BA

Published on December 2016 | Categories: Documents | Downloads: 64 | Comments: 0 | Views: 738
of 35
Download PDF   Embed   Report

Comments

Content


BAB I
PENDAHULUAN TERHADAP INFERENSI STATISTIKA

1.1 Penaksiran Titik.,
Dengan bab ini kita mulai pelajaran dari beberapa masalah dalam statistik dan di sini kita
lebih berminat dalam angka/bilangan yang mana suatu hasil digambarkan daripada kita berada I
hasil dari percobaan dalam hasil itu sendiri.Sesuai dengan itu kita akan seringkali memakai
konvensi yang digunakan Kita akan mengacu pada peubah acak X sebagai hasil dari percobaan
acak dan kita akan mengacu ke ruang dari X sebagai ruang sampel. Ruang sampel ini tidak
begitu aneh , kita sebut x hasil menurut angka.Sekali percobaan telah dilakukan dan hal itu
diperoleh bahwa X = x , kita akan menyatakan x nilai menurut percobaan dari X untuk hasil
perconaan itu.
Sesuai terminologi ini dapat digunakan untuk keutungan dalam situasi yang lebih umum.
Untuk menggambarkan ini , misalkan percobaan acak diulang n kali independen dan dibawah
kondisi identik. Maka peubah acak





(masing-masing menyatakan nilai numeric
terhadap satu hasil) , merupakan pengamatan ruang smlpel.Jika kita lebih menyangkut dengan
gambaran menurut angka dari hasil daripada hasilnya sendiri , tampaknya biasa menunjuk ada






sebagi hasil.. Dan apakah nama yang lebih tepat kita diberikan terhadap ruang
sampel acak daripada ruang sampel. Sekali percobaan telah dilakukan angka yang ditunjukkan
berkali-kali adan angka itu diperoleh bahwa











kita menunjuk ke






sebagai nilai menurut pecobaan





atau sebagai data sampel. Kita akan
menggunakan terminologi dua pasal sebelumnya, dan dalam pasal ini kita memberikan beberapa
contoh dari infrensi statistk. Contoh ini akan dibangun sekitar faham taksiran titik dari
parameter yang tidak diketahui dari f.d.p.
Misalkan peubah acak X mempunyai f.d.p berbentuk fungsi yang diketahui , tetapi f.d.p
bergantung atas suatu parameter yang tidak diketahui yang dapat mempunyai suatu nilai dalam
himpunan .Ini akan dinyatakan melalui penulisa f.d.p dalam bentuk ( ) . Himpunan
akan disebut ruang parameter. Jadi kita dihadapkan tidak dengan satu distribusi peluang, tetapi
dengan famlili distribusi . Unuk setiap nilai , ada korespondensi satu anggota famili.
Satu famili fungsi densitas peluang akan dinyatakan dengan simbol *( ) +. Setiap
anggota fungsi densitas peluang ini akan dinyatakan dengan simbol ( ) . Kita akan
melanjutkan untuk menggunakan simbol khusus yang telah dipakai untuk distriusi normal, khi-
kuadrat, dan binomial. Misalnya kita mempunyai famili *( ) +, dimana adalah
himpunan . Satu anggota famili diatribusi ini adalah distribusi (). Suatu
anggaot sembarang adalah ( ) . .
Mari kita perhatikan famili fungsi densitas peluang *( ) + . Munglin pelaku
percobaan perlu untuk memilih satu famili sebagai f.d.p peubah acaknya.Yaitu. ia memerlukan
taksiran titik untuk . Misalkan





menyatakan sampel acak dari distribusi peluang
yang mempunyai f.d.p yang merupakan satu anggota (tetapi yang mana angggota kita tidak
memgetahui).Yaitu sampel kita terjadi dari distribusi yang mempunyai ( ) . Masalah
kita adalah penentuan statistik

(





) sehingga jika





pengamatan
nilai percobaan dari





, maka bilangan

(





) akan merupakan taksiran
titik untuk . Gambaran berikut akan menolong membantu satu prinsip yang sering digunakan
pencarian taksiran titik.
Contoh 1
Misalkan





menyatakan sampel acak dari distribusi dengan f.d.p
()

( )


= 0 , lainnya.
di mama . Peluang bahwa











adalah f.d.p bersama



( )





( )





( )







( )





di mana

sama dengan nol atau satu, i = 0,1,2,…,n Peluang ini yang merupakan f.d.p bersama
dari





dapat diangap sebagai fungsi dari , dan bila dianggap demikian dinyatakan
dengan () dan disebut fungsi kemungkinan , yaitu
()




( )





Kita mungkin bertanya apakah nilai akan memaksimumkan nilai peluang () perolehan
sampel amatan khusus ini





. Tentu nilai yang memaksimumkan akan tampak
sebagai taksiran yang baik untuk karena taksiran itu akan menetapkan peluang terbesar dari
sampel khusus ini. Karena fungsi kemungkinan () dan logaritmanya ln () dimaksimumkan
untuk nilai yang sama , salah satu () atau ln () dapat digunakan. Di sini
() (∑



) ( ∑



) ( )
Sehingga kita mempunyai
()














asalkan tidak nol atau satu
Ini akuivalen terhadap persamaan
( ) ∑



( ∑



)
mempunyai solusi untuk adalah






. Bahwa






secara nyata memaksimumkan
() dan ln () dapat secara mudah diselidiki ,meskipun dalam kasus semua






sama dengan nol atau satu bersama-sama . Yaitu






adalah nilai yang memaksimumkan
() dan ln (). Statistik padanannya

̂








̅

disebut penaksir kemungkinan maksimum untuk .Nilai amatan dari
̂
, namakan







disebut taksiran kemungkinan maksimum untuk . Misalnya andaikan bahwa n = 3 dan






() ( )
̂



adalah taksiran kemungkinan
maksimum untuk
Prinsip metode kemungkinan maksimum sekarang dapat dengan mudah dirumuskan.
Perhatikan sampel acak





dari distribusi yang mempunyai f.d.p ( )
F.d.p bersama dari





adalah (

)(

) (

) .F.d.p bersama ini dapat
dianggap sebagai fungsi dari .Bila kita menganggap demikian , fungsi itu disebut fungsi
kemungkinan L dan sampel acak dan kita menulis
(





) (

)(

) (

)
daikan bahwa kita dapat menemukan fungsi tidak trivial dari





sebut
u(





),sehingga apabila digantikan oleh u(





) fungsi kemungkinan L
adalah maksimum. Yaitu ((





)





) paling sedikit sebesar
(





) untuk setiap . Maka statistic
̂
(





) akan disebut penaksir
kemungkinan maksimum (selanjutnya disingkat pkm) untuk dan dinyatakan dengan simbol

̂
(





). Kita tinjau bahwa dalam banyak contoh
̂
akan merupakan tkm untuk
parameter , dan sering taksiran dapat diperoleh melalui proses diferensiasi

Contoh 2
Misalkan





sampel acak dari distribusi normal ( )
Di sini
(





) .


/

0


∑ (

)


1
Fungsi L dapat dimaksimumkan dengan mengambil pertama dari L terhadap . Samakan dengn
nol dan selesaikan hasil persamaan untuk . Bagaimanapun kita mencatat , bahwa setiap fungsi
L dan ln L dimaksimumkan pada nilai yang sama untuk . Sehingga dapat lebih mudah untuk
menyelesaikan
(





)

=0
contoh ini
(





)

∑ (

)



turunan ini disamaknan dengan nol , solusi untuk parameter adalah (





)






Bahwa






nyata memaksimumksn L mudah ditunjukkan.Jadi statistik

̂
(





)







̅
adalah pkm.
Perhatikan penaksir dalam Contoh 1 dan 2 , penaksir adalah benar bahwa (
̂
) .Yaitu dalam
setiap kasus ini nilai harapan dari penaksirsam dengan parameter padanannya, yang membawa
ke definisi berikut.

Definisi 1
Setiap statistik yang mempunyai ekspektasi matematik sama dengan parameter disebut
penaksir takbias untuk parameter Sebaliknya statistik dikatakan bias.
Contoh 3
Misalkan ( )



= 0 , lainnya.
dan misalkan





menyatakan sampel acak dari distribusi ini. Perhatikan bahwa kita
telah mengambil pengganti , agar meniadakan pembicaraan suprimum
versus maksimum. Di sisni
(





)






yang merupakan fungsi turun dari . Maksimum fungsi yang demikian tidak tepat dicari melalui
diferensiasi tetapi melalui pemilihan sekecil mungkin.Sekarang

pada umumnya,
maka (

). Jadi L dapat dibuat tidak lebih besar daripada

,(

)-


dan
̂
pkm tunggal untuk dalam contoh ini adalah statistik order ke n maks (

).Penaksir itu
dapat ditunjukkan bahwa , (

)-


. Jadi dalam contoh ini , pkm untuk parameter
adalah bias. Yaitu sifat ketakbiasan bukan sifat umum dari pkm.
Sementara pkm
̂
untuk dalam Contoh 3 adalah penaksir bias , dan telah pernah
diperlihatkan bahwa statistik order ke n ,
̂
(

)

konvergen dalam peluang ke
Jadi sesuai dengan ini definisi berikut mengatakan bahwa
̂


adalah penaksir konsisten
untuk
Definisi 2
Setiap statistik yang konvergen dalam peluang ke parameter disebut penaksir konsisten
untuk parameter
Konsistensi adalah sifat penaksir yang diinginkan dan dalam semua kasus dari pertimbangan
praktis , penaksir kemungkinan maksimum adalah konsisiten.Definiisi terdahulu dan sifat-sifat
adalah mudal diperluas . Misalkan X,Y,…,Z peubah acak yang mungkin atau tidak mungkin
independen dan yang mungkin atau tidak mungkin distribusi identik. Misalkan f.d.p bersama
(





) bergantung pada m parameter . F.d.p bersama ini , bila dianggap
sebagai fungsi (





) disebut fungsi kemungkinan dari peubah . Maka fungsi


( )

( )

( ) yang memaksimumkan fungsi kemungkinan
terhadap





berturut-turut , menetapkan penaksir kemungkinan maksimum

̂



( )
̂



( )
̂



( )
untuk m parameter
Contoh
Misalkan





menyatakan sampel acak dari distribusi (



)




„ Kita akan mencari
̂


̂

penaksir kemungkinan maksimum untuk



,
Logaritma fungsi kemungkinan dapat dituliskan dalam bentuk

(









)
∑ (



)





(

)


Kita melihat bahwa kita memaksimumkan melalui diferensiasi. Kita mempunyai




∑ (



)









∑ (



)










Jika kita menyamakan turunan parsial dengan nol, dan selesaikan srcara simultan dua persamaan
diperoleh solusi untuk



berturut-turut ditemuka menjadi
̅










∑ (

̅ )





Dapat diselidiki bahwa solusi ini memaksimumkan L
Jadi penaksir kemungkinan maksimum untuk





berturut-turut rata-rata dan
variansi sampel namakan
̂


̅

̂



di mana
̂


̅
penaksir takbias untuk


,penaksir
̂



adalah bias karena
(
̂

)



.

