ED

Published on June 2016 | Categories: Documents | Downloads: 63 | Comments: 0 | Views: 537
of x
Download PDF   Embed   Report

Comments

Content


Cuprins
Prefat ¸˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Notat ¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
Istoric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
1 Capitol introductiv 1
1.1 Ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin metode elementare . . . . . 3
1.2 Inegalitatea lui Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Modelarea matematic˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Problema Cauchy pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale 27
2.1 Formularea problemei – metoda lui Picard . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Teorema de existent ¸˘a ¸si unicitate pentru sisteme de ecuat ¸ii
diferent ¸iale de ordinul I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Existent ¸a ¸si unicitatea solut ¸iei unei ecuat ¸ii diferent ¸iale
de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Prelungibilitatea unei solut ¸ii cu condit ¸ii init ¸iale date . . . . . . 37
2.5 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Ecuat ¸ii ¸si sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare.
Transformata Laplace 41
3.1 Ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Transformata Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Elemente de teoria stabilit˘at ¸ii 75
4.1 Punerea problemei stabilit˘ at ¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Stabilitatea sistemelor diferent ¸iale. Metoda funct ¸iei Liapunov . 77
4.3 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
v
vi Cuprins
5 Integrale prime ¸si ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆai 85
5.1 Integrale prime ¸si legi de conservare . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai liniare . . . . . . . 89
5.3 Aplicat ¸ii la fizica plasmei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.4 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale cvasiliniare . . . . . . . . . . . . . . 94
5.5 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6 Funct ¸ii speciale 97
6.1 Rezolvarea ecuat ¸iilor diferent ¸iale liniare cu ajutorul seriilor
de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2 Polinoame ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3 Problema Sturm–Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4 Funct ¸ii cilindrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.5 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7 Ecuat ¸iile fizicii matematice. Capitol introductiv 123
7.1 Itinerar de analiz˘ a matematic˘a ˆın IR
n
. . . . . . . . . . . . . . 123
7.2 Teorema divergent ¸ei ¸si formulele lui Green . . . . . . . . . . . . 125
7.3 Definit ¸ii ¸si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.4 Probleme ale teoriei ecuat ¸iilor cu derivate part ¸iale. Condit ¸ii
init ¸iale ¸si la limit˘ a. Corectitudinea problemei . . . . . . . . . . 130
7.5 Clasificarea ecuat ¸iilor cu derivate part ¸iale liniare de ordinul al
doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.5.1 Definit ¸ii. Not ¸iuni generale . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.5.2 Curbe caracteristice. Forme canonice . . . . . . . . . . . 135
7.5.3 Ecuat ¸ii cu coeficient ¸i constant ¸i . . . . . . . . . . . . . . 140
7.5.4 Rezolvarea unor ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale liniare
de ordinul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.6 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8 Probleme eliptice. Ecuat ¸ia lui Laplace 147
8.1 Funct ¸ii armonice. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.2 Solut ¸ia fundamental˘ a a operatorului Laplace . . . . . . . . . . 151
8.3 Funct ¸ia Green. Solut ¸ia problemei Dirichlet . . . . . . . . . . . 157
8.4 Funct ¸ia Green pe sfer˘a. Formula lui Poisson . . . . . . . . . . . 160
8.5 Construct ¸ia funct ¸iei Green folosind metoda
imaginilor electrostatice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.6 Principii de maxim pentru operatorul Laplace . . . . . . . . . . 166
8.7 Existent ¸a solut ¸iei pentru problema Dirichlet. Metoda lui Perron 171
8.8 Ecuat ¸ia lui Laplace. Metoda separ˘ arii variabilelor . . . . . . . . 175
Cuprins vii
8.9 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9 Elemente de analiz˘a funct ¸ional˘a 189
9.1 Elemente de analiz˘a funct ¸ional˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.2 Spat ¸ii Hilbert. Serii Fourier generalizate . . . . . . . . . . . . . 193
9.3 Valori proprii ¸si vectori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.4 Integrala Lebesgue ¸si spat ¸iile Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.5 Solut ¸ii slabe pentru probleme eliptice la limit˘ a. Metoda
variat ¸ional˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.6 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
10 Probleme parabolice 221
10.1 Ecuat ¸ia propag˘ arii c˘ aldurii. Modele matematice . . . . . . . . . 221
10.2 Funct ¸ii cu valori ˆıntr-un spat ¸iu Banach . . . . . . . . . . . . . . 227
10.3 Solut ¸ii slabe pentru ecuat ¸ia propag˘ arii c˘ aldurii . . . . . . . . . 228
10.4 Principii de maxim pentru operatorul c˘ aldurii . . . . . . . . . . 238
10.5 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
11 Ecuat ¸ii hiperbolice 245
11.1 Probleme la limit˘ a pentru ecuat ¸ii de tip hiperbolic . . . . . . . 245
11.2 Solut ¸ii slabe pentru ecuat ¸ia undei . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
11.3 Propagarea undelor ˆın spat ¸iu. Problema Cauchy . . . . . . . . 257
11.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
R˘aspunsuri ¸si indicat ¸ii 273
Bibliografie 289
Index 293
viii Notat ¸ii
Notat ¸ii
IN – mult ¸imea numerelor naturale
IN

– mult ¸imea IN\{0}
IR – mult ¸imea numerelor reale, IR
+
= [0, ∞[, IR

+
=]0, ∞[
IR
n
– spat ¸iul euclidian n–dimensional
cu elementele x = (x
1
, x
2
, , ..., x
n
), produsul scalar
(x, y) =
n

i=1
x
i
y
i
¸si norma x =

(x, x)
B(x, r) – mult ¸imea {y ∈ X; y −x < r}
0
Ω – interiorul mult ¸imii Ω
Ω – ˆınchiderea mult ¸imii Ω
∂Ω – frontiera mult ¸imii Ω
C(Ω) – spat ¸iul funct ¸iilor continue pe Ω
C
k
(Ω) – spat ¸iul funct ¸iilor continuu diferent ¸iabile
pe Ω pˆ an˘ a la ordinul k inclusiv
supp ϕ – suportul funct ¸iei ϕ : IR
n
→ IR, definit prin
supp ϕ = {x : x ∈ IR
n
, ϕ(x) = 0}
C

0
(Ω) – spat ¸iul funct ¸iilor infinit diferent ¸iabile pe Ω
(sau D(Ω)) cu suportul compact ˆın Ω
u
t
=
∂u
∂t
– derivata part ¸ial˘ a a funct ¸iei u ˆın raport cu
variabila t
∇u=

∂u
∂x
1
,
· · ·
,
∂u
∂x
n

– gradientul funct ¸iei u : Ω ⊂ IR
n
→ IR
∆ =
n

i=1

2
∂x
2
i
– operatorul lui Laplace (laplaceanul)
L
p
(Ω) – mult ¸imea {u : Ω → IR, m˘asurabil˘ a,


u
p
dx < ∞}, 1 ≤ p < ∞
H
k
(Ω) – spat ¸iul Sobolev {u ∈ L
2
(Ω); D
α
u ∈ L
2
(Ω), |α| ≤ k}
H
k
0
(Ω) – ˆınchiderea lui C

0
(Ω) ˆın H
k
(Ω)
u
X
– norma elementului u ˆın spat ¸iul X
L
2
(0, T; X) – spat ¸iul funct ¸iilor m˘ asurabile u : [0, T] → X
cu norma u(t)
X
de p˘ atrat integrabil
∀ – cuantificator universal (oricare ar fi, pentru orice)
:= – a := b ˆınseamn˘a c˘a prin definit ¸ie a este egal cu b
– sfˆar¸sit de demonstrat ¸ie
Istoric ix
Scurt istoric privind dezvoltarea ecuat ¸iilor diferent ¸iale
¸si a ecuat ¸iilor cu derivate part ¸iale
Multe probleme semnificative de fizic˘a, chimie, inginerie cer ˆın formularea lor mate-
matic˘a determinarea unei funct ¸ii care, ˆımpreun˘ a cu derivatele sale, satisface o relat ¸ie
dat˘a. Astfel de relat ¸ii se numesc ecuat ¸ii diferent ¸iale. Pentru studierea ecuat ¸iilor di-
ferent ¸iale este necesar˘a o clasificare a acestora. Clasificarea uzual˘a este cea legat˘a de
num˘ arul variabilelor independente de care depinde funct ¸ia necunoscut˘a. Dac˘a funct ¸ia
necunoscut˘a depinde de o singur˘ a variabil˘ a independent˘ a spunem, c˘a avem de-a face
cu o ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a ordinar˘ a.
ˆ
In cazul ˆın care funct ¸ia necunoscut˘a depinde de mai multe variabile independente
¸si ˆın relat ¸ia respectiv˘a apar ¸si derivatele part ¸iale ale funct ¸iei necunoscute, relat ¸ia se
nume¸ste ecuat ¸ie cu derivate part ¸iale.
ˆ
In mod curent, ˆın locul denumirii de ecuat ¸ie
diferent ¸ial˘a ordinar˘ a se folose¸ste cea de ecuat ¸ie diferent ¸ial˘a.
Denumirea de ecuat ¸ie diferent ¸ial˘a a fost folosit˘ a prima dat˘ a de G.W. Leibniz
(1646–1716) ˆın 1676 ˆıntr-o accept ¸iune apropiat˘ a de cea de azi. Dezvoltarea ecua-
t ¸iilor diferent ¸iale a fost ˆın strˆ ans˘a leg˘atur˘ a cu dezvoltarea integralei. Au fost iden-
tificate clase de ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin cuadraturi (integr˘ ari). Printre
matematicienii care au adus contribut ¸ii remarcabile la dezvoltarea ecuat ¸iilor dife-
rent ¸iale se num˘ar˘a Isac Newton (1642–1727), precum ¸si membrii celebrei familii (de
matematicieni) Bernoulli ˆıntre care remarc˘am pe Jakob Bernoulli (1654–1705), Jo-
hann Bernoulli (1667–1748) ¸si Daniel Bernoulli (1700–1782). Urmeaz˘ a J. Riccati
(1776–1754), L. Euler (1707–1783), J. Lagrange (1736–1813). Secolul al XIX-lea este
caracterizat de cercet˘ari ˆın problema existent ¸ei, unicit˘at ¸ii ¸si comport˘arii solut ¸iilor unei
ecuat ¸ii diferent ¸iale.
A. Cauchy (1789–1857), R. Lipschitz (1832–1903) ¸si G. Peano (1858–1932) au
impus metoda liniilor poligonale (utilizat˘ a anterior ¸si de Euler) ca metod˘ a eficient˘a
de demonstrare a existent ¸ei locale a solut ¸iei unei ecuat ¸ii diferent ¸iale cu condit ¸ii init ¸iale.
Primele cercet˘ari asupra ecuat ¸iilor diferent ¸iale au vizat existent ¸a solut ¸iilor (eventual
determinarea explicit˘ a a acestora atunci cˆand acest lucru este posibil) sau aproximarea
acestora.
ˆ
In partea a doua a secolului al XIX-lea s-au pus bazele teoriei moderne a stabilit˘ at ¸ii
prin lucr˘ arile matematicianului rus A.M. Liapunov (1857–1918) care, ˆın teza sa de
doctorat sust ¸inut˘ a ˆın 1892, a definit principalele concepte de stabilitate.
Contribut ¸ii anterioare ˆın aceast˘a direct ¸ie au avut H. Poincar´e (1854–1912) ¸si J.C.
Maxwell (1831–1879) ˆın studiul stabilit˘ at ¸ii mi¸sc˘arii corpurilor cere¸sti.
Cam acestea sunt elementele care sunt cuprinse ˆın teoria clasic˘a a ecuat ¸iilor di-
ferent ¸iale. Secolul al XX-lea a ˆınsemnat un salt calitativ ˆın abordarea ecuat ¸iilor di-
ferent ¸iale prin introducerea unor metode noi precum cea a gradului topologic, teoria
bifurcat ¸iei etc. De asemenea, s-a extins studiul ecuat ¸iilor diferent ¸iale la spat ¸ii infinit
dimensionale unde s-au obt ¸inut rezultate notabile.
Cercetˆand problema coardei vibrante, J.E. D’Alembert (1717–1753) a obt ¸inut ˆın
1747 prima ecuat ¸ie cu derivate part ¸iale. Ulterior, L. Euler a l˘ argit clasa ecuat ¸iilor
cu derivate part ¸iale ¸si a introdus not ¸iunea de unicitate a solut ¸iei unei ecuat ¸ii. Marii
matematicieni ai vremii, ˆıntre care D. Bernoulli, J. Lagrange, P. Laplace (1749–1827)
x Istoric
¸si alt ¸ii, au fost preocupat ¸i de acest domeniu al matematicii care ˆıncepea s˘a prind˘ a
contur.
J. d’Alembert, L. Euler ¸si D. Bernoulli au fost primii care, pornind de la cˆ ateva
probleme concrete, au avut ideea c˘aut˘ arii solut ¸iei unei ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale
sub forma unei serii trigonometrice. Aceast˘a idee a fost luat˘ a ¸si perfect ¸ionat˘ a de J.
Fourier (1758–1830), care a folosit-o pentru rezolvarea ecuat ¸iei propag˘ arii c˘aldurii.
S-a conturat o ramur˘ a nou˘ a a analizei matematice: teoria seriilor Fourier.
Un alt moment important ˆın dezvoltarea ecuat ¸iilor cu derivate part ¸iale ˆıl consti-
tuie observarea de c˘atre P. Laplace (1749–1827) a faptului c˘ a potent ¸ialul interact ¸iunii
dintre dou˘ a mase satisface o relat ¸ie cunoscut˘a azi sub numele de ecuat ¸ia lui Laplace.
S-a constatat c˘a fenomene de aceea¸si natur˘ a au loc ˆın electrostatic˘a ¸si teoria mag-
netismului. Acest fapt a dus la crearea de c˘atre G. Green (1793–1841), K.F. Gauss
(1777–1855) ¸si S.D. Poisson (1781–1840) a teoriei potent ¸ialului. Secolul al XIX-lea a
fost marcat de descoperiri fundamentale ˆın domeniul analizei matematice prin rezul-
tate datorate lui A. Cauchy ¸si mai tˆarziu lui K. Weierstrass (1815–1897).
Aceste rezultate ¸si-au pus amprenta ¸si asupra ecuat ¸iilor diferent ¸iale ¸si cu derivate
part ¸iale. A fost fundamentat˘ a teoria solut ¸iilor analitice de c˘atre A. Cauchy ¸si S.
Kovalevsky (1850–1891). Lucr˘ arile lui V. Volterra (1860–1940) ¸si I. Fredholm (1866–
1927) au dus la crearea teoriei ecuat ¸iilor integrale care a facilitat demonstrarea exis-
tent ¸ei solut ¸iilor pentru probleme la limit˘ a ˆın special ˆın teoria potent ¸ialului.
ˆ
In 1904, D. Hilbert (1862–1943) a deschis cˆ ampul solut ¸iilor slabe pentru ecuat ¸ii cu
derivate part ¸iale construind aceste solut ¸ii pentru problema Dirichlet ca minimizant ¸i
ai integralei Dirichlet asociate. Evident c˘ a aceste solut ¸ii nu sunt solut ¸ii clasice pentru
problema Dirichlet.
ˆ
In aceast˘a lucrare, Hilbert a formulat un program de extindere a
conceptului de solut ¸ie care s˘a includ˘ a problemele variat ¸ionale ce nu au solut ¸ii clasice.
Progresele realizate la mijlocul secolului al XX-lea de analiza funct ¸ional˘ a ¸si teoria
distribut ¸iilor au condus la noi metode de investigare a ecuat ¸iilor cu derivate part ¸iale.
Rezultate notabile au fost obt ¸inute de J. Schauder (1899–1943), S. Sobolev (1908–
1980), L. Schwartz, J. Leray.
ˆ
In ultimul timp un impact deosebit ˆın studiul ecuat ¸iilor diferent ¸iale ¸si cu derivate
part ¸iale ˆıl are tehnica de calcul din ce ˆın ce mai performant˘ a care ofer˘a rezultate
de aproximare a solut ¸iilor, foarte bune din punct de vedere practic.
ˆ
In acest fel,
cercet˘arile teoretice de existent ¸˘a, comportare ˆın raport cu datele etc. sunt completate
de rezultate numerice foarte utile.
Capitolul 1
Capitol introductiv
Studiul fenomenelor naturii i-a condus pe oamenii de ¸stiint ¸˘a la crearea unor
modele matematice care s˘a cuprind˘ a ˆıntr-o formulare abstract˘ a principalele
caracteristici ale acestora. Pentru fenomenele evolutive cel mai potrivit model
s-a dovedit acela dat sub forma unei ecuat ¸ii (sau sistem de ecuat ¸ii) diferent ¸iale.
ˆ
Intr-o formulare aproximativ˘ a prin ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a se ˆınt ¸elege o ecuat ¸ie
ˆın care necunoscuta este o funct ¸ie de una sau mai multe variabile care apare
(ˆın ecuat ¸ie) al˘aturi de derivatele sale pˆ an˘ a la un anumit ordin. Ordinul maxim
al acestor derivate se nume¸ste ordinul ecuat ¸iei. Studiul ecuat ¸iilor diferent ¸iale
ˆıntr-o manier˘ a sistematic˘a beneficiaz˘a de o clasificare a acestora. Cea mai
uzual˘ a clasificare este cea dat˘a de num˘ arul de variabile independente de care
depinde funct ¸ia necunoscut˘a.
ˆ
In cazul ˆın care funct ¸ia necunoscut˘a depinde de
mai multe variabile independente, iar ˆın ecuat ¸ie apar efectiv derivatele funct ¸iei
ˆın raport cu aceste variabile, ecuat ¸ia se nume¸ste cu derivate part ¸iale. Dac˘a
ˆıns˘ a funct ¸ia necunoscut˘a depinde de o singur˘ a variabil˘ a, ecuat ¸ia se nume¸ste
ordinar˘ a. Probabil cel mai cunoscut model de ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a ordinar˘ a
este cel dat de legea lui Newton
(0.1) mx

(t) = F(t, x(t), x

(t))
care exprim˘a legea de mi¸scare a unui punct material de mas˘a m asupra c˘ aruia
act ¸ioneaz˘a o fort ¸˘a F.
ˆ
In relat ¸ia de mai sus x(t), x

(t)) ¸si x

(t) reprezint˘ a
pozit ¸ia, viteza ¸si respectiv accelerat ¸ia punctului material la momentul t.
Dac˘a, de exemplu, F este fort ¸a de gravitat ¸ie, atunci relat ¸ia (0.1) se scrie
sub forma
(0.2) mx

= −mg
2 Capitol introductiv
care, prin integrare, conduce la
x(t) = −
1
2
gt
2
+ C
1
t + C
2
,
C
1
¸si C
2
fiind constante oarecare.
A¸sadar, problema determin˘ arii legii de mi¸scare a unui punct material sub
act ¸iunea unei fort ¸e (care depinde de pozit ¸ia ¸si viteza punctului material) revine
la aflarea unei funct ¸ii care verific˘a o ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a de ordinul al doilea
de forma
(0.3) x

(t) = f(t, x(t), x

(t)).
Forma general˘ a a unei ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordinul n este
(0.4) F(t, x(t), x

(t), ..., x
(n)
t) = 0.
ˆ
In anumite condit ¸ii, ecuat ¸ia (0.4) se poate scrie sub forma echivalent˘a
(0.5) x
(n)
= f(t, x, x

, ..., x
(n−1)
)
numit˘ a ¸si forma normal˘ a. Preciz˘am c˘a pentru simplificarea expunerii, atunci
cˆand nu este pericol de confuzie, se renunt ¸˘a la scrierea argumentului funct ¸iei
necunoscute.
Prin solut ¸ie a ecuat ¸iei diferent ¸iale ordinare (5) pe intervalul (a, b) ⊂ IR
ˆınt ¸elegem o funct ¸ie x(·) pentru care exist˘ a derivatele x

, x

, ..., x
(n)
¸si verific˘a
relat ¸ia (0.5) pe (a, b), adic˘ a
x
(n)
(t) = f(t, x(t), ..., x
(n−1)
(t)), ∀t ∈ (a, b).
Mult ¸imea solut ¸iilor unei ecuat ¸ii diferent ¸iale se nume¸ste solut ¸ie general˘ a.
Pentru a individualiza una dintre solut ¸ii
,
sunt necesare informat ¸ii supli-
mentare despre aceasta. Aceast˘a problem˘ a legat˘a de condit ¸iile care asigur˘a
existent ¸a ¸si unicitatea solut ¸iei unei ecuat ¸ii diferent ¸iale ordinare a fost studiat˘ a
pentru prima dat˘ a de matematicianul francez Augustin Cauchy (1789–1857)
la ˆınceputul secolului al XIX-lea. Odat˘ a stabilit un rezultat de existent ¸˘a ¸si
unicitate pentru o ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a, r˘ amˆane problema determin˘ arii efective
a solut ¸iei. S-a demonstrat c˘a de cele mai multe ori acest lucru este imposibil –
clasa ecuat ¸iilor diferent ¸iale rezolvabile prin cuadraturi (integr˘ ari) fiind foarte
restrˆans˘ a. Tehnica de calcul foarte performant˘ a permite aproximarea solut ¸iei
unei ecuat ¸ii diferent ¸iale cu o acuratet ¸e suficient de bun˘ a, diminuˆ and astfel
interesul pentru g˘ asirea solut ¸iei exacte.
Totu¸si, exprimarea solut ¸iei printr-o formul˘ a explicit˘ a r˘ amˆane un fapt inci-
tant ¸si util, motiv pentru care am ¸si introdus un paragraf ce cont ¸ine cˆateva
tipuri de ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin cuadraturi.
Ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin metode elementare 3
1.1 Ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin metode
elementare
ˆ
In acest capitol vom prezenta cˆateva tipuri clasice de ecuat ¸ii diferent ¸iale ale
c˘aror solut ¸ii pot fi determinate prin operat ¸ii de integrare.
Ecuat ¸ii cu variabile separabile
O ecuat ¸ie de forma
(1.1) x

= f(t)g(x)
unde f : ]t
1
, t
2
[ ⊂ IR −→ IR ¸si g : ]x
1
, x
2
[ ⊂ IR −→ IR sunt funct ¸ii continue cu
g(x) = 0 pentru orice x ∈]x
1
, x
2
[ se nume¸ste ecuat ¸ie cu variabile separabile.
Scriind ecuat ¸ia (1.1) sub forma echivalent˘ a
(1.2)
dx
g(x)
= f(t) dt
¸si integrˆ and (1.2) de la t
0
la t (t
0
, t ∈]t
1
, t
2
[) obt ¸inem

x(t)
x(t
0
)

g(τ)
=

t
t
0
f(s) ds.
Dac˘a not˘ am x(t
0
) = x
0
¸si
G(x) =

x
x
0

g(τ)
, x ∈]x
1
, x
2
[,
avˆ and ˆın vedere c˘a ipotezele asupra lui g implic˘ a faptul c˘ a G este inversabil˘ a
pe mult ¸imea G(]x
1
, x
2
[) rezult˘ a c˘a solut ¸ia x a ecuat ¸iei (1.1) este dat˘a de
(1.3) x(t) = G
−1

t
t
0
f(s)ds

, t ∈]t
1
, t
2
[.
Observat ¸ie. Este evident c˘a ˆın (1.3) solut ¸ia x(·) este definit˘a pentru valorile
lui t pentru care

t
t
0
f(s)ds se afl˘a ˆın domeniul de definit ¸ie al funct ¸iei G
−1
.
Exemplu. S˘ a se integreze ecuat ¸ia
(e
t
+ 1)
3
e
−t
dx + (e
x
+ 1)
2
e
−x
dt = 0.
4 Capitol introductiv
Solut ¸ie. Este o ecuat ¸ie cu variabile separabile de forma x

=f(t)g(x) unde
f, g : IR −→ IR, f(t) = −e
t
(e
t
+ 1)
3
, g(x) = (e
x
+ 1)
2
e
−x
care se rezolv˘a
obt ¸inˆ andu-se relat ¸ia
2(e
x
+ 1)
−1
+ (e
t
+ 1)
−1
= C
de unde
x(t) = ln

2
C −(e
t
+ 1)
−2
−1

.
Ecuat ¸ii omogene
Ecuat ¸ia
(1.4) x

= h

x
t

se nume¸ste ecuat ¸ie omogen˘ a deoarece funct ¸ia f(t, x) := h

x
t

este omogen˘a
de gradul zero. Dac˘ a presupunem c˘ a h(u) = u pe domeniul s˘ au de definit ¸ie,
atunci, f˘ acˆand substitut ¸ia ut = x, ecuat ¸ia (1.4) devine
u


1
t
[h(u) −u]
adic˘ a o ecuat ¸ie cu variabile separabile care se trateaz˘ a dup˘ a modelul anterior.
Exemplu. S˘ a se rezolve ecuat ¸ia
x

=
t
2
+ x
2
tx
·
Solut ¸ie. Ecuat ¸ia se mai scrie sub forma
x

=
t
x
+
x
t
¸si f˘ acˆand substitut ¸ia ut = x devine
udu =
dt
t
de unde prin integrare g˘ asim
1
2
u
2
−ln |t| =
1
2
C,
apoi, revenind la substitut ¸ia f˘ acut˘a, se obt ¸ine
x
2
= t
2
ln t
2
+ Ct
2
.
Ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin metode elementare 5
Ecuat ¸ii liniare
Ecuat ¸iile liniare sunt de forma
(1.5) x

= a(t)x + b(t)
unde a, b : I ⊂ IR −→IR sunt funct ¸ii continue ¸si reprezint˘a o clas˘a important˘ a
de ecuat ¸ii pentru care solut ¸iile pot fi g˘ asite prin cuadraturi.
Dac˘a b = 0, ecuat ¸ia (1.5) este cu variabile separabile ¸si are solut ¸ia
(1.6) x(t) = Ce

t
t
0
a(τ)dτ
,
unde t
0
, t ∈ I ¸si C = x(t
0
).
Pentru determinarea solut ¸iei ˆın cazul general (b = 0) vom folosi metoda
cunoscut˘ a sub numele de “variat ¸ia constantelor”, ce const˘a ˆın ˆınlocuirea con-
stantei C ˆın (1.6) cu o cantitate variabil˘ a.
ˆ
In cazul nostru, c˘ aut˘ am solut ¸ia ecuat ¸iei (1.5) sub forma
x(t) = ϕ(t)e

t
t
0
a(τ)dτ
de unde rezult˘ a c˘a ϕ este o funct ¸ie derivabil˘ a ¸si avem:
ϕ

(t) = x

(t)e


t
t
0
a(τ)dτ
−x(t)a(t)e


t
t
0
a(τ)dτ
.
Deoarece am presupus c˘a x este solut ¸ie a ecuat ¸iei (1.5), rezult˘ a
ϕ

(t) = e


t
t
0
a(τ)dτ
b(t)
de unde deducem
ϕ(t) = ϕ(t
0
) +

t
t
0
e


s
t
0
a(τ)dτ
b(s).
Dar ϕ(t
0
) = x(t
0
) ¸si x(t) = ϕ(t)e

t
t
0
a(τ)dτ
de unde rezult˘ a
(1.7) x(t) = x(t
0
)e

t
t
0
a(τ)dτ
+

t
t
0
b(s)e

t
s
a(τ)dτ
ds.
Exemplu. S˘ a se integreze ecuat ¸ia
x

= −2tx + e
−t
2
.
6 Capitol introductiv
Aceasta este o ecuat ¸ie liniar˘ a cu a(t) = −2t, b(t) = e
−t
2
. Aplicˆ and formula
(1.7) g˘ asim
x(t) = x(t
0
)e


t
t
0
2τ dτ
+

t
t
0
e
−s
2
e


t
s
2τ dτ
ds
unde t
0
, t ∈ IR, sau
x(t) = e
−t
2
(t + C)
unde C = e
t
2
0
x(t
0
) −t
0
.
Ecuat ¸ii de tip Bernoulli
Ecuat ¸ia
x

= a(t)x + b(t)x
α
,
unde a, b : I ⊂ IR −→ IR sunt funct ¸ii continue, iar α ∈ IR\{0, 1}, se nume¸ste
ecuat ¸ie de tip Bernoulli.
Prin substituirea y = x
1−α
aceast˘a ecuat ¸ie se transform˘a ˆın ecuat ¸ie liniar˘ a
y

(t) = −(α −1)[a(t)y(t) + b(t)].
Dup˘ a rezolvarea acestei ecuat ¸ii se revine la substitut ¸ie ¸si se obt ¸ine solut ¸ia
ecuat ¸iei init ¸iale.
Exemplu. Ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
x

= −
1
t
x +
x
2
t
2
,
x, t = 0
este de tip Bernoulli cu a(t) = −
1
t
,
b(t) =
1
t
2
,
α = 2. Prin substitut ¸ia y = x
−1
obt ¸inem ecuat ¸ia
y

=
1
t
y −
1
t
2
,
care are solut ¸ia general˘a y =
2Ct
2
+ 1
2t
,
C ∈ IR ¸si deci solut ¸ia ecuat ¸iei init ¸iale
este
x =
2t
2Ct
2
+ 1
·
Ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin metode elementare 7
Ecuat ¸ii de tip Riccati
Ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
(1.8) x

= a(t)x
2
+ b(t)x + c(t),
unde a, b, c : I ⊂ IR −→ IR sunt funct ¸ii continue
,
se nume¸ste ecuat ¸ie de tip
Riccati.
Facem ment ¸iunea c˘a ˆın general o astfel de ecuat ¸ie nu poate fi rezolvat˘ a
prin cuadraturi afar˘ a de cazul cˆand, printr-un mijloc oarecare, se cunoa¸ste o
solut ¸ie particular˘ a a sa.
ˆ
Intr-adev˘ ar, dac˘ a ϕ este o solut ¸ie paticular˘ a a ecuat ¸iei (1.8), iar x o solut ¸ie
oarecare a sa, atunci y = x −ϕ satisface ecuat ¸ia Bernoulli (α = 2)
y

= [b(t) + 2a(t)ϕ(t)]y + a(t)y
2
.
Deci, funct ¸ia y poate fi obt ¸inut˘ a cu ajutorul ecuat ¸iei liniare asociate de unde
va rezulta solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei (1.8), x = y + ϕ.
Exemplu. Ecuat ¸ia
x

= −x
2

1
t
x +
4
t
2
este de tip Riccati cu a = −1, b = −
1
t
,
c =
4
t
2
¸si are solut ¸ia particular˘ a ϕ =
2
t
·
Substitut ¸ia x = y +
2
t
transform˘ a ecuat ¸ia init ¸ial˘ a ˆıntr-o ecuat ¸ie de tip
Bernoulli
y

= −
5
t
y −y
2
,
care, la rˆ andul s˘ au prin schimbarea de variabile z =
1
y
,
se transform˘aˆın ecuat ¸ie
liniar˘ a
z

=
5
t
z + 1.
Solut ¸iile succesive ale acestor ecuat ¸ii sunt:
z =
Ct
5
−t
4
,
y =
4
Ct
5
−t
,
x =
2
t
+
4
Ct
5
−t
·
8 Capitol introductiv
Ecuat ¸ii cu diferent ¸iale totale exacte
Fie ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
(1.9) x

=
g(t, x)
h(t, x)
unde g, h : Ω ⊂ IR
2
−→ IR sunt dou˘ a funct ¸ii continue pe mult ¸imea deschis˘a
Ω iar h = 0 ˆın Ω. Spunem c˘ a ecuat ¸ia (1.9) este cu diferent ¸ial˘ a exact˘a dac˘a
exist˘a F ∈ C
1
(Ω) astfel ˆıncˆ at







∂F
∂t
(t, x) = −g(t, x),
(t, x) ∈ Ω
∂F
∂x
(t, x) = h(t, x).
ˆ
In aceste condit ¸ii, ecuat ¸ia (1.9) se scrie sub forma
dF(t, x(t)) = 0,
de unde rezult˘ a c˘a orice solut ¸ie a ecuat ¸iei (1.9) verific˘ a egalitatea
(1.10) F(t, x(t)) = C,
C fiind o constant˘ a real˘ a. Are loc ¸si rezultatul reciproc: pentru orice con-
stant˘a real˘ a C, formula (1.10) define¸ste (conform teoremei funct ¸iilor implicite,
deoarece
∂F
∂x
= h = 0 pe Ω) o funct ¸ie x = x(t) care pe un anumit interval este
solut ¸ie a ecuat ¸iei (1.9). Se pune ˆıntrebarea: cum putem identifica ecuat ¸iile
care sunt cu diferent ¸iale exacte iar atunci cˆand au aceast˘ a proprietate cum
putem determina funct ¸ia F?
Pentru aceasta d˘ am, f˘ ar˘ a demonstrat ¸ie, urm˘atorul rezultat.
Teorem˘a 1.1. Dac˘ a Ω este un domeniu simplu conex ¸si
∂h
∂t
,
∂g
∂x
∈ C
1
(Ω),
atunci condit ¸ia necesar˘ a ¸si suficient˘ a pentru ca ecuat ¸ia (1.9) s˘ a fie cu diferent ¸i-
al˘ a exact˘ a este ca
(1.11)
∂h
∂t
(t, x) = −
∂g
∂x
(t, x)
pentru orice (t, x) ∈ Ω.
ˆ
In aceste condit ¸ii, funct ¸ia F este dat˘a de
(1.12) F(t, x) = −

t
t
0
g(s, x)ds +

x
x
0
h(t
0
, ξ)dξ = −

t
t
0
g(s, x
0
)ds +

x
x
0
h(t, ξ)dξ
unde (t
0
, x
0
) este un punct arbitrar ˆın Ω.
Ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin metode elementare 9
Factor integrant
ˆ
In unele cazuri, o ecuat ¸ie de forma
(1.13) h(t, x)dx −g(t, x)dt = 0
care nu este cu diferent ¸ial˘ a exact˘a poate fi adus˘ a la aceast˘a form˘ a prinˆınmult ¸i-
rea cu o funct ¸ie ρ(t, x), ρ ∈ C
1
(Ω), ρ = 0, (t, x) ∈ Ω, funct ¸ie care mai poart˘a
denumirea de factor integrant. Presupunˆ and c˘ a o asemenea funct ¸ie exist˘a, din
teorema anterioar˘ a rezult˘ a c˘a ea satisface relat ¸ia
∂(ρh)
∂t
= −
∂(ρg)
∂x
sau
(1.14) h
∂ρ
∂t
+ g
∂ρ
∂x
= −ρ

∂g
∂x
+
∂h
∂t

,
(t, x) ∈ Ω.
A¸sadar, dac˘ a exist˘a o funct ¸ie ρ care satisface (1.14), atunci prin ˆınmult ¸irea cu
ρ a ecuat ¸iei (1.13) (sau (1.9)), aceasta este redus˘a la o ecuat ¸ie cu diferent ¸ial˘ a
exact˘a.
Prezent˘am dou˘ a situat ¸ii ˆın care funct ¸ia ρ poate fi determinat˘ a:
(i) Presupunem c˘ a expresia
1
h

∂g
∂x
+
∂h
∂t

= ϕ(t) nu depinde de x.
Atunci, putem determina funct ¸ia ρ = ρ(t) (independent˘ a de x) ca solut ¸ie
a ecuat ¸iei
ρ

= ϕ(t)ρ.
(ii) Presupunem c˘ a expresia
1
g

∂g
∂x
+
∂h
∂t

= ψ(x) nu depinde de t.
Atunci, putem determina funct ¸ia ρ = ρ(x) (independent˘ a de t) ca solut ¸ie
a ecuat ¸iei
ρ

= ψ(x)ρ.
Exemplu. Fie ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
x

=
2(tx −x
3
)
6tx
2
−t
2
·
10 Capitol introductiv
Aceast˘a ecuat ¸ie este de forma (1.9) cu g(t, x) = 2(tx − x
3
), h(t, x) =
= 6tx
2
− t
2
care verific˘a relat ¸ia (1.11) deci exist˘ a funct ¸ia F dat˘ a de formula
(1.12)
F(t, x) = 2

t
t
0
(sx −x
3
)ds +

x
x
0
(t
2
0
−6t
0
ξ
2
)dξ =
= t
2
x −2tx
3
−t
2
0
x
0
+ 2t
0
x
3
0
iar solut ¸ia ecuat ¸iei este dat˘a sub form˘ a implicit˘ a
t
2
x −2tx
3
= C, C ∈ IR.
Ecuat ¸ii de tip Lagrange, Clairaut. Metoda parametrului
Ecuat ¸ia de forma
(1.15) x(t) = tϕ(x

(t)) + ψ(x

(t))
unde ϕ, ψ ∈ C
1
(I) (ϕ(r) = r pentru orice r ∈ IR), I fiind un interval al axei
reale se nume¸ste ecuat ¸ie de tip Lagrange. Dac˘a ϕ(x

) = x

, ecuat ¸ia (1.15) este
de tip Clairaut.
Pentru integrarea acestor tipuri de ecuat ¸ii se folose¸ste a¸sa numita metod˘ a
a parametrului care const˘a ˆın urm˘ atoarele:
Se noteaz˘a ˆın ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a (1.15) x

= p ¸si se diferent ¸iaz˘a ecuat ¸ia.
Se obt ¸ine ˆın acest fel o ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a liniar˘ a ˆın care lu˘ am pe t ca funct ¸ie
¸si p ca variabil˘ a.
ˆ
In urma integr˘ arii, g˘ asim solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei (1.15),
ˆın forma parametric˘ a
(1.16)

t = f(p, C)
x = g(p).
Relat ¸iile (1.16) dau reprezentarea parametric˘ a a solut ¸iei generale a ecuat ¸iei
(1.15).
ˆ
In cazul ecuat ¸iei Clairaut, solut ¸ia este dat˘a de o familie de drepte a c˘ arei
ˆınf˘ a¸sur˘ atoare este solut ¸ia singular˘ a a ecuat ¸iei.
Prinˆınf˘ a¸sur˘ atoarea unei familii de curbe se ˆınt ¸elege o curb˘a care, ˆın fiecare
punct al s˘ au, este tangent˘a la una din curbele familiei date ¸si difer˘ a de acea
curb˘ a ˆın orice vecin˘atate a punctului respectiv.
Exemplul 1.1. Ecuat ¸ia
x(t) = −2tx

