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Metodos Numericos para Ecuaciones Diferenciales Parciales y Dinamica de Fluidos Computacional
Obidio Rubio Mercedes 28 de octubre de 1999

Pr´ ologo
En la actualidad se est´ a resolviendo problemas cuyos modelos matem´ aticos son cada vez mas complejos, esta necesidad de resolverlas, lleva consigo la b´ usqueda de implementar alguna metodolog´ ıa, en este caso los m´ etodos num´ ericos, resultaron ser los m´ as u ´tiles, puesto que siempre generan un c´ odigo o programa para ser implementado en un computador. La complejidad del problema exigir´ a muchas veces un computador de alto desempe˜ no, pero cuyos resultados son indudablemente muy impactantes, en la actualidad por que permiten simular los problemas reales sin tener que hacer gasto de dinero o tiempo en simulaciones experimentales, generando una a ´rea muy amplia, como es la matem´ atica num´ erica, entendi´ endose que en ella se trata tanto los m´ etodos num´ ericos como el an´ alisis num´ erico de estos m´ etodos , los cuales siempre estar´ an enfocados en analizar el orden de consistencia y la velocidad de convergencia de las soluciones aproxmadas que generan los m´ etodos. En el presente trabajo se hace una introducci´ on al m´ etodo de diferencas finitas, puesto que es uno de los m´ etodos muy usados, por su simplicidad, puesto que puede ser accesado por un principiante con bastante ´ exito, y por su capacidad de abordar una amplia variedad de problemas, esta presentaci´ on se hace utilizando como modelos b´ asiocs a ecuaciones diferenciales parciales lineales de primer orden, como la ecuaci´ on de la onda y de segudno orden com la ecuaci´ on del calor y la ecuci´ on de Poisson. Teniendo en cuenta que un problema de ecuaciones diferenciales parciales, el cual es una abstracci´ on de los modelos de par´ ametros distribuidos, para ser formulado siempre necesita de un espacio infinito dimensional, entonces este problema debe ser aproximado por otro problema formulado en un espacio finito dimensional. El proceso principal de esta tarea es la discretizaci´ on de un problema, que consiste en aproximar un problema de ecuaciones diferen1

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ciales parciales, por un problema discreto, para ello se usa el proceso de discretizaci´ on, el cual se ha sistematizado en los siguientes pasos: Discretizaci´ on del dominio del problema, discretizaci´ on de la variable o inc´ ognita del problema y finalmente la discretizaci´ on de la ecuaci´ on diferencial del problema que consiste en usar un esquema de diferencias apropiado que aproxime la ecuaci´ on. Cada vez que se hable de discretizaci´ on de un problema se hace ´ enfasis en estos tres pasos. El trabajo est´ a organizado de la siguiente manera: se presenta una dscusi´ on de los esquemas de diferencias finitas para problemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, cuyo modelo patr´ on es la ecuaci´ on hiperb´ olica de la onda escalar unidimensional, aqu´ ı se introduce los conceptos fundamentales del an´ alsis de los esquemas de diferencias finitas, como es el de convergencia, consistencia y estabilidad, luego se utlzan estos conceptos en un estudio detallado para las ecuaciones parab´ olicas, cuyo modelo es la ecuaci´ on del calor. Utilizamos los problemas el´ ıpticas para hacer una presentaci´ on simple de ellas con ´ enfasis en el tratamiento de las condiciones de contorno, finalmente se hace una ligera introducci´ on a temas m´ as espec´ ıficos, donde se necesita de mas agudeza en el estudio de la convergencia, tanto en problemas lineales como en problemas no lineales.

´ Indice General
1 Introducci´ on 1.1 La naturaleza de los m´ etodos num´ ericos . . . . . . . 1.2 El concepto de discretizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Formulaci´ on para derivar m´ etodos de discretizaci´ on . 1.3.1 Formulaci´ on Serie de Taylor . . . . . . . . . . 1.3.2 Formulaci´ on Variacional . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Formulaci´ on de Pesos Residuales . . . . . . . 1.3.4 Formulaci´ on de Volumen de Control . . . . . . 1.3.5 Formulaci´ on Integrales de Contorno y Teor´ ıa Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 M´ etodo de Diferencias Finitas . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Discretizaci´ on del Dominio . . . . . . . . . . . 1.4.2 Discretizaci´ on de la Variable . . . . . . . . . . 1.4.3 Discretizaci´ on de la Ecuaci´ on Diferencial . . . 1.4.4 Operadores de Diferencias . . . . . . . . . . . 1.5 Precisi´ on de Aproximaciones . . . . . . . . . . . . . . 2 Ecuaciones Diferenciales Parciales 2.1 Ecuaci´ on de la Onda Unidimensional . . . . 2.1.1 Sistemas de Ecuaciones Hiperb´ olicas 2.1.2 Condiciones de contorno . . . . . . . 2.2 Esquemas de Diferencias Finitas . . . . . . . 2.2.1 Discretizaci´ on del Dominio . . . . . . 2.2.2 Discretizaci´ on de la Variable . . . . 2.2.3 Discretizaci´ on de la Ecuaci´ on . . . . 2.3 An´ alisis de Esquemas de Diferencias Finitas 2.3.1 Convergencia y Consistencia . . . . . 2.3.2 Estabilidad . . . . . . . . . . . . . .
3

. . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . . . . . .

7 7 7 8 8 8 9 9 10 11 11 12 13 16 16 19 19 21 22 23 23 24 24 29 30 34

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

4

´ INDICE GENERAL

2.4

2.3.3 El Teorema de Equivalencia de Lax - Richtmyer . 2.3.4 La Condici´ on de Courant-Friedrichs-Lewy . . . . An´ alisis de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 37 39 49 49 58 58 59 60 62 63 64 66 67 68 70 72 81 81 83 85 87 87 87 91 93 95 96 97 99 99 99

3 Ecuaciones Diferenciales Parab´ olicas 3.1 Problema de Conducci´ on del Calor . . . . . . . . . . 3.2 An´ alisis de los Esquemas de Diferencias Finitas . . . 3.2.1 Teorema de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 El esquema de Euler retrasado . . . . . . . . . 3.2.3 Consistencia y orden de precisi´ on . . . . . . . 3.2.4 Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Esquema de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . 3.2.6 Consistencia del esquema de Crank-Nicolson . 3.2.7 Estabilidad del esquema de Crank-Nicolson . . 3.2.8 Esquema de Du Fort-Frankel . . . . . . . . . . 3.2.9 Consistencia del esquema de Du Fort-Frankel 3.2.10 Estabilidad del Esquema de Du Fort-Frankel . 3.3 Implementaci´ on Num´ erica . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

4 Disipaci´ on y Dispersi´ on 4.1 Disipaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Dispersi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Velocidad de grupo y propagaci´ on de paquetes de ondas . 5 Ecuaciones El´ ıpticas: Condiciones de contorno 5.1 Ecuaci´ on de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Caso unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Caso bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Tratamiento de las condiciones de contorno . . . . . . . . 5.2.1 M´ etodos de los puntos ficticios . . . . . . . . . . . 5.2.2 Aproximaci´ on por series de Taylor (sin puntos ficticios) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Fronteras irregulares y curvadas . . . . . . . . . . 6 Convergencia: problemas lineales y no lineales 6.1 Estabilidad y Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Discretizaci´ on del Dominio . . . . . . . . . . . . .

´ INDICE GENERAL

5

6.1.2 Discretizaci´ on de la Varialble . . . . . 6.1.3 Discretizaci´ on de la Ecuaci´ on . . . . . 6.2 Consistencia y orden de precisi´ on . . . . . . . 6.3 Problemas no lineales: Ecuaci´ on de Burger’s . 6.3.1 Esquemas de diferencias finitas . . . . 6.3.2 Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Implementaci´ on num´ erica . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

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. . . . . . . .

100 100 106 108 108 109 109 115

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´ INDICE GENERAL

Cap´ ıtulo 1 Introducci´ on
1.1 La naturaleza de los m´ etodos num´ ericos

La soluci´ on num´ erica de una ecuaci´ on diferencial consiste de un conjunto de n´ umeros a partir de los cuales la distribuci´ on de la variable dependiente puede ser construida. En este sentido, un m´ etodo num´ erico es semejante a un experimento de laboratorio, en el cual el conjunto de instrumentos leidos nos permiten establecer la distribuci´ on de la cantidad medible en el dominio de investigaci´ on. Tanto el analista num´ erico como el experimentador de laboratorio deben quedarse con unicamente un n´ umero finito de valores num´ ericos como el resultado. Finalmente podemos decir que un m´ etodo num´ erico trata como sus incognitas b´ asicas los valores de las variables dependientes en un n´ umero finito de localizaciones (llamados los puntos de la malla) en el dominio de c´ alculo. El m´ etodo incluye la tarea de proveer un conjunto de ecuaciones algebraicas para estas incognitas y prescribir un algoritmo para resolver las ecuaciones.

1.2

El concepto de discretizaci´ on

Teniendo en cuenta que un problema de ecuaciones diferenciales parciales, el cual es una abstracci´ on de los modelos de par´ ametros distribuidos, para ser formulado siempre necesita de un espacio infinito demesional, entonces este problema debe ser aproximado por otro problema, discreto, y ser escrito en un espacio finito dimensional. Para ello se usa el proceso de discretizaci´ on, que consiste en trasladar un problema infinito dimensional a otro finito dmensional, el cual se
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8

´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION

ha sistematizado en los siguientes pasos: Discretizaci´ on del dominio del problema, discretizaci´ on de la variable o inc´ ognita del problema y finalmente la discretizaci´ on de la ecuaci´ on diferencial del problema que consiste en usar un esquema de diferencias apropiado que aproxime la ecuaci´ on. Cada vez que se hable de discretizaci´ on de un problema se hace ´ enfasis en estos tres pasos. Las tres etapas de este proceso lo comprenderemos como sigue: En primer lugar el dominio se subdivide en subdomios o elementos seg´ un una determinada prescripci´ on, eligiendo un conjunto finito de puntos o nodos, que constituyen la malla, esta es la discretizaci´ on del dominio. Focalizando la atenci´ on en los valores de los puntos de la malla, el hecho de remplazar la informaci´ on continua contenida en la soluci´ on exacta de la ecuaci´ on diferencial con valores discretos, asi hemos discretizado la variable dependiente Φ. Las ecuaciones algebraicas que involucran los valores de las variables de Φ en los puntos de la malla elegida se llaman ecuaciones de discretizaci´ on, las mismas que son derivadas de las ecuaciones diferenciales. La forma de derivar las ecuaciones algebraicas depende de como la varible dependiente varie en los puntos de la malla, generalmente se especifica una variaci´ on de un determinado perfil.

1.3

Formulaci´ on para derivar m´ etodos de discretizaci´ on

Para una ecuaci´ onn diferencial dada, los m´ etodos de discretizaci´ on requeridas pueden ser derivadas en muchas formas, a continuaci´ on mencionamos algunos de los m´ etodos mas comunes: 1.3.1 Formulaci´ on Serie de Taylor

El procedimiento usual para derivar las ecuaciones de diferencias finitas consiste en la aproximaci´ on de las derivadas en la ecuaci´ on diferencial via la serie de Taylor truncada. 1.3.2 Formulaci´ on Variacional

Otro m´ etodo de obtener las ecuaciones de discretizaci´ on estan basadas en el c´ alculo de variciones, donde se verifica que, resolver una ecuaci´ on

´ PARA DERIVAR METODOS ´ ´ 1.3. FORMULACION DE DISCRETIZACION

9

diferencial es equivalente a minimizar una funcional. La funcional es minimizada con respecto a los valores en los puntos de la malla de la variable dependiente, las condiciones resultantes generan las ecuaciones algebraicas requeridas. La formulaci´ on variacional es muy comunmente empleada en m´ etodos de elementos finitos. La principal dificultad de esta formulaci´ on es su aplicabilidad ya que no todos las ecuaciones diferenciales de inter´ es son interpretadas como minimizadoras de una funcional. 1.3.3 Formulaci´ on de Pesos Residuales

Un m´ etodo muy potente de resolver las ecuaicones diferenciales es el m´ etodo de los pesos residuales, El concepto b´ asico es el siguiente: supo¯ ( la variable ner que la soluci´ on aproximada de la ecuaci´ on diferencial Φ dependiente) contiene n par´ ametros por determinar, si sustituimos esta soluci´ on en la Ecuaci´ on diferencial obtendremos un residual. La idea es hacer este residual peque˜ no en algun sentido, generalmente esta u ´ltima tarea se hace multiplicando al residual por una funci´ on peso W e la integraci´ on sobre el dominio entero es puesta a cero. Por tanto eligiendon una sucesi´ on de funciones peso, podremos generar todas las ecuaciones que se requieren para ecaluar los par´ ametros. Muchas de las recientes desarrollos de las t´ ecnicas de los elementos finitos estan basadas sobre perfiles por secciones usadas en conjunci´ on con una clase de pesos residuales particulares conocidos como M´ etodo de Galerkin 1.3.4 Formulaci´ on de Volumen de Control

El domino de c´ alculo es dividido en un n´ umero de volumenes de control no traslapados de manera que existe un volumen de control encerrando un punto de la malla, la ecuaci´ on diferencial es integrada sobre el volumen de control. Perfiles por secciones expresando la varici´ on de la variable dependiente entre los puntos de la malla son usados para las integrales requeridas, el resultado es la ecuaci´ on discretizada conteniendo los valores de la variable para un grupo de puntos de la malla. La ecuaci´ on discretizada obtenida en esta manera expresa el principio de conservaci´ on para Φ para el volumen de control finito tan igual como la ecuaci´ on diferencial lo hace para un volumen infinitesimal.

10

´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION

1.3.5

Formulaci´ on Integrales de Contorno y Teor´ ıa de Potencial

Este m´ etodo, el mas moderno, como es natural, est´ a basado en una teor´ ıa mucho mas compleja, como es la Teor´ ıa de Potencial, que consiste en formular las soluciones de ecuaciones dieferenciales como operadores de integrales de contorno, muchas veces singulares, de modo que la discretizaci´ on ya no es en todo el dominio, sin´ o unicamente en el contorno y la ecuaci´ on se discretiza siguiendo la t´ ecnica de Galerkin y de los elementos finitos, pero con una funci´ on de prueba, muy especial, como son el caso de las funciones de Green de los operadores diferenciales, que formalmente, no son otra cosa mas que los operadores inversos de los operadores diferenciales y son expresados como integrales sobre el contorno del dominio. En esta primera parte de los m´ etodos num´ ericos para las ecuaciones diferenciales parciales esta dedicado al estudio de los esquemas de diferencias finitas. Nuestra intenci´ on es hacer nuestro ingreso al campo de la Din´ amica de Fluidos Computacional(DFC) de una manera accesible, desde luego que no dejamos de mencionar otros m´ etodos que son importantes y que ser´ an tratados en su debido tiempo, tales como los elementos finitos, m´ etodos espectrales elementos de contorno y vol´ umenes finitos. Utilizamos las Ecuciones Diferenciales Parciales(EDP), ya que esta clase de ecuaciones son las que generalmente modelan los fen´ omenos naturales, mec´ anicos y otros tipos de procesos que ocurren en las ciencias e Ingenier´ ıa. Suponemos un conocimiento b´ asico de las ecuaciones diferenciales parciales asi como algunos conocimientos del an´ alisis, si se desea probar algunos de nuestros teoremas presentados. A fin de ser mas eficientes en nuestro aprendizaje es necesario citar algunos libros de consulta como, Weinberger [7], Farlow[1] y Tijonov [6] Presentamos primeramente las ecuaciones diferenciales parciales de tipo hiperb´ olico, por considerar que dentro de ellas se encuentran ecuaciones simples, sin embargo modelan fon´ omenos f´ ısicos concretos. Despues de esta r´ apida presentaci´ on comezamos a presentar los conceptos b´ asicos de los esquemas de diferencias finitas(EDF). Tambi´ en presentamos los conceptos importantes de convergencia, consistencia y estabilidad los cuales son relacionados por el teorema de equivalencia de

´ 1.4. METODO DE DIFERENCIAS FINITAS

11

Lax-Richtmyer, utilizamos el an´ alisis de Von Neumann para establecer la estabilidad de esquemas, y terminamos con un tratamiento de los esquemas de diferencias finitas para las ecuaciones de tipo parab´ olico.

1.4

M´ etodo de Diferencias Finitas

En esta secci´ on presentamos en forma general, y b´ asica el concepto del m´ etodo de diferencias finitas (MDF), por simplicidad lo presentamos en dimensi´ on uno. Para esto , supongamos que tenemos un dominio, el cual ser´ a un intervalo Ω = [a, b] ⊂ R donde se tiene que resolver una ecuaci´ on diferencial. A continuaci´ on hacemos el proceso de discretizaci´ on en las tres etapas fundamentales.

1.4.1

Discretizaci´ on del Dominio

Por simplicidad consideremos el dominio como el intervalo Ω = [0, 1]. Este dominio es dividido en un n´ umero finito de subdominios o subintervalos igualmente espaciados de longitud ∆x, el cual es un n´ umero positivo. Ahora damos la definici´ on de malla Definici´ on 1.4.1. Sean ∆x un n´ umero positivo, llamado la diferencia finita; una malla en el dom´ ınio Ω ⊂ I R es un conjunto de puntos τ = {xn } ⊂ Ω, tal que cada xn esta en el interior o en la frontera de un subdominio y satisface xn+1 = xn + ∆x xn−1 = xn − ∆x es decir se cumple ∆x = xn − xn−1 Esto puntos tambi´ en se llaman nodos y el forma de elecci´ on no es u ´nica, la obtenci´ on de los subdominios junto con la elecci´ on de los nodos se denomina discretizaci´ on del dom´ ınio Ω. En la figura 1.1 se presenta al punto xn de la malla, localizado entre los puntos xn−1 y xn+1 .

12

´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION

∆x f g g

xn−1

xn

xn+1

Figura 1.1: malla unidimensional

Una de las elecciones mas comunes para los nodos son aquellos ubicados en la frontera del subdominio, es decir, sus coordenadas son de la forma n = 0, 1, 2, . . . , N xn = n∆x, , siendo N el n´ umero de subdominios. Pero tambi´ en se puede elegir en el interior del subdominio, por ejemplo, si elegimos en el centro de cada subintervalo se tendr´ ıa xn = 1.4.2 n+ 1 ∆x, 2 n = 0, 1, 2, . . . , N − 1.

Discretizaci´ on de la Variable

Definici´ on 1.4.2. Una funci´ on discreta v , es aquella que est´ a definida en una malla τ , tal que a cada punto xn le asocia un n´ umero vn . Observaci´ on 1.4.1. 1 .- Si tenemos una funci´ on continua u(t) definida en Ω, se le puede asociar una funci´ on discreta, es decir u puede ser discretizada sobre la malla, definiendo un = u(xn ). 2 .- Cuando la subdivisi´ on del dominio no es uniforme, lo cual ocurre en aplicaciones pr´ acticas, se tiene una sucesi´ on de diferencias ∆xn = xn+1 − xn para cada n. 3 .- Para efectos de un an´ alisis general, suponemos que vn = 0 para / Ω, denotando |n| > N , donde N es suficientmente grande tal que xn ∈ en este caso a la funci´ on discreta por v = {vn } y n ∈ Z, es decir: v = {vn } = (· · · , v−2 , v−1 , v0 , v1 , v2 , · · · )

´ 1.4. METODO DE DIFERENCIAS FINITAS

13

Definici´ on 1.4.3. Sean f = {fn }, g = {gn } dos funciones discretas definidas sobre una malla τ , el producto interno de f y g se define por f, g
h

=
n

hfn gn

(1.1)

donde h es un factor de escala, generalmente asociado al tama˜ no de la malla h = maxn {xn+1 − xn }. De la definici´ on anterior se obtiene la L2 -norma o norma euclideana: f = f, f
1/2 h 1/2

=
i

hfi2

.

(1.2)

Tambi´ en existen otras normas para funciones discretas, tales como: La norma de la suma f ==
i

h|fi |

(1.3)

La norma del m´ aximo |f |∞ = max h|fi |
i

(1.4)

1.4.3

Discretizaci´ on de la Ecuaci´ on Diferencial

El m´ etodo de diferencias finitas, tambi´ en llamado m´ etodo taylor, porque resulta cunado se usa la formulaci´ on serie de Taylor para realizar las aproximaciones de las derivadas en la ecuaci´ on diferencial por diferencias finitas. Antes de determinar la aproximaci´ on de las derivadas, es util revisar el significado de derivada. Las derivadas representan tasas de cambio, una derivada contiene informaci´ on acerca de la variaci´ on local de una funci´ on. Por tanto, una aproximaci´ on en diferencia a una derivada deberia atender a estos significados acoplando la informaci´ on en los puntos vecinos de una malla, este acoplamiento se puede realizar con la serie de Taylor de la funci´ on en una vecindad del punto. Asi la expansi´ on de u(x + ∆x) alrededor del punto x es d2 u (∆x)2 d3 u (∆x)3 du + 3 + ... u(x + ∆x) = u(x) + ∆x + 2 dx dx 2! dx 3!

(1.5)

14

´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION

utilizando la nomenclatura para la versi´ on discreta, esta serie de Taylor puede ser escrita como un+1 du = un + dx d2 u ∆x + dx2 n d3 u (∆x)2 + 2! dx3 n (∆x)3 + . . . (1.6) 3!

n

De la misma forma, el valor u(x − ∆x) puede ser escrito como un−1 y expandido como un−1 = un − du dx ∆x +
n

d2 u dx2

(∆x)2 − 2! n

d3 u dx3

(∆x)3 + . . . (1.7) 3! n

Cuando la ecuaci´ on (1.6) se resuelve para la primera derivada , obtenemos du dx d2 u (∆x) un+1 − un − + ∆x dx2 n 2! un+1 − un = + O(∆x) ∆x = d3 u dx3 (∆x)2 + ... 3! n (1.8)

n

donde O(∆x) denota el t´ ermino que contiene la primera y las potencias mayores de ∆x. Si esta serie es truncada despues del primer t´ ermino, lo que tenemos es una diferencia finita que aproxima la primera derivada en el punto n, esto es du dx ≈
n

un+1 − un ∆x

(1.9)

El error (de truncamiento) que resulta de esta aproximaci´ on se dice que es del orden de (∆x), porque (∆x) aparece en el primer t´ ermino de la serie truncada. Por lo tanto el error de truncaci´ on en la ecuaci´ on (1.9), se dice que es primer orden, y por tanto, la (1.9) misma se dice que es exacta de primer orden. Observamos que la precedente aproximaci´ on, se realiza en el punto n y utiliza el punto n + 1, por lo que se le llama una aproximaci´ on de diferencia hacia adelante. De la misma manera, podemos derivar la aproximaci´ on de la diferencia hacia atras de la ecuaci´ on (1.7) como

´ 1.4. METODO DE DIFERENCIAS FINITAS

15

du dx

n

un − un−1 (∆x) d2 u = + − ∆x dx2 n 2! un − un−1 + O(∆x) = ∆x un − un−1 ≈ ∆x

d3 u dx3

(∆x)2 + ... 3! n

(1.10)

la cual es tambi´ en exacta de primer orden. Una aproximaci´ on de diferencia mas precisa que la de primer orden, es la obtenida substrayendo la ecuaci´ on (1.7) de la ecuaci´ on (1.6 ) y du/dx, entonces du dx un+1 − un−1 + +O(∆x)2 2∆x un+1 − un−1 ≈ 2∆x =

n

(1.11)

´ esta aproximaxci´ on es llamada diferencia central porque esta centrada en el punto n. Las diferencias hacia adelante y hacia atras tambi´ en pueden ser pensadas como diferencias centrales, pero no centradas en el punto n, sino en los puntos (n + 1/2) y en (n − 1/2) respectivamente. Para obtener una aproximaci´ on de diferencia finita de la segunda derivada, las ecuaciones (1.7) y (1.6 ) son sumadas, y el resultado es resuelta para (d2 u/dx2 ), generando d2 u dx2 un+1 − 2un + un−1 + O(∆x)2 2 ∆x

=
n

(1.12)

El primer t´ ermino del lado derecho, es usado para una aproximaci´ on de diferencia finita para la segunda derivada, es decir; d2 u dx2 un+1 − 2un + un−1 , ∆x2

≈
n

(1.13)

Esta aproximaci´ on de la segunda derivada se llama diferencia central segunda, como observamso de (3.4), el error de truncamiento de esta aproximaci´ on es de segundo orden.

