CAPITOLUL I
Dichotomia semigrupurilor de clasă
0
C
In cele ce urmeaza vom pune în evidenţă rezultate de dichotomie pentru
0
C
-
semigrupuri cu ajutorul metodei Perron, Datko şi Liapunov.
Fie
0
} {
≥ t t
T
un
0
C
-semigrup şi
)} ( ) ( : {
1
X L x T X x X
∞
∈ ⋅ ∈ ·
despre care presupunem că este complementabil şi notăm
2
X un complement al său. Este
uşor de observat că subspaţiul
1
X este invariant la T(t), adică 0 , ) (
1 1
≥ ∀ ⊂ t X X t T şi deci
restricţia operatorului T(t) la subspaţiul
1
X , notată ) (
1
t T are proprietatea că
0 1
)} ( {
≥ t
t T
este
un
0
C
-semigrup pe subspaţiul
1
X , iar
0 ) ( ≠ x t T
, pentru orice 0 ≥ t şi orice } 0 { \
2
X x ∈ .
In adevăr, dacă ar exista un
0
0
> t
cu
0 ) (
0
· x t T
, atunci
0 0 0
, 0 ) ( ) ( ) ( t x t T t T x T ≥ ∀ · − · τ τ τ
,
ceea ce din proprietatea de continuitate a funcţiei
X x T → ∞ → ) , 0 [ : ) (τ τ
implică
1
x X ∈
si deci
x
1 2
{0} x X X ∈ ∩ ·
, fapt ce contrazice alegera lui } 0 { \
2
X x ∈ .
Notăm
1
P şi
2
P proiectorii complementabili corespunzători descompunerii
2 1
X X X ⊕ · . Atunci proprietatea
1 1
) ( X X t T ⊂ pentru orice 0 ≥ t se scrie cu ajutorul
proiectorului
1
P astfel :
0 , ) ( ) (
1 1 1
≥ ∀ · t P t T P t T P
Definiţia 3.5.1. Semigrupul
0 1
)} ( {
≥ t
t T
se zice că este exponenţial dichotomic dacă
există 0 , ,
2 1
> ν N N astfel încât:
. , 0 , ) (
; , 0 , ) (
2 2 2
1 1 1
X x t x P e N x P t T
X x t x P e N x P t T
t
t
∈ ∀ ≥ ∀ ≥
∈ ∀ ≥ ∀ ≤
−
ν
ν
Remarca 3.5.1. Definiţia precedentă coincide cu cea de la semigrupuri uniform
continue formulată în Teorema 3.1.5. (A se vedea [71])
Exemplul3.5. 1. (Exemplu de
0
C
-semigrup,
0
} {
≥ t t
S
exponenţial dichotomic cu
proprietatea că restricţia lui S(t) la
2
X , notată ) (
2
t S nu este operatoi inversabil.)
Fie A o matrice în
p
N cu
0 ) ( Re sup < A σ
,
)} . ( , : ) , {( ) , (
1 1
R R L f R x f x R R L R X
p p
+ +
∈ ∈ · ⊕ ·
cu norma
1
) , ( f x f x + ·
; iar ) , ( ) , ( : ) (
1 1
R R L R R L t T
+ +
→ ,
¹
'
¹
≥ −
≤ ≤
·
, ), (
0 , 0
) ( ) (
t s t s f
t s
s f t T
0
C
-semigrupul din Exemplul 2.1.3. Atunci
) ) ( , ( ) , )( ( ), ( ) ( f t T e x e f x t S t T e e t S
t tA t tA
· ⊕ ·
este exponenţial dichotomic cu } : ) 0 , {(
1
p
R x x X ∈ · şi
)} , ( : ) , 0 {(
1
2
R R L f f X
+
∈ · ,
) ( ) ( ), ( ) ( ), , 0 ( ) , ( ), 0 , ( ) , (
2 2 1 1 2 1
t S P P t S t S P P t s f f x P x f x P · · · · ,
pentru orice 0 ≥ t , iar restricţia lui S(t) la
2
X notată ) (
2
t S este semigrupul ) ( ) (
2
t T e t S
t
· ,
despre care am arătat în Exemplul 2.1.3. că nu este inversabil, pentru orice 0 ≥ t .
