Culegere Schneider Capitolul_27
Content
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
CAPITOLUL 27. INELUL CLASELOR DE
RESTURI ℤ p
27.1. Să se arate că următoarele polinoame sunt ireductibile în ℤ 2 :
a) f = x 2 + x + 1̂ ;
b) f = x 3 + x + 1̂ ;
c) f = x 4 + x + 1̂ ;
d) f = x 8 + x 2 + 1̂ ;
e) f = x 4 + x 2 + 1̂ ;
f) f = x 7 + x 4 + x 3 + x + 1̂ .
27.2. Să se arate că următoarele polinoame sunt ireductibile în ℤ 3 :
a) f = x 2 + 1̂ ;
b) f = x 2 + 2̂ x + 2̂ ;
c) f = x 4 + 1̂ ;
d) f = x 4 + 2̂ x 2 + 2̂ ;
e) f = 2̂ x 4 + x + 1̂ ;
f) f = 2̂ x 3 + x + 1̂ .
27.3. Să se arate că următoarele polinoame sunt ireductibile în ℤ 4 :
a) f = x 2 + 1̂ ;
b) f = x 2 + x + 1̂ ;
c) f = 2x 2 + 2x + 1̂ ;
d) f = x 3 + x + 1̂ ;
e) f = x 3 + x + 3̂ ;
f) f = x 5 + x + 1̂ .
27.4. Să se arate că următoarele polinoame:
1 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
a) f = x 2 + 1̂ ;
b) f = x 3 + 1̂ ;
c) f = x 4 + 1̂ ;
d) f = x 5 + 1̂ ;
e) f = x 6 + 1̂ ;
f) f = x 10 + 1̂ ,
sunt reductibile în ℤ şi să se descompună în factori ireductibili.
2
27.5. Să se arate că următoarele polinoame:
a) f = x 2 + 2̂ x + 1̂ ;
b) f = 2̂ x 2 + x + 2̂ ;
c) f = x 3 + x 2 + x + 1̂ ;
d) f = x 3 + 2̂ x 2 + x + 2̂ ;
e) f = x 3 + x + 1̂ ;
f) f = x 4 + x 3 + x 2 + x + 2̂ ,
sunt reductibile în ℤ şi să se descompună în factori ireductibili.
3
27.6. Să se arate că următoarele polinoame:
a) f = 2̂ x 2 + x + 1̂ ;
b) f = x 2 + x + 2̂ ;
c) f = x 3 + x 2 + x + 1̂ ;
d) f = x 3 + 3̂ x 2 + x + 3̂ ;
e) f = x 4 + 2̂ x 3 + x + 2̂ ;
f) f = x 4 + x 3 + x 2 + 2̂ x + 1̂ ,
sunt reductibile în ℤ şi să se descompună în factori ireductibili.
4
27.7. Să se rezolve în ℤ 2 ecuaţiile:
a) x 2 + x = 0̂ ;
b) x 2 + 1̂ = 0̂ ;
c) x 3 + 1̂ = 0̂ ;
d) x 2 + x + 1̂ = 0̂ ;
2 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
e) x 3 + x 2 + x + 1̂ = 0̂ ;
f) x 12 + 1̂ = 0̂ .
27.8. Să se rezolve în ℤ 3 ecuaţiile:
a) x 3 + x 2 + x + 1̂ = 0̂ ;
b) x 2 + x + 1̂ = 0̂ ;
c) x 2 + 2̂ = 0̂ ;
d) x 3 + x + 2̂ = 0̂ ;
e) x 4 + x + 1̂ = 0̂ ;
f) x 4 + x 2 + 1̂ = 0̂ .
27.9. Să se rezolve în ℤ 7 ecuaţiile:
a) x 2 + 5̂ = 0̂ ;
b) x 3 + 6̂ = 0̂ ;
c) x 4 + 5̂ = 0̂ ;
d) x 2 + 2x + 6̂ = 0̂ ;
e) x 3 + x 2 + 2̂ = 0̂ ;
f) x 4 + x 2 + 1̂ = 0̂ .
27.10. Să se rezolve în ℤ 11 ecuaţiile:
a) x 2 + x + 2̂ = 0̂ ;
b) x 2 + 7̂ x + 1̂ = 0̂ ;
c) x 2 + 8̂ = 0̂ ;
d) x 3 + x 2 + 8̂ = 0̂ ;
e) x 4 + x 2 + 3̂ = 0̂ ;
f) x 4 + x 3 + x 2 + x + 3̂ = 0̂ .
27.11. Cu ajutorul schemei lui Horner, să se afle cîtul şi restul împărţirii polinoamelor:
a) f = 2̂ x 5 + 3̂ x 4 + 4̂ x 3 + x 2 + 2̂ x + 1̂ ; g = x + 2̂ în ℤ ;
6
3 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
b) f = 6̂ x 4 + 2̂ x 3 + 4̂ x 2 + 5̂ x + 1̂ ; g = x + 6̂ în ℤ ;
7
c) f = 2̂ x 6 + 2̂ x 4 + x 3 + 3̂ x 2 + x + 1̂ ; g = x + 3̂ în ℤ ;
4
2
d) f = 2̂ x 4 + x 3 + 3̂ x + x + 2̂ ; g = x + 2̂ în ℤ ;
4
̂ x 4 + 9̂ x 3 + 5̂ x 2 + 2̂ x + 6̂ ; g = x + 9̂ în ℤ ;
e) f = 10
11
2
f) f = 6̂ x 5 + 4̂ x 4 + 3̂ x 3 + 5̂ x + 7̂ x + 1̂ ; g = x + 5̂ în ℤ .
