviços; 16 são indústrias; e 16 empresas atuam no ramo de agronegócios. Dessas organizações participantes do projeto, 6 atuam em comércio e serviços e também em agronegócios; 8 atuam em comércio e serviços e indústria; 5 atuam na indústria e em agronegócios, e 2 delas atuam nos três setores. Com base nessas informações, julgue os itens subseqüentes.

1 Menos de 32 organizações participam desse projeto. 2 Das organizações participantes do projeto, 5 atuam exclusivamente na indústria.

43) (CESPE/DETRAN-2009) Sabendo-se que dos 110 empregados de uma empresa, 80 são casados 70 possuem casa própria e 30 são solteiros e possuem casa própria, julgue os itens seguintes.

1 Mais da metade dos empregados casados possui casa própria.

2 Dos empregados que possuem casa própria há mais solteiros que casados.

Gabarito

01

E

17

CE

33

ECEC

02

a)560 / b)280

18

C

34

ECCEC

03

5 alunos

19

ECCC

35

A

04

7 alunos

20

A

36

B

05

256

21

ECCE

37

D

06

15 elem.

22

C

38

ECEXX

07

69%

23

CE

39

EEE

08

247

24

C

40

E

09

a) 140 / b)114

25

EECC

41

C

10

a) 61 / b) 46

26

D

42

CC

11

81 alunos

27

D

43

EE

12

D

28

A

13

B

29

A

14

B

30

ECE

15

D

31

C

16

CEEE

32

D

Dever de casa ULTIMAS PROVAS

(CESPE/PF-2012) Em uma página da Polícia Federal, na Internet, é possível denunciar crimes contra os direitos humanos. Esses crimes incluem o tráfico de pessoas — aliciamento de homens, mulheres e crianças para exploração sexual — e a pornografia infantil — envolvimento de menores de 18 anos de idade em atividades sexuais explícitas, reais ou simuladas, ou exibição dos órgãos genitais do menor para fins sexuais. Com referência a essa situação hipotética e considerando que, após a análise de 100 denúncias, tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia infantil; outras 30 não se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relação a 60 dessas denúncias, havia apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes, acerca dessas 100 denúncias analisadas.

01.(Cespe/PF/2012) Dez denúncias foram classificadas apenas como crime de tráfico de pessoas.

02.(Cespe/PF/2012) Os crimes de tráfico de pessoas foram mais denunciados que os de pornografia infantil. Supondo-se que a proposição P e as proposições “A licitação anterior não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” e “É dispensável a realização de nova licitação” sejam verdadeiras, é correto concluir que também será verdadeira a proposição “Não apareceram interessados em licitação anterior”. Em razão da limitação de recursos humanos, a direção de determinada unidade do MPU determinou ser prioridade analisar os processos em que se investiguem crimes contra a administração pública que envolvam autoridades influentes ou desvio de altos valores. A partir dessas informações, considerando P = conjunto dos processos em análise na unidade, A = processos de P que envolvem autoridades influentes, B = processos de P que envolvem desvio de altos valores, CP (X) = processos de P que não estão no conjunto X, e supondo que, dos processos de P, 2/3 são de A e 3/5 são de B, julgue o item a seguir. 03.(Cespe/MPU/2013) Selecionando-se ao acaso um processo em trâmite na unidade em questão, a probabilidade de que ele não envolva autoridade influente será superior a 30%. Uma pesquisa realizada com um grupo de 35 técnicos do MPU a respeito da atividade I — planejamento estratégico institucional — e da atividade II — realizar estudos, pesquisas e levantamento de dados — revelou que 29 gostam da atividade I e 28 gostam da atividade II. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 04.(Cespe/MPU /2013) A quantidade máxima de técnicos desse grupo que não gosta de nenhuma das duas atividades é inferior a 7. 05.(Cespe/MPU /2013) Se 4 técnicos desse grupo não gostam de nenhuma das atividades citadas, então mais de 25 técnicos gostam das duas atividades. 06.(Cespe/MPU /2013) Infere-se dos dados que a quantidade mínima de técnicos desse grupo que gostam das duas atividades é superior a 20. Em uma pescaria, os pescadores Alberto, Bruno e Carlos colocavam os peixes que pescavam em um mesmo recipiente. Ao final da pescaria, o recipiente continha 16 piaus e 32 piaparas. Na divisão dos peixes, cada um deles afirmou que teria pescado mais peixes que os outros dois. Julgue os itens a seguir, a respeito dessa situação. 07.(Cespe/PCDF- ESCRIVÃO /2013) Considere que a discussão tenha sido assistida por 9 amigos de Alberto; 8 amigos de Bruno; e 8 amigos de Carlos; dos quais 3 eram amigos apenas de Alberto; 1 era amigo apenas de Bruno; 2 eram amigos apenas de Carlos; 2 eram amigos apenas de Alberto e Carlos. Nessa situação, é correto afirmar que, entre os que assistiram à discussão, a quantidade de amigos de Bruno e Carlos era superior à quantidade de amigos de Alberto ou Bruno.

O Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA) divulgou, em 2013, dados a respeito da violência contra a mulher no país. Com base em dados do Sistema de Informações sobre Mortalidade, do Ministério da Saúde, o instituto apresentou uma estimativa de mulheres mortas em razão de violência doméstica. Alguns dos dados apresentados nesse estudo são os seguintes: < mais da metade das vítimas eram mulheres jovens, ou seja, mulheres com idade entre 20 e 39 anos: 31% estavam na faixa etária de 20 a 29 anos e 23% na faixa etária de 30 a 39 anos; < 61% das vítimas eram mulheres negras; < grande parte das vítimas tinha baixa escolaridade: 48% cursaram até o 8.º ano. Com base nessas informações e considerando que V seja o conjunto formado por todas as mulheres incluídas no estudo do IPEA; A C V,

o conjunto das vitimas jovens; B C V, o conjunto das vitimas negras; e C C V, o conjunto das vítimas de baixa escolaridade — vítimas que cursaram até o 8.o ano —, julgue os itens que se seguem.

08.(Cespe/PCDF- AGENTE /2013)

Se V\C for o conjunto complementar de C em V, então (V\C) ∩ A será um conjunto não vazio.

09.(Cespe/PCDF- AGENTE /2013)

Se 15% das vítimas forem mulheres negras e com baixa escolaridade, então V = B U C.

10.(Cespe/PCDF- AGENTE /2013)

Se V\A for o conjunto complementar de A em V, então 46% das vítimas pertencerão a V\A.

11-(ESAF/CGU/2012) Em um grupo de 120 empresas, 57 estão situadas na Região Nordeste, 48 são empresas familiares, 44 são empresas exportadoras e 19 não se enquadram em nenhuma das classificações acima. Das empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras. Das empresas familiares, 21 são exportadoras. O número de empresas do Nordeste que são ao mesmo tempo familiares e exportadoras é a) 21. b) 14. c) 16. d) 19. e) 12.

Gabarito

01-C 02-E 03-C 04-C 05-C 06-C 07-E 08-C 09-E 10-C 11-E

DESAFIO :( Cespe – 2014- MDIC) Em um grupo de 2.000 empresas, 1/9 das que encerraram as atividades este ano foram abertas em anos anteriores, 1/10 das que foram abertas em anos anteriores encerraram as atividades este ano e 200 empresas não encerraram as atividades este ano e não foram abertas em anos anteriores. Com base nessas informações, julgue os próximos itens.

01- O número de empresas que foram abertas em anos anteriores é superior ao número de empresas que encerraram as atividades este ano. 02- O número de empresas que encerraram as atividades este ano e que foram abertas em anos anteriores é superior a 110. 03- Do grupo de 2.000 empresas, metade foi aberta em anos anteriores.