(t) −x

(t)
2
Ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin metode elementare 11
este de forma (1.15) cu ϕ(x

) = −2x

, ψ(x

) = −x

2
, deci este o ecuat ¸ie de tip
Lagrange.
Not˘am x

= p ¸si ecuat ¸ia devine
x = −2tp −p
2
¸si diferent ¸iind ambii membri ai ecuat ¸iei (t ¸inˆ and cont c˘ a x

= p)
3p = −2t
dp
dt
−2p
dp
dt
sau
dt
dp
= −
2t
3p

2
3
care este o ecuat ¸ie liniar˘ a ˆın t ca funct ¸ie de p ¸si are solut ¸ia
t = Cp

3
2

2
5
p,
de unde rezult˘ a solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei ˆın forma parametric˘ a







t = Cp

2
3

2
5
p
x = −
p
2
5
−2Cp
1
3
.
Exemplul 1.2. Ecuat ¸ia
x(t) = tx

(t) +
1
2
x

(t)
2
,
este de tip Clairaut cu ψ(x

) =
1
2
x

2
. Notˆ and x

= p, ecuat ¸ia devine (dup˘ a
diferent ¸iere)
p

(p + t) = 0
care conduce la solut ¸ia general˘a
x = tC +
1
2
C
2
, C ∈ IR
¸si la solut ¸ia singular˘ a
x = −
1
2
t
2
.
12 Capitol introductiv
Mic¸sorarea ordinului unei ecuat ¸ii diferent ¸iale
Prezent˘am dou˘ a clase de ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordin superior care pot fi trans-
formate ˆın ecuat ¸ii de ordin strict mai mic.
Ecuat ¸ia de forma
(1.17) F(t, x
(k)
, x
(k+1)
, ..., x
(n)
) = 0 (0 < k < n)
se transform˘a prin substitut ¸ia y = x
(k)
ˆın ecuat ¸ia
(1.18) F(t, y, y

, ..., y
(n−k)
) = 0.
Dac˘a ecuat ¸ia (1.18) se poate rezolva, atunci, revenind la substitut ¸ia f˘ acut˘a,
ecuat ¸ia (1.17) se rezolv˘a ˆın urma a ”k” integr˘ ari succesive.
Ecuat ¸iile de forma
F(x, x

, ..., x
(n)
) = 0
ˆı¸si reduc ordinul cu o unitate dac˘ a facem substitut ¸ia p = x

¸si consider˘am p,
noua funct ¸ie necunoscut˘a de variabil˘ a x.
ˆ
In acest fel avem:
x

=
dp
dt
=
dp
dx
dx
dt
=
dp
dx
· p ¸s.a.m.d.
Exemplu. S˘ a se integreze ecuat ¸ia
tx

+ x

= 4t.
Solut ¸ie. Not˘ am x

= y ¸si obt ¸inem ecuat ¸ia
ty

+ y = 4t
care este liniar˘a ¸si are solut ¸ia y = 2t +
C
1
2t
¸si, revenind la substitut ¸ie, g˘asim
x = t
2
+ C
1
ln t + C
2
.
Ecuat ¸ii de tip Euler
O ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a de forma
(1.19) t
n
x
(n)
+ a
1
t
n−1
x
(n−1)
+· · · + a
n−1
tx

+ a
n
x = f(t)
unde a
1
, a
2
, ..., a
n
∈ IR, iar f : IR

+
−→ IR se nume¸ste ecuat ¸ie de tip Euler.
Ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin metode elementare 13
Cu ajutorul substitut ¸iilor

t = e
s
x(t) = y(s)
pentru t ∈ IR

+
¸si s ∈ IR, ecuat ¸ia (1.19) devine ecuat ¸ie liniar˘ a cu coeficient ¸i
constant ¸i de ordin n ˆın necunoscuta y ¸si variabila s. Acest lucru se vede
imediat din calculul diferent ¸ialelor ˆın (1.19)
dx
dt
=
dy
dt
=
dy
ds
ds
dt
=
dy
ds
·
1
t
= e
−s
dy
ds
apoi ˆın mod recurent g˘ asim c˘a
d
k
x
dt
k
= e
−ks

C
1
dy
ds
+ C
2
dy
2
ds
2
+· · · + C
k
d
k
y
ds
k

,
k = 2, 3, ..., n.
Exemplu. S˘ a se rezolve problema

t
2
x

−2tx

+ 2x = 2
x(1) = x

(1) = 1.
Solut ¸ie. F˘ acˆand substitut ¸ia

t = e
s
x(t) = y(s),
ecuat ¸ia devine

y

−3y

+ 2y = 2
y(0) = y

(0) = 1
care are solut ¸ia y(s) = e
2s
−e
s
+1, ¸si, revenind la ecuat ¸ia init ¸ial˘ a, aceasta are
solut ¸ia x = t
2
−t + 1.
Rezolvarea ecuat ¸iilor diferent ¸iale
cu ajutorul seriilor de puteri
ˆ
In cele ce urmeaz˘a, vom prezenta o metod˘ a care const˘a ˆın obt ¸inerea solut ¸iei
unei probleme Cauchy ca sum˘a a unei serii de puteri. Astfel de solut ¸ii se mai
numesc analitice. F˘ ar˘ a a intra ˆın detalii (pentru cei interesat ¸i recomand˘am
[49]), preciz˘ am faptul c˘ a dac˘a funct ¸ia f este analitic˘a pe domeniul s˘ au de
definit ¸ie, atunci problema Cauchy asociat˘a (cu x
0
din domeniul lui f)

x

= f(x)
x(t
0
) = x
0
14 Capitol introductiv
are o solut ¸ie analitic˘ a.
ˆ
In continuare prezent˘ am, pentru ilustrare, trei probleme rezolvate pe aceas-
t˘a cale.
Metoda coeficient ¸ilor nedeterminat ¸i. Metoda este eficient˘a mai ales pen-
tru ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare ¸si const˘a ˆın c˘ autarea unei solut ¸ii de forma
(1.20) x(t) =


n=0
C
n
(t − t
0
)
n
.
ˆ
Inlocuind x ˆın ecuat ¸ie, prin identificarea coeficient ¸ilor puterilor egale ale lui t,
rezult˘ a o relat ¸ie de recurent ¸˘a ˆıntre ace¸stia.
Exemplul 1. S˘ a se rezolve ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
(1.21) x

+ tx

+ x = 0.
C˘autˆ and o solut ¸ie de forma (1.20) cu t
0
= 0 ¸si ˆınlocuind-o ˆın ecuat ¸ia (1.21),
obt ¸inem relat ¸ia:
(C
0
+ 2C
2
) + t(2C
1
+ 6C
3
) + t
2
(3C
2
+ 12C
4
) + · · · +
+t
n
[(n + 1)C
n
+ (n + 1)(n + 2)C
n+2
] + · · · = 0
de unde
C
0
+ 2C
2
= 0, 2C
1
+ 6C
3
= 0, ..., C
n
(n + 2)C
n+2
= 0, ...
Astfel, am obt ¸inut formula de recurent ¸˘a
C
n+2
= −
C
n
n + 2
,
care d˘a
C
2
= −
C
0
2
,
C
4
= −
C
2
4
=
C
0
2 · 4
,
· · ·
,
C
2n
=
(−1)
n
C
0
(2n)!!
,
· · ·
C
3
= −
C
1
3
,
C
5
=
C
1
3 · 5
,
· · ·
,
C
2n+1
=
(−1)
n
C
1
(2n + 1)!!
,
· · ·
Rezult˘a c˘a
x(t) = C
0


n=0
(−1)
n
t
2n
(2n)!!
+ C
1


n=1
(−1)
n+1
t
2n−1
(2n + 1)!!
·
Ecuat ¸ii diferent ¸iale rezolvabile prin metode elementare 15
Se verific˘a imediat c˘a cele dou˘a serii de puteri care apar ˆın membrul drept
sunt convergente pentru orice t. De asemenea, cei doi coeficient ¸i C
0
¸si C
1
pot
fi determinat ¸i dac˘a se prescriu condit ¸ii de tip Cauchy pentru x, x

ˆın t = 0.
Exemplul 2. S˘ a se rezolve problema Cauchy
(1.22)

(4 −t
2
)x

−2tx

+ 12x = 0
x(1) = −7, x

(1) = 3.
Vom folosi metoda seriilor de puteri ¸si vom lua, ˆın relat ¸ia (1.20), t
0
= 1, deci
x(t) =


n=0
C
n
(t −1)
n
. De asemenea, dezvolt˘am ¸si coeficient ¸ii ecuat ¸iei (1.22) ˆın
serie de puteri ˆın jurul lui t
0
= 1. Avem:
4 −t
2
= 3 −2(t −1) −(t −1)
2
−2t = −2 −2(t −1)
12 = 12
¸si ecuat ¸ia (1.22) devine


n=0
(12 −n −n
2
)C
n
(t −1)
n



n=1
2n
2
C
n
(t −1)
n−1
+
+


n=2
(3n
2
−3n)C
n
(t −1)
n−2
= 0
care mai poate fi scris˘a sub forma


n=0
[3(n + 1)(n + 2)C
n+2
−2(n + 1)
2
C
n+1
−(n −3)(n + 4)C
n
](t −1)
n
= 0
¸si conduce la relat ¸ia de recurent ¸˘a
(1.23) C
n+2
=
2(n + 1)
2
C
n+1
+ (n −3)(n + 4)C
n
3(n + 1)(n + 2)
n = 0, 1, 2, ...
Din condit ¸iile Cauchy asupra lui x, x

ˆın t
0
= 1 obt ¸inem C
0
= −7, C
1
= 3
¸si folosind (1.23) rezult˘ a C
2
= 15, C
3
= 5, C
n
= 0 (n = 4, 5, ...) iar solut ¸ia
x(t) = −12t + 5t
2
.
Dac˘a coeficient ¸ii ecuat ¸iei nu sunt polinoame ˆın t, atunci ace¸stia se dezvolt˘a
ˆın serie Taylor ¸si se procedeaz˘a ˆın continuare ca ˆın Exemplul 1. Ilustr˘ am acest
lucru ˆın:
16 Capitol introductiv
Exemplul 3. S˘ a se rezolve ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
(1.24) x

+ (sin t)x = e
t
2
Dezvolt˘am sin t ¸si e
t
2
ˆın serie Taylor ˆın jurul lui t = 0 ¸si c˘aut˘ am o solut ¸ie sub
forma
x(t) =


n=0
C
n
t
n
Obt ¸inem:
sin t =


n=0
(−1)
n
t
2n+1
(2n + 1)!
,
e
t
2
=


n=0
t
2n
n!
apoi, ˆınlocuind ˆın ecuat ¸ia (1.24), obt ¸inem (identificˆ and coeficient ¸ii)
(1.25) x = C
0

1 −
1
6
t
3
+
1
120
t
5
+· · ·

+C
1

t −
t
4
12
+· · ·

+
1
2
t
2
+
1
12
t
4
+· · ·
,
adic˘ a
x = C
0
x
1
(t) + C
1
x
2
(t) + x
3
(t)
unde x
3
este o solut ¸ie particular˘ a. Se arat˘ a c˘a seriile ce apar ˆın (1.25) sunt
convergente pentru orice t.
Observat ¸ie. Cele mai multe ecuat ¸ii diferent ¸iale nu se pot rezolva prin cuadra-
turi.
ˆ
In sect ¸iunile anterioare am prezentat cˆ ateva tipuri de ecuat ¸ii care pot
fi rezolvate prin una din metodele standard. Dar o ecuat ¸ie poate s˘a aib˘ a o
form˘ a diferit˘ a de cele prezentate anterior, ˆıns˘ a, ˆın anumite situat ¸ii, printr-o
schimbare de variabile inspirat˘ a, aceast˘a diferent ¸˘a s˘a dispar˘ a. Preciz˘am c˘a
nu exist˘ a o regul˘ a (sau algoritm) de determinare a unor astfel de substitut ¸ii.
Totul t ¸ine de ˆındemˆ anarea ¸si experient ¸a rezolvitorului.
1.2 Inegalitatea lui Gronwall
Rezultatul pe care ˆıl prezent˘ amˆın aceast˘a sect ¸iune este folosit ˆın mod frecvent
la demonstrarea m˘arginirii solut ¸iilor unor ecuat ¸ii diferent ¸iale. Presupunem c˘ a
x, f, g sunt funct ¸ii continue pe intervalul [a, b] ⊂ IR ¸si, ˆın plus, g(t) ≥ 0 pentru
orice t ∈ [a, b].
Lema 2.1. (Gronwall) Dac˘ a
(2.1) x(t) ≤ f(t) +

t
a
g(s)x(s)ds, t ∈ [a, b]
Modelarea matematic˘a 17
atunci
(2.2) x(t) ≤ f(t) +

t
a
f(s)g(s) exp

t
s
g(τ)dτ

ds, ∀t ∈ [a, b],
unde exp(a)=e
a
, ∀a ∈ IR.
Demonstrat ¸ie. Facem notat ¸ia y(t) =

t
a
g(s)x(s)ds.
Deoarece funct ¸iile g ¸si x sunt continue, rezult˘ a c˘a funct ¸ia y este derivabil˘ a
¸si y

(t) = g(t)x(t), care ˆımpreun˘ a cu (2.1) implic˘ a
y

(t) ≤ g(t)f(t) + g(t)y(t).
ˆ
Inmult ¸ind ultima inegalitate cu exp



t
a
g(s)ds

, rezult˘ a
(2.3)
d
dt

y(t) exp



t
a
g(s)ds

≤ f(t)g(t) exp



t
a
g(s)ds

, t ∈ [a, b].
Integrˆ and inegalitatea (2.3) pe intervalul [a, t] ¸si t ¸inˆ and cont de (2.1) se obt ¸ine
(2.2).
Un caz particular interesant ce rezult˘ a din Lema 2.1 corespunde situat ¸iei
cˆand f = constant.
Corolarul 2.1. Dac˘ a x satisface inegalitatea (2.1) cu f = M = constant,
atunci are loc
(2.4) x(t) ≤ M exp

t
a
g(s)ds

, t ∈ [a, b].
Demonstrat ¸ie. Inegalitatea (2.4) se obt ¸ine imediat din (2.2), ˆınlocuind f cu
M ¸si integrˆ and prin p˘ art ¸i al doilea termen din membrul drept.
1.3 Modelarea matematic˘a
Procesul reprezent˘arii problemelor (fenomenelor) lumii reale ˆın limbajul mate-
maticii este cunoscut sub numele de modelare matematic˘ a. Primul pas ˆın acest
proces este transcrierea matematic˘a a limbajului folosit pentru descrierea pro-
blemei. De obicei, pentru ca modelul matematic s˘a fie suplu, acceptabil din
punct de vedere al rezolv˘ arii (chiar cu ajutorul tehnicii de calcul) se renunt ¸˘a
la o parte din variabilele ce descriu problema init ¸ial˘ a.
ˆ
In acest fel, se obt ¸ine o
structur˘ a logic˘a ideal˘ a ce ascunde ˆın ea o problem˘ a concret˘a.
ˆ
In cazul nostru,
aceast˘a structur˘ a const˘a ˆın una sau mai multe ecuat ¸ii diferent ¸iale.
18 Capitol introductiv
Oscilatorul armonic
Fie ecuat ¸ia
(3.1) mx

+ kx = 0.
Aceast˘a ecuat ¸ie reprezint˘a modelul matematic al fenomenului fizic dat de
mi¸scarea unui punct material de mas˘a m suspendat de un resort elastic.
Presupunem c˘ a resortul are lungimea . Dac˘a de resort suspend˘am un
corp de mas˘a m, acesta va avea o elongat ¸ie ∆ datorat˘ a fort ¸ei elastice dat˘a de
ecuat ¸ia mg = k∆ (greutatea corpului este anulat˘ a ˆın efect de o fort ¸˘a elastic˘a
static˘a

F
eo
= −k∆

), k(> 0) fiind constanta elastic˘ a a resortului.
Fig. 3.1.
Putem considera ca origine de m˘asur˘ a a elongat ¸iei x punctul O din Figura
3.1.b. Scot ¸ˆand sistemul din pozit ¸ia de echilibru, singura fort ¸˘a necompensat˘a
r˘ amˆane fort ¸a elastic˘a F
e
= −kx. Aplicˆ and principiul II al dinamicii obt ¸inem
ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a a mi¸sc˘arii ma = mx

= −kx, adic˘ a (3.1).
ˆ
Intr-un model
mai realist ˆın care t ¸inem cont ¸si de fort ¸ele disipative (datorate vˆ ascozit˘at ¸ii),
ecuat ¸ia principiului II al dinamicii se va scrie:
mx

+ αx

+ kx = 0.
Dac˘a, ˆın plus, asupra sistemului act ¸ioneaz˘a ¸si o fort ¸˘a exterioar˘ a (F(t)),
ecuat ¸ia devine
(3.2) mx

+ αx

+ kx = F(t).
Modelarea matematic˘a 19
Spunem c˘ a sistemul are oscilat ¸ii libere dac˘a F ≡ 0, ˆın caz contrar el are
oscilat ¸ii fort ¸ate.
Circuitul RLC
S˘ a consider˘am circuitul din Figura 3.2 cunoscut ¸si sub numele de circuit RLC–
serie. El este format dintr-un generator care, furnizˆ and o tensiune de V (t)
volt ¸i, este conectat ˆın serie cu un rezistor de R-ohmi, un inductor de L henry
¸si un condensator de C farazi.
Fig. 3.2
Cˆand comutatorul este ˆınchis, prin circuit trece un curent de intensitate
I = I(t) amperi.
Vrem s˘a calcul˘ am valoarea lui I ca funct ¸ie de timp ¸si sarcina Q = Q(t)
(coulombi) ˆın condensator la orice moment t. Prin definit ¸ie
(3.3) I =
dQ
dt
,
astfel c˘a este suficient s˘a calcul˘am doar Q.
Dup˘ a cum se ¸stie din fizic˘ a, curentul I produce o c˘ adere de tensiune la
bornele rezistorului egal˘ a cu RI, o c˘adere de tensiune ˆın inductor egal˘ a cu
L(dI/dt) ¸si o c˘adere de tensiune ˆın condensator egal˘ a cu (1/C)Q. Legea a
II-a a lui Kirchhoff afirm˘ a c˘a tensiunea la bornele sursei este egal˘a cu suma
c˘aderilor de tensiune pe circuit. Aplicˆ and aceast˘a lege circuitului din Fig. 3.2
(cu comutatorul ˆınchis), obt ¸inem:
(3.4) L
dI
dt
+RI +
1
C
Q = V (t).
20 Capitol introductiv
Din (3.3) ¸si (3.4) rezult˘ a
(3.5) L
d
2
Q
dt
2
+R
dQ
dt
+
1
C
Q = V (t).
Aceasta este o ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a de ordinul doi neomogen˘ a. Pentru a g˘ asi
sarcina Q(t) ˆın condensator, trebuie s˘ a determin˘ am solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei
(3.5), solut ¸ie care depinde de dou˘ a constante arbitrare. Pentru a determina
aceste constante se impun condit ¸iile init ¸iale Q(0) = Q
0
¸si Q

(0) = I(0) = 0.
Condit ¸ia a doua asupra lui Q

este natural˘a deoarece la momentul t = 0 nu
este curent ˆın circuit. Pentru a determina I(t), putem folosi relat ¸ia (3.3) sau
ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
L
d
2
I
dt
2
+R
dI
dt
+
1
C
I =
dV (t)
dt
,
care se obt ¸ine din (3.3) prin diferent ¸iere.
Observat ¸ie. Este u¸sor de observat faptul c˘ a, de¸si modeleaz˘a fenomene diferite,
din punct de vedere matematic ecuat ¸iile (3.2) ¸si (3.5) reprezint˘ a acela¸si lu-
cru. Analogia dintre sistemele mecanice ¸si electrice (analizate) este pus˘a ˆın
evident ¸˘a ˆın tabelul urm˘ ator.
Tabelul 1
Sisteme mecanice Sisteme electrice
Masa m Inductant ¸a L
Constanta de frecare α Rezistent ¸a R
Modulul de elasticitate k Inversa capacit˘ at ¸ii 1/C
Deplasarea x Sarcina condensatorului Q
Fort ¸a exterioar˘a F(t) Tensiunea electromotoare V (t)
Viteza x

Intensitatea I
Ecuat ¸ia van der Pol
S˘ a consider˘ am un circuit de tip RLC undeˆın locul rezistorului se pune un semi-
conductor. Diferent ¸a dintre rezistor ¸si semiconductor este aceea c˘a rezistorul
disipeaz˘ a energia la toate nivelele, pe cˆand semiconductorul pompeaz˘ a energia
ˆın circuit la nivele de jos ¸si absoarbe energia la nivele ˆınalte. Presupunem c˘ a
pe semiconductor are loc o c˘ adere de tensiune dat˘ a de
V
S
= I(I
2
−a)
Modelarea matematic˘a 21
unde I este intensitatea curentului iar a, o constant˘ a pozitiv˘ a.
ˆ
In plus c˘ aderile
de tensiune pe inductor ¸si condensator sunt date de: V
L
= L
dI
dt
,
respectiv
dV
C
dt
=
I
C
·
Din legile lui Kirchhoff rezult˘ a
V
L
+ V
C
+ V
S
= 0
care implic˘a
dI
dt
=
V
L
L
= −
V
S
+ V
C
L
=
−I
3
+ aI − V
C
L
de unde rezult˘ a sistemul
(3.6)







I

=
a
L
I −
V
C
L

I
3
L
V

C
=
I
C
·
Pentru simplificarea sistemului (1) se fac substitut ¸iile
I = αx, V
C
= βy, t = γs,
unde α, β, γ sunt ale¸si astfel ˆıncˆ at:
(∗) αγ = βC ¸si α
2
γ = L.
Revenind la sistemul (3.6) avem
αx
C
=
I
C
=
dV
C
dt
=
d(βy)
ds
ds
dt
=
β
γ
dy
ds
,
¸si
α
γ
dx
ds
=
d(αx)
ds
ds
dt
=
dI
dt
=
a
L
I −
V
C
L

I
3
L
=

L
x −
β
L
y −
α
3
L
x
3
¸si, avˆ and ˆın vedere condit ¸iile (∗), sistemul (3.6) devine







dx
ds
= µx − y − x
3
dy
ds
= x
unde µ =

L
,
sistem care este echivalent cu ecuat ¸ia
y

+ y = µ(1 − y
2
)y

cunoscut˘ a ¸si sub numele de ecuat ¸ia van der Pol (B. van der Pol, 1889–1959).
22 Capitol introductiv
Traiectorii ortogonale
Consider˘ am familia uniparametric˘ a de curbe dat˘ a prin
(3.7) F(x, y) = c.
Diferent ¸iind relat ¸ia (3.7) obt ¸inem
F
x
dx + F
y
dy = 0
unde F
x
¸si F
y
sunt derivatele part ¸iale ale lui F ˆın raport cu x ¸si y. Rezult˘a c˘a
panta fiec˘ arei curbe a familiei (3.7) este
dy
dx
= −
F
x
F
y
·
Vrem s˘a determin˘am o alt˘ a familie de curbe care s˘a aib˘ a proprietatea:
fiecare curb˘ a a noii familii taie fiecare curb˘ a a familiei (3.7) ˆıntr-un punct ˆın
care tangentele la cele dou˘ a curbe sunt perpendiculare. Se spune c˘ a traiectori-
ile celor dou˘ a familii sunt ortogonale. Evident, panta traiectoriei ortogonale
unei curbe din (3.7) este dat˘ a de
dy
dx
=
F
y
F
x
·
Enumer˘ am cˆateva fenomene fizice ˆın care apar traiectoriile ortogonale:
1.
ˆ
In cˆampul electrostatic, liniile de fort ¸˘a sunt ortogonale fat ¸˘a de liniile de
potent ¸ial constant.
2.
ˆ
In curgerea bidimensional˘ a a fluidelor, liniile de curgere a fluidului, nu-
mite linii de curent, sunt ortogonale fat ¸˘a de liniile de potent ¸ial constant
ale fluidului.
3.
ˆ
In meteorologie traiectoriile ortogonale ale izobarelor (curbe ce leag˘ a
suprafet ¸e de presiune barometrica egal˘a) dau direct ¸ia vˆantului: de la
zone cu presiune atmosferic˘a mare c˘atre cele cu presiune atmosferic˘a
mic˘a.
Modelul prad˘a–r˘apitor
Acest model este din dinamica populat ¸iei. Fie x(t) ¸si y(t) num˘ arul de indivizi
la momentul t apart ¸inˆ and la dou˘ a specii, prima specie reprezentˆand prada
iar a doua r˘ apitorii. Cele dou˘ a specii conviet ¸uiesc ˆın aceea¸si zon˘a. Pentru a
construi modelul de interact ¸iune dintre specii, facem urm˘ atoarele ipoteze:
Modelarea matematic˘a 23
(i)
ˆ
In absent ¸a r˘apitorilor, prada are o rat˘ a de cre¸stere proport ¸ional˘ a cu nu-
m˘arul de indivizi, adic˘ a: dac˘ a y(t) = 0, x

(t) = ax(t), a > 0 fiind o
constant˘a.
(ii)
ˆ
In absent ¸a pr˘ azii, r˘ apitorii mor, au o rat˘ a de cre¸stere proport ¸ional˘ a cu
num˘ arul lor de indivizi, deci y

(t) = −cy(t), (c > 0), dac˘ a x(t) = 0.
(iii) Num˘ arul de ˆıntˆ alniri (ciocniri) dintre membrii celor dou˘ a specii este
proport ¸ional cu produsul x(t) · y(t). Aceste ˆıntˆ alniri au ca efect des-
cre¸sterea num˘arului indivizilor prad˘ a ¸si influent ¸eaz˘a pozitiv cre¸sterea
num˘ arului pr˘ ad˘ atorilor.
Aceste ipoteze conduc la sistemul de ecuat ¸ii diferent ¸iale
(3.8)

x

= ax − bxy
y

= −cy + dxy,
a, b, c, d fiind constante pozitive.
Sistemul (3.8) mai este cunoscut sub numele de modelul Lotka–Volterra
(A.J. Lotka (1880–1949); V. Volterra (1860–1940)), dup˘ a numele celor care
l-au introdus.
Ment ¸ion˘ am c˘a sistemul (3.8) poate fi folosit pentru modelarea unei clase
largi de probleme.
Dozajul medicamentelor
Este cunoscut din medicin˘a c˘a penicilina ¸si alte medicamente administrate
unui pacient dispar din corpul acestuia dup˘ a urm˘ atoarea regul˘ a: dac˘ a x(t)
este cantitatea de medicament din corpul uman la momentul t, atunci viteza
de eliminare x

(t) a medicamentului este proport ¸ional˘ a cu x(t), adic˘ a x satis-
face ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
(3.9) x

(t) = −kx(t)
unde k > 0 este o constant˘a ce depinde de medicament ¸si care se determin˘a
experimental.
Din (3.9) rezult˘ a
(3.10) x(t) = x
0
e
−kt
unde x
0
= x(0) este doza administrat˘a init ¸ial.
24 Capitol introductiv
Din (3.10) se remarc˘a faptul c˘ a x(t) →0 pentru t →∞.
ˆ
In practica medi-
cal˘a ˆıns˘ a este necesar s˘a se ment ¸in˘ a o anumit˘ a concentrat ¸ie a medicamentului
ˆın corp pentru un timp mai ˆındelungat.
ˆ
In acest scop se administreaz˘a pacientului o doz˘ a init ¸ial˘ a x
0
, apoi la inter-
vale egale de timp, τ ore de exemplu, se d˘a pacientului doza D de medicament.
Dac˘a dorim ca ˆın corpul pacientului la momentele τ, 2τ, 3τ... s˘a se ment ¸in˘ a
doza init ¸ial˘ a x
0
, atunci doza D care trebuie administrat˘ a ˆın aceste momente
se determin˘a din relat ¸ia
x
0
e
−kτ
+ D = x
0
de unde
D = x
0
(1 −e
−kτ
).
Ment ¸ion˘ am faptul c˘ a ecuat ¸ia (3.9) caracterizeaz˘a ¸si dezintegrarea radio-
activ˘ a.
Poluarea apei ˆın lacuri
Una din problemele create de industrializare este poluarea apei. Un rˆ au poluat
se va cur˘at ¸a relativ repedeˆıntrucˆ at curgerea apei atrage dup˘ a sine ¸si poluantul.
Purificara unui lac (de substant ¸e poluante), f˘ acut˘a doar prin scurgerea apei,
este un proces dificil necesitˆand o cantitate foarte mare de ap˘ a. Prezent˘ am un
model de purificare ˆın timp a lacului, bazat pe scurgerea gradual˘ a a apei din
lac. Pentru aceasta se fac urm˘atoarele ipoteze:
1. Ratele intr˘ arii (afluxului) ¸si scurgerea apei din lac au valori aproximativ
egale (le not˘am cu r).
2. Poluant ¸ii sunt uniform distribuit ¸i ˆın ap˘ a. Concentrat ¸iile lor ˆın apa ce
intr˘ a ˆın lac ¸si apa din lac sunt notate cu C
1
respectiv C
2
.
3. Poluant ¸ii sunt ˆındep˘ artat ¸i numai prin procesul natural al scurgerii apei
din lac.
Din ipotezele de mai sus, ˆın intervalul de timp ∆t, modificarea polu˘ arii
totale = cantitea de poluant intrat˘ a ˆın lac – cantitatea de poluant scurs˘ a din
lac, care conduce la expresia analitic˘ a
(3.11) ∆(V C
2
) = (C
1
−C
2
)r∆t + θ(∆t)
unde V este volumul lacului, iar θ(∆t)/∆t −→0 pentru ∆t −→0. Cantitatea
θ(∆t) se introduce deoarece atˆ at C
1
cˆat ¸si C
2
depind de t.
Probleme 25
Din relat ¸ia (3.11) se obt ¸ine ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
C

2
=
(C
1
− C
2
)
V
r
care este o ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a de ordinul ˆıntˆ ai ¸si are solut ¸ia
(3.12) C
2
(t) = e
−t/T

C
2
(0) + T
−1

t
0
C
1
(s)e
s/T
ds

unde T =
V
r
este num˘arul de ani necesari pentru golirea lacului dac˘ a rata
scurgerii se ment ¸ine constant˘ a iar sursa de poluare este stopat˘a.
Dac˘a sursa de poluare este stopat˘a (C
1
= 0) din (3.12), rezult˘ a c˘a timpul
necesar pentru a reduce concentrat ¸ia poluantului din lac la jum˘ atate este
t = T ln 2.
1.4 Probleme
S˘ a se rezolve urm˘atoarele ecuat ¸ii diferent ¸iale:
Ecuat ¸ii cu variabile separabile:
1. x

= (x − 1)(x − 2); 2. x

= t
3
x
−2
; 3. x

= tx
2
+ x
2
+ tx + x;
4.





x

=
t(x
2
+ 3)
(1 + t
2
)x
x(1) = 3;
5.





x

=
t(x
2
− 1)
(t − 1)x
3
x(2) = 1.
Ecuat ¸ii omogene:
6. x

=
t − x
t + x
; 7. x

=
x
t
+ sin
x − t
t
; 8. x

=
4tx − x
2
2t
2
; 9.





x

=
xt
x
2
+ t
2
x(0) = 1.
Ecuat ¸ii liniare:
10. (t
2
+ 1)x

= 2tx + t
3
; 11. x

= −2x + e
−2t
;
12. t
2
x

= −tx + t + 1; 13. x

= x
cos t
sin t
+ 2t sin t;
14. x

= 2tx − t
3
+ t; 15. x

= −
t
t
2
+ 1
x +
1
t(1 + t
2
)
·
26 Capitol introductiv
Ecuat ¸ii de tip Bernoulli:
16.
_
_
_
x

=
t
2(t
2
−1)
x +
t
2x
x(0) = 1
; 17. tx

= 4x + t
2

x.
Ecuat ¸ii cu diferent ¸iale exacte:
18. (2t + x
2
)dt + (2tx + 1)dx = 0;
19. (xcos t + x
2
)dt + (sin t + 2tx + 3x
2
)dx = 0;
20. x
2
(t −x)dt + (1 −tx
2
)dx = 0; 21. (t
2
+ 2t + x
2
)dt + 2xdx = 0;
22. 2txdt + (t
2
+ cos x)dx = 0; 23.
_
(tx
2
−1)dt + (t
2
x −1)dx = 0
x(0) = 1.
Ecuat ¸ii rezolvabile cu ajutorul factorului integrant:
24. xdx + t dt + (t
2
+ x
2
)t
2
dt = 0
_
ρ = e
2t
3
/3
_
;
25. xdt + (3t −x + 3)dx = 0 (ρ = x
2
).
Ecuat ¸ii Lagrange:
26. tx

2
+ (x −3t)x

+ x = 0; 27. x = 2tx

−x

3
.
Ecuat ¸ii care admit reducerea ordinului:
28. x

−tx

+ x

3
= 0; 29. x

2
−2tx

−x

= 0; 30. xx

−x

2
= 0.
Ecuat ¸ii rezolvabile prin serii de puteri:
31.
_
_
_
xx

+ 3x

2
= 0
x(0) = 1, x

(0) =
1
4
_
x =


n=0
C
n
t
n
_
32.
_
x

+ x = 0
x(10) = 0, x

(10) = 1
_
x =


n=0
C
n
(t −10)
n
_
Ecuat ¸ii rezolvabile cu ajutorul substitut ¸iilor:
33. x

=

x + sin t −cos t
_
u =

x + sin t
_
;
34. (t
2
x
3
+ 2tx
2
+ x)dt + (t
3
x
2
−2t
2
x + t)dx = 0 (u = tx);
35. xx

= (x

)
2
+ 6tx
2
_
x = e
_
y dt
_
;
36. 9xx

−18tx + 4t
3
= 0
_
x = y
2
_
;
37. t
2
x

+ tx

+
_
t
2

1
4
_
x = 0
_
y =

t x
_
;
38. x(1 + 2tx)dt + t(1 −2tx)dx = 0 (u = 2tx).
Capitolul 2
Problema Cauchy
pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale
ˆ
In capitolul I am prezentat diferite tipuri de ecuat ¸ii diferent ¸iale pentru care
¸stim s˘a g˘ asim solut ¸ia general˘a. A¸sa cum am mai ment ¸ionat, aceast˘a clas˘a de
ecuat ¸ii (rezolvabile prin cuadraturi) este foarte restrˆ ans˘ a, motiv pentru care
ˆınc˘ a de pe vremea lui Euler s-a pus problema aproxim˘ arii solut ¸iei unei ecuat ¸ii.
Dar pentru a aproxima o solut ¸ie trebuie, ˆın primul rˆ and, s˘ a ¸stim c˘a aceasta
exist˘a. Iar dac˘ a existent ¸a este asigurat˘a, ne intereseaz˘a unicitatea solut ¸iei
pentru c˘ a, ˆın caz contrar, nu ¸stim ce solut ¸ie aproxim˘ am. Teorema Cauchy–
Picard ofer˘ a un rezultat de existent ¸˘a ¸si unicitate ¸si ˆın acela¸si timp o metod˘a
de construct ¸ie aproximativ˘ a a solut ¸iei unei ecuat ¸ii diferent ¸iale.
2.1 Formularea problemei – metoda lui Picard
Fie problema Cauchy (cu valori init ¸iale)
(1.1)

x

= f(t, x)
x(t
0
) = x
0
unde f : IR
2
→ IR este o funct ¸ie continu˘ a. Deoarece f este continu˘a se observ˘a
c˘a relat ¸ia (1.1) este echivalent˘a cu
(1.2) x(t) = x
0
+

t
t
0
f(s, x(s))ds.
A¸sadar, a rezolva problema (1.1) este totuna cu a rezolva ecuat ¸ia integral˘ a
(1.2). Presupunem c˘ a x
0
(·) este o funct ¸ie continu˘ a ce reprezint˘a o aproxi-
mant˘ a a solut ¸iei ecuat ¸iei (1.2).
ˆ
Inlocuind x(s) cu x
0
(s), membrul drept al
28 Problema Cauchy pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale
ecuat ¸iei (1.2) define¸ste o nou˘ a funct ¸ie notat˘a
x
1
(t) = x
0
+

t
t
0
f(s, x
0
(s))ds.
Repetˆand procedeul, obt ¸inem funct ¸ia
x
2
(t) = x
0
+

t
t
0
f(s, x
1
(s))ds,
¸si, ˆın mod recurent, obt ¸inem ¸sirul de funct ¸ii x
3
(t), x
4
(t), ... ˆın care termenul de
pe locul ”n” este dat de formula
(1.3) x
n
(t) = x
0
+

t
t
0
f(s, x
n−1
(s))ds.
ˆ
In practic˘ a, se ia x
0
(·) = x
0
. S¸irul (x
n
) se nume¸ste ¸sirul aproximat ¸iilor suc-
cesive, iar metoda prin care se construie¸ste ¸sirul (x
n
) se nume¸ste metoda
aproximat ¸iilor succesive a lui Picard (E.Picard, 1856–1941).
Utilizˆ and aceast˘a construct ¸ie, vom demonstra c˘a, ˆın anumite condit ¸ii im-
puse funct ¸iei f, problema (1.1) are o solut ¸ie local˘a unic˘ a. Teorema pe care o
demonstr˘am ˆın continuare este cunoscut˘ a sub numele de teorema de existent ¸˘ a
¸si unicitate a lui Cauchy–Picard.
Teorema 1.1. Fie f : D ⊂ IR
2
−→ IR unde
(1.4) D = {(t, x) ∈ IR
2
; |t − t
0
| ≤ a, |x − x
0
| ≤ b; a, b ∈ IR
+
}.
Dac˘ a
(i) funct ¸ia f este continu˘ a pe D;
(ii) funct ¸ia f este lipschitzian˘ a ˆın a doua variabil˘ a pe D, adic˘ a exist˘ a
L > 0 astfel ˆıncˆ at
(1.5) |f(t, x) − f(t, y)| ≤ L|x − y|, ∀(t, x), (t, y) ∈ D,
atunci exist˘ a ¸si este unic˘ a o solut ¸ie x = x(t) a problemei Cauchy (1.1), definit˘ a
pe intervalul I = {t; |t − t
0
| ≤ δ} unde
(1.6) δ = min

a,
b
M

; M = max{|f(t, x)|; (t, x) ∈ D}.
Formularea problemei – metoda lui Picard 29
Demonstrat ¸ie. Existent ¸a. A¸sa cum am ment ¸ionat, problema (1.1) este
echivalent˘ a cu ecuat ¸ia integral˘ a (1.2), deci este suficient s˘a ar˘ at˘am c˘a aceasta
din urm˘ a are o solut ¸ie unic˘ a pe intervalul I.
ˆ
In acest scop construim ¸sirul
aproximat ¸iilor succesive (cu x
0
(·) = x
0
) pentru solut ¸ia ecuat ¸iei (1.2).
ˆ
In
leg˘atur˘ a cu acest ¸sir vom demonstra urm˘ atoarele:
(j) ¸sirul (x
n
) este bine definit;
(jj) ¸sirul (x
n
) este uniform convergent;
(jjj) limita ¸sirului (x
n
) este solut ¸ia ecuat ¸iei (1.2).
ˆ
In continuare ne vom m˘ argini la intervalul [t
0
, t
0
+δ] deoarece pe intervalul
simetric [t
0
− δ, t
0
] lucrurile se petrec ˆın mod analog.
Pentru a demonstra (j) este suficient s˘ a ar˘ at˘am c˘a funct ¸iile continue x
0
,
x
1
(t), x
2
(t), ..., pentru t
0
≤ t ≤ t
0
+ δ au graficele ˆın D, domeniul ˆın care este
definit˘ a funct ¸ia f, deci c˘a pentru n = 0, 1, 2, ... este verificat˘a inegalitatea:
(1.7) |x
n
(t) − x
0
| ≤ b, pentru t
0
≤ t ≤ t
0
+ δ.
Inegalitatea (1.7) este evident˘a pentru n = 0; presupunˆ and-o valabil˘ a pentru
n − 1, din (1.3) rezult˘ a:
|x
n
(t) − x
0
| ≤

t
t
0
|f(s, x
n−1
(s)|ds ≤ M(t − t
0
) ≤ Mδ ≤ b,
¸si, conform principiului induct ¸iei matematice, inegalitatea (1.7) este valabil˘a
pentru orice n natural.
Pentru a demonstra (jj), consider˘ am seria de funct ¸ii
(1.8) x
0
+


k=0
(x
k+1
(t) − x
k
(t))
pentru care suma primilor (n + 1) termeni este:
x
0
+
n−1

k=0
(x
k+1
(t) − x
k
(t)) = x
n
(t).
Folosind criteriul lui Weierstrass, vom demonstra c˘ a seria (1.8) este abso-
lut ¸si uniform convergent˘ a pe [t
0
, t
0
+ δ], c˘ autˆ and o serie majorant˘ a pentru
modulele termenilor s˘ ai. Din (1.3) ¸si (1.6) rezult˘ a c˘a pentru n = 1 avem:
(1.9) |x
1
(t) − x
0
| ≤ M(t − t
0
).
30 Problema Cauchy pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale
Apoi, din (1.3), (1.5), (1.6), rezult˘ a (t ¸inˆ and cont de (1.9)):
|x
2
(t) − x
1
(t)| =





t
t
0
(f(s, x
1
(s)) − f(s, x
0
(s)))ds





≤ L

t
t
0
|x
1
(s) − x
0
(s)|ds ≤ L

t
t
0
M(s − t
0
)ds = LM
(t − t
0
)
2
2
·
Rat ¸ionˆ and inductiv, obt ¸inem inegalitatea
|x
k+1
(t) − x
k
(t)| ≤ ML
k
(t − t
0
)
k+1
(k + 1)!