11
27.12. Să se afle cîtul şi restul împărţirii polinoamelor:
a) P = x 4 + x 2 + x + 1̂ ; Q = x 2 + 1̂ în ℤ ;
2
b) P = 2̂ x 5 + 3̂ x 3 + 2̂ x 2 + x + 1̂ ; Q = 2̂ x 2 + x + 1̂ în ℤ ;
3
c) P = x + 2̂ x + x + x + 2̂ ; Q = x + 2̂ x + 2̂ în ℤ ;
6
5
3
2
3
d) P = 2̂ x 4 + 3̂ x 3 + 4̂ x 2 + x + 3̂ ; Q = 3̂ x 2 + 3̂ x + 4̂ în ℤ ;
5
e) P = x 4 + x 3 + 3̂ x + 3̂ ; Q = x 3 + 4̂ x 2 + 2̂ în ℤ ;
5
f) P = 6̂ x + 2̂ x + 5̂ x + 4̂ x + 1̂ ; Q = 5̂ x + 2̂ x + 4̂ în ℤ ;
4
3
2
2
7
g) P = x 5 + 2̂ x 4 + 3̂ x 2 + 4̂ x + 5̂ ; Q = x 3 + x 2 + 3̂ x + 2̂ în ℤ ;
7
h) P = x 6 + 3̂ x 4 + 4̂ ; Q = x 3 + 2̂ x 2 + x + 6̂ în ℤ .
11
27.13. Să se determine a
ℤ 3 astfel încît polinomul:
a) P = 2̂ x 3 + ax 2 + x + 1̂ să se dividă prin x + 2̂ în ℤ ;
3
b) P = x 3 + x 2 + ax + 2̂ să se dividă prin x + 1̂ în ℤ ;
3
c) P = x + ax + ax + 1̂ să se dividă prin x + 1̂ în ℤ ;
4
3
2
3
d) P = x 5 + ax 3 + 2̂ x + 1̂ să se dividă prin x + 2̂ în ℤ ;
3
e) P = x 6 + 2̂ x 4 + ax 2 + 1̂ să se dividă prin x + 2̂ în ℤ .
3
27.14. Să se determine a
ℤ 4 astfel încît polinomul:
a) P = x 4 + x 3 + ax 2 + 1̂ să se dividă prin x + 1̂ în ℤ ;
4
4 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
b) P = x 5 + ax 3 + a să se dividă prin x + 2̂ în ℤ ;
4
c) P = x 6 + ax 4 + x 2 + 1̂ să se dividă prin x + 3̂ în ℤ ;
4
d) P = 2̂ x + ax + 2̂ x + 1̂ să se dividă prin x + 2̂ în ℤ ;
5
3
4
e) P = x 5 + ax 4 + 2̂ x + 1̂ să se dividă prin x + 3̂ în ℤ .
4
27.15. Să se determine a
ℤ 5 astfel încît polinomul:
a) P = x 4 + 4̂ x 3 + ax 2 + 1̂ să se dividă prin x + 1̂ în ℤ ;
5
b) P = x 5 + 3̂ x 4 + ax 3 + a să se dividă prin x + 2̂ în ℤ ;
5
c) P = x + ax + 4̂ x + 1̂ să se dividă prin x + 3̂ în ℤ ;
6
5
2
5
d) P = 4̂ x 5 + ax 3 + 3̂ x + 1̂ să se dividă prin x + 2̂ în ℤ ;
5
e) P = x 5 + ax 4 + 4̂ x + 3̂ să se dividă prin x + 3̂ în ℤ ;
5
f) P = x + ax + 4̂ x + 3̂ să se dividă prin x + 3̂ în ℤ .
6
4
2
5
27.16. Să se determine a, b
ℤ 5 astfel încît polinomul:
a) P = 2̂ x 3 + ax 2 + 3̂ x + b să se dividă prin x 2 + 2̂ x + 1̂ în ℤ ;
5
b) P = x + ax + bx + 2̂ să se dividă prin x + 4̂ în ℤ ;
3
2
2
5
c) P = x 4 + 3̂ x 3 + 3̂ x 2 + ax + b̂ să se dividă prin x 2 + 3̂ x + 2̂ în ℤ ;
5
d) P = x 4 + x 3 + ax 2 + bx + 1̂ să se dividă prin x 2 + 1̂ în ℤ ;
5
e) P = x + x + x + ax + b̂ să se dividă prin x + x + 4̂ în ℤ .
