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GOL450- Devoir 2 Page 1

GOL450 – Maîtrise statistique des procédés (MSP)
(Groupe 01 – Amin Chaabane)

Devoir 2 : Outils de base de la qualité – Probabilité - Statistiques –
Cartes de contrôle – Étude de capacité

Date de remise : Jeudi 16 févrierrier 2012 à 12h00
Solution

1. Objectifs :

L’objectif de ce travail et de mettre en pratique les notions théoriques vues dans les cours 2, 3, 4,
5 et 6.

2. Mandat

On vous demande de répondre aux différentes questions :
- Partie 1 : Analyse des coûts de qualité (1 question)
- Partie 2 : Les outils de base de la qualité (2 questions)
- Partie 3 : Analyse descriptive de données (2 questions)
- Partie 4 : Calcul des probabilités (3 questions)
- Partie 5 : Cartes de contrôle et étude de capacité (3 questions)

3. Directives générales :
- Vous pouvez réaliser le travail seul ou en équipe de trois (3) personnes maximum.
- Vous devez remettre un document réalisé entièrement à l’ordinateur. Les documents
écrits à la main ne seront pas acceptés.
- Répondre aux questions en utilisant Statgraphics dans la mesure du possible.
- La qualité de présentation du document et l’analyse des résultats comptent pour 10
points sur 100 points.














GOL450- Devoir 2 - Solution Page 2

Partie 1 : Analyse des coûts de qualité

La compagnie Vis Inc. fabrique une grande variété de vis sur commande pour des clients
industriels. La conception et les dessins sont fournis par les clients. La compagnie emploie 260
personnes et son chiffre d'affaires est de 8 millions. Les opérations de fabrication sont
relativement simples et organisées pour des forts volumes de production. Des rouleaux de fil de
fer alimentent des machines où les contours de la vis sont formés. Des poinçons font les
opérations secondaires et viennent ensuite donner la configuration de la vis. L'étape finale de
placage est faite par un sous-traitant local. On vous demande de faire une étude des coûts
qualité sur une base annuelle. Voici les éléments que vous avez retenus lors d'une visite chez
Vis Inc.

a. Le département de contrôle de la qualité se consacre surtout à l'inspection finale et il est
formé de 8 inspecteurs. On fait aussi de l'inspection à la réception des rouleaux de fer. On fait
aussi de l’inspection en cours de production en testant la première et la dernière pièce de
chaque lot.

b. Le département s'occupe aussi de la vérification de tous les équipements de production ainsi
que de tous les appareils de mesure. Un inspecteur gagne 24 000$ par an.

c. La qualité durant la production est sous la responsabilité de 2 inspecteurs qui font la
classification des lots rejetés à l'inspection finale. Ils gagnent 18 000 $ par an.

d. Le département de l'ingénierie prépare les soumissions, s'occupe des équipements, de la
planification du travail, établit les exigences qualité. Le département s'occupe du règlement
des problèmes de qualité .à un coût de 20 000 $ annuellement. On dépense 16 000 $ /an pour
interpréter les exigences clients en identifiant les dimensions critiques à contrôler par les
inspecteurs et le personnel de production.

e. L'information sur les rebuts et les retours clients n'est pas très facilement identifiable, mais
vous avez finalement été capable d'obtenir les données suivantes. Durant les deux derniers
mois, le nombre de pièces rebutées à l'inspection finale est de 438 000 et les retours clients
sont de 667 000 pièces. De plus, le nombre de pièces retournées par les clients et qui exigent
la reprise des pièces (rework) est de 1 000 000 par mois. Les pièces rebutées durant la
production sont environ 3000 lbs par mois.

f. À l'inspection finale, on rejette par mois 400 000 pièces qui peuvent être retravaillées.

g. Les coûts fournis par le département des finances sont les suivants:
- pièces rebutées : 12 $ / 1000 pièces;
- pièces rebutées en cours de production : 800 $ / 1000 lbs
- pièces retournées par les clients : 4 $ / 1000 pièces
- pièces retravaillés : 1.20 $ / 1000 pièces.
Ces coûts incluent les frais généraux
Question : Préparer un rapport de coûts relatifs à la qualité sur une base annuelle.
Adaptation et traduction provenant de « Quality Planning and Analysis, 3ième édition. J.M. Juran F.M. Gryna McGraw-Hill
1993, page 37
GOL450- Devoir 2 - Solution Page 3
Solution
Il faut répartir les coûts selon les catégories suivantes :

