Mathematichal problems for high-school

X.1. S˘a se rezolve ecuat ¸ia sin (cos x) = cos (sin x).
Solut ¸ie. Vom ar˘ata c˘a ecuat ¸ia dat˘a nu are solut ¸ii. Presupunˆand c˘a ar
exista x ∈ R o solut ¸ie a acesteia, deoarece cos x ∈ [−1, 1] ⊂
_
−
π
2
,
π
2
¸
, deducem
c˘a arcsin (sin (cos x)) = cos x ¸si deci ecuat ¸ia dat˘a este echivalent˘a cu cos x =
arcsin (cos (sin x)). Deoarece arcsin t + arccos t =
π
2
, pentru orice t ∈ [−1, 1],
egalitatea precedent˘a devine cos x =
π
2
−arccos (cos (sin x)) (∗). Distingem dou˘a
cazuri. Dac˘a sin x ∈ [0, π] (i.e. sin x ∈ [0, 1]), atunci (∗) devine cos x =
π
2
−sin x,
adic˘a sin x + cos x =
π
2
. Trecˆand la modul ¸si t ¸inˆand cont c˘a | sin t + cos t| ≤
√
2
pentru orice t ∈ R, obt ¸inem contradict ¸ia
π
2
≤
√
2. Dac˘a sin x ∈ [−1, 0], atunci
−sin x ∈ [0, 1] ¸si (∗) devine
cos x =
π
2
−arccos (cos (sin x)) =
π
2
−arccos (cos (−sin x)) =
π
2
+ sin x.
De aici rezult˘a c˘a cos x −sin x =
π
2
. Dar
π
2
= cos x −sin x ≤ | cos x −sin x| = | cos(−x) + sin(−x)| ≤
√
2,
obt ¸inˆand din nou contradict ¸ie. Contradict ¸ia provine din faptul c˘a am presupus
c˘a ecuat ¸ia dat˘a are solut ¸ii.
XI.1. Fie σ ∈ S
2n+1
, n ∈ N
∗
. S˘a se arate c˘a num˘arul N =
2n+1

j=1
(σ(j) −j)
este par.
Solut ¸ie. Presupunem, prin reducere la absurd, c˘a N este impar. Atunci
fiecare factor (σ(j) − j) este impar, j = 1, 2n + 1. Rezult˘a c˘a numerele σ(1),
σ(3), . . ., σ(2n + 1) sunt numere pare, iar acestea sunt ˆın num˘ar de n + 1,
fapt ce reprezint˘a o contradict ¸ie, deoarece exist˘a n numere pare ˆın mult ¸imea
{1, 2, . . . , 2n + 1}.
XII.1. Fie p ∈ N, p ≥ 2 fixat ¸si fie I
n
=
e
_
1
ln
n
x
x
p
dx, n ∈ N.
a) S˘a se calculeze I
0
¸si I
1
.
b) S˘a se deduc˘a o relat ¸ie de recurent ¸˘a pentru ¸sirul (I
n
)
n∈N
.
c) S˘a se studieze convergent ¸a ¸sirului (I
n
)
n∈N
.
Solut ¸ie.
a) I
0
=
e
_
1
1
x
p
dx =
1
1−p
x
1−p
¸
¸
¸
¸
e
1
=
1
p−1
_
1 −
1
e
p−1
_
.
De asemenea, calculˆand integrala I
0
prin p˘art ¸i, deducem c˘a
I
0
=
e
_
1
1
x
p
dx =
e
_
1
(ln x)

·
1
x
p−1
dx =
ln x
x
p−1
¸
¸
¸
¸
e
1
−
e
_
1
(1 −p)x
1−p−1
ln x dx =
=
1
e
p−1
+ (p −1)
e
_
1
ln x
x
p
dx =
1
e
p−1
+ (p −1)I
1
1
de unde
I
1
=
1
(p −1)
2
_
1 −
1
e
p−1
_
−
1
(p −1)e
p−1
.
b) Integrˆand prin p˘art ¸i obt ¸inem
I
n
=
e
_
1
(ln x)

