fizica

Published on December 2016 | Categories: Documents | Downloads: 72 | Comments: 0 | Views: 394
of 113
Download PDF   Embed   Report

Comments

Content



Universitatea Tehnică a Moldovei







ELECTROMAGNETISM
OSCILAŢII ŞI UNDE




Îndrumar de laborator la fizică











Chişinău
2001


1

Universitatea Tehnică a Moldovei

Catedra de Fizică






Electromagnetism
Oscilaţii şi unde


Îndrumar de laborator la fizică







Aprobat de comisia metodică
a facultăţii de radioelectronică



Chişinău
U.T.M.
2001

2
Indrumarul de laborator este alcătuit în conformitate cu
programa de studiu la fizică pentru Universitatea Tehnică. Fiecare
lucrare se încheie cu întrebări de control, care cuprind minimul de
cunoştinţe necesare pentru admiterea la efectuarea lucrărilor de
laborator.
Îndrumarul este destinat studenţilor tuturor specialităţilor
din anul doi, secţia de zi şi secţia fără frecvenţă.

Îndrumarul a fost revăzut şi pregătit pentru editare de:
conf. univ. dr. Ion Nistiriuc
lector superior V. Boţan
lector superior Gh. Golban
lector superior V. Chistol

Responsabili de ediţie:
conf. univ. dr. R. Radu
conf. univ. P. Bardeţchi

Redactor responsabil:
conf. univ. dr. I. Stratan

Recenzenţi:
prof. univ. dr. hab. E. Gheorghiţă
conf. univ. dr. V. Ambros








© U.T.M., 2001

3
Inginerie [inginer (ingenium(lat))]-
aplicarea ştiinţelor fizico-
matematice la inventarea,
perfecţionarea şi utilizarea tehnicii.


Dicţionarul “Larousse”




1. Electromagnetismul

1.1 Câmpul electric în dielectrici

Printre importantele proprietăţi ale dielectricilor este şi aceea
de a se polariza sub acţiunea câmpului electric extern. Conform
concepţiei moderne, fenomenul de polarizare constă în orientarea
în spaţiu a particulelor dielectricului cu sarcini electrice de ambele
semne şi apariţia într-un volum macroscopic al dielectricului a unui
moment electric orientat (indus), pe care acest volum nu-l poseda
înainte de acţiunea câmpului electric extern. Cantitativ acest proces
este caracterizat de momentul dipolar al volumului unitate al
dielectricului şi se numeşte vector polarizaţie electrică P
r
. Pentru
un dielectric uniform polarizat, polarizaţia electrică este egală cu
suma geometrică a momentelor dipolare P
r
ale moleculelor ce
alcătuiesc volumul unitate.
Există două mecanisme de polarizare a dielectricilor:
polarizare prin deformarea moleculelor şi polarizare prin orientarea
parţială a momentelor dipolare a moleculelor. Deformarea
moleculelor este principalul mecanism de polarizare a dielectricilor
nepolari. Atomii şi moleculele ce constituie aceşti dielectrici , în
lipsa câmpului electric exterior nu posedă momente dipolare.
Câmpul electric exterior creat în jurul unui astfel de dielectric
Digitally signed by
Library UTM
Reason: I attest to the
accuracy and integrity
of this document
4
provoacă o deplasare a electronilor în raport cu nucleele atomilor
(polarizare electronică) sau a ionilor cu sarcină de un semn în
raport cu ionii de sarcină de semn opus (polarizare ionică). Astfel
de deplasare se consideră elastică şi se realizează într-un interval de
timp extrem de scurt (10
-12
: 10
-15
s), procesul fiind practic lipsit de
inerţie.
Figura 1.1 ilustrează procesul de polarizare prin deformare a
dielectricului constituit din molecule monoatomice. În absenţa
câmpului electric exterior (fig. 1.1a) aceste molecule nu posedă
momente dipolare, deoarece centrele de simetrie electronilor şi
nucleului coincid. În prezenţa unui câmp electric exterior
0
E
r
(fig.
1.1b) are loc o deplasare relativă a centrului de simetrie al
sarcinilor negative faţă de nucleu, astfel că întregul edificiu atomic
(sau ionic) se manifestă ca un dipol electric. Ca urmare, fiecare
moleculă posedă un moment dipolar P
r
orientat în direcţia
0
E
r
, iar
suma momentelor dipolare ale tuturor moleculelor dintr-un volum
unitate al dielectricului este egală cu vectorul polarizării electrice
P
r
.








Fig. 1.1
Un alt mecanism de polarizare se manifestă în dielectricii
polari, ai căror molecule posedă momente dipolare permanente
condiţionate de aranjamentul asimetric al sarcinilor pozitive şi
negative. În absenţa câmpului electric exterior, din cauza agitaţiei
termice, momentele dipolare ale moleculelor sânt orientate haotic
(fig.1.2a), suma vectorială a lor într-un volum unitate este nulă, iar
dielectricul este depolarizat.
5
La declanşarea câmpului electric exterior asupra particulelor
cu sarcină pozitivă şi negativă acţionează forţe coulombiene, care
au tendinţa de a orienta molecula în aşa fel, ca momentul dipolar P
r

al ei să fie îndreptat în direcţia câmpului
0
E
r
este mişcarea termică
a moleculelor. Ca urmare, are loc ordonarea parţială a momentelor
dipolare (fig.1.2b) şi suma vectorială a momentelor dipolare a
tuturor moleculelor nu este nulă : dielectricul este polarizat.
Polarizarea dielectricului, determinată de mecanismul analizat, se
numeşte polarizare de orientare.
Acesta nu este singurul mecanism de polarizare a
dielectricilor. Pe lângă aceasta, are loc şi deformarea moleculelor
care la fel contribuie la polarizare. Însă, spre deosebire de
deformare , orientarea momentelor dipolare ale moleculelor se
produce mult mai lent şi este însoţită de absorbţia unei mari
cantităţi de energie a câmpului aplicat. Pierderile de energie a
câmpului electric exterior, condiţionate de polarizarea
dielectricului, se numesc pierderi dielectrice.

a)
Fig. 1.2

Vitezele diferite ale polarizării electronice si de orientare fac
ca contribuţia fiecărui din aceste mecanisme sa depindă esenţial de
dinamica variaţiei câmpului electric exterior. La variaţii rapide ale
câmpului exterior orientarea momentelor dipolare ale moleculelor
practic lipseşte: momentele dipolare nu izbutesc să urmeze
variaţiile intensităţii câmpului. Deci, contribuţia predominantă în
polarizarea dielectricilor polari la frecvenţe înalte este adusă de
deformarea moleculelor (polarizarea electronică).
6
Într-un câmp staţionar (după încetarea proceselor de
tranziţie), dimpotrivă, contribuţia orientării parţiale a momentelor
dipolare ale moleculelor la polarizarea dielectricului (polarizare de
orientare) depăşeşte considerabil contribuţia datorită deformării
moleculelor. Această situaţie se păstrează şi la variaţii extrem de
lente ale câmpului exterior.
În sfârşit, există un interval intermediar al frecvenţelor de
variaţie a câmpului exterior (specific pentru fiecare dielectric), în
care se înregistrează o descreştere relativ rapidă a contribuţiei
polarizării prin orientare. Acest domeniu de frecvenţe este
caracterizat de mari pierderi dielectrice ale câmpului exterior.
Deci, polarizarea dielectricului duce la micşorarea intensităţii
câmpului electric E
r
în interiorul dielectricului în raport cu
intensitatea câmpului electric exterior
0
E
r
. Într-adevăr, deoarece la
polarizarea moleculelor particulele pozitive ale acestora se
deplasează în direcţia câmpului
0
E
r
, câmpul electric condiţionat de
această deplasare este orientat în sens opus câmpului exterior. Cu
cât este mai mare deplasarea, adică cu cât este mai puternic
polarizat dielectricul, cu atât este mai mică intensitatea câmpului E
r

în interiorul său.
Comportarea dielectricului în câmp electric este caracterizată
prin permitivitatea ε , care în cazul unui dielectric omogen este
egală cu raportul dintre intensitatea câmpului exterior
0
E
r
şi
intensitatea câmpului E
r
din interiorul dielectricului
E
0
E
r
r
= ε
. (1.1)
Având în vedere particularităţile de comportare a
dielectricilor polari în câmp electric variabil, se poate stabili
calitativ dependenţa lui ε de frecvenţa f a variaţiei câmpului
electric (fig. 1.3).

7

Fig. 1.3

La frecvenţe înalte ( ∞ → f ) permitivitatea este determinată
numai de mecanismul polarizării prin deformare (

→ε ε ). În
câmp staţionar sau în câmp ce variază lent ( 0 → f ) predomină
polarizarea prin ordonare (
st
ε ε → >>

ε ).
După influenţa exercitată de câmpul electric asupra
permitivităţii relative a materialului, dielectricii se clasifică în
dielectrici liniari şi neliniari. Pentru dielectricii liniari este
caracteristică independenţa permitivităţii relative şi dependenţa
liniară a polarizaţiei electrice P
r
de intensitatea câmpului exterior
0
E
r
. În cazul dielectricilor neliniari (aşa numiţii seignettoelectrici
sau feroelectrici) dependenţa lui P
r
de intensitatea câmpului
exterior este complicată. Pentru un seignettoelectric relaţia de
dependenţă între P
r
şi
0
E
r
este dată de un ciclu de histerezis electric.
Se observă că valoarea instantanee a polarizaţiei nu este
determinată univoc de valoarea corespunzătoare a intensităţii
câmpului electric, ci depinde de întregul istoric al evoluţiei sale.
Astfel permitivitatea relativă a seignettoelectricilor poate fi dirijată
de câmpul electric. Din această cauză dielectricii neliniari pot fi
numiţi dielectrici activi.
Proprietăţile dielectrice specifice ale seignettoelectricilor
(permitivităţi cu valori foarte ridicate, ajungând până la zeci de mii,
efecte piezoelectrice, histereză dielectrică etc.) permit utilizarea lor
în electronică, electroacustică şi în alte domenii ale tehnicii.
Particularităţile caracteristice amintite se datorează faptului
că în cristalele seignettoelectrice, există regiuni microscopice
8
(
6
10

≈ m) numite domenii seignettoelectrice, în care momentele
dipolare în absenţa câmpului electric exterior sunt orientate în
acelaşi sens. Domeniile seignettoelectrice reprezintă regiuni de
polarizare spontană. Structura cristalului seignettoelectric cu
domenii este reprezentată în (fig. 1.4).



Fig. 1.4

Fiecare domeniu posedă un moment dipolar considerabil.
Factorul principal care limitează utilizarea seignettoelectricilor în
tehnică îl constituie dependenţa proprietăţilor acestora de
temperatură.
Un mare interes prezintă dependenţa permitivităţii ε de
temperatură. Se constată o creştere bruscă a permitivităţii în
regiunea transformării de fază. În fig.1.5 este reprezentată
dependenţa permitivităţii ε de temperatură, caracteristică pentru
seignettoelectrici.
Creşterea permitivităţii la temperaturi T<T
c
este condiţionată
de creşterea gradului de labilitate (instabilitate) a structurii
cristalului la apropierea de temperatura, la care are loc tranziţia de
fază de speţa întâi. Această tranziţie de fază este caracterizată de
absorbţia de către cristal a unei anumite cantităţi de căldură la o
temperatură constantă. La temperatura T
c
, (fig. 1.5) numită punctul
Curie, are loc restructurarea reţelei cristaline însoţită de distrugerea
structurii de domenii a seignettoelectricului. Pentru majoritatea
seignettoelectricilor la temperaturi ce depăşesc temperatura Curie
(T>T
c
), permitivitatea relativă descreşte cu temperatura. La
temperaturi, de obicei cu 5-10K mai ridicate în raport cu T
c
,
9
dependenţa permitivităţii de temperatură este dată aproximativ de
legea Curie - Weiss:
0
T T
A

= ε , (1.2)
unde A este constanta Curie -Weiss ; T
0
temperatura Curie -
Weiss. Temperatura T
0
coincide cu temperatura critică T
c
, la care
are loc tranziţia de fază de speţa a doua. Această tranziţie de fază
este caracterizată de o absorbţie sau eliminare de căldură la
entropie constantă şi o variaţie în salt a capacităţii calorice a
cristalului. Cazul
T
0
< T
c
corespunde tranziţiilor de fază de speţa întâia.


Fig. 1.5

1.2. Câmpul magnetic în vid. Inducţia câmpului magnetic

Se ştie că sarcinile electrice fixe interacţionează între ele cu
forţe determinate de legea lui Coulomb. Acţiunea unei sarcini
asupra alteia se transmite prin spaţiu cu viteză finită prin
intermediul câmpului electromagnetic.
La începutul secolului XIX s-a stabilit că interacţionează
între ele şi sarcinile în mişcare, adică curenţii electrici. Curenţii
electrici paraleli se atrag, iar curenţii antiparaleli se resping. S-a
constatat că acţiunea unui curent asupra altuia de asemenea se
transmite prin spaţiu cu o viteză finită. Forţa de interacţiune
magnetică diferă prin natura sa de cea coulombiană. Purtătorul
acestei interacţiuni este o formă a materiei numită câmp magnetic,
iar însăşi interacţiunea este numită interacţiune magnetică.
10
Orice sarcină electrică în mişcare (curent electric) constituie
o sursă de câmp magnetic.
Prezenţa câmpului magnetic într-un loc în spaţiu poate fi
descoperită după forţele, cu care acesta interacţionează asupra unui
conductor parcurs de curent sau asupra unui ac magnetic introdus
în acest loc.
Pentru investigarea câmpului magnetic e mai comod să se
folosească curentul de probă care reprezintă un conductor plan
închis (o spiră sau buclă) parcurs de curent, de dimensiuni mici în
comparaţie cu distanţa până la curenţii care generează câmpul
magnetic. Orientarea acestei bucle de curent este caracterizată de
sensul pozitiv al normalei la planul spirei, sens legat de sensul
curentului prin regula şurubului sau burghiului drept: dacă vom
aşeza burghiul perpendicular pe planul buclei de curent şi-l vom
roti în sensul curentului electric, atunci sensul de înaintare al
burghiului va fi sensul normalei pozitive (fig. 1.6).
Introducând bucla de curent în câmpul magnetic, vom
observa că orientează bucla astfel, ca normala ei pozitivă să fie
îndreptată într-un anumit sens (fig. 1.7).

Fig. 1.6 Fig. 1.7

Vom considera acest sens al normalei drept sens al câmpului
magnetic în câmpul dat. Drept sens al câmpului magnetic poate fi
luat de asemenea sensul forţei care acţionează asupra polului nord
al acului magnetic situat în punctul dat. Asupra polului nord şi
polului sud al acului magnetic acţionează forţe egale în mărime şi
opuse ca sens. Acest cuplu de forţe roteşte acul magnetic astfel, ca
11
axa lui ce uneşte polul sud cu polul nord să coincidă cu sensul
câmpului magnetic.
Bucla de curent poate fi folosită şi pentru descrierea
cantitativă a câmpului magnetic. Din faptul că bucla este orientată
de câmpul magnetic, rezultă că asupra ei acţionează un moment de
rotaţie
M
r
care depinde:
1. de locul din câmp unde se află bucla;
2. de intensitatea curentului I prin buclă şi de aria buclei;
3. de poziţia buclei.
În urma variaţiei orientării de curent momentul de rotaţie
M
r
poate varia de la zero până la o valoare maximă:
M BIS
max
= , (1.3)
unde B este un factor de proporţionalitate. Mărimea fizică definită
de produsul IS se numeşte moment magnetic. Prin urmare:
M P B
m max
= . (1.4)
Dacă în punctul dat al câmpului magnetic vor fi plasate
consecutiv bucle de curent cu diferite momente magnetice, atunci
asupra lor vor acţiona momente mecanice diferite. Însă raportul
m
P M /
max
este unul şi acelaşi pentru toate circuitele şi deci poate
servi drept caracteristică a câmpului magnetic:
m
P
M
B
max
= . (1.5)
Mărimea B se numeşte inducţie a câmpului magnetic (sau
inducţie magnetică). Inducţia magnetică este o mărime vectorială.
Inducţia magnetică într-un punct al câmpului magnetic
omogen este numeric egală cu mărimea maximă a momentului de
rotaţie care acţionează asupra unei bucle de curent cu momentul
magnetic unitar, când normala dusă la buclă este perpendiculară pe
direcţia câmpului magnetic. Unitatea de inducţie magnetică în
sistemul SI este tesla (T).
12
Inducţia magnetică B
r
poate fi definită, de asemenea,
folosind legea lui Ampere [ ] B l I F
r r r
= sau expresia pentru legea lui
Lorentz
[ ] B V q F
r r r
= . (1.6)
Ca şi cîmpul electric, cîmpul magnetic poate fi reprezentat
grafic cu ajutorul liniilor de inducţie magnetică, care sînt tangente
în fiecare punct la direcţia vectorului B
r
. Numărul liniilor ce străbat
unitatea de arie a unei suprafeţe dispusă normal pe linii se alege ca
să fie egal numeric cu modulul inducţiei B
r
în locul unde se află
acea suprafaţă. În felul acesta, după imaginea liniilor B
r
se poate
stabili direcţia şi mărimea inducţiei câmpului magnetic în diferite
puncte din spaţiu.
Dar, spre deosebire de liniile intensităţii câmpului
electrostatic, liniile de inducţie magnetică sunt linii închise.
Câmpurile care au o astfel de proprietate se numesc câmpuri
rotaţionale sau turbionare. Deci, cîmpul magnetic este un câmp
turbionar spre deosebire de câmpul electrostatic, care este un câmp
potenţial).
Dacă inducţia câmpului magnetic are acelaşi modul, direcţie
şi sens în toate punctele din spaţiu, atunci câmpul magnetic se
numeşte omogen.
Mărimea fizică scalară
dS B BdS S d B d
n
= = = α φ cos
r r
, (1.7)
se numeşte flux al vectorului inducţiei magnetice (flux magnetic)
prin suprafaţa dS.
În formula (1.7) α cos B B
n
= este proiecţia vectorului B
r
pe
direcţia normalei la suprafaţă, (α este unghiul dintre vectorii n
r
şi
B
r
); n dS S d
r
r
= este un vector, al cărui modul este egal cu dS, iar
direcţia şi sensul lui coincide cu direcţia şi sensul normalei pozitive
n
r
la suprafaţă. Unitatea de flux magnetic în sistemul SI este
veberul (Wb):
2
1 1 m T Wb ⋅ = .
13
Pentru un câmp magnetic omogen şi o suprafaţă plană
dispusă perpendicular pe vectorul B
r
avem . const B B
n
= = şi
BS
B
= φ . (1.8)
La variaţia fluxului magnetic prin suprafaţa mărginită de un
conductor închis, în acesta apare o tensiune electromotoare t. e. m.
de inducţie. Acest fenomen se numeşte inducţie electromagnetică.
Conform legii lui Faraday, tensiunea electromotoare de inducţie
este proporţională cu viteza variaţiei fluxului magnetic
dt d
i
/ φ ε − = . (1.9)
Fenomenul inducţiei electromagnetice stă la baza multor
metode experimentale de măsurare a mărimilor fizice, cum este, de
exemplu, măsurarea inducţiei câmpului magnetic al unui solenoid
cu ajutorul galvanometrului balistic sau al oscilografului.