16

´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION

1.4.4

Operadores de Diferencias

En base a las diferencias presewntadas anteriormente se definimos algunos operadores mas utilizados en lenguaje de los esquemas de diferencias finitas, que se pueden aplicar a funciones discretas 1. Operadores de desplazamiento (derecha, izquierda) S+ Φn = φn+1 , 2. Operador de diferencia hacia adelante D + Φn = Φn+1 − Φn (S+ − I )Φn = ∆x ∆x S− Φn = Φn−1 ,

3. Operador de diferencia hacia atras D − Φn = (I − S− )Φn Φn − Φn−1 = ∆x ∆x

4. Operador de diferencia central D 0 Φn = (S+ − S− )Φn Φn+1 − Φn−1 = 2∆x 2∆x

Tambi´ en existen otros tipos de operadores de mayor orden, que se pueden construir usando los operadores anteriores, tales como: Operador de diferencia central
2 Φ n = D− D + Φ n = δ0

D− Φn+1 − D− Φn ∆x Φn+1 − 2Φn + Φn−1 = ∆x2 D− D+ Φn = D+ D− Φn

y se cumple

1.5

Precisi´ on de Aproximaciones

Jhon Von Neumann y H.H. Goldstein han identificado cuatro principales fuentes de errores que son casi inevitables cuando estamos describiendo sistemas f´ ısicos.

´ DE APROXIMACIONES 1.5. PRECISION

17

1. Errores de modelaci´ on: Los modelos matem´ aticos de por s´ ı son generalmente dise˜ nados con varias hip´ otesis. Un sistema que es no lineal y dependiente del tiempo, es talv´ ez representado por una ecuaci´ on diferencial lineal con coeficientes constantes. Un sistema de par´ ametros distribuidos (representado por una ecuaci´ on diferencial parcial) puede ser aproximado por un modelo de par´ ametros agrupados(sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias). 2. Errores de medici´ on: La mayor´ ıa de las descripciones de fen´ omenos naturales requieren de datos medidos, estos datos de por s´ ı tienen un error porque dependen de los equipos y otros factores que siempre aparecen en la obentci´ on de ellos. 3. Errores de truncaci´ on: Casi todos las descripciones de problemas de campo involucran un continuo infinito. En el contexto del an´ alisis num´ erico, solo se puede tratar con un n´ umero finito de t´ erminos de procesos limitantes los cuales son normalmente descritos por series infinitas. 4. Errores de redondeo: Errores introducidos por eliminaci´ on de d´ ıgitos; cuando los c´ alculos son realizados, estos pueden ser hechos unicamente en un computador de precisi´ on finita. Los errores aparecen en el tama˜ no limitado de los registros en la unidad de aritm´ etica del computador. De los cuatro errores presentados, los errores de truncaci´ on y redondeo caen en el campo del analista num´ erico, estos errores son acumulados y tiene que controlarse para no dejarlos crecer. Aqu´ ı se observa un hecho muy importante, Cuando los c´ alculos usan una malla mas fina, el error de truncamiento decrece pero el error de redondeo crece debido a que los datos num´ ericos son mas peque˜ nos y por el n´ umero creciente de c´ alculos efectuados, por tanto hay que saber controlar ambos errores a fin de que el error total permanezca en rangos permisibles.

18

´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION

Cap´ ıtulo 2 Ecuaciones Diferenciales Parciales
2.1 Ecuaci´ on de la Onda Unidimensional

Por su simplicidad, el prototipo de todas las ecuaciones diferenciales parciales es la ecuaci´ on hiperb´ olica de la onda unidimensional, ut + aux = 0, (2.1)

donde a es una constante, t representa el tiempo, x la variable espacial, u(x, t) es la incognita de la ecuaci´ on. El problema de valor inicial asociado a esta ecuaci´ on es el siguiente: Dada u en el tiempo inicial, es decir u(x, 0) es igual a una funci´ on dada u0 (x), para todo x ∈ R, deseamos determinar el valor u(x, t) para cada t > 0, tal que: (P V I ) −∞ < x < ∞, t > 0 ut + aux = 0, −∞ < x < ∞. u(x, 0) = u0 (x), (2.2)

La soluci´ on de este problema es facil determinar, por observaci´ on podemos decir que la soluci´ on de (PVI) es: u(x, t) = u0 (x − at), (2.3)

La funci´ on (2.3), soluci´ on de (PVI) puede interpretarse de la siguiente manera: on es una r´ eplica de la funci´ on 1. En cualquier tiempo t0 > 0, la soluci´ inicial, pero desplazada, a la derecha si a > 0 y a la izquierda si a < 0, hasta una posici´ on |a|t0 . 2. La soluci´ on en (x, t) depende unicamente del valor ζ = x − at.
19

20

CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

3. Las rectas x − at = cte en el plano (x, t) se llaman caracter´ ısticas de la ecuac´ on. 4. El par´ ametro a tiene dimensi´ on de distancia dividido por el tiempo, y se llama velocidad de propagaci´ on a lo largo de la caracter´ ıstica. 5. Si la condici´ on inicial es una onda, la soluci´ on expresada en (2.3) dice que en cualquier tiempo la onda inicial se propaga con velocidad a sin cambiar de forma. Observaci´ on 2.1.1. La ecuaci´ on (2.1) tiene sentido si u es diferenciable, la soluci´ on (2.3) no necesita de la diferenciabilidad de u0 . De acuerdo a esto, es permisible tener soluciones discontinuas para problemas hiperb´ olicos. Un ejemplo de una soluci´ on discontinua es una onda de Shock(ver Farlow [1]), la cual es una clase de soluciones de ecuaciones hiperb´ olicas no lienales. Una generalizaci´ on del problema hiperb´ olico es el siguiente (P V I ) ut + aux + bu = f (x, t), −∞ < x < ∞, t > 0 −∞ < x < ∞. u(x, 0) = u0 (x), (2.4)

donde a, b son constantes f es una funci´ on. Basados en la observaciones anteriores, hacemos el cambio de variables τ = t, t = τ, ´ o (2.5) ζ = x − at, x = ζ + aτ. luego definiendo u ¯(ζ, τ ) = u(x, t), donde (ζ, τ ) y (x, t) est´ an relacionadas por el cambio de variable definida previamente, entonces la ecuaci´ on en (2.4), se transforma en ∂t ∂x ∂u ¯ = ut + ux = ut + aux = −bu + f (ζ + aτ, τ ) ∂τ ∂τ ∂τ es decir ∂u ¯ = −bu ¯ + f (ζ + aτ, τ ) ∂τ la cual es una ecuaci´ on diferencial ordinaria en τ y cuya soluci´ on depende de ζ y es de la forma u(x, t) = u0 (x − at)e
−bτ τ

+
0

f (ζ + as, s)e−b(τ −s) ds,

(2.6)

´ DE LA ONDA UNIDIMENSIONAL 2.1. ECUACION

21

Usando la inversa del cambio de variable se tiene u(x, t) = u0 (x − at)e
−bτ t

+
0

f (x − a(t − s), s) + as, s)e−b(τ −s) ds, (2.7)

Notar que u(x, t) depende solamente de los valores de (x1 , t1 ) tal que on depende unicamente de los valores x − at = x1 − at1 , es decir, la soluci´ de u y f sobre las caracter´ ısticas que pasan por (x, t), para 0 ≤ t1 ≤ t. Este m´ etodo se soluci´ on puede extenderse facilmente a ecuaciones no lineales de la forma ut + aux = f (x, t, u). Tambi´ en el m´ etodo de las caracter´ ısticas puede ser util para interpretar, aunque no expresar explicitamente la soluci´ on de del problema no lineal, ut + g (u)ux = 0 Ya que se puede conocer la soluci´ on sobre cada curva particular, pero no en todas al mismo tiempo(ver [1]). 2.1.1 Sistemas de Ecuaciones Hiperb´ olicas

Ahora damos un ligero vistazo a los sistemas de ecuaciones hiperb´ olicas de tipo parab´ olico en una dimensi´ on, aunque la incognita u es un vector n-dimensional. Definici´ on 2.1.1. Un sistema de la forma ut + Aux + Bu = F (x, t), es hiperb´ olico si la matr´ ız A es diagonalizable, es decir existe una matr´ ız −1 no singular P tal que P AP = D donde D = diag (a1 , a2 , . . . , an ). Los autovalores de A son las velocidades caracter´ ısticas del sistema. Bajo el cambio de variables w = P u, y poniendo B = 0 en el sistema, tenemos ˜ (x, t), wt + Dw : x = P F (x, t) = F ´ o
i i ˜i (x, t), + ai wx =f wt

las cuales son de la forma (2.4). Podemos decir que si la matriz B = 0, el sistema hiperb´ olico unidimensional se reduce a un conjunto de n ecuaciones hiperb´ olicas independientes, si B = 0 el sistema permanece acoplado.

22

CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Ejemplo 2.1.1. El sistema ut + 2ux + vx = 0 vt + ux + 2vx = 0 se puede escribir como u v 2.1.2 +
t

2 1 1 2

u v

= 0.
x

Condiciones de contorno

Si consideramos las EDPs sobre un intervalo finito en lugar de la recta real, entonces estamos frente a un problema que necesita imponer algunas condiciones correctas en los extremos del intervalo. La mayoria de las aplicaciones de las EDPs estan definidas en dominios con frontera. Las condiciones que relacionan la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial a datos de frontera lo llamamos, condiciones de contorno. El problema de determinar una soluci´ on a la ecuaci´ on diferencial con condici´ on inicial y condici´ on de contorno se llama problema de valor inicial y de contorno. La discusi´ on de problemas de valores de contorno sirve para ilustrar de nuevo la importancia del concepto de caracter´ ısticas, por ejemplo si consideramos el problema  0 ≤< x < 1, t > 0  ut + aux = 0, −∞ < x < ∞. (2.8) u(x, 0) = u0 (x), (P V IC )  u(0, t) = g (tx), 0 < t ≥ 0 < x < 1. Si a > 0, las caracter´ ısticas en esta regi´ on se propaga de izquierda a derecha segun la figura, examinando las mismas vemos que, es suficiente que se especifique, los datos iniciales y en el extremo x = 0, para tener la soluci´ on en cada tiempo t > 0. Mas a´ un no es necesario tener datos en el otro extremo x = 1, lo cual convertir´ a al problema en sobre determinado. Por ejemplo consideremos la condici´ on inicial u(x, 0) = u0 (x) y la condici´ on de contorno u(0, t) = g (t), la soluci´ on del problema se puede escribir en la forma u(x, t) = u0 (x − at) si x − at > 0, g (t − a−1 x) si x − at < 0

2.2. ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS

23

t 6
>

> >



0

-

1

x

A lo largo de la caracter´ ıstica x − at = 0 existir´ a un salto de discontinuidad en u si u0 (0) = g (0). Si a < 0 el rol de las fronteras son intercambiados.

2.2

Esquemas de Diferencias Finitas

Para comenzar una discusi´ on de esquemas de diferencia finitas consideramos el problema a tratar como un problema de valor inicial escalar (P V I ) P(x, t, ∂t , ∂x )u = 0, u(0) = u0 . x ∈ R, t > 0 (2.9) donde P(ξ1 , ξ2 , ξ3 , ξ4 ) es un polinomio en las variables ξ1 , ξ2 , ξ3 , ξ4 . Como sabemos la discretizaci´ on lo hacemos en tres pasos 2.2.1 Discretizaci´ on del Dominio

Sabiendo que el dominio del problema es el semiplano superior del en el sistema (x, t), por tanto, la discretizaci´ on del dominio consiste en dividirlo en subdominios y definir una malla de puntos en el semiplano (x, t), t > 0. En nuestro caso, por razones pr´ acticas, los subdominios ser´ an rect´ angulos homog´ eneos y en el extremo de cada rect´ angulo se define un nodo como sigue Definici´ on 2.2.1. Sean h,k n´ umeros positivos; una malla es un conjunto

24

CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

de puntos de la forma (xj , tn ) = (jh, nk ), donde j, n son n´ umeros enteros arbitrarios con n > 0. 2.2.2 Discretizaci´ on de la Variable

Definici´ on 2.2.2. Una funci´ on discreta v , es aquella que esta definida n . en una malla, tal que a cada punto (xj , tn ) le asocia un valor vj Observaci´ on 2.2.1. 1 .- Una funci´ on continua u(x, t) definida en −∞ < x < ∞, puede ser discretizada sobre la malla, definiendo un j = u(xj , tn ) 2 .- El conjunto de puntos de la malla (xj , tn ), con n fijo se llama nivel n de la malla. La discretizaci´ on de la variable del problema consiste en utilizar un n que aproxime la variable del problema, es decir a la funci´ on discreta vj soluci´ on exacta u(x, t) en cada punto de la malla (jh, nk )
n vj ≈ u(xj , tn )

t > 0,

(2.10)

En esta misma etapa tambi´ en se discretiza las condciones de cotnorno as´ ı com la condici´ on inicial, por ejemplo en nuestro problema se tiene
0 vj = u0 (xj )

2.2.3

Discretizaci´ on de la Ecuaci´ on

En esta etapa, los operadores diferenciales son aproximados por operadores de diferencias finitas utilizando la serie de taylor, estos operadores son combinados adecuadamente formando un esquema de diferencias finitas, tal que el problema de valor inicial (P V I ) es sustitu´ ıdo por el problema de valor inicial discreto. (P V ID)
n = 0, Ph,k vj 0 vj =

j ∈ Z, u0 (jh),

n ∈ Z+ j ∈ Z.

(2.11)

Con la utilizaci´ on del operador dscreto de Ph,k el problema de valor inicial continuo definido para −∞ < x < +∞, t > 0, ha sido sustituido

2.2. ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS

25

por un problema discreto definido en puntos discretos x = jh, t = nk , j ∈ Z, n ∈ Z+ . ´nico y dependiendo de la De esta manera el operador Ph,k , no es u forma en que se combinan los operadores de diferencias determina un esquema de diferencias finitas. La manera de conseguir estos esquemas es aproximando las derivadas por diferencias finitas, es fundamental en este proceso, la f´ ormula de Taylor, esta t´ ecnica tiene una justificaci´ on que vemos a continuci´ on. Suponiendo que u es suficientemente regular, la derivada de u con respecto a x en (x, t), se puede calcular con f´ ormulas diferentes, como: ∂u (x, t) ∂x = lim −→0 u(x+ ,t)−u(x,t) −u(x− ,t) = lim −→0 u(x+ ,t)2 (2.12)

Si (x, t) es un punto de la malla esta derivada puede ser aproximada en los puntos de la malla por diferencias finitas de la forma ∂u (jh, nk ) ∂x ≈ ≈
u((j +1)h,nk )−u(jh,nk ) h u((j +1)h,nk )−u((j −1)h,nk ) 2h

(2.13)

respectivamente. Consideremos ahora, la ecuaci´ on modelo ut + aux = 0, (2.14)

Entre los Esquemas mas comunmente utilizados para discretizar esta ecuaci´ on, tenemos: Upwind
n+1 n n n − vj vj vj +1 − vj +a = 0, k h n+1 n n n − vj vj − vj vj −1 +a = 0, k h

a<0

(2.15)

a>0

(2.16)

Leap-Frog,
n+1 n−1 n n vj − vj vj +1 − vj −1 +a = 0, 2k 2h

(2.17)

26

CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Lax-Wendroff
n+1 n n n n n vj − vj v n − 2vj + vj vj +1 − vj −1 −1 2 j +1 , +a = ka k 2h 2h2

(2.18)

Lax-Friedrichs
n+1 n n n n −1 vj vj +1 − vj −1 2 (vj +1 + vj −1 ) +a = 0. k 2h

(2.19)

En el esuqema Upwind , se presnetan dos esuqemas que depende del signo de a, el primero denotado por (FTFS) de Ingl´ es ”forward time forward space”y el segundo se denota por (FTBS)”forward time Backward space”. En general el m´ etodo para derivar esquemas de diferencias finitas es simple; sin embargo el an´ alisis de que si un esquema de diferencias finitas es una buena aproximaci´ on a la ecuaci´ on diferencial necesita de una tarea matem´ atica, a veces fuerte. Por otro lado, dado una lista de esquemas, es com´ un preguntarse, ¿cu´ al de ellos son u ´tiles y cuales no? Para dar respuesta a esta pregunta b´ asica, necesita algun tiempo y cuidado, y su respuesta se logra en varios aspectos. Comenzamos respondiendo en un primer aspecto, el cual ser´ ıa , determinar cu´ al esquema genera soluciones que aproximen a las soluciones de la ecuaci´ on diferencial. En otro aspecto es determinar cu´ ales esquemas son mas precisos que otros y finalmente investigamos la eficiencia de los esquemas. Cada uno de los n+1 como esquemas antes mencionados pueden ser escritos expresando vj combinaci´ on lineal de los valores de v en los niveles n y n − 1. Por ejemplo el esquema (FTFS) se puede se escribe como: k . h La cantidad λ aparecera a menudo en el estudio de los esquemas para ecuaciones hiperb´ olicas. Los esquemas permiten calcular la funci´ on discreta v en el nivel n + 1 conociendo el valor de la misma en niveles inferiores, aquellos esquemas que solo necesitan un solo nivel inferior, por ejemplo del nivel n se llaman esquemas de un solo paso, entanto que los esquemas que involucran mas de un nivel inferior se llaman esuqemas de m´ ultiple paso, por ejemplo en la lista de esquemas anteriores, el esquema de Leap-Frog es de m´ ultiple
n+1 n n = (1 + aλ)vj − aλvj vj +1 ,

con

λ=

2.2. ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS

27

paso, usa el nivel n y el nivel n − 1 y todos los otros son esquemas de un solo paso. 0 , un esquema de un solo paso puede utiDado los datos iniciales vj n , para todos los valores positivos lizarse sin dfcultades para calcular vj de n. Para los esquemas de m´ ultiple paso, como el esquema de Leapfrog no 0 para obtener los demas valores en los otros es suficiente tener los datos vj niveles, sino que se tiene especificar v en los niveles suficientes a fin de que el esquema sea empleado, una forma de resolver esto es por ejemplo, usar un esquema de un solo paso hasta tener los niveles necesarios donde se comience a usar esquema de m´ ultiple paso. Para tener un panorama de los t´ opicos a seguir discutiendo, hagamso un comentario de las resultados obtenidos con los esquemas propuestos anteriormente, para ello consideremos el (P V I ), donde 0 < x < 2π, t > 0, teniendo como condici´ on inicial la funci´ on 2π -peri´ odica seccionalmente continua  π ,  0, 0 ≤ x < 23 2π 4π (2.20) 1, 3 ≤ x ≤ 3 , u(x, 0) = f (x) =  π < x ≤ 2π, 0, 43 A continuaci´ on se muestra una secci´ on de pseudoc´ odigo, el cual nos permitir´ a observar el comportamiento del periodo principal de esta funci´ on considerado como una onda, para esto elijamos el esquema de LaxFriedrichs, los dem´ as tienen similar estructura  Do n = 0, nmax      Do j = −19, 29 vj,n+1 ←− (vj +1,n + vj −1,n ) /2 − λ (vj +1,n − vj −1,n ) /2   End Do    End Do Como sabemos la soluci´ on de este problema esta dado por u(x, t) = f (x − at) y es constante a lo largo de las caracter´ ısticas x − at = cte en la figura 2.1, presentamos las soluci´ ones num´ ericas que son aproximaciones de la soluci´ on del problema (2.14)-(2.20), con a = 1, h = 2π/240, k = 2h/3 en t = 500k y en t = 1000k .

28

CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

upwind 1 0.9 0.8 0.7 0.8 0.6 0.6 0.5 0.4 0.4 0.2 0.3 0.2 0.1 0 0 0 -0.2 -0.4 0 1.4 1.2 1

Leap-Frog

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

Lax-Wendroff 1.2 1 0.9 1 0.8 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.4 0.3 0.2 0 0.1 -0.2 0 0 0

Lax-Friedrich

0.6

0.2

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

Figura 2.1: Soluciones num´ ericas con los esquemas, en t = 500k,

´ 2.3. ANALISIS DE ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS

29

La soluci´ on exacta de la ecuaci´ on diferencial est´ a dada por la linea trazada y la soluci´ on num´ erica por el esquema respectivo, est´ a dado por la linea cont´ ınua en cada caso. En la figura podemos observar que el esquema de diferencias calcula la soluci´ on adecuadamente bi´ en, lejos de las discontinuidades, pero cerca de estas no se muestra una buena aproximaci´ on a la soluci´ on. Todas estas aproximaciones no son capaces de ser consideradas como buenas; porque, el m´ etodo de Leap-frog genera muchas oscilaciones cerca de las discontinuidades. El m´ etodo Lax-Wendroff tiene sobreoscilaciones y suboscilaciones cerca de las discontinuidades, pero no se propagan immediantamente. Los M´ etodos de Lax-Friedrichs y Upwind, no tienen oscilaciones ni sobre oscilaciones, sin embargo cerca de las discontinuidades se separan mucho de la soluaci´ on exacta, podr´ ıamos decir que sus discontnuidades ocupan regiones mas extensas. Para tiempos bajos (primeros nivels de t) la soluci´ on tiene un comportamiento aceptable, pero a medida que t crece la separaci´ on de la soluci´ on exacta es mas acentuada, especialmente en los esquemas Upwind y Lax-Fredrichs, porque estos esquemas de diferencias incorporan algunas propiedades que el problema original no lo tiene, como es el csao de la disipaci´ on num´ erica, como veremos en la pr´ oxima secci´ on.

2.3

An´ alisis de Esquemas de Diferencias Finitas

La serie de Taylor es una herramienta fundamental en los m´ etodos num´ ericos tanto para determinar los operadores de diferencias como para determinar los operadores de truncamiento de cualquier esquema de diferencias que aproxime una ecuaci´ on diferencial. Convergencia es un concepto matem´ atico familiar conocido para el caso de sucesiones de n´ umeros, sin embargo aqu´ ı se refiere al hecho de que sucesiones de soluciones discretas obtenidas de las ecuaciones de diferencias, cada vez que la malla es refinada, se aproximan a la soluci´ on exacta de la ecuaci´ on diferencial continua. Por tanto hablaremos de convergencia, como el acercamiento, en algun sentido, de las solun n = vj (h, k ), cuando k, , h → 0. Desde luego que estrictamente ciones vj hablando acerca de la convergencia de sucesiones de funciones, se nece-

30

CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

sita definir el tipo de m´ etrica con la que se puede medir la distancia entre funciones; sin embargo no necesitamos entrar en mucho detalle, es suficiente utilizar los puntos de la malla, por lo que hablaremos de convergencia puntual o convergencia uniforme y tambi´ en por precisar algunos conceptos presentaremos esa misma definici´ on en otro contexto. El t´ ermino consistencia se refiere a una aproximaci´ on entre el esquema mismo y la ecuaci´ on diferencial. En un an´ alisis de ecuaciones en diferenicas, la consistencia junto la establidad garantizan la convergencia, ´ esto ser´ a visto mas adelante en el teorema de Lax-Richtmyer. 2.3.1 Convergencia y Consistencia

Presentamos en primer lugar una ecuaci´ on diferencial general, a fin de que estos conceptos sean presentados en un contexto te´ orico y as´ ı sean usados para en una amplia clase de aproximaciones de ecuaciones diferenciales. Consideremos la EDP lineal de la forma P (∂t , ∂x )u = f (x, t) (2.21)

Donde P (ξ1 , ξ2 ) es un polinomio lineal en ξ1 , ξ2 , por razones de simplicidad, consideramos que la ecuaci´ on anterior es de primer orden en la derivada con respecto al tiempo. Ejemplos de este tipo de ecuaciones son: ut − bux x + aux = 0, ut + butx + auxx + cuxxx = sin x. Supongamos, a fin de hacer la teor´ ıa viable, que una ecuaci´ on o sistemas de ecuaciones, de la forma (2.22), determina una u ´nica soluci´ on si se especifica los datos iniciales u(x, 0). Para efectos de notaci´ on, consideremos que un Esquema de Diferencias Finitas (EDF) tiene la forma Ph,k u = Bh,k f (2.22)

Definici´ on 2.3.1. Dada la condici´ on inicial u0 (x), para la cual existe una soluci´ on u(x, t) de la EDP. Un esquema de diferencias finitas de un solo paso que aproxima la EDP se dice que es un esquema convergente

´ 2.3. ANALISIS DE ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS

31

n sii todas las soluciones vj , dadas por el esquema de diferencias finitas, 0 n −→ u(x, t) tal que vj converge a u0 (x) cuando jh −→ x; se cumple vj siempre que (jh, nk ) −→ (x, t) cuando h, k −→ 0.

