Matrix

Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1 Ma trận
1.1.1 Một số định nghĩa
1. Ma trận A cở m × n trên trường K (thực hay phức) là ánh xạ:
a : ¡1, 2, . . . , m) × ¡1, 2, . . . , n) ÷ K
Ký hiệu: A  (a
ij
)
(i1,m;j1,n)
 (a
ij
)
A 
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
. . . a
mn
2. Tập hợp các ma trận cở m × n trên trường K được ký hiệu là M
m×n
(K) (cũng có khi viết
gọn là M
m×n
)
3. Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử đều là 0 (zero của K)
4.
x
1
x
2
. .
x
n
÷ M
n×1
gọi là ma trận cột;(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ÷ M
1×n
gọi là ma trận hàng
5.
(i) Ma trận cở n × n gọi là ma trận vuông cấp n. Tập các ma trận vuông cấp n trên trường K
ký hiệu là M
n
(K).
(ii) Ma trận đơn vị (ký hiệu là I) là ma trận vuông thỏa:
a
ij

1 nếu i  j
0 nếu i = j
(tức là I 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(n3))
(iii) Ma trận đường chéo là ma trận vuông dạng:
D 
o
1
0 . . 0
0 o
2
0
. . . .
.
. . .
0 0 . . o
n
; ký hiệu D  dig(o
1
, o
2
, . . . , o
n
)
(iv) Ma trận tam giác trên (dưới) là ma trận vuông dạng:
a
11
a
12
. . a
1n
0 a
22
a
2n
. . . .
.
. . . .
0 0 . . a
nn
(
a
11
0 . . 0
a
21
a
22
0
. . . .
.
. . .
a
n1
a
n2
. . a
nn
)
(v) Ma trận đối xứng là ma trận vuông A  (a
ij
) thỏa a
ij
 a
ji
(i, j  1, 2, . . . , n)
(vi) Ma trận đối của ma trận A  (a
ij
) ký hiệu là ÷A  (÷a
ij
)
6. Ma trận liên hợp A  (a
ij
) (nếu a
ij
÷ R, thì A  A)
1.1.2 Các phép toán
1. Hai ma trận bằng nhau: Cho A, B ÷ M
m×n
;A  (a
ij
), B  (b
ij
)
A  B · a
ij
 b
ij
(i  1, 2, . . . , m; j  1, 2, . . . , n)
2. Ma trận chuyển vị: Cho A  (a
ij
) ÷ M
m×n
; A
T
 (b
ij
)
i1,n;j1,m
÷ M
n×m
vói b
ij
 a
ji
Trang 1
Cụ thể: A 
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
. . . a
mn
thì A
T

a
11
a
21
. . . a
m1
a
12
a
22
. . . a
m2
. . . . . . . . . . . .
a
1n
a
2n
. . . a
mn
Ví dụ: A 
1 ÷1 0 1
2 0 1 ÷1
÷1 1 0 2
¬ A
T

1 2 ÷1
÷1 0 1
0 1 0
1 ÷1 2
3. Phép nhân ma trận với một số: Cho A  (a
ij
) ÷ M
m×n
; z ÷ K.
Ta định nghĩa: zA  (za
ij
)
4. Phép cộng ma trận: A  (a
ij
) ÷ M
m×n
; B  (b
ij
) ÷ M
m×n
Ta định nghĩa ma trận A  B  (a
ij
 b
ij
)
5. Phép nhân ma trận: Cho A  (a
ij
) ÷ M
m×n
; B  (b
ij
) ÷ M
n×p
.
Ta định nghĩa ma trận AB  C  (c
ij
) ÷ M
m×p
, xác định bởi:
i  1, 2, . . . , m; j  1, 2, . . . , p; Phần tử hàng i,cột j được tínhbởi: c
ij

k1
n
_ a
ik
b
kj
(Nhân từng phần tử hàng i của ma trận A, tương ứng với từng phần tử ở cột j của ma
trận B rồi cộng tất cả lại)
Vi dụ Cho A 
1 2
2 1
; B 
0 0 1
1 2 1
. AB 
2 4 3
1 2 3
6. Lũy thừa ma trận vuông: Cho A ÷ M
n
(K); p ÷ N. Ta định nghĩa:
(i) A
0
 I (ma trận đơn vị); (ii) A
p
 A
p÷1
A
Chú ý: Phép lũy thừa ma trận có tính chất của lũy thừa thông thường.
Tính chất phép nhân ma trận
1. Tính kết hợp: A ÷ M
m×n
; B ÷ M
n×p
; C ÷ M
p×q
, khi đó:A(BC)  (AB)C
2. Tính phân phối:
(i) A ÷ M
m×n
; B, C ÷ M
n×p
ta có: A(B  C)  AB  AC
(ii) A, B ÷ M
m×n
; C ÷ M
n×p
ta có: (A  B)C  AC  BC
3. Chuyển vị của ma trận tích: A ÷ M
m×n
; B ÷ M
n×p
ta có: (AB)
T
 B
T
A
T
1.1.3 Các phép biến đổi sơ cấp
Định nghĩa
1. Các phép biến đổi sau đây gọi là phép biến đổi sơ cấp:
(i) Đổi chổ hai dòng (cột) cho nhau
(ii) Nhân vào một số z = 0 cho tất cả các phần tử ở cùng một hàng (cột)
(iii) Thay các phần tử hàng (cột) i bởi các phần tử có được bằng cách lấy phần tử tương
ứng trên hàng i cộng thêm phần tử tương ứng ở hàng (cột) khác sau khi được nhân với cùng
một số (viết tắc h
i
÷ h
i
 zh
j
)
2. Ta nói ma trận A tương đương với ma trận B (ký hiệu: A~B) nếu từ A thực hiện một số
hữu hạn phép biến đổi sơ cấp có được B.
Định nghĩa: Một ma trận có tính chất sau đây gọi là ma trận dạng bậc thang:
(i) Nếu có những dòng gồm toàn số không (gọi là dòng không) nằm bên dưới,
(ii) Hai dòng khác không bất kỳ, số khác không đầu tiên của dòng bên dưới (tính từ bên
trái) nằm bên phải số khác không đầu tiên của dòng bên trên
Định lý
Trang 2
Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang sau đây bằng các phép biến đổi sơ cấp.
a
11
a
12
. . a
1n
0 a
22
0 0 . .
a
rr
a
rr1
a
rn
0 . . 0
0 0 . . 0 0
Bài tập
1. Tính AB ÷ BA với A 
1 ÷2 ÷1
2 1 2
1 2 3
; B 
4 1 1
÷4 2 0
1 2 1
2. Cho A 
1 1
0 1
. Tính A
n
(n  2, 3, . . . )
3. Dùng qui nạp chứng minh:
(a)
cos ç ÷sinç
sinç cos ç
n

