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Published on June 2016 | Categories: Documents | Downloads: 47 | Comments: 0 | Views: 371
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時間序列分析與預測心得報告
所謂時間序列分析(Time Series Analysis),乃探討一串按時序列間的關係,並籍由此
關係前瞻至未來。時間序列分析模式是計量經濟模式的一般化,可分為狹義及廣義。狹
義的時間序列分析是 Box and Jankins 在 1961 年所提出的 ARIMA 模式和後人延伸的
ARIMA 相關系統;廣義的時間序列除了 ARIMA 及其相關體系外,還包括趨勢預測、時
間序列分解、譜系分析及狀況空間分析等模式。其中,ARIMA 轉移函數為高度一般化的
模式,其特例簡化為自我迴歸模式及多項式遞延落差模式;而向量 ARIMA 模式更可簡
化為聯立方程式模式。ARIMA、ARIMA 轉移函數及向量 ARIMA 構成了 ARIMA 系統。
事實上,除了 ARIMA 模式外,尚有其他可用以預測外生變數之統計模式,但每種模式
皆適用於不同的研究特性,如表 4.1-1 所示。表中,依模式誤差、變數性質、資料特性,
可產生六種不同情況的組合,每一組合的預測,均有適當的統計模式可用。
預測模式之適用場合
模式特性
非隨機性

變數特性
外生變數

資料特性
連續性
趨勢預測

季節性
時間序列分解

隨機性

外生變數
內生變數

ARIMA
ARIMAT

SARIMA
SARIMAT

模式依特性可分為非隨機模式和隨機模式。非隨機模式(Non-stochastic Model)的誤差
項背後無隨機過程的假定,亦即時間序列不是由隨機過程產生。典型的非隨機模式為趨
勢預測模式。這種模式非常單純,僅用一個數學函數,配適在所觀察到的時間序列上,
再用函數的特性,產生未來的預測。趨勢預測模式有誤差項,假定遵循 NID(0, σ2)。
非隨機模式的特例為確定性模式(Deterministic Model),模式中無誤差項,純為數學
結構,不是統計推理的應用,沒有假說檢定,也沒有常態分配的觀念存在。典型的確
定性模式,就是時間序列分解模式。這種模式用數學的方式,將時間序列分解成長期
趨勢、循環變動、季節變動、不規則變動。預測時,捨棄不規則變動,將其他三個因子分
別預測至未來,再組合起來即得。
另一類模式是隨機模式(Stochastic Model),假定所觀察到的時間序列是一個隨機樣
本,共有 T 個觀察值,抽取自我一個隨機過程(Stochastic Process)。隨機模式中,
時間序列是樣本,而隨機過程是母體。ARIMA 體系內的所有模式,包括
ARIMA 、ARIMAT、SARIMA、SARIMAT,均屬隨機模式。
變數依特性可分為外生變數與內生變數。外生變數(Exogenous Variable)不受其他
變數影響,內生變數(Endogenous Variable)是會受其他變數的影響。奱數之外生
性或內生性,不是與生具來的本質,而要視在研究架構中所扮演的角色。例如,行銷
研究中,單位需求受國民所得的影響,國民所得為外生變數;而在經濟研究中,國民
所得受消費、投資、政府支出的影響,故國民所得為內生變數。同樣是國民所得,在兩個
研究領域中所扮演的角色,郤截然不同。不過,這兩個研究郤彼此相關,行銷研究預測
市場需求時,要先預測經濟環境,而經濟環境的預測,是由經濟研究完成的。
資料依特性可分為連續性資料(Consecutive Data)與季節性資料(Seasonal
Data),連續性資料不會定期循環,季節性資料則會定期循環。年資料因不會產生定期
循環,大多為連續性資料。而季資料、月資料,是否為季節性資料,就要視是否會產生
定期循環而異了。例如,可樂銷售量月資料,會產生夏天高、冬天低的定期循環,屬季