̂



/



.




/
()



()



Bagaimanapun telah ditunjukkan bahwa
̂


̅

̂



konvergen dalam peluang berturut
–turut ke



dan berarti
̂


̂

adalah penaksir konsisten untuk




Andaikan kita ingin menaksir fungsi dari () . Untuk mudahnya, mari kita
katakan bahwa () menetapkan transformasi satu-satu. Maka nilai ̂ yang
memaksimumkan fungsi kemungkinan () atau ekuivalen (

()), dipilih sehingga
̂ (
̂
) ()
̂
(
̂
)
Hasil ini disebut sifat invariansi penaksir kemungkinan maksimum. Sebagai gambaran , jika


, di mana adalah rataan dari ( ) maka ̂
̂

. Sementara, ada kesulitan hasil jika
() bukan satu-satu, kita akan menggunakan kenyataan bahwa ̂ (
̂
).Jadi jika
̅
adalah
rata-rata sampel dari ( ) sehingga
̂

̅
dan jika ( ) maka ̂
̅
(
̅
). Ide
ini dapat diperluasuntuk lebih dari satu parameter. Sebagai gambaran , dalam Contoh 4.Jika




, maka ̂
̅

Kadang-kadang penaksir mustahil untuk menemukan penaksir kemungkinan maksimum
dalam bentuk akhir yang baik dan metode numeric harus digunakan untuk memaksimumkan
fungsi kemungkinan . Sebagai gambaran nandaikan bahwa





sampel acak dari
distribusi gamma dengan parameter



di mana



. Penaksir
adalah sukar untuk memalsimumkan
(









) {

(

)



}

(





)



0







1

terhadap



berhubung dengan kehadiran fungsi gamma (

) . Jadi metode numerik
harus digunakan untuk memaksimumkan L, sekali





diamati.
Bagaimanapun ada cara lain untuk memperoleh dengan mudah taksiran titik untuk



.
Sebagai gambaran dalam situasi distribusi gamma dengan sederhana mari kita menyamakan dua
momen pertama dari diatribuai terhadap padanannya momen sampel.Ini tampaknya suatu cara
masuk akal mencari penaksir, karena distribusi empiris

() konvergen dalam peluang ke F(x)
dan karenannya momen padanannya akan menjadi sama .Di sini dalam gambaran ini kita
mempunyai





̅
;







Solusinya adalah

̂



̅



dan
̂




̅

Kita menyatakan dua statistik terakhir ini
̂


̂

berturut-turut penaksir untuk




ditemukan melalui metode momen.
Untuk memperluas pembicaraan dari pasal terdahulu , ambil





merupakan
sampel acak berukuran n dari distribusi dengan f.d.p (





) (





) .
Ekspektasi (

) sering disebut momen ke k dari distribusi k = 1,2,…








adalah
momen ke k dari sampel k = 1,2,3. Metode momen dapat dijelaskan sebagai berikut.
Samakan (

) terhadap

mulailah dengan k = 1 dan lanjutkan hingga ada cukup persamaan
untuk menetapkan solusi tunggal untuk





, katakan

(



) , i = 1,2,…,r icatat
berturut-turut . Hal ini dapat dilakukan dengan cara ekuivalen melelui penyamaan ()
terhadap
̅
dan ,( )

-


∑ (


̅
)


, k = 2,3 dan seterurnya hingga solusi
tunggal untuk





diperoleh. Prosedur alternative ini digunakan dalam gambaran
terdahulu. Dalam banyak kasus praktis , penaksir
̂



(



)

, ditemukan
melalui metode umum adalah penaksir konsisten untuk

i = 1,2,…,r
Soal-soal Latihan 1.1
1. Misalkan





menggambarkan sampel acak dari setiap distribusi yang mempunyai
fungsi densitas peluang berikut.
a. ( )





x=0,1,2,… ; , nol lainnya dimana ( )
b. ( )

, nol lainnya
c. ( )




, nol lainnya
d. ( )



()

e. ( )
()

Dalam setiap kasus carilan pkm
̂

2. Misalkan





adalah d.i.i , masing-masing dengan distribusi yang mempunyai f.d.p
(



) .



/
(

)







,

Carilah pkm untuk



.
3. Misalkan





adalah statistik order sampel acak dari disstribusi dengan f.d.p
( )





, nol lainnya. Tunjukkan bahwa setiap
statistik (





)




(





)




adala pkm untuk .
Khususnya
(



)


(



)


(



)

adalah sebagai tiga statistik . Jadi
ketunggalan bukan sifat yang umum dari pkm
4. Misalkan





mempunyai distribusi multinomial dalam hal n = 25, k = 4 dan
peluang tidak diketahui adalah





berturut-turut. Di sini untuk mudahnya kita
dapat mengambil















Jika nilai
pengamatan





, carilah taksiran kemungkinan maksimum untuk







5. Distribusi Pareto sering digunakan sebagai model dalam studi pendapatan dan mempunyai
fungsi distribusi (



) .



/


, nol lainnya, di mana




Jika





adalah sampel acak dari distribusi ini , carilah penaksir kemungkinan
maksimum untuk




6. Misalkan

adalah statistik sehingga

(

)





. Buktikan
bahwa

penaksir konsisten untuk
Petunjuk: (

)
[(

)

]


,(

)

- ,(

)-





.Mengapa?
7. Untuk setiap diatribusi soal 1 , carilah penaksir untuk melalui metode momen dan
tunjukkan bahwa penaksir itu adalah konsisten.
8. Jika sampel acak berukuran n dari distribusi yang mempunyai f.d.p ( )




, nol lainnya , carilah
a. Pkm
̂

b. Konstanta c sehingga (
̂
)
c. Pkm untuk median distribusi.
9. Misalkan





adalah d.i.i masing-masing mempunyai distribusi dengan f.d.p
( )




. Carilah pkm untuk ( )
10. Misalkan tabel
x 0 1 2 3 4 5
Frekuensi 6 10 14 13 6 1
menggambarkan ringkasan sampel acak berukuran 50 dari distribusi binomial yang
mempunyai n=3.Carilah pkm untuk ( )
11. Misalkan X mempunyai distribusi binomial dengan parameter n dan p . Variansi dari



()

, ini kadang-kadang ditaksir melalui pkm


.


/ . Adakah ini penaksir
takbias untuk
()

Jika tidak dapatkah Anda satu oleh perrkalian satu oleh konstanta?
12. Misalkan





adalah statistik order dari sampel acak berukuran n dari
distribusi seragam jeinis kontinu meliputi interval tertutup , - carilah penaksir
kemungkinan maksimum untuk . Adakah ini dua penaksir takbias?
13. Misalakan









adalah sampel acak dari distribusi Cauchy dengan median ,
yaitu dengan f.d.p ( )



()

, di mana . Jika










, carilah melalui metode
numarik pkm untuk .

1.2 Interval konfidensi untuk Rataan
Andaikan bahwa kita mau untuk menerima sebagai kenyataan bahwa hasil X dari
percobaan adalah peubah acak yang mempunyai distribusi normal dengan variansi

diketahui
tetapi rataan tidak diketahui.Yaitu suatu konstanta, tetapi nilainya tidak diketahui. Untuk
memperoleh suatu informasi tentang , kita memutuskan untuk mengulang percabaan acak n kali
independen dibawah syarat identik , n merupakan bilangan bulat positif tertentu.Misalkan
peubah acak





menyatakan berturut-turut hasil yang diperoleh pada n pengulangan
percobaan ini.Jika pengandaian kita dipenuhi , maka kita mempunyai pertimbangan sampel acak






dari distribusi (

),

diketahui.
Perhatikan penaksir kemungkinan maksimum untuk , namakan ̂
̅
. Tentu
̅
adalah
(

) dan

̅


(). Jadi .

̅


/
Bagaimanapun kejadian


̅







̅





̅




̅




adalah ekuivalen.Berarti kejadian-kejadian ini mempunyai peluang yang sama, yaitu
.
̅




̅



/
Karena bilangan yang diketahui, setiap dari peubah acak
̅



dan
̅



adalah statistik.
Interval .
̅




̅



/ adalah interval acak. Dalam kasus ini, kedua titik ujung adalah
statistik Dengan segera pernyataan peluang di atas dapat dibaca.Sebelum hasil pengulangan
independen sari percobaan acak, peluang adalah 0,954 bahwa interval acak .
̅




̅



/
titik (parameter) tertentu tidak diketahui.Hingga titik ini hanya peluang yang telah dikandung,
penentuan f.d.p dari
̅
dan penentuan dari interval acak adalah masalah peluang.Sekarang
Masalah menjadi mndaikan percobaan menghasilkan











,
Maka nilai sampel dari
̅
adalah ̅ (





) sebuah bilangan yang diketahui.
Selanjutnya karena diketahui interval .̅


̅


/ mempunyai titik diketahui. Jelas kita
tidak dapat mengatakan bahwa 0,954 adalah peluang bahwa interval khusus .̅


̅


/
parameter untuk , meskipun tidak diketahui adalah suatu konstanta , dan interval khusus ini
salah satu dari mengandung atau tidak mengandung .Bagaimanapun kenyataan bahwa kita
mempunyai peluang demikian tinggi , sebelum hasil dari percobaan bahwa interval



̅


/ mengandung titik (parameter) . mengarahkan kita untuk mempunyai suatu
kepercayaan pada interval khusus .̅


̅


/. Kepercayaan ini digambarkan dengan
penyebutan interval diketahui .̅


̅


/ 95,4 % untuk . Bilangan
o,954 disebut koefisien konfidensi.Koefisien konfidensi sama dengan peluang bahwa interval
acak mengandung parameter. Tentu kita dapat mengatakan interval konfidensi 80%,90%, atau
99% untuk dengan menggunakan 1,28, 1,645, atau 2,576 berturut-turt sebagai pengganti
konstanta 2
Inferensi statistika dari macam ini contoh taksiran interval untuk parameter.Perhatikan
bahwa taksiran interval untuk dicari melalui taksiran yang baik (di sini kemungkinan
maksimum) ̅ untuk dan penambahan atau pengurangan dua kali simpangan baku dari
̅
sebut


yang mana kecil jika n besar. Jika tidak diketahui , titik ujung dari interval acak tidak akan
merupakan statistik Meskipun pernyataan peluang tentang interval acak tetap berlaku , data
sampel tidak akan menghasilkan interval dngan diketahui titik ujung.

Contoh 1
Jika dalam pembicaraan terdahulu

̅ maka
.