4
3
2
2
5
27.17. Să se determine c.m.m.d.c. al polinoamelor:
a) P = x 3 + x 2 + x + 1̂ ; Q = x 2 + 1̂ în ℤ ;
2
b) P = x 2 + 2̂ ; Q = x 3 + 2̂ x 2 + x + 2̂ în ℤ ;
3
c) P = x + 2̂ x + 1̂ ; Q = 2̂ x + 1̂ în ℤ ;
2
2
3
d) P = x 3 + x 2 + 2̂ x + 2̂ ; Q = x 2 + x + 1̂ în ℤ ;
3
5 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
e) P = x 4 + 1̂ ; Q = x 3 + x + 1̂ în ℤ ;
3
f) P = x 2 + 4̂ ; Q = x 3 + 4̂ în ℤ ;
5
g) P = x + x + 2̂ x + x + 1̂ ; Q = x 3 + 2̂ x 2 + x + 2̂ în ℤ ;
4
3
2
5
h) P = 2̂ x 4 + 3̂ x 3 + 4̂ x 2 + 2̂ x + 1̂ ; Q = x 3 + 2̂ x 2 + 2̂ x + 1̂ în ℤ ;
5
i) P = x 4 + 3̂ x 2 + 2̂ ; Q = x 4 + x 3 + 2̂ x 2 + x + 1̂ în ℤ ;
7
j) P = 4̂ x + 4̂ x + x + 1̂ ; Q = 4̂ x + 5̂ x + x + 3̂ în ℤ .
3
2
3
2
7
27.18. Să se determine a
ℤ 3 astfel încît ecuaţiile următoare să aibă rădăcini comune în ℤ 3 :
a) x 2 + x + a = 0̂ ; 2̂ x 2 + x + a = 0̂ ;
b) x 2 + ax + 1 = 0̂ ; 2̂ x 2 + x + a = 0̂ ;
c) x 2 + x + a = 0̂ ; x 2 + ax + 1 = 0̂ ;
d) x 3 + x + a = 0̂ ; x 2 + x + a = 0̂ ;
e) x 3 + ax + 1̂ = 0̂ ; x 4 + x + a = 0̂ .
27.19. Să se determine a
ℤ 5 astfel încît ecuaţiile următoare să aibă rădăcini comune în ℤ 5 :
a) x 2 + x + a + 1 = 0̂ ; 2̂ x 2 + x + a = 0̂ ;
b) x 2 + 2̂ x + a = 0̂ ; x 3 + ax + 3̂ = 0̂ ;
c) x 3 + ax 2 + x + a = 0̂ ; x 3 + 2̂ x + a = 0̂ ;
d) x 3 + 2̂ x + a + 1 = 0̂ ; x 3 + x 2 + x + a = 0̂ ;
e) x 3 + 2̂ x 2 + 3̂ x + â = 0̂ ; x 3 + ax 2 + ax + 1̂ = 0̂ .
27.20. Să se rezolve în ℤ 4 sistemele:
x + 2̂ y = 1̂
a)
;
3̂ x + y = 1̂
x + y = 0̂
b)
;
2̂ x + y = 1̂
x + y = 1̂
c)
;
2̂ x + 3̂ y = 1̂
6 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
3̂ x + y = 1̂
d)
;
x + y = 1̂
x + 3̂ y = 3̂
e)
;
3̂ x + y = 1̂
x + 2̂ y = 1̂
f)
.
3̂ x + 2̂ y = 1̂
27.21. Să se rezolve în ℤ 5 sistemele:
3̂ x + y = 0̂
a)
;
x + 2̂ y = 0̂
2̂ x + 3̂ y = 2̂
b)
;
x + y = 3̂
4̂ x + y = 2̂
c)
;
2̂ x + y = 0̂
x + y = 1̂
d)
;
2̂ x + 4̂ y = 2̂
x + y = 2̂
e)
;
x + 2̂ y = 1̂
3̂ x + 2̂ y = 3̂
f)
.
x + 3̂ y = 1̂
27.22. Să se rezolve în ℤ 3 sistemele:
x + y + z = 0̂
a) x + y + 2̂ z = 1̂ ;
2̂ x + y + z = 1̂
x + y + z = 1̂
b) x + 2̂ y + z = 2̂ ;
2̂ x + 3̂ y + z = 1̂
7 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
x + y + z = 0̂
c) 2̂ x + y + 2̂ z = 1̂ ;
x + 2̂ y + 2̂ z = 2̂
x + 2̂ y + z = 0̂
d) 2̂ x + y + z = 2̂ ;
x + y + 2̂ z = 0̂
2̂ x + y + z = 1̂
e) x + 2̂ y + z = 1̂ ;
x + y + 2̂ z = 1̂
x + y + 2̂ z = 0̂
f) x + 2̂ y + z = 2̂ .
2̂ x + y + z = 0̂
27.23. Să se rezolve în ℤ 5 sistemele:
x + y + z = 3̂
a) x + 3̂ y + z = 0̂ ;
3̂ x + y + 2̂ z = 1̂
x + y + 2̂ z = 4̂
b) 2̂ x + y + z = 2̂ ;
x + y + 3̂ z = 2̂
2̂ x + y + z = 3̂
c) x + 2̂ y + z = 4̂ ;
x + y + 2̂ z = 0̂
x + y + z = 1̂
d) x + 2̂ y + z = 3̂ ;
2̂ x + y + z = 2̂
x + y + z = 1̂
e) 2̂ x + y + z = 3̂ ;
x + 2̂ y + z = 3̂
8 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
3̂ x + y + z = 1̂
f) x + 3̂ y + z = 0̂ .