04- Se, do grupo de 2.000 empresas, for selecionada uma ao acaso, e se ela tiver sido aberta em anos anteriores, então a probabilidade de ela ter encerrado suas atividades este ano será superior a 10%.

PARTE 05 PORCENTAGEM EXERCÍCIOS FIXAÇÃO DE APRENDIZAGEM

01) Complete: a) 17% de x é igual a.......................................................... b) 300% de x é igual a........................................................ c) se uma mercadoria sofre um aumento de 30% no seu preço x, então seu novo preço será................................... d) se uma mercadoria sofre uma redução de 15% no seu preço x, então seu novo preço será.................................. e) aumentar 40% significa multiplicar por...................... a) aumentar 3% significa multiplicar por......................... b) diminuir 25% significa multiplicar por....................... c) diminuir 9% significa multiplicar por......................... d) 20% de 30% é igual a................................................. 02) Em certa cidade, as tarifas de ônibus foram majoradas, passando de R$ 16,00 para R$ 20,00. De quanto foi o percentual de aumento? 03) Meio, quantos por cento são de 5/8?

04) Uma pesquisa revelou que 70% das pessoas entrevistadas assistiam à TV. Sabe-se que 60% das pessoas entrevistadas eram do sexo masculino e que 75% das mulheres entrevistadas assistiam à TV. Qual a porcentagem de homens entre as pessoas que não assistam à TV?

05) Num certo grupo de 300 pessoas sabe-se que 98% são do sexo masculino. Quantos homens deveriam sair do grupo para que o restante deles passasse a representar 97% das pessoas presentes no grupo remanescente?

QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS

01) (FCC/TRF) Em agosto de 2006, Josué gastava 20% de seu salário no pagamento do aluguel de sua casa. A partir de setembro de 2006, ele teve um aumento de 8% em seu salário e o aluguel de sua casa foi ajustado em 35%. Nessas condições, para o pagamento do aluguel após os reajustes, a porcentagem do salário que Josué deverá desembolsar mensalmente é

a) 22,5% b)25% c)27,5%

d)30% e)32,5%

02) (FCC/TRT) Pedi certa quantia emprestada a meu irmão. Já lhe devolvi R$ 254,40, que correspondem a 80% do valor que ele me emprestou. Se não há pagamento de juros, o valor total dessa divida é

a) R$ 63,60 b) R$ 203,50 c)R$ 318,00 d)R$ 2035,20 e)R$ 3180,00

03) (FCC/TRT) Dos 120 funcionários convidados para assistir a uma palestra sobre doenças sexualmente transmissíveis, somente 72 compareceram. Em relação ao total de funcionários convidados, esse número representa a) 45% b)50% c)55% d)60% e) 65%

04) (CESPE/TRT) Julgue os itens.

1) Se um trabalhador ganha R$ 800,00 líquidos por mês, gasta 25% de seu salário em alimentação, 30% em aluguel, 25% em outras despesas e aplica o restante em uma caderneta de poupança, então o valor aplicado mensalmente é maior que R$ 150,00.

2 Se Antônio e Pedro analisaram juntos 225 processos e Pedro analisou 25% a mais de processos que Antônio, então Antônio analisou 100 processos.

05) (CESPE/TRT) Julgue os itens.

1Considere que a cesta básica tenha seu preço majorado a cada mês, de acordo com a inflação mensal. Se, em dois meses consecutivos, a inflação foi de 5% e 10%, então a cesta básica, nesse período, foi majorada em exatamente 15%.

2 Se um funcionário recebia R$ 850,00 por mês e passou a receber R$ 952,00, então ele teve um aumento inferior a 13%. 06) (CESPE) Um comerciante aplicou um capital C, com rendimento de 30% ao ano, no início de 2001. Naquela data, ele poderia comprar, com esse capital, exatamente 20 unidades de um determinado produto. Porém, o preço unitário do produto subiu 25% em 2001. A porcentagem a mais de unidades do produto que o comerciante podia comprar no início de 2002 era

a)inferior a 3,5%. b)superior a 3,5% e inferior a 4,5%. c)superior a 4,5% e inferior a 5,5%. d)superior a 5,5% e inferior a 6,5%. e)superior a 6,5%.