/ ( )523,7,803 adalah interval konfidensi 80%
untuk
Dalam contoh berikut kita menunjukkan bagaimana teorema limit pusat dapat digunakan untuk
membantu kita mencari hampiran interval konfidensi untuk apabila sampel kita terjadi dari
distribusi yang tidak normal.

Contoh 2
Misalkan
̅
menyatakan rata-rata ampel acak berukuran n dari distribusi yang mempu
nyai variansi

= 100 , dan rataan .Karena


sevara hampiran
P.

̅


/=0,95
atau (
̅

̅
)
Misaljan rata-rata pengamatan sampel adalah ̅ Sesuai dengan itu interval dari
̅ ke ̅ adalah hampiran interval konfidensi 95% untuk rataan
Sekarang mari kita kembali ke masalah pencarian interval konfidensi untuk rataan dari
distribusi normal apabila kita tidak begitu beruntung seperti mengetahui variansi

. Kita
mengetahui bahwa

√(
̅
)


,

()-


̅


,
mempunyai ditribusi-t dengan derajat kebebasan n-1 berapapun nilai

> 0
Untuk bilangan bulat positif n yang diberikan dan katakan peluang 0,95, kita dapat mencari
sebuah bilangan b dari tabel sehingga
.

̅


/
yang dapat dituliskan dalam bentuk
.
̅




̅



/
Maka interval 0
̅




̅



1 adalah interval acak yang mempunyai 0,95 dan pemaukan
titik (parameter) tertentu tidak diketahui. Jika nilai percobaan dari





adalah






dengan




∑ (

̅ )


̅






, maka interval 0̅


̅


1adalah interval kofidensi 95% untuk ditemukna dengan menambahkan atau menurangkan
satu besaran di sini


terhadap titik ̅
Contoh 3
Jika pembicaraan terdahulu ̅ , maka interval
0
()()


()()

1 atau ,- adalah interval konfidensi 95% untuk

Ulasan
Jika kita ingin mencari interval konfidensi untuk dan jika variansi

dari distribusi
tidak normal tidak diketahui (tidak seperti Contoh 1dari pasal 2.1) dengan sampel besar dapat
diperiksa sebagai berikut.Jika persyaratan limit tertenyu dipenuhi ,maka

variansi sampel acak
berukuran konvergen dalam peluang ke


Kemudian dalam
√(
̅
)


()


√(
̅
)


Pembilang anggota ruas kii mempunyai limit distribusi yaitu () dan penyebut dari anggota
itu knergeh dalam peluang ke 1Jadi
√(
̅
)

mempunyai limit distribusi yaitu ().
Kenyataan ini memungkinkan kita untuk mencari hampiran interval konfidensi untuk apabila
persyaratan kita penuhi. Prosedur ini secara khusus bekerja baik apbila didasarkam dstribusi
tidak normal adalah simetrik, karena
̅


tidak berkorelasi. Seperti dsistribusi yang
mendasari menjadi lebih miring , bagaimanapun ukuran sampel harus lebih besar untuk
menerima hampiran yang bbaik terhadap peluang ynag dinginka. Prosedur yang demikian dapat
diikuti dalam pasal berikut apabila pencarian interval konfidensi untuk selisih rataan dari
distribusi tidak normal.
Sekarang kita akan pertimbangkan masalah penentuan interval konfidensi untuk
parameter p idak diketahui dari distribusi binomial apabila parameter n diketahui .Misalkan Y
adalah ( ) dimana dan n diketahui . Maka p adalah rataan dari Y/n
Telah diketahui bahwa

√()()

Mempunyai limit distribusi ()
Sehingga (

√()()
) secara hampiran
Karena

√()()


√()()

pernyataan peluang di atas dapat dengan mudah ditulis dalam bentuk
(




√()()





√()()
) secara hampiran.
, jika nilai percobaan dari Y adalah y interval
.


√()( )


√()( )/
Menetapkan interval konfidensi 95% untuk p
Satu himpunan lebih sukar interval konfidensi 95% untuk p dapat diperoleh dan kenyataan
bahwa

√()
mempunyai limit distribusi () dan kenyataan bahwa kejadian -2<Z<2
ekuivalen terhadap kejadian
√,()-


√,()-

(1)
Jadinilai percobaan y dari Y dapat digunakan dalam ketidaksamaan (1)untuk menetapkan
hampiran interval konfidensi 95,4% untuk p.
Contoh 4
Jika dalam pembicaraan terdahulu kita mengambil n = 100 dan y = 20 , hampiran pertama
interval konfidensi 95,4% diberikan melalui
( √()() √()()) ()
Hampiran interval konfidensi 95,4% diberikan melalui ketidaksamaan (1) adalah
(
√()


√()

) ()
Contoh
Andaikan kita mengambil sampel dari distribusi dengan rataan tidak diketahui dan
variansi

. Kita ingin mencari ukuran sampel n sehingga ̅ (yang rataan ̅ ke
̅ ) menyediakan sebagai interval konfidensi 95% untuk . Gunakan kenyataan bahwa rata-
rata sampel dari pengamatan
̅
adalah hampiran normal .



/, kita melihat bahwa
intervaldiberikan oleh ̅ .


/ akan menyediakan interval konfidensi 95% untuk , yaitu
kita ingin () .


/ atau ekuivalen dengan √ dan berarti
kaena n harus bilangan bulat.Sebagai gambaran daripada meng
hendaki ̅ menjadi interval konfidensi 95% untuk , berangkat ̅ akan manjadi
memuaskan kita 80%. Jika modifikasi ini dapat diterima , sekarang kita mempunyai
() .


/
atau ekuivalen ekuivalen dengan √ dan berarti kaena n harus bilangan bulat
kita mungkin akan menggunakan 93 dalam pratek.Mungkin kebanyakan orang terlibat dalam
pyoyek ini akanm menemukan ini adalah sampel yang lebih masuk akal

Soal-soal Latihan 1.2
1. Misalkan nilai pengamatan rata-rata
̅
dari sampel berukuran 20 dari distribusi ( )
adalah rata-rata
̅
adalah 81,2. Carilah interval konfidensi 95% untuk
2. Misalkan
̅
adalah rata-rata sampel acak berukuran n dari distribusi ( ) .Carilah n
sehingga (
̅

̅
)=0,90 secara hampiran‟
3. Misalkan sampel acak berukuran 17 dari distribusi normal (

), menghasilkan ̅
dan

. Carilah interval konfidensi 95% untuk
4. Misalkan
̅
adalah rata-rata sampel acak berukuran n dari distribusi yang mempunyai rataan


. Carilah n sehingga peluang hmpiran 0,954 bahwa interval acak



̅


/ mengandung
5. Misalkan





adalah sampel acak berukuran 9 dari distribusi normal (

).
a. Jika diketahui carilah panjang interval konfidensi 95% untuk jika interval ini
didasarkan pada peubah acak √(
̅
)
b. Jika tidak diketahui, carilah nilai harapan dari panjang interval konvfidensi untuk
didarakan pada peubah acak √(
̅
)
Petunjuk: Tulis () (√),(



)

-
c. Bandingkan dua jawaban ini.
6. Misalkan







adalah sampel acak berukuran n + 1,n > 1 dari distribusi
normal (

).Misalkan
̅










∑ (


̅
)




. Carilah konstanta c
sehingga statistik
(
̅


)

mempunyai distribusi- t . Jika n = 8 tentukan k sehingga (
̅




̅
) .Interval pengamatan (̅ ̅ ) sering disebut interval
prediksi 80% untuk


7. Misalkan Y adalah ( ). Jika nilai pengamatan Y adalah y = 75 . Carilah nilai pengamatan
90% untuk p
8. Dalam notasi pembicaraan interval untuk p , tunjukkan bahwa kejadian -2 < Z < 2 adalah
ekuivalen dengan ketidaksamaan (1)
Petunjuk: Pertama selidiki bahwa kejadian -2 < Z < 2 adalah ekuivalen dengan

yang
dapat ditulis kan sebagai pertidaksamaan yang mengandung pernyataan kuadrat k dalam p
9. Misalkan
̅
adalah rata-rata sampel acak berukuran 25 dari distribusi jenis gamma dengan
. Gunakan teorema limit pusat untuk mencari hampiran interval konfidensi
0,954 untuk , rataan distribusi gamma.
Petunjuk: Dasarkan interval konfidensi pada peubah acak
(
̅
)
(



)




̅


10. Misalkan
̅
adalah rata-rata pengamatan sampel acak berukuran n dari distribusi yang
mempunyai rataan dan variansi diketahui

.Carilah n sehingga ̅


̅


adalah
himpunan interval konfidensi 95% untuk .
11. Diketahui bahwa peubah acak X mempunyai distribusi Poisson dengan parameter .Suatu
sampel 200 pengamatan dari populasi yang mempunyai rata-rata sama dengan 3,4 .
Bentuklah suatu hampiran interval konfidensi 90% untuk .
12. Andaikan model binomial untuk peubah acak tertentu . Jika kita menghendaki interval
konfidensi 90% untuk p yang panjangnya paling banyak 0,02, carilah n
Petunjuk: Perhatikan bahwa √()( ) √.


/ .


/
13. Misalkan





menyatakan statistik order dari sampel acak berukuran n yang
mempunyai f.d.p ( )




, nol lainnya.
a. Tunjukkan bahwa .



/


b. Jika n adalah 4 dan jika nilai pengamatan dari

adalah 2/3 , berapakah interval
konfidensi 95% untuk
14. Misalkan





adalah sampel acak dari distribusi normal (

) di mana kedua
parameter

tidak diketahui . Suatu interval konfidensi

dapat dicari sebagai
berikut. Kita mengetahui bahwa




adalah
()
. Jika kita dapat mencari konstanta a dan b
sehingga .




/ .




/
a. Tunjukkan bahwa pernyataan kedua peluang dapat dituliskan sebagai
.









