(x, x)
B(x, r) – mult ¸imea {y ∈ X; y −x < r}
0
Ω – interiorul mult ¸imii Ω
Ω – ˆınchiderea mult ¸imii Ω
∂Ω – frontiera mult ¸imii Ω
C(Ω) – spat ¸iul funct ¸iilor continue pe Ω
C
k
(Ω) – spat ¸iul funct ¸iilor continuu diferent ¸iabile
pe Ω pˆ an˘ a la ordinul k inclusiv
supp ϕ – suportul funct ¸iei ϕ : IR
n
→ IR, definit prin
supp ϕ = {x : x ∈ IR
n
, ϕ(x) = 0}
C
∞
0
(Ω) – spat ¸iul funct ¸iilor infinit diferent ¸iabile pe Ω
(sau D(Ω)) cu suportul compact ˆın Ω
u
t
=
∂u
∂t
– derivata part ¸ial˘ a a funct ¸iei u ˆın raport cu
variabila t
∇u=
∂u
∂x
1
,
· · ·
,
∂u
∂x
n
– gradientul funct ¸iei u : Ω ⊂ IR
n
→ IR
∆ =
n
i=1
∂
2
∂x
2
i
– operatorul lui Laplace (laplaceanul)
L
p
(Ω) – mult ¸imea {u : Ω → IR, m˘asurabil˘ a,
Ω
u
p
dx < ∞}, 1 ≤ p < ∞
H
k
(Ω) – spat ¸iul Sobolev {u ∈ L
2
(Ω); D
α
u ∈ L
2
(Ω), |α| ≤ k}
H
k
0
(Ω) – ˆınchiderea lui C
∞
0
(Ω) ˆın H
k
(Ω)
u
X
– norma elementului u ˆın spat ¸iul X
L
2
(0, T; X) – spat ¸iul funct ¸iilor m˘ asurabile u : [0, T] → X
cu norma u(t)
X
de p˘ atrat integrabil
∀ – cuantificator universal (oricare ar fi, pentru orice)
:= – a := b ˆınseamn˘a c˘a prin definit ¸ie a este egal cu b
– sfˆar¸sit de demonstrat ¸ie
Istoric ix
Scurt istoric privind dezvoltarea ecuat ¸iilor diferent ¸iale
¸si a ecuat ¸iilor cu derivate part ¸iale
Multe probleme semnificative de fizic˘a, chimie, inginerie cer ˆın formularea lor mate-
matic˘a determinarea unei funct ¸ii care, ˆımpreun˘ a cu derivatele sale, satisface o relat ¸ie
dat˘a. Astfel de relat ¸ii se numesc ecuat ¸ii diferent ¸iale. Pentru studierea ecuat ¸iilor di-
ferent ¸iale este necesar˘a o clasificare a acestora. Clasificarea uzual˘a este cea legat˘a de
num˘ arul variabilelor independente de care depinde funct ¸ia necunoscut˘a. Dac˘a funct ¸ia
necunoscut˘a depinde de o singur˘ a variabil˘ a independent˘ a spunem, c˘a avem de-a face
cu o ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a ordinar˘ a.
ˆ
In cazul ˆın care funct ¸ia necunoscut˘a depinde de mai multe variabile independente
¸si ˆın relat ¸ia respectiv˘a apar ¸si derivatele part ¸iale ale funct ¸iei necunoscute, relat ¸ia se
nume¸ste ecuat ¸ie cu derivate part ¸iale.
ˆ
In mod curent, ˆın locul denumirii de ecuat ¸ie
diferent ¸ial˘a ordinar˘ a se folose¸ste cea de ecuat ¸ie diferent ¸ial˘a.
Denumirea de ecuat ¸ie diferent ¸ial˘a a fost folosit˘ a prima dat˘ a de G.W. Leibniz
(1646–1716) ˆın 1676 ˆıntr-o accept ¸iune apropiat˘ a de cea de azi. Dezvoltarea ecua-
t ¸iilor diferent ¸iale a fost ˆın strˆ ans˘a leg˘atur˘ a cu dezvoltarea integralei. Au fost iden-
tificate clase de ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin cuadraturi (integr˘ ari). Printre
matematicienii care au adus contribut ¸ii remarcabile la dezvoltarea ecuat ¸iilor dife-
rent ¸iale se num˘ar˘a Isac Newton (1642–1727), precum ¸si membrii celebrei familii (de
matematicieni) Bernoulli ˆıntre care remarc˘am pe Jakob Bernoulli (1654–1705), Jo-
hann Bernoulli (1667–1748) ¸si Daniel Bernoulli (1700–1782). Urmeaz˘ a J. Riccati
(1776–1754), L. Euler (1707–1783), J. Lagrange (1736–1813). Secolul al XIX-lea este
caracterizat de cercet˘ari ˆın problema existent ¸ei, unicit˘at ¸ii ¸si comport˘arii solut ¸iilor unei
ecuat ¸ii diferent ¸iale.
A. Cauchy (1789–1857), R. Lipschitz (1832–1903) ¸si G. Peano (1858–1932) au
impus metoda liniilor poligonale (utilizat˘ a anterior ¸si de Euler) ca metod˘ a eficient˘a
de demonstrare a existent ¸ei locale a solut ¸iei unei ecuat ¸ii diferent ¸iale cu condit ¸ii init ¸iale.
Primele cercet˘ari asupra ecuat ¸iilor diferent ¸iale au vizat existent ¸a solut ¸iilor (eventual
determinarea explicit˘ a a acestora atunci cˆand acest lucru este posibil) sau aproximarea
acestora.
ˆ
In partea a doua a secolului al XIX-lea s-au pus bazele teoriei moderne a stabilit˘ at ¸ii
prin lucr˘ arile matematicianului rus A.M. Liapunov (1857–1918) care, ˆın teza sa de
doctorat sust ¸inut˘ a ˆın 1892, a definit principalele concepte de stabilitate.
Contribut ¸ii anterioare ˆın aceast˘a direct ¸ie au avut H. Poincar´e (1854–1912) ¸si J.C.
Maxwell (1831–1879) ˆın studiul stabilit˘ at ¸ii mi¸sc˘arii corpurilor cere¸sti.
Cam acestea sunt elementele care sunt cuprinse ˆın teoria clasic˘a a ecuat ¸iilor di-
ferent ¸iale. Secolul al XX-lea a ˆınsemnat un salt calitativ ˆın abordarea ecuat ¸iilor di-
ferent ¸iale prin introducerea unor metode noi precum cea a gradului topologic, teoria
bifurcat ¸iei etc. De asemenea, s-a extins studiul ecuat ¸iilor diferent ¸iale la spat ¸ii infinit
dimensionale unde s-au obt ¸inut rezultate notabile.
Cercetˆand problema coardei vibrante, J.E. D’Alembert (1717–1753) a obt ¸inut ˆın
1747 prima ecuat ¸ie cu derivate part ¸iale. Ulterior, L. Euler a l˘ argit clasa ecuat ¸iilor
cu derivate part ¸iale ¸si a introdus not ¸iunea de unicitate a solut ¸iei unei ecuat ¸ii. Marii
matematicieni ai vremii, ˆıntre care D. Bernoulli, J. Lagrange, P. Laplace (1749–1827)
x Istoric
¸si alt ¸ii, au fost preocupat ¸i de acest domeniu al matematicii care ˆıncepea s˘a prind˘ a
contur.
J. d’Alembert, L. Euler ¸si D. Bernoulli au fost primii care, pornind de la cˆ ateva
probleme concrete, au avut ideea c˘aut˘ arii solut ¸iei unei ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale
sub forma unei serii trigonometrice. Aceast˘a idee a fost luat˘ a ¸si perfect ¸ionat˘ a de J.
Fourier (1758–1830), care a folosit-o pentru rezolvarea ecuat ¸iei propag˘ arii c˘aldurii.
S-a conturat o ramur˘ a nou˘ a a analizei matematice: teoria seriilor Fourier.
Un alt moment important ˆın dezvoltarea ecuat ¸iilor cu derivate part ¸iale ˆıl consti-
tuie observarea de c˘atre P. Laplace (1749–1827) a faptului c˘ a potent ¸ialul interact ¸iunii
dintre dou˘ a mase satisface o relat ¸ie cunoscut˘a azi sub numele de ecuat ¸ia lui Laplace.
S-a constatat c˘a fenomene de aceea¸si natur˘ a au loc ˆın electrostatic˘a ¸si teoria mag-
netismului. Acest fapt a dus la crearea de c˘atre G. Green (1793–1841), K.F. Gauss
(1777–1855) ¸si S.D. Poisson (1781–1840) a teoriei potent ¸ialului. Secolul al XIX-lea a
fost marcat de descoperiri fundamentale ˆın domeniul analizei matematice prin rezul-
tate datorate lui A. Cauchy ¸si mai tˆarziu lui K. Weierstrass (1815–1897).
Aceste rezultate ¸si-au pus amprenta ¸si asupra ecuat ¸iilor diferent ¸iale ¸si cu derivate
part ¸iale. A fost fundamentat˘ a teoria solut ¸iilor analitice de c˘atre A. Cauchy ¸si S.
Kovalevsky (1850–1891). Lucr˘ arile lui V. Volterra (1860–1940) ¸si I. Fredholm (1866–
1927) au dus la crearea teoriei ecuat ¸iilor integrale care a facilitat demonstrarea exis-
tent ¸ei solut ¸iilor pentru probleme la limit˘ a ˆın special ˆın teoria potent ¸ialului.
ˆ
In 1904, D. Hilbert (1862–1943) a deschis cˆ ampul solut ¸iilor slabe pentru ecuat ¸ii cu
derivate part ¸iale construind aceste solut ¸ii pentru problema Dirichlet ca minimizant ¸i
ai integralei Dirichlet asociate. Evident c˘ a aceste solut ¸ii nu sunt solut ¸ii clasice pentru
problema Dirichlet.
ˆ
In aceast˘a lucrare, Hilbert a formulat un program de extindere a
conceptului de solut ¸ie care s˘a includ˘ a problemele variat ¸ionale ce nu au solut ¸ii clasice.
Progresele realizate la mijlocul secolului al XX-lea de analiza funct ¸ional˘ a ¸si teoria
distribut ¸iilor au condus la noi metode de investigare a ecuat ¸iilor cu derivate part ¸iale.
Rezultate notabile au fost obt ¸inute de J. Schauder (1899–1943), S. Sobolev (1908–
1980), L. Schwartz, J. Leray.
ˆ
In ultimul timp un impact deosebit ˆın studiul ecuat ¸iilor diferent ¸iale ¸si cu derivate
part ¸iale ˆıl are tehnica de calcul din ce ˆın ce mai performant˘ a care ofer˘a rezultate
de aproximare a solut ¸iilor, foarte bune din punct de vedere practic.
ˆ
In acest fel,
cercet˘arile teoretice de existent ¸˘a, comportare ˆın raport cu datele etc. sunt completate
de rezultate numerice foarte utile.
Capitolul 1
Capitol introductiv
Studiul fenomenelor naturii i-a condus pe oamenii de ¸stiint ¸˘a la crearea unor
modele matematice care s˘a cuprind˘ a ˆıntr-o formulare abstract˘ a principalele
caracteristici ale acestora. Pentru fenomenele evolutive cel mai potrivit model
s-a dovedit acela dat sub forma unei ecuat ¸ii (sau sistem de ecuat ¸ii) diferent ¸iale.
ˆ
Intr-o formulare aproximativ˘ a prin ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a se ˆınt ¸elege o ecuat ¸ie
ˆın care necunoscuta este o funct ¸ie de una sau mai multe variabile care apare
(ˆın ecuat ¸ie) al˘aturi de derivatele sale pˆ an˘ a la un anumit ordin. Ordinul maxim
al acestor derivate se nume¸ste ordinul ecuat ¸iei. Studiul ecuat ¸iilor diferent ¸iale
ˆıntr-o manier˘ a sistematic˘a beneficiaz˘a de o clasificare a acestora. Cea mai
uzual˘ a clasificare este cea dat˘a de num˘ arul de variabile independente de care
depinde funct ¸ia necunoscut˘a.
ˆ
In cazul ˆın care funct ¸ia necunoscut˘a depinde de
mai multe variabile independente, iar ˆın ecuat ¸ie apar efectiv derivatele funct ¸iei
ˆın raport cu aceste variabile, ecuat ¸ia se nume¸ste cu derivate part ¸iale. Dac˘a
ˆıns˘ a funct ¸ia necunoscut˘a depinde de o singur˘ a variabil˘ a, ecuat ¸ia se nume¸ste
ordinar˘ a. Probabil cel mai cunoscut model de ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a ordinar˘ a
este cel dat de legea lui Newton
(0.1) mx
(t) = F(t, x(t), x
(t))
care exprim˘a legea de mi¸scare a unui punct material de mas˘a m asupra c˘ aruia
act ¸ioneaz˘a o fort ¸˘a F.
ˆ
In relat ¸ia de mai sus x(t), x
(t)) ¸si x
(t) reprezint˘ a
pozit ¸ia, viteza ¸si respectiv accelerat ¸ia punctului material la momentul t.
Dac˘a, de exemplu, F este fort ¸a de gravitat ¸ie, atunci relat ¸ia (0.1) se scrie
sub forma
(0.2) mx
= −mg
2 Capitol introductiv
care, prin integrare, conduce la
x(t) = −
1
2
gt
2
+ C
1
t + C
2
,
C
1
¸si C
2
fiind constante oarecare.
A¸sadar, problema determin˘ arii legii de mi¸scare a unui punct material sub
act ¸iunea unei fort ¸e (care depinde de pozit ¸ia ¸si viteza punctului material) revine
la aflarea unei funct ¸ii care verific˘a o ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a de ordinul al doilea
de forma
(0.3) x
(t) = f(t, x(t), x
(t)).
Forma general˘ a a unei ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordinul n este
(0.4) F(t, x(t), x
(t), ..., x
(n)
t) = 0.
ˆ
In anumite condit ¸ii, ecuat ¸ia (0.4) se poate scrie sub forma echivalent˘a
(0.5) x
(n)
= f(t, x, x
, ..., x
(n−1)
)
numit˘ a ¸si forma normal˘ a. Preciz˘am c˘a pentru simplificarea expunerii, atunci
cˆand nu este pericol de confuzie, se renunt ¸˘a la scrierea argumentului funct ¸iei
necunoscute.
Prin solut ¸ie a ecuat ¸iei diferent ¸iale ordinare (5) pe intervalul (a, b) ⊂ IR
ˆınt ¸elegem o funct ¸ie x(·) pentru care exist˘ a derivatele x
, x
, ..., x
(n)
¸si verific˘a
relat ¸ia (0.5) pe (a, b), adic˘ a
x
(n)
(t) = f(t, x(t), ..., x
(n−1)
(t)), ∀t ∈ (a, b).
Mult ¸imea solut ¸iilor unei ecuat ¸ii diferent ¸iale se nume¸ste solut ¸ie general˘ a.
Pentru a individualiza una dintre solut ¸ii
,
sunt necesare informat ¸ii supli-
mentare despre aceasta. Aceast˘a problem˘ a legat˘a de condit ¸iile care asigur˘a
existent ¸a ¸si unicitatea solut ¸iei unei ecuat ¸ii diferent ¸iale ordinare a fost studiat˘ a
pentru prima dat˘ a de matematicianul francez Augustin Cauchy (1789–1857)
la ˆınceputul secolului al XIX-lea. Odat˘ a stabilit un rezultat de existent ¸˘a ¸si
unicitate pentru o ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a, r˘ amˆane problema determin˘ arii efective
a solut ¸iei. S-a demonstrat c˘a de cele mai multe ori acest lucru este imposibil –
clasa ecuat ¸iilor diferent ¸iale rezolvabile prin cuadraturi (integr˘ ari) fiind foarte
restrˆans˘ a. Tehnica de calcul foarte performant˘ a permite aproximarea solut ¸iei
unei ecuat ¸ii diferent ¸iale cu o acuratet ¸e suficient de bun˘ a, diminuˆ and astfel
interesul pentru g˘ asirea solut ¸iei exacte.
Totu¸si, exprimarea solut ¸iei printr-o formul˘ a explicit˘ a r˘ amˆane un fapt inci-
tant ¸si util, motiv pentru care am ¸si introdus un paragraf ce cont ¸ine cˆateva
tipuri de ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin cuadraturi.
Ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin metode elementare 3
1.1 Ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin metode
elementare
ˆ
In acest capitol vom prezenta cˆateva tipuri clasice de ecuat ¸ii diferent ¸iale ale
c˘aror solut ¸ii pot fi determinate prin operat ¸ii de integrare.
Ecuat ¸ii cu variabile separabile
O ecuat ¸ie de forma
(1.1) x
= f(t)g(x)
unde f : ]t
1
, t
2
[ ⊂ IR −→ IR ¸si g : ]x
1
, x
2
[ ⊂ IR −→ IR sunt funct ¸ii continue cu
g(x) = 0 pentru orice x ∈]x
1
, x
2
[ se nume¸ste ecuat ¸ie cu variabile separabile.
Scriind ecuat ¸ia (1.1) sub forma echivalent˘ a
(1.2)
dx
g(x)
= f(t) dt
¸si integrˆ and (1.2) de la t
0
la t (t
0
, t ∈]t
1
, t
2
[) obt ¸inem
x(t)
x(t
0
)
dτ
g(τ)
=
t
t
0
f(s) ds.
Dac˘a not˘ am x(t
0
) = x
0
¸si
G(x) =
x
x
0
dτ
g(τ)
, x ∈]x
1
, x
2
[,
avˆ and ˆın vedere c˘a ipotezele asupra lui g implic˘ a faptul c˘ a G este inversabil˘ a
pe mult ¸imea G(]x
1
, x
2
[) rezult˘ a c˘a solut ¸ia x a ecuat ¸iei (1.1) este dat˘a de
(1.3) x(t) = G
−1
t
t
0
f(s)ds
, t ∈]t
1
, t
2
[.
Observat ¸ie. Este evident c˘a ˆın (1.3) solut ¸ia x(·) este definit˘a pentru valorile
lui t pentru care
t
t
0
f(s)ds se afl˘a ˆın domeniul de definit ¸ie al funct ¸iei G
−1
.
Exemplu. S˘ a se integreze ecuat ¸ia
(e
t
+ 1)
3
e
−t
dx + (e
x
+ 1)
2
e
−x
dt = 0.
4 Capitol introductiv
Solut ¸ie. Este o ecuat ¸ie cu variabile separabile de forma x
=f(t)g(x) unde
f, g : IR −→ IR, f(t) = −e
t
(e
t
+ 1)
3
, g(x) = (e
x
+ 1)
2
e
−x
care se rezolv˘a
obt ¸inˆ andu-se relat ¸ia
2(e
x
+ 1)
−1
+ (e
t
+ 1)
−1
= C
de unde
x(t) = ln
2
C −(e
t
+ 1)
−2
−1
.
Ecuat ¸ii omogene
Ecuat ¸ia
(1.4) x
= h
x
t
se nume¸ste ecuat ¸ie omogen˘ a deoarece funct ¸ia f(t, x) := h
x
t
este omogen˘a
de gradul zero. Dac˘ a presupunem c˘ a h(u) = u pe domeniul s˘ au de definit ¸ie,
atunci, f˘ acˆand substitut ¸ia ut = x, ecuat ¸ia (1.4) devine
u
≡
1
t
[h(u) −u]
adic˘ a o ecuat ¸ie cu variabile separabile care se trateaz˘ a dup˘ a modelul anterior.
Exemplu. S˘ a se rezolve ecuat ¸ia
x
=
t
2
+ x
2
tx
·
Solut ¸ie. Ecuat ¸ia se mai scrie sub forma
x
=
t
x
+
x
t
¸si f˘ acˆand substitut ¸ia ut = x devine
udu =
dt
t
de unde prin integrare g˘ asim
1
2
u
2
−ln |t| =
1
2
C,
apoi, revenind la substitut ¸ia f˘ acut˘a, se obt ¸ine
x
2
= t
2
ln t
2
+ Ct
2
.
Ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin metode elementare 5
Ecuat ¸ii liniare
Ecuat ¸iile liniare sunt de forma
(1.5) x
= a(t)x + b(t)
unde a, b : I ⊂ IR −→IR sunt funct ¸ii continue ¸si reprezint˘a o clas˘a important˘ a
de ecuat ¸ii pentru care solut ¸iile pot fi g˘ asite prin cuadraturi.
Dac˘a b = 0, ecuat ¸ia (1.5) este cu variabile separabile ¸si are solut ¸ia
(1.6) x(t) = Ce
t
t
0
a(τ)dτ
,
unde t
0
, t ∈ I ¸si C = x(t
0
).
Pentru determinarea solut ¸iei ˆın cazul general (b = 0) vom folosi metoda
cunoscut˘ a sub numele de “variat ¸ia constantelor”, ce const˘a ˆın ˆınlocuirea con-
stantei C ˆın (1.6) cu o cantitate variabil˘ a.
ˆ
In cazul nostru, c˘ aut˘ am solut ¸ia ecuat ¸iei (1.5) sub forma
x(t) = ϕ(t)e
t
t
0
a(τ)dτ
de unde rezult˘ a c˘a ϕ este o funct ¸ie derivabil˘ a ¸si avem:
ϕ
(t) = x
(t)e
−
t
t
0
a(τ)dτ
−x(t)a(t)e
−
t
t
0
a(τ)dτ
.
Deoarece am presupus c˘a x este solut ¸ie a ecuat ¸iei (1.5), rezult˘ a
ϕ
(t) = e
−
t
t
0
a(τ)dτ
b(t)
de unde deducem
ϕ(t) = ϕ(t
0
) +
t
t
0
e
−
s
t
0
a(τ)dτ
b(s).
Dar ϕ(t
0
) = x(t
0
) ¸si x(t) = ϕ(t)e
t
t
0
a(τ)dτ
de unde rezult˘ a
(1.7) x(t) = x(t
0
)e
t
t
0
a(τ)dτ
+
t
t
0
b(s)e
t
s
a(τ)dτ
ds.
Exemplu. S˘ a se integreze ecuat ¸ia
x
= −2tx + e
−t
2
.
6 Capitol introductiv
Aceasta este o ecuat ¸ie liniar˘ a cu a(t) = −2t, b(t) = e
−t
2
. Aplicˆ and formula
(1.7) g˘ asim
x(t) = x(t
0
)e
−
t
t
0
2τ dτ
+
t
t
0
e
−s
2
e
−
t
s
2τ dτ
ds
unde t
0
, t ∈ IR, sau
x(t) = e
−t
2
(t + C)
unde C = e
t
2
0
x(t
0
) −t
0
.
Ecuat ¸ii de tip Bernoulli
Ecuat ¸ia
x
= a(t)x + b(t)x
α
,
unde a, b : I ⊂ IR −→ IR sunt funct ¸ii continue, iar α ∈ IR\{0, 1}, se nume¸ste
ecuat ¸ie de tip Bernoulli.
Prin substituirea y = x
1−α
aceast˘a ecuat ¸ie se transform˘a ˆın ecuat ¸ie liniar˘ a
y
(t) = −(α −1)[a(t)y(t) + b(t)].
Dup˘ a rezolvarea acestei ecuat ¸ii se revine la substitut ¸ie ¸si se obt ¸ine solut ¸ia
ecuat ¸iei init ¸iale.
Exemplu. Ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
x
= −
1
t
x +
x
2
t
2
,
x, t = 0
este de tip Bernoulli cu a(t) = −
1
t
,
b(t) =
1
t
2
,
α = 2. Prin substitut ¸ia y = x
−1
obt ¸inem ecuat ¸ia
y
=
1
t
y −
1
t
2
,
care are solut ¸ia general˘a y =
2Ct
2
+ 1
2t
,
C ∈ IR ¸si deci solut ¸ia ecuat ¸iei init ¸iale
este
x =
2t
2Ct
2
+ 1
·
Ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin metode elementare 7
Ecuat ¸ii de tip Riccati
Ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
(1.8) x
= a(t)x
2
+ b(t)x + c(t),
unde a, b, c : I ⊂ IR −→ IR sunt funct ¸ii continue
,
se nume¸ste ecuat ¸ie de tip
Riccati.
Facem ment ¸iunea c˘a ˆın general o astfel de ecuat ¸ie nu poate fi rezolvat˘ a
prin cuadraturi afar˘ a de cazul cˆand, printr-un mijloc oarecare, se cunoa¸ste o
solut ¸ie particular˘ a a sa.
ˆ
Intr-adev˘ ar, dac˘ a ϕ este o solut ¸ie paticular˘ a a ecuat ¸iei (1.8), iar x o solut ¸ie
oarecare a sa, atunci y = x −ϕ satisface ecuat ¸ia Bernoulli (α = 2)
y
= [b(t) + 2a(t)ϕ(t)]y + a(t)y
2
.
Deci, funct ¸ia y poate fi obt ¸inut˘ a cu ajutorul ecuat ¸iei liniare asociate de unde
va rezulta solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei (1.8), x = y + ϕ.
Exemplu. Ecuat ¸ia
x
= −x
2
−
1
t
x +
4
t
2
este de tip Riccati cu a = −1, b = −
1
t
,
c =
4
t
2
¸si are solut ¸ia particular˘ a ϕ =
2
t
·
Substitut ¸ia x = y +
2
t
transform˘ a ecuat ¸ia init ¸ial˘ a ˆıntr-o ecuat ¸ie de tip
Bernoulli
y
= −
5
t
y −y
2
,
care, la rˆ andul s˘ au prin schimbarea de variabile z =
1
y
,
se transform˘aˆın ecuat ¸ie
liniar˘ a
z
=
5
t
z + 1.
Solut ¸iile succesive ale acestor ecuat ¸ii sunt:
z =
Ct
5
−t
4
,
y =
4
Ct
5
−t
,
x =
2
t
+
4
Ct
5
−t
·
8 Capitol introductiv
Ecuat ¸ii cu diferent ¸iale totale exacte
Fie ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
(1.9) x
=
g(t, x)
h(t, x)
unde g, h : Ω ⊂ IR
2
−→ IR sunt dou˘ a funct ¸ii continue pe mult ¸imea deschis˘a
Ω iar h = 0 ˆın Ω. Spunem c˘ a ecuat ¸ia (1.9) este cu diferent ¸ial˘ a exact˘a dac˘a
exist˘a F ∈ C
1
(Ω) astfel ˆıncˆ at
∂F
∂t
(t, x) = −g(t, x),
(t, x) ∈ Ω
∂F
∂x
(t, x) = h(t, x).
ˆ
In aceste condit ¸ii, ecuat ¸ia (1.9) se scrie sub forma
dF(t, x(t)) = 0,
de unde rezult˘ a c˘a orice solut ¸ie a ecuat ¸iei (1.9) verific˘ a egalitatea
(1.10) F(t, x(t)) = C,
C fiind o constant˘ a real˘ a. Are loc ¸si rezultatul reciproc: pentru orice con-
stant˘a real˘ a C, formula (1.10) define¸ste (conform teoremei funct ¸iilor implicite,
deoarece
∂F
∂x
= h = 0 pe Ω) o funct ¸ie x = x(t) care pe un anumit interval este
solut ¸ie a ecuat ¸iei (1.9). Se pune ˆıntrebarea: cum putem identifica ecuat ¸iile
care sunt cu diferent ¸iale exacte iar atunci cˆand au aceast˘ a proprietate cum
putem determina funct ¸ia F?
Pentru aceasta d˘ am, f˘ ar˘ a demonstrat ¸ie, urm˘atorul rezultat.
Teorem˘a 1.1. Dac˘ a Ω este un domeniu simplu conex ¸si
∂h
∂t
,
∂g
∂x
∈ C
1
(Ω),
atunci condit ¸ia necesar˘ a ¸si suficient˘ a pentru ca ecuat ¸ia (1.9) s˘ a fie cu diferent ¸i-
al˘ a exact˘ a este ca
(1.11)
∂h
∂t
(t, x) = −
∂g
∂x
(t, x)
pentru orice (t, x) ∈ Ω.
ˆ
In aceste condit ¸ii, funct ¸ia F este dat˘a de
(1.12) F(t, x) = −
t
t
0
g(s, x)ds +
x
x
0
h(t
0
, ξ)dξ = −
t
t
0
g(s, x
0
)ds +
x
x
0
h(t, ξ)dξ
unde (t
0
, x
0
) este un punct arbitrar ˆın Ω.
Ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin metode elementare 9
Factor integrant
ˆ
In unele cazuri, o ecuat ¸ie de forma
(1.13) h(t, x)dx −g(t, x)dt = 0
care nu este cu diferent ¸ial˘ a exact˘a poate fi adus˘ a la aceast˘a form˘ a prinˆınmult ¸i-
rea cu o funct ¸ie ρ(t, x), ρ ∈ C
1
(Ω), ρ = 0, (t, x) ∈ Ω, funct ¸ie care mai poart˘a
denumirea de factor integrant. Presupunˆ and c˘ a o asemenea funct ¸ie exist˘a, din
teorema anterioar˘ a rezult˘ a c˘a ea satisface relat ¸ia
∂(ρh)
∂t
= −
∂(ρg)
∂x
sau
(1.14) h
∂ρ
∂t
+ g
∂ρ
∂x
= −ρ
∂g
∂x
+
∂h
∂t
,
(t, x) ∈ Ω.
A¸sadar, dac˘ a exist˘a o funct ¸ie ρ care satisface (1.14), atunci prin ˆınmult ¸irea cu
ρ a ecuat ¸iei (1.13) (sau (1.9)), aceasta este redus˘a la o ecuat ¸ie cu diferent ¸ial˘ a
exact˘a.
Prezent˘am dou˘ a situat ¸ii ˆın care funct ¸ia ρ poate fi determinat˘ a:
(i) Presupunem c˘ a expresia
1
h
∂g
∂x
+
∂h
∂t
= ϕ(t) nu depinde de x.
Atunci, putem determina funct ¸ia ρ = ρ(t) (independent˘ a de x) ca solut ¸ie
a ecuat ¸iei
ρ
= ϕ(t)ρ.
(ii) Presupunem c˘ a expresia
1
g
∂g
∂x
+
∂h
∂t
= ψ(x) nu depinde de t.
Atunci, putem determina funct ¸ia ρ = ρ(x) (independent˘ a de t) ca solut ¸ie
a ecuat ¸iei
ρ
= ψ(x)ρ.
Exemplu. Fie ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
x
=
2(tx −x
3
)
6tx
2
−t
2
·
10 Capitol introductiv
Aceast˘a ecuat ¸ie este de forma (1.9) cu g(t, x) = 2(tx − x
3
), h(t, x) =
= 6tx
2
− t
2
care verific˘a relat ¸ia (1.11) deci exist˘ a funct ¸ia F dat˘ a de formula
(1.12)
F(t, x) = 2
t
t
0
(sx −x
3
)ds +
x
x
0
(t
2
0
−6t
0
ξ
2
)dξ =
= t
2
x −2tx
3
−t
2
0
x
0
+ 2t
0
x
3
0
iar solut ¸ia ecuat ¸iei este dat˘a sub form˘ a implicit˘ a
t
2
x −2tx
3
= C, C ∈ IR.
Ecuat ¸ii de tip Lagrange, Clairaut. Metoda parametrului
Ecuat ¸ia de forma
(1.15) x(t) = tϕ(x
(t)) + ψ(x
(t))
unde ϕ, ψ ∈ C
1
(I) (ϕ(r) = r pentru orice r ∈ IR), I fiind un interval al axei
reale se nume¸ste ecuat ¸ie de tip Lagrange. Dac˘a ϕ(x
) = x
, ecuat ¸ia (1.15) este
de tip Clairaut.
Pentru integrarea acestor tipuri de ecuat ¸ii se folose¸ste a¸sa numita metod˘ a
a parametrului care const˘a ˆın urm˘ atoarele:
Se noteaz˘a ˆın ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a (1.15) x
= p ¸si se diferent ¸iaz˘a ecuat ¸ia.
Se obt ¸ine ˆın acest fel o ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a liniar˘ a ˆın care lu˘ am pe t ca funct ¸ie
¸si p ca variabil˘ a.
ˆ
In urma integr˘ arii, g˘ asim solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei (1.15),
ˆın forma parametric˘ a
(1.16)
t = f(p, C)
x = g(p).
Relat ¸iile (1.16) dau reprezentarea parametric˘ a a solut ¸iei generale a ecuat ¸iei
(1.15).
ˆ
In cazul ecuat ¸iei Clairaut, solut ¸ia este dat˘a de o familie de drepte a c˘ arei
ˆınf˘ a¸sur˘ atoare este solut ¸ia singular˘ a a ecuat ¸iei.
Prinˆınf˘ a¸sur˘ atoarea unei familii de curbe se ˆınt ¸elege o curb˘a care, ˆın fiecare
punct al s˘ au, este tangent˘a la una din curbele familiei date ¸si difer˘ a de acea
curb˘ a ˆın orice vecin˘atate a punctului respectiv.
Exemplul 1.1. Ecuat ¸ia
x(t) = −2tx
(t) −x
(t)
2
Ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin metode elementare 11
este de forma (1.15) cu ϕ(x
) = −2x
, ψ(x
) = −x
2
, deci este o ecuat ¸ie de tip
Lagrange.
Not˘am x
= p ¸si ecuat ¸ia devine
x = −2tp −p
2
¸si diferent ¸iind ambii membri ai ecuat ¸iei (t ¸inˆ and cont c˘ a x
= p)
3p = −2t
dp
dt
−2p
dp
dt
sau
dt
dp
= −
2t
3p
−
2
3
care este o ecuat ¸ie liniar˘ a ˆın t ca funct ¸ie de p ¸si are solut ¸ia
t = Cp
−
3
2
−
2
5
p,
de unde rezult˘ a solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei ˆın forma parametric˘ a
t = Cp
−
2
3
−
2
5
p
x = −
p
2
5
−2Cp
1
3
.
Exemplul 1.2. Ecuat ¸ia
x(t) = tx
(t) +
1
2
x
(t)
2
,
este de tip Clairaut cu ψ(x
) =
1
2
x
2
. Notˆ and x
= p, ecuat ¸ia devine (dup˘ a
diferent ¸iere)
p
(p + t) = 0
care conduce la solut ¸ia general˘a
x = tC +
1
2
C
2
, C ∈ IR
¸si la solut ¸ia singular˘ a
x = −
1
2
t
2
.
12 Capitol introductiv
Mic¸sorarea ordinului unei ecuat ¸ii diferent ¸iale
Prezent˘am dou˘ a clase de ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordin superior care pot fi trans-
formate ˆın ecuat ¸ii de ordin strict mai mic.
Ecuat ¸ia de forma
(1.17) F(t, x
(k)
, x
(k+1)
, ..., x
(n)
) = 0 (0 < k < n)
se transform˘a prin substitut ¸ia y = x
(k)
ˆın ecuat ¸ia
(1.18) F(t, y, y
, ..., y
(n−k)
) = 0.
Dac˘a ecuat ¸ia (1.18) se poate rezolva, atunci, revenind la substitut ¸ia f˘ acut˘a,
ecuat ¸ia (1.17) se rezolv˘a ˆın urma a ”k” integr˘ ari succesive.
Ecuat ¸iile de forma
F(x, x
, ..., x
(n)
) = 0
ˆı¸si reduc ordinul cu o unitate dac˘ a facem substitut ¸ia p = x
¸si consider˘am p,
noua funct ¸ie necunoscut˘a de variabil˘ a x.
ˆ
In acest fel avem:
x
=
dp
dt
=
dp
dx
dx
dt
=
dp
dx
· p ¸s.a.m.d.
Exemplu. S˘ a se integreze ecuat ¸ia
tx
+ x
= 4t.
Solut ¸ie. Not˘ am x
= y ¸si obt ¸inem ecuat ¸ia
ty
+ y = 4t
care este liniar˘a ¸si are solut ¸ia y = 2t +
C
1
2t
¸si, revenind la substitut ¸ie, g˘asim
x = t
2
+ C
1
ln t + C
2
.
Ecuat ¸ii de tip Euler
O ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a de forma
(1.19) t
n
x
(n)
+ a
1
t
n−1
x
(n−1)
+· · · + a
n−1
tx
+ a
n
x = f(t)
unde a
1
, a
2
, ..., a
n
∈ IR, iar f : IR
∗
+
−→ IR se nume¸ste ecuat ¸ie de tip Euler.
Ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin metode elementare 13
Cu ajutorul substitut ¸iilor
t = e
s
x(t) = y(s)
pentru t ∈ IR
∗
+
¸si s ∈ IR, ecuat ¸ia (1.19) devine ecuat ¸ie liniar˘ a cu coeficient ¸i
constant ¸i de ordin n ˆın necunoscuta y ¸si variabila s. Acest lucru se vede
imediat din calculul diferent ¸ialelor ˆın (1.19)
dx
dt
=
dy
dt
=
dy
ds
ds
dt
=
dy
ds
·
1
t
= e
−s
dy
ds
apoi ˆın mod recurent g˘ asim c˘a
d
k
x
dt
k
= e
−ks
C
1
dy
ds
+ C
2
dy
2
ds
2
+· · · + C
k
d
k
y
ds
k
,
k = 2, 3, ..., n.
Exemplu. S˘ a se rezolve problema
t
2
x
−2tx
+ 2x = 2
x(1) = x
(1) = 1.