M
L
·
(Lδ)
k+1
(k + 1)!
de unde rezult˘ a c˘a pentru t
0
≤ t ≤ t
0
+ δ, modulul termenului general al
seriei (1.8) este majorat de termenul general al seriei convergente cu termeni
pozitivi:
M
L


k=1
(Lδ)
k
k!
=
M
L
(e

− 1).
ˆ
In consecint ¸˘a, seria (1.8) este absolut ¸si uniform convergent˘ a ˆın [t
0
, t
0
+δ]. Fie
x(·) limita uniform˘ a a ¸sirului x
n
(·); dac˘ a se trece la limit˘a ˆın ambii membri ai
relat ¸iei (1.3) ¸si se utilizeaz˘a propriet˘ at ¸ile funct ¸iilor continue ¸si ale integralelor
de ¸siruri de funct ¸ii uniform convergente, rezult˘ a c˘a pe intervalul [t
0
, t
0
+ δ]
avem:
x(t) = x
0
+ lim
n→∞

t
t
0
f(s, x
n−1
(s))ds = x
0
+

t
t
0
f(s, x(s))ds
deci funct ¸ia x(·) astfel construit˘ a verific˘ a ecuat ¸ia integral˘ a (1.2) ˆın intervalul
[t
0
, t
0
+ δ], ceea ce demonstreaz˘a afirmat ¸ia (jjj).
Unicitatea. Presupunem prin reducere la absurd c˘ a ecuat ¸ia (1.2) mai are
o solut ¸ie y(·), deci
(1.10) y(t) = x
0
+

t
t
0
f(s, y(s))ds.
Sc˘azˆand (1.10) din (1.3) ¸si folosind condit ¸ia Lipschitz (1.5), obt ¸inem
(1.11) |x
n
(t) − y(t)| ≤ L

t
t
0
|x
n−1
(s) − y(s)|ds.
Dar, din (1.10) rezult˘ a
(1.12) |y(t) − x
0
| ≤ M(t − t
0
),
Formularea problemei – metoda lui Picard 31
iar din (1.11), t ¸inˆ and cont de (1.12), obt ¸inem prin recurent ¸˘a
|x
n
(t) −y(t)| ≤ L
n
M
(t −t
0
)
n+1
(n + 1)!

M
L
(Lδ)
n+1
(n + 1)!
,
de unde rezult˘ a c˘a x
n
(t) −→ y(t) pentru n → ∞, ∀t ∈ [t
0
− δ, t
0
+ δ] deci
y(·) = x(·), ceea ce ˆıncheie demonstrat ¸ia unicit˘ at ¸ii ¸si a teoremei.
Observat ¸ii.
1. Dac˘a funct ¸ia f admite derivat˘ a part ¸ial˘ a
∂f
∂x
m˘arginit˘ a ˆın D, atunci con-
dit ¸ia Lipschitz (1.5) este verificat˘a ˆın D.
2. Unicitatea solut ¸iei se poate demonstra u¸sor plecˆand de la relat ¸iile (1.3) ¸si
(1.10) ¸si aplicˆand inegalitatea lui Gronwall modulului diferent ¸ei
(x(t) −y(t)).
3. Se poate demonstra c˘ a problema Cauchy (1.1) admite solut ¸ie chiar atunci
cˆand f satisface doar condit ¸ia (i), deci nu este lipschitzian˘ a ˆın a doua
variabil˘ a.
ˆ
In acest caz ˆıns˘ a, nu mai este asigurat˘ a unicitatea dup˘ a cum se poate observa
din exemplul urm˘ ator:
Problema Cauchy

x

=
5

x,
x(0) = 0
are pentru t ≥ 0 o infinitate de solut ¸ii
ϕ(t) =







0, 0 ≤ t ≤ C

4
5
(t −C)
5
4
, t ≥ C
C > 0 fiind un num˘ ar arbitrar.
Evaluarea erorii ˆın aproximarea solut ¸iei prin metoda lui Picard
rezult˘ a din
|x(t) −x
n
(t)| ≤


k=n
|x
k+1
(t) −x
k
(t)| ≤
M
L


k=n+1
L
k
(t −t
0
)
k
k!


M
L


k=n+1
(Lδ)
k
k!
<
M
L
(Lδ)
n+1
(n + 1)!


k=0
(Lδ)
k
k!
32 Problema Cauchy pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale
de unde
(1.13) |x(t) −x
n
(t)| ≤
M
L
(Lδ)
n+1
(n + 1)!
e

.
Evaluarea (1.13) este valabil˘ a pentru orice t ∈I. Deoarece
(Lδ)
n+1
(n + 1)!
→0 pentru
n −→ ∞, inegalitatea (1.13) ne d˘ a o informat ¸ie asupra num˘ arului de iterat ¸ii
necesare pentru obt ¸inerea solut ¸iei pe ˆıntreg intervalul I, cu o aproximat ¸ie
dorit˘ a.
Exemplu numeric. Se consider˘ a ecuat ¸ia de tip Riccati
x

= x
2
+ tx + t
unde |t| ≤
1
2
,
|x| ≤ 1 ¸si se cere s˘a se aproximeze solut ¸ia care verific˘a condit ¸ia
Cauchy x(0) = 0.
Avem: a =
1
2
,
b = 1, M = 2. Rezult˘a δ = min

1
2
,
1
2

=
1
2
· Apoi ˆın
D =

(t, x); |t| ≤
1
2
,
|x| ≤ 1

avem:
|f(t, x) −f(t, y)| =


x
2
−y
2
+ tx −ty


≤ |x −y||x + y + t| ≤
5
2
|x −y|,
deci L =
5
2
· Inegalitatea (1.13) devine:
|x(t) −x
n
(t)| ≤
4
5

5
4

n+1
(n + 1)!
· e
5
2
·
1
2
,
valabil˘ a pe tot intervalul


1
2
,
1
2

.
De exemplu, pentru n = 3
|x(t) −x
3
(t)| ≤
125
1256
· e
5
4

= 0, 2826.
Rezult˘a c˘a x
3
(·) aproximeaz˘ a solut ¸ia exact˘a, ˆın intervalul


1
2
,
1
2

, cu o eroare
absolut˘ a mai mic˘a decˆat 0, 2827.
Aproximat ¸iile succesive se calculeaz˘a cu formula (1.3), adic˘ a (ˆın cazul
nostru):
x
n+1
(t) =

t
0
(x
2
n
(s) + sx
n
(s) + s)ds, x
0
= 0.
Existent ¸˘a ¸si unicitate pentru sisteme diferent ¸iale 33
Rezult˘a imediat c˘a:
x
1
(t) =
1
2
t
2
; x
2
(t) =
t
5
20
+
t
4
8
+
t
2
2
;
x
3
(t) =
t
11
4400
+
t
10
800
+
t
9
576
+
t8
160
+
t
7
40
+
t
6
48
+
t
5
20
+
t
4
8
+
t
2
2
·
2.2 Teorema de existent ¸˘a ¸si unicitate pentru
sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordinul I
Fie IR
n
spat ¸iul real de dimensiune n, ale c˘arui elemente sunt vectorii n-
dimensionali de forma x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
) scri¸si sub form˘ a de linie sau coloan˘ a.
Componentele x
1
, x
2
, ..., x
n
ale n-uplului (x
1
, x
2
, ..., x
n
) se numesc coordo-
natele vectorului x.
Spat ¸iul IR
n
se organizeaz˘a ca spat ¸iu liniar (sau vectorial) cu operat ¸iile
obi¸snuite de adunare a vectorilor ¸si ˆınmult ¸ire a vectorilor cu scalari.
Se nume¸ste norm˘ a o funct ¸ie real˘a, notat˘ a · , definit˘ a pe IR
n
, care satis-
face condit ¸iile:
(i) x ≥ 0 pentru orice x ∈ IR
n
, iar x = 0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a toate
componentele lui x sunt nule deci x = 0,
(ii) x+y≤x+y, ∀x, y∈IR
n
, numit˘ a inegalitatea triunghiului,
(iii) λx = |λ|x, ∀λ ∈ IR, x ∈ IR
n
.
Orice norm˘ a induce pe IR
n
o topologie, care permite definirea not ¸iunii de
convergent ¸˘a.
Astfel, vom spune c˘a ¸sirul {x
p
}

p=1
converge la x ˆın norma · , dac˘ a
lim
p→∞
x
p
− x = 0. Evident, condit ¸ia necesar˘a ¸si suficient˘a ca {x
p
} s˘a tind˘ a
c˘atre x, este ca toate componentele lui x
p
= (x
p
1
, x
p
2
, ..., x
p
n
) s˘a tind˘ a c˘atre
componentele corespunz˘atoare ale lui x.
Rezult˘a de aici c˘a oricare dou˘ a norme pe IR
n
definesc aceea¸si convergent ¸˘a,
cu alte cuvinte sunt echivalente.
Printre normele cele mai utilizate pe IR
n
sunt:
(2.1) x
e
=

n

i=1
x
2
i

1/2
, x = (x
1
, ..., x
n
) – norma euclidian˘ a
(2.2) x
1
=
n

i=1
|x
i
|, x = (x
1
, ..., x
n
)
34 Problema Cauchy pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale
(2.3) x
2
= max{|x
i
|, i = 1, ..., n}, x = (x
1
, ..., x
n
).
Dac˘a vectorul x depinde de t ¸si componentele sale sunt funct ¸ii derivabile
de t, vom numi derivata lui x vectorul ale c˘arui componente sunt derivatele
componentelor lui x, adic˘ a:
x

=
dx
dt
=

dx
1
dt
,
dx
2
dt
,
· · ·
,
dx
n
dt

·
De asemenea, definim integrala vectorului x prin:

b
a
x(t)dt =


b
a
x
1
(t)dt,

b
a
x
2
(t)dt, ...,

b
a
x
n
(t)dt

.
Este evident c˘a pentru a < b are loc inegalitatea






b
a
x(t)dt







b
a
x(t)dt.
Cu aceste preg˘atiri putem enunt ¸a teorema de existent ¸˘a ¸si unicitate pentru
sisteme diferent ¸iale.
Teorema 2.1. Fie sistemul diferent ¸ial
(2.4) x

i
= f
i
(t, x
1
, ..., x
n
), i = 1, ..., n,
cu condit ¸iile init ¸iale
(2.5) x
i
(t
0
) = x
0
i
, i = 1, ..., n,
unde f
i
sunt funct ¸ii continue de cele (n+1) argumente ale lor ˆın paralelipipedul
(n + 1)–dimensional
D = {(t, x) ∈ IR
n+1
; |t − t
0
| ≤ a, x − x
0
≤ b; a, b ∈ IR
+
}.
Presupunem c˘ a funct ¸ia vectorial˘ a f(t, x) = (f
1
(t, x), ..., f
n
(t, x)) verific˘ a ˆın D
condit ¸ia lui Lipschitz
f(t, x) − f(t, y) ≤ Lx − y, ∀(t, x), (t, y) ∈ D.
ˆ
In aceste condit ¸ii sistemul diferent ¸ial (2.4) cu condit ¸iile init ¸iale (2.5) are o
solut ¸ie unic˘ a pe intervalul I = {t; |t − t
0
| ≤ δ} unde
δ = min

a
,
b
M

; M = max{f(t, x); (t, x) ∈ D}.
Demonstrat ¸ia Teoremei 2.1 urmeaz˘a pas cu pas pe cea a Teoremei 1.1 astfel
c˘a o l˘ as˘am ˆın seama cititorului.
Ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordin superior 35
2.3 Existent ¸a ¸si unicitatea solut ¸iei unei ecuat ¸ii
diferent ¸iale de ordin superior
Consider˘ am ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a de ordinul n, scris˘a sub forma normal˘ a
(3.1) x
(n)
= f(t, x, x

, ..., x
(n−1)
).
Prin solut ¸ie pentru ecuat ¸ia (3.1) pe intervalul I⊂IR ˆınt ¸elegem o funct ¸ie de
clas˘a C
n
pe I, care verific˘ a relat ¸ia (3.1) ˆın orice punct t ∈ I, iar prin problem˘ a
Cauchy asociat˘a ecuat ¸iei (3.1) ˆınt ¸elegem determinarea unei solut ¸ii x care la
un moment dat t = t
0
∈ I verific˘ a condit ¸iile
(3.2) x(t
0
) = x
0
1
, x

(t
0
) = x
0
2
, ..., x
(n−1)
(t
0
) = x
0
n
;
x
0
1
, x
0
2
, ..., x
0
n
fiind fixate.
Prin intermediul transform˘ arii
(3.3) x
1
= x, x
2
= x

, ..., x
n
= x
(n−1)
ecuat ¸ia (3.1) devine echivalent˘ a cu sistemul diferent ¸ial de ordinul 1
(3.4)















x

1
= x
2
x

2
= x
3
.
.
.
x

n−1
= x
n
x

n
= f(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
iar condit ¸iile init ¸iale devin
(3.5) x
i
(t
0
) = x
0
i
, i = 1, 2, ..., n.
ˆ
In acest fel, pentru a rezolva problema Cauchy asociat˘ a ecuat ¸iei (3.1) este
suficient s˘a rezolv˘am problema Cauchy asociat˘a sistemului (3.4).
Presupunem c˘ a f satisface urm˘atoarele condit ¸ii
(i) f este continu˘a pe mult ¸imea D={(t, x
1
, ..., x
n
)∈IR
n+1
; |t −t
0
|≤a,


x
i
−x
0
i


≤ b, i = 1, 2, ..., n; a, b ∈ IR
+
}
(ii) f verific˘ a ˆın D condit ¸ia Lipschitz
|f(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)−f(t, y
1
, y
2
, ..., y
n
)|≤Lmax{|x
i
−y
i
|; i = 1, 2, ..., n}
pentru tot ¸i (t, x
1
, x
2
, ..., x
n
), (t, y
1
, y
2
, ..., y
n
) din D.
36 Problema Cauchy pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale
Teorema care urmeaz˘a este un caz particular al Teoremei 2.1.
Teorema 3.1. Dac˘ a sunt verificate condit ¸iile (i) ¸si (ii), problema Cauchy
(3.1), (3.2) admite o solut ¸ie unic˘ a x=x(t) definit˘ a pe intervalul I={t; |t−t
0
|≤δ}
unde δ = min

a
,
b
M

¸si
M = max{|f(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)|, |x
2
|, ..., |x
n
|; (t, x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ D}.
Exemplul 3.1. S˘ a se rezolve problema Cauchy
t
3
x

+ 3t
2
x

+ tx

−x = 0, x(1) = 0, x

(1) = 0, x

(1) = 1.
Solut ¸ie. Ecuat ¸ia este de tip Euler. F˘ acˆand, pentru t > 0, substitut ¸ia t = e
τ
,
ecuat ¸ia devine
d
3
x

3
−x = 0 care este ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a liniar˘ a cu coeficient ¸i
constant ¸i ¸si are solut ¸ia
x(τ) = C
1
e
τ
+ e
−τ/2

C
2
cos

3
2
τ + C
3
sin

3
2
τ

¸si, revenind la substitut ¸ie, g˘asim solut ¸ia general˘a
x(t) = C
1
t +
1

t

C
2
cos

3
2
ln t

+ C
3
sin

3
2
ln t

, t > 0.
Impunˆ and condit ¸iile init ¸iale, g˘asim C
1
=
1
3
,
C
2
= −
1
3
,
C
3
= −
1

3
¸si deci
solut ¸ia problemei este
x(t) =
1
3
t −
1

3

1
3
cos

3
2
ln t

+
1

3
sin

3
2
ln t

, t > 0.
ˆ
In cazul ˆın care nu sunt ˆındeplinite condit ¸iile teoremei, nu avem unicitate
dup˘ a cum se poate vedea din exemplul urm˘ ator.
Exemplul 3.2. Ecuat ¸ia neliniar˘ a de ordinul al doilea
3(x

)
2
x

+ 24(1 −x) = 0; x(0) = 1, x

(0) = 0,
are cel put ¸in trei solut ¸ii: x(t) = 1, x(t) = 1 −t
2
¸si x(t) = 1 + t
2
.
Prelungibilitatea solut ¸iei 37
2.4 Prelungibilitatea unei solut ¸ii cu condit ¸ii
init ¸iale date
S˘ a consider˘am problema Cauchy
(4.1)

x

= f(t, x)
x(t
0
) = x
0
unde f este o funct ¸ie continu˘ a ˆıntr-un domeniu D⊂IR
2
.
Dac˘a derivata part ¸ial˘ a
∂f
∂x
este continu˘a ˆın D, atunci, a¸sa cum am v˘azut ˆın
Teorema 1.1, problema Cauchy (4.1) admite o solut ¸ie local˘a unic˘ a (deoarece se
poate construi un paralelipiped centrat ˆın (t
0
, x
0
), ˆın care funct ¸ia f satisface
condit ¸ia lui Lipschitz relativ la x).
Uneori, chiar pentru ecuat ¸ii neliniare foarte simple, nu exist˘ a o solut ¸ie pe
ˆıntregul interval de variat ¸ie al variabilei t, inclus ˆın proiect ¸ia pe Ot a lui D.
Spunem c˘ a solut ¸ia x = ϕ(t) a problemei (4.1) definit˘ a pe un interval
I = [a, b] este prelungibil˘ a dac˘a exist˘a o solut ¸ie x = ψ(t) a problemei, definit˘ a
pe un interval J⊃I astfel ˆıncˆ at ϕ ≡ ψ pe I. Prelungibilitatea solut ¸iei x = ϕ(t)
la stˆ anga punctului t = a, respectiv la dreapta punctului t = b, se define¸ste ˆın
mod natural. O solut ¸ie care nu este prelungibil˘ a se nume¸ste saturat˘ a. Din teo-
rema de existent ¸˘a ¸si unicitate local˘ a (cazul lipschitzian) rezult˘ a c˘a intervalul
de definit ¸ie al unei solut ¸ii saturate este deschis.
De exemplu, problema Cauchy

x

= x
2
+ 1
x(0) = 0
are ca solut ¸ie funct ¸ia x = tg t care nu poate fi prelungit˘ a decˆat pˆ an˘ a la inter-
valul deschis


π
2
,
π
2

·
ˆ
In teorema care urmeaz˘a d˘ am un criteriu simplu de prelungibilitate.
Teorema 4.1. Fie problema Cauchy (4.1) unde f este o funct ¸ie continu˘ a
ˆın ambele variabile, lipschitzian˘ a ˆın variabila x ¸si m˘ arginit˘ a ˆın D. Fie (a, b)
intervalul finit pe care s-a definit solut ¸ia x(·) a problemei (4.1).
ˆ
In acest caz
exist˘ a
lim
t→a
t>a
= x(a
+
) ¸si lim
t→b
t<b
= x(b

).
Presupunem c˘ a (b, x(b

)) ∈ D.
ˆ
In acest caz solut ¸ia poate fi prelungit˘ a la
dreapta punctului t = b. Prelungibilitatea la stˆ anga punctului t = a se trateaz˘ a
ˆın mod similar.
38 Problema Cauchy pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale
Demonstrat ¸ie. Presupunem c˘ a |f(t, x)| ≤ M pentru (t, x) ∈ D.
Problema Cauchy (4.1) este echivalent˘ a cu ecuat ¸ia integral˘ a
x(t) = x
0
+

t
t
0
f(s, x(s))ds.
Dac˘a t
1
, t
2
∈ (a, b), atunci:
|x(t
2
) −x(t
1
)| =





t
2
t
1
f(s, x(s))ds




≤ M|t
2
−t
1
|,
inegalitate care, ˆın baza teoremei lui Cauchy asupra limitelor de funct ¸ii, im-
plic˘ a existent ¸a limitelor laterale x(a
+
) ¸si x(b

). Acum, deoarece (b, x(b

))∈D
putem aplica din nou teorema lui Cauchy–Picard care stabile¸ste existent ¸a unei
solut ¸ii ˆıntr-o vecin˘ atate a punctului t = b care coincide cu solut ¸ia x(·) pentru
t < b, din cauza unicit˘ at ¸ii.
Corolarul 4.1. Fie sistemul de ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai, liniare:
x

i
=
n

j=1
a
ij
(t)x
j
+ b
i
(t), i = 1, 2, ..., n,
unde funct ¸iile a
ij
(·) ¸si b
i
(·) sunt continue ˆıntr-un interval I al axei reale.
Pentru orice t
0
∈ I ¸si orice numere reale α
i
(i = 1, 2, ..., n), sistemul
admite o solut ¸ie unic˘ a x(t) = (x
1
(t), ..., x
n
(t)) care verific˘ a condit ¸iile init ¸iale
x
i
(t
0
) = α
i
, (i = 1, 2, ..., n).
Aceast˘a solut ¸ie este prelungibil˘ a pe ˆıntregul interval I.
2.5 Probleme
S˘ a se rezolve urm˘atoarele probleme Cauchy
1.

x

= −xcos t + sin t cos t
x(π) = 0;
2.



x

=
2x
2
−tx
t
2
−tx + x
2
x(0) = 1;
3.



x

=
tx
t
2
−x
4
x(1) = 1;
4.

x

= −2tx + 2te
−t
2
x(0) = 1;
Probleme 39
5.

x

= te
t
x(0) = x

(0) = x

(0) = 0.
6. S˘ a se construiasc˘a primele trei aproximat ¸ii succesive pentru solut ¸iile
problemelor Cauchy
a)



x

= t −
x
2
t
x(1) = 0;
b)





x

= tx −y
2
y

= xy −2
x(0) = −2, y(0) = 1.
7. Fie problema Cauchy

x

= −x
2
x(0) = 1
y

= xy y(0) = 5
(i) S˘ a se arate c˘a aceast˘a problem˘ a are solut ¸ie unic˘ a ˆın orice interval care
cont ¸ine originea.
(ii) Folosind metoda aproximat ¸iilor succesive s˘a se afle solut ¸ia sistemului.
8. Fie x ¸si y solut ¸iile problemelor Cauchy

x

=

x
2
−1, x(0) = 1
y

=

y
2
+ 1, y(0) = 0
Presupunˆ and c˘ a are loc teorema de existent ¸˘a ¸si unicitate s˘a se arate c˘a x

= y,
y

= x ¸si apoi s˘a se rezolve cele dou˘a ecuat ¸ii.
9. S˘ a se construiasc˘a primele trei aproximat ¸ii succesive pentru solut ¸iile
problemelor Cauchy:
(i) x

= t
2
+ x
2
, x(0) = 1;
(ii) x

= 3tx −2e
2x−1
, x(0) =
1
2
.
10. Fie problema Cauchy
x

+ 2x

+ αx = 0, α ∈ IR, x(0) = 0, x

(1) = 1.
S˘ a se discute ˆın funct ¸ie de parametrul α existent ¸a solut ¸iei acestei probleme.
40 Problema Cauchy pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale
11. S˘ a se arate c˘a exist˘a un interval pentru care solut ¸iile problemelor
Cauchy de mai jos exist˘a ¸si sunt unice. S˘ a se determine apoi primele trei
aproximat ¸ii succesive pentru solut ¸iile acestor probleme.
a)

x

= 3t + x
3
x(0) = 0;
b)

x

−tx

= t
2
+ x
2
x(0) = 0, x

(0) = 1.
Capitolul 3
Ecuat ¸ii ¸si sisteme de ecuat ¸ii
diferent ¸iale liniare.
Transformata Laplace
3.1 Ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare
Definit ¸ii
O ecuat ¸ie de forma:
(1.1) x
(n)
+ a
1
(t)x
(n−1)
+ · · · + a
n−1
(t)x

+ a
n
(t)x = f(t)
se nume¸ste ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a liniar˘ a de ordinul n. Peste tot ˆın cele ce
urmeaz˘a vom presupune c˘ a funct ¸iile a
1
, ..., a
n
, f sunt continue pe un inter-
val I, numit interval de definit ¸ie al ecuat ¸iei diferent ¸iale. Dac˘a funct ¸ia f este
identic nul˘ a pe I, ecuat ¸ia (1.1) se nume¸ste omogen˘ a, iar ˆın caz contrar neo-
mogen˘ a. Fie C
n
(I) mult ¸imea funct ¸iilor derivabile de n ori pe intervalul I cu
derivata de ordinul n continu˘ a ¸si L operatorul definit pe C
n
(I) prin:
L(x) = x
(n)
+ a
1
(t)x
(n−1)
+ · · · + a
n−1
(t)x

+ a
n
(t)x.
Remarc˘am c˘a acest operator este liniar adic˘ a verific˘ a relat ¸iile:
(1.2) L(x
1
+ x
2
) = L(x
1
) + L(x
2
); L(cx) = cL(x), c ∈ IR.
Fie X o solut ¸ie particular˘ a a ecuat ¸iei (1.1). Dac˘a x este o solut ¸ie oarecare
a ecuat ¸iei (1.1) ¸si facem substitut ¸ia x = X + y rezult˘ a (deoarece L(x) =
L(X) + L(y) = f(t)) c˘a y verific˘ a ecuat ¸ia
(1.3) y
(n)
+ a
1
(t)y
(n−1)
+ a
2
(t)y
(n−2)
+ · · · + a
n−1
(t)y

+ a
n
(t)y = 0
42 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
care se nume¸ste ecuat ¸ia omogen˘ a asociat˘ a ecuat ¸iei (1.1).
De aici rezult˘a c˘a solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei (1.1) se obt ¸ine ca suma dintre
o solut ¸ie particular˘ a a ecuat ¸iei (1.1) ¸si solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei (1.3).
Pe de alt˘a parte, dac˘ a y
1
, y
2
, ..., y
k
sunt k solut ¸ii ale ecuat ¸iei (1.3) iar c
i

IR, i = 1, k, atunci ¸si c
1
y
1
+ c
2
y
2
+ · · · + c
k
y
k
este solut ¸ie a ecuat ¸iei (1.3).
ˆ
In
mod firesc se pune ˆıntrebarea: cˆ ate solut ¸ii particulare ale ecuat ¸iei (1.3) sunt
necesare ¸si ce propriet˘ at ¸i trebuie s˘ a aib˘ a acestea pentru a putea obt ¸ine cu
ajutorul lor orice solut ¸ie a ecuat ¸iei (1.3).
ˆ
In acest scop sunt necesare cˆateva
not ¸iuni care se introduc ˆın paragraful urm˘ ator.
Dependent ¸˘a ¸si independent ¸˘a liniar˘a a unor funct ¸ii
Un sistem de n funct ¸ii x
1
, x
2
, ..., x
n
, continue ˆıntr-un interval I, se numesc
liniar dependente ˆın I dac˘a exist˘a constantele c
1
, c
2
, ..., c
n
nu toate nule, astfel
ˆıncˆ at pentru orice t ∈ I s˘a aib˘ a loc egalitatea
c
1
x
1
(t) + c
2
x
2
(t) + · · · + c
n
x
n
(t) = 0.
ˆ
In caz contrar, spunem c˘ a sistemul de funct ¸ii este liniar independent. S˘ a
observ˘ am faptul c˘ a nu este u¸sor de verificat, cu ajutorul definit ¸iei, dependent ¸a
sau independent ¸a liniar˘ a a unui sistem de funct ¸ii. Acest lucru se dovede¸ste a
fi simplu dac˘ a utiliz˘ am not ¸iunea de wronskian.
Dac˘a funct ¸iile x
1
, x
2
, ..., x
n
sunt de clas˘a C
n−1
pe intervalul I, determinan-
tul
W(x
1
, x
2
, ..., x
n
) =









x
1
x
2
. . . x
n
x

1
x

2
· · · x

n
.........................................
x
(n−1)
1
x
(n−1)
2
· · · x
(n−1)
n









se nume¸ste wronskianul sistemului de funct ¸ii.
S˘ a presupunem acum c˘a x
1
, x
2
, ..., x
n
sunt solut ¸ii ale ecuat ¸iei diferent ¸iale
liniare ¸si omogene de ordinul n
(1.4) x
(n)
+ a
1
(t)x
(n−1)
+ a
2
(t)x
(n−2)
+ · · · + a
n−1
(t)x

(t) + a
n
(t)x = 0
Dorim s˘ a verific˘ am dac˘a aceste funct ¸ii sunt sau nu liniar independente.
Presupunˆ and c˘ a sunt liniar dependente rezult˘ a c˘a exist˘a constantele
c
1
, c
2
, .., c
n
, nu toate nule astfel ˆıncˆ at
(1.5) c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ · · · + c
n
x
n
= 0 pe I.
Ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 43
Deoarece x
i
sunt solut ¸ii ale ecuat ¸iei (1.4) rezult˘ a c˘a exist˘a derivatele
x
i
, x

i
, ..., x
(n−1)
i
iar relat ¸ia (1.5) conduce, prin derivare succesiv˘ a, la sistemul
(1.6)
c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ · · · + c
n
x
n
= 0
c
1
x

1
+ c
2
x

2
+ · · · + c
n
x

n
= 0
............................................
c
1
x
(n−1)
1
+ c
2
x
(n−1)
2
+ · · · + c
n
x
(n−1)
n
= 0.
Sistemul (1.6) poate fi privit ca un sistem omogen de ecuat ¸ii liniare ˆın
necunoscutele c
1
, c
2
, ..., c
n
. Acest sistem are ¸si alt˘a solut ¸ie ˆınafar˘ a de solut ¸ia
banal˘ a dac˘a ¸si numai dac˘ a determinantul matricii sistemului este nul.
Ori aceastaˆınseamn˘a c˘aˆın orice punct din I wronskianul funct ¸iilor x
1
, ..., x
n
este nul. Cu alte cuvinte, am demonstrat urm˘ atorul rezultat.
Teorema 1.1. Solut ¸iile x
1
, x
2
, ..., x
n
ale ecuat ¸iei diferent ¸iale (1.4) sunt liniar
independente pe I dac˘ a ¸si numai dac˘ a wronskianul lor W(x
1
, x
2
, ..., x
n
) este
nenul ˆın orice punct al intervalului I.
Sistem fundamental de solut ¸ii al unei ecuat ¸ii liniare omogene
Fie ecuat ¸ia
(1.7) x
(n)
+ a
1
(t)x
(n−1)
+ a
2
(t)x
(n−2)
+ · · · + a
n−1
(t)x

+ a
n
(t)x = 0
Teorema 1.2 (Liouville). Fie W(t) wronskianul unui sistem de n solut ¸ii ale
ecuat ¸iei (1.1). Atunci, are loc egalitatea
(1.8) W(t) = W(t
0
) exp



t
t
0
a
1
(s)ds

, ∀t, t
0
∈ I.
Demonstrat ¸ie. Pentru simplificarea scrierii vom lua n = 3; fie x
1
(t), x
2
(t),
x
3
(t) trei solut ¸ii ale ecuat ¸iei (1.7). Avem:
W(x
1
, x
2
, x
3
) =







x
1
x
2
x
3
x

1
x

2
x

3
x

1
x

2
x

3







Derivˆ and acest determinant ˆın raport cu t ¸si t ¸inˆ and cont de regula de derivare
a unui determinant ¸si de ecuat ¸ia (1.7) pentru n = 3, avem:
dW
dt
=







x
1
x
2
x
3
x

1
x

2
x

3
x

1
x

2
x

3







=







x
1
· · ·
x

1
· · ·
−a
1
(t)x

1
− a
2
(t)x

1
− a
3
(t)x
1
· · ·







44 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
unde ˆın ultimul determinant s-a scris numai prima coloan˘ a. Scriind acest
determinant ca o sum˘a de trei determinant ¸i, doi dintre ace¸stia sunt nuli, avˆ and
cˆate dou˘ a linii proport ¸ionale.
ˆ
In acest fel se obt ¸ine
dW
dt
= −a
1
(t)W,
care conduce la formula (1.8). Cazul general se trateaz˘ a analog.
Rezultatul stabilit ˆın Teorema 1.2 permite introducerea not ¸iunii de sistem
fundamental de solut ¸ii.
Definit ¸ia 1.1. Un sistem de n solut ¸ii ale ecuat ¸iei (1.7) se nume¸ste fundamen-
tal dac˘a cel put ¸in ˆıntr-un punct din I (de fapt pe tot intervalul) wronskianul
lor nu se anuleaz˘ a.
Utilitatea sistemului fundamental de solut ¸ii reiese din teorema urm˘atoare.
Teorema 1.3. Dac˘ a se cunoa¸ste un sistem fundamental de solut ¸ii pentru
(1.7), orice alt˘ a solut ¸ie este o combinat ¸ie liniar˘ a a solut ¸iilor din sistemul fun-
damental.
Demonstrat ¸ie. Dac˘a x este o solut ¸ie a ecuat ¸iei (1.7) care ˆın punctul t
0
∈ I
satisface condit ¸iile
x(t
0
) = q
0
, x

(t
0
) = q
1
, ..., x
(n−1)
(t
0
) = q
n−1
,
este suficient s˘a ar˘ at˘ am c˘a exist˘a c
1
, c
2
, ..., c
n
∈ IR astfel ˆıncˆ at
x = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+· · · + c
n
x
n
.
Condit ¸iile init ¸iale satisf˘acute de x conduc la sistemul liniar algebric
c
1
x
1
(t
0
) + c
2
x
2
(t
0
) +· · · + c
n
x
n
(t
0
) = q
0
,
c
1
x

1
(t
0
) + c
2
x

2
(t
0
) +· · · + c
n
x
n
(t
0
) = q
1
,
.
.
.
c
1
x
(n−1)
1
(t
0
) + c
2
x
(n−1)
2
(t
0
) +· · · + c
n
x
(n−1)
n
(t
0
) = q
n−1
care are o solut ¸ie unic˘ a deoarece este un sistem de tip Cramer cu determinantul
W(t
0
) = 0, ceea ce ˆıncheie demonstrat ¸ia teoremei.
Ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 45
Ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare neomogene
Presupunˆ and c˘ a se cunoa¸ste un sistem fundamental de solut ¸ii pentru ecuat ¸ia
omogen˘a
(1.9) x
(n)
+ a
1
(t)x
(n−1)
+· · · + a
n−1
(t)x

+ a
n
(t)x = 0
utilizˆ and metoda variat ¸iei constantelor (Lagrange) se poate obt ¸ine (prin cuadra-
turi) o solut ¸ie particular˘ a a ecuat ¸iei neomogene
(1.10) x
(n)
+ a
1
(t)x
(n−1)
+· · · + a
n−1
(t)x