/
b. Jika n = 9 dan

, carilah interval konfidensi 95% untuk


c. Jika diketahui, bagaimana Anda akan modify prosedur sebelumnya untuk pencarian
interval konfidensi untuk


15. Misalkan





adalah sampel acak dari distribusi gamma dengan parameter
diketahui dengan .Bicarakan pembentukan interval
konfidensi untuk
Petunjuk: Apakah ada distribusi






Ikuti prosedur outliner dalam latihan 14



1.3 Interval Konfdensi untuk Selisih Rataan
Pubah acak T dapat juga digunakan untuk memperoleh interval konfidensi untuk selisih




di antara rataan dua distribusi normal (



) dan (



) apabila distribusi
mempunyai variansi

yang sama tetapi tidak diketahui.
Ulasan
Misalkan X mempunyai distribusi normal dengan parameter



.Suatu modifikasi
dapat dibuat dalam mengadakan percobaan sehingga variansi distribusi akan tetap sama tetapi
rataan distribusi akan diubah sebut bertambah sesudah modifikasi, Biasanya diharapkan bahwa


lebih besar dari

, yaitu bahwa



Sesuai dengan ini kita mencari interval
konfidensi untuk



berkenan dengan membuat inferensi statistika.Interval konfidensi
untuk



dapat diperoleh sebagai berikut.
Misalkan











berturut-turut menyatakan sampel acak
independen dari dua distribusi normal (



) dan (



). Nyatakan rat-rata sampel acak

̅

̅
dan variansi





berturut-turut. Keempat statistik ini adalah independen. Telah
kita tahu antara
̅



adalah independen ( juga
̅
dengan


independen}. Jika
̅

̅

adalah independen dan berdistribusi normal dengan rataan



serta variansi








berturut-turut. Selisih rata-rata
̅
-
̅
adalah berdistribusi normal dengan rataan

-

dan
variansi







. Maka peubah aack
(
̅
-
̅
)(

-

)










berdistribusi normal dengan rataan nol dan variansi satu.Peubah acak ini dapat melayani sebagai
pembilang dari peubah acak T Selanjutnya berturut-turut











mempunyai distribusi khi-
kuadrat dengan derajat kebebasan (n – 1) dan (m – 1) sehingga jumlah








mempunyai
dengan distribusi khi-kuadrat derajat kebebasan (n + m – 2) asalkan (n + m – 2) > 0. Karena
independensi
̅

̅
,





terlihat bahwa









()

dapat melayani sebagai dari peubah acak T yaitu peubah acak

.
̅
-
̅
/.

-

/







()
(





)

mempunyai distribusi –t dengan derajat kebebasan . Seperti pasal terdahulu kita dapat
(sekali n dan m ditetapkan bilangan bulat positif ( ) > 0) cari bilangan positif b dari
Tabel –t sehingga
( )

Jika kita mengambil







()
.





/
peluang ini dapat dituliskan dalam bentuk
[(
̅
-
̅
)



(
̅
-
̅
) ]
Hal itu mengikuti bahwa intervak acak
6(
̅
-
̅
)







()
.





/ (
̅
-
̅
)







()
.





/7
mempunyai peluang 0,95 memuat titik tertentu tak diketahui (



). Seperti biasa nilai
percobaan
̅

̅
,





namakan ̅ ̅





akan menetapkan interval konfidensi 95%
untuk (



) apabila variansi dua distribusi normal tidak diketahui tetapi sama . Satu
pertimbangan menghadapi kesukaran apabila variansi tidak diketahui dari dua distribusi normal
dan tidak sama dinyatakan dalam salah atu soal latihan.
Contoh 1
Dapat diselidiki bahwa jika pembicaraan di atas ̅ ̅


, maka
interval (-5,16 , 6,76) adalah interval konfidensi 95% untuk selisih (



)

Misalkan



dua peubah acak independen dengan berturut-turut distribusi
Binomial (



) (



).Sekarang mari kita kembali ke masalah pencarian interval
konfidensi untuk



dan rataan









apabila



diketahui.Karena dan variansi
dari .




-




/ berturut-turut adalah



dan


(

)





(

)


, maka peubah acak yang
diberkan rasio
.




-




/(



)



(

)





(

)



mempunyai rataan nol dan variansi 1 untuk semua bilangan bulat positif



.Selanjutnya
karena kedua



mempunyai hampiran distribusi normal untuk



besar.kita
menduga bahwa rasio mempunyai hampiran distribusi normal. Ini kasus nyata ,tetapi hal itu
tidak dibuktikan di sini.Selankutnya jika




di mana c adalah konstanta positif tertentu ,
dapat ditunjukkan bahwa peubah acak
(




)(




)



(




)(




)




(

)





(

)


(1)
Konvergen dalam peluang ke 1 jika

( dan berarti

,karena




,
Menurut Teorema peubah acak


4




-




5(



)


di mana

(



),



-



(



)(



)



Mempunyai limit distribusi N(0,1). Kejadian peluang hampiran sama dengan 0,954
adalah ekuivalen dengan kejadian
.




-




/



.




-




/
Sesuai dengan ini nilai percobaan







berturut-turut , akan menetapkan
hampiran interval konfidensi 95,4% untuk




Contoh 2
Jika dalam pembicaraan di atas







, maka nilai
Percobaan




-




dan U =0,1 dan √
()()


()()

berturut-turut.
Jadi interval (0,0,2) adalah hampiran interval konfidensi 95,4% untuk




Soal-soal Latihan 1.3
1. Misalkan dua sampel acak independen , masing-masing berukuran 20 dari dua distribusi
normal (



) (



) menghasilkan ̅


̅


.
Carilah interval konfidensi 95% untuk (



)
2. Misalkan dua sampel acak independen



dengan distribusi binomial yang
mempunyai parameter



,



berturut-turut diamati sama dengan




. Tentukan hampiran interval konfidensi 95,4% untuk




3. Bicarakan masalah pencarian interval konfidensi untuk selisih (



) diantara dua rataan
distribusi normal jika variansi





diketahui tidak perlu sama.
4. Bicarakan Latihan 3 apabil disrribusi diandaikan bahwa variansi tidak diketahui dan tidak .
sama .Ini adalah masalah yang amat sulit dan kesukaran akan menunjukkan secara tepat di
mana kesukaran terletak. Bagaimanapun jika variansi tidak diketahui tetap rasinya






adalah konstanta k yang diketahui . maka statistik yaitu peubah acak T dapat juga digunakan
Mengapa?
5. Sebagaimana gambaran Latihan 3 kita dapat mengambil












menggambarkan dua sampel acak independen berturut-turut dari distribusi normal
(




) (




) .Distribusi diberikan bahwa





tetapi


tidak diketahui.
Tentukan peubah acak yang mempunyai dstribusi-t yang dapat digunakan untuk mencari
interval konfidensi 90% untuk (



)
6. Misalkan
̅

̅
adalah rata-rata dari dua sampel acak independen masing-masing
berukuran n , berturut-turut dari distribusi (



) (



) di mna variansi bersama
diketahui, Carilah n sehingga
.
̅

̅








̅

̅
/
7. Misalkan











berturut-turut menyatakan sampel acak
independen dari dua distribusi normal (



) (



), di mana empat parameter
tidak diketahui. Untuk membentuk interval konfidensi untuk rasio






dari variansi ini
bentuklah pecahan dari dua peubah khi-kuadrat independen, masing-masing dibagi oleh
derajat kebebasannya, sebut







()






()

di mana





berturut-turut variansi sampel
a. Apakah jenis distribusi F miliki?
b. Dari tabel yang cocok , a dan b dapat dicari sehingga
( ) ( )
c. Tulis kembali pernyataan peluang keduasebagai
6



()



()











()



()
7
Nilai pengamatan





dapat dimasukkan dalam ketidaksamaan ini untu menetapkan
interval konfidensi 95% untuk








1.4 Uji Hipotesis Statistik
Dua bidang utama dari inferensr statistika adalah bidang penaksiran dari parameter dan
uji hipotesis statistik Masalah penaksiran parameter , kedua titik dan taksiran interval telah
dilakukan.Dalam pasal 1.4 dan 1.5 beberapa aspek hipotesis statistik dan uji-uji hipotesis statistic
akan dipertimbangkan .Subyek akan diperkenalkan melelui cara dari contoh.
Contoh 1
Misalkan diketahui bahwa hasil X dari percobaan acak adalah ( ). Misanya X
Dapatmenyatakan skor pada ujian , yang mana skor kita andaikan menjadi distribusi normal
dengan rataan dan variansi 100. Mari kita katakan pengalaman yang lalu dengan percobaan
acak ini menunjukkan bahwa . Andaikan , mungkin memperlihatkan ke beberapa
penelitian dalam bidang yang menyinggung ke percobaan ini, beberapa perubahn dibuat dalam
metode penyelenggaraan percobaan acak ini.Kemudian percobaan diduga tidak lebih lama
membuat , tetapi bahwa sekarang . Namun tidak ada ditunjukkan percobaan
formal bahwa , karenanya pernyataan adalah dugaan atau hipotesis statistik
.Dalam pengakuan bahwa hipotesis statistic mungkin salah, kita mengijinkan
kemungkinan berlaku bahwa Jadi nyata ada dua hipotesis statistik . Pertama parameter
tidak diketahui dalam . Kedua, bahwa parameter tidak
diketahui . Sesuai dengan ini , ruang parameter adalah * +. Kita
menyatakan pertama dari hipotesis ini dengan simbul

dan kedua dengan simbul


. Karena nilai adalah alternative terhadap , hipotesi disebut hipotesis
alternatif. Tiada gunanya mengatakan

dapat disebut alternatif terhadap

, bagaimanapun
dgaan di sini yang dibuat peneliti biasanya diambil terhadap hipotesis alternatif . Dalam
setiap kasus masalah adalah untu memutuskan yang mana hipotesis ini menjadi diterima. Untuk
mencapai keputusan , percobaan acak diulang sebanyak n kali independen dan hasil
diamati.Yaitu kita memperhatikan sampel acak





dari distribusi ( ). Dan kita
merencanakan satu aturan yang merencanakan satu aturan yang akan menceritakan kita apakah
keputusan untuk melakukan sekali nilai percobaan katakan





telah ditetapkan .Aturan
yang demikian disebut uji hipotesis

melawan hipotesis alternatif

. Tidak
ada batas padada banyak aturan atau uji yang dapat dibentuk. Kita akan pertimbangkan tiga
yang demikian.Uji kita akan dibentuk sekitar gagasan berikut.Kita akan mempartisi ruang
sampel ke dalan himpunani bagian C dan kompemenya

Jika nilai percobaan






katakan





ada sehingga titik (





) hipotesis


(terima hipotesis

). Jika kita mempunyai (





)

, hipotesis


(menolak hipotesis

).
Uji 1
Misalkan n = 25. Ruang sampel adalah himpunan
*(





)

+
Misalkan himpunan bagian C dari ruang sampel adalah
*(





)





()()+
Kita menolak hipotesis

jika dan hanya jika nilai 25 percobaan kita ada sehingga
(





) .Jika (





) bukan unsur C , kita akan menerima hipotesis

.
Himpunan bagian C dari ruang smpel ini yang mengarah ke penolakan hipotesis


disebut daerah kritis dari Uji 1.Sekarang ∑



(),- jika dan hanya jika ̅ di mana
̅






. Jadi kita dapat lebih banyak tepatnya bahwa kita menolak hipotesis


dan memnerima hipotesisi

jika dan hanya jika percobaan menetapkan nilai rata-rata
sampel acak ̅ lebih besar dari 75. Jika ̅ kita menerima hipotesis

Uji kita
kemudian menjadi ini.Kita akan menolak hipotesis

jika rata-rata sampel melebihi
nilai maksimum rataan distribusi apabila hipotesis

benar. Hal itu akan membantu kita untuk
mengevaluasi uji hipotesis statistik jika kita mengetahui peluang penolakan hipotesis (dan
karenanya penerimaan hipotesis alternatif). Dalam Uji 1 kita rata-rata ini yang kita inginkan
untuk menghitung peluang
,(





) - (
̅
)
Jelas peluang ini adalah fungsi dari parameter dan kita akan menyatakan peluang itu dengan


(). Fungsi

() (
̅
) disebut fungsi kuasa dari Uji 1, dan nilai dari fungsi kuasa
pada titik parameter disebut kuasa Uji 1, pada titik ini.
Karena
̅
adalah normal ( ) kita mempunyai


() .