Solut ¸ie. F˘ acˆand substitut ¸ia
t = e
s
x(t) = y(s),
ecuat ¸ia devine
y
−3y
+ 2y = 2
y(0) = y
(0) = 1
care are solut ¸ia y(s) = e
2s
−e
s
+1, ¸si, revenind la ecuat ¸ia init ¸ial˘ a, aceasta are
solut ¸ia x = t
2
−t + 1.
Rezolvarea ecuat ¸iilor diferent ¸iale
cu ajutorul seriilor de puteri
ˆ
In cele ce urmeaz˘a, vom prezenta o metod˘ a care const˘a ˆın obt ¸inerea solut ¸iei
unei probleme Cauchy ca sum˘a a unei serii de puteri. Astfel de solut ¸ii se mai
numesc analitice. F˘ ar˘ a a intra ˆın detalii (pentru cei interesat ¸i recomand˘am
[49]), preciz˘ am faptul c˘ a dac˘a funct ¸ia f este analitic˘a pe domeniul s˘ au de
definit ¸ie, atunci problema Cauchy asociat˘a (cu x
0
din domeniul lui f)
x
= f(x)
x(t
0
) = x
0
14 Capitol introductiv
are o solut ¸ie analitic˘ a.
ˆ
In continuare prezent˘ am, pentru ilustrare, trei probleme rezolvate pe aceas-
t˘a cale.
Metoda coeficient ¸ilor nedeterminat ¸i. Metoda este eficient˘a mai ales pen-
tru ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare ¸si const˘a ˆın c˘ autarea unei solut ¸ii de forma
(1.20) x(t) =
∞
n=0
C
n
(t − t
0
)
n
.
ˆ
Inlocuind x ˆın ecuat ¸ie, prin identificarea coeficient ¸ilor puterilor egale ale lui t,
rezult˘ a o relat ¸ie de recurent ¸˘a ˆıntre ace¸stia.
Exemplul 1. S˘ a se rezolve ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
(1.21) x
+ tx
+ x = 0.
C˘autˆ and o solut ¸ie de forma (1.20) cu t
0
= 0 ¸si ˆınlocuind-o ˆın ecuat ¸ia (1.21),
obt ¸inem relat ¸ia:
(C
0
+ 2C
2
) + t(2C
1
+ 6C
3
) + t
2
(3C
2
+ 12C
4
) + · · · +
+t
n
[(n + 1)C
n
+ (n + 1)(n + 2)C
n+2
] + · · · = 0
de unde
C
0
+ 2C
2
= 0, 2C
1
+ 6C
3
= 0, ..., C
n
(n + 2)C
n+2
= 0, ...
Astfel, am obt ¸inut formula de recurent ¸˘a
C
n+2
= −
C
n
n + 2
,
care d˘a
C
2
= −
C
0
2
,
C
4
= −
C
2
4
=
C
0
2 · 4
,
· · ·
,
C
2n
=
(−1)
n
C
0
(2n)!!
,
· · ·
C
3
= −
C
1
3
,
C
5
=
C
1
3 · 5
,
· · ·
,
C
2n+1
=
(−1)
n
C
1
(2n + 1)!!
,
· · ·
Rezult˘a c˘a
x(t) = C
0
∞
n=0
(−1)
n
t
2n
(2n)!!
+ C
1
∞
n=1
(−1)
n+1
t
2n−1
(2n + 1)!!
·
Ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin metode elementare 15
Se verific˘a imediat c˘a cele dou˘a serii de puteri care apar ˆın membrul drept
sunt convergente pentru orice t. De asemenea, cei doi coeficient ¸i C
0
¸si C
1
pot
fi determinat ¸i dac˘a se prescriu condit ¸ii de tip Cauchy pentru x, x
ˆın t = 0.
Exemplul 2. S˘ a se rezolve problema Cauchy
(1.22)
(4 −t
2
)x
−2tx
+ 12x = 0
x(1) = −7, x
(1) = 3.
Vom folosi metoda seriilor de puteri ¸si vom lua, ˆın relat ¸ia (1.20), t
0
= 1, deci
x(t) =
∞
n=0
C
n
(t −1)
n
. De asemenea, dezvolt˘am ¸si coeficient ¸ii ecuat ¸iei (1.22) ˆın
serie de puteri ˆın jurul lui t
0
= 1. Avem:
4 −t
2
= 3 −2(t −1) −(t −1)
2
−2t = −2 −2(t −1)
12 = 12
¸si ecuat ¸ia (1.22) devine
∞
n=0
(12 −n −n
2
)C
n
(t −1)
n
−
∞
n=1
2n
2
C
n
(t −1)
n−1
+
+
∞
n=2
(3n
2
−3n)C
n
(t −1)
n−2
= 0
care mai poate fi scris˘a sub forma
∞
n=0
[3(n + 1)(n + 2)C
n+2
−2(n + 1)
2
C
n+1
−(n −3)(n + 4)C
n
](t −1)
n
= 0
¸si conduce la relat ¸ia de recurent ¸˘a
(1.23) C
n+2
=
2(n + 1)
2
C
n+1
+ (n −3)(n + 4)C
n
3(n + 1)(n + 2)
n = 0, 1, 2, ...
Din condit ¸iile Cauchy asupra lui x, x
ˆın t
0
= 1 obt ¸inem C
0
= −7, C
1
= 3
¸si folosind (1.23) rezult˘ a C
2
= 15, C
3
= 5, C
n
= 0 (n = 4, 5, ...) iar solut ¸ia
x(t) = −12t + 5t
2
.
Dac˘a coeficient ¸ii ecuat ¸iei nu sunt polinoame ˆın t, atunci ace¸stia se dezvolt˘a
ˆın serie Taylor ¸si se procedeaz˘a ˆın continuare ca ˆın Exemplul 1. Ilustr˘ am acest
lucru ˆın:
16 Capitol introductiv
Exemplul 3. S˘ a se rezolve ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
(1.24) x
+ (sin t)x = e
t
2
Dezvolt˘am sin t ¸si e
t
2
ˆın serie Taylor ˆın jurul lui t = 0 ¸si c˘aut˘ am o solut ¸ie sub
forma
x(t) =
∞
n=0
C
n
t
n
Obt ¸inem:
sin t =
∞
n=0
(−1)
n
t
2n+1
(2n + 1)!
,
e
t
2
=
∞
n=0
t
2n
n!
apoi, ˆınlocuind ˆın ecuat ¸ia (1.24), obt ¸inem (identificˆ and coeficient ¸ii)
(1.25) x = C
0
1 −
1
6
t
3
+
1
120
t
5
+· · ·
+C
1
t −
t
4
12
+· · ·
+
1
2
t
2
+
1
12
t
4
+· · ·
,
adic˘ a
x = C
0
x
1
(t) + C
1
x
2
(t) + x
3
(t)
unde x
3
este o solut ¸ie particular˘ a. Se arat˘ a c˘a seriile ce apar ˆın (1.25) sunt
convergente pentru orice t.
Observat ¸ie. Cele mai multe ecuat ¸ii diferent ¸iale nu se pot rezolva prin cuadra-
turi.
ˆ
In sect ¸iunile anterioare am prezentat cˆ ateva tipuri de ecuat ¸ii care pot
fi rezolvate prin una din metodele standard. Dar o ecuat ¸ie poate s˘a aib˘ a o
form˘ a diferit˘ a de cele prezentate anterior, ˆıns˘ a, ˆın anumite situat ¸ii, printr-o
schimbare de variabile inspirat˘ a, aceast˘a diferent ¸˘a s˘a dispar˘ a. Preciz˘am c˘a
nu exist˘ a o regul˘ a (sau algoritm) de determinare a unor astfel de substitut ¸ii.
Totul t ¸ine de ˆındemˆ anarea ¸si experient ¸a rezolvitorului.
1.2 Inegalitatea lui Gronwall
Rezultatul pe care ˆıl prezent˘ amˆın aceast˘a sect ¸iune este folosit ˆın mod frecvent
la demonstrarea m˘arginirii solut ¸iilor unor ecuat ¸ii diferent ¸iale. Presupunem c˘ a
x, f, g sunt funct ¸ii continue pe intervalul [a, b] ⊂ IR ¸si, ˆın plus, g(t) ≥ 0 pentru
orice t ∈ [a, b].
Lema 2.1. (Gronwall) Dac˘ a
(2.1) x(t) ≤ f(t) +
t
a
g(s)x(s)ds, t ∈ [a, b]
Modelarea matematic˘a 17
atunci
(2.2) x(t) ≤ f(t) +
t
a
f(s)g(s) exp
t
s
g(τ)dτ
ds, ∀t ∈ [a, b],
unde exp(a)=e
a
, ∀a ∈ IR.
Demonstrat ¸ie. Facem notat ¸ia y(t) =
t
a
g(s)x(s)ds.
Deoarece funct ¸iile g ¸si x sunt continue, rezult˘ a c˘a funct ¸ia y este derivabil˘ a
¸si y
(t) = g(t)x(t), care ˆımpreun˘ a cu (2.1) implic˘ a
y
(t) ≤ g(t)f(t) + g(t)y(t).
ˆ
Inmult ¸ind ultima inegalitate cu exp
−
t
a
g(s)ds
, rezult˘ a
(2.3)
d
dt
y(t) exp
−
t
a
g(s)ds
≤ f(t)g(t) exp
−
t
a
g(s)ds
, t ∈ [a, b].
Integrˆ and inegalitatea (2.3) pe intervalul [a, t] ¸si t ¸inˆ and cont de (2.1) se obt ¸ine
(2.2).
Un caz particular interesant ce rezult˘ a din Lema 2.1 corespunde situat ¸iei
cˆand f = constant.
Corolarul 2.1. Dac˘ a x satisface inegalitatea (2.1) cu f = M = constant,
atunci are loc
(2.4) x(t) ≤ M exp
t
a
g(s)ds
, t ∈ [a, b].
Demonstrat ¸ie. Inegalitatea (2.4) se obt ¸ine imediat din (2.2), ˆınlocuind f cu
M ¸si integrˆ and prin p˘ art ¸i al doilea termen din membrul drept.
1.3 Modelarea matematic˘a
Procesul reprezent˘arii problemelor (fenomenelor) lumii reale ˆın limbajul mate-
maticii este cunoscut sub numele de modelare matematic˘ a. Primul pas ˆın acest
proces este transcrierea matematic˘a a limbajului folosit pentru descrierea pro-
blemei. De obicei, pentru ca modelul matematic s˘a fie suplu, acceptabil din
punct de vedere al rezolv˘ arii (chiar cu ajutorul tehnicii de calcul) se renunt ¸˘a
la o parte din variabilele ce descriu problema init ¸ial˘ a.
ˆ
In acest fel, se obt ¸ine o
structur˘ a logic˘a ideal˘ a ce ascunde ˆın ea o problem˘ a concret˘a.
ˆ
In cazul nostru,
aceast˘a structur˘ a const˘a ˆın una sau mai multe ecuat ¸ii diferent ¸iale.
18 Capitol introductiv
Oscilatorul armonic
Fie ecuat ¸ia
(3.1) mx
+ kx = 0.
Aceast˘a ecuat ¸ie reprezint˘a modelul matematic al fenomenului fizic dat de
mi¸scarea unui punct material de mas˘a m suspendat de un resort elastic.
Presupunem c˘ a resortul are lungimea . Dac˘a de resort suspend˘am un
corp de mas˘a m, acesta va avea o elongat ¸ie ∆ datorat˘ a fort ¸ei elastice dat˘a de
ecuat ¸ia mg = k∆ (greutatea corpului este anulat˘ a ˆın efect de o fort ¸˘a elastic˘a
static˘a
F
eo
= −k∆
), k(> 0) fiind constanta elastic˘ a a resortului.
Fig. 3.1.
Putem considera ca origine de m˘asur˘ a a elongat ¸iei x punctul O din Figura
3.1.b. Scot ¸ˆand sistemul din pozit ¸ia de echilibru, singura fort ¸˘a necompensat˘a
r˘ amˆane fort ¸a elastic˘a F
e
= −kx. Aplicˆ and principiul II al dinamicii obt ¸inem
ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a a mi¸sc˘arii ma = mx
= −kx, adic˘ a (3.1).
ˆ
Intr-un model
mai realist ˆın care t ¸inem cont ¸si de fort ¸ele disipative (datorate vˆ ascozit˘at ¸ii),
ecuat ¸ia principiului II al dinamicii se va scrie:
mx
+ αx
+ kx = 0.
Dac˘a, ˆın plus, asupra sistemului act ¸ioneaz˘a ¸si o fort ¸˘a exterioar˘ a (F(t)),
ecuat ¸ia devine
(3.2) mx
+ αx
+ kx = F(t).
Modelarea matematic˘a 19
Spunem c˘ a sistemul are oscilat ¸ii libere dac˘a F ≡ 0, ˆın caz contrar el are
oscilat ¸ii fort ¸ate.
Circuitul RLC
S˘ a consider˘am circuitul din Figura 3.2 cunoscut ¸si sub numele de circuit RLC–
serie. El este format dintr-un generator care, furnizˆ and o tensiune de V (t)
volt ¸i, este conectat ˆın serie cu un rezistor de R-ohmi, un inductor de L henry
¸si un condensator de C farazi.
Fig. 3.2
Cˆand comutatorul este ˆınchis, prin circuit trece un curent de intensitate
I = I(t) amperi.
Vrem s˘a calcul˘ am valoarea lui I ca funct ¸ie de timp ¸si sarcina Q = Q(t)
(coulombi) ˆın condensator la orice moment t. Prin definit ¸ie
(3.3) I =
dQ
dt
,
astfel c˘a este suficient s˘a calcul˘am doar Q.
Dup˘ a cum se ¸stie din fizic˘ a, curentul I produce o c˘ adere de tensiune la
bornele rezistorului egal˘ a cu RI, o c˘adere de tensiune ˆın inductor egal˘ a cu
L(dI/dt) ¸si o c˘adere de tensiune ˆın condensator egal˘ a cu (1/C)Q. Legea a
II-a a lui Kirchhoff afirm˘ a c˘a tensiunea la bornele sursei este egal˘a cu suma
c˘aderilor de tensiune pe circuit. Aplicˆ and aceast˘a lege circuitului din Fig. 3.2
(cu comutatorul ˆınchis), obt ¸inem:
(3.4) L
dI
dt
+RI +
1
C
Q = V (t).
20 Capitol introductiv
Din (3.3) ¸si (3.4) rezult˘ a
(3.5) L
d
2
Q
dt
2
+R
dQ
dt
+
1
C
Q = V (t).
Aceasta este o ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a de ordinul doi neomogen˘ a. Pentru a g˘ asi
sarcina Q(t) ˆın condensator, trebuie s˘ a determin˘ am solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei
(3.5), solut ¸ie care depinde de dou˘ a constante arbitrare. Pentru a determina
aceste constante se impun condit ¸iile init ¸iale Q(0) = Q
0
¸si Q
(0) = I(0) = 0.
Condit ¸ia a doua asupra lui Q
este natural˘a deoarece la momentul t = 0 nu
este curent ˆın circuit. Pentru a determina I(t), putem folosi relat ¸ia (3.3) sau
ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
L
d
2
I
dt
2
+R
dI
dt
+
1
C
I =
dV (t)
dt
,
care se obt ¸ine din (3.3) prin diferent ¸iere.
Observat ¸ie. Este u¸sor de observat faptul c˘ a, de¸si modeleaz˘a fenomene diferite,
din punct de vedere matematic ecuat ¸iile (3.2) ¸si (3.5) reprezint˘ a acela¸si lu-
cru. Analogia dintre sistemele mecanice ¸si electrice (analizate) este pus˘a ˆın
evident ¸˘a ˆın tabelul urm˘ ator.
Tabelul 1
Sisteme mecanice Sisteme electrice
Masa m Inductant ¸a L
Constanta de frecare α Rezistent ¸a R
Modulul de elasticitate k Inversa capacit˘ at ¸ii 1/C
Deplasarea x Sarcina condensatorului Q
Fort ¸a exterioar˘a F(t) Tensiunea electromotoare V (t)
Viteza x
Intensitatea I
Ecuat ¸ia van der Pol
S˘ a consider˘ am un circuit de tip RLC undeˆın locul rezistorului se pune un semi-
conductor. Diferent ¸a dintre rezistor ¸si semiconductor este aceea c˘a rezistorul
disipeaz˘ a energia la toate nivelele, pe cˆand semiconductorul pompeaz˘ a energia
ˆın circuit la nivele de jos ¸si absoarbe energia la nivele ˆınalte. Presupunem c˘ a
pe semiconductor are loc o c˘ adere de tensiune dat˘ a de
V
S
= I(I
2
−a)
Modelarea matematic˘a 21
unde I este intensitatea curentului iar a, o constant˘ a pozitiv˘ a.
ˆ
In plus c˘ aderile
de tensiune pe inductor ¸si condensator sunt date de: V
L
= L
dI
dt
,
respectiv
dV
C
dt
=
I
C
·
Din legile lui Kirchhoff rezult˘ a
V
L
+ V
C
+ V
S
= 0
care implic˘a
dI
dt
=
V
L
L
= −
V
S
+ V
C
L
=
−I
3
+ aI − V
C
L
de unde rezult˘ a sistemul
(3.6)
I
=
a
L
I −
V
C
L
−
I
3
L
V
C
=
I
C
·
Pentru simplificarea sistemului (1) se fac substitut ¸iile
I = αx, V
C
= βy, t = γs,
unde α, β, γ sunt ale¸si astfel ˆıncˆ at:
(∗) αγ = βC ¸si α
2
γ = L.
Revenind la sistemul (3.6) avem
αx
C
=
I
C
=
dV
C
dt
=
d(βy)
ds
ds
dt
=
β
γ
dy
ds
,
¸si
α
γ
dx
ds
=
d(αx)
ds
ds
dt
=
dI
dt
=
a
L
I −
V
C
L
−
I
3
L
=
aα
L
x −
β
L
y −
α
3
L
x
3
¸si, avˆ and ˆın vedere condit ¸iile (∗), sistemul (3.6) devine
dx
ds
= µx − y − x
3
dy
ds
= x
unde µ =
aγ
L
,
sistem care este echivalent cu ecuat ¸ia
y
+ y = µ(1 − y
2
)y
cunoscut˘ a ¸si sub numele de ecuat ¸ia van der Pol (B. van der Pol, 1889–1959).
22 Capitol introductiv
Traiectorii ortogonale
Consider˘ am familia uniparametric˘ a de curbe dat˘ a prin
(3.7) F(x, y) = c.
Diferent ¸iind relat ¸ia (3.7) obt ¸inem
F
x
dx + F
y
dy = 0
unde F
x
¸si F
y
sunt derivatele part ¸iale ale lui F ˆın raport cu x ¸si y. Rezult˘a c˘a
panta fiec˘ arei curbe a familiei (3.7) este
dy
dx
= −
F
x
F
y
·
Vrem s˘a determin˘am o alt˘ a familie de curbe care s˘a aib˘ a proprietatea:
fiecare curb˘ a a noii familii taie fiecare curb˘ a a familiei (3.7) ˆıntr-un punct ˆın
care tangentele la cele dou˘ a curbe sunt perpendiculare. Se spune c˘ a traiectori-
ile celor dou˘ a familii sunt ortogonale. Evident, panta traiectoriei ortogonale
unei curbe din (3.7) este dat˘ a de
dy
dx
=
F
y
F
x
·
Enumer˘ am cˆateva fenomene fizice ˆın care apar traiectoriile ortogonale:
1.
ˆ
In cˆampul electrostatic, liniile de fort ¸˘a sunt ortogonale fat ¸˘a de liniile de
potent ¸ial constant.
2.
ˆ
In curgerea bidimensional˘ a a fluidelor, liniile de curgere a fluidului, nu-
mite linii de curent, sunt ortogonale fat ¸˘a de liniile de potent ¸ial constant
ale fluidului.
3.
ˆ
In meteorologie traiectoriile ortogonale ale izobarelor (curbe ce leag˘ a
suprafet ¸e de presiune barometrica egal˘a) dau direct ¸ia vˆantului: de la
zone cu presiune atmosferic˘a mare c˘atre cele cu presiune atmosferic˘a
mic˘a.
Modelul prad˘a–r˘apitor
Acest model este din dinamica populat ¸iei. Fie x(t) ¸si y(t) num˘ arul de indivizi
la momentul t apart ¸inˆ and la dou˘ a specii, prima specie reprezentˆand prada
iar a doua r˘ apitorii. Cele dou˘ a specii conviet ¸uiesc ˆın aceea¸si zon˘a. Pentru a
construi modelul de interact ¸iune dintre specii, facem urm˘ atoarele ipoteze:
Modelarea matematic˘a 23
(i)
ˆ
In absent ¸a r˘apitorilor, prada are o rat˘ a de cre¸stere proport ¸ional˘ a cu nu-
m˘arul de indivizi, adic˘ a: dac˘ a y(t) = 0, x
(t) = ax(t), a > 0 fiind o
constant˘a.
(ii)
ˆ
In absent ¸a pr˘ azii, r˘ apitorii mor, au o rat˘ a de cre¸stere proport ¸ional˘ a cu
num˘ arul lor de indivizi, deci y
(t) = −cy(t), (c > 0), dac˘ a x(t) = 0.
(iii) Num˘ arul de ˆıntˆ alniri (ciocniri) dintre membrii celor dou˘ a specii este
proport ¸ional cu produsul x(t) · y(t). Aceste ˆıntˆ alniri au ca efect des-
cre¸sterea num˘arului indivizilor prad˘ a ¸si influent ¸eaz˘a pozitiv cre¸sterea
num˘ arului pr˘ ad˘ atorilor.
Aceste ipoteze conduc la sistemul de ecuat ¸ii diferent ¸iale
(3.8)
x
= ax − bxy
y
= −cy + dxy,
a, b, c, d fiind constante pozitive.
Sistemul (3.8) mai este cunoscut sub numele de modelul Lotka–Volterra
(A.J. Lotka (1880–1949); V. Volterra (1860–1940)), dup˘ a numele celor care
l-au introdus.
Ment ¸ion˘ am c˘a sistemul (3.8) poate fi folosit pentru modelarea unei clase
largi de probleme.
Dozajul medicamentelor
Este cunoscut din medicin˘a c˘a penicilina ¸si alte medicamente administrate
unui pacient dispar din corpul acestuia dup˘ a urm˘ atoarea regul˘ a: dac˘ a x(t)
este cantitatea de medicament din corpul uman la momentul t, atunci viteza
de eliminare x
(t) a medicamentului este proport ¸ional˘ a cu x(t), adic˘ a x satis-
face ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
(3.9) x
(t) = −kx(t)
unde k > 0 este o constant˘a ce depinde de medicament ¸si care se determin˘a
experimental.
Din (3.9) rezult˘ a
(3.10) x(t) = x
0
e
−kt
unde x
0
= x(0) este doza administrat˘a init ¸ial.
24 Capitol introductiv
Din (3.10) se remarc˘a faptul c˘ a x(t) →0 pentru t →∞.
ˆ
In practica medi-
cal˘a ˆıns˘ a este necesar s˘a se ment ¸in˘ a o anumit˘ a concentrat ¸ie a medicamentului
ˆın corp pentru un timp mai ˆındelungat.
ˆ
In acest scop se administreaz˘a pacientului o doz˘ a init ¸ial˘ a x
0
, apoi la inter-
vale egale de timp, τ ore de exemplu, se d˘a pacientului doza D de medicament.
Dac˘a dorim ca ˆın corpul pacientului la momentele τ, 2τ, 3τ... s˘a se ment ¸in˘ a
doza init ¸ial˘ a x
0
, atunci doza D care trebuie administrat˘ a ˆın aceste momente
se determin˘a din relat ¸ia
x
0
e
−kτ
+ D = x
0
de unde
D = x
0
(1 −e
−kτ
).
Ment ¸ion˘ am faptul c˘ a ecuat ¸ia (3.9) caracterizeaz˘a ¸si dezintegrarea radio-
activ˘ a.
Poluarea apei ˆın lacuri
Una din problemele create de industrializare este poluarea apei. Un rˆ au poluat
se va cur˘at ¸a relativ repedeˆıntrucˆ at curgerea apei atrage dup˘ a sine ¸si poluantul.
Purificara unui lac (de substant ¸e poluante), f˘ acut˘a doar prin scurgerea apei,
este un proces dificil necesitˆand o cantitate foarte mare de ap˘ a. Prezent˘ am un
model de purificare ˆın timp a lacului, bazat pe scurgerea gradual˘ a a apei din
lac. Pentru aceasta se fac urm˘atoarele ipoteze:
1. Ratele intr˘ arii (afluxului) ¸si scurgerea apei din lac au valori aproximativ
egale (le not˘am cu r).
2. Poluant ¸ii sunt uniform distribuit ¸i ˆın ap˘ a. Concentrat ¸iile lor ˆın apa ce
intr˘ a ˆın lac ¸si apa din lac sunt notate cu C
1
respectiv C
2
.
3. Poluant ¸ii sunt ˆındep˘ artat ¸i numai prin procesul natural al scurgerii apei
din lac.
Din ipotezele de mai sus, ˆın intervalul de timp ∆t, modificarea polu˘ arii
totale = cantitea de poluant intrat˘ a ˆın lac – cantitatea de poluant scurs˘ a din
lac, care conduce la expresia analitic˘ a
(3.11) ∆(V C
2
) = (C
1
−C
2
)r∆t + θ(∆t)
unde V este volumul lacului, iar θ(∆t)/∆t −→0 pentru ∆t −→0. Cantitatea
θ(∆t) se introduce deoarece atˆ at C
1
cˆat ¸si C
2
depind de t.
Probleme 25
Din relat ¸ia (3.11) se obt ¸ine ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
C
2
=
(C
1
− C
2
)
V
r
care este o ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a de ordinul ˆıntˆ ai ¸si are solut ¸ia
(3.12) C
2
(t) = e
−t/T
C
2
(0) + T
−1
t
0
C
1
(s)e
s/T
ds
unde T =
V
r
este num˘arul de ani necesari pentru golirea lacului dac˘ a rata
scurgerii se ment ¸ine constant˘ a iar sursa de poluare este stopat˘a.
Dac˘a sursa de poluare este stopat˘a (C
1
= 0) din (3.12), rezult˘ a c˘a timpul
necesar pentru a reduce concentrat ¸ia poluantului din lac la jum˘ atate este
t = T ln 2.
1.4 Probleme
S˘ a se rezolve urm˘atoarele ecuat ¸ii diferent ¸iale:
Ecuat ¸ii cu variabile separabile:
1. x
=
xt
x
2
+ t
2
x(0) = 1.
Ecuat ¸ii liniare:
10. (t
2
+ 1)x
= 2tx + t
3
; 11. x
= −2x + e
−2t
;
12. t
2
x
= −tx + t + 1; 13. x
= x
cos t
sin t
+ 2t sin t;
14. x
= 2tx − t
3
+ t; 15. x
= −
t
t
2
+ 1
x +
1
t(1 + t
2
)
·
26 Capitol introductiv
Ecuat ¸ii de tip Bernoulli:
16.
_
_
_
x
=
t
2(t
2
−1)
x +
t
2x
x(0) = 1
; 17. tx
= 4x + t
2
√
x.
Ecuat ¸ii cu diferent ¸iale exacte:
18. (2t + x
2
)dt + (2tx + 1)dx = 0;
19. (xcos t + x
2
)dt + (sin t + 2tx + 3x
2
)dx = 0;
20. x
2
(t −x)dt + (1 −tx
2
)dx = 0; 21. (t
2
+ 2t + x
2
)dt + 2xdx = 0;
22. 2txdt + (t
2
+ cos x)dx = 0; 23.
_
(tx
2
−1)dt + (t
2
x −1)dx = 0
x(0) = 1.
Ecuat ¸ii rezolvabile cu ajutorul factorului integrant:
24. xdx + t dt + (t
2
+ x
2
)t
2
dt = 0
_
ρ = e
2t
3
/3
_
;
25. xdt + (3t −x + 3)dx = 0 (ρ = x
2
).
Ecuat ¸ii Lagrange:
26. tx
2
+ (x −3t)x
+ x = 0; 27. x = 2tx
−x
3
.
Ecuat ¸ii care admit reducerea ordinului:
28. x
−tx
+ x
3
= 0; 29. x
2
−2tx
−x
= 0; 30. xx
−x
2
= 0.
Ecuat ¸ii rezolvabile prin serii de puteri:
31.
_
_
_
xx
+ 3x
2
= 0
x(0) = 1, x
(0) =
1
4
_
x =
∞
n=0
C
n
t
n
_
32.
_
x
+ x = 0
x(10) = 0, x
(10) = 1
_
x =
∞
n=0
C
n
(t −10)
n
_
Ecuat ¸ii rezolvabile cu ajutorul substitut ¸iilor:
33. x
=
√
x + sin t −cos t
_
u =
√
x + sin t
_
;
34. (t
2
x
3
+ 2tx
2
+ x)dt + (t
3
x
2
−2t
2
x + t)dx = 0 (u = tx);
35. xx
= (x
)
2
+ 6tx
2
_
x = e
_
y dt
_
;
36. 9xx
−18tx + 4t
3
= 0
_
x = y
2
_
;
37. t
2
x
+ tx
+
_
t
2
−
1
4
_
x = 0
_
y =
√
t x
_
;
38. x(1 + 2tx)dt + t(1 −2tx)dx = 0 (u = 2tx).
Capitolul 2
Problema Cauchy
pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale
ˆ
In capitolul I am prezentat diferite tipuri de ecuat ¸ii diferent ¸iale pentru care
¸stim s˘a g˘ asim solut ¸ia general˘a. A¸sa cum am mai ment ¸ionat, aceast˘a clas˘a de
ecuat ¸ii (rezolvabile prin cuadraturi) este foarte restrˆ ans˘ a, motiv pentru care
ˆınc˘ a de pe vremea lui Euler s-a pus problema aproxim˘ arii solut ¸iei unei ecuat ¸ii.
Dar pentru a aproxima o solut ¸ie trebuie, ˆın primul rˆ and, s˘ a ¸stim c˘a aceasta
exist˘a. Iar dac˘ a existent ¸a este asigurat˘a, ne intereseaz˘a unicitatea solut ¸iei
pentru c˘ a, ˆın caz contrar, nu ¸stim ce solut ¸ie aproxim˘ am. Teorema Cauchy–
Picard ofer˘ a un rezultat de existent ¸˘a ¸si unicitate ¸si ˆın acela¸si timp o metod˘a
de construct ¸ie aproximativ˘ a a solut ¸iei unei ecuat ¸ii diferent ¸iale.
2.1 Formularea problemei – metoda lui Picard
Fie problema Cauchy (cu valori init ¸iale)
(1.1)
x
= f(t, x)
x(t
0
) = x
0
unde f : IR
2
→ IR este o funct ¸ie continu˘ a. Deoarece f este continu˘a se observ˘a
c˘a relat ¸ia (1.1) este echivalent˘a cu
(1.2) x(t) = x
0
+
t
t
0
f(s, x(s))ds.
A¸sadar, a rezolva problema (1.1) este totuna cu a rezolva ecuat ¸ia integral˘ a
(1.2). Presupunem c˘ a x
0
(·) este o funct ¸ie continu˘ a ce reprezint˘a o aproxi-
mant˘ a a solut ¸iei ecuat ¸iei (1.2).
ˆ
Inlocuind x(s) cu x
0
(s), membrul drept al
28 Problema Cauchy pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale
ecuat ¸iei (1.2) define¸ste o nou˘ a funct ¸ie notat˘a
x
1
(t) = x
0
+
t
t
0
f(s, x
0
(s))ds.
Repetˆand procedeul, obt ¸inem funct ¸ia
x
2
(t) = x
0
+
t
t
0
f(s, x
1
(s))ds,
¸si, ˆın mod recurent, obt ¸inem ¸sirul de funct ¸ii x
3
(t), x
4
(t), ... ˆın care termenul de
pe locul ”n” este dat de formula
(1.3) x
n
(t) = x
0
+
t
t
0
f(s, x
n−1
(s))ds.
ˆ
In practic˘ a, se ia x
0
(·) = x
0
. S¸irul (x
n
) se nume¸ste ¸sirul aproximat ¸iilor suc-
cesive, iar metoda prin care se construie¸ste ¸sirul (x
n
) se nume¸ste metoda
aproximat ¸iilor succesive a lui Picard (E.Picard, 1856–1941).
Utilizˆ and aceast˘a construct ¸ie, vom demonstra c˘a, ˆın anumite condit ¸ii im-
puse funct ¸iei f, problema (1.1) are o solut ¸ie local˘a unic˘ a. Teorema pe care o
demonstr˘am ˆın continuare este cunoscut˘ a sub numele de teorema de existent ¸˘ a
¸si unicitate a lui Cauchy–Picard.
Teorema 1.1. Fie f : D ⊂ IR
2
−→ IR unde
(1.4) D = {(t, x) ∈ IR
2
; |t − t
0
| ≤ a, |x − x
0
| ≤ b; a, b ∈ IR
+
}.
Dac˘ a
(i) funct ¸ia f este continu˘ a pe D;
(ii) funct ¸ia f este lipschitzian˘ a ˆın a doua variabil˘ a pe D, adic˘ a exist˘ a
L > 0 astfel ˆıncˆ at
(1.5) |f(t, x) − f(t, y)| ≤ L|x − y|, ∀(t, x), (t, y) ∈ D,
atunci exist˘ a ¸si este unic˘ a o solut ¸ie x = x(t) a problemei Cauchy (1.1), definit˘ a
pe intervalul I = {t; |t − t
0
| ≤ δ} unde
(1.6) δ = min
a,
b
M
; M = max{|f(t, x)|; (t, x) ∈ D}.
Formularea problemei – metoda lui Picard 29
Demonstrat ¸ie. Existent ¸a. A¸sa cum am ment ¸ionat, problema (1.1) este
echivalent˘ a cu ecuat ¸ia integral˘ a (1.2), deci este suficient s˘a ar˘ at˘am c˘a aceasta
din urm˘ a are o solut ¸ie unic˘ a pe intervalul I.
ˆ
In acest scop construim ¸sirul
aproximat ¸iilor succesive (cu x
0
(·) = x
0
) pentru solut ¸ia ecuat ¸iei (1.2).
ˆ
In
leg˘atur˘ a cu acest ¸sir vom demonstra urm˘ atoarele:
(j) ¸sirul (x
n
) este bine definit;
(jj) ¸sirul (x
n
) este uniform convergent;
(jjj) limita ¸sirului (x
n
) este solut ¸ia ecuat ¸iei (1.2).
ˆ
In continuare ne vom m˘ argini la intervalul [t
0
, t
0
+δ] deoarece pe intervalul
simetric [t
0
− δ, t
0
] lucrurile se petrec ˆın mod analog.
Pentru a demonstra (j) este suficient s˘ a ar˘ at˘am c˘a funct ¸iile continue x
0
,
x
1
(t), x
2
(t), ..., pentru t
0
≤ t ≤ t
0
+ δ au graficele ˆın D, domeniul ˆın care este
definit˘ a funct ¸ia f, deci c˘a pentru n = 0, 1, 2, ... este verificat˘a inegalitatea:
(1.7) |x
n
(t) − x
0
| ≤ b, pentru t
0
≤ t ≤ t
0
+ δ.
Inegalitatea (1.7) este evident˘a pentru n = 0; presupunˆ and-o valabil˘ a pentru
n − 1, din (1.3) rezult˘ a:
|x
n
(t) − x
0
| ≤
t
t
0
|f(s, x
n−1
(s)|ds ≤ M(t − t
0
) ≤ Mδ ≤ b,
¸si, conform principiului induct ¸iei matematice, inegalitatea (1.7) este valabil˘a
pentru orice n natural.
Pentru a demonstra (jj), consider˘ am seria de funct ¸ii
(1.8) x
0
+
∞
k=0
(x
k+1
(t) − x
k
(t))
pentru care suma primilor (n + 1) termeni este:
x
0
+
n−1
k=0
(x
k+1
(t) − x
k
(t)) = x
n
(t).
Folosind criteriul lui Weierstrass, vom demonstra c˘ a seria (1.8) este abso-
lut ¸si uniform convergent˘ a pe [t
0
, t
0
+ δ], c˘ autˆ and o serie majorant˘ a pentru
modulele termenilor s˘ ai. Din (1.3) ¸si (1.6) rezult˘ a c˘a pentru n = 1 avem:
(1.9) |x
1
(t) − x
0
| ≤ M(t − t
0
).
30 Problema Cauchy pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale
Apoi, din (1.3), (1.5), (1.6), rezult˘ a (t ¸inˆ and cont de (1.9)):
|x
2
(t) − x
1
(t)| =
t
t
0
(f(s, x
1
(s)) − f(s, x
0
(s)))ds
≤
≤ L
t
t
0
|x
1
(s) − x
0
(s)|ds ≤ L
t
t
0
M(s − t
0
)ds = LM
(t − t
0
)
2
2
·
Rat ¸ionˆ and inductiv, obt ¸inem inegalitatea
|x
k+1
(t) − x
k
(t)| ≤ ML
k
(t − t
0
)
k+1
(k + 1)!
≤
M
L
·
(Lδ)
k+1
(k + 1)!
de unde rezult˘ a c˘a pentru t
0
≤ t ≤ t
0
+ δ, modulul termenului general al
seriei (1.8) este majorat de termenul general al seriei convergente cu termeni
pozitivi:
M
L
∞
k=1
(Lδ)
k
k!
=
M
L
(e
Lδ
− 1).
