100
Content
´
Algebra
Lineal
Departamento de Ciencias Exactas
1
—ESPACIOS EUCLIDEOS
1.1
Dados u1 , u2 ∈ U , tales que:
||u1 || = 3, ||u2 || = 2, el ´
angulo entre ellos es
π
, calcular
3
2. ||3u − 2v||
3. comprobar la desigualdad Cauchy y la desigualdad Tri´angular
1.2
Dados u, v, w ∈ V , tales que:
< u, v >= 1 + i, < v, w >= 2 − 2i, < u, w >= 5, ||u|| = 1, ||v|| = 2, ||w|| = 1. Hallar:
1. < (3u − v − 2w), (−u + 2v − 4w) >=?
2. ||3u − v − 2w|| =?
3. || − u + 2v − 4w|| =?
4. Hallar el ´
area, el per´ımetro y los ´angulos del tri´angulo formado por los vectores u, v, w
1.3
Sean v, u1 , u2 , u3 , ...., uk ∈ V
Si u = u1 + u2 + u3 + .... + uk . Demostrar que
proyv u = proyv u1 + proyv u2 + proyv u3 + .... + proyv uk
1.4
Sea el espacio (Z, C, ⊕, , < . >, ||.||),donde z1 , z2 ∈ Z. Demostrar la siguiente identidad
4 < z1 , z2 >= ||z1 + z2 ||2 − ||z1 − z2 ||2 + i||z1 + iz2 || − i||z1 − iz2 ||
1.5
Dado el siguiente espacio
V = {(z1 , z2 , z3 , z4 , z5 ) ∈ C5 /iz1 + (1 + i)z2 + z3 − iz4 + z5 = 0 , (1 − i)z2 − iz3 + z4 − iz5 = 0}
1. Las distancias: d(v1 , v2 ), d(v2 , v3 ), d(v1 , v3 )
2. Los ´angulos: ∠(v1 , v2 ), ∠(v2 , v3 ), ∠(v1 , v3 )
1
Ing. C. Xavier Salazar B.
Universidad de las Fuerzas Armadas Espe.
1. < u1 , u2 >
´
Algebra
Lineal
Departamento de Ciencias Exactas
3. Las proyecciones y vectores complemento ortogonal: proyv1 v2 y v2⊥ ; proyv2 v3 y v3⊥ ,proyv3 v1
y v1⊥
4. Un subespacio ortonormal para V ⊥ .
5. Realizar V ∪ V ⊥ . ¿V y V ⊥ son espacios complementarios?.
1.6
Hallar el conjunto de todas las matrices B conmutativas para el producto
y ortogonales, para la siguiente matriz
A=
1.7
3
2 + 2i
2 − 2i
1
Para los polinomios:
p(t) = 3t2 +2t+1, q(t) = −t2 +2t+1, r(t) = 3t2 +2t+5, s(x) = 3t2 +5t+2. Hallar un polinomio
u(t) de grado menor o igual a 2, tal que sea equidistante a los polinomios p(x), q(x), r(x), s(x),
y determinar el valor de su distancia. Usar producto interno can´onico.
1.8
Para que valores de k, l es ORTONORMAL, la siguiente base
u=
k 1−k
1−k
k
k 1−k
,
, 3l , v =
, 3l,
, w = 3l, ,
9
9
9
9
9
9
1.9
1
1
1
2
1
Al al matriz A = 1 0 0 −2 1
−2 1 −1 2 0
tres primeras filas
agregar dos filas m´as que sean ortogales entre si a las
1.10
Sea p(x) = 2x3 − 3x2 + 2 Para la base formada por el subespacio generado por los vectores
P = {p(x), p0 (x)} . Extenderla hacia todos los polinomios de grado 3. en el intervalo [−1, 1].
Con la base extendida generar un BASE ORTONORMAL, sobre el mismo intervalo.
1.11
Sea el espacio de la funciones reales sobre intervalo [1, 3]
Para f (x) =
1
.Hallar una Funci´
on Constante g(x) mas pr´oxima a f (x), y calcular ||f (x)−g(x)||2
x
2
Ing. C. Xavier Salazar B.
Universidad de las Fuerzas Armadas Espe.