Acest exemplu arată că există semigrupuri exponenţial dichotomice care nu sunt
hiperbolice în terminologia din literatura consacrată acestui subiect (adică există
2
X un
complement al lui
1
X cu 0 , ) (
2 2
> ∀ ⊂ x X X t T , iar restricţia lui T(t) la
2
X este operator
inversabil şi
0
} {
≥ t t
T
este exponenţial dichotomic ).
Definiţia3.5 2. Semigrupul
0
} {
≥ t t
T
se zice că satisface condiţiei Perron pentru
dichotomie dacă pentru orice
C f ∈
, există X x ∈ astfel încât:
∫
∈ − + ·
t
f f
C x d f t T x t T t x
0
, ) ( ) ( ) ( ) ( τ τ τ
.
Propoziţia 3.5.1. Dacă semigrupul
0
} {
≥ t t
T
satisface condiţiei Perron pentru
dichotomie, atunci pentru orice
C f ∈
, există un singur
2
X x ∈ , cu:
∫
∈ − + ·
t
f f
C x ds s f s t T x t T t x
0
, ) ( ) ( ) ( ) (
.
Demonstraţie: Fie
C f ∈
şi X x ∈ cu proprietatea
∫
∈ − + ·
t
f f
C x d f t T x t T t x
0
, ) ( ) ( ) ( ) ( τ τ τ
Atunci
∫
∈ − + − ·
t
C y d f t T x P x t T t y
0
1
, ) ( ) ( ) )( ( ) ( τ τ τ
, si
2
) 0 ( X y ∈
Pentru unicitate se procedează prin reducere la absurd. In adevăr, dacă pentru
C f ∈
exista C x x ∈
2 1
, cu
∫
∈ · − + ·
t
i i i
X x i d f t T x t T t x
0
2
, , 2 , 1 , ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( τ τ τ
atunci
, ), 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (
2 1
C z z t T t x t x t z ∈ · − ·
şi deci
1 2
(0) {0}. z X X ∈ ∩ ·
Astfel obţinem z = 0, ceea ce arată că
2 1
x x · □
Propoziţia3.5 2. Daca semigrupul
0
} {
≥ t t
T
satisface condiţiei Perron pentru dichotomie,
atunci există k > 0 cu proprietatea că pentru orice
C f ∈
există un unic
2
X x ∈ cu
0
( ) ( ) ( ) ( )
t
f
x t T t x T t f d τ τ τ · + −
∫
si
. ||| ||| ||| ||| f k x
f
≤
Demonstraţie: Fie
2
) 0 ( , ) ( , : X x x f u C C u
f f
∈ · →
. Dacă f f
c
n
÷→ ÷ si g uf
c
n
÷→ ÷
, atunci
, ) 0 (
2
X x uf
n n
∈ ·
si
) 0 ( ) 0 ( g uf
n
→
.
Dar
∫ ∫
≥ ∀ − + → → − + ·
t t
n n n
t d f t T g t T d t T f t T x t T t uf
0 0
0 , ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ τ τ τ τ τ
. Deci
g uf ·
, ceea ce arata ca
u
este marrginit si deci exista k>0 astfel incat
C f f k x uf
f
∈ ∀ ≤ · |||, ||| ||| ||| ||| |||
Teorema 3.5.1. (Teorema Perron pentru dichotomie)
Dacă semigrupul
0
} {
≥ t t
T
satisface condiţiei Perron pentru dichotomie, atunci
0
} {
≥ t t
T
este
exponenţial dichotomie.
