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Automatizaci´on de Procesos Industriales
Ingeniero de Organizaci´on. Curso 1o

Jose Mari Gonz´alez de Durana
Dpto. I.S.A., EUITI e ITT - UPV/EHU
Vitoria-Gasteiz
Febrero 2004

2

Indice
1 Introducci´
on
1.1 Perspectiva hist´orica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 La empresa productiva . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 El proceso productivo . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Operaciones b´asicas de fabricaci´on . . . . . . .
1.2.3 Tipos de procesos . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Ubicaci´on de los procesos . . . . . . . . . . . . .
1.3 El proceso en feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 El regulador de Watt . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Esquema de regulaci´on en feedback . . . . . . .
1.3.3 El significado del control . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 El control en la empresa . . . . . . . . . . . . .
1.4 La automatizaci´on industrial . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 T´ecnicas de control . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Estructuras de automatizaci´on . . . . . . . . . .
1.4.3 Ventajas e inconvenientes de la automatizaci´on
1.4.4 Elementos de la automatizaci´on . . . . . . . . .
1.5 Modelos matem´aticos de sistemas . . . . . . . . . . . .
1.6 Modelado y simulaci´on de sistemas complejos . . . . .
1.6.1 Importancia del modelado . . . . . . . . . . . .
1.7 Estructura del curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Control de procesos continuos . . . . . . . . . .
1.7.2 Control de procesos de eventos discretos . . . .
1.7.3 Automatizaci´on local . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.4 Automatizaci´on global . . . . . . . . . . . . . .

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Control de procesos continuos

2 Dise˜
no de Controladores
2.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tipos de controladores . . . . . . . . .
2.2.1 Controlador tipo proporcional P
2.2.2 Controlador tipo integrador . .
2.2.3 Controlador tipo derivativo D .
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4

INDICE

2.3

2.4

2.5
2.6
2.7

II

2.2.4 Controladores PID . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Controladores de adelanto y de retraso de fase
M´etodos de dise˜
no basados en el lugar de las ra´ıces .
2.3.1 Dise˜
no de una red de adelanto de fase . . . . .
2.3.2 Dise˜
no de un controlador PID . . . . . . . . .
Dise˜
no en el Lugar de las Ra´ıces . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Compensador de adelanto de fase . . . . . . .
2.4.2 Consideraciones de dise˜
no . . . . . . . . . . .
2.4.3 Re-dise˜
no. Compensador en serie . . . . . . .
2.4.4 Compensador en realimentaci´on . . . . . . . .
2.4.5 Compensador de retraso de fase en serie . . .
2.4.6 M´axima fase de un controlador de adelanto . .
Dise˜
no en la respuesta de frecuencia . . . . . . . . . .
2.5.1 El problema del dise˜
no de feedback . . . . . .
Dise˜
no en el Espacio de Estado . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Asignaci´on de polos . . . . . . . . . . . . . . .
Sinton´ıa de controladores PID . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Ajuste de los par´ametros del PID . . . . . . .

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Control de procesos de eventos discretos

3 Sistemas booleanos
3.1 Dispositivos l´ogicos . . . . . . . .
3.2 Algebra de Boole . . . . . . . . .
3.2.1 Funciones booleanas . . .
3.2.2 Simplificaci´on de funciones
3.3 Sistemas combinacionales . . . . .
3.4 Sistemas secuenciales . . . . . . .
3.5 M´aquinas de estados . . . . . . .
3.5.1 Aut´omata de Mealy . . . .
3.5.2 Aut´omata de Moore . . .
3.5.3 Tablas de estado . . . . .
3.5.4 Diagramas de estado . . .
3.5.5 Dispositivos biestables . .
4 Sistemas reactivos
4.1 Modelos de sistemas productivos .
4.2 Grafcet . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Reglas de funcionamiento
4.2.2 Estructuras b´asicas . . . .
4.2.3 Posibilidades avanzadas .
4.2.4 Jerarqu´ıa . . . . . . . . .
4.2.5 Comunicaci´on . . . . . . .
4.3 Cartas de estado . . . . . . . . .

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INDICE

4.4

III

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4.3.1 Stateflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Creaci´on de un modelo con Stateflow–Simulink . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.1 Elementos de una carta de estado . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Automatizaci´
on Local

103

5 Automatismos
6 Automatismos el´
ectricos
6.1 El rel´e . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Funciones l´ogicas con rel´es . . .
6.2.1 Funci´on l´ogica identidad
6.2.2 Funci´on l´ogica negaci´on
6.2.3 Funci´on l´ogica AND . .
6.2.4 Funci´on l´ogica NAND .
7 Aut´
omatas programables

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6

INDICE

Cap´ıtulo 1
Introducci´
on
La Automatizaci´on se compone de todas las teor´ıas y tecnolog´ıas encaminadas de
alguna forma a sustituir el trabajo del hombre por el de la m´aquina. En este
cap´ıtulo daremos unas ideas muy generales sobre esta ´area, tan amplia y compleja,
y posteriormente las desarrollaremos a lo largo del curso.
Conceptualmente, la automatizaci´on se basa en una reiterada aplicaci´on del mecanismo de feedback y, por ello, est´a en ese sentido relacionada con las Teor´ıas de
Control y de Sistemas. En cuanto a su aspecto tecnol´ogico, puede decirse que siempre ha estado “a la u
´ltima”, adoptando en cada momento hist´orico los m´as recientes
avances.
Siendo nuestro objetivo automatizar ciertos procesos, parece claro que primero
hemos saber c´omo funcionan esos procesos. Como veremos, el tipo de automatizaci´on a implantar depende del tipo de porceso a automatizar: no da lo mismo
automatizar un proceso continuo que un proceso gobernado por eventos. Debido a la
gran cantidad de procesos distintos que funcionan actualmente, consideraremos s´olo
los m´as importantes desde el punto de de la automatizaci´on, y obtendremos modelos
con sus caracter´ısticas esenciales. Los procesos y modelos que iremos estudiando en
cap´ıtulos posteriores son:
• Procesos continuos (tiempo continuo y/o discreto)
• Procesos comandados por eventos
• Procesos de fabricaci´on
Aparte de las explicaciones dadas en clase sobre los procesos industriales y de su
estudio, puede ser un complemento interesante su observaci´on real, in situ, realizando
visitas a algunas empresas.
Pero no es suficiente con aprender a automatizar cada proceso. En una moderna
factor´ıa todos los procesos est´an conectados entre s´ı y desde la gesti´on de la empresa
se pueden controlar y supervisar algunos o todos los procesos, a trav´es de redes
locales y buses de comunicaci´on. Tambi´en pueden estar en conexi´on los diferentes
departamentos de la empresa, e incluso empresas diferentes a trav´es de redes propias
o de Internet. Es por ello interesante describir cada proceso como inscrito en el marco
7

´
CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

8

jer´arquico que representa la estructura completa de la empresa. En este marco, las
redes locales y los buses de comunicaci´on cobran especial inter´es.

1.1

Perspectiva hist´
orica

Se cree que cuando el homo sapiens domin´o el fuego, comenz´o a usarlo como elemento calefactor y para condimentar alimentos. Tuvo que pasar mucho tiempo, hasta la
Edad del Bronce, para que lo empleara en la obtenci´on de metales y en la cer´amica
dando as´ı lugar a los que podr´ıamos llamar primeros procesos de fabricaci´on de la
historia.
Pero el fuego no ha sido la u
´nica fuente de energ´ıa de la antig¨
uedad. Hacia el a˜
no
2000 a. de J.C. se utiliza por primera vez la energ´ıa e´olica para mover embarcaciones
dotadas de velas y, hacia el 1000 a. de J.C., los fenicios atravesaban el Mediterr´aneo
con sus nav´ıos. M´as tarde, sobre el 50 a. de J.C., los Romanos empiezan a utilizar
la energ´ıa hidr´aulica para la extracci´on de agua por medio de la noria. Durante la
edad media se utiliz´o mucho, en pr´acticamente toda Europa, la energ´ıa generada
por los molinos de viento.
La invenci´on de la m´aquina de vapor por James Watt hacia 1750 es el acontecimiento que marca el inicio de la Revoluci´on Industrial, que dura hasta finales de
siglo. Las tecnolog´ıas productivas nacen en ese momento: la maquina de vapor se
emplea r´apidamente para mover las bombas de extracci´on de agua en las minas de
carb´on de Gales y en la automatizaci´on de los telares en Manchester.
Durante este per´ıodo, con las de m´aquinas de vapor y luego con las de combusti´on interna y los motores el´ectricos, se van produciendo cambios progresivos
en los procesos de producci´on. Las m´aquinas herramienta ganan potencia y precisi´on, lo que a su vez permite fabricar productos de mayor calidad. Surgen as´ı los
primeros talleres mec´anicos que producen m´aquinas algunas de las cuales llevan ya
rudimentarios sistemas de control.
En el siglo XX, aunque ya no se denomine asi, contin´
ua la revoluci´on industrial
con un desenfrenado avance tecnol´ogico y cient´ıfico. La evoluci´on de la t´ecnica es
permanente, con una sucesi´on interminable de inventos y aplicaciones, muchos de
los cuales (pensemos sin ir m´as lejos en el autom´ovil y en los electrodom´esticos) se
han convertido en herramientas b´asicas para hombre actual.
Todo este desarrollo ha sido consecuencia de una premisa fundamental: la existencia de fuentes de energ´ıa inagotables y baratas. Pero su veracidad se ha puesto
en entredicho con la crisis del petr´oleo iniciada en las u
´ltimas d´ecadas del siglo XX.
Los sistemas productivos no han sido ajenos a todos estos avances. La empresa,
motor del desarrollo del sector privado e incluso del sector p´
ublico, se ve obligada
casi siempre a incorporar las u
´ltimas tecnolog´ıas en sus procesos o de lo contrario
corre el peligro que quedar r´apidamente obsoleta.
Algunas teor´ıas, tecnolog´ıas y ´areas tecnol´ogicas cuyo avance ha favorecido la
evoluci´on de los procesos productivos son las siguientes:
• Teor´ıas

´
1.1. PERSPECTIVA HISTORICA

9

– Teor´ıas de Control y de Sistemas
– Teor´ıa de la se˜
nal
– Sistemas de eventos discretos
– M´aquinas de estado
– Redes de Petri
– Gr´aficos etapa-transici´on (grafcet)
– Cartas de estado (statechart)
• Tecnolog´ıas
– Neum´atica
– Hidr´aulica
– Electr´onica
– Microprocesadores
– Ordenadores
– Aut´omatas programables
– Rob´otica
– Comunicaciones
– Desarrollo del software
• Areas tecnol´ogicas
– Automatizaci´on de las m´aquinas-herramienta
– Control de procesos por computador
– Dise˜
no asistido por computador (CAD)
– Fabricaci´on asistida por computador (CAM)
– Fabricaci´on integral por computador (CIM)
– Control de procesos distribu´ıdo
– C´elulas flexibles de mecanizado y de montaje
Cabe aqu´ı decir que el crecimiento de Rob´otica no ha sido t´an r´apido como
vaticinaban ciertas predicciones realizadas en los primeros a˜
nos de la d´ecada de los
80. Quiz´as esto se deba a la carest´ıa de los equipos y a la no tan evidente importancia
de su flexibilidad como en principio se cre´ıa: si un robot va a hacer siempre la misma
tarea, resulta m´as econ´omico utilizar otro sistema menos flexible y m´as especializado.
Por ello, en tareas repetitivas que no requieren mucha precisi´on resulta aconsejable
utilizar manipuladores (neum´aticos por ejemplo) en vez de robots. En otras tareas
m´as complejas (tales como la soldadura por laser) que precisan el seguimiento de
trayectorias complejas, s´ı que el robot sigue siendo insustituible.

´
CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

10

1.2

La empresa productiva

Una empresa productiva es un ente socioecon´omico capaz de adecuar parcialmente
dos flujos esenciales que concurren en el mercado: producci´on y consumo. Por un
lado, por medio de estudios de mercado, determina las necesidades del consumidor
y le transfiere los productos que demanda y, por otro, produce los productos que le
va a trasferir. [3, p.3]. Hay otras empresas, de servicios, en las que los productos
se sustituyen por servicios. As´ı que toda empresa puede considerarse como formada
por dos subsistemas, uno de los cuales se encarga de medir las necesidades de los
consumidores y de trasferirles los productos que las satisfagan y el otro que se
encarga de la producci´on. La empresa es, por tanto, un elemento productivo en el
mercado pero puede verse tambi´en como elemento consumidor (de materias primas)
en el mismo.
La empresa se articula en departamentos o secciones de los que los m´as importantes tradicionalmente vienen siendo los siguientes:
• Finanzas
• Gesti´on
• Compras
• Almac´en de materias primas
• Producci´on
• Almac´en de productos terminados
• Ventas
Todos estos departamentos no son, ni mucho menos, los u
´nicos existentes sino
que a su vez se articulan en otros departamentos y secciones que en funci´on del
tama˜
no de la empresa esa pueden ser de mayor o menor complejidad. Los nombres
pueden cambiar seg´
un sea el contexto en que se enmarque o se estudie la empresa.
La actividad de la empresa se puede representar por medio de un diagrama de
bloques en el que los bloques son los procesos y las flechas son los flujos de entrada
y salida de cada proceso. En la figura se han representado los principales bloques y
flujos de la empresa. Los flujos que las flechas representan son:
=⇒ flujos de producto
−→ flujos de capital
· · · . flujos de control (´ordenes y medidas)
Obs´ervese que todos los bloques reciben flechas (´ordenes) del bloque de gesti´on
y env´ıan flechas (medidas) al mismo. El bloque de gesti´on es el m´as importante en
el sentido de que controla a todos los dem´as.

1.2. LA EMPRESA PRODUCTIVA
Almacén de
materias primas

Producción

11
Almacén de
productos terminados

Gestión

Compras

Finanzas

Ventas

MERCADO

Figura 1.1: Esquema de la empresa productiva

El diagrama de bloques puede dividirse en dos partes. La parte superior que se
encarga de la generaci´on del producto (gesti´on de producci´on) y la parte inferior
que se encarga llevar el producto al mercado y de obtener el beneficio (gesti´on de
mercado o mercadotecnia).
Cada uno de estos bloques se subdivide a su vez de otros bloques, subprocesos,
con sus flujos asociados.
El objetivo de la empresa es maximizar el beneficio.

1.2.1

El proceso productivo

Un proceso productivo es una serie de operaciones que se realizan sobre unas materias primas (o productos m´as elementales) para obtener un producto terminado,
listo para su utilizaci´on.
Una definici´on descriptiva de proceso productivo puede resultar muy complicada,
puesto que hay muchas clases de procesos, siendo en cambio m´as sencillo dar una
definici´on de tipo “entrada-salida”:
Un proceso productivo es un sistema din´
amico de control cuya entrada es un flujo
de producto (materias primas) y cuya salida es otro flujo de productos (productos
terminados).
Materias primas-

Proceso
productivo

Productos terminados-

´
CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

12

Con una definici´on as´ı perdemos toda noci´on de lo que sucede por dentro del
proceso pero en cambio capturamos lo esencial desde el punto de vista productivo:
flujos de producto de entrada y de salida (flechas) y c´omo se relacionan entre s´ı
(bloque). Sin embargo el bloque o “funci´on” que relacona ambos flujos no es simple
sino que es un complejo sistema movido por eventos.
Un proceso productivo se compone internamente de diferentes subprocesos m´as
simples conectados entre s´ı, cada uno de los cuales se puede considerar tembi´en
como un sistema din´amico de control o proceso. Por tanto, hemos de tener una
idea de cuales son y c´omo funcionan (o sea cuales son sus modelos matem´aticos) los
sistemas de control o procesos m´as simples porque de ese modo podremos entender
despu´es c´omo funcionan los procesos de fabricaci´on.
Los procesos productivos est´an catalogados como sistemas complejos en la Teor´ıa
de Sistemas. La complejidad surge de la interconexi´on de unos procesos con otros
y de la naturaleza estoc´astica de muchos de los eventos que dirigen la evoluci´on del
sistema. Cada proceso est´a conectado con otros procesos internos y externos a la
empresa, que pueden ser de muy distinta naturaleza y, en general, se compone de
subprocesos m´as simples interrelacionados entre si.
Materia prima -

Proceso

Producto terminado-

Cada proceso productivo va asociado a un producto. Si queremos fabricar otro
producto deberemos cambiar el proceso. Sin embargo, para un producto terminado
dado y para la misma materia prima, el proceso puede no ser u
´nico: en general, un
mismo producto se puede fabricar de muchas formas diferentes.

1.2.2

Operaciones b´
asicas de fabricaci´
on

Los procesos de fabricaci´on m´as simples se llaman operaciones b´
asicas. Algunas de
ellas son:
• Procesado de un elemento
• Montaje
• Movimiento de material
• Almacenamiento
• Inspecci´on y control
Procesado de un elemento
Es un proceso que se aplica a un solo producto, bien sea una pieza elemental o bien
un conjunto de piezas ya montado. Son de este tipo los procesos de mecanizado, los
de pintura, los tratamientos t´ermicos, etc.
Materia prima Mecanizado

Pieza -

1.2. LA EMPRESA PRODUCTIVA

13

Proceso de montaje
Cuando un producto (terminado o no) se compone de varios elementos, la serie de
operaciones necesarias para unir todas las piezas formando el producto terminado
se llama proceso de montaje.

Mat. prima 1Mecanizado 1

Pieza 1Montaje Producto-

Mat. prima 2Mecanizado 2

1.2.3

Pieza 2-

Tipos de procesos

Si en nuestro hogar echamos una mirada a nuestro alrededor y observamos los objetos
que nos rodean, veremos que la gran mayor´ıa de ellos son el resultado o producto
de alg´
un proceso de fabricaci´on y nos daremos cuenta que deben existen multitud
de ellos. Incluso, con un poco de imaginaci´on y ciertos conocimientos t´ecnicos,
podemos adivinar cual ha sido el proceso para fabricar un determinado producto o,
mejor dicho, los posibles procesos, ya que tambi´en nos daremos cuenta enseguida
de que hay muchas formas de fabricar el mismo producto. Ahora bien, tras muchos

nos de experiencia, se han afianzado cuatro tipos est´andar de procesos:
• Job Shops
• Producci´on por lotes
• L´ıneas de producci´on
• Producci´on continua
Job Shops
Es un tipo de producci´on que permite fabricar una amplia gama de productos en
series de tama˜
no peque˜
no o mediano. Los productos suelen ser conjuntos de componentes, posiblemente complicados o de alta tecnolog´ıa, montados. Se utiliza para la
fabricaci´on de ciertas m´aquinas herramientas, robots, aviones, aeronaves y algunos
prototipos. Suelen exigir mano de obra muy especializada y mucho tiempo para el
dise˜
no de los procesos y para la preparaci´on de la maquinaria y los equipos humanos de montaje. Por todo ello, los tiempos de producci´on son elevados y los costes
tambi´en.

14

´
CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

Producci´
on por lotes
Est´a orientada a la fabricaci´on de lotes de tama˜
no medio de un determinado producto. La producci´on de cada lote se hace de una tirada y, una vez terminado un lote,
el departamento de fabricaci´on env´ıa una orden de control indicando si se puede
pasar a fabricar otro lote del mismo o de otro producto, en funci´on de la demanda.
La maquinaria y el personal han de estar preparados para realizar con celeridad
las operaciones de cambio de lote.
Es quiz´as el tipo de producci´on que se emplea para fabricar mayor n´
umero de productos. Las industrias de calzado, muebles, electrodom´estcos, m´aquina-herramienta
y otras muchas, lo utilizan.
L´ıneas de producci´
on
Estos procesos son el resultado de la evoluci´on de la producci´on en cadena, ideada
por Henry Ford. Se utiliza para producir grandes series de unos pocos productos,
que suelen estar formados mediante el montaje de piezas. El producto se desplaza
colocado en cintas trasportadoras, en carros o en otros elementos de transporte y
va pasando por estaciones de trabajo en cada una de las cuales se le aplica un
determinado proceso.
Si en una planta se utilizan varias lineas de producci´on, los productos pueden
pasar de una l´ınea a otra, existiendo muchas configuraciones posibiles, asi como diferentes m´etodos y mecanismos de transferencia. Se suenen utilizar zonas o recipientes
a modo de peque˜
nos almacenes, para el almacenamiento intermedio de productos
semielaborados, y alimentadores de piezas para los procesos.
B´asicamente hay dos tipos de l´ıneas: l´ıneas de proceso y l´ıneas de montaje. En
las primeras, un producto o materia prima va pasando por distintos procesos que
lo van transformando hasta llegar al producto final. Un ejemplo lo tenemos en el
mecanizado de piezas. Las l´ıneas de montaje se utilizan para fabricar productos
formados por conjuntos de piezas montados.
Quiz´as sea la fabricaci´on de autom´oviles el ejemplo m´as t´ıpico de este tipo de
producci´on. Se fabrican grandes series de unos pocos modelos. Otros ejemplos son
la fabricaci´on de ciertos productos de gran consumo como neum´aticos, bombillas,
bicicletas, envases de pl´astico, etc.
En este tipo de fabricaci´on se dise˜
na toda la factor´ıa en funci´on del producto
a fabricar, por lo que un cambio de producto suele exigir el cierre de aquella o, al
menos, una completa remodelaci´on de la misma.
Producci´
on continua
Es el tipo indicado cuando se desea producir pocos productos, de naturaleza simple
(no compuestos de muchas piezas) y en grandes cantidades. Se puede ver como un
flujo continuo de producto sobre el que se van realizando una serie de operaciones
o procesos. Por un lado entra la materia prima y por otro sale el producto final
(figura 1.2).

1.2. LA EMPRESA PRODUCTIVA
Materia prima

Proceso 1

15

Proceso 2

Proceso 3

Producto final

Figura 1.2: Proceso de producci´on continua

Este tipo de producci´on se aplica sobre todo en las industrias qu´ımicas, petroqu´ımicas, textiles, de pl´astico y de laminaci´on de acero.