+ a
n
(t)x = f(t).
Schit ¸˘am (pentru simplitate) cum se face acest lucru pentru cazul n = 3.
Pentru aceasta, presupunem c˘ a x
1
, x
2
, x
3
formeaz˘a un sistem fundamental
de solut ¸ii pentru (1.9). Solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei (1.9) va fi dat˘ a de
(1.11) x = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ c
3
x
3
, c
1
, c
2
, c
3
∈ IR.
Metoda variat ¸iei constantelor const˘a ˆın a considera pe c
1
, c
2
, c
3
ca funct ¸ii
de variabil˘ a independent˘ a t ¸si a le determina astfel ˆıncˆ at x = c
1
(t)x
1
(t) +
c
2
(t)x
2
(t) +c
3
(t)x
3
(t) s˘a fie o solut ¸ie a ecuat ¸iei (1.10).
ˆ
In acest scop impunem
funct ¸iilor c
1
, c
2
, c
3
s˘a satisfac˘a ˆımpreun˘ a cu x
1
, x
2
, x
3
sistemul
(1.12)
c

1
x
1
+ c

2
x
2
+ c

3
x
3
= 0
c

1
x

1
+ c

2
x

2
+ c

3
x

3
= 0
c

1
x

1
+ c

2
x

2
+ c

3
x

3
= f(t).
Deoarece wronskianul funct ¸iilor x
1
, x
2
, x
3
nu se anuleaz˘a ˆın intervalul I
rezult˘ a c˘a sistemul (1.12) este un sistem Cramer cu solut ¸ie unic˘ a pentru orice
t ∈ I. Funct ¸iile c
1
(·), c
2
(·), c
3
(·) se obt ¸in prin cuadraturi, apoi cu ajutorul lor
se obt ¸ine solut ¸ia particular˘ a
(1.13) x(t) = c
1
(t)x
1
(t) + c
2
(t)x
2
(t) + c
3
(t)x
3
(t)
a ecuat ¸iei (1.10) pentru n = 3. Rezult˘a c˘a solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei (1.10)
va fi dat˘ a de suma dintre solut ¸ia general˘a (1.11) a ecuat ¸iei (1.9) ¸si solut ¸ia
particular˘ a (1.13) a ecuat ¸iei (1.10).
Exemplu. Studiul ˆıncovoierii unei pl˘ aci subt ¸iri, circulare, ˆıncastrate pe contur
¸si supus˘ a unei sarcini concentrate ˆın centrul ei se face prin intermediul ecuat ¸iei
diferent ¸iale
x
2
d
2
ϕ
dx
2
+ x

dx
−ϕ = kx, x ∈ (0, r],
46 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
unde k = const. S˘ a se determine solut ¸ia care satisface condit ¸iile limit˘ a,
lim
x→0
ϕ(x) = 0, ϕ(r) = 0, ¸stiind c˘ a ecuat ¸ia omogen˘a admite solut ¸ia particu-
lar˘ a ϕ
1
(x) = x.
Solut ¸ie. Luˆ and ecuat ¸ia omogen˘a asociat˘a
x
2
d
2
ϕ
dx
2
+ x

dx
−ϕ = 0
¸si f˘ acˆand substitut ¸ia ϕ(x) = xy(x), obt ¸inem pentru y ecuat ¸ia xy

+ 3y

= 0
care d˘a solut ¸ia particular˘ a y(x) =
1
x
2
, deci ϕ
2
(x) =
1
x
·
Deoarece wronskianul solut ¸iilor ϕ
1
, ϕ
2
este diferit de zero pe (0, r], rezult˘ a
c˘a acestea sunt liniar independente, deci solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei omogene
este
ϕ(x) = c
1
x + c
2
1
x
,
x ∈ (0, r].
Pentru ecuat ¸ia neomogen˘a se caut˘a o solut ¸ie particular˘ a prin metoda varia-
t ¸iei constantelor ¸si se g˘ase¸ste







c

1
=
k
2x
c

2
=
−k
2
x
deci c
1
(x) =
k
2
ln x, c
2
(x) =
−k
4
x
2
¸si ϕ
p
(x) =
kx
2
ln x −
k
4
x, x ∈ (0, r], iar
solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei neomogene este
ϕ(x) =

k
2
ln x + c
1

x +

c
2

k
4
x
2

1
x
,
x ∈ (0, r].
Condit ¸iile la limit˘ a implic˘ a c
1
=
−k
2
ln r +
k
4
,
c
2
= 0 care determin˘a solut ¸ia
ϕ(x) =
kx
2
ln
x
r
,
x ∈ (0, r].
Ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare cu coeficient ¸i constant ¸i
Pentruˆınceput ne ocup˘ am de g˘asirea unui sistem fundamental de solut ¸ii pentru
ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
(1.14) x
(n)
+ a
1
x
(n−1)
+· · · + a
n−1
x

+ a
n
x = 0
unde a
1
, a
2
, ..., a
n
sunt constante reale.
Ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 47
Se caut˘a o solut ¸ie particular˘ a de forma e
λt
; calculˆ and derivatele succesive
ale acestei funct ¸ii ¸si ˆınlocuind ˆın (1.14) se obt ¸ine:
(1.15) e
λt

n
+ a
1
λ
n−1
+ · · · + a
n−1
λ + a
n
) = 0
Polinomul
P(λ) = λ
n
+ a
1
λ
n−1
+ · · · + a
n−1
λ + a
n
se nume¸ste polinomul caracteristic ata¸sat ecuat ¸iei diferent ¸iale (1.14) iar
(1.16) λ
n
+ a
1
λ
n−1
+ · · · + a
n−1
λ + a
n
= 0
ecuat ¸ia caracteristic˘ a corespunz˘atoare acestei ecuat ¸ii diferent ¸iale.
Din (1.15) rezult˘ a c˘a e
λt
este solut ¸ie a ecuat ¸iei (1.14) dac˘ a ¸si numai dac˘ a
λ este r˘ad˘ acin˘ a a ecuat ¸iei caracteristice ata¸sate.
Dup˘ a cum se ¸stie, teorema fundamental˘ a a algebrei afirm˘ a c˘a ecuat ¸ia ca-
racteristic˘a admite, ˆın cazul numerelor complexe, exact n r˘ ad˘ acini. Problema
determin˘ arii efective a acestora nu este ˆıns˘ a ˆıntotdeauna simpl˘ a.
ˆ
In continuare analiz˘ am cazurile care apar ˆın rezolvarea ecuat ¸iei (algebrice)
caracteristice (1.16).
Cazul I. Ecuat ¸ia caracteristic˘a are r˘ad˘acini distincte, λ
1
, λ
2
, ..., λ
n
. Co-
respunz˘ator, se obt ¸in n solut ¸ii ale ecuat ¸iei diferent ¸iale (1.14):
x
1
= e
λ
1
t
, x
2
= e
λ
2
t
, ..., x
n
= e
λnt
,
fie c˘a r˘ ad˘ acinile distincte ale ecuat ¸iei caracteristice sunt reale sau complexe.
Calculˆ and wronskianul acestui sistem de solut ¸ii ˆın punctul t = 0 g˘ asim
W(0) =

1≤i<j≤n

j
− λ
i
) care este nenul, deci sistemul este independent.
Solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei (1.14) este
x(t) = c
1
e
λ
1
t
+ c
2
e
λ
2
t
+ · · · + c
n
e
λnt
care arat˘ a c˘a este definit˘a pe toat˘ a axa real˘ a.
Dac˘a ecuat ¸ia (1.16) are r˘ ad˘ acini complexe, ele sunt grupate ˆın perechi
conjugate, λ
1
= α + βi, λ
2
= α − βi etc.
Solut ¸iile e
λ
1
t
¸si e
λ
2
t
pot fi ˆınlocuite cu
(1.17)
e
αt
cos βt =
1
2

e
(α+βi)t
+ e
(α−βi)t

e
αt
sin βt =
1
2i

e
(α+βi)t
− e
(α−βi)t

48 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
care sunt ¸si ele liniar independente.
ˆ
In consecint ¸˘a, ˆın cazul ˆın care ecuat ¸ia caracteristic˘a admite r˘ ad˘ acini dis-
tincte solut ¸ia general˘a se obt ¸ine ca o combinat ¸ie liniar˘ a de exponent ¸iale ¸si
expresii de forma (1.17).
Cazul II. Ecuat ¸ia caracteristic˘a are r˘ad˘acini multiple. Fie L operatorul
diferent ¸ial liniar
L(x) = x
(n)
+ a
1
x
(n−1)
+ a
2
x
(n−2)
+· · · + a
n−1
x

+ a
n
x.
Utilizˆ and formula lui Leibniz de derivare a produsului a dou˘ a funct ¸ii, se
stabile¸ste u¸sor formula
(1.18) L(ye
λt
) = e
λt


yP
(λ)
+ y

P

(λ)
1!
+· · · + y
(n)
P
(n)
(λ)
n!


·
S˘ a presupunem c˘ a λ
1
este r˘ad˘ acin˘ a multipl˘ a a ecuat ¸iei caracteristice, de
ordinul de multiplicitate m
1
≤ n , deci c˘a:
P(λ
1
) = P


1
) = · · · = P
(m
1
−1)

1
) = 0, iar P
(m
1
)

1
) = 0.
Avˆ and ˆın vedere formula (1.18), ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a L(ye
λ
1
t
) = 0 devine:
y
(m
1
)
P
(m
1
)

1
)
m
1
!
+ y
(m
1
+1)
P
(m
1
+1)

1
)
(m
1
+ 1)!
+· · · + y
(n)
P
(n)

1
)
n!
= 0
¸si admite ca solut ¸ie particular˘ a un polinom de gradul (m
1
−1) ˆın t. Deci, co-
respunz˘ator r˘ ad˘ acinii λ
1
de ordin m
1
de multiplicitate, ecuat ¸ia (1.14) admite
o solut ¸ie de forma:
e
λ
1
t
(c
0
+ c
1
t + c
2
t
2
+· · · + c
m
1
−1
t
m
1
−1
),
adic˘ a m
1
solut ¸ii de forma:
e
λ
1
t
, te
λ
1
t
, t
2
e
λ
1
t
, ..., t
m
1
−1
e
λ
1
t
.
Presupunˆ and c˘ a ecuat ¸ia caracteristic˘a are r˘ ad˘ acinile distincte λ
1
, λ
2
, ..., λ
k
cu
multiplicit˘ at ¸ile m
1
, m
2
, ..., m
k
(m
1
+m
2
+· · · +m
k
= n) din rat ¸ionamentul de
mai sus, rezult˘ a c˘a ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a (1.14) admite solut ¸iile
(1.19) e
λ
1
t
P
1
(t), e
λ
2
t
P
2
(t), ..., e
λ
k
t
P
k
(t),
unde P
1
(t), P
2
(t), ..., P
k
(t) sunt polinoame de grade (m
1
−1), (m
2
−1), ...,
(m
k
−1), cont ¸inˆ and ˆın total m
1
+m
2
+· · · +m
k
= n constante arbitrare, adic˘ a
Ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 49
n solut ¸ii ale ecuat ¸iei diferent ¸iale.
ˆ
In final, ar˘ at˘am c˘a cele n solut ¸ii formeaz˘a
un sistem fundamental. Pentru aceasta este suficient s˘ a demonstr˘ am:
Lema 1.1. Dac˘ a
(1.20) Q
1
(t)e
λ
1
t
+ Q
2
(t)e
λ
2
t
+· · · + Q
k
(t)e
λ
k
t
= 0, ∀t ∈ IR
unde Q
i
(t) sunt polinoame cu coeficient ¸i reali sau complec¸si, iar λ
1
, λ
2
, ..., λ
k
sunt numere reale sau complexe diferite ˆıntre ele, atunci toate polinoamele Q
i
,
i = 1, 2, ..., k sunt identic nule.
Demonstrat ¸ie. Cazul k = 1 este banal deoarece exponent ¸iala este diferit˘a
de zero ˆın orice punct.
Presupunˆ and acum k ≥ 2, relat ¸ia (1.20) este echivalent˘a cu
(1.21) Q
1
(t) + Q
2
(t)e

2
−λ
1
t)
+· · · + Q
k
(t)e

k
−λ
1
)t
= 0.
Derivˆ and ˆın raport cu t membrul drept al relat ¸iei (1.21), gradul lui Q
1
(t)
se reduce cu o unitate, iar ceilalt ¸i termeni r˘amˆan de aceea¸si form˘a, deoarece:
d
dt

Q
i
(t)e

i
−λ
1
)t

=

Q

i
(t) + (λ
i
−λ
1
)Q
i
(t)

e

i
−λ
1
)t
.
Dac˘a gradul polinomului Q
1
(t) este m ¸si deriv˘ am relat ¸ia (1.21) de (m+1)
ori, se obt ¸ine o identitate de forma:
R
1
(t)e

2
−λ
1
)t
+ R
2
(t)e

3
−λ
1
)t
+· · · + R
k−1
(t)e

k
−λ
1
)t
= 0,
ˆın care tot ¸i exponent ¸ii (λ
i
−λ
1
) sunt diferit ¸i ˆıntre ei, iar polinoamele R
1
(t), ...,
R
k−1
(t) nu sunt toate identic nule. Continuˆ and ˆın acela¸si mod, se ajunge
la o identitate cu un singur termen care, a¸sa cum am v˘azut ˆın cazul k = 1,
conduce la o imposibilitate; rezult˘ a c˘a cele n solut ¸ii cuprinse ˆın (1.19) formeaz˘ a
un sistem fundamental. Dac˘ a ecuat ¸ia caracteristic˘a are r˘ ad˘ acini complexe
multiple, se procedeaz˘a la fel ca ˆın cazul I.
De exemplu, dac˘a λ
1
= α+βi, λ
2
= α−β
i
sunt r˘ ad˘ acini multiple de ordin
q (2q ≤ n), relativ la aceste r˘ ad˘ acini, obt ¸inem solut ¸iile reale
e
αt
(P
1
(t) cos βt + Q
1
(t) sin βt),
unde P
1
(t) ¸si Q
1
(t) sunt polinoame de gradul q − 1, adic˘ a ˆın total 2q solut ¸ii
particulare, deoarece ˆın expresia precedent˘ a intervin 2q constante arbitrare.
Sintetizˆ and, am obt ¸inut urm˘ atorul rezultat:
50 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
Teorema 1.4. Dac˘ a ecuat ¸ia caracteristic˘ a (1.16) are r˘ ad˘ acinile reale
λ
1
, λ
2
, ..., λ
p
cu ordinele de multiplicitate m
1
, m
2
, ..., m
p
¸si r˘ ad˘ acinile complexe
α
1
± iβ
1
, α
2
± iβ
2
, ..., α
q
± iβ
q
cu ordinele de multiplicitate s
1
, s
2
, ..., s
q
unde
m
1
+ m
2
+ · · · + m
p
+ 2(s
1
+ s
2
+ · · · + s
q
) = n, atunci urm˘ atorul sistem de
funct ¸ii este un sistem fundamental de solut ¸ii pentru ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a (1.14)
e
λ
1
t
, te
λ
1
t
, ..., t
m
1
−1
e
λ
1
t
..........................................
e
λmp
t
, te
λmp
t
, ..., t
mp−1
e
λmp
t
e
α
1
t
cos β
1
t, te
α
1
t
cos β
1
t, ..., t
s
1
−1
e
α
1
t
cos β
1
t
e
α
1
t
sin β
1
t, te
α
1
t
sin β
1
t, ..., t
s
1
−1
e
α
1
t
sin β
1
t
.....................................................................
e
αqt
cos β
q
t, te
αqt
cos β
q
t, ..., t
sq−1
e
αqt
cos β
q
t
e
αqt
sin β
q
t, te
αqt
sin β
q
t, ..., t
sq−1
e
αqt
sin β
q
t.
ˆ
In cazul ˆın care membrul drept al ecuat ¸iei cu coeficient ¸i constant ¸i are o
form˘ a special˘a (funct ¸ie exponent ¸ial˘ a sau trigonometric˘ a) solut ¸ia particular˘ a a
ecuat ¸iei neomogene se poate c˘auta sub aceea¸si form˘a.
Exemplu. S˘ a se determine cˆate o solut ¸ie particular˘ a pentru ecuat ¸iile
(i) x

−5x

+ 6x = 2e
4t
(ii) x

−5x

+ 6x = cos 2t.
Rezolvare. i) Deoarece membrul drept cont ¸ine drept factor e
4t
c˘aut˘ am o
solut ¸ie de forma x
p
= ce
4t
unde c este o constant˘a. Introducˆ and ˆın (1.14)
obt ¸inem:
x

p
−5x

p
+ 6x
p
= 2e
4t
,
¸si f˘ acˆand calculele 2ce
4t
= 2e
4t
, de unde c = 1, astfel c˘a x
p
= e
4t
.
ii) Procedˆ and ca mai sus c˘aut˘ am x
p
= c
1
cos 2t + c
2
sin 2t care, introdus˘ a
ˆın ecuat ¸ie conduce la cos 2t = (2c
1
− 10c
2
) cos 2t + (10c
1
+ 2c
2
) sin 2t, solut ¸ie
care are loc pentru orice t real ¸si care conduce la sistemul

2c
1
−10c
2
= 1
10c
1
+ 2c
2
= 0
care are solut ¸ia c
1
= 1/52, c
2
= −5/52.
Observat ¸ie. Atragem atent ¸ia c˘a, de¸si simpl˘a din punct de vedere calculatoriu,
aceast˘a metod˘a (numit˘ a ¸si metoda coeficient ¸ilor nedeterminat ¸i), spre deosebire
de metoda variat ¸iei constantelor, nu funct ¸ioneaz˘a ˆıntotdeauna.
Sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 51
3.2 Sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare
ˆ
In acest capitol facem o scurt˘a prezentare a sistemelor de ecuat ¸ii diferent ¸iale
liniare de ordinul ˆıntˆ ai, sisteme ce sunt utilizate ˆın foarte multe probleme cu
caracter practic sau teoretic.
Definit ¸ii ¸si rezultate generale
Un sistem de ecuat ¸ii diferent ¸iale de forma
(2.1) x

i
(t) =
n

j=1
a
ij
(t)x
j
(t) + b
i
(t), i = 1, 2, ..., n, t ∈ I
unde a
ij
¸si b
i
(i, j = 1, 2, ..., n) sunt funct ¸ii reale ¸si continue pe un interval real
I se nume¸ste sistem diferent ¸ial liniar de ordinul ˆıntˆ ai neomogen.
Funct ¸iile a
ij
se numesc coeficient ¸ii sistemului. Dac˘a b
i
≡ 0, i = 1, 2, ..., n,
atunci sistemul (2.1) cap˘ at˘ a forma
x

i
(t) =
n

j=1
a
ij
(t)x
j
(t), i = 1, 2, ..., n, t ∈ I
¸si se nume¸ste omogen.
Notˆand
x(t) =






x
1
(t)
x
2
(t)
.
.
.
x
n
(t)






, b(t) =






b
1
(t)
b
2
(t)
.
.
.
b
n
(t)






A(t) =






a
11
(t) · · · a
1n
(t)
a
21
(t) · · · a
2n
(t)
.
.
.
a
n1
(t) · · · a
nn
(t)






sistemul (2.1) este echivalent cu ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a de ordinul ˆıntˆ ai liniar˘ a
vectorial˘ a
x

(t) = A(t)x(t) + b(t).
Dup˘ a cum se ¸stie din Capitolul 1, problema Cauchy asociat˘ a sistemului
(2.1) admite solut ¸ie unic˘ a; cu alte cuvinte, pentru orice t
0
∈ I ¸si x
0
∈ IR
n
exist˘a
o solut ¸ie unic˘ a a sistemului (2.1) care verific˘a condit ¸ia init ¸ial˘ a x(t
0
) = x
0
.
ˆ
In
plus, domeniul de existent ¸˘a al acestei solut ¸ii coincide cu intervalul I.
Sisteme omogene. Spat ¸iul solut ¸iilor
S˘ a consider˘am sistemul omogen
(2.2) x

(t) = A(t)x(t)
52 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
ˆın ipotezele asupra coeficient ¸ilor, ment ¸ionate ˆın paragraful precedent.
Un prim rezultat se refer˘ a la structura mult ¸imii solut ¸iilor sistemului (2.2).
Teorema 2.1. Mult ¸imea solut ¸iilor sistemului omogen (2.2) este un spat ¸iu
liniar de dimensiune n peste IR.
Demonstrat ¸ie. Este u¸sor de verificat faptul c˘ a mult ¸imea solut ¸iilor sistemului
(2.2) formeaz˘ a un spat ¸iu liniar peste IR; adic˘ a suma a dou˘ a solut ¸ii ¸si produsul
unei solut ¸ii cu un scalar sunt tot solut ¸ii. Pentru dimensiune, vom pune ˆın
evident ¸˘a un izomorfismˆıntre spat ¸iul S al solut ¸iilor ¸si spat ¸iul IR
n
.
ˆ
In acest scop
definim aplicat ¸ia (operatorul) Γ : S −→ IR
n
prin
Γx = x(t
0
)
unde t
0
este un punct fixat ˆın I. Din teorema de existent ¸˘a ¸si unicitate (Teo-
rema 2.1, Cap.2) pentru problema Cauchy asociat˘ a sistemului (2.2) rezult˘ a c˘a
operatorul Γ este surjectiv ¸si injectiv adic˘ a bijectiv. Cum, evident, el este ¸si
liniar, rezult˘ a c˘a este izomorfism adic˘a ceea ce trebuia ar˘atat.
Din Teorema 2.1 rezult˘a c˘a spat ¸iul S al solut ¸iilor sistemului (2.2) admite
o baz˘a format˘ a din n elemente. Fie x
1
, x
2
, ..., x
n
vectorii acestei baze. Rezult˘a
c˘a orice solut ¸ie a sistemului poate fi scris˘a ca o combinat ¸ie liniar˘ a a vectorilor
din baz˘ a. Matricea X(t) ale c˘arei coloane sunt vectorii x
1
(t), x
2
(t), ..., x
n
(t)
din baz˘ a se nume¸ste matrice fundamental˘ a. A¸sadar, dac˘ a x este solut ¸ie a
sistemului omogen (2.2) iar X este o matrice fundamental˘ a a acestui sistem,
atunci exist˘ a c ∈ IR
n
astfel ˆıncˆ at
(2.3) x(t) = X(t)c, ∀t ∈ I.
Matricea fundamental˘ a satisface ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
X

(t) = A(t)X(t), t ∈ I,
unde cu X

(t) am notat matricea ce are ca elemente derivatele elementelor
matricii X(t).
Dup˘ a cum este cunoscut, baza unui spat ¸iu liniar nu este unic˘ a, prin urmare
nici matricea fundamental˘ a a sistemului (2.2) nu va fi unic˘ a. Este u¸sor de
demonstrat c˘ a orice alt˘a matrice fundamental˘ a se obt ¸ine prin ˆınmult ¸irea lui
X(t) cu o matrice constant˘a nesingular˘ a.
Fie acum x
1
, x
2
, ..., x
n
solut ¸ii ale sistemului omogen (2.2). Matricea X(t)
ce are drept coloane aceste solut ¸ii se nume¸ste matrice Wronski iar deter-
minatul s˘ au W(t) = det X(t) se nume¸ste wronskianul sistemului de solut ¸ii
Sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 53
{x
1
(t), x
2
(t), ..., x
n
(t)}. Important ¸a wronskianului este dat˘ a de rezultatul care
urmeaz˘a.
Teorema 2.2. Condit ¸ia necesar˘ a ¸si suficient˘ a ca n solut ¸ii ale sistemului di-
ferent ¸ial liniar omogen (2.2) s˘ a constituie un sistem fundamental este ca s˘ a
existe t
0
∈ I, ˆın care W(t
0
) = 0 ¸si ˆın acest caz W(t) = 0 pentru orice t ∈ I.
ˆ
In plus are loc relat ¸ia (Liouville):
(2.4) W(t) = W(t
0
)e

t
t
0
[a
11
(s)+a
22
(s)+···+ann(s)]ds
, t ∈ I.
Demonstrat ¸ie. Prima afirmat ¸ie din teorem˘a rezult˘ a din definit ¸ia sistemu-
lui fundamental.
ˆ
In ceea ce prive¸ste relat ¸ia (2.4) vom da, la fel ca ˆın cazul
ecuat ¸iilor diferent ¸iale liniare, o demonstrat ¸ie pentru cazul n = 3. Fie deci
{x
1
, x
2
, x
3
} un sistem de solut ¸ii pentru (1.2). Avem:
W(t) =







x
1
1
(t) x
2
1
(t) x
3
1
(t)
x
1
2
(t) x
2
2
(t) x
3
2
(t)
x
1
3
(t) x
2
3
(t) x
3
3
(t)







.
Calculˆ and derivata lui W(t) dup˘ a regula de derivare a determinant ¸ilor obt ¸inem
(2.5)
W

(t) =








(x
1
1
)

(t) (x
2
1
)

(t) (x
3
1
)

(t)
x
1
2
(t) x
2
2
(t) x
3
2
(t)
x
1
3
(t) x
2
3
(t) x
3
3
(t)








+








x
1
1
(t) x
2
1
(t) x
3
1
(t)
(x
1
2
)

(t) (x
2
2
)

(t) (x
3
2
)

(t)
x
1
3
(t) x
2
3
(t) x
3
3
(t)








+
+








x
1
1
(t) x
2
1
(t) x
3
1
(t)
x
1
2
(t) x
2
2
(t) x
3
2
(t)
(x
1
3
)

(t) (x
2
3
)

(t) (x
3
3
)

(t)








.
Apoi, deoarece x
i
=



x
i
1
x
i
2
x
i
3


, i = 1, 2, 3 este solut ¸ie a sistemului (2.2),
(x
i
j
)

=
3

k=1
a
jk
x
i
k
.
ˆ
Inlocuind aceast˘ a ultim˘ a relat ¸ia ˆın (2.5) ¸si t ¸inˆ and cont de regulile de dez-
voltare ale determinant ¸ilor rezult˘ a
W

(t) = (a
11
(t) + a
22
(t) + a
33
(t))W(t)
54 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
care prin integrare conduce la formula (2.4).
Exemplu. S˘ a se rezolve sistemul diferent ¸ial





x

= x −y + z
y

= x + y −z
z

= −y + 2z
Ecuat ¸ia caracteristic˘a este







1 −λ −1 1
1 1 −λ −1
0 −1 2 −λ







= (2 −λ)(λ −1)
2
care are r˘ad˘ acinile λ
1
= 2, λ
2
= λ
3
= 1. Relativ la λ = 2, solut ¸ia sistemului
este
i) x = c
1
e
2t
, y = c
2
e
2t
, z = c
3
e
2t
iar pentru λ = 1, r˘ ad˘ acin˘ a dubl˘ a
ii) x = (c
4
+ c
5
t)e
t
, y = (c
6
+ c
7
t)e
t
, z = (c
8
+ c
9
t)e
t
Solut ¸iile i) ¸si ii) depind aparent de nou˘ a constante arbitrare c
1
, c
2
, ..., c
9
,
dar de fapt numai de trei, dup˘ a cum se va constata imediat.
ˆ
Intr-adev˘ ar,
introducˆ and ˆın sistem solut ¸ia (i) ¸si identificˆ and, obt ¸inem
c
2
= c
3
, c
1
= 0;
apoi, introducˆ and solut ¸ia (ii), g˘ asim
c
5
= c
7
= c
9
, c
4
−c
8
= c
7
, c
6
−c
8
= −c
9
Notˆand c
2
= c
3
= α, c
5
= c
7
= c
9
= β, c
4
= γ, din relat ¸iile anterioare,
obt ¸inem c
6
= γ −2β, c
8
= γ −β, iar solut ¸ia general˘a a sistemului este:
x(t) = (γ + βt)e
t
+ αe
2t
y(t) = (γ −2β + βt)e
t
z(t) = (γ −β + βt)e
t
+ αe
2t
,
unde α, β, γ sunt trei constante arbitrare.
Sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 55
Sisteme neomogene
Fie sistemul diferent ¸ial de ordinul ˆıntˆ ai liniar, neomogen
(2.6) x

(t) = A(t)x(t) + b(t)
unde A(t) este o matrice de ordinul n ale c˘arei elemente sunt funct ¸ii continue
pe intervalul I, iar b(t) este un vector coloan˘a cu n elemente, de asemenea
funct ¸ii continue pe I. Fie
(2.7) x

(t) = A(t)x(t)
sistemul omogen asociat sistemului (2.6).
La fel ca ˆın cazul ecuat ¸iei diferent ¸iale liniare vom ar˘ ata c˘a solut ¸ia general˘a
a sistemului neomogen (2.6) este dat˘a de suma dintre o solut ¸ie particular˘ a a
sa ¸si solut ¸ia general˘a a sistemului omogen asociat (2.7).
Teorema 2.3. Fie X o matrice fundamental˘ a a sistemului (2.7) ¸si fie y o
solut ¸ie particular˘ a a sistemului (2.6). Atunci x este solut ¸ie a sistemului (2.6)
dac˘ a ¸si numai dac˘ a este de forma
(2.8) x(t) = X(t)c + y(t), ∀t ∈ I
unde c ∈ IR
n
.
Demonstrat ¸ie. Fie x de forma (2.8). Derivˆ and, obt ¸inem
x

(t) = X

(t)c + y

(t) = A(t)X(t)c + A(t)y(t) + b(t) =
= A(t)(X(t)c + y(t)) + b(t) = A(t)x(t) + b(t)
ceea ce arat˘a c˘a x este solut ¸ie a sistemului neomogen. Reciproc, s˘a ar˘ at˘am c˘a
dac˘ a x este solut ¸ie a sistemului neomogen atunci exist˘ a c ∈ IR
n
astfel c˘a x se
poate reprezenta sub forma (2.8).
ˆ
Intr-adev˘ ar, dac˘ a y este o solut ¸ie particular˘ a
a sistemului (2.6), atunci
z

(t) = (x(t) −y(t))

= A(t)x(t) + b(t) −A(t)y(t) −b(t) =
= A(t)(x(t) −y(t)) = A(t)z(t)
adic˘ a z = x − y satisface sistemul omogen (2.7), deci conform relat ¸iei (2.3)
exist˘a c ∈ IR
n
astfel ˆıncˆ at z = x −y = Xc, adic˘ a ceea ce trebuia ar˘atat.
Teorema care urmeaz˘a arat˘ a cum poate fi scris˘a solut ¸ia general˘a a sis-
temului neomogen utilizˆ and doar matricea fundamental˘ a a sistemului omogen
corespunz˘ator.
56 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
Teorema 2.4. Dac˘ a X este o matrice fundamental˘ a a sistemului omogen
(2.7), atunci solut ¸ia general˘ a a sistemului neomogen (2.6) se reprezint˘ a sub
forma
(2.9) x(t) = X(t)c +

t
t
0
X(t)X
−1
(s)b(s)ds, t ∈ I
unde c ∈ IR
n
¸si t
0
∈ I.
Demonstrat ¸ie. Plecˆand de la formula (2.8) c˘ aut˘ am, pentru sistemul neo-
mogen, o solut ¸ie particular˘ a y de forma
(2.10) y(t) = X(t)α(t), t ∈ I
unde α(t) este o funct ¸ie vectorial˘a ce urmeaz˘a a fi determinat˘ a. Diferent ¸iind
(2.10), rezult˘ a
X

(t)α(t) + X(t)α

(t) = A(t)X(t)α(t) + X(t)α

(t) = A(t)X(t)α(t) + b(t)
de unde (X fiind matrice fundamental˘ a deci nesingular˘ a pentru orice t ∈ I)
se obt ¸ine
α

(t) = X
−1
(t)b(t), t ∈ I,
adic˘ a putem lua
α(t) =

t
t
0
X
−1
(s)b(s)ds, t ∈ I,
t
0
fiind un element arbitrar, fixat din I.
Observat ¸ii.
(i) Formula (2.9) mai este cunoscut˘ a sub numele de formula variat ¸iei con-
stantelor (a lui Lagrange) nume datorat faptului c˘ a solut ¸ia particu-
lar˘ a a sistemului neomogen se caut˘a ˆınlocuind constanta c ce apare
ˆın reprezentarea solut ¸iei generale a sistemului omogen cu o funct ¸ie ce
variaz˘ a odat˘ a cu timpul.
(ii) Dac˘ a ata¸s˘am sistemului neomogen (2.6) condit ¸ia Cauchy x(t
0
) = x
0
,
formula (2.9) cap˘ at˘a forma
x(t) = X(t)X
−1
(t
0
)x
0
+

t
t
0
X(t)X
−1
(s)b(s)ds, t ∈ I.
Sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 57
Exemplu. Fie sistemul liniar neomogen:
(2.11)











x

= −
1
t(t
2
+ 1)
x +
1
t
2
(t
2
+ 1)
y +
1
t
y

= −
t
2
t
2
+ 1
x +
2t
2
+ 1
t(t
2
+ 1)
y −1.
Sistemul omogen asociat este
(2.12)











x

= −
1
t(t
2
+ 1)
x +
1
t
2
(t
2
+ 1)
y
y

= −
t
2
t
2
+ 1
x +
2t
2
+ 1
t(t
2
+ 1)
y,
care se verific˘a imediat c˘a admite solut ¸ia (1, t).
Facem substitut ¸ia:
x = X; y = tX + Y
¸si obt ¸inem, pentru noile necunoscute
X

=
Y
t
2
(t
2
+ 1)
; Y

=
2t
t
2
+ 1
Y
sistem care are solut ¸ia


1
t
,
t
2
+ 1

ceea ce conduce la faptul c˘a sistemul
(2.12) are solut ¸ia


1
t
,
t
2

, deci integrala general˘ a a sistemului (2.12) este





x = c
1

c
2
t
y = c
1
t + c
2
t
2
.
Pentru a obt ¸ine o solut ¸ie particular˘ a a sistemului (2.11), aplic˘ am metoda
variat ¸iei constantelor obt ¸inˆ and pentru c
1
, c
2
, considerate acum ca variabile,
sistemul





c

1

c

2
t
=
1
t
c

1
t + c

2
t
2
= −1
⇐⇒









c

1
=
t
2
−1
t(t
2
+ 2)
c

2
= −
2
t
2
+ 1
,
58 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
¸si deci, c
1
(t) = ln





t
2
+ 1
t





, c
2
(t) = −2 arctg t iar solut ¸ia general˘a a sistemului
(2.11) este













x(t) = c
1

c
2
t
+ ln





t
2
+ 1
t





+
2
t
arctg t
y(t) = c
1
t + c
2
t
2
+ t ln





t
2
+ 1
t





−2t
2
arctg t,
c
1
, c
2
fiind dou˘ a constante reale.
Sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare cu coeficient ¸i constant ¸i
Vom studia acum sistemul diferent ¸ial liniar (omogen)
(2.13) x

(t) = Ax(t), t ∈ IR
unde x este un vector n dimensional iar A ∈ M
n×n
(IR) este o matrice con-
stant˘a.
ˆ
In notat ¸ia scalar˘a sistemul (2.13) devine
(2.14) x

i
(t) =
n

j=1
a
ij
x
j
(t), i = 1, 2, ..., n; t ∈ IR.
Vom ar˘ata c˘a, pentru sistemul (2.13), la fel caˆın cazul ecuat ¸iilor diferent ¸iale
liniare cu coeficient ¸i constant ¸i, putem pune ˆın evident ¸˘a un sistem fundamental
de solut ¸ii.
ˆ
In acest scop c˘aut˘ am o solut ¸ie nebanal˘ a cu componentele de forma x
i
(t) =
α
i
e
λt
, unde α
i
¸si λ sunt parametri ce urmeaz˘a a fi determinat ¸i.
ˆ
Inlocuind ˆın (2.14), obt ¸inem sistemul liniar algebric ˆın necunoscutele
α
1
, α
2
, ..., α
n
:
(2.15)









α
1
(a
11
−λ) + α
2
a
12
+· · · + α
n
a
1n
= 0
α
1
a
21
+ α
2
(a
22
−λ) +· · · + α
n
a
2n
= 0
...........................................................
α
1
a
n1
+ α
2
a
n2
+· · · + α
n
(a
nn
−λ) = 0.
Sistemul (2.15) admite solut ¸ii nebanale dac˘ a ¸si numai dac˘ a λ este r˘ad˘ acin˘ a a
ecuat ¸iei caracteristice det(λI −A) = 0, asociate matricii A.
Ajun¸si ˆın acest punct s˘ a observ˘ am faptul c˘ a se poate face o analogie ˆıntre
sistemele diferent ¸iale liniare cu coeficient ¸i constant ¸i ¸si ecuat ¸iile diferent ¸iale
liniare cu coeficient ¸i constant ¸i.
Sisteme de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare 59
Presupunem c˘a
det(λI −A) = λ
n
+ a
1
λ
n−1
+· · · + a
n−1
λ + a
n
.
Teorema lui Cayley din algebra liniar˘ a afirm˘ a c˘a matricea A este ”solut ¸ie” a
propriei sale ecuat ¸ii caracteristice adic˘a
(2.16) A
n
+ a
1
A
n−1
+· · · + a
n−1
A + a
n
I = O
unde O este matricea nul˘a.
Din (2.16) rezult˘ a c˘a orice vector n-dimensional x satisface ecuat ¸ia
(2.17) A
n
x + a
1
A
n−1
x +· · · + a
n−1
Ax + a
n
Ix = 0.
Apoi, dac˘ a x este solut ¸ie a sistemului (2.13) atunci este infinit diferent ¸ial˘ a
¸si satisface relat ¸ia x
(k)
= A
k
x, pentru orice num˘ ar natural k, k ≥ 1. T¸ inˆ and
cont de aceast˘a observat ¸ie ¸si revenind la relat ¸ia (2.17) dac˘ a x este solut ¸ie a
sistemului diferent ¸ial (2.13) atunci:
(2.18) x
(n)
+ a
1
x
(n−1)
+· · · + a
n−1
x