cos nç ÷sinnç
sinnç cos nç
(b) (dig(k
1
, k
2
, . . . , k
n
))
m
 dig(k
1
m
, k
2
m
, . . . , k
n
m
); m  2, 3, . . .
5. Cho
A 
0 2 ÷1
1 1 ÷1
÷2 ÷5 4
; B 
1 3 1
2 2 1
3 4 2
; D 
1 0 0
0 2 0
0 0 1
Tính AB; C  BDA; C
6
1.2 Định thức
1.2.2 Khái niệm định thức.
1. Định thức: (Định nghĩa theo phương pháp quy nạp)
Cho ma trận vuông A cấp n, A  (a
ij
)
Trường hợp n  1, A  (a), ta định nghĩa det A  a
Trường hợp n  2, Giả sử A 
a b
c d
, ta định nghĩa det A  ad ÷ cb
Giả sử đã định nghĩa được định thức của các ma trận vuông cấp n ÷ 1
Ta định nghĩa định thức của ma trận vuông cấp n như sau:
Gọi M
ij
là định thức của ma trận con (k dòng, k cột) có được bằng cách xóa đi dòng i và cột
j của ma trận A. ( và cũng gọi là định thức con phụ của phần tử a
ij
)
Ta gọi số A
ij
 (÷1)
ij
M
ij
là phần bù đại số của phần tử a
ij
Ta định nghĩa det A  a
11
A
11
 a
21
A
21
. . . a
n1
A
n1

i1
n
_ a
i1
A
i1
(khai triển theo cột 1)
Ta cũng có ký hiệu det A  |A|
2. Tính chất của định thức.
1. det A 
j1
n
_ a
ij
A
ij

i1
n
_ a
ij
A
ij
(khai triển theo hàng i, hay theo cột j)
2. A là ma trận tam giác thì det A  a
11
. a
22
. . . . . a
nn
(tích các phần tử trên đường chéo chính)
3. det A  det A
T
(do đó, các tính chất đúng trên hàng thì cũng đúng trên cột)
Trang 3
4. Nếu đổi chổ hai hàng bất kỳ trong ma trận thì định thức đổi dấu.
5. Nếu nhân tất cả các phần tử của một hàng cho một số k thì giá trị định thức được nhân
lên với k (và do đó, nếu một hàng nào đó có thừa số chung thì có thể đưa thừa số chung đó ra
bên ngoài dấu định thức)
6. Nếu ma trận có 2 hàng tương ứng tỉ lệ thì định thức bằng 0.
7. Nếu một hàng nào đó của ma trận là tổ hợp tuyến của các dòng khác thì định thức bằng
0.
8. Định thức không thay đổi nếu ta thêm vào một dòng nào đó của ma trận một lượng là tổ
hợp tuyến tính của các dòng khác.
9. A, B ÷ M
n
(K) thì det(AB)  det A. det B
10. Cho A  (a
ij
) ÷ M
n
(K), trong đó các phần tử hàng thứ k được phân tích a
kj
 b
j
 c
j
(j  1, n), khai triển định thức theo hàng thứ k ta có: det A  det B  det C, với B, A là các ma trận
có được bằng cách lần lượt thay hàng thứ k trong A bởi (b
1
, b
2
, . . . , b
n
), rồi (c
1
, c
2
, . . . , c
n
)
Lưu ý:
Ta thường sử dụng tính chất 8 ở dạng phát biểu như sau:
Định thức không thay đổi nếu ta thay một dòng nào đó bởi dòng đó cộng với (cộng
tương ứng từng phần tử) một dòng khác sau khi nhân với một hằng số (nhân từng phân tử của
dòng cho hằng số)
Ví dụ:
A 
1 1 1 1
1 ÷1 2 2
1 1 ÷1 3
1 1 1 ÷1
; Tính det A
det A 
1 1 1 1
1 ÷1 2 2
1 1 ÷1 3
1 1 1 ÷1

1 1 1 1
0 ÷2 1 1
0 0 ÷2 2
0 0 0 ÷2
 1. (÷2). (÷2). (÷2)  ÷8
Có được kết quả trên là do thực hiện 3 lần thay đổi dòng rồi dùng tính chất 2:
Lần 1: Thay dòng 2 bởi dòng 2 (÷1) × dòng 1 (giá trị định thức không đổi)
Lần 2: Thay dòng 3 bởi dòng 3 (÷1) × dòng 1 (giá trị định thức không đổi)
Lần 4: hay dòng 4 bởi dòng 4 (÷1) × dòng 1 (giá trị định thức không đổi)
Định lý laplace (khai triển theo nhiều dòng hay nhiều cột)
Cho A  (a
ij
) ÷ M
n
(K), xét k hàng i
1
, i
2
, . . . , i
k
và k cột j
1
, j
2
, . . . , j
k
, các phần tử của A nằm
giao các hàng các cột nói trên là một ma trận vuông cấp k mà định thức của nó ta ký hiệu là
m
i
1
i
2
...i
k
j
1
j
2
...j
k
.
Ma trận vuông cấp n ÷ k có được bằng cách xóa đi k hàng và k cột nói trên của A, có định
thức ta ký hiệu là M
i
1
i
2
...i
k
j
1
j
2
...j
k
và gọi là định thức con bù của m
i
1
i
2
...i
k
j
1
j
2
...j
k
Ta gọi A
i
1
i
2
...i
k
j
1
j
2
...j
k
 (÷1)
i
1
i
2
...i
k
j
1
j
2
...j
k
- M
i
1
i
2
...i
k
j
1
j
2
...j
k
Khi đó: det A 
0j
1
j
2
...j
k
_n
_ m
i
1
i
2
...i
k
j
1
j
2
...j
k
- A
i
1
i
2
...i
k
j
1
j
2
...j
k
(*)
Ví dụ
Trang 4
Tính  
1 1 1 1
1 x 1 x
0 0 x 1
0 0 1 x
;
Khai triển theo 2 dòng cuối (dòng 3, dòng 4), từ hai dòng này, lần lượt chọn hai cột bất kỳ
(12, 13, 14, 23, 24, 34) ta rút ra được 6 ma trận vuông cấp hai, có định thức ký hiệu là m
34
12
,
m
34
13
, m
34
14
, m
34
23
, m
34
24
, m
34
34
. Trong các giá trị này chỉ có 1 giá trị có thể khác 0 là m
34
34

