Curs

STELIAN EMILIAN OLTEAN

CONTROL INTELIGENT ŞI ADAPTIV
Curs

2009
1

UNIVERSITATEA “PETRU MAIOR” TG.MUREŞ
MASTERAT:
SISTEME AVANSATE DE CONDUCERE A PROCESELOR
INDUSTRIALE

dr. ing. STELIAN EMILIAN OLTEAN

CONTROL INTELIGENT ŞI ADAPTIV
Curs

2009
2

CUPRINS:

I. Introducere ......................................................................................................................... 5
II. Aspecte generale privind sistemele de reglare adaptivă şi sistemele de reglare fuzzy ......... 8
II.1. Sisteme de reglare adaptivă ........................................................................................ 8
II.1.1. Sisteme adaptive cu model de referinţă (MRAS)................................................ 10
II.1.2. Metoda gradientului (regula MIT) pentru adaptarea regulatoarelor..................... 12
II.1.3. Metoda teoriei stabilităţii Lyapunov pentru adaptarea regulatoarelor.................. 13
II.1.4. Exemple de sisteme adaptive cu model etalon.................................................... 15
II.2. Sisteme de reglare directă fuzzy................................................................................ 22
II.2.1. Elemente de logica fuzzy ................................................................................... 24
II.2.2. Structura de bază a regulatoarelor fuzzy directe ................................................. 29
II.2.3. Exemple de structuri de reglare fuzzy directe ..................................................... 36
III. Sisteme de reglare fuzzy adaptive .................................................................................. 40
III.1. Scheme generale de reglare fuzzy adaptivă.............................................................. 41
III.2. Sistem de reglare fuzzy adaptiv cu model de referinţă ............................................. 43
III.2.1. Mecanismul de învăţare (de adaptare)............................................................... 47
IV. Aplicaţii de control inteligent şi adaptiv......................................................................... 52
IV.1. Aplicaţia 1: Controlul şi echilibrarea pendulului inversat ........................................ 52
IV.1.1. Descrierea procesului. Modele matematice....................................................... 52
IV.1.2. Sisteme de reglare adaptive convenţionale........................................................ 57
IV.1.3. Sistem de reglare fuzzy .................................................................................... 62
IV.1.4. Sistem de reglare fuzzy adaptiv ........................................................................ 65
IV.2. Aplicaţia 2: Reglarea adaptivă locală a braţelor roboţilor......................................... 69
IV.2.1. Descrierea procesului. Modele matematice....................................................... 69
IV.2.2. Sisteme de reglare adaptive convenţionale........................................................ 73
IV.2.3. Sistem de reglare fuzzy adaptiv ........................................................................ 83
V. Concluzii ........................................................................................................................ 89

3

Bibliografie ......................................................................................................................... 92
Anexe .................................................................................................................................. 95
Anexa 1. Schema neliniară a pendulului inversat.............................................................. 95
Anexa 2. Descrierea regulatorului fuzzy........................................................................... 95
Anexa 3. Lista figurilor din lucrare .................................................................................. 96

4

I. Introducere

În cazul sistemelor automate clasice este binecunoscută importanţa etapei de obţinere
a modelelor proceselor, a reprezentării matematice (dependenţei) între diferite mărimi de
intrare, intermediare şi de ieşire. Aceste modele trebuie să fie cât mai precise pentru ca apoi să
poată fi aleasă o metodă de proiectare corespunzătoare modelului procesului, pentru a se
obţine structura şi parametrii regulatorului, necesari îndeplinirii cerinţelor de performanţă
impuse sistemului.
Înainte de implementarea fizică a sistemului de reglare automată se realizează o
simulare a acestuia pentru a i se studia comportamentul şi pentru a verifica dacă sunt
îndeplinite performanţele sistemului. Evident precizia modelului şi metoda de proiectare
aleasă influenţează calitatea reglării.
Modelele obţinute nu sunt întotdeauna precise şi atunci devine importantă robusteţea
sistemului de reglare. De asemenea pot apărea semnale perturbatoare, zgomote care
influenţează comportarea ideală. Printr-un sistem robust se înţelege un sistem care reuşeşte să
păstreze anumite proprietăţi (stabilitate, performanţe) şi în cazul apariţiei unor variaţii între
sistemul real şi modelul folosit (erori de modelare) sau în cazul perturbaţiilor parametrice
interne sau externe. Regulatorul robust este proiectat de obicei o singură dată, înainte de
punerea în funcţiune a instalaţiei. [Zăr1]
De multe ori în prezenţa incertitudinilor parametrice şi structurale în caracterizarea
proceselor reale, soluţiile clasice şi chiar cele robuste de reglare nu fac faţă şi nu pot satisface
condiţiile de performanţă impuse. De aici apare necesitatea folosirii unor noi structuri,
moderne, inteligente şi adaptive. Câteva domenii unde aceste metode moderne se impun sunt:
robotică, metalurgie, energetică, sisteme de navigaţie, tehnologii neconvenţionale, tehnica
nucleară, etc.
În plus, în automatica modernă se încearcă evitarea liniarizării sistemelor neliniare,
regulatoarele fiind implementate direct pe baza modelului neliniar al procesului folosind
structuri paralele cu informaţie distribuită de tip fuzzy (mulţimi vagi) şi/sau neuronal. Aceste
structuri permit proiectarea unor regulatoare numerice pentru procese complexe, caracterizate
de neliniarităţi şi incertitudini, în condiţii în care informaţiile despre dinamica procesului sunt
limitate, adică avem de-a face cu conceptul de “control inteligent”.
Atributul de “inteligenţă” este corelat în primul rând cu capacitatea de a raţiona a
sistemelor fuzzy şi/sau neuronale în scopul alegerii unei decizii adecvate, într-o anumită
5

situaţie, şi mai puţin cu proprietatea de a învăţa. Dacă pentru controlul proceselor se folosesc
structuri neuronale artificiale atunci spunem că avem un “control neuronal”. Dacă sistemul
de reglare conţine un raţionament fuzzy (bazat pe logica fuzzy) atunci avem de-a face cu un
“control fuzzy”. Dacă sistemul de reglare conţine atât structuri neuronale cât şi raţionament
fuzzy atunci întâlnim conceptual de “control neuro-fuzzy”. [Dav1, Dav2]
Particular sistemelor de conducere inteligente de tip neuronal este faptul că peste
regulatoarele convenţionale se suprapune sistemul de învăţare. Metodele de învăţare utilizează
eroarea de reglare fie pentru ajustarea parametrilor, fie pentru selecţia anumitor parametrii
dintr-un set de soluţii posibile.
Logica fuzzy permite înlocuirea metodelor clasice de proiectare a sistemelor de reglare
automată bazate pe modele matematice cu intuiţie şi euristică inginerească. Sistemele fuzzy
realizează îmbinarea între două lumi: om-maşină, şi anume modelarea informaţiei hibride
lingvistico-numerice. Informaţia lingvistică este conţinută într-o bază de reguli “dacă …
atunci …” (“if … then …”), iar cea numerică se regăseşte în perechile de valori intrare-ieşire.
Fundamentat pe logica fuzzy s-a dezvoltat controlul fuzzy al proceselor prin care se simulează
comportamentul uman în conducerea proceselor.
Pe de altă parte variaţiile parametrice şi structurale pot fi compensate şi prin adăugarea
unei bucle suplimentare în structura unui sistem de reglare clasic alături de bucla de reglare
convenţională (reacţiei negative). Această buclă suplimentară este denumită buclă de
adaptare, al cărei rol este de a asigura adaptarea continuă a comenzii prin modificarea
parametrilor regulatorului sau a structurii acestuia prin semnale adiţionale. Structurile de
sisteme adaptive pot fi în circuit deschis, cu răspândire mai redusă (telecomunicaţii) sau în
circuit închis, folosite în cazul sistemelor automate de reglare.
Un sistem fuzzy adaptiv poate fi văzut ca un sistem fuzzy înzestrat cu un “algoritm de
antrenare”, algoritm care are rolul de a ajusta parametrii sistemului de reglare fuzzy pe baza
perechilor de valori numerice intrare-ieşire obţinute prin măsurători efectuate asupra
procesului. Acesta combină facilităţile oferite de reglarea bazată pe logica fuzzy (Fuzzy Logic
Control FLC) şi conducerea adaptivă a proceselor (Adaptive Control AC).
Lucrarea structurată pe 3 capitole principale, prezintă exemple de aplicaţii ale
inteligenţei artificiale în reglarea adaptivă, prin detalierea sistemelor adaptive, sistemelor
fuzzy directe şi a celor fuzzy adaptive. Avantajele ultimelor metode moderne permit obţinerea
unor performanţe deosebite în conducerea unor procese care conţin elemente neliniare,
procese asupra cărora există incertitudini de model, cu parametrii şi structură variabili în timp,
precum şi procese unde intervin perturbaţii externe.

6

Astfel, în capitolul 2 se prezintă aspecte ce stau la baza construcţiei regulatoarelor
inteligente adaptive, şi anume structurile de reglare adaptive (Adaptive Control) şi structurile
de reglare fuzzy inteligente (Fuzzy Logic Control), exemplificate prin aplicaţii concrete de
control.
Capitolul 3 prezintă structuri de regulatoare fuzzy adaptive (Adaptive Fuzzy Control),
iar apoi este axat pe proiectarea sistemului de reglare fuzzy cu învăţare cu model de referinţă
(Fuzzy Model Reference Learning Control FMRLC), cu evidenţierea blocurilor componente
şi a elementelor care separă aceste sisteme de celelalte regulatoare, fie ele clasice, adaptive
sau inteligente.
În partea finală a referatului sunt prezentate aplicaţii şi programe pentru studiul acestor
regulatoare fuzzy adaptive şi concluzii referitoare la alegerea şi avantajele introducerii acestor
tipuri de regulatoare în cadrul sistemelor automate.

7

II. Aspecte generale privind sistemele de reglare adaptivă şi
sistemele de reglare fuzzy

În acest capitol sunt prezentate aspecte teoretice de proiectare a regulatoarelor
adaptive (Adaptive Control AC), în principal regulatoare adaptive cu model de referinţă
(Model Reference Adaptive Control MRAC), şi conceptul de regulator fuzzy (Fuzzy Logic
Control), precum şi exemple de sisteme de reglare de acest tip.
Din punct de vedere al sistemelor de reglare adaptive cu model de referinţă sunt
dezvoltate în lucrare două direcţii diferite: regulatoare adaptive bazate pe regula MIT
(Massachusetts Institute of Technology) şi regulatoare adaptive bazate pe teorema stabilităţii a
lui Lyapunov.
Pentru înţelegerea sistemelor automate care au în componenţa lor regulatoare fuzzy în
elaborarea semnalelor de comandă, este necesară cunoaşterea unor noţiuni din logica fuzzy
precum: mulţimi fuzzy, operaţii cu mulţimi fuzzy, mecanisme de inferenţă, fuzzificare şi
defuzzificare, etc. Acestea fiind prezentate spre sfârşitul capitolului.

II.1. Sisteme de reglare adaptivă
În teoria reglării automate moderne, conceptul de control adaptiv este deseori amintit
alături de cel de control robust. Amândouă reprezentând metode de reglare a unor sisteme cu
parametrii cu un grad mai mare sau mai mic de incertitudini sau variabili în timp.
Un regulator robust este considerat acel regulator care reuşeşte să păstreze anumite
proprietăţi (de stabilitate şi performanţă) ale sistemului automat, chiar şi atunci când asupra
sistemului se interpun anumite elemente perturbatoare (externe, mărimi exogene sau interne,
variaţii ale parametrilor procesului), iar sistemul de reglare devine unul robust.
Proiectarea unui regulator adaptiv este impusă atunci când structura dinamică a
procesului este cunoscută, dar pot apărea variaţii mai lente ai parametrilor fizici ai procesului.
Indiferent de natura procesului, sistem liniar sau neliniar, regulatoarele adaptive sunt neliniare
prin construcţie.
Deosebirea între cele două tehnici de compensare a acestor variaţii în cadrul
sistemelor este dată de modul de calcul a parametrilor de acord, iar aplicarea fiecărei metode
depinde de viteza şi domeniul de variaţie al parametrilor procesului.
8

Spre deosebire de sistemele adaptive, unde parametrii regulatorului se modifică în
mod repetitiv (“online”, în timpul funcţionării), în urma variaţiei parametrilor procesului,
regulatorul robust este calculat o singură dată, înainte de punerea în funcţiune a sistemului
automat. Avantajul regulatoarelor robuste constă în reducerea algoritmului de calcul, acesta
efectuându-se o singură dată.
Deşi un regulator robust are o acţiune mai rapidă decât cea a unui regulator adaptiv în
momentul modificărilor parametrice a procesului condus, este obligatorie cunoaşterea
domeniului de variaţie a acestora. Astfel, în cazul unor modificări parametrice mai lente
într-un domeniu mai mare şi necunoscut se impune folosirea regulatoarelor adaptive, mai ales
dacă structura procesului este cunoscută.
Soluţiile de conducere în cadrul sistemelor adaptive au la bază două tehnici de
adaptare parametrică, sisteme adaptive cu model de referinţă SAMR (Model Reference
Adaptive System MRAS), cu structura generală de reglare din figura 2.1, şi sisteme adaptive cu
autoreglare sau autoacordare SAA (Self-tuning Adaptive System SAS), cu structura prezentată
în figura 2.2.

Fig. 2.1. Structura generală a unui sistem adaptiv cu model de referinţă (direct)

Fig. 2.2. Structura generală a unui sistem adaptiv cu autoacordare (indirect)
În cazul primei tehnici se alege un model de referinţă (denumit şi model etalon),
reprezentând funcţionarea dorită a sistemului şi se ajustează parametrii de acord ai
regulatorului pe baza erorii dintre ieşirea procesului şi ieşirea modelului etalon. Mecanismul
de adaptare trebuie să asigure convergenţa la zero a erorii de adaptare (de urmărire). În cazul
9

celei de-a doua tehnici, se realizează identificarea în timpul funcţionării (“online”) a
parametrilor procesului şi pe baza estimaţiilor obţinute se actualizează coeficienţii unei legi de
reglare cu structură fixată (alocare de poli, regulatoare PID, regulatoare liniar pătratice,
varianţă minimă). [Ast2, Dam2, Iou, Ise, Naş, Sas, Wil, Lyu]
Cele două tehnici s-au dezvoltat independent şi păreau a fi total diferite. Diferenţa
consta în faptul că tehnicile de proiectare cu model etalon au fost elaborate, iniţial, pentru
conducerea proceselor deterministe continue, în timp ce regulatoarele cu autoacordare au fost
utilizate de regulă pentru conducerea sistemelor discrete stocastice.
În prezent a fost pusă în evidenţă legătura dintre cele două abordări ale tehnicilor de
conducere adaptivă. Spre exemplu ambele metode adaptive au două bucle de reglare: una
interioară (denumită buclă ordinară de reglare) şi una exterioară (buclă de ajustare a
parametrilor sau structurii regulatorului având la bază informaţiile funcţionale ale procesului).
Evident metodele de proiectare a buclei interioare şi tehnicile de ajustare a parametrilor
regulatorului adaptiv sunt diferite pentru cele două scheme de adaptare.
Din punct de vedere al modalităţii de calcul al parametrilor regulatorului adaptiv
sistemele adaptive pot fi sisteme adaptive directe sau sisteme adaptive indirecte. La sistemele
adaptive indirecte parametrii regulatorului adaptiv sunt determinaţi pe baza parametrilor
estimaţi ai procesului (în mod indirect) şi deci are loc o translaţie de la parametrii procesului
la cei ai regulatorului. Dacă însă se poate realiza o reparametrizare (directă) a procesului astfel
încât acesta să conţină şi parametrii regulatorului se obţine un sistem adaptiv direct. [Căl]
În secţiunea următoare se va insista doar asupra sistemelor adaptive cu model de
referinţă directe, acestea având o importanţă mare în abordarea sistemelor inteligente adaptive
(sisteme fuzzy adaptive) de tip FMRLC, obiectul principal al studiului din această lucrare.
II.1.1. Sisteme adaptive cu model de referinţă (MRAS)
Sistemele adaptive cu model etalon, cu structura prezentată în figura 2.1, sunt în
general compuse din patru blocuri componente:
-

procesul condus (cu parametrii necunoscuţi);

-

modelul de referinţă (etalon);

-

regulatorul adaptiv (cu parametrii ajustabili);

-

mecanismul de adaptare (pentru ajustarea parametrilor regulatorului).
Modelul de referinţă (etalon) din cadrul sistemelor adaptive de acest tip (cu structura

prezentată deja în figura 2.1) caracterizează comportarea dorită a sistemului, furnizând la
10

ieşire semnalul ym(t). Astfel, acelaşi semnal de intrare r(t) este aplicat atât modelului ideal cât
şi construcţiei regulator adaptiv-proces.
Sistemele adaptive cu model de referinţă se impun în domeniul sistemelor automate
mai ales atunci când parametrii procesului sunt constanţi, dar necunoscuţi sau atunci când
aceştia variază lent (pe intervale mari de timp) în comparaţie cu dinamica adaptării, dar suferă
modificări importante sub acţiunea unor perturbaţii parametrice. Spre deosebire de sistemele
adaptive cu model de referinţă trebuie recunoscută totuşi superioritatea sistemelor adaptive cu
autoacordare din punct de vedere al flexibilităţii, deoarece la acestea din urmă există
posibilităţi multiple de cuplare a metodelor de proiectare a regulatoarelor şi de estimare a
modelelor proceselor.
Mecanismul de ajustare al sistemelor adaptive cu model etalon asigură o stabilitate şi o
convergenţă superioară sistemelor autoacordabile, deoarece rolul acestuia este de a modifica
parametrii ajustabili ai regulatorului adaptiv astfel încât regulatorul să furnizeze o comandă
u(t), în scopul reducerii erorii de adaptare ye(t), dintre ieşirea procesului y(t) şi ieşirea
modelului etalon ym(t).
lim ( y e (t ) ) = lim ( y (t ) - y m (t ) ) = 0
t ®¥

(2.1)

t ®¥

Regulatoarele adaptive sunt parametrizate şi destinate unor clase de procese (cu
structură cunoscută). Dacă s-ar cunoaşte exact parametrii procesului atunci parametrii
regulatorului pot fi determinaţi uşor pentru ca ieşirea procesului condus să fie una identică cu
ieşirea modelului etalon. Atunci când legea de reglare este liniară în parametrii ajustabili
regulatorul este liniar parametrizat.
Indiferent de tehnicile utilizate dificultăţile problemei de conducere adaptivă provin
din faptul că instalaţia tehnologică (procesul condus) reprezintă o necunoscută, o “cutie
neagră” la care sunt disponibile doar informaţiile funcţionale (semnale de intrare şi ieşire),
respectiv din generarea legii de comandă care să asigure că parametrii regulatorului tind către
valorile ideale (dorite), ceea ce determină o convergenţă a erorii de adaptare ye la 0.
Într-o formulare generală, problema conducerii adaptive a unui proces supus acţiunilor
perturbaţiilor constă în determinarea la fiecare moment de timp t a semnalului de comandă
u(t) care stabilizează sistemul în buclă închisă şi minimizează abaterea, eroarea de adaptare
ye(t) dintre mărimea de ieşire din procesul condus şi mărimea de ieşire din modelul etalon
ales, respectiv satisfacerea unor condiţii suplimentare precum [Zăr1, Dav2]:

11

-

determinarea semnalului de comandă u(t) se face doar prin utilizarea informaţiilor
funcţionale disponibile, pentru intrare în procesul condus {u(τ), τ ≤t} şi pentru ieşire
din procesul condus {y(τ), τ≤t};

-

regulatorul adaptiv este un sistem dinamic cauzal;

-

parametrii ajustabili ai regulatorului sa ia doar valori care să asigure convergenţa din
relaţia 2.1.
Structura generală a sistemului adaptiv cu model etalon, prezentată în figura 2.1, a fost

propusă prima oară de Whitaker, Yamron şi Keezer în anul 1958, iar formularea problemei de
adaptare a parametrilor regulatorului cu scopul de a obţine un răspuns al procesului identic cu
cel al modelului etalon este cunoscută ca o problemă de urmărire a modelului etalon. Alte
studii în domeniul sistemelor adaptive au fost efectuate ulterior de Parks, Butchart, Hang,
Monopoly, Landau, Ionescu, Wittenmark, Sastry, Bodson, Ioannou, Stoica, Tao etc. [Koo]
Principalele metode de analiză şi sinteză a sistemelor adaptive cu model etalon
dezvoltate în continuarea acestui subcapitol sunt:
-

metoda gradientului, cunoscută şi sub denumirea de regula MIT;

-

metoda bazată pe teoria stabilităţii Lyapunov.

II.1.2. Metoda gradientului (regula MIT) pentru adaptarea regulatoarelor
Metoda gradientului descendent, denumită şi metoda MIT după denumirea renumitei
universităţii americane în cadrul căreia s-au efectuat primele studii, este primul pas reuşit de
ajustare a parametrilor regulatorului adaptiv. Această metodă presupune modificarea în timp a
parametrilor regulatorului adaptiv până când eroarea de adaptare (urmărire) devine cât mai
mică, sau altfel spus se urmăreşte minimizarea unui criteriu de calitate ce depinde de eroarea
de adaptare şi de parametrii regulatorului.

