Teoria de Cola

DEFINICIONES DE LA TEORIA DE COLA.

La teoría de colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera
dentro de un sistema. Ésta teoría estudia factores como el tiempo de espera
medio en las colas o la capacidad de trabajo del sistema sin que llegue a
colapsarse. Dentro de las matemáticas, la teoría de colas se engloba en la
investigación de operaciones y es un complemento muy importante a la teoría de
sistemas y la teoría de control. Se trata así de una teoría que encuentra aplicación
en una amplia variedad de situaciones como negocios, comercio, industria,
ingenierías, transporte y logística o telecomunicaciones.

La teoría de cola es el estudio matemático del comportamiento de líneas
de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar”
demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de
atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide
esperar, entonces se forma la línea de espera.

Una cola es una línea de espera y la teoría de cola es una colección de
modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o
sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre
costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema
dado.

Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio.
Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o
clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho
servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto
como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una
red de colas.

APLICACIÓN DEL MODELO TEORIA DE COLAS EN LA
INGENIERIA.

En el caso concreto de la ingeniería, la teoría de colas permite modelar
sistemas en los que varios agentes que demandan cierto servicio o prestación
confluyen en un mismo servidor y, por lo tanto, pueden registrarse esperas desde
que un agente llega al sistema y el servidor atiende sus demandas. En este
sentido, la teoría es muy útil para modelar procesos tales como la llegada de
datos a una cola en ciencias de la computación, la congestión de red de
computadoras o de telecomunicación, o la implementación de una cadena
productiva en la ingeniería.

Campos de utilización de la teoría de cola en la ingeniería: logística de los
procesos industriales, de producción, ingeniería de redes y servicios, ingeniería
de sistemas informáticos, etc.

MODELO DE TEORIA DE COLA.

En los problemas de formación de cola, a menudo se habla de clientes,
tales como personas que esperan la desocupación de líneas telefónicas, la espera
de máquinas para ser reparadas y los aviones que esperan aterrizar y estaciones
de servicios, tales como mesas en un restaurante, operarios en un taller de
reparación, pistas en un aeropuerto, etc. Los problemas de formación de colas a
menudo contienen una velocidad variable de llegada de clientes que requieren
cierto tipo de servicio, y una velocidad variable de prestación del servicio en la
estación de servicio.

Cuando se habla de líneas de espera, se refieren a las creadas por clientes
o por las estaciones de servicio. Los clientes pueden esperar en cola simplemente
porque los medios existentes son inadecuados para satisfacer la demanda de
servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más
larga a medida que transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar
esperando por que los medios existentes son excesivos en relación con la
demanda de los clientes; en este caso, las estaciones de servicio podrían
permanecer ociosas la mayor parte del tiempo. Los clientes puede que esperen
temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, por que los
clientes llegados anteriormente están siendo atendidos. Las estaciones de servicio
pueden encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones sean adecuadas a
largo plazo, haya una escasez ocasional de demanda debido a un hecho temporal.
Estos dos últimos casos tipifican una situación equilibrada que tiende
constantemente hacia el equilibrio, o una situación estable.

En la teoría de la formación de colas, generalmente se llama sistema a un
grupo de unidades físicas, integradas de tal modo que pueden operar al unísono
con una serie de operaciones organizadas. La teoría de la formación de colas
busca una solución al problema de la espera prediciendo primero el
comportamiento del sistema. Pero una solución al problema de la espera consiste
en no solo en minimizar el tiempo que los clientes pasan en el sistema, sino
también en minimizar los costos totales de aquellos que solicitan el servicio y de
quienes lo prestan.

APLICACIONES PRÁCTICAS.

Algunas aplicaciones:
 Facturación en aeropuertos.

 Cajeros automáticos.

 Restaurantes de comida rápida.

 Esperas en líneas de atención telefónica.

 Intersecciones de tráfico.

 Peajes.

 Aviones en espera para aterrizar.

 Llamadas a la policía o a compañías de servicios públicos.

EJERCICIOS PRACTICOS.

 Un lava carro puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de
llegadas es de 9 autos por hora.

Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1.

Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener
una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 minutos en
la cola y en el sistema
Solución:

Se conoce la siguiente información:

λ= 9 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 0.15 clientes/minutos
μ= 0.2 clientes/minutos (media de llegada de los clientes)

a) Vamos calcular el factor de desempeño del sistema calculando ρ.


El sistema está ocupado el 75% del tiempo. O sea pasa un 25% ocioso.
Es decir la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema es cuando el
sistema está vacío y eso puede ocurrir con una probabilidad del 25%. Su cálculo
puede hacerse directamente con la fórmula:

b) La probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes



La probabilidad que haya más de tres clientes en el Sistema, implica que
debemos conocer la Probabilidad que haya cero, uno, dos y tres clientes. La
diferencia con 1.

Será la probabilidad que hayan más de tres.

P(Ls>3)=1–(P0+P1+P2+P3)=1-(0.25+0.1875+0.1406+0.1055)=1-0.6836=0.3164

c) La probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola.
Primero calcularemos el tiempo promedio que un cliente espera en la cola

Ahora vamos a calcular tiempo (t) de espera sea mayor de 30 minutos.



Vamos aplicar esta ecuación para calcular dicha probabilidad

d) La probabilidad de esperar más de 30 minutos en el Sistema.


 Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con un solo
servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil.

Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y
que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales.
Conteste las preguntas siguientes:

a. ¿Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso?

b. ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero?
(se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola
esperando)

c. ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el
estacionamiento del banco, (incluyendo el tiempo de servicio)?

d. ¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora?

