Ejercicios Resueltos de Dinámica-Bedford

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Universidad Nacional San Cristóbal De
Huamanga
Facultad De Ingeniería Minas, Geología Y
Civil
Escuela De Formación Profesional De
”Ingeniería Civil”

Resolución de Problemas

Mecánica para Ingeniería (Bedford-Fowler)
”Cinemática de Partícula y cuerpo Rígido”
Asignatura :Dinámica (IC-246)
Alumnos :

z

Calderón Quispe, Gilmer

z

Navarro Bautista, Paul

z

Maldonado Carlos, Juan José

z

Infante Leva , Samuel

Docente : Ing. Cristian Castro Pérez

Ayacucho - Peru - 2013

Universidad Nacional san Cristóbal de Huamanga
Escuela de Formación Profesional Ing. Civil
Departamento Académico de Ingeniería Minas y civil

Problemas
1.

Problema 2.33

Si Θ=1 rad Y dΘ/dt = 1rad/s, ¿cual es la velocidad de P con respecto de O? Estrategia: se
puede escribir la posición de P respecto de O como:
s = (2pie) cos θ + (2pie) cos θ
Y luego calcular la derivada de esta expresión con respecto al tiempo para determinar la velocidad.

2m

2m

O
P
s

Solución

La ubicación de P desde el punto O está dado por:
s = 2 cos θ + 2 cos θ = 4 cos θ
derivando respecto del tiempo para hallar la velocidad
ds

= −4senθ
dt
dt
Evaluando para θ = 1rad y

ds
dt

= 1rad/s
ds
= −4sen(1rad) = −3,37m/s
dt

2.

Problema 2.53

Un oscilador consiste en una masa y un resorte conectados como se muestra. La coordenada
s mide el desplazamiento de la masa respecto a su posición cuando el resorte no esta estirado.
Si el resorte es lineal, la masa esta sometida a una desaceleración proporcional a s. Suponga que
a = −4sm/s2 , y que la masa tiene una velocidad v = 1m/s en la posición s = 0.

Dinámica

# 2 "

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s

a) ¿Qué distancia se moverá la masa hacia la derecha antes de que el resorte se detenga?
b) )¿Qué velocidad tendrá la masa cuando regrese a la posición s = 0?
Solución
como la aceleracion esta en funcion de ”S” usaremos:
vdv = ads
Del datoa = −4s sustituyendo
vdv − 4sds
integramos
4s2
v2
=−
+C
2
2
v2
= −2s2 + C
2

(1)

Para v(0) = 1m/s y s = 0 en (1)
(1)2
1
= −2(0)2 + C −→ C =
2
2
Quedando la ecuacion (1) de la forma
v2
1
= −2s2 +
2
2
a) La velocidad es cero cuando se detiene entonces.

(α)

(0)2
1
= −2s2 +
2
2
quedaría
1
s=± m
2
la distancia que se mueve hacia la derecha
1
∴s= m
2
Dinámica

# 3 "

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b) La velocidad para s = 0
De la ecuacion α
1
v2
= −2(0)2 +
2
2
v = ±1m/s
como el móvil regresa
v = −1ˆim/s

3.

Problema 2.82

un automóvil viaja a 100km/h sobre un camino recto con pendiente creciente cuyo perfil
vertical se puede aproximar con la ecuación mostrada. Cuando la coordenada horizontal del
automóvil es x = 400m, ¿Cuál es su aceleración?
y

y = 0.0003x 2

x

Solución
Datos
v = 100Km/h = 27 78m/s
2

y = 0 0003x

con

c = 0 0003

⇒ y = cx2

sabemos que:
v=

p
x˙ 2 + y˙ 2

(I)

derivando la ecuación de la trayectoria
y˙ = 2cxx˙

(II)

Remplazando en la expresión(I)
q
v = x˙ 2 + (2cxx)
˙ 2
despejamos x˙
v
x˙ = q
1 + (2cx)2

Dinámica

(III)

# 4 "

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remplazamos para x = 400m
x˙ = 27 013m/s
Derivamos nuevamente (III)
x
¨=

−4vcx2
(1 + (2cx))3/2

remplazamos para x = 400m
x
¨ = −0 099m/s2
Derivando la ecuación (II )
y¨ = 2c(x˙ 2 + x¨
x)
y¨ = 0 414m/s

Remplazando para x = 400m

2

La aceleración será


~a = −0 099ˆi + 0 414ˆj m/s2

4.