07) (FCC) Desprezando-se qualquer tipo de perda, ao se adicionar 100 g de ácido puro a uma solução que contém 40 g de 60 g deste ácido, obtém-se uma nova solução com

água e

a)75% de ácido. b)80% de ácido. c)85% de ácido. d)90% de ácido. e)95% de ácido. 08) (FCC) Em janeiro, uma loja em liquidação decidiu baixar todos os preços em 10%. No mês de março, frente a diminuição dos estoques a loja decidiu reajustar os preços em 10%. Em relação aos preços praticados antes da liquidação de janeiro, pode-se afirmar que, no período considerado, houve a) um aumento de 0,5% b) um aumento de 1% c) um aumento de 1,5% d) uma queda de 1% e)uma queda de 1,5% 09) (ESAF/AFC) Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 80% são amarelos e 20% são vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada, verificou-se que 60% dos peixes vivos, no aquário, eram amarelos. Sabendo que nenhuma outra alteração foi feita no aquário, o percentual de peixes amarelos que morreram foi:

a)20 % b)25 %

c)37,5 % d)62,5 % e)75 %

10) (ESAF/AFC) A remuneração mensal dos funcionários de uma empresa é constituída de uma parte fixa igual a R$ 1.500,00 mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 8.000,00. Calcula- se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto (isto é, sobre o total da parte fixa mais a comissão). Em dois meses consecutivos, um dos funcionários dessa empresa recebeu, líquido, respectivamente, R$ 1.674,00 e R$ 1.782,00. Com esses dados, pode-se afirmar que as vendas realizadas por esse funcionário no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em:

a)8% b)10% c)14%

d)15% e) 20%

11) (ESAF/AFC) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que, acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas, ficou: a) exatamente igual b)5% maior c)5% menor d)10% menor e)10% maior 12) (FCC/MPU) No refeitório de certa empresa, num dado momento, o número de mulheres correspondia a 45% do de homens. Logo depois, 20 homens e 3 mulheres retiraram-se do refeitório e, concomitantemente, lá adentraram 5 homens e 10 mulheres, ficando, então, o número de mulheres igual ao de homens. Nessas condições, o total de pessoas que havia inicialmente nesse refeitório a) 46 b)48 c) 52 d)58 e)60 13) (ESAF) As vendas de uma microempresa passaram de R$ 3.000,00 no mês de janeiro para R$ 2.850,00 no mês de fevereiro. De quanto foi a diminuição relativa das vendas? a) 4% b) 5% c) 6% d) 8% e) 10%

14)ESAF) Um trabalhador teve um aumento salarial de 10% em um ano e de 20% no ano seguinte. Qual foi o aumento salarial total do trabalhador no período? a) 40% b) 32% c) 30% d) 20% e) 10%

15) (ESAF) Na compra a vista de um produto que custava R$ 180,00, um consumidor conseguiu um desconto de 12%. Por quanto saiu o produto?

a) R$ 158,40 b) R$ 160,00 c) R$ 162,00 d) R$ 162,45 e) R$ 170,00

Responda as questões 16 e 17, usando a tabela abaixo: Em uma eleição para a presidência do Conselho Regional, foi apurado o seguinte resultado: % do votos

Candidato A

26%

B

24%

C

22%

Brancos e/ou nulos

Número de votos

196

16) (FUNIVERSA) O número de votos obtidos pelo vencedor foi de: a) 178 votos b) 182 votos c) 184 votos d) 188 votos e) 191 votos 17) (FUNIVERSA) O número de total de eleitores foi de: a) 504 b) 600 c) 700 d) 804 e) 638 18) (CESPE-) A bacia amazônica concentra 72% do potencial hídrico nacional. A distribuição regional dos recursos hídricos é de 70% para a região Norte, 15% para o Centro-Oeste, 12% para as regiões Sul e Sudeste, que apresentam o maior consumo de água, e 3% para a Nordeste.