x + y + 3̂ z = 4̂
27.24. Să se rezolve în ℤ 7 sistemele:
3̂ x + y + z = 4̂
a) x + 2̂ y + 3̂ z = 1̂ ;
x + y + z = 2̂
x + y + 4̂ z = 4̂
b) 3̂ x + y + z = 6̂ ;
x + 2̂ y + 3̂ z = 2̂
x + 5̂ y + z = 2̂
c) 3̂ x + 2̂ y + z = 1̂ ;
2̂ x + 3̂ y + 4̂ z = 3̂
4̂ x + y + z = 2̂
d) x + 3̂ y + 2̂ z = 6̂ ;
x + y + 4̂ z = 1̂
5̂ x + 3̂ y + z = 5̂
e) 1̂ x + y + 3̂ z = 5̂ ;
2̂ x + y + 4̂ z = 4̂
x + 2̂ y + 3̂ z = 5̂
f) 2̂ x + y + z = 3̂ .
x + y + z = 1̂
27.25. Să se calculeze valoarea determinanţilor:
|3̂
|
a) |0̂
|
||1̂
9 sur 13
1̂ 2̂ |
|
̂2 1̂ | în ℤ ;
5
|
̂3 4̂ ||
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
|2̂
|
b) |1̂
|
||2̂
|3̂
|
c) |0̂
|
||1̂
|3̂
|
d) |4̂
|
||5̂
|3̂
|
e) |5̂
|
||1̂
|8̂
|
f) |5̂
|
||1̂
1̂ 4̂ |
|
3̂ 2̂ | în ℤ ;
6
|
̂1 1̂ ||
1̂ 2̂ |
|
̂2 1̂ | în ℤ ;
4
|
̂3 0̂ ||
1̂ 2̂ |
|
3̂ 3̂ | în ℤ ;
7
|
6̂ 4̂ ||
1̂ 2̂ |
|
4̂ 3̂ | în ℤ ;
8
|
̂5 4̂ ||
1̂ 2̂ |
|
̂7 4̂ | în ℤ .
11
|
3̂ 4̂ ||
27.26. Să se calculeze rangul următoarelor matrici:
10 sur 13
3̂
a) 2̂
̂
1
1̂ 1̂
3̂ 2̂ în ℤ ;
5
̂3 4̂
2̂
b) 3̂
̂
2
1̂
c) 0̂
̂
3
4̂
d) 2̂
̂
5
2̂ 4̂
̂3 2̂ în ℤ ;
6
̂1 1̂
2̂ 3̂
̂2 3̂ în ℤ ;
4
1̂ 4̂
2̂ 1̂
3̂ 3̂ în ℤ ;
7
̂6 4̂
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
1̂
e) 5̂
̂
1
2̂ 5̂
4̂ 3̂ în ℤ ;
8
̂5 4̂
7̂
f) 5̂
̂
1
3̂ 2̂
̂7 4̂ în ℤ .
11
̂2 3̂
27.27. Să se calculeze A n , n
1̂
a) A =
1̂
0̂
b) A =
1̂
1̂
c) A =
1̂
1̂
d) A =
0̂
1̂
e) A =
2̂
0̂
=
f) A
4̂
ℕ * , unde:
1̂
în ℤ ;
3
1̂
1̂
în ℤ ;
3
0̂
0̂
în ℤ ;
4
̂1
0̂
în ℤ ;
4
̂2
0̂
în ℤ ;
5
̂1
1̂
în ℤ .
5
̂0
27.28. Să se determine matricea A
1̂
a) A 2 =
1̂
1̂
b) A 2 =
0̂
1̂
c) A 2 =
0̂
2̂
2 =
d) A
2̂
11 sur 13
M 2 (ℤ 3 ) astfel încît:
0̂
;
̂1
2̂
;
̂2
0̂
;
̂2
2̂
;
̂1
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
2̂
e) A 2 =
0̂
0̂
f) A 2 =
1̂
2̂
g) A 4 =
1̂
1̂
h) A 4 =
0̂
1̂
4 =
i) A
1̂
0̂
;
2̂
2̂
;
̂0
2̂
;
̂0
1̂
;
̂1
1̂
.
̂1
27.29. Să se discute şi să se rezolve în ℤ 3 sistemele:
ax + 2̂ y = 1̂
a)
;
x + y = 2̂
ax + y = 2̂
b)
;
2̂ x + y = 1̂
x + y = 1̂
c)
;
2̂ x + ay = 1̂
ax + y = 1̂
d)
;
x + y = 1̂
x + 2̂ y = 2̂
e)
;
ax + y = 1̂
x + 2̂ y = 1̂
f)
,
ax + 2̂ y = 2̂
unde a ∈ ℤ .
3
27.30. Să se discute şi să se rezolve în ℤ 5 sistemele:
2̂ x + 3̂ y = 3̂
a)
;
ax + 4̂ y = 2̂
ax + 3̂ y = 2̂
b)
;
x + y = 3̂
12 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
x + 2̂ y = 4̂
c)
;
ax + 3̂ y = 3̂
ax + 3̂ y = 2̂
d)
;
(a + 1̂ )x + y = 1̂
ax + y = 2̂
e)
;
ax + 2̂ y = 1̂
ax + 2̂ y = 3̂
f)
,
x + 3̂ y = 1̂
unde a ∈ ℤ .