J (q ) =

unde

1
2
× ye
2

(2.2)

θ este vectorul parametrilor regulatorului.
Mecanismul de ajustare a parametrilor regulatorului adaptiv poate fi sintetizat în cazul

metodei MIT prin relaţia:
¶y
dq
dJ
= -g ×
= -g × y e × e
dt
dq
¶q

(2.3)

12

unde

γ reprezintă viteza de adaptare (constantă pozitivă);
ye – eroarea de adaptare.
O altă variantă pentru adaptarea parametrilor este cea care foloseşte criteriul de

calitate:
J (q ) = y e

(2.4)

Regula de ajustare a parametrilor regulatorului adaptiv devine atunci:
¶y
dq
dJ
= -g ×
= -g × e × sign( y e )
dt
dq
¶q

unde

(2.5)

ì 1, y e > 0
ï
sign ( y e ) = í 0, y e = 0 .
ï- 1, y < 0
e
î
Un termen esenţial în relaţia 2.3 şi 2.5 este funcţia de sensibilitate a derivatei erorii

∂ye/∂θ, deoarece aceasta determină modul de adaptare a parametrilor. Se consideră de
asemenea că parametrii se modifică mai lent decât variaţiile sistemului.
Alegerea vitezei (ratei) de adaptare se face în funcţie de amplitudinea semnalului de
intrare. Totuşi nu se pot preciza exact limitele care asigură stabilitatea sistemului în buclă
închisă, ceea ce înseamnă că metoda de adaptare cu gradient descendent poate conduce la
instabilitate. Pentru asigurarea stabilităţii se înlocuieşte funcţia de sensibilitate cu o altă
metodă de adaptare, mai bună, bazată pe teoria de stabilitate Lyapunov.
II.1.3. Metoda teoriei stabilităţii Lyapunov pentru adaptarea regulatoarelor
Asigurarea stabilităţii sistemului închis şi convergenţa parametrilor regulatorului
adaptiv se utilizează teoria de stabilitate (internă) a lui Lyapunov. Să presupunem că sistemul
în buclă închisă este caracterizat de ecuaţia diferenţială:
dx (t )
= f ( x (t )), f (0) = 0
dt

(2.6)

unde sistemul este neliniar sau liniar după cum este şi funcţia f(x).
13

Soluţia x(t) este stabilă în sens Lyapunov dacă pentru orice ε>0 există δ>0 astfel încât
la orice moment de timp t pozitiv x (t ) < d Þ x (t ) < e . Soluţia este asimptotic stabilă dacă
ea este stabilă şi x (t ) ® 0 când t ® ¥ .
Forma practică şi utilă în cazul sistemelor adaptive cu model etalon este cea dată de
metoda directă Lyapunov. Să presupunem încă o dată relaţia 2.6 pentru caracterizarea
dinamicii sistemului în buclă închisă. Dacă se găseşte o funcţie V, care depinde de parametrii
sistemului, denumită funcţie Lyapunov, astfel încât:
1. V(x)>0, x≠0;
2. V(0)=0;
3. V este derivabilă;
·

4. V (t ) =

¶V ·
× x (t ) £ 0 .
¶x

atunci sistemul este stabil. Altfel spus dacă funcţia V este pozitiv definită (1 şi 2) şi
derivata ei negativ semidefinită (3 şi 4) atunci sistemul în buclă închisă este stabil.
Înlocuind condiţia 4 cu relaţia 2.7, ceea ce înseamnă că derivata funcţiei V este negativ
definită, sistemul în buclă închisă devine asimptotic stabil (exponenţial stabil).
·

V (t ) =

¶V ·
× x (t ) < 0
¶x

(2.7)

În plus dacă V(x)→∞, când x→∞, sistemul este global asimptotic stabil (adică
sistemul este asimptotic stabil pentru toate valorile x iniţiale). Relaţia 2.7 stă la baza
determinării mecanismului de ajustare a parametrilor regulatorului adaptiv pe baza teoriei
Lyapunov. [Iou, Dav2, Ast2]
Problema esenţială şi în cazul sistemelor adaptive rămâne găsirea acestei funcţii V(x)
(denumită şi funcţie de energie care depinde de parametrii sistemului), deoarece în cazul în
care ea nu a putut fi găsită astfel încât să îndeplinească condiţiile 1-4 din teoria stabilităţii nu
se pot face aprecieri din punct de vedere al stabilităţii şi convergenţei sistemului adaptiv în
buclă închisă.
Pentru un sistem dat prin ecuaţia:
dx (t )
= A × x (t ), x (0) = x0
dt

(2.8)

unde A este matrice invariantă în timp.
14

Funcţia Lyapunov pătratică posibilă este:
V ( x) = x T × P × x > 0

(2.9)

Dacă P este o matrice pătratică simetrică pozitiv definită atunci primele două condiţii
din teorema stabilităţii (forma practică) sunt îndeplinite şi deci funcţia Lyapunov este pozitiv
definită. Derivata funcţiei Lyapunov este conform relaţiei 2.10 negativ definită.
·

V ( x, t ) = x T × P × x + x T × P × x = x T × AT × P × x + x T × P × A × x = x T (AT × P + P × A) × x
·

·

·

AT × P + P × A = -Q Þ V ( x , t ) = - x T × Q × x < 0

(2.10)

unde Q este o matrice simetrică pozitiv definită.
Relaţiile 2.9 şi 2.10 conduc la concluzia de stabilitate (internă) a sistemului în buclă
închisă, deoarece toate cerinţele din teorema de stabilitate Lyapunov sunt îndeplinite.
Alte teorii folosite în determinarea unei reguli de adaptare a parametrilor ajustabili ai
sistemului adaptiv cu model etalon sunt: teoria pasivităţii, stabilitatea intrare-ieşire BIBO
(bounded-input bounded-output), teoria Kalman-Yakubovich, etc.
II.1.4. Exemple de sisteme adaptive cu model etalon
În această secţiune se prezintă două exemple de sisteme adaptive cu model etalon
directe (în care adaptarea parametrilor se face direct din informaţiile funcţionale, fără
estimarea parametrilor). Metodele de adaptare a parametrilor sistemului vor fi pe rând metoda
gradientului descendent (MIT) şi metoda stabilităţii Lyapunov.
În primul exemplu procesul condus conţine un singur parametru necunoscut, factorul
de amplificare k de pe calea directă. Se dau astfel procesul condus H(s) şi modelul etalon
Hm(s):
H ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = k × G( s)

(2.11)

H m ( s ) = Ym ( s ) R ( s ) = k 0 × G ( s )

(2.12)

şi se cere proiectarea unui regulator adaptiv care să permită ca ieşirea sistemului în
buclă închisă să urmărească ieşirea din modelul etalon. Pentru adaptarea factorului de
15

amplificare k este suficient un regulator care va avea în structura sa un singur parametru de
acord θ. [Iou, Sas]
U ( s ) = q × R( s)

(2.13)

Ideal, răspunsurile celor două sisteme sunt identice când parametrul de acord are
valoarea optimă staţionară.
Ye ( s ) = 0 Þ Y ( s ) = Ym ( s ) Þ q * = k 0 k

(2.14)

Dar valoarea lui k nu este cunoscută şi atunci trebuie găsit un mecanism de adaptare a
parametrului regulatorului θ. Eroarea de adaptare (de urmărire) dintre ieşirile din cele două
sisteme trebuie să tindă spre 0 şi este dată de relaţia:
y e (t ) = y (t ) - y m (t ) = k × G ( p ) × q × r(t ) - k 0 × G ( p ) × r(t )

(2.15)

Dacă se aplică regula MIT (relaţia 2.3) pentru adaptarea parametrului θ atunci rezultă:
¶y
dq
dJ
= -g ×
= -g × y e × e = -g × y e × y m
dt
dq
¶q

(2.16)

iar pentru metoda Lyapunov se poate alege următoarea funcţie V, pozitiv definită:

g

k ö
k æ
V ( y e , q ) = × y e + × çq - 0 ÷
2
2 è
k ø

2

2

(2.17)

Din teoria stabilităţii Lyapunov rezultă că sistemul în buclă închisă este stabil dacă
derivata acestei funcţii V este negativ semidefinită. Din această condiţie rezultă regula pentru
adaptarea parametrului θ, ce se bazează pe teoria stabilităţii (interne) Lyapunov:
dq
= -g × r × y e
dt

(2.18)

În figura 2.3 se găsesc cele două sisteme adaptive cu model etalon, care folosesc drept
mecanism de adaptare al parametrului ajustabil relaţiile 2.16 şi 2.18. Schemele de simulare au
16

fost realizate în mediul Simulink, un accesoriu util de proiectare, modelare şi simulare al
programului de calcul numeric folosit în instituţii academice şi de cercetare Matlab.
Versiunea de program Matlab folosită este 6.5. [***1, ***2, Ghi, ww11]

Fig. 2.3. Adaptarea factorului de amplificare prin regula MIT şi Lyapunov
Răspunsurile procesului condus şi modelului etalon, pentru fiecare metodă de adaptare
în parte, sunt prezentate în figura 2.4. La intrarea modelului etalon şi sistemului adaptiv închis
s-a aplicat o referinţă (semnal de intrare) de tip tren de impulsuri dreptunghiulare cu o
amplitudine de 2 şi o perioadă de 4 secunde.

Fig. 2.4. Răspunsurile procesului condus şi modelului etalon
Adaptarea parametrului de acord se face mai repede în cazul în care factorul de
adaptare (viteza de adaptare) γ este crescut, fără a se depăşi o anumită limită (figura 2.5).
Dacă se trece peste limita maximă posibilă a factorului de adaptare se observă că metoda MIT
17

aplicată mecanismului de adaptare nu mai asigură stabilitatea sistemului, iar parametrul de
acord θ oscilează devenind instabil şi divergent (figura 2.6). Acesta este motivul pentru care
regula bazată pe teoria de stabilitate Lyapunov este mai bună, şi înlocuieşte regula MIT
(evident învechită).

Fig. 2.5. Îmbunătăţirea vitezei de adaptare prin creşterea factorului γ

Fig. 2.6. Răspunsurile modelului etalon şi procesului condus, respectiv evoluţia în timp a
parametrului ajustabil θ, pentru un factor de adaptare prea mare.
Al doilea exemplu reprezintă adaptarea unui sistem în care procesul condus conţine
factorul de amplificare k şi constanta de timp T necunoscute (sistem de ordin I). Se dau pentru
acest exemplu procesul condus H(s) şi modelul etalon Hm(s):

H ( s ) = Y ( s) R( s) =

·
b
Þ y (t ) = - a × y ( t ) + b × u ( t )
s+a

18

(2.19)

H m ( s ) = Ym ( s ) U ( s ) =

·
bm
Þ y m (t ) = - a m × y m (t ) + bm × r (t )
s + am

(2.20)

Şi la această problemă se cere proiectarea unui regulator adaptiv care să determine o
ieşire a sistemului în buclă închisă identică cu cea dorită şi impusă prin modelul etalon. Pentru
adaptarea unui factor de amplificare k şi a constantei de timp T este necesar un regulator care
va avea în structura sa două căi, una după referinţă şi una după ieşire (aşa denumitul regulator
feedforward-feedback), cu doi parametrii ajustabili: θ1 şi θ2. Structura sistemului adaptiv cu
model de referinţă este prezentată în figura 2.7. [Sas, Iou, Dav2, Tog, Wil]
u( t ) = q1 × r ( t ) - q 2 × y ( t )

(2.21)

Fig. 2.7. Schema de reglare adaptivă pentru sistem de ordin I
Ieşirea sistemului în buclă închisă în funcţie de intrarea r(t) este dată de relaţia 2.22.

y (t ) =

b × q1
r (t )
p + a + b ×q2

(2.22)

unde p reprezintă operatorul de derivare.
Ideal, răspunsurile celor două sisteme sunt identice y(t)=ym(t), când parametrii de
acord au valoarea optimă staţionară θ1* şi θ2*.
ì * bm
ï q1 = b
(- a - b × q 2 ) × y(t ) + b × q1 × r (t ) = -am × ym (t ) + bm × r(t ) Þ í
a -a
ïq 2* = m
î
b

(2.23)

Deoarece valoarea parametrilor sistemului nu este cunoscută sau aceştia pot să se
modifice în timp, trebuie implementat un mecanism de adaptare ai parametrilor ajustabili ai
19

regulatorului. Eroarea de adaptare (de urmărire) dintre ieşirile din cele două sisteme este dată
în relaţia 2.24.
y e ( t ) = y (t ) - y m ( t )

(2.24)

Funcţiile de sensibilitate ale derivatei erorii în raport cu parametrii regulatorului sunt:
¶y e
b
=
×r;
¶q1 p + a + b × q 2

b
b 2 × q1
¶y e
×r = ×y
=2
p + a + b ×q2
¶q 2
( p + a + b × q2 )

(2.25)

Aceste relaţii nu pot fi implementate în regulatorul adaptiv deoarece conţin
necunoscutele procesului, dar se pot face câteva artificii matematice, presupunând că
parametrii procesului se modifică lent şi sistemul în buclă închisă este apropiat de modelul
etalon. Astfel este permisă următoarea înlocuire:
p + a + b × q 2 = p + am

(2.26)

Dacă se aplică regula gradientului descendent (MIT, cu relaţia 2.3) pentru adaptarea
parametrilor θ1 şi θ2, incluzând parametrul b în factorul de adaptare γ, atunci rezultă:
dq 1
= -g
dt

æ am
ö
× çç
× r ÷÷ × y e
è p + am ø

şi

dq 2
=g
dt

æ am
ö
× çç
× y ÷÷ × y e
è p + am ø

(2.27)

Pentru metoda de adaptare bazată pe teoria stabilităţii Lyapunov din relaţiile 2.19 şi
2.20 rezultă:
dy e (t )
= - a m × y e (t ) - (b × q 2 + a - a m ) × y (t ) + (b × q 1 - bm ) × r (t )
dt

(2.28)

ceea ce ne face să alegem următoarea funcţie V, pozitiv definită:

V ( ye ,q ) =

1æ 2
1
1
2
2ö
çç × y e +
× (b × q 2 + a - am ) +
× (b × q1 - bm ) ÷÷
2è
b ×g
b ×g
ø

20

(2.29)

Din teoria stabilităţii Lyapunov rezultă că sistemul în buclă închisă este stabil dacă
derivata acestei funcţii V este negativ semidefinită.
dV ( y e , q )
2
= -am × ye £ 0
dt

(2.30)

condiţie adevărată doar dacă am>0 şi în plus:
dq 1
= -g × r × y e
dt

şi

dq 2
= g × y × ye
dt

(2.31)

În figura 2.8 se prezintă două structuri de reglare cu model etalon care folosesc drept
mecanism de adaptare al parametrului ajustabil relaţiile 2.16 şi 2.18.

Fig. 2.8. Adaptarea factorului de amplificare k şi a constantei de timp T
Diferenţa între cele două scheme este dată de prezenţa filtrelor în structura
mecanismului de adaptare realizat cu relaţia 2.16. Şi pentru adaptarea factorului de
amplificare k, respectiv a constantei de timp T, creşterea vitezei de adaptare poate conduce la
oscilaţii ale semnalului de ieşire (figura 2.10). Îmbunătăţirea stabilităţii se face folosind un
mecanism de adaptare bazat pe teoria stabilităţii Lyapunov.
21

Fig. 2.9. Răspunsurile procesului condus şi modelului etalon

Fig. 2.10. Răspunsurile procesului condus şi modelului etalon pentru γ>10
Din studiul celor două aplicaţii de control adaptiv cu model etalon se observă
superioritatea netă din orice punct de vedere al celei de-a doua metode de adaptare a
parametrilor regulatorului adaptiv folosită în lucrare, şi anume metoda de adaptare bazată pe
teoria stabilităţii Lyapunov.

II.2. Sisteme de reglare directă fuzzy
În această secţiune se prezintă noţiuni introductive şi de bază din logica fuzzy, urmate
de prezentarea structurii regulatoarelor directe fuzzy cu evidenţierea blocurilor componente şi
a câtorva aplicaţii de reglare inteligentă.
În deceniile trecute am asistat la o dezvoltare puternică în domeniul acestei noi teorii,
logica fuzzy. Această nouă teorie stă la baza reglării si controlului fuzzy, una din metodele de
reglare moderne care duce la schimbarea modului de abordare a problemelor în cadrul
automaticii de astăzi.
Există diverse situaţii în care cunoştinţele despre un anumit fenomen sunt parţiale sau
chiar contradictorii şi totuşi omul este pus în situaţia de a lua o decizie raţională deoarece nu
22

mai poate apela la situaţii similare memorate şi cunoscute deja. Având în vedere că universul
este un conglomerat de cunoştinţe ce nu vor putea fi vreodată cunoscute în totalitate s-a
elaborat o teorie bazată pe probabilistica logicii clasice . Logica fuzzy utilizează informaţia
sub forma unor elemente lingvistice pentru descrierea comportării sistemelor complexe fără a
fi necesară utilizarea obişnuitelor modele matematice folosite la proiectarea clasică a
sistemelor. Însă se ştie că în practică informaţiile (datele) obţinute de la diferiţi senzori se
găsesc sub forma unor elemente numerice .
Între cele două tipuri de informaţii există diferenţe fundamentale atât cu privire la
regulile ce le guvernează cât şi ca formalism. Astfel pentru a forma un sistem util practic
trebuie găsită o punte de legătură între cele două lumi formate, pe de o parte lumea calculelor
matematice şi numerice şi pe de altă parte lumea umană reprezentată de noţiunile lingvistice.
Această punte poate fi constituită de logica fuzzy şi sistemele fuzzy aferente.
Fundamentat pe logica fuzzy s-a dezvoltat controlul fuzzy al proceselor prin care se
simulează comportamentul uman în conducerea proceselor. Dacă am face o scurtă incursiune
în automatica şi conducerea proceselor clasice putem să observăm uşor marele impediment al
acestor metode, modelarea fizică a proceselor supuse reglării şi eventual liniarizarea
modelului prin diferite tehnici. În practică ne putem lovi uşor de această problemă când
modelul matematic devine prea complex sau chiar atunci când acesta nu poate fi determinat
datorită inexistenţei unor informaţii necesare. O alta situaţie ar fi atunci când sistemul nostru
are un model neliniar şi nu dorim liniarizarea lui. Atunci în sprijinul nostru vin metodele
moderne bazate pe inteligenţă artificială sau pe experienţă umană pentru a face mai eficient
întregul proces de reglare. Aceste metode utilizează o descriere semiformală despre strategia
de reglare .
Logica fuzzy asigură posibilitatea conversiei unei strategii lingvistice într-una
numerică fără a se dispune de un model matematic al procesului. Ea este des utilizată în
aplicaţii de control, unde procesul este prea complex pentru a fi analizat prin metode
convenţionale.
Odată cu creşterea interesului faţă de posibilităţile inedite oferite de logica fuzzy în
aplicaţii de testare şi control, s-au dezvoltat procesoare fuzzy precum şi medii de programare
dedicate simulării şi implementării acestor aplicaţii. Astfel a apărut posibilitatea utilizării unor
controllere simple de logică fuzzy, în locul unor procesoare convenţionale mai complicate ce
lucrează pe cuvinte de 32 biţi. Pentru implementările cele mai simple s-au utilizat
microcontrolere ieftine având lungimea codului de câteva sute de biţi.
Printre companiile renumite producătoare de sisteme fuzzy se numără : American
Neuralogix, Aptronix, Fuzzy Systems Engineering, Hitachi America, Intel, Integrated
23

Systems, National Semiconductor, Motorola, National Semiconductor, Philips, SGS Thomson
Microelectronics. [Dav1, Olt1, Pre1, Pre2, ww1]
Fără a epuiza posibilităţile de folosire a sistemelor de reglare fuzzy (FLC) putem
aminti de reglarea unor parametrii critici precum temperatura, presiunea, debitul, poziţia,
clima, viteza etc. precum şi de câteva domenii clare de aplicare :
Tabel 2.1. Domenii de aplicare ale FLC
Nr. aplicaţiilor :

Domenii de aplicare

1990-1999

Sisteme de reglare

Peste 13.289

Măsurări traductoare

Peste 1.919

Automobile

Peste 394

Robotică

Peste 1.867

Prelucrări de imagine

Peste 3.469

Diagnoză automată

Peste 1.271

Alte aplicaţii

Peste 11.045

II.2.1. Elemente de logica fuzzy
Acest subcapitol se doreşte a fi o scurtă integrare a cititorului în tehnicile moderne şi
nu o aprofundare s-au o epuizare a tuturor posibilităţilor ce le oferă teoria fuzzy în sine.
Aşa cum în teoria logicii clasice putem vorbi de mulţimi de elemente, elemente,
operaţii şi relaţii între mulţimi şi elemente, reguli şi consecinţe, la fel şi în teoria fuzzy putem
discuta de astfel de componente care vor fi abordate în cele ce urmează. Pentru prima dată s-a
vorbit de o mulţime fuzzy la Universitatea din California-Berkeley într-o lucrare expusă de
către Lofti A. Zadeh în anul 1964. Teoria mulţimilor fuzzy (mulţimi vagi) a slujit de fapt ca
bază pentru dezvoltarea ulterioară a acestei logici fuzzy . [Zad, ww3]
În teoria clasică o mulţime este definită ca o colecţie de elemente u, aparţinând
domeniului tuturor elementelor posibile (uÎU). Orice element luat din acest domeniu U poate
să fie conţinut sau nu într-o mulţime particulară A. Se defineşte astfel o funcţie x de
apartenenţă a tuturor elementelor u la mulţimea clasică A:

x A : U ® {0,1};

ì1, u Î A
x A (u ) = í
î0, u Ï A

(2.32)

Se observă că apartenenţa acestor elemente u poate fi caracterizată printr-o valoare
binară “0 sau 1 logic”. Deci este valabil principiul logicii aristotelice care spune că ceva
24

există sau nu există sau conform filozofiei şi religiei orientale principiul că ceva există şi, în
acelaşi timp, nu există, de exemplu YIN şi YANG.
Dar nu orice informaţie poate fi convertită binar folosind acest principiu de true/false
şi atunci se apelează la statistică, ceea ce presupune introducerea probabilităţii cuprinse între 0
şi 1, ca un element u să aparţină unei mulţimi A. Logica fuzzy produce acelaşi rezultat, în
sensul în care etichetează variabilele cu valori cuprinse între 0 şi 1, adică funcţia x de
apartenenţă a elementelor u la mulţimea A poate lua şi valori subunitare. [Kis, Pre1, Dri]
O mulţime fuzzy (mulţime vagă) A, dintr-un domeniu U, este caracterizată printr-o
funcţie de apartenenţă μA, care poate lua valori în intervalul [0,1]:

m A : U ® [0,1]

(2.33)

O mulţime fuzzy A, dintr-un domeniu U, poate fi reprezentată (complet determinată)
matematic printr-un set de perechi ordonate care conţin elementul u şi gradul de apartenenţă
μA la acea mulţime vagă:
A = {(u, m A (u ) ) | u Î U }

(2.34)

unde variabilele (informaţiile) fuzzy u iau valori fuzzy μA(u).
Dacă codomeniul (spaţiul valorilor) funcţiei de apartenenţă conţine doar două puncte,
0 şi 1, atunci mulţimea A este de fapt o mulţime non-fuzzy, adică o mulţime clasică. În
contextul teoriei mulţimilor fuzzy, mulţimile clasice de valori reale sunt denumite mulţimi
crisp. Funcţiile de apartenenţă pot avea diferite aluri grafice (figura 2.11), simetrice sau nu, cu
denumiri consacrate din literatura de specialitate: clopot Gauss, cosinus, trapez, triunghi,
singleton.

Fig. 2.11. Exemple de funcţii de apartenenţă
O mulţime fuzzy (vagă) sau un set fuzzy este alcătuit grafic din una sau mai multe
funcţii de apartenenţă. Pentru caracterizarea analitică a mulţimilor vagi se folosesc
următoarele noţiuni:
-

suportul (baza, lăţimea) mulţimilor vagi;
25

S ( m ) = {u | u Î A, m (u ) > 0}
-

(2.35)

toleranţa mulţimilor vagi;

T ( m ) = {u | u Î A, m (u ) = 1}
-

(2.36)

înălţimea mulţimilor vagi.

h ( m ) = max {m (u ) | u Î A}

(2.37)

În particular, o mulţime al cărei suport este un singur punct u cu gradul de apartenenţă
maxim (μ(u)=1) se numeşte singleton.
Ca şi în teoria clasică, şi în teoria mulţimilor fuzzy după ce au fost definite mulţimea şi
elementele unei mulţimi urmează operaţii şi relaţii între acele mulţimi şi elemente.
Presupunând de la început existenţa unei mulţimi crisp G, definită pe un domeniu U din
matematica clasică se pot defini relaţiile între mulţimi:
-

egalitatea dintre două mulţimi fuzzy;

A = B,

-

dacă m A ( x ) = m B ( x ), (")x Î G

(2.38)

incluziunea mulţimilor fuzzy.

A Í B,

dacă m A (x )£ m B (x ), (")x Î G

(2.39)

sau operatori şi conectori lingvistici ai acestor mulţimi, ilustraţi grafic în figura 2.12.
-

conectorul şi, după Zadeh corespunzător intersecţiei a două mulţimi, evaluat prin
operatorul minimum;

C = A Ç B, dacă m C (x ) = min( m A (x ), m B (x )), (")x Î G
-

(2.40)

operatorul sau, după Zadeh corespunzător reuniunii a două mulţimi, evaluat prin
operatorul maximum;

C = A È B, dacă m C ( x ) = max( m A (x ), m B (x )), (")x Î G
26

(2.41)

-

operatorul de complementare (sau de negare).