̅





/ .


/
Maka sebagai gambaran, oleh tabel normal kita mempunyai kuasa pada adalah

()
. Kuasa yang lain adalah

() ,

() dan

()
Grafik dari

() dar Uji 1 diberikan dalam Gambar 1.1







Antara keadan yang lain,ini mengartikan bahwa jika , peluang penolakan hipotesis


adalah ½, yaitu jika sehingga

benar, peluang penolakan hipotesis

ini
benar adalah ½.Banyak ahli statistik dan pekerja peneliti menemukan itu amat tidak diinginkan
untuk mempunyai peluang tinggi yang demkian seperti 1/2 menyatakan terhadap jenis kesalahan
namakan penolakan

bila hipotesis

benar. Berarti Uji 1 tidak muncul menjadi uji yang amat
memuaskan .Kita akan melakukan ini dengan pembuatan uji lebih sukar untuk menolak hipotesis


, dengan harapan bahwa ini akan memberikan peluang penolakan

yang lebih kecil apabila
hipotesis benar.

Uji 2
Misalkan n = 25 kita akan menolak hipotesis

dan menerima hipotesis


jika dan hanya jika ̅ .Disini daerah kritis adalah *(





)






()()+.Fungsi kuasa uji adalah


() (
̅
) .


/
karena
̅
( ).
Beberapa nilai dari fungsi kuasa Uji 2 adalah

()

()

()


() .Jadi jika peluang penolakan

adalah 0,067, ini
lebih banyak diinginkan daripada peluang padanan 1/2 yang dihasilkan dari Uji 1,
Bagaimanapun jika

salah dan dalam kenyataan peluang penolakan

(dan
karenanya peluang penerimaan

) hanya 0,309. Dalam contoh tertentu ini peluang
rendah 0,309 dari keputusan benar (penerimaan

bila

benar) tidak dapat disetujui . Yaitu
Uji 2 tidak memuaskan sama sekali .Barangkali kita dapat mengatasi ketidakinginan
keistimewaan Uji 1 dan 2 jika kita proses seperti dalam Uji 3.

Uji 3
Misalkan kita pertamakali memilih fungsi kuasa

() yang mempunyai keistimewaan pada
dan nilai besar pada Misalnya ambil

()

() .
Untuk menetukan uji dengan fungsi kuasa demikian , mari kita tolak

Jika dan hanya
jika nilai percobaan ̅ dari rata-rata sampel acak berukuran n lebih besar daripada konstanta c.
Jadi daerah kritis adalah *(





)





+. Hal itu akan dicatat
bahwa sampel acak ukuran n dan konstanta c tidak ditentukan hingga kini. Bagaimanapun,
karena
̅
( ) fungsi kuasa adalah


() (
̅
) .


/
Persyaratan

()

() menginginkan bahwa
.


/ .


/ =0,841ra
Secara ekuivalen dari tabel normal , kita mempunyai






Solusi terhadap dua persamaan dalam n dan c adalah n = 100 dan c = 76. Dengan nilai n dan c
ini kuasa lain dari uji 3 adalah

()

() . Hal itu penting untuk
mengmati bahwa meskipun auji 3 mempuyai fungsi kuasa lebih dinginkan daripada Uji 1 dan Uji
2 “harga” tertentu telah dibayar – satu sampel berukuran n = 100 didingikan dalam Uji 3di mana
kita mempunyai n = 25 dalam Uji terdahulu.

Komentar
Sepanjang teks kita sering mengatakan bahwa kita menerima hipotesis

jika kita tidak
menolak

setuju untuk

. Iika keputusan ini dibuat , tentu saja tidak berarti bahwa

benar
atau bahwa kita yakin percaya bahwa

benar .Semua hal itu berarti ada, berdasarkan atas data
pada tangan,bahwa kita tidak meyakinkan bahwa hipotesis

salah .Sesuai dengan itu
pernyataan “kita menerima

memungkinkan lebih baik membaca sebagai “kita tidak
menolak

”. Bagaimanapun karena hal itu dalam kebaikan bersama menggunakan “ kita
menerima

” tetapi membaca dengitu n ucapan adalam pikiran.
Sekatang kita telah dilustrasikan konsep berikut
1. Hipotesis Statistik
2. Uji hipotesis melawan uji alternatif dan dihubungkan dengan konsep daerah kritis dari Uji.
3. Kuasa uji.
Sekarang konsep ini akan formal ditetapkan.
Definisi 3
Hipotesis statistik adalah pernyataan tentang distribusi dari satu peubah acak atau lebih
Jika hipotesis statistik secara lengkap menetapkan distribusi, hipotesis itu disebut hipotesis
statistik sederhana, jika hipotesis itu tidak, hipotesis disebut hipotesis statistik komposit.
Jika kita menunjuk ke Contoh 1 , kita melihat bahwa kedua



adalah
hipotesis komposit karena tidak ada dari kedua hipotesis secara lengkap menetapkan diatribusi.
Jika ada pengganti

, kita mempunyai

, maka

akan mempunyai
hipotesis sederhana.
Definisi 4
Setiap uji hipotesis statistik adalah aturan yang apabila nilai sampel percobaan telah
diperoleh , menuju ke keputusan untuk menerima atau menolak hipotesis dibswah pertimangan
Definisi 5
Misalkan C adalah himpunan bagian ruang sampel yang sesuai dengan uji yang ditetap
kan , mengarah ke penolakan dari hipotesis dibawah pertimbangan.Maka C disebut daerah kritis
dari uji.
Definisi 6
Fungsi kuasa uji dari hipotesis statistik

melawan hipotesis alternatif

adlah fungsi
yang ditetapkan untuk semua distribusi , yang menghasilkan peluang bahwa titik sampel jatuh
dalam daerah kritis C dari uji.Yaitu fungsi yang menghasilksn peluang penolakan hipotesis
dibawah pertimbangan.
Nilai fungsi kuasa pada tittik parameter dlsebut kuarsa uji pada titik tersebut
Definisi 7
Misalkan

menyatakan hipotesis untuk diuji melawan hipotesis alternatif

sesuai
dengan uji yang ditentukan . Taraf signifikansi uji (ukuran daerah kritis C) adalah nilai
maksimum (secara nyata suprimum) fungsi kuasa dari uji apabila

benar
Jika kita menunjuk ke Contoh 1 , kita melihat taraf signifikansi dari Uji 1,2,dan 3 dari
contoh itu berturut-turut adalah o,500 , 0,067 ,dan 0,159. Satu contoh tambahan dapat
membantu menjelaskan definisi ini.
Contoh 2
Diketahui bahwa peubah acak X mempunyai f.d.p dari bentuk
( )





= 0 , lainnya.
Diinginkan untuk menguji hipotesis sedehana

melawan hipotesis sederhana alternatif


. Berarti * +. Sampel acak



berukuaran n = 2 akan digunakan. Uji
yang digunakan ditentukan melalui pengambilan daerah kritis menjadi *(



)




+ Fungsi kuasa dan taraf signifikansi uji akan ditentukan.
Ada, bahkan dua fungsi densitas peluang . sebut ( ) ditetapkan oleh

, dan ( )
ditetapkan oleh

. Jadi fungsi kuasa ditntukan pada dua titik dan . Fungsi kuasa uji
diberikan oleh ,(



) -
Jika

benar, yaitu f.d.p bersama dari



adalah
(

)(

)



(



)





dan
,(



) - ,(



)

-
∫ ∫



(



)










= 0,05 secara hanpiran.

Jika

benar, yaitu f.d.p bersama dari



adalah
(

)(

)



(



)





dan
,(



) - ,(



)

-
∫ ∫



(



)










= 0,31 secara hanpiran.
Jadi kuasa uji diberikan oleh 0,05 untuk dan oleh 0,31 untuk .Yaitu peluang
penolakan

apabila

benar adalah 0,05 dan peluang penolakan

apabila

salah adalah
0,31. Karena taraf signifikansi uji ini (atau ukuran daerah kritis) adalah kuasa uji apabila


benar, taraf signifikansi uji adalah 0,05.Kenyataan bahwa kuasa uji ini , apabila adalah
hanya 0,31, segera mengusulkan bahwa penelitian dibuat untuk uji lain, yang mana dengan kuasa
sama apabila , akan mempunyai kuasa yang lebih besar darpada 0,31 apabila .
Bagaimanapu, kemudian uji akan menjadi jelas bahwa penelitian yang demikian akan menjadi
tidak berhasil.Yaitu tidak ada uji dengan taraf signifikansi 0,05 dan didasarkan pada sampel acak
berukuran n = 2, yang mempunyai kusa lebih pada . Hanya cara dalam hal situasi dapat
diperbaiki , ada jalan lain terhadap sampel acak berukuran n yang lebih besar daripada 2.
Perhitungan kita tentang kuasa uji pada dua titik dan sengaja dilakukan cara kasar
untuk memusatkan perhatian pada konsep yang mendasar. Perhitungan yang lebih sederhana
adalah sebagai berikut.
Apabila hipotesis

benar , peubah acak X adalah

(). Jadi peubaha acak




adalah

() .Sesuai dengan ini , kuasa uji apabila

benar diberikan oleh
( ) ( )
Apabila hipotesis

benar , peubah acak Y/2 adalah

().Sehingga





adlah

()
Sesuai dengan ini , kuasa uji apabila

benar diberikan oleh
(



) ( ) ∫








Yang sama dengan 0,31 secara hampiran

Komentar
Penolakan hipotesis

apabila hipotesis benar adalah keputusan yang tidak benar atau
salah . Keputusan yang tidak benar ini disebut galat jenis I, sesuai dengan ini taraf signifikansi
uji adalah peluang perrlakuan galat jenis I. Penerimaan

apabila

salah (

benar ) disebut
galat jenis II. Jadi peluang galat jenis II adalh 1 dikurangi kuasa uji apabila

benar . Sering uji
membinungkan mahasiswa untuk menemukan bahwa ada begitu banyak nama untuk keadaan
tang sama . Bagaiamanapun karena semua uji digunakan dalam literature statistik kita merasa
wajib menjelaskan bahawa “taraf signifikansi”, “ukuran daerah kritis”, “kuasauji apabila


benar dan “peluang perlakuan galat jenis I” semua adalah ekuivalen.