Internet: <http://www.bndes.gov.br/conhecimento/revista/rev806.pdf>. Com base no texto acima, assinale a opção incorreta. a) Mais de

6 10

dos recursos hídricos brasileiros situam-se na região Norte.

b) Na região Sudeste, situam-se

6 dos recursos hídricos nacionais. 50

c) A região Centro-Oeste possui

3 20

d) A bacia Amazônica concentra

dos recursos hídricos nacionais.

18 do potencial hídrico nacional. 25

e) A região Nordeste possui mais de

1 50

dos recursos hídricos nacionais.

19) (CESPE/BB) Considerando que o número de crianças e adolescentes com até 17 anos de idade que trabalham no Brasil seja igual a 2.899.800 e que a quantidade deles por região brasileira seja diretamente proporcional ao número de unidades federativas da respectiva região — são 27 as unidades federativas brasileiras, incluindo-se o Distrito Federal como unidade federativa da região Centro-Oeste —, julgue os itens seguintes, tendo como referência as informações contidas no texto acima. 1 Considere que, das crianças e adolescentes com até os 17 anos de idade que trabalham no Brasil, 20% tenham entre 5 e 9 anos de idade. Nesse caso, mais de 450.000 dessas crianças e adolescentes trabalham no campo.

20) (CESGRANRIO) Em 2006, foram embarcadas, no porto de Porto Velho, cera de 19 760 toneladas de madeira a mais do que em 2005, totalizando 46110 toneladas. Assim, em relação a 2005, o embarque de madeira aumentou aproximadamente x%. Pode-se concluir que x é igual a: a) 45

b) 58

c) 65

d) 75

e) 80

21) (CESGRANRIO) Um motorista dirigia seu carro a 70 km/h quando percebeu que a velocidade máxima permitida na via em que ele se encontrava era de 60 km/h. Para não mais ultrapassar o limite permitido, ele precisaria reduzir sua velocidade, aproximadamente em: a) 10,0% b) 11,2% c) 13,4% d) 14,3% e) 16,7%

22) (CESGRANRIO) Na primeira parte de um jogo de perguntas e respostas a equipe A acertou a resposta de 80% das 160 perguntas dessa parte. Se, na segunda parte, acertar todas as respostas, a porcentagem de acertos da referida equipe chegará a 90% do total de perguntas do jogo. Quantas perguntas há na segunda parte do jogo) a) 200 b) 180 c) 170 d) 160 e) 140

23) (CESGRANRIO) Um escriturário recebeu R$ 600,00 de salário, num determinado mês. No mês seguinte, seu salário foi reajustado em 20%, mas como houve desconto de x% relativo a faltas, ele recebeu R$ 648,00. Então, o valor de x é: a) 8 b) 10 c) 12 d) 8,5 e) 10,5

24) (CESGRANRIO)

Um retângulo tem área igual a 120 dm2. Esse retângulo sofre redução de 20% em sua altura. A fim de que a área do retângulo permaneça inalterada, a base sofre acréscimo. É correto afirmar que esse acréscimo corresponde a (A) 15% (B) 20%