Problema 2.107

un automóvil incrementa su velocidad a una razón constante de 40mi/h en A y a 60mi/h en
B. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración 2s después de que pasa por el punto A?
y

120 pies
30°

B

A
30°

80 pies

80 pies

x

100 pies

Solución
Datos:
vA = 40mi/h ⇒ 58 667pies/s
vB = 60mi/h ⇒ 88 0pies/s
Partamos de:
vdv = ads
Dinámica

a=cte (condición del problema)
# 5 "

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Integrando
v 2 = 2as + C

para vA = 58 667pies/s; s = 0

2

C = v − 2as = 3441 817
de v 2 = 2as + C hallamos la aceleración
a=

v2 − C
2s

Remplazando para vB = 88pies/s

30
π(120 + 100)
180
s = 275 192pies
s = 80(2) +

(88)2 − 3441 817
2(275 192)
a = 7 816pies/s2

a=

La velocidad en funcion del tiempo
⇒ 58 667 + (7 816)t

v(t) = vA + at
1
s(t) = vA + at2
2
v(2) = 74 299pies/s

⇒ 58 667t + 12 (7 816)t2

s(2) = 132 966pies
Hallando aceleracion normal
an =

Ubicado en el primer arco
v2
R

(74 299)2
120
an = 46 003pies/s2
q
∴ |a| = (46 003)2 + (7 816)2
an =

|a| = 46 662pies/s2

5.

Problema 2.132

La barra gira en el plano x − y de la figura con velocidad angular constante ω0 = 12rad/s. La
componente radial de la aceleración del collarín C es ar = −8r. Cuando r = 1m, la componente
radial de la velocidad de C es vr = 2m/s. Determine la componente radial y transversal de la
velocidad de C cuandor = 1,5m.

Dinámica

# 6 "

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y

v0

C

r
x

Solución:
Usando la regla de la cadena y escribiendo en términos de la aceleración radial
d2 r
dvr
dvr dr
dvr
=
=
=
vr
2
d t
dt
dr dt
dr
Luego tenemos
d2 r

− r( )2 = −8r
2
d t
dt
dθ 2
d2 r
= ([ ] − 8)r = (122 − 82 )r
d2 t
dt
ar =

⇒ 136r rad/s2

Calculando la velocidad radial
dvr
d2 r
= vr
= 136r
2
d t
dr
Zvr
Z1 5
vr dvr = 136 rdvr
2

vr2
2

1



22
2

= 136(

1 52 12
− )
2
2

Resolviendo obtenemos
vr = 13 2 m/s
Ademas tenemos
vθ = r


= (1 5)(12)
dt

⇒ vθ = 18 m/s

De esta manera tenomos:
~ = 13 2ˆ
V
er + 18ˆ
eθ m/s
Dinámica

# 7 "

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6.

Problema 2.150

Dos automóviles A y B se aproximan a una intersección. A viaja a 20m/s y va desacelerando
a 2m/s2 , y B viaja a 10m/s y va desacelerando a 3m/s2 . En el sistema coordenado fijo a la
tierra mostrado, determine la velocidad de A respecto a B y la velocidad de B respecto a A.

Solución:
Se toma com origen de cooerdenadas la interseccion de su trayectoria
~vA = −20ˆi y ~vB = 10ˆj
~vA/B esta dado por ~vA/B = ~vA − ~vB
~vA/B = −20ˆi − 10ˆj
p
vA/B = (−20)2 + (−10)2



vA/B = 22 36 m/s

~B/A
De forma analoga para V
~vB/A = 10ˆj − (−20ˆi) = 10ˆj + 20ˆi

vB/A = 500 ⇒ vB/A = 22 36 m/s

7.

Problema 2.171

Un río fluye hacia el norte a 3m/s (suponga que la corriente es uniforme). Si se quiere viajar
en línea recta del punto C al punto D en un bote que navega a velocidad constante de 10m/s
respecto al agua, ¿en qué dirección debe apuntar el bote? ¿Cuánto tarda en efectuar el cruce?
será

Dinámica

# 8 "

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3 m/ s
D

N

400 m

E

W
S
C
500 m

Solución:
Asumiendo un angulo θ medido desde el este
~vbote/tierra = ~vbote/agua + ~vagua/tierra
~vbote/agua = 10(cosθˆi + sinθˆj)
~vagua/tierra = 3m/sˆj
~vbote/tierra = [(10cosθˆi) + (3 + 10sinθˆj)]
Queremos que el bote viaje en ángulo
tanφ =

400
500

Por consiguiente tenemos:
3 + 10sinθ
400
=
10cosθ
500

⇒ θ = 25 11◦

Calculando la velocidad absoluta
v=

p

(10cosθ)2 + (3 + 10sinθ)2



v = 11 60m/s

Por lo tanto el tiempo será

d
5002 + 4002
t= =
v
11 60
t = 55 2 s

Dinámica

# 9 "

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8.

