Evans

A

Construction du lieu d’Evans

(z)
On ´etudie le lieu d’Evans du syst`eme H(z) = N
e par un gain de r´etroaction K. On
D(z) boucl´
trace le lieu des racines de P (z) = D(z) + KN (z). Soit la fonction de transfert sous la forme :
Pm
z − zi
H(z) = P1n
z
1 − pi

R`
egle 1 (Points de d´
epart et points d’arriv´
ee)
Les n branches du lieu d’Evans partent, pour k = 0, des pˆ
oles de la boucle ouverte. Elles aboutissent,
pour k → +∞, soit aux z´eros de la boucle ouverte, soit a
` infini suivant les directions asymptotiques.
R`
egle 2 (Nombre de directions asymptotiques)
Il existe n − m directions asymptotiques.
R`
egle 3 (Sym´
etie)
Le lieu d’Evans est sym´etrique par rapport a
` l’axe r´eel.
R`
egle 4 (Parties du lieu sur l’axe r´
eel)
Un point de l’axe r´eel appartient au lieu des racines si, et seulement si le nombre de points critiques
(pˆ
oles ou z´eros) de la boucle ouverte situ´es a
` sa droite sur cet axe est impair, chaque point ´etant
compt´e autant de fois que son ordre de multiplicit´e.
R`
egle 5 (Angles des asymptotes)
Les asymptotes des n − m branches a
` l’infini font avec l’axe r´eel des angles
(2λ + 1)π
avec λ = 0, 1, · · · , n − m − 1
n−m
R`
egle 6 (Point de convergence des asymptotes sur l’axe r´
eel)
Les asymptotes des n − m branches a
` l’infini se coupent toutes en un point de l’axe r´eel d’abscisse :
Pn
Pm
1 pi −
1 zj
ρ=
n−m
R`
egle 7 (Angles de d´
epart d’un pˆ
ole et d’arriv´
ee en un z´
ero)
Si px est un pˆ
ole de la boucle ouverte, r´eel ou complexe, d’ordre de multiplicit´e qx , les angles de
d´epart des qx branches qui partent de px sont donn´es par :


m
n
X
1 X
φx =
arg(px − zj ) −
arg(px − pi ) − (2λ + 1)π 
qx j=1
φλ =

i=1,i6=x

Si zx est un z´ero de la boucle ouverte, r´eel ou complexe, d’ordre de multiplicit´e rx , les angles
d’arriv´ee en ce point des rx branches qui aboutissent en zx sont donn´es par :


m
n
X
X
1 
φx =
−
arg(zx − zj ) +
arg(zx − pi ) − (2λ + 1)π 
rx
i=1
j=1,j6=x

R`
egle 8 (Points de s´
eparation sur l’axe r´
eel)
Ils sont solution de
m
n
X
X
1
1
d
d 1
=
, ou
K(z) = 0 , ou
=0
z
−
z
z
−
p
dz
dz
H(z)
i
i
i=1
i=1
R`
egle 9 (Angles des branches aux points de s´
eparation)
Si N branches du lieu se coupent en un point de s´eparation (c’est-`
a-dire que 2N morceaux de
courbe partent de ce point), l’angle entre deux morceaux de courbes voisins vaut ±π/N .
R`
egle 10 (Graduation du lieu en valeurs de K)
La graduation vaut 0 aux pˆ
oles, elle vaut +∞ aux z´eros et aux asymptotes

Jean-Matthieu Bourgeot