ˆ
In consecint ¸˘a, seria (1.8) este absolut ¸si uniform convergent˘ a ˆın [t
0
, t
0
+δ]. Fie
x(·) limita uniform˘ a a ¸sirului x
n
(·); dac˘ a se trece la limit˘a ˆın ambii membri ai
relat ¸iei (1.3) ¸si se utilizeaz˘a propriet˘ at ¸ile funct ¸iilor continue ¸si ale integralelor
de ¸siruri de funct ¸ii uniform convergente, rezult˘ a c˘a pe intervalul [t
0
, t
0
+ δ]
avem:
x(t) = x
0
+ lim
n→∞
t
t
0
f(s, x
n−1
(s))ds = x
0
+
t
t
0
f(s, x(s))ds
deci funct ¸ia x(·) astfel construit˘ a verific˘ a ecuat ¸ia integral˘ a (1.2) ˆın intervalul
[t
0
, t
0
+ δ], ceea ce demonstreaz˘a afirmat ¸ia (jjj).
Unicitatea. Presupunem prin reducere la absurd c˘ a ecuat ¸ia (1.2) mai are
o solut ¸ie y(·), deci
(1.10) y(t) = x
0
+
t
t
0
f(s, y(s))ds.
Sc˘azˆand (1.10) din (1.3) ¸si folosind condit ¸ia Lipschitz (1.5), obt ¸inem
(1.11) |x
n
(t) − y(t)| ≤ L
t
t
0
|x
n−1
(s) − y(s)|ds.
Dar, din (1.10) rezult˘ a
(1.12) |y(t) − x
0
| ≤ M(t − t
0
),
Formularea problemei – metoda lui Picard 31
iar din (1.11), t ¸inˆ and cont de (1.12), obt ¸inem prin recurent ¸˘a
|x
n
(t) −y(t)| ≤ L
n
M
(t −t
0
)
n+1
(n + 1)!
≤
M
L
(Lδ)
n+1
(n + 1)!
,
de unde rezult˘ a c˘a x
n
(t) −→ y(t) pentru n → ∞, ∀t ∈ [t
0
− δ, t
0
+ δ] deci
y(·) = x(·), ceea ce ˆıncheie demonstrat ¸ia unicit˘ at ¸ii ¸si a teoremei.
Observat ¸ii.
1. Dac˘a funct ¸ia f admite derivat˘ a part ¸ial˘ a
∂f
∂x
m˘arginit˘ a ˆın D, atunci con-
dit ¸ia Lipschitz (1.5) este verificat˘a ˆın D.
2. Unicitatea solut ¸iei se poate demonstra u¸sor plecˆand de la relat ¸iile (1.3) ¸si
(1.10) ¸si aplicˆand inegalitatea lui Gronwall modulului diferent ¸ei
(x(t) −y(t)).
3. Se poate demonstra c˘ a problema Cauchy (1.1) admite solut ¸ie chiar atunci
cˆand f satisface doar condit ¸ia (i), deci nu este lipschitzian˘ a ˆın a doua
variabil˘ a.
ˆ
In acest caz ˆıns˘ a, nu mai este asigurat˘ a unicitatea dup˘ a cum se poate observa
din exemplul urm˘ ator:
Problema Cauchy
x
=
5
√
x,
x(0) = 0
are pentru t ≥ 0 o infinitate de solut ¸ii
ϕ(t) =
0, 0 ≤ t ≤ C
4
5
(t −C)
5
4
, t ≥ C
C > 0 fiind un num˘ ar arbitrar.
Evaluarea erorii ˆın aproximarea solut ¸iei prin metoda lui Picard
rezult˘ a din
|x(t) −x
n
(t)| ≤
∞
k=n
|x
k+1
(t) −x
k
(t)| ≤
M
L
∞
k=n+1
L
k
(t −t
0
)
k
k!
≤
≤
M
L
∞
k=n+1
(Lδ)
k
k!
<
M
L
(Lδ)
n+1
(n + 1)!
∞
k=0
(Lδ)
k
k!
32 Problema Cauchy pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale
de unde
(1.13) |x(t) −x
n
(t)| ≤
M
L
(Lδ)
n+1
(n + 1)!
e
Lδ
.
Evaluarea (1.13) este valabil˘ a pentru orice t ∈I. Deoarece
(Lδ)
n+1
(n + 1)!
→0 pentru
n −→ ∞, inegalitatea (1.13) ne d˘ a o informat ¸ie asupra num˘ arului de iterat ¸ii
necesare pentru obt ¸inerea solut ¸iei pe ˆıntreg intervalul I, cu o aproximat ¸ie
dorit˘ a.
Exemplu numeric. Se consider˘ a ecuat ¸ia de tip Riccati
x
= x
2
+ tx + t
unde |t| ≤
1
2
,
|x| ≤ 1 ¸si se cere s˘a se aproximeze solut ¸ia care verific˘a condit ¸ia
Cauchy x(0) = 0.
Avem: a =
1
2
,
b = 1, M = 2. Rezult˘a δ = min
1
2
,
1
2
=
1
2
· Apoi ˆın
D =
(t, x); |t| ≤
1
2
,
|x| ≤ 1
avem:
|f(t, x) −f(t, y)| =
x
2
−y
2
+ tx −ty
≤ |x −y||x + y + t| ≤
5
2
|x −y|,
deci L =
5
2
· Inegalitatea (1.13) devine:
|x(t) −x
n
(t)| ≤
4
5
5
4
n+1
(n + 1)!
· e
5
2
·
1
2
,
valabil˘ a pe tot intervalul
−
1
2
,
1
2
.
De exemplu, pentru n = 3
|x(t) −x
3
(t)| ≤
125
1256
· e
5
4
∼
= 0, 2826.
Rezult˘a c˘a x
3
(·) aproximeaz˘ a solut ¸ia exact˘a, ˆın intervalul
−
1
2
,
1
2
, cu o eroare
absolut˘ a mai mic˘a decˆat 0, 2827.
Aproximat ¸iile succesive se calculeaz˘a cu formula (1.3), adic˘ a (ˆın cazul
nostru):
x
n+1
(t) =
t
0
(x
2
n
(s) + sx
n
(s) + s)ds, x
0
= 0.
Existent ¸˘a ¸si unicitate pentru sisteme diferent ¸iale 33
Rezult˘a imediat c˘a:
x
1
(t) =
1
2
t
2
; x
2
(t) =
t
5
20
+
t
4
8
+
t
2
2
;
x
3
(t) =
t
11
4400
+
t
10
800
+
t
9
576
+
t8
160
+
t
7
40
+
t
6
48
+
t
5
20
+
t
4
8
+
t
2
2
·
2.2 Teorema de existent ¸˘a ¸si unicitate pentru
sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordinul I
Fie IR
n
spat ¸iul real de dimensiune n, ale c˘arui elemente sunt vectorii n-
dimensionali de forma x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
) scri¸si sub form˘ a de linie sau coloan˘ a.
Componentele x
1
, x
2
, ..., x
n
ale n-uplului (x
1
, x
2
, ..., x
n
) se numesc coordo-
natele vectorului x.
Spat ¸iul IR
n
se organizeaz˘a ca spat ¸iu liniar (sau vectorial) cu operat ¸iile
obi¸snuite de adunare a vectorilor ¸si ˆınmult ¸ire a vectorilor cu scalari.
Se nume¸ste norm˘ a o funct ¸ie real˘a, notat˘ a · , definit˘ a pe IR
n
, care satis-
face condit ¸iile:
(i) x ≥ 0 pentru orice x ∈ IR
n
, iar x = 0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a toate
componentele lui x sunt nule deci x = 0,
(ii) x+y≤x+y, ∀x, y∈IR
n
, numit˘ a inegalitatea triunghiului,
(iii) λx = |λ|x, ∀λ ∈ IR, x ∈ IR
n
.
Orice norm˘ a induce pe IR
n
o topologie, care permite definirea not ¸iunii de
convergent ¸˘a.
Astfel, vom spune c˘a ¸sirul {x
p
}
∞
p=1
converge la x ˆın norma · , dac˘ a
lim
p→∞
x
p
− x = 0. Evident, condit ¸ia necesar˘a ¸si suficient˘a ca {x
p
} s˘a tind˘ a
c˘atre x, este ca toate componentele lui x
p
= (x
p
1
, x
p
2
, ..., x
p
n
) s˘a tind˘ a c˘atre
componentele corespunz˘atoare ale lui x.
Rezult˘a de aici c˘a oricare dou˘ a norme pe IR
n
definesc aceea¸si convergent ¸˘a,
cu alte cuvinte sunt echivalente.
Printre normele cele mai utilizate pe IR
n
sunt:
(2.1) x
e
=
n
i=1
x
2
i
1/2
, x = (x
1
, ..., x
n
) – norma euclidian˘ a
(2.2) x
1
=
n
i=1
|x
i
|, x = (x
1
, ..., x
n
)
34 Problema Cauchy pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale
(2.3) x
2
= max{|x
i
|, i = 1, ..., n}, x = (x
1
, ..., x
n
).
Dac˘a vectorul x depinde de t ¸si componentele sale sunt funct ¸ii derivabile
de t, vom numi derivata lui x vectorul ale c˘arui componente sunt derivatele
componentelor lui x, adic˘ a:
x
=
dx
dt
=
dx
1
dt
,
dx
2
dt
,
· · ·
,
dx
n
dt
·
De asemenea, definim integrala vectorului x prin:
b
a
x(t)dt =
b
a
x
1
(t)dt,
b
a
x
2
(t)dt, ...,
b
a
x
n
(t)dt
.
Este evident c˘a pentru a < b are loc inegalitatea
b
a
x(t)dt
≤
b
a
x(t)dt.
Cu aceste preg˘atiri putem enunt ¸a teorema de existent ¸˘a ¸si unicitate pentru
sisteme diferent ¸iale.
Teorema 2.1. Fie sistemul diferent ¸ial
(2.4) x
i
= f
i
(t, x
1
, ..., x
n
), i = 1, ..., n,
cu condit ¸iile init ¸iale
(2.5) x
i
(t
0
) = x
0
i
, i = 1, ..., n,
unde f
i
sunt funct ¸ii continue de cele (n+1) argumente ale lor ˆın paralelipipedul
(n + 1)–dimensional
D = {(t, x) ∈ IR
n+1
; |t − t
0
| ≤ a, x − x
0
≤ b; a, b ∈ IR
+
}.
Presupunem c˘ a funct ¸ia vectorial˘ a f(t, x) = (f
1
(t, x), ..., f
n
(t, x)) verific˘ a ˆın D
condit ¸ia lui Lipschitz
f(t, x) − f(t, y) ≤ Lx − y, ∀(t, x), (t, y) ∈ D.
ˆ
In aceste condit ¸ii sistemul diferent ¸ial (2.4) cu condit ¸iile init ¸iale (2.5) are o
solut ¸ie unic˘ a pe intervalul I = {t; |t − t
0
| ≤ δ} unde
δ = min
a
,
b
M
; M = max{f(t, x); (t, x) ∈ D}.
Demonstrat ¸ia Teoremei 2.1 urmeaz˘a pas cu pas pe cea a Teoremei 1.1 astfel
c˘a o l˘ as˘am ˆın seama cititorului.
Ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordin superior 35
2.3 Existent ¸a ¸si unicitatea solut ¸iei unei ecuat ¸ii
diferent ¸iale de ordin superior
Consider˘ am ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a de ordinul n, scris˘a sub forma normal˘ a
(3.1) x
(n)
= f(t, x, x
, ..., x
(n−1)
).
Prin solut ¸ie pentru ecuat ¸ia (3.1) pe intervalul I⊂IR ˆınt ¸elegem o funct ¸ie de
clas˘a C
n
pe I, care verific˘ a relat ¸ia (3.1) ˆın orice punct t ∈ I, iar prin problem˘ a
Cauchy asociat˘a ecuat ¸iei (3.1) ˆınt ¸elegem determinarea unei solut ¸ii x care la
un moment dat t = t
0
∈ I verific˘ a condit ¸iile
(3.2) x(t
0
) = x
0
1
, x
(t
0
) = x
0
2
, ..., x
(n−1)
(t
0
) = x
0
n
;
x
0
1
, x
0
2
, ..., x
0
n
fiind fixate.
Prin intermediul transform˘ arii
(3.3) x
1
= x, x
2
= x
, ..., x
n
= x
(n−1)
ecuat ¸ia (3.1) devine echivalent˘ a cu sistemul diferent ¸ial de ordinul 1
(3.4)
x
1
= x
2
x
2
= x
3
.
.
.
x
n−1
= x
n
x
n
= f(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
iar condit ¸iile init ¸iale devin
(3.5) x
i
(t
0
) = x
0
i
, i = 1, 2, ..., n.
ˆ
In acest fel, pentru a rezolva problema Cauchy asociat˘ a ecuat ¸iei (3.1) este
suficient s˘a rezolv˘am problema Cauchy asociat˘a sistemului (3.4).
Presupunem c˘ a f satisface urm˘atoarele condit ¸ii
(i) f este continu˘a pe mult ¸imea D={(t, x
1
, ..., x
n
)∈IR
n+1
; |t −t
0
|≤a,
x
i
−x
0
i
≤ b, i = 1, 2, ..., n; a, b ∈ IR
+
}
(ii) f verific˘ a ˆın D condit ¸ia Lipschitz
|f(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)−f(t, y
1
, y
2
, ..., y
n
)|≤Lmax{|x
i
−y
i
|; i = 1, 2, ..., n}
pentru tot ¸i (t, x
1
, x
2
, ..., x
n
), (t, y
1
, y
2
, ..., y
n
) din D.
36 Problema Cauchy pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale
Teorema care urmeaz˘a este un caz particular al Teoremei 2.1.
Teorema 3.1. Dac˘ a sunt verificate condit ¸iile (i) ¸si (ii), problema Cauchy
(3.1), (3.2) admite o solut ¸ie unic˘ a x=x(t) definit˘ a pe intervalul I={t; |t−t
0
|≤δ}
unde δ = min
a
,
b
M
¸si
M = max{|f(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)|, |x
2
|, ..., |x
n
|; (t, x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ D}.
Exemplul 3.1. S˘ a se rezolve problema Cauchy
t
3
x
+ 3t
2
x
+ tx
−x = 0, x(1) = 0, x
(1) = 0, x
(1) = 1.
Solut ¸ie. Ecuat ¸ia este de tip Euler. F˘ acˆand, pentru t > 0, substitut ¸ia t = e
τ
,
ecuat ¸ia devine
d
3
x
dτ
3
−x = 0 care este ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a liniar˘ a cu coeficient ¸i
constant ¸i ¸si are solut ¸ia
x(τ) = C
1
e
τ
+ e
−τ/2
C
2
cos
√
3
2
τ + C
3
sin
√
3
2
τ
¸si, revenind la substitut ¸ie, g˘asim solut ¸ia general˘a
x(t) = C
1
t +
1
√
t
C
2
cos
√
3
2
ln t
+ C
3
sin
√
3
2
ln t
, t > 0.
Impunˆ and condit ¸iile init ¸iale, g˘asim C
1
=
1
3
,
C
2
= −
1
3
,
C
3
= −
1
√
3
¸si deci
solut ¸ia problemei este
x(t) =
1
3
t −
1
√
3
1
3
cos
√
3
2
ln t
+
1
√
3
sin
√
3
2
ln t
, t > 0.
ˆ
In cazul ˆın care nu sunt ˆındeplinite condit ¸iile teoremei, nu avem unicitate
dup˘ a cum se poate vedea din exemplul urm˘ ator.
Exemplul 3.2. Ecuat ¸ia neliniar˘ a de ordinul al doilea
3(x
)
2
x
+ 24(1 −x) = 0; x(0) = 1, x
(0) = 0,
are cel put ¸in trei solut ¸ii: x(t) = 1, x(t) = 1 −t
2
¸si x(t) = 1 + t
2
.
Prelungibilitatea solut ¸iei 37
2.4 Prelungibilitatea unei solut ¸ii cu condit ¸ii
init ¸iale date
S˘ a consider˘am problema Cauchy
(4.1)
x
= f(t, x)
x(t
0
) = x
0
unde f este o funct ¸ie continu˘ a ˆıntr-un domeniu D⊂IR
2
.
Dac˘a derivata part ¸ial˘ a
∂f
∂x
este continu˘a ˆın D, atunci, a¸sa cum am v˘azut ˆın
Teorema 1.1, problema Cauchy (4.1) admite o solut ¸ie local˘a unic˘ a (deoarece se
poate construi un paralelipiped centrat ˆın (t
0
, x
0
), ˆın care funct ¸ia f satisface
condit ¸ia lui Lipschitz relativ la x).
Uneori, chiar pentru ecuat ¸ii neliniare foarte simple, nu exist˘ a o solut ¸ie pe
ˆıntregul interval de variat ¸ie al variabilei t, inclus ˆın proiect ¸ia pe Ot a lui D.
Spunem c˘ a solut ¸ia x = ϕ(t) a problemei (4.1) definit˘ a pe un interval
I = [a, b] este prelungibil˘ a dac˘a exist˘a o solut ¸ie x = ψ(t) a problemei, definit˘ a
pe un interval J⊃I astfel ˆıncˆ at ϕ ≡ ψ pe I. Prelungibilitatea solut ¸iei x = ϕ(t)
la stˆ anga punctului t = a, respectiv la dreapta punctului t = b, se define¸ste ˆın
mod natural. O solut ¸ie care nu este prelungibil˘ a se nume¸ste saturat˘ a. Din teo-
rema de existent ¸˘a ¸si unicitate local˘ a (cazul lipschitzian) rezult˘ a c˘a intervalul
de definit ¸ie al unei solut ¸ii saturate este deschis.
De exemplu, problema Cauchy
x
= x
2
+ 1
x(0) = 0
are ca solut ¸ie funct ¸ia x = tg t care nu poate fi prelungit˘ a decˆat pˆ an˘ a la inter-
valul deschis
−
π
2
,
π
2
·
ˆ
In teorema care urmeaz˘a d˘ am un criteriu simplu de prelungibilitate.
Teorema 4.1. Fie problema Cauchy (4.1) unde f este o funct ¸ie continu˘ a
ˆın ambele variabile, lipschitzian˘ a ˆın variabila x ¸si m˘ arginit˘ a ˆın D. Fie (a, b)
intervalul finit pe care s-a definit solut ¸ia x(·) a problemei (4.1).
ˆ
In acest caz
exist˘ a
lim
t→a
t>a
= x(a
+
) ¸si lim
t→b
t<b
= x(b
−
).
Presupunem c˘ a (b, x(b
−
)) ∈ D.
ˆ
In acest caz solut ¸ia poate fi prelungit˘ a la
dreapta punctului t = b. Prelungibilitatea la stˆ anga punctului t = a se trateaz˘ a
ˆın mod similar.
38 Problema Cauchy pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale
Demonstrat ¸ie. Presupunem c˘ a |f(t, x)| ≤ M pentru (t, x) ∈ D.
Problema Cauchy (4.1) este echivalent˘ a cu ecuat ¸ia integral˘ a
x(t) = x
0
+
t
t
0
f(s, x(s))ds.
Dac˘a t
1
, t
2
∈ (a, b), atunci:
|x(t
2
) −x(t
1
)| =
t
2
t
1
f(s, x(s))ds
≤ M|t
2
−t
1
|,
inegalitate care, ˆın baza teoremei lui Cauchy asupra limitelor de funct ¸ii, im-
plic˘ a existent ¸a limitelor laterale x(a
+
) ¸si x(b
−
). Acum, deoarece (b, x(b
−
))∈D
putem aplica din nou teorema lui Cauchy–Picard care stabile¸ste existent ¸a unei
solut ¸ii ˆıntr-o vecin˘ atate a punctului t = b care coincide cu solut ¸ia x(·) pentru
t < b, din cauza unicit˘ at ¸ii.
Corolarul 4.1. Fie sistemul de ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai, liniare:
x
i
=
n
j=1
a
ij
(t)x
j
+ b
i
(t), i = 1, 2, ..., n,
unde funct ¸iile a
ij
(·) ¸si b
i
(·) sunt continue ˆıntr-un interval I al axei reale.
Pentru orice t
0
∈ I ¸si orice numere reale α
i
(i = 1, 2, ..., n), sistemul
admite o solut ¸ie unic˘ a x(t) = (x
1
(t), ..., x
n
(t)) care verific˘ a condit ¸iile init ¸iale
x
i
(t
0
) = α
i
, (i = 1, 2, ..., n).
Aceast˘a solut ¸ie este prelungibil˘ a pe ˆıntregul interval I.
2.5 Probleme
S˘ a se rezolve urm˘atoarele probleme Cauchy
1.
x
= −xcos t + sin t cos t
x(π) = 0;
2.
x
=
2x
2
−tx
t
2
−tx + x
2
x(0) = 1;
3.
x
=
tx
t
2
−x
4
x(1) = 1;
4.
x
= −2tx + 2te
−t
2
x(0) = 1;
Probleme 39
5.
x
= te
t
x(0) = x
(0) = x
(0) = 0.
6. S˘ a se construiasc˘a primele trei aproximat ¸ii succesive pentru solut ¸iile
problemelor Cauchy
a)
x
= t −
x
2
t
x(1) = 0;
b)
x
= tx −y
2
y
= xy −2
x(0) = −2, y(0) = 1.
7. Fie problema Cauchy
x
= −x
2
x(0) = 1
y
= xy y(0) = 5
(i) S˘ a se arate c˘a aceast˘a problem˘ a are solut ¸ie unic˘ a ˆın orice interval care
cont ¸ine originea.
(ii) Folosind metoda aproximat ¸iilor succesive s˘a se afle solut ¸ia sistemului.
8. Fie x ¸si y solut ¸iile problemelor Cauchy
x
=
√
x
2
−1, x(0) = 1
y
=
y
2
+ 1, y(0) = 0
Presupunˆ and c˘ a are loc teorema de existent ¸˘a ¸si unicitate s˘a se arate c˘a x
= y,
y
= x ¸si apoi s˘a se rezolve cele dou˘a ecuat ¸ii.
9. S˘ a se construiasc˘a primele trei aproximat ¸ii succesive pentru solut ¸iile
problemelor Cauchy:
(i) x
= t
2
+ x
2
, x(0) = 1;
(ii) x
= 3tx −2e
2x−1
, x(0) =
1
2
.
10. Fie problema Cauchy
x
+ 2x
+ αx = 0, α ∈ IR, x(0) = 0, x
(1) = 1.
S˘ a se discute ˆın funct ¸ie de parametrul α existent ¸a solut ¸iei acestei probleme.
40 Problema Cauchy pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale
11. S˘ a se arate c˘a exist˘a un interval pentru care solut ¸iile problemelor
Cauchy de mai jos exist˘a ¸si sunt unice. S˘ a se determine apoi primele trei
aproximat ¸ii succesive pentru solut ¸iile acestor probleme.
a)
x
= 3t + x
3
x(0) = 0;
b)
x
−tx
= t
2
+ x
2
x(0) = 0, x
(0) = 1.
Capitolul 3
Ecuat ¸ii ¸si sisteme de ecuat ¸ii
diferent ¸iale liniare.
Transformata Laplace
3.1 Ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare
Definit ¸ii
O ecuat ¸ie de forma:
(1.1) x
(n)
+ a
1
(t)x
(n−1)
+ · · · + a
n−1
(t)x
+ a
n
(t)x = f(t)
se nume¸ste ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a liniar˘ a de ordinul n. Peste tot ˆın cele ce
urmeaz˘a vom presupune c˘ a funct ¸iile a
1
, ..., a
n
, f sunt continue pe un inter-
val I, numit interval de definit ¸ie al ecuat ¸iei diferent ¸iale. Dac˘a funct ¸ia f este
identic nul˘ a pe I, ecuat ¸ia (1.1) se nume¸ste omogen˘ a, iar ˆın caz contrar neo-
mogen˘ a. Fie C
n
(I) mult ¸imea funct ¸iilor derivabile de n ori pe intervalul I cu
derivata de ordinul n continu˘ a ¸si L operatorul definit pe C
n
(I) prin:
L(x) = x
(n)
+ a
1
(t)x
(n−1)
+ · · · + a
n−1
(t)x
+ a
n
(t)x.
Remarc˘am c˘a acest operator este liniar adic˘ a verific˘ a relat ¸iile:
(1.2) L(x
1
+ x
2
) = L(x
1
) + L(x
2
); L(cx) = cL(x), c ∈ IR.
Fie X o solut ¸ie particular˘ a a ecuat ¸iei (1.1). Dac˘a x este o solut ¸ie oarecare
a ecuat ¸iei (1.1) ¸si facem substitut ¸ia x = X + y rezult˘ a (deoarece L(x) =
L(X) + L(y) = f(t)) c˘a y verific˘ a ecuat ¸ia
(1.3) y
(n)
+ a
1
(t)y
(n−1)
+ a
2
(t)y
(n−2)
+ · · · + a
n−1
(t)y
+ a
n
(t)y = 0
42 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
care se nume¸ste ecuat ¸ia omogen˘ a asociat˘ a ecuat ¸iei (1.1).
De aici rezult˘a c˘a solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei (1.1) se obt ¸ine ca suma dintre
o solut ¸ie particular˘ a a ecuat ¸iei (1.1) ¸si solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei (1.3).
Pe de alt˘a parte, dac˘ a y
1
, y
2
, ..., y
k
sunt k solut ¸ii ale ecuat ¸iei (1.3) iar c
i
∈
IR, i = 1, k, atunci ¸si c
1
y
1
+ c
2
y
2
+ · · · + c
k
y
k
este solut ¸ie a ecuat ¸iei (1.3).
ˆ
In
mod firesc se pune ˆıntrebarea: cˆ ate solut ¸ii particulare ale ecuat ¸iei (1.3) sunt
necesare ¸si ce propriet˘ at ¸i trebuie s˘ a aib˘ a acestea pentru a putea obt ¸ine cu
ajutorul lor orice solut ¸ie a ecuat ¸iei (1.3).
ˆ
In acest scop sunt necesare cˆateva
not ¸iuni care se introduc ˆın paragraful urm˘ ator.
Dependent ¸˘a ¸si independent ¸˘a liniar˘a a unor funct ¸ii
Un sistem de n funct ¸ii x
1
, x
2
, ..., x
n
, continue ˆıntr-un interval I, se numesc
liniar dependente ˆın I dac˘a exist˘a constantele c
1
, c
2
, ..., c
n
nu toate nule, astfel
ˆıncˆ at pentru orice t ∈ I s˘a aib˘ a loc egalitatea
c
1
x
1
(t) + c
2
x
2
(t) + · · · + c
n
x
n
(t) = 0.
ˆ
In caz contrar, spunem c˘ a sistemul de funct ¸ii este liniar independent. S˘ a
observ˘ am faptul c˘ a nu este u¸sor de verificat, cu ajutorul definit ¸iei, dependent ¸a
sau independent ¸a liniar˘ a a unui sistem de funct ¸ii. Acest lucru se dovede¸ste a
fi simplu dac˘ a utiliz˘ am not ¸iunea de wronskian.
Dac˘a funct ¸iile x
1
, x
2
, ..., x
n
sunt de clas˘a C
n−1
pe intervalul I, determinan-
tul
W(x
1
, x
2
, ..., x
n
) =
x
1
x
2
. . . x
n
x
1
x
2
· · · x
n
.........................................
x
(n−1)
1
x
(n−1)
2
· · · x
(n−1)
n
se nume¸ste wronskianul sistemului de funct ¸ii.
S˘ a presupunem acum c˘a x
1
, x
2
, ..., x
n
sunt solut ¸ii ale ecuat ¸iei diferent ¸iale
liniare ¸si omogene de ordinul n
(1.4) x
(n)
+ a
1
(t)x
(n−1)
+ a
2
(t)x
(n−2)
+ · · · + a
n−1
(t)x
(t) + a
n
(t)x = 0
Dorim s˘ a verific˘ am dac˘a aceste funct ¸ii sunt sau nu liniar independente.
Presupunˆ and c˘ a sunt liniar dependente rezult˘ a c˘a exist˘a constantele
c
1
, c
2
, .., c
n
, nu toate nule astfel ˆıncˆ at
(1.5) c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ · · · + c
n
x
n
= 0 pe I.
Ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 43
Deoarece x
i
sunt solut ¸ii ale ecuat ¸iei (1.4) rezult˘ a c˘a exist˘a derivatele
x
i
, x
i
, ..., x
(n−1)
i
iar relat ¸ia (1.5) conduce, prin derivare succesiv˘ a, la sistemul
(1.6)
c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ · · · + c
n
x
n
= 0
c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ · · · + c
n
x
n
= 0
............................................
c
1
x
(n−1)
1
+ c
2
x
(n−1)
2
+ · · · + c
n
x
(n−1)
n
= 0.
Sistemul (1.6) poate fi privit ca un sistem omogen de ecuat ¸ii liniare ˆın
necunoscutele c
1
, c
2
, ..., c
n
. Acest sistem are ¸si alt˘a solut ¸ie ˆınafar˘ a de solut ¸ia
banal˘ a dac˘a ¸si numai dac˘ a determinantul matricii sistemului este nul.
Ori aceastaˆınseamn˘a c˘aˆın orice punct din I wronskianul funct ¸iilor x
1
, ..., x
n
este nul. Cu alte cuvinte, am demonstrat urm˘ atorul rezultat.
Teorema 1.1. Solut ¸iile x
1
, x
2
, ..., x
n
ale ecuat ¸iei diferent ¸iale (1.4) sunt liniar
independente pe I dac˘ a ¸si numai dac˘ a wronskianul lor W(x
1
, x
2
, ..., x
n
) este
nenul ˆın orice punct al intervalului I.
Sistem fundamental de solut ¸ii al unei ecuat ¸ii liniare omogene
Fie ecuat ¸ia
(1.7) x
(n)
+ a
1
(t)x
(n−1)
+ a
2
(t)x
(n−2)
+ · · · + a
n−1
(t)x
+ a
n
(t)x = 0
Teorema 1.2 (Liouville). Fie W(t) wronskianul unui sistem de n solut ¸ii ale
ecuat ¸iei (1.1). Atunci, are loc egalitatea
(1.8) W(t) = W(t
0
) exp
−
t
t
0
a
1
(s)ds
, ∀t, t
0
∈ I.
Demonstrat ¸ie. Pentru simplificarea scrierii vom lua n = 3; fie x
1
(t), x
2
(t),
x
3
(t) trei solut ¸ii ale ecuat ¸iei (1.7). Avem:
W(x
1
, x
2
, x
3
) =
x
1
x
2
x
3
x
1
x
2
x
3
x
1
x
2
x
3
Derivˆ and acest determinant ˆın raport cu t ¸si t ¸inˆ and cont de regula de derivare
a unui determinant ¸si de ecuat ¸ia (1.7) pentru n = 3, avem:
dW
dt
=
x
1
x
2
x
3
x
1
x
2
x
3
x
1
x
2
x
3
=
x
1
· · ·
x
1
· · ·
−a
1
(t)x
1
− a
2
(t)x
1
− a
3
(t)x
1
· · ·
44 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
unde ˆın ultimul determinant s-a scris numai prima coloan˘ a. Scriind acest
determinant ca o sum˘a de trei determinant ¸i, doi dintre ace¸stia sunt nuli, avˆ and
cˆate dou˘ a linii proport ¸ionale.
ˆ
In acest fel se obt ¸ine
dW
dt
= −a
1
(t)W,
care conduce la formula (1.8). Cazul general se trateaz˘ a analog.
Rezultatul stabilit ˆın Teorema 1.2 permite introducerea not ¸iunii de sistem
fundamental de solut ¸ii.
Definit ¸ia 1.1. Un sistem de n solut ¸ii ale ecuat ¸iei (1.7) se nume¸ste fundamen-
tal dac˘a cel put ¸in ˆıntr-un punct din I (de fapt pe tot intervalul) wronskianul
lor nu se anuleaz˘ a.
Utilitatea sistemului fundamental de solut ¸ii reiese din teorema urm˘atoare.
Teorema 1.3. Dac˘ a se cunoa¸ste un sistem fundamental de solut ¸ii pentru
(1.7), orice alt˘ a solut ¸ie este o combinat ¸ie liniar˘ a a solut ¸iilor din sistemul fun-
damental.
Demonstrat ¸ie. Dac˘a x este o solut ¸ie a ecuat ¸iei (1.7) care ˆın punctul t
0
∈ I
satisface condit ¸iile
x(t
0
) = q
0
, x
(t
0
) = q
1
, ..., x
(n−1)
(t
0
) = q
n−1
,
este suficient s˘a ar˘ at˘ am c˘a exist˘a c
1
, c
2
, ..., c
n
∈ IR astfel ˆıncˆ at
x = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+· · · + c
n
x
n
.
Condit ¸iile init ¸iale satisf˘acute de x conduc la sistemul liniar algebric
c
1
x
1
(t
0
) + c
2
x
2
(t
0
) +· · · + c
n
x
n
(t
0
) = q
0
,
c
1
x
1
(t
0
) + c
2
x
2
(t
0
) +· · · + c
n
x
n
(t
0
) = q
1
,
.
.
.
c
1
x
(n−1)
1
(t
0
) + c
2
x
(n−1)
2
(t
0
) +· · · + c
n
x
(n−1)
n
(t
0
) = q
n−1
care are o solut ¸ie unic˘ a deoarece este un sistem de tip Cramer cu determinantul
W(t
0
) = 0, ceea ce ˆıncheie demonstrat ¸ia teoremei.
Ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 45
Ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare neomogene
Presupunˆ and c˘ a se cunoa¸ste un sistem fundamental de solut ¸ii pentru ecuat ¸ia
omogen˘a
(1.9) x
(n)
+ a
1
(t)x
(n−1)
+· · · + a
n−1
(t)x
+ a
n
(t)x = 0
utilizˆ and metoda variat ¸iei constantelor (Lagrange) se poate obt ¸ine (prin cuadra-
turi) o solut ¸ie particular˘ a a ecuat ¸iei neomogene
(1.10) x
(n)
+ a
1
(t)x
(n−1)
+· · · + a
n−1
(t)x
+ a
n
(t)x = f(t).
Schit ¸˘am (pentru simplitate) cum se face acest lucru pentru cazul n = 3.
Pentru aceasta, presupunem c˘ a x
1
, x
2
, x
3
formeaz˘a un sistem fundamental
de solut ¸ii pentru (1.9). Solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei (1.9) va fi dat˘ a de
(1.11) x = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ c
3
x
3
, c
1
, c
2
, c
3
∈ IR.
Metoda variat ¸iei constantelor const˘a ˆın a considera pe c
1
, c
2
, c
3
ca funct ¸ii
de variabil˘ a independent˘ a t ¸si a le determina astfel ˆıncˆ at x = c
1
(t)x
1
(t) +
c
2
(t)x
2
(t) +c
3
(t)x
3
(t) s˘a fie o solut ¸ie a ecuat ¸iei (1.10).
ˆ
In acest scop impunem
funct ¸iilor c
1
, c
2
, c
3
s˘a satisfac˘a ˆımpreun˘ a cu x
1
, x
2
, x
3
sistemul
(1.12)
c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ c
3
x
3
= 0
c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ c
3
x
3
= 0
c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ c
3
x
3
= f(t).
Deoarece wronskianul funct ¸iilor x
1
, x
2
, x
3
nu se anuleaz˘a ˆın intervalul I
rezult˘ a c˘a sistemul (1.12) este un sistem Cramer cu solut ¸ie unic˘ a pentru orice
t ∈ I. Funct ¸iile c
1
(·), c
2
(·), c
3
(·) se obt ¸in prin cuadraturi, apoi cu ajutorul lor
se obt ¸ine solut ¸ia particular˘ a
(1.13) x(t) = c
1
(t)x
1
(t) + c
2
(t)x
2
(t) + c
3
(t)x
3
(t)
a ecuat ¸iei (1.10) pentru n = 3. Rezult˘a c˘a solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei (1.10)
va fi dat˘ a de suma dintre solut ¸ia general˘a (1.11) a ecuat ¸iei (1.9) ¸si solut ¸ia
particular˘ a (1.13) a ecuat ¸iei (1.10).
Exemplu. Studiul ˆıncovoierii unei pl˘ aci subt ¸iri, circulare, ˆıncastrate pe contur
¸si supus˘ a unei sarcini concentrate ˆın centrul ei se face prin intermediul ecuat ¸iei
diferent ¸iale
x
2
d
2
ϕ
dx
2
+ x
dϕ
dx
−ϕ = kx, x ∈ (0, r],
46 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
unde k = const. S˘ a se determine solut ¸ia care satisface condit ¸iile limit˘ a,
lim
x→0
ϕ(x) = 0, ϕ(r) = 0, ¸stiind c˘ a ecuat ¸ia omogen˘a admite solut ¸ia particu-
lar˘ a ϕ
1
(x) = x.
Solut ¸ie. Luˆ and ecuat ¸ia omogen˘a asociat˘a
x
2
d
2
ϕ
dx
2
+ x
dϕ
dx
−ϕ = 0
¸si f˘ acˆand substitut ¸ia ϕ(x) = xy(x), obt ¸inem pentru y ecuat ¸ia xy
+ 3y
= 0
care d˘a solut ¸ia particular˘ a y(x) =
1
x
2
, deci ϕ
2
(x) =
1
x
·
Deoarece wronskianul solut ¸iilor ϕ
1
, ϕ
2
este diferit de zero pe (0, r], rezult˘ a
c˘a acestea sunt liniar independente, deci solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei omogene
este
ϕ(x) = c
1
x + c
2
1
x
,
x ∈ (0, r].