5
[Salt la cuprins]
13 sur 13
23/09/13 03:54
CAPITOLUL 27. INELUL CLASELOR DE
RESTURI ℤ p
27.1. Să se arate că următoarele polinoame sunt ireductibile în ℤ 2 :
a) f = x 2 + x + 1̂ ;
b) f = x 3 + x + 1̂ ;
c) f = x 4 + x + 1̂ ;
d) f = x 8 + x 2 + 1̂ ;
e) f = x 4 + x 2 + 1̂ ;
f) f = x 7 + x 4 + x 3 + x + 1̂ .
27.2. Să se arate că următoarele polinoame sunt ireductibile în ℤ 3 :
a) f = x 2 + 1̂ ;
b) f = x 2 + 2̂ x + 2̂ ;
c) f = x 4 + 1̂ ;
d) f = x 4 + 2̂ x 2 + 2̂ ;
e) f = 2̂ x 4 + x + 1̂ ;
f) f = 2̂ x 3 + x + 1̂ .
27.3. Să se arate că următoarele polinoame sunt ireductibile în ℤ 4 :
a) f = x 2 + 1̂ ;
b) f = x 2 + x + 1̂ ;
c) f = 2x 2 + 2x + 1̂ ;
d) f = x 3 + x + 1̂ ;
e) f = x 3 + x + 3̂ ;
f) f = x 5 + x + 1̂ .
27.4. Să se arate că următoarele polinoame:
1 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
a) f = x 2 + 1̂ ;
b) f = x 3 + 1̂ ;
c) f = x 4 + 1̂ ;
d) f = x 5 + 1̂ ;
e) f = x 6 + 1̂ ;
f) f = x 10 + 1̂ ,
sunt reductibile în ℤ şi să se descompună în factori ireductibili.
2
27.5. Să se arate că următoarele polinoame:
a) f = x 2 + 2̂ x + 1̂ ;
b) f = 2̂ x 2 + x + 2̂ ;
c) f = x 3 + x 2 + x + 1̂ ;
d) f = x 3 + 2̂ x 2 + x + 2̂ ;
e) f = x 3 + x + 1̂ ;
f) f = x 4 + x 3 + x 2 + x + 2̂ ,
sunt reductibile în ℤ şi să se descompună în factori ireductibili.
3
27.6. Să se arate că următoarele polinoame:
a) f = 2̂ x 2 + x + 1̂ ;
b) f = x 2 + x + 2̂ ;
c) f = x 3 + x 2 + x + 1̂ ;
d) f = x 3 + 3̂ x 2 + x + 3̂ ;
e) f = x 4 + 2̂ x 3 + x + 2̂ ;
f) f = x 4 + x 3 + x 2 + 2̂ x + 1̂ ,
sunt reductibile în ℤ şi să se descompună în factori ireductibili.
4
27.7. Să se rezolve în ℤ 2 ecuaţiile:
a) x 2 + x = 0̂ ;
b) x 2 + 1̂ = 0̂ ;
c) x 3 + 1̂ = 0̂ ;
d) x 2 + x + 1̂ = 0̂ ;
2 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
e) x 3 + x 2 + x + 1̂ = 0̂ ;
f) x 12 + 1̂ = 0̂ .
27.8. Să se rezolve în ℤ 3 ecuaţiile:
a) x 3 + x 2 + x + 1̂ = 0̂ ;
b) x 2 + x + 1̂ = 0̂ ;
c) x 2 + 2̂ = 0̂ ;
d) x 3 + x + 2̂ = 0̂ ;
e) x 4 + x + 1̂ = 0̂ ;
f) x 4 + x 2 + 1̂ = 0̂ .
27.9. Să se rezolve în ℤ 7 ecuaţiile:
a) x 2 + 5̂ = 0̂ ;
b) x 3 + 6̂ = 0̂ ;
c) x 4 + 5̂ = 0̂ ;
d) x 2 + 2x + 6̂ = 0̂ ;
e) x 3 + x 2 + 2̂ = 0̂ ;
f) x 4 + x 2 + 1̂ = 0̂ .
27.10. Să se rezolve în ℤ 11 ecuaţiile:
a) x 2 + x + 2̂ = 0̂ ;
b) x 2 + 7̂ x + 1̂ = 0̂ ;
c) x 2 + 8̂ = 0̂ ;
d) x 3 + x 2 + 8̂ = 0̂ ;
e) x 4 + x 2 + 3̂ = 0̂ ;
f) x 4 + x 3 + x 2 + x + 3̂ = 0̂ .
27.11. Cu ajutorul schemei lui Horner, să se afle cîtul şi restul împărţirii polinoamelor:
a) f = 2̂ x 5 + 3̂ x 4 + 4̂ x 3 + x 2 + 2̂ x + 1̂ ; g = x + 2̂ în ℤ ;
6
3 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
b) f = 6̂ x 4 + 2̂ x 3 + 4̂ x 2 + 5̂ x + 1̂ ; g = x + 6̂ în ℤ ;
7
c) f = 2̂ x 6 + 2̂ x 4 + x 3 + 3̂ x 2 + x + 1̂ ; g = x + 3̂ în ℤ ;
4
2
d) f = 2̂ x 4 + x 3 + 3̂ x + x + 2̂ ; g = x + 2̂ în ℤ ;
4
̂ x 4 + 9̂ x 3 + 5̂ x 2 + 2̂ x + 6̂ ; g = x + 9̂ în ℤ ;
e) f = 10
11
2
f) f = 6̂ x 5 + 4̂ x 4 + 3̂ x 3 + 5̂ x + 7̂ x + 1̂ ; g = x + 5̂ în ℤ .