C = comp ( A), dacă m C (x ) = 1 - m A (x ), (")x Î G

(2.42)

Fig. 2.12. Exemplificarea grafică a operatorilor min, max, comp
Pentru evaluarea reuniunii şi intersecţiei mai sunt folosiţi şi operatorii sumă (sum) şi
produs (prod), iar în literatura de specialitate se mai întâlnesc operatorii şi-vag şi sau-vag sau
modificatori de conţinut cum sunt operatorul de concentrare (con) sau de diluare (dil).
Printre alte noţiuni elementare folosite în teoria mulţimilor fuzzy sunt:
-

valoare crisp, reală (crisp value);

-

variabilă lingvistică (linguistic variable), de exemplu: temperatura, viteza, clima;

-

termen lingvistic (linguistic term), de exemplu: mic, mediu, plăcut, foarte cald;

-

grad de apartenenţă la o mulţime fuzzy (membership value, cuprins între 0 şi 1);

-

funcţii de apartenenţă (membership functions, cu diferite forme).
În cadrul sistemelor fuzzy, variabila lingvistică reprezintă o mărime fizică şi defineşte

mulţimea de bază, în timp ce termenul lingvistic caracterizează diferitele mulţimi ce se
definesc pe mulţimea de bază prin intermediul funcţiilor de apartenenţă. Termenul lingvistic
trebuie înţeles ca un descriptor fuzzy al unui subdomeniu de valori ale mărimii fizice.
Pentru exemplificare se prezintă descrierea vagă a temperaturii unui cuptor, folosind
cinci termeni lingvistici: foarte mică, mică, medie, mare, foarte mare; termeni definiţi prin
funcţiile de apartenenţă cu forma din figura 2.13. [Dav1, Pre1, Pre2, Jag, Olt1]

Fig. 2.13. Descrierea vagă a temperaturii
Avantajul folosirii teoriei mulţimilor fuzzy constă tocmai în reprezentarea elementelor
fizice prin variabile lingvistice, termeni lingvistici şi expresii lingvistice. Să considerăm că
27

temperatura, o variabilă fizică în teoria clasică şi una lingvistică în teoria fuzzy, are la un
moment dat în teoria clasică o valoare reală de 110˚C. Aceasta înseamnă în teoria fuzzy
alăturarea câte unui grad de apartenenţă la fiecare termen lingvistic pentru a descrie
fenomenul. Deci, temperatura de 110˚C este caracterizată în teoria mulţimilor fuzzy prin:
u = 110°C Þ u* = {0,0.75,0.25,0,0}

(2.43)

În ordine crescătoare au fost precizate gradele de apartenenţă a valorii ferme, crispreale, la termenii lingvistici definiţi. Fiecare valoare dintr-o mulţime reală non-fuzzy (crisp)
are un corespondent în mulţimea fuzzy prin ataşarea unui grad de apartenenţă la un termen
lingvistic.
Dacă în reglarea clasică a sistemelor o relaţie matematică este definită între intrările şi
ieşirile acelui sistem, în sistemele fuzzy relaţiile sunt definite între variabile fuzzy din diferite
mulţimi prin expresii lingvistice şi implicaţii lingvistice.
Cea mai simplă expresie lingvistică posibilă are următoarea structură : “variabilă
lingvistică - simbol - termen lingvistic”(de exemplu: temperatura este medie).
O relaţie lingvistică, este compusă din mai multe expresii lingvistice şi are forma:
“variabilă lingvistică - simbol - termen lingvistic conector lingvistic variabilă lingvistică simbol - termen lingvistic”(de exemplu: temperatura este medie şi umiditatea este ridicată).
O implicaţie lingvistică are forma: “dacă premisa atunci concluzia” (dacă
temperatura este joasă atunci cuptorul este rece). Prin premisă se prezintă o proprietate sau
mai multe (o expresie lingvistică sau mai multe legate într-o relaţie) observată/observate, iar
prin concluzie o proprietate afirmată.
În aplicaţiile de conducere, mai multe relaţii stabilite între diferite mulţimi fuzzy
definite pe mulţimi de bază trebuie cuplate de obicei în vederea enunţării unei concluzii
ulterioare. Astfel pentru aceste relaţii (mai multe expresii lingvistice) se folosesc conectori
lingvistici de tipul şi/sau, iar evaluarea conexiunilor se face cu operatori adecvaţi logicii vagi.
Pentru cuplaje complexe de relaţii sunt introduse produsele (compoziţiile): max-min, maxprod, sum-prod. Aceasta deoarece în cazul regulatoarelor fuzzy automate comanda actuală
(concluzia) se va determina pe baza valorilor mai multor intrări, de tipul “dacă premisa1
şi/sau premisa2 atunci concluzia”.
Importantă în realizarea regulatoarelor fuzzy este deci şi inferenţa vagă (fuzzy), adică
algoritmul după care se evaluează aceste implicaţii lingvistice reunite într-o bază de reguli. În
evaluarea inferenţei se pot utiliza compoziţiile max-min, max-prod, sum-prod.
28

II.2.2. Structura de bază a regulatoarelor fuzzy directe
Această secţiune este dedicată regulatoarele fuzzy directe. Sunt detaliate structura
acestor regulatoare, blocurile constructive şi diferitele tipuri de raţionamente folosite în cadrul
ingineriei reglării automate.
Modalitatea tradiţională de a proiecta sistemele de control automat pentru procese
neliniare şi afectate de incertitudini se dovedeşte de multe ori a fi foarte dificilă. Prin
utilizarea euristicilor (cunoştinţelor expertului), tehnicile de control bazate pe inteligenţă
artificială pot simplifica sinteza unor regulatoare pentru asemenea procese. Combinând aceşti
algoritmi soft-computing cu unele metode adaptive de învăţare se pot obţine metode de
control aproape optimale.
Utilizarea metodelor bazate pe experienţa umană sunt pe cale să înlocuiască tot mai
des în procesul de conducere metodele clasice de control, aceasta deoarece folosesc doar o
descriere semiformală a strategiei de reglare, adică le formalizează funcţionarea modelelor
proceselor necunoscute printr-o metodă similară cu gândirea umană şi nu au nevoie de modele
matematice.
În general un regulator fuzzy are structura de bază prezentată în figura 2.14, unde sunt
evidenţiate următoarele blocuri componente: [Dav1, Dav2, Olt1, Duk]
-

baza de reguli;

-

blocul de fuzzificare;

-

mecanismul de inferenţă;

-

blocul de defuzzificare.

Fig. 2.14. Structura informaţională a unui regulator fuzzy
Blocul de fuzzificare reprezintă blocul de intrare în regulatorul fuzzy, cu rol de
obţinere a informaţiei fuzzy sub forma variabilelor lingvistice, a termenilor lingvistici şi a
funcţiilor de apartenenţă dintr-o valoare crisp. Aceste informaţii fuzzy (valori fuzzy) vor fi
comparate cu premisele tuturor regulilor de tipul “dacă … atunci …” (“if … then …”)
29

cuprinse în baza de reguli şi folosite de mecanismul de inferenţă pentru activarea şi aplicarea
acestora.
Baza de reguli conţine transpunerea în logică fuzzy a descrierii lingvistice a modului
în care s-ar realiza un control eficient. Deci acest bloc este constituit din setul de reguli de
tipul “dacă … atunci …” stabilite de expert şi definite pe variabilele fuzzy, de intrare şi ieşire.
Mecanismul de inferenţă exprimă modul în care se interpretează şi se aplică regulile
stabilite de expert pentru variabilele de intrare. Acest mecanism evaluează care dintre reguli
sunt relevante la momentul de timp corespunzător pe baza gradelor de apartenenţă şi decide
valoarea (fuzzy) a mărimii de ieşire din regulator folosind operatori adecvaţi logicii vagi.
Blocul de defuzzificare asigură faptul că rezultatul obţinut din blocul de decizie, o
valoare fuzzy, este convertit într-o valoare fizică reală ce se va transmite procesului /
elementului de execuţie. Practic aici se va realiza operaţia inversă fuzzificării.
Pentru realizarea unui regulator inteligent bazat pe logică fuzzy sunt respectate în
general următoarele etape de proiectare:
a) Alegerea variabilelor de intrare şi ieşire, precum şi stabilirea termenilor lingvistici,
funcţiilor de apartenenţă, respectiv mulţimile fuzzy de bază asociate acestora.
Alegerea variabilelor lingvistice trebuie făcută în funcţie de posibilităţile şi necesităţile
de proiectare şi implementare, însă cel mai des se folosesc doar două intrări pentru a nu
complica prea mult algoritmul de calcul, deoarece numărul de intrări va avea un efect puternic
după cum vom vedea asupra bazei de reguli.
Referitor la natura intrărilor ferme ale regulatoarelor fuzzy se întâlnesc două situaţii
tipice.
-

intrările în regulator sunt cel mai des eroarea de reglare şi derivatele erorii sau
integrala erorii, pentru a se aprecia evoluţia în timp a procesului;

-

intrările în regulator sunt pe lângă eroarea de reglare, eventual derivatele erorii sau
integrala erorii, şi alte mărimi de proces (de obicei mărimi de stare) cu dinamică
diferită.
Pentru descrierea mulţimilor fuzzy de bază asociate variabilelor lingvistice există

nenumărate cazuri de folosire a diferitelor tipuri de funcţii de apartenenţă. Alegerea
domeniului de bază se face în unităţi naturale, normate, în creşteri faţă de o valoare de
referinţă (ceea ce determină amplificarea regulatorului fuzzy).
De asemenea prin definirea termenilor lingvistici se fixează rezoluţia conversiei vagi.
Se dovedeşte că alegerea unui număr mai mare de 7 termeni nu conduce la o creştere eficientă
a rezoluţiei, iar formularea bazei de reguli devine anevoioasă şi nesigură. Alocarea termenilor
30

lingvistici şi a funcţiilor de apartenenţă se face astfel încât să fie acoperit tot domeniul de
bază. În plus este recomandabil ca o valoare fermă să activeze simultan doi termeni
lingvistici.
În figura 2.15 sunt prezentate câteva exemple de alegere a mulţimilor fuzzy ataşate
unor variabile lingvistice.

Fig. 2.15. Exemple de mulţimi de bază pentru variabile lingvistice
b) Întocmirea bazei de reguli.
Baza de reguli se construieşte prin corelarea logică a mulţimilor fuzzy asociate
variabilelor de ieşire cu cele ale variabilelor de intrare. Operaţia logică care face posibilă
trecerea de la o premisă la o concluzie se numeşte inferenţă logică. Iată câteva exemple de
implicaţii lingvistice care pot fi simple sau compuse, cu mai multe expresii lingvistice:
Construcţie simplă:

dacă condiţia 1 atunci concluzia 1
dacă condiţia 2 atunci concluzia 2
……………………………………
dacă condiţia n atunci concluzia n

De exemplu: dacă temperatura este mare atunci umiditatea este mare.
Construcţie compusă:

dacă condiţia 1a şi condiţia 1b atunci concluzia 1
dacă condiţia 2a şi condiţia 1b atunci concluzia 2
………………………………………………………
dacă condiţia na şi condiţia nb atunci concluzia m

De exemplu: dacă temperatura este mare şi umiditatea este mare atunci în cameră este
neplăcut .
Construcţia compusă se foloseşte atunci când se doreşte îndeplinirea a două sau mai
multor condiţii pentru două sau mai multe variabile lingvistice diferite, de intrare. Baza de
reguli poate fi completă (când fiecare situaţie fermă este acoperită de reguli) sau incompletă

31

(dacă situaţii ferme puţin probabile sunt lăsate spre rezolvare unor reguli adiacente sau nu
sunt definite).
Numărul de reguli ale unei baze de reguli complete se calculează cu relaţia:
n

n R = Õ ni

(2.44)

i =1

unde

ni reprezintă numărul termenilor lingvistici definiţi pentru fiecare variabilă

lingvistică de intrare;
n – numărul de variabile lingvistice de intrare.
De fapt aceste implicaţii (reguli) pot fi transpuse sub forma unui tabel (matrice) de
reguli, asemeni celei prezentate în figura 2.16. Se consideră două variabile lingvistice de
intrare x1 şi x2 a căror termeni lingvistici sunt introduşi pe coloane sau linii ale matricei, iar
interiorul câmpurilor matricei astfel formate conţin valorile lingvistice ale ieşirii y, rezultate în
urma aplicării logicii din experienţa umană.

Fig. 2.16. Matricea cu baza de reguli
Textual din tabelul de reguli (baza de reguli fuzzy completă) intersecţia coloanei 5 cu
linia 5 conţine implicaţia lingvistică “dacă condiţia 5a şi condiţia 5b atunci concluzia 25”,
deci “dacă x1 este PM şi x2 este PM atunci y este PM” (if x1 is PM and x2 is PM then y is
PM).
c) Tratarea informaţiei ferme de intrare şi stabilirea procedeelor de fuzzificare.
Fuzzificarea se efectuează prin transformarea valorii ferme reale în valoare fuzzy,
adică fiecărei valori a variabilelor de intrare i se asociază câte un vector având ca elemente, în
ordine crescătoare, gradele de apartenenţă la termenii lingvistici definiţi pe mulţimile fuzzy de
bază (relaţia 2.43). Înainte de această transformare trebuie efectuată o conversie analognumerică a semnalului primar (eşantionare, cuantizare, codificare) şi eventual o tratare
numerică a informaţiei (filtrarea numerică, calculul derivatelor, integralelor).
32

Criteriile de eşantionare a semnalelor continue sunt practic similare cu cele din cazul
conducerii clasice şi depind de dinamica procesului condus (mai puţin cunoscută), dinamica
sistemului de reglare automată, echipamentele numerice disponibile, spectrul perturbaţiilor,
dinamica elementelor de execuţie şi de măsură.
d) Stabilirea mecanismelor de inferenţă
La orice moment de timp, algoritmul de decizie fuzzy activează reguli din cadrul bazei
de reguli fuzzy (BRF), urmărindu-se influenţa fiecărei reguli în concluzia finală. Apoi se
realizează evaluarea acestor reguli prin diferite raţionamente şi pe baza conectorilor
lingvistici, respectiv a operatorilor fuzzy fundamentali se determină

valoarea fuzzy

corespunzătoare concluziei (ieşirii).
Se reamintesc situaţiile de utilizare a conectorilor lingvistici:
-

conectorul şi în interiorul premisei pentru intersecţia condiţiilor de funcţionare sau la
evaluarea regulii (concluzionare);

-

conectorul sau în interiorul premisei pentru reuniunea condiţiilor de funcţionare sau la
cuplarea mai multor reguli activate din cadrul bazei de reguli (reuniunea concluziilor).
Metodele de inferenţă (compoziţiile) preferate în soluţionarea problemelor de reglare

fuzzy sunt max-min, max-prod, sum-prod. Pentru a înţelege fiecare metodă de inferenţă se
evaluează analitic doar două reguli activate (24 şi 25) din matricea de reguli din figura 2.16:
“dacă x1 este Pm şi x2 este PM atunci y este PM”, “dacă x1 este PM şi x2 este PM atunci
y este PM”.
Inferenţa max-min (denumită şi raţionamentul Mamdani) se face utilizând operatorii:
-

pentru conectori în premisă: şi → min, sau → max;

-

pentru concluzionare: min;

-

pentru conectarea regulilor: max.

m R 24 = m yPM = MIN (MIN (m x1Pm , m x 2 PM ), m yPM )

m R 25 = m yPM = MIN (MIN (m x1PM , m x 2 PM ), m yPM )
m y Re z = MAX (m R 24 , m R 25 ) = MAX (m yPM , m yPM )

(2.45)

Deoarece de obicei maximul funcţiei de apartenenţă a ieşirii are valoarea reală 1
evaluarea regulilor 24 şi 25 se reduce la calcularea valorii minime între gradele de apartenenţă
corespunzătoare celor două intrări.
Inferenţa max-prod se face utilizând operatorii:
-

pentru conectori în premisă: şi → min, sau → max;
33

-

pentru concluzionare: prod;

-

pentru conectarea regulilor: max.

m R 24 = m yPM = PROD (MIN (m x1Pm , m x 2 PM ), m yPM )

m R 25 = m yPM = PROD (MIN (m x1PM , m x 2 PM ), m yPM )
m y Re z = MAX (m R 24 , m R 25 ) = MAX (m yPM , m yPM )

(2.46)

Inferenţa sum-prod se face utilizând operatorii:
-

pentru conectori în premisă: şi → prod, sau → sum;

-

pentru concluzionare: prod;

-

pentru conectarea regulilor: sum.

m R 24 = m yPM = PROD (PROD (m x1Pm , m x 2 PM ), m yPM )

m R 25 = m yPM = PROD (PROD (m x1PM , m x 2 PM ), m yPM )
m y Re z = SUM (m R 24 , m R 25 ) = SUM (m yPM , m yPM )

(2.47)

În conducerea automată a sistemelor este întâlnită mai rar situaţia în care în premisă se
foloseşte conectorul sau. Acesta ar impune înlocuirea operatorului min din evaluarea analitică
2.45, 2.46 cu operatorul max, respectiv a operatorului prod cu operatorul sum din relaţia 2.47.
Folosirea celor doi operatori simultan în premisele implicaţiilor din baza de reguli duce în
final şi la o modificare a matricei bazei de reguli fuzzy din figura 2.16. Aceasta trebuie să
conţină şi explicaţii asupra operatorului conectorilor folosiţi în premisă. [Pre1, Pre2, Ali, Jag]
În figura 2.17 este prezentat modul de aplicare a inferenţei max-min.

Fig. 2.17. Mecanismul de inferenţă max-min (Mamdani)
d) Adoptarea tehnicilor de defuzzificare
34

Defuzzificarea este procesul de extragere a unei valori reale deterministe din
informaţia fuzzy asociată variabilei de ieşire, obţinută din mecanism de inferenţă μyRez → u.
Metoda cea mai des utilizată, datorită rezultatelor consistente obţinute este cea a centrului de
greutate MCG (center of gravity CoG), introdusă de Watanabe (1986).

Fig.2.18. Defuzzificare prin metoda centrului de greutate (center of gravity) CoG
Pentru calculul efectiv al ieşirii se poate aplica relaţia 2.48 dacă funcţiile de
apartenenţă ale ieşirii sunt simetrice (cu forme favorabile).
n

yCoG =

åy

i

× m y Re z ( y i )

i =1

åm
i =1

unde

(2.48)

n

y Re z

( yi )

yi sunt centrele de greutate fixe ale funcţiilor de apartenenţă ;
μyRez(yi) – gradele de realizare ale concluziilor regulilor activate.

Alegerea metodei de defuzzificare depinde şi de tipul elementului de execuţie. Pentru
un element de execuţie cu număr finit de stări discrete se va alege între metoda maximului şi
metoda maximelor mediate, iar pentru un element de execuţie cu domeniu de variaţie compact
se preferă metoda centrului de greutate. [Dav1, Dav2, Pre1, Pre2]
În figura 2.19 sunt exemplificate alte câteva metode de defuzzificare, precum metoda
primului maxim MPM (first maximum FM), metoda ultimului maxim MUM (last maximum
LM), metoda centrului ariei maxime MCAM (center of area CoA).

Fig. 2.19. Alte tehnici de defuzzificare
Dependent de metoda de defuzzificare ieşirea fermă din regulator poate fi valoarea
actuală a comenzii sau creşterea valorii actuale în raport cu vechea valoare a comenzii.
35

II.2.3. Exemple de structuri de reglare fuzzy directe
Teoretic, un regulator fuzzy este prin construcţie un regulator neliniar, cu una sau mai
multe intrări şi una sau mai multe ieşiri. Un regulator fuzzy poate deveni un regulator cu
dinamică dacă una din mărimile sistemului este prelucrată dinamic.
Regulatoarele fuzzy fără dinamică cu o intrare şi o ieşire sunt regulatoare
proporţionale neliniare cu limitare sau regulatoare multipoziţionale. Regulatoarele fără
dinamică cu mai multe intrări (MISO) corespund structurii clasice, realizarea lor presupune ca
mărimile culese din procesul condus să fie deja separate prin blocuri cu dinamică incluse în
proces. [Jan, Pre1, Pre2, Dav1, Dav2]
Un caz interesant este regulatorul fuzzy după stare, cu structura prezentată în figura
2.20. La acest tip de regulator mărimile de intrare în regulator sunt chiar mărimile de stare ale
procesului condus x1,x2...

Fig. 2.20. Regulator fuzzy după stare
În general, proprietăţile unui sistem de reglare automată se pot îmbunătăţii dacă se
introduc componente dinamice în structura regulatorului. Dacă în regim permanent se poate
elimina sau reduce eroarea de reglare, în regim dinamic se pot îmbunătăţi rezerva de fază,
suprareglajul sau durata regimului tranzitoriu.
Prelucrarea dinamică (pentru regulatoare fuzzy cu dinamică) a unei mărimi de intrare
sau ieşire din regulator se face cu componente derivative sau integratoare (de tip D sau I),
introduse în variantă analogică sau numerică (echivalent cvasicontinual).
·

··

e1 (t ) = e(t ) = r (t ) - y (t ), e2 (t ) = e(t ), e3 (t ) = e(t ) sau e3 (t ) = ò e(t )dt

(2.49)

0

unde pentru componentele D şi I relaţiile uzuale numerice de calcul sunt:

Dk =

1
(ek - ek -1 ) ,
Te

k

Ik = å e j

(2.50)

j =0

36

Cu cele două componente dinamice se realizează în prezent variante de regulatoare
fuzzy de tip PID. Construcţia unui regulator fuzzy cvasi-PD are la bază schema bloc din figura
2.21a şi relaţia 2.51, ce caracterizează o dependenţă tipică a unui regulator convenţional PD.
·
·
u(t ) = F æç e(t ), e(t ) ö÷ = k1 × e1 (t ) + k 2 × e2 (t ) = k1 × e(t ) + k d × k 2 × e(t )
è
ø

(2.51)

Dacă coeficienţii k1, k2, kd sunt modelaţi cu ajutorul regulatorului fuzzy atunci rezultă
echivalentul cvasicontinuu al regulatorului fuzzy PD. [Pre1, Pre2]
Construcţia unui regulator fuzzy cvasi-PI de poziţie se poate face în două variante:
-

cu efectul de integrare introdus pe ieşirea regulatorului fuzzy (figura 2.21b);

-

cu efectul de integrare introdus pe intrarea regulatorului fuzzy (figura 2.21c).

Fig. 2.21. Regulatoare fuzzy cvasi-PID
Relaţiile aferente celor două structuri ce caracterizează o dependenţă tipică a unui
regulator convenţional PI sunt:

t

t

·
·
u(t ) = k i × ò F æç e(t ), e(t ) ö÷dt = k i × ò æç k1 × e1 (t ) + k d × k 2 × e2 (t )ö÷dt
è
ø
ø
0
0è

(2.52)

t

u(t ) = F (e1 (t ), e2 (t ) ) = k 1 × e1 (t ) + k 2 × e2 (t ) = k p × k1 × e(t ) + k i × k 2 × ò e(t )dt

(2.53)

0

Dacă coeficienţii k1, k2, kd, ki, kp sunt modelaţi cu ajutorul regulatorului fuzzy atunci
rezultă echivalentul cvasicontinuu al regulatorului fuzzy PI.
În mod asemănător se pot realiza şi regulatoarele fuzzy cvasi-PID sau alte regulatoare
fuzzy cu dinamică. În practică sunt întâlnite cel mai des regulatoare fuzzy cu dinamică care au
ca intrări eroarea de reglare şi variaţia acesteia (derivata erorii).
37

Un exemplu în care nu se doreşte obţinerea unor performanţe deosebite, ci doar
detalierea funcţionării unui regulator fuzzy direct, este un sistem de reglare automată a unui
proces de ordin doi. Pentru a obţine un regulator fuzzy cu dinamică a fost introdus un bloc
numeric de derivare. Se consideră următoarea funcţie de transfer continuă a procesului:

H (s) =

1
s + 3× s + 4

(2.54)

2

Întrucât metodele de reglare inteligente fuzzy fac parte din categoria soft-computing,
adică implică implementarea acestora pe un sistem de calcul, deci o tratare în plan discret a
problemelor, este necesară o reprezentare discretizată a procesului.
Funcţia discretă a procesului considerând o perioadă de eşantionare de 0.001s este:

H ( z -1 ) =

(

10 -6 × 0.4995 × z -1 + 0.499 × z -2
1 - 1.997 × z -1 + 0.997 × z -2

)

(2.50)

Regulatorul fuzzy a fost realizat folosind editorul grafic fuzzy disponibil în mediul
Matlab. El are două variabile lingvistice de intrare (eroarea şi derivata intrării) şi una de ieşire
(comanda). Pentru toate variabilele au fost alocaţi cinci termeni lingvistici (cu funcţii de
apartenenţă de tip triunghi şi trapez). Domeniile de bază pentru cele trei variabile lingvistice
au fost obţinute prin teste experimentale, deci implicit şi factorii de scalare a domeniilor.
În figura 2.22 sunt prezentate mulţimile de bază pentru variabilele lingvistice şi tabelul
cu baza de reguli.

Fig. 2.22. Mulţimile variabilelor lingvistice şi baza de reguli
38

Regulatorul foloseşte raţionamentul Mamdani (pentru mecanismul de inferenţă), ceea
ce înseamnă folosirea operatorului min/max pentru evaluarea conectorului şi/sau din premisă,
respectiv concluzionarea în cadrul regulilor se face cu operatorul min şi conectarea regulilor
cu operatorul max. Obţinerea valorii crisp din valoarea fuzzy (defuzzificarea) se face cu
metoda centrului de greutate.