Demonstraţie: Fie 0 > δ si } 0 { \
2
X x ∈ . Definim aplicaţia
+ +
→ R R : χ
si X R f →
+
: ,
x t T
x t T
t
t f ) (
) (
) (
) (
χ
− ·
.Atunci ,
C f ∈
,
1 ||| ||| ≤ f
si
∫ ∫
∫ ∫
∞ ∞
≥ ∀ + ·
· − · −
0
0 0
0 , ) (
) (
) (
) (
) ) ( (
) (
) (
) (
) (
) ( ) (
t x t dsT
x s T
s
x t dsT
x s T
s
x t dsT
x s T
s
ds s f s t T
t
t t
χ χ
χ
Dar
χ
are suportul compact, şi deci funcţia
X R x t dsT
x s T
s
t
t
→
∫
∞
+
: ) (
) (
) ( χ
ste in C , iar
τ τ τ τ
τ
τ χ
τ
τ
τ χ
d f t T x d
x T
t T x t T d
x T
t
t
) ( ) (
) (
) (
) ( ) (
) (
) (
0 0
∫ ∫ ∫
− +
,
_
¸
¸
·
∞ ∞
.
¹
¹
¹
'
¹
+ ≥
+ ∈ − +
∈
·
1 , 0
) 1 , ( , 1
] , 0 [ , 1
) (
δ
δ δ δ
δ
χ
t daca
t daca t
t daca
t
Din Propoziţia 2, rezultă că există k > 0 cu
0 , ) (
) (
) (
≥ ∀ ≤
∫
∞
t k x t T d
x T
t
τ
τ
τ χ
.
Fie δ ≤ t . Atunci
δ δ
τ
τ
δ
≤ ∀ ≥ ∀ ≤
∫
t k x t T
x T
d
t
, 0 , ) (
) (
.
Făcând ∞ → δ în ultima relaţie, obţinem
} 0 { \ , 0 ,
) ( ) (
2
X x t
x t T
k
x T
d
t
∈ ∀ ≥ ∀ ≤
∫
∞
τ
τ
.
Dacă notăm
∫
∞
∈ ∀ ·
t
x
X x
x T
d
t } 0 { \ ,
) (
) (
2
τ
τ
ϕ
atunci
} 0 { \ , 0 ), ( ) (
2
X x t t k t
x
∈ ∀ ≥ ∀ − ≤ ϕ ϕ
Deci
} 0 { \ , 0 , ) 0 ( ) (
) (
2
1
X x t
x
k
e t e
x T
d
x
k
t
x
k
t t
t
∈ ∀ ≥ ∀ ≤ ≤ ≤
∫
+
ϕ ϕ
τ
τ
.
Dar pentru
] 1 , [ + ∈ t t τ
avem
X x t x t T Me x t T t T x T ∈ ∀ ≥ ∀ ≤ − ≤ , 0 , ) ( ) ( ) ( ) (
ω
τ τ
.
Astfel obţinem
2
, 0 ,
1
) ( X x t x e
k Me
x t T
k
t
∈ ∀ ≥ ∀ ≥
ω
Punând
k Me
N
ω
1
2
· si
k
1
· ν , deducem că
2 2
, 0 , ) ( X x t x e N x t T
t
∈ ∀ ≥ ∀ ≥
ν
Fie x t T t g X R g ) ( ) ( , : · →
+
, pentru
1
X x ∈ . Atunci
C g ∈
şi deci există
2
X y ∈ cu
0 , ) ( ) ( ) ( ≥ ∀ + · t x t tT y t T t x
g
.
Dacă
0 ≠ y
atunci
0 |||, ||| || || || ) ( || || ) ( || || ) ( || ||| |||
2
≥ ∀ − ≥ − ≥ ≥ t g t y e N x t T t y t T t x g k
t
g
ν
,
ceea ce este o contradicţie, şi deci y = 0, iar
0 ) ( ) ( ≥ ∀ · t t x x t tT
g
.
Astfel obţinem că
1
0
, ) ( sup X x x t T t
t
∈ ∀ ∞ ≤
≥
,
ceea ce implică existenţa unei constante L > 0 cu
0 , ) (
1
≥ ∀ ≤ t L t T t
,
unde ) (
1
t T este restricţia lui
) (t T
la
1
X . Cum
1
T este
0
C
-semigrup pe
1
X din Teorema
2.1.1., deducem că există 0
1 1
> ν N , astfel încât
t
e N t T
1
1 1
) (
ν −
≤
,
fapt ce încheie demonstraţia.