COQ Coûts $ Pourcentage
Défaillance interne

À l'inspection finale, on rejette par mois 400 000 pièces
qui peuvent être retravaillées. - - pièces retravaillés : 1.20 $
/ 1000 pièces.
5 760,00 $ 1,26%
De plus, le nombre de pièces retournées par les clients et
qui exigent la reprise des pièces (rework) est de 1 000 000
par mois (- pièces retravaillés : 1.20 $ / 1000 pièces.) 14 400,00 $ 3,15%
Durant les deux derniers mois les retours clients sont de
667 000 pièces ((- pièces rebutées : 12 $ / 1000 pièces)) 48 024,00 $ 10,52%
Durant les deux derniers mois, le nombre de pièces
rebutées à l'inspection finale est de 438 000 (- pièces
rebutées : 12 $ / 1000 pièces) 31 536,00 $ 6,91%
Les pièces rebutées durant la production sont environ
3000 lbs par mois (pièces rebutées en cours de production
: 800 $ / 1000 lbs) 28 800,00 $ 6,31%

Total
128 520,00 $ 28,15%
Défaillance externe

De plus, le nombre de pièces retournées par les clients et
qui exigent la reprise des pièces (rework) est de 1 000 000
par mois (- pièces retournées par les clients : 4 $ / 1000
pièces) 48 000,00 $ 10,51%

les retours clients sont de 667 000 pièces ((-pièces
retournées par les clients : 4 $ / 1000 pièces)) 16 008,00 $ 3,51%

Total
64 008,00 $ 14,02%
Évaluation/Détection

La qualité durant la production est sous la responsabilité
de 2 inspecteurs qui font la classification des lots rejetés à
l'inspection finale. Ils gagnent 18 000 $ par an. 36 000,00 $ 7,89%
Le département s'occupe aussi de la vérification de tous les
équipements de production ainsi que de tous les appareils
de mesure. Un inspecteur gagne 24 000$ par an. Inspection
finale (8 inspecteurs) 192 000,00 $ 42,06%

Total 228 000,00 $ 49,94%
Préventions

16 000 $ /an pour interpréter les exigences clients 16 000,00 $ 3,50%
règlement des problèmes de qualité à un coût de 20 000 $
annuellement 20 000,00 $
Total 36 000,00 $ 7,89%
Grand total 456 528,00 $ 100,00%



GOL450- Devoir 2 Page 4
Partie 2 : Les Outils de base de la Qualité

QUESTION #1

PetitePatate fabrique et met en sac des croustilles de différentes saveurs. Sur le sac des croustilles,
le poids inscrit est de 250 grammes. Pour s’assurer du respect de cette norme, le procédé devrait
faire en sorte qu’un sac contienne 255 g à ± 5 g.

Pour le procédé de remplissage, les données suivantes ont été recueillies:

Échantillon 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Observation 1 240 255 261 252 261 255 255 252 234 258
Observation 2 258 249 261 255 252 243 267 255 261 252
Observation 3 264 243 261 252 249 234 252 255 246 249
Observation 4 249 246 264 255 267 240 246 264 246 252
Observation 5 246 249 246 261 261 258 252 261 261 255

Échantillon 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Observation 1 246 237 255 255 264 267 249 252 243 252
Observation 2 264 252 255 252 249 249 270 252 246 258
Observation 3 255 243 240 264 240 255 276 246 255 255
Observation 4 243 237 255 258 255 252 279 258 261 255
Observation 5 264 261 255 249 264 255 294 249 261 261

a) À partir de ces observations, tracez l’histogramme du poids des sacs de croustilles.


b) Vérifier la normalité de la distribution.
Histogramme
230 250 270 290 310
Poids
0
5
10
15
20
25
30
E
f
f
e
c
t
i
f
s
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c) Que pouvez-vous conclure de ces résultats ?
d) Statistiques résumées pour Poids
Effectif 100
Moyenne 254,22
Médiane 255,0
Ecart-type 9,35774
Coef. de variation 3,68096%
Minimum 234,0
Maximum 294,0
Etendue 60,0
Asymétrie std. 3,01294
Aplatissement std. 5,54811

Le StatAdvisor
Ce rapport donne des statistiques résumées pour Poids. Il inclut des mesures de tendance centrale, des mesures de variabilité
et des mesures de forme. Les coefficients d'aplatissement standardisé et d'asymétrie standardisée sont particulièrement utiles
car ils peuvent être utilisés pour déterminer si l'échantillon suit une loi normale. Des valeurs de ces statistiques en dehors de
la plage -2 à +2 indiquent un écart significatif à la normalité, ce qui rend non valides les tests statistiques concernant l'écart-
type. Dans ce cas, la valeur de l'asymétrie standardisée n'est pas dans la plage attendue pour des données suivant une loi
normale. La valeur de l'aplatissement standardisé n'est pas dans la plage attendue pour des données suivant une loi normale.

e) Quelle est la probabilité d’avoir des produits conformes ?