11
27.12. Să se afle cîtul şi restul împărţirii polinoamelor:
a) P = x 4 + x 2 + x + 1̂ ; Q = x 2 + 1̂ în ℤ ;
2
b) P = 2̂ x 5 + 3̂ x 3 + 2̂ x 2 + x + 1̂ ; Q = 2̂ x 2 + x + 1̂ în ℤ ;
3
c) P = x + 2̂ x + x + x + 2̂ ; Q = x + 2̂ x + 2̂ în ℤ ;
6
5
3
2
3
d) P = 2̂ x 4 + 3̂ x 3 + 4̂ x 2 + x + 3̂ ; Q = 3̂ x 2 + 3̂ x + 4̂ în ℤ ;
5
e) P = x 4 + x 3 + 3̂ x + 3̂ ; Q = x 3 + 4̂ x 2 + 2̂ în ℤ ;
5
f) P = 6̂ x + 2̂ x + 5̂ x + 4̂ x + 1̂ ; Q = 5̂ x + 2̂ x + 4̂ în ℤ ;
4
3
2
2
7
g) P = x 5 + 2̂ x 4 + 3̂ x 2 + 4̂ x + 5̂ ; Q = x 3 + x 2 + 3̂ x + 2̂ în ℤ ;
7
h) P = x 6 + 3̂ x 4 + 4̂ ; Q = x 3 + 2̂ x 2 + x + 6̂ în ℤ .
11
27.13. Să se determine a
ℤ 3 astfel încît polinomul:
a) P = 2̂ x 3 + ax 2 + x + 1̂ să se dividă prin x + 2̂ în ℤ ;
3
b) P = x 3 + x 2 + ax + 2̂ să se dividă prin x + 1̂ în ℤ ;
3
c) P = x + ax + ax + 1̂ să se dividă prin x + 1̂ în ℤ ;
4
3
2
3
d) P = x 5 + ax 3 + 2̂ x + 1̂ să se dividă prin x + 2̂ în ℤ ;
3
e) P = x 6 + 2̂ x 4 + ax 2 + 1̂ să se dividă prin x + 2̂ în ℤ .
3
27.14. Să se determine a
ℤ 4 astfel încît polinomul:
a) P = x 4 + x 3 + ax 2 + 1̂ să se dividă prin x + 1̂ în ℤ ;
4
4 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
b) P = x 5 + ax 3 + a să se dividă prin x + 2̂ în ℤ ;
4
c) P = x 6 + ax 4 + x 2 + 1̂ să se dividă prin x + 3̂ în ℤ ;
4
d) P = 2̂ x + ax + 2̂ x + 1̂ să se dividă prin x + 2̂ în ℤ ;
5
3
4
e) P = x 5 + ax 4 + 2̂ x + 1̂ să se dividă prin x + 3̂ în ℤ .
4
27.15. Să se determine a
ℤ 5 astfel încît polinomul:
a) P = x 4 + 4̂ x 3 + ax 2 + 1̂ să se dividă prin x + 1̂ în ℤ ;
5
b) P = x 5 + 3̂ x 4 + ax 3 + a să se dividă prin x + 2̂ în ℤ ;
5
c) P = x + ax + 4̂ x + 1̂ să se dividă prin x + 3̂ în ℤ ;
6
5
2
5
d) P = 4̂ x 5 + ax 3 + 3̂ x + 1̂ să se dividă prin x + 2̂ în ℤ ;
5
e) P = x 5 + ax 4 + 4̂ x + 3̂ să se dividă prin x + 3̂ în ℤ ;
5
f) P = x + ax + 4̂ x + 3̂ să se dividă prin x + 3̂ în ℤ .
6
4
2
5
27.16. Să se determine a, b
ℤ 5 astfel încît polinomul:
a) P = 2̂ x 3 + ax 2 + 3̂ x + b să se dividă prin x 2 + 2̂ x + 1̂ în ℤ ;
5
b) P = x + ax + bx + 2̂ să se dividă prin x + 4̂ în ℤ ;
3
2
2
5
c) P = x 4 + 3̂ x 3 + 3̂ x 2 + ax + b̂ să se dividă prin x 2 + 3̂ x + 2̂ în ℤ ;
5
d) P = x 4 + x 3 + ax 2 + bx + 1̂ să se dividă prin x 2 + 1̂ în ℤ ;
5
e) P = x + x + x + ax + b̂ să se dividă prin x + x + 4̂ în ℤ .