Teorema3.5. 2. Dacă
0
} {
≥ t t
T
este un
0
C
-semigrup cu
0 ), ( ) (
1 1
≥ ∀ · t t T P P t T şi satisface condiţiei Perron pentru dichotomie, atunci
2 2
: ) ( X X t T → este inversabil, oricare ar fi 0 ≥ t .
Demonstraţie: Fie
2
X y ∈ şi X R f →
+
:
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
'
¹
>
∈ − −
∈ − −
∈ − −
∈
·
4 , 0
] 4 , 3 ( , ) 1 ( ) 4 (
2
1
] 3 , 2 ( , ) 1 (
2
1
] 2 , 1 [ , ) 1 ( ) 1 (
2
1
) 1 , 0 [ , 0
) (
t
t y t T t
t y t T
t y t T t
t
t f
Atunci
C f ∈
şi
ω 3
2
1
||| ||| Me f ≤ , unde M şi
ω
sunt din creşterea exponenţială a lui
0
} {
≥ t t
T
.Deci există un singur
2
X x ∈ astfel încât
C x d f t T x t T t x
f
t
f
∈ − + ·
∫
, ) ( ) ( ) ( ) (
0
τ τ τ
Dar pentru 4 ≥ t
). ) 1 ( )( 1 ( ) 1 ( ) (
) 1 (
4
1
) 1 (
2
1
) 1 (
4
1
) (
) 1 ( ) 4 (
2
1
) 1 (
2
1
) 1 ( ) 1 (
2
1
) ( ) (
2
1
4
3
y x T t T y t T x t T
y t T y t T y t T x t T
y t T d y t T y t T d x t T t x
f
− − · − − ·
· − − − − − − ·
− ⋅ − + − − − ⋅ − + ·
∫ ∫
τ τ τ τ
Atunci din Teorema3.5. 1. există
0 , > ν N
astfel încât:
, 4 , ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) (
) 1 (
≥ ∀ − ≥ − − ·
−
t y x T Ne y x T t T t x
t
f
ν
iar condiţia
C x
f
∈
obligă la
y x T · ) 1 (
, fapt ce arată că
2 2
: ) 1 ( X X T → este bijectiv.
Corolarul 3.5. 1. Fie
0
} {
≥ t t
T
un
0
C
-semigrup cu 0 ), ( ) (
1 1
≥ ∀ · t t T P P t T . Atunci
0
} {
≥ t t
T
este hiperbolic dacă şi numai dacă satisface condiţiei Perron pentru dichotomie.
Demonstraţie: Necesitatea. Fie
C f ∈
şi
τ τ τ τ τ τ d f P t T d f P t T t y
t
t
∫ ∫
∞
−
− − − · ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
2
1
1
0
Atunci
. 0 ,
1
||| |||
1
||| ||| || || ||| ||| || || || ) ( ||
2
1
) (
2
0
) (
1
≥ ∀
,
_
¸
¸
+ ≤
+ ≤
− −
∞
− −
∫ ∫
t P
N
P
N
f
d e
N
f P d Ne f P t y
t
t
t
t
ν ν
τ τ
τ ν τ ν
Dar
) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )( ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) (
2
1
0
1
0 0
2 1 2
1
2
0
0
2 1
0
2
1
0
2
0
2 1
0
2
1
2
1
0
0 0
2 1
0 0
2
1
t y d f P t T f P t T
f P t T d f P t T d f P t T d P t T
d f P t T d f P t T d f P t T t T t T d f P t T
f P t T d f P t T d f P T t T d f P T T
d f P t T d f P t T d f P T t T d f t T y t T
t
t
t
t t t
t t t
t
t t
t
t
t
t t t
· − − − ·
· − + − + − − − − ·
· − + − + − − − − ·
· − + − + − − ·
· − + − + − · − +
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∞
−
∞
−
−
∞
∞
− −
∞
−
τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
si deci
C x y
f
∈ ·
.
Suficienta este imediata din Teoremele3.5. 1 si3.5. 2.