Observar que: 1. Para el caso de esquemas de m´ ultiple paso, la definici´ on es modificada precisando que.
i , vj

converge a

u0 (xj ) para

0≤i≤J

n a u(x, t) 2. Se debe precisar que la naturaleza de la convergencia de vj es en los puntos de la malla, ya que u est´ a definida continuamente n est´ a definida en el dominio que contiene a la malla, mientras que vj solo en los puntos de la misma.

Probar que un esquema dado sea convergente, en general no es f´ acil si intentamos hacerlo directamente, puesto que en general no se conoce la soluci´ on de la EDP cont´ ınua, sin embargo existen los conceptos t´ ecnicos de consstencia y estabilidad, que son relativamente f´ aciles de chequear que ayudar´ an a determinar la convergencia sin tener la soluci´ on antes mencionada; a contincuaci´ on veremso la consistencia. Definici´ on 2.3.2. Dada una ecuaci´ on diferencial parcial P u = f y un esquema de diferencias finitas Ph,k u = f ; decimos que el EDF es consistente con la EDP, sii para cualquier funci´ on suave Φ(x, t) se cumple P Φ − Pn,k Φ −→ 0 cuando h, k −→ 0

donde la convergencia es puntual, en cada punto de la malla. Observaci´ on: 1. En algunos esquemas se necesita precisar la forma en que h y k tienden a cero a fin de obtener la consistencia. 2. Cuando nos referimos a una funci´ on suave, se entiende que es una funci´ on suficientemente diferenciable. 3. En el esquema de diferencias finitas, el operador de diferencias Ph,k , es el que caracteriza tal esquema, el cual puede estar definido en funci´ on de los operadores discretos conocidos.

32

CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Presentamos, las definiciones anteriores en un contexto mas general, con el prop´ osito de motivar a un estudio mas matem´ atico de los esquemas de diferencias finitas. Definici´ on 2.3.3. Ph,k es consistente con P hasta un tiempo T en una cuando norma ||.||, sii ||Ph,k ϕ − P ϕ|| = kτ (h) ; y τ (h) → 0 k→0 τ (h) es el error de truncamiento local en tiempo nk . Definici´ on 2.3.4. Un esquema de diferencias finitas es convergente en n cuando h, k → 0 la norma ||.||, sii ||un j − vj || → 0 Es convergente de orden (p,q) en la norma ||.|| sii
n p q ||un j − vj || = O (h ) + O (k )

on de la Ejemplo: En el esquema de Lax-Friedrich, para la ecuaci´ onda, ∂ ∂ + a , o P Φ = Φt + aΦx P = ∂t ∂x
+1 n n n −1 Φn Φn j j +1 − Φj −1 2 (Φj +1 + Φj −1 ) +a , Ph,k Φ = k 2h

Φn j = Φ(jh, nk ),

utilizando la serie de Taylor en el punto (xj , tn )
+ + 1 1 2 Φn+ = Φn h h3 Φxxx + O(h4 ) − h Φ + Φ − x xx j j −1 2 6

de estas expresiones tenemos 1 2 1 n n 4 (Φj +1 + Φn j −1 ) = Φj + h Φxx + O (h ) 2 2 n − Φ Φn 1 j +1 j −1 = Φx + h2 Φxxx + O(h4 ) 2h 6 k2 n+1 n Φj = Φj + kφt + Φtt + O(k 3 ). 2 Sustituyendo estas expresiones en el esquema tenemos 1 h2 1 2 h4 4 Ph,k Φ = Φt + aΦx + k Φtt − Φxx + ah Φxxx + O(h + + k2) 2 2k 6 k

´ 2.3. ANALISIS DE ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS

33

podemos decir que, el esquema es consistente tan pronto como cuando h, k −→ 0, y se cumple

h2 k

−→ 0,

1 h2 1 h4 Ph,k Φ − P Φ = k Φtt − Φxx + ah2 Φxxx + O(h4 + + k 2 ) −→ 0, 2 2k 6 k lo cual significa que h2 debe ir mas rapidamente a cero que k . on Ejemplo.- En la ecuaci´ ut + uk utilizamos el esquema FTFS
n+1 n n n − vj vj vj +1 − vj + =0 k h que se puede escribir como

k n n+1 n n = vj − (vj vj +1 − vj ) h

···

(∗) λ=

k h Como hicimos en el ejemplo anterior se puede verificar que
n+1 n n = (1 + λ)vj − λvj vj +1 ,

1 1 Ph,k ϕ = ϕt + aϕx + kϕxt + ahϕxx + O(k 2 ) + O(h2 ) 2 2 Por lo tanto 1 2 2 P ϕ − Ph,k ϕ = − 1 si (h, k ) → 0 2 kϕtt + 2 ahϕxx + O (k ) + O (h ) → 0, Por lo que el esquema es consistente. Es muy natural preguntarse, ¿cu´ ando consistencia es suficiente para que que un esquema sea convergente?. En verdad, consistencia es necesaria para convergencia mas no suficiente, como veremos en el esquema del u ´ltimo ejemplo, el esquema puede ser consistente pero no convergente. Tomando la condici´ on inicial u0 (x) = 1, si −1 < x < 0 0, en otro lugar

La soluci´ on de la EDP u(x, t) = u0 (x − t) es un desplazamiento de u0 a la derecha por t.

34

CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

En particular para t suficientemente grande existen x > 0 para los cuales u(x, t) = 0 Para el esquema de diferencias, los datos se obtienen por la discretizaci´ on de u0 (x)
0 = vj

1, si −1 ≤ jh ≤ 0 0, en otro valor, en particular ∀j > 0

Seg´ un la ecuaci´ on (∗), la soluci´ on en (xj , tn ) depende solamente del valor en xj y xj +1 ; en el tiempo anterior, entonces, si j > 0, n ≥ 0,
n =0 vj

∀j > 0,

n≥0

n no puede converger a u(x, t), ya que para t > 0, x > 0, u Por tanto vj n lo ´ es. no es id´ enticamente cero, mientras que vj

2.3.2

Estabilidad

En el ejemplo anterior vimos que para obtener convergencia, los esquemas deben satisfacer otras condiciones adem´ as de consistencia, en esta secci´ on nos referimos al importante concepto de estabilidad el cual es el paralelo de lo que, en l problema anal´ ıtico es el concepto de problema bien puesto. Definici´ on 2.3.5. Un problema de valor inicial (P V 1) se dice que es bien puesto en una norma ||.|| si y solamente s´ ı existe soluci´ on, es u ´nica y depende continuamente de los datos iniciales, es decir existe una constan-te C y α tal que ||u(x, t)|| ≤ Ceαt ||u0 (x)|| (a)

El concepto de estabilidad est´ a relacionado con la u ´ltima desigualdad. Considerando el conjunto de todas las soluciones en un tiempo t, obtenidos mediante alg´ un esquema a partir de un mismo dato inicial (en t = 0). Este conjunto se obtuvo involucrando todas las relaciones que aparecen entre niveles de tiempo e intervalos de espacio, con ciertas restricciones. Entonces si los valores de las soluciones permanecen finitas sobre cada restricci´ on que se consider´ o, de manera que el conjunto de todas las posibles soluciones permanece acotado, se dice que el esquema es estable, dentro de las restricciones dadas. M´ as precisamente, podemos enunciar la siguiente definici´ on.

´ 2.3. ANALISIS DE ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS

35

n Definici´ on 2.3.6. Un esquema de diferencias finitas Ph,k vj = 0 es estable si y solamente s´ ı existen constantes K y β y alguna norma ||.|| tal que

||v n || ≤ Keβt ||v 0 ||,

t = nk,

K, β

independientes de

h, k

(a)

Observaci´ on 2.3.1. : Si el esquema fuera de paso m´ ultiple, la definici´ on anterior podr´ ıa modificarse en el sentido de que existe un entero J , y constantes K, β tal que
J

||v || ≤ Ke
n

βt i=0

||v i ||

Una de las normas comunmente usada es la norma euclideana o l2 norma ||.||2 . Con esta norma la desigualdad (a) puede escribirse en una manera m´ as pr´ actica como
∞ n 2 |vj | ∞

h
j =−∞

≤ Ke h
βt j =−∞

0 2 |vj |

(b)

Para ciertos esquemas simples podemos establecer la estabilidad yendo directamente a la desigualdad de la forma (a) o ´ (b) sin embargo en general es un poco complicado, por eso es necesario utilizar algunas t´ ecnicas como la t´ ecnica de Von Neumann, que veremos mas adelante. Ejemplo.- Probaremos una condicion suficiente de estabilidad, para los esquemas de paso hacia adelante en tiempo y paso hacia adelante en espacio(FTFS). El esquema general se debe escribir en la forma siguiente:
n+1 n n = α vj + β vj vj +1

mostraremos que el esquema es estable si | α | + | β | ≤ 1, sabiendo que

36

CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

2xy ≤ x2 + y 2 , entonces
∞ j =−∞ n+1 2 vj ∞

=
j =−∞ ∞

n n α vj + β vj +1 2

2

≤
j =−∞ ∞

2 n n n n + 2 |α| |β | vj |α|2 vj vj +1 + |β | vj +1 n n n vj |α|2 vj + 2 |α| |β | vj +1 2 ∞ n vj j =−∞ 2 2 n + |β |2 vj +1

2

≤
j =−∞

2

≤

|α| + 2 |α| |β | + |β |
2 ∞ n vj j =−∞

2

≤ (|α| + |β |)

2

De esta desigualdad tenemos que
∞ j =−∞ n 2 vj

≤ (|α| + |β |)

2n

∞ j =−∞

0 vj

2

as´ ı el esquema ser´ a estable si | α | + | β | ≤ 1. En particular el esquema (FTFS) dado por
n+1 n n = (1 + a r) vj − ar vj vj +1

ser´ a estable si | 1 + a r | + | a r| ≤ 1. Lo cual significa que, de cada sumando ar < 0 y aλ > −1 ⇔ −1 ≤ λ a ≤ 0 umero de Courant, el n´ umero de El n´ umero Cr = r a se llama n´ t Courant indica que el esquema anterior es estable si a < 0 y r = x = k 1 h < − a la cual genera una dependencia entre k y h a fin de mantener estabilidad. 2.3.3 El Teorema de Equivalencia de Lax - Richtmyer

Teorema 2.3.1. Un esquema de diferencias finitas consistente en una ecuaci´ on diferencial parcial, para la cual el problema de valor inicial es bien puesto, es convergente ⇔ es estable.

´ 2.3. ANALISIS DE ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS

37

La prueba del teorema la omitimos por el momento(consultar a Strikwerda [5]), sin embargo dibi´ endose observar la importancia de mismo teorema puesto que nos nos da una forma simple de verificar si un esquema es convergente, ya que si intentamos verificar la convergencia directamente por la definici´ on no siempre es posible, sin embargo chequear consistencia y estabilidad pueden ser mucho mas f´ acil ya que involucran generalmente c´ alculos algebr´ aicos solamente. Esto puede ser hecho en un lenguaje de computaci´ on simb´ olico como Maple, Mathematica. El Teorema de Lax - Richtmyer es un ejemplo del mejor tipo de teoremas matem a ´ticos, pues relaciona un concepto importante que es d´ ificil de establecer directamente con otros conceptos que son relativamente f´ aciles de verificar y establece esta relaci´ on muy adecuadamente. Notar que si unicamente tuvieramos la mitad del teorema, diciendo que consistencia y estabilidad implican convergencia, entonces podr´ ia ocurrir que existan esquemas que siendo inestables sean convergentes. Pero si tuvieramos unicamente la otra mitad del teorema, diciendo que un esquema consistente y convergente es estable; entonces no podremos afirmar que un esquema consistente y estable es convergente. La importancia del uso del teorema de Lax-Richtmyer no radica tanto, desde el punto de vista de verificar consistencia y estabilidad, si no mas bi´ en por la relaci´ on precisa establecida entre estos conceptos y el concepto de convergencia. 2.3.4 La Condici´ on de Courant-Friedrichs-Lewy

k . Hemos definido el n´ umero de Courant Cr = ar, donde r = h El comportamiento de este n´ umero es muy importante, porque de ´ el depende mucho, la estabilidad de esquemas de diferencias finitas; ya que una condici´ on sobre este n´ umero da argumentos sobre la propagaci´ on de informaci´ on. La interpretaci´ on de este n´ umero se puede expresar de la siguiente manera

Cr =

a
1 r

=

velocidad de propagaci´ on en la soluci´ on anal´ ıtica velocidad de propagaci´ on en la soluci´ on num´ erica

on En primer lugar veamos que una condici´ on sobre Cr es una condici´ necesaria para la estabilidad de Esquemas Expl´ ıcitos.

38

CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Esta condici´ on, llamada condici´ on de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) es |Cr | ≤ 1 Definici´ on 2.3.7. Un esquema de DF expl´ ıcito es cualquier esquema que puede escribirse en la forma
n+1 n = Qvj vj

donde Q es operador de diferencias lineal
n

en general, cuando el esquema es de m´ ultple paso, se puede escribir
n+1 vj

=
σ =0

n−σ Qσ vj ,

σ≤n

Los esquemas impl´ ıcitos ser´ an estudiados mas tarde, veamos un primer resultado, el cual contiene los esquemas de un solo paso.
n+1 n n n = αvj ıcito Teorema 2.3.2. Sea vj −1 + βvj + γvj +1 , un esquema expl´ para la ecuaci´ on hiperb´ olica con r constante; una condici´ on necesaria para estabilidad es la condici´ on (CFL)

|Cr | ≤ 1 Para sistemas de ecuaciones, donde v es un vector, y α, β, γ son matri∀ autovalor ai de la matriz A. ces, debemos tener |ai r| ≤ 1 Prueba Para el caso escalar, supongamos |Cr | = |ar| > 1; entonces en el punto (x, t) = (0, 1) vemos que la soluci´ on de la EDP u(x, t) = u0 (x − at) depende de los valores de u0 (x) en x = +a y x = −a (en realidad n solamente de uno de ellos a o −a). Pero el esquema EDF tendr´ a v0 0 dependiendo u ´nicamente de vj para j ≤ n, por la forma del esquemacon −1 −1 h = r k , tenemos jh ≤ r kn = r−1 , pues kn = 1 n depende de x solamente para|x| ≤ r−1 < |a|. Esto dice que v0 n no converge a u(0, 1) cuando Por tanto v0 h→0 por tanto |Cr | ≤ 1 De manera similar se puede probar que no existe esquemas consistentes expl´ ıcitos para EDP hiperb´ olicos que sean estables para todos los valores de r (con r constante cuando h, k → 0), presentamos el siguiente teorema; probado primeramente por Courant,Friedrichs y Lewy. con
h k

=1

´ 2.4. ANALISIS DE FOURIER

39

Teorema 2.3.3. No existe EDF consistentes, incondicionalmente estables expl´ ıcitos para sistemas hiperb´ olicos de EDP. A continuaci´ on veamos un esquema impl´ ıcito para la ecuaci´ on de la onda (1), el mismo es consistente y estable para todo valor de r ilustrando que el teorema anterior no se puede extender a esquemas impl´ ıcitos. a) Esquema de paso atr´ as en tiempo y paso atr´ as en el espacio (BTBS)
n+1 n+1 n+1 n − vj − vj vj vj −1 +a =0 k h

(+)

En efecto; la consistencia es f´ acil de ver, veamos la estabilidad: Escribiendo (+) en la forma (con λ = r)
n+1 n n+1 = vj + aλvj (1 + aλ)vj −1

elevando al cuadrado ambos miembros,utilizando la desgualdad 2xy ≤ x2 + y 2 tenemos
n+1 2 n 2 n n+1 2 n+1 2 | ≤ |vj | + 2aλ|vj ||vj (1 + aλ)2 |vj −1 | + (aλ) |vj −1 | n 2 n+1 2 ≤ (1 + aλ)|vj | + (aλ + (aλ)2 )|vj −1 |

Tomando la suma sobre j tenemos (1 + aλ)
2 ∞ j =−∞ n+1 2 |vj | ∞

≤ (1 + aλ)
j =−∞

n 2 |vj |

+ (aλ + (aλ) )
j =−∞

2

∞

n+1 2 |vj −1 |

como (1 + aλ)2 − aλ − a(λ)2 = 1 + aλ, obtenemos:
∞ j =−∞ n+1 2 |vj | ∞

≤
j =−∞

n 2 |vj |.

Lo cual muestra que el esquema es estable para cualquier λ > 0.

2.4

An´ alisis de Fourier

En esta secci´ on presentaremos esta herramienta importante, con la cual analizamos esquemas de diferencias finitas y sus soluciones del problema. En realidad usamos el An´ alisis de Fourier para estudiar tanto los esquemas de diferencias finitas como las Ecuaciones Diferenciales Parciales.

40

CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Definici´ on 2.4.1. Para una funci´ on u(x) definida en la recta real R, su transformada de Fourier u ˆ(w) se define por 1 u ˆ(w) = √ 2π
∞ −∞

e−iwx u(x)dx,

si la integral existe

Esta transformada de u es una funci´ on de la variable real w(longitud de onda) y es u ´nicamente definida por u. La funci´ on u ˆ es una representaci´ on alternativa de la funci´ on u. Informaci´ on de ciertas propiedades de u pueden ser deducidas de las propiedades de u ˆ, por ejemplo, la raz´ on en la cual u ˆ decae para valores grandes de w est´ a relacionado al n´ umero de derivadas que u tiene. La f´ ormula de inversi´ on de Fourier est´ a dada por 1 u(x) = √ 2π
∞ −∞

eiwx u ˆ(w)dw

Esta f´ ormula expresa que u es una superposici´ on de ondas eiwx con diferentes amplitudes u ˆ(w). Definici´ on 2.4.2. Sea v una funci´ on discreta definida en Z ; entonces su Transformada de Fourier se define por 1 e−imζ vm , v ˆ(ζ ) = √ 2π m=−∞ 1 vm = √ 2π
π −π ∞

ζ ∈ [−π, π ],

v ˆ(π ) = v ˆ(−π )

Su f´ ormula de inversi´ on de Fourier est´ a dada por eimζ v ˆ(ζ )dζ

Esta f´ ormula de inversi´ on tiene la misma interpretaci´ on que la f´ ormula de inversi´ on en R. Observamos que el An´ alisis de Fourier en Z es exactamente el estudio de las representaciones de las series de Fourier de funciones definidas en el intervalo [−π, π ]. Si el espacio entre los puntos discretos es h, podemos establecer el an´ alisis de Fourier en hZ por un cambio de variable 1 e−imhζ vm h, v ˆ(ζ ) = √ 2π m=−∞
∞

ζ∈ −

−π π , h h

´ 2.4. ANALISIS DE FOURIER

41

Con su f´ ormula de inversi´ on 1 vm = √ 2π
π h

−π h

eimhζ v ˆ(ζ )dζ

(2.23)

Las definiciones anteriores nos garantizan que en la L2 -norma se satisface ˆ||L2 ||u||L2 = ||u y ||v ||2 h =
∞ n=−∞

|vm |2 h =

π h

−π h

|v ˆ(ζ )|2 dζ = ||v ˆ||2 h

Llamadas f´ ormulas de Parseval, usando estas relaciones podemos decir que la transformada de fourier se define para todas las funciones en L2 (R) y en L2 (hZ ). En el siguiente ejemplo vemos la utildad pr´ actica de la transformada de Fourier en algunas situaciones Ejemplo Sea la funci´ on discreta    1, si |xm | < 1 1 sobre hZ vm = 2 , si |xm | = 1   0, si |xm | > 1 Supongamos que h = m mh = M 
1 M,

donde M es un entero, entonces, xm = 

h 1 1 v ˆ(ζ ) = √  eiM hζ + eimhζ + e−iM hζ  2 2π 2 m=−(M −1) = = = = sen(M − 1 h 2 )hζ √ cosζ + sen 1 2π 2 hζ 1 senM hζcos 1 h 2 hζ − cosM hζsen 2 hζ √ cosζ + sen 1 2π 2 hζ h h √ cosζ + senζcot ζ − cosζ 2 2π h 1 √ senζcot hζ 2 2π

M −1

42

CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

La f´ ormula de Parseval asegura que el c´ alculo de la siguiente integral es: h2 2π
π 4

−π 4

sen ζcot

2

21

2

hζdζ =

||v ˆ||2 h

=

||v ||2 h

1 = h[( )2 + 2

M −1 m=−(M +1)

1 1 + ( )2 ] 2

1 = h[ + M − 1 − (−M + 1) + 1] 2 1 = h[ + 2M − 1] 2 1 = h[2M − ] 2 1 = 2 − h. 2
An´ alisis de Von Neumann

Con el uso del an´ alisis de Fourier se puede dar condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad de esquemas de diferencias finitas, esto es lo que se llama an´ alisis de Von Neumann. Recordemos que un esquema de diferencias finitas de un solo paso puede escribirse en la forma
n+1 n = Qvj , vj

Siendo Q = Q(S+ , S− ), donde S+ , S− son los operadores de desplazan n n = vj S− v j = miento hacia adelante y hacia atr´ as respectivamente S+ vj +1 , n vj −1 Observemos que, tomando la Transformada de Fourier a S+ vj tenemos
∞

S+ v =
j =−∞

vj +1 e

−ijhζ

∞

=
m=−∞

vm e

−i(m−1)hζ

∞

=e

ihζ m=−∞

vm e−imhζ = eihζ v ˆ

de la misma forma se obtiene ˆ S− v = e−ihζ v De esto se sigue que si v n+1 = Q(S+ , S− )v n entonces vn v ˆn+1 = Q(eihζ , e−ihζ )ˆ Si denotamos por θ = hζ , entonces el t´ ermino g (θ, k, h) = Q(eihζ , e−ihζ ) se llama factor de amplificaci´ on.