4
3
2
2
5
27.17. Să se determine c.m.m.d.c. al polinoamelor:
a) P = x 3 + x 2 + x + 1̂ ; Q = x 2 + 1̂ în ℤ ;
2
b) P = x 2 + 2̂ ; Q = x 3 + 2̂ x 2 + x + 2̂ în ℤ ;
3
c) P = x + 2̂ x + 1̂ ; Q = 2̂ x + 1̂ în ℤ ;
2
2
3
d) P = x 3 + x 2 + 2̂ x + 2̂ ; Q = x 2 + x + 1̂ în ℤ ;
3
5 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
e) P = x 4 + 1̂ ; Q = x 3 + x + 1̂ în ℤ ;
3
f) P = x 2 + 4̂ ; Q = x 3 + 4̂ în ℤ ;
5
g) P = x + x + 2̂ x + x + 1̂ ; Q = x 3 + 2̂ x 2 + x + 2̂ în ℤ ;
4
3
2
5
h) P = 2̂ x 4 + 3̂ x 3 + 4̂ x 2 + 2̂ x + 1̂ ; Q = x 3 + 2̂ x 2 + 2̂ x + 1̂ în ℤ ;
5
i) P = x 4 + 3̂ x 2 + 2̂ ; Q = x 4 + x 3 + 2̂ x 2 + x + 1̂ în ℤ ;
7
j) P = 4̂ x + 4̂ x + x + 1̂ ; Q = 4̂ x + 5̂ x + x + 3̂ în ℤ .
3
2
3
2
7
27.18. Să se determine a
ℤ 3 astfel încît ecuaţiile următoare să aibă rădăcini comune în ℤ 3 :
a) x 2 + x + a = 0̂ ; 2̂ x 2 + x + a = 0̂ ;
b) x 2 + ax + 1 = 0̂ ; 2̂ x 2 + x + a = 0̂ ;
c) x 2 + x + a = 0̂ ; x 2 + ax + 1 = 0̂ ;
d) x 3 + x + a = 0̂ ; x 2 + x + a = 0̂ ;
e) x 3 + ax + 1̂ = 0̂ ; x 4 + x + a = 0̂ .
27.19. Să se determine a
ℤ 5 astfel încît ecuaţiile următoare să aibă rădăcini comune în ℤ 5 :
a) x 2 + x + a + 1 = 0̂ ; 2̂ x 2 + x + a = 0̂ ;
b) x 2 + 2̂ x + a = 0̂ ; x 3 + ax + 3̂ = 0̂ ;
c) x 3 + ax 2 + x + a = 0̂ ; x 3 + 2̂ x + a = 0̂ ;
d) x 3 + 2̂ x + a + 1 = 0̂ ; x 3 + x 2 + x + a = 0̂ ;
e) x 3 + 2̂ x 2 + 3̂ x + â = 0̂ ; x 3 + ax 2 + ax + 1̂ = 0̂ .
27.20. Să se rezolve în ℤ 4 sistemele:
x + 2̂ y = 1̂
a)
;
3̂ x + y = 1̂
x + y = 0̂
b)
;
2̂ x + y = 1̂
x + y = 1̂
c)
;
2̂ x + 3̂ y = 1̂
6 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
3̂ x + y = 1̂
d)
;
x + y = 1̂
x + 3̂ y = 3̂
e)
;
3̂ x + y = 1̂
x + 2̂ y = 1̂
f)
.
3̂ x + 2̂ y = 1̂
27.21. Să se rezolve în ℤ 5 sistemele:
3̂ x + y = 0̂
a)
;
x + 2̂ y = 0̂
2̂ x + 3̂ y = 2̂
b)
;
x + y = 3̂
4̂ x + y = 2̂
c)
;
2̂ x + y = 0̂
x + y = 1̂
d)
;
2̂ x + 4̂ y = 2̂
x + y = 2̂
e)
;
x + 2̂ y = 1̂
3̂ x + 2̂ y = 3̂
f)
.
x + 3̂ y = 1̂
27.22. Să se rezolve în ℤ 3 sistemele:
x + y + z = 0̂
a) x + y + 2̂ z = 1̂ ;
2̂ x + y + z = 1̂
x + y + z = 1̂
b) x + 2̂ y + z = 2̂ ;
2̂ x + 3̂ y + z = 1̂
7 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
x + y + z = 0̂
c) 2̂ x + y + 2̂ z = 1̂ ;
x + 2̂ y + 2̂ z = 2̂
x + 2̂ y + z = 0̂
d) 2̂ x + y + z = 2̂ ;
x + y + 2̂ z = 0̂
2̂ x + y + z = 1̂
e) x + 2̂ y + z = 1̂ ;
x + y + 2̂ z = 1̂
x + y + 2̂ z = 0̂
f) x + 2̂ y + z = 2̂ .
2̂ x + y + z = 0̂
27.23. Să se rezolve în ℤ 5 sistemele:
x + y + z = 3̂
a) x + 3̂ y + z = 0̂ ;
3̂ x + y + 2̂ z = 1̂
x + y + 2̂ z = 4̂
b) 2̂ x + y + z = 2̂ ;
x + y + 3̂ z = 2̂
2̂ x + y + z = 3̂
c) x + 2̂ y + z = 4̂ ;
x + y + 2̂ z = 0̂
x + y + z = 1̂
d) x + 2̂ y + z = 3̂ ;
2̂ x + y + z = 2̂
x + y + z = 1̂
e) 2̂ x + y + z = 3̂ ;
x + 2̂ y + z = 3̂
8 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
3̂ x + y + z = 1̂
f) x + 3̂ y + z = 0̂ .