Pentru ecuat ¸ia neomogen˘a se caut˘a o solut ¸ie particular˘ a prin metoda varia-
t ¸iei constantelor ¸si se g˘ase¸ste
c
1
=
k
2x
c
2
=
−k
2
x
deci c
1
(x) =
k
2
ln x, c
2
(x) =
−k
4
x
2
¸si ϕ
p
(x) =
kx
2
ln x −
k
4
x, x ∈ (0, r], iar
solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei neomogene este
ϕ(x) =
k
2
ln x + c
1
x +
c
2
−
k
4
x
2
1
x
,
x ∈ (0, r].
Condit ¸iile la limit˘ a implic˘ a c
1
=
−k
2
ln r +
k
4
,
c
2
= 0 care determin˘a solut ¸ia
ϕ(x) =
kx
2
ln
x
r
,
x ∈ (0, r].
Ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare cu coeficient ¸i constant ¸i
Pentruˆınceput ne ocup˘ am de g˘asirea unui sistem fundamental de solut ¸ii pentru
ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
(1.14) x
(n)
+ a
1
x
(n−1)
+· · · + a
n−1
x
+ a
n
x = 0
unde a
1
, a
2
, ..., a
n
sunt constante reale.
Ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 47
Se caut˘a o solut ¸ie particular˘ a de forma e
λt
; calculˆ and derivatele succesive
ale acestei funct ¸ii ¸si ˆınlocuind ˆın (1.14) se obt ¸ine:
(1.15) e
λt
(λ
n
+ a
1
λ
n−1
+ · · · + a
n−1
λ + a
n
) = 0
Polinomul
P(λ) = λ
n
+ a
1
λ
n−1
+ · · · + a
n−1
λ + a
n
se nume¸ste polinomul caracteristic ata¸sat ecuat ¸iei diferent ¸iale (1.14) iar
(1.16) λ
n
+ a
1
λ
n−1
+ · · · + a
n−1
λ + a
n
= 0
ecuat ¸ia caracteristic˘ a corespunz˘atoare acestei ecuat ¸ii diferent ¸iale.
Din (1.15) rezult˘ a c˘a e
λt
este solut ¸ie a ecuat ¸iei (1.14) dac˘ a ¸si numai dac˘ a
λ este r˘ad˘ acin˘ a a ecuat ¸iei caracteristice ata¸sate.
Dup˘ a cum se ¸stie, teorema fundamental˘ a a algebrei afirm˘ a c˘a ecuat ¸ia ca-
racteristic˘a admite, ˆın cazul numerelor complexe, exact n r˘ ad˘ acini. Problema
determin˘ arii efective a acestora nu este ˆıns˘ a ˆıntotdeauna simpl˘ a.
ˆ
In continuare analiz˘ am cazurile care apar ˆın rezolvarea ecuat ¸iei (algebrice)
caracteristice (1.16).
Cazul I. Ecuat ¸ia caracteristic˘a are r˘ad˘acini distincte, λ
1
, λ
2
, ..., λ
n
. Co-
respunz˘ator, se obt ¸in n solut ¸ii ale ecuat ¸iei diferent ¸iale (1.14):
x
1
= e
λ
1
t
, x
2
= e
λ
2
t
, ..., x
n
= e
λnt
,
fie c˘a r˘ ad˘ acinile distincte ale ecuat ¸iei caracteristice sunt reale sau complexe.
Calculˆ and wronskianul acestui sistem de solut ¸ii ˆın punctul t = 0 g˘ asim
W(0) =
1≤i<j≤n
(λ
j
− λ
i
) care este nenul, deci sistemul este independent.
Solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei (1.14) este
x(t) = c
1
e
λ
1
t
+ c
2
e
λ
2
t
+ · · · + c
n
e
λnt
care arat˘ a c˘a este definit˘a pe toat˘ a axa real˘ a.
Dac˘a ecuat ¸ia (1.16) are r˘ ad˘ acini complexe, ele sunt grupate ˆın perechi
conjugate, λ
1
= α + βi, λ
2
= α − βi etc.
Solut ¸iile e
λ
1
t
¸si e
λ
2
t
pot fi ˆınlocuite cu
(1.17)
e
αt
cos βt =
1
2
e
(α+βi)t
+ e
(α−βi)t
e
αt
sin βt =
1
2i
e
(α+βi)t
− e
(α−βi)t
48 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
care sunt ¸si ele liniar independente.
ˆ
In consecint ¸˘a, ˆın cazul ˆın care ecuat ¸ia caracteristic˘a admite r˘ ad˘ acini dis-
tincte solut ¸ia general˘a se obt ¸ine ca o combinat ¸ie liniar˘ a de exponent ¸iale ¸si
expresii de forma (1.17).
Cazul II. Ecuat ¸ia caracteristic˘a are r˘ad˘acini multiple. Fie L operatorul
diferent ¸ial liniar
L(x) = x
(n)
+ a
1
x
(n−1)
+ a
2
x
(n−2)
+· · · + a
n−1
x
+ a
n
x.
Utilizˆ and formula lui Leibniz de derivare a produsului a dou˘ a funct ¸ii, se
stabile¸ste u¸sor formula
(1.18) L(ye
λt
) = e
λt
yP
(λ)
+ y
P
(λ)
1!
+· · · + y
(n)
P
(n)
(λ)
n!
·
S˘ a presupunem c˘ a λ
1
este r˘ad˘ acin˘ a multipl˘ a a ecuat ¸iei caracteristice, de
ordinul de multiplicitate m
1
≤ n , deci c˘a:
P(λ
1
) = P
(λ
1
) = · · · = P
(m
1
−1)
(λ
1
) = 0, iar P
(m
1
)
(λ
1
) = 0.
Avˆ and ˆın vedere formula (1.18), ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a L(ye
λ
1
t
) = 0 devine:
y
(m
1
)
P
(m
1
)
(λ
1
)
m
1
!
+ y
(m
1
+1)
P
(m
1
+1)
(λ
1
)
(m
1
+ 1)!
+· · · + y
(n)
P
(n)
(λ
1
)
n!
= 0
¸si admite ca solut ¸ie particular˘ a un polinom de gradul (m
1
−1) ˆın t. Deci, co-
respunz˘ator r˘ ad˘ acinii λ
1
de ordin m
1
de multiplicitate, ecuat ¸ia (1.14) admite
o solut ¸ie de forma:
e
λ
1
t
(c
0
+ c
1
t + c
2
t
2
+· · · + c
m
1
−1
t
m
1
−1
),
adic˘ a m
1
solut ¸ii de forma:
e
λ
1
t
, te
λ
1
t
, t
2
e
λ
1
t
, ..., t
m
1
−1
e
λ
1
t
.
Presupunˆ and c˘ a ecuat ¸ia caracteristic˘a are r˘ ad˘ acinile distincte λ
1
, λ
2
, ..., λ
k
cu
multiplicit˘ at ¸ile m
1
, m
2
, ..., m
k
(m
1
+m
2
+· · · +m
k
= n) din rat ¸ionamentul de
mai sus, rezult˘ a c˘a ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a (1.14) admite solut ¸iile
(1.19) e
λ
1
t
P
1
(t), e
λ
2
t
P
2
(t), ..., e
λ
k
t
P
k
(t),
unde P
1
(t), P
2
(t), ..., P
k
(t) sunt polinoame de grade (m
1
−1), (m
2
−1), ...,
(m
k
−1), cont ¸inˆ and ˆın total m
1
+m
2
+· · · +m
k
= n constante arbitrare, adic˘ a
Ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 49
n solut ¸ii ale ecuat ¸iei diferent ¸iale.
ˆ
In final, ar˘ at˘am c˘a cele n solut ¸ii formeaz˘a
un sistem fundamental. Pentru aceasta este suficient s˘ a demonstr˘ am:
Lema 1.1. Dac˘ a
(1.20) Q
1
(t)e
λ
1
t
+ Q
2
(t)e
λ
2
t
+· · · + Q
k
(t)e
λ
k
t
= 0, ∀t ∈ IR
unde Q
i
(t) sunt polinoame cu coeficient ¸i reali sau complec¸si, iar λ
1
, λ
2
, ..., λ
k
sunt numere reale sau complexe diferite ˆıntre ele, atunci toate polinoamele Q
i
,
i = 1, 2, ..., k sunt identic nule.
Demonstrat ¸ie. Cazul k = 1 este banal deoarece exponent ¸iala este diferit˘a
de zero ˆın orice punct.
Presupunˆ and acum k ≥ 2, relat ¸ia (1.20) este echivalent˘a cu
(1.21) Q
1
(t) + Q
2
(t)e
(λ
2
−λ
1
t)
+· · · + Q
k
(t)e
(λ
k
−λ
1
)t
= 0.
Derivˆ and ˆın raport cu t membrul drept al relat ¸iei (1.21), gradul lui Q
1
(t)
se reduce cu o unitate, iar ceilalt ¸i termeni r˘amˆan de aceea¸si form˘a, deoarece:
d
dt
Q
i
(t)e
(λ
i
−λ
1
)t
=
Q
i
(t) + (λ
i
−λ
1
)Q
i
(t)
e
(λ
i
−λ
1
)t
.
Dac˘a gradul polinomului Q
1
(t) este m ¸si deriv˘ am relat ¸ia (1.21) de (m+1)
ori, se obt ¸ine o identitate de forma:
R
1
(t)e
(λ
2
−λ
1
)t
+ R
2
(t)e
(λ
3
−λ
1
)t
+· · · + R
k−1
(t)e
(λ
k
−λ
1
)t
= 0,
ˆın care tot ¸i exponent ¸ii (λ
i
−λ
1
) sunt diferit ¸i ˆıntre ei, iar polinoamele R
1
(t), ...,
R
k−1
(t) nu sunt toate identic nule. Continuˆ and ˆın acela¸si mod, se ajunge
la o identitate cu un singur termen care, a¸sa cum am v˘azut ˆın cazul k = 1,
conduce la o imposibilitate; rezult˘ a c˘a cele n solut ¸ii cuprinse ˆın (1.19) formeaz˘ a
un sistem fundamental. Dac˘ a ecuat ¸ia caracteristic˘a are r˘ ad˘ acini complexe
multiple, se procedeaz˘a la fel ca ˆın cazul I.
De exemplu, dac˘a λ
1
= α+βi, λ
2
= α−β
i
sunt r˘ ad˘ acini multiple de ordin
q (2q ≤ n), relativ la aceste r˘ ad˘ acini, obt ¸inem solut ¸iile reale
e
αt
(P
1
(t) cos βt + Q
1
(t) sin βt),
unde P
1
(t) ¸si Q
1
(t) sunt polinoame de gradul q − 1, adic˘ a ˆın total 2q solut ¸ii
particulare, deoarece ˆın expresia precedent˘ a intervin 2q constante arbitrare.
Sintetizˆ and, am obt ¸inut urm˘ atorul rezultat:
50 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
Teorema 1.4. Dac˘ a ecuat ¸ia caracteristic˘ a (1.16) are r˘ ad˘ acinile reale
λ
1
, λ
2
, ..., λ
p
cu ordinele de multiplicitate m
1
, m
2
, ..., m
p
¸si r˘ ad˘ acinile complexe
α
1
± iβ
1
, α
2
± iβ
2
, ..., α
q
± iβ
q
cu ordinele de multiplicitate s
1
, s
2
, ..., s
q
unde
m
1
+ m
2
+ · · · + m
p
+ 2(s
1
+ s
2
+ · · · + s
q
) = n, atunci urm˘ atorul sistem de
funct ¸ii este un sistem fundamental de solut ¸ii pentru ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a (1.14)
e
λ
1
t
, te
λ
1
t
, ..., t
m
1
−1
e
λ
1
t
..........................................
e
λmp
t
, te
λmp
t
, ..., t
mp−1
e
λmp
t
e
α
1
t
cos β
1
t, te
α
1
t
cos β
1
t, ..., t
s
1
−1
e
α
1
t
cos β
1
t
e
α
1
t
sin β
1
t, te
α
1
t
sin β
1
t, ..., t
s
1
−1
e
α
1
t
sin β
1
t
.....................................................................
e
αqt
cos β
q
t, te
αqt
cos β
q
t, ..., t
sq−1
e
αqt
cos β
q
t
e
αqt
sin β
q
t, te
αqt
sin β
q
t, ..., t
sq−1
e
αqt
sin β
q
t.
ˆ
In cazul ˆın care membrul drept al ecuat ¸iei cu coeficient ¸i constant ¸i are o
form˘ a special˘a (funct ¸ie exponent ¸ial˘ a sau trigonometric˘ a) solut ¸ia particular˘ a a
ecuat ¸iei neomogene se poate c˘auta sub aceea¸si form˘a.
Exemplu. S˘ a se determine cˆate o solut ¸ie particular˘ a pentru ecuat ¸iile
(i) x
−5x
+ 6x = 2e
4t
(ii) x
−5x
+ 6x = cos 2t.
Rezolvare. i) Deoarece membrul drept cont ¸ine drept factor e
4t
c˘aut˘ am o
solut ¸ie de forma x
p
= ce
4t
unde c este o constant˘a. Introducˆ and ˆın (1.14)
obt ¸inem:
x
p
−5x
p
+ 6x
p
= 2e
4t
,
¸si f˘ acˆand calculele 2ce
4t
= 2e
4t
, de unde c = 1, astfel c˘a x
p
= e
4t
.
ii) Procedˆ and ca mai sus c˘aut˘ am x
p
= c
1
cos 2t + c
2
sin 2t care, introdus˘ a
ˆın ecuat ¸ie conduce la cos 2t = (2c
1
− 10c
2
) cos 2t + (10c
1
+ 2c
2
) sin 2t, solut ¸ie
care are loc pentru orice t real ¸si care conduce la sistemul
2c
1
−10c
2
= 1
10c
1
+ 2c
2
= 0
care are solut ¸ia c
1
= 1/52, c
2
= −5/52.
Observat ¸ie. Atragem atent ¸ia c˘a, de¸si simpl˘a din punct de vedere calculatoriu,
aceast˘a metod˘a (numit˘ a ¸si metoda coeficient ¸ilor nedeterminat ¸i), spre deosebire
de metoda variat ¸iei constantelor, nu funct ¸ioneaz˘a ˆıntotdeauna.
Sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 51
3.2 Sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare
ˆ
In acest capitol facem o scurt˘a prezentare a sistemelor de ecuat ¸ii diferent ¸iale
liniare de ordinul ˆıntˆ ai, sisteme ce sunt utilizate ˆın foarte multe probleme cu
caracter practic sau teoretic.
Definit ¸ii ¸si rezultate generale
Un sistem de ecuat ¸ii diferent ¸iale de forma
(2.1) x
i
(t) =
n
j=1
a
ij
(t)x
j
(t) + b
i
(t), i = 1, 2, ..., n, t ∈ I
unde a
ij
¸si b
i
(i, j = 1, 2, ..., n) sunt funct ¸ii reale ¸si continue pe un interval real
I se nume¸ste sistem diferent ¸ial liniar de ordinul ˆıntˆ ai neomogen.
Funct ¸iile a
ij
se numesc coeficient ¸ii sistemului. Dac˘a b
i
≡ 0, i = 1, 2, ..., n,
atunci sistemul (2.1) cap˘ at˘ a forma
x
i
(t) =
n
j=1
a
ij
(t)x
j
(t), i = 1, 2, ..., n, t ∈ I
¸si se nume¸ste omogen.
Notˆand
x(t) =
x
1
(t)
x
2
(t)
.
.
.
x
n
(t)
, b(t) =
b
1
(t)
b
2
(t)
.
.
.
b
n
(t)
A(t) =
a
11
(t) · · · a
1n
(t)
a
21
(t) · · · a
2n
(t)
.
.
.
a
n1
(t) · · · a
nn
(t)
sistemul (2.1) este echivalent cu ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a de ordinul ˆıntˆ ai liniar˘ a
vectorial˘ a
x
(t) = A(t)x(t) + b(t).
Dup˘ a cum se ¸stie din Capitolul 1, problema Cauchy asociat˘ a sistemului
(2.1) admite solut ¸ie unic˘ a; cu alte cuvinte, pentru orice t
0
∈ I ¸si x
0
∈ IR
n
exist˘a
o solut ¸ie unic˘ a a sistemului (2.1) care verific˘a condit ¸ia init ¸ial˘ a x(t
0
) = x
0
.
ˆ
In
plus, domeniul de existent ¸˘a al acestei solut ¸ii coincide cu intervalul I.
Sisteme omogene. Spat ¸iul solut ¸iilor
S˘ a consider˘am sistemul omogen
(2.2) x
(t) = A(t)x(t)
52 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
ˆın ipotezele asupra coeficient ¸ilor, ment ¸ionate ˆın paragraful precedent.
Un prim rezultat se refer˘ a la structura mult ¸imii solut ¸iilor sistemului (2.2).
Teorema 2.1. Mult ¸imea solut ¸iilor sistemului omogen (2.2) este un spat ¸iu
liniar de dimensiune n peste IR.
Demonstrat ¸ie. Este u¸sor de verificat faptul c˘ a mult ¸imea solut ¸iilor sistemului
(2.2) formeaz˘ a un spat ¸iu liniar peste IR; adic˘ a suma a dou˘ a solut ¸ii ¸si produsul
unei solut ¸ii cu un scalar sunt tot solut ¸ii. Pentru dimensiune, vom pune ˆın
evident ¸˘a un izomorfismˆıntre spat ¸iul S al solut ¸iilor ¸si spat ¸iul IR
n
.
ˆ
In acest scop
definim aplicat ¸ia (operatorul) Γ : S −→ IR
n
prin
Γx = x(t
0
)
unde t
0
este un punct fixat ˆın I. Din teorema de existent ¸˘a ¸si unicitate (Teo-
rema 2.1, Cap.2) pentru problema Cauchy asociat˘ a sistemului (2.2) rezult˘ a c˘a
operatorul Γ este surjectiv ¸si injectiv adic˘ a bijectiv. Cum, evident, el este ¸si
liniar, rezult˘ a c˘a este izomorfism adic˘a ceea ce trebuia ar˘atat.
Din Teorema 2.1 rezult˘a c˘a spat ¸iul S al solut ¸iilor sistemului (2.2) admite
o baz˘a format˘ a din n elemente. Fie x
1
, x
2
, ..., x
n
vectorii acestei baze. Rezult˘a
c˘a orice solut ¸ie a sistemului poate fi scris˘a ca o combinat ¸ie liniar˘ a a vectorilor
din baz˘ a. Matricea X(t) ale c˘arei coloane sunt vectorii x
1
(t), x
2
(t), ..., x
n
(t)
din baz˘ a se nume¸ste matrice fundamental˘ a. A¸sadar, dac˘ a x este solut ¸ie a
sistemului omogen (2.2) iar X este o matrice fundamental˘ a a acestui sistem,
atunci exist˘ a c ∈ IR
n
astfel ˆıncˆ at
(2.3) x(t) = X(t)c, ∀t ∈ I.
Matricea fundamental˘ a satisface ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
X
(t) = A(t)X(t), t ∈ I,
unde cu X
(t) am notat matricea ce are ca elemente derivatele elementelor
matricii X(t).
Dup˘ a cum este cunoscut, baza unui spat ¸iu liniar nu este unic˘ a, prin urmare
nici matricea fundamental˘ a a sistemului (2.2) nu va fi unic˘ a. Este u¸sor de
demonstrat c˘ a orice alt˘a matrice fundamental˘ a se obt ¸ine prin ˆınmult ¸irea lui
X(t) cu o matrice constant˘a nesingular˘ a.
Fie acum x
1
, x
2
, ..., x
n
solut ¸ii ale sistemului omogen (2.2). Matricea X(t)
ce are drept coloane aceste solut ¸ii se nume¸ste matrice Wronski iar deter-
minatul s˘ au W(t) = det X(t) se nume¸ste wronskianul sistemului de solut ¸ii
Sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 53
{x
1
(t), x
2
(t), ..., x
n
(t)}. Important ¸a wronskianului este dat˘ a de rezultatul care
urmeaz˘a.
Teorema 2.2. Condit ¸ia necesar˘ a ¸si suficient˘ a ca n solut ¸ii ale sistemului di-
ferent ¸ial liniar omogen (2.2) s˘ a constituie un sistem fundamental este ca s˘ a
existe t
0
∈ I, ˆın care W(t
0
) = 0 ¸si ˆın acest caz W(t) = 0 pentru orice t ∈ I.
ˆ
In plus are loc relat ¸ia (Liouville):
(2.4) W(t) = W(t
0
)e
t
t
0
[a
11
(s)+a
22
(s)+···+ann(s)]ds
, t ∈ I.
Demonstrat ¸ie. Prima afirmat ¸ie din teorem˘a rezult˘ a din definit ¸ia sistemu-
lui fundamental.
ˆ
In ceea ce prive¸ste relat ¸ia (2.4) vom da, la fel ca ˆın cazul
ecuat ¸iilor diferent ¸iale liniare, o demonstrat ¸ie pentru cazul n = 3. Fie deci
{x
1
, x
2
, x
3
} un sistem de solut ¸ii pentru (1.2). Avem:
W(t) =
x
1
1
(t) x
2
1
(t) x
3
1
(t)
x
1
2
(t) x
2
2
(t) x
3
2
(t)
x
1
3
(t) x
2
3
(t) x
3
3
(t)
.
Calculˆ and derivata lui W(t) dup˘ a regula de derivare a determinant ¸ilor obt ¸inem
(2.5)
W
(t) =
(x
1
1
)
(t) (x
2
1
)
(t) (x
3
1
)
(t)
x
1
2
(t) x
2
2
(t) x
3
2
(t)
x
1
3
(t) x
2
3
(t) x
3
3
(t)
+
x
1
1
(t) x
2
1
(t) x
3
1
(t)
(x
1
2
)
(t) (x
2
2
)
(t) (x
3
2
)
(t)
x
1
3
(t) x
2
3
(t) x
3
3
(t)
+
+
x
1
1
(t) x
2
1
(t) x
3
1
(t)
x
1
2
(t) x
2
2
(t) x
3
2
(t)
(x
1
3
)
(t) (x
2
3
)
(t) (x
3
3
)
(t)
.
Apoi, deoarece x
i
=
x
i
1
x
i
2
x
i
3
, i = 1, 2, 3 este solut ¸ie a sistemului (2.2),
(x
i
j
)
=
3
k=1
a
jk
x
i
k
.
ˆ
Inlocuind aceast˘ a ultim˘ a relat ¸ia ˆın (2.5) ¸si t ¸inˆ and cont de regulile de dez-
voltare ale determinant ¸ilor rezult˘ a
W
(t) = (a
11
(t) + a
22
(t) + a
33
(t))W(t)
54 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
care prin integrare conduce la formula (2.4).
Exemplu. S˘ a se rezolve sistemul diferent ¸ial
x
= x −y + z
y
= x + y −z
z
= −y + 2z
Ecuat ¸ia caracteristic˘a este
1 −λ −1 1
1 1 −λ −1
0 −1 2 −λ
= (2 −λ)(λ −1)
2
care are r˘ad˘ acinile λ
1
= 2, λ
2
= λ
3
= 1. Relativ la λ = 2, solut ¸ia sistemului
este
i) x = c
1
e
2t
, y = c
2
e
2t
, z = c
3
e
2t
iar pentru λ = 1, r˘ ad˘ acin˘ a dubl˘ a
ii) x = (c
4
+ c
5
t)e
t
, y = (c
6
+ c
7
t)e
t
, z = (c
8
+ c
9
t)e
t
Solut ¸iile i) ¸si ii) depind aparent de nou˘ a constante arbitrare c
1
, c
2
, ..., c
9
,
dar de fapt numai de trei, dup˘ a cum se va constata imediat.
ˆ
Intr-adev˘ ar,
introducˆ and ˆın sistem solut ¸ia (i) ¸si identificˆ and, obt ¸inem
c
2
= c
3
, c
1
= 0;
apoi, introducˆ and solut ¸ia (ii), g˘ asim
c
5
= c
7
= c
9
, c
4
−c
8
= c
7
, c
6
−c
8
= −c
9
Notˆand c
2
= c
3
= α, c
5
= c
7
= c
9
= β, c
4
= γ, din relat ¸iile anterioare,
obt ¸inem c
6
= γ −2β, c
8
= γ −β, iar solut ¸ia general˘a a sistemului este:
x(t) = (γ + βt)e
t
+ αe
2t
y(t) = (γ −2β + βt)e
t
z(t) = (γ −β + βt)e
t
+ αe
2t
,
unde α, β, γ sunt trei constante arbitrare.
Sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 55
Sisteme neomogene
Fie sistemul diferent ¸ial de ordinul ˆıntˆ ai liniar, neomogen
(2.6) x
(t) = A(t)x(t) + b(t)
unde A(t) este o matrice de ordinul n ale c˘arei elemente sunt funct ¸ii continue
pe intervalul I, iar b(t) este un vector coloan˘a cu n elemente, de asemenea
funct ¸ii continue pe I. Fie
(2.7) x
(t) = A(t)x(t)
sistemul omogen asociat sistemului (2.6).
La fel ca ˆın cazul ecuat ¸iei diferent ¸iale liniare vom ar˘ ata c˘a solut ¸ia general˘a
a sistemului neomogen (2.6) este dat˘a de suma dintre o solut ¸ie particular˘ a a
sa ¸si solut ¸ia general˘a a sistemului omogen asociat (2.7).
Teorema 2.3. Fie X o matrice fundamental˘ a a sistemului (2.7) ¸si fie y o
solut ¸ie particular˘ a a sistemului (2.6). Atunci x este solut ¸ie a sistemului (2.6)
dac˘ a ¸si numai dac˘ a este de forma
(2.8) x(t) = X(t)c + y(t), ∀t ∈ I
unde c ∈ IR
n
.
Demonstrat ¸ie. Fie x de forma (2.8). Derivˆ and, obt ¸inem
x
(t) = X
(t)c + y
(t) = A(t)X(t)c + A(t)y(t) + b(t) =
= A(t)(X(t)c + y(t)) + b(t) = A(t)x(t) + b(t)
ceea ce arat˘a c˘a x este solut ¸ie a sistemului neomogen. Reciproc, s˘a ar˘ at˘am c˘a
dac˘ a x este solut ¸ie a sistemului neomogen atunci exist˘ a c ∈ IR
n
astfel c˘a x se
poate reprezenta sub forma (2.8).
ˆ
Intr-adev˘ ar, dac˘ a y este o solut ¸ie particular˘ a
a sistemului (2.6), atunci
z
(t) = (x(t) −y(t))
= A(t)x(t) + b(t) −A(t)y(t) −b(t) =
= A(t)(x(t) −y(t)) = A(t)z(t)
adic˘ a z = x − y satisface sistemul omogen (2.7), deci conform relat ¸iei (2.3)
exist˘a c ∈ IR
n
astfel ˆıncˆ at z = x −y = Xc, adic˘ a ceea ce trebuia ar˘atat.
Teorema care urmeaz˘a arat˘ a cum poate fi scris˘a solut ¸ia general˘a a sis-
temului neomogen utilizˆ and doar matricea fundamental˘ a a sistemului omogen
corespunz˘ator.
56 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
Teorema 2.4. Dac˘ a X este o matrice fundamental˘ a a sistemului omogen
(2.7), atunci solut ¸ia general˘ a a sistemului neomogen (2.6) se reprezint˘ a sub
forma
(2.9) x(t) = X(t)c +
t
t
0
X(t)X
−1
(s)b(s)ds, t ∈ I
unde c ∈ IR
n
¸si t
0
∈ I.
Demonstrat ¸ie. Plecˆand de la formula (2.8) c˘ aut˘ am, pentru sistemul neo-
mogen, o solut ¸ie particular˘ a y de forma
(2.10) y(t) = X(t)α(t), t ∈ I
unde α(t) este o funct ¸ie vectorial˘a ce urmeaz˘a a fi determinat˘ a. Diferent ¸iind
(2.10), rezult˘ a
X
(t)α(t) + X(t)α
(t) = A(t)X(t)α(t) + X(t)α
(t) = A(t)X(t)α(t) + b(t)
de unde (X fiind matrice fundamental˘ a deci nesingular˘ a pentru orice t ∈ I)
se obt ¸ine
α
(t) = X
−1
(t)b(t), t ∈ I,
adic˘ a putem lua
α(t) =
t
t
0
X
−1
(s)b(s)ds, t ∈ I,
t
0
fiind un element arbitrar, fixat din I.
Observat ¸ii.
(i) Formula (2.9) mai este cunoscut˘ a sub numele de formula variat ¸iei con-
stantelor (a lui Lagrange) nume datorat faptului c˘ a solut ¸ia particu-
lar˘ a a sistemului neomogen se caut˘a ˆınlocuind constanta c ce apare
ˆın reprezentarea solut ¸iei generale a sistemului omogen cu o funct ¸ie ce
variaz˘ a odat˘ a cu timpul.
(ii) Dac˘ a ata¸s˘am sistemului neomogen (2.6) condit ¸ia Cauchy x(t
0
) = x
0
,
formula (2.9) cap˘ at˘a forma
x(t) = X(t)X
−1
(t
0
)x
0
+
t
t
0
X(t)X
−1
(s)b(s)ds, t ∈ I.
Sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 57
Exemplu. Fie sistemul liniar neomogen:
(2.11)
x
= −
1
t(t
2
+ 1)
x +
1
t
2
(t
2
+ 1)
y +
1
t
y
= −
t
2
t
2
+ 1
x +
2t
2
+ 1
t(t
2
+ 1)
y −1.
Sistemul omogen asociat este
(2.12)
x
= −
1
t(t
2
+ 1)
x +
1
t
2
(t
2
+ 1)
y
y
= −
t
2
t
2
+ 1
x +
2t
2
+ 1
t(t
2
+ 1)
y,
care se verific˘a imediat c˘a admite solut ¸ia (1, t).
Facem substitut ¸ia:
x = X; y = tX + Y
¸si obt ¸inem, pentru noile necunoscute
X
=
Y
t
2
(t
2
+ 1)
; Y
=
2t
t
2
+ 1
Y
sistem care are solut ¸ia
−
1
t
,
t
2
+ 1
ceea ce conduce la faptul c˘a sistemul
(2.12) are solut ¸ia
−
1
t
,
t
2
, deci integrala general˘ a a sistemului (2.12) este
x = c
1
−
c
2
t
y = c
1
t + c
2
t
2
.
Pentru a obt ¸ine o solut ¸ie particular˘ a a sistemului (2.11), aplic˘ am metoda
variat ¸iei constantelor obt ¸inˆ and pentru c
1
, c
2
, considerate acum ca variabile,
sistemul
c
, c
2
(t) = −2 arctg t iar solut ¸ia general˘a a sistemului
(2.11) este
x(t) = c
1
−
c
2
t
+ ln
t
2
+ 1
t
+
2
t
arctg t
y(t) = c
1
t + c
2
t
2
+ t ln
t
2
+ 1
t
−2t
2
arctg t,
c
1
, c
2
fiind dou˘ a constante reale.
Sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare cu coeficient ¸i constant ¸i
Vom studia acum sistemul diferent ¸ial liniar (omogen)
(2.13) x
(t) = Ax(t), t ∈ IR
unde x este un vector n dimensional iar A ∈ M
n×n
(IR) este o matrice con-
stant˘a.
ˆ
In notat ¸ia scalar˘a sistemul (2.13) devine
(2.14) x
i
(t) =
n
j=1
a
ij
x
j
(t), i = 1, 2, ..., n; t ∈ IR.
Vom ar˘ata c˘a, pentru sistemul (2.13), la fel caˆın cazul ecuat ¸iilor diferent ¸iale
liniare cu coeficient ¸i constant ¸i, putem pune ˆın evident ¸˘a un sistem fundamental
de solut ¸ii.
ˆ
In acest scop c˘aut˘ am o solut ¸ie nebanal˘ a cu componentele de forma x
i
(t) =
α
i
e
λt
, unde α
i
¸si λ sunt parametri ce urmeaz˘a a fi determinat ¸i.
ˆ
Inlocuind ˆın (2.14), obt ¸inem sistemul liniar algebric ˆın necunoscutele
α
1
, α
2
, ..., α
n
:
(2.15)
α
1
(a
11
−λ) + α
2
a
12
+· · · + α
n
a
1n
= 0
α
1
a
21
+ α
2
(a
22
−λ) +· · · + α
n
a
2n
= 0
...........................................................
α
1
a
n1
+ α
2
a
n2
+· · · + α
n
(a
nn
−λ) = 0.
Sistemul (2.15) admite solut ¸ii nebanale dac˘ a ¸si numai dac˘ a λ este r˘ad˘ acin˘ a a
ecuat ¸iei caracteristice det(λI −A) = 0, asociate matricii A.
Ajun¸si ˆın acest punct s˘ a observ˘ am faptul c˘ a se poate face o analogie ˆıntre
sistemele diferent ¸iale liniare cu coeficient ¸i constant ¸i ¸si ecuat ¸iile diferent ¸iale
liniare cu coeficient ¸i constant ¸i.
Sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 59
Presupunem c˘a
det(λI −A) = λ
n
+ a
1
λ
n−1
+· · · + a
n−1
λ + a
n
.
Teorema lui Cayley din algebra liniar˘ a afirm˘ a c˘a matricea A este ”solut ¸ie” a
propriei sale ecuat ¸ii caracteristice adic˘a
(2.16) A
n
+ a
1
A
n−1
+· · · + a
n−1
A + a
n
I = O
unde O este matricea nul˘a.
Din (2.16) rezult˘ a c˘a orice vector n-dimensional x satisface ecuat ¸ia
(2.17) A
n
x + a
1
A
n−1
x +· · · + a
n−1
Ax + a
n
Ix = 0.
Apoi, dac˘ a x este solut ¸ie a sistemului (2.13) atunci este infinit diferent ¸ial˘ a
¸si satisface relat ¸ia x
(k)
= A
k
x, pentru orice num˘ ar natural k, k ≥ 1. T¸ inˆ and
cont de aceast˘a observat ¸ie ¸si revenind la relat ¸ia (2.17) dac˘ a x este solut ¸ie a
sistemului diferent ¸ial (2.13) atunci:
(2.18) x
(n)
+ a
1
x
(n−1)
+· · · + a
n−1
x
+ a
n
x = 0,
adic˘ a vectorul x este solut ¸ie a unei ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordinul n cu coefi-
cient ¸i constant ¸i.
De fapt, relat ¸ia (2.18) arat˘ a c˘a fiecare component˘a a vectorului x satisface
aceea¸si ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a liniar˘ a scalar˘ a.
Prin urmare, este justificat s˘ a c˘aut˘ am drept solut ¸ii pentru sistemul (2.13),
vectori ce au componente funct ¸ii exponent ¸iale.
Cazul 1. Ecuat ¸ia caracteristic˘a det(λI −A) = 0 are r˘ad˘acini distincte
λ
1
, λ
2
, ..., λ
n
. Pentru r˘ ad˘ acina λ
1
a ecuat ¸iei caracteristice, sistemul algebric
liniar omogen (2.15) are cel put ¸in o solut ¸ie nebanal˘ a (α
11
, α
21
, ..., α
n1
), unde
al doilea indice marcheaz˘ a faptul c˘ a necunoscutele α
i1
, i = 1, n din sistemul al-
gebric (2.15) corespund la λ = λ
1
. Procedˆ and ˆın acela¸si mod pentru λ
2
, ..., λ
n
,
vom obt ¸ine pentru sistemul (2.13) urm˘ atoarele n solut ¸ii:
(2.19)
x
1
(t) =
α
11
e
λ
1
t
α
21
e
λ
1
t
.
.
.
α
n1
(t)e
λ
1
t
, x
2
(t) =
α
12
e
λ
2
t
α
22
e
λ
2
t
.
.
.
α
n2
(t)e
λ
2
t
, ...,
x
n
(t) =
α
1n
e
λnt
α
2n
e
λnt
.
.
.
α
nn
(t)e
λnt
.
60 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
ˆ
In continuare ar˘ at˘ am c˘a sistemul de solut ¸ii (2.19) este fundamental. Dac˘a
nu ar fi a¸sa, atunci exist˘ a constantele c
1
, c
2
, ..., c
n
nu toate nule, astfel ˆıncˆ at
c
1
x
1
(t) + c
2
x
2
(t) + · · · + c
n
x
n
(t) = 0, ∀t ∈ IR
de unde rezult˘ a c˘a ¸si pe componente are loc
c
1
α
i1
e
λ
1
t
+ c
2
α
i2
e
λ
2
t
+ · · · + c
n
α
in
e
λnt
= 0, ∀t ∈ IR, ∀i = 1, n.
Aceast˘a egalitate conduce, conform Teoremei 1.4, la relat ¸ia
c
1
α
i1
= c
2
α
i2
= · · · = c
n
α
in
= 0, ∀i = 1, n.
ˆ
Ins˘a cum m˘acar un c
j
este nenul, fie acesta c
1
, ar rezulta c˘a α
i1
= 0,
pentru i = 1, 2, ..., n, ceea ce contrazice faptul c˘a (α
11
, α
21
, ..., α
n1
) este o so-
lut ¸ie nebanal˘ a a sistemului algebric (2.15) pentru λ = λ
1
.
Deci, sistemul (2.19) este fundamental ¸si ca atare solut ¸ia general˘a a sis-
temului diferent ¸ial (2.13) are componentele:
x
i
(t) = c
1
α
i1
e
λ
1
t
+ c
2
α
i2
e
λ
2
t
+ · · · + c
n
α
in
e
λnt
,
unde c
1
, c
2
, ..., c
n
sunt n constante arbitrare.
