E.D.- Vernon

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TRABAJO DE ECUACIONES DIFERENCIALES DOC. “EL LEGADO
HISTÓRICO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.
CONSIDERACIONES (AUTOCRÍTICAS)” Autor: JUAN E. NÁPOLES VALDÉS

PRESENTADO POR:
VERNON GUSTAVO BARRIOS CAMPO

PRESENTADO A:
JOSE MARRUGO

PROGRAMA:
TECNOLOGÍA EN CONTROL DE CALIDAD IV SEMESTRE

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA TECNOLÓGICO COMFENALCO
TECNOLOGÍA EN CONTROL DE CALIDAD
FACULTAD DE INGENIERÍA
CARTAGENA D. T. Y C.
2014

CONCECIONES PROPIAS BASADAS EN EL DOCUMENTO SOBRE EL
LEGADO HISTORICO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y
ASEVERACIONES SOBRE DIVERSAS APLICACIONES
INTERDISCIPLINARIAS.

Según lo que el documento facilitado por el instructor nos indica, podemos
aseverar que las ecuaciones diferenciales sirven como modelo matemático para el
estudio de problemas que surgen en disciplinas muy diversas. Desde sus
comienzos han contribuido de manera muy notable a solucionar muchas
cuestiones e interpretar numerosos fenómenos de la naturaleza. Su origen
histórico es inseparable de sus aplicaciones a las ciencias físicas, químicas e
ingeniería, ya que para resolver muchos problemas significativos se requiere la
determinación de una función que debe satisfacer una ecuación en la que aparece
su derivada.
Como una breve síntesis histórica podemos inferir que las Ecuaciones
Diferenciales se originan en el estudio de problemas dinámicos. En este sentido
Arquímedes (287 – 212 aC) puede considerarse un precursor por su formulación
de los principios de la palanca, de la polea y del empuje que recibe un cuerpo
sumergido en un líquido y también Copérnico (1473 – 1543), a través de su teoría
acerca del movimiento de la Tierra y otros planetas en órbitas circulares alrededor
del Sol. De

acuerdo con Haaser et al (1990)1, el estudio de las ecuaciones

diferenciales comenzó con Newton (1642 – 1727) y Leibniz (1646 – 1716) a fines
del siglo XXVII.
En esta época los problemas se abordaban de manera geométrica. Para Leibniz el
cálculo trataba de sucesiones de valores infinitamente próximos, concibiendo el
continuo geométrico como un conjunto de segmentos infinitesimales, en tanto que
para Newton involucraba cantidades que variaban con el tiempo.
Durante el siglo XVIII el trabajo consistía en resolver ecuaciones particulares
específicas. Estos primeros descubrimientos sugirieron que las soluciones de
todas las ecuaciones diferenciales originadas en problemas geométricos y físicos
podrían expresarse por medio de funciones elementales. Hasta la llegada de

1

HAASER, N. et al. (1990): p. 590.

Liouville (1809 – 1882) los matemáticos no dejaron de buscar un método de
resolución que fuera aplicable a todo tipo de ecuaciones diferenciales.
A lo largo de buena parte del siglo XIX los trabajos se orientaron hacia la
búsqueda de soluciones en serie y hacia la cuestión de la existencia y unicidad de
las soluciones. Se desarrollan paralelamente los métodos numéricos para la
resolución aproximada, con el antecedente del método de Euler (1840). Si bien los
primeros métodos numéricos datan de fines del siglo XIX, el desarrollo del análisis
numérico sólo fue posible a partir de 1950, con la aparición de las primeras
computadoras, que permitieron la puesta a prueba de los algoritmos construidos.
A fines del siglo XIX el desarrollo de la mecánica no lineal puso de manifiesto la
necesidad de contar con métodos de tratamiento de las ecuaciones diferenciales
no lineales. En 1892 se publicaron sendos trabajos relativos a la mecánica no
lineal, el primero de Liapunov, traducido del ruso al francés en 1907 como
“Problème general de la stabilité du mouvement”2 y el primer volumen de “Les
méthods nouvelles de la mécanique céleste”, de Poincaré, y presentaron los
fundamentos de la llamada teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales. La
teoría3 se basa en el hecho de que es posible visualizar el desplazamiento de un
punto, por ejemplo, en el plano, a partir de una posición inicial, siguiendo una
trayectoria tal que para cada valor de t e y, la pendiente de su recta tangente en el
punto (t,y) está dada por la expresión de la derivada y’ = f (t,y). Estas trayectorias
se denominan líneas de flujo. La forma que adoptan estas curvas, particularmente
en la vecindad de ciertos puntos denominados críticos, brinda información
fundamental acerca del comportamiento y la evolución temporal de los sistemas
modelados por estas ecuaciones. El conjunto de trayectorias se denomina
diagrama de fases.
La relación entre la matemática fundamental y las ciencias de la naturaleza
singularmente, la física constituye uno de los principales puntos de controversia
entre quienes han pretendido esclarecer en profundidad el funcionamiento del