In cele din urma vom nota
} ) ( : {
1
q
q
L x T X x X ∈ ⋅ ∈ ·
,
Despre care presupunem ca este un subspatiu complementabil si notam
q
X
2
un
complement al sau
Definiţia 3.5.3. Spunem că
0
C
-semigrupul
0
} {
≥ t t
T
satisface condiţiei Perron pentru
dichotomie de tip (p,q), dacă pentru orice
p
L f ∈ , există X x ∈ cu
q
f
t
f
L x d f t T x t T t x ∈ − + ·
∫
, ) ( ) ( ) ( ) (
0
τ τ τ
.
Remarca 3 5 2 Daca
2
{0}
q
x X ∈ −
, atunci
( ) 0, 0 T t x t ≠ ∀ ≥
.
In adevar, daca exista
0
0 t ≥
cu
0
( ) 0 T t x ·
, atunci
0
( ) 0, T t x t t · ∀ ≥
, de unde deducem ca
(.)
q
T x L ∈ ,fapt ce arata ca
1 2 q q
x X X ∈ ∩
si deci 0 x ·
Remarca 3 5 3 Daca
0
} {
≥ t t
T
satisface conditiei Peronn pentru dichotomie de tip (p,q), atunci
pentru orice
p
f L ∈ , exista un singur
q
f
x L ∈
cu
2
(0)
f q
x X ∈
.
Justificarea acestei afirmatii este identical cu cea din propozitia 3 5 2.
Remarca 354 Daca
0
} {
≥ t t
T
satisface conditiei Peronn pentru dichotomie de tip (p,q), atunci
exista k>0 cu proprietatea ca pentru orice
p
L f ∈ ,
q
f
x L ∈
cu
2
(0)
f q
x X ∈
satisface
conditiile
f
p
q
x k f ≤
si
(0)
f
p
x k f ≤
.
In adevar aplicatia liniara
2
: , ( (0), )
P q
q f f
L X L f x x υ υ → ⊕ ·
este un operator inchis, deorece
n
f f →
in
p
L
si
in
2
q
q
X L ⊕
implica existenta unui subsir
( )
k
n
f
al sirului
( )
n
f
cu
a.p.t si a.p.t
k k
n n
f f xf g → →
.,
Iar din
0
( ) ( ) (0) ( ) ( )
k k k
t
n n n
xf t T t xf T t f d τ τ τ · + −
∫
Si Teorema Convergentei Dominate a lui Lebesquie obtinem
0
( ) ( ) ( )
t
g t T t y T t d τ τ · + −
∫
,
Ceea ce arata ca
( , ) f y g υ ·
. Din Principiul Graficului Inchis rezulta ca operatorul
υ
este
marginit si deci exista k>0:
(0), (0) ,
p
f f f f
p
q
f x x x x k f f L υ · · + ≤ ∀ ∈
Remarca 3 5 5 Daca
0
} {
≥ t t
T
satisface conditiei Peronn pentru dichotomie de tip (p,q), atunci
satisface conditiei Perron pentru dichotomia de tip
( , ) p ∞
cu
( 1) ,
p
f
p
x Me k f f L
ω
∞
≤ + ∀ ∈
.
In adevar, pentru 1 t ≥ si
[ 1, ] s t t ∈ −
, din
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
t
f
s t
s
t
f
s
x t T t x T t f d
T t s T s x T s f d T t f d
T t s x s T t f d
τ τ τ
τ τ τ τ τ τ
τ τ τ
· + − ·
· − + − + − ·
· − + −
∫
∫ ∫
∫
deducem
1
( ) ( ) ( )
t
t
f f
t
x t Me x s Me f d
ω ω
τ τ
−
≤ +
∫
,
ceea ce arată ca
1
( ) ( ) ( ) ( 1)
t
f f f
p p p
q
t
x t Me x s ds Me f Me x f Me k f
ω ω ω ω
−
≤ + ≤ + ≤ +
∫
unde constanta k este din Remarca 3.5.4.
Dacă ,
[0,1] t ∈
atunci
0
( ) ( ) ( )
t
f
x T t x T t f d τ τ τ ≤ + − ≤
∫
1
0
( )
t
Me x Me f d
ω ω
τ τ ≤ + ·
∫
( ) ( 1)
p p p
Me k f f Me k f
ω ω
· + · +
.
Deci
( ) ( 1) , 0
f
p
x t Me k f t
ω
≤ + ∀ ≥
.