´ 2.4. ANALISIS DE FOURIER

43

Condici´ on de Estabilidad de Von Neumann El factor de amplificaci´ on g (θ, k, h) se dice que satisface la condici´ on de estabilidad de Von Neumann(CVN), si ∃ una constante C > 0 (independiente de θ, k, h) tal que |g (θ, k, h)| ≤ 1 + Ck, k es el peso del tiempo

esta condici´ on puede ser vista en el siguiente teorema. Teorema 2.4.1. Un esquema de diferencias finitas de un paso es estable on de Von Neumann. en la l2 norma ⇐⇒ satisface la condici´ Si g (θ, k, h) = g (θ) entonces la CVN se puede sustituir por |g (θ)| ≤ 1 Este teorema muestra que para determinar la estabilidad de un EDF, solamente necesitamos considerar el factor de amplificaci´ on g (θ, k, h) Demostraci´ on. ⇐ Si la CVN es satisfecha entonces el el EDF es estable Sea T > 0 suficientemente grande, y supongamos que existe C > 0 tal que g (θ, k, h) ≤ 1 + Ck, ∀ θ, 0 < k ≤ k0 , 0 < h ≤ h0 . ˆ n = gV ˆ0 ˆ n−1 = g n V V Luego usando la identidad de Parseval Vn
2 h −π h −π h −π h −π h

por la definici´ on del factor de amplificaci´ on se tiene

=

ˆn V

2 h

=

ˆ n (ζ )|2 dζ = |V

ˆ 0 (ζ )|2 dζ |g |2n |V
2 h

≤ (1 + Ck )2n

−π h

= (1 + Ck )2n V 0

−π h

ˆ 0 (ζ )|2 dζ = (1 + Ck )2n V ˆ0 |V
2 h

Como nk ≤ T , entonces k ≤ T /n, y del hecho que 1 + x ≤ ex , tenemos T (1 + Ck )2n ≤ (1 + Ck )2 k ≤ e2CT Vn
2 h

x > 0,

Entonces usando los extremos de la desigualdad anterior obtenemos ≤ (1 + Ck )2n V 0
2 h

≤ e2CT V 0

2 h

44

CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

podemos decir que existe CT = e2CT > 0, asi como para las constantes h0 > 0, k0 > 0 elegidas en la CVN se cumple Vn
2 h

≤ CT V 0 2 h,

∀ h ≤ h0 , k ≤ k0 , nk ≤ T.

⇒ Para esto utilizamos la contraposici´ on, es decir si la CVN no es satisfecha entonces el EDF no es estable En efecto: Supongamos que para cada C > 0, existe θc ∈ [−π, π ] tal que g (θc , k, h) > 1 + Ck, , 0 < k ≤ k0 , 0 < h ≤ h0 .

Entonces |g | tiene un comportamiento similar al mostrado en la figura (2.2)
6

|g |
s

1 + Ck

s

θ1 θc Figura 2.2:

θ2

π

-

Por la continuidad de g (θ) existe un intervalo [θ1 , θ2 ] que contiene a θc y adem´ as |g (θ)| ≥ 1 + Ck, ∀ θ ∈ [θ1 , θ2 ] ˆ 0 en el espacio de longitud de o nda(frecuencias) Elijamos una funci´ on V que sea nula en el exterior del intervalo [θ1 , θ2 ], por ejemplo V (ζ ) = ˆ0 0,
h θ2 −θ1 ,

θ∈ / [θ1 , θ2 ] θ ∈ [θ1 , θ2 ]

=

0,
h θ2 −θ1 ,

1 θ2 ζ∈ / [θ h, h] 1 θ2 ζ∈ / [θ h, h]

ˆ 0 = 1. Observamos que V

´ 2.4. ANALISIS DE FOURIER

45

Entonces utilizando nuevamente la identidad de parseval tenemos Vn
2 h

= = =

ˆn V
−π h −π h −

2 h

=

−π h −π h

ˆ n (ζ )|2 dζ |V

ˆ 0 (ζ )|2 dζ |g |2n |V ˆ 0 (ζ )|2 dζ |g |2n |V
2n − −
θ2 h

θ2 h

θ1 −h

≥ (1 + Ck )

θ1 h

ˆ |V 0 (ζ )|2 dζ = (1 + Ck )2n

Si elegimos C para el cual existe T > 0 y k con kn ∼ T tal que se cumpla T 2 + 2CT ≥ e2CT ∼ (1 + kC )2 k Podemos concluir que ≥ (1 + Ck )2n = (1 + Ck )2 k T 1 1 ≥ (1 + Ck )2 k ∼ e2CT .1 2 2 1 2CT 0 2 V h = e 2 2CT Por tanto para cada CT = 1 existe T > 0 tal que 1 + CT ≥ CT 2e y se cumple 0 2 Vn 2 h ≥ CT V h Vn que es la no estabilidad del esquema. Ejemplo Consideremos el esquema de paso hacia adelante en tiempo y paso hacia adelante en espacio(forward time-forward space FTFS)
n+1 n n n − vj vj vj +1 − vj +a = 0, k h el cual se escribe en la forma n+1 vj = = = = 2 h
T

a > 0,

n n n vj + aλvj − aλvj +1 n n (1 + aλ)vj − aλS+ vj n [(1 + λ)I − aλS+ ]vj n Q(S+ , S− )vj

46

CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

tomando transformada de Fourier v ˆn+1 = g (θ, h, k )ˆ vn g (θ, h, k ) = 1 + aλ − aλeihζ , con a > 0, λ =cte. |g |2 = (1 + aλ − aλcosθ)2 + (aλ)2 sen2 θ = 1 − 2(aλ)2 cosθ − 2aλcosθ + 2aλ + 2(aλ)2 = (1 + aλ)2 − 2aλ(1 + aλ)cosθ + (aλ)2 = (1 + aλ)[1 + aλ − 2aλcosθ] + (aλ)2 θ = (1 + aλ)[1 + aλ2sen2 − aλcosθ] + (aλ)2 2 θ θ θ = (1 + aλ)[1 + 2aλsen2 − aλ(cos2 − sen2 ) + (aλ)2 2 2 2 θ θ = (1 + aλ)[1 + 2aλsen2 − aλ(1 − 2sen2 )] + (aλ)2 2 2 θ = (1 + aλ)[1 + 4aλsen2 − aλ] + (aλ)2 2 θ = 1 − a2 λ2 + 4aλ(1 + aλ)sen2 + (aλ)2 2 θ = 1 + 4aλ(1 + aλ)sen2 2 Observemos que si θ = 0 ⇒ |g | > 1, por tanto el esquema es inestable, recordamos que ya hemos visto que este esquema no es convergente. Observaci´ on 2.4.1. No es necesario escribir las integrales (2.23) para tener la ecuaci´ on para el factor amplificador g . Un procedimiento equivn alente y simple es remplazar vj por g n eijθ en el esquema, para cada valor de j y n. Ejemplo Ahora utilizando el esquema paso adelante en el tiempo y diferencia central en el espacio (FTCS)
n+1 n n n − vj vj vj +1 − vj −1 +a =0 k 2h ilustramos este procedimiento. n Remplazando vj por g n eijθ el esquema anterior se transforma en

g n ei(j +1)θ − g n ei(j −1)θ g n+1 eijθ − g n eijθ +a k 2h iθ e − e−iθ n ijθ g − 1 =0 =g e +a k 2h

´ 2.4. ANALISIS DE FOURIER

47

luego de simplificar esta ecuaci´ on obtenemos el factor de amplificaci´ on g = 1 − iaλ sin θ con λ = k/h. Esta t´ ecnica de obtener el factor de amplificaci´ on es obviamente mas facil que el an´ alisis presentado anteriormente. Si λ es constante, entonces g es independiente de h y k y |g (θ)|2 = 1 + a2 λ2 sin2 θ. Desde que |g (θ)| > 1 para θ diferente de 0 y de π , este esquema es inestable. n por g n eijθ no Se debe tener en cuenta que, el hecho de sustituir vj quiere decir que la soluci´ on del esquema de diferencas tenga necesarin n ijθ on es una forma amente la forma vj = g e , En verdad esta sustituci´ corta de interpretar el m´ etodo de la transformada de Fourier utilizado al inicio de la secci´ on, donde se verifica que todas las soluciones de los esquemas de un solo paso son dados por la f´ ormula
n+1 n = Qvj vj

la cual est´ a lista para obtenr en forma pr´ actica el factor de amplificaci´ on. Un reordenamiento de los c´ alculos para determinar el factor de amplificaci´ on muestra que los dos procedimientos son equivalentes en la obtenci´ on del factor de amplificaci´ on.

48

CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Cap´ ıtulo 3 Ecuaciones Diferenciales Parab´ olicas
3.1 Problema de Conducci´ on del Calor

En el presente cap´ ıtulo se presenta esquemas de diferencias finitas para la ecuaci´ on del calor, se pretende presentar de una manera detallada los aspectos num´ ericos y computacionales en una clase de esquemas num´ ericos para las ecucaciones difrenciales parciales de tipo parab´ olico, como es la ecuaci´ on del calor. Par ser mas especificos, tomamos el problema modelo de la siguiente forma  = α2 uxx , 0 < x < L ,t > 0 ut    t>0 u(0, t) = g1 (t), (P ) u(L, t) = g2 (t), t>0    0≤x≤L u(x, 0) = u0 (x), el cual es un problema t´ ıpico de valor inicial y de contorno, α2 es el par´ ametro de difusividad t´ ermica y representa una proporci´ on entre la conductividad t´ ermica y la capacidad de almacenamiento t´ ermico del material donde se realiza el estudio de difusi´ on del calor. Como observamos, el problema es unidimensional, el cual puede ser una abstracci´ on matem´ atica de la f´ ısica de la conducci´ on del calor en una barra delgada homogenea de secci´ on transversal constante y aislada por los costados, cuyos extremos se mantienen a temperaturas conocidas on de g1 (t) y g2 (t), e inicialmente se supone que tiene una distribuci´ on de la secci´ on temperatura u0 (x) que depende unicamente de la posici´
49

50

´ CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

transversal x. El hecho de que este problema modelo, tiene soluci´ on anal´ ıtica expl´ ıcita, es un buen modelo para probar la eficiencia de los esquemas num´ ericos que se pretenden estudiar. Entre los esquemas de diferencias finitas que sirven para solucionar este problema tenemos:

• Esquemas explicitos; entre de los que se encuentran: El esquema de pso adelante en tiempo y diferencia central en el espacio tambi´ en llamado esquema de Euler, el esquema de Du For-Frankel, esquema de Leaprog,etc.

• Esquemas impl´ ıcitos, como el esquema de Euler Retrasado, el esquema de Crank-Nicolson. Para el desarrrollo del presente trabajo solamente trataremos con los esquemas Impl´ ıcitos; Euler Retrazado y Crank-Nicolson, y el esquema explicito de Du Fort-Frankel, dejando los dem´ as como un ejercicio al lector.

Discretizaci´ on del Dominio Observamos que nuestro dominio es el conjunto Ω × R+ =]0, L[×(0, ∞) como se muestra en la figura 3.1. Denotemos por h = ∆x la longitud de la partici´ on del dominio Ω ubicado en el eje de las abscisas, y por k = ∆t la longitud de la partici´ on en el eje de las ordenadas. Con estos n´ umeros dividimos el dominio en subdominios con lados de longitud h y k ,como se muestra en la figura 3.2

´ DEL CALOR 3.1. PROBLEMA DE CONDUCCION

51

t

6

valores de frontera

]0, L[×R+

valores de frontera

0

-

valores iniciales

L

x

Figura 3.1: Dominio del problema

t

6

valores de frontera tn

(j, n)

e

valores de frontera

xj L valores iniciales Figura 3.2: Discretizaci´ on del Dominio

0

-

x

De esta forma definamos los puntos de la malla como (xj , tn ), para j = 0, . . . , M + 1, n = 0, . . . Nmax ;

los puntos en el eje de las abscisas toman la forma xj = jh, mientras que los puntos en el eje de las ordenadas toman la forma tn = nk

52

´ CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

Discretizaci´ on de la variable Definici´ on 3.1.1. Cualquier funci´ on V definida sobre una red o malla se llama funci´ on discreta, y sus valores se denotan por Vjn o (Vj,n ) Observaci´ on 3.1.1. . 1. Si u es una funci´ on continua en (x, t) ( definida en todo el doan denotados por minio), Entonces los valores de u en (xj , tn ) ser´ n uj = u(xj , tn ) 2. El conjunto de puntos (xj , tn ) para j fijo son llamados nivel n de la malla 3. Muchas veces, para simplificar notaciones, se usa los ´ ındices (j, n) para representar los puntos de la malla (xj , tn ). Discretizaci´ on de la Ecuaci´ on Definici´ on 3.1.2. Un esquema de diferencias finitas es una combinaci´ on de operadores discretos que permiten aproximar la ecuaci´ on diferencial parcial por una ecuaci´ on en diferencias finitas. Los valores de u definidos sobre las fronteras laterales y la frontera inferior son valores conocidos mientras que en los puntos interiores deben ser calculados. La aproximaci´ on por diferencias finitas a las derivadas de una funci´ on se obtiene utilizando el Teorema de Taylor, segun el an´ alisis hecho en la secci´ on anterior. La variable espacial x ser´ a aproximada por la diferencia central, es decir utilizamos la siguiente aproximaci´ on: uxx (x, t) u(x + h, t) − 2u(x, t) + u(x − h, t) h2 h2 ∂ 4 u(η0 , t0 ). 12 ∂x4 (3.1)

con error de truncamiento τ (x0 , t0 , h) =

Generalmente se utilizan estas diferencias porque los valores de u son conocidos en los extremos del intervalo [0, L] u(0, t) = g1 (t), u(L, t) = g2 (t), t>0

´ DEL CALOR 3.1. PROBLEMA DE CONDUCCION

53

En la variable temporal la situaci´ on es diferente. Solamente son conocidos los valores de la funci´ on en el tiempo t = 0 esto es: u(x, 0) = u0 (x), x ∈ [0, L]

Por tanto no es posible utilizar diferencias centrales. Para este caso usualmente se utiliza la aproximaci´ on de diferencia progresiva. ut (x, t) con el error de truncamiento k ∂2 (t0 , ν0 ) τ (x0 , t0 , k ) = − 2 ∂t2 on en (xj , tn ) obtenemos Usando la notaci´ on Vjn para la aproximaci´ Vjn+1 − Vjn ∂u (xj , tn ) ≈ ∂t k y (3.3) u(x, t + h) − u(x, t) k (3.2)

n n Vjn ∂ 2u +1 − 2Vj + Vj −1 (xj , tn ) ≈ (3.4) ∂x2 h2 De las f´ ormulas (3.3) y (3.4) obtenemos el esquema de diferencias progresiva para la ecuaci´ on diferencial parcial del problema

Vjn+1 − Vjn V n − 2Vjn + Vjn −1 2 j +1 =α 2 k h

(FTCS)

llamado comunmente esquema (FTCS), del Ingles forward time-central space, cuyo error de truncamiento es: τj,j
2 4 k ∂2 2h ∂ = u(xj , ξn ) − α U (ηj , tn ) ∈ O(k ) + O(h2 ) 2 4 2 ∂t 12 ∂x

En el esquema (FTCS), la variable discreta Vjn , involucra los puntos de malla (xj −1 , tn ), (xj , tn+1 ), (xj +1 , tn ), (xj , tn ), que aproximan a la soluci´ on u(x, t) del problema (P ), en el punto (xj , tn ). Este esquema se puede escribir de la siguiente manera
n Vjn+1 = (1 − 2α2 µ)Vjn + α2 µ Vjn +1 + Vj −1

(3.5)

donde µ = kh−2

54

´ CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

t

6

tn+1 tn
(j − 1, n)
w

(j, n + 1)
w

w

(j, n)

w

(j + 1, n)

0

-

xj −1

xj

xj +1

L

x

Figura 3.3: Mol´ ecula de c´ alculo para FTCS

Observamos que los valores en el nivel n + 1 se obtiene unicamente sabiendo los valores en el nivel n, como se muestra en la figura 3.3, por eso, este esquema pertenece al conjunto de esquemas expl´ ıcitos. Tambi´ en podemos obtener otro esquema utilizando diferencia finita regresiva en el tiempo, es decir haciendo la siguiente aproximaci´ on u(xj , tn+1 ) − u(xj , tn ) ∂u (xj , tn+1 ) ≈ ∂t k con error de truncamiento τj,j = k ∂2 h2 ∂ 4 u ( x , t ) − u(ηj , tn ) ∈ (O(k ) + O(h2 )) j n 2 4 2 ∂t 12 ∂x

on num´ erica anterior tenemos usando la notaci´ on Vjn en la aproximaci´ Vjn − Vjn−1 ∂u (xj , tn ) ≈ ∂t k (3.6)

manteniendo la diferencia central en el espacio tenemos el esquema num´ erico (BTCS) (del ingles ”backward time-central space”) para el problema de conducci´ on del calor, tambi´ en se le conoce como Euler retrasado . Vjn − Vjn−1 V n − 2Vjn + Vjn −1 2 j +1 =α 2 k h (BTCS)

´ DEL CALOR 3.1. PROBLEMA DE CONDUCCION

55

En el esquema (BTCS), la variable discreta Vjn , involucra los puntos de malla (xj −1 , tn ), (xj , tn ), (xj +1 , tn ), (xj , tn−1 ), que aproximan a la soluci´ on u(x, t) en el punto (xj , tn ) Este esquema se puede escribir de la siguiente manera
n n−1 (1 − 2α2 µ)Vjn − α2 µ Vjn +1 + Vj −1 = Vj

(3.7)

Observamos que los valores en el nivel n + 1 deben ser calculados simultaneamente sabiendo un solo valor en el nivel n, como se muestra en la figura 3.4, por eso, este esquema pertenece al conjunto de esquemas impl´ ıcitos. t
6

tn tn−1

(j − 1, n)

w

w w

(j, n)

w

(j + 1, n)

(j, n − 1)

0

-

xj −1

xj

xj +1

L

x

Figura 3.4: Mol´ ecula de c´ alculo para Euler retrazado o ´ BTCS

A continuaci´ on presentamos los otros esquemas que ser´ an estudiados en el presente trabajo. El esquema de Crank-Nicolson se obtiene promediando los esquemas Euler retrasado y Euler progresivo, de la siguiente manera: Sea el esquema de Euler progresivo en el punto (xj , tn ), utilizando el 1 ) obtenemos: punto (xj , tn+ 2 Vj
n+1/2 k 2

− Vjn

=α

Vn 2 j +1

− 2Vjn + Vjn −1 2 h

(FTCS)

Sea el esquema de Euler retrasado en el punto (xj , tn+1 ) utilizando el

56

´ CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

1) punto (xj , tn+ 2

Vjn+1 − Vj
k 2

n+1/2

=α

V n+1 2 j +1

+1 − 2Vjn+1 + Vjn −1 . h2

(BTCS)

Promediando los dos esquemas anteriores, (FTCS) y (BTCS), tenemos el esquema de Crank-Nicolson
n+1 n+1 n+1 n n Vjn+1 − Vjn 1 2 Vj +1 − 2Vj + Vj −1 1 2 Vjn +1 − 2Vj + Vj −1 = α + α (3.8) k 2 h2 2 h2 El nuevo esquema al ser promediado, se convierte en un esquema de diferencia central en la variable t, si lo observamos como discretizado en el punto (j, n + 1/2). Veremos que este esquema es tambi´ en impl´ ıcito, consistente, incondicionalmente estable y orden de presici´ on (2,2). Observamos que este esquema utiliza seis puntos de malla (xj −1 , tn ), (xj , tn ), (xj +1 , tn ), (xj −1 , tn+1 ), (xj , tn+1 ), (xj +1 , tn+1 ) como se observa en la figura 3.5 

h

w 6

n+1

6 k 2 ?

w

w f ( j, n + 1 2)

k
w ?

n+

1 2

n

w

w

j−1

j

j+1

Figura 3.5: Mol´ ecula de c´ alculo para Crank-Nicolson

Usando diferencias centrales en el tiempo para la funci´ on u(x, t) en el punto (xj , tn ) obtenemos la formula de diferencias finitas u(xj , tn+1 ) − u(xj , tn−1 ) ∂u (xj , tn ) = + τ (t1 , k ) ∂t 2k donde τ (t1 , k ) ∈ O(k 2 ), despreciando este error de truncamiento obtenemos la aproximacion de diferencias finitas centradas respecto a (xj , tn ) u(xj , tn+1 ) − u(xj , tn−1 ) ∂u (xj , tn ) ≈ ∂t 2k

´ DEL CALOR 3.1. PROBLEMA DE CONDUCCION

57

Usando la notaci´ on Vjn tenemos el esquema de diferencias finitas de Leapfrog. Vjn+1 − Vjn−1 V n − 2Vjn + Vjn −1 2 j +1 , =α 2 2k h con error de truncamiento τj,j ∈ (O(k 2 ) + O(h2 )) En el esquema (3.9), podemos sustituir −2Vjn por − Vjn+1 − Vjn−1 , obtenemos; Vjn+1 − Vjn−1 V n − Vjn+1 − Vjn−1 + Vjn −1 2 j +1 =α (15) 2 2k h llamado esquema de Du Fort-Frankel, cuyo error de truncamiento es dado por τ (h, k ) = O(h2 ) + O(k 2 ) + O(k −2 h2 ) como verificaremos en el cap´ ıtulo siguiente. t
6

j = 1, ...N − 1 , n = 1, .... (3.9)

tn+1 tn
w

(j, n + 1)
w

w

(j, n − 1)

w

0

-

xj −1

xj

xj +1

L

x

Figura 3.6: Mol´ ecula de c´ alculo para Du Fort-Frankel

Este esquema es en realidad un esquema de cinco puntos aunque en la f´ ormula y en la figura 3.6 aparecen explicitamente solo cuatro puntos, pero la discretizaci´ on se hace en el punto denotado por (j, n).

58

´ CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

3.2
3.2.1

An´ alisis de los Esquemas de Diferencias Finitas
Teorema de Lax

El teorema de Lax que enunciamos aqu´ ı es una variaci´ on del teorema de Lax-Ritchmeyer presentado en el cap´ ıtulo anterior, muy util, en el an´ alisis de esquemas de diferencias finitas, puesto que, por medio de el y para una amplia clase de ecuaciones diferenciales, nos da la respuesta de la convergencia del esquema, utilizando unicamente los conceptos t´ ecnicos de consistencia y estabilidad. Teorema 3.2.1. Sea un esquema de diferencias finitas lineal, estable y consistente con orden de precisi´ on (p, q ). Entonces ´ el es convergente de orden (p, q ) Demostraci´ on. Un esquema lineal, de un solo paso, con coeficientes constantes se puede escribir en la siguiente forma: Vjn+1 = QVjn , n≥0 (3.10)

donde Q = Qh,k . De acuerdo a esto se tiene V n = QV n−1 = Q(QV n−2 ) = . . . Qn−1 (QV 0 ) = Qn V 0 donde Qn es el operador de diferencias finitas Q aplicado n veces. Desde que el esquema es estable. Para todo T > 0, Existe CT > 0 tal que 0 2 Vn 2 h ≤ CT V h Usando (3.10), tenemos que QV n−1
2 h

≤ CT V 0

2 h

←→ Qn V 0

2 h

≤ CT V 0

2 h

Sea u(x, t) una soluci´ on de la ecuaci´ on P u = 0. Como el esquema es consistente con orden de precisi´ on (p, q ) se cumple, con Ph,k u = (Iun+1 − Qun ) Ph,k u = Ph,k u − P u = O(hp ) + O(k q ) es decir un = Qn−1 u + O(hp ) + O(k q ).