+ a
n
x = 0,
adic˘ a vectorul x este solut ¸ie a unei ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordinul n cu coefi-
cient ¸i constant ¸i.
De fapt, relat ¸ia (2.18) arat˘ a c˘a fiecare component˘a a vectorului x satisface
aceea¸si ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a liniar˘ a scalar˘ a.
Prin urmare, este justificat s˘ a c˘aut˘ am drept solut ¸ii pentru sistemul (2.13),
vectori ce au componente funct ¸ii exponent ¸iale.
Cazul 1. Ecuat ¸ia caracteristic˘a det(λI −A) = 0 are r˘ad˘acini distincte
λ
1
, λ
2
, ..., λ
n
. Pentru r˘ ad˘ acina λ
1
a ecuat ¸iei caracteristice, sistemul algebric
liniar omogen (2.15) are cel put ¸in o solut ¸ie nebanal˘ a (α
11
, α
21
, ..., α
n1
), unde
al doilea indice marcheaz˘ a faptul c˘ a necunoscutele α
i1
, i = 1, n din sistemul al-
gebric (2.15) corespund la λ = λ
1
. Procedˆ and ˆın acela¸si mod pentru λ
2
, ..., λ
n
,
vom obt ¸ine pentru sistemul (2.13) urm˘ atoarele n solut ¸ii:
(2.19)
x
1
(t) =






α
11
e
λ
1
t
α
21
e
λ
1
t
.
.
.
α
n1
(t)e
λ
1
t






, x
2
(t) =






α
12
e
λ
2
t
α
22
e
λ
2
t
.
.
.
α
n2
(t)e
λ
2
t






, ...,
x
n
(t) =






α
1n
e
λnt
α
2n
e
λnt
.
.
.
α
nn
(t)e
λnt






.
60 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
ˆ
In continuare ar˘ at˘ am c˘a sistemul de solut ¸ii (2.19) este fundamental. Dac˘a
nu ar fi a¸sa, atunci exist˘ a constantele c
1
, c
2
, ..., c
n
nu toate nule, astfel ˆıncˆ at
c
1
x
1
(t) + c
2
x
2
(t) + · · · + c
n
x
n
(t) = 0, ∀t ∈ IR
de unde rezult˘ a c˘a ¸si pe componente are loc
c
1
α
i1
e
λ
1
t
+ c
2
α
i2
e
λ
2
t
+ · · · + c
n
α
in
e
λnt
= 0, ∀t ∈ IR, ∀i = 1, n.
Aceast˘a egalitate conduce, conform Teoremei 1.4, la relat ¸ia
c
1
α
i1
= c
2
α
i2
= · · · = c
n
α
in
= 0, ∀i = 1, n.
ˆ
Ins˘a cum m˘acar un c
j
este nenul, fie acesta c
1
, ar rezulta c˘a α
i1
= 0,
pentru i = 1, 2, ..., n, ceea ce contrazice faptul c˘a (α
11
, α
21
, ..., α
n1
) este o so-
lut ¸ie nebanal˘ a a sistemului algebric (2.15) pentru λ = λ
1
.
Deci, sistemul (2.19) este fundamental ¸si ca atare solut ¸ia general˘a a sis-
temului diferent ¸ial (2.13) are componentele:
x
i
(t) = c
1
α
i1
e
λ
1
t
+ c
2
α
i2
e
λ
2
t
+ · · · + c
n
α
in
e
λnt
,
unde c
1
, c
2
, ..., c
n
sunt n constante arbitrare.
Observat ¸ie. Dac˘a ecuat ¸ia caracteristic˘a are r˘ ad˘ acini complexe λ
1
= α + iβ,
λ
1
= α − iβ ˆın sistemul (2.19) vom ˆınlocui vectorii solut ¸ii complexe x
1
¸si x
2
cu
x
1
+ x
2
2
;
x
1
− x
2
2i
¸si noul sistem de vectori solut ¸ii r˘ amˆane liniar independent.
Cazul 2. Ecuat ¸ia caracteristic˘a are r˘ad˘acini multiple. S˘ a presupu-
nem c˘a ecuat ¸ia caracteristic˘a are r˘ ad˘ acinile distincte λ
1
, λ
2
, ..., λ
k
((k < n) de
multiplicit˘ at ¸i m
1
, m
2
, ..., m
k
unde m
1
+ m
2
+ · · · + m
k
= n.
ˆ
In acest caz, a¸sa cum rezult˘a din Teorema 1.4, funct ¸iile t
m
e
λ
j
t
, m =
0, 1, ..., m
j
− 1, j = 1, 2, ..., k, formeaz˘a un sistem fundamental de solut ¸ii pen-
tru ecuat ¸ia (2.18) iar solut ¸ia general˘a a sistemului (2.13) are forma (vectorul
solut ¸ie dat pe componente):
(2.20)
x
1
(t) = P
11
(t)e
λ
1
t
+ P
12
e
λ
2
t
+ · · · + P
1k
(t)e
λ
k
t
x
2
(t) = P
21
(t)e
λ
1
t
+ P
22
e
λ
2
+ · · · + P
2k
(t)e
λ
k
t
..................................................................
x
n
(t) = P
n1
(t)e
λ
1
t
+ P
n2
e
λ
2
+ · · · + P
nk
(t)e
λ
k
t
Transformata Laplace 61
unde P
ij
, i = 1, n, j = 1, k sunt polinoame de grad cel mult m
k
− 1 ai c˘aror
coeficient ¸i depind liniar de m
j
constante arbitrare.
Facem de asemenea observat ¸ia c˘a dac˘a unele r˘ ad˘ acini λ
i
sunt complexe, so-
lut ¸ia general˘a (2.20) poate fi prezentat˘ a, la fel caˆın cazul ecuat ¸iilor diferent ¸iale,
sub form˘ a real˘ a. Din relat ¸ia (2.20) rezult˘ a:
Teorema 2.5. Condit ¸ia necesar˘ a ¸si suficient˘ a ca toate solut ¸iile sistemului
(2.13) s˘ a tind˘a la zero pentru t → ∞ este ca p˘ art ¸ile reale ale r˘ ad˘ acinilor
ecuat ¸iei caracteristice asociate matricii A s˘ a fie strict negative.
Dac˘a ˆın locul sistemului diferent ¸ial (2.13) lu˘ am sistemul
x

(t) = Ax(t) + b(t), t ∈ IR
unde b(t) este o funct ¸ie vectorial˘a continu˘ a pe IR, atunci lui i se pot aplica
considerat ¸iile privind aflarea solut ¸iei generale plecˆand de la un sistem funda-
mental de solut ¸ii pentru sistemul diferent ¸ial liniar omogen asociat.
3.3 Transformata Laplace
Transformata Laplace, utilizat˘ a mai ales ˆın electrotehnic˘ a ˆın teoria circuitelor,
este o metod˘a care permite transformarea unei probleme de ecuat ¸ii diferent ¸iale
cu valori init ¸iale ˆıntr-o problem˘ a de algebr˘ a.
Aceast˘a transformare integral˘ a a fost introdus˘ a de matematicianul francez
Pierre Simon Laplace (1749–1827) ˆın lucr˘ arile sale de teoria probabilit˘ at ¸ilor ¸si
utilizat˘ a apoi ˆın rezolvarea ecuat ¸iilor diferent ¸iale din teoria circuitelor electrice
de inginerul englez Oliver Heaviside (1850–1925).
Definit ¸ia 3.1. Dac˘a f : [0, ∞) −→C, definim transformata sa Laplace prin:
(3.1) L(f) =


0
e
−st
f(t)dt,
dac˘a integrala din membrul drept exist˘ a.
Observat ¸ii.
1.
ˆ
Intrucˆ at ˆın Definit ¸ia 3.1 apar numai valorile lui f pe [0, ∞), putem con-
sidera extensia sa, notat˘ a tot cu f, definit˘ a prin:
f(t) =

0 for t < 0
f(t) for t ≥ 0
62 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
2. Integrala din membrul drept din (3.1) trebuie ˆınt ¸eleas˘a ˆın sensul:


0
e
−st
f(t)dt = lim
T→∞

T
0
e
−st
f(t)dt.
3. Deoarece membrul drept ˆın (3.1) este o funct ¸ie ce depinde de variabila
s, vom folosi notat ¸ia
L{f(t)} = F(s);
adic˘ a, dac˘ a f este funct ¸ia ce depinde de t, pentru transformata sa, func-
t ¸ie ce depinde de s, folosim litera mare corespunz˘ atoare.
4. Facem precizarea c˘a, de¸si putem lua s ∈ C, noi vom presupune peste tot
ˆın cele ce urmeaz˘a c˘a s ∈ IR.
Exemplul 3.1.
(i) Dac˘ a a ∈ IR, transformata Laplace a lui f(t) = e
at
este
F(s)=


0
e
−st
e
at
dt = lim
T→∞
e
−(s−a)T
−(s −a)

1
−(s −a)
=
1
s −a
,
s>a.
Deci
L{e
at
} =
1
s −a
(s > a).
De aici rezult˘a (luˆ and mai sus a = 0) c˘a
L{1} =
1
s
,
pentru s > 0.
Dac˘a a ∈ C, ˆın acela¸si mod se arat˘a c˘a
F(s) =
1
s −a
,
pentru s > Re a.
(ii) L{t
n
} =


0
e
−st
t
n
dt =
1
s
n
+ 1


0
x
n
e
−x
dx =
Γ(n + 1)
s
n+1
=
n!
s
n+1
,
dac˘a
s > 0.
S˘ a not˘ am cu D(L) mult ¸imea funct ¸iilor pentru care exist˘ a transformata
Laplace. Rezult˘ a imediat c˘a pentru f, g ∈ D(L) ¸si α, β ∈ C are loc relat ¸ia
L(αf + βg) = αL(f) + βL(g)
adic˘ a operatorul L este liniar.
Transformata Laplace 63
Revenind la definit ¸ia transformatei Laplace, funct ¸ia f se nume¸ste original
sau original Laplace ¸si este o funct ¸ie de variabil˘ a real˘ a t (ˆın multe probleme t
desemneaz˘a timpul), iar funct ¸ia F se nume¸ste transformata Laplace a lui f ¸si
este o funct ¸ie de variabil˘ a real˘ a s.
Domeniul de variat ¸ie a lui s este ˆın strˆ ans˘ a leg˘atur˘ a cu existent ¸a integralei
(3.1).
Dac˘a F este o transformat˘a Laplace, atunci originalul corespunz˘ ator se
obt ¸ine utilizˆ and transformata invers˘ a Laplace
(3.2) f(t) = L
−1
{F(s)} pentru t > 0.
Pentru a exista transformata Laplace a funct ¸iei f este necesar, dup˘a cum
am v˘azut, ca integrala din (3.1) s˘ a fie convergent˘a.
ˆ
In continuare, identific˘ am
o clas˘a de funct ¸ii pentru care acest lucru se ˆıntˆ ampl˘ a.
Propozit ¸ia 3.1. Fie f : [0, ∞) → IR o funct ¸ie continu˘ a ¸si α ∈ C, astfel c˘ a
are loc relat ¸ia:
(3.3) lim
t→∞
e
−αt
f(t) = 0.
Atunci exist˘ a transformata Laplace a lui f (se mai spune c˘ a f este de ordin
exponent ¸ial).
O funct ¸ie f este continu˘a pe port ¸iuni pentru t ≥ 0 dac˘a, ˆın orice interval
0 ≤ a ≤ t ≤ b, exist˘a cel mult un num˘ ar finit de puncte t
k
, k = 1, 2, ..., n
(t
k−1
< t
k
) ˆın care f are discontinuit˘ at ¸ile de spet ¸a ˆıntˆ ai ¸si este continu˘a pe
orice interval deschis (t
k−1
, t
k
).
Propozit ¸ia 3.2. Dac˘ a f este de ordin exponent ¸ial ¸si continu˘ a pe port ¸iuni
pentru t ≥ 0, atunci exist˘ a transformata sa Laplace.
Demonstrat ¸iile acestor propozit ¸ii sunt simple ¸si le l˘as˘am ca exercit ¸iu.
Mai ment ¸ion˘ am faptul c˘ a funct ¸iile folosite ˆın mod obi¸snuit ˆın studiul e-
cuat ¸iilor diferent ¸iale liniare admit transformat˘ a Laplace, astfel ˆıncˆ at, ˆın cele
ce urmeaz˘a nu ne vom propune s˘ a studiem condit ¸iile de existent ¸˘a ale acestor
transformate, ci s˘a calcul˘am transformatele unor funct ¸ii elementare ¸si uti-
lizarea lor ˆın rezolvarea ecuat ¸iilor diferent ¸iale.
Exemplul 3.2. Dac˘a ˆın Exemplul 3.1 (i) lu˘ am a = ib, rezult˘ a
L{e
ibt
} =
1
s −ib
=
s + ib
s
2
+ b
2
=
s
s
2
+ b
2
+
ib
s
2
+ b
2
·
64 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
Dac˘a ω ∈ IR, t ¸inˆ and cont c˘ a e
iωt
= cos ωt+i sinωt, iar operatorul L este liniar,
obt ¸inem
(3.4) L{cos ωt} =
s
s
2
+ ω
2
,
L{sin ωt} =
ω
s
2
+ ω
2
dac˘a s > 0.
ˆ
In teorema care urmeaz˘a enumer˘am cˆateva propriet˘ at ¸i elementare ale trans-
formatei Laplace, care se utilizeaz˘a ˆın lucrul cu aceasta.
Teorema 3.1.
• Translat ¸ia. Dac˘ a f este un original, F este transformata sa, iar a ∈ IR,
atunci
(3.5) L{e
at
f(t)} = F(s −a).
• Translat ¸ia argumentului. Dac˘ a F este transformata lui f ¸si a > 0,
atunci
(3.6) L{f(t −a)h(t −a)} = e
−as
F(s).
(3.7) L{f(t + a)h(t)} = e
as

F(s) −

a
0
e
−st
f(t)dt

.
pentru a > 0, unde h este funct ¸ia unitate a lui Heaviside,
h(t) =

0, t < 0,
1, t ≥ 0.
• Derivarea originalului. Dac˘ a f ¸si f

sunt originale Laplace, atunci
(3.8) L{f

(t)} = sL{f(t)} −f(0
+
),
unde f(0
+
) este limita la dreapta ˆın 0 a lui f. De asemenea
L{f
(n)
(t)} = s
n
F(s) −s
n−1
f(0
+
) −s
n−2
f

(0
+
) −· · · −f
(n−1)
(0
+
),
dac˘ a n ∈ IN, f ∈ C
n
(0, ∞), iar f
(i)
, i = 0, n sunt originale Laplace.
Formulele de mai sus se extind cu u¸surint ¸˘ a pentru cazul ˆın care f are
un num˘ ar finit de puncte de discontinuitate de spet ¸a I.
• Integrarea originalului. Dac˘ a f este un original Laplace, atunci
(3.9) L

t
0
f(τ)dτ

=
1
s
L{f(t)}.
Transformata Laplace 65
• Derivarea transformatei sau ˆınmult ¸irea originalului cu t.
(3.10) L{t
n
f(t)} = (−1)
n
d
n
ds
n
L{f(t)}.

ˆ
Imp˘art ¸irea cu t. Dac˘ a f ¸si
f(t)
t
sunt originale Laplace, iar F este
transformata lui f, atunci
(3.11) L

f(t)
t

=


s
F(τ)dτ =


s
L{f(t)}dτ.
• Teorema valorii init ¸iale. Dac˘ a f ¸si f

sunt originale Laplace ¸si dac˘ a
exist˘ a lim
t→0
t>0
f(t), atunci
(3.12) lim
s→∞
sF(s) = lim
t→0
t>0
f(t).
• Teorema valorii finale. Dac˘ a f ¸si f

sunt originale Laplace, f

este
m˘ arginit˘ a ¸si exist˘ a lim
t→∞
f(t), atunci
(3.13) lim
s→0
sF(s) = lim
t→∞
f(t).
• Teorema convolut ¸iei. Dac˘ a f ¸si g sunt originale Laplace, iar F ¸si G
transformatele lor, atunci
(3.14) L

t
0
f(τ)g(t −τ)dτ

= F(s)G(s),
deci transformata produsului de convolut ¸ie este egal˘ a cu produsul trans-
formatelor.
Observat ¸ie. Luˆ and ˆın (3.14) g(t) ≡ 1 ¸si t ¸inˆ and cont c˘ a L{1} =
1
s
, se deduce
(3.9).
Toate propriet˘ at ¸ile enunt ¸ate ˆın Teorema 3.1 se demonstreaz˘a simplu, folo-
sind definit ¸ia transformatei ¸si metoda integr˘ arii prin p˘ art ¸i.
Propriet˘ at ¸ile (3.5)–(3.11) ¸si (3.14) din Teorema 3.1 se pot transpune ime-
diat pentru transformata invers˘ a Laplace.
Mai exact, are loc:
Teorema 3.2.
• Dac˘ a F este transformata Laplace a lui f ¸si k ∈ IR
+
, atunci
66 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
(3.15) L
−1
{F(ks)} =
1
k
f

t
k

h(t), (k > 0).
• Inversa translatei. Dac˘ a F este o transformat˘ a Laplace ¸si dac˘ a origi-
nalul corespunz˘ ator transformatei F este f, atunci
(3.16) L
−1
{F(s − a)} = e
at
f(t)h(t).
• Translat ¸ia ˆın real. Dac˘ a F este o transformat˘ a Laplace ¸si f este
originalul s˘ au, atunci
(3.17) L
−1
{e
−as
F(s)} = f(t − a)h(t − a),
dac˘ a a > 0 ¸si
(3.18) L
−1

e
−as
F(s) − e
−as

−a
0
e
−st
f(t)dt

= f(t + a)h(t),
dac˘ a a < 0, unde h este funct ¸ia lui Heaviside.

ˆ
Inmult ¸irea cu s. Dac˘ a F este transformata lui f ¸si dac˘ a
f(0
+
) = 0, atunci
(3.19) L
−1
{sF(s)} = f

(t).
Dac˘ a f(0
+
) = 0, atunci
(3.20) L
−1
{sF(s)} = f

(t) + f(0
+
)δ(t),
unde δ este distribut ¸ia lui Dirac.

ˆ
Imp˘art ¸irea cu s. Dac˘ a F este transformata Laplace a lui f, atunci
(3.21) L
−1

F(s)
s

=

t
0
f(τ)dτ.
Rezultatul se generalizeaz˘ a pentru ˆımp˘ art ¸irea cu s
n
, n = 2, 3, ...
• Derivarea transformatei. Are loc relat ¸ia
(3.22) L
−1
{F
(n)
(s)} = (−1)
n
t
n
f(t).
• Integrarea transformatei. Dac˘ a F este o transformat˘ a Laplace ¸si f
originalul s˘ au, atunci
(3.23) L
−1


s
F(τ)dτ

=
1
t
f(t).
Transformata Laplace 67
• Relat ¸ia lui Duhamel. Dac˘ a F ¸si G sunt transformatele Laplace ale
originalelor f ¸si g, atunci
(3.24) L
−1
{sF(s)G(s)} = f(t)g(0
+
) +

t
0
f(τ)g

(t − τ)dτ.
• Prima teorem˘a a lui Heaviside. Dac˘ a transformata F se poate dez-
volta ˆın serie ˆın jurul punctului de la infinit, adic˘ a
F(s) =


n=0
a
n
s
n+1
seria fiind convergent˘ a pentru |s| > M, atunci originalul corespunz˘ ator
L
−1
{F(s)} este dat de
(3.25) f(t) = h(t)


n=0
a
n
n!
t
n
.
unde h este funct ¸ia lui Heaviside.
• A doua teorem˘a a lui Heaviside. Dac˘ a transformata F este o func-
t ¸ie rat ¸ional˘ a, atunci originalul corespunz˘ ator f este egal cu suma origi-
nalelor ˆın care s-a descompus F.
Teorema 3.3. Dac˘ a f(t, x) este un original Laplace ˆın raport cu t iar F(s, x)
transformata sa ¸si dac˘ a exist˘ a limitele
lim
x→x
0
f(t, x) ¸si lim
x→x
0
F(s, x)
atunci
(3.26) L

lim
x→x
0
f(t, x)

= lim
x→x
0
F(s, x).
Teorema 3.4. Dac˘ a f(t, x) este un original Laplace ˆın raport cu t, F(s, x) =
L{f(t, x)} ¸si dac˘ a exist˘ a derivata
∂f
∂x
(t, x), atunci
(3.27) L

∂f(t, x)
∂x

=
∂F(s, x)
∂x
·
Teorema 3.5. Dac˘ a f(t, x) este un original Laplace ˆın raport cu t ¸si dac˘ a
F(s, x) = L{f(t, x)}, atunci
(3.28) L

x
x
0
f(t, τ)dτ

=

x
x
0
F(s, τ)dτ.
Observat ¸ii.
68 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
(i) Transformata Laplace nu este injectiv˘ a. De exemplu, dac˘a consider˘ am
funct ¸iile
f(t) =





1, t ≥ 0, t = 1, t = 2
3, t = 1
4, t = 2
¸si g(t) = 1 pentru t ≥ 0
L{f(t)} = L{g(t)}.
(ii) Dac˘ a, totu¸si, funct ¸iile f
1
¸si f
2
sunt continue pentru t ≥ 0 ¸si L{f
1
(t)} =
L{f
2
(t)}, atunci rezult˘ af
1
(t) = f
2
(t).
Rezolvarea ecuat ¸iilor diferent ¸iale
utilizˆand transformata Laplace
Formula (3.8) ¸si liniaritatea transformatei Laplace ofer˘ a o cale elegant˘a pentru
rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare cu coeficient ¸i
constant ¸i.
Schematic, ˆın rezolvarea unei ecuat ¸ii diferent ¸iale cu ajutorul transformatei
Laplace, se parcurg urm˘ atoarele etape:
a) Se calculeaz˘a transformata Laplace a ecuat ¸iei.
b) Se determin˘ a valoarea transformatei X(s).
c) Se aplic˘a transformata invers˘ a Laplace lui X.
Pentru punctul b) se folosesc relat ¸iile (3.5)–(3.11) ¸si (3.14) sau tabelele
cu transformatele elementare.
ˆ
In ce prive¸ste punctul c), se folosesc, mai ales,
translat ¸ia (3.16) ¸si descompunerea expresiei lui X ˆın fract ¸ii simple (acolo unde
este posibil) ¸si, evident, tabelele cu transformatele elementare.
Exemplu. S˘ a se rezolve ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a cu valori init ¸iale

x

+ 2x

+ 5x = 0, t > 0
x(0) = 3, x

(0) = 0.
Solut ¸ie. Enumer˘ am etapele rezolv˘arii acestei ecuat ¸ii.
L(x

+ 2x

+ 5x) = L(0) (transformarea ambilor membri)
L(x

) + 2L(x

) + 5L(x) = 0 (liniaritatea)
L(x) = X
L(x

) = sX −3
L(x

) = s
2
X −3s





(regula de transformare a derivatelor)
Transformata Laplace 69
s
2
X −3s + 2(sX −3) + 5X = 0 (ˆınlocuirea ˆın ecuat ¸ie)
X(s) =
3s + 6
s
2
+ 2s + 5
(g˘asirea lui X)
Deoarece numitorul nu are r˘ ad˘ acini reale ˆıl scriem ca o sum˘a de p˘ atrate ¸si
obt ¸inem
X(s) =
3(s + 1) + 3
(s + 1)
2
+ 4
= Y (s + 1),
unde
Y (s) =
3s + 3
s
2
+ 4
=
3s
s
2
+ 4
+
3
2
2
s
2
+ 4
·
Aplicˆ and (3.4) ˆın relat ¸ia de mai sus (b = 2) g˘ asim
Y (s) = L

3 cos 2t +
3
2
sin 2t

¸si apoi folosind (3.16) obt ¸inem
x(t) = e
−t

3 cos 2t +
3
2
sin 2t

.
Funct ¸ia δ a lui Dirac
Funct ¸ia
δ
ε
(t −t
0
) =



1

,
t
0
−ε < t < t
0
+ ε
0, ˆın rest
serve¸ste ca model pentru o fort ¸˘a de tip “impuls”.
Deoarece


−∞
δ
ε
(t − t
0
)dt = 1, funct ¸ia δ
ε
(t − t
0
) se mai nume¸ste impuls
unitate.
ˆ
In practic˘ a, este util s˘a lucr˘ am cu alt tip de impuls unitate ¸si anume
δ(t −t
0
) = lim
ε→0
δ
ε
(t −t
0
).
Aceast˘a entitate, care nu mai este o funct ¸ie ˆın accept ¸iunea clasic˘a, poate fi
caracterizat˘a de dou˘ a propriet˘ at ¸i
(i) δ(t −t
0
) =

∞, t = t
0
0, t = t
0
,
(ii)


−∞
δ(t −t
0
)dt = 1.
70 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
Expresia δ(t −t
0
) se nume¸ste funct ¸ia delta a lui Dirac centrat˘ a ˆın t
0
¸si a fost
introdus˘ a de fizicianul englez Paul A.M. Dirac (1902–1984) ˆın anul 1930.
Putem obt ¸ine transformata Laplace a lui δ(t −t
0
) formal, prin
L{δ(t −t
0
)} = lim
ε→0
L{δ
ε
(t −t
0
)}.
Deoarece
L{δ
ε
(t −t
0
)} = e
−st
0

e

−e
−sε
2sε

,
rezult˘ a, prin trecere la limit˘ a cu ε −→ 0,
L{δ(t −t
0
)} = e
−st
0
.
S˘ a not˘ am faptul c˘ a, din definit ¸ia transformatei Laplace pentru o funct ¸ie con-
tinu˘ a pe port ¸iuni, rezult˘ a L{f(t)} → 0 pentru s → ∞, ˆın timp ce L{δ(t)}=1,
ceea ce ˆınt˘ are¸ste faptul c˘ a δ nu este o funct ¸ie. Ea este riguros fundamentat˘ a
ˆın cadrul teoriei distribut ¸iilor.
3.4 Probleme
1. S˘ a se determine mult ¸imea solut ¸iilor urm˘ atoarelor ecuat ¸ii liniare omogene:
(i) x

−3x

+ 3x

−x = 0,
(ii) x
IV
+ α
2
x

= 0, α ∈ IR,
(iii) 2x

−3x

+ x

= 0,
(iv) x
(n)
+
n
1
x
(n−1)
+
n(n −1)
1 · 2
x
(n−2)
+· · · +
n
1
x

+ x = 0.
2. S˘ a se determine mult ¸imea solut ¸iilor urm˘ atoarelor ecuat ¸ii liniare neomo-
gene:
(i) x

−x

+ x

+ x = te
t
,
(ii) x

+ x = sin t −cos t,
(iii) x

−a
2
x = e
bt
, a, b ∈ IR,
(iv) x

−2x

+ x =
e
t
t
2
+ 1
.
3. S˘ a se rezolve problemele Cauchy
(i) x
IV
−x = 8e
t
, x(0) = −1, x

(0) = 0, x

(0) = 1, x

= 0,
(ii) x

−x = 2t, x(0) = x

(0) = 0, x

(0) = 2,
(iii) x

−3x

−2x = 9e
2t
, x(0) = 0, x

(0) = 3, x

(0) = 3.
4. Se d˘ a ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
x

+ ax

+ bx = 0, a, b ∈ IR.
S˘ a se determine a ¸si b astfel ˆıncˆ at:
Probleme 71
(i) toate solut ¸iile ecuat ¸iei s˘a fie m˘arginite pe IR,
(ii) toate solut ¸iile ecuat ¸iei s˘a fie m˘arginite pe IR
+
,
(iii) toate solut ¸iile ecuat ¸iei s˘a fie m˘arginite pe IR

,
(iv) toate solut ¸iile ecuat ¸iei s˘a fie periodice,
(v) cel put ¸in o solut ¸ie nebanal˘ a a ecuat ¸iei s˘a tind˘ a la zero pentru t →∞,
(vi) fiecare solut ¸ie a ecuat ¸iei s˘a aib˘ a o infinitate de zerouri.
S˘ a se rezolve sistemele de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare ¸si omogene cu coefi-
cient ¸i constant ¸i
5.





x

= −3x + 4y −2z
y

= x + z
z

= 6x −6y + 5z,
6.





x

= 2x + y
y

= x + 3y −z
z

= −x + 2y + 3z,
7.





x

= y + z
y

= x + z
z

= x + y.
S˘ a se rezolve sistemele diferent ¸iale liniare cu coeficient ¸i constant ¸i, neomo-
gene:
8.



x

= −2x −4y + 1 + 4t
y

= −x + y +
3
2
t
2
,
9.







x

= −4x + 2y +
2
e
t
−1
y

= 6x + 3y +
3
e
t
−1
,
10.





x

= y −x + e
t
y

= z −x + cos t
z

= −x.
11. Se dau sistemele diferent ¸iale liniare neomogene ¸si corespunz˘ator un
sistem de solut ¸ii pentru sistemele omogene asociate.
(i) x

= Ax + b, A =

5 −1
1 3

, b =

sin t
cos t

,
x
1
=

e
4t
e
4t

, x
2
=

e
4t
t
e
4t
(t −1)

72 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
(ii) x

= Ax + b, A =



−1 1 0
−1 0 1
−1 0 0


, b =



e
t
cos t
0



x
1
=



e
−t
0
e
−t


, x
2
=



sin t
sin t + cos t
cos t


, x
3
=



−cos t
sin t −cos t
sin t


.
S˘ a se verifice c˘a vectorii solut ¸ie sunt liniar independent ¸i ¸si apoi, folosind
metoda variat ¸iei constantelor, s˘ a se g˘aseasc˘a solut ¸iile generale ale sistemelor
neomogene.
12. S˘ a se arate c˘a dac˘a f este un original Laplace cu transformata F ¸si
dac˘a
f(t)
t
este de asemenea original Laplace, atunci


0
f(t)
t
dt =


0
F(s)ds.
13. Utilizˆ and transformata Laplace s˘ a se calculeze:
(i)


0
sin t
t
dt, (ii)


0
sin
2
x
x
2
dx, (iii)


0
dt

t
0
e
−t
sin τ
τ
dτ.
14. S˘ a se calculeze transformatele originalelor: e
at
t
n
, e
at
cos ωt, e
at
sin ωt.
15. S˘ a se calculeze L{g(t)} unde
g(t) =

0, t < 1
(t −1)
n
, t ≥ 1
n ∈ IN.
16. S˘ a se calculeze L{cos(ωt + ϕ)h(t)}, unde ω, ϕ ∈ IR
+
.
17. Aplicˆ and (10), s˘ a se calculeze L
−1

arctg
1
s

.
18. S˘ a se calculeze L
−1

3s + 5
s
2
+ 7

.
19. S˘ a se calculeze L
−1

3s −2
s
3
(s
2
+ 4)

.
20. S˘ a se arate c˘a
L{t
α
} =
Γ(α + 1)
s
α+1
,
α > −1,
unde Γ este funct ¸ia gama a lui Euler.
21. S˘ a se calculeze transformata Laplace a funct ¸iei Bessel J
0
.
22. S˘ a se arate c˘a


0
e
−x
2
dx =

π
2
·
Probleme 73
23. S˘ a se determine solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei neomogene
x
iv
+ 5x

+ 4x = sin 2t. (∗)
24. S˘ a se rezolve ecuat ¸ia

x

− 6x

+ 9x = t
2
e
3t
x(0) = 2, x

(0) = 6.
25. S˘ a se rezolve

x

+ 3x = 1, t > 0
x(0) = −1.
26. S˘ a se rezolve

x

+ x = e
−2t
x(0) = x

(0) = 0.
27. S˘ a se rezolve sistemul

2x

+ y

− y = t
x

+ y

= t
2
,
cu condit ¸iile x(0) = 1, y(0) = 0.
28. Suportul unei mitraliere este proiectat astfel ˆıncˆ at arma ¸si mecanismul
de recul formeaz˘a un sistem descris de ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
x

+ 2x

+ x = f(t),
unde x reprezint˘a lungimea mi¸sc˘arii de recul. Presupunem c˘ a fiecare cartu¸s
d˘ a un impuls sistemului astfel c˘ a o rafal˘ a a k + 1 cartu¸se, la intervale τ de
timp d˘ a f(t) =
k

p=0
δ(t − pτ). S˘ a se determine x ¸stiind c˘ a x(0) = x

(0) = 0.
29. S˘ a se calculeze transformatele inverse Laplace pentru funct ¸iile: a) s

3
2
;
b)
1
s
2
+ 3s
; c)
s
s
2
+ 2s − 3
; d)
1
s
2
(s
2
+ 4)
; e)
s
(s + 2)(s
2
+ 4)
·
30. Folosind transformata Laplace s˘ a se determine o solut ¸ie particular˘ a a
ecuat ¸iilor neomogene
a) x

+ 4x = e
−4t
; b) x

+ 4x

+ 5x = e
−t
;
c) x

+ x = t cos t; d) x

+ 2x

+ 2x = sin t.
74 Ecuat ¸ii liniare. Transformata Laplace
31. S˘ a se rezolve, cu ajutorul transformatei Laplace, problemele Cauchy
a)

x

+ 3x

+ 2x = 1
x(0) = 0, x

(0) = 0,
b)

x

+ 2x = e
−t
x(0) = 3,
c)

x

+ 2x = e
−2t
x(0) = 0,
d)

x

+ 2x

+ 4x = 0
x(0) = 1, x

(0) = 0,
e)

x

+ 4x = e
−2t
x(0) = 0, x

(0) = 0,
f)

x

+ 4x = 0
x(0) = 5, x

(0) = 6,
g)

x

+ 4x = 6 sin t
x(0) = 6, x

(0) = 0,
h)

x

−3x = te
2t
x(0) = 0.
i)

x

+ ω
2
x = ω
2
f(t)
x(0) = x

(0) = 0,
j)





x

+ 3x

+ 2x =
= t −(t −1)h(t −1)
x(0) = x

(0) = 0,
k)

x

+ x = δ(t)
x(0) = x

(0) = 0.
32. Fie ecuat ¸ia integral˘ a
x(t) = f(t) +

t
0
x(τ) sin(t −τ)dτ
(i) S˘ a se arate c˘a X(s) = F(s)(1 + s
2
)/s
2
,
(ii) Dac˘ a f(t) = 12t
2
, s˘a se arate c˘a x(t) = t
4
+ 12t
2
.
33. S˘ a se rezolve problemele cu valori init ¸iale:
a)

x

+ ax = h(t) −2h(t −1) + h(t −2), a∈IR
x(0) = 0,
b)

x

+ 2x

+ 5x = δ(t)
x(0) = x

(0) = 0,
c)

x

+ 2x

+ 5x = δ
ε
(t)
x(0) = x

(0) = 0.
34. Dac˘a δ

(t − t
0
) este derivata funct ¸iei δ a lui Dirac, atunci se ¸stie c˘a
L{δ

(t −t
0
)} = se
−st
0
, t
0
≥ 0. Folosind acest rezultat, s˘a se rezolve problema
Cauchy

x

+ 5x = δ

(t)
x(0) = 0.
Capitolul 4
Elemente de teoria stabilit˘at ¸ii
4.1 Punerea problemei stabilit˘at ¸ii
S˘ a consider˘am sistemul diferent ¸ial
(1.1) x

= f(t, x)
unde
x(t) =






x
1
(t)
x
2
(t)
.
.
.
x
n
(t)






¸si f(t, x) =






f
1
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
f
2
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
.
.
.
f
n
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)






f
i
, i = 1, 2, ..., n, fiind funct ¸ii (neliniare) de x
1
, x
2
, ..., x
n
.
ˆ
In general, nu ne
putem a¸stepta ca, pentru un sistem de forma (1.1), s˘ a g˘asim o formul˘ a ex-
plicit˘ a pentru solut ¸ia sa general˘a.
ˆ
In aceast˘a situat ¸ie atent ¸ia se ˆındreapt˘ a spre
evident ¸ierea unor aspecte calitative legate de solut ¸iile sistemului (1.1) care nu
presupun rezolvarea acestuia.
Vom presupune c˘ a sunt ˆındeplinite condit ¸iile teoremei de existent ¸˘a ¸si uni-
citate a solut ¸iei problemei Cauchy pentru t ∈ [t
0
, ∞) ¸si pentru x ∈ Ω, Ω fiind
o mult ¸ime deschis˘a din IR
n
.
Deci pentru orice a ∈ Ω, exist˘a ¸si este unic˘a o solut ¸ie x = ϕ(t), ϕ :
[t
0
, ∞) →Ω astfel ˆıncˆ at ϕ(t
0
) = a.
Definit ¸ia not ¸iunii de solut ¸ie stabil˘ a a unui sistem diferent ¸ial ¸si primele
cercet˘ari ˆın aceast˘a direct ¸ie au ap˘ arut ˆın a doua parte a secolului al XIX-lea
¸si sunt datorate matematicienilor H. Poincar´e (1854–1912) ¸si A.M. Liapunov
(1857–1918).
76 Elemente de teoria stabilit˘ at ¸ii
ˆ
In termeni descriptivi se spune c˘a solut ¸ia x = ϕ(t), ϕ : [t
0
, ∞) → Ω este
stabil˘ a la +∞ˆın sens Poincar´e–Liapunov dac˘ a la variat ¸ii ”suficient de mici”
ale datei init ¸iale x
0
corespund variat ¸ii ”mici” ale solut ¸iei corespunz˘atoare.
O formulare mai precis˘ a este dat˘a de:
Definit ¸ia 1.1. Solut ¸ia ϕ a sistemului (1) se nume¸ste stabil˘ a dac˘a pentru orice
ε > 0 exist˘a δ(ε) > 0 astfel ˆıncˆ at de ˆındat˘ a ce x
0
∈ Ω ¸si x
0
−x
0
< δ(ε)
solut ¸iile ϕ ¸si ϕ care la momentul t
0
iau respectiv valorile x
0
¸si x
0
satisfac
inegalitatea
ϕ(t) −ϕ(t) < ε, pentru orice t ∈ [t
0
, ∞).
ˆ
In Fig. 1.1 d˘ am o imagine grafic˘a a stabilit˘ at ¸ii solut ¸iei ϕ.
Fig. 1.1.
Definit ¸ia 1.2. Spunem c˘ a solut ¸ia ϕ a sistemului (1.1) este asimptotic sta-
bil˘ a dac˘a este stabil˘a (ˆın sensul Definit ¸iei 1.1) ¸si satisface ˆın plus condit ¸ia
lim
t→∞
ϕ(t) −ϕ(t) = 0.
Cazul stabilit˘ at ¸ii spre −∞ se define¸ste similar. Remarc˘am de asemenea
c˘a printr-o translat ¸ie convenabil˘ a putem presupune c˘ a sistemul (1.1) admite
solut ¸ia banal˘ a, stabilitatea solut ¸iei init ¸iale revenind la stabilitatea solut ¸iei ba-
nale pentru noul sistem.
ˆ
Intr-adev˘ ar, dac˘ a studiem stabilitatea solut ¸iei ϕ a
Metoda funct ¸iei Liapunov 77
sistemului (1.1), f˘ acˆand substitut ¸ia x = y + ϕ ˆın sistemul (1.1) rezult˘ a c˘a y
va satisface sistemul
y