6. Hallar la distancia de v = (0, 1, −i, −1, 1 − i) sobre V
´
Algebra
Lineal
Departamento de Ciencias Exactas
2
Calcular PERIMETRO, EL AREA, Y LOS ANGULOS INTERNOS
2.1
Crear una base ortonotmal para B = 1, x − 2, (x − 2)2 , (x − 2)3 . Hallar la proyecci´on proyB f (t)
si f (t) = ex . sobre el intervalo I : [0, 1] Comprobar que f (x) ≈ proyB f (x) para un valor arbitrario de x ∈ R
2.2
Crear una base ortonotmal para B = et , e2t . Hallar la proyecci´on proyB f (t) si f (t) = t2 +t+1.
sobre el intervalo I : [0, 1] Comprobar que f (t) ≈ proyB f (t) para un valor arbitrario de t ∈ R
2.3
Para la base B = {1, sin(x), cos(x)}, en el intervalo I : [−π, π]. Hallar el polinomio trigonom´etrico
mas pr´oximo a f (x) = x. Comprobar que f (x) ≈ proyB f (x)
3
Ing. C. Xavier Salazar B.
Universidad de las Fuerzas Armadas Espe.
Para el tri´angulo formado por los vectores
1 2
3 1
1 1
,
,
V =
1 2
−1 0
0 1
´
Algebra
Lineal
Departamento de Ciencias Exactas
VECTORES Y VALORES PROPIOS
3.1
Hallar los vectores y valores propios
3.2
Diagonalizar la matriz
3.3
Hallar Ak
3.4
Usando el polinomio caracter´ıstico hallar A−1
3.5
Consultar en el texto Ing. J Garcia POLINOMIO M´INIMO.
3.6
Determinar el polinomio m´ınimo para las matrices dadas
3 2 −5
A = 2 6 10
1 2 −3
*diagonalizaci´
on ortogonal
S=
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
− 12
− 12
1
2
− 12
1
2
− 12
1
2
− 12
− 21
1
2
0
−1 5 0 0
B =
2 0 −1 0
4 0 −8 3
2
2
0
4 + 3i
4i
−6 − 2i
1
H = −4i
4 − 3i −2 − 6i
9
6 + 2i −2 − 6i
1
4
Ing. C. Xavier Salazar B.
Universidad de las Fuerzas Armadas Espe.
3
Algebra
Lineal
Departamento de Ciencias Exactas
1
—ESPACIOS EUCLIDEOS
1.1
Dados u1 , u2 ∈ U , tales que:
||u1 || = 3, ||u2 || = 2, el ´
angulo entre ellos es
π
, calcular
3
2. ||3u − 2v||
3. comprobar la desigualdad Cauchy y la desigualdad Tri´angular
1.2
Dados u, v, w ∈ V , tales que:
< u, v >= 1 + i, < v, w >= 2 − 2i, < u, w >= 5, ||u|| = 1, ||v|| = 2, ||w|| = 1. Hallar:
1. < (3u − v − 2w), (−u + 2v − 4w) >=?
2. ||3u − v − 2w|| =?
3. || − u + 2v − 4w|| =?
4. Hallar el ´
area, el per´ımetro y los ´angulos del tri´angulo formado por los vectores u, v, w
1.3
Sean v, u1 , u2 , u3 , ...., uk ∈ V
Si u = u1 + u2 + u3 + .... + uk . Demostrar que
proyv u = proyv u1 + proyv u2 + proyv u3 + .... + proyv uk
1.4
Sea el espacio (Z, C, ⊕, , < . >, ||.||),donde z1 , z2 ∈ Z. Demostrar la siguiente identidad
4 < z1 , z2 >= ||z1 + z2 ||2 − ||z1 − z2 ||2 + i||z1 + iz2 || − i||z1 − iz2 ||
1.5
Dado el siguiente espacio
V = {(z1 , z2 , z3 , z4 , z5 ) ∈ C5 /iz1 + (1 + i)z2 + z3 − iz4 + z5 = 0 , (1 − i)z2 − iz3 + z4 − iz5 = 0}
1. Las distancias: d(v1 , v2 ), d(v2 , v3 ), d(v1 , v3 )
2. Los ´angulos: ∠(v1 , v2 ), ∠(v2 , v3 ), ∠(v1 , v3 )
1
Ing. C. Xavier Salazar B.
Universidad de las Fuerzas Armadas Espe.