1.2.4

Ubicaci´
on de los procesos

La disposici´on de los procesos dentro de la planta de producci´on es importante porque de ella dependen muchos factores del proceso de producci´on asi como la comodidad del personal, los cableados de alimentaci´on y buses de comunicaciones, etc. Los
programas simulaci´on (estoc´astica) de procesos pueden ayudar mucho en el dise˜
no
de la distribuci´on en planta. Tradicionalmente se consideran cuatro posibilidades de
ubicaci´on
• Producto en posici´on fija
• Por clases de procesos
• En flujo de producto
• Por tecnolog´ıa de grupo
Producto en posici´
on fija
Cuando el producto es muy grande, muy pesado o, por alguna otra raz´on, no debe
moverse, hay que ubicar las herramientas y los otros equipos de fabricaci´on en la
zona m´as id´onea para, en su momento, incidir en el producto. A veces se precisa
realizar obras e instalaciones especiales para poner todo en una buena disposici´on.
Es la disposici´on m´as indicada en las industrias naval y aeron´autica.
Por clases de procesos
Las m´aquinas de producci´on se ubican en zonas o locales de la factor´ıa por clases
de procesos. En cada zona o local s´olo se realiza un proceso. Es una distribuci´on
que se implanta mucho para procesos de mecanizado de piezas: la misma pieza va
pasando por las distintas zonas hasta finalizar su mecanizado.
Resulta un tipo de fabricaci´on muy flexible puesto que se puede cambiar el
proceso simplemente a˜
nadiendo o quitando ciertas m´aquinas.
En flujo de producto
Los elementos que intervienen en la producci´on se disponen a lo largo del flujo de
producto. Por ejemplo, a lo largo de una l´ınea de montaje en una fabricaci´on de

´
CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

16

l´ıneas dedicadas o a lo largo del flujo de producto una producci´on continua. No es
f´acil hacer cambios en el proceso.
Por tecnolog´ıa de grupo
Esta distribuci´on est´a indicada para factor´ıas con gran diversidad de productos y
pretende ser una combinaci´on de las dos anteriores. Se basa en clasificar en familias
las piezas a fabricar (sin importar el producto en el que ir´an montadas) por su
semejanza en su dise˜
no y fabricaci´on. Con esto se puede conseguir organizar la
producci´on en dos partes: 1) por clases de procesos, (que fabricar´ıa las familias de
piezas) y 2) en flujo de producto (que fabricar´ıa el resto de las piezas y har´ıa los
montajes pertinentes).

1.3

El proceso en feedback

La realimentaci´on o feedback es el artificio b´asico del control. Aunque suponemos
que el tema es ya conocido por el lector, creemos conveniente recapacitar sobre
su funcionamiento, por ser b´asico para muchas de las partes que se tratar´an m´as
adelante. Lo haremos (por razones hist´oricas) a partir del primer mecanismo que lo
incorpor´o: el governor de Watt.

1.3.1

El regulador de Watt

Aunque se conocen algunas aplicaciones de aparatos que funcionaban siguiendo el
principio de la realimentaci´on y que datan de ´epocas muy antiguas, se puede decir
que el primer sistema de control industrial de la historia fu´e el regulador (governor )
inventado (o al menos adaptado) por James Watt hacia 1788 para su m´aquina de
vapor. Veamos, a modo ilustrativo, su esquema. En la figura aparece la pieza
quiz´as mas importante que suele llamarse “regulador de bolas” y que ejerce a la vez
captador, regulador y actuador.
ω(t)
El operador o maquinista controla la posici´on
xC del punto superior del cuadril´atero articuC
lado fijando as´ı la consigna de velocidad ωref .
El eje dibujado est´a unido al eje de rotaci´on
de la m´aquina de vapor. Si la velocidad ω(t)
de ´esta aumenta, entonces, debido a la fuerza
B
centr´ıfuga, las bolas B se separan y el v´ertice
inferior A del cuadril´atero articulado, m´ovil,
act´
ua cerrando la v´alvula de salida de vapor
de la caldera. Se establece as´ı un proceso en
A
Actuador
“feedback” que se puede explicar con el diaválvula
grama de bloques siguiente. El regulador de
x
bolas hace las funciones del punto de suma y
de los bloques captador y actuador.

1.3. EL PROCESO EN FEEDBACK
xC - m  +
Controlador
(ωref )


17

x-

V´alvula

p-

M´aquina

r ω(s)-

6

Captador 
La tarea que realiza este controlador es simple y efectiva: el controlador abre
o cierra la la v´alvula en funci´on de la diferencia e entre la medida xA de la salida
(variable controlada) y la entrada xC (referencia). Si e es cero entonces la medida
de la salida es igual a la referencia, es decir, el valor de la variable controlada es el
deseado y la salida del actuador es cero (no act´
ua); en caso contrario el controlador
mover´a la v´alvula en sentido de apertura o de cierre, dependiendo de que el valor e
sea positivo o negativo. Es f´acil acoplar mec´anicamente el punto A a la v´alvula de
modo que esta se abra si e > 0.
De este modo se consigue que la velocidad de rotaci´on ω(t) del eje de la m´aquina
se mantenga m´as o menos constante, incluso aunque se produzcan variaciones en la
potencia entregada o en la presi´on p de la caldera.

1.3.2

Esquema de regulaci´
on en feedback

El artificio que hace funcionar al regulador de Watt es la realimentaci´on o feedback.
Una vez entendamos c´omo funciona podremos comprobar, quiz´as con asombro, que
no s´olo puede aplicarse a la m´aquina de vapor sino que puede servir de base para
controlar otros sistemas f´ısicos de muy diferente naturaleza tales como sistemas
econ´omicos y sistemas productivos. Adem´as, la realimentaci´on aparece a veces como
un componente b´asico en muchos procesos de la Naturaleza, incluso en los seres
vivos.
D(s)
?V (s)
Yref - m(s)X(s)
- A U (s)
- +m
- P
+
C
− 6
Ym (s)

r Y (s)-

M 
Figura 1.3: Esquema de regulaci´on en feedback

Los elementos esenciales que aparecen en el regulador de Watt y que configuran
todo mecanismo de control con realimentaci´on (figura 1.3) son los siguientes:
y

ref
−→
Entrada de referencia o de consigna

d(t)

−→ Entrada perturbadora
y(t)

−→ Salida

´
CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

18

C Controlador. Es el dispositivo que toma la diferencia (t) entre la entrada
de referencia yref y la medida ym (t) de la respuesta, la procesa y, como resultado del proceso, env´ıa est´ımulos x(t) sobre el actuador. Realmente es un
procesador de se˜
nal.
A Actuador. Act´
ua, con la potencia necesaria, sobre la planta.
P Planta o Proceso: es el sistema a controlar (la m´aquina de vapor en el regulador
de Watt).
M Medidor. Es un aparato para medir, normalmente en forma el´ectrica, el valor
de la salida y(t).
La idea del control es simple: con la entrada de referencia yref el operador fija el
valor deseado para la variable de salida y(t) (a controlar); el controlador recibe en
su entrada la diferencia (t) entre la entrada yref de referencia y la medida ym (t) de
dicha salida en un instante t1 , de modo que si esa diferencia es positiva (ym < yref )
entonces, tras el proceso de la se˜
nal (t), enviar´a est´ımulos x(t) al actuador para
que ´este ejerza una acci´on u(t) sobre la planta con el fin de que el valor de la salida
y(t) vaya aumentando para t > t1 . Cuando en otro instante t2 > t1 la diferencia e
sea negativa, la acci´on del controlador ser´a la inversa, es decir, ejercer´a una acci´on
u(t) sobre la planta tal que el valor de la salida y(t) vaya disminuyendo para t > t2 .
En adecuadas condiciones, si el controlador se dise˜
na correctamente, es posible
conseguir que el valor de la salida se mantenga, m´as o menos, igual al valor de la
entrada de referencia incluso en presencia de la perturbaci´on d(t).

1.3.3

El significado del control

Controlar un sistema din´amico significa conducirlo, llevarlo, gobernarlo o comardarlo, de tal manera que su trayectoria o evoluci´on en el tiempo se aproxime a una
fijada de antemano, mediante la actuaci´on sobre unos elementos del sistema llamados controles. As´ı, un ch´ofer controla la trayectoria de un veh´ıculo girando el
volante, pisando el acelerador y los frenos y moviendo el cambio de marchas. De
forma m´as imprecisa, el gobierno de una naci´on dispone de ciertos controles, como
los salarios, los impuestos, el valor de la moneda, etc., para controlar la evoluci´on
de la tasa de inflaci´on.
La Teor´ıa de Control estudia los sistemas que son de alg´
un modo controlables
as´ı como los problemas relacionados con este control.
Un sistema de control es una entidad u objeto provisto de unos terminales de
entrada (controles), por los cuales puede recibir est´ımulos, y otros de salida, por de
que emite su respuesta. Esta definici´on permite representar gr´aficamente un sistema
de control como una caja negra o bloque con flechas de entrada y de salida. La figura
1.4 representa un sistema monovariable, es decir, con una entrada y una salida.
El sistema objeto de control suele denominarse Planta o Proceso, de acuerdo con
sus aplicaciones en ingenier´ıa.

´ INDUSTRIAL
1.4. LA AUTOMATIZACION
Entrada-

Bloque

19
Salida -

Figura 1.4: Sistema

1.3.4

El control en la empresa

El esquema de regulaci´on en feedback es aplicable a muchos de los procesos de la
empresa, dando lugar a diferentes clases de control seg´
un sea la aplicaci´on. Algunos
de ellos son:
• Control de producci´on
• Control de calidad
• Control de presupuestos
• Control de procesos
Los elementos esenciales del control van a seguir siendo siempre la medida de variables del proceso a controlar, la realimentaci´
on de las variable medidas, la comparaci´
on con una consigna previamente establecida y, en funci´on de esta u
´ltima, la
actuaci´
on sobre el proceso.

1.4

La automatizaci´
on industrial

Automatizar un proceso es conseguir que, aplicando el mecanismo de feedback,
funcione sin intervenci´on humana. Como veremos, esta idea resulta muy clara en el
caso del control de procesos continuos, pero tambi´en se ve que funciona en el caso
de otros tipos de control, como es el caso de los procesos movidos por eventos.

1.4.1


ecnicas de control

Atendiendo a la t´ecnica utilizada para procesar se˜
nales, el bloque de control C de
la figura 1.3 se puede realizar f´ısicamente mediante
• t´ecnicas anal´ogicas
• t´ecnicas digitales

ecnicas anal´
ogicas
Es el m´etodo m´as antiguo de los dos y dio lugar a las t´ecnicas de control cl´asicas. El
proceso anal´ogico de se˜
nales puede ser mec´anico, neum´atico, hidr´aulico, el´ectrico,
electr´onico y ´optico. En el regulador de Watt es de tipo mec´anico. El componente
fundamental que permiti´o el desarrollo de el control anal´ogico fue el amplificador
electr´onico, inventado en la d´ecada de los 50.

´
CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

20

La aplicaci´on principal de las t´ecnicas anal´ogicas es la realizaci´on de controladores de Procesos Continuos industriales: mecanismos y m´aquinas movidos por
motores el´ectricos, procesos con fluidos, hornos, etc.
Hay dos tipos que han sido, y siguen siendo, muy utilizados: el controlador de
adelanto-retraso de fase y el controlador PID. En este u
´ltimo, las letras significan
proporcional, integral, derivativo e indican el proceso, o funci´on matem´atica C(·),
que realiza el controlador:


Z
dx(t)
1 t
x(t) = C((t)) = Kp 1 + Td
+
x(τ )dτ ,
(1.1)
dt
Ti 0
en donde los par´ametros Kp , Td y Ti son constantes. La realizaci´on de esta funci´on
se hace casi siempre utilizando componentes electr´onicos anal´ogicos, generalmente
amplificadores operacionales, pero son posibles las realizaciones con componentes de
fl´
uidos.

ecnicas digitales
La aparici´on primero del ordenador y posteriormente de los microprocesadores y
microcontroladores y del ordenador personal, asi como el desarrollo de las comunicaciones, del software y de otros campos afines, han hecho que las t´ecnicas de control
se hayan sofisticado y extendido.
Las aplicaciones son muchas. En principio, las t´ecnicas digitales se utilizaron
para realizar controladores para los procesos continuos. Los controladores anta˜
no
anal´ogicos, y en particular el PID, hoy d´ıa se realizan y comercializan en su versi´on digital. Ahora la funci´on (1.1) la realiza un microprocesador a trav´es de un
algoritmo. El campo de aplicaci´on es el mismo pero las prestaciones de los digitales
son muy superiores a las de sus hermanos anal´ogicos. Resulta m´as f´acil sintonizarlos, es decir, ponerles los par´ametros adecuados, y est´an preparados para poder ser
operados a distancia a trav´es de buses de comunicaci´on.
Despu´es, se utilizaron para el desarrollo de otros dispositivos de control, entre
los que cabe destacar el aut´omata programable de gran aplicaci´on en el Control de
procesos de eventos discretos.
Y, finalmente, han hecho posible una creciente Automatizaci´
on Global, es decir,
la expansi´on del control y las comunicaciones por toda la empresa en base a las
estructuras de control que se han ido creando: control centralizado, control distribu´ıdo, control jer´arquico, etc.

1.4.2

Estructuras de automatizaci´
on

En el intento de automatizar cualquier empresa siempre nos van a surgir un buen

umero de cuestiones: ¿d´onde va ubicado y c´omo se realiza el control de cada
proceso? ¿c´omo se conectan unos controles con otros? ¿se pueden controlar y/o
supervisar procesos desde la gesti´on de la empresa? Para responderlas, habremos
de idear alg´
un plan para estructurar el control. El grado de automatizaci´on deseado
va a ser fundamental para trazar dicho plan. Se suelen distinguir como cuatro
categor´ıas:

´ INDUSTRIAL
1.4. LA AUTOMATIZACION

Proceso 1

Proceso 2

Proceso 3

21

Proceso 4

Figura 1.5: Estructura de control: computador – 4 aut´omatas

• Automatizaci´on fija
• Automatizaci´on programable
• Automatizaci´on flexible
• Automatizaci´on total
La automatizaci´on fija se utiliza cuando el volumen de producci´on es muy alto
y, por tanto, se puede justificar econ´omicamente el alto costo del dise˜
no de equipo
especializado para procesar el producto, con un rendimiento alto y tasas de producci´on elevadas. Un ejemplo t´ıpico puede ser la fabricaci´on de autom´oviles. Un
inconveniente de la automatizaci´on fija es que su ciclo de vida depende de la vigencia
del producto en el mercado.
La automatizaci´on programable se emplea cuando el volumen de producci´on es
relativamente bajo y hay una diversidad de productos a obtener. En este caso el
equipo de producci´on es dise˜
nado para adaptarse a la variaciones de configuraci´on
del producto y esta adaptaci´on se realiza por medio de Software. Un ejemplo podr´ıa
ser la fabricaci´on de diferentes tipos de tornillos bajo pedido.
Por su parte, la automatizaci´on flexible es m´as adecuada para un rango de producci´on medio. Los sistemas flexibles poseen caracter´ısticas de la automatizaci´on
fija y de la automatizaci´on programada. Suelen estar constituidos por una serie
de estaciones de trabajo interconectadas entre si por sistemas de almacenamiento y
manipulaci´on de materiales, controlados en su conjunto por una computadora.
El escal´on final es la automatizaci´on total de la producci´on, en la que, idealmente,
la fabricaci´on se realizar´ıa sin intervenci´on humana.
En la figura 1.5 se muestra una estructura de control sencilla compuesta por un
computador que se comunica, a trav´es de un bus, con cuatro aut´omatas programables cada uno de los cuales controla un determinado proceso.

´
CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

22

1.4.3

Ventajas e inconvenientes de la automatizaci´
on

Como es l´ogico, la automatizaci´on tiene sus ventajas e inconvenientes. Entre las
primeras podemos citar:
• Permite aumentar la producci´on y adaptarla a la demanda
• Disminuye el coste del producto
• Consigue mejorar la calidad del producto y mantenerla constante
• Mejora la gesti´on de la empresa
• Disminuye de la mano de obra necesaria
• Hace m´as flexible el uso de la herramienta
Algunos inconvenientes son
• Incremento del paro en la sociedad
• Incremento de la energ´ıa consumida por producto
• Repercusi´on de la inversi´on en el coste del producto
• Exigencia de mayor nivel de conocimientos de los operarios
Hasta ahora no se ha dado mucha importancia al segundo punto pero cabe pensar
que, en el futuro, el aumento del coste de la energ´ıa pueda repercutir en un considerable aumento de los costes de la producci´on automatizada. Ello nos llevar´ıa a
tener que considerar nuevos m´etodos o, quiz´as, a reconsiderar antiguos m´etodos de
fabricaci´on semi-automatizada en la que ciertas tareas podr´ıan ser realizadas por
operarios humanos. De hecho, aunque lamentable, es significativa la pr´actica de la
utilizaci´on de mano de obra barata, no especializada (incluso infantil), por grandes
compa˜
n´ıas que instalan sus factor´ıas en pa´ıses subdesarrollados.
En el mundo industrial actual la Automatizaci´on es pr´acticamente imprescindible, debido a los niveles de productividad, fiabilidad y rentabilidad que el mercado
exige a los productos elaborados para ser competitivos.
Anta˜
no la automatizaci´on se aplicaba s´olo al proceso productivo (a las m´aquinas),
porque era el que m´as recursos humanos consum´ıa, resultando as´ı una automatizaci´
on local. Pero hoy d´ıa podemos hablar de una automatizaci´
on global ya que se ha
extendido no s´olo a todos los procesos de la empresa (bloques de la figura 1.1) sino
tambi´en a los flujos de control (l´ıneas a trazos de la figura 1.1), que pueden tambi´en
ser automatizados mediante buses de comunicaci´on y redes de ´area local; adem´as,
una empresa puede comunicarse a trav´es de Internet con otras empresas pudiendo
crearse de esta forma redes de empresas extendidas por todo el mundo.

´ INDUSTRIAL
1.4. LA AUTOMATIZACION

1.4.4

23

Elementos de la automatizaci´
on

Hay muchas ´areas y tecnolog´ıas que intervienen en la Automatizaci´on. Las m´as
importantes, junto con algunos de sus elementos, son:
• Mec´anica
– Herramientas
– Mecanismos
– M´aquinas
– Elementos de transporte
• El´ectrica
– Automatismos el´ectricos
– Motores el´ectricos de c.c. y c.a.
– Cableados de fuerza y de mando
– Aparillajes el´ectricos en general
• Tecnolog´ıa Electr´onica
– Controladores anal´ogicos
– Sensores / Transductores
– Pre-acionadores
– Drivers de accionamientos
– Communicaciones
– Telemando y Telemetr´ıa
– Sistemas de comunicaci´on inal´ambrica
• Neum´atica y electro-neum´atica
– Cilindros neum´aticos
– V´alvulas neum´aticas y electro-neum´aticas
– Automatismos neum´aticos
• Hidr´aulica y electro-hidr´aulica
– Cilindros hidr´aulicos
– V´alvulas hidr´aulicas y electro-hidr´aulicas
– Automatismos hidr´aulicos
• Aplicaciones de Control e Inform´atica Industrial
– Controladores de procesos

´
CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

24
– Control por computador

– Control embutido (embedded control)
– Aut´omatas programables
– Visi´on artificial
– Rob´otica
– Mecatr´onica / Control de movimiento
– C´elulas de fabricaci´on flexible
– C´elulas de Mecanizado
– C´elulas de Montaje Autom´atico
– Control Num´erico
– Sistemas CAD-CAM (Computer Aided Design & Manufacturing)
– Sistemas CIM (Computer Integrated Manufacturing System)
– Redes y buses de comunicaciones

1.5

Modelos matem´
aticos de sistemas

En el an´alisis de los sistemas de control juegan un papel primordial los modelos
matem´aticos. Un modelo matem´atico de un sistema din´amico es una ecuaci´on o
sistema de ecuaciones, de un determinado tipo, que lo representa, y cuya evoluci´on
en el tiempo se coresponde con la del sistema.
El modelo permite hacer c´alculos, predicciones, simulaciones y dise˜
nar nuevos
sistemas de control “sobre el papel” sin necesidad de tener que construirlos hasta
que se considere oportuno.
Los bloques, entradas y salidas que componen un sistema de control pueden ser
de naturaleza muy diferente seg´
un sea la aplicaci´on que estemos considerando. La
Teor´ıa de Control es la parte de la ciencia que estudia todos estos sistemas desde
los puntos de vista matem´atico, f´ısico y tecnol´ogico.
Lo primero que vamos a hacer para estudiar matem´aticamente los sistemas es
clasificarlos atendiendo a alguna propiedad importante. Como no cabe duda que el
tiempo es esencial para todo sistema de control, puesto su evoluci´on depende del
tiempo, podemos clasificarlos, atendiendo a c´omo sea dicha evoluci´on, en
• Sistemas de tiempo continuo
• Sistemas de tiempo discreto
• Sistemas de eventos discretos
Esta clasificaci´on nos va servir tanto para el estudio matem´atico, an´alisis y modelado de los sistemas de control como para su s´ıntesis, o sea, su dise˜
no y realizaci´on
utilizando diferentes tecnolog´ıas. Cada una de estas clases se divide a su vez en otras

´ DE SISTEMAS COMPLEJOS
1.6. MODELADO Y SIMULACION

25

que van configurando las diferentes partes que configuran la Teor´ıa de Control y sus
aplicaciones.
Los sistemas de eventos discretos reciben tambi´en el nombre de sistemas reactivos o sistemas comandados por eventos (event-driven systems). Sus modelos
matem´aticos son complejos, se basan en procesos estoc´astcos y procesos de colas,
por lo que es habitual trabajar con modelos no matem´aticos basados en computador.
En este sentido ha supuesto un gran avance la especificaci´on del Lenguaje Unificado de Modelado (UML).

1.6

Modelado y simulaci´
on de sistemas complejos

El modelado y simulaci´on se utiliza en muy aplicaciones diversas, tales como din´amica
de fluidos, sistemas energ´eticos y gesti´on de negocios. Dentro de los curr´ıcula universitarios se estudia, entre otras, en las ´areas de Teor´ıa de Sistemas, Teor´ıa de
Control, An´alisis Num´erico, Ciencias de la Computaci´on, Inteligencia Artificial e
Investigaci´on Operativa. Poco a poco ha ido haci´endose cada vez m´as potente hasta
el punto en que hoy se considera con capacidad para integrar todas las anteriores
disciplinas. M´as a´
un, ha sido propuesto por algunos como el paradigma de la computaci´on del futuro. Como paradigma, constituye un m´etodo para representar los
problemas, para analizarlos y para obtener soluciones. En la fase de an´alisis, el
modelo se construye inductivamente a partir de observaciones realizadas sobre un
sistema real. En la fase de s´ıntesis se utilizan los modelos creados en la fase de
an´alisis para dise˜
nar nuevos modelos que satisfagan determinadas especificaciones y
se construyen los sistemas reales (realizaciones) si se considera oportuno. A veces
suele ser preciso repetir iterativamente las fases de an´alisis y dise˜
no hasta conseguir
dar con la soluci´on buscada.

