Duration
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Duration
Professor: Marcelo Cambria
Yield to Maturity
Reflete o rendimento (yield) efetivo dos títulos de
Renda Fixa até o seu vencimento (maturity)
C1
C2
C3
Cn + Pn
P0 =
+
+
+... +
2
3
n
1+YTM (1+YTM ) (1+YTM )
(1+YTM )
P0 = preço corrente de mercado do título;
C1,..., Cn= fluxos de caixa (cupons de rendimento) prometidos para cada período;
Pn = preço nominal (valor de face) do título;
YTM = yield to maturity, ou seja, taxa de juros que, ao descontar o fluxo de
caixa, apura um valor presente igual ao preço corrente de mercado do título
Assaf – Cap. 10
Yield to Maturity
Exemplo
Admita um título com prazo de vencimento de 3 anos e que paga cupom
semestral proporcional a 9% a.a.. O valor nominal do título é de R$ 1000,00 ,
sendo negociado ao mercado com deságio de 3,5%.
Pede-se determinar o Yield to maturity (YTM) do título:
Solução:
Cupom (juro) semestral pago: 9%a.a. / 2 semestres = 4,5% a.s.
Valor de Negociação (P0) = R$ 1.000 - 3,5% = R$ 965
Prazo: 3 anos = 6 semestres
45
45
45
45
45
1.045
965 =
+
+
+
+
+
2
3
4
5
1+YTM (1+YTM ) (1+YTM ) (1+ YTM ) (1+ YTM ) (1+YTM ) 6
YTM = 5,19% a.s. ou 10,38%a.a. (proporcional) ou 10,65% a.a. (equivalente)
Assaf – Cap. 10
Current Yield
Demonstra a rentabilidade periódica de um título
em relação ao seu preço corrente de mercado
Current Yield (CY ) =
Assaf – Cap. 10
Juros Periódico (Cupom)
Preço de Mercado do Título
Current Yield
Exemplo
Admita uma obrigação com maturidade de 8 anos que paga cupom de 10%a.a.,
com rendimentos semestrais proporcionais. O bônus está sendo negociado no
mercado pelo preços de $ 1.089, sendo o seu valor de face R$ 1.000
Determinar a Yield to Maturity (YTM) e a Current Yield (CY) do título:
Solução:
Cupom (juro) semestral pago: 10%a.a. / 2 semestres = 5% a.s.
Prazo: 8 anos = 16 semestres
1.089 =
50
50
50 +1.000
+
+
.
.
.
+
16
1+ YTM (1+ YTM ) 2
(1+ YTM )
YTM = 4,22% a.s. ou 8,63% a.a. (equivalente)
C 0,10 *1.000 100
CY =
=
=
= 0,0918ou 9,18%a.a.
P0
1.089
1.089
Assaf – Cap. 10
Duration - Conceito
A Duration é uma medida de sensibilidade
de um título que considera, em seus
cálculos,
todos
os
pagamentos
intermediários. Pode ser entendida como o
prazo médio dos rendimentos esperados
ponderado pelo valor de mercado do título
(valor presente dos fluxos de rendimentos).
De outra forma: tempo médio ponderado
em que se espera receber os rendimentos e
o principal aplicado em título de renda fixa.