Observat ¸ie. Dac˘a ecuat ¸ia caracteristic˘a are r˘ ad˘ acini complexe λ
1
= α + iβ,
λ
1
= α − iβ ˆın sistemul (2.19) vom ˆınlocui vectorii solut ¸ii complexe x
1
¸si x
2
cu
x
1
+ x
2
2
;
x
1
− x
2
2i
¸si noul sistem de vectori solut ¸ii r˘ amˆane liniar independent.
Cazul 2. Ecuat ¸ia caracteristic˘a are r˘ad˘acini multiple. S˘ a presupu-
nem c˘a ecuat ¸ia caracteristic˘a are r˘ ad˘ acinile distincte λ
1
, λ
2
, ..., λ
k
((k < n) de
multiplicit˘ at ¸i m
1
, m
2
, ..., m
k
unde m
1
+ m
2
+ · · · + m
k
= n.
ˆ
In acest caz, a¸sa cum rezult˘a din Teorema 1.4, funct ¸iile t
m
e
λ
j
t
, m =
0, 1, ..., m
j
− 1, j = 1, 2, ..., k, formeaz˘a un sistem fundamental de solut ¸ii pen-
tru ecuat ¸ia (2.18) iar solut ¸ia general˘a a sistemului (2.13) are forma (vectorul
solut ¸ie dat pe componente):
(2.20)
x
1
(t) = P
11
(t)e
λ
1
t
+ P
12
e
λ
2
t
+ · · · + P
1k
(t)e
λ
k
t
x
2
(t) = P
21
(t)e
λ
1
t
+ P
22
e
λ
2
+ · · · + P
2k
(t)e
λ
k
t
..................................................................
x
n
(t) = P
n1
(t)e
λ
1
t
+ P
n2
e
λ
2
+ · · · + P
nk
(t)e
λ
k
t
Transformata Laplace 61
unde P
ij
, i = 1, n, j = 1, k sunt polinoame de grad cel mult m
k
− 1 ai c˘aror
coeficient ¸i depind liniar de m
j
constante arbitrare.
Facem de asemenea observat ¸ia c˘a dac˘a unele r˘ ad˘ acini λ
i
sunt complexe, so-
lut ¸ia general˘a (2.20) poate fi prezentat˘ a, la fel caˆın cazul ecuat ¸iilor diferent ¸iale,
sub form˘ a real˘ a. Din relat ¸ia (2.20) rezult˘ a:
Teorema 2.5. Condit ¸ia necesar˘ a ¸si suficient˘ a ca toate solut ¸iile sistemului
(2.13) s˘ a tind˘a la zero pentru t → ∞ este ca p˘ art ¸ile reale ale r˘ ad˘ acinilor
ecuat ¸iei caracteristice asociate matricii A s˘ a fie strict negative.
Dac˘a ˆın locul sistemului diferent ¸ial (2.13) lu˘ am sistemul
x
(t) = Ax(t) + b(t), t ∈ IR
unde b(t) este o funct ¸ie vectorial˘a continu˘ a pe IR, atunci lui i se pot aplica
considerat ¸iile privind aflarea solut ¸iei generale plecˆand de la un sistem funda-
mental de solut ¸ii pentru sistemul diferent ¸ial liniar omogen asociat.
3.3 Transformata Laplace
Transformata Laplace, utilizat˘ a mai ales ˆın electrotehnic˘ a ˆın teoria circuitelor,
este o metod˘a care permite transformarea unei probleme de ecuat ¸ii diferent ¸iale
cu valori init ¸iale ˆıntr-o problem˘ a de algebr˘ a.
Aceast˘a transformare integral˘ a a fost introdus˘ a de matematicianul francez
Pierre Simon Laplace (1749–1827) ˆın lucr˘ arile sale de teoria probabilit˘ at ¸ilor ¸si
utilizat˘ a apoi ˆın rezolvarea ecuat ¸iilor diferent ¸iale din teoria circuitelor electrice
de inginerul englez Oliver Heaviside (1850–1925).
Definit ¸ia 3.1. Dac˘a f : [0, ∞) −→C, definim transformata sa Laplace prin:
(3.1) L(f) =
∞
0
e
−st
f(t)dt,
dac˘a integrala din membrul drept exist˘ a.
Observat ¸ii.
1.
ˆ
Intrucˆ at ˆın Definit ¸ia 3.1 apar numai valorile lui f pe [0, ∞), putem con-
sidera extensia sa, notat˘ a tot cu f, definit˘ a prin:
f(t) =
0 for t < 0
f(t) for t ≥ 0
62 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
2. Integrala din membrul drept din (3.1) trebuie ˆınt ¸eleas˘a ˆın sensul:
∞
0
e
−st
f(t)dt = lim
T→∞
T
0
e
−st
f(t)dt.
3. Deoarece membrul drept ˆın (3.1) este o funct ¸ie ce depinde de variabila
s, vom folosi notat ¸ia
L{f(t)} = F(s);
adic˘ a, dac˘ a f este funct ¸ia ce depinde de t, pentru transformata sa, func-
t ¸ie ce depinde de s, folosim litera mare corespunz˘ atoare.
4. Facem precizarea c˘a, de¸si putem lua s ∈ C, noi vom presupune peste tot
ˆın cele ce urmeaz˘a c˘a s ∈ IR.
Exemplul 3.1.
(i) Dac˘ a a ∈ IR, transformata Laplace a lui f(t) = e
at
este
F(s)=
∞
0
e
−st
e
at
dt = lim
T→∞
e
−(s−a)T
−(s −a)
−
1
−(s −a)
=
1
s −a
,
s>a.
Deci
L{e
at
} =
1
s −a
(s > a).
De aici rezult˘a (luˆ and mai sus a = 0) c˘a
L{1} =
1
s
,
pentru s > 0.
Dac˘a a ∈ C, ˆın acela¸si mod se arat˘a c˘a
F(s) =
1
s −a
,
pentru s > Re a.
(ii) L{t
n
} =
∞
0
e
−st
t
n
dt =
1
s
n
+ 1
∞
0
x
n
e
−x
dx =
Γ(n + 1)
s
n+1
=
n!
s
n+1
,
dac˘a
s > 0.
S˘ a not˘ am cu D(L) mult ¸imea funct ¸iilor pentru care exist˘ a transformata
Laplace. Rezult˘ a imediat c˘a pentru f, g ∈ D(L) ¸si α, β ∈ C are loc relat ¸ia
L(αf + βg) = αL(f) + βL(g)
adic˘ a operatorul L este liniar.
Transformata Laplace 63
Revenind la definit ¸ia transformatei Laplace, funct ¸ia f se nume¸ste original
sau original Laplace ¸si este o funct ¸ie de variabil˘ a real˘ a t (ˆın multe probleme t
desemneaz˘a timpul), iar funct ¸ia F se nume¸ste transformata Laplace a lui f ¸si
este o funct ¸ie de variabil˘ a real˘ a s.
Domeniul de variat ¸ie a lui s este ˆın strˆ ans˘ a leg˘atur˘ a cu existent ¸a integralei
(3.1).
Dac˘a F este o transformat˘a Laplace, atunci originalul corespunz˘ ator se
obt ¸ine utilizˆ and transformata invers˘ a Laplace
(3.2) f(t) = L
−1
{F(s)} pentru t > 0.
Pentru a exista transformata Laplace a funct ¸iei f este necesar, dup˘a cum
am v˘azut, ca integrala din (3.1) s˘ a fie convergent˘a.
ˆ
In continuare, identific˘ am
o clas˘a de funct ¸ii pentru care acest lucru se ˆıntˆ ampl˘ a.
Propozit ¸ia 3.1. Fie f : [0, ∞) → IR o funct ¸ie continu˘ a ¸si α ∈ C, astfel c˘ a
are loc relat ¸ia:
(3.3) lim
t→∞
e
−αt
f(t) = 0.
Atunci exist˘ a transformata Laplace a lui f (se mai spune c˘ a f este de ordin
exponent ¸ial).
O funct ¸ie f este continu˘a pe port ¸iuni pentru t ≥ 0 dac˘a, ˆın orice interval
0 ≤ a ≤ t ≤ b, exist˘a cel mult un num˘ ar finit de puncte t
k
, k = 1, 2, ..., n
(t
k−1
< t
k
) ˆın care f are discontinuit˘ at ¸ile de spet ¸a ˆıntˆ ai ¸si este continu˘a pe
orice interval deschis (t
k−1
, t
k
).
Propozit ¸ia 3.2. Dac˘ a f este de ordin exponent ¸ial ¸si continu˘ a pe port ¸iuni
pentru t ≥ 0, atunci exist˘ a transformata sa Laplace.
Demonstrat ¸iile acestor propozit ¸ii sunt simple ¸si le l˘as˘am ca exercit ¸iu.
Mai ment ¸ion˘ am faptul c˘ a funct ¸iile folosite ˆın mod obi¸snuit ˆın studiul e-
cuat ¸iilor diferent ¸iale liniare admit transformat˘ a Laplace, astfel ˆıncˆ at, ˆın cele
ce urmeaz˘a nu ne vom propune s˘ a studiem condit ¸iile de existent ¸˘a ale acestor
transformate, ci s˘a calcul˘am transformatele unor funct ¸ii elementare ¸si uti-
lizarea lor ˆın rezolvarea ecuat ¸iilor diferent ¸iale.
Exemplul 3.2. Dac˘a ˆın Exemplul 3.1 (i) lu˘ am a = ib, rezult˘ a
L{e
ibt
} =
1
s −ib
=
s + ib
s
2
+ b
2
=
s
s
2
+ b
2
+
ib
s
2
+ b
2
·
64 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
Dac˘a ω ∈ IR, t ¸inˆ and cont c˘ a e
iωt
= cos ωt+i sinωt, iar operatorul L este liniar,
obt ¸inem
(3.4) L{cos ωt} =
s
s
2
+ ω
2
,
L{sin ωt} =
ω
s
2
+ ω
2
dac˘a s > 0.
ˆ
In teorema care urmeaz˘a enumer˘am cˆateva propriet˘ at ¸i elementare ale trans-
formatei Laplace, care se utilizeaz˘a ˆın lucrul cu aceasta.
Teorema 3.1.
• Translat ¸ia. Dac˘ a f este un original, F este transformata sa, iar a ∈ IR,
atunci
(3.5) L{e
at
f(t)} = F(s −a).
• Translat ¸ia argumentului. Dac˘ a F este transformata lui f ¸si a > 0,
atunci
(3.6) L{f(t −a)h(t −a)} = e
−as
F(s).
(3.7) L{f(t + a)h(t)} = e
as
F(s) −
a
0
e
−st
f(t)dt
.
pentru a > 0, unde h este funct ¸ia unitate a lui Heaviside,
h(t) =
0, t < 0,
1, t ≥ 0.
• Derivarea originalului. Dac˘ a f ¸si f
sunt originale Laplace, atunci
(3.8) L{f
(t)} = sL{f(t)} −f(0
+
),
unde f(0
+
) este limita la dreapta ˆın 0 a lui f. De asemenea
L{f
(n)
(t)} = s
n
F(s) −s
n−1
f(0
+
) −s
n−2
f
(0
+
) −· · · −f
(n−1)
(0
+
),
dac˘ a n ∈ IN, f ∈ C
n
(0, ∞), iar f
(i)
, i = 0, n sunt originale Laplace.
Formulele de mai sus se extind cu u¸surint ¸˘ a pentru cazul ˆın care f are
un num˘ ar finit de puncte de discontinuitate de spet ¸a I.
• Integrarea originalului. Dac˘ a f este un original Laplace, atunci
(3.9) L
t
0
f(τ)dτ
=
1
s
L{f(t)}.
Transformata Laplace 65
• Derivarea transformatei sau ˆınmult ¸irea originalului cu t.
(3.10) L{t
n
f(t)} = (−1)
n
d
n
ds
n
L{f(t)}.
•
ˆ
Imp˘art ¸irea cu t. Dac˘ a f ¸si
f(t)
t
sunt originale Laplace, iar F este
transformata lui f, atunci
(3.11) L
f(t)
t
=
∞
s
F(τ)dτ =
∞
s
L{f(t)}dτ.
• Teorema valorii init ¸iale. Dac˘ a f ¸si f
sunt originale Laplace ¸si dac˘ a
exist˘ a lim
t→0
t>0
f(t), atunci
(3.12) lim
s→∞
sF(s) = lim
t→0
t>0
f(t).
• Teorema valorii finale. Dac˘ a f ¸si f
sunt originale Laplace, f
este
m˘ arginit˘ a ¸si exist˘ a lim
t→∞
f(t), atunci
(3.13) lim
s→0
sF(s) = lim
t→∞
f(t).
• Teorema convolut ¸iei. Dac˘ a f ¸si g sunt originale Laplace, iar F ¸si G
transformatele lor, atunci
(3.14) L
t
0
f(τ)g(t −τ)dτ
= F(s)G(s),
deci transformata produsului de convolut ¸ie este egal˘ a cu produsul trans-
formatelor.
Observat ¸ie. Luˆ and ˆın (3.14) g(t) ≡ 1 ¸si t ¸inˆ and cont c˘ a L{1} =
1
s
, se deduce
(3.9).
Toate propriet˘ at ¸ile enunt ¸ate ˆın Teorema 3.1 se demonstreaz˘a simplu, folo-
sind definit ¸ia transformatei ¸si metoda integr˘ arii prin p˘ art ¸i.
Propriet˘ at ¸ile (3.5)–(3.11) ¸si (3.14) din Teorema 3.1 se pot transpune ime-
diat pentru transformata invers˘ a Laplace.
Mai exact, are loc:
Teorema 3.2.
• Dac˘ a F este transformata Laplace a lui f ¸si k ∈ IR
+
, atunci
66 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
(3.15) L
−1
{F(ks)} =
1
k
f
t
k
h(t), (k > 0).
• Inversa translatei. Dac˘ a F este o transformat˘ a Laplace ¸si dac˘ a origi-
nalul corespunz˘ ator transformatei F este f, atunci
(3.16) L
−1
{F(s − a)} = e
at
f(t)h(t).
• Translat ¸ia ˆın real. Dac˘ a F este o transformat˘ a Laplace ¸si f este
originalul s˘ au, atunci
(3.17) L
−1
{e
−as
F(s)} = f(t − a)h(t − a),
dac˘ a a > 0 ¸si
(3.18) L
−1
e
−as
F(s) − e
−as
−a
0
e
−st
f(t)dt
= f(t + a)h(t),
dac˘ a a < 0, unde h este funct ¸ia lui Heaviside.
•
ˆ
Inmult ¸irea cu s. Dac˘ a F este transformata lui f ¸si dac˘ a
f(0
+
) = 0, atunci
(3.19) L
−1
{sF(s)} = f
(t).
Dac˘ a f(0
+
) = 0, atunci
(3.20) L
−1
{sF(s)} = f
(t) + f(0
+
)δ(t),
unde δ este distribut ¸ia lui Dirac.
•
ˆ
Imp˘art ¸irea cu s. Dac˘ a F este transformata Laplace a lui f, atunci
(3.21) L
−1
F(s)
s
=
t
0
f(τ)dτ.
Rezultatul se generalizeaz˘ a pentru ˆımp˘ art ¸irea cu s
n
, n = 2, 3, ...
• Derivarea transformatei. Are loc relat ¸ia
(3.22) L
−1
{F
(n)
(s)} = (−1)
n
t
n
f(t).
• Integrarea transformatei. Dac˘ a F este o transformat˘ a Laplace ¸si f
originalul s˘ au, atunci
(3.23) L
−1
∞
s
F(τ)dτ
=
1
t
f(t).
Transformata Laplace 67
• Relat ¸ia lui Duhamel. Dac˘ a F ¸si G sunt transformatele Laplace ale
originalelor f ¸si g, atunci
(3.24) L
−1
{sF(s)G(s)} = f(t)g(0
+
) +
t
0
f(τ)g
(t − τ)dτ.
• Prima teorem˘a a lui Heaviside. Dac˘ a transformata F se poate dez-
volta ˆın serie ˆın jurul punctului de la infinit, adic˘ a
F(s) =
∞
n=0
a
n
s
n+1
seria fiind convergent˘ a pentru |s| > M, atunci originalul corespunz˘ ator
L
−1
{F(s)} este dat de
(3.25) f(t) = h(t)
∞
n=0
a
n
n!
t
n
.
unde h este funct ¸ia lui Heaviside.
• A doua teorem˘a a lui Heaviside. Dac˘ a transformata F este o func-
t ¸ie rat ¸ional˘ a, atunci originalul corespunz˘ ator f este egal cu suma origi-
nalelor ˆın care s-a descompus F.
Teorema 3.3. Dac˘ a f(t, x) este un original Laplace ˆın raport cu t iar F(s, x)
transformata sa ¸si dac˘ a exist˘ a limitele
lim
x→x
0
f(t, x) ¸si lim
x→x
0
F(s, x)
atunci
(3.26) L
lim
x→x
0
f(t, x)
= lim
x→x
0
F(s, x).
Teorema 3.4. Dac˘ a f(t, x) este un original Laplace ˆın raport cu t, F(s, x) =
L{f(t, x)} ¸si dac˘ a exist˘ a derivata
∂f
∂x
(t, x), atunci
(3.27) L
∂f(t, x)
∂x
=
∂F(s, x)
∂x
·
Teorema 3.5. Dac˘ a f(t, x) este un original Laplace ˆın raport cu t ¸si dac˘ a
F(s, x) = L{f(t, x)}, atunci
(3.28) L
x
x
0
f(t, τ)dτ
=
x
x
0
F(s, τ)dτ.
Observat ¸ii.
68 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
(i) Transformata Laplace nu este injectiv˘ a. De exemplu, dac˘a consider˘ am
funct ¸iile
f(t) =
1, t ≥ 0, t = 1, t = 2
3, t = 1
4, t = 2
¸si g(t) = 1 pentru t ≥ 0
L{f(t)} = L{g(t)}.
(ii) Dac˘ a, totu¸si, funct ¸iile f
1
¸si f
2
sunt continue pentru t ≥ 0 ¸si L{f
1
(t)} =
L{f
2
(t)}, atunci rezult˘ af
1
(t) = f
2
(t).
Rezolvarea ecuat ¸iilor diferent ¸iale
utilizˆand transformata Laplace
Formula (3.8) ¸si liniaritatea transformatei Laplace ofer˘ a o cale elegant˘a pentru
rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare cu coeficient ¸i
constant ¸i.
Schematic, ˆın rezolvarea unei ecuat ¸ii diferent ¸iale cu ajutorul transformatei
Laplace, se parcurg urm˘ atoarele etape:
a) Se calculeaz˘a transformata Laplace a ecuat ¸iei.
b) Se determin˘ a valoarea transformatei X(s).
c) Se aplic˘a transformata invers˘ a Laplace lui X.
Pentru punctul b) se folosesc relat ¸iile (3.5)–(3.11) ¸si (3.14) sau tabelele
cu transformatele elementare.
ˆ
In ce prive¸ste punctul c), se folosesc, mai ales,
translat ¸ia (3.16) ¸si descompunerea expresiei lui X ˆın fract ¸ii simple (acolo unde
este posibil) ¸si, evident, tabelele cu transformatele elementare.
Exemplu. S˘ a se rezolve ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a cu valori init ¸iale
x
+ 2x
+ 5x = 0, t > 0
x(0) = 3, x
(0) = 0.
Solut ¸ie. Enumer˘ am etapele rezolv˘arii acestei ecuat ¸ii.
L(x
+ 2x
+ 5x) = L(0) (transformarea ambilor membri)
L(x
) + 2L(x
) + 5L(x) = 0 (liniaritatea)
L(x) = X
L(x
) = sX −3
L(x
) = s
2
X −3s
(regula de transformare a derivatelor)
Transformata Laplace 69
s
2
X −3s + 2(sX −3) + 5X = 0 (ˆınlocuirea ˆın ecuat ¸ie)
X(s) =
3s + 6
s
2
+ 2s + 5
(g˘asirea lui X)
Deoarece numitorul nu are r˘ ad˘ acini reale ˆıl scriem ca o sum˘a de p˘ atrate ¸si
obt ¸inem
X(s) =
3(s + 1) + 3
(s + 1)
2
+ 4
= Y (s + 1),
unde
Y (s) =
3s + 3
s
2
+ 4
=
3s
s
2
+ 4
+
3
2
2
s
2
+ 4
·
Aplicˆ and (3.4) ˆın relat ¸ia de mai sus (b = 2) g˘ asim
Y (s) = L
3 cos 2t +
3
2
sin 2t
¸si apoi folosind (3.16) obt ¸inem
x(t) = e
−t
3 cos 2t +
3
2
sin 2t
.
Funct ¸ia δ a lui Dirac
Funct ¸ia
δ
ε
(t −t
0
) =
1
2ε
,
t
0
−ε < t < t
0
+ ε
0, ˆın rest
serve¸ste ca model pentru o fort ¸˘a de tip “impuls”.
Deoarece
∞
−∞
δ
ε
(t − t
0
)dt = 1, funct ¸ia δ
ε
(t − t
0
) se mai nume¸ste impuls
unitate.
ˆ
In practic˘ a, este util s˘a lucr˘ am cu alt tip de impuls unitate ¸si anume
δ(t −t
0
) = lim
ε→0
δ
ε
(t −t
0
).
Aceast˘a entitate, care nu mai este o funct ¸ie ˆın accept ¸iunea clasic˘a, poate fi
caracterizat˘a de dou˘ a propriet˘ at ¸i
(i) δ(t −t
0
) =
∞, t = t
0
0, t = t
0
,
(ii)
∞
−∞
δ(t −t
0
)dt = 1.
70 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
Expresia δ(t −t
0
) se nume¸ste funct ¸ia delta a lui Dirac centrat˘ a ˆın t
0
¸si a fost
introdus˘ a de fizicianul englez Paul A.M. Dirac (1902–1984) ˆın anul 1930.
Putem obt ¸ine transformata Laplace a lui δ(t −t
0
) formal, prin
L{δ(t −t
0
)} = lim
ε→0
L{δ
ε
(t −t
0
)}.
Deoarece
L{δ
ε
(t −t
0
)} = e
−st
0
e
sε
−e
−sε
2sε
,
rezult˘ a, prin trecere la limit˘ a cu ε −→ 0,
L{δ(t −t
0
)} = e
−st
0
.
S˘ a not˘ am faptul c˘ a, din definit ¸ia transformatei Laplace pentru o funct ¸ie con-
tinu˘ a pe port ¸iuni, rezult˘ a L{f(t)} → 0 pentru s → ∞, ˆın timp ce L{δ(t)}=1,
ceea ce ˆınt˘ are¸ste faptul c˘ a δ nu este o funct ¸ie. Ea este riguros fundamentat˘ a
ˆın cadrul teoriei distribut ¸iilor.
3.4 Probleme
1. S˘ a se determine mult ¸imea solut ¸iilor urm˘ atoarelor ecuat ¸ii liniare omogene:
(i) x
−3x
+ 3x
−x = 0,
(ii) x
IV
+ α
2
x
= 0, α ∈ IR,
(iii) 2x
−3x
+ x
= 0,
(iv) x
(n)
+
n
1
x
(n−1)
+
n(n −1)
1 · 2
x
(n−2)
+· · · +
n
1
x
+ x = 0.
2. S˘ a se determine mult ¸imea solut ¸iilor urm˘ atoarelor ecuat ¸ii liniare neomo-
gene:
(i) x
−x
+ x
+ x = te
t
,
(ii) x
+ x = sin t −cos t,
(iii) x
−a
2
x = e
bt
, a, b ∈ IR,
(iv) x
−2x
+ x =
e
t
t
2
+ 1
.
3. S˘ a se rezolve problemele Cauchy
(i) x
IV
−x = 8e
t
, x(0) = −1, x
(0) = 0, x
(0) = 1, x
= 0,
(ii) x
−x = 2t, x(0) = x
(0) = 0, x
(0) = 2,
(iii) x
−3x
−2x = 9e
2t
, x(0) = 0, x
(0) = 3, x
(0) = 3.
4. Se d˘ a ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
x
+ ax
+ bx = 0, a, b ∈ IR.
S˘ a se determine a ¸si b astfel ˆıncˆ at:
Probleme 71
(i) toate solut ¸iile ecuat ¸iei s˘a fie m˘arginite pe IR,
(ii) toate solut ¸iile ecuat ¸iei s˘a fie m˘arginite pe IR
+
,
(iii) toate solut ¸iile ecuat ¸iei s˘a fie m˘arginite pe IR
−
,
(iv) toate solut ¸iile ecuat ¸iei s˘a fie periodice,
(v) cel put ¸in o solut ¸ie nebanal˘ a a ecuat ¸iei s˘a tind˘ a la zero pentru t →∞,
(vi) fiecare solut ¸ie a ecuat ¸iei s˘a aib˘ a o infinitate de zerouri.
S˘ a se rezolve sistemele de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare ¸si omogene cu coefi-
cient ¸i constant ¸i
5.
x
= −3x + 4y −2z
y
= x + z
z
= 6x −6y + 5z,
6.
x
= 2x + y
y
= x + 3y −z
z
= −x + 2y + 3z,
7.
x
= y + z
y
= x + z
z
= x + y.
S˘ a se rezolve sistemele diferent ¸iale liniare cu coeficient ¸i constant ¸i, neomo-
gene:
8.
x
= −2x −4y + 1 + 4t
y
= −x + y +
3
2
t
2
,
9.
x
= −4x + 2y +
2
e
t
−1
y
= 6x + 3y +
3
e
t
−1
,
10.
x
= y −x + e
t
y
= z −x + cos t
z
= −x.
11. Se dau sistemele diferent ¸iale liniare neomogene ¸si corespunz˘ator un
sistem de solut ¸ii pentru sistemele omogene asociate.
(i) x
= Ax + b, A =
5 −1
1 3
, b =
sin t
cos t
,
x
1
=
e
4t
e
4t
, x
2
=
e
4t
t
e
4t
(t −1)
72 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
(ii) x
= Ax + b, A =
−1 1 0
−1 0 1
−1 0 0
, b =
e
t
cos t
0
x
1
=
e
−t
0
e
−t
, x
2
=
sin t
sin t + cos t
cos t
, x
3
=
−cos t
sin t −cos t
sin t
.
S˘ a se verifice c˘a vectorii solut ¸ie sunt liniar independent ¸i ¸si apoi, folosind
metoda variat ¸iei constantelor, s˘ a se g˘aseasc˘a solut ¸iile generale ale sistemelor
neomogene.
12. S˘ a se arate c˘a dac˘a f este un original Laplace cu transformata F ¸si
dac˘a
f(t)
t
este de asemenea original Laplace, atunci
∞
0
f(t)
t
dt =
∞
0
F(s)ds.
13. Utilizˆ and transformata Laplace s˘ a se calculeze:
(i)
∞
0
sin t
t
dt, (ii)
∞
0
sin
2
x
x
2
dx, (iii)
∞
0
dt
t
0
e
−t
sin τ
τ
dτ.
14. S˘ a se calculeze transformatele originalelor: e
at
t
n
, e
at
cos ωt, e
at
sin ωt.
15. S˘ a se calculeze L{g(t)} unde
g(t) =
0, t < 1
(t −1)
n
, t ≥ 1
n ∈ IN.
16. S˘ a se calculeze L{cos(ωt + ϕ)h(t)}, unde ω, ϕ ∈ IR
+
.
17. Aplicˆ and (10), s˘ a se calculeze L
−1
arctg
1
s
.
18. S˘ a se calculeze L
−1
3s + 5
s
2
+ 7
.
19. S˘ a se calculeze L
−1
3s −2
s
3
(s
2
+ 4)
.
20. S˘ a se arate c˘a
L{t
α
} =
Γ(α + 1)
s
α+1
,
α > −1,
unde Γ este funct ¸ia gama a lui Euler.
21. S˘ a se calculeze transformata Laplace a funct ¸iei Bessel J
0
.
22. S˘ a se arate c˘a
∞
0
e
−x
2
dx =
√
π
2
·
Probleme 73
23. S˘ a se determine solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei neomogene
x
iv
+ 5x
+ 4x = sin 2t. (∗)
24. S˘ a se rezolve ecuat ¸ia
x
− 6x
+ 9x = t
2
e
3t
x(0) = 2, x
(0) = 6.
25. S˘ a se rezolve
x
+ 3x = 1, t > 0
x(0) = −1.
26. S˘ a se rezolve
x
+ x = e
−2t
x(0) = x
(0) = 0.
27. S˘ a se rezolve sistemul
2x
+ y
− y = t
x
+ y
= t
2
,
cu condit ¸iile x(0) = 1, y(0) = 0.
28. Suportul unei mitraliere este proiectat astfel ˆıncˆ at arma ¸si mecanismul
de recul formeaz˘a un sistem descris de ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
x
+ 2x
+ x = f(t),
unde x reprezint˘a lungimea mi¸sc˘arii de recul. Presupunem c˘ a fiecare cartu¸s
d˘ a un impuls sistemului astfel c˘ a o rafal˘ a a k + 1 cartu¸se, la intervale τ de
timp d˘ a f(t) =
k
p=0
δ(t − pτ). S˘ a se determine x ¸stiind c˘ a x(0) = x
(0) = 0.
29. S˘ a se calculeze transformatele inverse Laplace pentru funct ¸iile: a) s
−
3
2
;
b)
1
s
2
+ 3s
; c)
s
s
2
+ 2s − 3
; d)
1
s
2
(s
2
+ 4)
; e)
s
(s + 2)(s
2
+ 4)
·
30. Folosind transformata Laplace s˘ a se determine o solut ¸ie particular˘ a a
ecuat ¸iilor neomogene
a) x
+ 4x = e
−4t
; b) x
+ 4x
+ 5x = e
−t
;
c) x
+ x = t cos t; d) x
+ 2x
+ 2x = sin t.
74 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
31. S˘ a se rezolve, cu ajutorul transformatei Laplace, problemele Cauchy
a)
x
+ 3x
+ 2x = 1
x(0) = 0, x
(0) = 0,
b)
x
+ 2x = e
−t
x(0) = 3,
c)
x
+ 2x = e
−2t
x(0) = 0,
d)
x
+ 2x
+ 4x = 0
x(0) = 1, x
(0) = 0,
e)
x
+ 4x = e
−2t
x(0) = 0, x
(0) = 0,
f)
x
+ 4x = 0
x(0) = 5, x
(0) = 6,
g)
x
+ 4x = 6 sin t
x(0) = 6, x
(0) = 0,
h)
x
−3x = te
2t
x(0) = 0.
i)
x
+ ω
2
x = ω
2
f(t)
x(0) = x
(0) = 0,
j)
x
+ 3x
+ 2x =
= t −(t −1)h(t −1)
x(0) = x
(0) = 0,
k)
x
+ x = δ(t)
x(0) = x
(0) = 0.
32. Fie ecuat ¸ia integral˘ a
x(t) = f(t) +
t
0
x(τ) sin(t −τ)dτ
(i) S˘ a se arate c˘a X(s) = F(s)(1 + s
2
)/s
2
,
(ii) Dac˘ a f(t) = 12t
2
, s˘a se arate c˘a x(t) = t
4
+ 12t
2
.
33. S˘ a se rezolve problemele cu valori init ¸iale:
a)
(t − t
0
) este derivata funct ¸iei δ a lui Dirac, atunci se ¸stie c˘a
L{δ
(t −t
0
)} = se
−st
0
, t
0
≥ 0. Folosind acest rezultat, s˘a se rezolve problema
Cauchy
x
+ 5x = δ
(t)
x(0) = 0.
Capitolul 4
Elemente de teoria stabilit˘at ¸ii
4.1 Punerea problemei stabilit˘at ¸ii
S˘ a consider˘am sistemul diferent ¸ial
(1.1) x
= f(t, x)
unde
x(t) =
x
1
(t)
x
2
(t)
.
.
.
x
n
(t)
¸si f(t, x) =
f
1
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
f
2
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
.
.
.
f
n
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
f
i
, i = 1, 2, ..., n, fiind funct ¸ii (neliniare) de x
1
, x
2
, ..., x
n
.
ˆ
In general, nu ne
putem a¸stepta ca, pentru un sistem de forma (1.1), s˘ a g˘asim o formul˘ a ex-
plicit˘ a pentru solut ¸ia sa general˘a.
ˆ
In aceast˘a situat ¸ie atent ¸ia se ˆındreapt˘ a spre
evident ¸ierea unor aspecte calitative legate de solut ¸iile sistemului (1.1) care nu
presupun rezolvarea acestuia.
Vom presupune c˘ a sunt ˆındeplinite condit ¸iile teoremei de existent ¸˘a ¸si uni-
citate a solut ¸iei problemei Cauchy pentru t ∈ [t
0
, ∞) ¸si pentru x ∈ Ω, Ω fiind
o mult ¸ime deschis˘a din IR
n
.
Deci pentru orice a ∈ Ω, exist˘a ¸si este unic˘a o solut ¸ie x = ϕ(t), ϕ :
[t
0
, ∞) →Ω astfel ˆıncˆ at ϕ(t
0
) = a.
Definit ¸ia not ¸iunii de solut ¸ie stabil˘ a a unui sistem diferent ¸ial ¸si primele
cercet˘ari ˆın aceast˘a direct ¸ie au ap˘ arut ˆın a doua parte a secolului al XIX-lea
¸si sunt datorate matematicienilor H. Poincar´e (1854–1912) ¸si A.M. Liapunov
(1857–1918).
76 Elemente de teoria stabilit˘ at ¸ii
ˆ
In termeni descriptivi se spune c˘a solut ¸ia x = ϕ(t), ϕ : [t
0
, ∞) → Ω este
stabil˘ a la +∞ˆın sens Poincar´e–Liapunov dac˘ a la variat ¸ii ”suficient de mici”
ale datei init ¸iale x
0
corespund variat ¸ii ”mici” ale solut ¸iei corespunz˘atoare.
O formulare mai precis˘ a este dat˘a de:
Definit ¸ia 1.1. Solut ¸ia ϕ a sistemului (1) se nume¸ste stabil˘ a dac˘a pentru orice
ε > 0 exist˘a δ(ε) > 0 astfel ˆıncˆ at de ˆındat˘ a ce x
0
∈ Ω ¸si x
0
−x
0
< δ(ε)
solut ¸iile ϕ ¸si ϕ care la momentul t
0
iau respectiv valorile x
0
¸si x
0
satisfac
inegalitatea
ϕ(t) −ϕ(t) < ε, pentru orice t ∈ [t
0
, ∞).
ˆ
In Fig. 1.1 d˘ am o imagine grafic˘a a stabilit˘ at ¸ii solut ¸iei ϕ.
Fig. 1.1.
Definit ¸ia 1.2. Spunem c˘ a solut ¸ia ϕ a sistemului (1.1) este asimptotic sta-
bil˘ a dac˘a este stabil˘a (ˆın sensul Definit ¸iei 1.1) ¸si satisface ˆın plus condit ¸ia
lim
t→∞
ϕ(t) −ϕ(t) = 0.
Cazul stabilit˘ at ¸ii spre −∞ se define¸ste similar. Remarc˘am de asemenea
c˘a printr-o translat ¸ie convenabil˘ a putem presupune c˘ a sistemul (1.1) admite
solut ¸ia banal˘ a, stabilitatea solut ¸iei init ¸iale revenind la stabilitatea solut ¸iei ba-
nale pentru noul sistem.
ˆ
Intr-adev˘ ar, dac˘ a studiem stabilitatea solut ¸iei ϕ a
Metoda funct ¸iei Liapunov 77
sistemului (1.1), f˘ acˆand substitut ¸ia x = y + ϕ ˆın sistemul (1.1) rezult˘ a c˘a y
va satisface sistemul
y
= f(t, y + ϕ) − f(t, ϕ) =
f(t, y)
¸si avem
f(t, 0) = 0 iar solut ¸iei x = ϕ ˆıi corespunde solut ¸ia y = 0.
4.2 Stabilitatea sistemelor diferent ¸iale.
Metoda funct ¸iei Liapunov
Fie sistemul autonom de ecuat ¸ii diferent ¸iale
(2.1) x
i
= f
i
(x
1
, x
2
, ..., x
n
), i = 1, 2...., n
unde f
i
: Ω → IR, pentru tot ¸i i = 1, 2, ..., n, Ω fiind o mult ¸ime deschis˘a din
IR
n
.
Spunem c˘ a x
0
= (x
0
1
, x
0
2
, ..., x
0
n
), x
0
∈ Ω, este punct critic sau punct de
echilibru pentru sistemul de ecuat ¸ii diferent ¸iale (2.1) dac˘ a f
i
(x
0
) = 0 pentru
orice i = 1, 2, ..., n. Solut ¸ia x(t) ≡ x
0
a sistemului (2.1) se nume¸ste solut ¸ie
stat ¸ionar˘ a sau solut ¸ie de echilibru a sistemului.
Definit ¸ia 2.1. Punctul x
0
∈ Ω se nume¸ste punct critic izolat pentru sistemul
(2.1) dac˘ a exist˘a ε > 0 astfel ˆıncˆ at, ˆın mult ¸imea (B(x
0
, ε)\{x
0
}) ∩Ω, nu exist˘ a
nici un punct critic al sistemului.