1.6.1

Importancia del modelado

El conocimiento sobre las cosas que tenemos a nuestro alrededor, adquirido a trav´es
de los sentidos y almacenado en el cerebro, no es la realidad sino una abstracci´on,
un modelo de la misma. Es un modelo en el que se reflejan algunas caracter´ısticas
est´aticas (forma, dimensiones, color, sonido, olor, temperatura, acabado superficial,
etc.) y quiz´as tambi´en algunas otras din´amicas (velocidad, etc). Si utilizamos instrumentos de medida, la informaci´on que adquirimos puede enriquecerse con n´
umeros,
gr´aficos y quiz´as con otros tipos de informaci´on propia de cada instrumento.
De alguna manera, la informaci´on que hemos adquirido sobre un objeto es el
resultado de experiencias (experimentos) que hemos realizado sobre el mismo. Por
tanto, la informaci´on adquirida es siempre parcial, se refiere a los resultados de
experiencias o experimentos y el modelo de cualquier sistema es tambi´en parcial,
es decir, s´olo refleja aquellos aspectos que han sido medidos y analizados dentro de
un determinado contexto experimental. Otros aspectos pueden quedar ocultos en el
modelo porque a´
un no se conocen, sencillamente porque no se han medido o, si se
quiere, porque quedan fuera de contexto.

´
CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

26
REALIDAD

MODELO

Entidad
del
Mundo Real

Modelo
básico

OBJETIVOS

análisis sólo
en contexto
experimental

dentro del contexto
Sistema S

experimento
dentro de contexto

Datos
observados de
Experimento

Conocimiento
a priori del
modelo básico

Modelo M

Validación

Simulación =
Experimento virtual

Resultados
de
Simulación

Proceso de
Modelado y Simulación

Figura 1.6: Esquema del modelado

En la figura 1.6 se indica esquem´aticamente el proceso de obtenci´on de un modelo
a partir de la realidad. Es importante recalcar de que la informaci´on que podemos
tener sobre una determinada entidad real la adquirimos a trav´es de experimentos
hechos en un determinado contexto de modelado. Por esta raz´on, los nombres con
que muchas veces se etiquetan ciertas entidades del mundo real provienen no de la
entidad misma sino de su modelo. As´ı, por ejemplo, si hablamos de sistemas de
tiempo continuo nos estamos refiriendo a la familia de entidades reales que admiten
un modelo de tiempo continuo. Es decir que lo que estamos haciendo es clasificar
las entidades reales en clases en funci´on de las caracter´ısticas de los modelos. Es
evidente que una misma entidad real puede pertenecer a varias de estas clases, o sea,
puede admitir distintos modelos, dependiendo de las caracter´ısticas que se quieran
poner de manifiesto.
Disponer de un modelo antes de proceder al desarrollo de software y hardware es
tan importante para el ingeniero responsable de cualquier automatizaci´on industrial
como puede ser, para el arquitecto, tener un anteproyecto antes de construir un gran
edificio.
El modelado adquiere mayor importancia cuanto mayor es la complejidad del
sistema. Algunos sistemas (por ejemplo biol´ogicos) son tan complicados que hasta
hace poco no se sab´ıa muy bien c´omo funcionaban pero que, tras el modelado de
sus partes elementales y la posterior conexi´on de las mismas, empiezan ya a ser
estudiados y entendidos, al menos en alguno de sus aspectos. Sin ir tan lejos,
tener un buen modelo resulta de una ayuda inestimable para cualquier dise˜
no de
automatizaci´on industrial.

´ DE SISTEMAS COMPLEJOS
1.6. MODELADO Y SIMULACION

27

Ser´ıa estupendo que el lenguaje de modelizaci´on fuera universal pues ello facilitar´ıa la comunicaci´on entre los equipos de desarrollo dentro de la empresa y tambi´en,
fuera de ella, entre los miembros de la comunidad cient´ıfica.
Un buen lenguaje de modelizaci´on ha de tener
• Elementos del modelo – conceptos fundamentales y sem´antica
• Notaci´on – representaci´on visual de los elementos del modelo
• Directivas – lenguajes a utilizar para el modelado
Lenguaje Unificado de Modelizaci´
on (UML)
La carencia de un lenguaje est´andar de modelizaci´on ha sido durante mucho tiempo
el principal quebradero de cabeza de muchos dise˜
nadores de software. La situaci´on
era ca´otica hasta hace poco porque, al ser las herramientas de desarrollo de software
de diferentes fabricantes e incompatibles entre s´ı, cuando alguien pretend´ıa modelar
un sistema complejo, formado por subsistemas de diferente naturaleza, al final se le
presentaba la complicada tarea de acoplar los resultados de los modelos de cada una
de las partes, desarrolladas en diferentes lenguajes. Afortunadamente la situaci´on ha
cambiado recientemente con la aparici´on del denominado Unified Modeling Language
(UML). El desarrollo de este lenguaje comenz´o en Octubre de 1994 cuando Grady
Booch y Jim Rumbaugh, de la empresa Rational Software Corporation, unificaron
el anterior m´etodo de Booch y el llamado t´ecnica de Modelado de Objetos (OMT) y
crearon un proyecto com´
un, al que llamaron Unified Method, cuyo primer borrador
vio la luz en Octubre de 1995. A finales del mismo a˜
no Ivan Jacobson y su empresa
Objectory se unieron a Rational Software y como resultado de la uni´on surgi´o el
m´etodo OOSE (Object-Oriented Software Engineering).
Al comenzar a trabajar juntos, Booch, Rumbaugh y Jacobson fijaron como objtivos los siguientes:
1. Otorgar al modelado de sistemas (y no s´olo al software) la capacidad de utilizar
conceptos orientados a objetos.
2. Establecer un acoplamiento expl´ıcito con los artefactos tanto conceptual como
ejecutable.
3. Tratar los temas inherentes a la escala en los sistemas complejos y de misi´on
cr´ıtica.
4. Crear un lenguaje de modelado entendible tanto por las m´aquinas como por
los seres humanos.
Los esfuerzos de los tres ingenieros dieron su fruto con la publicaci´on de las
versiones 0.9 y 0.91 de UML, en Junio y en Octubre de 1996. UML comenz´o a
extenderse con rapidez y muchas importantes empresas vieron en UML un asunto
de importancia estrat´egica para sus negocios. Tras una primera fusi´on con OMG
(Object Management Group), Rational Software estableci´o las bases para crear un

´
CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

28

consorcio empresarial, al que pronto se unieron las compa˜
n´ıas m´as importantes del
mundo de la inform´atica: DEC, HP, IBM, Microsoft, Oracle, TI, Unisys, etc.
UML se ha ido enriqueciendo con las aportaciones de los nuevos socios dando
lugar a la aparici´on de nuevas versiones. La versi´on UML 1.3, de Junio de 1999.
Actualmente la version de UML mas ”en boga”es la 1.5, y se esta trabajando en la
2.0.
• Ofrecer a los usuarios un lenguaje de modelado de uso inmediato, expresivo y
visual, para desarrollar e intercambiar modelos significativos.
• Suministrar mecanismos de extensi´on y especializaci´on que permitan extender
los conceptos del n´
ucleo del lenguaje.
• Soportar especificaciones que sean independientes de los lenguajes de programaci´on particulares y de los procesos de desarrollo.
• Dar una base formal para el aprendizaje del lenguaje.
• Animar el crecimiento del mercado de herramientas para objetos.
• Soportar conceptos de desarrollo de alto nivel: components, collaborations,
frameworks, patterns.
• Integrar las mejores pr´acticas de programaci´on.
Caracter´ısticas de UML
UML es un lenguaje sin propietario y abierto a todos. Ofrece a los ingenieros de
sistemas que trabajan en an´alisis y dise˜
no orientados a objetos, un consistente lenguaje para especificar, visualizar, construir y documentar los artefactos de software
y tambi´en para el modelado de negocios y de otros sistemas. Est´a estructurado en
9 paquetes:
• Data Types
• Core
• Extension Mechanisms
• Comon Behavior
• State Machines
• Activity Graphs
• Collaborations
• Use Cases
• Model Management

´ DE SISTEMAS COMPLEJOS
1.6. MODELADO Y SIMULACION

29

Los fabricantes y desarrolladores de software que adoptan el lenguaje UML deben
etiquetar sus productos con la frase UML compliant e indicar el grado de cumplimiento con cada una de las especificaciones del lenguaje.
Para el desarrollo de los artefactos de software, UML tiene en cuenta las siguientes consideraciones:
• El estudio de todo sistema complejo se aborda mejor por medio de una secuencia de visiones distintas del modelo. Una sola vista no es suficiente.
• Todo modelo se puede expresar a diferentes niveles de fidelidad.
• Los mejores modelos est´an conectados a la realidad.
En t´erminos de vistas de un modelo, UML define los siguientes diagramas gr´aficos:
• use case diagram
• class diagram
• behavior diagrams:
– statechart diagram
– activity diagram
– interaction diagrams
∗ sequence diagram
∗ collaboration diagram
– implementation diagrams:
∗ component diagram
∗ deployment diagram
Todos estos diagramas dan m´
ultiples perspectivas del sistema bajo an´alisis o
desarrollo. Adem´as UML tiene herramientas para obtener un buen n´
umero de visiones derivadas. UML no soporta diagramas de flujo de datos (data-flow diagrams),
simplemente porque no encajan limpiamente en un paradigma consistente orientado
a objeto. Para modelar flujos de datos valen los diagramas de actividad (activity
diagrams) de UML.
UML consigue acabar con las diferencias (a veces absurdas) entre los lenguajes
de modelizaci´on anteriores y, quiz´as m´as importante, unifica las perspectivas de
acercamiento entre muchas clases diferentes de sistemas (negocios contra sotware),
fases de desarrollo (requerimientos, an´alisis, dise˜
no e implementaci´on) y conceptos
internos.

´
CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

30

1.7

Estructura del curso

El curso se estructura en 4 partes. Las dos primeras son m´as bien te´oricas y en ellas
se estudian los fundamentos que permiten el modelado de sistemas. Las otras dos
partes son de un contenido m´as bien pr´actico, de aplicaci´on de lo estudiado antes,
si bien en la u
´ltima parte se requieren algunos nuevos conocimientos te´oricos.
• Control de procesos continuos
• Control de procesos de eventos discretos
• Automatizaci´on local
• Automatizaci´on global

1.7.1

Control de procesos continuos

Esta primera parte est´a enfocada al dise˜
no de de controladores para procesos de
tiempo continuo. Suponiendo un conocimiento previo de las nociones b´asicas de la
Teor´ıa de Control, se estudiar´an algunas t´ecnicas cl´asicas de dise˜
no de controladores
anal´ogicos y digitales. Se har´a un especial ´enfasis en el estudio de los controladores
PID y sus m´etodos de sinton´ıa.

1.7.2

Control de procesos de eventos discretos

En la segunda parte repasaremos primero algunos conceptos b´asicos sobre sistemas
combinacionales y secuenciales, para pasar a ver los modelos de sistemas de eventos
discretos m´as usados actualmente en automatizaci´on:
• Diagramas de estado
• Redes de Petri
• Grafcet
• Statecharts

1.7.3

Automatizaci´
on local

En esta parte estudiaremos algunos de los elementos existentes en el mercado dedicados a la automatizaci´on local. Es un tema m´as bien descriptivo y muy extenso
en el que, aparte de lo mostrado en clase, el alumno debe intentar conseguir informaci´on (cat´alogos, documentos de Internet, etc.) sobre los productos comerciales.
Algunos de los elementos son
• Captadores
• Pre-actuadores y actuadores.

1.7. ESTRUCTURA DEL CURSO

31

• Automatismos el´ectricos
• Automatismos neum´aticos e hidr´aulicos
• Aut´omatas programables
• Controladores industriales

1.7.4

Automatizaci´
on global

Esta u
´ltima parte est´a dedicada al estudio de la automatizaci´on global y en la misma
daremos una visi´on general algunos aspectos importantes de la misma, tales como
• Simulaci´on de procesos productivos
• Redes locales
• Buses industriales
• GEMMA
• SCADA
• Control jer´arquico

32

´
CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

Parte I
Control de procesos continuos

33

Cap´ıtulo 2
Dise˜
no de Controladores
2.1

Introducci´
on

Los sistemas de control se aplican en numerosos campos de la tecnolog´ıa y de la
ciencia. Se pueden citar ejemplos tales como los pilotos autom´aticos en barcos o
aviones, el control teledirigido de naves espaciales, controles de posici´on y velocidad
en m´aquinas herramientas, control de robots, control de procesos industriales, suspensi´on activa de los autom´oviles, controles diversos en electrodom´esticos, etc., en
los que los sistemas de control desempe˜
nan un importante papel. La lista de aplicaciones pudiera resultar interminable ya que, debido al progresivo abaratamiento y
miniaturizaci´on los componentes electr´onicos, ha sido enorme su proliferaci´on y desarrollo. Un sistema de control consta de un proceso o planta que se desea controlar
y de otros elementos que realizan el control, formados esencialmente por captadores
y controladores. En la figura 2.1 se ha representado un sistema de control b´asico
monovariable. En la misma, la planta se representa por el bloque de funci´on de
transferencia Gp , el controlador por Gc y el captador por H.
Los m´etodos de dise˜
no sirven para proyectar el sistema de control y determinar
los componentes m´as adecuados para un funcionamiento satisfactorio. El objetivo
del dise˜
no, en el caso m´as sencillo, suele ser una parte del sistema, denominada
controlador, que tiene asignada la misi´on de control. En los sistemas de control
continuos este elemento est´a constituido generalmente con componentes electr´onicos
de tipo anal´ogico mientras que en los sistemas de control discretos es un controlador
basado en un computador digital. Por otro lado hay que distinguir entre el control
de sistemas SISO y MIMO.
El enfoque del dise˜
no ser´a muy diferente para un sencillo bucle de regulaci´on de
tipo SISO que para un sistema de control de un proceso MIMO en el que intervienen

ultiples variables interrelacionadas. En este capitulo vamos a tratar del dise˜
no de
sistemas de control continuos monovariables [2, cap. 7].
35

˜ DE CONTROLADORES
CAP´ITULO 2. DISENO

36

2.2

Tipos de controladores

En la figura 2.1 el control del sistema ha sido asignado al bloque Gc denominado
controlador. Puesto que el dise˜
no va a consistir en determinar los componentes
de este elemento, veamos en primer lugar los tipos mas comunes de controladores
utilizados en la pr´actica, junto con sus correspondientes implementaciones basadas
en amplificadores operacionales y componentes pasivos.

D(s)
ε

R(s)

Gc

Y(s)

Gp

H
Figura 2.1: Sistema de control

2.2.1

Controlador tipo proporcional P

La funci´on de transferencia del controlador P es
G c = Kp

(2.1)

siendo Kp una constante. En la figura 2.2 se representa el esquema de un amplifiVi

R
Vo
R2

R1

Figura 2.2: Esquema de un controlador P

2.2. TIPOS DE CONTROLADORES

37

cador o inversor en el cual se cumple
Kp =

2.2.2

R1 + R2
V0
=
Vi
R1

Controlador tipo integrador

Su funci´on de transferencia es

1
(2.2)
sTi
Siendo Ti una constante. Se ha implementado mediante el circuito integrador inversor representado en la figura 2.3, en la que
Gc =

1/sC1
−1
V0
=−
=
Vi
R1
sR1 C1

Gc =

(2.3)

La constante de tiempo Ti de este controlador I vale, por tanto,

C1
Vi

R1
Vo

R

Figura 2.3: Esquema de un controlador I

Ti = R1 C1

2.2.3

(2.4)

Controlador tipo derivativo D

Su funci´on de transferencia es
Gc = sTd

(2.5)

Siendo Td una constante. Su circuito electr´onico, con una configuraci´on inversora,
aparece en la figura 2.4, en la que
Gc =

V0
R1
=−
= −sR1 C1
Vi
1/sC1

(2.6)

La constante de tiempo T del controlador I vale por tanto,
Td = R1 C1

(2.7)

˜ DE CONTROLADORES
CAP´ITULO 2. DISENO

38

R1
Vi

C1
Vo

R

Figura 2.4: Esquema de un controlador D

2.2.4

Controladores PID

Los tres controladores b´asicos P, I, D, que acabamos de ver pueden agruparse en
forma aditiva entre s´ı dando lugar a las combinaciones PI, PD y PID. En la figura
2.5 se representa un controlador PID en forma de diagrama de bloques [2, sec. 7.10].
Su funci´on de transferencia es
Gc =

V0
1
= Kp (1 +
+ sTd )
Vi
sTi

(2.8)

Este controlador PID se transforma f´acilmente en otro PI o PD eliminando una

1

Vi

1
sT i

Kp

Vo

sT d

Figura 2.5: Diagrama de bloques de un controlador PID

de las ramas I o D del diagrama de bloques. Si eliminamos ambas ramas I y D
se transforma en un controlador P. Una posible implementaci´on electr´onica de este
controlador, que se ajusta al diagrama de bloques, se ilustra en la figura 2.6.
La funci´on de transferencia del circuito PID as´ı compuesto viene dada por la

2.2. TIPOS DE CONTROLADORES

39

R1
R1

R4

C2
R5
Vi

R1

R4
Vo

R3

C3
R4

Figura 2.6: Diagrama de bloques de un controlador PID

expresi´on (2.9) en la que
Kp =

2.2.5

R5
,
R4

Ti = R2 C2 ,

Td = R3 C3

(2.9)

Controladores de adelanto y de retraso de fase

Son controladores que producen un avance, un retraso o una combinaci´on de avance
y retraso en la fase de la tensi´on de salida con respecto a la tensi´on de entrada al
controlador [2, sec. 7.9]. La funci´on de transferencia de un controlador de adelanto
o retraso es
V0
s − zc
Gc =
= Kc
(2.10)
Vi
s − pc
Si | zc |<| pc | es un controlador de adelanto de fase mientras que si | zc |>| pc |, es
de retraso de fase.
Estos controladores pueden realizarse mediante redes pasivas RC o bien con circuitos basados en amplificadores operacionales. La figura 2.7 muestra los esquemas
de una red RC de adelanto de fase y otra de retraso. La funci´on de transferencia de
la red de la figura 2.7a es
Gc =

V0
s − zc
1 + αT s
= Kc
=
Vi
s − pc
α(1 + T s)

siendo α = (R1 + R2 )/R2 y T = CR1 R2 /(R1 + R2 ).

(2.11)

˜ DE CONTROLADORES
CAP´ITULO 2. DISENO

40
C

R1
R1
C

R2

Vi

Vi

Vo

Vo
R2

a)

b)

Figura 2.7: Redes de adelanto y de retraso de fase

La red de retraso de fase de la figura 2.7b tiene por funci´on de transferencia
Gc =

V0
s − zc
1 + Ts
= Kc
=
Vi
s − pc
1 + αT s

(2.12)

siendo α = (R1 + R2 )/R2 y T = R2 C. En la figura 2.8 se ha representado una red
C1

R1

R2
Vi

Vo
C2

Figura 2.8: Red de adelanto-retraso de fase
pasiva RC de adelanto-retraso de fase, cuya funci´on de transferencia es
Gc =

V0
(1 + αT1 s)(1 + βT2 s)
=
Vi
(1 + T1 s)(1 + T2 s)

(2.13)

donde α > 1, β = 1/α, αT 1 = R1 C1 , T2 = R2 C2 y T1 T2 = R1 R2 C1 C2 . Los
controladores de adelanto y de retraso de fase pueden construirse tambi´en a base de
circuitos con operacionales. El circuito representado en la figura 2.9 puede funcionar
como controlador de adelanto y de retraso de fase. Su funci´on de transferencia es
Gc =

V0
s − zc
C1 (s + 1/R1 C1 )
= Kc
=−
Vi
s − pc
C2 (s + 1/R2 C2 )

(2.14)

´
˜ BASADOS EN EL LUGAR DE LAS RA´ICES
2.3. METODOS
DE DISENO

41

C2
C1
R2
Vi

R1
Vo

Figura 2.9: Controlador de adelanto-retraso de fase

Este montaje se puede utilizar como controlador PI (eliminando la resistencia R2)
o como controlador PD (eliminando el condensador C2).

2.3


etodos de dise˜
no basados en el lugar de las
ra´ıces

El m´etodo de dise˜
no basado en el lugar de las ra´ıces suele tambi´en denominarse de
asignaci´on de polos. Consiste en asignar al controlador uno o varios polos y ceros,
previamente determinados por las especificaciones que ha de cumplir el sistema.
Estos polos y ceros del controlador pueden servir, en ocasiones, para eliminar ciertos
polos o ceros indeseados del sistema (cancelaci´on de polos).
Antes de proceder al estudio de algunos ejemplos de dise˜
no de controladores
veamos qu´e efecto produce la adici´on de un polo o de un cero sobre el lugar de las
ra´ıces. Sea un sistema cuya funci´on de transferencia en lazo abierto es:
G(s) =

1
s2

(2.15)

Se trata de un sistema marginalmente estable para cualquier valor de la ganancia
K, ya que su lugar de las ra´ıces es el eje imaginario (Figura 2.10). Veamos el efecto
que produce la adici´on de un cero en (−2.5, 0). La funci´on de transferencia en lazo
abierto es ahora
s + 2.5
G(s) =
(2.16)
s2
El lugar de las ra´ıces se ha representado en la figura 2.11. Se puede observar que
la adici´on de un cero produce un efecto parecido a como si ´este “tirase” del lugar
geom´etrico hacia s´ı, estabilizando el sistema y generando en este caso una circunferencia como parte del lugar. Veamos ahora el efecto de a˜
nadir un polo en (−2, 0).
La funci´on de transferencia en lazo abierto vale ahora,
G(s) =

1
+ 2)

s2 (s

(2.17)

42

˜ DE CONTROLADORES
CAP´ITULO 2. DISENO

Figura 2.10: Lugar de las ra´ıces de G(s)H(s) = 1/s2

Figura 2.11: Lugar de las ra´ıces de G(s)H(s) = (s + 2.5)/s2

´
˜ BASADOS EN EL LUGAR DE LAS RA´ICES
2.3. METODOS
DE DISENO

43

Figura 2.12: Lugar de las ra´ıces de G(s)H(s) = 1/[(s2 )(s + 2)]

El lugar geom´etrico de las ra´ıces correspondiente se ha representado en la figura 2.12.
Puede observarse en el mismo que es como si el polo s = −2 a˜
nadido parece como
si empujara al lugar, deform´andolo y generando una rama de hip´erbola. Produce,
por tanto, un efecto desestabilizador en el sistema.
Vistos los efectos de la adici´on de un polo y de un cero a la funci´on de transferencia, vamos a considerar algunos ejemplos de dise˜
no del controlador en un sistema
de regulaci´on, conociendo ciertas especificaciones de funcionamiento.

