2. Conceitos Basicos de Probabilidades

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Análise Combinatória e Probabilidades Conceitos básicos de probabilidades A teoria das probabilidades ocupa-se do estudo de experiências aleatórias, ou seja, de experiências influenciadas pelo acaso. Uma experiência aleatória é uma experiência sobre a qual não se pode dizer qual vai ser o resultado, antes de a realizarmos. Por oposição, temos o conceito de experiência determinística, que é aquela cujo resultado é possível prever, com absoluta certeza. Por exemplo é possível prever que se atirarmos uma pedra ao ar, ela cai (trata-se de uma experiência determinística), mas já não é possível prever qual vai ser o resultado de um lançamento de um dado (experiência aleatória).

Espaço de resultados Consideremos a seguinte experiência aleatória: lançamento de um dado. Os resultados possíveis desta experiência são: saída de face 1, saída de face 2, saída de face 3, saída de face 4, saída de face 5, saída de face 6. É, assim, natural associar a esta experiência o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A este conjunto chama-se espaço de resultados associado à experiência lançamento de um dado. O espaço de resultados associado a uma experiência é normalmente representado pela letra grega H (também se utiliza a letra W , de space). Vejamos mais dois exemplos: Exemplo 1: Experiência aleatória: lançamento de uma moeda duas vezes consecutivas. Espaço de resultados: H = {(C, C), (C, E), (E, C), (E, E)} (C representa saída de face cara; E representa saída de face escudo). Exemplo 2: Experiência aleatória: lançar dois dados e somar os pontos obtidos. Espaço de resultados: H = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Acontecimentos A um subconjunto do espaço de resultados dá-se o nome de acontecimento. Consideremos, uma vez mais, a experiência lançamento de um dado. Espaço de resultados: H = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. São exemplos de acontecimentos: A = {2, 4, 6} (saída de face par); B = {5, 6} (saída de face superior a quatro); C = {1} (saída de face um). O acontecimento C diz-se elementar, pois a sua realização depende apenas da ocorrência de um único resultado do espaço de resultados. A um acontecimento impossível associa-se o conjunto vazio (g). O espaço de resultados H também é, naturalmente, um acontecimento: diz-se acontecimento certo.

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Intersecção e união de acontecimentos. Acontecimentos incompatíveis. Dados dois acontecimentos, A e B, podemos pensar: • na sua união (A ∪ B) - corresponde à realização de pelo menos um dos dois acontecimentos; • na sua intersecção (A ∩ B) - corresponde à realização dos dois acontecimentos; No nosso exemplo, teríamos: A ∪ B - saída de face par ou superior a quatro - A ∪ B = {2, 4, 5, 6} ; A ∩ B - saída de face par e superior a quatro - A ∩ B = {6} ; Se a intersecção de dois acontecimentos for vazia, isto é, se for impossível a realização dos dois acontecimentos, os acontecimentos dizem-se incompatíveis ou mutuamente exclusivos. No nosso exemplo, os acontecimentos A e C são incompatíveis.

Acontecimentos contrários Dado um acontecimento A, o seu complementar em H representa-se por A . Dizemos que A e A são acontecimentos contrários. No nosso exemplo, o acontecimento contrário ou complementar de A é o acontecimento {1, 3, 5} - saída de face ímpar. É claro que dois acontecimentos contrários são incompatíveis, mas dois acontecimentos incompatíveis podem não ser contrários.

Espaço de acontecimentos Ao conjunto de todos os acontecimentos que se podem associar a uma experiência aleatória damos o nome de espaço de acontecimentos. Consideremos, por exemplo, a experiência aleatória lançamento de um rapa. Espaço de resultados: H = {R, T, D, P}

(Rapa, Tira, Deixa, Põe)

Espaço de acontecimentos: { g, {R}, {T}, {D}, {P}, {R,T}, {R,D}, {R,P}, {T,D}, {T,P}, {D,P}, {R,T,D}, {R,T,P}, {R,D,P}, {T,D,P}, {R, T, D, P} }

O conjunto de todos os subconjuntos de H representa-se por c (H) (conjunto das partes de H). Se H tiver 8 elementos, então c (H) tem #8 elementos. No exemplo do rapa, H tem % elementos, e c (H) tem #% œ "' elementos

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EXEMPLOS: Num saco existem três bolas numeradas de " a $.