1.3. Legea lui Biot – Savart – Laplace

În 1820 fizicienii J. Biot şi F. Savart au efectuat cercetări
asupra câmpurilor magnetice generate în aer de curenţi de diferite
forme. Ei au stabilit că inducţia câmpului magnetic al unui
conductor parcurs de curent într-un punct din spaţiu este
proporţională cu intensitatea curentului şi depinde de forma şi
dimensiunile conductorului, precum şi de poziţia acelui punct faţă
de conductor.
Savantul francez P. Laplace, analizând rezultatele
experimentale
obţinute de către Biot şi Savart, a stabilit că inducţia câmpului
magnetic generat de orice conductor parcurs de curent poate fi
reprezentată ca o sumă vectorială (o suprapunere) a inducţiilor
câmpurilor generate de diferite porţiuni elementare ale
conductorului. Pentru inducţia magnetică a câmpului produs de
elementul de conductor cu lungimea dl parcurs de curent Laplace a
obţinut formula
14
[ ]
3
0
r
r l d I
4
B d
r
r
r
π
μμ
= , (1.10)

unde: μ este permeabilitatea magnetică a mediului (pentru aer
1 = μ ); m / H 10 4
7
0

⋅ = π μ - constanta magnetică; I – intensitatea
curentului; l d
r
- este un vector, al cărui modul coincide cu
lungimea dl a porţiunii de conductor, iar sensul lui este sensul
curentului electric din conductor; r
r
- raza vectoare dusă din
elementul de curent spre punctul, în care se determină B d
r
; r –
modulul acestui vector.
Relaţia (1.10) poartă denumirea de legea Biot –Savart –
Laplace. Din (1.10) rezultă că vectorul de inducţie magnetică B d
r

este orientat perpendicular pe planul, în care se află vectorii l d
r
şi
r
r
.
Direcţia şi sensul vectorului B d
r
se determină după regula
burghiului drept (fig. 1.8).

l d
r

Fig. 1.8 Fig. 1.9

Pentru modulul dB legea Biot –Savart – Laplace se scrie sub forma
2
0
sin
4 r
Idl
dB
θ
π
μ
= , (1.11)
unde θ este unghiul dintre vectorii l d
r
şi r
r
.
15
Să determinăm inducţia câmpului magnetic în centrul unei
spire circulare (curent circular) de rază R parcursă de curentul I
(fig. 1.9).
Conform legii lui Biot –Savart – Laplace, inducţia dB a
câmpului, generat de elementul dl al spirei parcurse de curent, în
punctul 0 este dată de formula (1.11).
În cazul considerat raza vectoare r
r
este perpendiculară pe
porţiunea elementară de spiră l d
r
şi are modulul egal cu raza spirei.
Deci, 1 sin = θ şi R r = . Aşadar,

2
0
4 R
Idl
dB
π
μ
= . (1.12)
Deoarece vectorii B d
r
ai câmpurilor magnetice create în
punctul 0 de toate porţiunile elementare l d
r
ale spirei au aceeaşi
direcţie şi acelaşi sens, fiind orientaţi perpendicular pe planul
figurii “de la noi” (vezi regula şurubului cu filet de dreapta) , suma
vectorială a lor se reduce la suma aritmetică, adică

∫ ∫
= =
R R
dl
R
I
dB B
π π
π
μ
2
0
2
0
2
0
4
. (1.13)
De aici obţinem formula pentru inducţia câmpului magnetic
în centrul unei spire circulare parcursă de curent:
R
I
B
2
0
μ
= . (1.14)
Dacă curentul circular constă din N spire de aceeaşi rază aşezate
una lângă alta, atunci inducţia câmpului magnetic în centrul lor va
fi

R
NI
B
2
0
μ
= . (1.15)



16
1.4. Legea curentului total. Cîmpul magnetic al
solenoidului
Se numeşte circulaţie a vectorului inducţie magnetică B
r
de-a
lungul unui contur închis sau tensiune magneto-motoare expresia
∫ ∫
=
L L
l
dl B l d B
r r
, (1.16)
unde: l d
r
este vectorul unei porţiuni elementare a conturului,
orientat în sensul pozitiv al conturului, α cos ⋅ = B B
l
- proiecţia
vectorului B
r
pe direcţia tangentei de contur; α - unghiul dintre
vectorii B
r
şi l d
r
.
Legea curentului total sau legea circuitului magnetic în cazul
câmpului magnetic în vid (teorema circulaţiei vectorului B
r
) se
enunţă: circulaţia vectorului B
r
de-a lungul unui contur închis
arbitrar este egală cu produsul dintre constanta magnetică
0
μ şi
suma algebrică a curenţilor ce străpung acest contur



=
= =
L
n
k
k
L
l
I dl B l d B
1
0
μ
r r
, (1.17)
unde n este numărul curenţilor electrici ce se află în interiorul
conturului L de formă arbitrară. Curentul este considerat pozitiv,
dacă sensul lui se asociază după regula burghiului drept cu sensul
ales pozitiv de-a lungul conturului, şi în caz contrar curentul este
considerat negativ.
Folosind legea circuitului magnetic (teorema circulaţiei
vectorului B
r
) putem lesne calcula inducţia câmpului magnetic în
interiorul unui solenoid, care reprezintă mai multe spire bobinate
strâns una lângă alta pe un corp cilindric. Fie un solenoid de
lungimea l constituit din N spire parcurse de curent electric I (fig.
1.10a).
17
B
r

Fig. 1.10

Vom considera lungimea solenoidului mult mai mare ca
diametrul spirelor (un solenoid infinit lung). Conform legii (1.17)
circulaţia vectorului B
r
de-a lungul unui contur închis ce coincide
cu una din liniile de inducţie magnetică, de exemplu cu AMNKA şi
care cuprinde toate spiralele N ale solenoidului este

=
AMNKA
l
NI dl B
0
μ
Însă integrala de-a lungul conturului AMNKA poate fi reprezentată
ca suma a două integrale – pe porţiunea exterioară MNKA (această
integrală este nulă, deoarece B=0 în afara solenoidului) şi pe
porţiunea interioară AM:
∫ ∫
= =
AMNKA AM
l l
Bl dl B dl B .
Prin urmare NI Bl
0
μ = de unde inducţia câmpului magnetic în
interiorul solenoidului este dată de formula
I
l
N
B
0
μ =
sau
nI B
0
μ = , (1.18)
unde l N n / = este numărul de spire pe unitatea de lungime a
solenoidului.
a)
b)
18
Pentru un solenoid de lungime finită formula pentru inducţia
câmpului magnetic în interiorul lui are forma
) cos (cos
2
1
2 1 0
α α μ − = nI B (1.19)
unde
1
α şi
2
α sunt unghiurile dintre axa solenoidului şi razele
vectoare
1
r
r
şi
2
r
r
duse din punctul A, în care se determină inducţia
câmpului, spre spirele extreme ale solenoidului (fig. 1.10b).

1.5. Mişcarea sarcinilor electrice în câmp magnetic

Cîmpul magnetic exercită asupra unei spire parcurse de
curent electric o acţiune de orientare. Momentul de rotaţie ce
acţionează asupra spirei este rezultatul acţiunii unor forţe asupra
porţiunilor spirei. Generalizând rezultatele cercetărilor
experimentale referitoare la acţiunea câmpului magnetic asupra
diferiţilor conductori străbătuţi de curent, Ampere a stabilit că forţa
dF exercitată de cîmpul magnetic asupra unei porţiuni elementare
dl a conductorului parcurs de curent este direct proporţională cu
intensitatea curentului I prin conductor, cu lungimea conductorului
şi cu inducţia magnetică B:
α sin IBdl dF = , (1.20)
unde α este unghiul dintre direcţia curentului în conductor şi
vectorul B
r
. Sub formă vectorială:
[ ] B l d I F d
r r r
= . (1.21)
Direcţia şi sensul forţei F d
r
se poate determina după regula mânii
stângi. Deoarece curentul electric reprezintă o mişcare ordonată a
particulelor purtătoare de sarcină electrică, acţiunea câmpului
magnetic asupra conductorului parcurs de curent este rezultatul
acţiunii exercitate de câmp asupra particulelor încărcate ce se mişcă
în interiorul conductorului.
Forţa exercitată de cîmpul magnetic asupra unei particule
purtătoare de sarcină electrică în mişcare este numită forţa lui
19
Lorentz. Expresia pentru această forţă poate fi obţinută din legea
lui Ampere (1.20), reprezentând Idl astfel:
qvdN qnvdV jSdl Idl = = = , (1.22)
unde: j este densitatea curentului, S – este secţiunea transversală a
conturului, n – numărul de particule în unitatea de volum, dN –
numărul de particule în volumul Sdl dV = al conductorului; q –
sarcina electrică a particulei.
Substituind (1.22) în (1.10), obţinem forţa α sin qvBdn dF = ,
care acţionează asupra dN particule încărcate. De aici forţa Lorentz
α sin qvB
dN
dF
F
L
= = ,
sau sub formă vectorială
[ ] B v q F
L
r
r
v
⋅ = . (1.23)
Folosind această expresie a forţei Lorentz, pot fi stabilite o
serie de legităţi în mişcarea purtătorilor de sarcină electrică în câmp
magnetic, care stau la baza construcţiei microscopului electronic,
spectrografului de masă, accelerator de particule elementare,
magnetronului etc.
Fie o particulă de masă m şi sarcină q ce se mişcă
perpendicular pe liniile de inducţie magnetică (
2
π
α = ). În acest
caz forţa lui Lorentz are modulul
vB q F = , (1.23′ )
şi este orientată perpendicular pe vectorii v
r
şi B
r
. Prin urmare,
forţa Lorentz este o forţă centripetă
r
mv
F
c
2
= , (1.24)
unde r este raza de curbură a traiectoriei particulei purtătoare de
sarcină electrică.
Egalând formulele (1.23′) şi (1.24), obţinem
r
mv
vB q
2
= .
20
Din formula (1.25) poate fi determinată raza de curbură a
traiectoriei particulei
B q
mv
r = , (1.25)
perioada de evoluţie a particulei
B q
m
v
r
T
π π 2 2
= = , (1.26)
sau sarcina specifică a particulei egală cu raportul dintre sarcina
particulei şi masa ei:
B
v
m
q
2
= . (1.27)
Dacă particula respectivă este electronul, adică e q = , atunci
sarcina specifică a electronului este:
rB
v
m
e
= . (1.27a)

1.6. Cîmpul magnetic în substanţă

Cercetările experimentale demonstrează că orice substanţă,
fiind introdusă într-un câmp magnetic, îl modifică într-o anumită
măsură.
Acest fenomen se datorează faptului că sub influenţa
câmpului magnetic exterior toate substanţele se pot magnetiza,
adică în ele poate să apară un câmp magnetic propriu (interior).
Substanţele ce manifestă astfel de proprietăţi magnetice se numesc
substanţe (corpuri) magnetice. În funcţie de influenţa exercitată
asupra câmpului magnetic exterior, substanţele magnetice se
clasifică în substanţe diamagnetice, paramagnetice şi
feromagnetice.
Dacă inducţia câmpului magnetic exterior este
0
B
r
, iar
inducţia câmpului magnetic interior propriu este B

r
, atunci suma
21
vectorială B B B ′ + =
r r r
0
se numeşte vectorul inducţiei magnetice în
interiorul substanţei magnetice.
În materialele diamagnetice B

r
şi
0
B
r
sunt de sens opus, însă
în aceste medii inducţia B

r
este mult mai mică, decât inducţia
0
B
r
a
câmpului exterior. În substanţele feromagnetice cîmpul interior B

r

depăşeşte de zeci şi sute de mii de ori cîmpul magnetic exterior
0
B
r
.
Pentru a explica fenomenul de magnetizare a corpurilor, Ampere a
emis ipoteza că în moleculele substanţelor există curenţi electrici
circulari (moleculari). Orice curent molecular posedă un moment
magnetic (
m
P
r
) şi creează în spaţiul înconjurător un câmp magnetic.
În lipsa câmpului magnetic exterior curenţii moleculari sunt
orientaţi în mod haotic şi de aceea cîmpul magnetic rezultant creat
de ei este nul. Datorită orientării haotice a momentelor magnetice
ale moleculelor este egal cu zero şi momentul magnetic total al
corpului ( ∑
=
N
1 i
mi
P
r
).
Sub influenţa câmpului magnetic exterior momentele
magnetice ale moleculelor capătă o orientare predominantă într-o
direcţie şi deci momentul magnetic rezultant al substanţei
magnetice diferă de zero (


i
mi
P 0
r
), adică substanţa s-a
magnetizat. Astfel ia naştere cîmpul magnetic interior.
Caracteristica cantitativă a magnetizării substanţelor o
constituie mărimea vectorială numită vector de magnetizare J
r
.
Magnetizarea substanţei este egală numeric cu momentul
magnetic al unui volum unitar al substanţei
V
P
J
mi
Δ
Δ
=

r
r
. (1.28)
Unitatea de magnetizare în sistemul SI este amperul pe metru
(A/m).
22
În substanţele magnetice cîmpul magnetic e comod să fie
caracterizat prin intensitatea câmpului magnetic :
J
B
H
r
r
r
− =
0
μ
. (1.29)
Din formula (1.29) rezultă că
) (
0
J H B
r r r
+ = μ . (1.30)
Experienţele ne arată că în câmpuri magnetice slabe
magnetizarea J
r
este proporţională cu intensitatea H
r
, adică
H x J
r r
= , (1.31)
unde factorul de proporţionalitate este denumit susceptibilitatea
magnetică a substanţei.
Introducând formula (1.31) în (1.30), obţinem
) 1 (
0
x H B + =
r r
μ . (1.32)
Mărimea adimensională x + =1 μ se numeşte
permeabilitate magnetică a substanţei. Ţinând seama de aceasta,
formula (1.32) care stabileşte relaţia dintre vectorii B
r
şi H
r
devine
H B
r r
0
μμ = . (1.33)
Din formula (1.33) rezultă că intensitatea câmpului
magnetic H
r
este un vector care are aceeaşi direcţie ca şi vectorul
B
r
, dar un modul de
0
μμ ori mai mic.
În vid 1 = μ şi deci inducţia câmpului magnetic în vid este
H B
r r
0 0
μ = .
Iar în substanţe
0
B B
r r
μ = (1.34)
Aşadar, μ ne arată de câte ori inducţia câmpului magnetic
rezultant în substanţe diferă de inducţia câmpului magnetic în vid.
Pentru substanţele diamagnetice susceptibilitatea magnetică
x <0 , iar permeabilitatea magnetică μ <1; pentru cele
paramagnetice x >0, şi μ >1.
23
Pentru substanţele feromagnetice μ nu este o mărime
constantă, ci depinde de intensitatea câmpului magnetic (vezi fig.
1.11.) şi poate avea valori μ >>1.

Fig. 1.11 Fig. 1.12

Pentru substanţele feromagnetice este caracteristic fenomenul
de histerezis. Acest fenomen constă în faptul că inducţia magnetică
B
r
în aceste substanţe depinde nu numai de valoarea intensităţii H
r

a câmpului exterior în momentul dat , ci şi de valoarea anterioară a
lui H
r
, adică μ este o funcţie multivalentă de H
r
. Dacă un material
feromagnetic nemagnetizat este plasat într-un câmp magnetic care
creşte treptat, începând de la zero, atunci dependenţa ) (H f B =
este reprezentată de curba Oa (fig. 1.12), numită curba de prima
magnetizare. Când intensitatea H
r
a câmpului magnetic continuă
să crească, atunci curba de magnetizare rămâne aproape orizontală,
din cauza saturaţiei vectorului de magnetizare J
r
(vezi formula
1.30).
La reducerea intensităţii câmpului magnetizant curba de
magnetizare nu mai urmează curba 0a , ci curba 0b. Când 0 = H
r
,
substanţa feromagnetică încă nu este demagnetizată – în ea există o
magnetizare remanentă sau inducţie remanentă b B
rem
0 = .
Pentru demagnetizarea completă a materialului este necesar să se
aplice un câmp magnetic exterior în sens invers. Intensitatea
câmpului de demagnetizare , c H
c
0 =
r
, la care inducţia magnetică
24
în materialul feromagnetic B
r
se anulează, se numeşte forţă
coercitivă sau câmp coercitiv. Inducţia remanentă şi forţa
coercitivă sunt caracteristici ale substanţelor feromagnetice.
Dacă intensitatea câmpului magnetic de sens invers continuă
să crească, se ajunge din nou la saturaţie (punctul d). Micşorând
intensitatea H
r
de la valoarea d H ′ = 0
r
până la zero (fig. 1.12),
apoi schimbându-i sensul şi mărind cîmpul până la a H ′ = 0
r
, se
obţine curba d e f a.
Fenomenul de rămânere în urmă a variaţiilor magnetizării
substanţei feromagnetice de variaţiile câmpului magnetic exterior,
în care se află substanţa, se numeşte histerezis magnetic.
Curba ce reprezintă dependenţa inducţiei magnetice a
substanţei feromagnetice de intensitatea câmpului variabil de
magnetizare, (curba a c b d e f a din fig. 1.12) se numeşte ciclu de
histerezis.
Dacă magnetizarea materialului feromagnetic nu se face până
la saturaţie, dar se urmează ciclul de variaţie a intensităţii câmpului
exterior descris mai sus, atunci se poate obţine o serie de cicluri de
histerezis, ale căror vârfuri se vor situa pe curba de primă
magnetizare. Acest procedeu poate fi utilizat la trasarea curbei de
primă magnetizare.
Apare, fireşte, întrebarea: cum se explică proprietăţile
magnetice atât de diferite ale substanţelor?
S-a constatat că diversitatea proprietăţilor magnetice ale
substanţelor este determinată de deosebirile dintre proprietăţile
magnetice ale atomilor şi moleculelor ce constituie substanţa dată
şi de caracterul diferit al interacţiunii dintre aceşti atomi sau
molecule.
Conform concepţiilor actuale, orice atom se compune dintr-un
nucleu şi un înveliş electronic. Electronii, mişcându-se în jurul
nucleului, formează curenţi circulari sau orbitali. Fiecărui curent
orbital îi corespunde un anumit moment magnetic numit moment
25
magnetic orbital
ml
P
r
. Totodată electronii înşişi posedă un
moment magnetic propriu numit moment magnetic de spin
ms
P
r
.
Nucleul atomului, compus din protoni şi neutroni, de asemenea, are
un moment magnetic propriu
n
P
r
.
Suma geometrică a momentelor magnetice orbitale şi de spin
a electronilor din atom şi a momentului magnetic propriu al
nucleului constituie momentul magnetic al atomului:
∑ ∑
+ + =
i i
n msi mli a
P P P P
r r r r
. (1.35)
Dat fiind faptul că momentul magnetic al nucleului este mic
şi nu influenţează considerabil magnetizarea corpului, el poate fi
neglijat.
Toate substanţele, ale căror atomi sau molecule în absenţa
câmpului magnetic exterior nu posedă un moment magnetic, se
numesc diamagnetice
∑ ∑
= + = 0
msi mli a
P P P
r r r
. (1.36)

La introducerea substanţei diamagnetice într-un câmp
magnetic în fiecare atom (moleculă) a substanţei se induce un
curent suplimentar atomic (molecular) I
i
, căruia îi corespunde un
moment magnetic
mi
P
r
Δ . După regula lui Lenz, curentul de inducţie
I
i
(şi, deci, vectorul

Δ
mi
P
r
) va avea un astfel de sens, ca cîmpul
magnetic creat de curenţii induşi în toţi atomii să fie orientat în sens
opus câmpului magnetic exterior de magnetizare. Cîmpul magnetic
total creat de curenţii induşi constituie cîmpul magnetic propriu
(interior) B
r
′ .
Aşadar, vectorul B
r

în substanţele diamagnetice este orientat
în sens opus vectorului inducţiei
0
B
r
a câmpului magnetic exterior.
Fenomenul de apariţie într-o substanţă magnetică situată într-
un câmp magnetic exterior a unui vector de magnetizare orientat în
26
sens opus vectorului inducţiei câmpului magnetic exterior se
numeşte diamagnetism.
Diamagnetismul este o proprietate universală a tuturor
substanţelor, deoarece în atomii (moleculele) fiecărei substanţe
introduse în câmp magnetic apar curenţii de inducţie.
Diamagnetismul este însă un efect slab şi de aceea proprietăţi
diamagnetice manifestă numai substanţele, în care aceste
proprietăţi sunt preponderente. Printre asemenea substanţe sunt
gazele inerte, compuşii organici, unele metale (Bi, Cu, Ag, Au, Hg)
ş. a.
Substanţele, ale căror atomi (molecule) în absenţa câmpului
magnetic exterior posedă un moment magnetic, se numesc
substanţe paramagnetice.
∑ ∑
≠ + = 0
msi mli a
P P P
r r r
. (1.37)
Momentele magnetice ale atomilor paramagneticelor depind
de structura atomilor, fiind constante pentru substanţa dată, şi nu
depind de cîmpul magnetic exterior.
În absenţa câmpului magnetic exterior momentele magnetice
ale atomilor sunt orientate haotic datorită mişcării lor termice şi de
aceea substanţele paramagnetice nu manifestă proprietăţi
magnetice. La introducerea corpului paramagnetic într-un câmp
magnetic exterior momentele magnetice ale atomilor (moleculelor)
tind să se orienteze preponderent în direcţia câmpului. Ca urmare,
(

≠ 0
a
P
r
) şi paramagneticul se magnetizează, adică ca rezultat în
el ia naştere un câmp magnetic propriu B
r
′ totdeauna de acelaşi
sens cu cîmpul exterior
0
B
r
. Odată cu creşterea temperaturii în
paramagnetice se intensifică mişcarea haotică a atomilor
(moleculelor) , fapt care împiedică orientarea momentelor
magnetice ale atomilor (moleculelor) şi reduce magnetizarea
substanţei.
Fenomenul de apariţie într-o substanţă magnetică introdusă
într-un câmp magnetic exterior a unui vector de magnetizare
orientat în sensul vectorului inducţiei câmpului magnetic exterior
27
se numeşte paramagnetism. Din substanţele paramagnetice fac
parte sticla, oxigenul, metalele Na, K, Rb, Cs, Mg, Al, soluţiile de
săruri ale fierului ş. a.
Corpurile cristaline care posedă o magnetizare spontană în
volume mici macroscopice, ale căror dimensiuni liniare nu
depăşesc 10
-6
m, se numesc corpuri feromagnetice. Din substanţele
feromagnetice fac parte Fe, Ni, Co, Gd, aliajele şi compuşii acestor
elemente.
Mecanismul magnetizării feromagneticelor a fost explicat pe
baza mecanicii cuantice. Din teorie rezultă că între atomii
feromagneticului acţionează aşa numite forţe de schimb , datorită
căror momentele magnetice de spin ale electronilor se orientează
paralel unul faţă de altul. Ca urmare, în interiorul feromagneticului
apar mici regiuni (≈10
-5
-10
-6
m) de magnetizare spontană, numite
domenii . În limitele fiecărui domeniu substanţa este magnetizată
spontan până la saturaţie şi deci posedă un moment magnetic bine
determinat. În absenţa câmpului magnetic exterior feromagneticul
în ansamblu nu este magnetizat deoarece momentele magnetice ale
domeniilor sunt orientate în sensuri diferite.
La introducerea feromagneticului într-un câmp magnetic
exterior mai întâi se măresc dimensiunile domeniilor magnetizate
preponderent în direcţia câmpului exterior (micşorându-se totodată
dimensiunile celorlalte domenii, iar apoi la valori mai mari ale
câmpului exterior are loc orientarea momentelor magnetice ale
tuturor domeniilor în direcţia câmpului magnetic exterior, (se
ajunge la starea de saturaţie). În acest proces de magnetizare
momentele magnetice ale electronilor în limitele fiecărui domeniu
se orientează simultan, rămânând strict paralele între ele. Teoria
domeniilor explică perfect toate legităţile magnetizării
feromagneticilor.