Soal-soal Latihan 1.4
1. Misalkan X mempunyai f.d.p berbrntuk ( )

nol lainnya, dimana
* +. Untuk menguji hipotesis sederhana

melawan hipotesis
sederhana alternatif

,gunakan sampel acak berukuran n = 2 dan tentukan daerah
kritis 2(



)






3. Carilah fungsi kuasa uji.
2. Misalkan X mempunyai distribusi binomial dengan parameter n = 10 dan 2





3
Hipotesis sederhana

ditolak dan hipotesis sederhana alternatif


diterima , jika nilai ri

, sampel acak berukuran 1lebih kecil atau sama dengan 3 . Carilah
fungsi kuasa dari uji.
3. Misalkan



adalah sampel acak berukuran n = 2 dari distribusi yang mempunyai f.d.p
( )




, 0 , nol lainnya. Kita menolak

dan terima

.
Jika nilai pengamatan dari



ktakan



sehingga
(

)(

)
(

)(

)




Di sini * +.Carilah taraf signifikansi uji dan kuasa uji apabila

salah.
4. Mari kita andaikan umur ban dalam mil sebut X berdistribusi normal dengan rataan dan
simpangan baku 5000. Pengalaman yang lalu menunjukkan bahwa „Pabrik
menyatakan bahwa ban dibuat oleh proses baru mempunyai rataan dan proses
amat memungkinkan . Mari kita periksa pernyataannya melalui pengujian


melawan

kita akan mengamati n nilai independen dari X ,
katakan





dan kita akan menolak

(berari menerima

) jika dan hanya jika
̅ . Tentukan n dan c sehingga fungsi kuasa () dari uji mempunyai nilai ()
() .
5. Misalkan X mempunyai distribusi Poisson dengan rataan .Perhatikan hipotesis sederhana


dan hipotesis alternatif

. Jadi * + Misalkan






menyatakan sampel acak berukuran 12 dari diatribusi ini.Kita tolak

jika
dan hanya jika njilai pengamatan dari





Jika () fungsi kuasa
uji , carilah () () () () (). Gambarkan grafik ().
Berapakah taraf signifikansi dari uji?
6. Misalkan Y mempunyai distribusi binomial dengan parameter n dn p . Klta menolak


dan menerima

.Carilah n dan c untuk memberikan fungsi kuasa () yang
mana ada sehingga () () secara hampiran.
7. Misalkan







statistik order dari sampel acak berukuran n = 4 dari distribusi
yang mempunyai f.d.p ( )


, nol lainnya., dimana > 0.
Hipotesis

ditolak dan

diiterima jika dan hanya jika pengamatan


a. Carilah konstanta c sehingga taraf signifikansi adalah i
b. Tentukan fungsi kuasa dari uji.

1.5 Komentar Tambahan Tentang Uji Statistik
Semua hipotesis alternatif dipertimbangkan dalam pasal 1.4 adalah hipotesis satu-sisi
Sebagai gambaran dalam soal 1.4.4

melawan alternatif satu- sisi


di mana adalah rataan distribusi normal yang mempunyai simpangan baku Uji
dihubungkan dengan situasi ini, sebutlah tolak

jika dan hanya jika rata-rata sampel
̅

adalah uji satu-sisi.Untuk meyakinkan kita sering menyebut

hipotesis nol,
seperti dalam latihan ini , uji menganjurkan bahwa prose baru tidak merubah rataan distribusi.
Yaitu prose baru telah digunakan tanpa akibat jika dalam kenyataan rataan masih sama dengan
30000, karenanya terminologi hipotesis nol adalah tepat.Sebab itu dalam soal latihan 1.4.4 kita
sedang menguji hipotesis nol sederhana melawan alternatif satu-sisi komposit drngan uji satu-
sisi . Ini member kesan bahwa disana dapat menjadi hipotesis alternatif dua-sisi . Sebagai
gambaran dalam soal latihan 1.4.4 , andaikan ada kemumngkinan bahwa proses baru mungkin
menurunkan rataan.Yaitu katakana bahwa kita dengan sederhana tidak mengetahui apakh
dengan proses baru atau atau telah tidak berubah dan hipotesis nol


masih benar.Maka kita akan mengingInkan untuk menguji

,
melawan alternatif dua-sisi

. Untuk membantu melihat bagaimana membentuk uji
dua- sisi untuk

melawan

, perhatikan penjelasan berikut
Menyangkut

melawan alternatif satu-sisi , kita menggunakan
̅

atau ekuivalen


̅








di mana karena adalah (

) dibawah

() dan kita dapat
memilih

untuk mempunyai uji dari taraf signifikansi . Yaitu jika
̅
adalah
1,645 √ lebih besar daripada rataan kita akan menolak

dan menerima


dan taraf signifikansi
Untuk menguji

, melawan

, mari kita gunakan
̅
melalui Z
dan menolak

jika
̅
atau Z adalah terlalu besar atau terlalu kecil. Katakanlah jika menolak


dan menerima

apabila
|

̅


| 6
taraf signifikansi karena ini adalah peluang dari 6 apabila

benar.
Hal itu menarik perhatian untuk mencatat bahwa kita tolak

dan terima

jika 30000 tidak di
dalam (dua sisi) interval konfidensi untuk rataan atau ekuivalen jika

̅




̅




menggiring ke penerimaan


Sekali kita mengenal hubungan ini di antara interval konfidensi ada uji hipotesis kita dapat
menggunakan semua statistik itu yang kita gunakan untuk membentuk interval konfidensi
terhadap uji hipotesis , tidak hanya melawan alternatif dua-sisi tetapi juaga sebaik satu-sisi.
Tanpa pendaftaran semua ini dalam tabel, kita memberikan cukup untuk keduanya sehingga
dasar dapat dimengerti.
Contoh 1
Misalkan
̅


adalah rata-rata dan variansi sampel acak berukuran n berasal dari
(

) . Untuk menguji pada taraf signifikansi



melawan alternatif dua-
sisi



, tolak jika
|

̅



|
Di sini b adalah persentil ke 97,5 dari distribusi-t dengan derajat kebebasan n – 1
Contoh 2
Misalkan sampel acak independen diambil dari (



) dan (



) berturut-turut ,
katakana ini mempunyai karakteristik sampel berturut-turut
̅




̅



.Pada
tolak





dan terima alternatif satu-sisi





, jika


̅

̅









.





/

Perhatikan bahwa
̅

̅
mempunyai diatribusi normal denagn rataan nol dibawah

.
Maka c diambil sebagai persentil ke 95 dari distribusi dengan derajat kebebasan n+m-2 asalkan

Contoh 3
Katakan Y adalah ( ). Untuk menguji







kita
menggunakan salah satu dari



()



(

)



()

√()()

Jika n besar , kedua

dan

mempunyai hampiran distribusi normal baku asalkan




benar. Karenanya c menjadi -1,645 untuk memberikan hampiran taraf signifikansi
.Beberapa ahli statistik menggunakan

dan lainnya

.Kita tidak mempunyai pilihan kuat satu
cara atau lainnya karena dua metode menetapkan tentang hasil numerik yang sama . Serentak
mungkin mengira , penggunaan

menetapkan peluang lebih baik untuk perhitungan kuasa jika
p adalah dekat ke

sementara

adalah lebih baik jika

adalah jelas salah . Bagaimanapun
dengan hipotesis alternatif dua-sisi ,

menetapkan hubungan yang lebih baik dengan interval
konfidensi untuk p, yaitu

ekuivalen terhadap

berada di dalam interval dari



()()

ke



()()


yang merupakan interval yang menetapkan interval konfidensi 95,4% untuk p sebagaimana
betui-betul dipetimbangkan dalam pasal 1.2
Dalam penutupan pasal ini , kita memperkenalkan konsep uji keacakan dari nilai p melalui
contoh dan komentar yang mengikuti contoh.hadap salah satu uji yang
Contoh 4
Misalkan





adalah sampel acak berukura n = 10 dari distrbusi Poisson
dengan rataan .Daeah kritis untuk pengujian



diberikan
oleh ∑



.Statistik Y mempunyai diatribusi Poisson dengan rataan 10 . Jadi
dengan sehingga rataan Y adalah 1, taraf signifikansi uji adalah
( ) ( )
Jika daerah kritis ditentuka oleh ∑



dignakan , taraf signifikansi adalah
( ) ( )
Jika taraf signifikansi tentang , katakana diinginkan kebanyakan ahli statistik akan
menggunakan salah satu dari uji ini, yaitu mereka akan menyesuaikan taraf signifikansi terhadap
salah satu uji ynag tepat. Bagaimanapun taraf signifikansi dapat diterima secara tepat
oleh penolakan

jika ∑



atau jika ∑



=3 dan satu alat bantu percobaan acak
independen menghasilkan “sukses” di mana peluang sukses dipilih sama dengan







Ini dilakukan terhadap kenyataan bahwa apabila sehingga rataan dari Y adalah 1.
( ) ( ) ( )()
()


= 0,05
Proses penyelengaraan percobaan alat bantu untuk memutuskan apakah menolak atau tidak
menolak apabila Y = 3 kadang-kadang diarahkan ke seperti uji keacakan
Komentar
Tidak banyak ahli statistik suka uji keacakan dalam praktek , karena kegunaanya
mengartikan bahwa dua ahli statistik dapat membuat asunsi yang sama , memgamati data yang
sama, menggunakan uji yang sama, dan namun membuat keputusan yang berbeda.Karenanya
mereka biasanya menyetel taraf signifikansi mereka sehingga tidak seperti keacakan
sebagaimana terjadi dari kenyataan, banyak ahli statistik melaporkan apa yang disebut nilai-p
(untuk nilai peluang). Sebagai gmbaran , jika dalam Contoh 4 diamati Y adalah y = 4 nilai-p
adalah 0,019 dan jika y = 3 nilai-p adalah 0,080.Yaitu nilai-p adalah peluang“ekor” pengamatan
dari statistik menjadi .paling sedikit seekstrim dengan nilai pengamatan khusus apabila


benar.Karenanya secara lebih umum , jika (





) statistik untuk digunakan dalam
uji

dan jika daerah kritis adalah berbentuk
(





) lam kasus ini.
satu nilai pengamatan (





) akan mengartikan bahwa
nilai-p =(

)
Yaitu jika G(y) fungi distribusi dari (





) asalkan bahwa

benar, nilai-p sama
dengan G(d) dalam kasus ini.Bagaimanapu G(x) , dalam kasus kontinu berdistribusi seragam
pada interval satuan , sehingga nilai pengamatan () akan menjadi ekuivalen terhadap
pemilihan c sehingga
((





)