Fig. 2.23. Schema de simulare a sistemului de reglare
În urma efectuării simulării sistemului de reglare ce conţine regulatorul inteligent de
tip fuzzy, eroarea de reglare e, comanda u şi ieşirea din proces y sunt prezentate în figura 2.24.

Fig. 2.24. Evoluţia erorii, comenzii şi ieşirii procesului în timp
Evoluţia mărimilor din figura 2.24 evidenţiază îndeplinirea eventualelor cerinţe de
performanţă. Trebuie precizat că aceste regulatoare inteligente dau rezultate superioare
regulatoarelor convenţionale

în prezenţa

neliniarităţilor puternice

incertitudinilor în modelul procesului.

39

în procese sau

III. Sisteme de reglare fuzzy adaptive

Deşi fiecare din cele două strategii de reglare (adaptivă convenţională şi fuzzy
inteligentă) au adus îmbunătăţiri în domeniul ingineriei reglării automate, modernizându-l,
acestea şi-au dovedit şi ele limitele. Spre exemplu sistemele de reglare inteligente fuzzy, deşi
utile în multe aplicaţii de control automat unde teoria clasică nu face faţă, au şi ele problemele
lor de proiectare şi funcţionare.
Alegerea mulţimilor de bază ale mărimilor de intrare şi ieşire, funcţiile de apartenenţă
şi proiectarea bazei de reguli depind de expertul uman şi de modul în care acesta prelucrează
lingvistic informaţiile despre proces. În plus este posibil ca un regulator deja proiectat să
funcţioneze în condiţii nominale să nu ofere aceleaşi rezultate în cazul unor variaţii
semnificative ale parametrilor procesului.
Dacă ar fi posibilă o reactualizare şi modificare on-line a parametrilor regulatorului
atunci performanţele sistemului în buclă închisă s-ar îmbunătăţii şi am avea de-a face cu o
tehnică de control fuzzy adaptivă. Această tehnică reprezintă o soluţie care combină practic
algoritmii soft-computing (bazaţi pe logica fuzzy) cu metodele adaptive de învăţare, obţinând
metode de control aproape optimale.
Deci, un regulator fuzzy adaptiv posedă avantaje moştenite atât de la sistemele
inteligente fuzzy, cât şi de la sisteme adaptive, pentru a controla sisteme neliniare, cu
parametrii variabili în timp şi cu o structură parţial cunoscută. (Figura 3.1) [Koo]

Fig. 3.1. Tipuri de strategii de reglare
În acest capitol sunt prezentate câteva scheme generale de regulatoare inteligente
adaptive întâlnite în literatura de specialitate şi structura de bază a unui sistem de reglare
fuzzy adaptiv cu model etalon (Fuzzy Model Reference Learning Control FMRLC). Apoi sunt
studiate funcţionarea şi modul de realizare a acestor regulatoare inteligente şi adaptive,
moderne prin detalierea unor aplicaţii tipice de control.
40

III.1. Scheme generale de reglare fuzzy adaptivă
În acest subcapitol sunt prezentate câteva exemple de scheme principiale de control
fuzzy adaptiv şi elemente de iniţiere în ceea ce se va concretiza în structura sistemului de
reglare fuzzy adaptivă cu model etalon.
Pornind de la regulatoarele fuzzy cvasi-PID o îmbunătăţire a performanţelor sistemelor
de reglare automată poate fi asigurată dacă se realizează modificarea structurii acestora prin
utilizarea a două regulatoare fuzzy cvasi-PID standard (fie ele cu integrare pe intrare sau
ieşire) în conexiune paralel, cu acţiune alternativă asupra procesului (Figura 3.2). [Pre1, Pre2]

Fig. 3.2. Regulatoare fuzzy cvasi-PID cu structură variabilă
În cazul regulatorului cu structură variabilă din figura 3.2 unul dintre regulatoare
standard acţionează când modulul erorii de reglare este mai mare de o valoare limită, iar
celălalt când modulul erorii de reglare coboară sub această limită. Parametrii fuzzy ai
regulatoarelor pot fi de fapt factorii de scalare a mulţimilor de bază ale mărimilor de intrare şi
ieşire.
Un alt tip de regulator adaptiv este cel care foloseşte o strategie de adaptare a
parametrilor fuzzy. Parametrii unui regulator fuzzy ce pot fi luaţi în considerare pentru
adaptarea acestuia la noi condiţii de funcţionare sunt:
-

funcţiile de apartenenţă (pentru variabile intrare şi ieşire);

-

factorii de scalare ai mulţimilor de bază (pentru variabile intrare şi ieşire);

-

conţinutul bazei de reguli.
Mărimile folosite în cazul adaptării parametrilor regulatorului fuzzy sunt:

-

eroarea de reglare;

-

derivata erorii de reglare;

-

valoarea comenzii;

-

alte mărimi (eventual de stare) ale procesului.
41

Dacă considerăm un regulator fuzzy cvasi-PID standard, structura unui sistem adaptiv
cu parametrii regulatorului variabili după o strategie este dată în figura 3.3. [Pre2]

Fig. 3.3. Regulatoare fuzzy cvasi-PID cu parametrii variabili
Ieşirea blocului de adaptare poate fi factorul de scalare al uneia din mulţimile de bază
sau chiar unul din parametrii regulatorului PID (de exemplu factorul proporţional Kr).
Se practică şi o variantă derivată a sistemului adaptiv din figura 3.3, în care regulatorul
fuzzy cvasi-PID standard este înlocuit cu un regulator convenţional PID proiectat iniţial după
metode clasice de proiectare, iar dependent de modificările condiţiilor de funcţionare ale
procesului se modifică on-line parametrii regulatorului PID după o strategie fuzzy. În această
situaţie este necesară prezenţa mai multor blocuri de adaptare fuzzy. Fiecare astfel de bloc
ajustează câte un parametru al regulatorului convenţional (Kr, Ki, Kd).
Aceste tipuri de regulatoare bazate pe logica fuzzy nu reprezintă o soluţie ce
garantează performanţe superioare regulatoarelor convenţionale. Chiar mai mult, aceste
regulatoare moderne nu asigură stabilitatea şi robusteţea sistemelor de reglare automată,
deoarece aceste proprietăţi sunt bazate pe modul de întocmire al mulţimilor de bază ale
variabilelor lingvistice şi de baza de reguli, deci pe experienţa şi cunoştinţele umane.
Totuşi studiile realizate în ultimii ani s-au axat pe dezvoltarea şi perfecţionarea acestui
domeniu. O variantă de bază de implementare a strategiei fuzzy adaptive este prezentată în
figura 3.4.

Fig. 3.4. Sistem de reglare fuzzy adaptiv
42

III.2. Sistem de reglare fuzzy adaptiv cu model de referinţă
O scurtă recapitulare a capitolelor precedente ne aminteşte de structura de sistem
adaptiv cu model etalon. Dacă această schemă de reglare puţin refăcută în figura 3.5 conţine
un regulator inteligent de tip fuzzy se obţine un sistem modern de reglare, denumit sistem
fuzzy adaptiv cu model etalon. Dacă se poate realiza o reparametrizare, ajustare directă a
parametrilor regulatorului, deci a anumitor parametrii ai sistemului direct din datele măsurate
din proces de către mecanismul de adaptare atunci se obţine un sistem fuzzy adaptiv direct.

Fig.3.5. Sistem de reglare fuzzy adaptiv direct cu model de referinţă
Performanţele dorite ale sistemului în buclă închisă sunt introduse cu ajutorul
modelului etalon (de referinţă). Regulatorul ajustabil va căuta să asigure o funcţionare a
sistemului în buclă închisă identică cu funcţionarea modelului etalon. Noţiunea de adaptare
poate fi asociată capacităţii de învăţare a sistemului adaptiv. Învăţarea, abilitatea de
îmbunătăţire a proprietăţilor sistemului automat, capacitatea de a raţiona clasifică acest tip de
sistem în domeniul sistemelor inteligente.
În acest capitol se prezintă structura şi modul de proiectare a unui sistem de reglare
fuzzy cu învăţare cu model etalon (Fuzzy Model Reference Learning Controller FMRLC)
care face parte din categoria sistemelor adaptive. Evident acest sistem poate oferi performanţe
superioare sistemelor adaptive sau sistemelor inteligente fuzzy, dacă este proiectat corect.
Un sistem care posedă abilităţi de învăţare are capacitatea de a-şi

îmbunătăţii

performanţele prin informaţiile obţinute prin interacţiunea cu mediul. Noţiunea de învăţare
deosebeşte acest regulator FMRLC de regulatoarele adaptive convenţionale prin faptul că
acesta va realiza pe lângă adaptarea parametrilor şi o memorare a valorilor, cunoştinţelor
acordate în trecut. Este ştiut că regulatoarele adaptive clasice folosite în special în cazul
proceselor liniare cu parametrii necunoscuţi îşi modifică (reactualizează) parametrii
regulatorului fără a şti dacă situaţia actuală (la un moment dat) a mai fost întâlnită.
43

Sistemele de control fuzzy, adaptive sau nu, fac parte din categoria metodelor speciale
soft-computing, adică a metodelor care necesită o implementare pe un sistem de calcul. Acest
fapt ne impune să folosim şi semnale discrete.
Structura sistemului de reglare fuzzy cu învăţare cu model de referinţă FMRLC este
prezentată în figura 3.6. [Koo, Lay, Pas1, Duk]

Fig. 3.6. Sistem de reglare fuzzy cu învăţare cu model etalon (FMRLC)
Acest sistem adaptiv modern conţine patru părţi importante: [Pas1, Koo]
-

procesul;

-

regulatorul fuzzy;

-

modelul de referinţă;

-

mecanismul de învăţare (sau de adaptare).
Sistemul de reglare cu FMRLC utilizează mecanismul de învăţare pentru a observa

informaţiile din proces şi modul de funcţionare al sistemului fuzzy. Aceste date sunt folosite
ulterior cu scopul de ajusta parametrii sistemului de reglare inteligent pentru a îndeplini
performanţele cerute sistemului construit, performanţe introduse prin modelul etalon.
Practic se poate spune că sistemul de reglare rezolvă două probleme de urmărire
corespunzătoare celor două bucle din figura 3.6. Sistemul de reglare fuzzy acţionează prin
bucla de reglare inferioară şi prin comanda u(kT) astfel încât ieşirea sistemului y(kT) să
urmărească intrarea r(kT). Sistemul adaptiv de reglare (în special mecanismul de învăţare)
încearcă să ajusteze parametrii regulatorului fuzzy pentru ca sistemul în buclă închisă
(caracterizat prin semnalele r(kT) şi y(kT)) să se comporte asemeni sistemului de referinţă
(caracterizat prin r(kT) şi ym(kT)), deci pentru ca ieşirea sistemului y(kT) să urmărească ieşirea
modelului etalon ym(kT).
În continuare se vor trata mai detaliat doar componentele sistemului de reglare fuzzy
cu învăţare cu model de referinţă (FMRLC), cu schema bloc funcţională prezentată deja în
figura 3.6, care nu au fost studiate până la acest punct al referatului.
44

Regulatorul fuzzy este unul clasic, construit cu structura din figura 2.14 şi după
etapele de proiectare menţionate la subcapitolul II.2.2. După cum s-a văzut aceste regulatoare
pot fi fără dinamică sau cu dinamică, dacă sunt ataşate blocuri de derivare şi integrare pe
intrări. Cel mai des sunt întâlnite regulatoarele fuzzy cu dinamică, respectiv cu două intrări şi
o ieşire (sisteme MISO). Intrările alese cel mai frecvent sunt:
-

eroarea de reglare;

e(kT ) = r (kT ) - y (kT )

-

(3.1)

variaţia erorii de reglare (derivata).

d (kT ) =

e(kT ) - e(kT - T )
T

(3.2)

Adică avem un regulator fuzzy cvasi-PD. Prin T se înţelege perioada de eşantionare.
Evident că modul de alegere al mărimilor şi al termenilor şi funcţiilor de apartenenţă
ale intrărilor şi ieşirilor influenţează stabilitatea şi performanţele sistemului în buclă închisă.
Pentru scalarea/normalizarea mulţimilor de bază ataşate mărimilor intrare/ieşire se folosesc
factori de scalare (amplificări): ge reprezintă factorul de scalare al erorii de reglare e(kT), gd
reprezintă factorul de scalare al variaţiei erorii d(kT), iar gu este factorul de scalare al
comenzii u(kT).
Valorile factorilor de scalare sunt alese experimental, în mod euristic, astfel încât să
fie acoperit tot domeniul şi să nu genereze o saturare a gradelor de apartenenţă rezultate
pentru mărimile de intrare şi ieşire din regulator. Dacă aceste valori nu sunt bune, vor trebui
modificate înainte de introduce mecanismul de adaptare.
Baza de reguli este alcătuită preferabil din toate combinaţiile posibile pentru funcţiile
de apartenenţă (termeni lingvistici) ale intrărilor. Spre exemplu dacă am avea două intrări cu
câte 7 termeni lingvistici atunci baza de reguli va avea 49 de combinaţii, dintre care în
momentul funcţionării doar câteva din aceste reguli vor fi activate şi vor influenţa concluzia la
un eşantion dat.
Funcţiile de apartenenţă ataşate intrărilor sunt constante pentru un regulator FMRLC şi
alese pentru a se putea acoperi orice situaţie ce poate apărea. În schimb, funcţiile de
apartenenţă ale ieşirii (comenzii) sunt presupuse necunoscute şi reprezintă parametrul variabil
prin care se ajustează (modifică) de fapt baza de reguli de către FMRLC pentru îmbunătăţirea

45

performanţelor. Funcţiile de apartenenţă ale ieşirii sunt iniţializate în mod euristic, pentru ca
apoi ele să fie modificate de mecanismul de adaptare.
Pentru raţionamentul fuzzy se alege mecanismul de inferenţă Mamdani (inferenţa
max-min), iar valoarea crisp se obţine din valoarea fuzzy prin metoda centrului de greutate.
Modelul de referinţă este elementul prin care sunt introduse în schema funcţională
performanţele dinamice dorite pentru sistemul în buclă închisă (sau altfel spus “sistemul
ideal”). În general, modelul de referinţă poate fi discret sau continuu, liniar sau neliniar,
variabil în timp sau nu, dar pentru a nu îngreuna implementarea calculelor sunt folosite
sistemele de ordin I şi II.
Pentru un sistem de ordin I cu factorul de amplificare k şi constanta de timp T1 dorite
rezultă modelul continuu:

H (s) =

Ym ( s )
k
=
R( s ) T1 × s + 1

(3.3)

Pentru un sistem de ordin II pulsaţia naturală ωn şi factorul de amortizare ζ dorite
rezultă modelul continuu:

H (s) =

Ym ( s )
k ×wn
= 2
R( s ) s + 2 × z × w n × s + w n2

(3.4)

Modelele sistemelor de referinţă sunt discretizate pentru o implementare discretă în
timp, folosind metoda dreptunghiului sau trapezului.
Performanţele sistemului în buclă închisă sunt satisfăcute dacă mecanismul de învăţare
sau adaptare reuşeşte să menţină o eroare de adaptare foarte mică în orice moment de timp, şi
practic acest mecanism nu mai produce modificări semnificative ale regulatorului fuzzy.
Eroarea de adaptare este dată de relaţia:
y e ( kT ) = y m ( kT ) - y (kT )

(3.5)

Derivata erorii de adaptare este dată de relaţia 3.6.

y d (kT ) =

y e (kT ) - y e (kT - T )
T

(3.6)

46

III.2.1. Mecanismul de învăţare (de adaptare)
Rolul mecanismului de adaptare este de a modifica baza de reguli a regulatorului
fuzzy direct (prin intermediul funcţiilor de apartenenţă ale ieşirii u(kT)) până când sistemul în
buclă închisă se comportă într-un mod asemănător cu modelul de referinţă ales. Aceste
modificări aplicate regulatorului se fac doar după ce sunt măsurate datele de la intrarea şi
ieşirea procesului, modelului de referinţă şi

regulatorului fuzzy direct. Mecanismul de

învăţare este compus din două părţi: modelul fuzzy invers şi modificatorul bazei de reguli.
Modelul fuzzy invers utilizează ca intrări abaterea (eroarea) de adaptare ye(kT) şi
variaţia (derivata) yd(kT) pentru a efectua modificări ale semnalului de corecţie (denumit şi
factor de adaptare) p(kT), necesare adaptării bazei de reguli a regulatorului fuzzy direct, până
când eroarea de adaptare se anulează. Din punct de vedere al proiectării şi implementării,
modelul fuzzy invers se comportă ca un regulator fuzzy direct, care furnizează la ieşire
mărimea de corecţie p(kT) cu scopul de a reduce eroarea ye(kT). [Pas1, Koo, Lay]
Şi în cazul modelului fuzzy invers se folosesc factori de scalare pentru normalizarea
mulţimilor de bază ataşate mărimilor intrare/ieşire: gye reprezintă factorul de scalare al erorii
de adaptare ye(kT), gyd reprezintă factorul de scalare al variaţiei erorii de adaptare yd(kT), iar gp
este factorul de scalare al comenzii p(kT).
Alegerea unui model fuzzy invers depinde de aplicaţia dezvoltată, dar s-a constatat că
pentru o gamă largă de aplicaţii determinarea specificaţiilor modelului fuzzy invers se face în
mod asemănător cu determinarea regulatorului fuzzy direct. De fapt, de multe ori modelul
fuzzy invers ia aceeaşi formă cu regulatorul fuzzy direct.
Baza de reguli a modelului fuzzy invers conţine reguli de forma:
dacă ye(kT) este YE şi yd(kT) este YD atunci p(kT) este P
unde

(3.7)

ye(kT), yd(kT), p(kT) reprezintă variabilele lingvistice de intrare;
YE, YD, P sunt valorile lingvistice (termeni lingvistici) asociate variabilelor

lingvistice.
Pentru mecanismul de inferenţă se foloseşte metoda max-min, iar pentru defuzzificare
metoda centrului de greutate (COG).
Pentru proiectarea modelului invers fuzzy există câteva elemente general valabile.
Este bine ca acest model să fie construit astfel încât atunci când mărimea de ieşire y(kT) din
sistemul în buclă închisă urmăreşte destul de bine (cu o eroare de adaptare foarte mică)
47

mărimea de ieşire dorită ym(kT) să ofere un semnal de corecţie nul (p(kT)=0), ceea ce
înseamnă că adaptarea regulatorului fuzzy încetează. Deci teoretic calea de adaptare este
dezactivată, ceea ce nu înseamnă că ea nu continuă să existe şi să urmărească în continuare
eventualele modificări ce pot apărea în proces.
Această caracteristică (relaţia 3.8) specifică doar modelului fuzzy invers asigură o
stabilitate generală mai bună sistemului.
y e (kT ) < e y Þ p (kT ) = 0

(3.8)

unde ey este o valoare foarte mică, convenabil aleasă.
Dacă considerăm o dependenţă direct proporţională între eroarea de adaptare ye(kT) şi
semnalul de corecţie de la ieşirea modelului fuzzy invers p(kT) atunci în locul relaţiei 3.8 se
mai poate folosi şi următoarea regulă:
dacă p (kT ) < e p atunci p( kT ) = 0

(3.9)

unde ep este o valoare foarte mică aleasă a priori care va opri adaptarea.
Oricând eventualele modificări în proces conduc la o creştere a erorii de adaptare peste
valoarea lui ep mecanismul de învăţare (adaptare) va intra din nou în funcţiune şi va încerca să
reducă această eroare.
Importante sunt pentru obţinerea unor performanţe mai bune ale sistemului adaptiv
FMRLC sunt şi valorile factorilor de scalare. Valorile factorilor de scalare sunt determinate
prin încercări, respectând câteva reguli. [Pas1]
Pentru o influenţă mai mică a experienţei umane şi a informaţiilor despre proces în
proiectarea modelului fuzzy invers procedura de scalare a parametrilor modelului invers este:
-

iniţial se începe cu o valoare gye astfel încât intrarea ye(kT) să nu satureze funcţiile de
apartenenţă ale intrării de la capetele mulţimii de bază;

-

se alege un factor de scalare gp al ieşirii modelului fuzzy invers identic cu factorul de
scalare gu al comenzii regulatorului fuzzy direct, iar factorul de scalare gyd este nul;

-

se aplică o referinţă treaptă r(kT) cu o valoare a amplitudinii cât mai aproape de cea
din funcţionare normală a sistemului;

-

se compară ieşirea sistemului cu ieşirea modelului etalon şi se efectuează modificări
ale parametrilor modelului fuzzy invers până când cele două răspunsuri sunt apropiate,
proiectarea modelului invers fiind oprită. Pentru un răspuns al sistemului în buclă
48

închisă cu oscilaţii prea mari în comparaţie cu răspunsul modelului de referinţă se
creşte acţiunea intrării derivative din mecanismul de învăţare (prin factorul de scalare
al variaţiei erorii de adaptare gyd). Pentru un răspuns al sistemului în buclă închisă prea
lent, ce nu poate urmări răspunsul modelului etalon se scade valoarea acţiunii
derivative (prin gyd).
Unele aplicaţii necesită o implicare mai mare a intuiţiei umane şi o procedură cu mai
puţini parametrii de reglat, şi atunci se recomandă o procedură alternativă de scalare a
factorului gp, echivalentul factorului de adaptare din cazul regulatoarelor adaptive
convenţionale:
-

iniţial se începe cu un factor de scalare gp=0 al semnalului de corecţie p(kT), ceea ce
înseamnă că mecanismul de adaptare este inactiv şi avem de-a face cu o reglare fuzzy
directă simplă. Dacă răspunsul sistemului nu este cel dorit atunci se trece la
introducerea treptată a buclei de învăţare (adaptare) prin creşterea factorului de
scalare;

-

se aleg amplificările gye şi gyd astfel încât să se evite saturarea funcţiilor de apartenenţă
de la capetele mulţimilor de bază pentru variabilele de intrare;

-

se creşte încet valoarea lui gp (se modifică factorul de adaptare) până se obţine un
răspuns satisfăcător.
Modificatorul bazei de reguli are rolul de a adapta baza de reguli a regulatorului fuzzy

direct cu scopul de a realiza o îmbunătăţire a stabilităţii şi performanţelor sistemului în buclă
închisă. Modificarea bazei de reguli se realizează cu ajutorul funcţiilor de apartenenţă ale
ieşirii regulatorului, funcţiile variabilelor de intrare fiind lăsate constante.
Modelul fuzzy invers prelucrează informaţiile venite de la proces şi de la modelul
etalon şi furnizează semnalul de corecţie p(kT) pentru a duce la anularea erorii de adaptare, iar
modificatorul bazei de reguli adaptează baza de reguli astfel încât comanda aplicată de
regulatorul fuzzy direct la un moment anterior u(kT-T) să se modifice cu p(kT).
u(kT ) = u (kT - T ) + p( kT )

(3.10)

La un moment ulterior (deci după t=kT), când se vor obţine valori asemănătoare
pentru eroarea de adaptare ye şi pentru variaţia acesteia yd, comanda furnizată de regulatorul
fuzzy va fi deja actualizată (după reguli modificate), rezultând o eroare mai mică între
răspunsul modelului de referinţă şi ieşirea procesului.
49

Modificarea bazei de reguli a regulatorului fuzzy direct se efectuează în doi paşi şi se
realizează prin deplasarea centrelor funcţiilor de apartenenţă a valorilor lingvistice asociate
regulilor ieşirii regulatorului fuzzy direct care au contribuit la comanda anterioară u(kT-T).
Pentru exemplificare se consideră b drept centrul funcţiei de apartenenţă a valorii lingvistice
U asociată variabilei de ieşire. [Pas1]
a) Se determină setul de reguli active la momentul kT-T;

m (e( kT - T ), d (kT - T ) ) > 0

(3.11)

b) Se modifică centrele funcţiilor de apartenenţă ale ieşirii care se regăsesc în setul de
reguli active determinate la pasul unu. Centrele acestor funcţii de apartenenţă la
momentul kT vor avea valoarea determinată cu relaţia 3.12. Centrele funcţiilor de
apartenenţă ale ieşirii care nu apar în setul de reguli active nu vor fi modificate.
b(kT ) = b(kT - T ) + p(kT )

(3.12)

Dacă intrarea în proces u(kT) are efect la ieşirea procesului nu doar peste un eşantion
de timp, ci peste mai multe eşantioane (n eşantioane) atunci şi adaptarea bazei de reguli se va
face cu o întârziere de n eşantioane şi relaţiile 3.11 şi 3.12 devin:

m (e( kT - nT ), d (kT - nT ) ) > 0

(3.13)

b(kT ) = b(kT - nT ) + p (kT )

(3.14)

O altă observaţie ce se evidenţiază este aceea că modificările bazei de reguli sunt doar
modificări locale. Adică, nu se modifică (adaptează) întreaga bază de reguli a regulatorului
fuzzy deoarece sunt active la un moment dat doar un număr limitat de reguli în funcţie de
structura şi aşezarea funcţiilor de apartenenţă ale regulatorului fuzzy. Se modifică doar acele
reguli necesare pentru a reduce puternic eroarea de adaptare ye(kT).
Metoda de adaptare denumită sugestiv şi metodă de învăţare (Fuzzy Model Reference
Learning Model FMRLC) tocmai pentru a diferenţia sistemul modern inteligent şi adaptiv de
sistemele adaptive convenţionale, are un rol important deoarece permite regulatorului să-şi
amintească modificările efectuate în trecut.
50

Deci, în momentul în care la intrarea regulatorului va apărea o situaţie caracterizată de
nişte condiţii care au mai fost întâlnite, regulatorul inteligent “îşi va aminti de aceasta” şi va
lua decizia corespunzătoare anulării erorii de învăţare. [Pas1]
Regulile şi funcţiile de apartenenţă ale ieşirii active nu au o contribuţie egală în
concluzia finală şi atunci în unele aplicaţii ar fi mai bine dacă modificarea bazei de reguli s-ar
efectua doar asupra funcţiilor de apartenenţă (regulilor) cele mai importante (cu grad de
apartenenţă mare) dintre cele activate. Această metodă este practică mai ales când sunt
folosite funcţii de apartenenţă cu formă gaussiană.

m (e( kT - T ), d (kT - T )) > a , 0 < a < 1

(3.15)

unde α este pragul de modificare al centrelor funcţiilor de apartenenţă.
O alternativă la relaţia 3.13 este cea în care vor fi modificate toate funcţiile de
apartenenţă active, dar cu o pondere dată chiar de gradul de activare al regulilor ce contribuie
la comanda finală.
b(kT ) = b(kT - T ) + m (e(kT - T ), d ( kT - T ) ) × p(kT )

(3.16)

În cazul în care se doreşte ca centrele funcţiilor de apartenenţă să rămână într-un
domeniu specificat la începutul punerii în funcţiune a sistemului adaptiv se pot introduce
condiţii suplimentare de limitare a deplasării funcţiilor de apartenenţă.