28
Lucrarea de laborator Nr.10

Polarizarea dielectricilor în câmp electric
variabil. Studiul dependenţei permitivităţii
seignettoelectricilor de temperatură

Scopul lucrării: studiul particularităţilor polarizării prin
deformare şi prin ordonare a dielectricilor în câmp electric variabil;
măsurarea permitivităţii seignettoelectricilor în intervalul de
temperatură (20-350ºC); determinarea temperaturii Curie şi a
constantei Curie-Weiss.
Aparate şi accesorii: eşantion din titanat de bariu (BaTiO
3
);
încălzitor; aparat de măsurat capacitatea; termocuplu; aparat de
măsurat temperatura.
Teorie: vezi p. 1.1.

Montajul experimental şi metoda de măsurare
Schema bloc a instalaţiei experimentale este reprezentată în
fig.1.13. Un eşantion din titanat de bariu (BaTiO
3
) de forma unui
paralelipiped dreptunghiular este aşezat într-un cuptor electric.
Două feţe laterale ale eşantionului cu aria S sunt acoperite cu un
strat subţire de argint, care asigură durabilitatea contactului electric
şi servesc drept armături ale unui condensator, în care se află
seignettoelectricul de permitivitate ε . Grosimea eşantionului este
d. Măsurând capacitatea C a acestui condensator, se poate calcula
permitivitatea relativă a eşantionului, folosind formula:
S
Cd
0
ε
ε = , (1)
unde
m
F
12
0
10 85 , 8

⋅ = ε este constanta electrică.
Termoelementul de tip (CT1-19) şi aparatul de tip (M285K)
sau (M24) servesc pentru măsurarea temperaturii, iar puntea
electronică şi aparatul de tip (M285)- pentru măsurarea capacităţii.
29









Fig.1.13

Modul de lucru
1. Se măsoară temperatura iniţială a eşantionului.
2. Se închide circuitul încălzitorului şi se măsoară capacitatea
eşantionului. Este important de a măsura concomitent
temperatura şi capacitatea. Din fig. 1.5 se observă că
capacitatea la început creşte neînsemnat cu temperatura şi deci
această porţiune a curbei poate fi utilizată pentru punerea la
punct a metodei experimentale, măsurând capacitatea peste
fiecare 10ºC. Când se observă o creştere bruscă a capacităţii,
măsurările se efectuează peste fiecare 3-5ºC. Rezultatele
măsurărilor se trec într-un tabel. Măsurările se efectuează până
la temperatura de 350ºC. La atingerea acestei temperaturi se
deconectează încălzitorul şi se cuplează ventilatorul pentru
răcirea eşantionului,
3. Se calculează permitivitatea ε conform formulei (1) (valorile
pentru d şi S sunt indicate pe masa de lucru) şi inversul ei ε / 1 .
Rezultatele calculelor se trec în tabel.
4. Se construieşte graficul dependenţei ( ) T f = ε şi după maximul
acestuia se determină temperatura Curie.
5. Se trasează graficul dependenţei ( ) T f = ε / 1 . Din formula (1.2)
rezultă că la temperaturi T>T
c
pe acest grafic (fig. 1.14) trebuie
să se observe o porţiune liniară.
APARAT
DE
MĂSURA
Cuptor
electric
Aparat de
măsurat
temperatura
Blocul de
alimentare
30
6. Pentru trei valori arbitrare ale temperaturii în limitele porţiunii
liniare a graficului ( ) T f = ε / 1 se calculează constanta Curie-
Weiss, folosind formula (1.2). Temperatura T
0
se determină,
prelungind porţiunea liniară până la intersecţia cu axa
temperaturilor. După trei valori ale constantei A se determină
media aritmetică.


Fig. 1.14

Întrebări de control
1. Care procese moleculare condiţionează polarizarea
dielectricilor? Cum se manifestă aceste procese în cazul când
dielectricul este situat în câmp electric variabil?
2. Ce se numeşte permitivitate dielectrică a mediului?
3. Să se explice graficul dependenţei permitivităţii de frecvenţă.
4. Ce sunt seignettoelectricii şi care este mecanismul de polarizare
a lor?
5. Să se explice graficul dependenţei permitivităţii titanatului de
bariu de temperatură. Ce procese au loc în seignettoelectrici la
temperatura critică T
c
?





31
Lucrarea de laborator Nr.11

Determinarea componentei orizontale a inducţiei
câmpului magnetic al Pământului

Scopul lucrării: Studiul elementelor câmpului magnetic
terestru şi determinarea componentei orizontale a inducţiei
câmpului magnetic al Pământului cu ajutorul busolei de tangente.
Aparate şi accesorii: busola de tangente, ampermetru,
reostat, sursă de curant continuu, întrerupător, comutator, fire de
conexiune.
Teoria: vezi p.1.1, 1.2.

Montajul experimental şi metoda de măsurare
Pământul în ansamblu reprezintă un magnet enorm. În orice
punct al spaţiului din jurul Pământului şi pe suprafaţa lui se observă
acţiunea forţelor magnetice. Aceasta înseamnă că în spaţiul din
jurul Pământului există câmp magnetic. Liniile de inducţie ale
acestui câmp sînt reprezentate în fig. 1.15.
Existenţa câmpului magnetic în orice loc de pe Pământ poate
fi stabilită cu ajutorul acului magnetic. Dacă vom suspenda acul
magnetic de un fir l (fig.1.16) astfel, ca punctul de suspensie să
coincidă cu centrul de greutate al acului, atunci acul se va instala în
direcţia tangentei la linia de câmp, adică în direcţia vectorului B
r
al
câmpului magnetic terestru.
În emisfera nordică extremitatea de nord a acului este
înclinată spre Pământ, acul formând cu orizontul un unghi β ,
numit unghi de înclinaţie magnetică. Planul vertical, în care se
află acul magnetic, se numeşte plan al meridianului geomagnetic.
Planele tuturor meridianelor geomagnetice se intersectează
după dreapta NS. Liniile de intersecţie ale acestor plane cu
suprafaţa terestră se întrunesc în polii magnetici N şi S.
32

Fig. 1.15 Fig. 1.16
Polii magnetici nu coincid cu polii geografici şi de aceea acul
magnetic nu se orientează de-a lungul meridianului geografic.
Unghiul dintre meridianul geomagnetic şi cel geografic se numeşte
declinaţie magnetică α în locul dat.
Vectorul B
r
al inducţiei câmpului al Pământului poate fi
descompus în două componente: componenta orizontală
0
B
r
şi
componenta verticală
z
B
r
. După unghiurile de înclinaţie şi
declinaţie şi componenta orizontală
0
B
r
se poate determina mărimea
şi direcţia inducţiei totale a câmpului magnetic al Pământului în
locul dat. Dacă acul magnetic se poate roti liber numai în jurul unei
axe verticale, atunci sub acţiunea componentei orizontale el se va
aşeza în planul meridianului geomagnetic.
Componenta orizontală
0
B
r
, înclinaţia magnetică β şi
declinaţia magnetică α se numesc elemente ale magnetismului
terestru.
Studiul câmpului magnetic al Pământului, adică al
geomagnetismului are o deosebită importanţă ştiinţifică şi practică.
În prezent se aplică pe larg în practică metodele geomagnetice de
explorare a zăcămintelor de minereu de fier.
Pentru măsurarea componentei orizontale a inducţiei
câmpului magnetic al Pământului, vom folosi aparatul numit
busolă de tangente ori galvanometru de tangente.(GT)
33
Galvanometrul de tangente reprezintă o bobină plană de rază
R cu N spire aşezate vertical. În centrul bobinei este situat un mic
ac magnetic, care se poate roti liber în jurul axei verticale.
În absenţa curentului prin bobina busolei GT acul se aşează
în meridianul magnetic al Pământului. Rotind bobina în jurul axei
verticale, se poate face ca planul ei să coincidă cu planul
meridianului geomagnetic. Dacă prin bobină circulă un curent
electric, atunci apare un câmp magnetic, orientat perpendicular pe
planul bobinei. În acest caz asupra acului vor acţiona două câmpuri
magnetice perpendiculare între ele: câmpul magnetic al curentului
( ) R NI B 2 /
0
μ = şi componenta orizontală a câmpului magnetic al
Pământului B
0
(fig. 1.17).


Fig. 1.17

Ca rezultat, acul va devia cu un unghi ϕ , adică se va orienta
în direcţia rezultantei B

r
. Din figură se vede că ϕ tg B B /
0
= sau,
ţinând seama de (1.15):
ϕ
μ
Rtg
NI
B
2
0
0
= (1)

Modul de lucru
1. Se montează circuitul de măsurare conform schemei din
fig.1.18.
2. Se instalează planul bobinei busolei de tangente în planul
meridianului magnetic al Pământului. În acest scop se slăbeşte
34
şurubul care fixează bobina pe suport şi, rotind bobina în jurul
axei verticale, se face ca direcţia acului magnetic să fie în
planul bobinei. Totodată un capăt al acului magnetic trebuie să
indice zero de pe scara busolei.
3. După verificarea circuitului de către şeful de lucrări se cuplează
tensiunea. Cu ajutorul reostatului R se alege intensitatea
curentului, la care unghiul de deviaţie a acului este 45º.
4. Se măsoară unghiul de deviaţie a acului
1
ϕ .


Fig. 1.18
5. Păstrând aceeaşi intensitate a curentului, se schimbă cu
comutatorul sensul curentului. Ca urmare sensul vectorului B
r

se schimbă în opus, iar acul va devia în sens opus cu un unghi
2
ϕ .
6. Se repetă experienţa pentru alte valori ale intensităţii curentului.
7. Se calculează
2
2 1
ϕ ϕ
ϕ

=
med
şi
med
tgϕ , apoi după formula
(1) se determină componenta orizontală a inducţiei câmpului
magnetic al Pământului.
8. Rezultatele măsurărilor şi calculelor se trec într-un tabel.
9. Se calculează eroarea determinării componentei orizontale
0
B .

Întrebări de control
1. Ce mărimi fizice caracterizează cîmpul magnetic al
Pământului?
2. Cum se orientează acul magnetic în cîmpul magnetic al
Pământului?
3. Ce se numeşte inducţie a câmpului magnetic?
35
4. Formulaţi legea lui Biot – Savar – Laplace. Cum se poate
determina direcţia şi sensul vectorului B d
r
?
5. Deduceţi formula (1.15).
6. Explicaţi construcţia şi principiul galvanometrului de tangente.
7. Să se deducă formula (1).
8. Să se deducă formula pentru calculul erorilor lui B
0
.
9. Demonstraţi că valoarea relativă pentru componenta orizontală
a inducţiei câmpului magnetic al Pământului este minimă
atunci, când unghiul de deviaţie a acului magnetic faţă de
meridianul magnetic este 45º.


Lucrarea de laborator Nr.12

Studiul cîmpului magnetic al solenoidului

Scopul lucrării: Studiul experimental al distribuţiei câmpului
magnetic de-a lungul axei solenoidului cu ajutorul oscilografului.
Aparate şi accesorii: solenoid, oscilograf, bobine de măsură,
sursă de curent, fire de conexiune.
Teoria: vezi p. 1.2, 1.4.-1.6.

Montajul experimental şi metoda de măsurare
La baza metodei de studiu al câmpului magnetic al unui
solenoid stă legea inducţiei electromagnetice. Se ştie că curentul
electric creează în jurul său un câmp magnetic. Există şi efectul
invers: cîmpul magnetic dă naştere unui curent electric.
Curentul de inducţie apare în conductor la mişcarea acestuia
în câmp magnetic. Dar curentul de inducţie cauzat de apariţia unei
tensiuni electromotoare (t. e. m.) de inducţie apare şi într-un
conductor imobil introdus în câmp magnetic variabil. Pentru
excitarea t. e. m. de inducţie este esenţială variaţia fluxului
magnetic prin conturul conductorului, dar nu modul cum s-a
efectuat această variaţie: mişcând conturul în câmp magnetic
36
constant ori variind cîmpul magnetic din interiorul conturului
imobil. Conform legii lui Faraday:
dt
d
i
φ
ε − = ,
unde φ este fluxul magnetic prin suprafaţa mărginită de conturul
conductor. Semnul minus corespunde regulii lui Lenz: curentul de
inducţie este totdeauna orientat astfel, încât cîmpul creat de el să se
opună variaţiei câmpului care a creat acest curent. Prin urmare,
dacă în cîmpul magnetic variabil al solenoidului se introduce o
bobină, atunci în ea se va exercita o t. e. m. de inducţie.
În prezenta lucrare prin solenoid circulă un curent electric
alternativ, care creează un câmp magnetic alternativ. În calitate de
bobină de măsură se foloseşte o bobină exterioară îmbrăcată pe
solenoid, care se poate deplasa liber de-a lungul solenoidului, sau
o bobină interioară, care poate fi deplasată în interiorul solenoidului
de-a lungul axei lui. În figura (1.19): L este solenoidul, L
1
– bobina
de măsură, OE - oscilograful electronic, T
r
- transformator de
coborâre, D –diodă , R– rezistor omic , C- condensator, K –
comutator.


Fig. 1.19

Metoda de măsurare a inducţiei câmpului magnetic B
r
al
solenoidului cu ajutorul oscilografului constă în aceea că semnalul
de la bobina de măsură (semnalul se ia de pe condensatorul C) se
transmite la una din intrările oscilografului, de exemplu, la una din
intrările oscilografului, la Y, iar butonul “Amplificare pe X” al
37
oscilografului se pune la zero. Ca urmare, raza electronică deviază
pe verticală, formând o fâşie de lungimea n
y
. Tensiunea U
c
poate fi
determinată, cunoscând tensiunea U
y
ce provoacă deviaţia razei
electronice cu o diviziune în direcţia axei Y . Deci
y y c
U n U ⋅ = .
După mărimea cunoscută U
c
se poate calcula inducţia
magnetică corespunzătoare după formula
y y c
U kn kU B = = , (1)
unde
NS
RC
k = este coeficient determinat de parametrii schemei.
Valoarea numerică a acestui coeficient este indicată pe
masa de lucru. Cunoscând mărimea inducţiei magnetice (1), poate
fi calculată intensitatea câmpului magnetic:
0
μμ
B
H = .
Pentru aer 1 = μ şi deci
0
μ
B
H = . (2)
Pentru solenoidul exterior
y y
n U k B
1 1 1 1
= , (3)
0
1
1
μ
B
H = , (4)
y y
n U k B
2 2 2 2
= , (5)
0
2
2
μ
B
H = . (6)

Modul de lucru
Studiaţi distribuţia câmpului magnetic de-a lungul axei
solenoidului şi trasaţi graficul B=f(l) şi H=f(l). În acest scop:
38
1. Se cuplează instalaţia şi oscilograful la reţea. Se instalează raza
electronică în centrul reţelei de coordonate. Butonul
“Amplificare pe X” se pune la zero.
2. Se conectează la intrarea oscilografului bobina exterioară de
măsură aşezată la zero şi cu ajutorul butonului “amplificare pe
verticală” se obţine lungimea fâşiei n
1y
=40mm. Poziţiei acestea
a reglatorului îi corespunde tensiunea mm / V U
y
4
1
10 5

⋅ = ce
deplasează raza electronică cu 1 mm. Valorile n
1y
se introduc în
tabel. În măsurările ulterioare poziţia butonului “amplificare”
nu se schimbă.
3. Se repetă pasul 2 pentru bobina interioară. În acest caz valoarea
tensiunii ce deplasează raza electronică cu 1 mm este
mm / V U
y
5
2
10 7

⋅ = . Se aşează apoi bobina interioară de
măsurare în poziţiile 10, 20, 30, 32, 34, 36, 38, 40 cm şi pentru
fiecare poziţie se măsoară lungimea fâşiei n
y
.
4. După formulele (3), (4) (5) şi (6) se calculează inducţia şi
intensitatea câmpului magnetic al solenoidului. Valorile
coeficienţilor K
1
şi K
2
sunt indicate pe masa de lucru.
5. Se trasează graficul distribuţiei inducţiei şi intensităţii câmpului
magnetic de-a lungul axei solenoidului: B=f(l) şi H=f(l).
6. Se calculează energia câmpului magnetic localizat în interiorul
solenoidului şi inductanţa solenoidului.

Întrebări de control
1. Ce se numeşte inducţie magnetică? Care sunt unităţile de
inducţie şi intensitate a câmpului magnetic?
2. Ce se numeşte flux magnetic? Care este unitatea de flux
magnetic?
3. Formulaţi legea curentului total (legea circuitului magnetic).
4. În ce constă fenomenul inducţiei electromagnetice?
5. Formulaţi legea inducţiei electromagnetice şi regula lui Lenz.