Assaf – Cap. 10
Duration
C1=50
C2=50
C3=50
C4=50
C5=50
C6=50 P6=1.000
P0=1.000
Para acharmos o prazo de duração do título precisaríamos
utilizar o seguinte cálculo:
t
t
j =1
j =1
∑VBFj = ∑ PV j ∗ (1 + YTM )
n
1.300 = 1.000 * (1 + 0,05)
n
1,05n = 1,30
Log1,30
n=
= 5,38semestres
Log1,05
Assaf – Cap. 10
Duration
C1=50
C2=50
C3=50
C4=50
C5=50
C6=50 P6=1.000
P0=1.000
Pela Ponderação de Macaulay (1938) achamos “quase” o mesmo prazo
(1)
(2)
(3)
(4)=(3) / Principal
(5)=(4)*(1)
Data
Rendimentos
Valor Presente
Taxa de 5% a.s. (YTM)
Participação em relação
ao principal
Ponderação
1
$ 50
$ 50 / (1,05)1=47,6190
47,6190 / 1.000 = 0,047619
0,047619*1=0,047619
2
$ 50
$ 50 / (1,05)2=45,3515
45,3515 / 1.000=0,045351
0,045351*2=0,090702
3
$ 50
$ 50 / (1,05)3=43,1919
43,1919 / 1.000=0,043192
0,043192*3=0,129576
4
$ 50
$ 50 / (1,05)4=41,1351
41,1351 / 1.000=0,041135
0,041135*4=0,164540
5
$ 50
$ 50 / (1,05)5=39,1763
39,1763 / 1.000=0,039176
0,039176*5=0,195880
6
$ 1.050
$ 1.050 / (1,05)6=783,5262
783,5262 / 1.000=0,783526
0,783526*6=4,70116
Total
$ 1.300
Assaf – Cap. 10
Duração Efetiva:
5,33 semestres
Duration
A Duration de Macaulay pode ser expressa:
Ct ∗ (t )
∑
t
(
1
+
YTM
)
Duration = t =1
Po
n
P0 = preço corrente de mercado do título
Ct = valor do pagamento do título (principal e rendimentos) em cada momento t
(t) = tempo decorrido até a data do pagamento
YTM = yield to maturity
n = maturidade total do título
Assaf – Cap. 10
Duration
C1=50
C2=50
P0=1.000
C3=50
C4=50
C5=50
C6=50 P6=1.000
Ct ∗ (t)
∑ (1+ YTM )
Duration = t=1
Po
n
50 ∗1 50 ∗ 2 50 ∗ 3 50 ∗ 4 50 ∗ 5 (1.000 + 50) ∗ 6
+
+
+
+
+
1
2
3
4
5
(1, 05)6
(1, 05) (1, 05) (1, 05) (1, 05) (1, 05)
D=
= 5, 33
1.000
A duration equivale ao tempo médio que um investidor tarda em
receber seus fluxos de caixa (capital aplicado e rendimentos). Quanto
maior for a duration, mais exposto se apresenta o título diante de
mudanças das taxas de juros.
Assaf – Cap. 10
Duration
Exemplo
Admita três títulos de dívida de mesmo valor nominal de R$ 1.000 e que paga 10%
a.a. Os títulos têm a mesma maturidade de três anos, porém as condições de
pagamento variam:
•Título A - Negociado com deságio pelo PU de R$ 751,3148;
•Título B - O principal é pago ao final de três anos e os juros anualmente;
•Título C - É amortizado em três parcelas iguais de R$ 402,11 cada uma.
Pede-se calcular a duration de cada título.
Solução do Título A:
PU = Valor Presente = R$ 751,3148
VF = VP∗ (1+YTM )n
Valor Nominal = R$ 1.000
1.000 = 751, 3148* (1,1)n
n = 3anos
YTM = 10%a.a.
É um título Zero Coupon Bond.
Assaf – Cap. 10
Duration
Exemplo
Admita três títulos de dívida de mesmo valor nominal de R$ 1.000 e que paga 10%
a.a. Os títulos têm a mesma maturidade de três anos, porém as condições de
pagamento variam:
•Título A - Negociado com deságio pelo PU de R$ 751,3148;
•Título B - O principal é pago ao final de três anos e os juros anualmente;
•Título C - É amortizado em três parcelas iguais de R$ 402,11 cada uma.
Pede-se calcular a duration de cada título.
Solução do Título B:
C1=100
C2=100
C3=100 P3=1.000
PU = R$ 1.000
VF = R$ 1.000
YTM = 10%a.a.
n=3
Assaf – Cap. 10
P0=1.000
100 ∗1
100 ∗ 2 (1.000 +100) ∗3
+
+
1
2
(1+ 0,1) (1+ 0,1)
(1+ 0,1)3
D=
= 2, 736anos
1.000
Duration
Exemplo
Admita três títulos de dívida de mesmo valor nominal de R$ 1.000 e que paga 10%
a.a. Os títulos têm a mesma maturidade de três anos, porém as condições de
pagamento variam:
•Título A - Negociado com deságio pelo PU de R$ 751,3148;
•Título B - O principal é pago ao final de três anos e os juros anualmente;
•Título C - É amortizado em três parcelas iguais de R$ 402,11 cada uma.