´ 3.2. ANALISIS DE LOS ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS

59

Sea W n = un − V n el error en el n-´ esimo paso, con W 0 = u0 − V 0 = 0, entonces, se cumple W n = QW n−1 + O(hp ) + O(k q ) = Q2 W n−2 + Q(O(hp ) + O(k q )) + O(hp ) + O(k q ) = ... = Q W +
j =0 n−1 n 0 n−1

Qj (O(hp ) + O(k q ))

=
j =0

Qj (O(hp ) + O(k q ))

De esto se obtiene,
n−1

W

n

≤
j =0 n−1

Qj (O(hp ) + O(k q )) CTj (O(hp ) + O(k q )),
j =0

≤

Tj ∼ tj = jk

= O(hp ) + O(k q ) Por tanto el m´ etodo es convergente de orden (p, q ). A continuaci´ on pasamos a analizar cada uno de los esquemas propuestos, cabe resaltar que para cada uno de los esquemas, estudiaremos la consistencia, orden de precisi´ on, estabilidad y convergencia 3.2.2 El esquema de Euler retrasado

Vjn − Vjn−1 V n − 2Vjn + Vjn −1 2 j +1 =α (3.11) 2 k h Como vemos, este esquema esta dentro del grupo de los esquemas impl´ ıcitos. Probaremos que es consistente con orden de presici´ on (1,2) e incondicionalmente estable. Denotemos por µ = kh−2 y λ = α2 µ. El esquema (3.11) se puede escribir en la forma
n Vjn−1 = (1+2λ)Vjn −λ(Vjn +1 +Vj −1 ),

j = 0, 1, 2, ..., N,

n = 0, 1, ..., kmax (3.12)

60

´ CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

Si discretizamos las condiciones de contorno (Dirichlet) y condiciones iniciales del problema (P), tenemos: • Condiciones de Contorno V0n = u(x0 , tn ) = u(0, tn ) = T1 (tn ) n = U (xN , tn ) = u(L, tn ) = T2 (tn ) VN • Condiciones Iniciales Vi0 = u(xj , t0 ) = u(xj , 0) = u0 (xj ), j = 0, 1, ..., N

n = 0, 1, .., kmax

Obteniendo el problema de diferencias finitas:  n n−1 n n n Vj −Vj 2 Vj +1 −2Vj +Vj −1   = α , j = 1, . . . , N − 1 n = 1, . . . , kmax  k h2  n = T1 (tn ) V0 (P D1) n  = T2 (tn ) , n = 0, 1, .., k max V    VN 0 = u0 (xj ), j = 1, 2, ..., N − 1 j 3.2.3 Consistencia y orden de precisi´ on

Verifiquemos la consistencia del esquema de Euler retrazado, para ello utilizamos la serie de Taylor. En efecto: Observemos que el operador diferencial continuo esta dado por:
2 ∂ 2 ∂ , P = −α ∂t ∂x2

el mismo que aplicado a una funci´ on suave φ se tiene P φ = φt − α2 φxx . En tanto que el operador discreto Pk,h , aplicado a una variable discreta es el siguiente Ph,k Vjn Vjn − Vjn−1 V n − 2Vjn + Vjn −1 2 j +1 = −α 2 k h (3.13)

Utilicemos una funci´ on suave φ y desarrollemos por Taylor en el punto −1 (xj , tn ), las expresiones φn = φ(xj , tn − k ), φn j +1 = φ(xj + h, tn ) y j φn j −1 = φ(xj − h, tn )

´ 3.2. ANALISIS DE LOS ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS

61

φ(xj , tn − k ) = φ(xj , tn ) − kφt (xj , tn ) + O(k 2 ), en la notaci´ on de ´ ındices, tenemos
−1 −1 φn = φn − kφt + O(k 2 ), j j

(3.14)

Luego la serie de Taylor de φ(xj − h, tn ) en (xj , tn ), es φ(xj − h, tn ) = φ(xj , tn ) − 1 1 hφx (xj , tn ) + h2 φxx (xj , tn ) − 1! 2!

1 3 h φxxx (xj , tn ) + O(h4 ) 3! En notaci´ on indicial 1 2 1 h φxx − h3 φxxx + O(h4 ) 2! 3! De manera similar con φ(xj + h, tn ) en (xj , tn ), obtenemos:
n φn j −1 = φj − hφx + n φn j +1 = φj + hφx +

(3.15)

1 2 1 (3.16) h φxx + h3 φxxx + O(h4 ) 2! 3! las derivadas φt , φx , φxx , φxxx son evaluadas en el punto (xj , tn ) = (jh, nk ). Sustituyendo las series (3.14),(3.15),(3.16) en el operador discretizado Ph,k φn j dado en (3.13), obtenemos: Ph,k φ = 1 n 2 φj − φn j + kφt + O (k ) k α2 n 1 1 − 2 φj + hφx + h2 φxx + h3 φxxx + O(h4 ) − 2φn j h 2! 3! 1 1 α2 n − 2 φj − hφx + h2 φxx − h3 φxxx + O(h4 ) h 2! 3!

la cual se puede escrbir como: 1 α2 2 2 Ph,k φ = kφt + O(k ) − 2 h φxx + O(h4 ) + O(h4 ) k h Simplificando, y teniendo en cuenta la notaci´ on del operador diferencial P y el hecho que O(h2 ) + O(h2 ) = O(h2 ), tenemos Ph,k φ = φt − α2 φxx + O(k ) + O(h2 ) = P φ + O(k ) + O(h2 )

62

´ CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

De donde tenemos la forma P φ − Ph,k φ = O(k ) + O(h2 ) Observando que P φ − Ph,k φ −→ 0, cuando h, k −→ 0 (3.17)

Decimos que el esquema de diferencias finitas Euler retrasado es consistente con la ecuaci´ on diferencial parcial ut = α2 uxx del problema (P ). De la ecuaci´ on (3.17) vemos que el orden de precisi´ on es (1, 2), 1 en el tiempo y 2 en el espacio. 3.2.4 Estabilidad

Para analizar la estabilidad del esquema de Euler retrasado, utilizamos el criterio de Von Neumann. Tomando el esquema en la forma expresada en (3.12)
+1 n+1 +1 n − λVjn −λVjn +1 + (1 + 2λ)Vj −1 = Vj

sustituyendo Vjn por g n eijθ , tenemos −λg n+1 ei(j −1)θ + (1 + 2λ)g n+1 eiθ − λg n+1 ei(j +1)θ = g n eijθ dividiendo por g n tenemos: −λgeijθ e−iθ + (1 + 2λ)geijθ − λgeijθ eiθ = eijθ multiplicando por e−ijθ −λge−iθ + (1 + 2λ)g − λgeiθ = 1 De esta forma tenemos el factor de amplificaci´ on de la forma 1 g = iθ 1 − λ [e − 2 + e−iθ ] 1 = 2 iθ iθ 1 − λ e 2 − e− 2 1 θ 1 − λ [2i]2 sen2 2 1 = . θ 1 + 4λsen2 2 =

´ 3.2. ANALISIS DE LOS ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS

63

Observemos que |g | = g ≥ 0, por otro lado tenemos θ 0 ≤ sen2 ≤ 1 entonces 2 De esto se tiene la desigualdad 0< es decir 0 < g ≤ 1 < 1 + kθ Esta u ´ltima desigualdad es la condici´ on de Von Neumann, por consiguiente el esquema de Euler retrasado es estable sin restricciones. Asi, por el teorema de Lax, el esquema es convergente. 3.2.5 Esquema de Crank-Nicolson 1 1 ≤1 ≤ θ 1 + 4λ 1 + 4λsen2 2 θ 1 ≤ 1 + 4λsen2 ≤ 1 + 4λ 2

El esquema de Crank-Nicolson se obtiene promediando los esquemas Euler retrasado (BTCS) y Euler progresivo (FTCS), es de la forma:
n+1 n+1 n+1 n n Vjn+1 − Vjn 1 2 Vjn 1 2 Vj +1 − 2Vj + Vj −1 +1 − 2Vj + Vj −1 + α = α k 2 h2 2 h2 (3.18) Como mencionamos antes, este es un esquema de diferencia central promediado, si lo observamos como discretizado en el punto (j, n + 1/2). Veremos que este esquema es tambi´ en impl´ ıcito, consistente, incondicionalmente estable y tiene orden de presici´ on (2,2). Como este esquema utiliza 6 puntos de la malla, (xj −1 , tn ), (xj , tn ), (xj +1 , tn ), (xj −1 , tn+1 ), (xj , tn+1 ), (xj +1 , tn+1 ) segun se observa en la figura k 3.5, utilizaremos la serie de Taylor en dos variables Sea µ = kh−2 = h 2 y 2 on anterior se puede escribir como: λ = α µ entonces, la ecuaci´

+1 n+1 n+1 n n = λVjn −λVjn +1 + λVj −1 + (2 − 2λ)Vj (3.19) +1 − λVj −1 + (2 + 2λ)Vj

Utilizando la discretizaci´ on de las condiciones de contorno (Dirichlet) y condiciones iniciales del problema (P), desarrolladas en la secci´ on

64

´ CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

anterior tenemos el Problema discreto  n+1 n+1 n+1 n+1 n n n j = 1, 2, ..., N, Vj −Vjn  1 Vj +1 −2Vj +Vj −1 1 Vj +1 −2Vj +Vj −1  = b + b  2 2 k 2 h 2 h  n = 1, 2, ..., Kmax  V0n = T1 (P D2)   Vjn = T2 , n = 0, 1, .., Kmax    Vj0 = f (xj ), j = 0, 1, 2, ..., N, 3.2.6 Consistencia del esquema de Crank-Nicolson

Para analizar la consistencia del esquema de Crank-Nicolson, utilizamos una funci´ on φ suficientemente suave, luego utilizamos la serie de taylor en dos dimensiones para escribir los valores φ(xj −1 , tn ), φ(xj , tn ), φ(xj +1 , tn ), ). φ(xj −1 , tn+1 ), φ(xj , tn+1 ) y φ(xj +1 , tn+1 ) en el el punto (xj , tn+ 1 2 1 ), En efecto: Por simplicidad denotamos por (x, t) el punto (xj , tn+ 2 tenemos que el operador diferencial discretizado Pk,h φ es dado por:
+1 n+1 n+1 n+1 n n − φn φn 1 2 φn 1 2 φj +1 − 2φj + φj −1 j j j +1 − 2φj + φj −1 − α − α Ph,k φ = k 2 h2 2 h2 (3.20) donde , φn j = (jh, nk ). Las series de Taylor son:

k 1 k φ(x − h, t − ) = φ(x, t) − hφx (x, t) − φt (x, t) + h2 φxx (x, t) + 2 2 2! 2 k 1 k h3 φtt (x, t) − φxxx (x, t) − hφxt (x, t) + 2 2! 2 3!
k 3 2

3! 2! 2! 4 4 3 3 O(k ) + O(h ) + O(k h) + O(kh ) + O(k 2 h2 )

φttt (x, t) −

k 2 2

hφxtt (x, t) −

k 2

h2 φxxt (x, t) +

Utilizando la notaci´ on discreta, eliminando las notaciones del punto (x, t) tenemos que la serie anterior se escribe como φn j −1 =
n+ 1 φj 2

k 1 k 1 − hφx − φt + h2 φxx + hφxt + 2 2! 2 2!
3 2

k 2

2

φtt (3.21)

k k k h3 2 2 φttt − hφxtt − 2 h2 φxxt − φxxx − 3! 3! 2! 2! 4 4 3 3 +O(k ) + O(h ) + O(k h) + O(kh ) + O(k 2 h2 )

´ 3.2. ANALISIS DE LOS ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS

65

1 ) obteAhora el t´ ermino φ(xj , tn ) se aproxima por Taylor en (xj , tn+ 2 niendo

φn j

=

n+ 1 φj 2

k 1 − φt + 2 2!

k 2

2

φtt −

k 3 2

3!

φttt + O(k 4 )

(3.22)

A continuaci´ on el valor φ(x + h, t − k/2) se expresa como φn j +1 =
n+ 1 φj 2

k 1 k 1 + hφx − φt + h2 φxx − hφxt + 2 2! 2 2!
3 2

k 2

2

φtt (3.23)

k k k h3 2 2 φxxx − φttt + hφxtt − 2 h2 φxxt + 3! 3! 2! 2! 4 4 3 +O(k ) + O(h ) + O(k h) + O(kh3 ) + O(k 2 h2 )

Nuevamente el valor φ(x − h, t + k/2) es expresado como
+1 φn j −1

=

n+ 1 φj 2

k 1 k 1 − hφx + φt + h2 φxx − hφxt + 2 2! 2 2!
3 2

k 2

2

φtt (3.24)

k k k h3 2 2 φxxx + φttt − hφxtt + 2 h2 φxxt − 3! 3! 2! 2! 4 4 3 +O(k ) + O(h ) + O(k h) + O(kh3 ) + O(k 2 h2 )

1 ) obteAhora el valor φ(xj , tn+1 ) se aproxima por Taylor en (xj , tn+ 2 niendo

+1 φn j

=

n+ 1 φj 2

k 1 + φt + 2 2!

k 2

2

φtt +

k 3 2

3!

φttt + O(k 4 )

(3.25)

Finalmete el valor φ(xj +1 , tn+1 )
+1 φn j +1

=

n+ 1 φj 2

k 1 k 1 + hφx + φt + h2 φxx + hφxt + 2 2! 2 2!
3 2

k 2

2

φtt (3.26)

k k k h3 2 2 + φxxx + φttt + hφxtt + 2 h2 φxxt 3! 3! 2! 2! 4 4 3 +O(k ) + O(h ) + O(k h) + O(kh3 ) + O(k 2 h2 )

Ahora construyamos por partes el operador discreto Ph.k Φ dado en (3.20)

66

´ CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

Utilizando las series (3.22) y (3.25) tenemos
+1 k − φn φn j j = φt + 2 2 φttt + O(k 4 ) = φt + O(k 2 ) (3.27) k 3! Nuevamente, utilizando las series (3.21), (3.22) y (3.23) tenemos n n φn j −1 − 2φj + φj +1 = φxx + O(h2 ) 2 h Y de las series (3.24), (3.25) y (3.26) tenemos 2

(3.28)

+1 n+1 +1 + φn φn j −1 − 2φj j +1 = φxx + O(h2 ) (3.29) 2 h Sumando las f´ ormulas (3.28) y (3.29) previamente multiplicadas por 2 α /2 y sustraer de (3.27) obtenemos el operador discreto

Ph,k φ = φt − α2 φxx + O(k 2 ) + O(h2 ) = P φ + O(k 2 ) + O(h2 ) Esta u ´ltima ecuaci´ on puede ser escrita como P φ − Ph,k φ = O(k 2 ) + O(h2 )

(3.30)

(3.31)

De la ecuaci´ on (3.31) concluimos que P φ − Ph,k φ → 0 , cuando h → 0 y k → 0, por lo que el esquema de Crank-Nicolson es consistente con la ecuaci´ on diferencial parcial ut = α2 uxx del problema (P ) asi como, en la misma ecuaci´ on (3.31) vemos que el esquema tiene orden de precisi´ on (2, 2). 3.2.7 Estabilidad del esquema de Crank-Nicolson

Para analizar la estabilidad, nuevamente utilizamos el criterio de de Von Neumann en el esquema
n+1 n+1 n+1 n n Vjn+1 − Vjn 1 2 Vjn 1 2 Vj +1 − 2Vj + Vj −1 +1 − 2Vj + Vj −1 + α = α k 2 h2 2 h2

Sea λ = α2 kh−2 ,donde µ = g n+1 eijθ − g n eijθ =

k h2

y sustituyendo Vjn por g n eijθ obtenemos

1 2 α µ g n+1 ei(j +1)θ − 2g n+1 eijθ + g n+1 ei(j −1)θ + 2 1 2 α µ g n ei(j +1)θ − 2g n eijθ + g n ei(j −1)θ 2

´ 3.2. ANALISIS DE LOS ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS

67

Simplificando el termino g n eijθ en la ecuaci´ on anterior se obtiene: 1 1 g − 1 = λ geiθ − 2g + ge−iθ + λ eiθ − 2 + e−iθ 2 2 de propiedades de las funciones trigonom´ etricas θ sin = 2
2

(3.32)

eiθ − 2 + e−iθ (2i)2

Entonces la ecuaci´ on (3.32) se transforma en θ θ − 2λ sin2 2 2 de donde obtenemos el factor de amplificaci´ on g = 1 − 2gλ sin2 g= Observando que θ θ θ −1 − 2λsen2 ≤ 1 − 2λsen2 ≤ 1 + 2λsen2 2 2 2 de ello se tiene 1 − 2λsen2 de donde |g | = θ θ ≤ 1 + 2λsen2 2 2 ≤1
θ 1 − 2λsen2 2 θ 1 + 2λsen2 2

(3.33)

θ 1 − 2λsen2 2 θ 1 + 2λsen2 2

por consiguiente el esquema de Crank-Nicolson es estable en forma incondicional. Luego por el teorema de Lax, el esquema es convergente. 3.2.8 Esquema de Du Fort-Frankel

El esquema de Du Fort-Frankel es esencialmente un esquema de paso m´ ultiple en el tiempo, pues usa una diferencia central para aproximar la derivada temporal en el punto (j, n) asi como un promedio temporal en la aproximaci´ on espacial en dicho punto. Vjn+1 − Vjn−1 V n − (Vjn+1 + Vjn−1 ) + Vjn −1 2 j +1 =α 2 2k h (3)

68

´ CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

Este esquema est´ a dentro del grupo de los esquemas expl´ ıcitos. Veremos que es un esquema incondicionalmente estable, de orden de presici´ on esta dado por O(k 2 ) + O(h2 ) + O(k 2 h−2 ). Podemos escribir el esquema de la forma siguiente:
n 2 n−1 1 + 2α2 µ Vjn+1 = 2α2 µ Vjn +1 + Vj −1 + 1 − 2α µ Vj

(3.34)

Discretizando las condiciones de contorno (Dirichlet) y condiciones iniciales del problema (P), Obtenemos el problema de diferencias finitas de la forma:  n+1 n−1 n+1 n−1 n n j = 1, 2, ..., N, Vj −Vj  2 Vj +1 −(Vj +Vj )+Vj −1  = α  2 2k h  n = 1, 2, ..., Kmax  n = T1 V0 (P D3)  n  Vj = T2 , n = 0, 1, .., k max,    0 = f (xj ) i = 0, 1, 2, ..., N Vj Observemos que el esquema de Du Fort-Frankel es realizado en 5 puntos de la malla (xj , tn−1 ), (xj , tn+1 ), (xj −1 , tn ), (xj +1 , tn ), (xj , tn ) 3.2.9 Consistencia del esquema de Du Fort-Frankel

Igual que antes, consideremos una funci´ on φ diferenciable y utilizamos la serie de Taylor en dimensi´ on uno El operador diferencial discreto Pk,h aplicado a φ es dado por:
+1 −1 +1 −1 − φn φn − (φn + φn ) + φn φn j −1 j j j j 2 j +1 −α Ph,k φ = 2 2k h

(3.35)

donde, φn j = φ(jh, nk ) Desarrollando las series de Taylor de la funci´ on φ alrededor del punto (xj , tn ) = (jh, nk ) para los valores de φ en los puntos vecinos, por simplicidad denotemos al punto (xj , tn ) = (jh, nk ) por (x, t) φ(x, t + k ) = φ(x, t) + 1 1 1 kφt (x, t) + k 2 φtt (x, t) + k 3 φt (x, t) + O(k 4 ) 1! 2! 3! En t´ erminos de ´ ındices la serie anterior se escribe como 1 2 1 3 +1 n φn = φ + kφ + φ + (3.36) k k φttt + O(k 4 ) t tt j j 2 3!

´ 3.2. ANALISIS DE LOS ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS

69

Ahora desarrollando por serie de Taylor el t´ ermino φ(x, t − k ) tenemos φ(x, t − k ) = φ(x, t) − es decir φ(jh, (n − 1)k ) = φ(jh, nk ) − 1 1 kφt (jh, nk ) + k 2 φtt (jh, nk ) − 1! 2! 1 1 1 kφt (x, t) + k 2 φtt (x, t) − k 3 φttt (x, t) + O(k 4 ) 1! 2! 3!

1 3 k φttt (ih, jk ) + O(k 4 ) 3! la cual en notaci´ on de ´ ındices
−1 φn = φn j − kφt + j

1 2 1 k φtt − k 3 φttt + θ(k 4 ) 2! 3!

(3.37)

Utilizando la serie de Taylor para φ en la variable espacial obtenemos φ(x + h, t) = φ(x, t) + 1 1 1 hφx (x, t) + h2 φxx (x, t) + h3 φxxx (x, t) + 1! 2! 3!

1 4 h φxxxx (x, t) + O(h5 ) 4! y en la notaci´ on de ´ ındice
n φn j +1 = φj + hφx +

1 2 1 1 h φxx + h3 φxxx + h4 φxxxx (x, t) + O(h5 ) (3.38) 2! 3! 4! 1 1 1 hφx (x, t) + h2 φxx (x, t) − h3 φxxx (x, t) + 1! 2! 3!

Finalmente el valor de φ en el punto (xj −1 , t) φ(x − h, t) = φ(x, t) −

1 4 h φxxxx (x, t) + O(h5 ) 4! 1 2 1 1 n φn h φxx − h3 φxxx + h4 φxxxx + O(h5 ) (3.39) j −1 = φj − hφx + 2! 3! 4! Sustituyendo estas espresiones (3.36), (3.37), (3.38) y (3.39) en las diferencias del operador discreto Ph,k φ dado en (3.35), teniendo en cuenta que derivadas φt , φx , φxx , φxxx , φxxxx , son evaluadas en el punto (xj , tn ) = (ih, jk ), tenemos: De (3.36) y (3.37) se tiene
+1 −1 − φn φn k2 j j = φt + φttt + O(k 4 ) = φt + O(k 2 ) 2k 3!

(3.40)

70

´ CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

y

+1 −1 + φn = 2φ + k 2 φtt + O(k 4 ) φn j j

(3.41)

De (3.38) y (3.39) obtenemos:
n 2 4 φn j +1 + φj −1 = 2φ + h φxx + O (h )

(3.42)

Sustraendo (3.41) de (3.42), multiplicando esta difertencia por −α2 /h2 y adicionando con (3.40) obtenemos: Ph,k φ = φt − α2 φxx + α2 k 2 h−2 φtt + O(k 2 ) + O(h2 ) + O(k 2 h−2 ) y de ello se cumple Ph,k φ − P φ = α2 k 2 h−2 φtt + O(k 2 ) + O(h2 ) + O(k 2 h−2 ) (3.43) Observamos que el esquema de Du Fort-Frankel es consistente con la ecuaci´ on diferencial del problema (P) si; k −→ 0, h cuando k −→ 0, h −→ 0

Por otro lado podemos observar que si k/h = e permanece constante entonces el esquema Du Fort-Frankel ser´ a consistente con una ecuaci´ on diferencial Hiperb´ olica ut − α2 uxx + α2 e2 utt = 0 3.2.10 Estabilidad del Esquema de Du Fort-Frankel

Nuevamente utilizando el criterio de Von Neumann, para ello escribimos el esquema en la forma (3.34), es decir
n 2 n−1 1 + 2α2 µ Vjn+1 = 2α2 µ Vjn +1 + Vj −1 + 1 − 2α µ Vj

(3.44)

Haciendo λ = α2 k/h2 y reemplazando Vjn por g n eijθ en esta ecuaci´ on obtenemos (1 + 2λ)g n+1 eijθ = 2λ g n ei(j +1)θ + g n ei(j −1)θ + (1 − 2λ)g n−1 eijθ Simplificando el t´ ermino g n eijθ en la ecuaci´ on anterior se obtiene: (1 + 2λ)g = 2λ eiθ + e−iθ + (1 − 2λ)g −1

´ 3.2. ANALISIS DE LOS ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS

71

multiplicando por g a este ecuaci´ on tenemos (1 + 2λ)g 2 − 2λ eiθ + e−iθ g − (1 − 2λ) = 0 que se escribir como la ecuaci´ on cuadr´ atica en g (1 + 2λ)g 2 − 4λ(cos θ)g − (1 − 2λ) = 0 resolviendo esta ecuaci´ on tenemos g± = de esto 4λ(cos θ) ± 16λ2 cos2 θ + 4(1 − 4λ2 ) 2(1 + 2λ) (3.45)

√ 1 + 4λ2 cos2 θ − 4λ2 g± = 1 + 2λ Obteniendo finalmente las dos ra´ ıces del factor de amplificaci´ on √ 2λ cos θ ± 1 − 4λ2 sen2 θ g± = 1 + 2λ 2λ cos θ ± Ahora analizamos los siguientes casos

1. Si se cumpliera 1 − 4λ2 Sen2 θ ≥ 0 entonces se tiene que 0 ≤ 4λ2 sen2 θ ≤ 1, por consiguiente | g ± |≤ 2λ | cos θ | + 1 − 4b2 µ2 sen2 θ 2λ + 1 ≤ =1 1 + 2λ 1 + 2λ es decir 0 ≤ 1 − 4λ2 sen2 θ ≤ 1 (3.46)

Concluyendo, podemos decir que si se cumpliera (3.46), la condici´ on de Von Neumann es satisfecha | g ± |≤ 1 y el esquema de Du Fort-Frankel es estable.