1. < u1 , u2 >
´
Algebra
Lineal
Departamento de Ciencias Exactas
3. Las proyecciones y vectores complemento ortogonal: proyv1 v2 y v2⊥ ; proyv2 v3 y v3⊥ ,proyv3 v1
y v1⊥
4. Un subespacio ortonormal para V ⊥ .
5. Realizar V ∪ V ⊥ . ¿V y V ⊥ son espacios complementarios?.
1.6
Hallar el conjunto de todas las matrices B conmutativas para el producto
y ortogonales, para la siguiente matriz
A=
1.7
3
2 + 2i
2 − 2i
1
Para los polinomios:
p(t) = 3t2 +2t+1, q(t) = −t2 +2t+1, r(t) = 3t2 +2t+5, s(x) = 3t2 +5t+2. Hallar un polinomio
u(t) de grado menor o igual a 2, tal que sea equidistante a los polinomios p(x), q(x), r(x), s(x),
y determinar el valor de su distancia. Usar producto interno can´onico.
1.8
Para que valores de k, l es ORTONORMAL, la siguiente base
u=
k 1−k
1−k
k
k 1−k
,
, 3l , v =
, 3l,
, w = 3l, ,
9
9
9
9
9
9
1.9
1
1
1
2
1
Al al matriz A = 1 0 0 −2 1
−2 1 −1 2 0
tres primeras filas
agregar dos filas m´as que sean ortogales entre si a las
1.10
Sea p(x) = 2x3 − 3x2 + 2 Para la base formada por el subespacio generado por los vectores
P = {p(x), p0 (x)} . Extenderla hacia todos los polinomios de grado 3. en el intervalo [−1, 1].
Con la base extendida generar un BASE ORTONORMAL, sobre el mismo intervalo.
1.11
Sea el espacio de la funciones reales sobre intervalo [1, 3]
Para f (x) =
1
.Hallar una Funci´
on Constante g(x) mas pr´oxima a f (x), y calcular ||f (x)−g(x)||2
x
2
Ing. C. Xavier Salazar B.
Universidad de las Fuerzas Armadas Espe.
6. Hallar la distancia de v = (0, 1, −i, −1, 1 − i) sobre V
´
Algebra
Lineal
Departamento de Ciencias Exactas
2
Calcular PERIMETRO, EL AREA, Y LOS ANGULOS INTERNOS
2.1
Crear una base ortonotmal para B = 1, x − 2, (x − 2)2 , (x − 2)3 . Hallar la proyecci´on proyB f (t)
si f (t) = ex . sobre el intervalo I : [0, 1] Comprobar que f (x) ≈ proyB f (x) para un valor arbitrario de x ∈ R
2.2
Crear una base ortonotmal para B = et , e2t . Hallar la proyecci´on proyB f (t) si f (t) = t2 +t+1.
sobre el intervalo I : [0, 1] Comprobar que f (t) ≈ proyB f (t) para un valor arbitrario de t ∈ R
2.3
Para la base B = {1, sin(x), cos(x)}, en el intervalo I : [−π, π]. Hallar el polinomio trigonom´etrico
mas pr´oximo a f (x) = x. Comprobar que f (x) ≈ proyB f (x)
3
Ing. C. Xavier Salazar B.
Universidad de las Fuerzas Armadas Espe.
Para el tri´angulo formado por los vectores
1 2
3 1
1 1
,
,
V =
1 2
−1 0
0 1
´
Algebra
Lineal
Departamento de Ciencias Exactas
VECTORES Y VALORES PROPIOS
3.1
Hallar los vectores y valores propios
3.2
Diagonalizar la matriz
3.3
Hallar Ak
3.4
Usando el polinomio caracter´ıstico hallar A−1
3.5
Consultar en el texto Ing. J Garcia POLINOMIO M´INIMO.
3.6
Determinar el polinomio m´ınimo para las matrices dadas
3 2 −5
A = 2 6 10
1 2 −3
*diagonalizaci´
on ortogonal
S=
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
− 12
− 12
1
2
− 12
1
2
− 12
1
2
− 12
− 21
1
2
0
−1 5 0 0
B =
2 0 −1 0
4 0 −8 3
2
2
0
4 + 3i
4i
−6 − 2i
1
H = −4i
4 − 3i −2 − 6i
9
6 + 2i −2 − 6i
1
4
Ing. C. Xavier Salazar B.
Universidad de las Fuerzas Armadas Espe.
3