51

IV. Aplicaţii de control inteligent adaptiv

Acest capitol conţine câteva aplicaţii de sisteme de reglare fuzzy adaptive, realizate
prin comparaţie cu structuri adaptive convenţionale sau inteligente. Procesele conduse sunt
complexe, neliniare, cu parametrii variabili în timp şi instabile, ceea ce ar face imposibilă
obţinerea unor performanţe dorite şi păstrarea stabilităţii prin metode de proiectare clasice.
Spre exemplu reglarea poziţiei unui braţ robotic dintr-un întreg lanţ cinematic prin
intermediul servomotoarelor de curent continuu sau balansarea şi echilibrarea unui pendul
inversat prin deplasarea unui cărucior de-a lungul unei axe orizontale sunt probleme clasice în
domeniul controlului adaptiv automat. Sistemul robotic (robot, acrobot) este în general
compus din mai multe elemente componente, interdependenţa între diferite axe de mişcare
creează o variaţie a parametrilor procesului cunoscuţi iniţial. Sistemul cu pendul inversat
(inverted pendulum, cart-pole system) este un sistem instabil, folosit la rândul lui în scopuri
didactice în multe universităţi.
Controlul pe care omul l-ar aplica pentru astfel de sisteme diferă mult de soluţiile pe
care le oferă automatica clasică. Ceea ce încearcă tehnicile de control automat bazate pe
inteligenţă artificială este tocmai să speculeze modalitatea în care s-ar realiza controlul de
către un individ uman.

IV.1. Aplicaţia 1: Controlul şi echilibrarea pendulului inversat
IV.1.1. Descrierea procesului. Modele matematice

Fig. 4.1. Ansamblul cărucior-pendul (pendulul inversat)

52

Sistemul cu pendul matematic inversat este un sistem neliniar instabil, constituit
dintr-un pendul aflat pe un cărucior mobil şi poate avea drept scop fie menţinerea acestuia în
poziţie verticală în singurul punct de echilibru instabil (deci echilibrarea acestuia) dacă se
consideră ca ieşire din sistem deplasarea căruciorului xp sau conducerea pendulului la un
anumit unghi faţă de axa verticală Oy dacă se consideră ca ieşire din sistem chiar unghiul θ.
Deplasarea ansamblului cărucior-pendul se poate realiza doar de-a lungul axei Ox, prin
intermediul unei forţe mecanice f (comenzi) aplicate din exterior de-a lungul acestei axe.
Chiar dacă metodele de proiectare modernă nu necesită cunoaşterea modelului
matematic al procesului condus (dinamica exactă), acesta va fi determinat pentru a se putea
realiza simularea şi studiul performanţelor sistemului de reglare bazat pe logica fuzzy sau
sistemului adaptiv cu model de referinţă. [Duk, Sti, ***3]
Coordonatele centrului de greutate al pendulului (x0,y0) în raport cu baza acestuia, deci
cu punctul de balansare (xp,yp), cunoscând lungimea lui 2·l şi unghiul pe care îl face cu axa
verticală θ sunt:
x 0 = x p + l × sin(q )

(4.1)

y 0 = y p + l × cos(q )

Ecuaţiile dinamice ale procesului care descriu poziţia căruciorului mobil xp, cât şi
poziţia pendulului faţă de verticală θ, în funcţie de forţa aplicată doar pe axa Ox se determină
folosind echilibrul de forţe şi echilibrul de momente, considerând coeficientul de frecare al
căruciorului b, respectiv coeficientul de frecare al pendulului c foarte mici.
Echilibru de forţe de pe axa Ox ce acţionează doar la nivelul căruciorului este:
··

·

f - Fx = M × x p + b × x p

(4.2)

unde forţa Fx se determină folosind echilibru de forţe ce acţionează în direcţie Ox
asupra pendulului.
··
··
·2
æ ··
ö
Fx = m × x0 = m × çç x p + l × q × cos(q ) - l × q × sin(q ) ÷÷
è
ø

(4.3)

Relaţia 4.3 se înlocuieşte în 4.2 şi rezultă prima ecuaţie de mişcare neliniară a
ansamblului cărucior-pendul.
53

··

·

·2

··

f = (M + m ) × x p + b × x p + m × l × q × cos(q ) - m × l × q × sin(q )

(4.4)

Echilibrul momentelor în jurul centrului de greutate al pendulului (x0,y0) este dat de
ecuaţia 4.5.

åM

··

0

·

= J × q + c × q = Fx × l × sin(q ) - Fy × l × cos(q )

(4.5)

unde forţa Fy rezultă din echilibrul de forţe de pe axa Oy ce acţionează asupra
pendulului:
··
··
·2
ö
æ ··
Fy = G + m × y 0 = mg - m çç x p + l × q × sin(q ) - l × q × cos(q ) ÷÷
ø
è

(4.6)

A doua ecuaţie de mişcare neliniară a ansamblului cărucior-pendul devine:
··

··

×··

·

m × g × l × sin(q ) - m × l 2 × q - m × x p × l × cos(q ) = J × q + c × q

(4.7)

Sistemul de ecuaţii diferenţiale format din ecuaţiile 4.4 şi 4.7, care descrie dinamica
procesului, este unul neliniar. Acest sistem poate fi liniarizat şi simplificat dacă discutăm de
un unghi θ foarte mic (θ=0, sin(θ)=0, cos(θ)=1, d2θ=0) apropiat de punctul de echilibru
instabil şi dacă se neglijează frecările prin rotaţie şi translaţie (b=c=0).
În cazul general, pendulul are două puncte de echilibru, unul de echilibru stabil pentru
pendul situat în partea de jos a căruciorului şi unul de echilibru instabil pentru pendul situat în
partea de sus a pendulului (adică cazul ce studiat în continuare, pendulul inversat).
··
··
ì
ï(M + m ) × x p + m × l × q = f
í
··
··
··
··
2
ïm × g × l × q - m × l 2 × q - m × l × x p = J × q = m × l × q
3
î

(4.8)

Din punct de vedere al sistemului de reglare automat ansamblul cărucior-pendulul
reprezintă procesul condus. Acesta are ca intrare comanda f (în lungul axei Ox) prin
intermediul căreia se încearcă echilibrarea pendulului şi reglarea poziţiei căruciorului xp sau
reglarea înclinării pendulului θ. Rezultă două funcţii de transfer.
54

Dacă dorim să avem la ieşire înclinarea pendulului faţă de axa verticală θ atunci se
elimină din sistemul 4.8 poziţia punctului de pivotare xp.
m × l ö ··
f
æ4
=0
ç ×l ÷ ×q - g ×q +
m+M ø
m+M
è3

(4.9)

Ecuaţiei 4.9 se aplică transformata Laplace şi se obţine funcţia de transfer a procesului
condus liniarizat cu intrarea f şi ieşirea θ. [Duk, Sti, ***3, Dul]
1
m+M
H (s) =
=
m×l ö 2
F ( s) æ 4
ç ×l ÷×s - g
m+M ø
è3

q (s)

-

(4.10)

Dacă dorim să avem la ieşire poziţia pendulului pe axa orizontală xp atunci din a doua
ecuaţie a sistemului 4.8 rezultă relaţia 4.11, relaţie ce reprezintă o dependenţă matematică
între poziţia căruciorului şi unghiul de înclinare al pendulului (în domeniu complex).

é J + m × l2 g ù
gù
é4
- 2 ú × q ( s) = - ê × l - 2 ú × q ( s)
X p ( s) = - ê
s û
s û
ë3
ë m×l

(4.11)

Din 4.10 şi 4.11 rezultă şi funcţia de transfer a procesului condus liniarizat cu intrarea
f şi ieşirea xp.
éJ + m ×l2 g ù
= -ê
- 2 ú × H ( s)
H XP ( s ) =
F ( s)
s û
ë m×l
4
× l × s2 - g
3
H XP ( s ) =
4
æ
ö 4
2
ç (m + M ) × × l - m × l ÷ × s - (m + M ) × g × s
3
è
ø
X p (s)

(4.12)

În continuare se va elimina poziţia căruciorului din simulări, iar sistemele de reglare
vor fi proiectate pentru un proces caracterizat de funcţia de transfer H(s) din relaţia 4.10,
dorindu-se reglarea poziţiei pendulului (unghiului de înclinare faţă de axa verticală).
Pentru reprezentarea pe spaţiul stărilor a ansamblului cărucior-pendul se aleg
·

următoarele două stări: x1 = q şi x 2 = q .
55

Pornind de la ecuaţia 4.9 rezultă reprezentarea matematică pe spaţiul stărilor a
pendulului inversat, dacă se consideră doar intrarea f şi ieşirea θ, poziţia căruciorului fiind
eliminată.
ì·
ïx = x
2
ï 1
·
g
ï
í x2 =
m×l
æ4
ï
ç ×l ï
m+M
è3
ï
î y = x1

ö
÷
ø

× x1 -

1
(m + M ) × æç 4 × l - m × l
m+M
è3

ö
÷
ø

×u

(4.13)

unde matricele de sistem sunt:
0
æ
ç
g
A=ç 4
ç æç × l - m × l ö÷
ç 3
m+M ø
èè

0
1ö
æ
÷
ç
1
0÷ , B = ç ÷
ç (m + M ) × æç 4 × l - m × l
÷
ç
m+M
è3
ø
è

ö
÷
÷ , C = (1 0 ) , D = 0 .
ö÷
÷÷
øø

Pentru proiectarea, simularea şi testarea sistemelor de reglare automată ce vor fi
realizate în continuare s-au folosit următoarele valori pentru constantele fizice: m=0.5kg,
M=1kg, l=0.5m.

H (s) = -

0.66
0.5 × s 2 - 9.8

(4.14)

După cum se remarcă din relaţia 4.14 şi din figura 4.2, unde este prezentat răspunsul
sistemului neliniarizat în circuit deschis (fără regulator), sistemul cu pendul inversat este
instabil (de fapt funcţia de transfer a acestuia prezintă un pol în semiplanul drept al planului
complex). Regulatoarele care vor fi determinate în continuare trebuie să asigure în stabilizarea
sistemului în buclă închisă.

Fig. 4.2. Răspunsul sistemului la o intrare treaptă
56

În continuare vor fi de terminate mai multe tipuri de regulatoare (adaptive cu model
etalon, fuzzy inteligente, fuzzy adaptive) pentru a se putea compara şi alege în final varianta
care oferă performanţele cele mai bune pentru sistemul în buclă închisă.
IV.1.2. Sisteme de reglare adaptive convenţionale
Pentru un conducerea adaptivă cu model de referinţă a unui sistem cu o funcţie de
transfer asemănătoare celei a pendulului inversat liniarizat este necesar un regulator cu trei
parametrii de acord k1, k2, k3.
·

u(t ) = k1 × r (t ) - k 2 × y (t ) - k 3 × y (t )

(4.15)

Dacă parametrii de acord k1 şi k2 sunt egali se observă că regulatorul este de tip PD
modificat, cu elementul derivativ pe calea de reacţie (e(t) este eroarea de reglare).
·

·

u(t ) = k1 × (r (t ) - y (t ) ) - k 3 × y (t ) = k1 × e(t ) - k 3 × y (t )

(4.16)

Modelul de referinţă este de ordin doi cu pulsaţia naturală ωn=3rad/sec şi factorul de
amortizare ζ=1, rezultând un răspuns ideal amortizat critic.

H m ( s) =

Ym ( s )
9
wn 2
= 2
= 2
2
R( s) s + 2 × z × w n × s + w n
s + 6×s + 9

(4.17)

Din relaţiile 4.14,4.15 şi 4.17 răspunsurile modelului de referinţă (etalon) şi procesului
condus sunt:

(- 0.66 0.5) × k1
ì
(
)
=
× r(t )
y
t
2
ï
(
66
)
×
(
66
+
9
.
8
)
p
p
0
.
×
k
0
.
5
0
.
×
k
0
.
5
3
2
ï
í
9
wn 2
ï y (t ) =
× r(t ) = 2
× r(t )
m
2
2
ïî
s + 6×s + 9
p + 2 × z × w n × p + wn

(4.18)

unde p este considerat operatorul de derivare.
Cele două răspunsuri sunt identice când eroarea de adaptare ye(t)=ym(t)-y(t) este nulă.
Problema principală în cazul sistemelor adaptive este de a găsi legile de adaptare ale
57

parametrilor regulatorului. Pentru aceasta sunt exemplificate cele două metode discutate: MIT
sau metoda gradientului descendent şi metoda bazată pe stabilitatea Lyapunov (capitolul II.1).
Prin metoda MIT (folosind relaţia 2.3) rezultă următoarele trei legi de adaptare:
ì ·
ö
æ
0.66 0.5
× r (t ) ÷÷ × y e (t )
ïk1 (t ) = -g 1 çç 2
ø
è p - (0.66 × k 3 0.5) × p - (0.66 × k 2 + 9.8) 0.5
ï
ïï ·
ö
æ
0.66 0.5
× y (t ) ÷÷ × y e (t )
ík 2 (t ) = -g 2 çç 2
ø
è p - (0.66 × k 3 0.5) × p - (0.66 × k 2 + 9.8) 0.5
ï
ï ·
· ö
æ
0.66 0.5
ïk 3 (t ) = -g 3 ç 2
× y (t ) ÷÷ × y e (t )
ç
ïî
ø
è p - (0.66 × k 3 0.5) × p - (0.66 × k 2 + 9.8) 0.5

(4.19)

Pentru simplificarea relaţiilor de adaptare se introduce în amplificările parametrilor de
adaptare termenul 0.66/0.5, iar fiindcă parametrii k2 şi k3 sunt necunoscuţi se realizează
următoarea înlocuire de regim staţionar:
p 2 - (0.66 × k 3 0.5) × p - (0.66 × k 2 + 9.8) 0.5 = p 2 + 2 × z × w n × p + w n

2

(4.20)

În figura 4.3 este prezentată schema de reglare adaptivă cu model etalon folosind
metoda de adaptare MIT. Adaptarea se realizează aplicând la intrare un semnal de referinţă de
tip impulsuri dreptunghiulare cu o perioadă de 20 secunde şi amplitudine de pi/10 (unghiul θ).

Fig. 4.3. Sistem de conducere adaptivă a pendulului inversat
58

Răspunsurile modelului etalon şi procesului condus, respectiv eroarea de adaptare sunt
prezentate în figura 4.4.

Fig. 4.4. Evoluţia în timp a ieşirilor din modelul etalon şi din proces
O variantă de sistem adaptiv cu model de referinţă mai bună din punct de vedere al
performanţelor se obţine dacă se aplică a doua metodă de adaptare bazată pe teoria de
stabilitate Lyapunov. Aceasta presupune să folosim modele matematice ISO (intrare-stareieşire) pentru sisteme cu un grad mai mare. Se introduc notaţiile:

y = éê y
ë

T

y ùú , y m = éê y m
û
ë
·

T

y m ùú , y e = éê y e
û
ë
·

y e ùú
û
·

T

Ecuaţiile dinamice care descriu comportarea celor două bucle de urmărire (de adaptare
şi de referinţă) şi eroarea de adaptare sunt:
ì · =
ï y (t ) A(t ) × y (t ) + B(t ) × r (t )
ï ·
í y m (t ) = Am × y m (t ) + Bm × r (t )
ï ·
ï y e (t ) = Am × y e (t ) + ( Am - A(t ) ) × y (t ) + (Bm - B (t ) ) × r (t )
î

(4.21)

unde matricele de sistem sunt:
0
1
0
é
ù
é
ù
A(t ) = ê 0.66 × k 2 (t ) + 9.8 0.66
, B(t ) = ê - 0.66
ú
× k 3 (t )ú
× k1 (t )úú
êë
ê
0.5
0.5
û
ë 0.5
û
1
é 0
ù
é 0 ù
Am = ê
, Bm = ê 2 ú
2
ú
ë- w n - 2 × z × w n û
ëw n û

(4.22)

Metoda Lyapunov constă în a găsi o funcţie de energie care să îndeplinească relaţiile
2.9 şi 2.10, ceea ce duce la un sistem în buclă închisă stabil. De obicei această funcţie are o
59

formă asemănătoare cu eroarea de adaptare ye(t). De asemenea se observă că matricele A şi B
ale sistemului compus din regulator şi procesul condus sunt variante în timp. [Dav2, Iou]

{

} {

}

V (t , y e (t ) ) = y e × P × y e + tr ( Am - A) × ( Am - A) + tr (Bm - B ) × (Bm - B ) > 0
T

unde

ép
P = ê 11
ë p12

T

T

(4.23)

p12 ù
este o matrice pozitiv definită (p11>0 şi p11p22-p12p12>0);
p22 úû

tr – trace (urma matricei, suma elementelor de pe diagonala principală).

(

)

·
·
ì
ü
T
T
T
V (t , y e (t ) ) = y e × Am × P + P × Am × y e + 2 × tr í( Am - A) × æç P × y e × y T - Aö÷ ý +
è
øþ
î
·
ì
ü
T
+ 2 × tr í(Bm - B ) × æç P × y e × r T - B ö÷ ý
è
øþ
î

(4.24)

Derivata funcţiei Lyapunov este negativ definită (se îndeplineşte a doua condiţie din
teorema de stabilitate) şi conform teoremei punctul de echilibru ye=ym-y=0 este asimptotic
stabil dacă se aleg:
ì Am T × P + P × Am = -Q < 0
ï ·
ï
T
í A(t ) = g A × P × y e × y
ï ·
ïî B(t ) = g B × P × y e × r T

(4.25)

unde Q este o matrice simetrică pozitiv definită (se poate alege matricea identitate).
é1 0ù
Q=ê
ú
ë0 1û
Rezolvând sistemul de ecuaţii 4.25 rezultă mai întâi matricea simetrică P (relaţia
4.26), iar apoi legile de adaptare pentru parametrii variabili ai regulatorului (relaţia 4.27).
é1
ê
w
P=ê n
ê
ê
êë

2
æ
1 + wn ö
÷
× çç z +
4 × z ÷ø
è
1
2 ×wn2

ù
ú
2 ×wn
ú = é1.1667 0.0556ù
ê0.0556 0.0926ú
æ
1
1 öú
û
× çç1 + 2 ÷÷ú ë
4 × z × w n è w n øúû
1

2

60

(4.26)

ì ·
æ p × y (t ) + p × y ·(t ) ö r (t )
k
t
(
)
=
g
ç 12 e
÷×
e
1
1
22
ï
è
ø
ï
·
·
ï
æ
ö
ík 2 (t ) = g 2 ç p12 × y e (t ) + p 22 × y e (t ) ÷ × y (t )
è
ø
ï
·
ï ·
æ
ö ·
ïk 3 (t ) = g 3 ç p12 × y e (t ) + p22 × y e (t ) ÷ × y (t )
è
ø
î

(4.27)

În figura 4.5 este prezentată schema de reglare adaptivă cu model etalon folosind
teoria de stabilitate Lyapunov. Adaptarea se realizează aplicând la intrare acelaşi tip de
semnal de referinţă.

Fig. 4.5. Sistem de conducere adaptivă a pendulului inversat
Evoluţia în timp a semnalelor de ieşire din modelul etalon şi din procesul condus,
respectiv eroarea de adaptare sunt prezentate în figura 4.6. Se evidenţiază o adaptare mai
rapidă a parametrilor regulatorului şi oscilaţii mai mici ale erorii de adaptare ye(t), decât în
cazul metodei MIT (gradient descendent).

Fig. 4.6. Evoluţia în timp a ieşirilor din modelul etalon şi din proces
61

În figura 4.7 este prezentată evoluţia parametrilor ajustabili ai regulatorului şi
comanda dată de acesta.

Fig. 4.7. Evoluţia parametrilor ajustabili şi comanda regulatorului
Pentru adaptarea parametrilor prin metoda de stabilitate Lyapunov se impune folosirea
următoarelor valori ale amplificărilor: γ1=60, γ2=70, γ3=0.8.
Interesant este de urmărit dacă acest regulator reuşeşte să aducă pendulul în poziţia de
echilibru, după ce acesta a fost pus iniţial la o înclinare (un unghi θ) faţă de verticală de 5˚
(π/36). În figura 4.8 sunt prezentate eroarea, comanda şi ieşirea procesului condus.

Fig. 4.8. Evoluţia erorii, comenzii şi ieşirii pentru echilibrarea pendulului
Iniţializarea ieşirii procesului condus cu unghiul θ impune folosirea schemei neliniare
a pendulului inversat (Anexa 1) şi o referinţă nulă (ceea ce reprezintă de fapt aducerea
pendulului în punctul de echilibru). Din diagramele în timp se observă o echilibrare foarte
rapidă a pendulului inversat neliniar, după doar 3 secunde.
IV.1.3. Sistem de reglare fuzzy
Pentru reglarea sistemului cu pendul inversat analizat s-au considerat ca intrări pentru
regulatorul fuzzy două mărimi: eroarea de reglare şi variaţia erorii de reglare; rezultând un
regulator fuzzy cvasi-PD cu dinamică. [Pre1, Pre2]
·
·
u(t ) = F æç e(t ), e(t ) ö÷ = k × e (t ) + kd × e(t )
è
ø

(4.28)
62

Schema de reglare fuzzy a pendulului inversat este prezentată în figura 4.9.