x 1
x x
;
như vậy trong tổng (*) chỉ có một số hạng có thể khác 0 đó là
m
34
34
× A
34
34

x 1
x x
×
1 1
1 x
 (x
2
÷ x)(x ÷ 1)
Bài tập
1. Tính các định thức
(a)
1 0 2
÷1 0 1
3 ÷1 1
; (b)
1 1 c
1 1 c
2
c
2
c 1
(c)
sin
2
o 1 cos
2
o
sin
2
[ 1 cos
2
[
sin
2
, 1 cos
2
,
; (d)
x x

ax  bx

y y

ay  by

z z

az  bz

2. Tính
(a)
0 x y z
x 0 y z
y z 0 x
z y x 0
; (b)
1 1 1 0 0 0
2 3 4 0 0 0
3 6 10 0 0 0
4 9 14 1 1 1
5 15 24 1 5 9
0 24 38 1 25 81
1.3 Ma trận nghịch đảo
Định nghĩa
Cho A ÷ M
n
(K), giả sử tồn tại B ÷ M
n
(K) để cho AB  BA  I, trong đó I là ma trận đơn vị,
thì B gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A và ký hiệu là A
÷1
, khi đó ta nói A khả nghịch.
Định lý
Điều kiện cần và đủ để A khả nghịch là det A = 0 (còn gọi là A không suy biến)
Cách tìm ma trận nghịch đảo
Cách 1 (Tìm bằng ma trận phụ hợp)
Cho A  (a
ij
) ÷ M
n
(K) khả nghịch, gọi A
ij
là bù đại số của a
ij
Đặt A
/
 (A
ij
); P
A
 (A
/
)
T
gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A.
Khi đó: A
÷1

1
det A
P
A
Ví dụ: A 
1 ÷2
1 0
; det A  2, A
/

0 ÷1
2 1
Trang 5
¬ A
÷1

1
2
(A
/
)
T

1
2
0 2
÷1 1

0 1
÷1
2
1
2
Cách 2 (Tìm bằng biến đổi sơ cấp dòng, thường dùng cho ma trận nhiều dòng, nhiều cột)
A | I
Biến đổi sơ cấp dòng
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷  I | B ; Khi đó A
÷1
 B
Ví dụ
Cho A 
1 2 3
2 5 3
1 0 8
, tìm A
÷1
;
1 2 3
2 5 3
1 0 8
1 0 0
0 1 0
0 0 1
d2÷d2÷2d1
d3÷d3÷d1
÷ ÷ ÷ 
1 2 3
0 1 ÷3
0 ÷2 5
1 0 0
÷2 1 0
÷1 0 1
d3÷d32d1
÷ ÷ ÷ 
1 2 3
0 1 ÷3
0 0 ÷1
1 0 0
÷2 1 0
÷5 2 1
d3÷÷d3
÷ ÷ ÷ 
1 2 3
0 1 ÷3
0 0 1
1 0 0
÷2 1 0
5 ÷2 ÷1
d2÷d23d3
d1÷d1÷3d3
÷ ÷ ÷ 
1 2 0
0 1 0
0 0 1
÷14 6 3
13 ÷5 ÷3
5 ÷2 ÷1
d1÷d1÷2d2
÷ ÷ ÷ 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
÷40 16 9
13 ÷5 ÷3
5 ÷2 ÷1
Vậy A
÷1

÷40 16 9
13 ÷5 ÷3
5 ÷2 ÷1
Định lý
Cho A, B ÷ M
n
(K) và là các ma trận khả nghịch, khi đó: (AB)
÷1
 B
÷1
A
÷1
1.4 Hạng của ma trận
1. Ma trận A ÷ M
m×n
(K) gọi là có hạng là r (ký hiệu rank(A)  r) nếu như A chứa ma trận
con cấp r không suy biến và mọi ma trận con cấp lớn hơn r đều suy biến.
2. Qui ước ma trận 0 có hạng bằng 0.
3. rank(A)  rank(A
T
)
4. A~B ¬ rank(A)  rank(B)
Ví dụ:
Tìm hạng của ma trận A 
1 0 3 0 2
4 2 1 5 3
÷5 ÷4 7 ÷10 0
A
d2÷d2÷4d1
d3÷d35d1
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 
1 0 3 0 2
0 2 ÷11 5 ÷5
0 ÷4 22 ÷10 10
A
d3÷d32d2
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 
1 0 3 0 2
0 2 ÷11 5 ÷5
0 0 0 0 0
rank(A)  2 (vì tìm thấy ít nhất một ma trận con cấp 2 không suy biến và tất cả các ma trận cấp
3 đều suy biến (ví có chứa 1 dòng gồm toàn số 0))
Chương 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2.1 Dạng tổng quát
Trang 6
Hệ m phương trình tuyến n ẩn x
1
, x
2
, . . . , x
n
dạng:
a
11
x
1
 a
12
x
2
. . . . . . . a
1n
x
n
 b
1
a
21
x
1
 a
22
x
2
. . . . . . . a
2n
x
n
 b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
x
1
 a
m2
x
2
. . . . . . . a
mn
x
n
 b
n
(1)
Hoặc viết dưới dạng ma trận: AX  B
a
11
a
12
. . . . a
1n
a
21
a
22
. . . . a
2n
. . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
. . . . a
mn
x
1
x
2
. .
x
n

b
1
b
2
. .
b
n
Trong trường hợp b
1
 b
2
. . .  b
n
 0 thì hệ (1) gọi là hệ thuần nhất.
Định lý (Kronecker-Capeli)
Hệ (1) có nghiệm khi và chỉ khi rank(A)  rank(A
b
), trong đó:
A
b

a
11
a
12
. . a
1n
b
1
a
21
a
22
. . a
2n
b
2
. . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
. . a
mn
b
n
(ma trận A ghép thêm cột B)
Định lý
Nếu (A|B)~(A
/
|B
/
) (bằng biến đổi sơ cấp dòng), thì: AX  B · A
/
X  B
/
2.2 Hệ Cramer
Trường hợp m  n (số phương trình bằng số ẩn) và det A = 0, thì hệ (1) gọi là hệ Cramer
Định lý
Hệ Cramer có nghiệm duy nhất X  A
÷1
B và
x
i