Problema 2.194

La velocidad v = 2m/s es constante. ¿Cuáles son las magnitudes de la velocidad y aceleración
del punto P cuando x = 0,25m?
y
y = 0.2 sin π x
P
x

1m

Solución:
Hallando el tiempo para x = 0,25
x = 2t

(M RU )

t = 0 125s
De la ecuacion y = 0 2sin(2πt) derivamos
dy
= 0 4πcos(2πt)
dt
d2 y
= −0 8π 2 sin(2πt)
d2 t

(Velocidad)
(Aceleración)

Remplazando para t = 0 125s y y = 0 141
dy
= vy = 0 889 m/s
dt
d2 y
= ay = −5 58 m/s2
d2 t
POr consiguiente hallaremos los módulos
q
vx2 + vy2
p
|a| = a = a2x + va2
|v| = v =

9.



2 19 m/s



5 58 m/s2

Problema 6.13

La placa rectangular oscila con brazos de igual longitud. Determine el vector de velocidad de
(a) La placa rectangular (b) La barra AB

Dinámica

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y

A

D

10 rad/s
B

x

C

Solución:
Como se ve en la figura el cuadrilatero ABCD siempre forma un paralelogramo dado que AD =
BCyAB = DC y por tanto necesariamente AD//BC y AB//DC.
β=θ
β˙ = θ˙
ωBC = ω

(porserunparalelogramo)


ωAB = ωAC = 10rad/s

00

De la figura
~ = AB(−cosθ, −sinθ)
AB
~ = DC(−cosβ, −sinβ)
DC

(I)
(II)

(I ) Y (II ) iguales
hallando la parte a)
La barra AB por ser un cuerpo rigido todos los puntos de este poseen igual velocidad angular y
que apunta en la direccion de eje Z +
ˆ
ω
~ AB = 10krad/s
hallando la parte b)
~vB = w
~ × ~rAB

(I)

00

~vC = ~vB + w
~ × ~rBC

(II)

~vC = ω
~ × ~rDC ; Ademas ~rAB = ~rDC

(III)

De las ecuacones (I),(II) y (III)
00

~vB + w
~ × ~rBC = ω
~ × ~rDC
00
w
~ × ~rAB + w
~ × ~rBC = 10kˆ × ~rAB
00
w
~ × ~rBC = 10kˆ × (~rAB − ~rAB )
00

w
~ × ~rBC = (0, 0, 0)
00

w
~ = (0, 0, 0)rad/s
Dinámica

# 11 "

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10.

Problema 6.41

En la fig. p6.41, si ωAB = 2rad/s y ωBC = 4rad/s, ¿Cuál es la velocidad del punto C, donde
el cubo de la excavadora está conectado?
y
B
v BC

vAB

C

5.5 m

5m
A
1.6 m
x
4m

3m

2.3 m

Solución:
Hallando el radio vector
~rA/B = 3ˆi + (5,5 − 1,6)ˆj = 3ˆi + 3,9ˆj(m)
Calculando la velocidad ene el punto B
~vB = ω
~ AB × ~rA/B


ˆi ˆj kˆ
~vB =  0 0 2  = −7 8ˆi + 6ˆj(m/s)
3 3 9 0
Encontrando el radio vector BC que es:
~rC/B = 2 3ˆi + (5 − 5 5)ˆj = 2 3ˆi − 0 5ˆi
Hallando la velocidad en el punto C
~vC = ~vB + ω
~ BC × ~rC/B


ˆi
ˆj

~vC = −7 8ˆi + 6ˆj +  0
0
−4 
2 3 −0 5 0
~vC = −9 8ˆi − 3 2ˆj m/s

11.

Problema 6.83

En la fig. p6.85, si ωAB = 2rad/s, αAB = 2rad/s2 , ωBC = −1rad/s, y αBC = −2rad/s2 ,
¿Cuál es la aceleración del punto C donde se conecta el cucharón de la excavadora?