(250 260) 0.41 P X s s =


QUESTION #2

Dans l’usine Plast-Tube, on a observé l’inconsistance de la longueur coupée de tubes. Avant
coupure, les tubes sont guidés sur un convoyeur à bande à vitesse constante. Mais pour
diverses raisons la vitesse du convoyeur n’est pas stable. Cette instabilité de vitesse de
convoyeur a été soupçonnée comme une source de variation de la longueur de tubes coupés.
On a prélevé la vitesse de convoyeur et la longueur moyenne de tube pour chaque vitesse.
On veut affirmer s’il y a une corrélation entre ces deux facteurs.
Graphique de normalité
230 250 270 290 310
Poids
0,1
1
5
20
50
80
95
99
99,9
P
o
u
r
c
e
n
t
a
g
e
s
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Vitesse de
convoyer [cm/s]
longueur [mm] #
Vitesse de
convoyer
[cm/s]
longueur
[mm]
1 8,1 1046 26 8,0 1040
2 7,9 1030 27 5,5 1013
3 8,0 1039 28 6,9 1025
4 7,4 1027 29 7,0 1020
5 7,5 1028 30 7,5 1022
6 7,4 1025 31 6,7 1020
7 8 1035 32 8,1 1035
8 7,2 1015 33 9,0 1052
9 8,0 1038 34 7,1 1021
10 7,9 1036 35 7,6 1024
11 7,6 1026 36 8,5 1029
12 8,0 1041 37 7,5 1015
13 7,5 1029 38 8,0 1030
14 7,2 1010 39 5,2 1010
15 7,3 1020 40 6,5 1025
16 7,4 1024 41 8,0 1031
17 8,0 1034 42 6,9 1030
18 8,0 1036 43 7,6 1034
19 7,4 1023 44 6,5 1034
20 7,1 1011 45 5,5 1020
21 7,9 1030 46 6,0 1025
22 7,3 1014 47 5,5 1023
23 7,8 1030 48 7,6 1028
24 7,2 1016 49 8,6 1020
25 7,3 1020 50 6,3 1026

a) Tracer le graphique de corrélation entre la vitesse de convoyeur et la longueur
de tube? (sur Excel ou statgraphics)
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b) Y a-t-il une corrélation ? Si oui, de quel type ?

OUI, UNE FAIBLE CORRÉLATION POSITIVE



Graphique de Vitesse de convoyer [cm/s] en fonction de longueur [mm]
1010 1020 1030 1040 1050 1060
longueur [mm]
5,2
6,2
7,2
8,2
9,2
V
i
t
e
s
s
e

d
e

c
o
n
v
o
y
e
r

[
c
m
/
s
]
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Partie 3 : Analyse descriptive de données


QUESTION #1 SOLUTION

1- Ranger ces observations par valeurs non décembreroissantes.
janvier-97 104 juillet-98 212 mars-99 262 septembre-98 330
janvier-98 122 mars-98 214 août-98 276 septembre-97 340
janvier-96 145 novembre-96 215 décembre-99 276 septembre-96 355
octobre-96 158 octobre-98 220 avril-97 284 juin-96 360
janvier-99 158 mars-96 225 décembre-97 285 septembre-99 364
févrierr-96 170 novembre-98 225 août-99 285 juin-97 380
octobre-99 170 novembre-97 230 août-97 290 juin-98 396
févrierr-98 184 juillet-97 235 avril-99 295 mai-96 425
octobre-97 190 mars-97 240 avril-98 302 mai-99 435
juillet-96 204 juillet-99 245 décembre-96 304 mai-97 440
févrierr-99 205 novembre-99 256 août-96 310 juin-99 478
févrierr-97 210 avril-96 260 décembre-98 324 mai-98 490

2- Quelle est l’étendue de cette série.



3- D’après la règle de Sturges, quel devrait être le nombre de classes pour effectuer le
dépouillement de ces observations.
Nombre de classes : 7
4- Quelle devrait être l’amplitude de chaque classe.
h=55
5- Tracer l’histogramme en utilisant 100 comme limite inférieure de la première classe et 50
comme amplitude de chaque classe.