2.3.1

Dise˜
no de una red de adelanto de fase

Un controlador de adelanto de fase tiene por funci´on de transferencia:
G c = Kc

s − zc
,
s − pc

|zc | < |pc |

(2.18)

El dise˜
no consiste en asignar unos valores a los par´ametros del controlador, tales que
el lugar geom´etrico pase por un punto dado, definido a partir de las especificaciones
de funcionamiento. Vamos a considerar el mismo ejemplo anterior en el que la
funci´on de transferencia en lazo abierto vale
1
G(s)H(s) = 2
(2.19)
s
Supongamos que las especificaciones de funcionamiento exigen un tiempo de establecimiento Ts de 4s y una sobreoscilaci´on m´axima inferior al 20%. El tiempo
de establecimiento suele considerarse igual a 4 veces la constante de tiempo τ del
sistema ( < 2%), con lo que
4
Ts = 4τ =
(2.20)
ξωn

˜ DE CONTROLADORES
CAP´ITULO 2. DISENO

44

Por otra parte la sobreoscilaci´on m´axima esta relacionada con el coeficiente de amortiguamiento. Puede probarse que una sobreoscilaci´on del 20% corresponde a un
coeficiente de amortiguamiento ξ = 0.45. Por lo tanto, sustituyendo este valor en la
expresi´on anterior queda
4=

4
,
0.45ωn

ωn = 2.22

(2.21)

Por tanto, la ra´ız correspondiente a las especificaciones propuestas es:
p
s = −ξωn ± ωn 1 − ξ 2 = −1 ± 2j

(2.22)

im
3
Raíz deseada
2

1
θp

-5

-4

-3

90º

-2

116.56º

re

-1

Figura 2.13: Lugar de las ra´ıces de G(s)H(s) = 1/[(s2 )(s + 2)]

Para que el lugar de las ra´ıces pase por este punto hemos de situar el polo y el
cero del controlador de adelanto de fase. Primero situamos el cero del controlador
en el punto s = −1, es decir, justo bajo la ra´ız (−1 ± 2j), antes hallada, por la que
ha de pasar el lugar. Aplicando el criterio del argumento, hallamos la ubicaci´on del
polo del controlador (figura 2.13):
90o − 2(116.56o ) − θp = −180o

θp = 38o

Se deduce que el polo ha de ser pc = −3.6. La funci´on de transferencia del controlador es
s+1
G c = Kc
s + 3.6
El par´ametro Kc se determina aplicando la condici´on de m´odulo del lugar del las
ra´ıces en el punto s = −1 + 2j, que da un valor de Kc = 8.1. El sistema de control
resultante se ha representado en la figura 2.14 y el lugar de las ra´ıces correspondiente,
en la figura 2.15.

´
˜ BASADOS EN EL LUGAR DE LAS RA´ICES
2.3. METODOS
DE DISENO

Gc
ε

R(s)

45

Gp

s+1

1

8.1
s

s+3.6

Y(s)

2

H
1

Figura 2.14: Ubicaci´on del cero y del polo del controlador PID

2.3.2

Dise˜
no de un controlador PID

Vamos a suponer que deseamos controlar la misma planta anterior, con funci´on de
transferencia Gp (s) = 1/s2 , mediante un controlador PID. Este tipo de control no
es el m´as id´oneo en este caso, ya que la propia planta realiza una doble integraci´on;
se utiliza aqu´ı para poder comparar con los resultados obtenidos anteriormente. Las
especificaciones son las mismas que en el ejemplo anterior y por tanto el lugar de las
ra´ıces ha de pasar por el punto (−1±2j). La funci´on de transferencia del controlador
es ahora
s2 Td Ti + sTi + 1
1
Gc = Kp (1 +
+ sTd ) = Kp
sTi
sTi
Un sencillo m´etodo de dise˜
no consiste en suponer que los ceros z1 y z2 del controlador
PID son reales. Ubicamos el cero z1 bajo la ra´ız deseada y, aplicando la condici´on
de ´angulo, determinamos el otro cero (figura 2.16).
Condici´on de ´angulo:
90o + θz2 − 3(116.56o ) = −180o ,

θz2 = 3(116.56) − 180o − 90o = 79.69oo

y, por tanto, z2 = −1.36. El lugar de las ra´ıces del sistema compensado se ha
representado en la figura 2.16.
Conocidos los valores de z1 y z2 podemos hallar las constantes Td , Ti y Kp del
controlador PID, identificando su funci´on de transferencia con la obtenida.
Kp

s2 Td Ti + sTi + 1
s2 + 2.36s + 1.36
=
sti
s

de donde resulta
Ti = 2.36/1.36 = 1.73s

Td = 1/2.36 = 0.42s

La constante Kp , hallada mediante la condici´on de ´angulo, resulta ser Kp = 2.8.
El lugar de las ra´ıces correspondiente se ha representado en la figura 2.17.

46

˜ DE CONTROLADORES
CAP´ITULO 2. DISENO

Figura 2.15: Lugar de las ra´ıces de G(s)H(s) = (s + 1)/[(s2 )(s + 3.6)]

2.4

Dise˜
no en el Lugar de las Ra´ıces

El dise˜
no en el Lugar de las ra´ıces est´a indicado en el caso en que se pretenda
que el sistema controlado tenga un par de polos complejos dominantes y que las
especificaciones de funcionamiento vengan dadas para ese par de polos. Recordemos
que en el sistema de 2o orden, si nos dan como especificaciones la sobreoscilaci´on
m´axima Mp y el tiempo de pico tp , podemos hallar el par de polos asociado a las
mismas, ya que de
Mp = e

√−ζπ

1−ζ 2

podemos despejar ζ y a continuaci´on, de
tp =

π
p
ωn 1 − ζ 2

podemos hallar ωn .
Si el sistema controlado ha de tener polos dominantes reales, es decir, una respuesta temporal mon´otona, no es aplicable este m´etodo. No obstante, es casi siempre
deseable una respuesta oscilante puesto que ello ayuda a contrarrestar el efecto de
las posibles no linealidades.
Como los controladores utilizados, controlador de adelanto-retraso y PID, tienen
dos grados de libertad, es posible ubicar s´olo dos polos del sistema en lazo cerrado.
La posici´on del resto de los polos queda fuera de control, y bien puede suceder, en
plantas de orden elevado, que los polos ubicados por dise˜
no no sean efectivamente
los dominantes.
La desventaja del m´etodo del lugar de las ra´ıces es que la informaci´on disponible
para el dise˜
nador disminuye conforme aumenta el n´
umero de ramas. En estos casos

˜ EN EL LUGAR DE LAS RA´ICES
2.4. DISENO

47
im
3

Raíz deseada
2

1
θz2

-5

-4

-3

-2

90º

-1

116.56º

re

Figura 2.16: Ubicaci´on de los ceros y polos del PID

la alternativa puede ser trabajar con modelos de orden reducido o bien utilizar
m´etodos de dise˜
no en el dominio de la frecuencia.

2.4.1

Compensador de adelanto de fase

La funci´on de transferencia del controlador de adelanto de fase es
s + zc
Gc (s) = Kc
, zc > pc , zc > 0 , pz > 0
s + pc
Su dise˜
no consiste en determinar las constantes Kc , zc , zc para que el sistema en
lazo cerrado cumpla con las especificaciones exigidas. En t´erminos del lugar de las
ra´ıces esto significa que el lugar ha de pasar por el par de puntos conjugados (polos
dominantes deseados) del plano complejo, calculados a partir de las especificaciones.
El primer paso es, por tanto, hallar el par de polos dominantes a partir de las
especificaciones. Supongamos que el resultado es pd = σd + jωd y p¯d = σd − jωd .
Una vez hallados, hemos de comprobar que no pertenecen al lugar de las ra´ıces
del sistema original (sin compensador) ya que caso afirmativo el dise˜
no consistir´ıa
simplemente en hallar el valor de la ganancia K correspondiente al punto del lugar
de las ra´ıces pd = σd + jωd .
El efecto de un compensador de adelanto de fase es desplazar el punto σc de
intersecci´on de las as´ıntotas, a lo largo del eje real y hacia el semiplano izquierdo
(SPI), una distancia
pc − zc
∆σc =
np − nz
en donde np y nz son, respectivamente, los n´
umeros de polos y ceros en lazo abierto,
incluidos los del controlador. Esto se deduce de la f´ormula que da el centroide de
las as´ıntotas:
P
P
i pi −
j zj
σc =
, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m
m−n

˜ DE CONTROLADORES
CAP´ITULO 2. DISENO

48

Figura 2.17: Lugar de las ra´ıces de G(s)H(s) = (s + 1)(s + 2.36)/s3

en donde pi son los polos y zj los ceros.
Como resultado, las ramas del lugar se “doblan” hacia el SPI (Figura 2.18).
Entonces, un simple ajuste de la ganancia puede ser suficiente para obtener polos
con mejor amortiguamiento.
La condici´on que vamos a utilizar para dise˜
nar el compensador es que el lugar
de las ra´ıces ha de pasar por el polo dominante pd = σd + jωd calculado a partir de
las especificaciones. Por supuesto que el lugar, por ser sim´etrico, pasar´a entonces
tambi´en por p¯d . Si pd es un punto del lugar de las ra´ıces, ha de cumplir la condici´on
argumento. Es decir, en el punto pd del plano complejo, la fase de la funci´on de
transferencia en lazo abierto ha de ser m´
ultiplo impar de π:
∠Gc (pd ) + ∠Gp (pd ) = (2k + 1)π

k = 0, 1, 2, . . .

Haciendo ∠Gc (pd ) = ϕc resulta
ϕc = (2k + 1)π − ∠Gc (pd )

(2.23)

para alg´
un K = 0, 1, 2, ...
La fase ϕc del controlador en pd puede relacionarse gr´aficamente en el plano s
con los par´ametros pz y zc del controlador (figura 2.19).
ϕc = β − α
Una vez calculada la fase ϕc que debe tener el controlador en pd , hay un n´
umero
infinito de posibles α = ∠pc y β = ∠zc que verifican ϕc = α − β. En la pr´actica, lo
habitual es fijar uno de los dos par´ametros, pc o zc , y calcular el otro a partir de la
condici´on de a´ngulo.

˜ EN EL LUGAR DE LAS RA´ICES
2.4. DISENO

49

Im
∆σc

σ’c

σc

p2

p1

Re

Figura 2.18: Lugar de las Ra´ıces sin y con compensador

Im
pd
ϕc
β

α
pc

Re

zc

pd

Figura 2.19: Fase del controlador en pd

˜ DE CONTROLADORES
CAP´ITULO 2. DISENO

50

Ejemplo de dise˜
no. Compensador en serie
D(s)
s + zc
U (s)- mE(s)Kc
+
s + pc


?
- +m

-

500
s(s + 1)

Y (s)
r
-

6

Figura 2.20: Controlador a dise˜
nar
Vamos a dise˜
nar el controlador de adelanto de fase de la figura 2.20, en el que
Gp (s) =

500
s(s + 1)

y con unas especificaciones de ζ = 0.65 y ωn = 50. En este ejercicio y en los
siguientes se ha utilizado el programa Maple para efectuar los c´alculos.
En primer lugar hemos de obtener el par de polos dominantes (pd , p¯d ), por el que
ha de pasar el lugar de las ra´ıces, a partir de las especificaciones. En este caso es
muy sencillo:
p
pd = −ζωn + ωn 1 − ζ 2 = −32.5 + 38j
p¯d = conj(pd ) = −32.5 − 38j
Antes de proceder al dise˜
no hemos de comprobar que el punto pd (o p¯d ) no est´a
en el lugar de las ra´ıces del sistema sin compensar. Para ello realizamos su trazado,
que se ha representado en la figura 2.21.
Una ver comprobado que pd queda fuera del lugar, calculamos el argumento que
ha de tener el controlador en pd , aplicando la f´ormula (2.23). Para ello hallamos
primero ∠Gp (pd ):


500
∠Gp (pd ) = arg
= −260o
s(s + 1) s=−32.5+38j
y, a continuaci´on ϕc :
ϕc = (2k + 1)π − ∠Gp (pd ) = (2k + 1)π + 260o
Para k = −1 obtenemos
ϕc = −180o + 260o = 80o
que es la fase buscada. N´otese que para otros valores de k se obtienen valores de ϕc
iguales al hallado m´as 360o k.
Hallada es la fase ϕc del controlador en pd , el problema es encontrar las posiciones
del cero zc y del polo pc del controlador de forma que la diferencia β − α de los
→ −−→
argumentos de los vectores −
z−
c pd y pc pd sea igual a ϕc (figura 2.22).

˜ EN EL LUGAR DE LAS RA´ICES
2.4. DISENO

51

Im

-1

-0.5

Re

0

Figura 2.21: Lugar de las Ra´ıces sin compensador

Im
pd

38

ϕc

β

α
pc

-32.5

-1

Re

Figura 2.22: Cancelaci´on del polo en (−1 + 0j) con zc

˜ DE CONTROLADORES
CAP´ITULO 2. DISENO

52

Una buena soluci´on, al menos a primera vista, es colocar el cero del controlador
en el punto (−1+0j), cancelando un polo de la planta (figura 2.22). As´ı se simplifica
la funci´on de transferencia Y (s)/U (s).
Procediendo de este modo, para obtener el par´ametro pc del controlador, hallamos el valor del ´angulo α.
β − α = ϕc ⇒ α = 130o − 80o = 50o
con lo que pc vale
pc = 32.5 + 38/ tan 50o = 64
Por u
´ltimo, el valor de Kc lo podemos hallar aplicando la condici´on de magnitud en
el punto pd :



s + zc
=1
Kc
G
(p
)
p
d

s + pc
de donde resulta Kc = 4.93.
El dise˜
no ha concluido: el sistema definido por la funci´on de transferencia
consigna-salida G1 (s) = Y (s)/U (s), que con los valores hallados queda
G1 (s) = 500

s2

Kc
+ pc s + 500 Kc

tiene un par de polos (dominantes) en (pd , p¯d ), de acuerdo con las especificaciones.
Sin embargo, no ocurre lo mismo para la funci´on de transferencia perturbaci´onsalida G2 (s) = Y (s)/D(s) ya que en ´esta el polo en (−1 + 0j) no se ha cancelado:
G2 (s) = 500

(s +

s + pc
+ pc s + 500 Kc )

1 ) ( s2

De aqu´ı que el modo e−t , “cancelado”, aparecer´a en la respuesta a una perturbaci´on
de carga d(t). Por tanto, el procedimiento utilizado de cancelaci´on de un polo de la
planta no debe ser utilizado en la pr´actica, si se desea una verdadera mejora de la
rapidez.

2.4.2

Consideraciones de dise˜
no

En vista del resultado del ejercicio anterior podemos pensar que el dise˜
no depender´a
de la configuraci´on de las entradas y salidas del sistema de control. Ello nos llevar´ıa
a un tipo de dise˜
no caso por caso.
No obstante, algunas configuraciones son frecuentes en la pr´actica por lo que conviene analizar con detalle los problemas asociados con ellas. El esquema de control
de la figura 2.23, denominado compensaci´
on en serie, es frecuente, por ejemplo, en el
control de motores y de otros procesos. La entrada d1 representa una perturbaci´on
en la carga, d2 representa una perturbaci´on en la salida y d3 , una perturbaci´on o
ruido en la medida. No se ha considerado (H(s) = 1) la din´amica del transductor.
Nc , Dc , Np y Dp son los polinomios, numerador y denominador, del controlador y
de la planta, respectivamente.

˜ EN EL LUGAR DE LAS RA´ICES
2.4. DISENO

53

d1
u- m  +
Kc


- Nc

Dc

d2

?
Np
m- m
+
Dp

?
- +m

y -

r

6

+m
6

d3
Figura 2.23: Esquema de control en serie.
Para empezar, nos interesa hallar las funciones de transferencia
Y
Kc N c N p
=
,
U
D

E
Dc Dp
=
,
U
D

M
Kc Nc Dp
=
U
D

que relacionan la salida y, el error e y el esfuerzo de control m con la entrada u.
Tambi´en interesan
Y
N p Dc
=
,
D1
D

E
Y
=−
,
D1
D1

M
Y
=−
D1
U

que relacionan la salida y, el error e y el esfuerzo de control m con la perturbaci´on
d1 , y asimismo,
M
M
M
Y
=
,
=−
D3
D1
D3
U
en donde D = Dc Dp + KNc Np
A partir de estas expresiones podemos deducir ciertas propiedades interesantes
de este esquema de control.
• Si Nc y Dp tienen ceros en com´
un, estos se cancelan en las funciones de
transferencia Y /U y M/U , ya que entonces son ceros del polinomio D =
Dc Dp + KNc Np , pero no se cancelan en las Y /D1 y E/D1 , y por ello la
cancelaci´on polo-cero no es recomendable.
• Cuando el sistema en lazo cerrado es mucho m´
as r´
apido que la planta la
variable manipulada m puede tomar valores muy grandes. La idea intuitiva de
que para conseguir una respuesta m´as r´apida el controlador ha de actuar con
m´as energ´ıa se confirma matem´aticamente puesto que los polos lentos de la
planta (ceros del polinomio Dp ) son ceros en la funci´on de transferencia M/U ,
y es sabido que un cero lento visto desde los polos (pr´oximo relativamente al
eje imaginario) produce una sobreoscilaci´on elevada.
• Si la planta tiene un cero en el SPD y el sistema en lazo cerrado es estable, la
respuesta y(t) a un escal´on siempre comienza con una suboscilaci´on, es decir,
arranca en sentido opuesto al de la entrada u(t). Esto es as´ı porque, en la
pr´actica, el cero en el SPD no va a poder ser cancelado, y los sistemas con
ceros en el SPD muestran ese comportamiento.

˜ DE CONTROLADORES
CAP´ITULO 2. DISENO

54

• Si la planta tiene un polo en el SPD y el sistema en lazo cerrado es estable,
la respuesta y(t) arranca en el mismo sentido que u(t) (tiene sobreoscilaci´on).
En efecto, el polo de la planta en el SPD, seg´
un hemos visto, no va a poder
ser cancelado. Entonces, dicho polo se convierte en un cero para la funci´on
de transferencia E/U , y en consecuencia e(t) tendr´a suboscilaci´on. Como
E = U − Y y U = 1 (escal´on unitario), una suboscilaci´on en E inducir´a una
sobreoscilaci´on en Y .

2.4.3

Re-dise˜
no. Compensador en serie

Considerando estas propiedades, vamos a retomar el problema de dise˜
no que antes
hemos efectuado.
En primer lugar, no es posible, en la pr´actica, cancelar el polo s = −1 de la
planta, como hab´ıamos hecho; hemos de elegir otra ubicaci´on para el cero zc del
controlador. Como el cero zc del controlador es tambi´en un cero para la funci´on
de transferencia Y /U , la experiencia demuestra que una elecci´on adecuada es tomar zc = |pd |. De esta manera la sobreoscilaci´on Mp del sistema en lazo cerrado
se aproximar´a bastante a la del sistema de segundo orden (deseado), definido por
las especificaciones. Valores mayores de zc , aunque disminuir´ıan la sobreoscilaci´on
m´axima, reducir´ıan la contribuci´on de argumento ϕc del controlador.
Por tanto elegimos zc = |pd | = 50, procediendo a calcular ϕd . Pero si realizamos
la representaci´on gr´afica de la figura 2.19 vemos que esta elecci´on no es posible,
porque el m´aximo ´angulo ϕc que se puede obtener con pd = −32.5+38j y pc = −50 es
de unos 65o , y necesitamos 80o . Por ello nos vemos obligados a elegir otra ubicaci´on
para zc m´as hacia la derecha, si bien sabemos que as´ı obtendremos un sobreimpulso
mayor que el exigido.
Con zc = 25, para ϕc = 80o , obtenemos
pc = −130.6
Con lo que la funci´on de transferencia del controlador queda
G c = Kc

s + 25
s + 130

El valor de Kc en pd , obtenido a partir del lugar de la condici´on de m´odulo es Kc =.
Puede comprobarse que la respuesta a una entrada u(t) escal´on acusa una sobreoscilaci´on mayor que la permitida por las especificaciones.