det A
i
det A
; i  1, n và A
i
là ma trận có được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột B.
Hệ quả:
Hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi rank(A)  n
2.3 Phương pháp Gauss
Ví dụ
1.
x
1
÷ 2x
3
 ÷3
÷2x
1
 x
2
 6x
3
 11
÷x
1
 5x
2
÷ 4x
3
 ÷4
;
Biến đổi dòng
1 0 ÷2 ÷3
÷2 1 6 11
÷1 5 ÷4 ÷4
÷
1 0 ÷2 ÷3
0 1 2 5
0 5 ÷6 ÷7
÷
1 0 ÷2 ÷3
0 1 2 5
0 0 ÷16 ÷32
hệđã cho ·
x
1
÷ 2x
3
 ÷3
x
2
 2x
3
 5
÷ 16x
3
 ÷32
·
x
1
 1
x
2
 1
x
3
 2
2. Giải hệ sau:
Trang 7
x
1
÷ 2x
2
 x
3
 2x
4
 3
2x
1
÷ 4x
2
 x
3
 2x
4
 4
3x
1
÷ 6x
2
 2x
3
 5x
4
 6
6x
1
÷ 12x
2
 4x
3
 9x
4
 13
1 ÷2 1 2
2 ÷4 1 2
3 ÷6 2 5
6 ÷12 4 9
3
4
6
13
÷
1 ÷2 1 2
0 0 ÷1 ÷2
0 0 ÷1 ÷1
0 0 ÷2 ÷3
3
÷2
÷3
÷5
÷
1 ÷2 1 2
0 0 ÷1 ÷2
0 0 0 1
0 0 0 0
3
÷2
÷1
0
÷
1 ÷2 0 0
0 0 1 2
0 0 0 1
0 0 0 0
1
2
÷1
0
Vậy hệ đã cho ·
x
1
÷ 2x
2
 1
x
3
 2x
4
 2
x
4
 ÷1
·
x
1
 1  2o
x
2
 o
x
3
 4
x
4
 ÷1
Trang 8
Chương 3. KHÔNG GIAN VÉC TƠ (KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH)
3.1 Cấu trúc không gian véc tơ
Định nghĩa
Cho tập E khác rỗng, trường K (thực hay phức) và hai phép toán:
 : E × E ÷ E, (x, y) ÷ x  y (gọi là phép cộng)
- : K × E ÷ E, (z, y) ÷ zx (gọi là phép nhân)
thỏa đồng thời 8 tiên đề sau:
1) x  y  y  x (¬x, y ÷ E)
2) (x  y)  z  x  (y  z) (¬x, y, z ÷ E)
3) Tồn tại phần tử thuộc E (gọi là phần tử không, ký hiệu là 0) sao cho
x  0  0  x  x (¬x ÷ E)
4) ¬x ÷ E, tồn tại phần tử thuộc E (gọi là phần tử đối, ký hiệu là ÷x) sao cho: x  (÷x)  0
(¬x ÷ E)
5) 1. x  x (¬x ÷ E)
6) z(jx)  (zj)x (¬x ÷ E, ¬z, j ÷ K)
7) (z  j)x  zx  jx (¬x ÷ E, ¬z, j ÷ K)
8) z(x  y)  zx  zy (¬x, y ÷ E, ¬z ÷ K)
Khi đó, (E, , -) gọi là không gian véc tơ (kgvt) trên trường K. Phần tử của E gọi là véc tơ, phần
tử không gọi là véc tơ không, phần tử đối gọi là véc tơ đối.
Ví dụ
1. E  R
n
, K  R là kgvt với hai phép toán sau:
Phép cộng: x  (x
1
, x
2
, . . . , x
n
); y  (y
1
, y
2
, . . . , y
n
)
thì x  y  (x
1
 y
1
, x
2
 y
2
, . . . , x
n
 y
n
);
Phép nhân: zx  (zx
1
, zx
2
, . . . , zx
n
)
Phần tử 0
E
 (0, 0, . . . , 0); phần tử đối của x  (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) là x  (÷x
1
, ÷x
2
, . . . , ÷x
n
)
2. Xét tập E  C|a, b] gồm các hàm số liên tục trên đoạn |a, b] với hai phép toán định nghĩa
như sau là kgvt
f  g : |a, b] ÷ R, (f  g)(x)  f(x)  g(x) (x ÷ |a, b])
zf : |a, b] ÷ R, (zf)(x)  zf(x) (x ÷ |a, b])
Phần tử 0
E
là hàm hằng 0 : |a, b] ÷ R, 0(x)  0 với mọi x.
Phần tử đối ÷f : |a, b] ÷ R, (÷f)(x)  ÷f(x) ¬x ÷ |a, b]
3. E  M
m×n
(K) cùng với hai phép toán: phép cộng ma trận, phép nhân ma trận với một số
là một kgvt.
Phần tử không là ma trận không. Phần tử đối của ma trận A là ma trận ÷A
Nhận xét: Từ 8 tiên đề nói trên, trong không gian vec tơ E có các tính chất sau:
(i) k0
E
 0
E
(¬k ÷ K) ; (Chứng minh: k. 0
E
 k(0
E
 0
E
)  k0
E
 k0
E
¬ k0
E
 0
E
)
(ii) 0. x  0
E
(¬x ÷ E); (Chứng minh: 0. x  (0  0)x  0x  0x ¬ 0. x  0
E
)
(iii) kx  0
E
¬ k  0 hoặc x  0
E
; (Chứng minh: giả sử k = 0, Jk
÷1
¬ k
÷1
(kx)  0
E
¬ x  0
E
)
(iv) ÷x  (÷1)x (¬x ÷ E); (Chứng minh: x  (÷1)x  1. x  (÷1)x  (1  (÷1))x  0. x  0
E
)
3.2 Không gian con
Định nghĩa
Cho E là kgvt, F là tập con khác rỗng của E. Nếu F cùng với các phép toán đã có trên E là
không gian véc tơ thì ta nói F là không gian véc tơ con của E (có khi gọi tắt là không gian con)
Định lý (điều kiện không gian con)
Cho E là kgvt, F là tập con khác rỗng của E.
Điều kiện cần và đủ là để F là không gian véc tơ con của E là thỏa hai điều kiện sau:
Trang 9
(i) ¬x, y ÷ F ¬ x  y ÷ F
(ii) ¬x ÷ F, ¬z ÷ K ¬ zx ÷ F
Lưu ý: Có thể phát biểu gộp lại: ¬x, y ÷ F; ¬z, j ÷ K ¬ zx  jy ÷ F
Ví dụ
1. Cho (E, , -) là kgvt thì F  ¡0) là kgvt con (không gian con tầm thường)
2. E  R
2
, a, b ÷ R; F  ¡(x, y) ÷ E : ax  by  0) là kgvt con của E
3. E  R
2
; F  ¡(x, y) ÷ E : y  x
2
) không là không gian con.
4. Cho A, B là các không gian con của không gian véc tơ E, A  B  ¡a  b : a ÷ A, b ÷ B) là
không gian véc tơ con của E và ta gọi là không gian tổng của A và B. Trong trường hợp
A , B  ¡0) ta nói là tổng trực tiếp và ký hiệu là A q B. Trong trường hợp A q B  E thì ta nói A
và B là bù nhau (ta có thể chứng minh được rằng A q B  E khi và chỉ khi thỏa điều kiện sau:
¬x ÷ E, tồn tại duy nhất a ÷ A, b ÷ B để cho x  a  b)
3.3 Hệ sinh
Định nghĩa
Cho E là không gian véc tơ.
1. ¡u
1
, u
2
, . . . , u
n
) . E, phần tử x  o
1
u
1
 o
2
u
2
. . . o
n
u
n
o
i
÷ K, i  1, n gọi là tổ hợp
tuyến tính của ¡u
1
, u
2
, . . . , u
n
)
2. X . E, ta định nghĩa tập hợp L(X) gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của
X. Nghĩa là:
L(X)  x ÷ E : Jx
1
, x
2
, . . . , x
p
÷ X và o
i
÷ K, i  1, p , x 
p
i1
_ o
i
x
i
(Tập hợp này còn gọi là bao tuyến tính của X)
Định lý
Cho E là không gian véc tơ, X . E, khi đó L(X) là không gian véc tơ con bé nhất trong các
không gian con của E chứa X.
Định nghĩa
Cho E là không gian véc tơ, X . E. Nếu L(X)  E thì ta nói tập X là tập sinh hệ sinh ra
không gian E.
Ví dụ
E là kgvt , a ÷ E\¡0); L(¡a))  ¡x ÷ E : x  za) = Ka
3.4 Họ các véc tơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa
Cho E là kgvt
1. Ta nói hệ ¡u
1
, u
2
, . . . , u
n
) . E là độc lập tuyến tính nếu như:
(o
1
u
1
 o
2
u
2
. . . o
n
u
n
 0 ¬ o
1
 o
2
. . .  o
n
 0) (Phát biểu tương đương: Hệ
o
1
u
1
 o
2
u
2
. . . o
n
u
n
 0 chỉ có nghiệm tầm thường o
1
 o
2
. . .  o
n
 0)
Trong trường hợp ngược lại, tồn tại các số o
1
, o
2
, . . . , o
n
không đồng thời bằng 0 và
o
1
u
1
 o
2
u
2
. . . o
n
u
n
 0 thì ta nói hệ phụ thuộc tuyến tính.
2. M . E, M = . ta nói họ M độc lập tuyến tính nếu như mọi họ con hữu hạn của M là độc
lập tuyến tính.(Ngược lại, ta nói họ phụ thuộc tuyến tính)
3. Ta nói hạng của một hệ gồm hữu hạn véc tơ là số lượng lớn nhất các véc tơ trong hệ
độc lập tuyến tính
Nhận xét:
1. Nếu hệ phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại ít nhất một véc tơ trong hệ là tổ hợp tuyến tính
của các véc tơ còn lại.
2. Trong hệ nếu có chứa véc tơ không, thì hệ phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ
1. Trong R
3
, hệ ¡a
1
 (1, 1, 1); a
2
 (1, 1, 0); a
3
 (1, 0, 0)) là độc lập tuyến tính và củng là hệ
Trang 10
sinh của R
3
.
2. Trong không gian các hàm liên tục trên (÷·, ·), hệ 3 vec tơ ¡1, cos x, sinx) là độc lập
tuyến tính.
3. Trong không gian M
2
(R) các ma trận vuông cấp 2,
a
1