72

´ CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

2. Si cumpliera 1 − 4λ2 Sen2 θ = −b2 < 0 entonces 1 ≤ 4λ2 sen2 θ ≤ 4λ2 , es decir 1 − 4λ2 = (1 + 2λ)(1 − 2λ) ≤ 0 (3.47)

como 1 + 2λ > 0 entonces se tiene 1 − 2λ ≤ 0 luego el factor de amplificaci´ on es complejo g± = 2λ cos θ ± ib 1 + 2λ (3.48)

entonces el cuadrado del m´ odulo es (2λ cos θ)2 + 4λ2 Sen2 θ − 1 |g| = (1 + 2λ)2
2

de donde 4λ2 − 1 (2λ + 1)(2λ − 1) 2λ − 1 = = |g| = <1 2 2 (1 + 2λ) (1 + 2λ) (1 + 2λ)
2

en la u ´ltima desigualdad utilizamos (3.48). Concluimos tambi´ en que bajo la restricci´ on (3.47), el esquema es estable. Por tanto esquema de Du Fort-Frankel es estable sin restricciones, y por el teorema de Lax, el esquema es convergente, con la u ´nica condici´ on exigida por la consistencia, donde observamos que k vaya mas r´ apido a cero que el valor de h.

3.3

Implementaci´ on Num´ erica

Este cap´ ıtulo estar´ a dedicado a la implementaci´ on num´ erica de los esquemas de diferencias finitas para el problema de conducci´ on del calor unidimensional analizados en el cap´ ıtulo anterior. Haciendo un estudio comparativo de los esquemas, resolviendo el mismo problema bajo condiciones similares y de la dependencia de los par´ ametros.

´ NUMERICA ´ 3.3. IMPLEMENTACION

73

Para ello utilizamos el problema siguiente el que fu´ e planteado en el cap´ ıtulo 1, es decir trabajaremos con el problema  = α2 uxx , 0 < x < L ,t > 0 ut    t>0 u(0, t) = g1 (t), (P ) t>0 u(L, t) = g2 (t),    0≤x≤L u(x, 0) = u0 (x), Donde la condici´ on de compatibilidad entre la condici´ on inicial y la condici´ on de frontera esta dada por u0 (0) = u(0, 0) = g1 (0), u0 (L) = u(L, 0) = g2 (0),

Sea L = 1 y sea h = 1/N el espacio entre puntos de la malla. Como en algunos casos la estabilidad depende de la dependencia de h y k (el espacio entre los puntos temporales) la implementaci´ on se realizar´ a para 2 2 algunos valores del par´ ametro λ = α k/h Eligiendo uno de los esquemas de diferencias, el problema anterior puede escribirse en forma discretizada como     Ph,k Vjn          V0n (P D)    n   VN        V0 j j = 1, 2, . . . , N − 1 n = 1, 2, . . . Kmax n = 0, 1, . . . n = 0, 2, . . . j = 0, 1 . . . , N

= 0,

= u(0, tn ) = g1 (tn ), = u(L, tn ) = g2 (tn ), = u(xj , 0) = u0 (xj ),

Comenzaremos implementando el esquema impl´ ıcito de Euler retrazado, para ello, lo escribimos en la forma (3.12)
+1 n+1 +1 n −λVjn − λVjn −1 + (1 + 2λ)Vj +1 = Vj

(3.49)

Escribiendo (3.49) para j = 1, . . . N − 1 aparece un sistema de N − 1

74

´ CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

ecuaciones con N + 1 inc´ ognitas −λV0n+1 + (1 + 2λ)V1n+1 − λV2n+1 −λV1n+1 + (1 + 2λ)V2n+1 − λV3n+1 . . . n+1 +1 −λVi−1 + (1 + 2λ)Vin+1 − λVin +1 . . . n+1 n+1 n+1 −λVN −2 + (1 + 2λ)VN −1 − λVN = V1n = V2n = Vin
n = VN −1

Observamos que en este sistema de ecuaciones, los valores −λV0n+1 n+1 en la ecuaci´ on j = 1 y −λVN en la ecuaci´ on j = N − 1 son conocidas, por lo que deberian pasar al lado derecho de la ecuaci´ on. Esto hace que el sistema resultante sea cerrado, es decir solo tiene N − 1 inc´ ognitas, el cual puede ser escrito, para cada n, en forma matricial como AU n+1 = bn Donde A es una matriz tridiagonal  1 + 2λ −λ 0  −λ 1 + 2λ −λ    A=    0 0 0 0 (3.50)

de orden (N − 1) × (N − 1)  ... 0 0 ... 0 0   .  . .   . .  .  −λ 1 + 2λ −λ  −λ 1 + 2λ       n b =               

mientras que U n+1 y bn son vectores de orden (N − 1) × 1       =     V1n+1 V2n+1 . . . n+1 Vi . . . n+1 VN −2 n+1 VN −1            V1n + λV0n+1 V2n . . . Vin . . . n VN −2 n+1 n VN −1 + λVN

U n+1

y

Para resolver el sistema (3.50), se puede utilizar eliminaci´ on Gaussiana, asi como tambi´ en factorizaci´ on lu. Para ello consideremos el sistema

´ NUMERICA ´ 3.3. IMPLEMENTACION

75

tridiagonal general de la forma d1  a1    A=    0 0  c1 0 d2 c2 ... 0 0 ... 0 0 . . . . . . aN −3 dN −2 cN −2 0 aN −2 dN −1 



0 0

         

V1n+1 V2n+1 . . . n+1 Vi . . . n+1 VN −2 n+1 VN −1





          =         bN −2 bN −1

b1 b2 . . . bi . . .

          

de tal manera que sea diagonal dominante, es decir se cumple |di | > |ci | + |ai−1 |, El hecho de que una matriz sea diagonal dominante, es suficiente para usar eliminaci´ on Gaussiana sin pivotamiento y factorizaci´ on lu, el sistema (3.50), es un sistema diagonal dominante. La factorizaci´ on lu de la matriz tridiagonal A se puede esquematizar en la siguiente forma
 d 1  a1           0 0 c1 d2 0 c2 ... ... . . . . . . aN −2 0 0 0  1  l1           =           cN −1 0 0 dN 0 0  0 1 0 0 ... ... . . . . . . lN −2 0 0 0 0   u1 0  0           0 0 1 0 c1 u2 0 c2 ... ... . . . . . . 0 0 0 0 0 0            

0 0

d N −1 aN −1

0 0

1 lN −1

0 0

u N −2 0

cN −1 uN

Supongamos que los elementos de la matriz tridiagonal se guardan en tres vectores columnas d, c y a, con los que obtendremos los vectores que conforman las matrices l y u, entonces el algoritmo para la factorizaci´ on seria el siguiente: LET DO u1 = d1 i = 2 , N l(i-1) = a(i-1)/u(i-1) u(i) = d(i) - l(i-1)*c(i-1) END DO

76

´ CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

Luego se resuelve el sistema, calculando U a partir de l y de u, primeramente se resuelve el sistema triangular lY = B por sustituci´ on progresiva

LET DO

y1 = b1 i = 2 , N yi = bi-l(i-1)*y(i-1)

END DO Finalmente se resuelve el sistema uU = Y por sustituci´ on hacia atras

LET DO

V(N) = y(N)/u(N) i = N-1 , 1 V(i) = (y(i)-c(i)*V(i+1))/u(i)

END DO Este proceso es ejecutado para obtener U n+1 , repetido para cada nivel el algoritmo para la soluci´ on del problema (PD). A continuaci´ on implementamos el esquema impl´ ıcito de Crank-Nicolson, para ello, escribimos el esquema en la forma (3.19)
+1 n+1 +1 n n n − λVjn −λVjn −1 + (2 + 2λ)Vj +1 = λVj +1 + λVj −1 + (2 − 2λ)Vj (3.51)

´ NUMERICA ´ 3.3. IMPLEMENTACION

77

Observamos que este esquema de diferencias, al igual que el anterior, genera un sistema de N − 1 ecuaciones con N − 1 inc´ ognitas que puede ser escrito en forma matricial como: AU n+1 = bn Donde A es una matriz tridiagonal  2 + 2λ −λ 0  −λ 2 + 2λ −λ    A=    0 0 0 0 (3.52)

de orden (N − 1) × (N − 1)  ... 0 0 ... 0 0   .  . .   . .  .  −λ 2 + 2λ −λ  −λ 2 + 2λ

mientras que U n+1 y bn son vectores de orden (N − 1) × 1  n+1  V1  V n+1   2   .  .  .    y U n+1 =  Vin+1   .   . .   n   VN +1  −2 n+1 VN −1  n+1 n n n λV− 0 + (2 − 2λ)V1 + λV2 + λV0  λV1n + (2 − 2λ)V2n + λV3n  .  . .   n n b =  λVj −1 + (2 − 2λ)Vjn + λVjn +1  . .  .  n n n  +λVN −3 + (2 − 2λ)VN −2 + λVN −1 n+1 n n n +λVN −2 + (2 − 2λ)VN −1 + λVN + λVN

          

Para resolver el sistema (3.52), se puede seguir los mismos pasos que se hizo al resolver el sistema tridiagonal obtenido por el m´ etodo de Euler retrasado La implementaci´ on del esquema de Du Fort-Frankel es simple porque es un esquema expl´ ıcito de paso m´ ultiple, por consiguiente, este esquema se ejecutar´ a a partir del segundo nivel de tiempo, necesitando para ello

78

´ CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

los valores en los niveles 0 (que es la condici´ on inicial) y 1, el cual puede ser obtenido, ejecutando una u ´nica vez, un esquema de un solo paso, como por ejemplo el esquema de Euler progresivo o (FTCS)
n Vjn+1 = (1 − 2λ)Vjn + λ(Vjn +1 + Vj −1 ), j = 1, . . . N − 1,

n = 0 (3.53)

A continucaci´ on , los valores en el nivel n + 1 se calcula por la f´ ormula Vjn+1 = 2 λ 1 − 2λ n Vjn Vjn−1 , +1 + Vj −1 + 1 + 2λ 1 + 2λ j = 1, . . . , N −1, n≥1

(3.54) Presentaremos resultados obtenidos por los tres esquemas en las mismas condiciones, luego se hace una comparaci´ on con la soluci´ on exacta, a fin de observar sus propiedades presentadas en el an´ alisis te´ orico, para ello, consideramos el valor α = 1, las condiciones de contorno g1 = 0 y la codici´ on inicial u0 (x) = sen(πx), cuya soluci´ on exacta es conocida u(x, t) = e−π t sen(πx) Esto nos permite calcular el error cometido en la implementaci´ on de cada esquema, en el n-esimo nivel, con la Norma l2 , en
2 2
2

g2 = 0

0<x<1

=h
j =0N

2 |Vjn − un j|

donde un enfasis, que solo en este caso, el primer j = u(jh, nk ), hacemos ´ paso del esquema de Du Fort Frankel es calculado con la soluci´ on exacta, de esta forma el error que aparece en la tabla I es un error del m´ etodo mismo, y no de una combinaci´ on de dos m´ etodos Tambi´ en presentaremos resultados para diferentes valores del par´ ametro λ y de alli se obtendr´ a el valor de k = h2 /α2 y si fijamos el valor que deseamos alcanzar T , entonces el n´ umero total de pasos en el tiempo se calcular´ an por la f´ ormula Kmax = |[T /k ]| Por ejemplo los resultados que se presentan en las figuras (3.8) y (3.7), se obtuvieron con h = 0.1, T = 0.1, λ = 1. Observemos que

´ NUMERICA ´ 3.3. IMPLEMENTACION

79

se presenta la soluciones aproxiamadas comparadas ( lineas continuas ) con la soluci´ on exacta ( lineas trazadas ), tambi´ en se presenta el el error obtenido en el tiempo T con la norma de l2 de las funciones discretas, es natural observar que el esquema de Crank-Nicolson es mas preciso por tener una orden de precisi´ on (2,2), a diferencia del esquema Euler retrasado que tiene orden de precisi´ on (1,2), y de Du Fort-Frankel que es de orden (2,2) pero con la condici´ on de k va para cero mucho mas r´ apido que h.
Du Fort−Frankel 0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 3.7: Soluci´ on num´ erica de la ecuaci´ on del calor con el esquema Du Fort-Frankel en T = 0.1, α = 1, λ = 1, H = 0.1

Esquema Euler Retrasado Crank-Nicolson Du Fort-Frankel

λ error= e 2 1.0 0.01437 1.0 0.001933 1.0 0.02303

80

´ CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

Euler retrasado 0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Crank−Nicolson

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 3.8: Soluci´ on num´ erica de la ecuaci´ on del calor, con los esquemas Euler retrazado y Crank-Nicolson en T = 0.1, α = 1, λ = 1, H = 0.1

Cap´ ıtulo 4 Disipaci´ on y Dispersi´ on
4.1 Disipaci´ on

En la secci´ on (2.2) notamos que el esquema de Leapfrog es mas preciso que el esquema de Lax-Friedrich, como se ilustra en la figura 2.1 sin ambargo la soluci´ on calculada con el esquema de Leapfrog contiene peque˜ nas oscilaciones que deforman la apariencia de las soluciones. En esta secci´ on discutiremos una forma de eliminar o al menos de reducir, la amplitud de este ruido. Para muchos c´ alculos especialemente para ecuaciones no lineales, estas peque˜ nas, oscilaciones de alta frecuencia pueden tener un rol significante en reducir la precisi´ on de la soluci´ on. Para considerar el m´ etodo de propagaci´ on de estas oscilaciones, considere el esquema de Leapfrog con dato inicial dado por
n = (−1)n+m , vm

m∈Z

(4.1)

para n igual 0 y 1. Es facil ver que 4.1 es la soluci´ on para todo valor de n. Esto muestra que el esquema de Leapfrog propaga estas perturbaciones sin amortiguarlas. Esta propagaci´ on sin amortiguamiento es una consecuencia de los factores de amplificaci´ on g+ (θ) y g− (θ) que tiene magnitud igual a 1 g± = −iaλsen(hξ ) ± 1 − (aλ)2 sin2 (hξ )

Ahora consideremos el esquema de Lax-Wendroff con |aλ| < 1 y con datos (4.1) para n = 0. De la repetici´ on de datos, la soluci´ on aqu´ ı satisface n+1 n vm = (1 − 2a2 λ2 )vm
81

82

´ Y DISPERSION ´ CAP´ ITULO 4. DISIPACION

Y como |1 − 2a2 λ2 | < 1 las oscilaciones decrecen en tama˜ no en cada paso. Este decrecimiento de las oscilaciones de alta frecuencia se llama disipaci´ on. La definici´ on de disipaci´ on es usualmente dado bajo al suposici´ on, que los t´ erminos de bajo orden han sido eliminados. Definici´ on 4.1.1. Un esquema es disipativo de orden 2r si existe una constante positiva c independiente de h y k , tal que cada factor de amplificaci´ on g (θ) satisface 1 |g (θ)| ≤ 1 − c sen2r ( θ) 2 Observar que (4.2) es equivalente a 1 |g (θ)|2 ≤ 1 − c sen2r ( θ) 2 (4.3) (4.2)

Para el caso general se puede sustituir la restricci´ on (4.2) por la restricci´ on 1 (4.4) |g (θ)| ≤ (1 − c sen2r ( θ))(1 + Kk ) 2 Por consiguiente para mostrar si un esquema es disipativo, solamente necesitamso considerar |g (θ)|. Para el esquema de Lax-Wendroff tenemos 1 |g (θ)|2 ≤ 1 − 4a2 λ2 (1 − a2 λ2 )sen4 ( θ) 2 Observamos que: para |aλ| = 1 tenemos |g (θ)| = 1, pero para 0 < |aλ| < 1 el esquema es disipativo de orden 4. En realidad para θ = π tenemos g (θ) = 1 − 2a2 λ2 . Los esquemas de Leapfrog y Crank-Nicolson se llaman esquemas estrictamente no disipativos porque sus factores de amplificaci´ on son identicamente 1 en magnitud. Los esquemas de Lax-Fredrich y Euler retrasado centrad en espacio (BTCS) son no disipativos pero no estrictamente no disipativos. Para cada uno de estos esquemas g (π ) = g (π ) = 1 y para otro valor de θ, se tiene g (θ) < 1. Estos esquemas reducen la magnitud de la mayor´ ıa de las frecuencias pero no de las frecuencias altas sobre la malla.

´ 4.2. DISPERSION

83

4.2

Dispersi´ on
ut + aux = 0 (4.5)

Para introducir la idea de dispersi´ on damos una mirada a la ecuaci´ on observe que podemos escribir la ecuaci´ on como ∞ 1 u(x, t) = √ eiωx e−iωat u ˆ0 (ω )dω 2π ∞ De esto conclu´ ımos que u ˆ(ω, t + k ) = eiωak u ˆ(ω, t)

(4.6)

(4.7)

Si consideramos un esquema de diferencia finita de un solo paso, tenemos de v ˆn (ξ ) = g (hξ )n v ˆ0 (ξ ), que v ˆn+1 = g (hξ )ˆ vn, (4.8) y por comparaci´ on de (4.7) con (4.8) observamos que podemos esperar que g (hξ ) deberia ser una buen aproximaci´ on a eiξak . Para enfatizar esta similaridad escribimos g (hξ ) = |g (hξ )|eiξα(hξ )k . (4.9) La cantidad α(hξ ) se llama velocidad de fase, es la velocidad en la cual las ondas de frecuencia ξ , son propagadas por el esquema de diferencias finitas. Si α(hξ ) = a para todo ξ , entonces las ondas podrian propagarse con la velocidad correcta, sin embargo esto no ocurre para un esquema de diferencias finitas exepto en caso triviales, la velocidad α(hξ ) es simplemente una aproximaci´ on de a. El fen´ omeno de ondas de diferentes frecuencias viajando con diferentes velocidades se llama dispersi´ on. Para estudiar la dispersi´ on de esquemas de diferencias finitas es conveniente definir el error de fase como a−α(hξ ). El efecto de la dispersi´ on puede facilmente ser visto en el c´ alculo de la soluci´ on de (4.5) con un dato inicial que es un pulso cuadrado u(x, 0) = 1 0≤x≤1 0 en otro lugar

Para la ecuaci´ on diferencial parcial la forma es preservada; simplemente es trasladada. Para los esquemas de diferencias finitas la forma del puslo cuadrado no es preservada porque las frecuencias diferentes que hacen al cuadrado pulsar se mueven con velocidades diferentes.

84

´ Y DISPERSION ´ CAP´ ITULO 4. DISIPACION

Ejemplo 4.2.1. Considere el esquema de Lax-Wendroff para estudiar su dispersi´ on. Tenemos que 1 g = 1 − 2(aλ)2 sin2 ( hξ ) − iaλsen(hξ ) 2 aλsin(hξ ) (4.10) 1 − 2(aλ)2 sin2 ( 1 hξ )) 2 Como esta f´ ormula no nos da mucha informaci´ on acerca del comportamiento de α(hξ ) estudiamos su serie de Taylor alrededor de ξ = 0 tan [α(hξ )ξk ] = 1 sinx = x 1 − x2 + O(x4 ) 6 1 tanx = x 1 + x2 + O(x4 ) 3 1 tan−1 y = y 1 − x2 + O(y 4 ) . 3 Usando las serie para sinx en (4.10) luego de algunos c´ alculos tenemos, tan [α(hξ )ξk ] = aλhξ 1 − (aλ)2 De la f´ ormula de tan−1 y tenemos 1 (4.11) α(hξ ) = a 1 − (hξ )2 1 − (aλ)2 + O(hξ )4 . 6 Observamos que para hξ peque˜ no y |aλ| < 1, α(hξ ) es menor que a. De esta forma tenemos que si |aλ| es cercano a 1, entonces la dispersi´ on ser´ a menor. Para deducir el coportamiento de α(hξ ) para valores grandes de ξ utilizamos la f´ ormula para g y (4.10). Observamso que paa ξ = h−1 π , g tiene el valor de 1 − 2a2 λ2 , ahora, si a2 λ2 > 1/2 entonces g es negativo, as´ ı α(π )h−1 πk = π , de esta forma α(π ) = λ−1 . Por otro la do si ı α(π ) = 0. a2 λ2 < 1/2 entonces g es positivo y as´ Por tanto α(hξ ) estar´ a siempre cercano a a si ξ s peque˜ no, en particular α(0) = a. 1 1 − (aλ)2 + O(hξ )4 . 6 2 as´ ı

´ DE PAQUETES DE ONDAS85 4.3. VELOCIDAD DE GRUPO Y PROPAGACION

4.3

Velocidad de grupo y propagaci´ on de paquetes de ondas

El estudio de paquetes de ondas introduce otro aspecto interesante de dispersi´ on que es la velocidad de grupo. Para ver esto , consideremos la ecuaci´ on (4.1) con dato inicial de la forma (4.12) u(x, 0) = eiξo x p(x) donde p(x) es una funci´ on relativamente suave que decae con |x|. La soluci´ on para la condici´ on inicial (4.12) es u(x, t) = eiξo (x−at) p(x − at) (4.13)

Una funci´ on de la forma (4.13) se llama paquete de ondas. Mientras qwue a la funci´ on de la forma p(x) se llama envolvente del paquete y la frecuencia ξo como la frecuencia del paquete de ondas. Como caso particular, para ilustraciones num´ ericas, comunmente se usa la funci´ on u(x, 0) = , |x| ≤ 1, cos(ξo x)cos2 ( 1 2 πx) 0 , en otro lugar (4.14)

es decir se usa cos(ξo x) en lugar de eiξo x . Sabemos que para un esquema de diferencias finitas la dispersi´ on causar´ a que una onda pura con frecuencia ξo viaje con la velocidad de fase α(hξo ). Mostraremos que, un esquema de diferencias finitas estrictamente no disipativo con un paquete de ondas como dato inicial tendr´ a una soluci´ on que es aproximadamente v ∗ (x, t) = eiξo (x−α(hξo )t) p(x − γ (hξo )t) (4.15)

donde α(hξo ) es la velocidad de fase del esquema y γ (hξo ) es la velocidad de grupo. La velocidad de grupo es dada por γ (θ) = dθα(θ) = α(θ) + θα (θ) dθ (4.16)

86

´ Y DISPERSION ´ CAP´ ITULO 4. DISIPACION

Observar que
h−→0

lim α(hξ ) = a, lim γ (hξ ) = a,

entonces por tanto

h−→0

lim v ∗ (x, t) = u(x; t).

h−→0

Cap´ ıtulo 5 Ecuaciones El´ ıpticas: Condiciones de contorno
En este cap´ ıtulo hacemos un estudio en la forma mas simple de las ecuaciones el´ ıpticas, orientado p rincipalmente al aspecto computacional antes que al an’alisis.