39
Lucrarea de laboratorNr.13

Studiul proprietăţilor feromagneţilor

Scopul lucrării: Studiul dependenţei inducţiei câmpului
magnetic în feromagneţi de intensitatea câmpului de magnetizare şi
determinarea energiei disipate la remagnetizare.
Aparate şi accesorii: toroid confecţionat din materialul
studiat, oscilograf, condensator, rezistoare, reostat, sursă de
tensiune alternativă, conductoare de conexiune.
Teoria (vezi p.1.2 – 1.4, 1.6)

Montajul experimental şi metoda de măsurare


Fig. 1.20

Ciclul de histerezis poate fi obţinut pe ecranul
oscilografului cu ajutorul instalaţiei experimentale, a cărei schemă
este dată în fig. 1.20.
Pe eşantionul studiat care este realizat în formă de toroid T,
sunt înfăşurate două bobine, 1 şi 2, având respectiv N
1
şi N
2
spire.
Înfăşurarea primară a toroidului este alimentată prin rezistorul R
1

cu curent alternativ i
1
. Intensitatea câmpului de magnetizare în
toroid este
1 1
l n H = , (1)
unde n
1
este numărul de spire pe unitatea de lungime axială a
toroidului (înfăşurării primare).
40
Tensiunea pe rezistorul R
1
este
1 1 1
R i U = . (2)
Folosind relaţiile (1) şi (2), obţinem
1 1
U k H = , (3)
unde
1
1
1
k
n
k = este un coeficient, dependent de parametrii schemei.
Deoarece pe înfăşurarea 1 este aplicată o tensiune alternativă,
intensitatea câmpului magnetic în ea variază, frecvenţa variaţiei
fiind egală cu frecvenţa curentului alternativ într-un interval
oarecare al intensităţii (-H,+H). În înfăşurarea 2, datorită
fenomenului de inducţie electromagnetică, se va excita tensiunea
electromotoare (t. e. m.)
dt
db
S N
dt
d
N
i 2 2
− = − =
φ
ε , (4)
unde φ este fluxul inducţiei câmpului magnetic prin
secţiunea transversală S a toroidului.
Neglijând autoinducţia înfăşurării secundare, din legea lui
Ohm obţinem:
c i
U R i + =
2 2
ε , (5)
unde i
2
este intensitatea curentului în înfăşurarea secundară;
R
2
–rezistenţa din circuitul secundar;

= = idt
c c
q
U
c
1
este tensiunea pe condensatorul C, iar q este
sarcina condensatorului.
Dacă R
2
şi C sînt atât de mari, încât
2 2
R i >
c
U , atunci
dt
dB
R
S N
R
i
i
2
2
2
2
= =
ε
. (6)
Ţinând seama de formula (6), vom determina tensiunea pe
condensator:
∫ ∫
= = =
C R
SB N
dt
dt
dB
C R
S N
idt
c
U
c
2
2
2
2
1
. (7)
41
Din relaţia (7) rezultă că
c
U k B
2
= , (8)
unde
S N
C R
k
2
2
2
= este coeficient determinat de parametrii schemei.
Din ecuaţiile (3) şi (8) se vede că tensiunea U
1
este
proporţională cu intensitatea câmpului magnetizant, iar tensiunea
U
c
este proporţională cu inducţia câmpului magnetic din
feromagnetul studiat. Dacă tensiunea U
1
se aplică pe plăcile de
deviaţie orizontală ale oscilografului, iar U
c
– pe plăcile de deviaţie
pe verticală, atunci raza electronică în direcţia axei X va devia
proporţional cu intensitatea H, iar în direcţia axei Y- proporţional
cu inducţia B. Într-un ciclu deplin de variaţie a intensităţii H raza
electronică va descrie un ciclu de histerezis. Vârful fiecărui ciclu
reprezintă un punct de pe curba de primă magnetizare.
Tensiunile
1
U şi
2
U pot fi determinate, cunoscând tensiunile
U
x
şi U
y
, care provoacă deviaţia razei electronice cu o diviziune în
direcţiile axelor X şi Y.
Deci
x x
U n U =
1
, (9)
y y c
U n U = , (10)
unde n
x
şi n
y
sunt coordonatele vârfului ciclului de histerezis.
Introducând (9) şi (10) în formulele (3) şi (8), obţinem:
x x x x
n k U n k H = =
1
(11)
y y y y
n k U n k B = =
2
(12)
unde
x x x
U
R
n
U k k
1
1
1
= = (13)
y y y
U
S N
C R
U k k
2
2
2
= = (14)

42
Modul de lucru
Exerciţiul 1. Ridicarea curbei de primă magnetizare.
1. Se montează schema electrică conform figurii (1.20).
2. După verificarea schemei de către şeful lucrărilor se cuplează
oscilograful la reţea şi se aduce raza electronică în centrul
reţelei de coordonate. Se cuplează circuitul de alimentare a
toroidului.
3. Cu ajutorul potenţiometrului P se face ca ciclul de histerezis să
ocupe cea mai mare parte a ecranului şi să aibă o porţiune de
saturaţie.
4. Se determină coordonatele n
x
şi n
y
ale vârfului
ciclului
. Micşorând
treptat cu ajutorul potenţiometrului tensiunea aplicată, se obţine
pe ecranul oscilografului o familie de cicluri de histerezis. Se
determină pentru fiecare ciclu coordonatele vârfului. Se repetă
măsurările până când ciclul se reduce la un punct.
5. Se calculează valorile k
x
şi k
y
după formulele (13) şi (14).
Valorile U
x
şi U
y
sunt indicate pe masa de lucru.
6. Se calculează valorile
x x
n k H = şi
y y
n k B = pentru
coordonatele vârfurilor tuturor ciclurilor de histerezis obţinute.
7. Se calculează
H
B
0
μ
μ = .
8. Rezultatele măsurărilor şi calculelor se trec într-un tabel.
9. După datele obţinute se trasează graficul ( ) H f B = şi
( ) H f = μ .

Exerciţiul 2. Determinarea energiei disipate la remagnetizare.
La remagnetizarea corpului feromagnetic o parte de energie a
câmpului magnetic este disipată la reorientarea domeniilor.
Mărimea acestor energii ce revine la unitatea de volum al corpului
este egală numeric cu aria ciclului de histerezis S
H,B
:
B H
S W
,
= .
Această parte de energie se disipează la încălzirea corpului.
43
Mărimea W reprezintă energia care se degajă sub formă de
căldură în unitatea de volum a toroidului în decursul unui ciclu de
remagnetizare.
Dacă frecvenţa curentului alternativ este ν , atunci cantitatea
de căldură degajată într-o secundă, este
B H
S W Q
,
ν ν = ⋅ = (15)
unde Hz 50 = ν .
Aria ciclului de histerezis poate fi determinată astfel.
Deoarece valoarea unei diviziuni în direcţia axei H, conform (13),
este egală cu k
x
, iar în direcţia axei B cu k
y
(14), aria unui pătrăţel
va fi (k
x
k
y
). Dacă ciclul

conţine N pătrăţele, atunci aria ciclului va fi
y x B H
k Nk S =
,
.
Substituind S
H,B
în formula (15), obţinem expresia pentru
calculul cantităţii de căldură ce se degajă în unitatea de volum în
timp de o secundă:
N k k Q
y x
ν = . (16)
1. Se repetă punctul 3 din exerciţiul 1.
2. Se ridică oscilograma ciclului de histerezis pe hârtie de calc,
apoi, suprapunând-o pe hârtie milimetrică, se calculează
numărul de pătrăţele N.
3. După formula (16) se calculează pierderile de energie la
remagnetizare.
4. Rezultatele se trec într-un tabel.

Întrebări de control
1. Ce se numeşte câmp magnetic şi cum poate fi el produs?
2. Ce se numeşte inducţie magnetică?
3. Cu ce este egală inducţia magnetică în substanţă?
4. Ce se numeşte vector de magnetizare?
5. Ce se numeşte intensitatea câmpului magnetic?
6. Ce se numeşte permeabilitate magnetică a substanţei?
7. Explicaţi fenomenul inducţiei magnetice.
44
8. Explicaţi mecanismul magnetizării diamagneticilor,
paramagneticilor şi a feromagneticilor?
9. În ce constă proprietatea de histerezis?
10. Cu ce este egală energia disipată la remagnetizarea
feromagneticilor? Deduceţi formula (16).
11. Deduceţi formulele (11) şi (12).


Lucrarea de laborator Nr.14

Determinarea sarcinii specifice a electronului prin
metoda magnetronului

Scopul lucrării: studiul mişcării electronilor în câmpuri
electrice şi magnetice încrucişate şi determinarea sarcinii specifice
a electronului.
Aparate şi accesorii: solenoid, tub electronic 6E5C şi 2Ц2С
sursă de curent continuu, voltmetru, ampermetru,
microampermetru.
Teorie (vezi p. 1.2 – 1.5).

Montajul experimental şi metoda de măsurare
Sarcina specifică a electronului se poate determina, studiind
mişcarea lui în câmpurile magnetic şi electric reciproc
perpendiculare. Astfel de câmpuri pot fi obţinute într-un tub
electronic, introdus la rândul său într-o bobină parcursă de curent.
Dacă tubul este cu doi electrozi, atunci un astfel de sistem se
numeşte magnetron.
Această lucrare de laborator se efectuează în două variante.
În prima variantă drept magnetron serveşte dioda 2Ц2С, având
anodul şi catodul în formă de cilindri coaxiali (fig. 1.21a). Vectorul
intensităţii câmpului electric E e orientat pe direcţie radială, iar
vectorul inducţiei câmpului magnetic B – paralel cu axa
electrozilor. Astfel, câmpurile electric şi magnetic sunt
45
perpendiculare în diferite puncte ale diodei. Dacă cîmpul magnetic
lipseşte, electronii emişi de catod sub acţiunea câmpului electric E
se vor mişca pe direcţii radiale spre anod (fig. 1.21b, traiectoria 1),
creând în circuitul anodic un curent dependent de tensiunea anodică
şi incandescenţa catodului se menţin constante şi se aplică un câmp
magnetic neînsemnat de inducţie perpendicular pe direcţia de
mişcare a electronilor, atunci traiectoria electronilor se va curba
(fig. 1.21b, traiectoria 2), toţi electronii vor ajunge la anod,
obţinându-se un curent anodic constant. Pe măsura creşterii
inducţiei câmpului magnetic curbura traiectoriilor electronilor va
creşte şi la o anumită valoare B
cr
numită inducţie critică, traiectoria
lor va fi tangentă pe suprafaţa anodului şi electronii se vor întoarce
pe catod (fig.1.21.b, traiectoria 3). Astfel dacă B este egal cu B
cr
,
curentul anodic se va micşora până la zero (fig.1.21.b, traiectoria
4).
a) b)
Fig. 1.21

Pentru valoarea inducţiei critice B
cr
, pentru care raza
traiectoriei electronilor r egală cu jumătate din raza anodului R,
adică 2 / R r = , se poate deduce formula pentru sarcina specifică a
electronului. Curbarea traiectoriilor electronilor e provocată de
forţa Lourentz:
[ ] B V e F
r r r
= .
Deoarece V⊥B , avem:
eVB F = ,
46
unde: e este sarcina electronului, V – viteza lui; B – inducţia
câmpului magnetic creat de solenoid.
Conform (1.19) ( )
2 1
0
2
α α
μ
cos cos nI B − = ,
m / Hn
7
0
10 4

= π μ - constanta magnetică, n – numărul de spire pe o
unitate de lungime,
1
α şi
2
α - unghiurile dintre razele vectoare duse
din punctul de pe axa solenoidului către marginile lui şi axa
solenoidului. Dacă dioda e situată în mijlocul solenoidului, rezultă:
67 0
2 1
, cos cos = = α α ,
α μ cos
0
nI B = .
Întrucât forţa lui Lourentz imprimă aici acceleraţie centripetă,
în regimul critic al solenoidului avem:
R
mv
r
mv
evB
cp
2 2
2
= = , (1)
unde: m este masa electronului, r-raza de curbură a traiectoriei
electronului şi R-raza anodului diodei. Datorită lucrului efectuat de
câmpul electric
a
eU , unde
a
U este tensiunea anodică electronul
capătă energie cinetică. Deci:
a
eU
mv
=
2
2
. (2)
Rezolvând (1) şi (2), obţinem:
cr
a
B R
U
m
e
2
8
= . (3)
Înlocuind α μμ cos nI B
scr cr 0
= în (3) obţinem :
α μ μ
2 2 2 2 2
0
2
8
cos I R n
U
m
e
scr
a
= ,
sau
2
scr
a I
I
U
K
m
e
= , (4)
47
unde:
α μ μ
2 2 2 2
0
2
8
cos R n
k = este un coeficient determinat de
parametrii circuitului; I
cr
– intensitatea curentului, corespunzătoare
inducţiei B
cr
.
Aşadar, pentru a determina m e / , trebuie măsurate experimental
tensiunea anodică U
a
şi intensitatea curentului I
scr
prin solenoid.
Intensitatea I
scr
se determină din graficul intensităţii
curentului anodic în funcţie de inducţia câmpului magnetic al
solenoidului (fig. 1.22)


Fig. 1.22

Prelungind porţiunile liniare ale graficului, se obţine un punct
de intersecţie, a cărui proiecţie pe axa I
s
ne dă valoarea curentului
I
scr
prin solenoid, corespunzătoare inducţiei B
cr
. (fig. 1.21b,
traiectoria 3). În varianta a doua în calitate de magnetron serveşte
tubul electronic 6E5C. Circuitul electronic este indicat în figura
1.23.
În circuitul dat avem potenţiometrul P, reostatele R
1
şi R
2
,
miliampermetrul mA, voltmetrul V, ampermetrul A, K
1
, K
2
, K
3

întrerupătoare, L – solenoid.
Fluxul de electroni emis de tubul 6E5C se mişcă radial în
câmpul electric de la catod spre ecran, lovind ecranul acoperit cu o
substanţă fluorescentă. Electronii provoacă luminescenţa lui,
oferind posibilitatea de a urmări vizual traiectoria electronilor.


48
Fig. 1.23

Într-un orificiu din ecran e instalat un electrod de dirijare,
unit cu anodul tubului. Tensiunea anodică este mai mică decât
tensiunea aplicată la ecran, din care cauză electrodul de dirijare
slăbeşte fluxul electronic. Pe ecran apare o umbră cu margini
liniare pronunţate (fig. 1.24).
Când tubul se află în câmp magnetic omogen, paralel cu axa
catodului, electronii deviază de la traiectoria liniară, mişcându-se
curbiliniu. Sectorul de umbră de pe ecran devine distorsionat,
curentul anodic se micşorează până la zero. Pentru calcularea
sarcinii specifice a electronului se foloseşte formula
2
scr
a II
I
U
K
m
e
= , (5)
unde K
II
– este un coeficient determinat de parametrii circuitului
electric.
Intensitatea I
scr
se determină din graficul intensităţii
curentului anodic în funcţie de curentul solenoidului pentru diverse
valori ale tensiunii anodice şi rezistenţei ecran-anod, folosind
metoda extrapolării porţiunii rectilinii curbei până la intersecţia cu
axa absciselor I
c
(fig. 1.25).
49








Fig. 1.24 Fig. 1.25

Modul de lucru
Varianta 1
1. Se studiază schema montajului experimental (vezi fig.1.26) şi
se clarifică destinaţia diferitelor elemente ale schemei.







Fig. 1.26

2. Reglatoarele şi potenţiometrul P se instalează în poziţia pentru
care curentul şi tensiunea vor fi minime.
3. Se conectează instalaţia şi se încălzeşte timp de un minut.
4. Cu ajutorul potenţiometrului P se instalează o tensiune în
limitele 60-150V.
5. Cu ajutorul reostatului R
2
lent se majorează intensitatea
curentului în solenoid I
s
şi în acelaşi timp se înregistrează
intensitatea curentului anodic I
a
.
6. Se repetă punctul 5 încă pentru două valori a tensiunii anodice U
a
.
7. Se trasează graficul ( )
s a
I f I = , din care se determină valorile
curentului critic I
scr.

50
8. După formula (4) se calculează
e
m
.

Varianta 2
1. Se studiază schema montajului experimental (fig. 1.23).
2. Se conectează instalaţia timp de un minut.
3. Cu ajutorul potenţiometrului se instalează o tensiune anodică
(după indicaţia conducătorului de lucrări).
4. Variind lent curentul în solenoid vizual se înregistrează
transformarea tabloului luminescent al ecranului diodei 6E5C
de la forma 1.24a la forma 1.24b.
5. Pentru trei tensiuni anodice se înregistrează dependenţa
( )
s a
I f I = .
6. Se trasează graficele ( )
s a
I f I = , din care se determină valorile
curentului critic I
scr.

7. După formula (5) se calculează sarcina specifică a electronului.
8. Se calculează eroarea relativă după formula

ε =





⎟ −












e
m
e
m
e
m
tabel er
tabel
exp
,
unde
e
m
tabel





⎟ este valoarea tabelară a sarcinii specifice a
electronului.

Întrebări de control
1. Ce se numeşte sarcină specifică a unei particule?
2. Explicaţi construcţia şi principiul de funcţionare a
magnetronului.
3. Care este sensul fizic al curentului critic, al inducţiei critice?
4. Deduceţi formula (4).
51
5. Deduceţi formula pentru calculul erorilor.


2. Mişcarea oscilatorie
2.1 Oscilaţii libere
Procesele oscilatorii au o largă răspândire în natură şi tehnică.
Se numeşte mişcare oscilatorie orice mişcare sau variaţie a stării
unui sistem care este caracterizată de periodicitatea în timp a
valorilor fizice ce determină această mişcare sau stare. În
dependenţă de mărimile care variază, oscilaţiile pot fi mecanice,
electromagnetice, electromecanice ş.a. În cazul oscilaţiilor
mecanice, de exemplu, variază coordonatele particulelor, valorile
vitezei, acceleraţiei şi ale altor mărimi fizice, care determină starea
corpurilor.
Ca exemple oscilatorii în mecanică pot servi oscilaţiile
pendulelor, coardelor, membranelor de telefon, cilindrilor de
motor, podurilor şi ale altor instalaţii, supuse unor forţe variabile.
în cazul oscilaţiilor electromagnetice variază periodic mărimile
sarcinilor electrice, tensiunile şi intensităţile curenţilor în circuitele
de curent alternativ, intensităţile câmpurilor electrice şi magnetice
în jurul acestor circuite.
Procesele oscilatorii diferă unele de altele din punct de vedere
calitativ prin natura lor fizică, însă din punct de vedere cantitativ
ele au multe aspecte comune şi sunt descrise de aceleaşi ecuaţii.
Un sistem fizic care efectuează oscilaţii se numeşte oscilator.
Oscilatorul deplasat de la poziţia de echilibru şi lăsat să oscileze
liber se numeşte oscilator liber, iar oscilaţiile efectuate de el se numesc
oscilaţii libere sau proprii.




52
2.2. Oscilaţii mecanice
Sistemul oscilatoriu, în care apar oscilaţii mecanice se
numeşte oscilator mecanic. În calitate de oscilator mecanic vom
analiza pendulul cu resort reprezentat în fig.2.1. O bilă de masă m
este montată pe o tijă orizontală. Un resort imponderabil este fixat
cu un capăt de bilă, iar cu altul de tijă. Dacă scoatem bila din
poziţia de echilibru, transmiţându-i o cantitate oarecare de energie,
atunci ea va începe sa efectueze oscilaţii libere.