Teorema 3.5.3. Dacă
0
{ }
t t
T
≥
satisface condiţiei Perron de tip (p,q) pentru dichotomie cu
( , ) (0, ) p q ≠ ∞ ( , ) (1, ) p q ≠ ∞
, atunci 1 1 q
X X ·
şi 0
{ }
t t
T
≥ este exponenţial dichotomic.
Demonstraţie: Fie
2
{0}
q
x X ∈ −
şi
0
0 t ≥
, iar
0 0
[ , 1]
( )
( ) ( )
( )
t t
T t x
f t t
T t x
χ
+
·
,
unde
χ
este funcţia caracteristică a mulţimii A.
Atunci
p
f L ∈ , iar
0 0
[ , 1]
( ) ( ) ( )
( )
t t
t
d
y t T t x
T x
τ
χ τ
τ
∞
+
· − ·
∫
0 0
[ , 1]
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( )
t
t t
d
T t x T t f d
T x
τ
χ τ τ τ τ
τ
∞
+
¸ _
· − ⋅ + − ·
¸ ,
∫ ∫
0
0
0
0
1
0
1
0 0
0 , 1
( ) ,
( )
( ) , ( , 1)
( )
t
t
t
t
t t
d
T t x t t
T x
d
T t x t t t
T x
τ
τ
τ
τ
+
+
¹
¹
≥ +
¹
¹
¹
− ≤
'
¹
¹
¹
− ∈ +
¹
¹
∫
∫
ceea ce arată că
2
, (0)
q
q
y L y X ∈ ∈
Deci
f
y x ·
cu
2
(0)
f q
x X ∈
. Astfel din Remarca 3.5.4. şi Remarca 3.5.5. avem că
( ) ( 1), 0
f
x t Me k t
ω
≤ + ∀ ≥
.
Dacă
0
t t ≤
, atunci
0
0
1
( ) ( 1)
( )
t
t
d
T t x Me k
T x
ω
τ
τ
+
≤ +
∫
Dar
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) [ , 1] T x T t T t x Me T t x t t
ω
τ τ τ · − ≤ ∀ ∈ +
De unde rezulta
0
0
1
0
1
( ) ( )
t
t
d
Me T t x T x
ω
τ
τ
+
≤
∫
şi deci
0
( )
( 1),
( )
o
T t x
Me k t t
Me T t x
ω
ω
≤ + ∀ ≤
Astfel obţinem
0 0 2
1
( ) ( ) , 0
( ) ( 1)
T t x T t x t t
Me k
ω
≥ ∀ ≥ ≥
+
.
Fie acum
0 2
0, {0}, 0
q
t x X δ ≥ ∈ − >
si
0 0
[ , 1]
0
( )
( ) ( )
( )
t t
T t x
g t t
T t x
χ
δ
+
·
+
.
Atunci
p
g L ∈ si
1
2
( ) ( 1)
p
p
g Me k
ω
δ ≤ +
, iar
0 0
[ , ]
0
( ) ( ) ( )
( )
t t
t
d
z t T t x
T t x
δ
τ
χ τ
δ
∞
+
· − ⋅ ·
+
∫
0 0
[ , ]
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( )
t
t t
d
T t x t T t g d
T t x
δ
τ
χ τ τ τ τ
δ
∞
+
¸ _
− ⋅ + − ·
+
¸ ,
∫ ∫
0
0 0
0
0
0
0 ,
( )
( ) ,
( )
( )
,
( )
o
t t
T t x
t t t t t
T t x
T t x
t t
T t x
δ
δ δ
δ
δ
δ
¹
¹
≥ +
¹
¹
¹
− + − ≤ ≤ +
'
+
¹
¹
− ≤ ¹
+
¹
¹
,
q
z L ∈
si
2
(0)
q
z X ∈
, ceea ce arată că
g
z x ·
si
1 1
3 2
( ) ( 1) ( ) ( 1) , 0
p p
p
z t Me k g Me k L t
ω ω
δ δ ≤ + ≤ + · ⋅ ∀ ≥
.