2.4.4

Compensador en realimentaci´
on

Una posible soluci´on al problema anterior es colocar el compensador de adelanto en
el lazo de realimentaci´on en lugar de en serie con la planta. El esquema del control
se indica en la figura 2.24
Calculemos las funciones de transferencia asociadas a este esquema:
Y
Kc N p Df
=
,
U
D

M
Kc Df Dp
=
U
D

˜ EN EL LUGAR DE LAS RA´ICES
2.4. DISENO

55

d1
u- m
+




m

- K
c

?
- +m

d2

-

Np
Dp

?
- +m

y -

r

6

Nf 
Df


+m
6

d3
Figura 2.24: Esquema de control en feedback.
relacionan la salida y y esfuerzo de control m con la entrada u;
Np Df
Y
=
,
D1
D

M
Np Nf
= −Kc
D1
D

relacionan la salida y y el esfuerzo de control m con la perturbaci´on d1 ;
Y
M
=
,
D3
D1

M
N f Dp
= −Kc
D3
D

en donde D = Df Dp + KNf Np .
El error para entrada rampa vale
1
er (s) = 2
s



Y (s)
1−
U (s)


=

1 Kc Np Nf + Df Dp − Kc Df Np
s2
Df Dp + Kp Nf Np

Los factores comunes (si los hay) de Nf y Dp , que en el controlador serie se
cancelaban, son polos de Y /U y de Y /D1 , y no se cancelan.
Si comparamos las expresiones Y /U y M/U con las halladas antes para el esquema con controlador en serie, vemos una importante diferencia: Nc ha sido reemplazado por Df . Esto quiere decir que en el esquema de control con compensador
en feedback, los polos del compensador se convierten en ceros en las funciones de
transferencia en lazo cerrado Y /R y M/R. Esto tiene un efecto beneficioso pues el
sobreimpulso m´aximo se reducir´a, ya que, por ser un compensador de adelanto de
fase, pc > zc (el efecto ser´ıa perjudicial si el compensador fuera de retraso).
Pero esto significa que tenemos mayor libertad para escoger zp : podemos darle
un valor menor que |pd | sin que aumente el sobreimpulso.
Como conclusi´on se puede decir que, siempre que sea posible, el compensador
debe colocarse en el lazo de realimentaci´on.
Hay a´
un otro inconveniente. El cero del compensador permanece como cero en
la funci´on de transferencia Y /D3 , en ambas configuraciones de serie y feedback.
Debido a ello el sistema en lazo cerrado ser´a muy sensible al ruido D3 en la medida
si los polos en lazo cerrado se han desplazado mucho hacia la izquierda en el SPI.

˜ DE CONTROLADORES
CAP´ITULO 2. DISENO

56

2.4.5

Compensador de retraso de fase en serie

Su funci´on de transferencia es
Gc (s) =

s + zc
,
s + pc

igual que la del de adelanto de fase, pero con zz > pc > 0. Por ser su ganancia
est´atica mayor que uno, las constantes de error del sistema quedar´an multiplicadas
por el factor zz /pc , por estar en serie con la planta. El dise˜
no de este controlador
consiste en encontrar zc y pc que satisfagan una relaci´on dada.
Sea, como antes, pd el polo dominante deseado. Puesto que para una relaci´on
dada de |zc |/|pc |, la contribuci´on de ´angulo ϕc del controlador en pd disminuye con
|zc |, debemos seleccionar zc lo m´as peque˜
no posible para que este compensador tenga
poco efecto sobre la respuesta transitoria. Por tanto colocaremos zc pr´oximo a los
polos dominantes.
El efecto del compensador de retraso en el lugar de las ra´ıces es “doblar” el lugar
hacia el SPD, desplazando el punto σc la misma distancia que el controlador de
adelanto pero hacia la derecha.

2.4.6


axima fase de un controlador de adelanto

La funci´on de transferencia de un controlador de adelanto es
G( s ) =

s+z
s+p

Como se ve en la figura 2.25, la fase de este controlador es ϕc = β −α, con p > z > 0.
Su m´axima contribuci´on de fase ϕmax depende s´olo de α = z/p como puede
verse en su diagrama de Nyquist, en la figura 2.26. Su trazado con Maple para
z = 1, p = 3 se puede hacer con:
G :=

Iw+z
Iw+p

> z:=1:p:=3:
> plot([Re(G),Im(G),w=0..200],0..1.1);
Nos interesa hallar el valor m´aximo de ϕc y la frecuencia ωm en la que se produce.
Ponemos α y β en funci´on de ω, z y a, con a = z/p.
ω a
ω 
ϕc := arctan
− arctan
z
z
La derivada de esta funci´on con respecto a ω se obtiene con
> p1:=diff(phi_c,omega);

˜ EN EL LUGAR DE LAS RA´ICES
2.4. DISENO

57

Im
pd
ϕc
β

α
pc

Re

zc

pd

Figura 2.25: Fase ϕc del controlador.

Im
ωm

ϕmax

ω=0
α

ω = oο
1+ α
2

Figura 2.26: Fase m´axima ϕmax .

1

Re

˜ DE CONTROLADORES
CAP´ITULO 2. DISENO

58

1

p1 :=

2


z

ω
z2

1+

−


z

a

ω 2 a2
1+ 2
z

Para hallar el m´aximo hemos de resolver la ecuaci´on ϕ0c (ω) = 0:
> wm1:=solve(diff(phi,omega)=0,omega);


( −1 + a ) z a
( −1 + a ) z a
wm1 :=
,−
−a2 + a
−a2 + a
Simplificando esta expresi´on obtenemos la pulsaci´on correspondiente a ϕmax :
> wm:=normal(wm1[2]);
z
wm := √
a
Sustituyendo wm en la expresi´on de φc queda
> fimax := subs(omega=wm,phi);

ϕmax := arctan

1

a


− arctan

√ 
a

El seno de esta expresi´on es
> sfm1:=expand(sin(fimax));

sf m1 :=



1


r
a

1+

1√
1+a
a

−r

a
1√
1+
1+a
a

que puede simplificarse con
> sfm:=radsimp(sfm1);

sfm := −

−1 + a
1+a

es decir que
sin(ϕmax ) =

1−a
1+a

Estas f´ormulas son u
´tiles para dise˜
nar controladores de adelanto de fase.

˜ EN EL LUGAR DE LAS RA´ICES
2.4. DISENO

59

Ejemplo.
Se desea controlar un sistema din´amico cuya planta tiene por funci´on de transferencia
500
Gp (s) =
s(s + 1)
mediante un controlador de adelanto de fase, de forma que el sistema resultante tenga
´n
una frecuencia de cruce ωc = 35 rad/s y un margen de fase de 65o . Resolucio
En el trazado de Bode vemos que para ω = 35 el sistema tiene un margen de fase
de −(−180 + 178.4) = 1.6o (casi cero) y un margen de ganancia muy peque˜
no, casi
0dB. Para conseguir las especificaciones deseadas hemos de poner un compensador.
El compensador tiene que aportar, en ω = 35 rad/s, una fase ϕc = 65o y una
ganancia Kc tal que el margen de ganancia resultante sea de 8dB. De la ecuaci´on
sin(ϕmax ) =

1−a
1+a

podemos hallar a, ya que conocemos ϕmax , que en radianes vale
> phi_max:=65*Pi/180;
ϕmax :=

13
π
36

Para hallar a hacemos
> a11:=solve(sfm=sin(phi_max),a);
a11 := −

36 − 13 π
−36 − 13 π

y obtenemos tambi´en su valor num´erico
> a:=-evalf(a11);
a := .04914852341
Por otro lado, como sabemos que la pulsaci´on ωm correspondiente a la m´axima
fase ϕmax es
z
ωm := √
a
poniendo ωm = 35, podemos hallar zc .
> zc := 35 * sqrt(a);

zc := 7.759313191
y tambi´en pc :

˜ DE CONTROLADORES
CAP´ITULO 2. DISENO

60
> pc:=zc/a;

pc := 157.8747977
Una vez hallados pc y zc , lo u
´nico que queda es hallar Kc . Para ello aplicamos
la condici´on de que el margen de ganancia ha de ser de 8dB para ω = 35 rad/s.
Hallamos primero la ganancia en decibelios para ω = 35 y para los valores de zc y
pc hallados, en funci´on de Kc
> Gdb35:=evalf(20*log10(Kc*abs(subs(w=35,p=pc,z=zc,G))));

Gdb35 := 20. log10( .2216946625 Kc )
y resolvemos la ecuaci´on Gdb35 (Kc) = 8 en Kc .
> solve(Gdb35=8,Kc);
El valor que se obtiene es
Kc = 11.33038749
Finalizado el dise˜
no, podemos representar el diagrama de Bode del sistema compensado para verificar que cumple con las especificaciones y, si fuera preciso, realizar
los u
´ltimos ajustes de los par´ametros del controlador por tanteo y mediante simulaci´on.

2.5

Dise˜
no en la respuesta de frecuencia

La respuesta de frecuencia de un sistema din´amico es una representaci´on no param´etrica (n´
umero infinito de par´ametros), ya que viene dada en forma de curvas
continuas, en contraste con los modelos param´etricos de funci´on de transferencia y
de estados. Una de las ventajas que tiene es que no est´a influida por el orden del
sistema. Recordemos que informaci´on neta que proporciona el lugar de las ra´ıces
al dise˜
nador va disminuyendo gradualmente a medida que aumenta el n´
umero de
ramas, que es igual al orden del sistema. Por otro lado el empleo de escalas logar´ıtmicas hacen que el rango bajo de frecuencias resulte expandido y entonces los
errores absolutos del diagrama de Bode corresponden a errores absolutos en escala lineal. El dominio de la frecuencia est´a especialmente indicado para incluir las
imperfecciones de modelado por lo que se emplea en dise˜
no robusto.
Al ser una representaci´on de dimensi´on infinita no podemos esperar que haya
f´ormulas expl´ıcitas que relacionen la respuesta de frecuencia con los par´ametros
caracter´ısticos de la respuesta temporal, o viceversa, incluso aunque se conociera
el orden del sistema. Por ello, el adquirir destreza de dise˜
no en el dominio de la
frecuencia precisa de una considerablemente mayor experiencia que para hacerlo en
cualquiera de sus dos alternativas param´etricas, lugar de las ra´ıces o espacio de
estado.

˜ EN LA RESPUESTA DE FRECUENCIA
2.5. DISENO

2.5.1

61

El problema del dise˜
no de feedback

El an´alisis en el dominio de la frecuencia de los sistemas de segundo orden muestra
que la realimentaci´on negativa tiene como ventajas el aumento del ancho de banda,
la disminuci´on de la sensibilidad del sistema a las variaciones de los par´ametros y
la obtenci´on de una funci´on de transferencia de m´odulo unidad (con realimentaci´on unitaria) en el rango de frecuencias en el que la ganancia en lazo abierto es
suficientemente alta.
d1
d2
u- m  +
Kc


- Nc

Dc

?
Np
m- m
+
Dp

?
- +m

y -

r

6

+m
6

d3
Figura 2.27: Esquema de control en serie.
Supongamos el sistema de control con realimentaci´on representado en la figura
2.27. La expresi´on de la salida Y (s) es
Y =

Gc Gp
1
Gp
(U − D3 ) +
D2 +
D1
1 + Gc Gp
1 + Gc Gp
1 + Gc Gp

(2.24)

y la del error E(s),
E=

1
Gc Gp
Gp
(U − D2 ) +
D3 −
D1
1 + Gc Gp
1 + Gc Gp
1 + Gc Gp

(2.25)

Las ecuaciones (2.24) y (2.25) nos dan a entender que la tarea del dise˜
no, condicionado siempre a ciertas restricciones y con el objetivo de cumplir determinados
requisitos de funcionamiento, no parece sencilla. Por ejemplo, uno de estos requisitos demanda la reducci´on de los errores debidos a la entrada de referencia u y a
la perturbaci´on d2 , mientras que otro pide la reducci´on del error producido por el
ruido en la medida d3 .
El conflicto entre estos dos objetivos de dise˜
no es evidente: si en la ecuaci´on
(2.25) hacemos |Gc Gp | elevado en un amplio margen de frecuencia, para reducir los
errores asociados con u y d2 , resulta de (2.24) que entonces y ' r − d3 , con lo que
el ruido en la medida d3 pasa directamente a la salida.
Una frecuente restricci´on es que esfuerzo de control, o variable manipulada m,
no pueda tomar valores superiores a ciertos l´ımites (para los que alcanzar´ıa la saturaci´on). En efecto, la expresi´on de la variable manipulada es
m=

Gc
Gc Gp
(U − D2 − D3 ) −
D1
1 + Gc Gp
1 + Gc Gp

˜ DE CONTROLADORES
CAP´ITULO 2. DISENO

62

Si hacemos |Gc Gp |  1 siendo |Gp | peque˜
na, es decir, aumentamos la ganancia en
lazo abierto a costa s´olo del controlador, queda
m=

1
(U − D2 − D3 )
Gp

Que el controlador emita esta fuerte respuesta, ante las entradas U (de referencia) y
D2 (perturbaci´on en salida), puede parecer l´ogico. No as´ı, sin embargo, que tambi´en
lo haga ante el ruido en la medida D3 . Por ello la ganancia de lazo no debe hacerse
alta en un intervalo arbitrario de frecuencias.

20 log M

QQ R
QQ :
9 R
QQ :
9 8
9 8
QQ :
9 8
Q43Q3 :
9211 8
Q43Q3 :
9211 8
Q43Q3 :
9211 0
Q43Q3 :
9211 0
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9211 8
++RQ43Q3 :
9211 8
++RQ43Q3 :
921*)1) 870/ .-65 ,++RQ43Q3 *)):9211
77 RQQ :
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55 R
77 6
55 R
77 6
55 R
77 6
55 R
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--655 R
//877 .
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70/7/ .
--655 ,
70/7/ .
--655 ,
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9
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9
9
9
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R

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70/7/ .
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+<;RQ43T
70/7/ .
--655 ,
+<;RQ43T
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99 8
99 8
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92191 8
92191 0
92191 0
92191 8
92191 8
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99 8
77 6
55 R
[email protected]?43BA<;T
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55 R
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BA<;T
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BA<;T
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<;T
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(Rango
Activo)
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Figura 2.28: Zonas permitidas en la respuesta de frecuencia.
De acuerdo con estas ideas, podemos pensar en dar a la ganancia de lazo una
determinada forma, tratando de satisfacer las exigencias impuestas (figura 2.28).
Ser´a conveniente por ello:
• Dar un valor alto a la ganancia en lazo abierto M = |Gc Gp | en el rango activo
de frecuencia, para alcanzar un adecuado funcionamiento en esa zona.
• Dar a M una gran atenuaci´on en el intervalo de frecuencia en el que el ruido
es importante

˜ EN EL ESPACIO DE ESTADO
2.6. DISENO

63

• Entre estas dos zonas, dar a M una atenuaci´on en pronunciado descenso para
conseguir que la anchura de banda sea amplia.

Pero aqu´ı ocurre un problema: el aumento en la pendiente de atenuaci´on de la
curva M hace reducir el margen fase.
Otra importante restricci´on de dise˜
no es la tolerancia a imprecisiones de modelado. El an´alisis revela que para conservar la estabilidad en lazo cerrado se necesita un
modelo preciso en lazo abierto en un rango de frecuencia alrededor de la frecuencia
de cruce. M´as concretamente, cuanto menor sea el valor de |1 + G( jω)|, ω ∈ (0, ∞),
mayor precisi´on se necesita en el modelado. En efecto, la expresi´on
SGT =

1
1+G

es la sensibilidad de la funci´on T = G/(1 + G) respecto del par´ametro G.
En la pr´actica nos encontramos con que las imprecisiones en el modelado de la
planta aumentan con la frecuencia, debido sobre todo a la existencia de din´amicas no
modeladas como retardos de tiempo, resonancias mec´anicas, polos de alta frecuencia,
etc. Por ello la ganancia a alta frecuencia debe ser peque˜
na para mantener el sistema
estable. En particular, esto significa que la compensaci´on puede aumentar la anchura
de banda (BW) del sistema s´olo si el modelo contin´
ua siendo relativamente preciso
en BW. Si intent´aramos ensanchar BW sobre la regi´on en que las incertidumbres de
modelado son elevadas, ello conducir´ıa a un funcionamiento indeseable, o incluso a
la inestabilidad.

2.6

Dise˜
no en el Espacio de Estado

Los m´etodos basados en el Lugar Geom´etrico de las Ra´ıces y en la Respuesta de
Frecuencia, propios del modelo de funci´on de transferencia, se basan en la realimentaci´on de la variable salida y, por lo com´
un, en la utilizaci´on de controladores con un
reducido n´
umero de par´ametros de dise˜
no: controladores PID y de adelanto-retraso
de fase. El n´
umero de polos en lazo cerrado que podemos ubicar por dise˜
no con
estos controladores es de dos.
Con estos m´etodos, el dise˜
no de compensadores para ubicar m´as de dos polos
resulta complicado debido en gran parte a la dificultad de relacionar los par´ametros
del controlador con las especificaciones deseadas.
Utilizando el modelo de estado, en cambio, es posible realimentar el vector de
estado en lugar de la salida, disponiendo de informaci´on suficiente, como vamos a
ver, para cambiar la posici´on de todos los polos del sistema a otras nuevas posiciones
prefijadas a voluntad.

˜ DE CONTROLADORES
CAP´ITULO 2. DISENO

64

2.6.1

Asignaci´
on de polos

Sea un sistema din´amico cuyo modelo de estado est´a en forma can´onica controlable.


 
0
1
0



. 
..


 .. 
.
x˙ = 
x +  u

 0 
1 
−an −an−1 . . . −a1
1
y = Cx
en donde x ∈ Rn , u, y ∈ R, A ∈ Rn×n B ∈ Rn×1 , C ∈ R1×n El polinomio caracter´ıstico
est´a definido por la u
´ltima fila de la matriz A
det(sI − A) = sn + a1 sn−1 + . . . + an−1 s + an
Sean λ1 , λ2 , . . . , λn los valores propios de A y supongamos que deseamos obtener
un nuevo sistema, mediante feedback de estado, que tenga como polinomio caracter´ıstico
α(s) = sn + α1 sn−1 + . . . + αn−1 s + αn
con ra´ıces µ1 , µ2 , . . . , µn .
Definiendo una nueva entrada v, de forma que ahora la entrada a la planta sea
v − Kx, siendo


K = k1 k2 . . . kn
las ecuaciones de estado se transforman en
x˙ = (A − BK)x + Bv
y = Cx
Si damos a K el valor
K=



αn − an αn−1 − an−1 . . . α1 − a1



entonces el determinante de [sI − (A − BK)] es α(s) puesto que


0 0 ... 0


..
BK = 

.
k1 k2 . . . kn
Esta es la forma m´as sencilla de resolver el problema de asignaci´on de polos en el
espacio de estado.

2.7

Sinton´ıa de controladores PID

Los controladores PID comerciales disponen de mandos externos para el ajuste de
los par´ametros Kp , Ti y Td . Para su c´alculo te´orico podemos aplicar cualquiera de los

2.7. SINTON´IA DE CONTROLADORES PID

65

procedimientos vistos antes, siempre y cuando conozcamos el modelo de la planta.
Si no es as´ı, lo que suele hacerse es suponer para ella un modelo muy simple, ajustar
emp´ıricamente los par´ametros del PID en base a ese modelo y probar luego c´omo
funciona el control en la realidad. Pero ¿c´omo buscar un modelo simple de un planta
desconocida? La respuesta que a esta cuesti´on dieron Zeigler y Nichols est´a basada
en la siguiente observaci´on: en la industria de control de procesos, “la mayor´ıa” de
las plantas a controlar admiten como modelo externo la funci´on no racional
A e−T s
G(s) =
s+a

a ≥ 0.

(2.26)

Bajo este supuesto, los m´etodos de ajuste constan de dos etapas:
1. Realizar un experimento para determinar los par´ametros A, a y T de la planta.
2. Calcular, con f´ormulas apropiadas, los par´ametros Kp , Td y Ti del controlador
a partir de los par´ametros hallados.
Se han desarrollado dos m´etodos, llamados m´etodo de lazo abierto y m´etodo de
lazo cerrado.

etodo de lazo abierto
Suponiendo que el modelo
G(s) =

A e−T s
,
s+a

es v´alido para planta, este m´etodo consisten en aplicar un escal´on unitario 1(t) a
la planta y medir su respuesta temporal y(t) para, a partir de ella, calcular los
par´ametros A, a y T de su supuesto modelo.
En el experimento hemos medido la respuesta al escal´on y(t) de la planta (figura
2.29).
Primero calcularemos T . Trazando la tangente a la curva y(t) en el punto de
m´axima pendiente y hallando su intersecci´on con el eje t, obtenemos el valor del
retardo T del modelo G(s) de la planta. Si la planta real siguiera exactamente el
e−T s
, la m´axima pendiente de y(t) se dar´ıa en el punto
modelo supuesto G(s) = As+a
de intersecci´on de la curva con el eje t. Pero, como no va a ser asi, lo que hemos
hecho es una aproximaci´on que consiste en sustituir la parte baja de la curva por la
tangente de pendiente m´axima.
Veamos ahora como se hallan a y A. Sabemos que el valor de la respuesta y0 (t)
a un escal´on unitario de la planta con retardo nulo
G0 (s) =

A
s+a

en el instante τ = 1/a (constante de tiempo) es
y0 (τ ) = A(1 − e−at )|t=1/a = A(1 − e−1 ) = 0.632A.

˜ DE CONTROLADORES
CAP´ITULO 2. DISENO

66

y (t )

y (t )

A
a

0.632 A

T

t

t1

t

Figura 2.29: C´alculo de T (izquierda), de a y de A (derecha)
Por tanto, la respuesta al escal´on unitario de la planta con retardo T
G(s) =

A e−T s
,
s+a

en el instante τ + T , valdr´a tambi´en y(τ + T ) = 0.632A. Asi que para determinar la
constante de tiempo τ trazamos una recta horizontal de ordenada igual a 0.632A,
hallamos el punto de intersecci´on de la recta con la curva y(t) y entonces la vertical
por dicho punto marca el valor t1 = τ + T . Por tanto
τ = t1 − T = 1/a

⇒ a.

Por ser la entrada un escal´on unitario, el valor final de la respuesta o valor en estado
estacionario es igual a la la ganancia est´atica de la planta.
yss = lim y(t) =
t→∞

A
a

Por ello,
A = a yss
El valor
Rr = A/τ = aA
se llama tasa de reacci´on reaction rate.
En el caso en que la constante a sea nula, a´
un es posible definir los valores de T
(igual que antes) y de Rr que es igual a la pendiente m´axima de la respuesta.
El principal inconveniente del m´etodo de lazo abierto es que el experimento que
nos da la respuesta temporal de la planta exige controlar en lazo abierto la planta
durante un tiempo suficiente para que la respuesta llegue al estado estacionario y
esto puede ser prohibitivo en ciertos procesos industriales en funcionamiento.