(C) 25% (D) 30% (E) 35%

25) (CESGRANRIO) Apenas para decolar e pousar, um certo tipo de avião consome, em média, 1920 litros de combustível. Sabendo-se que isso representa 80% de todo o combustível que ele gasta em uma viagem entre as cidades A e B, é correto afirmar que o número de litros consumidos numa dessas viagens é: (A) 2 100 (B) 2 150 (C) 2 200 (D) 2 350 (E) 2 400 26) (CESGRANRIO) “Petrobras deverá ter superavit de U$3 bi este ano Pela primeira vez na história, a Petrobras terá um superávit comercial na balança de petróleo e derivados em 2006. O saldo deverá ficar em U$3 bilhões, (...) a estimativa inicial era de um saldo de U$2 bilhões. (...) O diretor financeiro da Petrobras (...) disse que a tendência é de superávits crescentes a partir da auto-suficiência e que a produção deverá aumentar 9% ao ano até 2010.” Jornal O Globo, 03 fev. 2006. (adaptado). Se o saldo chegar aos U$3 bilhões acima previstos, o aumento, em relação ao saldo inicialmente estimado, será de: (A) 10% (B) 50% (C) 75% (D) 100% (E) 150% 27) (CESGRANRIO)

Nos últimos anos, a dívida externa do Brasil despencou. De acordo com a reportagem “A decolagem dos negócios”, publicada na Revista Veja de 23 de maio deste ano, a dívida externa brasileira, que, em junho de 2003, era de R$ 171 bilhões, baixou para R$ 69 bilhões em fevereiro de 2007. Em termos percentuais, a redução da dívida observada nesse período foi, aproximadamente, de: (A) 102% (B) 73% (C) 60% (D) 40% (E) 27% 28) (CESGRANRIO) Em uma empresa, o número de funcionários do sexo masculino é 2/3 do número de funcionários do sexo feminino. Um terço dessas mulheres não tem filho algum. Com relação ao número total de funcionários, qual a porcentagem de mulheres, funcionárias dessa empresa, que têm pelo menos um filho? (A) 20% (B) 30% (C) 40%

(D) 50% (E) 60%

29) (CESGRANRIO) Numa certa farmácia, os aposentados têm desconto de 15% sobre o preço dos medicamentos. O senhor Nelson, aposentado, pagou R$ 17,00 por um remédio nesta farmácia. Qual o preço inicial do remédio, em reais? (A) 18,50 (B) 19,00 (C) 19,50 (D) 20,00 (E) 20,50 30) (CESGRANRIO) Os alunos do Ensino Médio de uma escola escolheram o novo presidente do grêmio estudantil pelo voto direto. O gráfico abaixo mostra o número de votos que cada um dos três candidatos participantes recebeu.

Houve, ainda, 30 alunos que votaram em branco ou anularam o voto. O percentual aproximado do total de votos que o candidato vencedor recebeu foi: A)20,0% (B) 24,6% (C) 42,8% (D) 46,8% (E) 68,2%

31) (CESGRANRIO) Em uma fazenda de produção de soja, a plantação ocupava uma área de A hectares que proporcionava uma determinada produção anual de grãos. Com a utilização de novas técnicas de plantio e de colheita, foi possível reduzir a área A em 20% e, ainda assim, obter um aumento de 20% na produção anual de grãos. Considere que a produção média por hectare plantado seja obtida pela razão entre a produção anual da fazenda e a área plantada. Após a adoção das novas técnicas, a produção média por hectare plantado dessa fazenda aumentou em: (A) 10% (B) 20% (C) 30% (D) 40% (E) 50%

32) (CESGRANRIO) Segundo o Departamento Nacional de Infra-Estrutura de Transporte, a sobrecarga é uma das principais causas de acidentes com caminhões nas estradas, estando relacionada a 60% dos acidentes rodoviários que envolvem caminhões. Se, dos 180.000 acidentes rodoviários que ocorrem por ano, 27% envolvem caminhões, em quantos desses acidentes há problemas de sobrecarga? (A) 16.200 (B) 29.160 (C) 48.600 (D) 54.240 (E) 108.000

33) (CESGRANRIO) Uma cooperativa de agricultores pegou um empréstimo bancário e deverá pagar R$ 15.000,00 em dezembro. Entretanto, se o pagamento for efetuado até 30 dias antes do prazo, o banco dará 10% de desconto sobre esse valor. Qual será, em reais, o valor pago pela cooperativa caso o empréstimo seja pago 30 dias antes do prazo?

