Medidas de Tendencia Central [Modo de ad

ESTADÍ STI CA DESCRI PTI VA
Matemáti cas I I I
ESTADÍ STI CA DESCRI PTI VA
Rama de l a est adíst i ca que se encar ga de
descr i bi r el “compor t ami ent o” de un
conj unt o de dat os (muest r a o pobl aci ón).
Una medi da descr i pt i va cal cul ada a par t i r
de dat os de una muest r a se l l ama
estadí sti ca.
Una medi da descr i pt i va cal cul ada a par t i r
de dat os de una pobl aci ón se l l ama
par ámetr o.
MEDI DAS DE TENDENCI A CENTRAL
 Las más ut i l i zadas son:
 Medi a ar i t mét i ca (medi a o pr omedi o)
 Medi ana
 Moda
MEDI A ARI TMÉTI CA
 En un conj unt o de n medi ci ones x
1
, x
2
, x
3
….x
n
l a
medi a o pr omedi o se defi ne como:
 Donde:
 x= una medi ci ón
 n=numer o t ot al de medi ci ones
n
x
x
n
i
i ¿
=
=
1
PROPI EDADES DE LA MEDI A
1. Es úni ca, par a un conj unt o de dat os hay
una y sol o una medi a ar i t mét i ca.
2. Si mpl i ci dad. El cál cul o y compr ensi ón
de l a medi a ar i t mét i ca son senci l l os.
3. Puest o que t odos y cada uno de l os
val or es en el conj unt o de dat os ent r an
en el cál cul o de l a medi a, ést a es
afect ada por cada val or . Por l o t ant o, l os
val or es ext r emos i nfl uyen sobr e l a
medi a y en al gunos casos pueden
di st or si onar l a y l l ega a ser i ndeseabl e
como medi da de t endenci a cent r al
MEDI ANA
En un conj unt o de n medi ci ones x
1
, x
2
, x
3
….x
n
l a medi ana (m) es el val or que di vi de en 2
par t es el conj unt o de dat os, es deci r , el val or de
x de en medi o cuando l as medi ci ones se
acomodan en or den ascendent e o descendent e.
| |
¦
¹
¦
´
¦
+
=
+
+
impar es n si
2
) 1 2 / ( ) 2 / (
par es n si 2 / ) 1 (
n n
n
x x
x
x
PROPI EDADES DE LA MEDI ANA
1. Es úni ca, al i gual que l a medi a, par a un
conj unt o de dat os sol o exi st e un úni co val or
par a l a medi ana.
2. Si mpl i ci dad, es muy senci l l o cal cul ar l a.
3. Los val or es ext r emos no t i enen efect os
i mpor t ant es, l o que si ocur r e con l a medi a.
MODA
 En un conj unt o de n medi ci ones x
1
, x
2
, x
3
….x
n
l a moda
es el val or de x que más se r epi t e u ocur r e con mayor
fr ecuenci a.
MEDI DAS DE DI SPERSI ÓN
La di sper si ón de un conj unt o de
obser vaci ones se r efi er e a l a var i edad que
muest r an ést os. Una medi da de di sper si ón
conl l eva i nfor maci ón r espect o a l a
var i abi l i dad t ot al pr esent e en el conj unt o
de dat os.
La magni t ud de l a di sper si ón es pequeña
cuando l os val or es, aunque di fer ent es, son
cer canos ent r e sí.
AMPLI TUD
 Di fer enci a ent r e el val or más gr ande y más
pequeño en un conj unt o de dat os
 x
L
= val or más gr ande
 x
S
= val or más pequeño
S L
x x R ÷ =
VARI ANZA
 Var i anza:
 En una muest ra de n det er mi naci ones x
1
, x
2
, x
3
….x
n
l a var i anza se defi ne como:
1
) (
1
2
2
÷
÷
=
¿
=
n
x x
s
n
i
i
Si n> 30
SI LOS DATOS SON MUY
NUMEROSOS
) 1 (
2
1 1
2
2
÷
|
.
|

\
|
÷
=
¿ ¿
= =
n n
x x n
s
n
i
i
n
i
i
 Desvi aci ón est ándar
1
) (
1
2
÷
÷
=
¿
=
n
x x
s
n
i
i
Para n>30
COEFI CI ENTE DE VARI ACI ÓN
 Se ut i l i za par a compar ar l a var i aci ón de dos
conj unt os de dat os sobr e t odo si ést os t i enen
uni dades di st i nt as.