Fig. 2.1
Să stabilim relaţia dintre forţa F ce acţionează asupra bilei şi
energia ei potenţială în câmpul acestei forţe. Fie deplasarea dx este
efectuată în intervalul de timp dt. În timpul deplasării corpului
energia potenţială variază cu dU, iar cea cinetică cu - dT. Energia
totală nu variază, deoarece sistemul este conservativ. Deci
( ) 0
2
2
= ⋅ + = + = + dv mv dU
mv
d dU dT dU
,
sau
dx F vdt
dt
dv
m mvdv dU
x
− = − = − =
,
de unde
dx
dU
F
x
− =
.
Pentru un sistem unidimensional (fig.2.1) la deplasări x mici de la
poziţia de echilibru. U(x)=1/2kx
2
şi atunci
kx kx
dx
d
F − =






− =
2
2
1
,
53
unde k este constanta elastică.
Să presupunem că sistemul se află într-un mediu vâscos care
opune rezistenţă mişcării bilei şi că forţa de rezistenţa (de frecare)
este dată de formula F
f
= -rv, unde r este coeficientul de rezistenţă
al mediului, iar v este viteza bilei. Să admitem că bila se află în
stare de echilibru în poziţia x=0 (fig.2.1). Dacă vom deplasa bila în
poziţia B, întinzând resortul, apoi o vom lăsa să se mişte, atunci ea
va începe să se mişte spre poziţia de echilibru sub acţiunea forţei
elastice a resortului F = - kx, unde x este deplasarea bilei de la
poziţia de echilibru. Energia potenţială a resortului deformat în
poziţia B se exprimă prin formula U
1
(x) = kx
2
/2, iar energia
cinetică a bilei este nulă. Pe măsură ce bila se apropie de poziţia de
echilibru, forţa de elasticitate şi energia potenţială se micşorează şi
în punctul x=0 se anulează. Energia potenţială a resortului se
transformă în energia cinetică a bilei T
1
=mv
2
/2. O parte din energia
potenţială transmisă sistemului se disipează (se efectuează lucru
împotriva forţei de rezistenţă) şi de aceea T
1
< U
1
(x).
În punctul B
1
viteza bilei este nulă. Energia cinetică a bilei s-
a transformat parţial (s-a efectuat şi lucru împotriva forţei de
rezistenţă) în energia potenţială a resortului U
2
(x)=kx
2
2
/2. Prin
urmare,U
2
(x)<T
1
. Apoi forţa elastică a resortului face bila să revină
în poziţia iniţială de echilibru ş.a.m.d. Aşadar, sub acţiunea forţelor
elastice şi de rezistenţă a mediului bila va efectua oscilaţii libere.
Datorită rezistenţei mediului, amplitudinea oscilaţiilor se va
micşora cu timpul. Peste un timp oarecare oscilaţiile vor înceta.
Energia mişcării oscilatorii se va transforma în întregime în energie
internă (termică) a sistemului. Astfel de oscilaţii libere se numesc
oscilaţii amortizate.
Deci, asupra bilei oscilante acţionează forţa elastică F=-kx şi
forţa de rezistenţă (de frecare) Ff= -rv.
Ecuaţia mişcării bilei (legea a II-a a lui Newton) poate fi
scrisă sub forma :
rv kx x m − − =
r
, sau 0 = + + x
m
k
x
m
r
x &
r
(2.1)
54
unde
2
2
dt
x d
x =
r
- este acceleraţia bilei. Ecuaţia (2.1) reprezintă
ecuaţia diferenţială a oscilaţiilor mecanice libere amortizate.
Prin analogie cu pendulul orizontal cu resort reprezentat în
fig.2.1, pentru pendulul de torsiune putem scrie ecuaţia mişcării
(legea a II-a a lui Newton pentru mişcarea de rotaţie) sub forma:
dt
d
k I
ϕ
α ϕ ϕ −

− =
r
sau 0 =

+ + ϕ ϕ
α
ϕ
I
k
I
&
r
, (2.la)
unde: ϕ , ϕ şi ϕ sunt mărimi unghiulare cinematice, 1 este
momentul de inerţie, a este coeficientul de rezistenţă a mediului, k'
este constantă elastică de torsiune, care determină momentul de
rotaţie necesar pentru a obţine o deplasare unghiulară unitară şi se
exprimă în Nm/rad.




Fig.2.la



2.3. Oscilaţii electromagnetice
Să studiem un circuit electric alcătuit din sursa de curent ε ,
condensatorul (capacitorul) C, bobina de reactantă cu rezistenţă R
(fig. 2.2)
55

Fig. 2.2
Să încărcăm capacitorul de la sursa de curent (întrerupătorul
SA în poziţia 1). Armătura superioară se va încărca cu sarcini
pozitive, cea inferioară - cu sarcini negative. Trecem întrerupătorul
SA în poziţia 2. În acest moment toată energia transmisă sistemului
este concentrată în condensatorul C, care începe să se descarce.
Prin bobina de reactanţă L va trece un curent electric. Energia
câmpului electric al capacitorului începe să se transforme în
energia câmpului magnetic al bobinei. La descărcarea capacitorului
curentul prin bobină creşte, inducând în ea o tensiune
electromotoare (t.e.m.) de autoinducţie
a
ε . Sub acţiunea t.e.m.
a
ε ,
în circuit apare un curent de autoinducţie al cărui câmp magnetic se
va opune creşterii câmpului magnetic creat de curentul primar
(regula lui Lenz). În momentul descărcării depline a capacitorului
curentul primar în bobină şi de aceea şi energia câmpului magnetic
ating valori maxime, după care încep să descrească. Ca rezultat al
variaţiei (descreşterii) câmpului magnetic apare un curent de
autoinducţie care, în conformitate cu regula lui Lenz, are acelaşi
sens ca şi curentul primar în descreştere. Aceasta duce la
reâncărcarea capacitorului, pe ale cărui armături se acumulează
sarcini de semn contrar celor iniţiale.
Către momentul dispariţiei câmpului magnetic capacitorul va
fi reâncărcat. După aceasta procesul se va repeta. Acest proces va
continua până când toată energia oscilaţiilor se va transforma în
energie termică. Aşadar într-un circuit R-L-C apar oscilaţii ale
sarcinilor electrice, curentului, tensiunii şi energiei câmpului
56
electric şi magnetic. Acest tip de circuit se numeşte circuit oscilant
şi reprezintă un oscilator electric.
În cazul considerat oscilaţiile electrice au loc în absenţa
acţiunilor externe şi de aceea oscilaţiile sunt libere sau proprii.
Deoarece o parte din energia transmisă circuitului R-L-C se
transformă în energie termică la reâncărcarea condensatorului
(conform legii Joule-Lenz), aceste oscilaţii sunt amortizate.
Vom considera drept sens pozitiv al curentului sensul lui la
încărcarea capacitorului. În acest caz prin definiţie avem i = dq/dt.
În ceea ce urmează vom considera că dimensiunile liniare l
ale circuitului nu sunt prea mari (l<<c/v, unde c=
8
10 3⋅ (m/s) este
viteza luminii în vid, v-frecvenţa oscilaţiilor în circuit), aşa că în
orice moment intensitatea curentului în toate porţiunile circuitului
este aceeaşi. Un asemenea curent se numeşte curent cvasistaţionar.
Pentru valorile instantanee ale acestui curent sunt valabile
teoremele lui Kirhhoff. Conform teoremei a doua, suma algebrică a
căderilor de tensiune pe rezistenţele circuitului este egală cu suma
algebrică a t.e.m. din circuit. În circuitul R-L-C considerat
căderea de tensiune are loc pe rezistenţa statică, U
r
=iR, şi pe
capacitor, U
c
=q/c. În circuit avem numai t.e.m. de autoinducţie
dt Ldi
a
/ − = ε şi de aceea dt Ldi c q iR / / − = + .Împărţind această
ecuaţie termen la termen la L şi înlocuind pe i cu q& , iar pe di/dt cu
q
t
obţinem:
0
1
= + + q
LC
q
L
R
q &
r
. (2.2)
Ecuaţia (2.2) reprezintă ecuaţia diferenţială a oscilaţiilor
libere amortizate ale sarcinii q în circuitul oscilant. Deoarece U =
q/c, o ecuaţie analogă poate fi scrisă şi pentru oscilaţiile diferenţei
de potenţial U
c
pe armăturile condensatorului.
2.4. Ecuaţia oscilaţiilor libere
Comparând ecuaţiile (2.1) şi (2.2.), observăm că ele se
deosebesc numai prin simboluri şi prin sensul fizic al mărimilor
57
corespunzătoare. În ecuaţia (2.2) rolul elongaţiei x îl îndeplineşte q,
rolul masei m - inductanţa L, rolul coeficientului de rezistenţă r -
rezistenţa electrică R, iar rolul coeficientului de rigiditate a
resortului k - mărimea 1/c. Aşadar, ecuaţiile (2.1) şi (2.2) pot fi
reduse la o singură ecuaţie ce descrie oscilaţiile libere atât ale
oscilatorului mecanic cât şi ale celui electric. Vom introduce
următoarele notaţii pentru oscilatorul mecanic:
S =x ,
m
k
=
2
0
ω ,
m
r
= β 2 ,
şi pentru cel electric : S = q ;
LC
1
2
0
= ω ;
L
R
= β 2 .
În acest caz ecuaţiile (2.1) şi (2.2) se vor transcrie sub forma
unei singure ecuaţii astfel:
0 2
2
0
= + + S S S ω β
&
t
, (2.3)
unde S este mărimea fizică care efectuează oscilaţii: deplasare,
sarcină electrică, tensiunea, etc. Ecuaţia (2.3) descrie mişcarea
oscilatorului liber. Parametrul ω se numeşte frecvenţă ciclică
proprie a oscilatorului, β este coeficientul de amortizare ce
caracterizează partea de energie a mişcării oscilatorii transformate
în energie termică. În cazul oscilatorului mecanic această
transformare are loc datorită forţelor de rezistenţă, iar în cel electric
datorită rezistenţei electrice a circuitului.
Sistemele fizice, în care o parte din energia mişcării ordonate
se transformă în energia mişcării dezordonate (în energia termică)
se numesc sisteme disipative, iar însuşi procesul de transformare se
numeşte disipaţie (împrăştiere) de energie.
Toate sistemele fizice sunt disipative, dar sunt posibile
cazuri, când coeficientul de amortizare β este suficient de mic
( 0 ≈ β ) şi prin urmare disiparea energiei oscilaţiilor poate fi
neglijată.



58
2.5. Oscilaţiile libere neamortizate
Oscilaţiile libere neamortizate au loc în oscilatorul, pentru
care coeficientul de amortizare β =0 în acest caz ecuaţia (2.3)
devine
0
2
0
= + S S ω
t
. (2.4)
Soluţia acestei ecuaţii diferenţiale este funcţia:
) cos(
0
α ω + = t S S
m
sau ) sin(
0
α ω ′ + = t S S
m
, (2.5)
(se poate verifica prin substituţie), unde constantele S
m
, α şi α′
se
determină din condiţiile iniţiale. Oscilatorul care efectuează
oscilaţii descrise de ecuaţia diferenţială de tipul (2.4), se numeşte
oscilator armonic, iar oscilaţiile efectuate de el se numesc oscilaţii
armonice. Ecuaţia oscilaţiilor este dată de formula (2.5). Prin
urmare, mărimea fizică care variază în timp după legea cosinusului
sau sinusului efectuează oscilaţii armonice. în cazul oscilaţiilor
mecanice mărimile S şi S
m
din formula (2.5) reprezintă deplasarea
instantanee x şi deplasarea maximă x„ , iar în cazul oscilaţiilor
electrice - sarcina instantanee q şi sarcina maximă q
m
. Valoarea
maximă pozitivă Sm(xm,qm) a parametrului variabil S(x,q) se
numeşte amplititudinea oscilaţiilor. Expresia (ω
0
t+α) se numeşte
faza oscilaţiilor, α este fază iniţială, iar ω este frecvenţa unghiulară
(ciclică). Se numeşte perioadă a oscilaţiilor armonice neamortizate
intervalul de timp după care valorile mărimilor fizice ce
caracterizează oscilaţiile se repetă. În cazul oscilaţiilor mecanice:
k
m
2 / 2 T
0
π ω π = = . (2.6)
Iar în cazul oscilaţiilor electrice:
LC 2 / 2 T
0
π ω π = = . (2.7)
După cum rezultă din formulele (2.6) şi (2.7) frecvenţa
oscilaţiilor mecanice (electrice) depinde de proprietăţile
oscilatorului: de masă (inductanţă) şi deformaţie (capacitanţă) şi nu
59
depinde de amplitudinea oscilaţiilor. Unitatea de frecvenţă este
hertzul [Hz] (o oscilaţie pe secundă).
Graficul oscilaţiei armonice, adică graficul funcţiei (2.5) reprezintă
o cosinusoidă trasată în sistemul de coordonate indicat în fig.2.3.


Fig. 2.3
Deoarece cos( α ω + t
0
) este o funcţie periodică, valorile
coordonatei se vor repeta peste intervale de timp, egale cu perioada
T. Derivând funcţia (2.5) în raport cu timpul obţinem viteza V
s
:
( ) ( ) 2 / t cos S t sin S
dt
dS
V
0 0 m 0 0 r s
π α ω ω α ω ω + + = + − = =
. (2.8)
Din formula (2.8) se vede că viteza depinde de timp de
asemenea după legea armonică. Comparând expresiile (2.5) şi (2.8)
observăm că v este în avans de fază cu n/2 faţă de S. Expresia (2.8)
în cazul oscilaţiilor mecanice şi respectiv electrice se scrie astfel:
( ) α ω ω + − = = t sin x
dt
dx
v
0 0 m
,
( ) α ω ω + − = = t sin q
dt
dq
i
o 0 m
.
Energia totală a oscilaţiilor mecanice este egală cu suma
energiei cinetice T şi a celei potenţiale U a oscilatorului mecanic:
2 2
0
2 2
2
1
2 2
m
x m
kx mv
U T E ω = + = + = .
Energia totală W a oscilaţiilor electrice este suma energiilor
câmpurilor electrice W
e
, şi a celui magnetic W
m
ale oscilatorului
electric (circuitului oscilant):
60
C
q
2
1
2
Li
C 2
q
W W W
2
m
2 2
m e
= + = + = .
Din aceste formule rezultă că energia totală a oscilaţiilor
armonice este proporţională cu pătratul amplitudinii oscilaţiilor.

2.6. Pendulul fizic
Ca exemplu de oscilator mecanic armonic să studiem
pendulul fizic, care reprezintă un solid rigid ce poate oscila în jurul
unei axe orizontale fixe, care nu trece prin centrul de masă al
corpului.
În figura (2.4) este reprezentat schematic un pendul fizic: O-
este axa de rotaţie perpendiculară pe planul desenului: C - este
centrul de masă al corpului; l - este distanţa de la axa de rotaţie O
până la centrul de masă C.

Fig. 2.4

Dacă vom scoate corpul din stare de echilibru abătându-1 de la
verticală şi lăsându-1 apoi liber, atunci sub acţiunea forţei de
gravitaţie el va începe să oscileze. Să presupunem că forţa de
rezistenţă a mediului este mică şi poate fi neglijată. Mişcarea de
rotaţie a pendulului în jurul axei 0 este descrisă de legea
fundamentală a dinamicii mişcării de rotaţie: ε
r
v
⋅ = I M unde
ϕ sin mgl mga M − = − = este momentul forţei g m
r
faţă de axa O
(semnul minus indică că momentul M
r
este orientat împotriva
61
deplasării unghiulare); I este momentul de inerţie al pendulului fată
de axa 0 :
ϕ
ϕ
ε
& &
r v
≡ =
2
2
dt
d
este acceleraţia unghiulară a pendulului.
Dacă unghiul ϕ este mic, atunci ϕ ϕ ≈ sin şi în acest caz
momentul de rotaţie M este dat de formula ϕ mgl M − = . Introducând
expresia lui M în (2.9), obţinem:
0
2
0
= + ϕ ω ϕ
t
şi, notând I / mgl
2
0
= ω , avem 0
2
0
= + ϕ ω ϕ
t
. Soluţia
acestei ecuaţii (vezi formula (2.4)) este funcţia
( )
0 0 m
t cos ψ ω ϕ ϕ + = . (2.9)
Aşadar, pendulul fizic deplasat cu un unghi mic şi lăsat liber
efectuează oscilaţii armonice. Perioada oscilaţiilor pendulului fizic
este:
mgl / I 2
2
T
0
π
ω
π
= = . (2.10)
Se numeşte pendul matematic sau pendul simplu
(gravitaţional) un sistem oscilatoriu alcătuit dintr-un punct material
de masa m suspendat de un fir inextensibil şi imponderabil sau de o
tijă rigidă imponderabilă de lungimea l
m
. Pendulul gravitaţional
simplu reprezintă un caz limită a pendulului fizic a cărui masă este
concentrată în centrul lui de masă, aşa că l=lm este lungimea
pendulului simplu. Momentul de inerţie al unui astfel de pendul
faţă de axa de oscilaţie este
2
m
ml I = .
Perioada oscilaţiilor pendulului simplu este:
g / l 2 T
m
π = . (2.11)
Comparând formulele (2.10) şi (2.11) observăm că perioada
oscilaţiilor pendulului fizic este egală cu perioada oscilaţiilor unui
pendul matematic cu lungimea l
r
= I/ml, numită lungime
echivalentă a pendulului fizic; l
r
>l (vezi fig.2.4). Punctul O' se
numeşte centrul de oscilaţie al pendulului fizic. Centrul de oscilaţie
şi punctul de suspensie se bucură de proprietatea de reciprocitate:
62
dacă pendulul va fi suspendat ca axa de oscilaţie sa treacă prin
punctul O', atunci punctul O va deveni un nou centru de oscilaţie.
În acest caz lungimea echivalentă şi perioada de oscilaţie a
pendulului fizic rămân neschimbate.
2.7. Oscilaţii amortizate
Orice sistem oscilatoriu real este un sistem disipativ şi de
aceea coeficientul de amortizare β din ecuaţia (2.3) este diferit de
0. Soluţia acestei ecuaţii (când β <ω ) este funcţia
( ) α ω
β
+ ⋅ =
⋅ −
t e S S
t
m
cos
0
, (2.12)
unde
0
m
S şi α sunt mărimi constante, determinate de condiţiile
iniţiale; ω este frecvenţa ciclică a sistemul disipativ definită de
expresia
2 2
0
β ω ω − = , care în cazul oscilaţiilor mecanice şi celor
electrice se transcrie respectiv sub forma:
2
2
m 4
r
m
k
− = ω ,
2
2
L 4
R
LC
1
− = ω .
Din (2.12) rezultă că amplitudinea acestor oscilaţii depinde de timp
după legea:
( )
t
m m
e S t S
0
⋅ −
=
β
, (2.13)
şi, prin urmare, peste un timp oarecare ea va deveni egală cu zero.
Aceasta înseamnă, că şi energia oscilaţiilor va deveni egală cu zero.
Aşadar într-un sistem disipativ oscilaţiile sunt amortizate.
Dependenţa S de timp, exprimată prin formula (2.12), este
reprezentată grafic în fig. 2.5. Oscilaţiile într-un sistem disipativ
sunt aperiodice, fiindcă nu se repetă (ca de exemplu valoarea
maximă S
m
). De aceea parametrul ω nu poate fi considerat ca
frecvenţă ciclică decât în mod convenţional.

63

Fig. 2.5
Intervalul de timp între două valori maxime consecutive S
m
de
acelaşi semn poate fi numit convenţional perioadă a oscilaţiilor
amortizate :
2 2
0
2 2
T
β ω
π
ω
π

= = . (2.14)
Când disiparea energiei oscilaţiilor este considerabilă (la
β >
0
ω ) ,sistemul oscilatoriu scos din starea de echilibru revine la
această stare la un interval de timp infinit de lung. Astfel de
procese se numesc procese aperiodice.
Raportul dintre valorile amplitudinilor oscilaţiilor amortizate
în momentele t şi T+t (unde T este perioada convenţională) se
numeşte decrementul amortizării, iar logaritmul natural al
acestuia
este decrementul logaritmic al amortizării - δ .
În conformitate cu (2.13) avem:
( )
( )
( )
T
e S
e S
n
T t S
t S
ln
T t
m
t
m
m
m
0
0
β δ
β
β
= =
+
=
+ −
⋅ −
. (2.15)

2.8. Oscilaţii forţate

Într-un sistem disipativ energia oscilaţiilor se transformă
treptat în energia mişcării haotice a atomilor şi moleculelor şi de
aceea oscilaţiile sunt amortizate. Se pot obţine oscilaţii
neamortizate dacă, asupra sistemului se exercită o acţiune externă
64
periodică. În acest caz oscilaţiile nu mai sunt libere, ci devin
forţate. De exemplu, pot fi obţinute oscilaţii mecanice forţate, dacă
la o greutate suspendată de un resort se aplică o forţă periodică F(t)
numită forţă exterioară (fig. 2.6). În oscilatorul electric rolul
acţiunii externe poate fi îndeplinit de o tensiune electromotoare
variabilă (t.e.m.) ε(t) inclusă în circuitul oscilant.