x + y + 3̂ z = 4̂
27.24. Să se rezolve în ℤ 7 sistemele:
3̂ x + y + z = 4̂
a) x + 2̂ y + 3̂ z = 1̂ ;
x + y + z = 2̂
x + y + 4̂ z = 4̂
b) 3̂ x + y + z = 6̂ ;
x + 2̂ y + 3̂ z = 2̂
x + 5̂ y + z = 2̂
c) 3̂ x + 2̂ y + z = 1̂ ;
2̂ x + 3̂ y + 4̂ z = 3̂
4̂ x + y + z = 2̂
d) x + 3̂ y + 2̂ z = 6̂ ;
x + y + 4̂ z = 1̂
5̂ x + 3̂ y + z = 5̂
e) 1̂ x + y + 3̂ z = 5̂ ;
2̂ x + y + 4̂ z = 4̂
x + 2̂ y + 3̂ z = 5̂
f) 2̂ x + y + z = 3̂ .
x + y + z = 1̂
27.25. Să se calculeze valoarea determinanţilor:
|3̂
|
a) |0̂
|
||1̂
9 sur 13
1̂ 2̂ |
|
̂2 1̂ | în ℤ ;
5
|
̂3 4̂ ||
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
|2̂
|
b) |1̂
|
||2̂
|3̂
|
c) |0̂
|
||1̂
|3̂
|
d) |4̂
|
||5̂
|3̂
|
e) |5̂
|
||1̂
|8̂
|
f) |5̂
|
||1̂
1̂ 4̂ |
|
3̂ 2̂ | în ℤ ;
6
|
̂1 1̂ ||
1̂ 2̂ |
|
̂2 1̂ | în ℤ ;
4
|
̂3 0̂ ||
1̂ 2̂ |
|
3̂ 3̂ | în ℤ ;
7
|
6̂ 4̂ ||
1̂ 2̂ |
|
4̂ 3̂ | în ℤ ;
8
|
̂5 4̂ ||
1̂ 2̂ |
|
̂7 4̂ | în ℤ .
11
|
3̂ 4̂ ||
27.26. Să se calculeze rangul următoarelor matrici:
10 sur 13
3̂
a) 2̂
̂
1
1̂ 1̂
3̂ 2̂ în ℤ ;
5
̂3 4̂
2̂
b) 3̂
̂
2
1̂
c) 0̂
̂
3
4̂
d) 2̂
̂
5
2̂ 4̂
̂3 2̂ în ℤ ;
6
̂1 1̂
2̂ 3̂
̂2 3̂ în ℤ ;
4
1̂ 4̂
2̂ 1̂
3̂ 3̂ în ℤ ;
7
̂6 4̂
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
1̂
e) 5̂
̂
1
2̂ 5̂
4̂ 3̂ în ℤ ;
8
̂5 4̂
7̂
f) 5̂
̂
1
3̂ 2̂
̂7 4̂ în ℤ .
11
̂2 3̂
27.27. Să se calculeze A n , n
1̂
a) A =
1̂
0̂
b) A =
1̂
1̂
c) A =
1̂
1̂
d) A =
0̂
1̂
e) A =
2̂
0̂
=
f) A
4̂
ℕ * , unde:
1̂
în ℤ ;
3
1̂
1̂
în ℤ ;
3
0̂
0̂
în ℤ ;
4
̂1
0̂
în ℤ ;
4
̂2
0̂
în ℤ ;
5
̂1
1̂
în ℤ .
5
̂0
27.28. Să se determine matricea A
1̂
a) A 2 =
1̂
1̂
b) A 2 =
0̂
1̂
c) A 2 =
0̂
2̂
2 =
d) A
2̂
11 sur 13
M 2 (ℤ 3 ) astfel încît:
0̂
;
̂1
2̂
;
̂2
0̂
;
̂2
2̂
;
̂1
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
2̂
e) A 2 =
0̂
0̂
f) A 2 =
1̂
2̂
g) A 4 =
1̂
1̂
h) A 4 =
0̂
1̂
4 =
i) A
1̂
0̂
;
2̂
2̂
;
̂0
2̂
;
̂0
1̂
;
̂1
1̂
.
̂1
27.29. Să se discute şi să se rezolve în ℤ 3 sistemele:
ax + 2̂ y = 1̂
a)
;
x + y = 2̂
ax + y = 2̂
b)
;
2̂ x + y = 1̂
x + y = 1̂
c)
;
2̂ x + ay = 1̂
ax + y = 1̂
d)
;
x + y = 1̂
x + 2̂ y = 2̂
e)
;
ax + y = 1̂
x + 2̂ y = 1̂
f)
,
ax + 2̂ y = 2̂
unde a ∈ ℤ .
3
27.30. Să se discute şi să se rezolve în ℤ 5 sistemele:
2̂ x + 3̂ y = 3̂
a)
;
ax + 4̂ y = 2̂
ax + 3̂ y = 2̂
b)
;
x + y = 3̂
12 sur 13
23/09/13 03:54
file:///Users/mihaelamurariu/Desktop/Culegere Schneider alg...
x + 2̂ y = 4̂
c)
;
ax + 3̂ y = 3̂
ax + 3̂ y = 2̂
d)
;
(a + 1̂ )x + y = 1̂
ax + y = 2̂
e)
;
ax + 2̂ y = 1̂
ax + 2̂ y = 3̂
f)
,
x + 3̂ y = 1̂
unde a ∈ ℤ .
5
[Salt la cuprins]
13 sur 13
23/09/13 03:54