1 0
0 0
; a
2

1 1
0 0
; a
3

1 1
1 0
; a
4

1 1
1 1
Họ ¡a
1
, a
2
, a
3
, a
4
) là độc lập tuyến tính.
3.5 Cơ sở - Tọa độ véc tơ
Định nghĩa
Cho E là kgvt
1. Ta gọi cơ sở của E là một hệ sinh độc lập tuyến tính của E.
2. Nếu E có cơ sở là một họ hữu hạn phần tử thì ta nói E là không gian hữu hạn chiều (số
chiều của E ký hiệu là dimE), trong trường hợp ngược lại ta nói E là không gian vô hạn chiều.
Ta quy ước không gian véc tơ con tầm thường ¡0) có số chiều bằng 0.
Lưu ý: Trong phạm vi chương trình ta chỉ xét không gian hữu hạn chiều.
Định lý
Cho E là không gian véc tơ. Hệ ¡u
1
, u
2
, . . . , u
n
) là cơ sở khi và chỉ khi thỏa điều kiện sau:
¬x ÷ E, tồn tại và duy nhất (o
1
, o
2
, . . . , o
n
) ÷ K
n
sao cho x  o
1
u
1
 o
2
u
2
. . . o
n
u
n
Định nghĩa
Cho E là không gian véc tơ với cơ sở (u)  ¡u
1
, u
2
, . . . , u
n
),
x ÷ E, x  o
1
u
1
 o
2
u
2
. . . o
n
u
n
Thì bộ số (o
1
, o
2
, . . . , o
n
) gọi là tọa độ của x đối với cơ sở (u).
Ký hiệu: x|
(u)
 (o
1
, o
2
, . . . , o
n
)
cũng viết |x]
u

o
1
o
2
. .
o
n
Ví dụ
Trong R
n
, các véc tơ:
e
1
 (1, 0, . . . , 0); e
2
 (0, 1, . . . , 0); . . . . ; e
n
 (0, 0, . . . , 1)
làm thành cơ sở và gọi là cơ sở tự nhiên.
3.6 Chuyển cơ sở
3.6.1 Ma trận chuyển cơ sở
Cho (a)  ¡a
1
, a
2
, . . . , a
n
) và (b)  ¡b
1
, b
2
, . . . , b
n
) là các cơ sở của không gian véc tơ E.
Nếu b
j

n
i1
_ c
ij
a
i
(j  1, 2, . . . , n) thì ta nói ma trận T  (c
ij
) là ma trận chuyển từ cơ sở (a)
sang sơ sở (b).
(Rõ hơn, b
j
 (c
1j
, c
2j
, . . . , c
nj
) là tọa độ của véc tơ b
j
đối với cơ sở (a); nó là cột thứ j trong
ma trận T)
Nhận xét: Nếu T là ma trận chuyển từ (a) sang (b) thì T
÷1
là ma trận chuyển từ (b) sang (a)
3.6.2 Công thức chuyển tọa độ
1.
Trang 11
x|
(a)