1- 1

節性資料;而利率月資料,不會有定期循環的情況產生,屬連續性資料。
ARIMA 有狹義與廣義之分。狹義指 ARIMA 模式。而廣義則指 ARIMA 體系,包括四個
模式,分別為 ARIMA 模式、ARIMAT 模式、SARIMA 模式、SARIMAT 模式。僅提
ARIMA,未特別指明是哪一個模式的話,基本上,視為廣義的 ARIMA,泛指四個模式
中的一個。
茲以每人牛奶用量預測為例,說明 ARIMA 體系的應用。長期預測適合以年資料為基礎,
如以過 30 年資料預測未來 5 年,解釋變數為國民所得,早期所得低時,消費者喝不起
牛奶,量會較少。短期預測適合以月資料為基礎,如以過去 36 個月資料預測未來 3
個月,解釋變數則為月均溫,天氣熱時,每人用量會較多。
ARIMA 與 AIRMAT 適用於以年資料產生長期預測。ARIMA 模式適用於外生變數、連續性
資料之預測,可用以預測國民所得。ARIMAT 為 ARIMA 轉移函數(Transfer
Function),適用於內生變數、連續性資料之預測,可用以估計每人用量與國民所得之
轉移函數,並將國民所得預測代入轉移函數,產生每人用量預測。
SARIMA 與 SAIRMAT 適用於以月資料產生短期預測。SARIMA 模式為季節性
ARIMA(Seasonal ARIMA)模式,適用於外生變數、季節性資料之預測,可用以預測
月均溫。SARIMAT 為季節性 ARIMA 轉移函數(Seasonal ARIMA Transfer
Function)模式,適用於內生變數、季節性資料之預測,可用以估計每人用量與月均溫
之轉移函數,並將月均溫預測代入轉移函數,產生每人用量預測。

模型設定與估計:
ARIMA (p,d,q)模式,如下所示:
(1− φ1B − φ 2 B 2 −− φ p B p ) ∇ d Yt − µ = (1− θ1B − θ 2 B 2 −− θ q B q )e t

[

]

ARIMA(p,d,q)模式可改寫為:

(1 − φ B − φ B
1

2

2

⇒ φ(B) y t = θ( B) e t

)

(

)

−  − φ p B p y t = 1 − θ1 B − θ 2 B 2 −  − θ q B q e t

d 之辨認
d 是序列之差分階數,通常可藉由序列之趨勢圖加以判定,若趨勢為水平,則設定
d=0;若趨勢為直線,則不論是直線上升或直線下降,皆設定 d=1;若趨勢為二次式,
皆設定 d=2。
在辨認 d 值之後,應對原始序列進行差分d 階之工作。將差分後之序列(∇ dYt)減去差分
後之均值(µ),即產生一差分後之新序列 yt,亦即 yt=∇ dYt-μ。差分之目的,就是在使
新序列 yt 滿足定態之要求。
(p,q)之辨認
模式設定之第二個步驟是(p,q)之辨認,依據準則是 ACF、PACF 等二圖之型式,在辨
認(p,q)時,應先檢驗模式是否為單純 AR(p)或單純 MA(q)模式,若二者皆不是,便可
判定模式為 ARMA(p,q)。
(p,q)辨認準則
相關函數
模式
ACF
IACF
PACF
AR(p)
尾部收斂 p 階後切斷 p 階後切

MA(q)
q 階後切斷 尾部收斂
尾部收斂
ARMA(p,q) 尾部收斂 尾部收斂
尾部收斂
下圖,由於 ACF 為尾部收斂, PACF 皆在一階後切斷,故可辨認出模式為 AR(1)。

1- 2

A C

PA C
+1

+1

0

2 
0 1

1 2

0

i

3 

i

-1

-1

(a) ACF
(b) PACF
圖 1 單純 AR 之相關函數
另一方面,根據辨認準則,單純 MA 之相關函數如圖 9.8-3 所示。若 ACF 在 q 階後切斷,
PACF 皆為尾部收斂,則可辨認出模式為 MA(q)。圖中,由於 ACF 在一階後切斷,
PACF 皆為尾部收斂,故可辨認出模式為 MA(1)型式。
A C

PA C
+1

+1

0

2 
0 1

0

i

1 2

3 

i

-1

-1

(a) ACF
(b) PACF
圖 2 單純 MA 之相關函數
然而,若 ACF、PACF 等二圖都沒有明顯的切斷點時,序列很可能屬於 ARMA(p,q)模
式。遇到 ARMA(p,q)模式時,實務上可用試誤法(Try and Error)。將所有可能的模式分
別進行分析,最後由模式診斷來判定何者較為合適。
或者,從差分後之序列的自我相關係數估計值可以觀察出。以自我相關系數估計值落
在信賴區間外之最大落差項為 q。
為要考驗落差項高於 q 之自我相關系數是否為零,可用 Bartlett 計算第 k 項落差
(k>q)之自我相關系數(rk)之變異數,並假設 rk 為為一平均值為零之常態分配變數,
從而建立一個信賴區間。Bartlett 公式如下:
q

1
2
Var ( rk ) = (1 + 2∑ r j )
n
j =1
自我相關系數在此信賴區間內則模型建立正確。
(二)模型診斷
有關模型設定是否正確可用 Q 檢驗值來診斷如果模型之設定正確時,檢驗值
K

Q = n ∑ r ( aˆ )
2

2
將是卡方分配自由度為 K-p-q,即 x (K-p-q)。
其中 rk (aˆ ) 為誤差項 aˆ 之自
我關係數估計值 p 和 q 為 AR 及 MA 之級次,K 為檢驗配適度時所使用之落差個數。
K =1

1- 3

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