Fig.4.9. Schema de reglare fuzzy a pendulului inversat
Cunoscând etapele de proiectare ale regulatoarelor fuzzy se caută descrierea
lingvistică a modului în care se poate controla procesul. O primă etapă a fost făcută deja prin
alegerea variabilele de intrare, acestea influenţează desfăşurarea ulterioară a etape ulterioare.
Variabilele lingvistice alese sunt deci: eroarea care descrie intrarea e(t), variaţia erorii
(derivata erorii) care descrie de(t)/dt şi forţa (comanda) care descrie u(t).
Termenii lingvistici (valorile lingvistice) ataşaţi celor trei variabile lingvistice sunt:
negativ mare NB (negative big), negativ mică NS (negative small), zero Z (zero), pozitiv mică
PS (positive small), pozitiv mare PB (positive big). Dacă ne referim la unghiurile θ, pozitiv
înseamnă la dreapta axei vericale (y>0) , iar negativ înseamnă la stânga axei verticale (y<0).
De exemplu prin cuantificarea lingvistică a mărimilor (transformarea realizată de
expertul uman) se înţelege o afirmaţie de tipul “eroarea este pozitiv mare”, ceea ce poate
reprezenta o situaţie în care pendulul se află deviat spre stânga faţă de verticală cu un unghi
mare.
Baza de reguli sau transpunerea în logică fuzzy a descrierii lingvistice a modului în
care s-ar realiza controlul eficient al pendulului inversat de către un expert uman este indicată
tabelar în figura 4.10. Dacă sunt introduşi cei cinci termeni lingvistici pentru fiecare mărime
de intrare sau ieşire din regulator atunci conform relaţiei 2.44 rezultă un total de 25 de reguli.
În tabel sunt subliniate câteva reguli pentru a exemplifica modul de gândire al
expertului uman, considerând că referinţa (ieşirea dorită din proces) ar fi la un moment dat
nulă, deci pendulul ar trebui echilibrat. [Olt1, Duk]
-

dacă eroarea este negativ mare şi variaţia erorii este negativ mare atunci forţa ce
trebuie aplicată trebuie să fie mare. Această regulă exprimă o situaţie în care pendulul
se află la dreapta verticalei cu un unghi mare şi se deplasează în sensul acelor de
ceasornic; este evident că este necesară o forţă mare (spre dreapta) pentru a face ca
pendulul să se deplaseze în sens invers;
63

-

dacă eroarea este zero şi variaţia erorii este pozitiv mică atunci forţa ce trebuie aplicată
este negativ mică. Această regulă exprimă o situaţie în care pendulul este foarte
aproape de verticală şi se deplasează în sens invers acelor de ceasornic; este evident că
este necesară o forţă negativ mică (spre stânga) pentru a contracara mişcarea
pendulului.

Fig. 4.10. Baza de reguli
Se ştie că afirmaţiile exemplificate anterior reprezintă o manieră abstractă de
exprimare a modului de control a pendulului inversat. Logica fuzzy intervine prin ataşarea
unui grad de apartenenţă (unei ponderări) fiecărei mărimi la un anumit termen lingvistic prin
folosirea funcţiilor de apartenenţă.
Funcţiile de apartenenţă ataşate intrărilor şi ieşirii din regulator sunt prezentate în
figura 4.11. Alegerea intervalului de variaţie a mărimilor (domeniul de bază) se face tot
euristic de către expertul uman, urmând a fi modificat ca urmare a testărilor şi simulărilor în
buclă închisă pentru a asigura performanţele cele mai bune. Modificarea domeniilor de
variaţie se face de obicei prin folosirea unor amplificări (factori de scalare) ge, gd, gu şi prin
efectuarea mai multor teste.

Fig. 4.11. Mulţimile variabilelor lingvistice
Regulatorul fuzzy implementat foloseşte raţionamentul Mamdani (pentru mecanismul
de inferenţă), ceea ce înseamnă folosirea operatorului min/max pentru evaluarea conectorului
64

şi/sau din premisă, respectiv concluzionarea în cadrul regulilor se face cu operatorul min şi
conectarea regulilor cu operatorul max.
Obţinerea valorii crisp din valoarea fuzzy se face prin operaţia de defuzzificare,
practic ultima etapă şi componentă a regulatorului fuzzy. În cazul regulatorului fuzzy cvasiPD folosit la echilibrarea pendulului defuzzificarea se face cu metoda centrului de greutate.
Definirea regulatorului fuzzy a fost realizată de către autor folosind funcţii din
biblioteca Fuzzy Logic Toolbox a mediului Matlab. Acest program de descriere (cuprins în
Anexa 2) este utilizat de blocul FLC pentru simularea sistemului din figura 4.9 în Simulink.
În figura 4.12 sunt prezentate evoluţia în timp a erorii de reglare, a comenzii şi a ieşirii
din procesului condus la un semnal de intrare de tip impulsuri dreptunghiulare.

Fig. 4.12. Evoluţia erorii, comenzii şi ieşirii pentru reglarea fuzzy
Regulatorul fuzzy cu dinamică reuşeşte să restabilească echilibrul pendulului dacă
acesta a fost pus iniţial în dezechilibru la un unghi θ de 5˚ faţă de axa verticală foarte repede
(Figura 4.13).

Fig. 4.13. Evoluţia erorii, comenzii şi ieşirii pentru echilibrarea pendulului
Pentru obţinerea diagramelor în timp din figura 4.13 a fost folosită schema neliniară a
pendulului matematic inversat (Anexa 1). Echilibrarea pendulului inversat se face după mai
puţin de 3 secunde.
IV.1.4. Sistem de reglare fuzzy adaptiv
În cazul regulatorului fuzzy direct sunt necesare multe simulări şi teste ale sistemului
în buclă închisă până se ajunge la acordarea corectă a acestuia pentru obţinerea unor
65

performanţe cât mai bune. În situaţia regulatorului fuzzy adaptiv (sistem de reglare fuzzy cu
învăţare cu model etalon) alegerea parametrilor regulatorului fuzzy direct nu mai este
esenţială, deoarece mecanismul de învăţare (adaptare) va modifica oricum aceşti parametrii.
Parametrul variabil la sistemul de reglare fuzzy cu învăţare cu model etalon reprezintă baza de
reguli. [Pas1, Koo]
Schema sistemului de reglare fuzzy adaptiv al pendulului inversat (din categoria
sistemelor de reglare fuzzy cu învăţare cu model de referinţă) este prezentată în figura 4.14.

Fig. 4.14. Schema de reglare fuzzy adaptivă
Se evidenţiază din schemă cele patru blocuri importante detaliate deja din punct de
vedere teoretic: procesul, regulatorul fuzzy, modelul de referinţă, mecanismul de învăţare
Dacă procesul condus şi modelul de referinţă sunt uşor de înţeles, acestea fiind
discutate şi la celelalte tipuri de reglări, regulatorul fuzzy şi mecanismul de adaptare (modelul
fuzzy invers împreună cu modificatorul bazei de reguli) vor fi puţin mai detaliate.
Modelul de referinţă din sistemul de reglare fuzzy cu învăţare cu model de referinţă
specifică performanţele dorite pentru sistemul în buclă închisă. În general, acest sistem poate
lua orice formă, poate fi discret sau continuu, liniar sau neliniar, variant sau invariant în timp
etc. Eroarea de învăţare ye(kT) dintre ieşirea modelului etalon şi ieşirea procesului condus
furnizează o caracterizare a măsurii în care performanţa dorită este atinsă în eşantionul kT.
De asemenea regulatorul fuzzy direct este cel prezentat la subcapitolul IV.1.4, cu
deosebirea că mulţimile de bază ataşate intrărilor şi ieşirilor, respectiv funcţiile de apartenenţă
sunt introduse în program cu ajutorul unor amplificări (factori de scalare).
Sunt considerate şi aici ca intrări pentru regulatorul fuzzy direct două mărimi: eroarea
de reglare, notată aici cu e(kT) şi variaţia erorii de reglare d(kT); rezultând un regulator direct
fuzzy cvasi-PD cu dinamică (caracterizat de relaţia 4.28). Ieşirea din regulator este comanda
procesului condus u(kT), adică forţa care deplasează căruciorul pendulului inversat.
66

Domeniul şi funcţiile de apartenenţă ataşate celor trei mărimi folosite la regulatorul
fuzzy direct pot fi deci modificate experimental prin intermediul factorilor de scalare şi
normalizare: ge reprezintă factorul de scalare al erorii de reglare e(kT), gd reprezintă factorul
de scalare al variaţiei erorii d(kT), iar gu este factorul de scalare al comenzii u(kT).
Baza de reguli este aceeaşi cu cea prezentată în figura 4.10, iar pentru inferenţă
(activare şi decizionare în interiorul regulatorului) este folosit raţionamentul Mamdani.
Defuzzificarea se face prin metoda centrului de greutate (CoG).
În continuare va fi prezentat mecanismul de învăţare (adaptare). Acesta este
descompus la rândul lui, după cum se vede şi din schemă, în două blocuri componente:
modelul fuzzy invers şi modificatorul bazei de reguli.
În mod asemănător cu regulatorul fuzzy direct, şi modelul fuzzy invers conţine factori
de scalare şi normalizare ataşaţi intrărilor şi ieşirilor acestuia cu scopul de a realiza modificări
experimentale: gye reprezintă factorul de scalare al erorii de adaptare ye(kT), gyd reprezintă
factorul de scalare al variaţiei erorii de adaptare yd(kT), iar gp este factorul de scalare al ieşirii
din modelul invers (semnalul de corecţie) p(kT).

Fig. 4.15. Structura modelului fuzzy invers, mulţimile de bază
Din punct de vedere al proiectării şi implementării, modelul fuzzy invers se comportă
ca un regulator fuzzy care furnizează la ieşire mărimea p(kT) pentru a reduce eroarea ye(kT).
Baza de reguli fuzzy este practic iniţial copiată de la regulatorul fuzzy direct. Astfel,
pentru toate cele trei variabile ale modelului fuzzy invers se folosesc 5 funcţii de apartenenţă
triunghiulare simetrice uniform distribuite pe domeniul variabilelor în cauză. Mecanismul de
inferenţa este realizat cu ajutorul tehnicii Mamdani şi defuzzificarea se face prin metoda
centrului de greutate (CoG).
67

După ce au fost efectuate mai multe teste şi respectând procedura de scalare de la
secţiunea III.2.1 din conţinutul acestui referat au fost alese următoarele valori: gye=π/10,
gyd=0.5, gp=1. În plus, în modelul fuzzy invers a fost implementată şi strategia de oprire a
adaptării parametrilor regulatorului fuzzy direct când eroarea de adaptare este foarte mică şi
deci sistemul în buclă închisă ce conţine procesul urmăreşte destul de bine modelul de
referinţă. Strategia este introdusă prin relaţia 3.9, considerându-se o eroare maximă admisă
ep=0.001ּgp.
Modificarea bazei de reguli se realizează prin adaptarea funcţiilor de apartenenţă ale
ieşirii regulatorului, funcţiile variabilelor de intrare fiind lăsate constante, în cele două etape
discutate la secţiunea teoretică (subcapitolul III.2.1) de proiectare a modificatorului bazei de
reguli. [Pas1, Koo]
Pentru sistemul studiat, având în vedere structura funcţiilor de apartenenţă ale
regulatorului fuzzy (Fig. 4.15), pot fi active la un moment dat maxim patru reguli, ceea ce
indică faptul că vom avea de adaptat conform ecuaţiei (3.12) cel mult patru reguli. Această
observaţie mai confirmă încă o dată că modificările realizate în baza de reguli sunt modificări
locale.
Definirea regulatorului fuzzy direct, a modelului fuzzy invers şi a modificatorului bazei
de reguli a fost realizată de către autor folosind funcţii proprii create în mediul Matlab. Aceste
programe de descriere a celor trei componente folosite la simularea sistemului din figura 4.14
stau în spatele blocurilor din mediul Simulink.
În figura 4.16 sunt prezentate evoluţia în timp a comenzii, ieşirii (unghiului făcut de
pendul cu axa verticală) şi factorului de adaptare (semnalului de corecţie), când la intrare se
aplică un semnal tren de impulsuri dreptunghiulare cu o amplitudine de π/10.

Fig. 4.16. Evoluţia comenzii, ieşirii şi factorului de adaptare (semnalul de corecţie)
Din analiza evoluţiei factorului de adaptare se observă că adaptarea (învăţarea) se face
pe o perioadă foarte scurtă de aproximativ o secundă. În acest timp se modifică centrele
funcţiilor de apartenenţă ale mărimii de ieşire din regulatorul fuzzy direct. După acest timp
regulatorul se comportă suficient de bine, pentru a nu necesita o reactualizare a parametrilor.

68

Capacitatea de învăţare şi de adaptare la situaţii diferite este remarcată şi dacă la
intrare este aplicat un semnal de tip tren de impulsuri triunghiulare (între –π/10 şi π/10).
Figura 4.17 prezintă evoluţia în timp a comenzii, ieşirii şi factorului de adaptare.

Fig. 4.17. Evoluţia comenzii, ieşirii şi factorului de adaptare (semnalul de corecţie)
Răspunsul procesului condus cu un regulator adaptiv oferă performanţe foarte bune şi
în cazul în care se doreşte doar echilibrarea pendulului după ce acesta a fost scos din această
stare. Această simulare se poate face doar folosind sistemul detaliat neliniar al pendulului
inversat şi o referinţă nulă.

Fig. 4.18. Echilibrarea pendulului (restabilirea stării de echilibru)
Din analiza celor trei tipuri de sisteme de reglare este evidentă superioritatea tehnicilor
de conducere inteligente şi adaptive. Acestea nu doar pot compensa prezenţa neliniarităţilor în
proces fără a fi necesară liniarizarea acestora în momentul proiectării regulatoarelor, dar au şi
o capacitate suplimentară de a învăţa din evenimente desfăşurate deja.

IV.2. Aplicaţia 2: Reglarea adaptivă locală a braţelor roboţilor
IV.2.1. Descrierea procesului. Modele matematice
Modelul dinamic al unui robot prezintă neliniarităţi şi variaţii puternice ale
parametrilor procesului. Principala cauză ce generează aceste probleme de proiectare a
regulatoarelor este interdependenţa dintre diferite axe de mişcare, fenomen tipic construcţiei
roboţilor seriali. De fapt la aceşti roboţi seriali lanţul cinematic are o construcţie serială ceea
69

ce presupune interinfluenţe între forţele şi momentele diferitelor grade de libertate (Figura
4.19).

Fig. 4.19. Robot cu mişcare în plan orizontal cu două grade de libertate
Aceste probleme de proiectare pot fi soluţionate prin folosirea roboţilor paraleli sau
dacă nu este posibilă a unei comenzi adaptive. Această tehnică modernă se impune mai ales
când nu se cunosc exact modelele matematice ale elementelor componente ale robotului,
respectiv când nu se cunosc momentele care acţionează asupra fiecărui element din lanţul
cinematic. Sistemele de reglare adaptivă asigură robusteţea sistemului chiar şi în cazul unor
variaţii semnificative ale parametrilor acestuia. [Mou, Bro]
Majoritatea roboţilor industriali sunt acţionaţi cu elemente hidraulice, pneumatice sau
electrice, ele acţionând prin intermediul unor bucle de reglare a poziţiei. Fiecare braţ al
robotului devine astfel un sistem de reglare al poziţiei. Dacă fiecare astfel de element este
acţionat separat, alternant în timp când celelalte braţe sunt menţinute în echilibru, atunci
implementarea unor bucle de reglare PID s-au dovedit eficiente.
Să presupunem că avem de-a face cu un sistem robotic acţionat cu servomotoare de
curent continuu. Atunci se poate realiza câte un sistem de reglare decuplat pe axe, adică
dedicat fiecărui braţ din lanţul cinematic al robotului. Variaţia parametrilor unui braţ în timp
este compensată printr-o reglare adaptivă cu model de referinţă local robustă.
În figura 4.20 este prezentată schema de funcţionare a unui servomotor de curent
continuu (SMcc), care permite mişcarea unui singur braţ. [Zăr2, Dul]

Fig. 4.20. Schema de funcţionare a unui servomotor de curent continuu
70

Dacă se presupune excitaţia independentă atunci ecuaţiile care descriu funcţionarea
motorului se obţin aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff circuitului de alimentare a
motorului şi legea echilibrului cuplurilor care apar în funcţionarea sistemului.
d ia
ì
ïU a = Ra × ia + La × d t + e
ï
ïe = K e × Ω
í
ïC = K × i = J × d Ω + C + B × Ω
m
a
r
ï m
dt
ïW = dq dt
î
unde

(4.29)

Ω reprezintă viteza unghiulară;
θ – unghiul de rotaţie al axului motorului;
Ua – tensiunea de alimentare a rotorului;
Ra, La – parametrii electrici ai circuitului rotorului;
e – tensiunea electromotoare;
Ke, Km – constante de proporţionalitate electrice şi mecanice;
Cr – cuplul rezistent;
J – momentul de inerţie al maselor în mişcare;
B – coeficientul de frecare vâscoasă.

Se consideră intrarea în proces tensiunea de alimentare a circuitului indusului Ua, iar
ieşirea este poziţia unghiulară θ. Neglijând cuplul rezistent (Cr=0) şi aplicând transformata
Laplace sistemului 4.29 cu condiţii iniţiale nule rezultă funcţia de transfer a servomotorului de
curent continuu folosit ca sistem de poziţionare.

H W (s) =

H q ( s) =

W( s )
Km
=
U a ( s ) K e K m + ( Ra + sLa ) × ( B + sJ )

q ( s)
U a (s)

=

1 W( s )
Km
=
×
s U a ( s ) s × [K e K m + ( Ra + sLa ) × ( B + sJ )]

(4.30)

(4.31)

Dacă valoarea inductanţei bobinei servomotorului de curent continuu, care împreună
cu valoarea rezistenţei ohmice determină constanta de timp electrică a servomotorului, este
mult mai mică şi neglijabilă (La=0) în comparaţie cu constanta de timp mecanică dată de
momentul de inerţie al maselor în rotaţie şi de constanta de proporţionalitate electromecanică
atunci schema simplificată a manipulatorului poate fi aproximată cu un sistem de ordin doi.
71

În figura 4.21 se găseşte schema funcţională simplificată pe care s-a dedus şi funcţia
de transfer a manipulatorului de ordin doi (relaţia 4.32).

Fig. 4.21. Schema funcţională a manipulatorului de ordin doi

H (s) =

q (s)
U a ( s)

unde

=

Km × m
s × [K e K m + Ra × ( B + s × J )]

(4.31)

μ reprezintă raportul de transmisie;
μ·τ – forţa exterioară (momentul rezistiv) înmulţită cu raportul de transmisie a

reductorului.
Pentru proiectarea, simularea şi testarea sistemelor de reglare automată ce vor fi
realizate în continuare s-au folosit următoarele valori pentru constantele fizice: Ra= 1.025Ω,
Ke= 0.5247V·min/rot, Km= 6.1 V·min/rot, J=8kg·m2, B=1.5Nms/rad, μ=0.01.
Funcţia de transfer simplificată a manipulatorului de ordin doi este calculată în relaţia:

H (s) =

q (s)
U a ( s)

=

0.061
s × [8.2 × s + 4.738]

(4.32)

Răspunsul acestui sistem de ordin doi este identic cu răspunsul sistemului real de ordin
trei unde a fost introdusă şi valoarea inductanţei bobinei (La=0.1H), la o intrare treaptă este
prezentat în figura 4.22. Schema Simulink a manipulatorului de ordin trei este detaliată în
Anexa 4.

Fig. 4.22. Răspunsul manipulatorului de ordin doi şi trei la o intrare treaptă
72

În continuare se vor proiecta sisteme de reglare adaptive cu model etalon (bazate pe
teoria Lyapunov) şi fuzzy adaptive (FMRLC) cu scopul de a controla poziţia acestui
manipulator, mai ales dacă parametrii acestuia sunt variabili şi necunoscuţi.
IV.2.2. Sisteme de reglare adaptive convenţionale
Se ştie că dacă se foloseşte un model etalon robust în domeniul de deplasare al
manipulatorului, atunci printr-o adaptare corespunzătoare a parametrilor şi componenta din
lanţul cinematic al robotului va fi robustă.
Sistemele de reglare adaptivă local robuste cu model etalon se realizează, în general,
după două scheme de principiu (Figura 4.23): [Dav2]
-

schemă de reglare adaptivă cu model etalon prin intermediul unui semnal de
compensare g(t) al variaţiei parametrilor procesului şi de eliminare a perturbaţiilor
nemăsurabile, parametrii regulatorului rămân în acest caz nemodificaţi;

-

schemă de reglare adaptivă cu model etalon prin acordarea directă a parametrilor
regulatorului cu scopul eliminării erorii de adaptare dintre modelul etalon şi
manipulator.

Fig. 4.23. Scheme de reglare adaptivă cu model etalon
Bucla de reglare a poziţiei are rolul de a determina la orice moment valoarea erorii de
reglare între valoarea de referinţă şi valoarea măsurată a ieşirii din proces şi orice diferenţă
între acestea două este amplificată prin intermediul unui regulator.
Bucla de adaptare a sistemului de reglare are rolul de a determina la orice moment
valoarea erorii de adaptare şi prin intermediul unui bloc de adaptare fie să introducă semnale
de compensare (varianta 1 de sistem adaptiv), fie să modifice direct parametrii regulatorului
(varianta 2 de sistem adaptiv) cu scopul diminuării acestei erori.
Pentru prima variantă de sistem adaptiv cu model etalon din figura 4.24 se
recomandă folosirea unui regulator proporţional proiectat după modelul procesului cunoscut
73

iniţial şi compensarea eventualelor modificări ale procesului prin semnalul de compensare
g(t). Acest semnal este dedus folosind teoria de stabilitate Lyapunov.

Fig. 4.24. Schema de reglare adaptivă prin compensare
Modelul acestui sistem în buclă închisă este de ordin doi:

(s

2

)

R × m ×t ù
2
2
2 é
+ 2 × z × w n × s + w n × q ( s ) = w n × q pr ( s ) + w n × ê g ( s ) K 0 × K m úû
ë

(4.33)

unde factorul de amortizare şi pulsaţia naturală se pot calcula cu relaţiile 4.34.

z =

Ra × B + K m × K e
, w=
2 × m × K 0 × K m × Ra × J

m × Ra × t

(4.34)

Km × K0

Modelul sistemului etalon este tot de ordin doi cu parametrii am=2, bm=1. Acest
sistem etalon are la intrare aceeaşi referinţă θpr, iar la ieşire poziţia dorită θm.

(s

2

+ a m × s + bm ) × q m ( s ) = bm × q pr ( s )

(4.35)

Se calculează eroarea de adaptare θe(t)= θm(t)- θ(t), reprezentând eroarea între ieşirea
dorită (din modelul etalon) şi ieşirea din procesul condus, pornind de la relaţiile 4.33 şi 4.35.
Apoi conform teoriei Lyapunov pentru sisteme adaptive cu model etalon se caută ecuaţia
diferenţială care descrie eroarea de adaptare pentru a se asigura o stabilitate asimptotică a
acesteia, mai exact revenirea asimptotică a erorii spre valoarea de echilibru θe(t)=0.
s 2 × q m ( s ) + a m × s × q m ( s ) + bm × q m ( s ) - s 2 × q ( s ) - 2 × z × w n × s × q ( s ) - w n × q ( s ) =
2

R × m ×t ù
2
2 é
= bm × q pr ( s ) - w n × q pr ( s ) - w n × ê g ( s ) K 0 × K m úû
ë
74

(4.36)

Dacă se introduce un moment rezistiv sub forma τ=τ0+η1·(θpr-θ)+ η2·dθ/dt şi se
grupează termenii din relaţia 4.36 se obţine:

(s

2

)

+ a m × s + bm × q e ( s ) = - am × s × q ( s ) - bm × q ( s ) + 2 × z × w n × s × q ( s ) +

R × m ×t ù
2
2
2 é
+ w n × q ( s ) + bm × q pr ( s ) - w n × q pr ( s ) - w n × ê g ( s ) K 0 × K m úû
ë

(s

2

æ
öö
R×m
2 æ
× h1 ÷÷ ÷÷ × (q pr ( s ) - q ( s ) ) + a m × s + bm ) × q e ( s ) = çç bm - w n × çç1 K0 × K m
øø
è
è

- wn

2

ö
é
R × m ×t 0 ù æ
R×m
2
× h 2 ÷÷ × s × q ( s )
× ê g ( s) + çç 2 × z × w n - a m + w n ×
ú
K0 × Km
K0 × Km û è
ø
ë

(4.37)

(4.38)

Ultima relaţie poate fi trecută din domeniul complex în timp prin transformare Laplace
inversă.