= f(t, y + ϕ) − f(t, ϕ) =

f(t, y)
¸si avem

f(t, 0) = 0 iar solut ¸iei x = ϕ ˆıi corespunde solut ¸ia y = 0.
4.2 Stabilitatea sistemelor diferent ¸iale.
Metoda funct ¸iei Liapunov
Fie sistemul autonom de ecuat ¸ii diferent ¸iale
(2.1) x

i
= f
i
(x
1
, x
2
, ..., x
n
), i = 1, 2...., n
unde f
i
: Ω → IR, pentru tot ¸i i = 1, 2, ..., n, Ω fiind o mult ¸ime deschis˘a din
IR
n
.
Spunem c˘ a x
0
= (x
0
1
, x
0
2
, ..., x
0
n
), x
0
∈ Ω, este punct critic sau punct de
echilibru pentru sistemul de ecuat ¸ii diferent ¸iale (2.1) dac˘ a f
i
(x
0
) = 0 pentru
orice i = 1, 2, ..., n. Solut ¸ia x(t) ≡ x
0
a sistemului (2.1) se nume¸ste solut ¸ie
stat ¸ionar˘ a sau solut ¸ie de echilibru a sistemului.
Definit ¸ia 2.1. Punctul x
0
∈ Ω se nume¸ste punct critic izolat pentru sistemul
(2.1) dac˘ a exist˘a ε > 0 astfel ˆıncˆ at, ˆın mult ¸imea (B(x
0
, ε)\{x
0
}) ∩Ω, nu exist˘ a
nici un punct critic al sistemului.
Definit ¸ia 2.2. Spunem c˘ a punctul critic izolat x
c
= (x
c
1
, x
c
2
, ..., x
c
n
) al sistemu-
lui (2.1) este punct critic stabil sau punct de echilibru stabil dac˘a pentru orice
ε > 0 exist˘a δ > 0 astfel c˘a
x(0) − x
c
< δ implic˘ a x(t) − x
c
< ε
pentru tot ¸i t > 0, x(·) fiind o solut ¸ie a sistemului (2.1). Dac˘ a exist˘a δ > 0
astfel ˆıncˆ at
x(0) − x
c
< δ implic˘ a lim
t→∞
x(t) − x
c
= 0,
spunem c˘a punctul critic x
c
este asimptotic stabil.
Facem ment ¸iunea c˘a unii autori folosesc ˆın loc de stabilitate a punctului
critic expresia stabilitate a solut ¸iei stat ¸ionare. Dup˘ a cum se vede, este vorba
de acela¸si lucru.
Metoda lui Liapunov ˆın abordarea stabilit˘ at ¸ii solut ¸iei stat ¸ionare const˘a
ˆın determinarea unei funct ¸ii V care joac˘a rolul de energie pentru sistemul
78 Elemente de teoria stabilit˘ at ¸ii
(2.1) ¸si care r˘amˆane m˘arginit˘ a de-a lungul oric˘ arei traiectorii (solut ¸ii) t →
(x
1
(t), x
2
(t), . . . , x
n
(t)) a sistemului sau, ˆın cazul stabilit˘ at ¸ii asimptotice,
V (x
1
(t), x
2
(t), ..., x
n
(t)) →0 pentru t →∞.
Definit ¸ia 2.3. O funct ¸ie V
1
, V
1
: IR
n
→ IR se nume¸ste funct ¸ie Liapunov de
primul tip relativ la punctul critic izolat (x
c
1
, x
c
2
, ..., x
c
n
) al sistemului neliniar
(2.1) dac˘ a satisface urm˘atoarele condit ¸ii
(i) V
1
este de clas˘a C
1
ˆın raport cu toate variabilele sale ˆın paralelipipedul
Π ce cont ¸ine punctul critic (x
c
1
, ..., x
c
n
).
(ii)
ˆ
In punctul critic, V
1
(x
c
1
, ..., x
c
n
) = 0.
(iii) Exist˘ a o funct ¸ie strict cresc˘atoare, continu˘ a ¸si pozitiv˘ a ϕ
1
definit˘ a pe
0 < r < δ astfel c˘a V
1
(x
1
, ..., x
n
) ≥ ϕ
1
(r) ˆın orice punct din Π, unde
r
2
= (x
1
−x
c
1
)
2
+· · · + (x
n
−x
c
n
)
2
.
(iv) V
1
satisface ˆın Π inegalitatea
f
1
∂V
1
∂x
1
+ f
2
∂V
1
∂x
2
+· · · + f
n
∂V
1
∂x
n
≤ 0.
Observat ¸ie. Din ipoteza (iv) rezult˘ a c˘a funct ¸ia
t →
d
dt
V
1
(x
1
(t), ..., x
n
(t))
este negativ˘a pe traiectoriile sistemului (2.1).
Cu aceste preg˘atiri putem enunt ¸a prima teorem˘a a lui Liapunov
Teorema 2.1. (Prima teorem˘a a lui Liapunov) Dac˘ a V
1
este o funct ¸ie Lia-
punov de primul tip relativ la punctul critic izolat (x
c
1
, x
c
2
, ..., x
c
n
) al sistemului
neliniar (2.1), atunci punctul critic este stabil.
Demonstrat ¸ie. Avem ϕ
1
(r) ≤ V
1
(x
1
, ..., .x
n
) unde r
2
= (x
1
− x
c
1
)
2
+ (x
2

x
c
2
)
2
+· · · + (x
n
−x
c
n
)
2
apoi, t ¸inˆ and cont de (iv),
V
1
(x
1
(t), ..., x
n
(t)) = V
1
(x
1
(0), ..., x
n
(0))+
+

t
0
d
ds
V
1
(x
1
(s), ..., x
n
(s))ds ≤ V
1
(x
1
(0), ..., x
n
(0)).
Metoda funct ¸iei Liapunov 79
Dar funct ¸ia ϕ
1
fiind continu˘ a ¸si cresc˘atoare are o invers˘ a continu˘ a ϕ
−1
1
, care
verific˘ a
(2.2) r(t) ≤ ϕ
−1
1
(V
1
(x
1
(0), ..., x
n
(0)),
unde r(t) =

(x
1
(t) −x
c
1
)
2
+· · · + (x
n
(t) −x
c
n
)
2
.
Fie acum ε > 0. Alegem δ
1
> 0 astfel c˘a ϕ
−1
1
(ρ) < ε pentru 0 < ρ < δ
1
.
Deoarece V
1
este continu˘a ¸si (x
c
1
, ..., x
c
n
) este punct critic, rezult˘ a c˘a putem
alege δ>0 astfel c˘a V
1
(x
1
, x
2
, ..., x
n
)<δ
1
dac˘a (x
1
−x
c
1
)
2
+· · · + (x
n
−x
c
n
)
2

2
.
Din (2.2) rezult˘ a c˘a ori de cˆate ori data init ¸ial˘ a (x
1
(0), ..., x
n
(0)) satisface
(x
1
(0) −x
c
1
)
2
+· · · + (x
n
(0) −x
c
n
)
2
< δ
2
avem r(t) < ε pentru tot ¸i t > 0, adic˘ a ceea ce trebuia demonstrat.
Exemplul 2.1. Fie ecuat ¸ia oscilatorului armonic x

+ ω
2
x = 0 cu ω > 0.
Ecuat ¸ia este echivalent˘a cu sistemul diferent ¸ial de ordinul ˆıntˆ ai
x

= y, y

= −ω
2
x
care are punctul critic (0, 0). Definim energia total˘ a a oscilatorului armonic
(energia cinetic˘ a plus energia potent ¸ial˘ a) prin
V =
1
2
x

2
+
ω
2
2
x
2
=
1
2
(y
2
+ ω
2
x
2
).
Rezult˘a imediat c˘a funct ¸ia V este o funct ¸ie Liapunov, deci solut ¸ia stat ¸ionar˘ a
este stabil˘a.
Exemplul 2.2. Folosind funct ¸ia Liapunov V
1
(x, y) = x
2
+ y
2
s˘a se demon-
streze c˘a pentru sistemul diferent ¸ial

x

= y
y

= −x −y
3
(0, 0) este punct critic stabil.
Solut ¸ie.
ˆ
Intr-adev˘ ar, funct ¸ia Liapunov este continu˘ a ¸si pozitiv˘ a ˆın orice
paralelipiped ce cont ¸ine punctul critic (0, 0). Alegem funct ¸ia ϕ
1
(r) = r
2
.
Pentru a ˆıncheia demonstrat ¸ia este suficient s˘a verific˘ am (iv)
d
dt
V
1
(x, y) = 2xx

+ 2yy

= 2xy + 2y(−x −y
3
) = −2y
4
≤ 0.
Definit ¸ia 2.4. Funct ¸ia V
2
, V
2
: IR
n
→ IR se nume¸ste funct ¸ie Liapunov de al
doilea tip relativ la punctul critic izolat (x
c
1
, x
c
2
, ..., x
c
n
) al sistemului neliniar
(2.1), dac˘ a satisface urm˘atoarele condit ¸ii:
80 Elemente de teoria stabilit˘ at ¸ii
(j) V
2
este de clas˘a C
1
ˆın raport cu toate variabilele sale ˆın paralelipipedul
Π ce cont ¸ine punctul critic (x
c
1
, ..., x
c
n
).
(jj) V
2
(x
c
1
, ..., x
c
n
) = 0.
(jjj) Exist˘ a o funct ¸ie strict cresc˘atoare, continu˘ a ¸si pozitiv˘ a ϕ
2
definit˘ a pe
0 < r < δ astfel c˘a V
2
(x
1
, ..., x
n
) ≥ ϕ
2
(r) ˆın orice punct din Π, unde
r
2
= (x
1
−x
c
1
)
2
+· · · + (x
n
−x
c
n
)
2
.
(jv) V
2
satisface ˆın Π inegalitatea
f
1
∂V
2
∂x
1
+· · · + f
n
∂V
2
∂x
n
< 0.
S˘ a observ˘ am faptul c˘ a singura deosebire care apare ˆın definirea funct ¸iei
Liapunov de al doilea tip, fat ¸˘a de cea de primul tip, este dat˘ a de condit ¸ia (jv)
care ˆınt˘ are¸ste condit ¸ia (iv).
Teorema 2.2. (A doua teorem˘a a lui Liapunov) Dac˘ a V
2
este o func-
t ¸ie Liapunov de al doilea tip relativ la punctul critic izolat (x
c
1
, x
c
2
, ..., x
c
n
) al
sistemului neliniar (2.1), atunci punctul critic este asimptotic stabil.
Demonstrat ¸ie. Din ipoteze avem
d
dt
V
2
(x
1
(t), ..., x
n
(t)) < 0,
astfel c˘a funct ¸ia t → V
2
(x
1
(t), ..., x
n
(t)) este descresc˘atoare ¸si m˘arginit˘ a in-
ferior de zero. Prin urmare, exist˘ a limita L = lim
t→∞
V
2
(x
1
(t), ..., x
n
(t)). Dac˘a
L = 0, avem ϕ
2
(r(t)) ≤ V
2
(x
1
(t), ..., x
n
(t)), astfel c˘a
r(t) ≤ ϕ
−1
2
(V
2
(x
1
(t), ..., x
n
(t)) →0
pentru t →∞ ¸si demonstrat ¸ia este ˆıncheiat˘ a.
Dac˘a presupunem prin absurd c˘ a L > 0, atunci x(t) ≥ δ > 0 unde
x(t) = (x
1
(t), ..., x
n
(t)), astfel c˘a
d
dt
V
2
(x
1
(t), ..., x
n
(t)) ≤ −A
2
< 0.
Aceasta implic˘a
V
2
(x
1
(t), ..., x
n
(t)) −V
2
(x
1
(0), ..., x
n
(0)) ≤ −A
2
t →−∞
Metoda funct ¸iei Liapunov 81
care contrazice V
2
≥ 0. Deci L = 0.
Exemplu. Folosind funct ¸ia Liapunov V
2
(x, y) = x
2
+ 2y
2
, s˘a se demonstreze
c˘a pentru sistemul diferent ¸ial

x

= 2xy −x
y

= −x
2
−y
3
(0, 0) este punct critic asimptotic stabil.
Solut ¸ie. Deoarece propriet˘ at ¸ile (j)–(jjj) sunt satisf˘ acute de V
2
, r˘ amˆane de
verificat doar (jv). Pentru asta calcul˘ am
d
dt
V
2
(x, y) = 2xx

+ 4yy

= 2x(2xy −x) + 4y(−x
2
−y
3
) = −2x
2
−4y
4
care este strict negativ˘a (exceptˆand originea) ceea ce implic˘a faptul c˘ a (0, 0)
este punct critic asimptotic stabil.
Facem observat ¸ia c˘a, ˆın tratarea problemelor de stabilitate, nu exist˘ a o
ret ¸et˘a care s˘a permit˘ a determinarea funct ¸iei Liapunov pentru sisteme diferent ¸i-
ale neliniare. Totul t ¸ine de experient ¸a rezolvitorului iar, pentru unele sisteme
ce modeleaz˘a fenomene fizice, de faptul c˘ a, funct ¸ia Liapunov joac˘ a rolul de
energie.
D˘ am ˆın continuare, f˘ ar˘ a demonstrat ¸ie, dou˘ a teoreme privind stabilitatea
sistemelor diferent ¸iale, liniare sau a c˘ aror tratare se reduce la cazul liniar.
S˘ a consider˘ am sistemul liniar omogen
(2.3) x

= Ax
unde A este o matrice de tip n×n cu elemente numere reale. Matricea A se nu-
me¸ste hurwitzian˘ a dac˘ a toate r˘ ad˘ acinile ecuat ¸iei caracteristice det(λI −A) = 0
au partea real˘ a negativ˘ a. Relativ la sistemul (2.3), este u¸sor de observat c˘a so-
lut ¸ia banal˘ a este stabil˘a (asimptotic stabil˘ a), dac˘ a ¸si numai dac˘ a orice solut ¸ie
a sa este stabil˘a (asimptotic stabil˘ a). Din acest motiv, vorbim de stabilitatea
sistemului ¸si nu doar a unei solut ¸ii.
Teorema 2.3. Sistemul (2.3) este asimptotic stabil dac˘ a ¸si numai dac˘ a ma-
tricea A este hurwitzian˘ a. Dac˘ a toate r˘ad˘ acinile caracteristice au partea real˘ a
negativ˘a ¸si r˘ ad˘ acinile pur imaginare sunt simple, atunci sistemul (2.3) este
stabil. Dac˘ a cel put ¸in o r˘ ad˘ acin˘a a ecuat ¸iei caracteristice are partea real˘ a
strict pozitiv˘ a, solut ¸ia banal˘ a a sistemului este instabil˘ a.
ˆ
In ce prive¸ste r˘ad˘ acinile ecuat ¸iei caracteristice, exist˘a criteriul lui A. Hur-
witz (1859–1919) care d˘ a condit ¸iile necesare ¸si suficiente pe care trebuie s˘a le
82 Elemente de teoria stabilit˘ at ¸ii
ˆındeplineasc˘ a coeficient ¸ii polinomului caracteristic det(λI −A) pentru ca toate
r˘ ad˘ acinile sale s˘a aib˘ a partea real˘ a negativ˘ a. De exemplu, pentru polinomul
P(λ) = λ
3
+ aλ
2
+ bλ + c acestea sunt: a > 0, b > 0 ¸si ab > c.
S˘ a revenim la sistemul (2.1), unde funct ¸iile f
i
, i = 1, ..., n sunt presupuse
de clas˘a C
1
ˆın domeniul Π.
Fie (x
c
1
, ..., x
c
n
) un punct critic pentru sistemul (2.1). Dezvoltˆ and funct ¸iile
f
i
ˆın serie Taylor ˆın jurul punctului x
c
= (x
c
1
, ..., x
c
n
) obt ¸inem
f
i
(x) =
n

j=1
∂f
i
∂x
j
(x
c
)(x
j
−x
c
j
) +· · ·
Sistemul diferent ¸ial liniar
(2.4)
dx
dt
= Ax
unde A =

∂f
i
∂x
j
(x
c
)

i,j=1,n
poart˘ a denumirea de prima aproximat ¸ie liniar˘ a a
sistemului (2.1) ˆın jurul punctului critic x
c
. Are loc
Teorema 2.4. Presupunem c˘ a punctul x
c
= (x
c
1
, x
c
2
, ..., x
c
n
) este punct critic
izolat pentru sistemul neliniar (2.3). Dac˘ a matricea jacobian˘ a A din sistemul
(2.4) este hurwitzian˘ a, atunci punctul critic (x
c
1
, ..., x
c
n
) este asimptotic stabil.
Exemplu. Fie sistemul

x

= −x −y + x
2
y

= 2 sin x −3y + y
2
.
Pentru a studia stabilitatea solut ¸iei banale, consider˘ am sistemul liniarizat co-
respunz˘ator

x

= −x −y
y

= 2x −3y
adic˘ a ¯ x

= A¯ x, unde A =

−1 −1
2 −3

. R˘ad˘ acinile caracteristice fiind λ
1,2
=
−2 ±i, Teorema 2.4 arat˘a c˘a punctul critic (0, 0) este asimptotic stabil.
Probleme 83
4.3 Probleme
1. S˘ a se verifice cu ajutorul definit ¸iilor urm˘ atoarele afirmat ¸ii:
(i) Orice solut ¸ie a ecuat ¸iei diferent ¸iale x

+ ax = 0 este stabil˘a dac˘a a = 0,
asimptotic stabil˘ a dac˘a a > 0 ¸si instabil˘ a dac˘a a < 0.
(ii) Orice solut ¸ie a ecuat ¸iei

a
2
+ t
2
dx + (t + x −

a
2
+ t
2
)dt = 0, a ∈ IR,
este asimptotic stabil˘a.
(iii) Solut ¸ia ecuat ¸iei diferent ¸iale x

+ 2tx = t + 1 cu data init ¸ial˘ a x(0) = 1
este asimptotic stabil˘a.
(iv) Solut ¸ia sistemului diferent ¸ial x

= −y, y

= x cu datele init ¸iale x(0) = x
0
,
y(0) = y
0
; x
0
, y
0
∈ IR, este stabil˘a dar nu este asimptotic stabil˘ a.
2. S˘ a se arate c˘a V (x, y) = x
2
+y
2
este o funct ¸ie Liapunov pentru sistemul

x

= −x
3
+ 2xy
2
y

= −2x
2
y −5y
3
.
3. S˘ a se g˘aseasc˘a o funct ¸ie Liapunov de forma V (x, y) = ax
2
+by
2
pentru
sistemul

x

= −x
3
+ xy
2
+ 3x
7
y

= −2x
2
y −4y
3
−3y
5
.
4. Folosind metoda funct ¸iei Liapunov, s˘ a se cerceteze stabilitatea solut ¸iei
banale a urm˘ atoarelor sisteme de ecuat ¸ii:
a)

x

= −xy
4
y

= x
4
y,
b)

x

= −2x −3y
y

= x −y,
c)

x

= −y −x/2 −x
3
/4
y

= x −y/2 −y
3
/4,
d)

x

= x
5
+ y
3
y

= x
3
−y
5
,
e)

x

= ay −bx
2n+1
y

= −ax −cy
2n+1
, a, b, c > 0, n ∈ IN.
84 Elemente de teoria stabilit˘ at ¸ii
5. S˘ a se studieze stabilitatea solut ¸iilor sistemului

x

= x + 5y
y

= 5x + y.
6. S˘ a se determine solut ¸iile stat ¸ionare ale sistemului diferent ¸ial

x

= 1 −xy
y

= x −y
3
.
¸si s˘a se studieze stabilitatea lor.
7. Folosind metoda primei aproximat ¸ii s˘a se studieze stabilitatea solut ¸iei
banale (0, 0, 0) a sistemului diferent ¸ial neliniar





x

= −2x + y + 3z + 9y
2
y

= −6y −5z + 7z
2
z

= −z + x
2
+ y
2
.
8. Fie sistemul diferent ¸ial neliniar

x

= y + ax(x
2
+ y
2
)
y

= −x + ay(x
2
+ y
2
, a ∈ IR.
S˘ a se arate c˘a, de¸si pentru sistemul liniarizat x

= y, y

= −x punctul de
echilibru (0, 0) este stabil, pentru sistemul init ¸ial acela¸si punct de echilibru
este asimptotic stabil pentru a < 0 ¸si instabil pentru a > 0.
Capitolul 5
Integrale prime ¸si ecuat ¸ii cu
derivate part ¸iale de ordinul
ˆıntˆai
ˆ
In acest capitol vom introduce not ¸iunea de integral˘ a prim˘ a a unui sistem de
ecuat ¸ii diferent ¸iale ordinare ¸si vom analiza leg˘ atura acesteia cu ecuat ¸iile cu
derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai.
5.1 Integrale prime ¸si legi de conservare
Fie sistemul diferent ¸ial autonom
(1.1) x

i
= X
i
(x
1
, x
2
, ..., x
n
), i = 1, 2, ..., n
unde funct ¸iile X
i
sunt de clas˘a C
1
pe o mult ¸ime deschis˘a D, D ⊂ IR
n
.
Definit ¸ie. Funct ¸ia scalar˘a Ψ(x) = Ψ(x
1
, x
2
, ..., x
n
), continu˘ a ¸si cu derivate
part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai continueˆın D, care nu este identic egal˘ a cu o constant˘a
ˆın D, dar care este constant˘a de-a lungul solut ¸iilor sistemului (1.1) care r˘ amˆan
ˆın D, se nume¸ste integral˘ a prim˘ a a sistemului.
D˘ am acum un criteriu analitic pentru a recunoa¸ste dac˘a o funct ¸ie Ψ este
sau nu o integral˘ a prim˘ a, f˘ ar˘ a a cunoa¸ste solut ¸iile sistemului de ecuat ¸ii dife-
rent ¸iale.
Teorema 1.1. Condit ¸ia necesar˘ a ¸si suficient˘ a pentru ca o funct ¸ie Ψ continu˘ a
ˆın D ˆımpreun˘ a cu derivatele part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai, care nu este constant˘ a
86 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai
ˆın D, s˘ a fie o integral˘ a prim˘ a a sistemului (1.1) este ca s˘ a verifice egalitatea
(1.2) (grad Ψ(x), X(x)) = 0, ∀x ∈ D
unde X = (X
1
, X
2
, ..., X
n
).
Demonstrat ¸ie. Necesitatea este imediat˘a deoarece Ψ, fiind constant˘ a de-a
lungul oric˘ arei solut ¸ii a sistemului (1.1), avem
Ψ(x
1
(t), ..., x
n
(t)) ≡ C,
pentru orice solut ¸ie (x
1
t, x
2
(t), ..., x
n
(t)) a sistemului (1.1) de unde, prin dife-
rent ¸iere (¸si t ¸inˆ and cont c˘ a prin orice punct al lui D trece o solut ¸ie a sistemului
(1.1)), rezult˘ a (1.2).
Suficient ¸a rezult˘a din faptul c˘ a (1.2) implic˘ a
n

i=1
∂Ψ(x(t))
∂x
i
X
i
(x(t)) = 0,
pentru orice x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
), solut ¸ie a lui (1.1), de unde rezult˘ a c˘a ψ este
constant˘a de-a lungul traiectoriilor sistemului (1.1).
Faptul c˘ a funct ¸ia Ψ este constant˘a de-a lungul traiectoriilor sistemului
(1.1) se mai scrie sub forma Ψ(x
1
, x
2
, ..., x
n
) = C. De aceea se mai spune c˘a
integralele prime reprezint˘ a legi de conservare.
Exemplul 1. Fie un corp de mas˘ a m aflat ˆın c˘ adere liber˘ a sub act ¸iunea
gravitat ¸iei F = mg. Atunci, mi¸scarea corpului este descris˘a de sistemul

h

= v
v

= −g,
unde v este viteza lui, iar h distant ¸a fat ¸˘a de p˘ amˆant (parametri de stare).
Funct ¸ia de stare E = mgh +
mv
2
2
este constant˘a de-a lungul traiectoriei,
deoarece E

= mgh

+ mvv

= mgv + mv(−g) = 0. Recunoa¸stem aici legea
conserv˘ arii energiei.
Exemplul 2. Presupunem c˘ a un punct material (particul˘ a) de mas˘a m se
mi¸sc˘a ˆın spat ¸iu sub act ¸iunea unui cˆ amp de fort ¸e

F = −gradV, cu V funct ¸ie de
clas˘a C
1
(cˆampul F se mai nume¸ste conservativ iar V este un potent ¸ial scalar
Integrale prime ¸si legi de conservare 87
al mi¸sc˘arii). Dac˘ a x(t) = (x
1
(t), x
2
(t), x
3
(t)) sunt coordonatele punctului ma-
terial la momentul t, atunci, ˆın virtutea legii lui Newton, ecuat ¸ia mi¸sc˘arii este
mx

= −gradV ¸si pe componente
mx

i
= −
∂V
∂x
i
,
i = 1, 2, 3.
Atunci
m(x

1
x

1
+ x

2
x

2
+ x

3
x

3
) = −
∂V
∂x
1
x

1

∂V
∂x
2
x

2

∂V
∂x
3
x

3
adic˘ a
1
2
m
d
dt
(x

2
1
+ x

2
2
+ x

2
3
) = −
d
dt
V (x
1
(t), x
2
(t), x
3
(t)).
Notˆand
T =
1
2
m(x

2
1
+ x

2
2
+ x

2
3
) =
1
2
mv
2
(energia cinetic˘ a a particulei)
atunci
d
dt
T = −
d
dt
V,
deci T +V = constant. A¸sadar, ˆın lungul oric˘ arei curbe integrale, suma T +V
este constant˘a ¸si este numit˘a integral˘ a prim˘ a a energiei.
Integrale prime ¸si integrarea sistemului. Cazul autonom
Vom examina rolul pe care-l au integralele prime la integrarea unui sistem de
ecuat ¸ii diferent ¸iale.
S˘ a presupunem c˘ a se cunosc p (1 ≤ p ≤ n) integrale prime ale sistemului
(1.1) ¸si anume
(1.3) f
i
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) = C
i
(i = 1, 2, ..., p).
Aceste integrale prime se numesc independente, dac˘ a ecuat ¸iile (1.3) pot fi
rezolvate ˆın mod unic ˆın raport cu p dintre variabilele x
1
, x
2
, ..., x
n
. Dar pentru
ca integralele (1.3) s˘a fie independente este suficient s˘ a existe un minor de
ordinul p al matricei:

∂f
i
∂x
j

, i = 1, 2, ..., p; j = 1, 2, ..., n
care s˘a nu se anuleze ˆın D.
88 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai
Teorema 1.2. Dac˘ a pentru sistemul (1.1) se cunosc p integrale prime inde-
pendente, atunci integrarea lui se reduce la integrarea unui sistem normal de
n −p ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai.
Demonstrat ¸ie. Presupunˆ and c˘ a integralele prime f
i
(i = 1, 2, ..., p) sunt
independente, ecuat ¸iile (1.3) se pot rezolva ˆın mod unic ˆın raport cu p dintre
variabilele x
1
, x
2
, ..., x
n
, de exemplu ˆın raport cu primele p, obt ¸inˆ andu-se:
x
i
= g
i
(x
p+1
, x
p+2
, ..., x
n
, C
1
, C
2
, ..., C
p
), i = 1, 2, ..., p.
ˆ
Inlocuindu-se apoi ˆın ultimele n −p ecuat ¸ii ale sistemului (1.1) se obt ¸ine
x

p+k
= X
p+k
(g
1
, g
2
, ..., g
p
, x
p+1
, ..., x
n
), k = 1, 2, ..., n −p.
Teorema 1.2 arat˘a important ¸a integralelor prime pentru sisteme diferent ¸iale.
S˘ a presupunem acum c˘a funct ¸iile X
1
, X
2
, ..., X
n
nu se anuleaz˘a simul-
tan ˆın nici un punct din domeniul D. Pentru simplitate, presupunem c˘ a
X
1
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) = 0 pentru orice (x
1
, ..., x
n
) ∈ D.
Sistemul (1.1) se poate scrie ˆın forma simetric˘ a
(1.4)
dx
1
X
1
=
dx
2
X
2
= · · · =
dx
n
X
n
= dt
¸si integrarea lui revine la integrarea sistemului de (n −1) ecuat ¸ii diferent ¸iale:
(1.5)
dx
2
dx
1
=
X
2
X
1
,
dx
3
dx
1
=
X
3
X
1
,
· · ·
,
dx
n
dx
1
=
X
n
X
1
,
urmat˘ a de o cuadratur˘ a.
ˆ
Intr-adev˘ ar, integrˆ and sistemul (1.5), se g˘ ase¸ste
x
2
= g
2
(x
1
, C
1
, C
2
, .., C
n−1
), ..., x
n
= g
n
(x
1
, C
1
, C
2
, ..., C
n−1
).
ˆ
Inlocuind acum ˆın primul raport din (1.4) rezult˘ a
dx
1
X
1
(x
1
, g
2
, g
3
, ..., g
n
)
= dt,
de unde, printr-o cuadratur˘ a ce introduce ˆınc˘ a o constant˘ a arbitrar˘ a, se obt ¸ine
t funct ¸ie de x
1
.
Rezult˘a, t ¸inˆ and cont de Teorema 1.2, c˘a pentru integrarea sistemului (1.5)
sunt necesare (n − 1) integrale prime independente ˆın D, adic˘ a F
1
= C
1
,
F
2
= C
2
, ..., F
n−1
= C
n−1
, astfel ˆıncˆ at:
∂(F
1
, F
2
, ..., F
n−1
)
∂(x
2
, x
3
, ..., x
n−1
)
= 0
Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai liniare 89
pentru toate punctele x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ D.
Observat ¸ie. Un sistem neautonom se poate transforma ˆıntr-un sistem au-
tonom, m˘ arind num˘ arul dimensiunilor cu o unitate.
ˆ
Intr-adev˘ ar, dac˘ a consider˘am sistemul
x

i
= f
i
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
), i = 1, 2, ..., n
acesta poate fi scris sub forma:
dx
1
f
1
(t, x
1
, ..., x
n
)
=
dx
2
f
2
(t, x
1
, ..., x
n
)
= · · · =
dx
n
f
n
(t, x
1
, ..., x
n
)
=
dt
1
·
Combinat ¸ii integrabile
Dac˘a se pot determina n funct ¸ii, λ
1
, λ
2
, ..., λ
n
continue ˆın D, astfel ˆıncˆ at ˆın D
s˘a fie verificat˘ a identic egalitatea
λ
1
X
1
+ λ
2
X
2
+· · · + λ
n
X
n
= 0
iar expresia λ
1
dx
1
+ λ
2
dx
1
+ · · · + λ
n
dx
n
s˘a fie o diferent ¸ial˘ a total˘ a exact˘a,
adic˘ a s˘a existe o funct ¸ie Ψ ∈ C
1
(D) astfel ˆıncˆ at:
λ
1
dx
1
+ λ
2
dx
2
+· · · + λ
n
dx
n
= dΨ,
atunci spunem c˘a expresia λ
1
X
1

2
X
2
+· · · +λ
n
X
n
este o combinat ¸ie inte-
grabil˘ a a sistemului (1.5).
ˆ
In aceste condit ¸ii, se vede imediat c˘a Ψ este o integral˘a prim˘ a a sistemului
(1.5). Acest procedeu simplu permite uneori g˘ asirea de integrale prime ale
unui sistem de ecuat ¸ii diferent ¸iale.
5.2 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆai
liniare
O relat ¸ie de forma
F

x
1
, x
2
, ..., x
n
,
∂z
∂x
1
,
∂z
∂x
2
,
· · ·
,
∂z
∂x
n
,
z

= 0,
unde x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ D ⊂ IR
n
, z ∈ C
1
(D), poart˘ a denumirea de ecua-
t ¸ie cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai. Aici, funct ¸ia necunoscut˘a este z, de
argumente (x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ D. Spunem c˘ a z : D → R este solut ¸ie a ecuat ¸iei
de mai sus dac˘a este continu˘ a ¸si cu derivate part ¸iale continue ˆın D ¸si satisface
relat ¸ia dat˘ a peste tot ˆın D. Dac˘a F este de gradul ˆıntˆ ai ˆın z ¸si derivatele lui
z, spunem c˘a ecuat ¸ia este liniar˘ a. Dac˘a F este liniar˘a numai ˆın derivatele lui
z, dar nu ¸si ˆın funct ¸ia necunoscut˘a z, spunem c˘a ecuat ¸ia este cvasiliniar˘ a.
90 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai
Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆai liniare ¸si omogene
Ecuat ¸iile de acest tip au forma
(2.1)
n

i=1
X
i
(x
1
, x
2
, ..., x
n
)
∂z
∂x
i
= 0
unde X
i
, i = 1, 2, ..., n, sunt funct ¸ii de clas˘a C
1
ˆın mult ¸imea D. Presupunem
c˘a funct ¸iile X
i
nu se anuleaz˘a simultan ˆın D.
Din Teorema 1.1, aplicat˘ a sistemului autonom scris sub form˘ a simetric˘a
(2.2)
dx
1
X
1
=
dx
2
X
2
= · · · =
dx
n
X
n
,
rezult˘ a c˘a funct ¸iile z = z(x
1
, x
2
, ..., x
n
), z ∈ C
1
(D) sunt solut ¸ii ale ecuat ¸iei
(2.1), dac˘ a ¸si numai dac˘ a sunt integrale prime ale sistemului (2.2). Sistemul
(2.2) poart˘ a denumirea de sistemul caracteristic al ecuat ¸iei cu derivate part ¸iale
(2.1).
Presupunem c˘ a se cunosc (n −1) integrale prime ale sistemului (2.2)
(2.3) F
i
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) = C
i
, i = 1, 2, ..., n −1
astfel ˆıncˆ at determinantul lor funct ¸ional ˆın raport cu (n−1) din cele n variabile
s˘a nu se anuleze ˆın nici un punct din D, de exemplu s˘a avem ˆın D:
(2.4)
∂(F
1
, F
2
, ..., F
n−1
)
∂(x
2
, x
3
, ..., x
n
)
= 0.
Teorema care urmeaz˘a prezint˘ a structura solut ¸iei generale a ecuat ¸iei (2.1).
Teorema 2.1. Dac˘ a F
1
, F
2
, ..., F
n−1
sunt (n−1) integrale prime independente
ale sistemului caracteristic (2.2), iar φ este o funct ¸ie arbitrar˘ a de (n − 1)
variabile, de clas˘ a C
1
ˆın raport cu acestea, atunci:
(2.5) z = φ(F
1
, F
2
, ..., F
n−1
)
este o solut ¸ie a ecuat ¸iei (2.1), ¸si orice solut ¸ie a ecuat ¸iei (2.1) are forma (2.5).
Demonstrat ¸ie. Deoarece φ ¸si F
i
, i = 1, n −1, sunt funct ¸ii de clas˘a C
1
, rezult˘ a
c˘a φ(F
1
, F
2
, ..., F
n−1
) este de clas˘a C
1
, ˆın raport cu variabilele (x
1
, x
2
, ..., x
n
).
Acum, deoarece de-a lungul unei solut ¸ii arbitrare a sistemului (2.2) avem
F
i
= C
i
, ¸si deci φ(C
1
, C
2
, ..., C
n−1
) = const., adic˘ a φ este o integral˘a prim˘ a a
sistemului (2.2), rezult˘ a c˘a φ este solut ¸ie a ecuat ¸iei (2.1).
Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai liniare 91
Reciproc, s˘a presupunem c˘ a z = z(x
1
, x
2
, ..., x
n
) este o solut ¸ie a ecuat ¸iei
(2.1) ¸si s˘a ar˘ at˘am c˘a are forma (2.5).
Deoarece F
1
, F
2
, ..., F
n−1
sunt ¸si ele solut ¸ii ale ecuat ¸iei (2.1) rezult˘ a c˘a ˆın
D este verificat sistemul:
(2.6)
X
1
∂z
∂x
1
+ X
2
∂z
∂x
2
+· · · + X
n
∂z
∂x
n
= 0
X
1
∂F
1
∂x
1
+ X
2
∂F
1
∂x
2
+· · · + X
n
∂F
1
∂x
n
= 0
.
.
.
X
1
∂F
n−1
∂x
1
+ X
2
∂F
n−1
∂x
2
+· · · + X
n
∂F
n−1
∂x
n
= 0.
Interpret˘ am sistemul (2.6) ca un sistem algebric liniar ¸si omogen de n
ecuat ¸ii cu n necunoscute, X
1
, X
2
, ..., X
n
.
Deoarece pentru fiecare punct x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ D sistemul (2.6) ad-
mite solut ¸ii nebanale (ˆıntrucˆ at funct ¸iile X
i
nu se anuleaz˘a simultan ˆın D),
rezult˘ a c˘a determinantul s˘ au este identic nul ˆın D, deci:
(2.7)
∂(z, F
1
, F
2
, ..., F
n−1
)
∂(x
1
, x
2
, ..., x
n
)
= 0.
Dac˘a ˆın D avem X
1
(x
1
, ..., x
n
) = 0, determinantul funct ¸ional (2.4) este nenul
¸si din (2.7) rezult˘ a c˘a z este o funct ¸ie de F
1
, F
2
, ..., F
n−1
, adic˘ a (2.5).
Problema lui Cauchy pentru ecuat ¸ia omogen˘a
Presupunˆ and c˘ a X
1
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) = 0 ˆın D, ecuat ¸ia (2.1) se scrie ˆın forma
normal˘ a:
∂z
∂x
1
= −