x
1
x
2
. . .
x
n
= |x]
a
; x|
(b)

x
1

x
2

. . .
x
n

= |x]
b
T
ab
là ma trận chuyển cơ sở (a) sang (b), khi đó:
|x]
a
 T
ab
|x]
b
và do đó: |x]
b
 T
ab
÷1
|x]
a
2.
Trong không gian vec tơ E cho các cơ sở (a), (b), (c). Khi đó:
T
ab
 T
ac
T
cb
(Chứng minh: |x]
a
 T
ac
|x]
c
mà |x]
c
 T
cb
|x]
b
suy ra |x]
a
 (T
ac
T
cb
)|x]
b
¬đpcm)
Ví dụ
Trong cơ sở tự nhiên (e)  ¡e
1
, e
2
, e
3
) e
1
 (1, 0, 0); e
2
 (0, 1, 0); e
3
 (0, 0, 1) của R
3
cho các hệ véc tơ (a) : ¡a
1
 (1, 2, 1); a
2
 (2, 3, 3); a
3
 (3, 7, 1))
(b) : ¡b
1
 (3, 1, 4); b
2
 (5, 2, 1); b
3
 (0, 1, ÷6))
a) Chứng tỏ các hệ trên là cơ sở của R
3
.
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở:
(i) Từ (e) sang (a); (ii) Từ (e) sang (b); (iii) Từ (a) sang (b)
c) Cho x|
(e)
 (÷1, 0, 2) Tìm tọa độ của x đối với cơ sở (a), đối với cơ sở (b)
Nhận xét về mối liên hệ giữa sự độc lập tuyến tính, hạng của véc tơ, hạng của ma trận
thông qua tọa độ của các véc tơ
Cho E là không gian véc tơ DimE  n. Hệ ¡a
1
, a
2
, . . . , a
m
) . E.
1. Nếu m  n thì hệ phụ thuộc tuyến tính.
2. Hạng của hệ ¡a
1
, a
2
, . . . , a
m
) bằng hạng của ma trận dòng (cột) tọa độ (đối với cùng một
cơ sở) của các véc tơ trong hệ.
3. Hệ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi hạng của hệ bằng m (hệ quả: Hệ phụ thuộc tuyến
tính khi và chỉ khi hạng của hệ bé hơn m)
3.7 Không gian Euclide
Định nghĩa
1. Cho không gian véc tơ E trên trường số thực R, ánh xạ (. , . ) : E × E ÷ R, được gọi là
tích vô hướng nếu thỏa các tính chất sau:
(1) (x, x) _ 0 ¬x ÷ E, (x, x)  0 · x  0
(2) (x, y)  (y, x) ¬x, y ÷ E
(3) (x  y, z)  (x, z)  (y, z) ¬x, y, z ÷ E
(4) (kx, y)  k(x, y) ¬x, y ÷ E, ¬k ÷ R.
2. Không gian véc tơ E cùng với tích vô hướng (. , . ) gọi là không gian Euclide.
3. x ÷ E (không gian Euclide), độ dài (hay còn gọi là chuẩn) của véc tơ x (ký hiệu là x) là
số: x  (x, x) (ta chứng minh được |(x, y)| _ x. y; đẳng thức xảy ra · x, y phụ thuộc
tuyến tính)
4. Ta gọi góc giữa hai véc tơ x, y ÷ E là số 0 ÷ |0, m] sao cho cos 0 
(x,y)
x.y
5. Cho x, y ÷ E Ta nói x vuông góc với y (ký hiệu x ± y) nếu (x, y)  0.
Ví dụ
1. E  R
n
; (. , . ) : E × E ÷ R, xác định như sau: x  (x
1
, x
2
, . . . , x
n
); y  (y
1
, y
2
, . . . , y
n
)
(x, y) 
n
i1
_ x
i
y
i
Trường hợp n  2 ta có mặt phẳng thông thường
Trường hợp n  3 ta có không gian 3 chiều (hình học) thông thường
Trang 12
2. Cho E  C(|a, b]) là không gian các hàm liên tục trên đoạn |a, b] với phép toán cộng hàm
thông thường, và phép nhân số thực với một hàm thông thường, ta xác định tích vô hướng
như sau:
(f, g) 
a
b
] f(x)g(x)dx
Khi đó E là không gian Euclide
Trang 13
Chương 4. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Trong chưng này ta xét E  R
n
, x  (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ÷ E, y  (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) ÷ E
ta ký hiệu :|x] 
x
1
x
2
.
x
n
;
(x|y)  x
1
y
1
 x
2
. y
2
. . . x
n
y
n
;
x  x
1
2
 x
2
2
. . . x
n
2
4.1 Giá tri riêng, véc tơ riêng của một ma trận, đa thức đặc trưng, phương trình đặc
trưng
Định nghĩa
Cho A ÷ M
n
(K)
1. Nếu tồn tại x ÷ E\¡0), z ÷ K sao cho A|x]  z|x] thì z gọi là giá trị riêng của A, khi đó, x
gọi là véc tơ riêng của A ứng với giá trị riêng z
2. Ta gọi đa thức (ẩn z) đặc trưng của ma trận A) là det(A ÷ zI) và phương trình đặc trưng
tương ứng là det(A ÷ zI)  0.
3. Cho A, B ÷ M
n
(K), A gọi là đồng dạng với B Ký hiệu:A~B nếu tồn tại ma trận khả
nghịch S ÷ M
n
(K) để cho: B  S
÷1
AS
Định lý
1. Các ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng
2. z ÷ K là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi z là nghiệm của phương trình đặc trưng
của A.
3. Tập V
z
 ¡x ÷ E : A|x]  z|x]) là một không gian véc tơ và ta gọi là không gian con riêng
ứng với giá trị riêng z.
4. Các véc tơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau của A thì độc lập tuyến tính
5.2 Chéo hóa ma trận.
Định nghĩa
Cho A ÷ M
n
(K). Ta nói A là chéo hóa được nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo B, tức
là tồn tại ma trận khả nghịch S ÷ M
n
(K) sao cho S
÷1
AS  B. Khi đó ma trận S gọi là ma trận làm
chéo hóa.
Định lý (Điều kiện chéo hóa)
Cho A ÷ M
n
(K), A chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở gồm toàn các véc tơ riêng
của A. (Nghĩa là tồn tại n véc tơ riêng của A độc lập tuyến tính).
Cụ thể: nếu ¡a
1
, a
2
, . . . , a
n
) là cơ sở gồm toàn các véc tơ riêng, các giá trị riêng tương ứng là
z
1
, z
2
, . . . , z
n
. Gọi S là ma trận mà các cột của nó lần lượt là các cột toạ độ của a
1
, a
2
, . . . , a
n
.
B 
z
1
0 . . 0
0 z
2
. .
. . . . 0
0 . . 0 z
n
 dig(z
1
, z
2
, . . . , z
n
)
Khi đó: S là ma trận làm chéo hoá A, tức là S
÷1
AS  B
Thuật toán chéo hoá:
Ta có thể tóm các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính như sau:
Bước 1: Tìm các giá trị riêng của ma trận A (Tức là tìm nghiệm của phương trình đặc trưng)
Bước 2: Đối với mỗi giá trị riêng, ta tìm cơ sở (gồm toàn véc tơ riêng) của không gian con
Trang 14
riêng tương ứng bằng cách giải hệ phương trình (A ÷ zI)|x]  |0].
Bước 3. Lấy tất cả các cơ sở tìm được ở bước 3, nếu đủ làm cơ sở của E, thì chéo hóa
được và ma trận dạng đường chéo gồm các giá trị riêng.
Lưu ý: Trong trường hợp K  R, ta có thể trình bày cụ thể hơn như sau:
Bước 1: Tính đa thức đặc trưng và tìm nghiệm của nó,
Nếu đa thức có một nhân tử là tam thức bậc hai vô nghiệm thì kết luận không chéo hoá
được và dừng, ngược lại thực hiện bước 2
Bước 2: Phân tích đa thức đặc trưng thành dạng
det(A ÷ zI)  (÷1)
p
(z ÷ z
1
)
r
1
(z ÷ z
2
)
r
2
. . . (z ÷ z
k
)
r
k
Bước 3: Lần lượt với mỗi z
i
ta tìm một cơ sở của không gian riêng ứng với giá trị riêng này
bằng cách giải hệ phương trình:
(A ÷ z
i
I)|x]  |0]
và chú ý rằng, số chiều của không gian con riêng này là s
i
 n ÷ rank(A ÷ z
i
I), nếu thấy
s
i
 r
i
thì kết luận ngay không chéo hoá được
Bước 4. Lấy các cơ sở tìm được ở bước 3, lập ma trận S và S
÷1
AS là ma trận có dạng đường
chéo.
Ví dụ:
1. A 
1 0 ÷2
2 2 ÷2
0 0 ÷1
a./ Tìm các giá trị riêng của A
b./ A chéo hoá được không?, nếu được tìm ma trận làm chéo hoá, chỉ ra ma trận đồng dạng
với A có dạng đường chéo
2. Cho A 
3 ÷2 0
÷2 3 0
0 0 5
, Tìm A
2007
4.3 Sự chéo hoá trực giao các ma trận đối xứng.
Định nghĩa
1. Ma trận A ÷ M
n
(K) gọi là ma trận trực giao nếu A
T
A  I (tức là A khả nghịch và ma trận
nghịch đảo của nó bằng ma trận chuyển vị của nó)
2. Ta nói x và y là trực giao (ký hiệu xy) nếu (x|y)  0
3. ¡a
1
, a
2
, . . . , a
n
) gọi hệ trực chuẩn nếu a
i
a
j
(i = j) và a
i
  1
Mệnh đề
Ma trận A ÷ M
n
(K) trực giao khi và chỉ khi các véc tơ cột của A lập thành một hệ trực
chuẩn.
Ví dụ: Các ma trận sau đây là trực giao
sino cos o
÷cos o sino
;
2
3
÷
2
3
1
3
2
3
1
3
÷
2
3
1
3
2
3
2
3
Định lý
Mọi ma trận đối xứng A đều chéo hoá được bởi ma trận trực giao
Thuật toán chéo hoá ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao được mô tả qua ví dụ sau:
Trang 15
Cho A 
1 2 2
2 1 2
2 2 1
; Hãy tìm ma trận trực giao P là chéo hoá A. Đặt B  P
÷1
AP tìm ma
trận B.
Giải:
Bước 1: Tìm các giá trị riêng
Đa thức đặc trưng:
det(A ÷ zI)  det
1 ÷ z 2 2
2 1 ÷ z 2
2 2 1 ÷ z
 ÷(z ÷ 5)(z  1)
2
Nghiệm của phương trình đặc trưng: z
1
 5, z
2
 ÷1 (bội 2)
Bước 2: Ứng với từng giá trị riêng, tìm cơ sở của không gian này và trực giao từng cơ sở để có
cơ sở gồm toàn các véc tơ riêng trực giao với nhau
Với z  5, x  (x
1
, x
2
, x
3
)
(A ÷ 5I)|x]  0 ·
÷4 2 2
2 ÷4 2
2 2 ÷4
x
1
x
2
x
3