2.7. SINTON´IA DE CONTROLADORES PID

67


etodo de lazo cerrado
Permite calcular los par´ametros del modelo G(s) de la planta haciendo un experimento con el control PID en funcioonamiento, en lazo cerrado. El m´etodo es el
siguiente. Con el proceso en funcionamiento se ponen los par´ametros de PID con
los valores Td = 0 (o el valor m´ınimo posible), Ti = ∞ (o el valor m´aximo posible) y
se va aumentando despacio la ganancia kp hasta el valor ku para el cual la respuesta
y(t) sea oscilante, con ciclos de amplitud mantenida, es decir, de aspecto sinusoidal.
Entonces anotaremos los valores de Ku y del per´ıodo de oscilaci´on Tu .
Aunque este m´etodo es m´as factible que el anterior, tambi´en puede resultar a
veces problem´atico: hay procesos que no toleran oscilaciones mantenidas por mucho
tiempo y hay otros (muy lentos) que aunque las admitan, pueden exigir un tiempo
de experimento demasiado largo.
Hay otros m´etodos, tambi´en de lazo cerrado, que se basan en el funcionamiento
normal del controlador para hacer los c´alculos y, adem´as, si se ponen en modo
autom´atico son capaces de ponerse ellos mismos los valores m´as adecuados a las
circustancias. Son los controladores inteligentes.

2.7.1

Ajuste de los par´
ametros del PID

A partir de los valores emp´ıricos T, Rr , obtenidos en lazo abierto, o de los valores
Ku , Tu obtenidos en lazo cerrado, se pueden calcular los par´ametros Kp , Td y Ti del
controlador de forma aproximada.
Entre los m´etodos que se han desarrollado para ello cabe destacar el de Ziegler–
Nichols y el de Shinskey, que suponen suponen a = 0 en el modelo G(s) de la planta,
y el de Cohen-Coon que supone a 6= 0.
Tipo
P
Kp
P I Kp
Ti
P ID Kp
Td
Ti

Zeigler-Nichols
Shinskey
Zeigler-Nichols
(lazo cerrado) (lazo cerrado) (lazo abierto)
1
0.5Ku
0.5Ku
Rr T
0.9
0.45Ku
0.5Ku
Rr T
0.833Ku
0.43Ku
0.33T
1.2
0.6Ku
0.5Ku
Rr T
0.5Ku
0.34Ku
2T
0.125Ku
0.08Ku
0.5T

Cohen-Coon
(lazo abierto)
τ
T
(1 + 3τ
)
AT
τ
T
(0.9 + 0.082 3τ
)
AT
3.33+0.3T /τ
T ( 1+2.2T /τ )
τ
(1.35 + 0.27 Tτ )
AT

T ( 2.5+0.5T
)
1+0.6T /τ
0.37
T ( 1+0.2T /τ )

68

˜ DE CONTROLADORES
CAP´ITULO 2. DISENO

Parte II
Control de procesos de eventos
discretos

69

Cap´ıtulo 3
Sistemas booleanos
3.1

Dispositivos l´
ogicos

Ciertos dispositivos f´ısicos se construyen de forma que s´olo tienen dos posibles estados de equilibrio los cuales, en cada caso, reciben nombres t´ıpicos que los identifican.
En la tabla se indican algunos de ellos junto con los nombres de sus dos estados.
Dispositivo
Estados
Mec´anico
s´ı / no
Interruptor el´ectrico abierto / cerrado
V´alvula
abierta / cerrada
saturaci´on / corte
Transistor
Estos y otros dispositivos permiten construir otros aparatos m´as complejos que
se llaman automatismos. Sus modelos son los sistemas digitales y pueden ser de dos
clases:
• Sistemas combinacionales
• Sistemas secuenciales

0

1

Figura 3.1: Dispositivo mec´anico de dos estados estables.

71

CAP´ITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

72

En un sistema de control, tanto las entradas como las salidas pueden tomar,
en general, valores reales cualesquiera. Pues bien, en los automatismos y sistemas
digitales cada una de dichas variables tiene dos valores fundamentales, llamados a
veces niveles l´ogicos “0” y “1”, que corresponden a estados de equilibrio del sistema.
Esto no quiere decir que las entradas y salidas no puedan tomar otros valores sino
que, en el modelo s´olo vamos a considerar dichos valores, desechando el resto. La
raz´on para poder hacer esto es que los dispositivos biestables est´an construidos de
tal manara que s´olo admiten dos posiciones de equilibrio estable y que el tr´ansito
entre ambos estados se realiza r´apidamente.
Por ejemplo, una balanza con una pesa en uno de los dos platos es uno de estos
dispositivos. Aunque la balanza puede tomar todas las posiciones intermedias, s´olo
consideramos dos: posici´on “0” (balanza vencida hacia la izquierda) y posici´on “1”
(balanza vencida hacia la derecha). Al cambiar la pesa de plato el sistema cambia
de estado y, si la pesa es suficientemente grande, el dicho cambio ser´a r´apido.
Otro dispositivo bi-estable bien conocido es un interruptor de alumbrado dom´estico. La forma y la elasticidad del conductor 2 hacen que este sistema, de accionamiento manual, tenga dos estados estables. En la figura de la izquierda los contactos
del interruptor est´an unidos por la presi´on que el conductor el´astico 2 hace sobre
el 1 y el interruptor est´a cerrado. En la figura de la derecha, tras girar la llave de
encendido, se separan los contactos y el interruptor est´a cerrado.






























 
























 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 








































 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




















 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1
















1

2

2

Figura 3.2: Interruptor dom´estico.
Los biestables electr´onicos son circuitos muy conocidos y utilizados. Son b´asicos
para la construcci´on de otros circuitos electr´onicos m´as complejos como por ejemplo
las memorias RAM (figura 3.4).
La balanza, el interruptor dom´estico y el biestable electr´onico, son sistemas que
permanecen en el mismo estado por tiempo indefinido una vez que se dejan de aplicar
sus correspondientes entradas. Por eso se dice que son sistemas con memoria. Por
el contrario, hay otros sistemas, llamados sistemas sin memoria, que cuando las
entradas dejan de actuar, pasan a un estado llamado de reposo. Un ejemplo sencillo
de este tipo de sistemas es un pulsador el´ectrico.
Ejercicio 3.1.1 Identificar la entrada, la salida y los estados de equilibrio de los
siguientes sistemas:
1. Sistema mec´anico de la balanza de la figura 3.1.
2. Sistema del interruptor (figura 3.2).

3.2. ALGEBRA DE BOOLE






 








 










 










73
1

2

Figura 3.3: Pulsador

3. Biestable electr´onico de la figura 3.4. Explicar su funcionamiento.
4. Pulsador el´ectrico de la figura 3.3. Explicar su funcionamiento.

Vcc

RC

RC

V1

V2

RB

E1

RB

E2

Figura 3.4: Circuito electr´onico biestable

3.2

Algebra de Boole

Un conjunto U en el que se han definido dos operaciones ⊕ y tales que, para todo
a, b, c ∈ U satisfacen las propiedades:
1. Idempotentes: a ⊕ a = a a = a
2. Conmutativas: a ⊕ b = b ⊕ a,

a b=b a

3. Asociativas: a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c,

a (b c) = (a b) c

4. Absorciones: a (a ⊕ b) = a ⊕ (a b) = a
se dice que (U, ⊕, ) es un ret´ıculo. Si adem´as se cumplen las propiedades
5. Distributivas: a ⊕ (b c) = (a ⊕ b) (a ⊕ c),

a (b ⊕ c) = (a b) ⊕ (a c)

CAP´ITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

74

se dice que es un ret´ıculo distributivo. Si adem´as de estas cinco se cumplen tambi´en
las propiedades de
6. Cotas universales: ∃ 0, 1 ∈ U | 0 a = 0, 0 ⊕ a = a, 1 a = a, 1 ⊕ a = 1
7. Complemento: ∀a ∈ U ∃a ∈ U | a ⊕ a = 1, a a = 0
entonces se dice que (U, ⊕, , , 0, 1) es un ´algebra de Boole.
No es dif´ıcil comprobar que el conjunto Z2 := {0, 1} dotado de las operaciones
“suma l´ogica” (OR) y “producto l´ogico” (AND), dadas por las tablas de verdad
OR 0 1

AND 0 1

0 0 1
1 1 1

0 0 0
1 0 1

es un ´algebra de Boole.

3.2.1

Funciones booleanas

Si X e Y son dos conjuntos, sabemos que una funci´on
f :X → Y
x 7→ f (x)
definida en X (dominio) y con valores en Y es cualquier ley que hace corresponder
a cada elemento x ∈ X, un elemento bien definido (y s´olo uno) y ∈ Y . La ley que
define la funci´on viene dada a veces por una expresi´on algebraica, como por ejemplo
f: R → R
x 7→ x2 + 2x + 5,
que define una funci´on real de una variable real o
f : R2 → R
(x, y) 7→ x2 − y 2 ,
que define una funci´on real de dos variables reales. Pero otras veces la ley puede
venir expresada de cualquier otra forma tal que describa completamente la correspondencia entre todos los elementos de X con elementos de Y . Cuando el dominio
X es un conjunto finito, dicha ley se puede expresar en forma de tabla.
Una funci´on booleana de n variables x1 , x2 , . . . , xn , se define como una aplicaci´on
de Zn2 en Z2 , es decir
f : Zn2 → Z2
(x1 , . . . , xn ) 7→ f (x1 , . . . , xn )
Por ser Zn2 un dominio finito, una funci´on booleana siempre se puede expresar en
forma de tabla. La tabla que define una funci´on booleana se llama tabla de verdad
de la funci´on.

3.2. ALGEBRA DE BOOLE

75

Se dice que dos funciones booleanas f (x1 , . . . , xn ) y g(x1 , . . . , xn ) son equivalentes
si
f (x1 , . . . , xn ) = g(x1 , . . . , xn )
para todo xi ∈ Z2 , i = 1 . . . , n. Dicho de otro modo, dos funciones booleanas son
equivalentes si sus tablas de verdad coinciden.
Por ejemplo, las funciones f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 y g(x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 (x3 + x3 )
son equivalentes porque sus tablas de verdad,
x1
0
0
0
0
1
1
1
1

x2
0
0
1
1
0
0
1
1

x3
0
1
0
1
0
1
0
1

x1
0
0
0
0
1
1
1
1

f
0
0
0
0
0
0
1
1

x2
0
0
1
1
0
0
1
1

x3
0
1
0
1
0
1
0
1

g
0
0
0
0
0
0
1
1 ,

son iguales.
Formas can´
onicas
Evidentemente, la equivalencia de funciones booleanas es una relaci´on de equivalencia. Esta relaci´on permite dividir el conjunto de funciones booleanas de n variables
en clases de equivalencia. El representante can´onico de cada clase de equivalencia
no es u
´nico: tenemos la forma can´onica suma de min-terms, como por ejemplo
f (a, b, c, d) = abcd + abcd + abc!d
y la forma can´onica producto de max-terms, tal como
f (a, b, c, d) = (a + b + cd)(a + b + c + d)(a + bc + d).
Una funci´on booleana f (x1 , . . . , xn ) se dice que est´a expresada en la forma
can´onica suma de min-terms si viene dada en la forma
X

n
Y

(σ1 ,...,σn )∈Zn
2

j=1

f (x1 , . . . , xn ) =

σ

xj j f (σ1 , . . . , σn )

en donde
σ
xj j


=

xj si σj = 0
.
xj si σj = 1

Cada uno de los sumandos que componen la forma can´onica se llama t´ermino
can´onico o, a veces, t´ermino m´ınimo (min-term) o simplemente t´ermino.

CAP´ITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

76

Es f´acil ver que en un ´algebra de Boole con n variables existen 2n t´erminos
can´onicos diferentes. A modo ilustrativo, en la siguiente tabla se indican los minterms de las funciones booleanas de una, dos y tres variables.
minterms
f (x)
x, x
f (x, y)
xy, xy, xy, xy
f (x, y, z) xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz
Los min-terms se suelen identificar tambi´en por un n´
umero binario en el que
cada d´ıgito representa una variable negada si es cero, o sin negar si es uno. A´
un
de forma m´as compacta, un min-term se puede identificar por el n´
umero decimal
correspondiente al antedicho n´
umero binario. As´ı, por ejemplo, el min-term xyz se
identifica tambi´en por el n´
umero binario 010 o simplemente por el n´
umero decimal
2.
La forma can´onica de una funci´on booleana se puede obtener inmediatamente
a partir de su tabla de verdad. Para ello, indicando cada columna de la tabla por
σ
j = 1 . . . n, asociamos a cada fila de la tabla un producto xσ1 1 , . . . , xj j , . . . , xσnn y en
σ
σ
el mismo hacemos xj j = 1 si el elemento (i, j) de la tabla es 1 o bien xj j = 0 si el
elemento (i, j) de la tabla es 0. La expresi´on can´onica de f se obtiene como suma
de todos los productos obtenidos.
Otra forma de obtener la forma can´onica de una funci´on f (x1 , . . . , xn ) es partir de
una expresi´on cualquiera de la funci´on y multiplicar por (xi + xi ) todos los t´erminos
de la misma que no contengan la variable xi , para i = 1, . . . , n.

3.2.2

Simplificaci´
on de funciones booleanas

La forma can´onica de una funci´on es f´acil de obtener pero no siempre es la m´as
conveniente, sobre todo si pensamos en la realizaci´on f´ısica, ya que su expresi´on
puede resultar excesivamente larga. Simplificar una funci´on f consiste en obtener
otra funci´on g equivalente a f y con una expresi´on m´as simple.
La simplificaci´on de una funci´on conduce a una m´as simple y, en general, m´as
eficiente implementaci´on de la misma, bien sea por medio de un programa de ordenador o por medio de un circuito neum´atico, o el´ectrico o electr´onico.
Los m´etodos m´as utilizados para simplificar funciones booleanas son el Karnaugh
y el de Quine-McCluskey.
Los m´etodos de simplificaci´on de funciones l´ogicas consisten esencialmente en
aplicar la ley de complementaci´on x+x = 1 que, evidentemente, implica f ·(x1 +x1 ) ≡
f . Se puede ver que, tras aplicar repetidamente esta ley a la funci´on, con todas y
cada una de las variables, ´esta queda reducida a una suma de implicantes primos
(t´erminos irreducibles).

etodo de Karnaugh
Es un m´etodo gr´afico v´alido para funciones de hasta cuatro o cinco variables como
m´aximo. Dada una funci´on f (x1 , . . . , xn ) en forma can´onica, consiste en anotar los

3.2. ALGEBRA DE BOOLE

77

valores de la funci´on en una tabla, denominada mapa de Karnaugh, de tal forma que
los t´erminos can´onicos geom´etricamente adyacentes en la tabla se diferencian s´olo
en una variable. Esto se consigue f´acilmente poniendo en las casillas de cabecera de
filas y de columnas los n´
umeros binarios de dos cifras
00 01 11 10
que representan a un par de variables y que est´an ordenados de forma que para pasar
de uno cualquiera al siguiente solo cambia una cifra. Procediendo as´ı, creamos una
tabla de la forma
@cd 00
ab @
00 00
00
01 01
00
11 11
00
10 10
00

01 11 10
00
01
01
01
11
01
10
01

00
11
01
11
11
11
10
11

00
10
01
10
11
10
10
10

En esta tabla, cada casilla representa el t´ermino can´onico (min-term) de la funci´on
que se ha indicado en la misma. Se ve claramente que cada min-term difiere de los
adyacentes en s´olo un d´ıgito binario. Obs´ervese que la u
´ltima casilla de cada fila es
“adyacente” con la primera casilla de la misma fila ya que solo difieren en un d´ıgito.
Lo mismo ocurre por columnas.
L´ogicamente, no es necesario anotar los valores de los min-terms en cada casilla
porque son justo los valores de cabecera de su fila y columna.
@ab 00 01 11 10
cd @

00 0

1

1

0

01 0

1

1

0

11 1

1

1

0

10 1

1

1

0

@ab
01 11 10
cd @ 00 '
$
00 0 1 1 0

01 0

1

1

0

11 1

1

1

0

10 1

1

1

0

'$

&
&
%
%

b + b0 c

CAP´ITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

78

etodo de Quine-McCluskey

Si el n´
umero de variables es elevado, el m´etodo de Karnaugh resulta complicado
de utilizar (caso de cinco variables) o impracticable. En estos casos es aplicable
el m´etodo tabular de Quine-McCluskey. Dada una funci´on en forma can´onica de
suma de min-terms, este m´etodo consiste en ir combinando unos t´erminos con otros,
de forma sistem´atica y en sucesivas iteraciones, hasta encontrar un conjunto de
implicantes primos en cada uno de los cuales se ha eliminado el mayor n´
umero posible
de variables. Con este conjunto de implicantes primos, el usuario (posiblemente
ayudado de alg´
un algoritmo o programa) ha de seleccionar un subconjunto minimal
que cubra la funci´on. Lo introduciremos con un ejemplo.
Ejemplo 3.2.1 Sea la funci´on
f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = Σ(0, 7∗ , 9, 12∗ , 13, 15)
En primer lugar escribimos la tabla
i

min-terms

0
7∗
9
12∗
13
15

0
0
1
1
1
1

0
1
0
1
1
1

0
1
0
0
0
1

0
1
1
0
1
1

cuya primera columna es el ´ındice de los t´erminos para los que la funci´on vale uno
y, marcados con un asterisco (∗ ), los t´erminos indiferentes, es decir, aquellos para
los que, f´ısicamente, no importa que el valor de la funci´on sea cero o uno.
Ordenamos la tabla, de menor a mayor, por el n´
umero u de unos que contiene
cada t´ermino, con lo que la tabla queda dividida en grupos de t´erminos con cero
unos, con un uno, con dos unos, con tres unos, etc. Podemos trazar una l´ınea
separando cada grupo del siguiente. Como no hay t´erminos con un u
´nico uno, ese
grupo queda vac´ıo.
u
i 1-term
0
1
2
3
4

0
9
12∗
7∗
13
15

0000
1
1
0
1
1

0
1
1
1
1

0
0
1
0
1

1
0
1
1
1

En esta tabla, cada grupo difiere del siguiente en un solo uno y, por tanto, se puede
combinar cada t´ermino de un grupo con uno del siguiente.
Procedamos a combinar los t´erminos cada grupo. Como no hay t´erminos en el
grupo u = 1, el t´ermino 0 0 0 0 no se puede combinar con ninguno. Pasando al

3.2. ALGEBRA DE BOOLE

79

grupo u = 2, el t´ermino 1 0 0 1 se puede combinar con el t´ermino 1 1 0 1 grupo
siguiente, u = 3,

1001
→ 1 - 1 1,
1101
dando lugar al t´ermino 1 - 1 1, o sea x1 x3 x4 . El t´ermino 1 1 0 0 se puede combinar
con el mismo t´ermino 1 1 0 1 que el anterior,

1100
→ 1 1 0 -,
1101
dando lugar al t´ermino 1 1 0 -, o sea x1 x2 x3 .
Como ya hemos terminado de combinar todos los elementos del grupo u = 2,
pasamos a los del grupo n = 3. En este grupo el t´ermino 0 1 1 1 se puede combinar
con el t´ermino 1 1 1 1 del u
´ltimo grupo, u = 4,

0111
→ - 1 1 1,
1111
dando lugar al t´ermino - 1 1 1, o sea x2 x3 x4 . Por u
´ltimo, el t´ermino 1 1 0 1 se puede
combinar tambi´en con el t´ermino 1 1 1 1

0111
→ 1 1 - 1,
1111
dando lugar al t´ermino 1 1 - 1, o sea x1 x2 x4 .
Todo este proceso puede resumirse en la tabla siguiente.
u

i

1-term 2-term

0
1
2

0

0000 0000

3
4

9
12∗
7∗
13
15

1
1
0
1
1

0
1
1
1
1

0
0
1
0
1

1
0
1
1
1

1
1
1

1
1
1

1
0
1
-

1
1
1

En esta tabla, ning´
un t´ermino de la u
´ltima columna puede combinarse y el
proceso termina. Sin tomar t´erminos indiferentes, la funci´on l´ogica simplificada es
f = x1 x2 x3 x4 + x1 x3 x4 + x1 x2 x4 .
Un t´ermino indiferente puede aprovecharse si cubre m´as de un min-term.
Algoritmo de Quine
Como ya se ha indicado, el m´etodo de Quine-McCluskey, lo mismo que el de Karnaugh, se basa en utilizar repetidamente la ley a + a = 1. Dada una funci´on f en
forma can´onica de suma de m min-terms, el algoritmo es el siguiente:

CAP´ITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

80

1. Poner todos los min-terms en una lista, ordenados de alguna forma de 1 a m.
2. para i desde 1 hasta m − 1 hacer
Elegir el t´ermino i-´esimo, Ti , de la lista
para j desde i + 1 hasta m hacer
Tomar el t´ermino j-´esimo, Tj , de la lista
Simplificar, si es posible, la expresi´on Ti + Tj , aplicando la ley a + a = 1
y poner el t´ermino simplificado en una nueva lista.
3. Volver al paso 1 con la nueva lista obtenida y repetir el algoritmo
4. El algoritmo termina cuando no es posible simplificar m´as.
Este algoritmo, aunque correcto, tiene el inconveniente de que exige un gran
coste computacional si el n´
umero de variables es elevado. Una adecuada ordenaci´on
de la lista original permite mejorar la estrategia de operaci´on.
El programa quine.c que se incluye a continuaci´on implementa el algoritmo y se
puede utilizar para simplificar funciones l´ogicas. Al ejecutarlo (en la forma indicada
en el propio programa), calcula y muestra en pantalla la “matriz de implicantes
primos”, que indica los implicantes primos obtenidos, y la “matriz de cubrimiento”,
que indica los min-terms que cubre cada implicante primo.