)
dan pengamatan bahwa . Kebanyakan program computer secara otomatis mencetak nilai-p
dari uji
Contoh 5
Misalkan





adalah sampel acak dari (

).Untuk menguji


melawan hipotesis alternatif

, katakan kita amati 25 nilai dan menemukan bahwa

̅
. Variansi dari
̅
adalah (

) () .Sehingga kita mengetahui


̅


() ditetapkan bahwa dari statistik uji
ini adalah


adalah () . Sesuai
dengan itu jika kita sedang menggunakan taraf signifikansi kita akan menolak

dan
menerima

: karena 0,012 < 0,050

Soal-soal Latihan 1.5
1. Andaikan bahwa berat gandum dalam “kotak 10 ons” adalah (

). Untuk menguji


melawan

kita mengambil sampel acak berukuran n = 16 dan
amati bahwa
̅
dan S = 0,4
a. Adakah kita menerima atau menolak

pada taraf signifikansi 5%?
b. Berapakah hampiran nilai-p dari uji ini?
2. Masing-masing dari 51 pemain golf memukul 3 bola golf dari macam X dan 3 bola golf dari
macam Y dalam urutan acak. Misalkan
̅
dan
̅
sama dengan rata-rata jarak perjalanan oleh
bola golf macam X dan macam Y dimasukkan oleh pemain ke i, i =1,2,…,51. Misalkan






, i =1,2,…,51. Ujilah



melawan



dimana

rataan dari
selisih.Jika ̅ dan


akankah

diterima atau ditolak pada taraf
signifikansi Berapakah nilai-p uji ini?
3. Antara pengumpulan data untuk Organisasi Kesehatan Dunia proyek pemonitoran kualitas
udara adalah ukuran dari partikel mati dalam

Misalkan X dan Y sama dengan
konsentrasi partikel mati dalam

dalam pusat kota (distrik perdagangan ) berturut –
turut untuk Melbourne dan Houston . Gunakan n = 13 pengamatan X dan m = 16 pengamatan
Y , kita akan menguji





melawan






a. Tentukan statistik uji dan daerah kritis diandaikan bahwa variansi sama .Ambil
b. Jika ̅

̅

, hitung nilai uji statistik dan tentukan
kesimpulan Anda.
4. Misalkan p sama dengan proporsi supir yang menggunakan sabuk pengaman dalam keadaan
bahwa tidak mempunyai aturan perintah sabuk pengaman Hal itu dituntut bahwa p = 0,14
Suatu kampanye periklanan dilakukan untuk menaikkan proposi ini . Dua bulan setelah
kampanye y = 100 sampel acak dari n = 590 supir sedang memakai sedang sabuk pengaman
mereka. Adakah kampanye berhasil?
a. Tentukan hipotesis nol dan alternatif.
b. Tentukan daerah kritis dengan taraf signifikansi .
c. Tentukan hampiran nilai-p dan tentukan kesimpulan Anda
5. Dalam soal latihan 1,2,14 kita mencari interval konfidensi untuk vaiansi

menggunakan
variansi

dan sampel acak berukuran n yang terjadi dari (

) di mana rataan tidak
diketahu. Dalam pengujian













, gunakan daerah kritis yang
ditentukan oleh





. Yaitu tolak

dan terima

jika




. Jika n = 13 dan taraf
signifikansi , tentukan c
6. Dalam soal latihan 1,3,6 dalam penemuan interval konfidensi untuk rasio dua variansi dua
distribusi normal , kita menggunakan statistik ,


( )- ,


( )- ⁄ yang
mempunyai distribusi F apabila dua variansi adalah sama. Jika kita menyatakan statistik oleh
F kita dapat menguji







melawan







menggunakan daerah kritis
. Jika n = 13 dan m = 11dan ., carilah c
1.6 Uji Khi-kuadrat
Dalam pasal ini kita memperkenalkan uji hipotesis statistik disebut uji khi-kuadrat. Uji
macam ini aslinya diajukan oleh Karl Pearson dalam 1900. Uji menetapkan salah satu metode
yang mudah inferensi statistika .
Misalakan peubah acak

adalah (




)





saling
independen, Jadi f.d.p bersama peubah ini adalah







()

[


∑ .





/



]


Peubah acak yang ditentukan oleh eksponen (bagian dari koeisien -1/2) adalah ∑ .





/



dan
peubah acak ini adalah

(). Kita telah menggeneralisasi disstribusi peluang normal berksama
ke n peubah acak yang dependen dan kita sebut distribusi normal multivariate. Sekarang mari
kita bicarakan beberapa peubah acak yang mempunyai hampiran distribusi khi-kuadrat. Misalkan
X adalah ( ). Karena peubah acak






(

)
. Jika , mempunyai limit distribusi
(), kita akan menduga secara kuat bahwa limit distribusi dari



(). Dalam
kenyataan kasus ini ada, sebagaimana sekarang akan ditunjukkan. Jika

() menyatakan fungsi
distribusi dari Y, kita katakan bahwa




() () .
di maba () adalah fungsi distribusi () Misalkan

() menyatakan fungsi distribusi dari


untuk setiap bilangan bulat positif n. Jadi , jika


() ( ) (√ √)

(√)

((√) )
Sesuai dengan ini , karena () kontinu dimana-mana




() (√) (√) ∫









Jika kita mengubah peubah integrasi dalam integral terakhir ini dengan menuliskan

,
maka




() ∫

()











asalkan . Jika maka



() , Jadi



() adalah sama terhadap
fungsi distribusi peuabah acak yaitu

(). Ini adalah hasil yang diinginkan.
Mari kita kembali ke peubah acak

yang merupakan (

). Misalkan



dan
ambil



. Jika kita menyatakan



pengganti Z kita melihat bahwa

dapat
dituliskan sebagai



(



)



(

)
=
(



)




(



)

(

)


=
(



)




(



)




karena (



)

(



)

(



)


Karena

mempunyai limit distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 1, kita katakan
apabila n bilangan bulat positif ,bahwa

mempunyai hampiran distribusi khi-kuadrat dengan
derajat kebebasan 1. Hasil ini dapat diperluad sebagai berikut.
Misalkan





mempunyai distribusi multinomial dengan parameter






. sebagai alat yang menyenagkan , ambil

(





) dan
ambil

(





)
Tentukan

oleh



(



)






Itu dibuktikan dalam pelajaran lebih lanjut bahwa jika ,

mempunyai limit distribusi
yaitu

( ) Jika kita menerima keputusan ini , kita dapat mengatakan bahwa


mempunyai hampiran distribusi khi-kuadrat dngan derajat kebebasan (k – 1) apabila n bilangan
bulat positif.Beberapa peneliti mengakibatkan pengguna hampiran ini menjadi yakin bahwa
terhadap n besar , setiap

pa ling sedikit sama dengan 5 .Dalam uatu kasus hal
itu penting untuk merealisasikan bahwa

tidak mempunyai distribui khi-kuadrat hanya
hampiran distribui khi-kuadrat.
Peubah acak

melayani sebagai dasar dari uji hipotesis statistik tertentu yang
mana sekarang kita bicarakan . Misalkan ruang dari sampel acak merupakan gabungan k
himpunan saling lepas yang banyaknya berhingga





. Selanjutnya misalkan (

)


di mana

(





) sehingga

adalah peluang bahwa
hasil percobaan acak adalah unsurdari himpunan

. Percobaan acak diulang n kali independen
dan

akan menyatakan banyak kali hasil adalah unsur dari himpunan

. Yaitu






(





) adalah frekuensi dengan yang mana hasil ada, berturut-turut unsur
dari





.Maka f.d.p bersama dari





dengan
parameter n,





. Perhatikan hipotesis sederhana (mengenai multinomial ini)














di mana





adalah bilangan yang
ditentukan . Uji diinginkan untuk menguji

melawan semua alternatif
Jika hipotesis

benar peubah acak



(



)






mempunyai hampiran khi-kuadrat dengan derajat kebebasan k-1, di mana

benar ,

adalah
nilai harapan

, kita akan merasa secara intuitif bahwa nilai percobaan dari

tidak akan
terlalu besar jika

benar. Dengan ini dalam pikiran , kita dapat menggunakan Tabel khi-
kuadrat, dengan derajat kebebasan k-1, dan mencari c sehingga (

) , adalah taraf
signifikansi dari uji.Kemudian jika hipotesis

ditolak apbila nilai pengamatan

paling
sedikit sebesar c, uji

akan mempunyai taraf signifikansi yaitu hampiran sama dengan
Beberapa contoh gambaran berikut.


Contoh 1
Salah satu dari enam bilangan bulat positif pertama dipilih melaui percobaan acak
(pbarangkali melalui sebuah dadu). Misalkan

* + . Hipotesis


(

)




akan diuji .pada hampiran taraf signifikansi 5%, melawan
semua alternatif . Untuk membuat uji , percobaan acak akan diulang dibawah kondisi yang sama
60 kali independen. Dalam contoh ini k =6 dan

.


/ . Misalkan


menyatakan frekuensi dengan mana percobaan acak berhentidengan hasil dalam

,i=1,…,6
dan misalkan


(

)




. Jika

benar ,Tabel khi-kuadrat dengan derajat kebebasan k-1
=6 – 1 = 5 menunjukkan bahwa kita mempunyai (

) . Sekarang andaikan
bahwa frekuensi percobaan dari





berturut-turut adalah 13,19,11,8,5, dan 6.
Nilai pengamatan

adalah
( )



( )



( )



( )



( )



( )



Karena 15,6 hipotesis (

)


ditolak pada (hampiran) taraf
signifikansi 5%
Contoh 2
Suatu titik akan dipilih dari interval satuan * + melalui proses acak. Misalkan


2


3

2





3,

2





3.