Dinámica

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y
B
v BC

vAB
aA B

aB C

5.5 m

C

5m
A
1.6 m
x
4m

3m

2.3 m

Solución:
De la grafica hallando los puntos A, B,y C medidos del extremo inferior izquierdo
~rA = 4ˆi + 1 6ˆj
~rB = 7ˆi + 5 5ˆj
~rC = 9 3ˆi + 5ˆj
Calculando los vectores de posición relativos
~rB/A = rB − rA =⇒ (7ˆi + 5 5ˆj) − (4ˆi + 1 6ˆj) = 3ˆi + 3 9ˆj
~rC/B = rC − rB =⇒ (9 3ˆi + 5ˆj) − (7ˆi + 5 5ˆj) = 2 3ˆi − 0 5ˆj
Encontrando la aceleración del punto B
2
~aB = α
~ AB × ~rB/A − ωAB
~rB/A


ˆi ˆj kˆ

~aB =
0 0 2  − (22 )(3ˆi + 3 9ˆj)
3 3 9 0
~aB = 2(−3 9ˆi + 3ˆj) − 4(3ˆi + 3 9ˆj) = −19 8ˆi − 9 6ˆj m/s2

La aceleración del punto C en términos de la aceleración en el punto B es:
2
~aC = ~aB + α
~ BC × ~rC/B − ωBC
~rC/B


ˆi
ˆj

~aC = −19 8ˆi − 9 6ˆj +  0
0 −4  − 12 (2 3ˆi − 0 5ˆj)
2 3 0 5 0
~aC = −24 1ˆi − 18 3ˆj m/s2

12.

Problema 6.110

La velocidad angular ωAC = 50 /s. Determine la velocidad angular del actuador hidráulico
BC y la razón a la que se extiende.

Dinámica

# 13 "

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C

aA C

2.4 m

v AC
A

B

1.4 m

1.2 m

Solución:
Transformando la velocidad angular
ωAC = 5(

π
) = 0 0873 rad/s
180

La velocid del punto C está dado por
~vC = ω
~ AC × ~rC/A


ˆi
ˆj

~vC =  0
0 ωAC  = −2 2094ˆi + 0 2269ˆj m/s
2 6 2  4
0

(I)

Hallando el vector unitario paralelo al actuador BC
1 2ˆi + 2 4ˆj
eˆ = √ 2
= 0 4472ˆi + 0 8944ˆj
1 2 + 2  42
La velocidad del punto C en términos de la velocidad del actuador está dado por:
~vC = vC rel~e + ω
~ BC × ~rC/B

ˆi
ˆj

~vC = vC rel(0 4472ˆi + 0 8944ˆj) +  0
0 ωBC 
1 2 2  4
0
ˆ
ˆ
ˆ
~vC = vCrel (0 4472i + 0 8944j) + ωBC (−2 4i + 1 2ˆj)


(II)

Comparando las ecuaciones (I ) y (II )

Dinámica

0 2094 = 0 4472vCrel − 2 4ωBC

(III)

0 2269 = 0 8944vcrel + 1 2ωBC

(IV )
# 14 "

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Resolviendo las ecuacones (III ) y (IV )
ωBC = 0 1076 rad/s
vCrel = 0 109 m/s
Que es también la velocidad de extensión del actuador

13.

Problema 6.134

Un automóvil A en latitud norte L viaja hacia el norte en una carretera con orientación nortesur a una velocidad constante . Determine las componentes X,Y,Z de la velocidad y aceleración
del automóvil (a) respecto al sistema coordenado fijo a la Tierra mostrado; (b) respecto a un
sistema coordenado sin giro con su origen en el centro de la Tierra.
N
y
x
A
L
B

RE

Solución:
a) Hallando la velocidad y la aceleración respecto al coordenado fijo a la tierra
~vrel = vˆj
~arel =

−v 2 ˆ
i
RE

El movimento que describe es un circulo

b) Hallando respecto a un sistema coordenado sin giro
~vA = ~vArel + ω
~ E × ~rA/B + ~rB (~vB = 0)
~va = vˆj + (ωE sinLˆi + ωE cosLˆj) × REˆi
~va = vˆj − ωE RE cosLkˆ
~aA = ~aB + ~aArel + 2~
ωE × ~vArel + α
~ × ~rA/B + ω
~ E × (~
ωE × ~rA/B )
donde ωE esta dado por:
ω
~ E = ωE sinLˆi + ωE cosLˆj

y

~ E ˆi
~rA/B = R

v2 ˆ
ˆ
i + 2vωE sinLkˆ + (ωE sinLˆi + ωE cosLˆj) × (−ωE RE cosLk)
RE
v2
2
2
~aA = −(
+ ωE
RE cos2 L)ˆi + (ωE
RE sinLcosL)ˆj + 2vωE sinLkˆ
RE
~aA = 0 −

Dinámica

# 15 "

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