Exemplo 1: Experiência aleatória: retira-se, do saco, uma bola, ao acaso e regista-se o número.

#H œ $

E" E# E$ E% E& E' E( E)

Espaço de resultados - H œ Ö"ß #ß $×

Tradução em linguagem corrente « a bola retirada tem o número &» « a bola retirada tem o número "» « a bola retirada tem o número #» « a bola retirada tem o número $» « a bola retirada tem um número inferior a $» « a bola retirada tem um número ímpar » « a bola retirada tem um número superior "» « a bola retirada tem um número inferior a %»

Acontecimento E" œ g E# œ e"f E$ œ e#f E% œ e$f E& œ e"ß #f E' œ e"ß $f E( œ e#ß $f E) œ e"ß #ß $f

Espaço de acontecimentos c H œ Ögß e"fß e#fß e$fß e"ß #fß e"ß $fß e#ß $fß e"ß #ß $f×

#H œ $

12º Ano

# c H œ #$ œ )

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Exemplo 2: Experiência aleatória: retiram-se, do saco, ao acaso, simultâneamente, duas bola e registam-se os números.

# H œ $ G# œ $

Espaço de resultados - H œ ÖÖ"ß #×ß Ö"ß $×ß Ö#ß $××

Tradução em linguagem corrente «as bolas retiradas têm o mesmo número»

Acontecimento E" œ g

E#

«as bolas retiradas têm, ambas, números inferiores a $»

E# œ ÖÖ"ß #××

E$

«as bolas retiradas têm, ambas, números ímpares»

E$ œ ÖÖ"ß $××

E%

«as bolas retiradas têm, ambas, números superiores a "»

E% œ ÖÖ#ß $××

E&

«as bolas retiradas têm números consecutivos»

E& œ ÖÖ"ß #×ß Ö#ß $××

E'

«uma das bolas retiradas tem o número "»

E' œ ÖÖ"ß #×ß Ö"ß $××

E(

«uma das bolas retiradas tem o número $»

E( œ ÖÖ"ß $×ß Ö#ß $××

E)

«as bolas retiradas têm, ambas, números inferiores a %»

E) œ ÖÖ"ß #×ß Ö"ß $×ß Ö#ß $××

E"

# c H œ #$ œ ) Espaço de acontecimentos c H œ

Ög ß ÖÖ"ß #×× ß ÖÖ"ß $×× ß ÖÖ#ß $×× ß ÖÖ"ß #×ß Ö#ß $×× ß ÖÖ"ß #×ß Ö"ß $×× ß ÖÖ"ß $×ß Ö#ß $×× ÖÖ"ß #×ß Ö"ß $×ß Ö#ß $×××

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ß

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Exemplo 3: Experiência aleatória: retiram-se, do saco, ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bola e registam-se os números.

#H œ $ ‚ # œ ' Espaço de resultados - H œ Ö "ß # ß "ß $ ß #ß " ß #ß $ ß $ß " ß $ß #

E"

Tradução em linguagem corrente «a primeira bola retirada tem um número múltiplo de &»

E#

.... E$

E% .... E&

×

Acontecimento E" œ g

«a primeira bola retirada tem o número " e a segunda tem» o número #» ......... «a primeira bola retirada tem o número "»

E# œ Ö "ß #

«a primeira bola retirada tem um número ímpar» ......... «as bolas retiradas têm ambas números inferiores a %»