6- Tracer l’histogramme et le polygone de fréquences en utilisant les résultats des questions
3 et 4 et 100 comme limite inférieure de la première classe.
Histogram
100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600
Ventes_Mensuelles
0
3
6
9
12
15
f
r
e
q
u
e
n
c
y
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7- Dans quelle classe trouve-t-on les ventes mensuelles les plus élevées.
La classe est : [210 – 265[

QUESTION #2
Dans une étude préparatoire qui vise à adapter le poste de conduite de camions aux dimensions
des conducteurs, on a mesuré dans un laboratoire de recherche, entre autres, la taille d’un certain
nombre de conducteurs de camions. Les tailles mesurées sur 80 conducteurs sont présentées dans
le tableau suivant.
Tailles des conducteurs en cm
186 168 168 174 166 165 181 164
174 171 177 165 163 172 169 165
157 161 169 161 167 151 176 173
178 168 164 169 175 159 163 169
181 174 166 160 164 180 173 152
160 170 173 179 172 172 167 170
175 172 179 167 170 164 179 164
165 173 173 175 181 162 176 169
160 174 175 177 168 178 173 174
168 181 169 177 175 164 180 187
La plus petite taille observée est 151 cm et la plus grande est 187 cm.
1- Dépouiller ces données suivant une distribution de fréquences absolues dont la limite
inférieure de la première classe sera 150 cm et dont l’amplitude de chaque classe sera 5
cm. Indiquer également les fréquences relatives de chaque classe.











Histogram
100 155 210 265 320 375 430 485 540
Ventes_Mensuelles
0
3
6
9
12
15
f
r
e
q
u
e
n
c
y
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Classe Limite Limite Point Effectif Fréquence Effectif Fréquence
infér. supér. central cumulé cumulé
< ou = 150,0 0 0,0000 0 0,0000
1 150,0 155,0 152,5 2 0,0250 2 0,0250
2 155,0 160,0 157,5 5 0,0625 7 0,0875
3 160,0 165,0 162,5 15 0,1875 22 0,2750
4 165,0 170,0 167,5 19 0,2375 41 0,5125
5 170,0 175,0 172,5 21 0,2625 62 0,7750
6 175,0 180,0 177,5 12 0,1500 74 0,9250
7 180,0 185,0 182,5 4 0,0500 78 0,9750
8 185,0 190,0 187,5 2 0,0250 80 1,0000
> 190,0 0 0,0000 80 1,0000

2- Tracer l’histogramme correspondant.

3- Quelles sont les deux classes où l’on trouve le plus grand nombre de camionneurs.

La classe [165,170[ = 19 et la classe [170,175[ = 21

4- Combien de camionneurs ont une taille inférieure à 180 cm.
74 camionneurs
5- Quel pourcentage de conducteurs de camions se situe dans la classe cm X 170 165 s s

23,75% des conducteurs sont dans la classe 165 ≤ X≤ 170 .

6- Dresser le tableau des fréquences relatives cumulées croissantes (en %) et tracer la courbe
correspondante.


Histogramme de la taille des conducteurs
Taille des conducteurs en cm
150 160 170 180 190
0
4
8
12
16
20
24
E
f
f
e
c
t
i
f
s
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150 160 170 180 190
Taille des conducteurs
0
20
40
60
80
f
r
e
q
u
e
n
c
y
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Partie 4 : Calcul des probabilités

QUESTION #1

Une centrale hydroélectrique possède deux génératrices. À cause de l’entretien ou d’une panne
occasionnelle, les génératrices peuvent être hors d'usage. Définissons les événements:
A: la première génératrice est hors d'usage B: la deuxième génératrice est hors d'usage

Par expérience, on estime les probabilités de ces événements à :
P(A) = 0,01 et P(B) = 0,02
Une température supérieure à 30 degrés Celsius est notée T et sa probabilité est P(T) = 0,30. Dans ces
conditions, cela entraîne une demande accrue de courant pour la climatisation. La capacité de la centrale à
faire face à cette demande est:
S = satisfaisante : si les deux génératrices fonctionnent et la température est inférieure à 30
F = faible : si une des deux génératrices est hors d'usage et la température est supérieure à 30
M = marginale : dans les autres cas
Les évènements A, B et T sont mutuellement indépendants.
a. Déterminez l'espace de tous les résultats avec A, B, T
Conditions climatiques
T’ (température<30) T (température>30)
A: la première génératrice est hors
d'usage

B: la deuxième génératrice est hors
d'usage


M


M
A: la première génératrice est hors
d'usage

B’: la deuxième génératrice est
fonctionnelle


M



F
A’: la première génératrice est
fonctionnelle

B: la deuxième génératrice est hors
d'usage


M



F
A’: la première génératrice est
fonctionnelle

B’: la deuxième génératrice est
fonctionnelle




S


M


b. Exprimez les évènements S, F, M en fonction de A, B, T
Voir tableau précédent
c. Calculez la probabilité qu'il y ait exactement une génératrice hors d'usage