5.1

Ecuaci´ on de Poisson

Consideremos en primer lugar como modelo dew trabajo la ecuaci´ on de Poisson Au = f, en Ω (5.1) donde A es un operador el´ ıptico, en nuestro caso consideremos el operon diferencial anterior puede ador menos laplacano A = −∆2 . La ecuaci´ ser suplementada con la condici´ on de contorno de Dirichlet homog´ enea u = 0, 5.1.1 Caso unidimensional en ∂Ω (5.2)

A fin de observar la necesidad de las herramientas num´ ericas, veamos el caso unidimensional
u −d = f, dx2 u(0) = 0
2

en (0, 1) u(1) = 0

(5.3)

Consideremos la malla formada por los puntos x0 = 0, x1 = ∆x, x2 = 2∆x, . . . , xN = N ∆x, xN ∗1 = (N + 1)∆x = 1. Haciendo uso de la aproximaci´ on de tres puntos para la segunda derivada tenemos que el
87

88 CAP´ ITULO 5. ECUACIONES EL´ IPTICAS: CONDICIONES DE CONTORNO

problema (5.3) puede ser aproximado por el problema discreto, formado por la ecuaci´ on en diferencias y sus condiciones de contorno − vj −1 − 2vj + vj +1 = fj , j = 1, 2 . . . , N ∆x2 u0 = 0 uN +1 = 0 (5.4) (5.5)

El problema discreto (5.4) puede ser escrito en forma matricial como AU = F, o en forma extensa  2  −1  1   0 AU =  ∆x2    0 0 como −1 0 0 . . . 0 0 2 −1 0 . . . 0 0 −1 2 −1 . . . 0 0 . . . 0 0 0 . . . 2 −1 0 0 0 . . . −1 2    (5.6) 

v1  v  2  v  3  .  . .    vN −1 vN

f1   f    2    f    3  = .    . .       fN −1  fN (5.7)

Observaci´ on 5.1.1. • Como era de esperar, el sistema continuo (5.1), es aproximado por el sistema de ecuaciones algebraicas (5.6), es decir, el operador lineal continuo, infinito dimensional, A es sustituido por un operador lineal finito dimensional A, • La matr´ ız de coeficientes del sistema de ecuaciones (5.6) es una matr´ ız tridiagonal, la cual est´ a dentro de la clase de matrices banda con ancho de banda w como se presenta en la figura 5.1. La soluci´ on del sistema −1 −1 anterior tiene la forma U = A F , pero la matriz A no es banda, por consiguiente es necesario saber utilizar algoritmos adecuados para resolver este tipo de sistemas, en seguida se describe un prodecimiento muy estandar para resolver este tipo de problemas. 1. Utilizar la descomposici´ on lu: Que consiste en factorizar la matriz A en dos matrices, una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior y escribir la matriz en la forma siguiente

´ DE POISSON 5.1. ECUACION

89

A=

w w - 

=

w  -

w

= lu

Figura 5.1:

2. Utilizar transformada seno de Fourier r´ apida: Que consiste en diagonalizar la matriz A utilizando la matriz de senos S para tener desacoplando el sistema por cada fila. Para llevar a S −1 AS = cabo esto, simplemente observamos que, los autovectores son las columnas de la matriz S que tienen la forma   senπjh  sen2πjh     sen3πjh  (5.8)     . .   . senN πjh con sus autovalores correspondientes λj = 2−2cosπjh, j = 1, 2, . . . N , es decir se satisface la ecuaci´ on          2 −1 0 . . . 0 0 −1 2 −1 . . . 0 0 0 −1 2 . . . 0 0 . . . 0 0 0 . . . 2 −1 0 0 0 . . . −1 2          senπjh sen2πjh sen3πjh . . . . . . senN πjh    senπjh sen2πjh   sen3πjh    . . .   . .  . senN πjh (5.9)

         = λj       

Observar que (5.9) depende de sen0 = 0 y de sen(N + 1)πjh = senπj = 0 lo cual significa que los autovectores satisfacen las condi-

90 CAP´ ITULO 5. ECUACIONES EL´ IPTICAS: CONDICIONES DE CONTORNO

ciones de contorno. En el caso continuo existe una autofunci´ on senjπx para cada j . Pero en el caso discreto esto termina en j = N . Ahora podemos resolver el sistema (5.6) de la siguiente forma: (a) Calcular el producto C = S −1 F (b) Resolver el sistema diagonal Y =C (c) Obtener la soluci´ on, calculando el producto U = SY . observar que para efectuar los paso a) y c), se sigue el algoritmo de la transformada ra´ apida de Fourier (FFT), este algoritmo, no lo discutimos aqui en detalle, sin ambargo creemos que presentando los pasos importantes es suficiente saber que la complejidad es N log2 N , lo cual es una ventaja muy grande al ser comparado con la complejidad del algoritmo estandard, N 2 . 3. Utilizar m´ etodos iterativos: Para construir un m´ etodo iterativo, se utiliza una matriz M de manera que sumando el t´ ermino M U al sistema original obtenemos el sistema completamente equivalente M U = (M − A)U + F (5.10)

Ahora resolvemos (5.10) iterativamente por sustituci´ on sucesiva. Comenzamos con un dado inicial X0 que puede ser cero. Luego si al valor actual es Uk , en cualquier paso podemos obtener el nuevo ormula vector Uk+1 po la f´ M Uk+1 = (M − A)Uk + F (5.11)

es de esperar que el sistema (5.11) es simple de resolver, por que tenemos el control de la matriz M . Los m´ etodos mas importantes y usados en la practica son genrados por la elecci´ on de M y son los siguientes: (a) M´ etod de Jacobi: M = parte diagonal de A (b) M´ etod de Gauss-Seidel: M = parte triangular inferior de A (c) M´ etod de S.O.R.(sobrerlajaci´ on sucesiva): M = combinaci´ on de a) y b)

´ DE POISSON 5.1. ECUACION

91

El an´ alisis de convergencia de estos m´ etodos iterativos, indudablemente que tambi´ en depender´ a de la elecci´ on de la matriz M , pero que tambi´ en no lo discutimos aqui, (ver [4]-[5] para una discusi´ on detallada).

5.1.2

Caso bidimensional

Presentamos el problema bidimensional, donde el problema (5.1)-(5.2) toma la sguiente forma

  −  

∂2u ∂x2

+

∂2u ∂y 2

= f, = g (x, y )
Ω

en Ω = (0, 1) × (0, 1) (5.12)

u

Como presentamos el problema, el dominio consta del rect´ angulo unitario, la discretizaci´ on del dominio lo realizamos en forma homogenea,∆x = ∆y = h = 1/(N + 1). Las derivadas ∂ 2 u/∂x2 y ∂ 2 u/∂y 2 tienen aproximaci´ on de tres puntos, tanto en la direcci´ on x como en la direcci´ on y , combinando las dos direcciones obtenemos una mol´ ecula de cinco puntos como se presenta en la figura 5.2. Las incognitas a determinarse corresponden a los puntos de la malla, los cuales son un total de N 2 puntos enn el interior del dominio.

92 CAP´ ITULO 5. ECUACIONES EL´ IPTICAS: CONDICIONES DE CONTORNO

N

j+1 j j−1

{

(i, jx ) z
y

y

1 1 2 i−1 i i+1 N

Figura 5.2: Mol´ ecula de 5 puntos

La ecuaci´ on en diferencias tambi´ en se puede escribir en la siguiente forma (por simplicidad estamos considerando g = 0) (5.13) (−vi+1j + 2vij − vi−1j ) + (−vij +1 + 2vij − vij −1 ) = h2 fij , i, j = 1, . . . N vj 0 = 0 = vjN +1 , j = 0, . . . N + 1 vi0 = 0 = viN +1 , Las incognitas vij pueden ordenarse en una manera natural, empezando con v00 ,v10 , v20 ,. . ., vN 0 en la parte inferior del cuadrado. Este grupo oximo fila de puntos de la malla contribuyen ser´ a denotado por V0 . La pr´ a formar el grupo V1 . Movimentandonos en el cuadrado hacia arriba hasta llegar a las incognitas de la fila N + 1. El lado derecho f tambi´ en ser´ a ordenado en la misma forma. Ahora observamos que la ecuaci´ on de diferencias puede ser escrito en la siguiente forma para cada fila j

5.2. TRATAMIENTO DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO

93

−vij +1 + (−vi+1j + 4vij − vi−1j ) − vij −1 = h2 fij ,

i = 1, . . . N

este sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial conectando la fila j a las filas inferior y superior por −Vj +1 + T Vj − Vj −1 = h2 Fj , j = 1, 2, . . . N (5.14)

donde T es una matriz similar a la matriz A del sistema (5.6), con la diferencia que en la diagonal en lugar de 2 tenemos el valor 4. Utilizando los mismas t´ ecnicas como en el caso unidimensional el sistema matricial (5.14), se puede escribir como: KU = F donde : T −I 0 0  −I T −I 0   0 −I T −I  K=    0 0 0 0 0 0 0 0  ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 . . . . . . T −I . . . −I T         

Este sistema es de orden N 2 y es tridiagonal por bloques cuya soluci´ on puede ser obtenida por algunos de los m´ etodos estudiados en lel caso unidimensional, haciendo notar que cuando se utiliza el metodo de la transformada seno de fourier r´ apida los autovalores son de la forma λj = 4 − 2cosjπh

5.2

Tratamiento de las condiciones de contorno

Por lo general, siempre se especifica el valor de la solcuci´ on u en la frontera, en lo que se llama, la condici´ on de Dirichlet. Sin embargo; En muchos problemas, el valor de la derivada normal ∂u/∂n, en la frontera es especificada, en l que se llama, la condici´ on de Neumann. Para efectos de precisi´ on, tomemos el ejemplo anterior (5.12) con f = 0 y g = 0. Supongamos que el tama˜ no de la malla es homogeneo, es decir impongamos la condici´ on ∆x = ∆y = 1/3, los puntos numerados como se indica en la figura(5.3).

94 CAP´ ITULO 5. ECUACIONES EL´ IPTICAS: CONDICIONES DE CONTORNO

y 8 9 10 11

7

3

4

12

6

1

2

13

5

16

15

14 x

Figura 5.3: Numeraci´ on de los nodos de la malla

Por ejemplo, cuando se modela un reservorio con una frontera de roca impermeable, la condici´ on que no fluye agua a trav´ es de la frontera es expresada por ∂u/∂n = 0, donde u es el potencial Hidr´ aulico. En los generadores el´ ectricos la corriente fluyendo en los hilos el´ ectricos, genera calor que es irradiada en el medio ambiente. Este proceso es usualmente representado por una ecuaci´ on, tal como: ∂u/∂n = g (x, y, u) Para precisar consideremos la ecuaci´ on de Laplace en el siguiente problema modelo:  2 ∂ u ∂2u  0 < x < 1, 0<y<1  ∂x2 + ∂y2 = 0, ∂u (5.15) y=1 ∂y = 10,   u = 0, en todos los otros lados Es decir, en tres lados el rect´ angulo se aplica la condici´ on de la frontera de Dirichlet, mientras que en un lado u aplica la condici´ on de Neumann. La ecuaci´ on o el sistema de ecuaciones analoga a 5.7 obtenida es:      g6 + g16 4 −1 −1 0 u1  −1 4 0 −1   u2   g13 + g15       (5.16)  −1 0 4 −1   u3  =  g7 + g9  u4 g10 + g12 0 −1 −1 4

5.2. TRATAMIENTO DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO

95

En la ecuaci´ on (5.16) los valores nodales u9 y u10 son representados por g9 y g10 , los cuales no son especificados, en lugar de ellos tenemos las ∂u derivadas de los valores nodales ∂u etodos ∂y 9 , ∂y 10 tenemos varios m´ de tratar este problema. 5.2.1 M´ etodos de los puntos ficticios

Se introduce en la malla puntos ficticios, por ejemplo x9 ,x10 cuya ubicaci´ on esta fuera del dominio en donde se obtendran valores nodales ficticios u9 , u10 Luego aproximamos la derivada ∂u ∂y en la frontera por algun esquema de diferencias , como el esquema de diferencia central de 2do orden, por ejemplo en el nodo 9 escribimos ∂u ∂y resolviendo el valor ficticio u9 ≡ u3 + 2∆y ∂u ∂y ≡ u9 − u 3 2∆y

9

9

Sustituyendo este valor por la tercera equaci´ on de (5.16), obtenemos −u1 + 4u3 − u4 = g7 + 2∆y la cual despues de reordenarlo tenemos: −u1 + 3u3 − u4 = g7 + 2∆y 2 = 0 + (10) 3 ∂u ∂y (5.17)
9

∂u ∂y

9

(5.18)

De esta forma la ecuaci´ on (5.16) puede ser escrita en la forma      0 u1 4 −1 −1 0  −1 4 0 −1   u2   0        −1 0 3 −1   u3  =  20  3 −20 u4 0 −1 −1 3 3

(5.19)

96 CAP´ ITULO 5. ECUACIONES EL´ IPTICAS: CONDICIONES DE CONTORNO

5.2.2

Aproximaci´ on por series de Taylor (sin puntos ficticios)

Las aproximaciones de diferencias para puntos en la frontera, tambi´ en puede hacerse sin recurrir a puntos ficticios usando series de Taylor. Como veremos en el siguiente procedimiento, donde se present´ o una do aproximaci´ on de 2 orden. Expresndo los valores de u en los nodos 3 y 1 de la malla en t´ erminos del valor en el nodo 9 u3 = u9 − ∆y ∂u ∂y (∆y )2 + 2 9 (2∆y )2 + 2! 9 ∂ 2u ∂y 2 (5.20)
9

∂u u1 = u9 − (2∆y ) ∂y

∂ 2u ∂y 2

(5.21)
9

multiplicando la ecuaci´ on (5.20) por 4 y sustrayendo la ecuaci´ on (5.21) obtenemos: 4u3 − u1 = 4u9 − u9 − [4∆y − 2∆y ] resolviendo para
∂u ∂y 9

∂u ∂y

+ O(∆y 3 )
9

∂u ∂y

=
9

u1 − 4u3 + 3u9 − O(∆y 2 ) 2∆y u1 − 4u3 + 3u9 2∆y

As´ ı podemos hacer la aproximaci´ on ∂u ∂y ≡

9

Es una aproximaci´ on de segundo orden de la derivada en la frontera, resolviendo para u9 , tenemos u9 = 1 4u3 − u1 + 2∆y 3 ∂u ∂y
9

El cual puede identificarse como el valor perdido (no tenido) en (5.16) tomando la condici´ on de contorno de Dirichlet en el problema, la tercera ecuaci´ on (5.16) se transforma en 1 1 10] −u1 + 4u3 − u4 = 0 + [4u3 − u1 + 2 3 3

5.2. TRATAMIENTO DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO

97

la cual, reescribiendo es: 8 20 −2 u 1 + u3 − u 4 = 3 3 9 ´ o 20 2u1 + 8u3 − 3u4 = 3 Un an´ alisis similar en el nodo 10, de (5.16) se genera la ecuaci´ on −2u2 − 3u3 + 8u4 = 20 3

y el sistema de la ecuaci´ on puede ser escrita como   4 −1 −1 0 u1  −1 4 0 −1   u2    −2 0 8 3   u3 u4 0 −2 −3 8   0   0   =  20    
3 20 3



(5.22)

Este sistema, desde luego, es diferente del sistema (5.19) donde se usa puntos ficticios.

5.2.3

Fronteras irregulares y curvadas

Si la frontera del dominio no coincide con las lineas de la malla. Las ecuaciones de diferencias finitas correspondientes a los nodos ubicados en la vecindad inmediata de la frontera deben ser modificados ligeramente. Consideremos el problema con una frontera curvada como se muestra en la firgura (5.4), observe que los puntos A y B no pertencen a la malla, est´ an a una distancia escalada por los n´ umeros positivos a y b, menores que uno,

98 CAP´ ITULO 5. ECUACIONES EL´ IPTICAS: CONDICIONES DE CONTORNO

6

3 f

b∆ y

6

A f
f -

4 ? f


B

∆y
?

1 f

a∆x 2 f



∆x

-

Figura 5.4: Nodos pr´ ximos a frontera curvada

Eliminando (∂ 2 u/∂x2 )4 de las ecuaciones (5.23) y (5.24), tenemos ∂u 1 1 1−a a uB − u4 − u3 = (5.25) ∂x 4 ∆x a(1 + a) a 1+a el cual tiene orden de precisi´ on 2. De igual manera, siguiendo los mismos argumentos, la eliminaci´ on de (∂u/∂x)4 nos conduce a la siguiente f´ ormula 1 2 2 2 ∂ 2u uB + u3 − u4 = (5.26) 2 2 ∂x 4 ∆x a(1 + a) 1+a a Con precisi´ on de orden ∆x. As´ ı podemos seguir para el caso de la variable y 1 2 2 2 ∂ 2u (5.27) = + − u u u4 , A 2 ∂y 2 4 ∆y 2 b(1 + b) 1+b b con precisi´ on del orden ∆y .

La aproximaci´ on de diferencias para la primera y segunda derivada en un punto de la malla, tales como el punto 4, deber´ ıa ser modificado. Por ejemplo, utilizando la serie de Taylor ∂u (a∆x)2 ∂ 2 u + O(∆x3 ) (5.23) uB = u4 + (a∆x) 2 ∂x 4 2! ∂x 4 2 ∂u (a∆x) ∂ 2 u + O(∆x3 ) (5.24) u3 = u4 − (a∆x) 2 ∂x 4 2! ∂x 4

Cap´ ıtulo 6 Convergencia: problemas lineales y no lineales
En este cap´ ıtulo haremos un an´ alisis de esquemas de diferencias, en un nivel un poquito mas profundo, para problemas tambi´ en mas generales y no lineales. Basados en la experiencia de los cap´ ıtulos anteriores, por tanto se necesita un poco mas de cuidado en el an´ alsis de los mismos conceptos ya conocidos, haciendo ´ enfasis en los problemas no lineales, que por su naturaleza no tienen un tratamiento igual al caso de los lineales.

6.1

Estabilidad y Convergencia

Consideremos el (PVI) peri´ odico para sistemas lineales de Ecuacines Diferenciales Parciales, para x ∈ Rd , u ∈ Rm ∂ ∂u = P x, t, u, ∂t ∂x u(x, 0) = u0 (x) (6.1)

Suponga que u0 y los coeficientes son 2π peri´ odicos en todas las direcciones del espacio. 6.1.1 Discretizaci´ on del Dominio

Lo hacemos definiendo la malla de puntos {xj } com sigue: xj = (j1 h, . . . , jd h) , h = 2π/(N + 1), jη = 0. ± 1, ±2, . . . N un n´ umero natural
99

100CAP´ ITULO 6. CONVERGENCIA: PROBLEMAS LINEALES Y NO LINEALES

y el paso de tiempo k > 0 , el cual por conveniencia siempre es asumido de la forma k = λhp , donde λ > 0 y p es el orden del operador diferencial en el espacio 6.1.2 Discretizaci´ on de la Varialble

Simplemente definimos una funci´ on en la malla constru´ ıda anteriormente. 6.1.3 Discretizaci´ on de la Ecuaci´ on

Una aproximaci´ on de diferencias general se puede escribr en la forma Q−1 v
n+1 0 q

= =
σ =0 uσ 0,

Qσ v n−σ ,

n = q, q + 1, . . . ,

(6.2)

v

σ = 0, 1, . . . , q.

ındices, pero se Por simplicidad escribimos la funci´ on discreta v n sin sub´ entiende que la ecuaci´ on (6.2) es v´ alida en toda la malla. Los operadores de diferencias Qσ tienen coeficientes matriciales 2π peri´ odicos y pueden depender de x, t, k, h as´ ı como el dato inicial. Asumimos que el operador Q−1 es uniformemente acotado y tiene una 1 inversa uniformemente acotado Q− −1 cuando h, k −→ 0, de tal manera que podemos avanzar en la soluci´ on paso por paso. Para prop´ osito te´ oricos es conveniente reescribir la ecuaci´ on (6.2) como un esquema de un solo paso, usando la matr´ ız de companion, introduciendo los siguientes vectores.     un v n+q 0  v n+q−1   uq−1      (6.3) vn =   , u0 =  0.  . . .    .  . vn u0 0 La ecuaci´ on (6.2) ahora toma la forma vn+1 = Q(tn )vn , v0 = u0 , (6.4)

6.1. ESTABILIDAD Y CONVERGENCIA

101

donde  1 −1 −1 Q− Q Q Q . . . Q Q 0 1 q −1 −1 −1   I  Q(tn ) = Q(xj , tn ) =    I I 0 es la matr´ ız de Compani´ on. Por ejemplo, el esquema de Leap-frog puede ser escrito como   2kD0 I  vn vn+1 =  I 0 Ahora definimos el operador discreto Sh por vn = Sh (tn , tν )vn . En lo sucesivo los argumentos h, k ser´ an omitidos. Sh puede ser expresado explicitamente como
−p Sh (tn , tν ) = Πn µ=1 Q(tn−µ ),



(6.5)

(6.6)

(6.7)

Sh (tn , tn ) = I.

Si Q es independiente de t tenemos Sh (tn , tν ) = Qn−ν , Usamos la norma en L2 h como
q 1/2

(6.8)

vn

h

=
σ =0

v n+σ

2 h

,

(6.9)

y denotamos por Sh la norma del operador correspondiente. Ahora vamos a dar los conceptos necesarios de Estabilidad. Definici´ on 6.1.1. La Aproximaci´ on de diferencias (6.4) es estable para 0 < h < h0 , si existen constantes αs , C, Ks tal que para todo h
1 Q− −1 h

≤ C,

Sh (tn , tν )

h

≤ Ks eαs (tn −tν ) .

(6.10)

102CAP´ ITULO 6. CONVERGENCIA: PROBLEMAS LINEALES Y NO LINEALES

Esta definici´ on de estabilidad requiere la estimativa. vn
h

≤ K (tn ) u0 h ,

K (tn ) = Ks eαs tn

(6.11)

on incluye un factor sea v´ alida para toda funci´ on inicial u0 , la definici´ exponencial, puesto que el tratamiento debe incluir ecuaciones diferenciales que tienen soluciones de crecimiento exponencial, como por ejemplo ut = ux + u sobre cualquier intervalo finito [0, T ]. Ahora consideremos el caso donde la aproximaci´ on de diferencias incluye una funci´ on fuerza.
n+1 0 q

Q−1 v

= =
σ =0 uσ 0,

Qσ v n−σ + kF n , σ = 0, 1, . . . , q.

n = q, q + 1, . . . ,

(6.12)

v

Tambi´ en la ecuaci´ on (6.12) se puede escribir como esquema de un solo paso como, vn+1 = Q(tn )vn + k Fn , v0 = u0 ,
1 n T F = (Q− −1 F , 0, . . . , 0) ,

(6.13)

La versi´ on discreta del principio de Duhamel es dado en el siguiente lema Lema 6.1.1. La soluci´ on de las ecuaciones (6.13) pueden ser escritas en la forma
n−1 ν =0

v = Sh (tn , 0)u0 + k

n

Sh (tn , tν +1 )Fν .

(6.14)

Ahora pasamos a hacer estimativas de la ecuaci´ on (6.13) Teorema 6.1.1. Supongamos que el esquema de diferencias es estable, entonces las soluci´ on de la ecuaci´ on (6.13) satisface la estimativa vn donde φ∗ h (αS , tn )
n−1 h

≤ Ks eαS tn u0

h

+ φ∗ h (αS , tn ) max

0≤ν ≤n−1

Fν

h

=
ν =0

e

αS (tn −tν +1 )k

∼

t 0

eαS (t−ξ ) dξ = φ∗ (αS , tn ).

6.1. ESTABILIDAD Y CONVERGENCIA

103

Demostraci´ on. De la ecuaci´ on (6.14) podemos tener
n−1

v

n

h

≤ Sh (tn , 0)

h

u0

h

+ max

0≤ν ≤n−1

F

ν

h ν =0

Sh (tn , tν +1 ) h k

luego utilizando (6.10) se concluye la prueba. Este teorema muestra que es suficiente considerar aproximaciones homog´ eneas. Las estimativas para las ecuaciones no homog´ eneas se obtienen de la estabilidad. Ahora vamos a discutir la influencia de los errores de redondeo, que se cometen en cada paso. Estos se pueden interpretar como una ligera permutaci´ on de la ecuaci´ on en diferencias; pasamos en este momento a calcular la soluci´ on de Q−1 v
n+1 q

=
σ =0

Qσ v n−σ +

n

,

n

≤

(6.15)

en lugar de la ecuaci´ on (6.2). observe que es el orden de m´ aquina. n Sustrayendo la ecuaci´ on (6.2) de (6.15) y haciendo w = v n − v n obtenemos Q−1 w
n+1 q

=
σ =0

Qσ wn−σ +

n

.