Fig. 2.6

Aşadar, asupra oscilatorului care efectuează oscilaţii forţate
acţionează o forţă externă periodică. În particular, această acţiune
periodică poate varia după legea armonică:
( ) t F t F ⋅ Ω = cos
0
t ⋅ Ω = cos
0
ε ε .
În acest caz pentru orice oscilator armonic ecuaţia
diferenţială a mişcării oscilatorii se va scrie astfel:
t f S S S ⋅ Ω = + ⋅ + cos 2
0
2
0
ω β
&
t
, (2.16)
unde f
0
= F/m este raportul dintre amplitudinea forţei exterioare şi
masă în cazul oscilatorului mecanic, iar L / f
0 0
ε = este raportul
dintre amplitudinea t.e.m. externe şi inductanţă în cazul
oscilatorului electric, Ω este frecvenţa forţei externe β şi
0
ω sunt
coeficienţii de amortizare şi frecvenţa proprie a oscilatorului. Se
poate demonstra că o soluţie particulară a ecuaţiei (2.16) este dată
de expresia:
( ) α ω + ⋅ = t cos S S
m
. (2.17)
Prin urmare, mărimea S efectuează oscilaţii armonice forţate cu
aceeaşi frecvenţă, ca şi forţa externă, şi cu amplitudinea
65
( )
2
2
2
2 2
0
0
m
4
f
S
ω
β ω ω + −
= , (2.18)
dependentă, de asemenea, de ω şi cu defazajul α dat de formula
2 2
0
2
tg
ω ω
βω
α

− = . (2.19)
Procesul stabilirii oscilaţiilor forţate poate fi explicat în felul
următor. Îndată ce asupra oscilatorului începe să acţioneze forţa
externă, amplitudinea oscilaţiilor începe să crească. Odată cu
creşterea amplitudinii vor creşte şi pierderile de energie ale
oscilaţiilor. Peste un timp oarecare, numit durata regimului
tranzitoriu de stabilire a oscilaţiilor forţate, va veni un moment
când pierderile energiei vor fi compensate de sursa externă de
energie şi atunci se va stabili un regim permanent de oscilaţii cu
amplitudinea constantă S. Acest proces este reprezentat grafic în
fig.2.7.


Fig. 2.7
Amplitudinile oscilaţiilor forţate mecanice şi electrice sunt
egale respectiv cu:
( )
2 2
2
2
0
m m
r m k
F
x S
ω ω + ⋅
= = , (2.20)
( )
2
2
0
m m
R L C / 1
q S
+ −
= =
ω ω ω
ε
. (2.21)
Derivând (2.17) în raport cu timpul, aflăm că rapiditatea
variaţiei mărimii S de asemenea are loc după legea armonică:
66
( ) ( ) 2 / cos sin π α ω ω α ω ω + + ⋅ = + ⋅ − = t S t S S
m m
&
. (2.22)
Din (2.22) rezultă că oscilaţiile vitezei S sunt în avans de fază
faţă de oscilaţiile forţate S cu π/2, iar faţă de forţa externă sunt în
defazaj cu unghiul
α
π
ψ + =
2
dat de formula:
βω
ω ω
α α
π
ψ
2
ctg )
2
( tg tg
2 2
0

− = − = + = . (2.23)
Conform ecuaţiei (2.22) amplitudinea oscilaţiei vitezei S este
( ) ω
m
S S =
&
, iar ţinând seama de (2.17) obţinem:
( ) ( )
2 2
2
2 2
0 0
4 ω β ω ω ω + − = f S
m
&
. (2.24)
În particular din (2.21) şi (2.24) rezultă că amplitudinea
oscilaţiilor mărimii q în cazul oscilatorului electric (adică
amplitudinea oscilaţiilor intensităţii curentului electric în circuitul
oscilant) este
( ) ( )
2 2
0
)
1
( L
C
R q i q S
m m m m
ω
ω
ε ω − + = = = = &
&
. (2.25)
În formula (2.25) C ω / 1 este reactanţă capacitivă X
c
, iar L ω
este reactanţă inductivă X
L
.
Amplitudinea oscilaţiilor forţate de regim permanent depinde
de frecvenţa ω a forţei externe. La o oarecare frecvenţă
SR
ω bine
determinată pentru oscilatorul dat, amplitudinea oscilaţiilor forţate
atinge valoarea maximă.
67
Fenomenul creşterii bruşte a amplitudinii oscilaţiilor forţate,
când ω se apropie de
SR
ω se numeşte rezonanţă, iar frecvenţa
SR
ω
- frecvenţa de rezonanţă.
Din formula (2.25) rezultă că în cazul Ω = ω are loc
rezonanţa: amplitudinea (S)y, atinge valoarea maximă. Prin
urmare, frecvenţa de rezonanţă a oscilaţiilor vitezei S este egală cu
frecvenţa proprie a oscilatorului:
ω = Ω . (2.26)
Aceasta frecvenţa în cazul oscilaţiilor electrice este :
LC
r
1 = = Ω ω . (2.27)
Introducând (2.27) în (2.25) obţinem că amplitudinea de
rezonanţă a oscilaţiilor curentului în circuitul oscilant este:
R i
mr 0
ε = . (2.28)
Graficul amplitudinii curentului pentru diferite valori ale lui
β este reprezentat în figura (2.8). Când 0 → ω curbele de
rezonanţă converg în punctul cu ordonata i
m
= 0.


Fig.2.8

Prin urmare, când 0 = ω , în circuitul oscilant care conţine t.e.m.
constantă
0
ε , curentul electric este nul, deoarece curentul continuu
nu trece prin capacitor.


2.9. Compunerea oscilaţiilor reciproc perpendiculare
68
Să studiem mişcarea compusă a unui punct material, care
participă concomitent la două mişcări oscilatorii reciproc
perpendiculare de aceeaşi perioadă. Alegem originea sistemului de
referinţă astfel ca faza iniţială a oscilaţiilor în direcţia axei X să fie
egală cu zero. În acest caz ecuaţiile oscilaţiilor în direcţiile axelor X
şi Y se vor scrie sub formă de
t x x
m
⋅ = ω cos , ( ) α ω + ⋅ = t y y
m
cos , (2.29)
unde α este diferenţa de fază dintre cele două oscilaţii. Să
determinăm ecuaţia traiectoriei, pe care se mişcă punctul, luând
parte la ambele oscilaţii. Pentru aceasta din ecuaţia (2.29) eliminăm
timpul t şi ca rezultat obţinem ecuaţia:
α α
2
2
2
2
2
sin cos
2
= − +
m m m m
y x
xy
y
y
x
x
, (2.30)
care reprezintă ecuaţia unei elipse cu axele orientate arbitrar. Să
examinăm câteva cazuri particulare: Când α =0 şi π α = , elipsa
degenerează în dreptele: x
x
y
y
m
m
= şi x
x
y
y
m
m
− = . În primul caz
punctul efectuează oscilaţii armonice de-a lungul dreptei situate în
cadranele 1 şi 3 (fig.2.9a), iar în cazul al 2-lea în cadranele 2 şi 4
(fig.2.9b).
Fie 2 π α ± = , atunci ecuaţia (2.30) ia forma: 1
2
2
2
2
= +
m m
y
y
x
x

Prin urmare, în acest caz corpul se mişcă pe o elipsă redusă la axele
de coordonate, semiaxele elipsei fiind egale cu amplitudinile
corespunzătoare ale oscilaţiilor. Dacă amplitudinile sunt egale,
atunci elipsa se transformă într-o circumferinţă.
Cazul 2 π α = corespunde mişcării corpului pe elipsă
(circumferinţă) în sens orar: cazul 2 π α − = corespunde mişcării
corpului în sens antiorar (fig.2.9c).

69
b c

Fig. 2.9
Dacă frecvenţele oscilaţiilor reciproc perpendiculare care se
compun nu sunt egale, atunci traiectoria mişcării punctului material
reprezintă curbe complicate, numite figuri Lissajoux. Aceste figuri
sunt trasate în fig. (2.10) pentru câteva cazuri particulare. Se
constată că cu cât raportul frecvenţelor oscilaţiilor care se compun
este mai aproape de unitate, cu atât mai complicate sunt figurile
Lissajoux.


Fig.2.10


Lucrarea de laborator Nr.15.

Studiul mişcării oscilatorii a pendulului de
torsiune
70
Scopul lucrării: studiul oscilaţiilor proprii ale pendulului de
torsiune.
Aparate şi accesorii: ramă, electromagnet, traductor
fotoelectric, scară pentru măsurarea unghiurilor, cronometru digital
universal.
Teorie (vezi paragrafele 2.1, 2.2, 2.4, 2.5, 2.7).

Montajul experimental. Metoda de măsurare
Pendulul de torsiune este un sistem oscilatoriu alcătuit dintr-
un corp simetric suspendat de un fir elastic care e supus unei
acţiuni de răsucire. Montajul de laborator (fig.2.11) se compune
din: rama 1 fixată cu sârme elastice de oţel 2, scara goniometrică 5,
cronometrul digital universal 6. Toate elementele instalaţiei sunt
fixate pe suportul 7. Construcţia ramei permite fixarea în ea a unor
corpuri de diferite dimensiuni pentru a putea modifica momentul de
inerţie al pendulului. Electromagnetul 3 serveşte pentru fixarea
ramei în poziţia unghiulară iniţială.


Fig. 2.11
Rama, oscilând, intersectează fasciculul de lumină ce cade pe
contorul fotoelectric 4, pornind cronometrul electronic.
Pendulul efectuează oscilaţii în jurul axei verticale. Mişcarea
unui astfel de sistem este descrisă de deplasarea unghiulară ϕ .
71
Valoarea instantanee a lui ϕ satisface ecuaţia diferenţială de tipul
(2.1 a):
0 2
2
0
= + + ϕ ω ϕ β ϕ &
t
,
unde: I 2 / α β = este coeficientul de amortizare I k / = ω , este
frecvenţa ciclică a oscilaţiilor proprii în absenţa amortizării
(mărimile, α ,I, k' sunt date în p.2.2.). Dacă coeficientul de
amortizare este mic ( β <
0
ω ) atunci soluţia acestei ecuaţii poate fi
scrisă sub forma :
( )
0 0
sin θ ω ϕ
β
+ ⋅ =
⋅ −
t e A
t
,
unde: A
0
este amplitudinea iniţială, ω - frecvenţa oscilaţiilor
amortizate,
0
θ -faza iniţială. Această soluţie ne arată că în prezenţa
rezistenţei pendulul de torsiune efectuează oscilaţii amortizate cu
amplitudinea descrescătoare:
t
e A A
⋅ −
=
β
0
.Gradul de amortizare a
oscilaţiilor este caracterizat de decrementul logaritmic al
amortizării β , care este logaritmul natural al raportului dintre două
valori maxime ori minime succesive ale mărimii variabile. În cazul
oscilaţiilor libere amortizate:
( )
( ) T t A
t A
+
= ln β ,
unde A(t) este amplitudinea la un moment oarecare t, iar A(t+T) -
amplitudinea peste o perioadă T (fig. 2.12).

72

Fig. 2.12
De asemenea este comodă utilizarea noţiunii de factor de
calitate al sistemului oscilant. Factorul de calitate Q al unui sistem
care efectuează oscilaţii amortizate este egal cu produsul dintre π 2
şi raportul dintre energia E(t) a sistemului la un moment arbitrar t şi
descreşterea acestei energii în decurs de o perioadă T:
( )
( ) ( ) T t E t E
t E
Q
+ −
= π 2
.
În cazul sistemelor cu amortizare mică, adică cu factor de
calitate mare, acesta este legat de decrementul logaritmic al
oscilaţiilor prin expresia:
λ
π
= Q
. (1)
Exerciţiul 1. Determinarea perioadei oscilaţiilor proprii ale
ramei (T )
Se apasă pe butonul "Reţea" de pe panoul frontal al
dispozitivului. Se apasă pe butonul "Anulare", după care trebuie să
apară zero. Rotind rama pendulului, se aduce acul ramei la
electromagnet. Deplasarea unghiulară iniţială trebuie să fie între
limitele 60-80 de grade.
Se apasă pe butonul "Start". Electromagnetul se decuplează şi
atunci rama începe sa efectueze o mişcare oscilatorie. După
semnalul traductorului fotoelectric se declanşează contoarele de
73
perioade şi timp. Când contorul de perioadă va indica 9 perioade,
se apasă pe butonul "Stop". Aparatul va continua să numere
automat timpul a 10 perioade. Se determină T
0
.
Exerciţiul 2. Determinarea perioadei T
2
oscilaţiilor proprii ale
sistemului cu moment de inerţie mărit
Se fixează în ramă cu ajutorul şuruburilor un corp de formă
cubică având masa m = (980 ± 1) g. latura a =(50±0,5) mm şi
momentul de inerţie I=l/6ma
2
.
Se repetă modul de lucru din exerciţiul 1. Se determină T, .
Pe baza perioadelor măsurate Ty şi T, se determină momentul de
inerţie al ramei / şi constanta elastică torsională k' a sârmei de oţel,
prin care este fixată rama după formulele:
2
0 1
2
0
0
T T
T
I I

= , (2)
2
0
2
1
2
4
T T
I
k

= ′
π
. (3)
Exerciţiul 3. Determinarea decrementului logaritmic de
amortizare şi a factorului de calitate al sistemului oscilant.
Se scoate corpul din ramă. Se apasă pe butonul "Anulare". Se
aduce acul ramei la electromagnet şi se notează deplasarea
unghiulară iniţială. Se apasă pe butonul "Start". Când amplitudinea
oscilaţiilor se micşorează de două ori, se apasă pe butonul "Stop".
Se citeşte numărul de perioade efectuate în acest interval de timp.
Se determină decrementul logaritmic al amortizării după
formula:
( )
( ) nT t A
t A
n +
= ln
1
β , (4)
unde A(t+nT) este amplitudinea după n perioade de oscilaţie.
Se determină factorul de calitate a sistemului oscilant,
folosind formula (1.31).
74
Se calculează erorile.

Întrebări de control
1. Daţi exemple de oscilatoare care efectuează oscilaţii torsionale.
2. Deduceţi ecuaţia diferenţială a oscilaţiilor torsionale simple.
3. Comparaţi ecuaţiile diferenţiale ale oscilaţiilor torsionale şi
liniare.
4. În ce condiţii apar oscilaţiile libere ale unui sistem?
5. Cum poate fi schimbat momentul de inerţie al pendulului de
torsiune?
6. Daţi definiţia decrementului logaritmic al amortizării şi
explicaţi sensul fizic al acestei mărimi.
7. Deduceţi formulele (2) şi (3).
8. Care este relaţia între factorul de calitate şi decrementul
logaritmic de amortizare al unui sistem oscilant.


Lucrarea de laborator Nr.16.

Studiul pendulului fizic
Scopul lucrării: determinarea valorii acceleraţiei
gravitaţionale cu ajutorul pendulului gravitaţional simplu
(matematic) şi a pendulului fizic.
Aparate şi accesorii: stativ, pendul matematic, pendul fizic
reversibil, traductor fotoelectric, cronometru electronic universal.
Teorie (vezi paragrafele 2.1 2.6).

Montajul experimental. Metoda măsurărilor
Instalaţia experimentală reprezentată în fig. 2.13 constă din
un suport 1, un tub vertical 3, pe care sunt fixate consola superioară
75
4 cu pendulul matematic şi pendulul fizic şi consola inferioară 5 cu
traductorul fotoelectric şi cronometrul universal.



Fig. 2.13
Majoritatea metodelor indirecte de măsurare a acceleraţiei
gravitaţionale sunt bazate pe utilizarea formulelor pentru perioada
de oscilaţie a pendulului gravitaţional (matematic) şi celui fizic.
g
l
2 T π = . (1)
g
l
2
mga
I
2 T
r
π π = = ,
unde: l este lungimea pendulului, I este momentul de inerţie a
pendulului fizic, a-distanţa de la punctul de suspensie până la
centrul de masă m, iar l este lungimea redusă a pendulului fizic,
adică lungimea unui pendul matematic sincron cu cel fizic.
Mărimile 1 şi a pot fi determinate cu mare precizie. Pentru a
elimina aceste mărimi din formula de calcul, se utilizează metoda
bazată pe măsurarea perioadelor de oscilaţie a pendulului fizic,
reversibil care constă dintr-o bară de oţel pe care sunt fixate două
prisme de sprijin P
1
şi P
2
şi două greutăţi F
1
şi F
2
, (fig.2.14).

76

Fig. 2.14
Să admitem că greutăţile se află în astfel de poziţie că
perioadele de oscilaţie ale pendulului T
1
, şi T
2
în jurul celor două
prisme coincid. În acest caz avem:
mga
I
2 T T T
2
2 1
π = = = şi
2
2
1
1
ma
I
ma
I
= , adică
r r
l l
2 1
= .
Pe de altă parte, conform teoremei lui Steiner, momentele de
inerţie I
1
şi I
2
pot fi scrise sub forma:
2
1 0 1
ma I I + = şi
2
2 0 2
ma I I + = ,
unde I
0
este momentul de inerţie al pendulului faţă de axa care trece
prin centrul de masă, paralel cu axa de rotaţie.
Eliminând I
1
, (ori I
2
) din aceste formule, având în vedere
coincidenţa perioadelor celor două pendule fizice (l
1r
=l
2r
), obţinem
formule pentru determinarea acceleraţiei gravitaţionale:
( )
r
2
2
2 1
2
2
l
T
4
a a
T
4
g
π π
= − = (2)
unde l este lungimea redusă a pendulului reversibil care este egală
cu distanţa dintre prisme (fig.2.14).


77
Determinarea acceleraţiei gravitaţionale cu ajutorul
pendulului fizic reversibil.
Rotind consola 4, se instalează pendulul fizic lângă
traductorul fotoelectric. Se fixează greutăţile pe bară asimetric,
astfel încât una din ele să fie în apropiere de capătul barei, iar
cealaltă - în apropiere de mijlocul ei.
Prismele se fixează pe ambele părţi ale centrului de masă cu
părţile ascuţite orientate una spre alta.
Prisma P
1
se fixează lângă capătul liber al barei, iar P
2
- la o
jumătate din distanţa dintre greutăţi (fig. 2.14).
Se fixează pendulul cu prisma P
1
, pe consola superioară. Se
pune pendulul în mişcare, deplasând cu 4-5 grade de la poziţia de
echilibru. Se apasă pe butonul "Anulare". După 9 oscilaţii se apasă pe
butonul "Stop" şi se notează timpul a 10 oscilaţii. Se calculează
perioada oscilaţiilor T
1
.
Se suspendă pendulul pe cealaltă prismă P. Se repeta modul
de lucru ca şi in cazul prismei P
1
si se calculează perioada
oscilaţiilor T
1
, care se compară cu T
2
..
Dacă
2 1
T T ≠ , se schimbă poziţia prismeiP
2
astfel încât să se
obţină
2 1
T T = , cu precizia de 5%. Poziţiile prismei P
1
şi a
greutăţilor rămân neschimbate.
Se determină lungimea l
r
a pendulului reversibil, numărând
striaţiile de pe bară între prisme.
După formula (2) se calculează acceleraţia gravitaţională. Se
compară valorile lui g obţinute prin cele două metode. Se estimează
erorile.

Întrebări de control
1. Ce reprezintă pendulul gravitaţional simplu (matematic)?
2. Daţi definiţia pendulului fizic. Deduceţi formula pentru
perioada oscilaţiilor pendulului fizic.
78
3. Ce este pendulul fizic reversibil?
4. Cum depinde perioada oscilaţiilor pendulului fizic de distanţa
5. între punctul de suspensie şi centrul de masă?
6. În ce parte trebuie deplasată prisma P
2
pentru a micşora
perioada oscilaţiilor?
7. Deduceţi formula (1.35).
8. Daţi definiţia lungimii reduse şi a centrului de masă al
pendulului fizic.


Lucrarea de laboratorNr.17.

Studiul oscilaţiilor libere într-un circuit oscilant
Scopul lucrării: observarea oscilaţiilor amortizate pe ecranul
oscilografului şi determinarea coeficientului de amortizare a
oscilaţiilor m circuitul oscilant R-L-C.
Aparate şi accesorii: sursa de curent continuu, capacitor
(condensator), inductor (solenoid), rezistor, releu de polarizare,
oscilograf.
Teoria (v. paragrafele 2.1, 2.3-2.5, 2.7)

Montajul experimental. Metoda măsurărilor
Pentru a obţine pe ecranul oscilografului dependenţa
intensităţii curentului de timp t cos e i i
t
m
⋅ =
⋅ −
ω
β
,se poate utiliza
instalaţia reprezentată schematic în figura 2.15.
La plăcile verticale ale oscilografului se aplică tensiunea
U=iR, proporţională cu intensitatea curentului i din circuitul
oscilant. Releul de polarizare conectează alternativ capacitorul la
sursa de curent continuu şi la circuitul oscilant.
79

Fig. 2.15
În acest caz pe ecran apare graficul unor oscilaţii amortizate
(fig.2.16). Coeficientul de amortizare a oscilaţiilor se determină
după formula (2.15).