··

·

æ

æ

è

è

q e (t )+ am × q e (t )+ bm × q e (t ) = çç bm - w n 2 × çç1 -

öö
R×m
× h1 ÷÷ ÷÷ × (q pr (t ) - q (t ) ) K0 × K m
øø

ö ·
é
R × m ×t 0 ù æ
R×m
2
ç
- w n × ê g (t ) +
×
×
+
×
×
2
z
w
w
h
a
n
m
n
2÷
÷ × q (t )
K 0 × K m úû çè
K0 × Km
ø
ë

(4.39)

2

În final, s-a obţinut o eroare de adaptare θe cu trei termeni, unul depinde de derivata
poziţiei unghiulare sau viteza unghiulară Ω(t)= dθ/dt, un termen ce depinde de eroarea de
reglare e(t)= θpr(t)-θ(t), şi un termen liber de regim staţionar.
Rolul sistemului de reglare adaptiv este de a da un semnal de compensare g(t), care să
asigure o stabilitatea asimptotică a erorii de adaptare. Acest semnal trebuie de fapt să
compenseze fiecare din cei trei termeni ai erorii de adaptare. Această condiţie este îndeplinită
dacă şi semnalul g(t) este compus la rândul lui din trei termeni similari celor din ecuaţia
diferenţială a erorii de adaptare.
g (t ) = g1 (t ) × (q pr (t ) - q (t ) ) + g 2 (t ) × q (t )+ g 3 (t )
·

(4.40)

În acelaşi timp teoria Lyapunov (capitolul II.1) pentru stabilitatea asimptotică a
sistemelor se poate aplica dacă ecuaţia 4.39 este transformată într-o ecuaţie matriceală, sub
formă de intrare-stare-ieşire (ISI,ISO). Se face următoarea notaţie vectorială θe=[ θe dθe]T.
75

0
æ
ö
1 ö
ç
÷
ö
æ
m
×
R
2
÷÷ × q e (t ) + ç b - w × ç1 ÷ × (q pr (t ) - q (t ) ) +
÷
h
×
n
1 ÷÷
- am ø
ç
ç m
×
K
K
m
0
øø
è
è
0
0
ö
æ
æ
ö ·
÷
ç
÷ × q (t )- w 2 × ç
m
t
×
×
R
R×m
2
0
n
× h2 ÷
÷
ç g (t ) ç 2 × z × w n - am + w n ×
K0 × Km ø
K0 × K m
è
è
ø

æ 0
q e (t ) = çç
è - bm
·

(4.41)

Se introduce acum funcţia semnalului de compensare g(t) (relaţia 4.40) şi rezultă
ecuaţia diferenţială matriceală într-o formă compactă.

q e (t ) = Am × q e (t ) + b1 × (q pr (t ) - q (t ) ) + b2 × q (t ) + b3
·

·

(4.42)

unde s-au făcut următoarele notaţii:
æ 0
Am = çç
è - bm

1 ö
÷
- a m ÷ø

0
ö
æ
÷
ç
b1 = ç b - w 2 × æç1 - R × m × h ö÷ - w 2 × g (t ) ÷
m
n
1
n
1
ç
÷
÷
ç
K0 × Km
è
ø
ø
è
0
æ
ö
ç
2
b2 (t ) = 2 × z × w - a + w × R × m × h - w 2 × g (t ) ÷
ç
÷
n
m
n
2
n
2
K0 × Km
è
ø
0
æ
ö
2 ç R × m ×t
÷
b3 (t ) = w n ×
0
- g 3 (t ) ÷
ç
è K0 × Km
ø

(4.43)

Funcţia Lyapunov ataşată sistemului descris prin ecuaţiile diferenţiale 4.42 se alege
astfel încât să satisfacă condiţiile din teorema de stabilitate a sistemelor. Această funcţie
Lyapunov V(t) are o formă asemănătoare cu derivata erorii de adaptare θe(t).
V (t , q e (t ) ) = q e (t ) × P × q e (t ) + a1 × b1T (t ) × b1 (t ) + a 2 × b2T (t ) × b2 (t ) + a3 × b3T (t ) × b3 (t ) (4.44)
T

Această funcţie Lyapunov este pozitiv definită dacă matricea

P este o matrice

pătratică pozitiv definită (p11>0 şi p11p22-p12p12>0) şi a1, a2, a3 sunt factori de ponderare.

·

· T

·

·

·

·

V = q e (t ) × P × q e (t ) + q e (t ) × P × q e (t ) + 2a1b1T (t ) b1 (t ) + 2a2 b2T (t ) b2 (t ) + 2a3b3T (t ) b3 (t )
T

76

V (t , q e (t ) ) = q e (t ) × (AmT × P + P × Am ) × q e (t ) +
·

T

·
+ éêb1T (t ) × (q pr (t ) - q (t ) ) × P × q e (t ) + q eT (t ) × P × b1 (t ) × (q pr (t ) - q (t ) ) + 2a1b1T (t ) b1 (t )ùú +
ë
û
·
·
·
+ éêb2T (t ) × q (t ) × P × q e (t ) + q eT (t ) × P × b2 (t ) × q (t ) + 2a 2 b2T (t ) b2 (t )ùú +
ë
û

(4.45)

·
+ éêb3T (t ) × P × q e (t ) + q eT (t ) × P × b3 (t ) + 2a3b3T (t ) b3 (t )ùú
ë
û

Derivata funcţiei Lyapunov este negativ definită (se îndeplineşte a doua condiţie din
teorema de stabilitate) şi conform teoremei punctul de echilibru θe=θm-θ=0 este asimptotic
stabil dacă se aleg relaţiile 4.46.
ì Am T × P + P × Am = -Q < 0
ï
ï bT (t ) × P × q (t ) + q T (t ) × P × b (t ) × (q (t ) - q (t ) ) = -2a b· T (t )b (t )
e
e
1
pr
1 1
1
ï 1
í
·
·T
ï b2T (t ) × P × q e (t ) + q eT (t ) × P × b2 (t ) × q (t ) = -2a 2 b 2 (t )b2 (t )
ï
·T
·
ï T
T
q
q
b
(
t
)
×
P
×
(
t
)
+
(
t
)
×
P
×
b
(
t
)
=
2
a
b
(
t
)
b
î 3
e
e
3
3 3
3 (t )

[
[
[

]
]
]

(4.46)

unde Q este o matrice simetrică pozitiv definită (se poate alege matricea identitate).
Rezolvând sistemul de ecuaţii 4.46 rezultă mai întâi matricea simetrică P (relaţia 4.47)
în funcţie de parametrii modelului etalon, iar apoi vectorii b1(t),b2(t),b3(t) cu ajutorul cărora se
vor determina legile de adaptare pentru componentele variabile ale semnalului de compensare
g(t) (relaţia 4.48).
é 1 æ a m 1 + bm ö
÷÷
+
ê × çç
2
b
a
è
m
m
ø
P=ê
ê
1
ê
2 × bm
ë

ù
1
ú
p
2 × bm
ú = é 11
ê
p
1 æ
1 öú
× çç1 + ÷÷ú ë 12
2 × a m è bm øû

ì·T
1 T
ïb1 (t ) = - a × q e (t ) × P × (q pr (t ) - q (t ) )
1
ï
·
ïï · T
1 T
íb 2 (t ) = - × q e ( t ) × P × q (t )
a2
ï
ï·T
1
ïb 3 (t ) = - × q eT (t ) × P
ïî
a3

p12 ù é1.5 0.5ù
=
p 22 úû êë0.5 0.5úû

(4.47)

(4.48)

77

Dacă se consideră specificul şi forma vectorilor b1(t),b2(t),b3(t), din relaţiile 4.43 şi
4.48 se obţine următorul sistem de ecuaţii monodimensionale în forma finală pentru
compensarea variaţiilor parametrilor procesului condus:
ì·
æ (t ) × p + · (t ) × p ö ( ( t )
g
t
(
)
=
×
- q (t ) )
g
qe
1 çq e
12
22 ÷ × q pr
ï 1
è
ø
ï
·
ï·
æ
ö ·
í g 2 (t ) = g 2 × çq e (t ) × p12 + q e (t ) × p22 ÷ × q (t )
è
ø
ï
·
ï·
æ
ö
ï g 3 (t ) = g 3 × çq e (t ) × p12 + q e (t ) × p22 ÷
è
ø
î

(4.49)

În figura 4.25 este prezentată o primă variantă de schemă de reglare adaptivă cu
model etalon local robustă a unei componente dintr-un lanţ cinematic al unui robot. Adaptarea
se realizează aplicând la intrare un semnal de referinţă de tip impulsuri dreptunghiulare cu
perioada de 20 sec şi amplitudinea unitară.

Fig. 4.25. Schema de reglare adaptivă local robustă a manipulatorului
Se observă din schemă prezenţa regulatorului proporţional cu structură şi valoare
fixate K0, respectiv semnalul de compensare a variaţiilor parametrice ale procesului condus,
reprezentat prin manipulatorul real. Schema Simulink a manipulatorului de ordin trei este
detaliată în Anexa 4.
78

Evoluţia în timp a semnalelor de ieşire din modelul etalon şi din procesul condus,
respectiv manipulatorul, sunt prezentate în figura 4.26. Se evidenţiază o adaptare a semnalului
g(t) cu scopul anulării erorii de adaptare.

Fig. 4.26. Referinţa şi răspunsurile modelului etalon şi procesului
Evoluţia în timp a semnalelor componente de compensare a celor trei termeni din
ecuaţia dinamică a erorii de adaptare (relaţia 4.39) este prezentată în figura 4.27.

Fig. 4.27. Evoluţia componentelor semnalului de compensare g(t)
Pentru a doua variantă de sistem adaptiv cu model etalon se recomandă folosirea
unui regulator PD modificat cu structură fixă, dar cu trei parametrii (k1, k2, k3) variabili şi
ajustabili cu ajutorul blocului de adaptare. Acesta are rolul de a urmării evoluţia procesului şi
a modelului etalon, respectiv de a modifica parametrii regulatorului până la anularea erorii de
adaptare.
·

u(t ) = k1 × q pr (t ) - k 2 × q (t ) - k 3 × q (t )

(4.50)

Dacă parametrii de acord k1 şi k2 sunt egali se observă că regulatorul este de tip PD
modificat, cu elementul derivativ pe calea de reacţie (e(t) este eroarea de reglare).
u(t ) = k1 × (q pr (t ) - q (t ) ) - k 3 × q (t ) = k1 × e(t ) - k 3 × q (t )
·

·

79

(4.51)

Modelul de referinţă este cel folosit la prima variantă de sistem adaptiv cu model
etalon. Parametrii sistemului de ordin doi etalon sunt parametrii am=2, bm=1. Răspunsul
sistemului etalon la o intrare treaptă este amortizat critic.

H m (s) =

q m ( s)
bm
1
= 2
= 2
q pr ( s ) s + am × s + bm s + 2 × s + 1

(4.52)

Din relaţiile 4.31, 4.35, 4.51 rezultă relaţiile de calcul al răspunsurilor modelului
etalon şi procesului condus. Se consideră pentru început cuplu rezistent nul şi dispare
semnalul de compensare g(t).

(0.061 8.2 ) × k1
ì
ïq (t ) = p 2 + (4.7382 + 0.061 × k ) 8.2 × p + 0.061 × k 8.2 × q pr (t )
ï
3
2
í
1
b
m
ïq (t ) =
× q pr (t ) = 2
× q pr (t )
m
2
p + a m × p + bm
s + 2× s +1
îï

(4.53)

unde p este considerat operatorul de derivare.
Cele două răspunsuri sunt identice când eroarea de adaptare θe(t)= θm(t)- θ(t) este
nulă. Problema la această variantă de sistem adaptiv nu mai constituie găsirea semnalului de
compensare ci a legilor de adaptare ale parametrilor regulatorului. Pentru aceasta se apelează
la metoda bazată pe stabilitatea Lyapunov (capitolul II.1). Modelele matematice ISI (intrarestare-ieşire) pentru sistemele de grad doi ale etalonului şi procesului condus, deci a celor două
bucle de urmărire (după intrare şi după modelul etalon), sunt date în relaţia 4.54.
ìq (·t ) = A(t ) × q (t ) + B(t ) × q (t )
pr
ï
·
ï
íq m (t ) = Am × q m (t ) + Bm × q pr (t )
ï ·
ïq e (t ) = Am × q e (t ) + ( Am - A(t )) × q (t ) + (Bm - B(t ) ) × q pr (t )
î
unde au fost făcute următoarele notaţii vectoriale:
T

T

·
·
·
q = éêq q ùú , q m = éêq m q m ùú , q e = éêq e q e ùú
ë
û
ë
û
ë
û

T

iar matricele de sistem sunt date în relaţia 4.55.
80

(4.54)

0
1
0
é
ù
é
ù
k
t
k
t
× k1 (t ) ú
×
+
×
0
.
061
0
.
061
(
)
4
.
7382
0
.
061
(
)
A(t ) = ê
, B(t ) = ê
ú
2
3
êë
úû
êë úû
8.2
8.2
8.2
1 ù
é 0
é0ù
Am = ê
, Bm = ê ú
ú
ë - bm - am û
ëbm û

(4.55)

Funcţia Lypunov aleasă are o formă asemănătoare cu eroarea de adaptare θe(t). De
asemenea se observă că matricele A şi B sunt variante în timp.

{

} {

}

V (t , q e (t ) ) = q e × P × q e + tr ( Am - A) × ( Am - A) + tr (Bm - B ) × (Bm - B ) > 0
T

T

T

(4.56)

Derivata funcţiei Lyapunov este negativ definită (se îndeplineşte a doua condiţie din
teorema de stabilitate) şi conform teoremei punctul de echilibru θe=θm-θ=0 este asimptotic
stabil dacă se aleg:
ì Am T × P + P × Am = -Q < 0
ï ·
ï
T
í A(t ) = g A × P × q e × q
ï ·
T
ïî B(t ) = g B × P × q e × q pr

(4.57)

Rezolvând sistemul de ecuaţii 4.57 rezultă mai întâi matricea pătratică şi simetrică,
pozitiv definită P (relaţia 4.58), iar apoi legile de adaptare pentru parametrii variabili ai
regulatorului (relaţia 4.59).
é 1 æ a m 1 + bm ö
÷
+
ê × çç
2 è bm
a m ÷ø
ê
P=
ê
1
ê
2 × bm
ë

ù
1
ú
2 × bm
ú = é p11
1 æ
1 öú ê p
× çç1 + ÷÷ú ë 12
2 × a m è bm øû

ì ·
æ p × q (t ) + p × q ·(t ) ö × q (t )
k
(
t
)
=
g
ç 12 e
÷ pr
1
1
22
e
ï
è
ø
ï
·
·
ï
æ
ö
ík 2 (t ) = -g 2 ç p12 × q e (t ) + p22 × q e (t ) ÷ × q (t )
è
ø
ï
·
·
ï
æ
ö ·
ïk 3 (t ) = -g 3 ç p12 × q e (t ) + p22 × q e (t ) ÷ × q (t )
è
ø
î

p12 ù é1.5 0.5ù
=
p 22 úû êë0.5 0.5úû

(4.58)

(4.59)

81

Se observă că relaţiile 4.59 sunt simetrice cu relaţiile 4.27 obţinute în cazul reglării
adaptive a pendulului inversat. În figura 4.28 este prezentată a doua variantă de schemă de
reglare adaptivă cu model etalon local robustă a unei componente dintr-un lanţ cinematic al
unui robot, folosind teoria de stabilitate Lyapunov. Adaptarea se realizează aplicând la intrare
acelaşi tip de semnal de referinţă ca şi în cazul primei variante de reglare adaptivă.

Fig. 4.28. Schema de reglare adaptivă local robustă a manipulatorului
Evoluţia în timp a semnalelor de ieşire din modelul etalon şi din procesul condus,
respectiv eroarea de adaptare sunt prezentate în figura 4.29. Se evidenţiază o adaptare a
semnalului g(t) cu scopul anulării erorii de adaptare.

Fig. 4.29. Referinţa şi răspunsurile modelului etalon şi procesului, eroarea de adaptare
Din analiza în timp comparativă a răspunsurilor celor două variante de scheme de
reglare adaptivă, adică schema de reglare cu regulator proporţional fix şi semnal de
compensare a variaţiilor procesului şi schema de reglare cu regulator PD modificat cu
parametrii ajustabili în funcţie de variaţiile procesului, se poate afirma că acestea sunt relativ
asemănătoare. Cele două scheme simulate la acelaşi tip de intrare de referinţă şi folosind
82

acelaşi tip de model etalon reuşesc o compensare, respectiv o adaptare totală a sistemelor de
reglare după aproximativ 100 secunde.
Evoluţia în timp a parametrilor regulatorului (k1, k2, k3) este prezentată în figura 4.30.

Fig. 4.30. Evoluţia parametrilor regulatorului
În continuare se va studia importanţa introducerii inteligenţei artificiale în reglarea
adaptivă a manipulatorului. Acest studiu se va concretiza în proiectarea unui regulator fuzzy
adaptiv cu model etalon (FMRLC).
IV.2.3. Sistem de reglare fuzzy adaptiv
Regulatoarele fuzzy adaptive (sistem de reglare fuzzy cu învăţare cu model etalon)
sunt mult mai uşor de parametrizat, deoarece acestea pot admite multe variante iniţiale care
ulterior vor fi modificate de blocul de adaptare. Atenţie deosebită trebuie totuşi acordată
valorii maxime a comenzii date de regulator care nu trebuie să depăşească valorile permise de
elementul de execuţie.
Schema sistemului de reglare fuzzy adaptiv al manipulatorului (din categoria
sistemelor de reglare fuzzy cu învăţare cu model de referinţă) este prezentată în figura 4.31.

Fig. 4.31. Schema de reglare fuzzy adaptivă
83

Parametrul variabil al sistemul de reglare fuzzy adaptiv cu învăţare cu model etalon
reprezintă după cum s-a mai precizat baza de reguli, aceasta se modifică prin intermediul
funcţiilor de apartenenţă ale ieşirii. [Pas1, Pas2, Mou, Koo]
Se evidenţiază din schemă cele patru blocuri cunoscute deja: procesul, regulatorul
fuzzy, modelul de referinţă, mecanismul de învăţare
Modelul de referinţă din sistemul de reglare fuzzy cu învăţare cu model de referinţă
specifică performanţele dorite pentru sistemul în buclă închisă. Acesta reprezintă un sistem de
ordin doi:

H m (s) =

q m ( s)
1
= 2
q pr ( s ) s + 2 × s + 1

(4.60)

Răspunsul modelului etalon (de referinţă) la o intrare semnal de tip impulsuri
dreptunghiulare, considerat a fi răspunsul dorit şi pentru sistemul în buclă închisă este
prezentat în figura 4.32. Diferenţa între răspunsul acestui sistem şi răspunsul procesului
condus real, adică eroarea de învăţare θe, furnizează o caracterizare a măsurii în care
performanţa dorită este atinsă la un moment dat.

Fig. 4.32. Modelul de referinţă
Regulatorul fuzzy direct este proiectat respectând etapele discutate la subcapitolul
II.2.2, iar la intrare/ieşire au fost adăugate blocuri de scalare / amplificare. Regulatorul fuzzy
este cu dinamică, fuzzy cvasi-PD, şi are două intrări: eroarea de reglare, notată aici cu e şi
variaţia erorii de reglare d; respectiv o ieşire, comanda procesului condus u, adică tensiunea
de alimentare a motorului.
Domeniul şi funcţiile de apartenenţă ataşate celor trei mărimi folosite la regulatorul
fuzzy direct pot fi modificate experimental prin intermediul factorilor de

scalare şi

amplificare: ge reprezintă factorul de scalare al erorii de reglare e, gd reprezintă factorul de
scalare al variaţiei erorii d, iar gu este factorul de scalare al comenzii u.
Mărimilor de intrare şi ieşire din regulator au fost ataşaţi câte cinci termeni lingvistici:
NB negativ mare, NS negativ mică, Z zero, PS pozitiv mică, PB pozitiv mare.
84

Baza de reguli a regulatorului fuzzy direct este identică cu cea a modelului fuzzy
invers din blocul de adaptare / învăţare şi este prezentată tabelar în figura 4.33. Pentru
mecanismul de inferenţă (activarea şi luarea deciziilor în interiorul regulatorului) este folosit
raţionamentul Mamdani, iar defuzzificarea se face prin metoda centrului de greutate (CoG),
ca şi în cazul aplicaţiei de echilibrare a pendulului inversat.

Fig. 4.33. Baza de reguli a regulatorului fuzzy direct şi a modelului fuzzy invers
În continuare va fi prezentat mecanismul de învăţare (adaptare) compus din: modelul
fuzzy invers şi modificatorul bazei de reguli.
Modelul fuzzy invers conţine pentru efectuarea testelor experimentale factori de
scalare / amplificare pe intrările şi ieşirile acestuia: gθe reprezintă factorul de scalare al erorii
de adaptare θe, gθd reprezintă factorul de scalare al variaţiei erorii de adaptare θd, iar gp este
factorul de scalare al ieşirii din modelul invers (semnalul de corecţie) p.

Fig. 4.34. Structura modelului fuzzy invers, mulţimile de bază
Baza de reguli fuzzy este cea din figura 4.33 de la regulatorul fuzzy direct. Astfel,
pentru toate cele trei variabile ale modelului fuzzy invers se folosesc 5 funcţii de apartenenţă
triunghiulare simetrice uniform distribuite pe domeniul variabilelor în cauză. Conform acestor
85

funcţii de apartenenţă rezultă un total de 25 de reguli. Inferenţa este realizată şi aici cu
raţionamentul Mamdani şi defuzzificarea prin metoda centrului de greutate (CoG).
După ce au fost efectuate mai multe teste şi respectând procedura de scalare de la
secţiunea III.2.1 din conţinutul acestui referat au fost alese următoarele valori pentru scalarea
intrărilor şi ieşirilor din regulatorul fuzzy direct şi din modelul fuzzy invers: ge=1, gd=1.1,
gu=10, gθe=1, gθd=0.5, gp=2.
În plus, în modelul fuzzy invers pentru o eroare de adaptare foarte mică se foloseşte
strategia de oprire a adaptării parametrilor regulatorului fuzzy direct. Strategia este introdusă
prin relaţia 3.9, considerându-se o eroare maximă admisă ep=0.001ּgp.
Modificarea bazei de reguli se realizează prin adaptarea funcţiilor de apartenenţă ale
ieşirii regulatorului, funcţiile variabilelor de intrare fiind lăsate constante, în cele două etape
discutate la secţiunea teoretică (subcapitolul III.2.1) de proiectare a modificatorului bazei de
reguli.
Pentru sistemul studiat, având în vedere structura funcţiilor de apartenenţă ale
regulatorului fuzzy (Fig. 4.34), pot fi active la un moment dat maxim patru reguli, ceea ce
indică faptul că vom avea de adaptat conform ecuaţiei (3.12) cel mult patru reguli. Această
observaţie mai confirmă încă o dată că modificările realizate în baza de reguli sunt modificări
locale.
Definirea regulatorului fuzzy direct, a modelului fuzzy invers şi a modificatorului bazei
de reguli a fost realizată de către autor folosind funcţii proprii create în mediul Matlab. Aceste
programe de descriere a celor trei componente folosite la simularea sistemului din figura 4.31
în mediul Simulink sunt asemănătoare cu cele de la aplicaţia pendulului inversat. Singurele
modificări sunt legate de factorii de scalare / amplificare precizaţi în paragrafele anterioare.
În figura 4.35 sunt prezentate evoluţia în timp a comenzii, a ieşirii din proces (poziţia
unghiulară) şi referinţa, respectiv evoluţia erorii de adaptare dintre ieşirea din proces şi
modelul etalon, când la intrare se aplică impulsuri dreptunghiulare cu o amplitudine unitară.