A: la première génératrice est hors d'usage et B’: la deuxième génératrice est Fonctionnelle
OU
A’: la première génératrice est Fonctionnelle et B: la deuxième génératrice est hors d'usage
GOL450- Devoir 2 - Solution Page 13
Notons P = Calculez la probabilité qu'il y ait exactement une génératrice hors d'usage

( ') ( ' ) 0.01*(1 0.02) (1 0.01)*0.02 0.0296 P P A B P A B = · + · = ÷ + ÷ =

d. Calculez P(S), P(F), P(M)


( ) (( ' ') ') (1 0.02)*(1 0.01)*(1 0.3) 0.67914 P S P A B T = · · = ÷ ÷ ÷ =

( ) (( ') ) (( ' ) ) (0.01)*(1 0.02)*(0.3) (1 0.01)*(0.02)*(0.3)
0.00294 0.00594 0.0089
P F P A B T P A B T = · · + · · = ÷ + ÷
= + =


( ) 1 ( ( ) ( )) 0.31198 P M P S P F = ÷ + =

QUESTION #2
Soit le système électronique représenté dans le diagramme suivant.

Le schéma indique la probabilité de bon fonctionnement de ses 6 composants. La fiabilité
(probabilité de bon fonctionnement durant une période de temps fixe) de chacun des composants est
notée sur le diagramme. Chaque composant fonctionne (ou non) indépendamment des autres. Le
système fonctionne si : le sous-système III fonctionne, au moins un composant du sous-système II
fonctionne et au moins un composant du sous-système I fonctionne. Quelle est la probabilité que le
système fonctionne?
S : système fonctionne

S1 : Sous-système III fonctionne ; P(S1)=0.99

S2 : Sous-système II fonctionne ; P(S2)= 1-(0.2*0.1*0.1)=0.998

S3 : Sous-système I fonctionne : P(S3) = 1-(0.05*0.05) = 0.9975
P(S) = P(S1)* P(S2)* P(S3) = 0.9855
QUESTION #3
Une voie rapide de circulation de véhicules a trois voies d’accès, disons A, B, C (voir la figure).
Le nombre de voitures accédant à la voie rapide durant une période de 1 heure est défini par des
variables notées XA, XB, XC, ayant les caractéristiques suivantes :



GOL450- Devoir 2 - Solution Page 14
Notons par X le nombre total de voitures accédant à la voie rapide durant une période de 1 heure.
a. Calculez
i. La moyenne de X.
800+1000+600 = 2400
ii. L’écart-type de X en supposant que les variables XA, XB, XC sont indépendantes.

2 2 2
40 50 30 70.71
X
o = + + =

iii. La probabilité que X soit comprise entre 2300 et 2500 si l’on suppose que les
variables XA, XB, XC sont indépendantes et distribuées normalement.

(2300 2500) (2500) (2300) 0.921 0.078 0.842 P X Loinormale Loinormale s s = ÷ = ÷ =

iv. la probabilité que X soit supérieure à 2500 sous les mêmes hypothèses que (iii).

( 2500) 1 (2500) 1 0.921 0.078 0.079 P X Loinormale > = ÷ = ÷ ÷ =

b. Soit Y le nombre de fois que X ≥2500 durant 100 périodes de 1 heure.
i. Précisez la distribution de Y et ses paramètres.
Rappel

Y = suit une Loi binomiale
Binomial ( n =100, p = 0.079)

ii. Calculez, en utilisant une approximation basée sur la distribution normale, la
probabilité que la variable Y soit supérieure ou égale à 10.


GOL450- Devoir 2 - Solution Page 15
Loi binomial (10;100; 0.079;cumulatif)= 0.165
Donc ( 10) 1 (10) 1 0.921 0.078 0.079 P Y Loibinomial > = ÷ = ÷ ÷ =
Loi Normal (cumulatif) ( Moyenne = n.p = 7.9 , sigma = 2.69) = 0.21
Donc ( 10) 1 (10) 1 0.83 0.17 P Y Loinormale > = ÷ = ÷ =



c. Si l’on suppose que les variables XA, XB, XC sont distribuées normalement et que les
coefficients de corrélation entre les variables sont :
corr (XA, XB) = 0.5 corr (XA,XC) = 0.8 corr (XB, XC) = -0.5

Rappel (covariance = corrélation )


Calculez la moyenne et l’écart-type de X.

Moyenne (X)= 2400



2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 2*cov( , ) 2* ( , ) 2* ( , )
40 50 30 2*0.5 2*0.8 2*0.5
1600 2500 900 1.6
A B c A B c A B A B A B
V X X X X V X V X V X X X corr X X corr X X = + + = + + + + +
= + + + + ÷
= + + +



Donc, l’écart-type est de 70.72 et la moyenne reste la même avec 2400.