3.3. SISTEMAS COMBINACIONALES

81
for (i=0; i<n1-1; i++) {
if (H[i] != 3) {
for (j=i+1; j<n1; j++) {
if (H[j] != 3) { f1 = 0;
// busca elementos a combinar
for (k=0; k<n2; k++) {
if (M[i][k] != M[j][k]) {
f1 = f1+1; f2 = k+1;
if (f1 > 1) goto fuera; } }
if (f1 != 0) { H[i] = 1; H[j] = 1;
// formacion matriz salida
for (k=0; k<n2; k++) {
if (k+1==f2) N[l1][k] = 2;
else N[l1][k] = M[i][k];
}
for (k=0; k<m6; k++) {
D[l1][k] = G[i][k];
D[l1][m6+k] = G[j][k]; }
l1 = l1+1;
}
else H[j] = 3;
}
fuera:
}
}
}
k5 = 0;
for (i=0; i<n1; i++) {
if (H[i]==0) { m5 = m5+1;
for (k=0; k<n2; k++) Z[m5-1][k] = M[i][k];
for (k=0; k<m6; k++) Y[m5-1][G[i][k]] = 1;}
else { if (H[i]=1) k5 = 1; }
}
if (k5 == 1){
m6 = 2*m6; n1 = l1;
for (i=0; i<l1; i++) {
for (j=0; j<m6; j++) G[i][j] = D[i][j];
for (j=0; j<n2; j++) M[i][j] = N[i][j]; }
goto lazo;
}
else{
printf("Matriz de implicantes primos\n");
for (i=0; i<m5; i++) {
for (j=0; j<n2; j++) printf("%d ",Z[i][j]);
printf("\n"); }
printf("Matriz de cubrimiento\n");
for (i=0; i<m5; i++) {
for (j=0; j<n9; j++) printf("%d ",Y[i][j]);
printf("\n"); }
}
return(0);

//
// Programa quine
//
// Para simplificar una funci´
on l´
ogica:
// 1) poner en archivo la funci´
on, p.ej.,
//
// 6 4 // significa n.terms=6 n.vars=4
// 0 1 1 1
// lista de minterms
// 0 1 1 0
//
.
// 1 1 1 1
//
.
// 1 0 1 1
//
.
// 0 0 0 0
//
.
// 1 0 0 1
//
.
//
// 2) Compilar el programa:
//
cc -o quine quine.c (bajo Linux)
// 3) Ejecutarlo: ./quine < archivo
//
#include <stdlib.h>
#define nv 10
#define nt 40
#define h2 nt/2
#define ng nt/3
#define ny nt-ng
int main( int argc, char **argv )
{
int M[nt][nv] = {0};
int N[nt][nv] = {0};
int H[nt] = {0};
int G[nt][ng] = {0};
int D[nt][ng] = {0};
int Z[h2][nv] = {0};
int Y[h2][ny] = {0};
int i,j,k,k5,l1,m5,m6,n1,n2,n9,f1,f2;
int (*pm)[nv];
pm = M;
// lectura de los datos de entrada
scanf("%d %d", &n1, &n2);
n9 = n1;
for (i=0; i<n1; i++){
for (j=0; j<n2; j++){
scanf("%d", &pm[i][j]);
}
scanf("\n");
G[i][0]=i;
}
m5 = 0; m6 = 1;
lazo:
l1 = 0;
for (i=0; i<n1; i++) H[i] = 0;

3.3

}

Sistemas combinacionales

Un sistema combinacional es un sistema de control que tiene p entradas u1 (t), . . . , up (t) ∈
Z2 y q salidas y1 (t), . . . , yq (t) ∈ Z2 , tales que, para todo t ∈ I cada una de ellas es
una funci´on booleana de las entradas, es decir,
yi (t) = fi (u1 (t), . . . , up (t)),

i = 1 . . . q.

En el caso de tiempo continuo (sistemas digitales as´ıncronos) el dominio I es un
intervalo de R mientras que si el tiempo es discreto (sistemas digitales s´ıncronos) el

CAP´ITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

82
dominio de las funciones es

I = {t0 , t0 + T, . . . , t0 + kT, t0 + 2kT, . . .},
u1 (t)-

y1 (t)-

u2 (t)-

y2 (t)-

..
.

S.C.

up (t)-

t0 , T ∈ R.

..
.
yq (t)-

En los sistemas combinacionales se asume que los valores de las salidas en un
instante determinado t s´olo dependen de los valores que en ese mismo instante tengan
las entradas. En la realidad f´ısica ´esto no es as´ı, sino que desde que cambia el valor
de las entradas hasta que el sistema cambia de estado transcurre un cierto tiempo si
bien, como el sistema evoluciona con gran rapidez, se da por v´alida tal suposici´on.
Los sistemas combinacionales m´as sencillos son las funciones l´ogicas elementales:
not, and, or, nend, nor y xor. Estas funciones tienen una gran aplicaci´on pr´actica ya
que conect´andolas adecuadamente es posible realizar cualquier funci´on l´ogica. Otros
sistemas combinacionales importantes son los codificadores, los decodificadores, los
multiplexores y los demultiplexores.
Funciones l´
ogicas elementales
Se llaman funciones l´ogicas elementales a las funciones l´ogicas m´as simples que
pueden construirse utilizando los operadores l´ogicos. Estas funciones se pueden
realizar f´ısicamente mediante diferentes tecnolog´ıas, como la el´ectrica, la neum´atica
y la electr´onica, dando lugar a dispositivos l´
ogicos que, a su vez, sirven para construir
automatismos de distintas clases. Cada funci´on l´ogica tiene un s´ımbolo, dado por
la norma ISO, aunque se usan a veces otros s´ımbolos en electr´onica y en otras
tecnolog´ıas.
Funci´
on NOT
Esta funci´on realiza la operaci´on de negaci´on de una variable z = x. Su tabla de
verdad y su s´ımbolos, DIN e ISO, son
x z
0 1
1 0

x

d

z

x

z

Funci´
on AND
Esta funci´on realiza la operaci´on de producto ordinario en Z2 , o conjunci´on l´ogica,
entre varias variables. La tabla de verdad z = (x and y) para dos variables y su

3.3. SISTEMAS COMBINACIONALES

83

s´ımbolos, DIN e ISO, son
x
0
0
1
1

y
0
1
0
1

z
0
0
0
1

xy-

&

z-

x
y

z

Funci´
on OR
Esta funci´on realiza la operaci´on de suma ordinaria en Z2 , o disyunci´on l´ogica, entre
varias variables. La tabla de verdad z = (x or y) para dos variables y su s´ımbolos,
DIN e ISO, son
x
0
0
1
1

y
0
1
0
1

z
0
1
1
1

xy-

≥1

z-

x
y

z

Funci´
on NAND
Esta funci´on es el complemento en Z2 de la funci´on and entre varias variables. La
tabla de verdad z = (x nand y) para dos variables y su s´ımbolos, DIN e ISO, son
x
0
0
1
1

y
0
1
0
1

z
1
1
1
0

xy-

&

d z-

x
y

z

Obs´ervese que el s´ımbolo de esta funci´on se obtiene colocando un peque˜
no c´ırculo
(◦), que representa la negaci´on l´ogica, tras el s´ımbolo de la funci´on and.
Funci´
on NOR
Esta funci´on es el complemento en Z2 , de la funci´on or entre varias variables. La
tabla de verdad z = (x nand y) para dos variables y su s´ımbolos, DIN e ISO, son
x
0
0
1
1

y
0
1
0
1

z
1
0
0
0

xy-

z
≥1 d -

x
y

z

Igual que en la nand, el s´ımbolo se obtiene colocando (◦) tras el bloque de la funci´on
or.

CAP´ITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

84
Funci´
on XOR

La funci´on xor, o disyunci´on exclusiva, vale 1 si todas las variables de entrada son
iguales, es decir si son todas igual a uno o todas igual a cero, y vale 1 en caso
contrario, es decir siempre y cuando haya variables de entrada con valor diferente.
La tabla de verdad z = (x xor y) para dos variables y su s´ımbolos, DIN e ISO, son
x
0
0
1
1

3.4

y
0
1
0
1

z
1
0
0
1

xy-

=1

x
y

d z-

z

Sistemas secuenciales

Un sistema secuencial es un sistema de control que tiene, como un combinacional,
p entradas u1 (t), . . . , up (t) ∈ Z2 y q salidas y1 (t), . . . , yq (t) ∈ Z2 , pero que adem´as
tiene otras n variables,
x1 (t), . . . , xn (t) ∈ Z2 ,
llamadas variables de estado, cuyos valores dependen de alguna manera del comportamiento del sistema en instantes anteriores a t.

u1 (t)u2 (t)..
.
up (t)-

y1 (t)x1 (t)
x2 (t)
..
.
xn (t)

y2 (t)..
.
yq (t)-

Ahora cada una de las salidas es una funci´on booleana de las entradas y de
los estados, para todo t ∈ I ⊂ R, en donde I es un intervalo o una sucesi´on de
valores de R. Sin embargo la expresi´on general de esta funci´on resulta complicada
ya que debe incluir los valores de los estados para instantes anteriores a t. Se puede
emplear, cuando sea posible, el modelo de estado (ecuaci´on diferencial) estudiado
en la teor´ıa de control. Sin embargo se han ido desarrollado otros modelos, primero
las M´
aquinas de estados, m´as tarde las Redes de Petri y el Grafcet y, recientemente,
las cartas de estado o Statecharts.
Los sistemas secuenciales se llaman sistemas con memoria porque tienen unos
registros internos con capacidad para almacenar las variables de estado.

´
3.5. MAQUINAS
DE ESTADOS

3.5

85


aquinas de estados

Una m´aquina de finitos estados (o simplemente m´aquina de estados) es un sistema
secuencial que posee un n´
umero finito q de entradas, un n´
umero finito N ≤ en de
estados (n es el n´
umero de variables de estado) y un n´
umero finito p de salidas. Tanto
las se˜
nales de entrada como las de salida y las de estado, toman valores binarios. Si
definimos los conjuntos
U := Zq2 ,

X := Zn2 ,

Y := Zp2 ,

(3.1)

entonces podemos decir que la entrada (vector) es u(t) ∈ U , la salida (vector) es
y(t) ∈ Y y el estado (vector) es x(t) ∈ X, siendo t ∈ R la variable que representa el
tiempo.
A veces (teor´ıa de gram´aticas formales) se consideran estos conjuntos como conjuntos de s´ımbolos cualesquiera pero aqu´ı vamos a seguir las definiciones dadas en A
veces (teor´ıa de gram´aticas formales) se consideran ´estos como conjuntos de s´ımbolos
cualesquiera pero aqu´ı vamos a seguir las definiciones dadas en (3.1).
Por ser la m´aquina de estados un sistema de control, las se˜
nales de entrada
pueden cambiar en su evoluci´on en el tiempo y ´esto hace que cambien tambi´en las
se˜
nales de estado y las de salida. En la teor´ıa de aut´omatas se han descrito dos
tipos de m´aquinas de estado: el aut´omata de Mealy y el aut´omata de Moore. Se
diferencian u
´nicamente por la forma de definir la funci´on de salida. Para simplificar
la escritura de las expresiones, se omite la dependencia respecto de t de las funciones.

3.5.1

Aut´
omata de Mealy

Un aut´omata de Mealy se define como una quintupla
M1 = {U, Y, X, f, g}
en donde U, Y y X, definidos en (3.1), son los conjuntos de valores de entrada, de
salida y de estado, respectivamente, y las funciones f y g definen las dependencias
entre la entrada, el estado y las salidas. La funci´on que define el estado es
f :U ×X → X
(u, x) 7→ x = f (u, x)
y la funci´on que da la salida,
g :U ×X → Y
(u, x) 7→ y = f (u, x)

3.5.2

Aut´
omata de Moore

Un aut´omata de Moore se define como una quintupla
M1 = {U, Y, X, f, g}

CAP´ITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

86

en donde U, Y y X, definidos en (3.1), son los conjuntos de valores de entrada, de
salida y de estado, respectivamente, y las funciones f y g definen las dependencias
entre la entrada, el estado y las salidas. La funci´on que define el estado es
f :U ×X → X
(u, x) 7→ x = f (u, x)
y la funci´on que da la salida,
g:X → Y
(x) 7→ y = f (x)
Dado un aut´omata de Mealy siempre se puede encontrar aut´omata de Moore
equivalente (es decir, tal que para una misma entrada da siempre la misma salida)
y viceversa. Por ser m´as simple se utiliza m´as el de More.

3.5.3

Tablas de estado

Como los conjuntos U de entrada, Y de salida y X de estado son finitos, las funciones
f y g que definen el comportamiento de un aut´omata (de Mealy o de Moore) pueden
darse en forma tabular. La funci´on f tabulada se llama tabla de transici´
on mientras
que la g se llama tabla de salida.
Para el aut´omata de Mealy, las tablas son de la forma

x1
x2
..
.

u1
x1,1
x2,1
..
.

u2
x1,2
x2,2
..
.

...
...
...

u 2q
x1,2q
x2,2q
..
.

x1
x2
..
.

u1
y1,1
y2,1
..
.

u2
y1,2
y2,2
..
.

...
...
...

u 2q
y1,2q
y2,2q
..
.

x2n x2n ,1 x2n ,2 . . . x2n ,2q

x2n y2n ,1 y2n ,2 . . . y2n ,2q

Tabla de transici´on f (x, u)

Tabla de salida g(x, u)

y para el de Moore,
u 2q
x1,2q
x2,2q
..
.

x1
x2
..
.

y1
y2

x2n x2n ,1 x2n ,2 . . . x2n ,2q

x 2n

y 2n

x1
x2
..
.

u1
x1,1
x2,1
..
.

u2
x1,2
x2,2
..
.

...
...
...

Tabla de salida f (x, u)

Tabla de salida g(x)

Con estas tablas queda completamente descrita una m´aquina de estados. Obs´ervese
que, en ambos casos, el tama˜
no (m´aximo) de la tabla de transici´on es de (2n × 2q )
casillas.

´
3.5. MAQUINAS
DE ESTADOS

3.5.4

87

Diagramas de estado

El diagrama de estado de una m´aquina de estados con N ≤ 2n estados, q entradas
y p salidas, es un grafo orientado que contiene la misma informaci´on que las tablas
de transici´on y de salida pero que expresa de forma m´as clara, si cabe, la naturaleza
secuencial del sistema. El grafo tiene N v´ertices, cada uno de los cuales va etiquetado
con un n´
umero o nombre correspondiente al estado, y q aristas, cada una etiquetada
con un valor de la entrada. En el aut´omata de Mealy las etiquetas de las salidas se
ponen en las aristas, tras las de las entradas y separadas de ellas por /, mientras
que en el de Moore van en los estados, separadas de sus etiquetas por /.
A continuaci´on se dan dos ejemplos de dos m´aquinas de estados. El primero
corresponde a un aut´omata de Mealy con 3 estados, etiquetados A, B y C, una
entrada u y una salida y. Sus tablas de transici´on y salida y su diagrama de estados
son:
0/0

u
[email protected]@
A = 00
B = 01
C = 10
11

0

1

00
01
00


01
10
01


u
[email protected]@
A = 00
B = 01
C = 10
11

0

1

0 0
0 0
0 1
− −
1/0

Tabla de transici´on

Tabla de salida


@GA
FAB
ECD
Y33

33


33


1/0
330/0

33


33


3
1/1

s
@GA
FB
ECD
FCB
ECD
[email protected]
4 B
0/0

El segundo corresponde a un aut´omata de Moore con 4 estados, etiquetados A, B,
C y D, una entrada u y una salida y. Sus tablas de transici´on y de salida y su
diagrama de estados son:
0

u
[email protected]@
A = 00
B = 01
C = 10
D = 11

0

1

00
10
00
10

01
01
11
01

x y
A = 00
B = 01
C = 10
D = 11

0
0
0
1
1

Tabla de transici´on

Tabla de salida


@GA/
FB
A
E0CD
X11

11


11

1

110

11


11



0
@GB/
FB
A
ECD
@G/ C/
A
FB
E0CDs
4 0e

0

FB
A
ECD
[email protected]/1

1

1

Obs´ervese que, en cualquiera de los dos casos, a partir de las tablas de transici´on
y de salida se obtiene el diagrama de estados, y viceversa.

3.5.5

Dispositivos biestables

Los biestables son los sistemas secuenciales m´as simples. Tienen una o dos entradas
u1 , u2 , una u
´nica variable de estado, denotada por Q, y una salida y1 = Q. Los
biestables electr´onicos suelen incorporar la salida adicional y2 = Q.

CAP´ITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

88

Si el valor del estado en el instante t es es Qt entonces el valor del estado en un
instante posterior se denota Qt+1 y su valor es
Qt+1 = f (Qt , u1, u2),
en donde f es la funci´on l´ogica propia del biestable, dada por su tabla de transici´on.
Los biestables pueden ser as´ıncronos o s´ıncronos. Estos u
´ltimos tienen una entrada
adicional Clk por la que entra una se˜
nal de reloj que es una se˜
nal cuadrada de la
forma
Clk
1
0

t

El valor de la salida se actualiza en determinados instantes definidos por esta se˜
nal,
muchas veces en los flancos de bajada indicados en la figura).
Biestable R-S
Es el biestable as´ıncrono b´asico. Su funcionamiento se basa en el esquema de dos
puertas OR que se indica en la figura.
S

Q

_
Q

R

Cada una de las puertas OR tiene una entrada que se realimenta de la salida de la
otra puerta. Se comprueba con facilidad que la tabla de transici´on es:
SR
[email protected]

@ 00 01 11 10

0
1

0
1

0
1




1
0

S

Q

S

Q

R

Q

Clk

R

Q

La combinaci´on de entradas “11” no est´a permitida al usuario porque si ponemos
R = S = 1 entonces el biestable dar´ıa Q = Q = 0 (contradicci´on). Junto a la tabla
de transici´on aparecen los s´ımbolos de los biestables RS as´ıncrono y s´ıncrono.

Cap´ıtulo 4
Sistemas reactivos
Los sistemas reactivos son sistemas de control que est´an comandados por eventos:
sistemas que est´an permanentemente reaccionando a est´ımulos externos e internos.
Los tel´efonos, autom´oviles, redes de comunicaci´on, sistemas operativos de ordenadores, sistemas de aviaci´on, y las interfaces hombre-m´aquina de muchas clases de
software ordinario son ejemplos de sistemas reactivos.
El problema del modelado de estos sistemas radica en la dificultad de describir
el comportamiento reactivo de una manera clara, realista y al mismo tiempo lo
suficientemente formal y rigurosa como para servir de base para detallada simulaci´on
computerizada del sistema.
Los primeros modelos (aun hoy utilizados) de los sistemas de eventos discretos
fueron las m´aquinas de estados y sus correspondientes diagramas estado-transici´on
o diagramas de estado. Estos diagramas son grafos dirigidos cuyos nodos denotan
estados y cuyas flechas denotan transiciones.
Sin embargo, los diagramas de estado no son adecuados para modelar sistemas
complejos debido a la gran cantidad, exponencialmente creciente, de estados que
precisan. Adem´as los estados est´an agrupados de una forma no estratificada. Por
todo esto, el diagrama de estado de sistema de mediana complejidad resulta desestructurado, de gran dimensi´on y de dif´ıcil manejo.
Posteriormente se han desarrollado modelos, entre los cabe citar por su importancia los siguientes:
• Redes de Petri
• Grafcet
• Cartas de estado (Statecharts)
Las redes de Petri, junto con algunos otros modelos algebr´aicos, son los modelos
matem´aticos m´as formales.
El modelo Grafcet, sencillo de aprender y de utilizar, se utiliza mucho actualmente y ha sido adoptado por varios fabricantes de aut´omatas como modelo b´asico.
Las cartas de estado son probablemente el modelo m´as completo de los que se
conocen actualmente.
89

CAP´ITULO 4. SISTEMAS REACTIVOS

90

4.1

Modelos de sistemas productivos

Automatizar un sistema de producci´on consiste en reducir la intervenci´on humana
a lo largo del proceso de fabricaci´on, optimizar la utilizaci´on de los materiales y de
las energ´ıas empleando nuevas tecnolog´ıas y conseguir unas mejores prestaciones y
una mejor calidad del producto terminado.
Aunque el modelo de un sistema productivo es bastante complejo, para muchas
aplicaciones de automatizaci´on local podemos admitir que est´a compuesto por dos
subsistemas, uno reactivo (parte de comando) y otro activo (parte operativa), que
interaccionan entre s´ı. La parte de comando es b´asicamente una m´aquina de estados que en la pr´actica se implementa mediante un automatismo o mediante un
aut´omata programable. La parte operativa es el sistema de producci´on propiamente dicho (cintas transportadoras, manipuladores, m´aquinas, etc.). Ambas partes se
comunican entre s´ı en los dos sentidos: la parte operativa env´ıa eventos a la parte
de comando y ´esta, en respuesta, env´ıa ´ordenes de control a la parte operativa.

4.2

Grafcet

El Grafcet (Graphe de Comands Etape/Transition) es un sistema gr´afico de modelado de automatismos secuenciales. Fue introducido en Francia por P. Girauld, en
su tesis doctoral. La norma IEC-848 da una completa descripci´on de Grafcet y ha
sido adoptada por diversos fabricantes para crear interfaces gr´aficas de usuario que
facilitan la programaci´on de sus de aut´omatas programables.
El Grafcet es aplicable, por principio, a un sistema automatizado de producci´on
compuesto de dos partes: una parte operativa (PO) y una parte de comando (PC).

órdenes

P.C.

P.O.
eventos

Figura 4.1: Sistema automatizado de producci´on

La parte operativa est´a formada por los diversos dispositivos que interact´
uan
sobre el producto: preactuadores, actuadores y captadores. Los preaccionadores
act´
uan como rel´es de potencia entre el mando y los actuadores que se encargan
de transformar el producto. Los captadores recogen informaciones como posici´on
del producto, alarmas, etc., que reflejan el estado del proceso en todo momento.
Los cambios en el estado del proceso medidos por los captadores son entradas que
provocan que el sistema de mando responda de la forma adecuada para la que ha
sido dise˜
nado.