(A) 13.500,00 (B) 13.850,00 (C) 14.000,00 (D) 14.500,00 (E) 14.850,00

34) ( CESPE) Dois arquivos contêm as mesmas quantidades de processos. No arquivo X, 20% dos processos são cíveis e o restante, processos penais. No arquivo Y, 25% dos processos são cíveis e o restante, processos penais. Todos os processos dos arquivos X e Y foram transferidos para o arquivo Z, que se encontrava vazio. Nessa situação, é correto afirmar que, no arquivo Z, a razão entre o número de processos penais e o número de processos cíveis é igual a

A)

4 5

B)

23 7

C)

31 9

D)

15 4

35) ( CESPE/TJDFT) Uma manicure, um policial militar, um arquivista e uma auxiliar de administração são todos moradores de Ceilândia e unidos pela mesma missão. Vão assumir um trabalho até então restrito aos gabinetes fechados do Fórum da cidade. Eles vão atuar na mediação de conflitos, como representantes oficiais do TJDFT. Os quatro agentes comunitários foram capacitados para promover acordos e, assim, evitar que desentendimentos do dia-a-dia se transformem em arrastados processos judiciais. E isso vai ser feito nas ruas ou entre uma xícara de café e outra na casa do vizinho. O projeto é inédito no país e vai contar com a participação do Ministério da Justiça, da Ordem dos Advogados do Brasil (OAB), da Universidade de Brasília (UnB), do Ministério Público do Distrito Federal e dos Territórios e da Defensoria Pública. Internet: <www2.correioweb.com.br>, acessado em 23/1/2001 (com adaptações). Considerando o contexto apresentado acima, julgue os itens seguintes. 1 Considere-se que, em determinada semana, o arquivista tenha promovido 27 acordos, o que correspondeu a 18% do total de acordos promovidos pelos quatro agentes referidos acima. Nesse caso, o número total de acordos promovidos naquela semana foi igual a 150. 2 Suponha-se que, em certa semana, a manicure tenha promovido 25% a mais de acordos que a auxiliar de administração, e que, juntas, as duas agentes comunitárias tenham promovido 180 acordos. Nesse caso, o número de acordos promovidos pela auxiliar de administração na referida semana foi inferior a 78.

36) ( CESPE) Uma pesquisa entre 500 trabalhadores mostrou que 80% deles estão satisfeitos com a série de seções de ginástica que ocorrem antes e depois da jornada de trabalho em suas respectivas empresas. O percentual de satisfação entre as mulheres é 50% maior que entre os homens. Observou-se também que, entre aqueles que estão satisfeitos, a média das idades foi de 32 anos. Com base nessas afirmações, julgue os itens que se seguem. 1 A pesquisa mostrou que 32% dos trabalhadores são do sexo masculino e estão satisfeitos com a série de seções de ginástica. 2 A quantidade de mulheres participantes na pesquisa foi inferior a 230. 3 Pelo menos 35% dos trabalhadores que estão satisfeitos são homens. 4 Se a quantidade de mulheres for 50% maior que a quantidade de homens, então, a satisfação dos trabalhadores acerca das seções de ginástica será independente do gênero do trabalhador (homem ou mulher).

Fixação de aprendizagem 1) a) 0,17x 4) 66,7%(aprox.) b) 3x 5) 100 homens c) 1,3x d) 0,85x e) 1,4 f) 1,03 g) 0,75 h) 0,91 i) 6% j) 9% k) 90% l) 24 m) 32% 2) 25% 3) 80%

Questões de concursos públicos 01 B 16 B 31 E 02 C 17 C 32 B 03 D 18 D 33 A 04 CC 19 C 34 C 05 EC 20 D 35 CE 06 B 21 D 07 B 22 D 08 D 23 B 09 D 24 C 10 E 25 E 11 D 26 B 12 D 27 C 13 B 28 C 14 B 29 D 15 A 30 C