E% œ Ö "ß # ß "ß $ ß $ß " ß $ß #

E$ œ Ö

E& œ Ö

×

....... "ß # ß "ß $

× ×

....... "ß # ß "ß $ ß #ß " ß #ß $ ß $ß " ß $ß #

# c H œ #' œ '% Espaço de acontecimentos c H œ

Ög ß Ö "ß # × ß Ö "ß $ × ß Ö #ß " × ß ÞÞÞÞÞ

Ö "ß # ß Ö "ß # ß Ö "ß # ß Ö "ß # ß

× ß Ö "ß # ß #ß " × ß ÞÞÞÞÞÞ "ß $ ß #ß " × ß ÞÞÞÞÞ "ß $ ß #ß " ß #ß $ × ß Ö "ß # ß "ß $ ß #ß " ß "ß $ ß #ß " ß #ß $ ß $ß " × ß Ö "ß # ß "ß $ ß "ß $

$ß "

×ß

ÞÞÞÞÞ

#ß " ß #ß $ ß $ß #

×ß

ÞÞÞÞÞ

Ö "ß # ß

12º Ano

"ß $ ß #ß " ß #ß $ ß $ß " ß $ß #

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××

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×

Exercícios 1.

Observa a Roda da Sorte representada na figura.

Considera a experiência: rodar o ponteiro e anotar o número que sai. 1.1.

Indica o espaço de resultados.

1.2.

Indica o subconjunto do espaço de resultados associado a cada um dos acontecimentos seguintes:

1.3.

1.2.1.

Sair número par.

1.2.2.

Sair número primo.

1.2.3.

Sair múltiplo de 4.

1.2.4.

Sair 1 ou 2.

1.2.5.

Sair 7.

1.2.6.

Não sair 7.

1.2.7.

Sair 15.

1.2.8.

Não sair 15.

Considera os acontecimentos: A: sair número ímpar B: sair número menor do que 3 Utilizando apenas estes dois acontecimentos e as operações de intersecção, união e complementar, caracteriza os seguintes acontecimentos:

12º Ano

1.3.1.

Sair número par.

1.3.2.

Sair o número 1.

1.3.3.

Sair 2 ou sair um número ímpar .

1.3.4.

Sair número par maior do que 3.

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2.

Lança-se uma moeda três vezes consecutivas. Representando por C a saída de face cara e por E a saída de face escudo, resolve as alíneas seguintes: 2.1.

Indica o espaço de resultados.

2.2.

Indica o subconjunto do espaço de resultados associado a cada um dos acontecimentos seguintes:

2.3.

3.

4.

12º Ano

2.2.1.

Sair cara no 1º lançamento, escudo no 2º e cara no 3º.

2.2.2.

Sair cara no 1º lançamento e escudo no 2º.

2.2.3.

Sair cara no 3º lançamento.

2.2.4.

Sair cara uma só vez.

2.2.5.

Nunca sair cara.

2.2.6.

Sair sempre cara.

Traduz em linguagem corrente os seguintes acontecimentos: 2.3.1.

{(E,C,C), (C,E,C), (C,C,E)}

2.3.2.

{(E,E,C), (E,E,E)}

Tira-se uma carta de um baralho de 52 cartas. 3.1.

Seja E o acontecimento: sair uma Dama. Indica, em linguagem corrente, o acontecimento contrário de E.

3.2.

Indica, em linguagem corrente, dois acontecimentos incompatíveis, mas não contrários.

3.3.

Seja F o acontecimento: sair um Ás. Seja G o acontecimento: sair uma carta de espadas. Utilizando apenas estes dois acontecimentos e as operações de intersecção, união e complementar, caracteriza os seguintes acontecimentos: 3.3.1.

Sair o Ás de Espadas.

3.3.2.

Sair uma carta de Copas ou de Ouros ou Paus.

Tiram-se sucessivamente duas cartas de um baralho de 52 cartas, não repondo no baralho a primeira carta extraída. 4.1.

Quantos elementos tem o espaço de resultados?

4.2.

Seja E o acontecimento: sair pelo menos um Rei. Indica, em linguagem corrente, o acontecimento contrário de E.

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