0
0
0
·
1 1 ÷2
0 1 ÷1
0 0 0
x
1
x
2
x
3

0
0
0
Số chiều của không gian riêng  3 ÷ Rank(A ÷ 5I)  3 ÷ 2  1; Chọn 1 véc tơ làm cơ sở:
a
1
 (1, 1, 1) (bằng cách cho x
3
 1, tính x
2
, x
1
)
 Với z  ÷1
(A  I)|x]  0 ·. . . ·
1 1 1
0 0 0
0 0 0
x
1
x
2
x
3

0
0
0
Số chiều của không gian riêng  3 ÷ Rank(A  I)  3 ÷ 1  2; Chọn 2 véc tơ làm cơ sở:
a
2
 (÷1, 1, 0) (chọn x
3
 0, x
2
 1 ¬ x
1
 ÷1)
a
3
 (÷1, 0, 1)
a
1
đã trực giao với không gian riêng sinh bởi ¡a
2
, a
3
)
Trực giao hệ ¡a
2
, a
3
) :
Tìm b
2
 a
2
 (÷1, 1, 0)
Tìm b
3
 a
3
 pb
2
 (÷1 ÷ p, p, 1), ta tìm p thoả:
(b
3
|b
2 )  0 · 1  p  p  0 · p  ÷
1
2
¬ b
3
 ÷
1
2
, ÷
1
2
, 1
Đặt b
1
 a
1
 (1, 1, 1)
Ta được một cơ sở ¡b
1
, b
2
, b
3
)gồm toàn các véc tơ riêng trực giao, tuy nhiên chưa trực
chuẩn.
Bước 3.Ta chuẩn hoá các véc tơ trong hệ này bằng cách đặt:
u
1