Fig. 4.35. Evoluţia comenzii, ieşirii şi factorului de adaptare (semnalul de corecţie)
Din analiza evoluţiei comenzii se evidenţiază un caracter puternic pe panta de creştere
sau descreştere a ieşirii, iar din analiza erorii de adaptare se observă îndeplinirea
86

performanţelor impuse sistemului încă din primele secunde. Aceste performanţe sunt clar
superioare schemelor de reglare adaptivă clasice (convenţionale) datorită erorii de adaptare
mult mai mici .
În figura 4.36 este prezentată evoluţia factorului de adaptare şi a ieşirii din proces în
comparaţie cu ieşirea din model, respectiv viteza unghiulară a manipulatorului. Se observă o
adaptare (învăţarea) a regulatorului fuzzy direct pe o perioadă foarte scurtă de câteva secunde.
În acest timp se modifică centrele funcţiilor de apartenenţă ale mărimii de ieşire din
regulatorul fuzzy direct.

Fig. 4.36. Factorul de adaptare, poziţia şi viteza unghiulară
Capacitatea de învăţare şi de adaptare la situaţii diferite se poate remarca şi dacă la
intrare este aplicat un semnal cu impulsuri dreptunghiulare cu amplitudine mai mare (între 0
şi 2). Figura 4.37 prezintă evoluţia în timp a comenzii, ieşirii şi factorului de adaptare.

Fig. 4.37. Evoluţia comenzii, ieşirii şi factorului de adaptare (semnalul de corecţie)
Din analiza celor trei tipuri de sisteme de reglare adaptivă este evidentă superioritatea
tehnicilor de conducere inteligente adaptive (FMRLC). Aceste sisteme pot compensa prezenţa
eventualele variaţii lente ale parametrilor procesului în comparaţie cu dinamica acestuia prin
capacitatea suplimentară de a învăţa din evenimente desfăşurate deja, în plus ele nu necesită o
liniarizare a procesului condus în cazul în care acesta este neliniar.
Evident un robot serial are o construcţie serială ceea ce presupune interinfluenţe între
forţele şi momentele diferitelor componente ale lanţului cinematic. Controlul întregului robot
impune folosirea mai multor regulatoare clasice, adaptive sau inteligente. Un control eficient
şi cu performanţe bune se poate realiza de exemplu dacă pentru fiecare componentă a
87

robotului serial este realizat câte un regulator. În figura 4.38 este prezentată o posibilă schemă
de reglare fuzzy adaptivă a unui robot serial cu două componente (braţ robotic cu două grade
de libertate date de umăr şi cot). [Mou, Bro]

Fig. 4.38. Reglarea adaptivă a unui braţ robotic

88

V. Concluzii

În general, conducerea proceselor industriale complexe ridică probleme specifice
deosebite care fac în multe cazuri imposibilă folosirea teoriei clasice pentru conducerea
proceselor. Printre caracteristicile nedorite sunt:
-

parametrii variabili sau necunoscuţi ai sistemelor;

-

valoare variabilă a timpului mort (întârziere pură);

-

comportare neliniară a procesului condus;

-

prezenţa perturbaţiilor aleatoare;

-

propagarea perturbaţiilor în instalaţii.
Majoritatea metodelor şi tehnicilor de proiectare clasică a sistemelor automate se

bazează pe modelarea procesului condus, ceea ce impune cunoaşterea structurii şi
parametrilor acestuia. De fapt performanţele sistemului rezultat şi proiectarea regulatorului
depind de exactitatea informaţiilor despre proces.
Astfel, aceste sisteme necesită o strategie de conducere adaptabilă proceselor
variabile, adică o informaţie apriorică mai redusă şi modificarea parametrilor în timpul
funcţionării utilizând informaţiile funcţionale ale întregului sistem.
Încă din anii ΄50 în literatura de specialitate s-a cunoscut o preocupare în dezvoltarea
unor tehnici cât mai bune de reglare ce pot să aducă noutăţi în conducerea automată a
proceselor. Introducerea sistemelor inteligente, pe lângă sistemele adaptive, reprezintă una din
direcţiile noi şi moderne ce sunt încă studiate în centrele de cercetare.
Deşi fiecare din cele două strategii de reglare, văzute separat, conducerea adaptivă
convenţională şi conducere fuzzy inteligentă au adus un plus în automatica industrială, acestea
şi-au dovedit şi ele limitele. Spre exemplu sistemele de reglare inteligente fuzzy, deşi utile în
multe aplicaţii de control automat unde teoria clasică nu face faţă, au şi ele problemele lor de
proiectare şi funcţionare, mai ales în alegerea mulţimilor fuzzy, funcţiilor de apartenenţă şi a
bazei de reguli. Aceste necunoscute ale regulatoarelor fuzzy depind de expertul uman şi de
modul în care acesta prelucrează lingvistic informaţiile despre proces.
Reactualizarea parametrilor regulatorului fuzzy în timpul funcţionării aduce o creştere
a performanţelor sistemului şi rezultă o tehnică de control combinată fuzzy adaptivă. Acest tip
de regulator posedă avantaje moştenite atât de la sistemele inteligente fuzzy, cât şi de la
sisteme adaptive.
89

Sistemele adaptive, indiferent de categoria din care fac parte, pot să realizeze câteva
sarcini tipice cum ar fi:
-

acordarea automată a regulatoarelor la punerea în funcţiune a schemelor de reglare
automată (şi îmbunătăţirea performanţelor);

-

determinarea automată a parametrilor optimali ai regulatoarelor automate pentru
diferite puncte de funcţionare a procesului;

-

menţinerea performanţelor sistemului de comandă şi reglarea automată atunci când
parametrii de structură ai procesului se modifică;

-

posibilitatea realizării unor regulatoare mai complexe şi mai performante decât cele
PID;

-

detectarea unor evoluţii anormale ale parametrilor proceselor (aceste variaţii se
reflectă în valorile parametrilor furnizate de algoritmul de proiectare).
Introducerea sistemelor adaptive şi inteligente este legată atât de factorul tehnic cât şi

de rentabilitatea economică. Evaluarea rentabilităţii se face ţinând cont de: ameliorarea
calităţii produselor, creşterea producţiei, economie de energie, reducerea timpilor de oprire
pentru întreţinere, detectarea rapidă a unor regimuri anormale de funcţionare etc.
Există o serie de studii de aplicabilitate industrială a controlului adaptiv. Printre
procesele unde au fost introduse sistem adaptive sunt: amestecarea materiilor prime, mori de
măcinare a cimentului, laminoare, coloane de distilare, reactoare chimice, sisteme energetice,
sisteme de poziţionare, maşini de fabricat hârtie, controlul pH-ului, piloţi automaţi pentru
aeronave şi vapoare, maşini-unelte, schimbătoare de căldură, sisteme de încălzire şi de
ventilare, fabricarea sticlei.
Lucrarea de faţă şi-a propus prezentarea unei tehnici combinate de control fuzzy
adaptiv şi performanţele superioare oferite de aceasta. Pentru a înţelege mai bine specificul
tehnicilor avansate de control au fost abordate:
-

sistemele adaptive cu model de referinţă cu adaptarea parametrilor regulatorului pe
baza regulii gradientului descendent (MIT) şi pe baza teoriei Lyapunov pentru
stabilitatea sistemelor;

-

sistemele inteligente ce au la bază teoria logicii fuzzy;

-

sistemele fuzzy adaptive cu model etalon (sau de referinţă) prin proiectarea unui
regulator fuzzy cu învăţare cu model de referinţă;

-

două aplicaţii de control automat: reglarea şi echilibrarea pendulului inversat,
respectiv reglarea locală a unei componente decuplate dintr-un lanţ cinematic.

90

Programele şi aplicaţiile realizate oferă un exemplu al modului în care se pot
implementa conceptele care intervin în realizarea unui sistem adaptiv, fuzzy, fuzzy adaptiv. În
concluzie, această lucrare prezintă etapele şi modul de proiectare a unei metode de control
inteligentă şi adaptivă bazată pe regulatoare fuzzy.

91

Bibliografie

[Ali]

Aliev, R., Aliew, F., Bonfig, D., Messen, steuern, regeln mit fuzzy logik, Franzis
Verlag, 1994, Munchen.

[And]

Andonie, R., Caţaron, A., Inteligenţă artificială, Univ. “Transilvania”, 2000,
Braşov.

[Ant]

Antsaklis, P.J., Passino, K.M., An introduction to intelligent and autonomous
control, Kluwer Academic Publishers, 1992.

[Ast1]

Astrom, K.J., Wittenmark, B., Adaptive control (1st edition), Addison Wesley,
1989.

[Ast2]

Astrom, K.J., Wittenmark, B., Adaptive control (2nd edition), Addison Wesley,
1995.

[Ast3]

Astrom, K.J., Theory and applications of adaptive control, IFAC Kyoto, 1981,
Japan.

[Ast4]

Astrom, K.J., Wittenmark, B., Computer controlled systems. Theory and design,
Pretince Hall, 1990, New York.

[Bro]

Brown, S.C., Passino, K.M., Intelligent control for an acrobot, The Ohio State
University, 1997, Ohio.

[Căl]

Călin, S., Conducerea adaptivă şi flexibilă a proceselor industriale, Ed. Tehnică,
1988, Bucureşti.

[Dam1]

Damen, A., Weiland, S., Robust control, Eindhoven University of Technology,
2001, Netherland.

[Dam2]

Damen, A., Modern control theory, Eindhoven University of Technology, 2002,
Netherland.

[Dri]

Driankov, D., Hellendoorn, H., Reinfrank, M., An introduction to fuzzy control,
Springer Verlag, Heidelberg, 1993, New York.

[Dum]

Dumitrache, I., Tehnica reglării automate, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1980,
Bucureşti.

[Dav1]

David, L., Marton, L., Reţele neuronale şi logica fuzzy în automatizări, Ed.
Universităţii “Petru Maior”, 2000, Târgu Mureş.

[Dav2]

David, L., Control inteligent şi adaptiv. Notiţe de curs, Universitatea “Petru
Maior”, 2004, Târgu Mureş.

92

[Duk]

Duka, A., Studiul reglării sistemului cu pendul inversat. Modelare şi simulare,
Lucrare de dizertaţie, Universitatea “Petru Maior”, 2005, Târgu Mureş.

[Dul]

Dulău, M., Oltean, S., Modelare şi simulare. Lucrări de laborator, Ed. Universităţii
“Petru Maior”, 2003, Târgu Mureş.

[Gee]

Geering, H.P., Robuste regelung, Institut für Mess- und Regeltechnik,
Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, 1999, Schweiz.

[Ghi]

Ghinea, M., Fireţeanu, V., Matlab. Calcul numeric. Grafică şi aplicaţii, Ed. Teora,
1997, Bucureşti.

[Iou]

Ioannou, P., Robust adaptive control, University of Southern California, 2003, Los
Angeles.

[Ise]

Isermann, R., Lachmann, K.H., Adaptive control systems, Pretince Hall, 1992.

[Jag]

Jager, R., Fuzzy logic in control, Phd. thesys, 1995, Amsterdam.

[Jan]

Jantzen, J., Verbruggen, H., Ostergaard, J.J., Fuzzy control in the process industry,
1998.

[Kis]

Kiss, P., Logica fuzzy şi aplicaţii în tehnică, Referat nr. 1 de doctorat, Universitatea
"Politehnica" Timişoara, 1997, Timişoara.

[Koo]

Koo, J.T.K., Design of stable adaptive fuzzy control, Master Thesis, Univ. of Hong
Kong, 1994, Hong Kong.

[Lay]

Layne, J.R., Passino, K.M., Fuzzy Model Reference Learning Control for Cargo
Ship Steering, IEEE, 1993.

[Lyu]

Lyung, L., System identification, Pretince Hall, 1987.

[Mou]

Moudgal, V.G., Kwong, W.A., Passino, K.M., Yurkovich, S., Fuzzy learning
control for a flexible-link robot, IEEE Transactions on Fuzzy Systems, vol. 3, no.2,
may 1995.

[Naş]

Naşcu, I., Control adaptiv, Ed. Mediamira, 2002, Cluj Napoca.

[Olt1]

Oltean, S., Sistem de dozare automată prin comandă fuzzy cu microcontrolerul
80C552, Proiect de diplomă, Universitatea “Petru Maior”, 2002, Târgu Mureş.

[Olt2]

Oltean, S., Gligor, A., Grif, H., Fuzzy logic approach for reactive power control,
Inter-Ing 2003, Universitatea “Petru Maior” Târgu Mureş.

[Pas1]

Passino, K.M., Yurkovich, S., Fuzzy control, Addison Wesley Longman, Inc.,
1998, California.

[Pas2]

Passino, K.M., Intelligent control. An overview of techniques, The Ohio State
University, 1998, Ohio.

[Pre1]

Precup, R.E., Preitl, Ş., Fuzzy controllers, Ed. Orizonturi Universitare, 1999,
Timişoara.
93

[Pre2]

Preitl, Ş., Precup, R.E., Introducere în conducerea fuzzy a proceselor, Ed. Tehnică,
1997, Bucureşti.

[Sas]

Sastry, S., Bodson, M., Adaptive control. Stability, convergence, and robustness,
Pretince Hall, 1989, New Jersey.

[Sch]

Scherer, C., Theory of robust control, Delft University of Technology, 2001,
Netherland.

[Sha]

Shafai, E., Einfuhrung in die adaptive regelung, Institut für Mess- und
Regeltechnik, Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, 2003, Schweiz.

[Sti]

Stimac, A.K., Standup and stabilization of the inverted pendulum, Massachusetts
Institute of Technology, 1999.

[Tog]

Togneri, R., Adaptive systems, Electrical and Electronic Engineering, The
University of Western Australia, 2002.

[Wil1]

Wilson, D.I., Adaptive control. Course notes, Electrical Engineering Karlstad
University, 2001.

[Wil2]

Wilson, J.R., Nonlinear system theory, The Johns Hopkins University Press, 1981.

[Zad]

Zadeh, L.A., Fuzzy sets, Information and control 8:338-353, 1965.

[Zăr1]

Zărnescu, H., Ingineria reglării automate II. Proiectarea sistemelor convenţionale
şi avansate de reglare automată, Ed. Univ. “Petru Maior”, 1999, Târgu Mureş.

[Zăr2]

Zărnescu, H., Dulău, M., Morar, P., Gligor, A., Brassai, T., Ingineria reglării
automate. Îndrumător de laborator, Ed. Univ. “Petru Maior”, 1998, Târgu Mureş.

[ww1]

www.fuzzytech.com.

[ww2]

www.netlab.lmcc.fju.edu.tw.

[ww3]

www.elsevier.com.

[ww4]

www.ctrl.cinvestav.mx.

[ww5]

www.ee.uwa.edu.au.

[ww6]

www.rdg.ac.uk.

[ww7]

www.ee.kau.se.

[ww8]

www.control.lth.se.

[ww9]

www.engr.uky.edu.

[ww10]

www.ece.utah.edu.

[ww11]

www.mathworks.com.

[ww12]

www.engin.umich.edu.

[***1]

Using Simulink, The Mathworks Inc., 1998.

[***2]

Matlab, The Mathworks Inc., 1998.

[***3]

Control Tutorials for Matlab – Inverted Pendulum Modelling.
94

Anexe

Anexa 1. Schema neliniară a pendulului inversat

Anexa 2. Descrierea regulatorului fuzzy

% - definirea regulatorului fuzzy folosind fuzzy logic toolbox
% Regulatorul rezultat se foloseste in modelul simulink pentru blocul FLC
reg=newfis('regulatorul');
% amplificari de scalare
g1 = pi/32;
g2 = pi/10;
g0 = 120;
% definirea functiilor de apartenenta pentru intrarile in regulator
% eroarea e = r-y
reg=addvar(reg,'input','eroarea',g1*[-1 1]);
reg=addmf(reg,'input',1,'NB','zmf',g1*[-1 -0.5]);
reg=addmf(reg,'input',1,'NS','trimf',g1*[-1 -0.5 0]);
reg=addmf(reg,'input',1,'Z','trimf',g1*[-0.5 0 0.5]);

95

reg=addmf(reg,'input',1,'PS','trimf',g1*[0 0.5 1]);
reg=addmf(reg,'input',1,'PB','smf',g1*[0.5 1]);
% variatia erorii de/dt
reg=addvar(reg,'input','variatia erorii',g2*[-1 1]);
reg=addmf(reg,'input',2,'NB','zmf',g2*[-1 -0.5]);
reg=addmf(reg,'input',2,'NS','trimf',g2*[-1 -0.5 0]);
reg=addmf(reg,'input',2,'Z','trimf',g2*[-0.5 0 0.5]);
reg=addmf(reg,'input',2,'PS','trimf',g2*[0 0.5 1]);
reg=addmf(reg,'input',2,'PB','smf',g2*[0.5 1]);
% definirea functiilor de apartenenta pentru iesirea din regulator
% forta F (cda pt proces)
reg=addvar(reg,'output','forta',g0*[-1 1]);
reg=addmf(reg,'output',1,'NB','trimf',g0*[-1 -2/3 -1/3]);
reg=addmf(reg,'output',1,'NS','trimf',g0*[-2/3 -1/3 0]);
reg=addmf(reg,'output',1,'Z','trimf',g0*[-1/3 0 1/3]);
reg=addmf(reg,'output',1,'PS','trimf',g0*[0 1/3 2/3]);
reg=addmf(reg,'output',1,'PB','trimf',g0*[1/3 2/3 1]);
% definirea
ruleList=[1
2
3
4
5

bazei
1 5 1
1 5 1
1 5 1
1 4 1
1 3 1

de
1;
1;
1;
1;
1;

reguli pentru regulatorul
1 2 5 1 1; 1 3 5 1 1; 1 4
2 2 5 1 1; 2 3 4 1 1; 2 4
3 2 4 1 1; 3 3 3 1 1; 3 4
4 2 3 1 1; 4 3 2 1 1; 4 4
5 2 2 1 1; 5 3 1 1 1; 5 4

fuzzy
4 1 1;
3 1 1;
2 1 1;
1 1 1;
1 1 1;

1
2
3
4
5

5
5
5
5
5

3
2
1
1
1

1
1
1
1
1

1;
1;
1;
1;
1];

reg=addrule(reg,ruleList);

Anexa 3. Lista figurilor din lucrare
Fig. 2.1. Structura generală a unui sistem adaptiv cu model de referinţă (direct)
Fig. 2.2. Structura generală a unui sistem adaptiv cu autoacordare (indirect)
Fig. 2.3. Adaptarea factorului de amplificare prin regula MIT şi Lyapunov
Fig. 2.4. Răspunsurile procesului condus şi modelului etalon
Fig. 2.5. Îmbunătăţirea vitezei de adaptare prin creşterea factorului γ
Fig. 2.6. Răspunsurile modelului etalon şi procesului condus, respectiv evoluţia în timp a
parametrului ajustabil θ, pentru un factor de adaptare prea mare.
Fig. 2.7. Schema de reglare adaptivă pentru sistem de ordin I
Fig. 2.8. Adaptarea factorului de amplificare k şi a constantei de timp T
Fig. 2.9. Răspunsurile procesului condus şi modelului etalon
Fig. 2.10. Răspunsurile procesului condus şi modelului etalon pentru γ>10
Fig. 2.11. Exemple de funcţii de apartenenţă
Fig. 2.12. Exemplificarea grafică a operatorilor min, max, comp
Fig. 2.13. Descrierea vagă a temperaturii
Fig. 2.14. Structura informaţională a unui regulator fuzzy
Fig. 2.15. Exemple de mulţimi de bază pentru variabile lingvistice
96

Fig. 2.16. Matricea cu baza de reguli
Fig. 2.17. Mecanismul de decizie, inferenţa max-min (Mamdani)
Fig.2.18. Defuzzificare prin metoda centrului de greutate (center of gravity) CoG
Fig. 2.19. Alte tehnici de defuzzificare
Fig. 2.20. Regulator fuzzy după stare
Fig. 2.21. Regulatoare fuzzy cvasi-PID
Fig. 2.22. Mulţimile variabilelor lingvistice şi baza de reguli
Fig. 2.23. Schema de simulare a sistemului de reglare
Fig. 2.24. Evoluţia erorii, comenzii şi ieşirii procesului în timp
Fig. 3.1. Tipuri de strategii de reglare
Fig. 3.2. Regulatoare fuzzy cvasi-PID cu structură variabilă
Fig. 3.3. Regulatoare fuzzy cvasi-PID cu parametrii variabili
Fig. 3.4. Sistem de reglare fuzzy adaptiv
Fig.3.5. Sistem de reglare fuzzy adaptiv direct cu model de referinţă
Fig. 3.6. Sistem de reglare fuzzy cu învăţare cu model etalon (FMRLC)
Fig. 4.1. Ansamblul cărucior-pendul (pendulul inversat)
Fig. 4.2. Răspunsul sistemului la o intrare treaptă
Fig. 4.3. Sistem de conducere adaptivă a pendulului inversat
Fig. 4.4. Evoluţia în timp a ieşirilor din modelul etalon şi din proces
Fig. 4.5. Sistem de conducere adaptivă a pendulului inversat
Fig. 4.6. Evoluţia în timp a ieşirilor din modelul etalon şi din proces
Fig. 4.7. Evoluţia parametrilor ajustabili şi comanda regulatorului
Fig. 4.8. Evoluţia erorii, comenzii şi ieşirii pentru echilibrarea pendulului
Fig.4.9. Schema de reglare fuzzy a pendulului inversat
Fig. 4.10. Baza de reguli
Fig. 4.11. Mulţimile variabilelor lingvistice
Fig. 4.12. Evoluţia erorii, comenzii şi ieşirii pentru reglarea fuzzy
Fig. 4.13. Evoluţia erorii, comenzii şi ieşirii pentru echilibrarea pendulului
Fig. 4.14. Schema de reglare fuzzy adaptivă
Fig. 4.15. Structura modelului fuzzy invers, mulţimile de bază
Fig. 4.16. Evoluţia comenzii, ieşirii şi factorului de adaptare (semnalul de corecţie)
Fig. 4.17. Evoluţia comenzii, ieşirii şi factorului de adaptare (semnalul de corecţie)
Fig. 4.18. Echilibrarea pendulului (restabilirea stării de echilibru)
Fig. 4.19. Robot cu mişcare în plan orizontal cu două grade de libertate
Fig. 4.20. Schema de funcţionare a unui servomotor de curent continuu
97

Fig. 4.21. Schema funcţională a manipulatorului de ordin doi
Fig. 4.22. Răspunsul manipulatorului de ordin doi şi trei la o intrare treaptă
Fig. 4.23. Scheme de reglare adaptivă cu model etalon
Fig. 4.24. Schema de reglare adaptivă prin compensare
Fig. 4.25. Schema de reglare adaptivă local robustă a manipulatorului
Fig. 4.26. Referinţa şi răspunsurile modelului etalon şi procesului
Fig. 4.27. Evoluţia componentelor semnalului de compensare g(t)
Fig. 4.28. Schema de reglare adaptivă local robustă a manipulatorului
Fig. 4.29. Referinţa şi răspunsurile modelului etalon şi procesului, eroarea de adaptare
Fig. 4.30. Evoluţia parametrilor regulatorului
Fig. 4.31. Schema de reglare fuzzy adaptivă
Fig. 4.32. Modelul de referinţă
Fig. 4.33. Baza de reguli a regulatorului fuzzy direct şi a modelului fuzzy invers
Fig. 4.34. Structura modelului fuzzy invers, mulţimile de bază
Fig. 4.35. Evoluţia comenzii, ieşirii şi factorului de adaptare (semnalul de corecţie)
Fig. 4.36. Factorul de adaptare, poziţia şi viteza unghiulară
Fig. 4.37. Evoluţia comenzii, ieşirii şi factorului de adaptare (semnalul de corecţie)
Fig. 4.38. Reglarea adaptivă a unui braţ robotic

98