2


3
Misalkan peluang

menyatakan terhadap himpunan ini dibawah hipotesis yang
ditentukan oleh f.d.p =2x , 0 < x <1, nol lainnya. Kemudian peluang ini berturut-turut adalah
























Jadi hipotesis yang diujiadalah





dan







mempunyai nilai terdahulu
dalam satu distribusi multinomial dengan k = 4. Hipotesis iniuntuk diuji pada hampiran taraf
signifikansi 0,025 dengan pengulangan n = 80 kali independen dibawah kondisi yang sama Di
sini

i = 1,2,3,4 berturut-turut adalah 5,15,25,dan 35. Andaikan frekuensi amatan dari








berturut-turut adalah 6,18,20, dan 36.Maka nilai pengamatan


(



)






adalah
()



()



()



()





secara hampiran. Dari Tabel khi-
kuadrat dengan derajat kebebasan 4-1=3, nilai padanannya terhadap taraf signifikansi 0,025
adalah c = 9,35. Karena nilai pengamatan dari Q lebih daripada 9,35 , hipotesis diterima pada
(hampiran) taraf signifikansi 0,025
.Jadi sejauh kita telah menggunakan uji khi-kuadrat apabila hipotesis

adalah hipotesis
sederhana . Lebih sering kita menghadapi

dalam hal peluang multinomial





tidak
secara lengkapditetapkan oleh hipotesis

, yaitu dibawah

peluang ini adalah fungsi dari
parameter yang tidak diketahui. Sebagai gambaran , andaikan peubah acak tertentu Y dapat
mengambil pada suatu bilangan real. Mari kita partisi ruang * + ke dalam k
himpunan saling lepas





sehingga kejadian





salling eksklusif dn lengkap
Misalkan

adalah hipotesis bahwa Y adalah (

) dengan

tidak ditetapkan .
Kemudian setiap






0
()



1
adalah ungsi dari parameter yang tidak diketahui

.Andaikan bahwa kita mengambil
sampel acak





berukuran n dari distribusi ini. Jika kita misalkan

menyatakan
frekuensidari







telah diamati, karena setiap


dan


(



)






tidak dapat dihitung sekali





telah diamati, karena setiap



adalah fungsi
dari parameter

yang tidak diketahui.
Bagaimanapun ada jalan keluar dari kesukaran kita , Kita telah mencatat bahwa


adalah fungsi dari

.Sesuai dengan ini pilih nilai

yang meminimumkan


Jelas , nilai ini bergantung atas pengamatan











dan disebut taksiran
khi-kuadrat minimum untuk

.Taksiran titik ini untuk

memungkinkan kita
unyuk menghitung secara numerik taksiran untuk setiap

.Sesuai dengan ini, jika nilai ini
digunakan ,

dapat dihitung segera sesudah





dan karenanya





diamati
Bagaimanapun , segi kenyataan amat penting dalam hal kita menerima tanpa bukti , bahwa
sekarang

secara hampiran

( ) .Yaitu besar derajat kebebasan dan limit distribusi
dari

dihasilkan oleh kita untuk setiap parameter ditaksir oleh data percobaan .Pernyataan
ini dipakai tidak hanya terhadap masalah yang ada tetapi juga terhadap sesuatu yang lebih
umum. Sekarang dua contoh akan diberikan . Pertama dari contoh ini menyangkut uji hipotesis
bahwa dua distribusi multivariate adalah sama.
Contoh 3
Mari kita perhatikan dua distribusi multinomial dengan parameter








i = 1,2 berturut-turut .Misalkan

menggambarkan frekuensi padanannya.
Jika



besar dan pengamatan dari satu distribusi adalah independen dari yang lain,
peubah acak
∑ ∑
(





)










adalah jumlah dua peubah acak independen , setiap yang kita pelakukan seperti yang terdahulu
itu adalah

( ) yaitu peubah acak adalah

( ) Perhatikan hipotesis















di mana setiap



, I = 1,2,…,k tidak ditetapkan. Jadi kita memerlukan taksiran titik untuk
parameter ini . Penaksir kemungkinan maksimum untuk



didasarkan atas frekuensi


adalah








, i = 1,2,…,k. Perhatikan bahwa kita memerlukan hanya (k- 1) taksiran titik
karena kita mempunyai taksiran titik untuk



, sekali kita mempunyai taksiran titik
untuk (k-1) peluang pertama Sesuai dengan kenyataan bahwa telah ditetapkan peubah acak

∑ ∑
{



,(



)(



)-}



,(



)(



)-





mempunyai hampiran distribusi

dengan derajat kebebasan ( ) Jadi
kita dapat menguji hipotesis yang dus distribusi multinomial adalah sama, hipotesis ini ditolak
apabila nilai hitung dari peubah acak ini adalah paling sedikit sebesar bilangan yang tepat dalam
Tabel khi-kuadrat dengan derajat kebebasan k – 1
Contoh 4
Misalkan hasil percobaan acak digolongkan oleh dua atribut {sebagaimana warna rambut
dan warna mata). Yaitu satu atribut dari hasil adalah satu dan hanya satu dari kejadian saling
eksklusif tertentu dan tepat.,katakan





dan atribut lain dan atribut lain dari hasil
adalah juga satu dan hanya satu dari kejadian saling eksklusif tertentu dan
tepat.,katakan





. Misalkan

(



) .
Percobaan acak diulang n kali independen dan

akan menyatakan frekuensi kejadian




Karena ada k = ab kejadian seperti



peubah acak


∑ ∑
(



)








mempunyai hampiran khi-kuadrat dengan derajat kebebasan ab – 1 asalkan n besar. Andaikan
kita menginginkan untuk menguji atribut A dan atribut b yaitu kita ingin menguji hipotesis


(



) (

)(

) ,
Mari kita nyatakan (

) oleh

dan (

) oleh

. Jadi






;






dan ∑ ∑














Maka hipotesis dapat dirmustan sebagai







. Untuk
menguji

kita dapat menggunakan

dengan

diganti oleh



Tetapi jika


dan

tidak diketahui seperti frekuensinya ada dalam penggunaan ,
kita tidak dapat menghitung

sekali frekuensi diamati.Dalam hal yang demikian , kita
menaksir parameter yang tak diketahui ini oleh
̂



̅








,
̂



̅








,
Karena ∑



, kita telah menaksir hanya parameter.
Sehingga jika taksiran ini digunakan dalam

dengan





maka sesuai dengan aturan
yang telah ditetapkan dalam pasal ini ,peubah acak
∑ ∑
[

(

)(

)]

(

)(

)





mempunyai hampiran khi-kuadrat dengan derajat kebebasan ab – 1=a + b -2 = ( )( )
asalkan bahwa

benar. Maka hipotesis

ditolak juika nilai hitung dari statistik ini melebihi
konstanta c, di mana c dipilih dari Tabel khi-kuadrat sehingga mempunyai taraf signifikansi .
Dalam masing-masing contoh dari pasal ini , kita telah menunjukkan bahwa statistik digunakan
untuk menguji hipotesis

mempunyai hampiran khi-kuadrat ditetapkan bahwa n cukup besar
dan

benar. Untuk menghitung kuasa dari setiap uji ini untuk nilai parameter tidak
digambarkan oleh

, kita memerlukan distribusi dari statistik apabila

tidak benar. Dalam
setiap kasus ini statistik mempuyai hampiran distribusi disebut distribusi khi-kuadrat nonsentral.

Soal- soal Latihan 1.6
1. Sebuah bilangan dipilih dari interval * + melalui proses acak . Misalkan


2





3 i = 1,2,3, dan misalkan

2


3. Hipotesis tertentu
menyatakan peluang

terhadap himpunan ini sesuai dengan

∫ .


/ ( )


,
i = 1,2,3,4. Hipotesis ini (mengenai f.d.p multinomial dengan k =4) akan diuji , pada taraf
signifikansi 5% , melalui uji khi-kuadrat. Jika frekuensi pengamatan dari himpunan


berturut-turut adalah 30,30,10,10, akankah

diterima (hampiran) taraf
signifikansi 5%?
2. Misalkan himpunan berikut ditentukan

* +

* +


* + .Satu hipotesis tertentu menyatakan

terhadap
himpunan A ini , sesuai dengan





0
()

()
1


7,8
Hipotesis ini (mengenai f.d.p multinomial dengan k =8) akan diuji , pada taraf signifikansi 5%
, melalui uji khi-kuadrat. Jika ffrekuensi pengamatan dari himpunan

,…,8
adalah 60,96,140,210,172,160,88, dan 74, akankah

diterima pada (hampiran) taraf
signifikansi 5%? Sebuah dadu dilantunkan oleh himpunan

,…,8 berturut-turut
adalah 60,96,140,210,172, 160,88, dan 74. akankah

diterima pada (hampiran) taraf
signifikansi 5%?
3. Sebuah dadu dilantunkan n = 120kali independen dan data yang dihsilksn sebagai berikut
Angka 1 2 3 4 5 6

Frekuensi b 20 20 20 20 20-b
Jika kita menggunakan uji khi-kuadrat, berapakah nilai b akan di hipotesis bahwa dadu tak
bias ditolak pada taraf signifikansi 0,025
4. Dua prosedur pengajaran yang berbeda digunakan pada dua kelompok mahasiswa. Setiap
kelompok mengandung 100 mahasiswa dengan kemampuan yang sama. Pada akhir masa
pengajaran , tim evaluasi memberikan nilai huruf terhadap setiap mahasiswa .Hasilnya
ditabulasikan sebagai berikut






Nilai

Kelompok A B C D F Jumlah

I 15 25 32 17 11 100
II 9 18 29 29 16 100

Jika kita menganggap data ini adalah pengamatan indepeden dari dua berturut-turut diatribusi
Multinomial dengan k =5. Ujilah pada taraf signifikansi 5%, hipotesis bahwa dua distribusi
adalah sama (dan karenanya dua prosedur pengajaran adalah sama efektif)
5. Misalkan hasil percobaan acak diklasifikasi serentak dari dua cara saling eksklusif dan
lengkap





dan juga serentak dari dua cara saling eksklusif dan lengkap






dan

Dua ratus ulangan independen dari percobaan menghasilkan data berikut.












10 21 15 6


11 27 21 13


6 19 27 24

Ujilah pada taraf signifikansi 5%, hipotesis untuk keindependenan dari atribut A dan atribut
B, namakan

(



) (

)(

) , melawan alternatif
dependen
6. Satu model genetik tertentu menganjurkan bahwa peluang dari distribusi trinomial khusus
berturut-turut adalah





( )

( )

. Jika






menggambarkan frekuensi berturut-turut dalam n ulangan independen, jelaskan
bagaimana kita dapat memeriksa pada kecukupan dari model genetik
7. Misalkan hasil percobaan acak diklasifikasi serentak dari dua cara saling eksklusif dan
lengkap





dan juga serentak dari dua cara saling eksklusif dan lengkap






dan

. Katakan bahwa 180 ulangan independen dari percobaan menghasilkan frekuensi
berikut












15-3k 15-k 15+k 15+3k


15 15 15 15


15+3k 15+k 15-k 15-3k

di mana k adalah salah satu dari bilangan bulat 0,1,2,3,4,5. Apakah ada nilai k terkecil yang
akan mengarah ke penolakan keindependenan dari atribut A dan atribut B pada taraf
signifikansi 5%,
8. Diusulkan terhadap distribusi Poisson yang cocok akan data berikut
X 0 1 2 3 x > 3

Frekuensi 20 40 16 18 6
a. Hitung padanan kebaikan suai khi-kuadrat dari statistik yang cocok.
Petunjuk: penghitungan rata-rata ulangi x > 3 seperti x = 4
b. Berapa besar derajat kebebaan dihubungkan dengan khi-kuadrat ini
c. Adakah hasil data ini dalam model Poisson penolakan pada taraf signifikansi 5%,

Sponsor Documents

Or use your account on DocShare.tips

Hide

Forgot your password?

Or register your new account on DocShare.tips

Hide

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link to create a new password.

Back to log-in

Close