1
b
1

b
1

1
3
,
1
3
,
1
3
Trang 16
u
2

1
b
2

b
2
 ÷
1
2
,
1
2
, 0
u
3

1
b
3

b
3
 ÷
1
6
, ÷
1
6
,
2
6
Vậy:
P 
1
3
÷
1
2
÷
1
6
1
3
1
2
÷
1
6
1
3
0
2
6
; B  P
÷1
AP 
5 0 0
0 ÷1 0
0 0 ÷1
4.4 Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương
Định nghĩa
1. Cho A  (a
ij
) ÷ M
n
(K), x  (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ÷ E, y  (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) ÷ E, ánh xạ
ç : E × E ÷ K xác định bởi:
ç(x, y) 
n
i1
_
n
j1
_
a
ij
x
i
y
j
(cách viết khác ç(x, y)  |x]
t
A|y])
gọi là một dạng song tuyến tính. A gọi là ma trận của dạng sog tuyến tính ç. Trong trường hợp
A là ma trận đối xứng thì ç gọi là dạng song tuyến tính đối xứng.
2. Cho ç là một dạng song tuyến tính đối xứng thì ánh xạ Q : E ÷ K, định bởi:
Q(x)  ç(x, x) gọi là một dạng toàn phương.
Lưu ý:
1. Dạng song tuyến tính hoàn toàn được xác định bởi ma trận
2. Dạng toàn phương thì ma trận tương ứng phải có dạng đối xứng.
Ví dụ:
1. Dạng song tuyến tính ç(x, y)  2x
1
y
1
 3x
1
y
2
÷ 4x
2
y
2
 5x
2
y
3
 x
3
y
3
xác định bởi ma trận:
A 
2 3 0
0 ÷4 5
0 0 1
2. Dạng toàn phương: Q(x)  x
1
2
 x
2
2
 2x
3
2
 2x
1
x
2
÷ x
1
x
3
xác định bởi ma trận:
A 
1 1 ÷
1
2
1 1 0
÷
1
2
0 2
Định nghĩa
Một dạng toàn phương Q(x)  z
1
x
1
2
 z
2
x
2
2
. . . z
n
x
n
2
(z
i
÷ K) gọi là có dạng chính tắc.
Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc:
1. Phương pháp chéo hoá bằng biến đổi ma trận trực giao:
Cho dạng toàn phương Q xác định bởi ma trận đối xứng A. Khi đó tồn tại ma trận trực giao
P làm chéo hoá A.
Đặc |x]  P|y], khi đó, |Q(x)]  |x]
t
A|x]  (|y]
t
P
t
)A(P|y])  |y]
t
(P
t
AP)|y]  |y]
t
|y]  |y]
t
B|y],
trong đó B  P
÷1
AP có dạng đường chéo.
Ví dụ:
Đưa dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc bằng biến đổi ma trận trực giao:
Q(x)  x
1
2
 x
2
2
 x
3
2
 4x
1
x
2
 4x
1
x
3
 4x
2
x
3
Trang 17
ma trận của Q : A 
1 2 2
2 1 2
2 2 1
Theo kết quả ví dụ ở mục chéo hoá ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao thì:
P 
1
3
÷
1
2
÷
1
6
1
3
1
2
÷
1
6
1
3
0
2
6
; B  P
÷1
AP 
5 0 0
0 ÷1 0
0 0 ÷1
Đặt:
x
1
x
2
x
3

1
3
÷
1
2
÷
1
6
1
3
1
2
÷
1
6
1
3
0
2
6
y
1
y
2
y
3
Khi đó ta có |Q(x)]  |y]
t
B|y] ¬ Q(x)  5y
1
2
÷ y
2
2
÷ y
3
2
2. Phương pháp Lagrange
Tóm tắt:
Bước 1: Nhóm các số hạng dạng x
1
x
j
(j _ 1) trong biểu thức Q(x)
Bước 2:Bổ sung vào nhóm nói trên để có được một bình phương đúng, phần còn lại xem là
dạng toàn phương mới chỉ có các biến x
j
(j _ 2)
Bước 3:Tiếp tục quay lại bước 1 cho dạng toàn phương có được trong bước 2 cho đến khi
có dạng chính tắc đối với các biến mới.
Ví dụ:
. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc: Q(x)  x
1
2
 5x
2
2
÷ 4x
3
2
 2x
1
x
2
÷ 4x
1
x
3
Bước 1: Q(x)  (x
1
2
 2x
1
x
2
÷ 4x
1
x
3
)  5x
2
2
÷ 4x
3
2
 (x
1
2
 2x
1
(x
2
÷ 2x
3
))  5x
2
2
÷ 4x
3
2
Bước 2:
Q(x)  x
1
2
 2x
1
(x
2
÷ 2x
3
)  (x
2
÷ 2x
3
)
2
÷ (x
2
÷ 2x
3
)
2
 5x
2
2
÷ 4x
3
2
 (x
1
 x
2
÷ 2x
3
)
2
 4x
2
2
 4x
2
x
3
÷ 8x
3
2
Quay lại bước 1, rồi bước 2 với dạng toàn phương Q
1
(x)  4x
2
2
 4x
2
x
3
÷ 8x
3
2
Q
1
(x)  (2x
2
 x
3
)
2
÷ 9x
3
2
Vậy Q(x)  (x
1
 x
2
÷ 2x
3
)
2
 (2x
2
 x
3
)
2
÷ 9x
3
2
 y
1
2
 y
2
1
÷ 9y
3
2
Dạng toàn phương xác định dương
Trong mục này ta xét K  R
Một dạng toàn phương Q(x)  0 với mọi x ÷ E\¡0) (zero của E) gọi là xác định dương.
Định lý (Tiêu chuẩn Sylvester)
Cho dạng toàn phương Q(x) xác định bởi ma trận đối xứng A  (a
ij
). Khi đó:
Q xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính của A đều dương, nghĩa là:
điều kiện cần và đủ để Q xác định dương là với mọi i  1, 2, . . . , n ta có
Trang 18
det
a
11
a
12
. . . a
1i
a
21
a
22
. . . a
2i
. . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . a
ii
 0
Ví dụ:
Với giá trị nào của z thì dạng toàn phương sau xác định dương:
Q(x)  2x
1
2
 x
2
2
 3x
3
2
 2zx
1
x
2
 2x
1
x
3
Ta có: A 
2 z 1
z 1 0
1 0 3
; 
1
 |(2)|  0;

2

2 z
z 1
 2 ÷ z
2
; 
3

2 z 1
z 1 0
1 0 3
 5 ÷ 3z
2
Q xác định dương khi và chỉ khi

1
 0

2
 0

3
 0
· ÷
5
3
 z 
5
3
Trang 19