Olympe 2001

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11

ème

Olympiades Pan Africaines de Mathématiques

Ouagadougou, Burkina Faso

du 15 au 22 Juillet 2001

Première épreuve Durée : 4 h 30 ………………………………………………………………………………………… EXERCICE I : I : Trouver tous les entiers n ≥ 1  tels que

n

3

+

3

n

2

+

7

soit un entier.

EXERCICE II : Soit un entier n ≥ 1. Un enfant construit un mur le long lo ng d’une ligne à l’aide de n cubes identiques. Il pose un premier cube sur la ligne et à chaque stade, il pose le cube suivant soit sur le sol, soit sur un autre de telle sorte que ce cube ait une face commune avec un autre cube déjà posé. Soit un le nombre de tels te ls murs 1- Trouver U1 , U2 , U3 , U4 . 2- Déterminer Un en fonction de n.

EXERCICE III : Soit ABC un triangle équilatéral et soit P 0 un point extérieur à ce triangle tel que qu e AP0C soit un triangle isocèle et rectangle en P 0 ; on pose AP0 = a. Une mouche partant du point P0 tourne autour du triangle ABC de la manière suivante. De P0, la mouche atteint P 1 symétrique de P0 par rapport à A, puis elle s’arrête en P2 symétrique de P1 par rapport à B et elle continue sa marche en P3 symétrique de P2 par rapport à C ; puis en P4 symétrique de P3 par rapport à A et ainsi a insi de suite. Comparer les distances P0P1 et P0Pn pour tout n .

A

P1

B

P3 P0

C

P2

11

ème

Olympiades Pan Africaines de Mathématiques

Ouagadougou, Burkina Faso

du15 au 22 Juillet 2001

Deuxième épreuve Durée : 4 h 30 ……………………………………………………………………………………… EXERCICE I : Soit n ≥ 1 et un réel a > 0. Trouver le nombre de solutions (x1 ; x2 ; ….. ; x n ) de l’équation : n

∑ ( x1

2

+

(a −  xi ) 2 ) = na² telles que xi ∈ { 0 ;a },  i = 1, 2, ….., n.

i =1

EXERCICE II :

E(x) désignant le plus grand nombre entier inférieur ou égal à x, calculer E( 1 ) + E(

2 ) + …… + E( 2001).

EXERCICE III : S1 un demi cercle de centre O et de diamètre AB, C 1 un cercle de centre P tangent en O à AB et tangent à S1. On trace un demi cercle S 2 de centre Q sur AB tangent à C1 et à S1. On trace un cercle C2 de centre R tangent tangen t intérieurement à S1 et tangent extérieurement à S2 et C1. Montrer que OPRQ est rectangle.

Correction de L’exercice I ( épreuve 1)

n

3

2

+

3

7 7n − 3 n

=

+

n² + 7

n−

7n − 3 n

2

+

7

 ;

n

3

n

2

+

3

+

7

∈ ℤ



7n − 3 n²

+

7

∈ ℤ ( 1 point)

∈ ℤ ⇔ n² + 7 ≤ 7 n − 3 ( 2 points)

n² – 7n + 10 ≤0 ; n ∈ {2 ; 5 }ou n ∈ { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 En vérifiant on trouve n = 2 ou n = 5 ( 3 points).

} (1 point)

AUTRE SOLUTION n

3

+

3

∈ ℤ ( 1 point) 2 n +7 Ce qui donne l’équation du second degré n . qn² –7n + 7q + 3 = 0. Le discriminant est égal

A partir de

∆ = – 28q² – 12q + 49. On doit avoir des valeurs de q qui rendent ∆ positif. On va donc essayer de déterminer ces valeurs de q ; δ = 6² + (28 × 49) = q ∈ { −1 ; 5 ; 1 }.Comme q prend une valeur entière , q = 1 ( 2points). 7n − 3 Il s’en suit que = 1 , soit n² – 7n + 10 = 0. Ce qui donne n = 2 et n = 5 ( 3 n² + 7 points).

Correction de L’exercice I ( épreuve 2)

n

∑ ( x

2 i

+

(a −  xi )

2

) = na

2

n



i =1

2∑ xi ( xi

∑ ( xi

2

+

a

2



2axi

2

+  xi

) = na

2



∑ (2 xi

2



2axi ) + na 2

=

na

2

i =1



a) = 0

(1 po int)

Pour tout i ∈ { 1 ; 2 ; ........; n }  xi ( xi − a ) est un nombre négatif. Nous avons donc une somme nulle de n termes tous négatifs. Chacun des termes est donc négatif. Soit, pour tout i,  xi ( xi − a) = 0 ou encore xi = 0 ou xi = a (2points) Dans le n-uplet (x1 ; x2 ; ……; xn) chacun des termes ne peut prendre que deux valeurs, 0 ou a. n On a donc 2  solutions (2points).



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