) 100 ( . .
x
s
V C =
s= desviación estándar
x= media
CALCULO DE LAS MEDI DAS DE
TENDENCI A CENTRAL
MEDI A - MEDI ANA - MODA
PARA DI STRI BUCI ONES DE VARI ABLES DI SCRETAS O
CONTI NUAS TABULADAS EN
I NTERVALOS [ L.I . – L.S)
MEDI A PARA DATOS TABULADOS
Si los dat os est án t abulados en una t abla de
dist r ibución de f r ecuenci as, ent onces l a medi a se
debe calcular como:
n
f x f x f x f x
x
k k
· + · + · + ·
=
...
3 3 2 2 1 1
Est a expr esión se puede escr ibir
r esumidament e de la f or ma siguient e:
n
f x
x
k
i
i i ¿
=
·
=
1
siendo x
i
la mar ca de
clase del int er valo i-
ésimo .
EJEMPLO
TALLA FREC. x
i
xi* f i
100-110 13 105 1365
110-120 21 115 2415
120-130 25 125 3125
130-140 18 135 2430
140-150 12 145 1740
150-160 11 155 1705
TOTAL 100 12780
100
12780
= x
La talla promedio
de estos alumnos
es de 127,8 cm
Se t oma una muest r a de alumnos del pr imer ciclo básico y se les
mide su t alla en cm, obt eniéndose lo siguient e:
MEDI ANA
i
f
i
a
i
F
n
I L Me ·
÷
÷ + = )
1
2
( . .
Si la inf or mación est a t abulada en int er valos la mediana se
calcula ut ilizando la siguient e expr esión:
Par a ut ilizar est a expr esión pr eviament e se debe
ident if icar el int er valo de t r abaj o, par a est o se
det er minan las f r ecuencias absolut as acumuladas.
En el ejemplo anterior:
TALLA fi Fi
100-110 13 13
110-120 21 34
120-130 25 59
130-140 18 77
140-150 12 89
150-160 11 100
TOTAL 100
n/2=50
El 50 est á
inmediat ament e
cont enido en el t er cer
int er valo.
i=3 , se llama int er valo
mediano y la mediana va a
t omar un valor ent r e 120 y
130.
25
10
) 34 50 ( 120 · ÷ + = Me
Me= 126,4 cm.
El 50% de los alumnos mide ent r e 100 y 126,4 y el 50%
r est ant e mide ent r e 126,4 y 160 cm.
i
f
i
a
i
F
n
I L Me ·
÷
÷ + = )
1
2
( . .
MODA
Si la inf or mación est a t abulada en int er valos la moda se
calcula ut ilizando la siguient e expr esión:
i
i i i i
i i
a
f f f f
f f
I L Mo ·
÷ + ÷
÷
+ =
+ ÷
÷
) ( ) (
) (
.
1 1
1
Si consider amos nuevament e el ej emplo de la
t alla de una muest r a de alumnos.
Par a ut ilizar est a expr esión pr eviament e se debe
ident if icar el int er valo de t r abaj o, par a est o se
det er mina la mayor f r ecuencia absolut a.
TALLA fi
100-110 13
110-120 21
120-130 25
130-140 18
140-150 12
150-160 11
TOTAL 100
La mayor f r ecuencia es 25, por lo t ant o
el t er cer int er valo se llama int er valo
modal y la moda t omar á un valor ent r e
120 y 130 cm
10
) 18 25 ( ) 21 25 (
) 21 25 (
120 ·
÷ + ÷
÷
+ = Mo
Mo=123,6 cm.
La mayor ía de est os niños t iene
una t alla de 123,6 cm.
i
i i i i
i i
a
f f f f
f f
I L Mo ·
÷ + ÷
÷
+ =
+ ÷
÷
) ( ) (
) (
.
1 1
1