X
2
X
1
∂z
∂x
2
+
X
3
X
1
∂z
∂x
3
+· · · +
X
n
X
1
∂z
∂x
n

Problema lui Cauchy asociat˘ a ecuat ¸iei (2.1) se enunt ¸˘a astfel: S˘ a se determine
solut ¸ia ecuat ¸iei (2.1) care pentru x
1
= x
0
1
se reduce la o funct ¸ie arbitrar˘ a
dat˘ a ϕ(x
2
, x
3
, ..., x
n
), continu˘ a ¸si cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai continue
ˆıntr-o vecin˘ atate a punctului (x
0
2
, x
0
3
, ..., x
0
n
), unde punctul (x
0
1
, x
0
2
, ..., x
0
n
) ∈ D.
Aceast˘a problem˘ a admite o solut ¸ie unic˘ a, ce se obt ¸ine astfel: din relat ¸iile
(2.3) scrise pentru x
1
= x
0
1
, deci:
F
i
(x
0
1
, x
2
, ..., x
n
) = C
i
, i = 1, 2, ..., n −1
se pot scoate x
2
, x
3
, ..., x
n
ˆın funct ¸ie de C
1
, C
2
, ..., C
n−1
, deoarece este satisf˘a-
cut˘a condit ¸ia (2.4).
92 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai
Introducˆ and acum expresiile g˘ asite pentru x
2
, x
3
, ..., x
n
ˆın funct ¸ia z =
ϕ(x
2
, x
3
, ..., x
n
) se obt ¸ine z ˆın funct ¸ie de C
1
, C
2
, ..., C
n−1
, adic˘ a o relat ¸ie de
forma
z = F(C
1
, C
2
, ..., C
n−1
).
ˆ
Inlocuind acum pe C
1
, C
2
, ..., C
n−1
cu expresiile lor conform cu (2.3), se obt ¸ine
solut ¸ia c˘autat˘ a a ecuat ¸iei (2.1):
z = F(F
1
, F
2
, ..., F
n−1
)
¸si care satisface condit ¸ia Cauchy impus˘ a.
Exemplu. S˘ a se determine solut ¸ia ecuat ¸iei
(x
3
−x
2
)
2∂z
∂x
1
+ x
3
∂z
∂x
2
+ x
2
∂z
∂x
3
= 0,
care satisface condit ¸ia z(0, x
2
, x
3
) = 3x
2
2
−x
2
3
−2x
2
x
3
.
Rezolvare. Sistemul caracteristic asociat este
dx
1
(x
3
−x
2
)
2
=
dx
2
x
3
=
dx
3
x
2
¸si admite integralele prime:
(2.8) x
2
2
−x
2
3
= C
1
, 3x
1
+ (x
3
−x
2
)
2
= C
2
.
F˘ acˆand x
1
= 0 ¸si eliminˆ and x
2
¸si x
3
ˆıntre relat ¸iile:
x
2
2
−x
2
3
= C
1
, (x
2
−x
3
)
2
= C
2
, z = 3x
2
2
−x
2
3
−2x
2
x
3
se obt ¸ine z = 2C
1
+ C
2
.
ˆ
Inlocuind acum pe C
1
¸si C
2
din (2.8), rezult˘ a c˘a
funct ¸ia z = 2x
1
+ 3x
2
2
−x
2
3
−2x
2
x
3
este solut ¸ia c˘autat˘ a.
5.3 Aplicat ¸ii la fizica plasmei
Not ¸iunea de plasm˘ a este folosit˘a ˆın fizic˘ a pentru a desemna un gaz ionizat, cu
o densitate suficient de mare astfel c˘a fort ¸ele exercitate de particulele gazului,
unele asupra altora sunt neglijabile ˆın comparat ¸ie cu fort ¸ele exercitate asupra
particulelor de un cˆ amp electromagnetic exterior.
ˆ
In laborator, plasma apare
cˆand electricitatea este desc˘arcat˘a direct ˆın gaz.
Studiul plasmei este stimulat, ˆıntre altele, de posibilitatea de a controla
reactoarele termonucleare.
Aplicat ¸ii la fizica plasmei 93
Reactoarele termonucleare folosesc gaze la temperaturi foarte ˆınalte, tem-
peraturi la care gazul este complet ionizat, prin urmare este o plasm˘ a.
Problema principal˘ a a reactoarelor nucleare este cum s˘a p˘ astreze plasma.
Un container nu poate fi folosit, deoarece peret ¸ii s˘ai s-ar vaporiza instan-
taneu. Practica a ar˘ atat c˘a plasma poate fi p˘ astrat˘ a ˆıntr-un cˆ amp magnetic.
Ecuat ¸ia de baz˘a a plasmei este cunoscut˘a sub numele de ecuat ¸ia lui Boltz-
mann.
Vom prezentaˆın continuare un caz special al acestei ecuat ¸ii care este folosit
ˆın problema static˘ a a stratului limit˘ a.
ˆ
In acest caz, ecuat ¸ia are forma
(2.9) mv
1
∂f
∂x
+ e

v
2
c

dx


dx

∂f
∂v
1
− e
v
1
c

dx
∂f
∂v
2
= 0.
ˆ
In (2.9), f este funct ¸ia necunoscut˘a de trei variabile independente x, v
1
¸si
v
2
. Funct ¸iile φ ¸si η sunt date ¸si depind doar de x, ˆın timp ce m, e, C sunt
constante.
Ecuat ¸ia (2.9) este liniar˘ a ¸si omogen˘a, sistemul caracteristic asociat fiind
(2.10)
dx
mv
1
=
dv
1
e

v
2
C

dx


dx
=
dv
2
−e
v
1
C

dx
·
Din primul ¸si al treilea raport obt ¸inem integrala prim˘ a
f
1
= mv
2
+
e
C
η(x).
ˆ
Inmult ¸ind num˘ ar˘ atorul ¸si numitorul celui de-al doilea raport cu 2v
1
, celui de-al
treilea raport cu 2v
2
¸si adunˆ and num˘ ar˘ atorii ¸si numitorii rapoartelor rezultate,
obt ¸inem raportul
d(v
2
1
+ v
2
2
)
−2ev
1

dx
care, egalat cu primul raport din (2.10), conduce la cea de-a doua integral˘ a
prim˘ a
f
2
=
1
2
m(v
2
1
+ v
2
2
) + eφ(x).
Evident, f
1
¸si f
2
sunt funct ¸ional independente, deci solut ¸ia general˘a a e-
cuat ¸iei (2.9) este dat˘a de
(2.11) f(x, v
1
, v
2
) = F(mv
2
+
e
C
η(x),
1
2
m(v
2
1
− v
2
2
) + eφ(x)),
94 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai
unde F(f
1
, f
2
) este o funct ¸ie arbitrar˘ a de dou˘ a variabile.
ˆ
In (2.11), f
1
reprezint˘a energia particulei de mas˘ a m, iar f
2
este momentul
cinetic.
Perechea de ecuat ¸ii
f
1
= C
1
, f
2
= C
2
; C
1
, C
2
= constante
determin˘ a traiectoria particulei.
5.4 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale cvasiliniare
Consider˘ am ecuat ¸ia
(3.1)
X
1
(x
1
, x
2
, ..., x
n
, z)
∂z
∂x
1
+X
2
(x
1
, x
2
, ..., x
n
, z)
∂z
∂x
2
+· · · +
+X
n
(x
1
, x
2
, ..., x
n
, z)
∂z
∂x
n
= X
n+1
(x
1
, x
2
, ..., x
n
, z)
unde X
1
, X
2
, ..., X
n+1
sunt funct ¸ii de n + 1 argumente, de clas˘a C
1
ˆın raport
cu aceste argumente ˆıntr-un domeniu D, (n + 1)-dimensional.
La fel caˆın cazul liniar omogen, presupunem c˘ a funct ¸iile X
i
, i=1, 2, ..., n+1,
nu se anuleaz˘a simultan ˆın D.
Se pune problema determin˘ arii tuturor funct ¸iilor z = z(x
1
, x
2
, ..., x
n
), con-
tinue ˆımpreun˘ a cu derivatele lor part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai, care verific˘ a ecuat ¸ia
(3.1). Problema integr˘ arii acestei ecuat ¸ii se poate reduce la problema integr˘ arii
ecuat ¸iei liniare omogene (2.1) dac˘ a, ˆın loc s˘a determin˘ am pe z direct, solut ¸ie
a ecuat ¸iei (3.1), c˘aut˘ am s˘a determin˘am o funct ¸ie u ∈ C
1
(D), ce depinde de
(n + 1) argumente u(x
1
, x
2
, ..., x
n
, z) astfel ca, din relat ¸ia
(3.2) u(x
1
, x
2
, ..., x
n
, z) = 0
s˘a putem scoate pe z ce verific˘a (3.1), adic˘ a ˆın D,
∂u
∂z
= 0.
Din (3.2) rezult˘ a relat ¸iile
∂z
∂x
k
= −
∂u
∂x
k
:
∂u
∂z
,
k = 1, 2, ..., n
care, ˆınlocuite ˆın (3.1), conduc la:
(3.3) X
1
∂u
∂x
1
+X
2
∂u
∂x
2
+· · · +X
n
∂u
∂x
n
+X
n+1
∂u
∂z
= 0
Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale cvasiliniare 95
care este o ecuat ¸ie liniar˘ a ¸si omogen˘a ˆın u pe care o trat˘am cu metodele
dezvoltate ˆın paragraful anterior. Mai exact, ˆıi asociem sistemul caracteristic
dx
1
X
1
=
dx
2
X
2
= · · · =
dx
n
X
n
=
dz
X
n+1
·
Fie n integrale prime ale acestui sistem
F
i
(x
1
, x
2
, ..., x
n
, z) = C
i
, i = 1, 2, ..., n.
Integrala general˘ a a ecuat ¸iei (3.3) va fi deci
u = φ(F
1
, F
2
, ..., F
n
)
iar solut ¸ia z a ecuat ¸iei (3.1), se deduce ca funct ¸ie implicit˘ a din
φ(F
1
, F
2
, ..., F
n
) = 0
unde φ este o funct ¸ie arbitrar˘ a de clas˘a C
1
ˆın D.
Exemplu. Fie ecuat ¸ia
x
∂u
∂x
+y
∂u
∂y
+z
∂u
∂z
= mu (m = const.).
Sistemul caracteristic asociat este
dx
x
=
dy
y
=
dz
z
=
du
mu
,
din care deducem
y
x
= C
1
,
z
x
= C
2
,
u
x
m
= C
3
.
Solut ¸ia u se deduce din relat ¸ia
φ

y
x
,
z
x
,
u
x
m

= 0,
care ne d˘a
u = x
m
ϕ

y
x
,
z
x

·
96 Ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai
5.5 Probleme
1. S˘ a se determine integralele prime ale urm˘ atoarelor sisteme de ecuat ¸ii dife-
rent ¸iale scrise sub form˘a simetric˘a:
(i)
dx
y + z
=
dy
x + z
=
dz
x + y
;
(ii)
dx
x + y
2
+ z
2
=
dy
y
=
dz
z
;
(iii)
dx
x(y + z)
=
dy
z(z −y)
=
dz
y(y −z)
;
(iv)
dx
cy −bz
=
dy
az −cx
=
dz
bx −ay
; a, b, c ∈ IR;
(v)
dx
x(y
3
−2x
3
)
=
dy
y(2y
3
−x
3
)
=
dz
9z(x
3
−y
3
)
.
2. S˘ a se determine solut ¸ia general˘a a urm˘ atoarelor ecuat ¸ii cu derivate
part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai liniare ¸si omogene:
(i) (x −z)
∂u
∂x
+ (y −z)
∂u
∂y
+ 2z
∂u
∂z
= 0;
(ii)

1 +

3z −x −y
∂u
∂x
+ 2
∂u
∂y
+
∂u
∂z
= 0;
(iii) (y
m
−z
p
)
∂u
∂x
+ (z
p
−x
n
)
∂u
∂y
+ (x
n
−y
m
)

∂u
z = 0, m, n, p ∈ IN

.
3. S˘ a se determine solut ¸iile urm˘ atoarelorprobleme Cauchy:
(i)

x
∂u
∂x
+

y
∂u
∂y
+

z
∂u
∂z
= 0, u(x, y, 1) = x −y);
(ii) (1 + x
2
)
∂u
∂x
+ xy
∂u
∂y
= 0, u(0, y) = y
2
;
(iii) x
∂u
∂x
+ y
∂u
∂y
+ xy
∂u
∂z
= 0, u(x, y, 0) = x
2
+ y
2
.
4. S˘ a se determine solut ¸iile generale ale urm˘ atoarelor ecuat ¸ii cu derivate
part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai cvasiliniare:
(i) y
∂u
∂x
+ x
∂u
∂y
= x −y;
(ii) 2x
∂u
∂x
+ (y −x)
∂u
∂y
= ye
x
;
(iii) (xu + y)
∂u
∂x
+ (x + uy)
∂u
∂y
= 1 −u
2
;
(iv) (1 +

u −x −y)
∂u
∂x
+
∂u
∂y
= 2;
(v) x
∂u
∂x
+ (z + u)
∂u
∂y
+ (y + u)
∂u
∂z
= y + z.
Capitolul 6
Funct ¸ii speciale
Folosirea metodelor matematice ˆın fizic˘ a, mecanic˘a, astronomie a scos ˆın evi-
dent ¸˘a, ˆıntr-o serie de probleme fundamentale, cˆ ateva funct ¸ii, numite funct ¸ii
speciale, care au unele propriet˘ at ¸i asem˘an˘ atoare cu cele care caracterizeaz˘a
funct ¸iile transcendente elementare.
O categorie important˘ a de funct ¸ii speciale rezult˘a din rezolvarea proble-
melor la limit˘ a pentru ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale liniare de ordinul al doilea,
pe domenii cilindrice sau sferice.
Dup˘ a cum vom vedea, o metod˘a foarte folosit˘ a ˆın rezolvarea acestor pro-
bleme este metoda separ˘arii variabilelor. Procedeul general de rezolvare prin
aceast˘a metod˘a const˘a ˆın g˘ asirea unui sistem de coordonate curbilinii ortogo-
nale astfel ˆıncˆ at ecuat ¸ia cu derivate part ¸iale dat˘ a, dup˘ a transformarea ei ˆın
noile variabile, s˘ a admit˘ a separarea variabilelor.
Aplicˆ and metoda separ˘ arii variabilelor, suntem condu¸si la probleme la
limit˘ a pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale (ordinare) de ordinul al doilea, liniare ¸si omo-
gene. Problemele la limit˘ a pentru aceste ecuat ¸ii determin˘ a clase importante
de funct ¸ii speciale (funct ¸ii cilindrice, sferice etc.). Iat˘ a cˆateva ecuat ¸ii, a c˘aror
rezolvare conduce la funct ¸ii speciale:
• Ecuat ¸ia lui Bessel
x
2
y

+ xy

+ (x
2
−ν
2
)y = 0, unde ν este o constant˘a;
• Ecuat ¸ia lui Legendre
(1 −x
2
)y

−2xy

+ νy = 0, unde ν este o constant˘a;
• Ecuat ¸ia lui Hermite
y

−2xy

+ 2ny = 0, unde n ∈ Z;
98 Funct ¸ii speciale
• Ecuat ¸ia lui Cebˆa¸sev
(1 −x
2
)y

−xy

+ n
2
y = 0, unde n ∈ Z;
• Ecuat ¸ia hipergeometric˘a
x(1 −x)y

+ (c −(a + b + 1)x)y

−aby = 0, a, b, c fiind constante.
ˆ
In cele ce urmeaz˘a, vom prezenta funct ¸iile speciale generate de primele
dou˘ a ecuat ¸ii, funct ¸ii cunoscute sub numele de funct ¸ii cilindrice, respectiv func-
t ¸ii sferice, acestea fiind cele mai frecvent ˆıntˆ alnite ˆın problemele de fizic˘ a ma-
tematic˘a. Vom studia propriet˘ at ¸ile lor, unele relat ¸ii pe care le satisfac, ex-
primarea lor prin funct ¸ii elementare, precum ¸si posibilitatea dezvolt˘ arii unei
funct ¸ii date ˆın serie de funct ¸ii speciale.
Atˆ at funct ¸iile cilindrice, cˆ at ¸si cele sferice apar ca solut ¸ii ale unor ecuat ¸ii
cu derivate part ¸iale de ordinul II, rezolvate prin metoda separ˘ arii variabilelor.
Dup˘ a cum vom vedea, prin aceast˘a metod˘a rezolvarea unei ecuat ¸ii cu derivate
part ¸iale (ˆın anumite situat ¸ii privind forma ecuat ¸iei ¸si domeniul ˆın care se
lucreaz˘a) se reduce la rezolvarea a dou˘ a ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordinul II cu
condit ¸ii suplimentare. Aceste ecuat ¸ii diferent ¸iale cu condit ¸ii la limit˘ a fac parte
din categoria problemelor cunoscute sub numele de probleme Sturm–Liouville.
De¸si problemele Sturm–Liouville sunt interesante prin ele ˆınsele, noi vom
evident ¸ia doar acele rezultate pe care le vom folosi ˆın teoria funct ¸iilor cilindrice
¸si sferice.
6.1 Rezolvarea ecuat ¸iilor diferent ¸iale liniare cu aju-
torul seriilor de puteri
Metoda seriilor de puteri este una din metodele de baz˘ a pentru rezolvarea e-
cuat ¸iilor diferent ¸iale liniare cu coeficient ¸i variabili. Metoda, dup˘ a cum arat˘ a ¸si
numele, const˘a ˆın c˘ autarea solut ¸iei sub forma unei serii de puteri. Noi ne vom
ocupa doar de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare de ordinul al doilea deoarece sunt
cele mai importante din punctul de vedere al aplicat ¸iilor. La ˆınceput facem o
scurt˘a prezentare a seriilor de puteri, de¸si consider˘am c˘a sunt cunoscute de la
cursul de analiz˘a matematic˘a.
O serie de forma
(1.1)


n=0
a
n
(x −x
0
)
n
se nume¸ste serie de puteri ˆın jurul punctului x
0
. Numerele a
0
, a
1
, ..., a
n
, ... se
numesc coeficient ¸ii seriei. Spunem c˘a seria (1.1) este convergent˘a ˆın punctul
Rezolvarea ecuat ¸iilor cu serii de puteri 99
x = x
1
, dac˘ a exist˘a ¸si este finit˘a
lim
N→∞
N

n=0
a
n
(x
1
−x
0
)
n
iar limita se va numi suma seriei ˆın punctul x
1
.
ˆ
In caz c˘a limita de mai sus nu
exist˘a sau este infinit˘ a, spunem c˘ a seria este divergent˘a ˆın punctul x
1
.
Seriile de puteri au o proprietate special˘ a ¸si anume faptul c˘ a mult ¸imea
punctelor ˆın care seria este convergent˘a formeaz˘a un interval. Raza acestui
interval, ˆın cazul seriei (1.1), este dat˘a de formula
(1.2) R =
1
lim
n→∞
n

|a
n
|
sau
(1.3) R = lim
n→∞




a
n
a
n+1




presupunˆ and c˘ a limitele (1.2) sau (1.3) exist˘ a.
Dac˘a R = 0, seria (1.1) converge numai ˆın x = x
0
. Dac˘a R = ∞, seria
(1.1) converge pentru orice x, iar dac˘ a 0 < R < ∞, seria converge ˆın intervalul
|x −x
0
| < R ¸si diverge pentru |x −x
0
| > R.
Intervalul (−R + x
0
, R + x
0
) se nume¸ste interval de convergent ¸˘ a al seriei
(1.1), iar R se nume¸ste raz˘ a de convergent ¸˘ a.
ˆ
In capetele intervalului, x =
−R+x
0
respectiv x = R+x
0
, seria poate fi convergent˘ a sau divergent˘ a. Deci,
pentru orice x, |x −x
0
| < R, suma seriei de puteri exist˘a ¸si define¸ste o funct ¸ie
(1.4) f(x) =


n=0
a
n
(x −x
0
)
n
, pentru |x −x
0
| < R.
Funct ¸ia f astfel definit˘ a este derivabil˘ a de orice ordin, derivatele sale f

, f

, ...
obt ¸inˆ andu-se prin derivarea seriei (1.4) termen cu termen.
ˆ
In procesul c˘ aut˘ arii solut ¸iei unei ecuat ¸ii diferent ¸iale sub forma unei serii de
puteri, avem nevoie, pe lˆ ang˘ a derivare, de adun˘ ari, sc˘ aderi, ˆınmult ¸iri a dou˘ a
sau mai multe serii de puteri. Aceste operat ¸ii sunt foarte asem˘an˘ atoare cu
cele f˘acute cu polinoame cu restrict ¸ia c˘a, ˆın cazul seriilor, operat ¸iile se fac
pe intersect ¸ia mult ¸imilor de convergent ¸˘a ale seriilor implicate. S˘ a introducem
acum conceptul de funct ¸ie analitic˘ a care va fi folosit ˆın cele ce urmeaz˘a.
Spunem c˘ a funct ¸ia f este analitic˘ a ˆın punctul x
0
dac˘a poate fi scris˘a sub
forma
(1.5) f(x) =


n=0
a
n
(x −x
0
)
n
,
100 Funct ¸ii speciale
seria avˆand o raz˘ a de convergent ¸˘a pozitiv˘ a.
Din (1.5) g˘ asim f
(n)
(x
0
) = n!a
n
pentru n = 0, 1, 2, ..., deci seria (1.5) este
seria Taylor
(1.6) f(x) =


n=0
f
(n)
(x
0
)
n!
(x −x
0
)
n
a funct ¸iei f ˆın punctul x = x
0
. Astfel, o funct ¸ie f este analitic˘a ˆın punctul x
0
,
dac˘a este dezvoltabil˘ aˆın serie Taylor ˆın punctul x
0
¸si are o raz˘a de convergent ¸˘a
pozitiv˘ a.
Puncte ordinare ¸si puncte singulare
S˘ a consider˘am ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a liniar˘ a de ordinul al doilea cu coeficient ¸i
variabili
(1.7) a
2
(x)y

+ a
1
(x)y

+ a
0
(x)y = 0.
Definit ¸ia 1.1. Punctul x
0
se nume¸ste punct ordinar pentru ecuat ¸ia (1.7) dac˘ a
funct ¸iile
(1.8)
a
1
(x)
a
2
(x)
¸si
a
0
(x)
a
2
(x)
sunt analitice ˆın punctul x
0
. Dac˘a cel put ¸in o funct ¸ie din (1.8) nu este analitic˘ a
ˆın x
0
, atunci x
0
se nume¸ste punct singular pentru ecuat ¸ia (1.7).
Definit ¸ia 1.2. Punctul x
0
se nume¸ste punct regulat singular pentru ecuat ¸ia
(1.7) dac˘ a este punct singular ¸si funct ¸iile
(1.9) (x −x
0
)
a
1
(x)
a
2
(x)
¸si (x −x
0
)
2
a
0
(x)
a
2
(x)
sunt analitice ˆın punctul x
0
.
S˘ a consider˘ am acum ecuat ¸ia (1.7) cu condit ¸iile init ¸iale
(1.10) y(x
0
) = y
0
, y

(x
0
) = y
1
.
Teorema urm˘atoare descrie forma solut ¸iei pentru ecuat ¸ia (1.7) ¸si ˆın parti-
cular a solut ¸iei unice pentru ecuat ¸ia (1.7) cu condit ¸iile init ¸iale (1.10), ˆın cazul
ˆın care x
0
este un punct ordinar.
Rezolvarea ecuat ¸iilor cu serii de puteri 101
Teorema 1.1. Dac˘ a x
0
este un punct ordinar al ecuat ¸iei diferent ¸iale (1.7),
atunci solut ¸ia general˘ a a ecuat ¸iei diferent ¸iale este dat˘ a de seria de puteri
(1.11) y(x) =


n=0
a
n
(x − x
0
)
n
cu raza de convergent ¸˘ a pozitiv˘ a. Mai exact, dac˘ a R
1
¸si R
2
sunt razele de
convergent ¸˘ a ale seriilor reprezentˆ and dezvolt˘ arile funct ¸iilor (1.8), atunci raza
de convergent ¸˘ a a seriei (1.11) este mai mare sau egal˘ a cu minimul dintre R
1
¸si R
2
. Coeficient ¸ii a
n
pentru n = 2, 3, ... ai seriei (1.11) se obt ¸in ˆın funct ¸ie de
a
0
¸si a
1
prin substitut ¸ia lui y dat de (1.11) ˆın ecuat ¸ia (1.7) ¸si egalarea coefi-
cient ¸ilor puterilor egale ale lui x.
ˆ
In final, dac˘ a y dat de (1.11) este solut ¸ia
ecuat ¸iei (1.7) cu condit ¸ia Cauchy (1.10), atunci a
0
= y
0
¸si a
1
= y
1
.
Exemplu. S˘ a se rezolve problema Cauchy
(1.12) (1 − x)y

− y

+ xy = 0
(1.13) y(0) = y

(0) = 1.
Solut ¸ie. Deoarece condit ¸iile init ¸iale sunt date ˆın 0, vom c˘ auta solut ¸ia ca o
serie de puteri centrat˘ a ˆın 0. Ecuat ¸ia (1.12) are un singur punct singular x = 1
ˆın timp ce x
0
= 0 este punct ordinar.
Deci problema Cauchy (1.12)–(1.13) are o solut ¸ie unic˘ a de forma
(1.14) y(x) =


n=0
a
n
x
n
Dezvoltˆand ˆın serie de puteri a
1
(x)/a
2
(x) ¸si a
0
(x)/a
2
(x) obt ¸inem
a
1
(x)
a
2
(x)
= −
1
1 − x
= −


n=0
x
n
, |x| < 1
a
0
(x)
a
2
(x)
=
x
1 − x
= x


n=0
x
n
=


n=0
x
n+1
, |x| < 1,
de unde rezult˘ a c˘a raza de convergent ¸˘a a seriei (1.14), este mai mare sau egal˘a
cu 1.
Substituind (1.14) ˆın (1.12) ¸si egalˆand coeficient ¸ii g˘asim
2a
2
− a
1
= 0
102 Funct ¸ii speciale
¸si
a
n+1
=
n
2
a
n
−a
n−2
n(n + 1)
,
n = 2, 3....,
¸si t ¸inˆ and cont de (1.13), a
0
= a
1
= 1. Aceste relat ¸ii implic˘ a a
n
=
1
n!
pentru
n ≥ 1, deci unica solut ¸ie a problemei (12)–(13) este
y(x) =


n=0
a
n
x
n
=


n=0
1
n!
x
n
= e
x
.
S˘ a analiz˘ am ˆın continuare cazul punctelor regulate singulare. Mai exact,
ne ocup˘ am de ecuat ¸ia (1.7)
a
2
(x)y

+a
1
(x)y

+a
0
(x)y = 0
pentru care c˘ aut˘ am solut ¸ii sub forma seriilor de puteri ˆıntr-o mult ¸ime de forma
{x/0 < |x −x
0
| < R},
adic˘ a ˆıntr-un interval din care am scos centrul x
0
, despre care presupunem c˘ a
este punct singular regulat.
Reamintim c˘a, deoarece x
0
este punct singular regulat, au loc dezvolt˘ arile
ˆın serii de puteri
(1.15) (x −x
0
)
a
1
(x)
a
2
(x)
=


n=0
A
n
(x −x
0
)
n
, pentru |x −x
0
| < R
1
(1.16) (x −x
0
)
2
a
0
(x)
a
2
(x)
=


n=0
B
n
(x −x
0
)
n
, pentru |x −x
0
| < R
2
.
Deoarece x
0
este un punct singular pentru ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a (1.7), solu-
t ¸ia sa , ˆın general, nu este definit˘ a ˆın x
0
. Totu¸si, ecuat ¸ia (1.7) are dou˘ a solut ¸ii
liniar independente ˆın mult ¸imea 0 < |x −x
0
| < R, unde R = min{R
1
, R
2
}.
ˆ
In continuare, vom enunt ¸a o teorem˘a care descrie forma celor dou˘a solu-
t ¸ii liniar independente ale ecuat ¸iei (1.7), ˆın vecin˘ atatea unui punct singular
regulat.
Definit ¸ia 1.3. Presupunem c˘ a x
0
este un punct singular regulat pentru
ecuat ¸ia (1.7) ¸si c˘a au loc dezvolt˘ arile (1.15) ¸si (1.16). Atunci ecuat ¸ia
(1.17) λ
2
+ (A
0
+ 1)λ +B
0
= 0
Rezolvarea ecuat ¸iilor cu serii de puteri 103
se nume¸ste ecuat ¸ie indicial˘ a a ecuat ¸iei diferent ¸iale (1.7) ˆın jurul punctului x
0
.
Teorema 1.2. Presupunem c˘ a x
0
este un punct singular regulat pentru (1.7)
¸si c˘ a au loc dezvolt˘ arile (1.15) ¸si (1.16). Fie λ
1
¸si λ
2
cele dou˘ a r˘ ad˘ acini ale
ecuat ¸iei indiciale (1.17) indexate a¸sa ˆıncˆ at λ
1
≥ λ
2
ˆın cazul ˆın care ambele
sunt reale. Atunci una din solut ¸iile ecuat ¸iei (1.7) este de forma
(1.18) y
1
(x) = |x − x
0
|
λ
1


n=0
a
n
(x − x
0
)
n
unde a
0
= 1, relat ¸ia (1.18) avˆand loc ˆın mult ¸imea {x/0 < |x − x
0
| < R} unde
R = min{R
1
, R
2
}.
A doua solut ¸ie liniar independent˘ a, y
2
(x), a ecuat ¸iei (1.7) ˆın mult ¸imea
{x/0 < |x − x
0
| < R} se determin˘ a ˆın felul urm˘ ator:
Cazul 1. Dac˘ a λ
1
− λ
2
/ ∈ Z Z atunci
(1.19) y
2
(x) = |x − x
0
|
λ
2


n=0
b
n
(x − x
0
)
n
cu b
0
= 1.
Cazul 2. Dac˘ a λ
1
= λ
2
, atunci
(1.20) y
2
(x) = y
1
(x) ln |x − x
0
| + |x − x
0
|
λ
2


n=0
b
n
(x − x
0
)
n
cu b
0
= 0.
Cazul 3. Dac˘ a λ
1
− λ
2
∈ IN, atunci
(1.21) y
2
(x) = Cy
1
(x) ln |x − x
0
| + |x − x
0
|
λ
2


n=0
b
n
(x − x
0
)
n
cu b
0
= 1.
Ca ¸si ˆın cazul punctelor ordinare, coeficient ¸ii seriilor (1.19)–(1.21) se pot
obt ¸ine substituind solut ¸ia de forma respectiv˘a ˆın ecuat ¸ia (1.7) ¸si identificˆ and
apoi coeficient ¸ii. Seriile de forma (1.19) se numesc serii Frobenius iar metoda
de determinare a solut ¸iei utilizˆ and o astfel de serie se nume¸ste metoda lui
Frobenius (dup˘ a numele matematicianului F.Frobenius, 1849-1917).
Vom folosi aceast˘a metod˘a la rezolvarea ecuat ¸iei lui Bessel.
104 Funct ¸ii speciale
6.2 Polinoame ortogonale
Spunem c˘ a sistemul de funct ¸ii f
1
, f
2
, ..., f
n
, ... este ortogonal ˆın intervalul (a, b)
ˆın raport cu ponderea ρ dac˘a are loc egalitatea

b
a
ρ(x)f
m
(x)f
n
(x)dx = 0, ∀m, n ∈ IN

, m = n
ρ fiind o funct ¸ie pozitiv˘a dat˘ a.
Un exemplu simplu de sistem ortogonal ˆıl constituie sistemul funct ¸iilor
trigonometrice f
n
(x) = sin nx, n ∈ IN

, care este ortogonal ˆın intervalul
(−π, π), cu ponderea ρ = 1.
Sistemele de funct ¸ii ortogonale joac˘ a un rol important ˆın analiz˘ a, mai ales
ˆın leg˘ atur˘ a cu posibilitatea dezvolt˘ arii unor funct ¸ii arbitrare, apart ¸inˆ and unor
clase funct ¸ionale foarte largi, ˆın serii de funct ¸ii ortogonale.
O clas˘a important˘ a de sisteme ortogonale de funct ¸iio constituie polinoamele
ortogonale Legendre, Hermite, Cebˆ a¸sev etc., care apar ca solut ¸ii ale unor e-
cuat ¸ii diferent ¸iale, foarte utilizate ˆın fizica matematic˘a.
Date funct ¸iile f, g : [a, b] → R, continue, vom defini produsul lor scalar
num˘ arul (f, g) dat de relat ¸ia
(f, g) =

b
a
f(x)g(x)dx.
De asemenea, definim norma funct ¸iei f, num˘ arul real nenegativ f, dat de
f = (f, f)
1/2
=


b
a
f
2
(x)dx

1/2
.
De aici, rezult˘a c˘a ¸sirul de funct ¸ii f
1
, f
2
, ..., f
n
, ..., definite ¸si continue pe [a, b],
este ortogonal dac˘ a
(f
i
, f
j
) = 0 pentru ∀i, j ∈ IN

, i = j.
Dac˘a, ˆın plus, f
n
= 1, ∀n ∈ IN

, vom spune c˘ a ¸sirul este ortonormat.
Se observ˘a u¸sor c˘a din ¸sirul ortogonal de funct ¸ii continue, nenule (f
n
)
n∈IN
∗,
se obt ¸ine ¸sirul ortonormat

f
n
f
n


n∈IN

. Un exemplu de ¸sir de funct ¸ii orto-
gonale pe intervalul [0, 2π] este
(2.1) 1, cos x, sinx, cos 2x, sin 2x, ..., cos nx, sinnx, ...,
Problema Sturm–Liouville 105
din care putem obt ¸ine ¸sirul ortonormat
1


,
cos x

π
,
sin x

π
,
sin 2x

π
,
· · ·
,
cos nx

π
,
sin nx

π
,
· · ·
Fiind dat˘ a funct ¸ia f, ¸stim c˘a ˆın cazul ˆın care satisface condit ¸iile lui Dirichlet,
o putem dezvolta ˆın serie Fourier, dup˘ a funct ¸iile ¸sirului (2.1)
(2.2) f(x) =
a
0
2
+


n=1
(a
n
cos nx + b
n
sin nx)
unde coeficient ¸ii a
n
¸si b
n
sunt dat ¸i de formulele









a
n
=
1
π


0
f(x) cos nxdx, n ∈ IN
b
n
=
1
π


0
f(x) sin nxdx, n ∈ IN

6.3 Problema Sturm–Liouville
Aplicarea metodei separ˘arii variabilelor la ecuat ¸iile cu derivate part ¸iale de
ordinul al doilea ce intervin ˆın fizica matematic˘a conduce la ecuat ¸ii diferen-
t ¸iale liniare ordinare de ordinul al doilea de tipul
(3.1) (p(x)y

)

+ (q(x) + λ)y = 0,
care cont ¸in parametrul λ.
Sturm ¸si Liouville (J.F. Sturm, 1803–1855 ¸si J. Liouville, 1809–1882) au
elaborat o teorie a ecuat ¸iilor de tipul (3.1) prin care se arat˘ a c˘a solut ¸iile par-
ticulare ale ecuat ¸iei (3.1) pe un interval [a, b], satisf˘ acˆand condit ¸ii prescrise ˆın
capetele a ¸si b, formeaz˘a un sistem ortogonal care permite, la fel ca ˆın cazul
seriilor Fourier, dezvoltarea ˆın serie a unei funct ¸ii ˆın raport cu aceste solut ¸ii.
Condit ¸iile la cap˘atul intervalului [a, b] sunt de forma
(3.2)

k
1
y(a) + k
2
y

(a) = 0 (a)

1
y(b) +
2
y

(b) = 0 (b)
unde k
1
, k
2
,
1
,
2
∈ IR, k
2
1
+ k
2
2
= 0,
2
1
+
2
2
= 0.
Problema format˘ a din ecuat ¸ia (3.1) ˆımpreun˘ a cu condit ¸iile (3.2) este cunos-
cut˘a sub numele de problema (sau sistem) Sturm–Liouville. Evident, y ≡ 0
este ˆıntotdeauna solut ¸ie a sistemului (3.1)–(3.2), dar pe noi ne intereseaz˘ a dac˘a
exist˘a solut ¸ii nebanale ale acestui sistem.
106 Funct ¸ii speciale
Solut ¸iile nebanale ale sistemului (3.1)–(3.2) se numesc funct ¸ii proprii (sau
autofunct ¸ii) ale sistemului Sturm–Liouville. Valorile parametrului λ din e-
cuat ¸ia (3.1) pentru care obt ¸inem ca solut ¸ii funct ¸iile proprii se numesc valori
proprii (sau autovalori).
Presupunem c˘a funct ¸iile p ¸si q sunt continue ˆın [a, b], iar funct ¸ia p este ˆın
plus pozitiv˘ a ˆın [a, b].
Formul˘ am cˆateva propriet˘ at ¸i ale funct ¸iilor proprii ¸si ale valorilor proprii.
Teorema 3.1. Exist˘ a o mult ¸ime infinit˘ a de valori proprii, λ
1
≤ λ
2
≤ · · · ≤
λ
n
≤ · · · c˘ arora le corespund funct ¸iile proprii y
1
, y
2
, ..., y
n
, ...
Demonstrat ¸ia, fiind complicat˘ a (vezi [8]), o omitem.
Teorema 3.2. Dac˘ a p, p

, q sunt continue ¸si cu valori reale pe [a, b] atunci
toate valorile proprii ale problemei Sturm–Liouville (3.1)–(3.2) sunt reale.
Demonstrat ¸ie. Fie λ = α + iβ o valoare proprie iar y(x) = u(x) + iv(x)
funct ¸ia proprie corespunz˘ atoare; α, β, u(x), v(x) fiind reale. Introducˆ and y ˆın
(3.1) obt ¸inem sistemul
(pu

)

+ (q + α)u −βv = 0
(pv

)

+ (q + α)v + βu = 0.
ˆ
Inmult ¸ind prima ecuat ¸ie cu v, a doua cu −u ¸si adunˆ and, obt ¸inem
−β(u
2
+ v
2
) = u(pv

)

−v(pu

)