GOL450- Devoir 2 - Solution Page 16
Partie 5 : Cartes de contrôle et étude de capacité

QUESTION #1

Implantation de contrôle de la qualité de rouleaux de papier journal.
On prélève 9 morceaux à l’extrémité de chaque rouleau et on mesure la tension X du papier qui est la
caractéristique critique pour la qualité (figure) en 9 positions provenant de 3 zones du rouleau.


Il y a 3 contrôleurs pour le procédé de fabrication qui sont associés aux 3 zones et ils opèrent
indépendamment les uns des autres. Les 9 mesures sont employées pour répondre à plusieurs questions
relatives au produit et au procédé de fabrication. On peut structurer les données de la manière suivante.

(a) Est –il approprié d’employer les étendues de chaque zone pour construire des cartes de contrôle de
Xbar et R pour chaque zone ?

Oui cette carte est appropriée par ce qu’elle permet d’identifier rapidement la zone qui pose
problème.

(b) Pour surveiller la variabilité rouleau à rouleau, on propose d’employer une carte Xbar et R basée sur
les 9 valeurs x1, x2, ..., x9. Commentez cette proposition.

Cette proposition permet de contrôler la variabilité rouleau à rouleau, cependant on cas de
problème, on ne sera pas capable d’identifier l’origine de la zone qui pose problème.

(c) On suggère d’employer une carte basée sur les étendues des 3 moyennes de zone
R = max (Xbar-1, Xbar-2, Xbar3) - min (Xbar-1, Xbar-2, Xbar-3)
Quelle caractéristique cette carte surveille-t-elle ?

Cette carte surveille la variation de la tension entre les trois zones

(d) Proposer une carte pour surveiller la variabilité rouleau à rouleau.

On peut penser à une carte de contrôle pour chaque extrémité. Carte X, R
EM

GOL450- Devoir 2 - Solution Page 17
QUESTION #2 – Solution
Un produit est empaqueté dans des sacs à une valeur nominale de 10 kg. Deux machines A et B sont
employées pour faire l'empaquetage. Les sacs remplis voyagent sur un convoyeur selon la figure suivante:


Les machines font le remplissage à la même cadence. On veut établir une carte de contrôle pour le poids.
On décide d’échantillonner 4 sacs à l'heure au poste d'inspection et de mesure de l'écart de poids Z =
(poids réel - 10) * 1000

Groupe #
Machines A et B
Z=Écart de poids[g]= (poids-10)*1000
Sac#1 Sac#2 Sac#3 Sac#4
1 241 220 82 243
2 211 193 262 181
3 180 260 43 282
4 196 170 11 108
5 211 223 249 137
6 181 224 262 -39
7 221 238 234 281
8 202 160 249 94
9 239 236 262 331
10 227 191 220 120
11 134 172 179 120
12 128 251 186 82
13 209 276 188 11
14 140 102 219 94
15 179 280 259 266
16 191 167 123 145
17 184 266 377 126
18 213 249 286 249
19 109 214 261 -17
20 266 147 54 14
21 198 101 36 161
22 228 134 311 49
1. Le procédé de remplissage est-il sous contrôle?
GOL450- Devoir 2 - Solution Page 18
OUI




2. Quel est le pourcentage de sacs inférieurs à 10 kilo : c'est-à-dire Z < 0 ?

2.27%

3. On voudrait s'assurer que 99 % de tous les sacs devraient contenir un minimum de 10 kilos.
Devrait-on changer la procédure d'inspection ? Si oui, comment?

Oui. Mettre en place une carte de contrôle par machine

À la suite de ces résultats, l'ingénieur qualité n'était pas certain que la performance des deux machines
était comparable. Il décida de conduire une étude en identifiant la provenance, des sacs.