Solución:

Se conoce la siguiente información:

λ= 10clientes/hora (media de llegada del os clientes) = 1/6clientes/minutos
μ= 1clientes/4minutos (media de servicio de los clientes)=1/4 cliente/minuto

b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero?

c) ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el
estacionamiento del banco (incluyendo el tiempo de servicio)?

Nos preguntan por el tiempo promedio que el cliente pasa en el sistema. Ws

d) ¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora?

Si el cajero siempre estuviera ocupado, atendería un promedio de μ=15
clientes por hora.

Según la solución encontrada en el inciso a(1/4*60=15),el cajero está
ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto dentro de cada hora, el cajero atenderá un
promedio de (2/3)(15)= 10 clientes.

Esto es ρ*μ= 2/3 * 15 = 10 clientes.

Supóngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde
los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y
que hay 10 cajas en operación. Si hay poco intercambio entre las líneas, puede
tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola línea, cada uno
con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora:

A = tasa promedio de llegada.
S = tasa promedio de servicio.
Dados:
A = 9 clientes por hora
S = 12 clientes por hora
Entonces:
= 2.25 Clientes
= 0.25 horas o 15 minutos.
= 3 clientes.
= 0.33 horas o 20 minutos.
= 0.75 o 75%
0.32

Entonces, para este ejemplo, el cliente promedio espera 15 minutos antes
de ser servido. En promedio, hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en
el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja está
ocupada el 75 % del tiempo. Y finalmente, el 32 % del tiempo habrá cuatro
personas o más en el sistema (o tres o más esperando en la cola).

IMPORTANCIA.
A lo largo del tiempo se producen llegadas de clientes a la cola de un
sistema desde una determinada fuente demandando un servicio. Los servidores
del sistema seleccionan miembros de la cola según una regla predefinida
denominada disciplina de la cola. Cuando un cliente seleccionado termina de
recibir su servicio (tras un tiempo de servicio) abandona el sistema, pudiendo o
no unirse de nuevo a la fuente de llegadas.
Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio.
Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o
clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho
servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto
como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una
red de colas. En la siguiente figura podemos ver un ejemplo de modelo de colas
sencillo. Este modelo puede usarse para representar una situación típica en la
cual los clientes llegan, esperan si los servidores están ocupados, son servidos
por un servidor disponible y se marchan cuando se obtiene el servicio requerido.
El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el
balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo,
es decir, no se sabe con exactitud en qué momento llegarán los clientes. También
el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

RESUMEN DE LA VIDA COTIDIANA.

Se puede encontrar en la cola de impresión. Cuando la impresora recibe
órdenes de imprimir una serie de documentos internamente se forma una cola…
y comienza imprimiendo, por tanto, aquellos documentos que primero fueron
pedidos.

Otro ejemplo, algo más relacionado en lo que hace a sistemas, lo podemos
encontrar en los sistemas de simulación. Los sistemas de simulación que se basan
en la técnica de timming dirigido por eventos, llevan un registro de una cola. Se
van encolando los eventos que se generan y luego se los va atendiendo en el
orden de llegada.

Por ejemplo, se desea simular y predecir la demanda y predecir la
demanda de clientes y el tiempo de atención de un cajero de un negocio. La
llegada y demande de clientes se simula mediante una cola. Cada ítem
representara un cliente.















INTRODUCCION.

El origen de la teoría de cola esta en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang
(Dinamarca, 1878 – 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con
el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de
Copenhague, sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de
cola o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios
debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de
congestión llegada – salida.

En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación
de cola o líneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es
superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa
situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una
autopista, los cajeros automáticos, la atención al cliente en un establecimiento
comercial, la avería de electrodomésticos u otros tipos de aparatos que deben ser
reparados por un servicio técnico, entre otros.

Todavía más frecuentes, si cabe, son las situaciones de esperas en el contexto de
la informática, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías. Así, por
ejemplo, los procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera
mientras no son atendido, la información solicitada, a través de internet, a un servidor
Web puede recibirse con demora debido a congestión en la red o en el servidor
propiamente dicho, podemos recibir la señal de líneas ocupadas si la central de la que
depende nuestro teléfono móvil esta colapsada en ese momento, entre otros.











ANEXOS.































CONCLUSION.

Los sistemas de cola son una herramienta útil en diversas situaciones tanto en la
parte laboral como en la vida cotidiana, este sistema nos permite de mejor manera
optimizar nuestro tiempo de espera para un servicio determinado. Ejemplo (bancos,
supermercados, estaciones de servicio. Entre otros) y de esta forma evitar
aglomeraciones, pérdida de tiempo o caos entre otros usuarios o participantes de este.

Estos sistemas son variados dependiendo el lugar o la ocasión donde se apliquen.
Estos deben ser elegidos metódicamente y bajo un sistema matemático tomando en
cuente el servicio que se preste y la frecuencia que este se ocupe.

La correcta elección de un sistema de cola debe tener como resultado la
conformidad de las dos partes que lo utilicen tanto la parte que presta el servicio como
la que lo requiere o lo utiliza.















BIBLIOGRAFIA.

http://www.monografias.com/trabajos18/teoria-colas/teoria-
colas.shtml#modelo
http://www.itescam.edu.mx/principal/fpdb/recursos/r43663.PDF
http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/garduno_a_f/c
apitulo5.pdf



















REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA.
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA EDUCACION SUPERIOR.
I.U.P. “SANTIAGO MARIÑO”
MATURIN-EDO-MONAGAS.








ASESORA: BACHILLERES:
AMELIA MALAVE GOMEZ VIRGINIA C.I. 20.311.960







MATURIN, JULIO 2014.