·
ln
n
x
x
p−1
dx =
=
ln
n+1
x
x
p−1
¸
¸
¸
¸
e
1
−
e
_
1
ln x ·
nln
n−1
x ·
1
x
· x
p−1
−(p −1)x
p−2
ln
n
x
x
2p−2
dx =
=
1
e
p−1
−
e
_
1
nln
n
x · x
p−2
−(p −1)x
p−2
ln
n+1
x
x
2p−2
dx =
=
1
e
p−1
−n
e
_
1
ln
n
x
x
p
dx + (p −1)
e
_
1
ln
n+1
x
x
p
dx =
=
1
e
p−1
−nI
n
+ (p −1)I
n+1
.
Din cele de mai sus concluzion˘am c˘a
I
n+1
=
n + 1
p −1
· I
n
−
1
(p −1)e
p−1
, n ∈ N.
c) Pentru x ∈ [1, e] ¸si n ∈ N avem c˘a ln
n
x ∈ [0, 1] ¸si x
−p
∈ [e
−p
, 1], de unde
e
_
1
ln
n
x
x
p
dx ∈ [0, e − 1], deci ¸sirul (I
n
)
n∈N
este m˘arginit. De asemenea,
pentru n ∈ N avem
I
n+1
−I
n
=
e
_
1
ln
n+1
x −ln
n
x
x
p
dx =
e
_
1
ln
n
x
x
p
(ln x −1) dx ≤ 0,
deoarece
ln
n
x
x
p
≥ 0 ¸si ln x ≤ 1, pentru orice n ∈ N ¸si x ∈ [1, e]. Rezult˘a
c˘a ¸sirul (I
n
)
n∈N
este descresc˘ator. Conform teoremei lui Weierstrass, de-
ducem c˘a ¸sirul (I
n
)
n∈N
este convergent. Fie l := lim
n→∞
I
n
∈ [0, e −1]. Din
relat ¸ia de recurent ¸˘a, pentru n ∈ N
∗
, deducem c˘a
I
n+1
n
=
n + 1
n(p −1)
I
n
−
1
n(p −1)e
p−1
,
de unde, f˘acˆand n →∞, se obt ¸ine egalitatea 0 =
1
p−1
· l −0, de unde l = 0.
XII.2.
2
a) S˘a se arate c˘a e
n
∈ R Q, pentru orice n ∈ N
∗
.
b) S˘a se dea un exemplu de numere irat ¸ionale a ¸si b pentru care a
b
s˘a fie
rat ¸ional.
Solut ¸ie.
a) Pentru n = 1, este cunoscut faptul c˘a e este transcendent (i.e. nu ex-
ist˘a un polinom neconstant cu coeficient ¸i ˆıntregi care s˘a-l aib˘a pe e ca
r˘ad˘acin˘a), deci ˆın particular irat ¸ional. Putem deci presupune c˘a n ≥ 2.
Vom rat ¸iona prin reducere la absurd. Presupunem c˘a exist˘a n
0
∈ N,
n
0
≥ 2 pentru care e
n
0
∈ Q. Fie p, q ∈ N
∗
astfel ˆıncˆat e
n
0
=
p
q
, adic˘a
e =
n
0
_
p
q
. Consider˘am polinomul de grad n
0
: f = qX
n
0
− p. Avem c˘a
f ∈ Z[X] ¸si f(e) = q
_
n
0
_
p
q
_
n
0
− p = 0, deci e este r˘ad˘acin˘a a unui poli-
nom cu coeficient ¸i ˆıntregi (altfel spus, e este algebric), ceea ce reprezint˘a
o contradict ¸ie. Contradict ¸ia provine din faptul c˘a am presupus c˘a exist˘a
un num˘ar natural n
0
≥ 2 pentru care e
n
0
s˘a fie rat ¸ional. R˘amˆane deci c˘a
e
n
∈ R Q, pentru orice n ≥ 2, ceea ce ˆıncheie demonstrat ¸ia.
b) Fie a = e ¸si b = ln 2. Avem c˘a a ∈ R Q ¸si dac˘a am presupune ln 2 =
p
q
,
cu p, q ∈ N
∗
, am obt ¸inem q ln 2 = p, deci e
p
= e
q ln 2
= 2
q
∈ Q, ceea ce
este absurd. Deci ln 2 ∈ R Q. De asemenea, a
b
= e
ln 2
= 2 ∈ Q.
XII.3.
a) S˘a se arate c˘a 170 | 153
n
+ 45
n
−28
n
, pentru orice n ∈ N
∗
.
b) S˘a se arate c˘a dac˘a n, j ∈ N
∗
sunt astfel ˆıncˆat
13
4j+2
+1
153
n
+45
n
−28
n
< 1 atunci
13
4j+2
+170
153
n
+45
n
−28
n
< 1.
Solut ¸ie.
a) Pentru a simplifica rat ¸ionamentul vom descompune pe 170ˆın factori primi,
dup˘a care, pentru fiecare divizor de tip p
α
al lui 170, vom reduce suma
153
n
+ 45
n
− 28
n
modulo p
α
, r˘amˆanˆand (eventual) a demonstra pro-
prietatea pentru expresia redus˘a. Fie deci 170 = 2 · 5 · 17. Avem c˘a
153
n
+45
n
−28
n
≡ 1+1−0 ≡ 0 (mod 2), 153
n
+45
n
−28
n
≡ 3
n
+0−8
n
≡
3
n
−3
n
≡ 0 (mod 5), 153
n
+45
n
−28
n
≡ 0+11
n
−11
n
≡ 0 (mod 17), iar cum
2, 5, 17 sunt dou˘a cˆate dou˘a prime ˆıntre ele, deducem c˘a 153
n
+45
n
−28
n
este divizibil prin 170.
b) Avem c˘a 13
4j+2
+ 1 = 169
2j+1
+ 1 ≡ (−1)
2j+1
+ 1 ≡ −1 + 1 ≡ 0 (mod
170). Fie 13
4j+2
+1 = 170k ¸si 153
n
+45
n
−28
n
= 170l, cu k, l ∈ N
∗
. Din
ipotez˘a, avem c˘a 170k < 170l, adic˘a k < l, de unde k ≤ l+1. De asemenea,
13
4j+2
+ 170 = 13
4j+2
+ 1 + 169 = 170k + 169 < 170(k + 1) ≤ 170l, deci
13
4j+2
+ 170 < 170l = 153
n
+ 45
n
−28
n
, de unde rezult˘a concluzia.
3