Groupe #
Z=Écart de poids[g]= (poids-10)*1000
MACHINE A MACHINE B
Sac#1 Sac#2 Sac#3 Sac#1 Sac#2 Sac#3
1 146 265 132 281 105 176
2 170 189 161 161 277 732
3 231 253 207 261 54 88
Carte X-barre pour Sac 1-Sac 4
0 4 8 12 16 20 24
Sous-groupe
0
100
200
300
400
X
-
b
a
r
r
e
183,557
301,476
65,6377
Carte aux étendues pour Sac 1-Sac 4
0 4 8 12 16 20 24
Sous-groupe
0
100
200
300
400
E
t
e
n
d
u
e
161,864
369,26
0,0
GOL450- Devoir 2 - Solution Page 19
4 209 231 139 203 191 169
5 149 193 263 281 247 115
6 195 211 193 81 166 221
7 214 201 132 108 175 321
8 180 228 201 238 36 108
9 253 189 242 85 224 329
10 279 256 185 102 131 301
11 242 139 221 117 154 73
12 132 215 177 81 1 232
13 159 240 206 85 281 329
14 237 167 245 131 147 205
15 200 209 225 301 139 277
16 107 167 290 88 171 257
17 187 265 146 171 147 321
18 179 232 268 154 258 131
19 164 160 170 147 29 136
20 120 297 189 146 235 188
21 215 160 175 -106 208 261
22 136 253 164 218 -15 268
23 245 209 232 99 -36 77
24 172 192 237 191 131 131
25 245 190 175 273 102 238



4. Comparez les deux machines à l'aide de carte de contrôle. Formuler une
recommandation.
Carte de contrôle pour la Machine A

Carte X-barre pour Sac #1-Sac #3
0 5 10 15 20 25
Sous-groupe
110
140
170
200
230
260
290
X
-
b
a
r
r
e
200,693
282,948
118,439
GOL450- Devoir 2 - Solution Page 20

Carte de contrôle pour la Machine B




Pour la machine A, le procédé est maîtrisé
Pour la machine B, le procédé n’est pas maîtrisé. Il y a des causes spéciales qu’il faut
éliminer.

Carte aux étendues pour Sac #1-Sac #3
0 5 10 15 20 25
Sous-groupe
0
40
80
120
160
200
240
E
t
e
n
d
u
e
80,4
206,969
0,0
Carte X-barre pour Sac #1-Sac #3
0 5 10 15 20 25
Sous-groupe
-20
80
180
280
380
480
X
-
b
a
r
r
e
175,187
364,945
-14,5716
Carte aux étendues pour Sac #1-Sac #3
0 5 10 15 20 25
Sous-groupe
0
100
200
300
400
500
600
E
t
e
n
d
u
e
185,48
477,471
0,0
GOL450- Devoir 2 - Solution Page 21


QUESTION #3 –

La résistance à la rupture (en kilogrammes) d’une tige métallique est contrôlée à toutes les heures
en prélevant un échantillon de 5 tiges. Après 10 échantillons, on enregistre les résultats suivants :

Échantillon
No
Tige 1 Tige 2 Tige 3 Tige 4 Tige 5
1 66.9 67.1 68.9 66.3 70.0
2 70.4 69.3 70.9 71.5 69.9
3 67.8 70.7 70.0 71.7 69.6
4 71.2 69.9 67.5 71.8 70.7
5 68.9 69.8 70.8 72.9 71.1
6 73.0 70.8 70.5 68.5 67.0
7 69.8 68.5 71.3 72.6 73.6
8 70.3 68.4 66.6 68.4 65.0
9 69.2 69.8 72.2 74.0 71.0
10 67.2 65.8 66.3 69.0 72.0

1- À l’aide de ces 10 échantillons, déterminer les limites provisoires de contrôle pour les
cartes X et R .
2- Tracer les cartes. Est-ce que le procédé semble sous contrôle ?
3- Trois échantillons subséquents donnent les résultats ci-dessous :
Échantillon No Tige 1 Tige 2 Tige 3 Tige 4 Tige 5
11 70.8 72.3 73.3 69.2 68.6
12 68.8 71.8 74.4 73.2 69.0
13 69.0 71.4 71.6 70.4 71.2

Est-ce que le procédé est toujours maîtrisé statistiquement ?
4- Supposons que la résistance à la rupture est distribuée d’après une loi normale. Les
spécifications du département d’ingénierie sont : kg kg 5 70 ± . D’autre part, les 13
échantillons prélevés jusqu'à présent correspondent à une production d’environ 6000
tiges. D’après les données que vous avez du procédé de fabrication, quelle quantité de
tiges sera probablement en dehors des spécifications?
5- Calculer l’indice
pk
C
GOL450- Devoir 2 - Solution Page 22
6- Peut-on affirmer que le procédé est capable?