Dever de casa

ULTIMAS PROVAS

01.(FCC/TRT6ª/ANALISTA/2012) Em um edifício, 40% dos condôminos são homens e 60% são mulheres. Dentre os homens, 80% são favoráveis à construção de uma quadra de futebol. Para que a construção seja aprovada, pelo menos a metade dos condôminos deve ser a favor. Supondo que nenhum homem mude de opinião, para que a construção seja aprovada, o percentual de mulheres favoráveis deve ser, no mínimo, (A) 20%. (B) 25%. (C) 30%. (D) 35%. (E) 50%. 02.(VUNESP/TJSP/TÉCNICO/2013) Acessando o site de determinada loja, Lucas constatou que, na compra pela internet, com prazo de entrega de 7 dias úteis, o notebook pretendido custava R$ 110,00 a menos do que na loja física que, por outro lado, oferecia a entrega imediata do aparelho. Como ele tinha urgência, foi até a loja física e negociou com o gerente, obtendo um desconto de 5% e, dessa forma, comprou o aparelho, pagando o mesmo preço que pagaria pela internet. Desse modo, é correto afirmar que o preço que Lucas pagou pelo notebook, na loja física, foi de (A) R$ 2.110,00. (B) R$ 2.200,00. (C) R$ 2.000,00. (D) R$ 2.310,00. (E) R$ 2.090,00. 03.(TJMT/TÉCNICO/2012) A Revista Istoé, de 17/10/2012, traz a seguinte reportagem:

Admitindo que a população brasileira entre 2010 e 2012 era 190 milhões de habitantes, quantos milhões de brasileiros passaram fome nesse período? (A) 6,90 (B) 13,11

(C) 8,68 (D) 11,31

04-(CESGRANRIO-2014) Numa empresa, todos os seus clientes aderiram a apenas um dos seus dois planos, Alfa ou Beta. O total de clientes é de 1.260, dos quais apenas 15% são do Plano Beta. Se x clientes do plano Beta deixarem a empresa, apenas 10% dos clientes que nela permanecerem estarão no plano Beta.

O valor de x é múltiplo de : a)13 b)11 c)10 d)8 e)3

05- ( TJ SP – 2010) Em um concurso para escrevente, 40% dos candidatos inscritos foram eliminados na prova de Língua Portuguesa, e a prova de Conhecimentos em Direito eliminou 40% dos candidatos restantes. Essas duas provas eliminaram, do total de candidatos inscritos, (A) 84%. (B) 80%. (C) 64%. (D) 46%. (E) 36%.

Uma pesquisa entre 500 trabalhadores mostrou que 80% deles estão satisfeitos com a série de seções de ginástica que ocorrem antes e depois da jornada de trabalho em suas respectivas empresas. O percentual de satisfação entre as mulheres é 50% maior que entre os homens. Observou-se também que, entre aqueles que estão satisfeitos, a média das idades foi de 32 anos. Com base nessas afirmações, julgue os itens que se seguem. 06-(CESPE) A pesquisa mostrou que 32% dos trabalhadores são do sexo masculino e estão satisfeitos com a série de seções de ginástica. 07-(CESPE) A quantidade de mulheres participantes na pesquisa foi inferior a 230. 08-(CESPE) Pelo menos 35% dos trabalhadores que estão satisfeitos são homens. 09- (CESPE) Se a quantidade de mulheres for 50% maior que a quantidade de homens, então, a satisfação dos trabalhadores acerca das seções de ginástica será independente do gênero do trabalhador (homem ou mulher). 10)(CESGRANRIO/TJRO/AGENTE/2008) Quatro pessoas têm direito à participação de 20% na renda de um evento, sendo que a primeira pessoa tem direito ao dobro de participação de cada uma das outras três, que têm a mesma participação. Qual é a participação da primeira pessoa na renda do evento?

A) 2% B) 4% C) 5% D) 6% E) 8% Gabarito: 01020304050607080910-

C E B C C C E E C E

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