Pede-se calcular a duration de cada título.
Solução do Título C:
C1=402,11
C2=402,11
C3=402,11
PU = R$ 1.000
PMT = R$ 402,11
P0=1.000
YTM = 10%a.a.
n=3
Assaf – Cap. 10
402,11∗1 402,11∗ 2 402,11∗ 3
+
+
1
2
(1+ 0,1)
(1+ 0,1)
(1+ 0,1)3
D=
= 1, 937anos
1.000
Modified Duration
As modificações no preço de um título diante de
variações nas taxas de juros podem ser
determinadas por meio de uma modificação na
Duration de Macaulay
D
MD =
1+YTM
MD = Modified Duration
D = Duration de Macaulay
YTM = yield to maturity, ou seja, taxa de juros que, ao descontar o fluxo de
caixa, apura um valor presente igual ao preço corrente de mercado do título
Assaf – Cap. 10
Modified Duration
Exemplo
O título de renda fixa A tem duration de Macaulay de 0,8 ano e as taxas de juros
praticadas no mercado estão em 12% a.a.
O título de renda fixa B tem duration de Macaulay 1,1 anos e as taxas de juros
praticadas no mercado estão em 16% a.a.
Qual a nova duração de cada título?
Solução:
A duration de Macaulay mostra que, mesmo com uma maior taxa de retorno
para o Título B, este ainda apresenta maior prazo médio de duração. Por este
motivo, o título B tem maior sensibilidade às variações na taxa de juros.
0,8
1,1
MDA =
= 0, 71anos MDB =
= 0, 95anos
1,12
1,16
Assaf – Cap. 10
Professor: Marcelo Cambria
Yield to Maturity
Reflete o rendimento (yield) efetivo dos títulos de
Renda Fixa até o seu vencimento (maturity)
C1
C2
C3
Cn + Pn
P0 =
+
+
+... +
2
3
n
1+YTM (1+YTM ) (1+YTM )
(1+YTM )
P0 = preço corrente de mercado do título;
C1,..., Cn= fluxos de caixa (cupons de rendimento) prometidos para cada período;
Pn = preço nominal (valor de face) do título;
YTM = yield to maturity, ou seja, taxa de juros que, ao descontar o fluxo de
caixa, apura um valor presente igual ao preço corrente de mercado do título
Assaf – Cap. 10
Yield to Maturity
Exemplo
Admita um título com prazo de vencimento de 3 anos e que paga cupom
semestral proporcional a 9% a.a.. O valor nominal do título é de R$ 1000,00 ,
sendo negociado ao mercado com deságio de 3,5%.
Pede-se determinar o Yield to maturity (YTM) do título:
Solução:
Cupom (juro) semestral pago: 9%a.a. / 2 semestres = 4,5% a.s.
Valor de Negociação (P0) = R$ 1.000 - 3,5% = R$ 965
Prazo: 3 anos = 6 semestres
45
45
45
45
45
1.045
965 =
+
+
+
+
+
2
3
4
5
1+YTM (1+YTM ) (1+YTM ) (1+ YTM ) (1+ YTM ) (1+YTM ) 6
YTM = 5,19% a.s. ou 10,38%a.a. (proporcional) ou 10,65% a.a. (equivalente)
Assaf – Cap. 10
Current Yield
Demonstra a rentabilidade periódica de um título
em relação ao seu preço corrente de mercado
Current Yield (CY ) =
Assaf – Cap. 10
Juros Periódico (Cupom)
Preço de Mercado do Título
Current Yield
Exemplo
Admita uma obrigação com maturidade de 8 anos que paga cupom de 10%a.a.,
com rendimentos semestrais proporcionais. O bônus está sendo negociado no
mercado pelo preços de $ 1.089, sendo o seu valor de face R$ 1.000
Determinar a Yield to Maturity (YTM) e a Current Yield (CY) do título:
Solução:
Cupom (juro) semestral pago: 10%a.a. / 2 semestres = 5% a.s.