universo. El curso histórico de los acontecimientos acaecidos en esas disciplinas,
sin embargo, muestra un paralelismo que no puede dejar de sorprender a
cualquier observador imparcial. No solo ocurre que numerosos progresos
matemáticos encuentran una aplicación práctica completamente ajena a las
intenciones de sus autores, sino que también en los fenómenos naturaleza suelen
encontrarse de modo intrigante las fuentes de inspiración para hallazgos
matemáticos cuyas repercusiones alcanzan campos de la matemática sumamente
abstractos y alejados de toda experiencia. Argumentar que es la mente humana la
que crea un formato abstracto donde encapsular el material bruto de la
experiencia resulta menos convincente cuando constatamos que un cierto
formalismo encuentra perfecto acomodo donde jamás se esperó de él que pudiese
hacerlo.
Un magnífico ejemplo histórico de semejante situación lo hallamos en el devenir
histórico que conduce desde la invención del concepto de derivada, dentro del
marco del cálculo infinitesimal, hasta el nacimiento del más amplio concepto de las
funciones generalizadas y sus aplicaciones en el mundo de la física teórica.
En ambos casos el desarrollo meramente abstracto corrió parejo a las
motivaciones de orden práctico que confluyeron en dos de los hallazgos cardinales
de la matemática moderna. Si bien la historia del nacimiento del análisis
matemático como tal ha sido tratada con notable amplitud, dada su crucial
trascendencia para casi cualquier aspecto del pensamiento científico y filosófico,
no ha ocurrido lo mismo con el surgimiento de la teoría de distribuciones,
entendido a su vez como un progreso más que hace retroceder las fronteras que
limitan la no menos importante idea de función.
Las ecuaciones diferenciales aparecen en casi todas las áreas de la Ingeniería
Civil, desde la Resistencia de Materiales hasta la Hidráulica. Pero también tienen
como finalidad básica servir como instrumento para el estudio del cambio en el
mundo físico; por todo esto se exponen aplicaciones tales como la del problema
de la braquistócrona, las leyes de Kepler, el oscilador armónico, la teoría del

potencial, las ecuaciones depredador-presa, la mecánica no lineal, el principio de
Hamilton o el problema mecánico de Abel…, pues el tratamiento matemático de
estos problemas es un gran logro para nuestra civilización.
La razón de esta gran cantidad de aplicaciones se debe a que la derivada se
puede interpretar como el índice de cambio de una variable respecto de la otra, y
las variables que explican los fenómenos se relacionan entre sí por sus índices de
cambio. Al expresar estas relaciones mediante símbolos matemáticos se obtiene
una gran cantidad de ecuaciones diferenciales.
Es interesante detenerse en algunas aplicaciones, pues como dice Simmons 2.
“…que tratan sobre este tema (ecuaciones diferenciales) me hacen pensar en un
autobús turístico cuyo conductor conduce a gran velocidad para cumplir sus
horarios, y sus pasajeros tienen pocas o ninguna oportunidad para gozar del
paisaje. Es mejor que lleguemos algunas veces con retraso; pero que obtengamos
un mayor provecho del viaje”. Por ello es necesario programar cuidadosamente el
viaje; para detenerse t gozar de los mejores paisajes de las ecuaciones
diferenciales, aunque procurando llegar sin retraso.
Para captar la naturaleza y el interés de las ecuaciones diferenciales y desarrollar
métodos para resolver problemas científicos y técnicos no es conveniente
construir una estructura matemática lógicamente impecable, y si se tiene presente
además los niveles de rigor comentados por Freudenthal es preciso alcanzar
exactamente el nivel de rigor adecuado, sin pasarse ni quedarse cortos, y en
algunas ocasiones, presentar argumentos razonablemente convincentes, aunque
puedan no ser auténticas demostraciones para los docentes de matemáticas. La
historia proporciona la génesis de los conceptos, y ya se sabe que muchos
grandes matemáticos cometieron, con la óptica actual, graves errores, pero que
sin embargo aportan noticia de la dificultad que pueden tener esos conceptos
cuando son aprendidos por primera vez.

2

Simmons, F. (1988): Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas. McGraw-Hill.

Las leyes científicas, que por supuesto están basadas en experimentos u
observaciones, se traducen en ecuaciones matemáticas. En cada caso las
ecuaciones diferenciales representan una simplificación idealizada del problema
físico con el que nos encontramos, llamándose esta idealización Modelo
Matemático.
Las Ecuaciones Diferenciales tienen una importancia fundamental en las
matemáticas y sobre todo en la ingeniería debido a que muchos problemas se
presentan a través de leyes y relaciones físicas matemáticamente por este tipo de
ecuaciones.
Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que
presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas,
biológicas y sociales. A partir de la formulación matemática de situaciones físicas,
biológicas o sociales se describen procesos reales aproximados. Dentro de los
diversos campos de acción de la ingeniería industrial,

una de las múltiples

aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con matemáticas
financieras.
A modo de conclusión se puede afirmar entonces que el desarrollo histórico
evidencia la existencia de tres modos de resolución de ecuaciones diferenciales.
Las consideraciones precedentes exhiben la fuerte presencia de los métodos
algebraicos a lo largo de la historia, que tiene su correlato en la preponderancia
hasta nuestros días del enfoque algebraico en la enseñanza universitaria.

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