Dar pentru 0
0
( )
, ( )
( )
T t x
t t z t
T t x
δ
δ
≤ · −
+
ceea ce arată că
1
0
( )
( )
p
T t x
L
T t x
δ δ
δ
⋅ ≤ ⋅
+
şi deci
1
1
0 0
( ) ( ) ,
p
T t x T t x t t
L
δ
δ
−
+ ≥ ∀ ≥
.
Punând
0
t t ·
în ultima inegalitate obţinem
1
0 0 0 2
( ) ( ) , 0,
p
q
T t x T t x t x X
L
δ
δ + ≥ ∀ ≥ ∀ ∈
,
de unde deducem că pentru
1 p >
există
0
0 δ >
astfel încât
1
1
0
1
p
L
δ
η
−
· >
cu
0 0 0 0
( ) ( ) , 0 T t x T t x t δ η + ≥ ∀ ≥
,
iar din relaţia (*) şi Lema 2.2.4. rezultă că există
2 2
, 0 N ν >
cu
T
2
2 2
( ) ,
t
q
T t x N e x x X
ν
≥ ∀ ∈ .
Dacă
1 p ·
atunci
0
0
0
0
0
0
2
0 0
0
0 0
2
0
0
1
1
2 2
1
2
4 2
( ) ( )
( )
2 ( ) ( )
( )
( )( ) ( 1)
( )
( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1)
( ) ( 1)
t
t
t
t
t
q
g g
q
t
q
T t x T t x
t s ds
T t x T t x
T s x
t s Me k ds
T t x
Me k x s ds Me k x
Me k k
δ
δ
ω
δ
ω ω
ω
δ
δ
δ δ
δ
δ
δ
δ
+
+
+
−
−
· + − ≤
+ +
≤ + − + ·
+
+ ≤ + ≤
≤ +
∫
∫
∫
Deci
1
0 0 0 2 4 2
1
( ) ( ) , 0, 0,
2( ) ( 1)
q
q
T t x T t x t x X
Me k k
ω
δ δ δ + ≥ ∀ > ∀ ≥ ∀ ∈
+ .
Pentru aceleaşi motive ca mai sus, deducem că şi în acest caz există
2 2
, 0 N ν >
cu
2
2 0 2
( ) , 0,
t
q
T t x N e x t x X
ν
≥ ∀ ≥ ∀ ∈
Dar
1 1 1 q
X X X
∞
⊂ ·
(**)
In adevăr dacă
1q
x X ∈
, atunci pentru 1 t ≥ şi
[ 1, ] s t t ∈ −
avem
( ) ( ) ( ) ( ) T t x T t s T s x Me T s x
ω
≤ − ≤
de unde rezultă
1
( ) ( ) ( ) , 1
t
q
t
T t x Me T s x ds Me T x t
ω ω
−
≤ ≤ ⋅ ∀ ≥
∫
Dacă ,
[01) t ∈
avem
( ) T t x Me x
ω
≤
şi deci ( ) T x L
∞
⋅ ∈ , fapt ce arată că
1 1 q
X X ⊂
.
Fie acum
1q
x X ∈
. Atunci din Principiul Mărginirii Uniforme deducem că există ' 0 L > ;
1
( ) ' , 0,
q
T t x L x t x X ≤ ∀ ≥ ∀ ∈
Notăm pentru
0
0, 0 t δ ≥ ≥
si
1q
x X ∈
cu
0 0
[ , ]
( ) ( ) ( ) , :
t t
h t t T t x h X
δ
χ
+ +
· → ¡
Atunci
P
h L ∈ si
1
'
p
p
h L x δ ≤
, iar
0
0
0 0 0
0
( ) ( ) ( )
0 ,
( ) ( ) ,
( ) ,
t
u t T t h d
t t
t t T t x t t t
T t x t t
τ τ τ
δ
δ δ
· − ·
≤ ¹
¹
· − ≤ ≤ +
'
¹
≥ +
¹
∫
are proprietatea că
2
(0) 0 ,
p
q
u X u L · ∈ ∈
, ceea ce implică
h
u x ·
cu
2
(0)
q
u X ∈
Deci
1
( ) (1 ) (1 ) ' , 0
p
p
u t Me k h Me k L x t
ω ω
δ ≤ + ≤ + ∀ ≥
şi astfel obţinem că pentru
0
t t δ ≥ +
.