Prazo: 8 anos = 16 semestres
1.089 =
50
50
50 +1.000
+
+
.
.
.
+
16
1+ YTM (1+ YTM ) 2
(1+ YTM )
YTM = 4,22% a.s. ou 8,63% a.a. (equivalente)
C 0,10 *1.000 100
CY =
=
=
= 0,0918ou 9,18%a.a.
P0
1.089
1.089
Assaf – Cap. 10
Duration - Conceito
A Duration é uma medida de sensibilidade
de um título que considera, em seus
cálculos,
todos
os
pagamentos
intermediários. Pode ser entendida como o
prazo médio dos rendimentos esperados
ponderado pelo valor de mercado do título
(valor presente dos fluxos de rendimentos).
De outra forma: tempo médio ponderado
em que se espera receber os rendimentos e
o principal aplicado em título de renda fixa.
Assaf – Cap. 10
Duration
C1=50
C2=50
C3=50
C4=50
C5=50
C6=50 P6=1.000
P0=1.000
Para acharmos o prazo de duração do título precisaríamos
utilizar o seguinte cálculo:
t
t
j =1
j =1
∑VBFj = ∑ PV j ∗ (1 + YTM )
n
1.300 = 1.000 * (1 + 0,05)
n
1,05n = 1,30
Log1,30
n=
= 5,38semestres
Log1,05
Assaf – Cap. 10
Duration
C1=50
C2=50
C3=50
C4=50
C5=50
C6=50 P6=1.000
P0=1.000
Pela Ponderação de Macaulay (1938) achamos “quase” o mesmo prazo
(1)
(2)
(3)
(4)=(3) / Principal
(5)=(4)*(1)
Data
Rendimentos
Valor Presente
Taxa de 5% a.s. (YTM)
Participação em relação
ao principal
Ponderação
1
$ 50
$ 50 / (1,05)1=47,6190
47,6190 / 1.000 = 0,047619
0,047619*1=0,047619
2
$ 50
$ 50 / (1,05)2=45,3515
45,3515 / 1.000=0,045351
0,045351*2=0,090702
3
$ 50
$ 50 / (1,05)3=43,1919
43,1919 / 1.000=0,043192
0,043192*3=0,129576
4
$ 50
$ 50 / (1,05)4=41,1351
41,1351 / 1.000=0,041135
0,041135*4=0,164540
5
$ 50
$ 50 / (1,05)5=39,1763
39,1763 / 1.000=0,039176
0,039176*5=0,195880
6
$ 1.050
$ 1.050 / (1,05)6=783,5262
783,5262 / 1.000=0,783526
0,783526*6=4,70116
Total
$ 1.300
Assaf – Cap. 10
Duração Efetiva:
5,33 semestres
Duration
A Duration de Macaulay pode ser expressa:
Ct ∗ (t )
∑
t
(
1
+
YTM
)
Duration = t =1
Po
n
P0 = preço corrente de mercado do título
Ct = valor do pagamento do título (principal e rendimentos) em cada momento t
(t) = tempo decorrido até a data do pagamento
YTM = yield to maturity
n = maturidade total do título
Assaf – Cap. 10
Duration
C1=50
C2=50
P0=1.000
C3=50
C4=50
C5=50
C6=50 P6=1.000
Ct ∗ (t)
∑ (1+ YTM )
Duration = t=1
Po
n
50 ∗1 50 ∗ 2 50 ∗ 3 50 ∗ 4 50 ∗ 5 (1.000 + 50) ∗ 6
+
+
+
+
+
1
2
3
4
5
(1, 05)6
(1, 05) (1, 05) (1, 05) (1, 05) (1, 05)
D=
= 5, 33
1.000
A duration equivale ao tempo médio que um investidor tarda em
receber seus fluxos de caixa (capital aplicado e rendimentos). Quanto
maior for a duration, mais exposto se apresenta o título diante de
mudanças das taxas de juros.
