Ejercicios EDP

Published on November 2016 | Categories: Documents | Downloads: 33 | Comments: 0 | Views: 363
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Sergio Yansen Núñez
Ecuaciones Diferenciales Parciales EDP
Actividad Nº1
Resuelva:
?>> œ #&?BB  -9=ÐBÑ ,

!
B
1

"
?Ð!ß >Ñ œ  ?Ð1ß >Ñ œ #&

,

?ÐBß !Ñ œ

-9=ÐBÑ
#&

 =/8Ð#BÑ ,

ß

>!

>!
?> ÐBß !Ñ œ =/8ÐBÑ

,

Solución:
Consideremos
?ÐBß >Ñ œ ?:  ?2
Determinemos ?: œ :ÐBÑ que satisface:
?>> œ #&?BB  -9=ÐBÑ
"
?Ð!ß >Ñ œ  ?Ð1ß >Ñ œ #&
Se tiene:
! œ #&:ww ÐBÑ  -9=ÐBÑ
:ww ÐBÑ œ 

-9=ÐBÑ
#&

Ê

:w ÐBÑ œ 

=/8ÐBÑ
#&

Ê

:ÐBÑ œ

"
?Ð!ß >Ñ œ #&
"
?Ð1ß >Ñ œ  #&

Luego,

 -"

-9=ÐBÑ
#&

 -" B  -#

Ê

"
:Ð!Ñ œ #&

Ê
?: œ

Ê

"
:Ð1Ñ œ  #&
-9=ÐBÑ
#&

-# œ !
Ê

-" œ !

!
B
1

Sergio Yansen Núñez
Determinemos ?2 que satisface:
?>> œ #&?BB
?Ð!ß >Ñ œ ?Ð1ß >Ñ œ !
Consideremos ?2 ÐBß >Ñ œ \ÐBÑX Ð>Ñ
Reemplazando en ?>> œ #&?BB se obtiene:
\X ww œ #&\ ww X
X ww
#&X

ww
œ \\ œ -

Resolviendo el problema:
\ ww  -\ œ !
BÐ!Ñ œ BÐ1Ñ œ !
Problema conocido, del cual se obtiene como solución:
\5 ÐBÑ œ -5 =/8Ð5BÑ ß -5 œ  5# con 5 − 
Resolviendo el problema:
X ww
#&X

œ -5

X ww
#&X

œ  5#

X ww  #&5# X œ !
La solución de esta ecuación es:
X5 Ð>Ñ œ !5 -9=Ð&5>Ñ  "5 =/8Ð&5>Ñ à 5 − 
Luego, ?5 ÐBß >Ñ œ -5 =/8Ð5BÑ Ð!5 -9=Ð&5>Ñ  "5 =/8Ð&5>ÑÑ
?5 ÐBß >Ñ œ E5 =/8Ð5BÑ-9=Ð&5>Ñ  F5 =/8Ð5BÑ=/8Ð&5>Ñ à 5 − 

Sergio Yansen Núñez
Por superposición:
_

?2 ÐBß >Ñ œ ! ÐE5 =/8Ð5BÑ-9=Ð&5>Ñ  F5 =/8Ð5BÑ=/8Ð&5>ÑÑ
5œ"

?ÐBß >Ñ œ ?:  ?2
_

?ÐBß >Ñ œ

-9=ÐBÑ
#&

 ! ÐE5 =/8Ð5BÑ-9=Ð&5>Ñ  F5 =/8Ð5BÑ=/8Ð&5>ÑÑ

?ÐBß !Ñ œ

-9=ÐBÑ
#&

 =/8Ð#BÑ

-9=ÐBÑ
#&

5œ"

 =/8Ð#BÑ œ

-9=ÐBÑ
#&

_

 ! E5 =/8Ð5BÑ
5œ"

_

=/8Ð#BÑ œ ! E5 =/8Ð5BÑ
5œ"

Por tanto, E# œ " ß E5 œ ! para 5 −   Ö#×
_

?> ÐBß >Ñ œ ! Ð  &5E5 =/8Ð5BÑ=/8Ð&5>Ñ  &5F5 =/8Ð5BÑ-9=Ð&5>ÑÑ
5œ"

?> ÐBß !Ñ œ =/8ÐBÑ
_

=/8ÐBÑ œ œ ! &5F5 =/8Ð5BÑ
5œ"

F" œ "&

F5 œ ! para 5 −   Ö"×

Luego,
?ÐBß >Ñ œ

-9=ÐBÑ
#&

 =/8Ð#BÑ-9=Ð"!>Ñ  "& =/8ÐBÑ=/8Ð&>Ñ

Sergio Yansen Núñez
Actividad Nº2
Sean J" , J# , X! constantes. Considere el problema:
?> œ ?BB

,

!
B
#

,

>!

?B Ð!ß >Ñ œ J"

,

?B Ð#ß >Ñ œ J#

,

>!

?ÐBß !Ñ œ X!

,

!
B
#

Resuelva el problema, considerando J" œ J# œ "
Solución:
Sea ?ÐBß >Ñ œ ?2  ?: , donde ?2 es solución de ecuación homogénea con condiciones
de borde homogéneas, y ?: es una solución particular.
Consideremos ?: œ 0 ÐBÑ que satisface:
?BB œ ! (pues ?> œ ?BB y ?> œ !)
?B Ð!ß >Ñ œ " , ?B Ð#ß >Ñ œ "
0 ww ÐBÑ œ !

?BB œ !

Ê

Ê

Además,

0 w Ð!Ñ œ " ß 0 w Ð#Ñ œ "

0 ÐBÑ œ +B  ,

0 w Ð!Ñ œ " Ê + œ "
0 w Ð#Ñ œ " Ê + œ "
0 ÐBÑ œ +B  , ß donde + œ " y , − ‘ . Para obtener una solución particular,
consideremos , œ !Þ
Por tanto, ?: œ B es una solución particular.
La solución homogénea ?2 satisface:
?> œ ?BB
?B Ð!ß >Ñ œ ?B Ð#ß >Ñ œ !

Sergio Yansen Núñez
Sea ?2 ÐBß >Ñ œ \ÐBÑX Ð>Ñ, reemplazando en ?> œ ?BB se obtiene:
\X w œ \ ww X
Xw
X

ww
œ \\ œ -

Resolviendo el problema:
\ ww  -\ œ !
\ w Ð!Ñ œ \ w Ð#Ñ œ !
se obtiene las funciones propias y valores propios:
# #

\5 ÐBÑ œ -9=Š 5#1 B‹ , -5 œ  5 %1 con 5 − !
Xw
X

œ -5 Ê X5 Ð>Ñ œ -5 /-5 > œ -5 /
_

?2 ÐBß >Ñ œ ! E5 -9=Š 5#1 B‹/

5 # 1#
% >

5 # 1#
% >

5œ!

_

?ÐBß >Ñ œ B  ! E5 -9=Š 5#1 B‹/

5 # 1#
% >

5œ!

_

?ÐBß !Ñ œ X! Ê X! œ B  ! E5 -9=Š 5#1 B‹
5œ!

_

X!  B œ ! E5 -9=Š 5#1 B‹
5œ!

E! œ #% '! ÐX!  BÑ.B œ X!  "
#

E5 œ ## '! ÐX!  BÑ-9=Š 5#1 B‹.B œ 5#%1# Ð"  Ð  "Ñ5 Ñ
#

Luego,
_
Ð#8"Ñ
Ð#8"Ñ1

"
%
?ÐBß >Ñ œ B  X!  "  1)# ! Ð#8"Ñ
B
/

# -9=Š
#
8œ"

# 1#

>

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