4.2. GRAFCET

91

La Parte de Comando (PC) est´a integrada por los equipos de control: computadores, procesadores o aut´omatas, junto con los programas y todos los datos
precisos.
El Grafcet se compone de los siguientes elementos b´asicos:
• Etapas o estados a las que van asociadas acciones
• Transiciones a las que van asociadas receptividades
• Uniones orientadas que unen etapas y transiciones.
• Segmentos paralelos.
Etapas
Un sistema din´amico de cierta complejidad evoluciona en el tiempo siguiendo una
determinada secuencia de actividades de trabajo o etapas. Una etapa representa
un estado o modo de funcionamiento estable del sistema o de una parte del mismo.
En cada etapa, la Parte de Comando del sistema (al menos la parte asociada a esa
etapa) se mantiene invariable.
En Grafcet, cada etapa se representa por un rect´angulo en que se escribe un

umero n que indica su n´
umero de orden. En cada momento, el sistema tiene una o
varias etapas activas (las que est´an actualmente en funcionamiento) que se marcan
con un peque˜
no c´ırculo negro.
n

Figura 4.2: Etapa
Las primera etapa que se activa al iniciar el Grafcet se llama etapa inicial. Un
Grafcet ha de tener al menos una etapa inicial, pero puede tener varias. Estas etapas
se encuadran en un doble rect´angulo.
Cada etapa puede llevar asociada una o m´as acciones. Estas acciones se describen, literal o simb´olicamente, en de uno o en varios rect´angulos unidos por una
l´ınea al rect´angulo de la etapa. Seg´
un la norma IEC-848, una acci´on puede estar
precedida por un car´acter que indica su tipo:
C: Acci´on condicionada
D: Acci´on retardada
L: Acci´on limitada en el tiempo
P: Impulso
S: Acci´on memorizada

CAP´ITULO 4. SISTEMAS REACTIVOS

92
0

Acción A

R01

1

Acción B

R12

2

Acción C

Figura 4.3: Grafcet

Transiciones
Las transiciones se representan con un peque˜
no segmento horizontal que corta la
l´ınea de enlace entre dos etapas. Son etapas de entrada a una transici´on todas las
etapas que conducen a una transici´on. Son etapas de salida a una transici´on las
etapas que salen de una transici´on.
La condici´on o condiciones que se deben cumplir para poder pasar una transici´on
reciben el nombre de receptividades. En una transici´on podemos tener:
• Una condici´on simple
• Una funci´on booleana
• La se˜
nal de un temporizador o contador
• La activaci´on de otra etapa del Grafcet
Cada transici´on se une con la etapa anterior y con la siguiente mediante unas
rectas horizontales y verticales llamadas l´ıneas de enlace. Las l´ıneas de enlace que
tienen sentido ascendente se marcan en el centro con una punta de flecha.
Segmentos paralelos
En un Grafcet se pueden representar varios procesos que evolucionan de forma concurrente. Esto se hace disponiendo varias secuencias verticales, en paralelo, de
etapas y transiciones. La sincronizaci´on de estos procesos se hace posible mediante
unos segmentos paralelos horizontales. Por ejemplo, en la figura 4.4 los procesos que
se inician en las etapas n + 1 y n + 2 discurren en paralelo y est´an sincronizados

4.2. GRAFCET

93

n

R

n+1

n+2

Figura 4.4: Grafcet

con el proceso que finaliza en la etapa n. Si est´a activa la etapa n y se cumple la
receptividad R entonces, en ese instante y simult´aneamente, pasar´an a ser activas
las etapas n + 1 y n + 2.
Este tipo de conexi´on sincronizada entre un proceso simple y varios otros en paralelo se llama divergencia AND. M´as adelante veremos algunas otras posibilidades.

4.2.1

Reglas de funcionamiento

El funcionamiento del modelo Grafcet viene definido por cinco reglas o condiciones
b´asicas.
1. Regla de activaci´on inicial: en el instante inicial s´olo se activan las etapas
iniciales y esta activaci´on es incondicional.
2. Condici´on de validaci´on: para que una etapa pueda activarse es necesario que
si le precede una u
´nica etapa entonces ´esta est´e activada y si le preceden varias
etapas en paralelo entonces todas ellas est´en activadas.
3. Condici´on de franqueo de una transici´on: una transici´on es franqueada si,
y s´olo si, la receptividad asociada es verdadera. Franquear una transici´on
significa: primero desactivar la etapa o etapas precedentes y a continuaci´on
activar la etapa o etapas siguientes.
4. Regla de franqueo simult´aneo: todas las transiciones franqueadas en un determinado instante son franqueadas simult´aneamente.
5. Regla de conflicto de activaci´on: si una etapa ha de ser desactivada y activada
simult´aneamente, debido al franqueo simult´aneo de las transiciones siguiente
y anterior, entonces permanece activa.

CAP´ITULO 4. SISTEMAS REACTIVOS

94

4.2.2

Estructuras b´
asicas

Son las configuraciones que sirven para modelar ciertas situaciones interesantes de
los sistemas de eventos discretos y que se utilizan frecuentemente en Grafcet.
Secuencia simple

La mas sencilla de todas las estructuras es
la secuencia simple. Como su nombre indica,
consta de una serie de etapas seguidas . . ., n,
n + 1, . . . que se ir´an activando una tras otra
seg´
un se vayan validando las correspondientes receptividades . . . , Rn , Rn+1 , Rn+2 , . . ..

n

Rn
n+1

Rn+1
n+2

Divergencia OR
Representa la posibilidad de bifurcaci´on entre secuencias simples. Estando activa la etapa n, final de una secuencia simple, y seg´
un
cual sea la receptividad Ra , Rb , . . . que se valide en primer lugar, el sistema pasar´a a una
de las etapas n + 1, n + 2, . . ., de inicio de
respectivas secuencias simples.

n

Ra

Rb

n+1

n+2

m−2

m−1

Convergencia OR
Es la estructura rec´ıproca de la anterior. Indica que un sistema con varias posibles secuencias simples puede pasar desde una de
las etapas finales m − 1, m − 2, . . ., en paralelo, a la etapa siguiente n que es el inicio de
otra secuencia simple. Dicho paso se dar´a en
el instante en que una de las receptividades
Rc , Rd , . . . que anteceden a la etapa n se haga
v´alida.
Divergencia AND

Rc

Rd

m

4.2. GRAFCET

95

n

El s´ımbolo l´ogico AND indica simultaneidad.
La estructura llamada divergencia AND permite modelar el paso de un proceso de secuencia u
´nica a otro con varias secuencias
concurrentes. Si el sistema se encuentra en
la etapa n y la transici´on R se hace v´alida,
entonces, en ese mismo instante, se activan
simult´aneamente las etapas n + 1 y n + 2.

R

n+1

n+2

m−2

m−1

Convergencia AND
Es la estructura rec´ıproca de la anterior. Representa el paso simult´aneo desde varias secuencias concurrentes, que terminan en las
etapas m − 1, m − 2, . . ., a una secuencia
u
´nica que empieza en la etapa m. Para que
en un instante dado se produzca el paso, es
necesario que en dicho instante sean v´alidas
todas las receptividades Rc , Rc , . . .

Rc

Rd

m

Saltos
n

En Grafcet son posibles los saltos condicionales, con la condici´on expresada en la receptividad
de una transici´on, y los incondicionales. Los saltos pueden ser
hacia adelante o hacia atr´as, siendo ´estos u
´ltimos f´acilmente identificables por la punta de flecha
indicada de la linea de enlace hacia atr´as. En la figura se indican
algunas posibilidades.

4.2.3

n

a

a

n+1

n+1

b
n+2

b
B

n+2

a
n+1

n+2

c

b
n+2

c
n+2

d
n+2

n

c
n+2

d
n+2

F

d
n+2

Posibilidades avanzadas

Grafcet no s´olo vale para hacer modelos de sistemas de eventos discretos con estructura simple sino que tambi´en ofrece la posibilidad de modelar sistemas m´as
complejos. Para ello cuenta con algunas caracter´ısticas avanzadas, tales como el
paralelismo, la sincronizaci´on y la jerarqu´ıa.

CAP´ITULO 4. SISTEMAS REACTIVOS

96
Paralelismo

Grafcet permite el paralelismo. Es posible activar varias etapas a la vez en el estado
inicial. Tambi´en permite, mediante los segmentos paralelos, modelar el paso de un
proceso secuencial simple a un proceso compuesto por varias secuencias que trabajan
en paralelo.
Sincronizaci´
on
Es la posibilidad de que dos o m´as etapas se activen a la vez. El paralelismo exige
muchas veces la sincronizaci´on entre etapas, siempre que al final de una proceso
con secuencia simple haya que empezar otro de secuencia en paralelo m´
ultiple, o
viceversa. Los segmentos paralelos de Grafcet brindan esta posibilidad.

4.2.4

Jerarqu´ıa

Macro-etapas La posibilidad de que un proceso pueda albergar a otros como subprocesos se denomina jerarqu´ıa.

4.2.5

Comunicaci´
on

Es la posibilidad de que dos procesos puedan comunicarse entre s´ı, es decir, puedan
enviarse m´
utuamente mensajes.

4.3

Cartas de estado

Para poder ser u
´til, un modelo ha de ser modular, jer´arquico y bien estructurado.
Para resolver el problema del crecimiento exponencial se impone relajar el requisito
de que todas las combinaciones de estados tengan que representarse expl´ıcitamente.
Adem´as deber´ıa tambi´en atender de modo natural a especificaciones m´as generales
y flexibles, tales como
• Capacidad de agrupar varios estados en un superestado.
• Posibilidad de ortogonalidad o independencia (paralelismo) entre ciertos estados.
• Necesidad de transiciones m´as generales que la flecha etiquetada con un simple
evento.
• Posibilidad de refinamiento de los estados.
Las cartas de estado statecharts cumplen todos estos requisitos. Constituyen un
formalismo visual para describir estados y transiciones de forma modular, permitiendo el agrupamiento de estados, la ortogonalidad y el refinamiento, y permiten
la visualizaci´on tipo ”zoom”entre los diferentes niveles de abstracci´on [5].

´ DE UN MODELO CON STATEFLOW–SIMULINK
4.4. CREACION

97

Las cartas de estado fueron introducidas por David Harel [5] en 1987 y constituyen una generalizaci´on de las m´aquinas de finitos estados. Se han hecho varias
implementaciones sustancialmente iguales pero que difieren algo en la sem´antica (la
definici´on de Harel dejaba bastante libertad) siendo las mas conocidas Statemate y
Stateflow, ´esta u
´ltima integrada en Matlab. Debido a la gran difusi´on que tiene este
programa en la Universidad, continuaremos la descripci´on de las cartas de estado
con la sem´antica de Stateflow.

4.3.1

Stateflow

Stateflow es una herramienta incluida en el paquete Matlab que funciona bajo el
programa (toolbox ) Simulink. Es posible ejecutar s´olo Stateflow (como un bloque
u
´nico de Simulink) pero siempre bajo Simulink. Utilizando Stateflow y Simulink se
pueden realizar modelos de sistemas h´ıbridos.
La figura 4.5 muestra una ventana de Stateflow en la que se aprecian algunos de
sus elementos.

Figura 4.5: Carta de estados de Stateflow

4.4

Creaci´
on de un modelo con Stateflow–Simulink

Tras arrancar el programa Matlab, creamos un modelo nuevo (new-model ) de Simulink y colocamos en el mismo, con el rat´on, el bloque Chart de Stateflow.
Con el editor gr´afico se pueden crear cartas Stateflow, de modo interactivo,
simplemente haciendo clic en cada elemento y arrastr´andolo a la ventana de dibujo.
Una vez colocados varios estados, podemos crear transiciones haciendo clic en un
estado y arrastrando el rat´on hasta otro estado. Se etiquetan los estados y las
transiciones indicando las acciones que van a ocurrir durante la ejecuci´on y bajo que
condiciones se har´an las transiciones. Finalmente se a˜
nade el historial, uniones, y
estados en paralelo para detallar las operaciones del modelo.
Se pueden utilizar sub-cartas (una carta dentro de otra carta) para dotar de
jerarqu´ıa al dise˜
no. Se permite crear transiciones entre objetos que residen en diferentes sub-cartas al mismo nivel o a diferentes niveles en la carta superior. Las

CAP´ITULO 4. SISTEMAS REACTIVOS

98

sub-cartas permiten reducir una carta complicada a un conjunto de diagramas organizados jer´arquicamente. Con ello se consigue que la carta sea m´as f´acil de entender
y de mantener sin cambiar para nada su sem´antica.
Los pasos a seguir para una aplicaci´on completa son:
• Crear la carta Stateflow
• Utilizar el Explorer de Stateflow
• Definir un interface de bloques de Stateflow
• Ejecutar la simulaci´on
• Generar el c´odigo
La generaci´on de c´odigo depende de la m´aquina en donde se vaya a implementar
la aplicaci´on y no se hace hasta la u
´ltima fase del dise˜
no. El c´odigo generado por
defecto es ANSI C pero existen programas que convierten el modelo de Stateflow
en c´odigo de otros lenguajes. Entre ellos cabe citar el programa sf2vdh, que es
un traductor de Stateflow a VHLD, y el programa sf2plc que genera c´odigo para
programar algunos aut´omatas programables.

4.4.1

Elementos de una carta de estado

Una carta de estado (statechart) es un gr´afico formado por elementos gr´aficos sobre
los que van escritos otros elementos de texto. Los elementos gr´aficos son cartas,
estados, transiciones y uniones mientras que los elementos de texto son datos y
eventos.
Cartas
La carta es como la hoja de papel en la que se representan los elementos gr´aficos y
de texto. Cada carta representa una m´aquina de estados y constituye un bloque de
Simulink que puede conectarse con otras cartas o con otros bloques de Simulink.
Estados
Un estado se dibuja como un rect´angulo con las esquinas redondeadas y representa
un modo de funcionamiento del sistema. Aunque tienen el mismo nombre, no debemos confundir estos estados con los estados del “modelo de estado” de un sistema
de control de tiempo continuo o discreto. Aunque en ocasiones ambos pudieran
coincidir, los estados aqu´ı considerados son m´as generales: representan los modos o
formas de funcionamiento que adquiere el sistema al reaccionar frente a los eventos.
Junto a la esquina superior izquierda cada rect´angulo lleva un texto con un
nombre que identifica al estado. Tras el nombre del estado y el separador opcional
“/”, pueden aparecer otros textos indicando las acciones que llevar´a a cabo el sistema
cuando est´e en ese estado. La sintaxis de Stateflow permite especificar el instante
en que se iniciar´a la acci´on y la duraci´on de esta:

´ DE UN MODELO CON STATEFLOW–SIMULINK
4.4. CREACION

99

entry: la acci´on se inicia al entrar en este estado.
exit: la acci´on se inicia al salir de este estado.
during: la acci´on se inicia al entrar en este estado y permanece activa durante el
tiempo que dura el estado.
on event e : La acci´on se inicia si, estando en este estado, se produce el evento e.
Posibles acciones son cambiar el valore de una salida o efectuar una llamada a una
funci´on de Matlab.
Dentro de un estado caben m´as estados, es decir, un estado puede descomponerse
en otros. Se admiten dos descomposiciones, llamadas OR (exclusiva) y AND. Si un
estado S se descompone con tipo OR en los estados S1 y S2 , quiere decir que si el
sistema est´a en el modo de funcionamiento S, entonces, o bien funciona en el modo
S1 o bien funciona en el modo S2 y no puede estar funcionando en ambos modos
a la vez. En cambio si el estado S se descompone con tipo AND en los estados S1
y S2 y el sistema funciona en modo S, entonces el sistema est´a a la vez en los dos
estados S1 y S2 . Ambas descomposiciones se distinguen por el tipo de l´ınea usada
para los rect´angulos: linea continua para los estados de una descomposici´on OR y
l´ınea discontinua para los estados de una descomposici´on AND.
Transiciones
Una transici´on representa un evento e del sistema y se dibuja como una flecha que
va desde el borde de un estado S1 hasta el borde de otro estado S2 . Si el sistema est´a
en el estado S1 y se produce el evento e, entonces el sistema pasa al estado S2 . El
disparo de una transici´on puede implicar la ejecuci´on de una o m´as acciones. Cada
S1

e
S2

Figura 4.6: Transici´on
transici´on puede tener un texto, escrito junto a ella, que indica el evento que ha de
producirse para que se dispare la transici´on as´ı como las acciones que entonces el
sistema emprender´a. Este texto se divide en tres partes, todas ellas opcionales:
e (en donde e es el nombre de un evento): la transici´on se dispara al producirse el
evento e en el sistema.

CAP´ITULO 4. SISTEMAS REACTIVOS

100

[c] (en donde c es una condici´on): la transici´on se dispara si la condici´on c (expresi´on
booleana) es verdadera y se produce el evento e. Si esta parte no existe, se
asume que c es cierta. Si la parte e del texto no existe, se disparar´a, bajo la
misma condici´on, siempre y cuando se produzca un evento cualquiera en el
sistema.
{a} (en donde a es una acci´on): al producirse transici´on el sistema lleva a cabo la
acci´on a.
Si la transici´on no lleva ning´
un texto, entonces se disparar´a autom´aticamente, siempre y cuando se produzca un evento cualquiera en el sistema.
Una transici´on especial es la llamada transici´on por defecto (default-transition),
que sirve para se˜
nalar el estado inicial del sistema, es decir, el primer estado en el
que entrar´a el sistema al iniciar su evoluci´on. Se reconoce por su forma ya que en
el extremo opuesto a la flecha lleva un peque˜
no c´ırculo negro.
Uniones
Una uni´on es un punto de bifurcaci´on que permite conectar una transici´on de entrada
con varias transiciones de salida. Hay dos tipos de uniones: uniones conectivas
connective junctions y uniones de historia history junctions.

e1

e2

e3

P

H
C1

C2

Figura 4.7: Uniones
Al entrar en una uni´on conectiva, el sistema, a trav´es de una condici´on, selecciona
una de las transiciones de salida para su evoluci´on.
La uni´on de tipo historia se utiliza en estados que han sido divididos por una
descomposici´on OR. Si en el estado padre se pone el s´ımbolo
H entonces cada vez
que se active el estado padre, el primer estado que se activar´a ser´a el estado hijo
que estuvo activo por u
´ltima vez.
Datos
Una carta tiene asociados ciertos datos a los que puede acceder. Es necesario declararlos en Stateflow y pueden ser de los siguientes tipos:

´ DE UN MODELO CON STATEFLOW–SIMULINK
4.4. CREACION

101

• Entrada de Simulink
• Salida de Simulink
• Local
• Constante
• Temporal
• Workspace
Los datos declarados como entrada o salida de Simulink generan autom´aticamente
una entrada o una salida en el bloque Chart creado por Stateflow en Simulink. Los
de los tipos local, constante y temporal pueden definirse para toda la carta o dentro
de un estado individual. Los datos temporales son s´olo v´alidos mientras el estado
padre se est´a ejecutando y son reinicializados cada vez que ´este se activa. El tipo
workspace es una construcci´on especial que permite utilizar el entorno de trabajo
(workspace) de Matlab para compartir datos a trav´es de toda la simulaci´on. Los
datos por defecto, se almacenan en memoria en formato double de C pero se puede
cambiar a otros formatos. Cada dato tiene asociado un valor inicial y un intervalo
de posibles valores.
Eventos
Estos elementos representan los eventos del sistema. Pueden ser de los tipos:
• Entrada de Simulink
• Salida de Simulink
• Local
Para los eventos que son entradas o salidas de Simulink, Stateflow crea autom´aticamente un u
´nico puerto de entrada–salida de eventos en el bloque Chart de Simulink,
de forma que todos los eventos entran o salen, formando un vector de eventos, por
el mismo puerto. Cada evento lleva asociado un ´ındice que refiere la posici´on del
evento en el vector. La forma de producir un evento en Simulink para que entre en
el bloque Chart es a trav´es de cambio brusco (flanco) de alguna se˜
nal. Al declarar
el evento en Stateflow, se puede elegir entre:
• Flanco de subida
• Flanco de bajada
• Flanco indiferente

102

CAP´ITULO 4. SISTEMAS REACTIVOS

Parte III
Automatizaci´
on Local

103

Cap´ıtulo 5
Automatismos

105

106

CAP´ITULO 5. AUTOMATISMOS

Cap´ıtulo 6
Automatismos el´
ectricos
6.1

El rel´
e

El rel´e es el dispositivo fundamental para la realizaci´on de automatismos el´ectricos. Consta de un conjunto de piezas colocadas dentro de una caja, de la forma
indicada en la figura 6.1, y es esencialmente un interruptor accionado mediante un
el´ectroim´an. Al aplicar tensi´on entre los terminales A1 y A2, el electroim´an atrae
a la armadura f´errea hacia el n´
ucleo del electoim´an, con lo que el terminal 1 se
desconecta del terminal NC y se conecta con el terminal NA. Cuando se deja de
aplicar el voltaje a la bobina, el rel´e, accionado por el muelle, vuelve a su estado de
reposo.

1
NC
NA
A1

A2

Figura 6.1: Rel´e en estado de reposo.

El esquema seg´
un la norma CEI es
Se fabrican rel´es de muchos tipos y tama˜
nos seg´
un sea su aplicaci´on. Pueden
tener varios contactos NC y NA, accionados por la misma bobina, para poder operar
sobre varios circuitos a la vez. La alimentaci´on suele ser de 12V o de 24V en los
rel´es de automatismos.
107

´
CAP´ITULO 6. AUTOMATISMOS ELECTRICOS

108

A1

12

14

A2

11

Figura 6.2: Esquema de rel´e con contactos NC y NA.

6.2
6.2.1

Funciones l´
ogicas con rel´
es
Funci´
on l´
ogica identidad
+

a

s



Figura 6.3: Identidad

6.2.2

Funci´
on l´
ogica negaci´
on
+


a

s

Figura 6.4: Negaci´on

6.2.3

Funci´
on l´
ogica AND

6.2.4

Funci´
on l´
ogica NAND



´
´
6.2. FUNCIONES LOGICAS
CON RELES

+

109



K

a

K

Figura 6.5: Negaci´on con rel´e

+

a

b



s

Figura 6.6: Funci´on l´ogica AND

+

a

K

b

K



s

Figura 6.7: Funci´on l´ogica AND con rel´e

+

a

K

b

K



s

Figura 6.8: Funci´on l´ogica NAND

110

´
CAP´ITULO 6. AUTOMATISMOS ELECTRICOS

Cap´ıtulo 7
Aut´
omatas programables

111

112

´
CAP´ITULO 7. AUTOMATAS
PROGRAMABLES

Bibliograf´ıa
[1] M. Silva Las Redes de Petri: en la Autom´
atica y la Inform´
atica. Editorial AC
[2] Charles L. Phillips
Feedback Control Systems
Prencice Hall Inc., 1988
[3] K.Lockyer La producci´on industrial, su administraci´
on. Representaciones y
Servicios de Ingenier´ıa S.A., Mexico, 1988.
[4] M.P. Groover Automation, Production systems and Computer Integrated Manufacturing. Prentice Hall.
[5] David Harel “Statecharts: A Visual formalism for Complex Systems”, Science
of Computer Programming 8, (1987), pp. 231-274.
[6] Object Modeling Group OMG Unified Modeeling Language Specification. Object Modeling Group, Inc., Version 1.3, June 1999.
[7] Hans Vangheluwe Modeling and Simulation Concepts. McGill, CA, CS 522 Fall
Term 2001.

113

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