Assaf – Cap. 10
Duration
Exemplo
Admita três títulos de dívida de mesmo valor nominal de R$ 1.000 e que paga 10%
a.a. Os títulos têm a mesma maturidade de três anos, porém as condições de
pagamento variam:
•Título A - Negociado com deságio pelo PU de R$ 751,3148;
•Título B - O principal é pago ao final de três anos e os juros anualmente;
•Título C - É amortizado em três parcelas iguais de R$ 402,11 cada uma.
Pede-se calcular a duration de cada título.
Solução do Título A:
PU = Valor Presente = R$ 751,3148
VF = VP∗ (1+YTM )n
Valor Nominal = R$ 1.000
1.000 = 751, 3148* (1,1)n
n = 3anos
YTM = 10%a.a.
É um título Zero Coupon Bond.
Assaf – Cap. 10
Duration
Exemplo
Admita três títulos de dívida de mesmo valor nominal de R$ 1.000 e que paga 10%
a.a. Os títulos têm a mesma maturidade de três anos, porém as condições de
pagamento variam:
•Título A - Negociado com deságio pelo PU de R$ 751,3148;
•Título B - O principal é pago ao final de três anos e os juros anualmente;
•Título C - É amortizado em três parcelas iguais de R$ 402,11 cada uma.
Pede-se calcular a duration de cada título.
Solução do Título B:
C1=100
C2=100
C3=100 P3=1.000
PU = R$ 1.000
VF = R$ 1.000
YTM = 10%a.a.
n=3
Assaf – Cap. 10
P0=1.000
100 ∗1
100 ∗ 2 (1.000 +100) ∗3
+
+
1
2
(1+ 0,1) (1+ 0,1)
(1+ 0,1)3
D=
= 2, 736anos
1.000
Duration
Exemplo
Admita três títulos de dívida de mesmo valor nominal de R$ 1.000 e que paga 10%
a.a. Os títulos têm a mesma maturidade de três anos, porém as condições de
pagamento variam:
•Título A - Negociado com deságio pelo PU de R$ 751,3148;
•Título B - O principal é pago ao final de três anos e os juros anualmente;
•Título C - É amortizado em três parcelas iguais de R$ 402,11 cada uma.
Pede-se calcular a duration de cada título.
Solução do Título C:
C1=402,11
C2=402,11
C3=402,11
PU = R$ 1.000
PMT = R$ 402,11
P0=1.000
YTM = 10%a.a.
n=3
Assaf – Cap. 10
402,11∗1 402,11∗ 2 402,11∗ 3
+
+
1
2
(1+ 0,1)
(1+ 0,1)
(1+ 0,1)3
D=
= 1, 937anos
1.000
Modified Duration
As modificações no preço de um título diante de
variações nas taxas de juros podem ser
determinadas por meio de uma modificação na
Duration de Macaulay
D
MD =
1+YTM
MD = Modified Duration
D = Duration de Macaulay
YTM = yield to maturity, ou seja, taxa de juros que, ao descontar o fluxo de
caixa, apura um valor presente igual ao preço corrente de mercado do título
Assaf – Cap. 10
Modified Duration
Exemplo
O título de renda fixa A tem duration de Macaulay de 0,8 ano e as taxas de juros
praticadas no mercado estão em 12% a.a.
O título de renda fixa B tem duration de Macaulay 1,1 anos e as taxas de juros
praticadas no mercado estão em 16% a.a.
Qual a nova duração de cada título?
Solução:
A duration de Macaulay mostra que, mesmo com uma maior taxa de retorno
para o Título B, este ainda apresenta maior prazo médio de duração. Por este
motivo, o título B tem maior sensibilidade às variações na taxa de juros.
0,8
1,1
MDA =
= 0, 71anos MDB =
= 0, 95anos
1,12
1,16
Assaf – Cap. 10