Definit ¸ia 2.2. Spunem c˘ a punctul critic izolat x
c
= (x
c
1
, x
c
2
, ..., x
c
n
) al sistemu-
lui (2.1) este punct critic stabil sau punct de echilibru stabil dac˘a pentru orice
ε > 0 exist˘a δ > 0 astfel c˘a
x(0) − x
c
< δ implic˘ a x(t) − x
c
< ε
pentru tot ¸i t > 0, x(·) fiind o solut ¸ie a sistemului (2.1). Dac˘ a exist˘a δ > 0
astfel ˆıncˆ at
x(0) − x
c
< δ implic˘ a lim
t→∞
x(t) − x
c
= 0,
spunem c˘a punctul critic x
c
este asimptotic stabil.
Facem ment ¸iunea c˘a unii autori folosesc ˆın loc de stabilitate a punctului
critic expresia stabilitate a solut ¸iei stat ¸ionare. Dup˘ a cum se vede, este vorba
de acela¸si lucru.
Metoda lui Liapunov ˆın abordarea stabilit˘ at ¸ii solut ¸iei stat ¸ionare const˘a
ˆın determinarea unei funct ¸ii V care joac˘a rolul de energie pentru sistemul
78 Elemente de teoria stabilit˘ at ¸ii
(2.1) ¸si care r˘amˆane m˘arginit˘ a de-a lungul oric˘ arei traiectorii (solut ¸ii) t →
(x
1
(t), x
2
(t), . . . , x
n
(t)) a sistemului sau, ˆın cazul stabilit˘ at ¸ii asimptotice,
V (x
1
(t), x
2
(t), ..., x
n
(t)) →0 pentru t →∞.
Definit ¸ia 2.3. O funct ¸ie V
1
, V
1
: IR
n
→ IR se nume¸ste funct ¸ie Liapunov de
primul tip relativ la punctul critic izolat (x
c
1
, x
c
2
, ..., x
c
n
) al sistemului neliniar
(2.1) dac˘ a satisface urm˘atoarele condit ¸ii
(i) V
1
este de clas˘a C
1
ˆın raport cu toate variabilele sale ˆın paralelipipedul
Π ce cont ¸ine punctul critic (x
c
1
, ..., x
c
n
).
(ii)
ˆ
In punctul critic, V
1
(x
c
1
, ..., x
c
n
) = 0.
(iii) Exist˘ a o funct ¸ie strict cresc˘atoare, continu˘ a ¸si pozitiv˘ a ϕ
1
definit˘ a pe
0 < r < δ astfel c˘a V
1
(x
1
, ..., x
n
) ≥ ϕ
1
(r) ˆın orice punct din Π, unde
r
2
= (x
1
−x
c
1
)
2
+· · · + (x
n
−x
c
n
)
2
.
(iv) V
1
satisface ˆın Π inegalitatea
f
1
∂V
1
∂x
1
+ f
2
∂V
1
∂x
2
+· · · + f
n
∂V
1
∂x
n
≤ 0.
Observat ¸ie. Din ipoteza (iv) rezult˘ a c˘a funct ¸ia
t →
d
dt
V
1
(x
1
(t), ..., x
n
(t))
este negativ˘a pe traiectoriile sistemului (2.1).
Cu aceste preg˘atiri putem enunt ¸a prima teorem˘a a lui Liapunov
Teorema 2.1. (Prima teorem˘a a lui Liapunov) Dac˘ a V
1
este o funct ¸ie Lia-
punov de primul tip relativ la punctul critic izolat (x
c
1
, x
c
2
, ..., x
c
n
) al sistemului
neliniar (2.1), atunci punctul critic este stabil.
Demonstrat ¸ie. Avem ϕ
1
(r) ≤ V
1
(x
1
, ..., .x
n
) unde r
2
= (x
1
− x
c
1
)
2
+ (x
2
−
x
c
2
)
2
+· · · + (x
n
−x
c
n
)
2
apoi, t ¸inˆ and cont de (iv),
V
1
(x
1
(t), ..., x
n
(t)) = V
1
(x
1
(0), ..., x
n
(0))+
+
t
0
d
ds
V
1
(x
1
(s), ..., x
n
(s))ds ≤ V
1
(x
1
(0), ..., x
n
(0)).
Metoda funct ¸iei Liapunov 79
Dar funct ¸ia ϕ
1
fiind continu˘ a ¸si cresc˘atoare are o invers˘ a continu˘ a ϕ
−1
1
, care
verific˘ a
(2.2) r(t) ≤ ϕ
−1
1
(V
1
(x
1
(0), ..., x
n
(0)),
unde r(t) =
(x
1
(t) −x
c
1
)
2
+· · · + (x
n
(t) −x
c
n
)
2
.
Fie acum ε > 0. Alegem δ
1
> 0 astfel c˘a ϕ
−1
1
(ρ) < ε pentru 0 < ρ < δ
1
.
Deoarece V
1
este continu˘a ¸si (x
c
1
, ..., x
c
n
) este punct critic, rezult˘ a c˘a putem
alege δ>0 astfel c˘a V
1
(x
1
, x
2
, ..., x
n
)<δ
1
dac˘a (x
1
−x
c
1
)
2
+· · · + (x
n
−x
c
n
)
2
<δ
2
.
Din (2.2) rezult˘ a c˘a ori de cˆate ori data init ¸ial˘ a (x
1
(0), ..., x
n
(0)) satisface
(x
1
(0) −x
c
1
)
2
+· · · + (x
n
(0) −x
c
n
)
2
< δ
2
avem r(t) < ε pentru tot ¸i t > 0, adic˘ a ceea ce trebuia demonstrat.
Exemplul 2.1. Fie ecuat ¸ia oscilatorului armonic x
+ ω
2
x = 0 cu ω > 0.
Ecuat ¸ia este echivalent˘a cu sistemul diferent ¸ial de ordinul ˆıntˆ ai
x
= y, y
= −ω
2
x
care are punctul critic (0, 0). Definim energia total˘ a a oscilatorului armonic
(energia cinetic˘ a plus energia potent ¸ial˘ a) prin
V =
1
2
x
2
+
ω
2
2
x
2
=
1
2
(y
2
+ ω
2
x
2
).
Rezult˘a imediat c˘a funct ¸ia V este o funct ¸ie Liapunov, deci solut ¸ia stat ¸ionar˘ a
este stabil˘a.
Exemplul 2.2. Folosind funct ¸ia Liapunov V
1
(x, y) = x
2
+ y
2
s˘a se demon-
streze c˘a pentru sistemul diferent ¸ial
x
= y
y
= −x −y
3
(0, 0) este punct critic stabil.
Solut ¸ie.
ˆ
Intr-adev˘ ar, funct ¸ia Liapunov este continu˘ a ¸si pozitiv˘ a ˆın orice
paralelipiped ce cont ¸ine punctul critic (0, 0). Alegem funct ¸ia ϕ
1
(r) = r
2
.
Pentru a ˆıncheia demonstrat ¸ia este suficient s˘a verific˘ am (iv)
d
dt
V
1
(x, y) = 2xx
+ 2yy
= 2xy + 2y(−x −y
3
) = −2y
4
≤ 0.
Definit ¸ia 2.4. Funct ¸ia V
2
, V
2
: IR
n
→ IR se nume¸ste funct ¸ie Liapunov de al
doilea tip relativ la punctul critic izolat (x
c
1
, x
c
2
, ..., x
c
n
) al sistemului neliniar
(2.1), dac˘ a satisface urm˘atoarele condit ¸ii:
80 Elemente de teoria stabilit˘ at ¸ii
(j) V
2
este de clas˘a C
1
ˆın raport cu toate variabilele sale ˆın paralelipipedul
Π ce cont ¸ine punctul critic (x
c
1
, ..., x
c
n
).
(jj) V
2
(x
c
1
, ..., x
c
n
) = 0.
(jjj) Exist˘ a o funct ¸ie strict cresc˘atoare, continu˘ a ¸si pozitiv˘ a ϕ
2
definit˘ a pe
0 < r < δ astfel c˘a V
2
(x
1
, ..., x
n
) ≥ ϕ
2
(r) ˆın orice punct din Π, unde
r
2
= (x
1
−x
c
1
)
2
+· · · + (x
n
−x
c
n
)
2
.
(jv) V
2
satisface ˆın Π inegalitatea
f
1
∂V
2
∂x
1
+· · · + f
n
∂V
2
∂x
n
< 0.
S˘ a observ˘ am faptul c˘ a singura deosebire care apare ˆın definirea funct ¸iei
Liapunov de al doilea tip, fat ¸˘a de cea de primul tip, este dat˘ a de condit ¸ia (jv)
care ˆınt˘ are¸ste condit ¸ia (iv).
Teorema 2.2. (A doua teorem˘a a lui Liapunov) Dac˘ a V
2
este o func-
t ¸ie Liapunov de al doilea tip relativ la punctul critic izolat (x
c
1
, x
c
2
, ..., x
c
n
) al
sistemului neliniar (2.1), atunci punctul critic este asimptotic stabil.
Demonstrat ¸ie. Din ipoteze avem
d
dt
V
2
(x
1
(t), ..., x
n
(t)) < 0,
astfel c˘a funct ¸ia t → V
2
(x
1
(t), ..., x
n
(t)) este descresc˘atoare ¸si m˘arginit˘ a in-
ferior de zero. Prin urmare, exist˘ a limita L = lim
t→∞
V
2
(x
1
(t), ..., x
n
(t)). Dac˘a
L = 0, avem ϕ
2
(r(t)) ≤ V
2
(x
1
(t), ..., x
n
(t)), astfel c˘a
r(t) ≤ ϕ
−1
2
(V
2
(x
1
(t), ..., x
n
(t)) →0
pentru t →∞ ¸si demonstrat ¸ia este ˆıncheiat˘ a.
Dac˘a presupunem prin absurd c˘ a L > 0, atunci x(t) ≥ δ > 0 unde
x(t) = (x
1
(t), ..., x
n
(t)), astfel c˘a
d
dt
V
2
(x
1
(t), ..., x
n
(t)) ≤ −A
2
< 0.
Aceasta implic˘a
V
2
(x
1
(t), ..., x
n
(t)) −V
2
(x
1
(0), ..., x
n
(0)) ≤ −A
2
t →−∞
Metoda funct ¸iei Liapunov 81
care contrazice V
2
≥ 0. Deci L = 0.
Exemplu. Folosind funct ¸ia Liapunov V
2
(x, y) = x
2
+ 2y
2
, s˘a se demonstreze
c˘a pentru sistemul diferent ¸ial
x
= 2xy −x
y
= −x
2
−y
3
(0, 0) este punct critic asimptotic stabil.
Solut ¸ie. Deoarece propriet˘ at ¸ile (j)–(jjj) sunt satisf˘ acute de V
2
, r˘ amˆane de
verificat doar (jv). Pentru asta calcul˘ am
d
dt
V
2
(x, y) = 2xx
+ 4yy
= 2x(2xy −x) + 4y(−x
2
−y
3
) = −2x
2
−4y
4
care este strict negativ˘a (exceptˆand originea) ceea ce implic˘a faptul c˘ a (0, 0)
este punct critic asimptotic stabil.
Facem observat ¸ia c˘a, ˆın tratarea problemelor de stabilitate, nu exist˘ a o
ret ¸et˘a care s˘a permit˘ a determinarea funct ¸iei Liapunov pentru sisteme diferent ¸i-
ale neliniare. Totul t ¸ine de experient ¸a rezolvitorului iar, pentru unele sisteme
ce modeleaz˘a fenomene fizice, de faptul c˘ a, funct ¸ia Liapunov joac˘ a rolul de
energie.
D˘ am ˆın continuare, f˘ ar˘ a demonstrat ¸ie, dou˘ a teoreme privind stabilitatea
sistemelor diferent ¸iale, liniare sau a c˘ aror tratare se reduce la cazul liniar.
S˘ a consider˘ am sistemul liniar omogen
(2.3) x
= Ax
unde A este o matrice de tip n×n cu elemente numere reale. Matricea A se nu-
me¸ste hurwitzian˘ a dac˘ a toate r˘ ad˘ acinile ecuat ¸iei caracteristice det(λI −A) = 0
au partea real˘ a negativ˘ a. Relativ la sistemul (2.3), este u¸sor de observat c˘a so-
lut ¸ia banal˘ a este stabil˘a (asimptotic stabil˘ a), dac˘ a ¸si numai dac˘ a orice solut ¸ie
a sa este stabil˘a (asimptotic stabil˘ a). Din acest motiv, vorbim de stabilitatea
sistemului ¸si nu doar a unei solut ¸ii.
Teorema 2.3. Sistemul (2.3) este asimptotic stabil dac˘ a ¸si numai dac˘ a ma-
tricea A este hurwitzian˘ a. Dac˘ a toate r˘ad˘ acinile caracteristice au partea real˘ a
negativ˘a ¸si r˘ ad˘ acinile pur imaginare sunt simple, atunci sistemul (2.3) este
stabil. Dac˘ a cel put ¸in o r˘ ad˘ acin˘a a ecuat ¸iei caracteristice are partea real˘ a
strict pozitiv˘ a, solut ¸ia banal˘ a a sistemului este instabil˘ a.
ˆ
In ce prive¸ste r˘ad˘ acinile ecuat ¸iei caracteristice, exist˘a criteriul lui A. Hur-
witz (1859–1919) care d˘ a condit ¸iile necesare ¸si suficiente pe care trebuie s˘a le
82 Elemente de teoria stabilit˘ at ¸ii
ˆındeplineasc˘ a coeficient ¸ii polinomului caracteristic det(λI −A) pentru ca toate
r˘ ad˘ acinile sale s˘a aib˘ a partea real˘ a negativ˘ a. De exemplu, pentru polinomul
P(λ) = λ
3
+ aλ
2
+ bλ + c acestea sunt: a > 0, b > 0 ¸si ab > c.
S˘ a revenim la sistemul (2.1), unde funct ¸iile f
i
, i = 1, ..., n sunt presupuse
de clas˘a C
1
ˆın domeniul Π.
Fie (x
c
1
, ..., x
c
n
) un punct critic pentru sistemul (2.1). Dezvoltˆ and funct ¸iile
f
i
ˆın serie Taylor ˆın jurul punctului x
c
= (x
c
1
, ..., x
c
n
) obt ¸inem
f
i
(x) =
n
j=1
∂f
i
∂x
j
(x
c
)(x
j
−x
c
j
) +· · ·
Sistemul diferent ¸ial liniar
(2.4)
dx
dt
= Ax
unde A =
∂f
i
∂x
j
(x
c
)
i,j=1,n
poart˘ a denumirea de prima aproximat ¸ie liniar˘ a a
sistemului (2.1) ˆın jurul punctului critic x
c
. Are loc
Teorema 2.4. Presupunem c˘ a punctul x
c
= (x
c
1
, x
c
2
, ..., x
c
n
) este punct critic
izolat pentru sistemul neliniar (2.3). Dac˘ a matricea jacobian˘ a A din sistemul
(2.4) este hurwitzian˘ a, atunci punctul critic (x
c
1
, ..., x
c
n
) este asimptotic stabil.
Exemplu. Fie sistemul
x
= −x −y + x
2
y
= 2 sin x −3y + y
2
.
Pentru a studia stabilitatea solut ¸iei banale, consider˘ am sistemul liniarizat co-
respunz˘ator
x
= −x −y
y
= 2x −3y
adic˘ a ¯ x
= A¯ x, unde A =
−1 −1
2 −3
. R˘ad˘ acinile caracteristice fiind λ
1,2
=
−2 ±i, Teorema 2.4 arat˘a c˘a punctul critic (0, 0) este asimptotic stabil.
Probleme 83
4.3 Probleme
1. S˘ a se verifice cu ajutorul definit ¸iilor urm˘ atoarele afirmat ¸ii:
(i) Orice solut ¸ie a ecuat ¸iei diferent ¸iale x
+ ax = 0 este stabil˘a dac˘a a = 0,
asimptotic stabil˘ a dac˘a a > 0 ¸si instabil˘ a dac˘a a < 0.
(ii) Orice solut ¸ie a ecuat ¸iei
√
a
2
+ t
2
dx + (t + x −
√
a
2
+ t
2
)dt = 0, a ∈ IR,
este asimptotic stabil˘a.
(iii) Solut ¸ia ecuat ¸iei diferent ¸iale x
+ 2tx = t + 1 cu data init ¸ial˘ a x(0) = 1
este asimptotic stabil˘a.
(iv) Solut ¸ia sistemului diferent ¸ial x
= −y, y
= x cu datele init ¸iale x(0) = x
0
,
y(0) = y
0
; x
0
, y
0
∈ IR, este stabil˘a dar nu este asimptotic stabil˘ a.
2. S˘ a se arate c˘a V (x, y) = x
2
+y
2
este o funct ¸ie Liapunov pentru sistemul
x
= −x
3
+ 2xy
2
y
= −2x
2
y −5y
3
.
3. S˘ a se g˘aseasc˘a o funct ¸ie Liapunov de forma V (x, y) = ax
2
+by
2
pentru
sistemul
x
= −x
3
+ xy
2
+ 3x
7
y
= −2x
2
y −4y
3
−3y
5
.
4. Folosind metoda funct ¸iei Liapunov, s˘ a se cerceteze stabilitatea solut ¸iei
banale a urm˘ atoarelor sisteme de ecuat ¸ii:
a)
x
= −xy
4
y
= x
4
y,
b)
x
= −2x −3y
y
= x −y,
c)
x
= −y −x/2 −x
3
/4
y
= x −y/2 −y
3
/4,
d)
x
= x
5
+ y
3
y
= x
3
−y
5
,
e)
x
= ay −bx
2n+1
y
= −ax −cy
2n+1
, a, b, c > 0, n ∈ IN.
84 Elemente de teoria stabilit˘ at ¸ii
5. S˘ a se studieze stabilitatea solut ¸iilor sistemului
x
= x + 5y
y
= 5x + y.
6. S˘ a se determine solut ¸iile stat ¸ionare ale sistemului diferent ¸ial
x
= 1 −xy
y
= x −y
3
.
¸si s˘a se studieze stabilitatea lor.
7. Folosind metoda primei aproximat ¸ii s˘a se studieze stabilitatea solut ¸iei
banale (0, 0, 0) a sistemului diferent ¸ial neliniar
x
= −2x + y + 3z + 9y
2
y
= −6y −5z + 7z
2
z
= −z + x
2
+ y
2
.
8. Fie sistemul diferent ¸ial neliniar
x
= y + ax(x
2
+ y
2
)
y
= −x + ay(x
2
+ y
2
, a ∈ IR.
S˘ a se arate c˘a, de¸si pentru sistemul liniarizat x
= y, y
= −x punctul de
echilibru (0, 0) este stabil, pentru sistemul init ¸ial acela¸si punct de echilibru
este asimptotic stabil pentru a < 0 ¸si instabil pentru a > 0.
Capitolul 5
Integrale prime ¸si ecuat ¸ii cu
derivate part ¸iale de ordinul
ˆıntˆai
ˆ
In acest capitol vom introduce not ¸iunea de integral˘ a prim˘ a a unui sistem de
ecuat ¸ii diferent ¸iale ordinare ¸si vom analiza leg˘ atura acesteia cu ecuat ¸iile cu
derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai.
5.1 Integrale prime ¸si legi de conservare
Fie sistemul diferent ¸ial autonom
(1.1) x
i
= X
i
(x
1
, x
2
, ..., x
n
), i = 1, 2, ..., n
unde funct ¸iile X
i
sunt de clas˘a C
1
pe o mult ¸ime deschis˘a D, D ⊂ IR
n
.
Definit ¸ie. Funct ¸ia scalar˘a Ψ(x) = Ψ(x
1
, x
2
, ..., x
n
), continu˘ a ¸si cu derivate
part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai continueˆın D, care nu este identic egal˘ a cu o constant˘a
ˆın D, dar care este constant˘a de-a lungul solut ¸iilor sistemului (1.1) care r˘ amˆan
ˆın D, se nume¸ste integral˘ a prim˘ a a sistemului.
D˘ am acum un criteriu analitic pentru a recunoa¸ste dac˘a o funct ¸ie Ψ este
sau nu o integral˘ a prim˘ a, f˘ ar˘ a a cunoa¸ste solut ¸iile sistemului de ecuat ¸ii dife-
rent ¸iale.
Teorema 1.1. Condit ¸ia necesar˘ a ¸si suficient˘ a pentru ca o funct ¸ie Ψ continu˘ a
ˆın D ˆımpreun˘ a cu derivatele part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai, care nu este constant˘ a
86 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai
ˆın D, s˘ a fie o integral˘ a prim˘ a a sistemului (1.1) este ca s˘ a verifice egalitatea
(1.2) (grad Ψ(x), X(x)) = 0, ∀x ∈ D
unde X = (X
1
, X
2
, ..., X
n
).
Demonstrat ¸ie. Necesitatea este imediat˘a deoarece Ψ, fiind constant˘ a de-a
lungul oric˘ arei solut ¸ii a sistemului (1.1), avem
Ψ(x
1
(t), ..., x
n
(t)) ≡ C,
pentru orice solut ¸ie (x
1
t, x
2
(t), ..., x
n
(t)) a sistemului (1.1) de unde, prin dife-
rent ¸iere (¸si t ¸inˆ and cont c˘ a prin orice punct al lui D trece o solut ¸ie a sistemului
(1.1)), rezult˘ a (1.2).
Suficient ¸a rezult˘a din faptul c˘ a (1.2) implic˘ a
n
i=1
∂Ψ(x(t))
∂x
i
X
i
(x(t)) = 0,
pentru orice x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
), solut ¸ie a lui (1.1), de unde rezult˘ a c˘a ψ este
constant˘a de-a lungul traiectoriilor sistemului (1.1).
Faptul c˘ a funct ¸ia Ψ este constant˘a de-a lungul traiectoriilor sistemului
(1.1) se mai scrie sub forma Ψ(x
1
, x
2
, ..., x
n
) = C. De aceea se mai spune c˘a
integralele prime reprezint˘ a legi de conservare.
Exemplul 1. Fie un corp de mas˘ a m aflat ˆın c˘ adere liber˘ a sub act ¸iunea
gravitat ¸iei F = mg. Atunci, mi¸scarea corpului este descris˘a de sistemul
h
= v
v
= −g,
unde v este viteza lui, iar h distant ¸a fat ¸˘a de p˘ amˆant (parametri de stare).
Funct ¸ia de stare E = mgh +
mv
2
2
este constant˘a de-a lungul traiectoriei,
deoarece E
= mgh
+ mvv
= mgv + mv(−g) = 0. Recunoa¸stem aici legea
conserv˘ arii energiei.
Exemplul 2. Presupunem c˘ a un punct material (particul˘ a) de mas˘a m se
mi¸sc˘a ˆın spat ¸iu sub act ¸iunea unui cˆ amp de fort ¸e
F = −gradV, cu V funct ¸ie de
clas˘a C
1
(cˆampul F se mai nume¸ste conservativ iar V este un potent ¸ial scalar
Integrale prime ¸si legi de conservare 87
al mi¸sc˘arii). Dac˘ a x(t) = (x
1
(t), x
2
(t), x
3
(t)) sunt coordonatele punctului ma-
terial la momentul t, atunci, ˆın virtutea legii lui Newton, ecuat ¸ia mi¸sc˘arii este
mx
= −gradV ¸si pe componente
mx
i
= −
∂V
∂x
i
,
i = 1, 2, 3.
Atunci
m(x
1
x
1
+ x
2
x
2
+ x
3
x
3
) = −
∂V
∂x
1
x
1
−
∂V
∂x
2
x
2
−
∂V
∂x
3
x
3
adic˘ a
1
2
m
d
dt
(x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
) = −
d
dt
V (x
1
(t), x
2
(t), x
3
(t)).
Notˆand
T =
1
2
m(x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
) =
1
2
mv
2
(energia cinetic˘ a a particulei)
atunci
d
dt
T = −
d
dt
V,
deci T +V = constant. A¸sadar, ˆın lungul oric˘ arei curbe integrale, suma T +V
este constant˘a ¸si este numit˘a integral˘ a prim˘ a a energiei.
Integrale prime ¸si integrarea sistemului. Cazul autonom
Vom examina rolul pe care-l au integralele prime la integrarea unui sistem de
ecuat ¸ii diferent ¸iale.
S˘ a presupunem c˘ a se cunosc p (1 ≤ p ≤ n) integrale prime ale sistemului
(1.1) ¸si anume
(1.3) f
i
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) = C
i
(i = 1, 2, ..., p).
Aceste integrale prime se numesc independente, dac˘ a ecuat ¸iile (1.3) pot fi
rezolvate ˆın mod unic ˆın raport cu p dintre variabilele x
1
, x
2
, ..., x
n
. Dar pentru
ca integralele (1.3) s˘a fie independente este suficient s˘ a existe un minor de
ordinul p al matricei:
∂f
i
∂x
j
, i = 1, 2, ..., p; j = 1, 2, ..., n
care s˘a nu se anuleze ˆın D.
88 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai
Teorema 1.2. Dac˘ a pentru sistemul (1.1) se cunosc p integrale prime inde-
pendente, atunci integrarea lui se reduce la integrarea unui sistem normal de
n −p ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai.
Demonstrat ¸ie. Presupunˆ and c˘ a integralele prime f
i
(i = 1, 2, ..., p) sunt
independente, ecuat ¸iile (1.3) se pot rezolva ˆın mod unic ˆın raport cu p dintre
variabilele x
1
, x
2
, ..., x
n
, de exemplu ˆın raport cu primele p, obt ¸inˆ andu-se:
x
i
= g
i
(x
p+1
, x
p+2
, ..., x
n
, C
1
, C
2
, ..., C
p
), i = 1, 2, ..., p.
ˆ
Inlocuindu-se apoi ˆın ultimele n −p ecuat ¸ii ale sistemului (1.1) se obt ¸ine
x
p+k
= X
p+k
(g
1
, g
2
, ..., g
p
, x
p+1
, ..., x
n
), k = 1, 2, ..., n −p.
Teorema 1.2 arat˘a important ¸a integralelor prime pentru sisteme diferent ¸iale.
S˘ a presupunem acum c˘a funct ¸iile X
1
, X
2
, ..., X
n
nu se anuleaz˘a simul-
tan ˆın nici un punct din domeniul D. Pentru simplitate, presupunem c˘ a
X
1
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) = 0 pentru orice (x
1
, ..., x
n
) ∈ D.
Sistemul (1.1) se poate scrie ˆın forma simetric˘ a
(1.4)
dx
1
X
1
=
dx
2
X
2
= · · · =
dx
n
X
n
= dt
¸si integrarea lui revine la integrarea sistemului de (n −1) ecuat ¸ii diferent ¸iale:
(1.5)
dx
2
dx
1
=
X
2
X
1
,
dx
3
dx
1
=
X
3
X
1
,
· · ·
,
dx
n
dx
1
=
X
n
X
1
,
urmat˘ a de o cuadratur˘ a.
ˆ
Intr-adev˘ ar, integrˆ and sistemul (1.5), se g˘ ase¸ste
x
2
= g
2
(x
1
, C
1
, C
2
, .., C
n−1
), ..., x
n
= g
n
(x
1
, C
1
, C
2
, ..., C
n−1
).
ˆ
Inlocuind acum ˆın primul raport din (1.4) rezult˘ a
dx
1
X
1
(x
1
, g
2
, g
3
, ..., g
n
)
= dt,
de unde, printr-o cuadratur˘ a ce introduce ˆınc˘ a o constant˘ a arbitrar˘ a, se obt ¸ine
t funct ¸ie de x
1
.
Rezult˘a, t ¸inˆ and cont de Teorema 1.2, c˘a pentru integrarea sistemului (1.5)
sunt necesare (n − 1) integrale prime independente ˆın D, adic˘ a F
1
= C
1
,
F
2
= C
2
, ..., F
n−1
= C
n−1
, astfel ˆıncˆ at:
∂(F
1
, F
2
, ..., F
n−1
)
∂(x
2
, x
3
, ..., x
n−1
)
= 0
Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai liniare 89
pentru toate punctele x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ D.
Observat ¸ie. Un sistem neautonom se poate transforma ˆıntr-un sistem au-
tonom, m˘ arind num˘ arul dimensiunilor cu o unitate.
ˆ
Intr-adev˘ ar, dac˘ a consider˘am sistemul
x
i
= f
i
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
), i = 1, 2, ..., n
acesta poate fi scris sub forma:
dx
1
f
1
(t, x
1
, ..., x
n
)
=
dx
2
f
2
(t, x
1
, ..., x
n
)
= · · · =
dx
n
f
n
(t, x
1
, ..., x
n
)
=
dt
1
·
Combinat ¸ii integrabile
Dac˘a se pot determina n funct ¸ii, λ
1
, λ
2
, ..., λ
n
continue ˆın D, astfel ˆıncˆ at ˆın D
s˘a fie verificat˘ a identic egalitatea
λ
1
X
1
+ λ
2
X
2
+· · · + λ
n
X
n
= 0
iar expresia λ
1
dx
1
+ λ
2
dx
1
+ · · · + λ
n
dx
n
s˘a fie o diferent ¸ial˘ a total˘ a exact˘a,
adic˘ a s˘a existe o funct ¸ie Ψ ∈ C
1
(D) astfel ˆıncˆ at:
λ
1
dx
1
+ λ
2
dx
2
+· · · + λ
n
dx
n
= dΨ,
atunci spunem c˘a expresia λ
1
X
1
+λ
2
X
2
+· · · +λ
n
X
n
este o combinat ¸ie inte-
grabil˘ a a sistemului (1.5).
ˆ
In aceste condit ¸ii, se vede imediat c˘a Ψ este o integral˘a prim˘ a a sistemului
(1.5). Acest procedeu simplu permite uneori g˘ asirea de integrale prime ale
unui sistem de ecuat ¸ii diferent ¸iale.
5.2 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆai
liniare
O relat ¸ie de forma
F
x
1
, x
2
, ..., x
n
,
∂z
∂x
1
,
∂z
∂x
2
,
· · ·
,
∂z
∂x
n
,
z
= 0,
unde x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ D ⊂ IR
n
, z ∈ C
1
(D), poart˘ a denumirea de ecua-
t ¸ie cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai. Aici, funct ¸ia necunoscut˘a este z, de
argumente (x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ D. Spunem c˘ a z : D → R este solut ¸ie a ecuat ¸iei
de mai sus dac˘a este continu˘ a ¸si cu derivate part ¸iale continue ˆın D ¸si satisface
relat ¸ia dat˘ a peste tot ˆın D. Dac˘a F este de gradul ˆıntˆ ai ˆın z ¸si derivatele lui
z, spunem c˘a ecuat ¸ia este liniar˘ a. Dac˘a F este liniar˘a numai ˆın derivatele lui
z, dar nu ¸si ˆın funct ¸ia necunoscut˘a z, spunem c˘a ecuat ¸ia este cvasiliniar˘ a.
90 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai
Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆai liniare ¸si omogene
Ecuat ¸iile de acest tip au forma
(2.1)
n
i=1
X
i
(x
1
, x
2
, ..., x
n
)
∂z
∂x
i
= 0
unde X
i
, i = 1, 2, ..., n, sunt funct ¸ii de clas˘a C
1
ˆın mult ¸imea D. Presupunem
c˘a funct ¸iile X
i
nu se anuleaz˘a simultan ˆın D.
Din Teorema 1.1, aplicat˘ a sistemului autonom scris sub form˘ a simetric˘a
(2.2)
dx
1
X
1
=
dx
2
X
2
= · · · =
dx
n
X
n
,
rezult˘ a c˘a funct ¸iile z = z(x
1
, x
2
, ..., x
n
), z ∈ C
1
(D) sunt solut ¸ii ale ecuat ¸iei
(2.1), dac˘ a ¸si numai dac˘ a sunt integrale prime ale sistemului (2.2). Sistemul
(2.2) poart˘ a denumirea de sistemul caracteristic al ecuat ¸iei cu derivate part ¸iale
(2.1).
Presupunem c˘ a se cunosc (n −1) integrale prime ale sistemului (2.2)
(2.3) F
i
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) = C
i
, i = 1, 2, ..., n −1
astfel ˆıncˆ at determinantul lor funct ¸ional ˆın raport cu (n−1) din cele n variabile
s˘a nu se anuleze ˆın nici un punct din D, de exemplu s˘a avem ˆın D:
(2.4)
∂(F
1
, F
2
, ..., F
n−1
)
∂(x
2
, x
3
, ..., x
n
)
= 0.
Teorema care urmeaz˘a prezint˘ a structura solut ¸iei generale a ecuat ¸iei (2.1).
Teorema 2.1. Dac˘ a F
1
, F
2
, ..., F
n−1
sunt (n−1) integrale prime independente
ale sistemului caracteristic (2.2), iar φ este o funct ¸ie arbitrar˘ a de (n − 1)
variabile, de clas˘ a C
1
ˆın raport cu acestea, atunci:
(2.5) z = φ(F
1
, F
2
, ..., F
n−1
)
este o solut ¸ie a ecuat ¸iei (2.1), ¸si orice solut ¸ie a ecuat ¸iei (2.1) are forma (2.5).
Demonstrat ¸ie. Deoarece φ ¸si F
i
, i = 1, n −1, sunt funct ¸ii de clas˘a C
1
, rezult˘ a
c˘a φ(F
1
, F
2
, ..., F
n−1
) este de clas˘a C
1
, ˆın raport cu variabilele (x
1
, x
2
, ..., x
n
).
Acum, deoarece de-a lungul unei solut ¸ii arbitrare a sistemului (2.2) avem
F
i
= C
i
, ¸si deci φ(C
1
, C
2
, ..., C
n−1
) = const., adic˘ a φ este o integral˘a prim˘ a a
sistemului (2.2), rezult˘ a c˘a φ este solut ¸ie a ecuat ¸iei (2.1).
Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai liniare 91
Reciproc, s˘a presupunem c˘ a z = z(x
1
, x
2
, ..., x
n
) este o solut ¸ie a ecuat ¸iei
(2.1) ¸si s˘a ar˘ at˘am c˘a are forma (2.5).
Deoarece F
1
, F
2
, ..., F
n−1
sunt ¸si ele solut ¸ii ale ecuat ¸iei (2.1) rezult˘ a c˘a ˆın
D este verificat sistemul:
(2.6)
X
1
∂z
∂x
1
+ X
2
∂z
∂x
2
+· · · + X
n
∂z
∂x
n
= 0
X
1
∂F
1
∂x
1
+ X
2
∂F
1
∂x
2
+· · · + X
n
∂F
1
∂x
n
= 0
.
.
.
X
1
∂F
n−1
∂x
1
+ X
2
∂F
n−1
∂x
2
+· · · + X
n
∂F
n−1
∂x
n
= 0.
Interpret˘ am sistemul (2.6) ca un sistem algebric liniar ¸si omogen de n
ecuat ¸ii cu n necunoscute, X
1
, X
2
, ..., X
n
.
Deoarece pentru fiecare punct x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ D sistemul (2.6) ad-
mite solut ¸ii nebanale (ˆıntrucˆ at funct ¸iile X
i
nu se anuleaz˘a simultan ˆın D),
rezult˘ a c˘a determinantul s˘ au este identic nul ˆın D, deci:
(2.7)
∂(z, F
1
, F
2
, ..., F
n−1
)
∂(x
1
, x
2
, ..., x
n
)
= 0.
Dac˘a ˆın D avem X
1
(x
1
, ..., x
n
) = 0, determinantul funct ¸ional (2.4) este nenul
¸si din (2.7) rezult˘ a c˘a z este o funct ¸ie de F
1
, F
2
, ..., F
n−1
, adic˘ a (2.5).
Problema lui Cauchy pentru ecuat ¸ia omogen˘a
Presupunˆ and c˘ a X
1
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) = 0 ˆın D, ecuat ¸ia (2.1) se scrie ˆın forma
normal˘ a:
∂z
∂x
1
= −
X
2
X
1
∂z
∂x
2
+
X
3
X
1
∂z
∂x
3
+· · · +
X
n
X
1
∂z
∂x
n
Problema lui Cauchy asociat˘ a ecuat ¸iei (2.1) se enunt ¸˘a astfel: S˘ a se determine
solut ¸ia ecuat ¸iei (2.1) care pentru x
1
= x
0
1
se reduce la o funct ¸ie arbitrar˘ a
dat˘ a ϕ(x
2
, x
3
, ..., x
n
), continu˘ a ¸si cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai continue
ˆıntr-o vecin˘ atate a punctului (x
0
2
, x
0
3
, ..., x
0
n
), unde punctul (x
0
1
, x
0
2
, ..., x
0
n
) ∈ D.
Aceast˘a problem˘ a admite o solut ¸ie unic˘ a, ce se obt ¸ine astfel: din relat ¸iile
(2.3) scrise pentru x
1
= x
0
1
, deci:
F
i
(x
0
1
, x
2
, ..., x
n
) = C
i
, i = 1, 2, ..., n −1
se pot scoate x
2
, x
3
, ..., x
n
ˆın funct ¸ie de C
1
, C
2
, ..., C
n−1
, deoarece este satisf˘a-
cut˘a condit ¸ia (2.4).
92 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai
Introducˆ and acum expresiile g˘ asite pentru x
2
, x
3
, ..., x
n
ˆın funct ¸ia z =
ϕ(x
2
, x
3
, ..., x
n
) se obt ¸ine z ˆın funct ¸ie de C
1
, C
2
, ..., C
n−1
, adic˘ a o relat ¸ie de
forma
z = F(C
1
, C
2
, ..., C
n−1
).