= [(pv

)u −(pu

)v]

.
Integrˆ and ultima relat ¸ie ˆın intervalul [a, b], obt ¸inem
−β

b
a
(u
2
+ v
2
)dx = [p(uv

−u

v)]
b
a
.
Datorit˘ a condit ¸iilor la limit˘ a, membrul drept este nul ¸si, deoarece u
2
+v
2

0 (y fiind funct ¸ie proprie nebanal˘ a), rezult˘ a c˘a β = 0 ceea ce termin˘a demon-
strat ¸ia.
Observat ¸ia 3.1. Se poate ar˘ ata c˘a dac˘a ˆın plus q(x) < 0 ˆın [a, b], atunci toate
valorile proprii sunt nenegative.
Observat ¸ia 3.2. Faptul c˘ a valorile proprii sunt reale era de a¸steptat deoarece,
ˆın probleme concrete, ele desemneaz˘a frecvent ¸e, energii sau alte cantit˘at ¸i fizice.
Teorema 3.3. (Ortogonalitatea funct ¸iilor proprii) Presupunem c˘ a p, p

¸si q
sunt funct ¸ii reale ¸si continue ˆın intervalul [a, b]. Atunci funct ¸iile proprii y
m
¸si
Problema Sturm–Liouville 107
y
n
ale problemei Sturm–Liouville (3.1)–(3.2) corespunz˘ atoare valorilor proprii
diferite λ
m
¸si λ
n
sunt ortogonale ˆın intervalul [a, b].
Dac˘ a p(a) = 0, atunci condit ¸ia (3.2a) poate lipsi din problem˘ a.
Dac˘ a p(b) = 0, condit ¸ia (3.2b) poate lipsi din problem˘ a.
ˆ
In aceste cazuri se cere ca y ¸si y

s˘ a fie m˘ arginite ˆın punctele respective,
iar problema se nume¸ste singular˘ a.
Dac˘ a p(a) = p(b), atunci condit ¸ia (3.2) poate fi ˆınlocuit˘ a cu
(3.3) y(a) = y(b), y

(a) = y

(b).
Demonstrat ¸ie. Din ipotez˘ a y
m
¸si y
n
satisfac ecuat ¸iile
(py

m
)

+ (q + λ
m
)y
m
= 0 ¸si
(py

n
)

+ (q + λ
n
)y
n
= 0.
ˆ
Inmult ¸im prima ecuat ¸ie cu y
n
, pe a doua cu −y
m
, le adun˘ am ¸si obt ¸inem

m
−λ
n
)y
m
y
n
= y
m
(py

n
)

−y
n
(py

m
)

= [p(y

n
y
m
−y

m
y
n
)]

.
Ultima expresie este o funct ¸ie continu˘ a deoarece p ¸si p

sunt continue iar y
m
, y
n
sunt solut ¸ii ale ecuat ¸iei (3.1). Integrˆ and pe intervalul [a, b] se obt ¸ine egalitatea
(3.4) (λ
m
−λ
n
)

b
a
y
m
y
n
dx = [p(y

n
y
m
−y

m
y
n
)]
b
a
.
Expresia din membrul drept al egalit˘ at ¸ii (3.4) este
(3.5) p(b)[y

n
(b)y
m
(b) −y

m
(b)y
n
(b)] −p(a)[y

n
(a)y
m
(a) −y

m
(a)y
n
(a)].
Acum vom analiza cantitatea (3.5), dup˘ a cum p se anuleaz˘a sau nu ˆın a ¸si b.
Cazul 1. Dac˘a p(a) = p(b) = 0, atunci expresia (3.5) este nul˘ a, deci membrul
stˆang ˆın (3.4) este nul ¸si cum λ
m
= λ
n
rezult˘ a
(3.6)

b
a
y
m
(x)y
n
(x)dx = 0, (m = n).
deci y
n
, y
m
sunt ortogonale. Observ˘ am c˘a ˆın acest caz nu am folosit condit ¸iile
(3.2).
Cazul 2. Fie p(b) = 0, dar p(a) = 0. Atunci prima cantitate din (3.5) este
nul˘ a. S˘ a analiz˘ am a doua cantitate din (3.5). Din (3.2a) rezult˘ a
k
1
y
n
(a) + k
2
y

n
(a) = 0
k
1
y
m
(a) + k
2
y

m
(a) = 0.
108 Funct ¸ii speciale
Presupunem k
2
= 0.
ˆ
Inmult ¸im prima ecuat ¸ie cu y
m
(a), a doua cu −y
n
(a), le
adun˘ am ¸si obt ¸inem
k
2
[y

n
(a)y
m
(a) −y

m
(a)y
n
(a)] = 0.
Deoarece k
2
= 0, rezult˘ a c˘a expresia din parantez˘ a este nul˘a, deci cea de a
doua cantitate din (3.5) este nul˘ a. Deci, cantitatea (3.5) este nul˘a iar ˆımpreun˘ a
cu (3.4) determin˘ a (3.6), adic˘ a ortogonalitatea.
Dac˘a k
2
= 0, atunci din ipotez˘ a, k
1
= 0 ¸si demonstrat ¸ia rezult˘ a folosind
un argument similar.
Cazul 3. Dac˘a p(a) = 0, dar p(b) = 0, demonstrat ¸ia funct ¸ioneaz˘a ca ˆın cazul
2, dar ˆın loc de (3.2a) vom folosi (3.2b).
Cazul 4. Dac˘a p(a) = 0 ¸si p(b) = 0, vom folosi condit ¸iile la limit˘ a (3.2) ¸si
proced˘ am ca ˆın cazurile 2 ¸si 3.
Cazul 5. Dac˘a p(a) = p(b), expresia (3.5) cap˘ at˘a forma
p(b)[y

n
(b)y
m
(b) −y

m
(b)y
n
(b) −y

n
(a)y
m
(a) + y

m
(a)y
n
(a)].
Putem folosi condit ¸iile la limit˘ a (3.2) ca mai sus pentru a obt ¸ine c˘a expresia
din parantez˘ a este nul˘a.
Totu¸si, se vede imediat c˘a aceasta rezult˘a din (3.3), astfel c˘ a putemˆınlocui
(3.2) cu (3.3). Deci, (3.4) implic˘ a (3.6). Cu aceasta, demonstrat ¸ia teoremei
este ˆıncheiat˘ a.
ˆ
In final, d˘ am f˘ar˘ a demonstrat ¸ie urm˘atorul rezultat de dezvoltare ˆın serie
dup˘ a funct ¸iile proprii ale problemei Sturm–Liouville.
Teorema 3.4. Dac˘ a f ∈ C
2
[a, b] ¸si f(a) = f(b) = 0, atunci funct ¸ia f se
poate dezvolta ˆıntr-o serie absolut ¸si uniform convergent˘ a ˆın intervalul [a, b]
dup˘ a funct ¸iile proprii y
n
f(x) =


n=1
C
n
y
n
(x) unde C
n
=

b
a
f(x)y
n
(x)dx

b
a
y
2
n
(x)dx
·
Funct ¸ii cilindrice 109
6.4 Funct ¸ii cilindrice
Numim funct ¸ii cilindrice solut ¸iile ecuat ¸iei diferent ¸iale de ordinul II
(4.1) x
2
y

+ xy

+ (x
2
−ν
2
)y = 0
unde ν este un parametru care poate lua valori reale sau complexe. Termenul
de funct ¸ii cilindrice se datore¸ste faptului c˘ a ecuat ¸ia (4.1) intervine ˆın studiul
problemelor la limit˘ a ale teoriei potent ¸ialului pentru un domeniu cilindric.
Fie ecuat ¸ia
(4.2) ∆u =
1
a
2

2
u
∂t
2
+ b
∂u
∂t
+ cu
unde ∆ este operatorul lui Laplace, t – timpul, iar a (= 0), b, c constante date.
Ecuat ¸ia (4.2) are drept cazuri particulare ecuat ¸iile diferent ¸iale din teoria
oscilat ¸iilor elastice, ale electrodinamicii, ale teoriei propag˘ arii c˘ aldurii etc.
ˆ
In cazul ˆın care ˆın locul coordonatelor rectangulare (x, y, z) folosim coor-
donatele cilindrice (r, z, ϕ) legate prin relat ¸iile
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z
(0 ≤ r < ∞, −π < ϕ ≤ π, −∞< z < ∞)
ecuat ¸ia (4.2) devine
(4.3)
1
r

∂r

r
∂u
∂r

+
1
r
2

2
u
∂ϕ
2
+

2
u
∂z
2
=
1
a
2

2
u
∂t
2
+ b
∂u
∂t
+ cu
¸si admite o infinitate de solut ¸ii sub forma de produse de factori, fiecare de-
pinzˆ and de o singur˘ a variabil˘ a
(4.4) u = R(r)Z(z)Φ(ϕ)T(t).
Substituind relat ¸ia (4.4) ˆın (4.3) ¸si ˆımp˘art ¸ind cu RZΦT, obt ¸inem
1
Rr
d
dr
(rR

) +
1
r
2
Φ

Φ
+
Z

Z
−c =
1
T

1
a
2
T

+ bT


.
T¸ inˆ and seama de independent ¸a variabilelor, ambii membri ai ecuat ¸iei obt ¸inute
trebuie s˘ a fie egali cu o anumit˘ a constant˘a pe care o not˘ am, pentru comoditate,
cu (−
χ
2
). Avem deci:
(4.5)
1
a
2
T

+ bT

+
χ
2
T = 0
1
Rr
d
dr
(rR

) +
χ
2
+
1
a
2
Φ

Φ
= c −
Z

Z
·
110 Funct ¸ii speciale
Din ultima egalitate rezult˘ a c˘a ambii membri sunt egali cu o constant˘ a, pe
care o not˘ am cu (−λ
2
) ¸si obt ¸inem:
(4.6)
Z

− (λ
2
+ c)Z = 0
r
2

1
Rr
d
dr
(rR

) + (λ
2
+
χ
2
)

= −
Φ

Φ
·
Not˘am noua constant˘ a cu µ
2
¸si obt ¸inem:
(4.7) Φ

+ µ
2
Φ = 0
(4.8)
1
r
d
dr
(rR

) +

λ
2
+
χ
2

µ
2
r
2

R = 0.
A¸sadar, procesul separ˘ arii variabilelor conduce la o infinitate de solut ¸ii de
forma (4.4), depinzˆ and de trei parametri (
χ
, λ, µ). Determinarea factorilor din
produsul (4.4), revine la integrarea ecuat ¸iilor diferent ¸iale ordinare (4.5)–(4.8)
dintre care primele trei sunt elementare iar ultima este o ecuat ¸ie de forma
(4.1).
Ment ¸ion˘ am dou˘ a ecuat ¸ii cunoscute care se obt ¸in din ecuat ¸ia (4.2), prin
particularizarea coeficient ¸ilor a, b, c.
(I) Ecuat ¸ia lui Laplace ∆u = 0.
Ecuat ¸ia are solut ¸ii particulare de forma
u = R(r)Z(z)Φ(ϕ),
unde
1
r
d
dr
rR

+

λ
2

µ
2
r
2

R = 0
Z

− λ
2
Z = 0; Φ

+ µ
2
Φ = 0.
(II) Ecuat ¸ia lui Helmholtz ∆u + k
2
u = 0
are solut ¸ii de forma
u = R(r)Z(z)Φ(ϕ)
unde
1
r
d
dr
rR

+

λ
2

µ
2
r
2

R = 0
Z

− (λ
2
− k
2
)Z = 0, Φ

+ µ
2
Φ = 0.
Clase speciale de funct ¸ii cilindrice sunt cunoscute sub numele de funct ¸ii Bessel
¸si, uneori, aceast˘a denumire se atribuie ˆıntregii clase de funct ¸ii cilindrice.
Funct ¸ii cilindrice 111
Ecuat ¸ii Bessel de spet ¸a I
Vom considera ecuat ¸ia Bessel general˘a
(4.9) x
2
y

+ xy

+ (x
2
−ν
2
)y = 0
ˆın care ν este parametru real.
Trebuie amintit faptul c˘ a ecuat ¸ia (4.9) a fost considerat˘ a anterior de L.
Euler, dar Bessel a fost cel care a pus ˆın evident ¸˘a propriet˘ at ¸ile solut ¸iilor. El a
ajuns la ecuat ¸ia (4.9) pentru ν num˘ ar natural, studiind o problem˘ a legat˘a de
mi¸scarea eliptic˘a.
Vom c˘auta o solut ¸ie a ecuat ¸iei (4.9) sub forma unei serii de tipul
(4.10) y(x) = x
ρ


n=0
a
n
x
n
.
Pentru determinarea lui ρ ¸si a
n
, n ∈ IN, introducem seria (4.10) ˆın ecuat ¸ia
(4.9) ¸si obt ¸inem:
ρ(ρ −1)x
ρ


n=0
a
n
x
n
+ 2ρx
ρ+1


n=1
na
n
x
n−1
+
+x
ρ+2


n=2
n(n −1)a
n
x
n−2
+ ρx
ρ


n=0
a
n
x
n
+ x
ρ+1


n=1
na
n
x
n−1
+
+x
ρ−2


n=0
a
n
x
n
−ν
2
x
ρ


n=0
a
n
x
n
= 0.
Egalˆ and cu zero coeficient ¸ii lui x
ρ
, x
ρ+1
, ..., x
ρ+n
, ..., obt ¸inem urm˘atorul sistem
de ecuat ¸ii pentru determinarea lui ρ ¸si a coeficient ¸ilor a
n
a
0

2
−ν
2
) = 0
a
1
[(ρ + 1)
2
−ν
2
] = 0,
a
2
[(ρ + 2)
2
−ν
2
] + a
0
= 0,
...............................................
a
n
[(ρ + n)
2
−ν
2
] + a
n−2
= 0,
...............................................
Deoarece putem lua a
0
= 0 (altfel am fi ales drept exponent al lui x pe ρ +1),
din prima ecuat ¸ie rezult˘a
(4.11)
ρ
2
−ν
2
= 0 sau
ρ = ±ν.
112 Funct ¸ii speciale
Din a doua ecuat ¸ie rezult˘a
(4.12) a
1
= 0
deoarece (avˆand ˆın vedere (4.11)) avem a
1
(2ρ +1) = 0. Apoi, obt ¸inem relat ¸ia
de recurent ¸˘a
(4.13) a
n

a
n−2
(ρ + n)
2
−ν
2
= −
a
n−2
(ρ + n + ν)(ρ + n −ν)
,
relat ¸ie care, ˆımpreun˘ a cu (4.11) ¸si (4.12) conduce la:
(4.14)
a
2k+1
= 0, k ∈ IN
a
2k
= −
a
2k−2
(ρ + 2k −ν)(ρ + 2k + ν)
,
k ∈ IN

.
Cum pentru ρ am g˘asit dou˘ a valori, ˆınseamn˘a c˘a vom putea determina dou˘ a
solut ¸ii pentru ecuat ¸ia lui Bessel.
A) S˘ a determin˘am ˆıntˆ ai solut ¸ia corespunz˘atoare lui ρ = ν.
ˆ
Inlocuind ˆın
(4.14) pe ρ cu ν obt ¸inem
a
2k
= −
a
2k−2
2
2
k(k + ν)
·
Cum fiecare coeficient de rang par poate fi exprimat ˆın funct ¸ie de cel precedent,
aplicarea succesiv˘a a acestei formule ne permite s˘a g˘ asim expresia lui a
2k
ˆın
funct ¸ie de a
0
. Vom avea
(4.15)
a
2k
= −
a
2k−2
2
2
k(k + ν)
= (−1)
2
a
2k−4
2
2·2
k(k −1)(k + ν)(k + ν −1)
= · · · =
= (−1)
k
a
0
2
k
· k!(ν + 1)(ν + 2)...(ν + k)
·
Vom da o form˘ a mai simpl˘ a acestor coeficient ¸i folosind funct ¸ia Γ a lui Euler.
Funct ¸ia Γ se define¸ste cu formula
Γ(s) =


0
e
−t
t
s−1
dt
s putˆ and fi real sau complex, cu Re s > 0.
Indic˘ am principalele propriet˘ at ¸i ale acestei funct ¸ii:
a) Funct ¸ia Γ verific˘ a relat ¸ia funct ¸ional˘ a
Γ(s + 1) = sΓ(s),
proprietate obt ¸inut˘ a prin integrarea prin p˘ art ¸i.
Funct ¸ii cilindrice 113
b) Γ(1) = 1.
c) Γ(n + 1) = n!.
d) Γ

1
2

=


0
e
−t

t
dt = 2


0
e
−t
2
dt =

π.
e) Γ(s + 1) = sΓ(s) = · · · = s(s −1)(s −2)...(s −p)Γ(s −p).
Aceste propriet˘at ¸i arat˘ a c˘a putem considera funct ¸ia Γ ca o generalizare a
factorialului, pentru valori reale sau complexe ale argumentului. Cum coefi-
cientul a
0
a r˘ amas nedeterminat, alegem pe a
0
astfel ˆıncˆ at s˘a obt ¸inem pentru
coeficient ¸ii solut ¸iei c˘autate expresii mai simple.
Punˆ and
a
0
=
1
2
ν
Γ(ν + 1)
¸si folosind formula (4.15) obt ¸inem
a
2k
= (−1)
k
1
2
2k+ν
k!(ν + 1)(ν + 2)...(ν + k)Γ(ν + 1)
·
Deoarece
(ν + 1)(ν + 2)...(ν + k)Γ(ν + 1) = Γ(ν + k + 1) ¸si k! = Γ(k + 1),
rezult˘ a
a
2k
= (−1)
k
1
2
2k+ν
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
·
ˆ
Inlocuind ˆın seria (4.10), obt ¸inem solut ¸ia corespunz˘atoare lui ρ = ν pe care o
not˘ am cu J
ν
(4.16) J
ν
(x) =


k=0
(−1)
k
1
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)

x
2

2k+ν
.
Aceast˘a solut ¸ie a ecuat ¸iei Bessel, care este m˘arginit˘ a pentru x = 0, se nume¸ste
funct ¸ia lui Bessel de spet ¸a I ¸si de ordinul ν.
B) S˘ a examin˘am acum cazul ρ = −ν ¸si ν = n (unde n > 0 este un num˘ar
ˆıntreg).
Reluˆ and calculul ˆın acela¸si mod ¸si notˆ and
a
0
=
1
2
−ν
Γ(−ν + 1)
114 Funct ¸ii speciale
obt ¸inem
a
2k
= (−1)
k
1
2
2k−ν
Γ(k + 1)Γ(k −ν + 1)
iar solut ¸ia corespunz˘atoare a ecuat ¸iei Bessel este
J
−ν
(x) =


k=0
(−1)
k
1
Γ(k + 1)Γ(k −ν + 1)

x
2

2k−ν
.
Pentru ν = n, se arat˘a c˘a cele dou˘a solut ¸ii ale ecuat ¸iei Bessel sunt liniar
independente, deoarece wronskianul celor dou˘ a funct ¸ii Bessel J
ν
¸si J
−ν
este
diferit de zero, deci integrala general˘ a a ecuat ¸iei este
J(x) = C
1
J
ν
(x) + C
2
J
−ν
(x).
Dac˘a se caut˘a solut ¸iile m˘arginite ale ecuat ¸iei Bessel, atunci C
2
= 0.
Funct ¸iile Bessel cu indice natural
Pentru ν = n avem
J
−n
(x) =


n=0
(−1)
k
Γ(k + 1)Γ(k −n + 1)

x
2

2k−n
=
=
n−1

k=0
(−1)
k
Γ(k + 1)Γ(k −n + 1)

x
2

2k−n
+


k=n
(−1)
k
Γ(k + 1)Γ(k −n + 1)

x
2

2k−n
.
Pentru k = m < n −1 avem
Γ(−m) =
Γ(−m+ 1)
−m
= · · · = (−1)
m
Γ(0)
m!
·
Dar Γ(0) =
Γ(s + 1)
s




s↓0
= ∞ deci ¸si Γ(−m) = (−1)
m
Γ(0)
m!
= ∞ pentru m
natural.
Deci ˆın expresia lui J
−n
sumarea ˆıncepe de fapt de la k = n
(4.17) J
−n
(x) =


k=n
(−1)
k
Γ(k + 1)Γ(k −n + 1)

x
2

2k−n
.
Propozit ¸ia 4.1. Dac˘ a ν = n atunci
(4.18) J
−n
(x) = (−1)
n
J
n
(x).
Funct ¸ii cilindrice 115
Demonstrat ¸ie. Dac˘a ˆın formula (4.17) efectu˘ am schimbarea k = n + ,
fiind noul indice de sumare (0 ≤ ≤ ∞) obt ¸inem
J
−n
(x) =


=0
(−1)
n+
Γ( + n + 1)Γ( + 1)

x
2

2+n
=
= (−1)
n


n=0
(−1)

Γ( + 1)(Γ( + n + 1)

x
2

2+n
,
deci tocmai
J
−n
(x) = (−1)
n
J
n
(x).
Relat ¸ia (4.18) arat˘ a c˘a pentru n ˆıntreg funct ¸iile J
n
¸si J
−n
sunt liniar de-
pendente.
Cele mai simple ¸si mai des ˆıntˆ alnite ˆın aplicat ¸ii sunt funct ¸iile Bessel de
ordin ˆıntreg J
0
¸si J
1
. F˘ acˆand ν = 0 ¸si ν = 1 ˆın formula (4.16), obt ¸inem:
J
0
(x) = 1 −

x
2

2
+
1
(2!)
2

x
2

4

1
(3!)
2

x
2

6
+· · ·
J
1
(x) =
x
2

1
2!

x
2

3
+
1
2!3!

x
2

5
+· · · ·
Formule de recurent ¸˘a
ˆ
In acest paragraf vom stabili cˆ ateva relat ¸ii fundamentale ˆıntre funct ¸iile lui
Bessel de spet ¸a I de diferite ordine.
Derivˆ and seria de puteri (4.16) dup˘ a ce am ˆımp˘art ¸it-o cu x
ν
, obt ¸inem
d
dx

J
ν
(x)
x
ν

=


k=1
(−1)
k
2k x
2k−1
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
1
2
2k+ν
sau, ˆınlocuind variabila de sumare k prin k + 1 ¸si ˆıncepˆ and sumarea de la
k = 0, avem
d
dx

J
ν
(x)
x
ν

=


k=0
(−1)
k+1
2(k + 1)
Γ(k + 2)Γ(k + ν + 2)
x
2k+1
2
2k+2+ν
sau, simplicˆand ¸si scot ¸ˆand ˆın factor pe
1
x
ν
,
d
dx

J
ν
(x)
x
ν

= −
1
x
ν


k=0
(−1)
k
1
Γ(k + 1)Γ(k + 1 + ν + 1)

x
2

2k+ν+1
,
116 Funct ¸ii speciale
formul˘ a care comparat˘a cu (4.16) implic˘ a
(4.19)
d
dx

J
ν
(x)
x
ν

= −
J
ν+1
(x)
x
ν
·
S˘ a deriv˘ am acum produsul x
ν
J
ν
(x) ˆın raport cu x:
d
dx
(x
ν
J
ν
(x)) =
d
dx



k=0
(−1)
1
Γ(k + 1
Γ(k + ν + 1)
x
2k+2ν
2
2k+ν

=
=

k=0
(−1)
k
2(k + ν)
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
x
2k+2ν−1
2
2k+ν
·
T¸ inˆ and cont c˘ a Γ(k + ν + 1) = (k + ν)Γ(k + ν) obt ¸inem
d
dx
(x
ν
J
ν
(x)) = x
ν


k=0
(−1)
k
1
Γ(k + 1)Γ(k + 1 + ν − 1)

x
2

2k+ν−1
sau, comparˆand cu (4.16),
(4.20)
d
dx
(x
ν
J
ν
(x)) = x
ν
J
ν−1
(x).
Formulele (4.19) ¸si (4.20) sunt formule de recurent ¸˘a ˆıntre dou˘ a funct ¸ii Bessel
de ordin ν ¸si ν +1. Cum am specificat c˘a funct ¸iile Bessel de ordin zero ¸si unu
sunt cel mai des ˆıntˆ alnite, vom scrie cele dou˘ a formule de recurent ¸˘a pentru
aceste cazuri. Pentru ν = 0, din (4.19) avem
J

0
(x) = −J
1
(x)
iar pentru ν = 1, din (4.20) obt ¸inem
(xJ
1
(x))

= xJ
0
(x).
Putem stabili acum formule de recurent ¸˘a care s˘a lege trei funct ¸ii Bessel
J
ν
, J
ν+1
, J
ν+2
.
Din (4.19) ¸si (4.20) obt ¸inem
νJ
ν
(x)
x
− J

ν
(x) = J
ν+1
(x)
νJ
ν
(x)
x
+ J

ν
(x) = J
ν−1
(x)
Funct ¸ii cilindrice 117
relat ¸ii care, prin adunare ¸si sc˘adere, conduc la
(4.21)
J
ν+1
(x) + J
ν−1
(x) =

x
J
ν
(x)
J
ν+1
(x) −J
ν−1
(x) = −2J

ν
(x)
formule care, din aproape ˆın aproape, permit calculul tuturor funct ¸iilor Bessel
de ordin ˆıntreg dac˘ a se cunosc J
0
¸si J
1
.
Funct ¸iile Bessel de ordin semiˆıntreg
Funct ¸iile Bessel de ordin ν = n +
1
2
,
unde n este un num˘ar ˆıntreg, se pot
exprima prin funct ¸ii elementare. S˘a calcul˘ am mai ˆıntˆ ai valorile lui J1
2
¸si J

1
2
.
Avem
J1
2
(x) =


n=0
(−1)
n
n!Γ

3
2
+ n


x
2
1
2
+2n
¸si
J

1
2
(x)


n=0
(−1)
n
n!J

1
2
+ n


x
2
1
2
+2n
.
Folosind propriet˘ at ¸ile funct ¸iei Γ obt ¸inem
Γ

3
2
+ n

=
1·3·5· · ·(2n + 1)
2
n+1
Γ

1
2

=
(2n + 1)!!
2
n+1

π,
Γ

1
2
+ n

=
1·3·5· · ·(2n −1)
2
n
Γ

1
2

=
(2n −1)!!
2
n

π,
care, introduse ˆın expresiile funct ¸iilor J1
2
¸si J

1
2
,
dau
J1
2
(x) =

2
πx


n=0
(−1)
n
(2n + 1)!
x
2n+1
,
J

1
2
(x) =

2
πx


n=0
(−1)
n
(2n)!
x
2n
.
Se observ˘a c˘a ultimele sume reprezint˘a dezvoltarea ˆın serie a lui sinx ¸si cos x.
Prin urmare, J1
2
¸si J

1
2
se exprim˘a prin funct ¸ii elementare
J1
2
(x) =

2
πx
sin x
J

1
2
(x) =

2
πx
cos x.
118 Funct ¸ii speciale
Folosind formula de recurent ¸˘a (4.21) putem calcula din aproape ˆın aproape
funct ¸iile lui Bessel de spet ¸a I de ordin ν = n +
1
2
care rezult˘a c˘a se exprim˘a
prin funct ¸ii elementare.
Funct ¸ii sferice. Polinoamele lui Legendre
Funct ¸iile sferice constituie o clas˘a de funct ¸ii speciale strˆans legate de studiul
ecuat ¸iei lui Laplace ¸si de teoria potent ¸ialului.
Una dintre cele mai importante clase de probleme ale fizicii matematice o
constituie problemele la limit˘ a ale potent ¸ialului, care constau ˆın determinarea
unei funct ¸ii V care s˘a verifice ecuat ¸ia lui Laplace
∆V =

2
V
∂x
2
+

2
V
∂y
2
+

2
V
∂z
2
= 0
ˆıntr-un domeniu Ω dat ¸si care satisface pe frontiera ∂Ω a lui Ω condit ¸ii impuse.
Procedeul general de rezolvare a problemelor la limit˘ a const˘a ˆın g˘ asirea unui
sistem de coordonate curbilinii ortogonale, astfel ˆıncˆ at suprafat ¸a ∂Ω s˘a fie una
dintre suprafet ¸ele de coordonate ¸si ecuat ¸ia lui Laplace, dup˘ a transformarea ei
ˆın noile variabile s˘ a admit˘ a separarea variabilelor.
ˆ
In cazul nostru, luˆ and x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ, 0 ≤
r < ∞, −π < ϕ ≤ π, 0 < θ ≤ π, ecuat ¸ia lui Laplace devine

2
V
∂r
2
+
2
r
∂V
∂r
+
1
r
2

2
V
∂θ
2
+
cos θ
r
2
sin θ
∂V
∂θ
+
1
r
2
sin
2
θ
·

2
V
∂ϕ
2
= 0.
C˘autˆ and o solut ¸ie care este independent˘a de ϕ, de forma r
p
Θ, unde Θ este o
funct ¸ie ce depinde doar de θ, g˘asim


2
+
cos θ
sin θ


+ p(p + 1)Θ = 0.
F˘ acˆand schimbarea de variabil˘ a x = cos θ, y = Θ, obt ¸inem ecuat ¸ia lui Legendre
(4.22) (1 −x
2
)y

−2xy

+ p(p + 1)y = 0.
Dac˘a p este un ˆıntreg nenegativ, o solut ¸ie ˆın jurul punctului ordinar x
0
= 0
este un polinom. Normalizate corespunz˘ ator, aceste solut ¸ii polinomiale sunt
numite polinoamele lui Legendre (A.M.Legendre, 1752-1833).
S˘ a c˘aut˘ am dou˘ a solut ¸ii, liniar independente ˆın jurul punctului x
0
= 0.
Aici, a
2
(x) = 1 − x
2
, a
1
(x) = −2x ¸si a
0
(x) = p(p + 1). Deoarece a
2
(0) =
1 = 0, punctul x
0
= 0 este un punct ordinar pentru ecuat ¸ia (4.22).
Funct ¸ii cilindrice 119
Forma oric˘ arei solut ¸ii a ecuat ¸iei diferent ¸iale (4.22) ˆın jurul lui x
0
= 0 este
(4.23) y(x) =


n=0
a
n
x
n
.
Pentru a determina o margine inferioar˘ a pentru raza de convergent ¸˘a a so-
lut ¸iei (4.23) trebuie s˘ a calcul˘am razele de convergent ¸˘a ale seriilor Taylor ˆın
jurul lui zero ale funct ¸iilor a
1
(x)/a
2
(x) ¸si a
0
(x)/a
2
(x). Avem:
a
1
(x)
a
2
(x)
= −
2x
1 − x
2
= −2x(1 + x
2
+ x
4
+ · · ·) =


n=0
− 2x
2n+1
, |x| < 1
¸si
a
0
(x)
a
2
(x)
=
p(p + 1)
1 − x
2
= p(p + 1)(1 + x
2
+ x
4
+ · · ·) =


n=0
p(p + 1)x
2n
, |x| < 1.
Deci, raza de convergent ¸˘a a solut ¸iei (4.23) este mai mare sau egal˘a cu 1, adic˘ a
seria (4.23) converge pentru |x| > 1. Din (4.23) rezult˘ a:
y

(x) =


n=1
na
n
x
n−1
,
y

=


n=2
n(n − 1)a
n
x
n−2
=


n=0
(n + 2)(n + 1)a
n+2
x
n
,
−x
2
y

=


n=2
− n(n − 1)a
n
x
n
,
−2xy

=


n=1
− 2na
n
x
n
,
p(p + 1)y =


n=0
p(p + 1)a
n
x
n
.
Introducˆ and aceste cantit˘at ¸i ˆın (4.22) obt ¸inem
[2a
2
+ p(p + 1)a
0
] + [6a
3
− 2a
1
+ p(p + 1)a
1
]x+
+


n=2
[(n + 1)(n + 2)a
n+2
− n(n − 1)a
n
− 2na
n
+ p(p + 1)a
n
]x
n
= 0
de unde
2a
2
+ p(p + 1)a
0
= 0, 6a
3
− 2a
1
+ p(p + 1)a
1
= 0
120 Funct ¸ii speciale
¸si
(n + 2)(n + 1)a
n+2
− n(n − 1)a
n
− 2na
n
+ p(p + 1)a
n
= 0, n = 2, 3, ...,
De aici obt ¸inem relat ¸iile recurente
a
2
= −
p(p + 1)
2
a
0
, a
3
= −
(p − 1)(p + 2)
3!
a
1
¸si
a
n+2
= −
(p − n)(p + n + 1)
(n + 2)(n + 1)
a
n
relat ¸ii care conduc la
a
2n
= (−1)
n
p(p − 2) · · · (p − 2n + 2)(p + 1)(p + 3) · · · (p + 2n − 1)
(2n)!
a
0
,
a
2n+1
= (−1)
n
(p − 1)(p − 3) · · · (p − 2n + 1)(p + 2)(p + 4) · · · (p + 2n)
(2n + 1)!
a
1
,
n = 1, 2, ...
Deci, dou˘ a solut ¸ii liniar independente ale ecuat ¸iei lui Legendre ˆın jurul punc-
tului zero sunt
y
1
(x)=1+


n=0
(−1)
n
p(p−2)· · ·(p−2n+2)(p+1)(p+3)· · ·(p+2n−1)
(2n)!
x
2n
y
2
(x)=x+


n=1
(−1)
n
(p−1)(p−3)· · ·(p−2n+1)(p+2)(p+4)· · ·(p+2n)
(2n+1)!
x
2n+1
.
Dup˘ a cum se poate observa din formulele de recurent ¸˘a de mai sus, cˆand p este
un num˘ ar ˆıntreg nenegativ n, una din solut ¸iile de mai sus este un polinom
de grad n. Un multiplu al acestui polinom care ia valoarea 1 pentru x = 1
se nume¸ste polinom Legendre ¸si se noteaz˘a cu P
n
(x). De exemplu P
0
(x) = 1,
P
1
(x) = x, P
2
(x) =
3
2
x
2

1
2
,
etc.
Polinoamele lui Legendre pot fi introduse ¸si cu ajutorul unei formule dife-
rent ¸iale dup˘ a cum se vede din teorema care urmeaz˘a.
Teorema 4.1. (Formula lui Rodrigues) Polinomul lui Legendre P
n
poate fi
reprezentat sub forma
P
n
(x) =
1
2
n
n!
d
n
dx
n

(x
2
− 1)
n

.
Funct ¸ii cilindrice 121
Demonstrat ¸ie. Not˘am u = (x
2
− 1)
n
de unde rezult˘ a
(x
2
− 1)u

− 2nxu = 0.
Derivˆ and aceast˘a ecuat ¸ie de (m+ 1) ori, obt ¸inem
(x
2
− 1)u
(m+2)
− (2n − 2m− 2)xu
(m+1)
+ [m(m+ 1) − 2n(m+ 1)]u
(m)
= 0.
ˆ
Inlocuind pe m cu n, rezult˘ a
(1 −x
2
)u
(n+2)
− 2xu
(n+1)
+n(n + 1)u
(n)
= 0,
adic˘ a funct ¸ia
V
n
(x) =
1
2
n
n!
d
n
u
dx
n
satisface ecuat ¸ia lui Legendre
(1 −x
2
)V

n
(x) − 2xV

n
(x) +n(n + 1)V
n
(x) = 0.
Rezult˘a c˘a V
n
(x) = C
n
P
n
(x), unde C
n
este o constant˘a.
S˘ a ar˘ at˘am c˘a V
n
(1) = 1. Pentru aceasta, consider˘am derivata
d
m
dx
m

(x
2
− 1)
n

=
d
m
dx
m
[(x + 1)
n
(x − 1)
n
] =
=a
0
(x+1)
n−m
(x−1)
n
+a
1
(x+1)
n−m+1
(x−1)
n−1
+ · · · +a
n
(x+1)
n
(x−1)
n−m
.
Dac˘a m < n, atunci ˆın x = −1 ¸si x = 1 tot ¸i termenii se anuleaz˘a

d
m
dx
m

(x
2
− 1)
n


x=±1
= 0 (m < n).
Dac˘a m = n, atunci

d
n
dx
n

(x
2
− 1)
n


x=±1
= 2
n
n!,
de unde rezult˘ a V
n
(1) = 1, deci C
n
= 1 ¸si
V
n
(x) = P
n
(x).
122 Funct ¸ii speciale
6.5 Probleme
1. S˘ a se determine autovalorile ¸si autofunct ¸iile problemei Sturm–Liouville
periodice
a)

y

+λy = 0
y(−1) = y(1), u

(−1) = y

(1),
b)

y

+λy = 0
y(0) = y(2π), y

(0) = y

(2π),
c)

y

+λy = 0
y(0) = y(π), y

(0) = y

(π).
2. S˘ a se verifice relat ¸iile
(i) x
2
J

n
= (n
2
−n −x
2
)J
n
+xJ
n+1
,
(ii) J
2
= J
0
+ 2J

0
,
(iii) J
2
= J

0
−x
−1
J

0
,
(iv) J
3
+ 3J

0
+ 4J

0
= 0.
3. S˘ a se arate c˘a solut ¸ia general˘a a ecuat ¸iei diferent ¸iale
x
2
y

−2xy

+ 4(x
4
−1)y = 0
este
Ax
3
2
J5
4
(x
2
) +Bx
3
2
J

5
4
(x
2
).
4. S˘ a se arate c˘a dac˘a ecuat ¸iei ∆u + k
2
u = 0 i se aplic˘a transformarea
x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ ea devine

2
u
∂r
2
+
2
r
∂u
∂r
+
1
r
2
sin θ

∂θ

sin θ
∂u
∂θ

+
1
r
2
sin
2
θ

2
u
∂ϕ
2
+k
2
u = 0
¸si este satisf˘acut˘a de u = RθΦ, unde
R = r

1
2
J
n+
1
2
(kr), θ = P
m
n
(cos θ), Φ = sin mϕ.
5. Folosind definit ¸ia funct ¸iei Bessel, s˘a se verifice c˘a solut ¸ia ecuat ¸iei
y


2n −1
x
y

+y = 0
este
y = x
n
(AJ
n
(x) +BJ
−n
(x)).

Sponsor Documents

Or use your account on DocShare.tips

Hide

Forgot your password?

Or register your new account on DocShare.tips

Hide

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link to create a new password.

Back to log-in

Close