QUESTION #3 – Solution :
72 . 69 = X , 55 . 4 = R
1- Les limites de contrôle pour chaque carte :
- Carte X
09 . 67
55 . 4 577 . 0 72 . 69
34 . 72
55 . 4 577 . 0 72 . 69
2
2
=
× ÷ =
÷ =
=
× + =
+ =
X
X
X
X
X
X
LIC
LIC
R A X LIC
LSC
LSC
R A X LSC


- Carte R
0
55 . 4 0
62 . 9
55 . 4 115 . 2
3
4
=
× =
=
=
× =
=
R
R
R
R
R
R
LIC
LIC
R D LIC
LSC
LSC
R D LSC

2- Traçage des cartes de contrôle :
- Carte X

Échantillon
No
Moyenne
X
Moyenne
globale
X
X
LSC
X
LIC
1 67.84 69.728 72.34 67.09
2 70.4 69.728 72.34 67.09
3 69.96 69.728 72.34 67.09
4 70.22 69.728 72.34 67.09
5 70.7 69.728 72.34 67.09
6 69.96 69.728 72.34 67.09
7 71.16 69.728 72.34 67.09
GOL450- Devoir 2 - Solution Page 23
8 67.74 69.728 72.34 67.09
9 71.24 69.728 72.34 67.09
10 68.06 69.728 72.34 67.09



- Carte R

Échantillon
No
Étendue
Moyenne
Étendue
R
LSC
R
LIC
1 3.7 4.55 9.62 0
2 2.2 4.55 9.62 0
3 3.9 4.55 9.62 0
4 4.3 4.55 9.62 0
5 4 4.55 9.62 0
6 6 4.55 9.62 0
7 5.1 4.55 9.62 0
8 5.3 4.55 9.62 0
9 4.8 4.55 9.62 0
10 6.2 4.55 9.62 0

Carte des moyennes
66
67
68
69
70
71
72
73
0 2 4 6 8 10 12
Échnatillon No
R
é
s
i
s
t
a
n
c
e

m
o
y
e
n
n
e
Moyenne
Moyenne globale
LSC
LIC
GOL450- Devoir 2 - Solution Page 24


Le procédé semble sous-contrôle, il faut toutefois surveiller la carte R, plusieurs points
consécutifs sont au-dessus ou au dessous de la moyenne.

3- Ajout de trois échantillons :
Échantillon
No
Tige 1 Tige 2 Tige 3 Tige 4 Tige 5 Moyenne Étendue
11 70.8 72.3 73.3 69.2 68.6 70.84 4.7
12 68.8 71.8 74.4 73.2 69 71.44 5.6
13 69 71.4 71.6 70.4 71.2 70.72 2.6








- Carte X
Carte des étendues
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
Échnatillon No
É
t
e
n
d
u
e
Étendue
Étendue moyenne
LSC
LIC
GOL450- Devoir 2 - Solution Page 25

- Carte R

Tous les points sont à l’intérieur des limites de contrôle, donc le procédé est toujours maîtrisé
statistiquement.


4- Quantité non-conforme :
Estimation de l’écart-type o de la caractéristique à partir des résultats des 13 échantillons :
Carte des moyennes
66
67
68
69
70
71
72
73
0 2 4 6 8 10 12 14
Échnatillon No
R
é
s
i
s
t
a
n
c
e

m
o
y
e
n
n
e
Moyenne
Moyenne globale
LSC
LIC
Carte des étendues
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12 14
Échnatillon No
É
t
e
n
d
u
e
s
Étendue
Étendue moyenne
LSC
LIC
GOL450- Devoir 2 - Solution Page 26
2
d
R
= o

, n = 5, 326 . 2
2
= d
93 . 1
326 . 2
492 . 4
2
= = =
d
R
o


La proportion de pièces qui sont non-conformes :
a. La proportion de pièces qui sont non-conformes par défaut (P1) :
6 . 2
93 . 1
015 . 70 65
1
÷ =
÷
=
÷
=
o

X T
z
i

Avec la table de la loi normale centrée réduite, on peut déterminer l’aire sous la courbe entre 65
et 70.015 qui est égale à P(-2.6<Z<0)=0.4953
b. La proportion de pièces qui sont non-conformes par excès (P2) :
58 . 2
93 . 1
015 . 70 75
2
=
÷
=
÷
=
o

X T
z
s

Avec la table de la loi normale centrée réduite, on peut déterminer l’aire sous la courbe entre
70.015 et 75 qui est égale à P(0<Z<2.58)= 0.4951
Pourcentage des tiges à l’intérieur des spécifications : 0.4953 + 0.4951 = 0.9904
Pourcentage des tiges à l’extérieur des spécifications : 1- 0.9904 = 0.0096
Quantité non-conforme : 6000 * 0.0096 = 58 tiges
5- Calcule de l’indice
pk
C :
{ }
86 . 0
866 . 0 , 86 . 0 min
93 . 1 3
65 015 . 70
,
93 . 1 3
015 . 70 75
min
=
=
)
`
¹
¹
´
¦
×
÷
×
÷
=
pk
pk
pk
C
C
C

6- le procédé n’est pas capable, une partie importante des tiges est à l’extérieur des
spécifications.

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