ˆ
Inlocuind acum pe C
1
, C
2
, ..., C
n−1
cu expresiile lor conform cu (2.3), se obt ¸ine
solut ¸ia c˘autat˘ a a ecuat ¸iei (2.1):
z = F(F
1
, F
2
, ..., F
n−1
)
¸si care satisface condit ¸ia Cauchy impus˘ a.
Exemplu. S˘ a se determine solut ¸ia ecuat ¸iei
(x
3
−x
2
)
2∂z
∂x
1
+ x
3
∂z
∂x
2
+ x
2
∂z
∂x
3
= 0,
care satisface condit ¸ia z(0, x
2
, x
3
) = 3x
2
2
−x
2
3
−2x
2
x
3
.
Rezolvare. Sistemul caracteristic asociat este
dx
1
(x
3
−x
2
)
2
=
dx
2
x
3
=
dx
3
x
2
¸si admite integralele prime:
(2.8) x
2
2
−x
2
3
= C
1
, 3x
1
+ (x
3
−x
2
)
2
= C
2
.
F˘ acˆand x
1
= 0 ¸si eliminˆ and x
2
¸si x
3
ˆıntre relat ¸iile:
x
2
2
−x
2
3
= C
1
, (x
2
−x
3
)
2
= C
2
, z = 3x
2
2
−x
2
3
−2x
2
x
3
se obt ¸ine z = 2C
1
+ C
2
.
ˆ
Inlocuind acum pe C
1
¸si C
2
din (2.8), rezult˘ a c˘a
funct ¸ia z = 2x
1
+ 3x
2
2
−x
2
3
−2x
2
x
3
este solut ¸ia c˘autat˘ a.
5.3 Aplicat ¸ii la fizica plasmei
Not ¸iunea de plasm˘ a este folosit˘a ˆın fizic˘ a pentru a desemna un gaz ionizat, cu
o densitate suficient de mare astfel c˘a fort ¸ele exercitate de particulele gazului,
unele asupra altora sunt neglijabile ˆın comparat ¸ie cu fort ¸ele exercitate asupra
particulelor de un cˆ amp electromagnetic exterior.
ˆ
In laborator, plasma apare
cˆand electricitatea este desc˘arcat˘a direct ˆın gaz.
Studiul plasmei este stimulat, ˆıntre altele, de posibilitatea de a controla
reactoarele termonucleare.
Aplicat ¸ii la fizica plasmei 93
Reactoarele termonucleare folosesc gaze la temperaturi foarte ˆınalte, tem-
peraturi la care gazul este complet ionizat, prin urmare este o plasm˘ a.
Problema principal˘ a a reactoarelor nucleare este cum s˘a p˘ astreze plasma.
Un container nu poate fi folosit, deoarece peret ¸ii s˘ai s-ar vaporiza instan-
taneu. Practica a ar˘ atat c˘a plasma poate fi p˘ astrat˘ a ˆıntr-un cˆ amp magnetic.
Ecuat ¸ia de baz˘a a plasmei este cunoscut˘a sub numele de ecuat ¸ia lui Boltz-
mann.
Vom prezentaˆın continuare un caz special al acestei ecuat ¸ii care este folosit
ˆın problema static˘ a a stratului limit˘ a.
ˆ
In acest caz, ecuat ¸ia are forma
(2.9) mv
1
∂f
∂x
+ e
v
2
c
dη
dx
−
dφ
dx
∂f
∂v
1
− e
v
1
c
dη
dx
∂f
∂v
2
= 0.
ˆ
In (2.9), f este funct ¸ia necunoscut˘a de trei variabile independente x, v
1
¸si
v
2
. Funct ¸iile φ ¸si η sunt date ¸si depind doar de x, ˆın timp ce m, e, C sunt
constante.
Ecuat ¸ia (2.9) este liniar˘ a ¸si omogen˘a, sistemul caracteristic asociat fiind
(2.10)
dx
mv
1
=
dv
1
e
v
2
C
dη
dx
−
dφ
dx
=
dv
2
−e
v
1
C
dη
dx
·
Din primul ¸si al treilea raport obt ¸inem integrala prim˘ a
f
1
= mv
2
+
e
C
η(x).
ˆ
Inmult ¸ind num˘ ar˘ atorul ¸si numitorul celui de-al doilea raport cu 2v
1
, celui de-al
treilea raport cu 2v
2
¸si adunˆ and num˘ ar˘ atorii ¸si numitorii rapoartelor rezultate,
obt ¸inem raportul
d(v
2
1
+ v
2
2
)
−2ev
1
dφ
dx
care, egalat cu primul raport din (2.10), conduce la cea de-a doua integral˘ a
prim˘ a
f
2
=
1
2
m(v
2
1
+ v
2
2
) + eφ(x).
Evident, f
1
¸si f
2
sunt funct ¸ional independente, deci solut ¸ia general˘a a e-
cuat ¸iei (2.9) este dat˘a de
(2.11) f(x, v
1
, v
2
) = F(mv
2
+
e
C
η(x),
1
2
m(v
2
1
− v
2
2
) + eφ(x)),
94 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai
unde F(f
1
, f
2
) este o funct ¸ie arbitrar˘ a de dou˘ a variabile.
ˆ
In (2.11), f
1
reprezint˘a energia particulei de mas˘ a m, iar f
2
este momentul
cinetic.
Perechea de ecuat ¸ii
f
1
= C
1
, f
2
= C
2
; C
1
, C
2
= constante
determin˘ a traiectoria particulei.
5.4 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale cvasiliniare
Consider˘ am ecuat ¸ia
(3.1)
X
1
(x
1
, x
2
, ..., x
n
, z)
∂z
∂x
1
+X
2
(x
1
, x
2
, ..., x
n
, z)
∂z
∂x
2
+· · · +
+X
n
(x
1
, x
2
, ..., x
n
, z)
∂z
∂x
n
= X
n+1
(x
1
, x
2
, ..., x
n
, z)
unde X
1
, X
2
, ..., X
n+1
sunt funct ¸ii de n + 1 argumente, de clas˘a C
1
ˆın raport
cu aceste argumente ˆıntr-un domeniu D, (n + 1)-dimensional.
La fel caˆın cazul liniar omogen, presupunem c˘ a funct ¸iile X
i
, i=1, 2, ..., n+1,
nu se anuleaz˘a simultan ˆın D.
Se pune problema determin˘ arii tuturor funct ¸iilor z = z(x
1
, x
2
, ..., x
n
), con-
tinue ˆımpreun˘ a cu derivatele lor part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai, care verific˘ a ecuat ¸ia
(3.1). Problema integr˘ arii acestei ecuat ¸ii se poate reduce la problema integr˘ arii
ecuat ¸iei liniare omogene (2.1) dac˘ a, ˆın loc s˘a determin˘ am pe z direct, solut ¸ie
a ecuat ¸iei (3.1), c˘aut˘ am s˘a determin˘am o funct ¸ie u ∈ C
1
(D), ce depinde de
(n + 1) argumente u(x
1
, x
2
, ..., x
n
, z) astfel ca, din relat ¸ia
(3.2) u(x
1
, x
2
, ..., x
n
, z) = 0
s˘a putem scoate pe z ce verific˘a (3.1), adic˘ a ˆın D,
∂u
∂z
= 0.
Din (3.2) rezult˘ a relat ¸iile
∂z
∂x
k
= −
∂u
∂x
k
:
∂u
∂z
,
k = 1, 2, ..., n
care, ˆınlocuite ˆın (3.1), conduc la:
(3.3) X
1
∂u
∂x
1
+X
2
∂u
∂x
2
+· · · +X
n
∂u
∂x
n
+X
n+1
∂u
∂z
= 0
Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale cvasiliniare 95
care este o ecuat ¸ie liniar˘ a ¸si omogen˘a ˆın u pe care o trat˘am cu metodele
dezvoltate ˆın paragraful anterior. Mai exact, ˆıi asociem sistemul caracteristic
dx
1
X
1
=
dx
2
X
2
= · · · =
dx
n
X
n
=
dz
X
n+1
·
Fie n integrale prime ale acestui sistem
F
i
(x
1
, x
2
, ..., x
n
, z) = C
i
, i = 1, 2, ..., n.
Integrala general˘ a a ecuat ¸iei (3.3) va fi deci
u = φ(F
1
, F
2
, ..., F
n
)
iar solut ¸ia z a ecuat ¸iei (3.1), se deduce ca funct ¸ie implicit˘ a din
φ(F
1
, F
2
, ..., F
n
) = 0
unde φ este o funct ¸ie arbitrar˘ a de clas˘a C
1
ˆın D.
Exemplu. Fie ecuat ¸ia
x
∂u
∂x
+y
∂u
∂y
+z
∂u
∂z
= mu (m = const.).
Sistemul caracteristic asociat este
dx
x
=
dy
y
=
dz
z
=
du
mu
,
din care deducem
y
x
= C
1
,
z
x
= C
2
,
u
x
m
= C
3
.
Solut ¸ia u se deduce din relat ¸ia
φ
y
x
,
z
x
,
u
x
m
= 0,
care ne d˘a
u = x
m
ϕ
y
x
,
z
x
·
96 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai
5.5 Probleme
1. S˘ a se determine integralele prime ale urm˘ atoarelor sisteme de ecuat ¸ii dife-
rent ¸iale scrise sub form˘a simetric˘a:
(i)
dx
y + z
=
dy
x + z
=
dz
x + y
;
(ii)
dx
x + y
2
+ z
2
=
dy
y
=
dz
z
;
(iii)
dx
x(y + z)
=
dy
z(z −y)
=
dz
y(y −z)
;
(iv)
dx
cy −bz
=
dy
az −cx
=
dz
bx −ay
; a, b, c ∈ IR;
(v)
dx
x(y
3
−2x
3
)
=
dy
y(2y
3
−x
3
)
=
dz
9z(x
3
−y
3
)
.
2. S˘ a se determine solut ¸ia general˘a a urm˘ atoarelor ecuat ¸ii cu derivate
part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai liniare ¸si omogene:
(i) (x −z)
∂u
∂x
+ (y −z)
∂u
∂y
+ 2z
∂u
∂z
= 0;
(ii)
1 +
√
3z −x −y
∂u
∂x
+ 2
∂u
∂y
+
∂u
∂z
= 0;
(iii) (y
m
−z
p
)
∂u
∂x
+ (z
p
−x
n
)
∂u
∂y
+ (x
n
−y
m
)
∂
∂u
z = 0, m, n, p ∈ IN
∗
.
3. S˘ a se determine solut ¸iile urm˘ atoarelorprobleme Cauchy:
(i)
√
x
∂u
∂x
+
√
y
∂u
∂y
+
√
z
∂u
∂z
= 0, u(x, y, 1) = x −y);
(ii) (1 + x
2
)
∂u
∂x
+ xy
∂u
∂y
= 0, u(0, y) = y
2
;
(iii) x
∂u
∂x
+ y
∂u
∂y
+ xy
∂u
∂z
= 0, u(x, y, 0) = x
2
+ y
2
.
4. S˘ a se determine solut ¸iile generale ale urm˘ atoarelor ecuat ¸ii cu derivate
part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai cvasiliniare:
(i) y
∂u
∂x
+ x
∂u
∂y
= x −y;
(ii) 2x
∂u
∂x
+ (y −x)
∂u
∂y
= ye
x
;
(iii) (xu + y)
∂u
∂x
+ (x + uy)
∂u
∂y
= 1 −u
2
;
(iv) (1 +
√
u −x −y)
∂u
∂x
+
∂u
∂y
= 2;
(v) x
∂u
∂x
+ (z + u)
∂u
∂y
+ (y + u)
∂u
∂z
= y + z.
Capitolul 6
Funct ¸ii speciale
Folosirea metodelor matematice ˆın fizic˘ a, mecanic˘a, astronomie a scos ˆın evi-
dent ¸˘a, ˆıntr-o serie de probleme fundamentale, cˆ ateva funct ¸ii, numite funct ¸ii
speciale, care au unele propriet˘ at ¸i asem˘an˘ atoare cu cele care caracterizeaz˘a
funct ¸iile transcendente elementare.
O categorie important˘ a de funct ¸ii speciale rezult˘a din rezolvarea proble-
melor la limit˘ a pentru ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale liniare de ordinul al doilea,
pe domenii cilindrice sau sferice.
Dup˘ a cum vom vedea, o metod˘a foarte folosit˘ a ˆın rezolvarea acestor pro-
bleme este metoda separ˘arii variabilelor. Procedeul general de rezolvare prin
aceast˘a metod˘a const˘a ˆın g˘ asirea unui sistem de coordonate curbilinii ortogo-
nale astfel ˆıncˆ at ecuat ¸ia cu derivate part ¸iale dat˘ a, dup˘ a transformarea ei ˆın
noile variabile, s˘ a admit˘ a separarea variabilelor.
Aplicˆ and metoda separ˘ arii variabilelor, suntem condu¸si la probleme la
limit˘ a pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale (ordinare) de ordinul al doilea, liniare ¸si omo-
gene. Problemele la limit˘ a pentru aceste ecuat ¸ii determin˘ a clase importante
de funct ¸ii speciale (funct ¸ii cilindrice, sferice etc.). Iat˘ a cˆateva ecuat ¸ii, a c˘aror
rezolvare conduce la funct ¸ii speciale:
• Ecuat ¸ia lui Bessel
x
2
y
+ xy
+ (x
2
−ν
2
)y = 0, unde ν este o constant˘a;
• Ecuat ¸ia lui Legendre
(1 −x
2
)y
−2xy
+ νy = 0, unde ν este o constant˘a;
• Ecuat ¸ia lui Hermite
y
−2xy
+ 2ny = 0, unde n ∈ Z;
98 Funct ¸ii speciale
• Ecuat ¸ia lui Cebˆa¸sev
(1 −x
2
)y
−xy
+ n
2
y = 0, unde n ∈ Z;
• Ecuat ¸ia hipergeometric˘a
x(1 −x)y
+ (c −(a + b + 1)x)y
−aby = 0, a, b, c fiind constante.
ˆ
In cele ce urmeaz˘a, vom prezenta funct ¸iile speciale generate de primele
dou˘ a ecuat ¸ii, funct ¸ii cunoscute sub numele de funct ¸ii cilindrice, respectiv func-
t ¸ii sferice, acestea fiind cele mai frecvent ˆıntˆ alnite ˆın problemele de fizic˘ a ma-
tematic˘a. Vom studia propriet˘ at ¸ile lor, unele relat ¸ii pe care le satisfac, ex-
primarea lor prin funct ¸ii elementare, precum ¸si posibilitatea dezvolt˘ arii unei
funct ¸ii date ˆın serie de funct ¸ii speciale.
Atˆ at funct ¸iile cilindrice, cˆ at ¸si cele sferice apar ca solut ¸ii ale unor ecuat ¸ii
cu derivate part ¸iale de ordinul II, rezolvate prin metoda separ˘ arii variabilelor.
Dup˘ a cum vom vedea, prin aceast˘a metod˘a rezolvarea unei ecuat ¸ii cu derivate
part ¸iale (ˆın anumite situat ¸ii privind forma ecuat ¸iei ¸si domeniul ˆın care se
lucreaz˘a) se reduce la rezolvarea a dou˘ a ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordinul II cu
condit ¸ii suplimentare. Aceste ecuat ¸ii diferent ¸iale cu condit ¸ii la limit˘ a fac parte
din categoria problemelor cunoscute sub numele de probleme Sturm–Liouville.
De¸si problemele Sturm–Liouville sunt interesante prin ele ˆınsele, noi vom
evident ¸ia doar acele rezultate pe care le vom folosi ˆın teoria funct ¸iilor cilindrice
¸si sferice.
6.1 Rezolvarea ecuat ¸iilor diferent ¸iale liniare cu aju-
torul seriilor de puteri
Metoda seriilor de puteri este una din metodele de baz˘ a pentru rezolvarea e-
cuat ¸iilor diferent ¸iale liniare cu coeficient ¸i variabili. Metoda, dup˘ a cum arat˘ a ¸si
numele, const˘a ˆın c˘ autarea solut ¸iei sub forma unei serii de puteri. Noi ne vom
ocupa doar de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare de ordinul al doilea deoarece sunt
cele mai importante din punctul de vedere al aplicat ¸iilor. La ˆınceput facem o
scurt˘a prezentare a seriilor de puteri, de¸si consider˘am c˘a sunt cunoscute de la
cursul de analiz˘a matematic˘a.
O serie de forma
(1.1)
∞
n=0
a
n
(x −x
0
)
n
se nume¸ste serie de puteri ˆın jurul punctului x
0
. Numerele a
0
, a
1
, ..., a
n
, ... se
numesc coeficient ¸ii seriei. Spunem c˘a seria (1.1) este convergent˘a ˆın punctul
Rezolvarea ecuat ¸iilor cu serii de puteri 99
x = x
1
, dac˘ a exist˘a ¸si este finit˘a
lim
N→∞
N
n=0
a
n
(x
1
−x
0
)
n
iar limita se va numi suma seriei ˆın punctul x
1
.
ˆ
In caz c˘a limita de mai sus nu
exist˘a sau este infinit˘ a, spunem c˘ a seria este divergent˘a ˆın punctul x
1
.
Seriile de puteri au o proprietate special˘ a ¸si anume faptul c˘ a mult ¸imea
punctelor ˆın care seria este convergent˘a formeaz˘a un interval. Raza acestui
interval, ˆın cazul seriei (1.1), este dat˘a de formula
(1.2) R =
1
lim
n→∞
n
|a
n
|
sau
(1.3) R = lim
n→∞
a
n
a
n+1
presupunˆ and c˘ a limitele (1.2) sau (1.3) exist˘ a.
Dac˘a R = 0, seria (1.1) converge numai ˆın x = x
0
. Dac˘a R = ∞, seria
(1.1) converge pentru orice x, iar dac˘ a 0 < R < ∞, seria converge ˆın intervalul
|x −x
0
| < R ¸si diverge pentru |x −x
0
| > R.
Intervalul (−R + x
0
, R + x
0
) se nume¸ste interval de convergent ¸˘ a al seriei
(1.1), iar R se nume¸ste raz˘ a de convergent ¸˘ a.
ˆ
In capetele intervalului, x =
−R+x
0
respectiv x = R+x
0
, seria poate fi convergent˘ a sau divergent˘ a. Deci,
pentru orice x, |x −x
0
| < R, suma seriei de puteri exist˘a ¸si define¸ste o funct ¸ie
(1.4) f(x) =
∞
n=0
a
n
(x −x
0
)
n
, pentru |x −x
0
| < R.
Funct ¸ia f astfel definit˘ a este derivabil˘ a de orice ordin, derivatele sale f
, f
, ...
obt ¸inˆ andu-se prin derivarea seriei (1.4) termen cu termen.
ˆ
In procesul c˘ aut˘ arii solut ¸iei unei ecuat ¸ii diferent ¸iale sub forma unei serii de
puteri, avem nevoie, pe lˆ ang˘ a derivare, de adun˘ ari, sc˘ aderi, ˆınmult ¸iri a dou˘ a
sau mai multe serii de puteri. Aceste operat ¸ii sunt foarte asem˘an˘ atoare cu
cele f˘acute cu polinoame cu restrict ¸ia c˘a, ˆın cazul seriilor, operat ¸iile se fac
pe intersect ¸ia mult ¸imilor de convergent ¸˘a ale seriilor implicate. S˘ a introducem
acum conceptul de funct ¸ie analitic˘ a care va fi folosit ˆın cele ce urmeaz˘a.
Spunem c˘ a funct ¸ia f este analitic˘ a ˆın punctul x
0
dac˘a poate fi scris˘a sub
forma
(1.5) f(x) =
∞
n=0
a
n
(x −x
0
)
n
,
100 Funct ¸ii speciale
seria avˆand o raz˘ a de convergent ¸˘a pozitiv˘ a.
Din (1.5) g˘ asim f
(n)
(x
0
) = n!a
n
pentru n = 0, 1, 2, ..., deci seria (1.5) este
seria Taylor
(1.6) f(x) =
∞
n=0
f
(n)
(x
0
)
n!
(x −x
0
)
n
a funct ¸iei f ˆın punctul x = x
0
. Astfel, o funct ¸ie f este analitic˘a ˆın punctul x
0
,
dac˘a este dezvoltabil˘ aˆın serie Taylor ˆın punctul x
0
¸si are o raz˘a de convergent ¸˘a
pozitiv˘ a.
Puncte ordinare ¸si puncte singulare
S˘ a consider˘am ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a liniar˘ a de ordinul al doilea cu coeficient ¸i
variabili
(1.7) a
2
(x)y
+ a
1
(x)y
+ a
0
(x)y = 0.
Definit ¸ia 1.1. Punctul x
0
se nume¸ste punct ordinar pentru ecuat ¸ia (1.7) dac˘ a
funct ¸iile
(1.8)
a
1
(x)
a
2
(x)
¸si
a
0
(x)
a
2
(x)
sunt analitice ˆın punctul x
0
. Dac˘a cel put ¸in o funct ¸ie din (1.8) nu este analitic˘ a
ˆın x
0
, atunci x
0
se nume¸ste punct singular pentru ecuat ¸ia (1.7).
Definit ¸ia 1.2. Punctul x
0
se nume¸ste punct regulat singular pentru ecuat ¸ia
(1.7) dac˘ a este punct singular ¸si funct ¸iile
(1.9) (x −x
0
)
a
1
(x)
a
2
(x)
¸si (x −x
0
)
2
a
0
(x)
a
2
(x)
sunt analitice ˆın punctul x
0
.
S˘ a consider˘ am acum ecuat ¸ia (1.7) cu condit ¸iile init ¸iale
(1.10) y(x
0
) = y
0
, y
(x
0
) = y
1
.
Teorema urm˘atoare descrie forma solut ¸iei pentru ecuat ¸ia (1.7) ¸si ˆın parti-
cular a solut ¸iei unice pentru ecuat ¸ia (1.7) cu condit ¸iile init ¸iale (1.10), ˆın cazul
ˆın care x
0
este un punct ordinar.
Rezolvarea ecuat ¸iilor cu serii de puteri 101
Teorema 1.1. Dac˘ a x
0
este un punct ordinar al ecuat ¸iei diferent ¸iale (1.7),
atunci solut ¸ia general˘ a a ecuat ¸iei diferent ¸iale este dat˘ a de seria de puteri
(1.11) y(x) =
∞
n=0
a
n
(x − x
0
)
n
cu raza de convergent ¸˘ a pozitiv˘ a. Mai exact, dac˘ a R
1
¸si R
2
sunt razele de
convergent ¸˘ a ale seriilor reprezentˆ and dezvolt˘ arile funct ¸iilor (1.8), atunci raza
de convergent ¸˘ a a seriei (1.11) este mai mare sau egal˘ a cu minimul dintre R
1
¸si R
2
. Coeficient ¸ii a
n
pentru n = 2, 3, ... ai seriei (1.11) se obt ¸in ˆın funct ¸ie de
a
0
¸si a
1
prin substitut ¸ia lui y dat de (1.11) ˆın ecuat ¸ia (1.7) ¸si egalarea coefi-
cient ¸ilor puterilor egale ale lui x.
ˆ
In final, dac˘ a y dat de (1.11) este solut ¸ia
ecuat ¸iei (1.7) cu condit ¸ia Cauchy (1.10), atunci a
0
= y
0
¸si a
1
= y
1
.
Exemplu. S˘ a se rezolve problema Cauchy
(1.12) (1 − x)y
− y
+ xy = 0
(1.13) y(0) = y
(0) = 1.
Solut ¸ie. Deoarece condit ¸iile init ¸iale sunt date ˆın 0, vom c˘ auta solut ¸ia ca o
serie de puteri centrat˘ a ˆın 0. Ecuat ¸ia (1.12) are un singur punct singular x = 1
ˆın timp ce x
0
= 0 este punct ordinar.
Deci problema Cauchy (1.12)–(1.13) are o solut ¸ie unic˘ a de forma
(1.14) y(x) =
∞
n=0
a
n
x
n
Dezvoltˆand ˆın serie de puteri a
1
(x)/a
2
(x) ¸si a
0
(x)/a
2
(x) obt ¸inem
a
1
(x)
a
2
(x)
= −
1
1 − x
= −
∞
n=0
x
n
, |x| < 1
a
0
(x)
a
2
(x)
=
x
1 − x
= x
∞
n=0
x
n
=
∞
n=0
x
n+1
, |x| < 1,
de unde rezult˘ a c˘a raza de convergent ¸˘a a seriei (1.14), este mai mare sau egal˘a
cu 1.
Substituind (1.14) ˆın (1.12) ¸si egalˆand coeficient ¸ii g˘asim
2a
2
− a
1
= 0
102 Funct ¸ii speciale
¸si
a
n+1
=
n
2
a
n
−a
n−2
n(n + 1)
,
n = 2, 3....,
¸si t ¸inˆ and cont de (1.13), a
0
= a
1
= 1. Aceste relat ¸ii implic˘ a a
n
=
1
n!
pentru
n ≥ 1, deci unica solut ¸ie a problemei (12)–(13) este
y(x) =
∞
n=0
a
n
x
n
=
∞
n=0
1
n!
x
n
= e
x
.
S˘ a analiz˘ am ˆın continuare cazul punctelor regulate singulare. Mai exact,
ne ocup˘ am de ecuat ¸ia (1.7)
a
2
(x)y
+a
1
(x)y
+a
0
(x)y = 0
pentru care c˘ aut˘ am solut ¸ii sub forma seriilor de puteri ˆıntr-o mult ¸ime de forma
{x/0 < |x −x
0
| < R},
adic˘ a ˆıntr-un interval din care am scos centrul x
0
, despre care presupunem c˘ a
este punct singular regulat.
Reamintim c˘a, deoarece x
0
este punct singular regulat, au loc dezvolt˘ arile
ˆın serii de puteri
(1.15) (x −x
0
)
a
1
(x)
a
2
(x)
=
∞
n=0
A
n
(x −x
0
)
n
, pentru |x −x
0
| < R
1
(1.16) (x −x
0
)
2
a
0
(x)
a
2
(x)
=
∞
n=0
B
n
(x −x
0
)
n
, pentru |x −x
0
| < R
2
.
Deoarece x
0
este un punct singular pentru ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a (1.7), solu-
t ¸ia sa , ˆın general, nu este definit˘ a ˆın x
0
. Totu¸si, ecuat ¸ia (1.7) are dou˘ a solut ¸ii
liniar independente ˆın mult ¸imea 0 < |x −x
0
| < R, unde R = min{R
1
, R
2
}.
ˆ
In continuare, vom enunt ¸a o teorem˘a care descrie forma celor dou˘a solu-
t ¸ii liniar independente ale ecuat ¸iei (1.7), ˆın vecin˘ atatea unui punct singular
regulat.
Definit ¸ia 1.3. Presupunem c˘ a x
0
este un punct singular regulat pentru
ecuat ¸ia (1.7) ¸si c˘a au loc dezvolt˘ arile (1.15) ¸si (1.16). Atunci ecuat ¸ia
(1.17) λ
2
+ (A
0
+ 1)λ +B
0
= 0
Rezolvarea ecuat ¸iilor cu serii de puteri 103
se nume¸ste ecuat ¸ie indicial˘ a a ecuat ¸iei diferent ¸iale (1.7) ˆın jurul punctului x
0
.
Teorema 1.2. Presupunem c˘ a x
0
este un punct singular regulat pentru (1.7)
¸si c˘ a au loc dezvolt˘ arile (1.15) ¸si (1.16). Fie λ
1
¸si λ
2
cele dou˘ a r˘ ad˘ acini ale
ecuat ¸iei indiciale (1.17) indexate a¸sa ˆıncˆ at λ
1
≥ λ
2
ˆın cazul ˆın care ambele
sunt reale. Atunci una din solut ¸iile ecuat ¸iei (1.7) este de forma
(1.18) y
1
(x) = |x − x
0
|
λ
1
∞
n=0
a
n
(x − x
0
)
n
unde a
0
= 1, relat ¸ia (1.18) avˆand loc ˆın mult ¸imea {x/0 < |x − x
0
| < R} unde
R = min{R
1
, R
2
}.
A doua solut ¸ie liniar independent˘ a, y
2
(x), a ecuat ¸iei (1.7) ˆın mult ¸imea
{x/0 < |x − x
0
| < R} se determin˘ a ˆın felul urm˘ ator:
Cazul 1. Dac˘ a λ
1
− λ
2
/ ∈ Z Z atunci
(1.19) y
2
(x) = |x − x
0
|
λ
2
∞
n=0
b
n
(x − x
0
)
n
cu b
0
= 1.
Cazul 2. Dac˘ a λ
1
= λ
2
, atunci
(1.20) y
2
(x) = y
1
(x) ln |x − x
0
| + |x − x
0
|
λ
2
∞
n=0
b
n
(x − x
0
)
n
cu b
0
= 0.
Cazul 3. Dac˘ a λ
1
− λ
2
∈ IN, atunci
(1.21) y
2
(x) = Cy
1
(x) ln |x − x
0
| + |x − x
0
|
λ
2
∞
n=0
b
n
(x − x
0
)
n
cu b
0
= 1.
Ca ¸si ˆın cazul punctelor ordinare, coeficient ¸ii seriilor (1.19)–(1.21) se pot
obt ¸ine substituind solut ¸ia de forma respectiv˘a ˆın ecuat ¸ia (1.7) ¸si identificˆ and
apoi coeficient ¸ii. Seriile de forma (1.19) se numesc serii Frobenius iar metoda
de determinare a solut ¸iei utilizˆ and o astfel de serie se nume¸ste metoda lui
Frobenius (dup˘ a numele matematicianului F.Frobenius, 1849-1917).
Vom folosi aceast˘a metod˘a la rezolvarea ecuat ¸iei lui Bessel.
104 Funct ¸ii speciale
6.2 Polinoame ortogonale
Spunem c˘ a sistemul de funct ¸ii f
1
, f
2
, ..., f
n
, ... este ortogonal ˆın intervalul (a, b)
ˆın raport cu ponderea ρ dac˘a are loc egalitatea
b
a
ρ(x)f
m
(x)f
n
(x)dx = 0, ∀m, n ∈ IN
∗
, m = n
ρ fiind o funct ¸ie pozitiv˘a dat˘ a.
Un exemplu simplu de sistem ortogonal ˆıl constituie sistemul funct ¸iilor
trigonometrice f
n
(x) = sin nx, n ∈ IN
∗
, care este ortogonal ˆın intervalul
(−π, π), cu ponderea ρ = 1.
Sistemele de funct ¸ii ortogonale joac˘ a un rol important ˆın analiz˘ a, mai ales
ˆın leg˘ atur˘ a cu posibilitatea dezvolt˘ arii unor funct ¸ii arbitrare, apart ¸inˆ and unor
clase funct ¸ionale foarte largi, ˆın serii de funct ¸ii ortogonale.
O clas˘a important˘ a de sisteme ortogonale de funct ¸iio constituie polinoamele
ortogonale Legendre, Hermite, Cebˆ a¸sev etc., care apar ca solut ¸ii ale unor e-
cuat ¸ii diferent ¸iale, foarte utilizate ˆın fizica matematic˘a.
Date funct ¸iile f, g : [a, b] → R, continue, vom defini produsul lor scalar
num˘ arul (f, g) dat de relat ¸ia
(f, g) =
b
a
f(x)g(x)dx.
De asemenea, definim norma funct ¸iei f, num˘ arul real nenegativ f, dat de
f = (f, f)
1/2
=
b
a
f
2
(x)dx
1/2
.
De aici, rezult˘a c˘a ¸sirul de funct ¸ii f
1
, f
2
, ..., f
n
, ..., definite ¸si continue pe [a, b],
este ortogonal dac˘ a
(f
i
, f
j
) = 0 pentru ∀i, j ∈ IN
∗
, i = j.
Dac˘a, ˆın plus, f
n
= 1, ∀n ∈ IN
∗
, vom spune c˘ a ¸sirul este ortonormat.
Se observ˘a u¸sor c˘a din ¸sirul ortogonal de funct ¸ii continue, nenule (f
n
)
n∈IN
∗,
se obt ¸ine ¸sirul ortonormat
f
n
f
n
n∈IN
∗
. Un exemplu de ¸sir de funct ¸ii orto-
gonale pe intervalul [0, 2π] este
(2.1) 1, cos x, sinx, cos 2x, sin 2x, ..., cos nx, sinnx, ...,
Problema Sturm–Liouville 105
din care putem obt ¸ine ¸sirul ortonormat
1
√
2π
,
cos x
√
π
,
sin x
√
π
,
sin 2x
√
π
,
· · ·
,
cos nx
√
π
,
sin nx
√
π
,
· · ·
Fiind dat˘ a funct ¸ia f, ¸stim c˘a ˆın cazul ˆın care satisface condit ¸iile lui Dirichlet,
o putem dezvolta ˆın serie Fourier, dup˘ a funct ¸iile ¸sirului (2.1)
(2.2) f(x) =
a
0
2
+
∞
n=1
(a
n
cos nx + b
n
sin nx)
unde coeficient ¸ii a
n
¸si b
n
sunt dat ¸i de formulele
a
n
=
1
π
2π
0
f(x) cos nxdx, n ∈ IN
b
n
=
1
π
2π
0
f(x) sin nxdx, n ∈ IN
∗
6.3 Problema Sturm–Liouville
Aplicarea metodei separ˘arii variabilelor la ecuat ¸iile cu derivate part ¸iale de
ordinul al doilea ce intervin ˆın fizica matematic˘a conduce la ecuat ¸ii diferen-
t ¸iale liniare ordinare de ordinul al doilea de tipul
(3.1) (p(x)y
)
+ (q(x) + λ)y = 0,
care cont ¸in parametrul λ.
Sturm ¸si Liouville (J.F. Sturm, 1803–1855 ¸si J. Liouville, 1809–1882) au
elaborat o teorie a ecuat ¸iilor de tipul (3.1) prin care se arat˘ a c˘a solut ¸iile par-
ticulare ale ecuat ¸iei (3.1) pe un interval [a, b], satisf˘ acˆand condit ¸ii prescrise ˆın
capetele a ¸si b, formeaz˘a un sistem ortogonal care permite, la fel ca ˆın cazul
seriilor Fourier, dezvoltarea ˆın serie a unei funct ¸ii ˆın raport cu aceste solut ¸ii.
Condit ¸iile la cap˘atul intervalului [a, b] sunt de forma
(3.2)
k
1
y(a) + k
2
y
(a) = 0 (a)
1
y(b) +
2
y
(b) = 0 (b)
unde k
1
, k
2
,
1
,
2
∈ IR, k
2
1
+ k
2
2
= 0,
2
1
+
2
2
= 0.
Problema format˘ a din ecuat ¸ia (3.1) ˆımpreun˘ a cu condit ¸iile (3.2) este cunos-
cut˘a sub numele de problema (sau sistem) Sturm–Liouville. Evident, y ≡ 0
este ˆıntotdeauna solut ¸ie a sistemului (3.1)–(3.2), dar pe noi ne intereseaz˘ a dac˘a
exist˘a solut ¸ii nebanale ale acestui sistem.
106 Funct ¸ii speciale
Solut ¸iile nebanale ale sistemului (3.1)–(3.2) se numesc funct ¸ii proprii (sau
autofunct ¸ii) ale sistemului Sturm–Liouville. Valorile parametrului λ din e-
cuat ¸ia (3.1) pentru care obt ¸inem ca solut ¸ii funct ¸iile proprii se numesc valori
proprii (sau autovalori).
Presupunem c˘a funct ¸iile p ¸si q sunt continue ˆın [a, b], iar funct ¸ia p este ˆın
plus pozitiv˘ a ˆın [a, b].
Formul˘ am cˆateva propriet˘ at ¸i ale funct ¸iilor proprii ¸si ale valorilor proprii.
Teorema 3.1. Exist˘ a o mult ¸ime infinit˘ a de valori proprii, λ
1
≤ λ
2
≤ · · · ≤
λ
n
≤ · · · c˘ arora le corespund funct ¸iile proprii y
1
, y
2
, ..., y
n
, ...
Demonstrat ¸ia, fiind complicat˘ a (vezi [8]), o omitem.
Teorema 3.2. Dac˘ a p, p
, q sunt continue ¸si cu valori reale pe [a, b] atunci
toate valorile proprii ale problemei Sturm–Liouville (3.1)–(3.2) sunt reale.
Demonstrat ¸ie. Fie λ = α + iβ o valoare proprie iar y(x) = u(x) + iv(x)
funct ¸ia proprie corespunz˘ atoare; α, β, u(x), v(x) fiind reale. Introducˆ and y ˆın
(3.1) obt ¸inem sistemul
(pu
)
+ (q + α)u −βv = 0
(pv
)
+ (q + α)v + βu = 0.
ˆ
Inmult ¸ind prima ecuat ¸ie cu v, a doua cu −u ¸si adunˆ and, obt ¸inem
−β(u
2
+ v
2
) = u(pv
)
−v(pu
)
= [(pv
)u −(pu
)v]
.
Integrˆ and ultima relat ¸ie ˆın intervalul [a, b], obt ¸inem
−β
b
a
(u
2
+ v
2
)dx = [p(uv
−u
v)]
b
a
.
Datorit˘ a condit ¸iilor la limit˘ a, membrul drept este nul ¸si, deoarece u
2
+v
2
≡
0 (y fiind funct ¸ie proprie nebanal˘ a), rezult˘ a c˘a β = 0 ceea ce termin˘a demon-
strat ¸ia.