Fig. 2.16
Decrementul logaritmic al amortizării oscilaţiilor
) (
) (
ln
T t i
t i
m
m
+
= δ poate fi determinat, măsurând amplitudinile i
m
şi
i
m+1
, observate pe ecranul oscilografului. Pentru a determina
perioada T, este necesar să ştim intervalul de timp ce corespunde
distanţei t Δ pe axa orizontală a oscilografului între două maxime
succesive ale curentului. În acest scop axa orizontală a
oscilografului se gradează în felul următor. Instalaţia se
deconectează de la plăcile verticale ale oscilografului. La aceste
plăci se conectează o sursă de oscilaţii de frecvenţa v cunoscuta.
(Poziţia butoanelor oscilografului nu se va schimba). Dacă pe o
porţiune a axei orizontale pe lungimea l se înregistrează n oscilaţii
complete, atunci perioadei T
1
, a oscilaţiilor de frecvenţa cunoscută
v îi corespunde pe axa orizontală distanţa l/n. Poziţia butoanelor de
80
reglaj ale oscilografului nu s-a schimbat şi de aceea are loc
egalitatea:
1
/ T
T
n l
t
=
Δ
,
unde ν / 1
1
= T este perioada oscilaţiilor de frecvenţa cunoscută. Prin
urmare, perioada T a oscilaţiilor amortizate studiate este:
1
T
l
n x
T
⋅ Δ
= .
Pe de alta parte, N L x / = Δ unde L este lungimea axei
orizontale a oscilografului, iar N este numărul de oscilaţii complete
amortizate de pe această axă. Aşadar, perioada oscilaţiilor studiate
este dată de formula :
ν Nl
Ln
T = .

Întrebări de control
1. Care sisteme fizice se numesc sisteme disipative?
2. Ce relaţie există între frecvenţa ciclică şi perioada oscilaţiilor?
3. De ce pentru oscilaţiile amortizate noţiunea de perioadă este
convenţională?
4. Explicaţi mecanismul apariţiei oscilaţiilor electrice libere în
circuitul oscilant.
5. Deduceţi ecuaţia diferenţială a oscilaţiilor electrice libere în
circuitul oscilant R-L-C.
6. Ce caracterizează coeficientul de amortizare a oscilaţiilor libere
şi de ce parametri depinde el?
7. Daţi definiţia decrementului logaritmic de amortizare a
oscilaţiilor libere.
81
8. Ce relaţie există între coeficientul de amortizare şi decrementul
logaritmic de amortizare?
9. Explicaţi, cum se obţin pe ecranul oscilografului oscilaţiile
electrice amortizate.
10. Deduceţi formula pentru determinarea perioadei oscilaţiilor
electrice amortizate cu ajutorul oscilografului.


3. Mişcarea ondulatorie

3.1. Noţiuni generale

Procesul propagării oscilaţiilor în spaţiu, care se manifestă
prin transferul energiei acestuia, se numeşte proces ondulator sau
undă. Dacă oscilaţiile sunt armonice, atunci undele
corespunzătoare se numesc monocromatice.
Unda este longitudinală, dacă direcţia oscilaţiilor coincide
cu direcţia propagării, şi transversală, dacă direcţia oscilaţiilor este
perpendiculară pe direcţia de propagare.
Se disting următoarele tipuri de unde: elastice,
electromagnetice şi unde pe suprafaţa lichidelor. Unde elastice sau
mecanice se numesc deformaţiile mecanice care se propagă într-un
mediu elastic. Undele elastice se pot propaga numai în mediu
material. Mişcarea oscilatorie a unei particule a substanţei se
transmite particulelor învecinate datorită atracţiei şi respingerilor
particulelor şi astfel apare unda elastică. În acest proces particulele
nu sunt transportate de undă, ele numai oscilează în jurul poziţiilor
de echilibru. Undele elastice pot fi atât transversale, cât şi
longitudinale. Undele elastice transversale pot lua naştere şi se pot
propaga numai în corpurile solide, în care e posibilă deformaţia de
82
alunecare. Undele elastice longitudinale pot apărea şi se pot
propaga atât în corpuri solide, cât şi în lichide şi gaze. Undele
elastice cu frecvenţele cuprinse în intervalul 16-20000 Hz sunt
percepute de organul auditiv al omului şi sunt numite unde sonore
sau acustice. Undele electromagnetice reprezintă un câmp
electromagnetic variabil care se propagă în spaţiu. Undele
electromagnetice sunt transversale şi se pot propaga atât în medii
materiale, cât şi în vid.
Frontul undei este locul geometric al punctelor din spaţiu, la
care au ajuns oscilaţiile către momentul t şi reprezintă o suprafaţă
ce separă spaţiul deja antrenat în procesul ondulatoriu de acela în
care oscilaţiile încă nu au apărut.
Viteza cu care se propagă frontul undei în spaţiu se numeşte
viteza de fază.
Suprafaţa de undă se numeşte locul geometric al punctelor
ce oscilează în aceeaşi fază. Spre deosebire de frontul undei,
suprafaţa de undă este nemişcată. În funcţie de forma suprafeţei de
undă există unde plane, sferice, cilindrice etc. Frontul undei plane
este un plan, al undei sferice - o sferă.
Lungime de undă se numeşte distanţa parcursă de undă în
decursul unei perioade T sau distanţa dintre cele mai apropiate
puncte care oscilează în aceeaşi fază:
ν λ / v vT = = , (3.1)
unde: v - viteza de fază a undei, v = 1/7' - frecvenţa oscilaţiilor.
Perturbaţia S a mediului sau a câmpului în punctul dat al
spaţiului este determinată de poziţia ei (de exemplu, de coordonata
x) faţă de sursa de oscilaţii şi de momentul t de observaţie.
Oscilaţiile ajunse în punctul din spaţiu cu coordonata x vor avea loc
după legea:
( ) ( ) v / x t cos S t , x S
m
− = ω , (3.2)
83
unde: S
m
, este amplitudinea oscilaţiei, ω - frecvenţa ciclică, t -
timpul măsurat de la începutul oscilaţiilor sau
( ) ( ) kx t cos S t , x S
m
− ⋅ = ω . (3.3)
unde λ π / 2 k = este numit numărul de undă. Ecuaţia (3.2) sau
(3.3) reprezintă ecuaţia undei progresive plane ce se propagă de-a
lungul axei x. Viteza de fază a acestei unde este:
k dt
dx
v
ω
= = . (3.4)
Ecuaţia undei plane ce se propagă în sens opus se va scrie sub
formă:
( ) ( ) v / x t cos S t , x S
m
+ = ω , (3.5)
sau
( ) ( ) kx t cos S t , x S
m
+ ⋅ = ω . (3.6)
Fazele
1
ϕ , şi
2
ϕ ale oscilaţiilor în două puncte din spaţiu cu
coordonatele x
1
şi x
2
sunt:
1 1
kx t + ⋅ = ω ϕ şi
2 2
kx t − ⋅ = ω ϕ
iar diferenţa lor:
( ) x
2
x x k
1 2 1 2
Δ
λ
π
ϕ ϕ ϕ Δ = − = − = ,
adică
x
2
Δ
λ
π
ϕ Δ = . (3.7)
Ecuaţia oricărei unde este soluţia ecuaţiei diferenţiale:
2
2
2 2
2
2
2
2
2
t
S
v
1
z
S
y
S
x
S
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
= + + , (3.8)
numite ecuaţia de undă, unde x, y, z sunt coordonatele punctului în
care se produce perturbaţia ; v - viteza de fază a undei.
Vitezele de fază ale undelor elastice şi electromagnetice ce se
propagă într-un mediu sunt dependente de proprietăţile acestuia.

84

Fig. 3.1
În spaţiu se pot propaga concomitent oscilaţii de la diverse
surse. Experienţele ne demonstrează, că diverse sisteme de unde se
propagă în spaţiu independent unele de altele şi fiecare undă excită
oscilaţii în punctul de observaţie independent de alte unde. Drept
rezultat se efectuează o oscilaţie compusă care poate fi reprezentată
ca suma oscilaţiilor excitate de către toate undele. Acesta este
principiul superpoziţiei (suprapunerii) undelor. Dacă sursele de
undă oscilează cu frecvenţe egale, au aceleaşi direcţii de oscilaţii şi
faze egale sau o diferenţă constantă a fazelor, atunci astfel de surse
şi undele emise de ele se numesc coerente. În urma suprapunerii
undelor coerente are loc o redistribuire în spaţiu a energiei.
Fenomenul redistribuirii în spaţiu a energiei undelor coerente în
urma suprapunerii acestora se numeşte interferenţă.
3.2. Unde staţionare
Undele staţionare reprezintă un caz particular de interferenţă
a două unde plane cu amplitudini egale care se propagă în direcţii
opuse:
( ) kx t cos S S
m 1
− ⋅ = ω ,
( ) kx t cos S S
m 2
+ ⋅ = ω .
Oscilaţia rezultantă în punctul cu coordonata x este egală cu
suma oscilaţiilor S
1
şi S
2
:
( ) t cos kx cos S 2 S S S
m 2 1
⋅ = + = ω , (3.9)
sau
85
t cos x
2
cos S 2 S
m







= ω
λ
π
. (3.10)
Ecuaţia (3.10) reprezintă ecuaţia undei plane staţionare de
amplitudine
x
2
cos S 2 S
m stat
λ
π
= . (3.11)
În expresia (3.11) se vede ca amplitudinea undei staţionare
S
stat
este o funcţie de coordonată. În toate punctele ale căror
coordonate satisfac condiţia:
, n x
2
π
λ
π
± = ( ) K 2 , 1 , 0 n = , (3.12)
amplitudinea este maximă şi egală cu 2S. Astfel de puncte sunt
numite antinoduri ale undei staţionare. În punctele cu coordonatele
care satisfac condiţia:
π
λ
π






+ ± =
2
1
n x
2
, (n=0,1,2...), (3.13)
amplitudinea oscilaţiilor este nulă. Astfel de puncte se
numesc noduri ale undei staţionare. Din condiţiile (3.12) şi (3.13)
se obţin coordonatele antinodurilor:
2
n x
antinod
λ
± = , (3.14)
2 2
1
x x
nod
λ






+ ± = . (3.15)
Distanţa dintre două antinoduri succesive este egală cu
distanţa dintre două noduri succesive şi este egală cu 2 / λ , distanţa
dintre un antinod şi un nod învecinat este egală cu 4 / λ (vezi
fig.3.2).
Toate punctele ce se află între două noduri vecine oscilează
în aceeaşi fază, iar punctele ce se află de diferite părţi ale nodului -
în faze opuse. În fig. 3.2 sunt reprezentate trei stări ale punctelor
antrenate în oscilaţiile undei transversale staţionare separate prin
intervale de timp egale cu T/4.
86

Fig. 3.2

Săgeţile indică mărimea şi sensul vitezelor diferitelor puncte
la momentul t+T/4, când ele trec prin poziţia de echilibru. Undele
staţionare nu transportă energie.
3.3. Unde staţionare în coarda tensionată
În coarda tensionată fixată la ambele capete şi scoasă din
poziţia de echilibru apar oscilaţii transversale, iar de-a lungul
coardei se stabilesc unde staţionare. În punctele de fixare a
capetelor coardei se formează noduri şi de aceea se evidenţiază
îndeosebi oscilaţiile cu lungimea de undă λ care satisface condiţia
l n
2
=
λ
, (3.16)
unde l este lungimea coardei: n=l,2,3, un număr întreg.
Notând cu
n
λ lungimea de undă ce corespunde unei valori n, vom
obţine:
n
l 2
n
= λ . (3.17)
Acestor unde le corespund frecvenţele:
n
l 2
v v
n
n
⋅ = =
λ
ν , (3.18)
unde v este viteza de fază a undei determinată de forţa de tensiune
din coardă şi densitatea materialului, din care este confecţionată
87
coarda. În fig. 3.3 e arătată o coardă elastică omogenă fixată la
capete în punctele O şi O pe axa OX şi deviată de la poziţia de
echilibru.


Fig. 3.3.
Pe ea cu o linie pronunţată este evidenţiată o porţiune
elementară având coordonatele capetelor x şi x+dx .Fie S
deplasarea coardei în direcţia axei OY. Această mărime variabilă
are valori diferite în diferite puncte de pe axa OX şi în diferite
momente t, adică S = f(x, t) (fig.3.3). Vom studia mici deplasări S.
Forţa T care întinde coarda este aceeaşi în orice secţiune S a
coardei, iar componenta ei Fy(x) pe axa OY este dependentă de x.
La capetele porţiunii dx componentele Fy(x) şi Fy(x+dx) sunt
orientate în sens opus şi rezultanta Fy(x)+Fy(x+dx) imprimă
porţiunii dx cu masa dm o acceleraţie a
y
egală în modul cu d
2
s/dt
2
.
Conform legii a doua a lui Newton, pentru proiecţiile pe axa OY se
poate scrie:
( ) ( )
2
2
y y
dt
S d
dm x F dx x F = − + , (3.19)
unde
( ) ( ) ( )
x
S
T x Ttg x d sin T x F
y
δ
δ
α = ≈ = , (3.20)
( ) ( ) ( )
x
S
T dx x Ttgd dx x sin T dx x F
y
δ
δ
α = + ≈ + = + . (3.21)
În (3.20) şi (3.21) avem:
( ) ( ) x tg x sin α α ≈ , ( ) ( ) dx x tg dx x sin + ≈ + α α ,
88
deoarece unghiurile ( ) x α şi ( ) dx x + α sunt mici (vezi fig.3.3).
Evident că
Sdx dm ρ = , (3.22)
unde ρ este densitatea materialului, din care e confecţionată
coarda.
Din (3.19), (3.20), (3.21) şi (3.22) rezultă:
2
2
t
S
Sdx
x
S
x
S
T
δ
δ
ρ
δ
δ
δ
δ
=








− . (3.23)
Împărţind (2.23) la T şi dx şi ţinând seama că
2
2
x
S
x
S
x
S
δ
δ
δ
δ
δ
δ
= − ,
obţinem:
2
2
2
2
t
S
T
S
x
S
δ
δ ρ
δ
δ
⋅ = . (3.24)
Comparând (3.24) cu ecuaţia de undă, putem scrie:
2
v / 1 T / S = ρ ,
de unde pentru viteza de fază a undelor transversale în coarde
obţinem:
S
T
v
ρ
= , (3.25)

sau
πρ
T
D
2
v = , (3.26)
unde D este diametrul coardei.
Frecventele definite de expresia (3.18) sunt numite frecvenţe
proprii. Frecvenţa l 2 / v v
1
= este numită frecvenţă fundamentală.
Celelalte frecvenţe v„ sunt multiple celei fundamentale şi
sunt numite armonice superioare. În fig.3.4. sunt reprezentate
undele staţionare în coarda pentru n=1,2,3....

89

Fig.3.4

3.4. Unde elastice în coloana de fluid

Presupunem că într-un cilindru se află un fluid (fig.3.5).
Fig.3.5
Sub acţiunea unei perturbaţii externe periodice are loc
variaţia presiunii p p p ′ − Δ într-o secţiune a cilindrului şi respectiv
variaţia volumului Sdx. Aceste variaţii duc la dezechilibru în sistem
şi ca rezultat la apariţia regiunilor de compresiune şi rarefiere, care
au loc la propagarea undelor elastice în fluide.
Viteza sunetului se exprimă prin formula
ρ d
dP
v = , (3.27)
unde dP- variaţia presiunii, ρ d - variaţia densităţii.
Din altă parte conform ecuaţiei politropiei
const V =
γ
ρ , (3.28)
putem scrie
γ
γ
ρ ⋅ =






= const
V
m
m
const
P . (3.29)
Derivând formula (3.29) cu respect la ρ obţinem
S
P
d
dP
γ
ρ
= (3.30)
90
Prin urmare formula (3.27) poate fi scrisă în forma
ρ
γ
P
v = . (3.31)
Pentru gazul ideal, în dependenţă de frecvenţa mişcării
ondulatorii sunt posibile două cazuri limită.
1. La frecvenţe mici are loc schimbul de căldură între fluid şi
mediul exterior şi prin urmare se realizează procesul izotermic
( 1 = α ). Formula (3.31) primeşte forma
M
RT P
v = =
ρ
, (3.32)
unde: T – temperatura absolută, M – masa molară, R – constanta
molară.
2. La frecvenţe înalte schimbul de căldură între sistem şi mediul
exterior nu are loc, ce corespunde procesului adiabatic
(
v p
C C / = γ ). În acest caz formula (3.31) are forma
M
RT P
v γ
ρ
γ = = . (3.33)
Prin urmare, determinând în mod experimental viteza undelor
în fluide, se poate estima procesul termodinamic respectiv.

3.5. Unde electromagnetice staţionare în conductoare
Circuitul oscilant este caracterizat de o singură frecvenţă
proprie
0
ω şi de aceea în el nu sunt posibile decât oscilaţii electrice
proprii de această frecvenţă. Într-un astfel de circuit capacitatea şi
inductanţa practic sunt concentrate respectiv în condensator şi
bobină.
Circuitul alcătuit din două circuite oscilante cuplate prin
capacitate comună (fig.3.6) este caracterizat de două frecvenţe
proprii. Prin urmare, într-un astfel de circuit sunt posibile două
oscilaţii proprii diferite cu frecvenţele
1
ω ,
2
ω .

L
1
L
2

91
C
1
C
2

Fig. 3.6
Dacă vom mări nelimitat numărul de circuite oscilante
cuplate între ele, micşorând în acelaşi timp inductanţa şi capacitatea
fiecărui circuit în parte, atunci la limită vom obţine o aşa - numită
linie bifilară (linie Lecher), în care inductanţa şi capacitatea sunt
distribuite continuu pe toată lungimea liniei. În asemenea linie
numărul oscilaţiilor electrice proprii diferite este infinit. Liniei
bifilare îi corespunde o coardă cu masa şi elasticitatea distribuite
continuu. Vom studia fenomenele care au loc într-un punct
oarecare al liniei Lecher, în care e creat un câmp electric variabil de
intensitatea E (fig.3.7).


Fig. 3.7
Experienţele arată că acest câmp se propagă de-a lungul
liniei. Pentru a explica mecanismul propagării câmpului E de-a
lungul liniei, vom folosi ecuaţiile Maxwell. Dacă viteza de variaţie
a câmpului E este mare, curenţii de conducţie pot fi neglijabili în
comparaţie cu curenţii de deplasare şi atunci ecuaţia a doua a lui
Maxwell se va scrie sub forma:
∫ ∫
=
S
S d
t
D
l d H
r
r
r r
δ
δ
, (3.34)
92
unde J
t
E
t
D
r
r r
= =
δ
δ
ε
δ
δ
0
este densitatea curentului de deplasare
(pentru aer ε=1). Conform ecuaţiei (3.34), câmpul electric variabil
E generează un câmp magnetic variabil H, a cărui mărime şi sens
sunt determinate de curentul de deplasare. Să presupunem că în
momentul iniţial câmpul E creşte. În acest caz:
t
E
t
D
δ
δ
ε
δ
δ
r r
= >0.
Prin urmare, sensul vectorului densităţii J
r
a curentului de deplasare
coincide cu sensul vectorului E. Sensul vectorului H poate fi
determinat, folosind regula burghiului drept.
În conformitate cu prima ecuaţie a lui Maxwell care se scrie
sub forma:
S d
t
H
l d E
S
c
r
r
r r
∫ ∫
=
δ
δ
μ , (3.35)
câmpul magnetic variabil H excită un câmp electric turbionar E
(pentru aer 1 = μ ). Acest câmp va avea sensul, pe care 1-ar avea
curentul de inducţie ce apare în conductorul imaginar închis abcd
(fig.3.7) sub acţiunea câmpului în creştere H. În absenţa
conductoarelor liniile de intensitate ale câmpului electric ar conţine
porţiunile notate în fig.3.7. cu o linie punctată. în prezenţa
conductoarelor în ele apare curentul de conducţie i. Dacă rezistenţa
conductoarelor este mică, atunci intensitatea câmpului electric în
ele tot va fi mică şi atunci sectoarele punctate practic vor lipsi.
Aceasta înseamnă că liniile de intensitate ale câmpului electric
turbionar se vor închide prin sectoarele opuse b şi d ale
conductoarelor liniei. Câmpul în creştere E excită câmpul H. Din
fig.3.8 se vede că câmpurile E si E
1
în punctul 0 sunt orientate în
sensuri opuse şi de aceea se anulează reciproc. Din această cauză se
anulează reciproc şi câmpurile H şi H
1
în punctul 0. Prin urmare,
câmpul iniţial E şi câmpul H excitat de el vor dispare, dar în
schimb vor apărea câmpurile E
1
şi H
1
în punctul vecin al linei.
93
Fenomene analoge se vor produce şi în momentele următoare
şi, ca urmare, câmpurile electrice şi magnetice se vor propaga cu
viteza v (fig.3.8) de-a lungul liniei, transformându-se reciproc unul
în altul. Acest proces reprezintă propagarea undei electromagnetice
de-a lungul conductoarelor. Pentru generarea undelor
electromagnetice neamortizate de-a lungul conductoarelor sunt
folosite tuburi oscilante.