1
1
( ) (1 ) '
p
T t x Me k L x
ω
δ
−
≤ +
Pentru
1 p >
exista
0
0 δ >
cu
1
1
0
(1 ) ' 1
p
Me k L c
ω
δ
−
+ · <
şi
0 0 0 1
( ) , 0,
q
T t x c x t x X δ + ≤ ∀ ≥ ∀ ∈
Cum
1 1
( ) , 0
q q
T t X X t ⊂ ∀ ≥
deducem că C
0
-semigrupul
1 1 1 1
( ) : , ( ) ( )
q q
T t X X T t x T t x → ·
este exponenţial stabil şi deci există
1 1
, 0 N ν >
cu
1
1 1
( ) , , 0
t
q
T t x N e x x X t
ν −
≤ ∀ ∈ ∀ ≥
Dacă p = 1, atunci
0 0
0 0
0
0
2
0 0 0 0
1 1
1 2
2
( ) ( ) ( ) ' ( ) ( )
2
' ( ) ' ( ')
t t
t t
t
q q
h h
q
t
T t x s t T t x ds L s t T s x ds
L x s L x L k x
δ δ
δ
δ
δ δ
δ δ
+ +
+
− −
+ · − + ≤ − ·
· ≤ ≤
∫ ∫
∫
de unde rezultă că
1
2
0 0 1
( ) 2( ') 0, 0,
q
q
T t x L k x t x X δ δ δ
−
+ ≤ ∀ > ∀ ≥ ∀ ∈
,ceea ce arata ca si mai susa ca
exista
1 1
, 0 N ν >
cu
1
1 1
( ) , 0,
t
q
T t x N e x t x X
ν −
≤ ∀ ≥ ∀ ∈
.
Această ultimă inegalitate ne permite să arătăm că
1 1 q
X X ·
.
In adevăr, pentru
1
x X ∈
, notăm
1q
u X ∈
si
2q
v X ∈
.
Dacă 0 v ≠ , atunci
2 1
2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
t t
T t x T t v T t u T t v T t u
N e v N e u
ν ν −
· + ≥ − ≥
≥ − →∞
când
t →∞
fapt ce contrazice alegerea lui
1
x X ∈
. Deci v = 0 şi astfel
1q
x X ∈
, adică
1 1q
X X ⊂
, iar din relaţia (**) obţinem afirmaţia dorită şi teorema este complet
demonstrată.
Teorema 3.5.4. Dacă
1 1
( ) ( ), 0 T t P PT t t · ∀ ≥
si
0
{ }
t t
T
≥
satisface condiţiei Perron pentru
dichotomie de t i p
( , ) p q
cu
( , ) (1, ) p q ≠ ∞
, atunci
2 2
( ) : T t X X →
este inversabil pentru
fiecare 0 t ≥ .
Demonstraţie: Fie
2
y X ∈
şi
[1,2]
( ) ( ) ( 1) f t t T t y χ · − −
, unde
A
χ
este funcţia caracteristică
a mulţimii A. Atunci
p
f L ∈ si
p
f Me y
ω
≤
.
Deoarece
0
{ }
t t
T
≥
satisface condiţiei Perron pentru dichotomie de tip ( p, q) , rezultă că
există un singur
2
x X ∈
cu
0
( ) ( ) ( ) ( ),
t
q
f f
x t T t x T t f x L τ τ · + − ∈
∫
.
Dar
( ) , [0,1]
( ) ( ) (1 ) ( 1) , (1, 2)
( ) ( 1) , 2
f
T t x t
x t T t x t T t y t
T t x T t y t
∈ ¹
¹
· + − − ∈
'
¹
− − ≥
¹
Si deci pentru 2 t ≥
( ) ( 1)( (1) )
f
x t T t T x y · − −
,
Fapt care din Teorema 3.5.3 arata ca exista
2 2
, 0 N ν >
;
2
( 1)
2
( ) (1) , 2
t
f
x t N e T x y t
ν −
≥ − ∀ ≥
.