Observat ¸ia 3.1. Se poate ar˘ ata c˘a dac˘a ˆın plus q(x) < 0 ˆın [a, b], atunci toate
valorile proprii sunt nenegative.
Observat ¸ia 3.2. Faptul c˘ a valorile proprii sunt reale era de a¸steptat deoarece,
ˆın probleme concrete, ele desemneaz˘a frecvent ¸e, energii sau alte cantit˘at ¸i fizice.
Teorema 3.3. (Ortogonalitatea funct ¸iilor proprii) Presupunem c˘ a p, p
¸si q
sunt funct ¸ii reale ¸si continue ˆın intervalul [a, b]. Atunci funct ¸iile proprii y
m
¸si
Problema Sturm–Liouville 107
y
n
ale problemei Sturm–Liouville (3.1)–(3.2) corespunz˘ atoare valorilor proprii
diferite λ
m
¸si λ
n
sunt ortogonale ˆın intervalul [a, b].
Dac˘ a p(a) = 0, atunci condit ¸ia (3.2a) poate lipsi din problem˘ a.
Dac˘ a p(b) = 0, condit ¸ia (3.2b) poate lipsi din problem˘ a.
ˆ
In aceste cazuri se cere ca y ¸si y
s˘ a fie m˘ arginite ˆın punctele respective,
iar problema se nume¸ste singular˘ a.
Dac˘ a p(a) = p(b), atunci condit ¸ia (3.2) poate fi ˆınlocuit˘ a cu
(3.3) y(a) = y(b), y
(a) = y
(b).
Demonstrat ¸ie. Din ipotez˘ a y
m
¸si y
n
satisfac ecuat ¸iile
(py
m
)
+ (q + λ
m
)y
m
= 0 ¸si
(py
n
)
+ (q + λ
n
)y
n
= 0.
ˆ
Inmult ¸im prima ecuat ¸ie cu y
n
, pe a doua cu −y
m
, le adun˘ am ¸si obt ¸inem
(λ
m
−λ
n
)y
m
y
n
= y
m
(py
n
)
−y
n
(py
m
)
= [p(y
n
y
m
−y
m
y
n
)]
.
Ultima expresie este o funct ¸ie continu˘ a deoarece p ¸si p
sunt continue iar y
m
, y
n
sunt solut ¸ii ale ecuat ¸iei (3.1). Integrˆ and pe intervalul [a, b] se obt ¸ine egalitatea
(3.4) (λ
m
−λ
n
)
b
a
y
m
y
n
dx = [p(y
n
y
m
−y
m
y
n
)]
b
a
.
Expresia din membrul drept al egalit˘ at ¸ii (3.4) este
(3.5) p(b)[y
n
(b)y
m
(b) −y
m
(b)y
n
(b)] −p(a)[y
n
(a)y
m
(a) −y
m
(a)y
n
(a)].
Acum vom analiza cantitatea (3.5), dup˘ a cum p se anuleaz˘a sau nu ˆın a ¸si b.
Cazul 1. Dac˘a p(a) = p(b) = 0, atunci expresia (3.5) este nul˘ a, deci membrul
stˆang ˆın (3.4) este nul ¸si cum λ
m
= λ
n
rezult˘ a
(3.6)
b
a
y
m
(x)y
n
(x)dx = 0, (m = n).
deci y
n
, y
m
sunt ortogonale. Observ˘ am c˘a ˆın acest caz nu am folosit condit ¸iile
(3.2).
Cazul 2. Fie p(b) = 0, dar p(a) = 0. Atunci prima cantitate din (3.5) este
nul˘ a. S˘ a analiz˘ am a doua cantitate din (3.5). Din (3.2a) rezult˘ a
k
1
y
n
(a) + k
2
y
n
(a) = 0
k
1
y
m
(a) + k
2
y
m
(a) = 0.
108 Funct ¸ii speciale
Presupunem k
2
= 0.
ˆ
Inmult ¸im prima ecuat ¸ie cu y
m
(a), a doua cu −y
n
(a), le
adun˘ am ¸si obt ¸inem
k
2
[y
n
(a)y
m
(a) −y
m
(a)y
n
(a)] = 0.
Deoarece k
2
= 0, rezult˘ a c˘a expresia din parantez˘ a este nul˘a, deci cea de a
doua cantitate din (3.5) este nul˘ a. Deci, cantitatea (3.5) este nul˘a iar ˆımpreun˘ a
cu (3.4) determin˘ a (3.6), adic˘ a ortogonalitatea.
Dac˘a k
2
= 0, atunci din ipotez˘ a, k
1
= 0 ¸si demonstrat ¸ia rezult˘ a folosind
un argument similar.
Cazul 3. Dac˘a p(a) = 0, dar p(b) = 0, demonstrat ¸ia funct ¸ioneaz˘a ca ˆın cazul
2, dar ˆın loc de (3.2a) vom folosi (3.2b).
Cazul 4. Dac˘a p(a) = 0 ¸si p(b) = 0, vom folosi condit ¸iile la limit˘ a (3.2) ¸si
proced˘ am ca ˆın cazurile 2 ¸si 3.
Cazul 5. Dac˘a p(a) = p(b), expresia (3.5) cap˘ at˘a forma
p(b)[y
n
(b)y
m
(b) −y
m
(b)y
n
(b) −y
n
(a)y
m
(a) + y
m
(a)y
n
(a)].
Putem folosi condit ¸iile la limit˘ a (3.2) ca mai sus pentru a obt ¸ine c˘a expresia
din parantez˘ a este nul˘a.
Totu¸si, se vede imediat c˘a aceasta rezult˘a din (3.3), astfel c˘ a putemˆınlocui
(3.2) cu (3.3). Deci, (3.4) implic˘ a (3.6). Cu aceasta, demonstrat ¸ia teoremei
este ˆıncheiat˘ a.
ˆ
In final, d˘ am f˘ar˘ a demonstrat ¸ie urm˘atorul rezultat de dezvoltare ˆın serie
dup˘ a funct ¸iile proprii ale problemei Sturm–Liouville.
Teorema 3.4. Dac˘ a f ∈ C
2
[a, b] ¸si f(a) = f(b) = 0, atunci funct ¸ia f se
poate dezvolta ˆıntr-o serie absolut ¸si uniform convergent˘ a ˆın intervalul [a, b]
dup˘ a funct ¸iile proprii y
n
f(x) =
∞
n=1
C
n
y
n
(x) unde C
n
=
b
a
f(x)y
n
(x)dx
b
a
y
2
n
(x)dx
·
Funct ¸ii cilindrice 109
6.4 Funct ¸ii cilindrice
Numim funct ¸ii cilindrice solut ¸iile ecuat ¸iei diferent ¸iale de ordinul II
(4.1) x
2
y
+ xy
+ (x
2
−ν
2
)y = 0
unde ν este un parametru care poate lua valori reale sau complexe. Termenul
de funct ¸ii cilindrice se datore¸ste faptului c˘ a ecuat ¸ia (4.1) intervine ˆın studiul
problemelor la limit˘ a ale teoriei potent ¸ialului pentru un domeniu cilindric.
Fie ecuat ¸ia
(4.2) ∆u =
1
a
2
∂
2
u
∂t
2
+ b
∂u
∂t
+ cu
unde ∆ este operatorul lui Laplace, t – timpul, iar a (= 0), b, c constante date.
Ecuat ¸ia (4.2) are drept cazuri particulare ecuat ¸iile diferent ¸iale din teoria
oscilat ¸iilor elastice, ale electrodinamicii, ale teoriei propag˘ arii c˘ aldurii etc.
ˆ
In cazul ˆın care ˆın locul coordonatelor rectangulare (x, y, z) folosim coor-
donatele cilindrice (r, z, ϕ) legate prin relat ¸iile
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z
(0 ≤ r < ∞, −π < ϕ ≤ π, −∞< z < ∞)
ecuat ¸ia (4.2) devine
(4.3)
1
r
∂
∂r
r
∂u
∂r
+
1
r
2
∂
2
u
∂ϕ
2
+
∂
2
u
∂z
2
=
1
a
2
∂
2
u
∂t
2
+ b
∂u
∂t
+ cu
¸si admite o infinitate de solut ¸ii sub forma de produse de factori, fiecare de-
pinzˆ and de o singur˘ a variabil˘ a
(4.4) u = R(r)Z(z)Φ(ϕ)T(t).
Substituind relat ¸ia (4.4) ˆın (4.3) ¸si ˆımp˘art ¸ind cu RZΦT, obt ¸inem
1
Rr
d
dr
(rR
) +
1
r
2
Φ
Φ
+
Z
Z
−c =
1
T
1
a
2
T
+ bT
.
T¸ inˆ and seama de independent ¸a variabilelor, ambii membri ai ecuat ¸iei obt ¸inute
trebuie s˘ a fie egali cu o anumit˘ a constant˘a pe care o not˘ am, pentru comoditate,
cu (−
χ
2
). Avem deci:
(4.5)
1
a
2
T
+ bT
+
χ
2
T = 0
1
Rr
d
dr
(rR
) +
χ
2
+
1
a
2
Φ
Φ
= c −
Z
Z
·
110 Funct ¸ii speciale
Din ultima egalitate rezult˘ a c˘a ambii membri sunt egali cu o constant˘ a, pe
care o not˘ am cu (−λ
2
) ¸si obt ¸inem:
(4.6)
Z
− (λ
2
+ c)Z = 0
r
2
1
Rr
d
dr
(rR
) + (λ
2
+
χ
2
)
= −
Φ
Φ
·
Not˘am noua constant˘ a cu µ
2
¸si obt ¸inem:
(4.7) Φ
+ µ
2
Φ = 0
(4.8)
1
r
d
dr
(rR
) +
λ
2
+
χ
2
−
µ
2
r
2
R = 0.
A¸sadar, procesul separ˘ arii variabilelor conduce la o infinitate de solut ¸ii de
forma (4.4), depinzˆ and de trei parametri (
χ
, λ, µ). Determinarea factorilor din
produsul (4.4), revine la integrarea ecuat ¸iilor diferent ¸iale ordinare (4.5)–(4.8)
dintre care primele trei sunt elementare iar ultima este o ecuat ¸ie de forma
(4.1).
Ment ¸ion˘ am dou˘ a ecuat ¸ii cunoscute care se obt ¸in din ecuat ¸ia (4.2), prin
particularizarea coeficient ¸ilor a, b, c.
(I) Ecuat ¸ia lui Laplace ∆u = 0.
Ecuat ¸ia are solut ¸ii particulare de forma
u = R(r)Z(z)Φ(ϕ),
unde
1
r
d
dr
rR
+
λ
2
−
µ
2
r
2
R = 0
Z
− λ
2
Z = 0; Φ
+ µ
2
Φ = 0.
(II) Ecuat ¸ia lui Helmholtz ∆u + k
2
u = 0
are solut ¸ii de forma
u = R(r)Z(z)Φ(ϕ)
unde
1
r
d
dr
rR
+
λ
2
−
µ
2
r
2
R = 0
Z
− (λ
2
− k
2
)Z = 0, Φ
+ µ
2
Φ = 0.
Clase speciale de funct ¸ii cilindrice sunt cunoscute sub numele de funct ¸ii Bessel
¸si, uneori, aceast˘a denumire se atribuie ˆıntregii clase de funct ¸ii cilindrice.
Funct ¸ii cilindrice 111
Ecuat ¸ii Bessel de spet ¸a I
Vom considera ecuat ¸ia Bessel general˘a
(4.9) x
2
y
+ xy
+ (x
2
−ν
2
)y = 0
ˆın care ν este parametru real.
Trebuie amintit faptul c˘ a ecuat ¸ia (4.9) a fost considerat˘ a anterior de L.
Euler, dar Bessel a fost cel care a pus ˆın evident ¸˘a propriet˘ at ¸ile solut ¸iilor. El a
ajuns la ecuat ¸ia (4.9) pentru ν num˘ ar natural, studiind o problem˘ a legat˘a de
mi¸scarea eliptic˘a.
Vom c˘auta o solut ¸ie a ecuat ¸iei (4.9) sub forma unei serii de tipul
(4.10) y(x) = x
ρ
∞
n=0
a
n
x
n
.
Pentru determinarea lui ρ ¸si a
n
, n ∈ IN, introducem seria (4.10) ˆın ecuat ¸ia
(4.9) ¸si obt ¸inem:
ρ(ρ −1)x
ρ
∞
n=0
a
n
x
n
+ 2ρx
ρ+1
∞
n=1
na
n
x
n−1
+
+x
ρ+2
∞
n=2
n(n −1)a
n
x
n−2
+ ρx
ρ
∞
n=0
a
n
x
n
+ x
ρ+1
∞
n=1
na
n
x
n−1
+
+x
ρ−2
∞
n=0
a
n
x
n
−ν
2
x
ρ
∞
n=0
a
n
x
n
= 0.
Egalˆ and cu zero coeficient ¸ii lui x
ρ
, x
ρ+1
, ..., x
ρ+n
, ..., obt ¸inem urm˘atorul sistem
de ecuat ¸ii pentru determinarea lui ρ ¸si a coeficient ¸ilor a
n
a
0
(ρ
2
−ν
2
) = 0
a
1
[(ρ + 1)
2
−ν
2
] = 0,
a
2
[(ρ + 2)
2
−ν
2
] + a
0
= 0,
...............................................
a
n
[(ρ + n)
2
−ν
2
] + a
n−2
= 0,
...............................................
Deoarece putem lua a
0
= 0 (altfel am fi ales drept exponent al lui x pe ρ +1),
din prima ecuat ¸ie rezult˘a
(4.11)
ρ
2
−ν
2
= 0 sau
ρ = ±ν.
112 Funct ¸ii speciale
Din a doua ecuat ¸ie rezult˘a
(4.12) a
1
= 0
deoarece (avˆand ˆın vedere (4.11)) avem a
1
(2ρ +1) = 0. Apoi, obt ¸inem relat ¸ia
de recurent ¸˘a
(4.13) a
n
−
a
n−2
(ρ + n)
2
−ν
2
= −
a
n−2
(ρ + n + ν)(ρ + n −ν)
,
relat ¸ie care, ˆımpreun˘ a cu (4.11) ¸si (4.12) conduce la:
(4.14)
a
2k+1
= 0, k ∈ IN
a
2k
= −
a
2k−2
(ρ + 2k −ν)(ρ + 2k + ν)
,
k ∈ IN
∗
.
Cum pentru ρ am g˘asit dou˘ a valori, ˆınseamn˘a c˘a vom putea determina dou˘ a
solut ¸ii pentru ecuat ¸ia lui Bessel.
A) S˘ a determin˘am ˆıntˆ ai solut ¸ia corespunz˘atoare lui ρ = ν.
ˆ
Inlocuind ˆın
(4.14) pe ρ cu ν obt ¸inem
a
2k
= −
a
2k−2
2
2
k(k + ν)
·
Cum fiecare coeficient de rang par poate fi exprimat ˆın funct ¸ie de cel precedent,
aplicarea succesiv˘a a acestei formule ne permite s˘a g˘ asim expresia lui a
2k
ˆın
funct ¸ie de a
0
. Vom avea
(4.15)
a
2k
= −
a
2k−2
2
2
k(k + ν)
= (−1)
2
a
2k−4
2
2·2
k(k −1)(k + ν)(k + ν −1)
= · · · =
= (−1)
k
a
0
2
k
· k!(ν + 1)(ν + 2)...(ν + k)
·
Vom da o form˘ a mai simpl˘ a acestor coeficient ¸i folosind funct ¸ia Γ a lui Euler.
Funct ¸ia Γ se define¸ste cu formula
Γ(s) =
∞
0
e
−t
t
s−1
dt
s putˆ and fi real sau complex, cu Re s > 0.
Indic˘ am principalele propriet˘ at ¸i ale acestei funct ¸ii:
a) Funct ¸ia Γ verific˘ a relat ¸ia funct ¸ional˘ a
Γ(s + 1) = sΓ(s),
proprietate obt ¸inut˘ a prin integrarea prin p˘ art ¸i.
Funct ¸ii cilindrice 113
b) Γ(1) = 1.
c) Γ(n + 1) = n!.
d) Γ
1
2
=
∞
0
e
−t
√
t
dt = 2
∞
0
e
−t
2
dt =
√
π.
e) Γ(s + 1) = sΓ(s) = · · · = s(s −1)(s −2)...(s −p)Γ(s −p).
Aceste propriet˘at ¸i arat˘ a c˘a putem considera funct ¸ia Γ ca o generalizare a
factorialului, pentru valori reale sau complexe ale argumentului. Cum coefi-
cientul a
0
a r˘ amas nedeterminat, alegem pe a
0
astfel ˆıncˆ at s˘a obt ¸inem pentru
coeficient ¸ii solut ¸iei c˘autate expresii mai simple.
Punˆ and
a
0
=
1
2
ν
Γ(ν + 1)
¸si folosind formula (4.15) obt ¸inem
a
2k
= (−1)
k
1
2
2k+ν
k!(ν + 1)(ν + 2)...(ν + k)Γ(ν + 1)
·
Deoarece
(ν + 1)(ν + 2)...(ν + k)Γ(ν + 1) = Γ(ν + k + 1) ¸si k! = Γ(k + 1),
rezult˘ a
a
2k
= (−1)
k
1
2
2k+ν
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
·
ˆ
Inlocuind ˆın seria (4.10), obt ¸inem solut ¸ia corespunz˘atoare lui ρ = ν pe care o
not˘ am cu J
ν
(4.16) J
ν
(x) =
∞
k=0
(−1)
k
1
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
x
2
2k+ν
.
Aceast˘a solut ¸ie a ecuat ¸iei Bessel, care este m˘arginit˘ a pentru x = 0, se nume¸ste
funct ¸ia lui Bessel de spet ¸a I ¸si de ordinul ν.
B) S˘ a examin˘am acum cazul ρ = −ν ¸si ν = n (unde n > 0 este un num˘ar
ˆıntreg).
Reluˆ and calculul ˆın acela¸si mod ¸si notˆ and
a
0
=
1
2
−ν
Γ(−ν + 1)
114 Funct ¸ii speciale
obt ¸inem
a
2k
= (−1)
k
1
2
2k−ν
Γ(k + 1)Γ(k −ν + 1)
iar solut ¸ia corespunz˘atoare a ecuat ¸iei Bessel este
J
−ν
(x) =
∞
k=0
(−1)
k
1
Γ(k + 1)Γ(k −ν + 1)
x
2
2k−ν
.
Pentru ν = n, se arat˘a c˘a cele dou˘a solut ¸ii ale ecuat ¸iei Bessel sunt liniar
independente, deoarece wronskianul celor dou˘ a funct ¸ii Bessel J
ν
¸si J
−ν
este
diferit de zero, deci integrala general˘ a a ecuat ¸iei este
J(x) = C
1
J
ν
(x) + C
2
J
−ν
(x).
Dac˘a se caut˘a solut ¸iile m˘arginite ale ecuat ¸iei Bessel, atunci C
2
= 0.
Funct ¸iile Bessel cu indice natural
Pentru ν = n avem
J
−n
(x) =
∞
n=0
(−1)
k
Γ(k + 1)Γ(k −n + 1)
x
2
2k−n
=
=
n−1
k=0
(−1)
k
Γ(k + 1)Γ(k −n + 1)
x
2
2k−n
+
∞
k=n
(−1)
k
Γ(k + 1)Γ(k −n + 1)
x
2
2k−n
.
Pentru k = m < n −1 avem
Γ(−m) =
Γ(−m+ 1)
−m
= · · · = (−1)
m
Γ(0)
m!
·
Dar Γ(0) =
Γ(s + 1)
s
s↓0
= ∞ deci ¸si Γ(−m) = (−1)
m
Γ(0)
m!
= ∞ pentru m
natural.
Deci ˆın expresia lui J
−n
sumarea ˆıncepe de fapt de la k = n
(4.17) J
−n
(x) =
∞
k=n
(−1)
k
Γ(k + 1)Γ(k −n + 1)
x
2
2k−n
.
Propozit ¸ia 4.1. Dac˘ a ν = n atunci
(4.18) J
−n
(x) = (−1)
n
J
n
(x).
Funct ¸ii cilindrice 115
Demonstrat ¸ie. Dac˘a ˆın formula (4.17) efectu˘ am schimbarea k = n + ,
fiind noul indice de sumare (0 ≤ ≤ ∞) obt ¸inem
J
−n
(x) =
∞
=0
(−1)
n+
Γ( + n + 1)Γ( + 1)
x
2
2+n
=
= (−1)
n
∞
n=0
(−1)
Γ( + 1)(Γ( + n + 1)
x
2
2+n
,
deci tocmai
J
−n
(x) = (−1)
n
J
n
(x).
Relat ¸ia (4.18) arat˘ a c˘a pentru n ˆıntreg funct ¸iile J
n
¸si J
−n
sunt liniar de-
pendente.
Cele mai simple ¸si mai des ˆıntˆ alnite ˆın aplicat ¸ii sunt funct ¸iile Bessel de
ordin ˆıntreg J
0
¸si J
1
. F˘ acˆand ν = 0 ¸si ν = 1 ˆın formula (4.16), obt ¸inem:
J
0
(x) = 1 −
x
2
2
+
1
(2!)
2
x
2
4
−
1
(3!)
2
x
2
6
+· · ·
J
1
(x) =
x
2
−
1
2!
x
2
3
+
1
2!3!
x
2
5
+· · · ·
Formule de recurent ¸˘a
ˆ
In acest paragraf vom stabili cˆ ateva relat ¸ii fundamentale ˆıntre funct ¸iile lui
Bessel de spet ¸a I de diferite ordine.
Derivˆ and seria de puteri (4.16) dup˘ a ce am ˆımp˘art ¸it-o cu x
ν
, obt ¸inem
d
dx
J
ν
(x)
x
ν
=
∞
k=1
(−1)
k
2k x
2k−1
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
1
2
2k+ν
sau, ˆınlocuind variabila de sumare k prin k + 1 ¸si ˆıncepˆ and sumarea de la
k = 0, avem
d
dx
J
ν
(x)
x
ν
=
∞
k=0
(−1)
k+1
2(k + 1)
Γ(k + 2)Γ(k + ν + 2)
x
2k+1
2
2k+2+ν
sau, simplicˆand ¸si scot ¸ˆand ˆın factor pe
1
x
ν
,
d
dx
J
ν
(x)
x
ν
= −
1
x
ν
∞
k=0
(−1)
k
1
Γ(k + 1)Γ(k + 1 + ν + 1)
x
2
2k+ν+1
,
116 Funct ¸ii speciale
formul˘ a care comparat˘a cu (4.16) implic˘ a
(4.19)
d
dx
J
ν
(x)
x
ν
= −
J
ν+1
(x)
x
ν
·
S˘ a deriv˘ am acum produsul x
ν
J
ν
(x) ˆın raport cu x:
d
dx
(x
ν
J
ν
(x)) =
d
dx
∞
k=0
(−1)
1
Γ(k + 1
Γ(k + ν + 1)
x
2k+2ν
2
2k+ν
=
=
k=0
(−1)
k
2(k + ν)
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
x
2k+2ν−1
2
2k+ν
·
T¸ inˆ and cont c˘ a Γ(k + ν + 1) = (k + ν)Γ(k + ν) obt ¸inem
d
dx
(x
ν
J
ν
(x)) = x
ν
∞
k=0
(−1)
k
1
Γ(k + 1)Γ(k + 1 + ν − 1)
x
2
2k+ν−1
sau, comparˆand cu (4.16),
(4.20)
d
dx
(x
ν
J
ν
(x)) = x
ν
J
ν−1
(x).
Formulele (4.19) ¸si (4.20) sunt formule de recurent ¸˘a ˆıntre dou˘ a funct ¸ii Bessel
de ordin ν ¸si ν +1. Cum am specificat c˘a funct ¸iile Bessel de ordin zero ¸si unu
sunt cel mai des ˆıntˆ alnite, vom scrie cele dou˘ a formule de recurent ¸˘a pentru
aceste cazuri. Pentru ν = 0, din (4.19) avem
J
0
(x) = −J
1
(x)
iar pentru ν = 1, din (4.20) obt ¸inem
(xJ
1
(x))
= xJ
0
(x).
Putem stabili acum formule de recurent ¸˘a care s˘a lege trei funct ¸ii Bessel
J
ν
, J
ν+1
, J
ν+2
.
Din (4.19) ¸si (4.20) obt ¸inem
νJ
ν
(x)
x
− J
ν
(x)
formule care, din aproape ˆın aproape, permit calculul tuturor funct ¸iilor Bessel
de ordin ˆıntreg dac˘ a se cunosc J
0
¸si J
1
.
Funct ¸iile Bessel de ordin semiˆıntreg
Funct ¸iile Bessel de ordin ν = n +
1
2
,
unde n este un num˘ar ˆıntreg, se pot
exprima prin funct ¸ii elementare. S˘a calcul˘ am mai ˆıntˆ ai valorile lui J1
2
¸si J
−
1
2
.
Avem
J1
2
(x) =
∞
n=0
(−1)
n
n!Γ
3
2
+ n
x
2
1
2
+2n
¸si
J
−
1
2
(x)
∞
n=0
(−1)
n
n!J
1
2
+ n
x
2
1
2
+2n
.
Folosind propriet˘ at ¸ile funct ¸iei Γ obt ¸inem
Γ
3
2
+ n
=
1·3·5· · ·(2n + 1)
2
n+1
Γ
1
2
=
(2n + 1)!!
2
n+1
√
π,
Γ
1
2
+ n
=
1·3·5· · ·(2n −1)
2
n
Γ
1
2
=
(2n −1)!!
2
n
√
π,
care, introduse ˆın expresiile funct ¸iilor J1
2
¸si J
−
1
2
,
dau
J1
2
(x) =
2
πx
∞
n=0
(−1)
n
(2n + 1)!
x
2n+1
,
J
−
1
2
(x) =
2
πx
∞
n=0
(−1)
n
(2n)!
x
2n
.
Se observ˘a c˘a ultimele sume reprezint˘a dezvoltarea ˆın serie a lui sinx ¸si cos x.
Prin urmare, J1
2
¸si J
−
1
2
se exprim˘a prin funct ¸ii elementare
J1
2
(x) =
2
πx
sin x
J
−
1
2
(x) =
2
πx
cos x.
118 Funct ¸ii speciale
Folosind formula de recurent ¸˘a (4.21) putem calcula din aproape ˆın aproape
funct ¸iile lui Bessel de spet ¸a I de ordin ν = n +
1
2
care rezult˘a c˘a se exprim˘a
prin funct ¸ii elementare.
Funct ¸ii sferice. Polinoamele lui Legendre
Funct ¸iile sferice constituie o clas˘a de funct ¸ii speciale strˆans legate de studiul
ecuat ¸iei lui Laplace ¸si de teoria potent ¸ialului.
Una dintre cele mai importante clase de probleme ale fizicii matematice o
constituie problemele la limit˘ a ale potent ¸ialului, care constau ˆın determinarea
unei funct ¸ii V care s˘a verifice ecuat ¸ia lui Laplace
∆V =
∂
2
V
∂x
2
+
∂
2
V
∂y
2
+
∂
2
V
∂z
2
= 0
ˆıntr-un domeniu Ω dat ¸si care satisface pe frontiera ∂Ω a lui Ω condit ¸ii impuse.
Procedeul general de rezolvare a problemelor la limit˘ a const˘a ˆın g˘ asirea unui
sistem de coordonate curbilinii ortogonale, astfel ˆıncˆ at suprafat ¸a ∂Ω s˘a fie una
dintre suprafet ¸ele de coordonate ¸si ecuat ¸ia lui Laplace, dup˘ a transformarea ei
ˆın noile variabile s˘ a admit˘ a separarea variabilelor.
ˆ
In cazul nostru, luˆ and x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ, 0 ≤
r < ∞, −π < ϕ ≤ π, 0 < θ ≤ π, ecuat ¸ia lui Laplace devine
∂
2
V
∂r
2
+
2
r
∂V
∂r
+
1
r
2
∂
2
V
∂θ
2
+
cos θ
r
2
sin θ
∂V
∂θ
+
1
r
2
sin
2
θ
·
∂
2
V
∂ϕ
2
= 0.
C˘autˆ and o solut ¸ie care este independent˘a de ϕ, de forma r
p
Θ, unde Θ este o
funct ¸ie ce depinde doar de θ, g˘asim
dΘ
dθ
2
+
cos θ
sin θ
dΘ
dθ
+ p(p + 1)Θ = 0.
F˘ acˆand schimbarea de variabil˘ a x = cos θ, y = Θ, obt ¸inem ecuat ¸ia lui Legendre
(4.22) (1 −x
2
)y
−2xy
+ p(p + 1)y = 0.
Dac˘a p este un ˆıntreg nenegativ, o solut ¸ie ˆın jurul punctului ordinar x
0
= 0
este un polinom. Normalizate corespunz˘ ator, aceste solut ¸ii polinomiale sunt
numite polinoamele lui Legendre (A.M.Legendre, 1752-1833).
S˘ a c˘aut˘ am dou˘ a solut ¸ii, liniar independente ˆın jurul punctului x
0
= 0.
Aici, a
2
(x) = 1 − x
2
, a
1
(x) = −2x ¸si a
0
(x) = p(p + 1). Deoarece a
2
(0) =
1 = 0, punctul x
0
= 0 este un punct ordinar pentru ecuat ¸ia (4.22).
Funct ¸ii cilindrice 119
Forma oric˘ arei solut ¸ii a ecuat ¸iei diferent ¸iale (4.22) ˆın jurul lui x
0
= 0 este
(4.23) y(x) =
∞
n=0
a
n
x
n
.
Pentru a determina o margine inferioar˘ a pentru raza de convergent ¸˘a a so-
lut ¸iei (4.23) trebuie s˘ a calcul˘am razele de convergent ¸˘a ale seriilor Taylor ˆın
jurul lui zero ale funct ¸iilor a
1
(x)/a
2
(x) ¸si a
0
(x)/a
2
(x). Avem:
a
1
(x)
a
2
(x)
= −
2x
1 − x
2
= −2x(1 + x
2
+ x
4
+ · · ·) =
∞
n=0
− 2x
2n+1
, |x| < 1
¸si
a
0
(x)
a
2
(x)
=
p(p + 1)
1 − x
2
= p(p + 1)(1 + x
2
+ x
4
+ · · ·) =
∞
n=0
p(p + 1)x
2n
, |x| < 1.
Deci, raza de convergent ¸˘a a solut ¸iei (4.23) este mai mare sau egal˘a cu 1, adic˘ a
seria (4.23) converge pentru |x| > 1. Din (4.23) rezult˘ a:
y
(x) =
∞
n=1
na
n
x
n−1
,
y
=
∞
n=2
n(n − 1)a
n
x
n−2
=
∞
n=0
(n + 2)(n + 1)a
n+2
x
n
,
−x
2
y
=
∞
n=2
− n(n − 1)a
n
x
n
,
−2xy
=
∞
n=1
− 2na
n
x
n
,
p(p + 1)y =
∞
n=0
p(p + 1)a
n
x
n
.
Introducˆ and aceste cantit˘at ¸i ˆın (4.22) obt ¸inem
[2a
2
+ p(p + 1)a
0
] + [6a
3
− 2a
1
+ p(p + 1)a
1
]x+
+
∞
n=2
[(n + 1)(n + 2)a
n+2
− n(n − 1)a
n
− 2na
n
+ p(p + 1)a
n
]x
n
= 0
de unde
2a
2
+ p(p + 1)a
0
= 0, 6a
3
− 2a
1
+ p(p + 1)a
1
= 0
120 Funct ¸ii speciale
¸si
(n + 2)(n + 1)a
n+2
− n(n − 1)a
n
− 2na
n
+ p(p + 1)a
n
= 0, n = 2, 3, ...,
De aici obt ¸inem relat ¸iile recurente
a
2
= −
p(p + 1)
2
a
0
, a
3
= −
(p − 1)(p + 2)
3!
a
1
¸si
a
n+2
= −
(p − n)(p + n + 1)
(n + 2)(n + 1)
a
n
relat ¸ii care conduc la
a
2n
= (−1)
n
p(p − 2) · · · (p − 2n + 2)(p + 1)(p + 3) · · · (p + 2n − 1)
(2n)!
a
0
,
a
2n+1
= (−1)
n
(p − 1)(p − 3) · · · (p − 2n + 1)(p + 2)(p + 4) · · · (p + 2n)
(2n + 1)!
a
1
,
n = 1, 2, ...
Deci, dou˘ a solut ¸ii liniar independente ale ecuat ¸iei lui Legendre ˆın jurul punc-
tului zero sunt
y
1
(x)=1+
∞
n=0
(−1)
n
p(p−2)· · ·(p−2n+2)(p+1)(p+3)· · ·(p+2n−1)
(2n)!
x
2n
y
2
(x)=x+
∞
n=1
(−1)
n
(p−1)(p−3)· · ·(p−2n+1)(p+2)(p+4)· · ·(p+2n)
(2n+1)!
x
2n+1
.
Dup˘ a cum se poate observa din formulele de recurent ¸˘a de mai sus, cˆand p este
un num˘ ar ˆıntreg nenegativ n, una din solut ¸iile de mai sus este un polinom
de grad n. Un multiplu al acestui polinom care ia valoarea 1 pentru x = 1
se nume¸ste polinom Legendre ¸si se noteaz˘a cu P
n
(x). De exemplu P
0
(x) = 1,
P
1
(x) = x, P
2
(x) =
3
2
x
2
−
1
2
,
etc.
Polinoamele lui Legendre pot fi introduse ¸si cu ajutorul unei formule dife-
rent ¸iale dup˘ a cum se vede din teorema care urmeaz˘a.
Teorema 4.1. (Formula lui Rodrigues) Polinomul lui Legendre P
n
poate fi
reprezentat sub forma
P
n
(x) =
1
2
n
n!
d
n
dx
n
(x
2
− 1)
n
.
Funct ¸ii cilindrice 121
Demonstrat ¸ie. Not˘am u = (x
2
− 1)
n
de unde rezult˘ a
(x
2
− 1)u
− 2nxu = 0.
Derivˆ and aceast˘a ecuat ¸ie de (m+ 1) ori, obt ¸inem
(x
2
− 1)u
(m+2)
− (2n − 2m− 2)xu
(m+1)
+ [m(m+ 1) − 2n(m+ 1)]u
(m)
= 0.
ˆ
Inlocuind pe m cu n, rezult˘ a
(1 −x
2
)u
(n+2)
− 2xu
(n+1)
+n(n + 1)u
(n)
= 0,
adic˘ a funct ¸ia
V
n
(x) =
1
2
n
n!
d
n
u
dx
n
satisface ecuat ¸ia lui Legendre
(1 −x
2
)V
n
(x) − 2xV
n
(x) +n(n + 1)V
n
(x) = 0.
Rezult˘a c˘a V
n
(x) = C
n
P
n
(x), unde C
n
este o constant˘a.
S˘ a ar˘ at˘am c˘a V
n
(1) = 1. Pentru aceasta, consider˘am derivata
d
m
dx
m
(x
2
− 1)
n
=
d
m
dx
m
[(x + 1)
n
(x − 1)
n
] =
=a
0
(x+1)
n−m
(x−1)
n
+a
1
(x+1)
n−m+1
(x−1)
n−1
+ · · · +a
n
(x+1)
n
(x−1)
n−m
.
Dac˘a m < n, atunci ˆın x = −1 ¸si x = 1 tot ¸i termenii se anuleaz˘a
d
m
dx
m
(x
2
− 1)
n
x=±1
= 0 (m < n).
Dac˘a m = n, atunci
d
n
dx
n
(x
2
− 1)
n
x=±1
= 2
n
n!,
de unde rezult˘ a V
n
(1) = 1, deci C
n
= 1 ¸si
V
n
(x) = P
n
(x).
122 Funct ¸ii speciale
6.5 Probleme
1. S˘ a se determine autovalorile ¸si autofunct ¸iile problemei Sturm–Liouville
periodice
a)
y
+λy = 0
y(−1) = y(1), u
(−1) = y
(1),
b)
y
+λy = 0
y(0) = y(2π), y
(0) = y
(2π),
c)
y
+λy = 0
y(0) = y(π), y
(0) = y
(π).
2. S˘ a se verifice relat ¸iile
(i) x
2
J
n
= (n
2
−n −x
2
)J
n
+xJ
n+1
,
(ii) J
2
= J
0
+ 2J
0
,
(iii) J
2
= J
0
−x
−1
J
0
,
(iv) J
3
+ 3J
0
+ 4J
0
= 0.
3. S˘ a se arate c˘a solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei diferent ¸iale
x
2
y
−2xy
+ 4(x
4
−1)y = 0
este
Ax
3
2
J5
4
(x
2
) +Bx
3
2
J
−
5
4
(x
2
).
4. S˘ a se arate c˘a dac˘a ecuat ¸iei ∆u + k
2
u = 0 i se aplic˘a transformarea
x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ ea devine
∂
2
u
∂r
2
+
2
r
∂u
∂r
+
1
r
2
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂u
∂θ
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
u
∂ϕ
2
+k
2
u = 0
¸si este satisf˘acut˘a de u = RθΦ, unde
R = r
−
1
2
J
n+
1
2
(kr), θ = P
m
n
(cos θ), Φ = sin mϕ.
5. Folosind definit ¸ia funct ¸iei Bessel, s˘a se verifice c˘a solut ¸ia ecuat ¸iei
y