(6.16)

Por tanto por el Teorema 6.1.1, tenemos wn
h

≤ C (tn ) . k

(6.17)

Si el error de truncaci´ on es del orden δ , entonces se requiere /k δ. A continuaci´ on estudiaremos el efecto de la perturbaci´ on de cada operador Qσ por un operador del orden O(k ). Por ejemplo si V n+1 = Q0 v n aproxima ut = ux entonces V n+1 = (Q0 + kI )v n aproxima ut = ux + u. Es conveniente saber que tal perturbaci´ on de orden k no causar´ a inestabilidad, puesto que a menudo podemos simplificar el an´ alisis ignorando t´ erminos de oreden k . Sea {Rσ } operadores con Rσ
h

≤ K1 ,

σ = −1, 0, . . . , q

(6.18)

104CAP´ ITULO 6. CONVERGENCIA: PROBLEMAS LINEALES Y NO LINEALES

En lugar de la ecuci´ on (6.2) consideremos (Q−1 + kR−1 )v
n+1 q

=
σ =0

(Qσ + kRσ )v n .

(6.19)

Ahora probaremos que la ecuaci´ on (6.19) es estable si la aproximaci´ on no perturbada (6.2) es estable. Para la prueba utilizamos el siguiente lema: Lema 6.1.2. Sea Q un operador acotado. Para kQ (I − kQ)−1
h h

<1

≤

1 1 − kQ

h

por tanto (I − kQ)−1 = I − k (I − kQ)−1 Q := I + kQ1 donde Q1
h

≤

Q h 1 − kQ

h

Teorema 6.1.2. Asumamos que el esquema (6.2) es estable y que la ecuaci´ on (6.18) es v´ alida. Entonces el esquema perturbado (6.19) es estable. Demostraci´ on. Usando el Lema anterior tenemos
1 −1 −1 (I + kR−1 )−1 = Q− −1 (I + kR−1 Q−1 )

Por tanto usando el lema anterior, podemos escribir la ecuci´ on (6.19) en la forma (6.20) vn+1 = (Q + kR)vn donde R es uniformemente acotado. Sea wn = e−βtn vn , β > 0. Entonces la ecuaci´ on (6.20) se transforma ˜n wn+1 = e−βk Qwn + ke−βk F donde ˜ n = Rw n . F El principio de Duhamel puede ser aplicado e la ecuaci´ on (6.21). ˜h (tn , tν ), corresponde a e−βk Q se escribe como El operador soluci´ on S on para la ecuaci´ on e−βk(n−ν ) QSh (tn , tν ), donde Sh es el operador soluci´ (6.4). (6.21)

6.1. ESTABILIDAD Y CONVERGENCIA

105

As´ ı e−βk(n−ν ) Sh (tn , tν )
h

≤ KS e(αS −β )(n−ν ) .

Ahora consideremos la ecuaci´ on (6.21) para 0 ≤ ν ≤ n y sea wµ Por el teorema 6.1.1 wµ
h h

= max wν
0≤ν ≤n

h.

≤ KS e(αS −β )tµ w0

h

+ constante φ∗ (αS − β, tµ ) wµ

h

La funci´ on φ∗ (α, t), definida en (6.1.1) decrece cuando α decrece. por tanto eligiendo β suficientemente grande, el factor que multiplica wµ h puede ser acotado por 1/2. Por tanto wn esto es ˜n v
h h

≤ wµ

h

≤ 2KS e(αS −β )tµ w0 h ,

para β

suf. grande;

˜0 ≤ 2KS eβtn +(αS −β )tµ v

h

˜ 0 h. ≤ 2KS eβtn v

prob´ andose el teorema. El teorema dice que podemos eliminar t´ erminos de orden k en el an´ alisis de estabilidad. A continuaci´ on veremos algunos conceptos que conducen a un mejor resultado de estabilidad. Definici´ on 6.1.2. Si el operador soluci´ on S (t, t0 ) del problema continuo satisface el estimado S (t, t0 ) ≤ Keα(t−t0 ) . El esquema de diferencias es estrictamente estable para 0 < h < h0 si Sh (t, t0 )
h

≤ KS eαS (t−t0 ) ,

αS ≤ α + O(h).

Por ejemplo, consideremos el problema ut = ux − u, u(x, 0) = f (x).

106CAP´ ITULO 6. CONVERGENCIA: PROBLEMAS LINEALES Y NO LINEALES

se cumple

S (t, t0 ) ≤ e−(t−t0 ) . v n+1 = v n + 2k (D0 v n − v n )

Sin embargo, el esquema de Leap-Frog

genera soluciones espurias tal que Sh (t, t0 )
h

≈ e(t−t0 ) .

El esquema es estable pero no estrictamente estable. El esquema modificado (I + k )v n+1 = 2kD0 v n + (I − k )v n−1 es estrictamente estable.

6.2

Consistencia y orden de precisi´ on

Definici´ on 6.2.1. Sea u(x, t) una funci´ on suave de (6.1) entonces el error de truncaci´ on local se define por
q

kτjn

= Q−1 u(xj , tn+1 ) −
σ =0

Qσ u(xj , tn−σ ).

(6.22)

El esquema de diferencias (6.2) tiene orden de precisi´ on (r,p) si para toda soluci´ on suficientemente suave u(x, t) existe una funci´ on L(tn ) talque para h ≤ h0 τ n h ≤ L(tn )(hr + k p ), (6.23) Si r > 0 p > 0 el esquema (6.2) se dice que es consistente. Como se asumi´ o una dependencia entre k y h , por ejemplo k = λhp1 entonces el lado derecho de (6.23) depende solamente de h. Ejemplo: el esquema de Leap-frog para ut = ux genera u(xj , tn+1 ) − 2kD0 u(xj , tn ) − u(xj , tn−1 ) = kτjk , h2 k2 = − uxxx (xj , tn ) + uttt (xj , tn ) + O(h4 , k 4 ) 3 3 es decir el esquema es consistente con orden de precisi´ on (2, 2). τjk (6.24)

´ 6.2. CONSISTENCIA Y ORDEN DE PRECISION

107

El esquema de DuFort-Frankel para ut = uxx tiene su error de truncaci´ on (dividido por 2). Para que sea consistente y se cumpla (6.15) es ı el error de truncaci´ on tiene la forma necesario que k = ch1+δ , δ > 0, as´ τ h2 2δ = ch utt − uxxxx (xj , tn ) + O(h2+4δ . 2 12 (6.25)

el orden de precsi´ on es min{2δ, 2}, (generalmente se asume δ = 1 para ecuaciones parab´ olicas). Tambi´ en es necesario que los datos iniciales del esquema de diferencias sea consistentes con la soluci´ on de la ecuac´ on diferencial. Para esquemas 0 de un solo paso el dato exacto u0 se puede usar, pero para esquemas de multiple paso, los primeros q pasos deben ser calculados usando otro esquema, generalmente se usan esquemas de un solo paso para calcular estos q primeros valores. Definici´ on 6.2.2. Los datos iniciales tienen orden de precisi´ on (r, p) si para toda soluci´ on suficientemente suave u(x, t) de (6.1) v σ − u(., σk )
h

≤ L1 (hr + k p ),

σ = 0, 1, . . . , q.

(6.26)

Los datos iniciales son consistentes si r > 0 y p > 0. Para que una una soluci´ on discreta converja a la soluci´ on exacta no es suficiente que sea consistente si no tambi´ en tiene que ser estable. Teorema 6.2.1. Sea la soluci´ on de (6.1) suave y el esquema (6.2) estable. Adem´ as suponga que los datos iniciales sean precisos de orden (r, p). Entonces sobre cualquier intervalo finito [0, T ] el error satisface v n − u(tn )
h

≤ KS eαS tn v 0 − u(0) = O(hr + k p ),

h

1 ∗ + Q− −1 h φh (α, tn ) max

0≤j ≤n−1

τj

h

es decir, las soluciones del esquema de diferencias converge cuando h −→ 0 a la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial. Demostraci´ on. Si la soluci´ on es sustitu´ ıda en el esquema de diferencias (6.2) entonces obtenemos
q

Q−1 u(xj , tn+1 ) =
σ =0

Qσ u(xj , tn−σ ) + kτjn .

(6.27)

108CAP´ ITULO 6. CONVERGENCIA: PROBLEMAS LINEALES Y NO LINEALES

n n Sea wj = u(xj , tn ) − vj . Sustrayendo la ecuaci´ on (6.2) de (6.27) obtenemos q n+1 = Q−1 wj σ =0 σ − vj , n−σ Qσ wj + kτjn ,

σ wj

= u(xj , σk )

σ = 0, 1, . . . , q

luego la estimativa se obtiene del teorema 6.1.1.

6.3

Problemas no lineales: Ecuaci´ on de Burger’s

La teor´ ıa de convergencia anteriormente presentada y basada en el teorema de Lax es v´ alida para problemas lineales, no se puede usar en la forma en que se presenta o no es exactamente aplicable a los problemas no lineales. Sin embargo la mayor´ ıa de problemas en aplicaciones son no lineales. Para intrdoucirnos en este estudio, presentamos el an´ alisis de un problema no lineal basado en la siguiente ecuaci´ on: ut + uux = αuxx (6.28) Llamada Ecuaci´ on de Burgers, en la que en general siempre se cumple α 1, por lo que generalmente se le conoce como ecuaci´ on de Burger’s a la siguiente ecuaci´ on (6.29) ut + uux = 0 Entonces para diferenciar llamaremos a la ecuaci´ on (6.28) como ecuaci´ on de Burger’s disipativa. 6.3.1 Esquemas de diferencias finitas

Para efectos del an´ alisis presentado aqu´ ı utilizaremos la ecuaci´ on disipativa. No haremos comparaci´ on de EDF, utilizaremos como ejemplo un solo esquema de diferencias (FTCS, sin embargo nuestro objetivo est´ a centrado en la convergencia con la presencia de la no linealidad. FTCS n+1 n n n n n − vj vj vj v n − vj −1 +1 − 2vj + vj −1 n j +1 + vj =α (6.30) k 2h h2 el cual se puede escribir en la forma k n n n+1 n n n n n vj vj +1 − vj (6.31) = vj − vj −1 + γ vj +1 − 2vj + vj −1 2h

6.3.

´ DE BURGER’S PROBLEMAS NO LINEALES: ECUACION

109

6.3.2

Consistencia

Sea φ una funci´ on suficientemente regular k2 φtt + o(k 3 ) 2! h2 h3 n n φj +1 = φj + hφx + φxx + φxxx o(k 4 ) 2! 3! 2 h h3 n n φj −1 = φj − hφx + φxx − φxxx o(k 4 ) 2! 3! sustituyendo en (6.30) se obtiene
+1 φn = φn j + kφt + j

φt + O(k ) + φ(φx + o(h2 )) = αφxx + o(h2 ) y de ello se obtiene φt + φφx − αφxx = O(k ) + o(h2 ) observamos que es consistente de orden (1, 2). 6.3.3 Estabilidad

Presentamos dos formas de an´ alisis de estabilidad: Algunos analistas ”congelan”el coeficiente no lineal y aplican el an´ alisis de Von Neumann, n n ijθ es decir, sea vj = g e en (6.31) se obtiene g n+1 eijθ = (1 − 2γ )g n eijθ − ( k k v − γ )g n ei(j +1)θ + ( v + γ )g n ei(j −1)θ 2h 2h

simplificando ( 2kh v − γ )g n eiθ se obtiene k k v − γ )eiθ + ( v + γ )e−iθ 2h 2h k θ = 1 − i v sin θ − 4γ sin2 2h 2 luego la condici´ on de estabilidad dice que g = (1 − 2γ ) − ( |g | = si y solo s´ ı k θ (1 − 4γ sin2 )2 + ( v sin θ)2 ≤ 1 2 h k θ (1 − 4γ sin2 )2 + ( v sin θ)2 ≤ 1 2 h

110CAP´ ITULO 6. CONVERGENCIA: PROBLEMAS LINEALES Y NO LINEALES

si y solamente s´ ı k θ |1 − 4γ sin2 | + |v || sin θ| ≤ 1 2 h de donde podemos decir que 1 θ ı γ≤ |1 − 4γ sin2 | ≤ 1 si y solamente s´ 2 2 de estas estimativas podemos decir que k |1 − 2γ | + |v | ≤ 1 h As´ ı se concluye que se elige estabilidad si se cumple la condici´ on k |1 − 2γ | + |v |max ≤ 1 h axiom para la funci´ on. donde |v |max es la norma del m´ Aplicando estos resultados a (FTCS) diremos que, este esquema es on estable seg´ un Von Neumann, si se elige γ = k/h2 y k/h tal que la soluci´ n on vj en cada paso de tiempo cumple con la condici´ k (1 − |1 − 2γ |). h Otra forma de analizar la estabilidad es la siguiente: Cosnsideremos las siguientes definiciones y notaciones |v |max ≤ Definici´ on 6.3.1. Decimos que el esquema es estable si se cumple v n+1 ≤ Keck v n , donde . es una norma apropiada.
Estabilidad usando la norma de la suma

K > 0,

c∈R

Por ejemplo considerando el esquema de diferencias anterior, escrito en la forma n+1 n n n n = vj − kvj D0 v j + kδ0 vj vj a fin de utilizar la norma de la suma √ n h = vj s
j

|vj |

6.3.

´ DE BURGER’S PROBLEMAS NO LINEALES: ECUACION

111

se tiene
n+1 n | ≤ |vj ||1 − 2γ | + |vj

k n n |v ||v | 2h j j +1

+ sumando
n+1 vj s

k n n n n |vj ||vj − | + γ |vj +1 | + γ |vj −1 | 2h k 2h
s

≤

n vj s |1 − 2γ | +

n n n n n |vj ||vj +1 | + |vj ||vj − | + 2γ vj j

s

n ≤ (|1 − 2γ | + 2γ ) vj

+

k n |v |max vj 2h vn
s

s

≤

|1 − 2γ | + 2γ +

k |v |max 2h

Como observamos en la u ´ltima expresion la estabilidad existe, pero depende de la soluci´ on misma y se debe cumplir |1 − 2γ | +2γ + 2kh |v |max ≤ 1, esta expresi´ on indica que la condici´ on es mucho mas restrictiva que la condici´ on obtenida por el criterio de Von Neumann.
Estabilidad usando la norma l2

Sea la norma
n vj 2

1/2

=

h
j

|vj |

n+1 vj

2 2

= =

n n n n n 2 n n n − 2k vj Dvj , vj + k 2 |vj D0 v j | − 2k 2 δ0 vj , v j D0 v j k n n n 2 n n +2k δ0 vj , vj + k 2 |δvj | (|1 − 2γ | + 2γ ) vj |v |max vj s+ 2h n vj

n n n n n n n n vj − kvj D0 v j + kδ0 vj , vj − kvj D0 v j + kδ0 vj 2 2

s

Veamos algunos lemas previos Lema 6.3.1. v
max

1 ≤√ v h

2

112CAP´ ITULO 6. CONVERGENCIA: PROBLEMAS LINEALES Y NO LINEALES

Demostraci´ on. v
2 max

:=

max |vj |
j 2 2

2

≤ max |vj |2 ≤
j j

|vj |2 ≤
j

|vj |2

h ≤h h

|vj |2
j

1 ≤ √ v h Lema 6.3.2. a) b) u, v u, v

≤ u ≤ u

2 2

v v

2 2

Desigualdad de Schwarz ≤
u 2 2+ v 2
2 2

Demostraci´ on. unicamente probemos la parte b) 0 ≤ = v − u, v − u = h
j

(vj − uj )(vj − ui ) = h
j 2 2

2 (vj − 2vj uj + u2 j)

v

2

− 2| u, v | + u

de donde se obtiene la desigualdad 2| u, v | ≤ v
2

+ u

2 2

Lema 6.3.3. Sean u, v y w funciones discretas tal que uv = {ui vi } u, vw ≤ v Demostraci´ on. u, vw = h
j max (

u

2

w 2)

uj v j w j ≤ h v
max max

max h j

uj w j

= ≤

v v

u, w | u 2 w

2

Lema 6.3.4. D0 v donde D+ v = vj +1 − vj ; h D− v = vj − vj −1 ; h D0 = D + + D− 2
2

≤ D+ v

2

= D− v

2

6.3.

´ DE BURGER’S PROBLEMAS NO LINEALES: ECUACION

113

Demostraci´ on. D0 v pero D+ v
2 2 2

≤

1 D+ v 2

2

+

1 D− v 2

2

= h
j

|D+ vj |2 = h
j

1 |vj +1 − vj |2 2 h |D− vj |2 = D− v
j 2 2 2 2

= h
j

1 |vj − vj −1 |2 = h 2 h D+ v
2 2

por tanto y de ello D0 v
2

= D− v + 1 D+ v 2

=

1 D+ v 2

2

2

= D+ v

2

Lema 6.3.5. v, δ0 v = − Dv , D− v Demostraci´ on. Sabemos que δ0 = D+ D− , entonces v, δ0 v = h
j

v j D+ D− v j = h
j

D− vj +1 − D− vj h vj −1 D− vj −
j j

=
j

vj D− vj +1 −
j

v j D− v j =

v j D− v j

=
j

(vj −1 − vj ) D− vj = −h
j

D− v j D− v j =

= − D− v, D− v

Corollary 6.3.1. v, δ0 v = − D− v
2 2

= − D+ v

2 2

Ahora pasemos a analizar la estabilidad del esquema (FTCS) para la ecuaci´ on de Burger’s. El esquema se puede escribir en la forma
n+1 n n n n = vj − kvj D0 v j + kγD+ D− vj vj

(6.32)

114CAP´ ITULO 6. CONVERGENCIA: PROBLEMAS LINEALES Y NO LINEALES

n tomando producto interno con vj a la ecuaci´ on anterior se tiene n+1 n , vj vj

≤ ≤

2 2 n 2 v 2

vn

n n n n n − kvj D0 v j , vj + kγD+ D− vj , vj

+ k vn

max

D0 v n

2

vn

2

− kγ D− v n

2 2

luego tenemos + k v n max D0 v n 2 v n 2 v n max n √ n 2 n v 2 ≤ v 2 + 2k γ D− v 2 √ 2 γ γ 1 vn 2 max n 2 n 2 D− v 2 + ≤ v 2 + 2k 2 2 4γ simplificando t´ erminos se tiene k n 2 n+1 n , vj ≤ 1 + vj vn 2 max 2 4γ
n+1 n vj , vj + kγ D− v n 2 2

≤

vn

2 2

vn

2 2

2 Si v n 2 max ≤ C entonces usando la desigualdad de Cauhy-Schwarz se cumple kC 2 n+1 vn 2 v 2 ≤ 1+ 4γ Observando la u ´ltima desigualdad se puede iterar hasta tener

v

n+1

2

≤

kC 2 1+ 4γ

n

v0

2

≤ e 4γ v 0

t0 C

(6.33)

podemos observar la desigualdad (6.33) y decir que no hay estabilidad, ıa incontrolable. Sin embargo puede haber convergencia si para t0 ser´ n y logramos que w satisfaga una ecuaci´ on hacemos w = u(tn , xj ) − vj como la (6.33). El siguiente lemma presenta una estimativa para w Lema 6.3.6. Si kC 2 /4γ < 1, entonces se cumple wn+1
2

≤ (1 + C1 k ) wn

2

+ kO(h2 )

con estos lemas podemos enunciar el teorema de converencia Teorema 6.3.1. Bajo las hip´ otesis de los lemas precedentes el error w satisface wn 2 = O(h2 ) wn
m ax

= O(h3/2 ).

6.3.

´ DE BURGER’S PROBLEMAS NO LINEALES: ECUACION

115

6.3.4

Implementaci´ on num´ erica

A continuaci´ on presentamos la implemetaci´ on num´ erica del esquema de diferenicias fnitas para resolver la ecuaci´ on de Burger’s no disipativa,es decir ut + uux = 0. Para esto debemos tambi´ en tener en cuenta la forma en que est´ a escrita la ecuaci´ on misma, lo cual har´ a que adem´ as del esquema utilizado , es muy importante tratar la ecuaci´ on mmisma, por ejemplo la ecuai´ on que estamos trabajando (6.29) tiene otra forma de escribirse, ut + 1 2 u 2
x

=0

(6.34)

llamada forma conservativa de la ecuaci´ on de Burger’s no dsipativa, an´ alsisis detallado de esquemas de diferencias no lo haremos en este trabajo, sin embargo haremos la implementaci´ on num´ erica con un mismo esquema de diferencias y haremos una comparci´ on de las mismas: El esquema FTCS para la forma no conservativa de la ecuaci´ on es:
n+1 n n n = vj − rvj D0 v j vj

(6.35)

con r = k/h y el esquema FTCS para la forma conservativa de la ecuaci´ on es: 1 n+1 n n 2 = vj − r D0 v j (6.36) vj 2 mas detalladamente
n+1 n = vj −r vj

1 2

n vj +1

2

n − vj −1

2

,

(6.37)

Utilizamos la condici´ on inicial  1 , x<0  1−x , 0≤x≤1 u0 (x) =  0 , x > 1.

(6.38)

En la figura (6.2), presentamos la soluci´ on num´ erica de la ecuaci´ n de Burger’s en ambos casos, para la forma conservativa y la no conservativa, utilizando en ambos casos, FTCS y en ambos casos tambi´ en se comparan con la solcuci´ on exacta. Lo mas destacable es que la discretizaci´ on en la forma conservativa es mas cercana a la soluci´ on exacta para t > 1, la cual es una onda de rerefacci´ on (ver [3] ) que en el caso de la forma

116CAP´ ITULO 6. CONVERGENCIA: PROBLEMAS LINEALES Y NO LINEALES

no conservativa, diriamos que la forma conservativa conserva la energ´ ıa inicial mucho mejor que la forma no conservativa; observando pues que en el caso no lineal existen otros aspectos que no lo tratamos aqu´ ı sin embargo si el lector desea concer algo mas de estos t´ opicos recomendamos [3],[2] y la bibliogra´ ıa citada all´ ı.

No conservativo 1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

(a)

Figura 6.1: Soluci´ on num´ erica de la ecuaci´ on de Burger: Forma No conservativo, en t=90k= 1m., h=1/20 , k=2h/3,

6.3.

´ DE BURGER’S PROBLEMAS NO LINEALES: ECUACION

117

Conservativo 1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

(b) Figura 6.2: Soluci´ on num´ erica de la ecuaci´ on de Burger: Forma conservativa, en t=90k= 1m., h=1/20 , k=2h/3,

118CAP´ ITULO 6. CONVERGENCIA: PROBLEMAS LINEALES Y NO LINEALES

BIBLIOGRAFIA
[1] Farlow, Stanley J., Partial Diferential Equations: for Scientists and Engineers, Jhon Wiley & Sons, New York, 1982. [2] Gustafsson,Bertil ; Kreiss, Heinz-otto & Oliger, Joseph Time Dependent Problems and Difference Methods Wiley-Interscience Publication. Jhon wiley & Sons, INC; New York; 1995. [3] Sod, Gary A. Numerical Methods in Fluid Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1987. [4] Strange, G. Introductiona to Applied Mathematics , WellesleyCambridge Press, Massachusetts, 1990. [5] Strikwerda, Q. Numerical Methods for Partial Differential Equations, Edit. New York, 1994. [6] Tijonov, A.N. y Samarsky A.A. Ecuaciones de la F´ sica Matem´ atica. Edit. MIR, Mosc´ u, 1983. [7] Weinberger,Hans F. Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Edit. Revert´ e, S.A. Barcelona, Traducido por Velez C., F. y Lin´ es E., E. de Partial Diferential Equations, Edit. Blaisdel, 1965.

119