Fig. 3.8

In acest scop în calea undelor electromagnetice emise de
oscilator se instalează linia Lecher acordată în rezonanţă cu
circuitul oscilant al tubului oscilator (fig.3.9).

Fig. 3.9.

Ca rezultat în linie apar unde electromagnetice de aceeaşi
frecvenţă ca şi frecvenţa generatorului. Dacă linia bifilară infinită
poate absorbi toată energia emisă de generator, atunci în astfel de
linie apare o undă progresivă de curent şi tensiune:
( ) kx t cos i i
m x
− = ω , ( ) kx t cos U U
m x
− ⋅ = ω .
94
Raportul z = U
m
/i
m
este numit rezistenţa de undă (impedanţă
caracteristică) a liniei. Valoarea aproximativă a rezistenţei de undă
poate fi calculată după formula:
D
h
lg 276 z = , (3.36)
unde: h este distanţa între conductoare, D-diametrul conductorului.
În linia de lungime finită unda progresivă apare, dacă linia se
închide prin intermediul unui rezistor având rezistenţa egală cu
rezistenţă de undă a unei linii analoge infinite. Dacă rezistenţa
liniei Lecher diferă de rezistenţa de undă, atunci în linie se produce
reflexia undei incidente de la capetele conductoarelor. În urma
suprapunerii undelor incidentă şi reflectată în linie apar unde
electromagnetice staţionare.
Fie că în punctul x al liniei oscilaţiile câmpului electric din
unda incidentă au forma:
( ) kx t cos E E
m 1
− = ω . (3.37)
Atunci în acelaşi punct unda reflectată dă oscilaţii de forma:
( ) kx t cos E E
m 2
+ = ω . (3.38)
Adunând (3.37) şi (3.38), vom obţine (vezi formula (3.11))
amplitudinea câmpului rezultant în punctul x care variază conform
legii:
kx cos E 2 E
m x
= . (3.39)
Folosind expresiile corespunzătoare (3.14), (3.15) pentru
coordonatele antinodurilor şi nodurilor câmpului electric rezultant,
vom obţine:
2
n x
antinod
λ
± = ;
2 2
1
n x
nod
λ






+ ± = , (n=0,1,2…),
unde λ este lungimea undei electromagnetice progresive.
Lungimea undei electromagnetice staţionare este determinată
de distanţa dintre două antinoduri (noduri) vecine şi este:
2
st
λ
λ = . (3.40)
95
La undele electromagnetice antinodurile (nodurile) câmpului
electric nu coincid cu antinodurile (nodurile) câmpului magnetic.
Această necoincidenţă poate fi explicată în felul următor. Fie că
linia este deschisă la un capăt. În acest caz curenţii variabili ce apar
în conductoare vor produce la capetele liniei oscilaţii maxime ale
sarcinilor electrice. Aici se va stabili şi unul din antinodurile
intensităţii câmpului electric şi deci unul din antinodurile tensiunii.
Acest lucru e posibil numai în cazul când semnul vectorului
intensităţii câmpului electric E în unda reflectată este acelaşi ca şi
în unda incidentă, adică câmpul electric nu-şi schimbă faza.
Deoarece direcţia şi sensul vectorilor E şi H într-o undă
electromagnetică sunt legate de direcţia şi sensul vitezei de
propagare v prin regula burghiului drept, pentru ca viteza undei să
devină contrară e necesar ca unul din vectorii E sau H să-şi
schimbe sensul. În condiţiile menţionate mai sus amplitudinea
curentului electric în capătul liniei va fi egală cu zero, întrucât linia
este în contact cu dielectricul. Aici va fi un nod al câmpului
magnetic. Prin urmare, câmpul magnetic în unda reflectată este
opus câmpului din unda incidentă, adică el îşi schimbă faza cu π .
Dacă linia este închisă la un capăt printr-o punte conductoare,
lucrurile au loc invers. Deoarece capetele conductoarelor sunt
legate, tensiunea între ele va fi tot timpul nulă şi la capătul liniei se
va găsi un nod al tensiunii şi al câmpului electric. Din contra,
amplitudinea curentului în puntea conductoare va fi maximă şi deci
la capătul liniei se formează un antinod al curentului. Tot aici va fi
şi un antinod al câmpului magnetic.
Aşadar, într-o undă electromagnetică staţionară nodurile
câmpului electric (tensiunii) coincid cu antinodurile câmpului
magnetic (curentului) şi invers. Distribuţia amplitudinii oscilaţiilor
câmpului electric şi ale celui magnetic din unda electromagnetică
staţionară este reprezentată în fig. 3.10.

96

Fig.3.10


Lucrarea delaboratorNr.18.

Determinarea vitezei sunetului în aer

Scopul lucrării: determinarea vitezei sunetului în aer prin
metoda compunerii oscilaţiilor reciproc perpendiculare.
Aparate şi accesorii: oscilograf electronic, generator de ton,
difuzor, microfon, banc optic.
Noţiuni teoretice (vezi paragrafele 2.9 şi 3.1).

Montajul experimental şi metoda de măsurare
Oscilaţiile electrice de o anumită frecvenţă acustică produse
de generatorul de ton (GT) se aplică concomitent la difuzorul D
(fig.3.11) şi la intrarea x a oscilografului (OE).


Fig.3.11
97
Undele sonore de la difuzorul D se transmit prin aer la
microfonul M. Ajungând la microfon, ele pun membrana în mişcare
oscilatorie. Ca urmare, în microfon iau naştere oscilaţiile de la
generatorul de ton aplicată la difuzor şi oscilograf. Oscilaţiile
electrice ce apar în microfonul M se aplică la intrarea Y a
oscilografului electronic. Aşadar, în oscilograf are loc compunerea
oscilaţiilor reciproc perpendiculare provenite de la generator (GT)
şi microfon (M). Dacă diferenţa de fază a oscilaţiilor reciproc
perpendiculare care se compun variază între limitele de la 0 la
2π ,atunci traiectoria punctului material oscilant se modifică,
preluând succesiv formele prezentate mai jos în fig.3.12.


Fig.3.12

După aspectul şi poziţia traiectoriei se poate determina
diferenţa de fază a două oscilaţii reciproc perpendiculare.
Fasciculul electronic, participând la două mişcări oscilatorii
reciproc perpendiculare de aceeaşi frecvenţă ω de-a lungul axelor
x şi y, descrie pe ecran diferite traiectorii.
În cazul studiat aici forma traiectoriei este determinată de
diferenţa de fază a oscilaţiilor electrice provenite de la microfon şi
generatorul de ton. Diferenţa de fază, la rândul sau, depinde de
distanţa Δx dintre difuzor şi microfon (vezi formula (3.7)).
Degenerarea elipsei într-un segment de dreaptă are loc atunci când
,... 2 , , 0 π π ϕ Δ = ceea ce corespunde lui ,... , 2 / , 0 x λ λ Δ = .
98
Prin urmare, distanţa cea mai mică dintre două poziţii
succesive ale microfonului, pentru care elipsa se transformă într-un
segment de dreaptă, este egală cu o jumătate din lungimea de undă
sonora în aer. Aşadar, măsurând lungimea de undă a sunetului λ în
aer, folosind relaţia (3.1) poate fi determinată viteza sunetului.
Lucrarea se încheie cu calculul erorilor.

Întrebări de control
1. Explicaţi noţiunea de undă. Ce reprezintă unda sonoră?
2. Care unde se numesc longitudinale, unde transversale?
3. Daţi definiţia frontului de undă şi a suprafeţei de undă.
4. Daţi definiţia vitezei de fază.
5. Ce este lungimea de undă?
6. Scrieţi relaţia dintre viteza undei, frecvenţa şi lungimea de
undă.
7. În ce constă principiul superpoziţiei undelor?
8. Explicaţi procesul compunerii oscilaţiilor reciproc
perpendiculare. Scrieţi ecuaţia traiectoriei oscilaţiei rezultante.
9. Ce mărimi fizice determină forma şi dimensiunile traiectoriei
rezultante (elipsei)? În ce condiţii elipsa degenerează în
circumferinţă, în dreaptă?


Lucrarea de laborator Nr.18a.

Studiul undelor sonore staţionare în coloana de
aer.

Scopul lucrării: studierea rezonanţei acustice, determinarea
exponentului adiabatic
v p
C C / = γ prin metoda undelor sonore
staţionare, determinarea coeficientului de amortizare şi a factorului
de calitate a rezonatorului.
Aparate şi accesorii: tub de sticlă cu piston, generator de ton,
difuzor, microfon, amplificator, microampermetru.
99
Teorie (vezi paragrafele 3.1-3.4).

Montajul experimental şi metoda de măsurare
Un capăt al tubului de sticlă este închis. La alt capăt se
instalează o sursă de sunet (fig. 3.13).









Fig. 3.13

În rezultatul superpoziţiei undelor progresive şi celor
reflectate în tub vor apărea unde sonore staţionare. Dacă frecvenţa
undelor difuzorului va coincide cu una din frecvenţele proprii ale
coloanei de aer, atunci se va observa amplificarea sunetului, ce
confirmă rezonanţa acustică. Frecvenţele proprii ale coloanei de aer
pot fi calculate după formula:
( )
( ) R l
n v
f
n
8 , 0 4
1 2
+
+
= , (1)
unde ... 3 , 2 , 1 n = , l şi R – lungimea şi respectiv raza
coloanei de aer, v – viteza sunetului. Dacă R <<l, atunci obţinem
( ) 1 2
4
+ = n
l
v
f
n
, (2)
În cazul rezonanţei lungimea l+0,8R conţine un număr impar
de sferturi de lungimi de undă:
( ) R l n 8 , 0
4
1 2 + = +
λ
, (3)
ori
st λ
2
5
l Δ
100
( ) R l n
st
8 , 0
2
1 2 + = +
λ
. (3′)
Dacă frecvenţa sursei de sunet este constantă, atunci
rezonanţa se obţine prin mişcarea lentă a pistonului în tub. Cea mai
mică diferenţă l Δ dintre lungimile coloanelor de aer pentru care se
observă rezonanţa este egală cu
2
λ
. Prin urmare măsurând
distanţa dintre două antinoduri (noduri) vecine se poate determina
lungimea de undă staţionară:
2
λ
λ = = Δ
st
l .
Exponentul adiabatic poate fi calculat după formula (3.33)
RT
M f
RT
M v
st

= =
2 2 2
4 λ
γ (4)
Lăţimea relativă a curbei de rezonanţă a unui sistem oscilator
este valoarea inversă a factorului de calitate
Q
1
0 0
1 2
=
ω
ω Δ
=
ω
ω − ω
, (5)
unde
2
ω şi
1
ω - frecvenţe corespunzătoare la 2 /
max
A A =
(fig. 3.14),


Fig. 3.14
ori
ω Δ
ω
=
0
Q . (6)
Coeficientul de amortizare se calculează conform formulei:
101
2
ω Δ
= β . (7)
Factorul de calitate şi coeficientul de amortizare pot fi
determinaţi şi prin altă metodă. La frecvenţa fixă a generatorului de
ton se deplasează lent pistonul pentru a obţine A
max
. Pentru o
frecvenţă de disonanţă avem:
2
0
0
max
) ( 1
βω
ω − ω
+
=
ω
A
A , (8)
unde:
0
ω - frecvenţa sursei,
0
ω − ω - disonanţa rezonatorului.
Disonanţa rezonatorului se determină din formula
0
0 0
0
2
) (
l
l l
π
− ω
= ω − ω : (9)
unde l
0
şi l – lungimile coloanelor de aer la rezonanţă şi
disonanţă. Se determină Q şi β.

Exerciţiul 1. Determinarea exponentului adiabatic
Se conectează instalaţia la circuitul electric. Se începe
deplasarea lentă a pistonului de la difuzor (pentru 3 frecvenţe) şi se
notează poziţiile A
max
(după microampermetru). Utilizând formula
(4) se calculează exponentul adiabatic. Se estimează erorile.

Exerciţiul 2. Determinarea coeficientului de amortizare şi a
factorului de calitate.
Metoda 1.
Pentru (trei poziţii) pistonul fixat se obţine dependenţa
( ) ω = f A . Din curbele de rezonanţă se determină
0
ω ,
1
ω şi
2
ω .
Se calculă Q şi β conform formulelor (6) şi (7). Se estimează
erorile.
Metoda 2.
Pentru (trei frecvenţe) frecvenţe fixe, deplasând lent pistonul
se notează A şi l la fiecare milimetru. După formula (9) se
102
determină disonanţa rezonatorului. Se calculează β (formula (8))
β
ω
=
2
0
Q . Se compară β şi Q, obţinute prin diferite metode.

Întrebări de control
1. Definiţi noţiunea de undă.
2. Daţi definiţia frontului de undă şi suprafeţei de undă.
3. Obţineţi expresia pentru viteza de fază λν = v .
4. În ce constă principiul superpoziţiei undelor?
5. Caracterizaţi undele staţionare (ecuaţia, reprezentare grafică,
nod, antinod etc.)
6. Argumentaţi procesele termodinamice la propagarea sunetului
pentru frecvenţe joase (înalte).
7. Daţi definiţia lăţimii relative a curbei de rezonanţă.
8. Care sunt metodele de determinare a lui Q şi β ?


Lucrarea de laborator Nr.19.

Studiul experimental al undelor staţionare într-o
coardă întinsă

Scopul lucrării: obţinerea undelor staţionare într-o coardă şi
studiul dependenţei vitezei de propagare a undelor transversale în
coardă de tensiunea din ea prin metoda rezonanţei.
Aparate şi accesorii: montaj pentru studiul experimental al
oscilaţiilor unei coarde, generator de ton, etaloane de masă,
micrometru.
Noţiuni teoretice (vezi paragrafele 3.1, 3.2, 3.3).
103
Montajul experimental şi metoda de măsurare
În prezenta lucrare oscilaţiile proprii ale unei coarde se
studiază prin metoda rezonanţei. Idea acestei metode constă în
următoarele.
Dacă frecvenţa forţei perturbătoare (excitatoare) periodice în
timp, care este aplicată unei porţiuni mici a coardei, devine egală
cu una din frecvenţele proprii (armonici) ale coardei, atunci în
aceasta se stabileşte o undă staţionară de o amplitudine
considerabilă. Totodată este necesar ca punctul de aplicaţie al forţei
perturbătoare să coincidă cu unul din centrele undei staţionare
corespunzătoare.


Fig.3.15

Montajul experimental (fig.3.15) este alcătuit dintr-o coardă
(1) care este cuplată printr-un sistem de scripeţi cu un arc spiral
(resort) de oţel (3). De o spiră a resortului este fixat un indicator, a
cărui poziţie se poate stabili după scară (4). După deformaţia
acestui resort se determină tensiunea din coardă. Scara resortului se
gradează, punând etaloane de masă (8) pe talerul atârnat de o sfoară
trecută peste scripetele (9) şi marcând poziţia indicatorului.
Forţa periodică exterioară excită oscilaţiile coardei, este
produsă de curentul electric alternativ de la generatorul de ton ce
trece prin coardă. Coarda însăşi se află între polii unui magnet
permanent mobil (5). Datorită interacţiunii dintre câmpul magnetic
al magnetului permanent şi acela al curentului alternativ, asupra
coardei se exercită o forţă externă periodică, având frecvenţa egală
cu frecvenţa curentului alternativ. În momentul când frecvenţa
104
generatorului coincide cu una din frecvenţele proprii ale coardei,
iar polii magnetului cu un antinod al undei staţionare
corespunzătoare frecvenţei date, se produce fenomenul de
rezonanţă şi în coardă se stabileşte o undă staţionară de amplitudine
maximă.
Amplitudinea diferitelor puncte ale coardei se citeşte pe o
scară gradată transparentă (6) care se poate deplasa de-a lungul
coardei. Poziţia magnetului în momentul rezonanţei, deci şi poziţia
antinodurilor undei staţionare din coardă este indicată pe scara (7)
de un indicator fixat de magnet.
Lucrarea se încheie cu calculul erorilor.

Întrebări de control
1. Daţi definiţia undei.
2. Care unde se numesc unde longitudinale, unde transversale?
3. Daţi definiţia frontului de undă şi a suprafeţei de undă.
4. Ce se numeşte viteză de fază?
5. Ce se numeşte lungime de undă?
6. Care este relaţia dintre viteza undei, frecvenţa şi lungimea de
undă?
7. În ce constă principiul superpoziţiei undelor?
8. Care unde se numesc coerente?
9. În ce constă fenomenul interferenţei undelor?
10. Care unde se numesc progresive, staţionare? Scrieţi ecuaţiile
acestor unde.
11. Care este relaţia dintre lungimile de undă ale undelor
progresive şi staţionare?
12. Ce se numeşte antinod şi nod al undei staţionare? Scrieţi
expresiile pentru coordonatele unui antinod şi ale unui nod.
13. Deduceţi ecuaţia diferenţială a mişcării ondulatorii de-a lungul
unei coarde întinse.
14. Cum depinde viteza de propagare a undei de tensiunea din
coardă?
15. Ce se numeşte frecvenţă proprie a oscilaţiilor coardei întinse?
În ce constă noţiunile de ton fundamental şi armonică?
105
16. Să se expună modul de efectuare a acestei lucrări de laborator.


Lucrarea de laborator Nr.20.

Studiul experimental al undelor electromagnetice
staţionare
Scopul lucrării: măsurarea lungimii de undă
electromagnetică şi determinarea permitivităţii apei prin metoda
liniei bifilare.
Aparate şi accesorii: două linii Lecher (în apă şi aer),
generator de unde electromagnetice, sursă de alimentare,
instrumente electrice de măsurat intensitatea şi tensiunea
curentului.
Noţiuni teoretice (vezi paragrafele 3.1,3.2,3.5).

Montajul experimental şi metoda de măsurare
În prezenta lucrare undele electromagnetice staţionare se
studiază cu ajutorul montajului indicat schematic în fig.3.16.


Fig. 3.16

Energia undelor electromagnetice staţionare în sistemul
Lecher ating valoarea maximă atunci când acesta este acordat în
rezonanţă cu generatorul de unde electromagnetice. Dacă linia este
închisă numai la o singură extremitate (conductorul MN lipseşte),
atunci la extremitatea închisă se va forma un ventru al intensităţii
106
curentului sau un nod al tensiunii (fig.3.17a). Pentru aceasta e
necesar ca lungimea undei emise de generator să satisfacă condiţia
( ) 2 / 1 n 2 l λ − = , unde l este lungimea liniei, iar n= 1,2,3,... .
Dacă linia este închisă din ambele părţi (extremitatea
deschisă se scurtcircuitează cu conductorul MN), atunci la capetele
ei se vor stabili ventre ale intensităţii curentului (noduri ale
tensiunii) (fig.3.17) şi, deci, condiţia de rezonanţă va fi dată de
relaţia: 2 / n l λ = .


Fig. 3.17
Ventrele intensităţii curentului electric se vor determina cu
ajutorul unui instrument de măsurat curentul C, ale cărui indicaţii
sunt proporţionale cu pătratul amplitudinii intensităţii câmpului
magnetic ce străbate spira de cuplaj, deci şi cu pătratul amplitudinii
curentului prin linia bifilară. Ventrele tensiunii se determină cu un
instrument de măsurat tensiunea T, ale cărui indicaţii sunt
proporţionale cu pătratul amplitudinii intensităţii curentului
electric, deci sunt proporţionale şi cu pătratul tensiunii dintre
conductoarele liniei Lecher în locul unde e situată spira de cuplaj.
Lungimea de undă într-un mediu este dată de relaţia:
n / v
1 1
= λ , (1)
unde: v este viteza undei în acel mediu, n - frecvenţa
generatorului.
Conform teoriei lui Maxwell, με / c v
1
= , unde ε este
permitivitatea electrică şi μ - permeabilitatea magnetică a
mediului, iar c este viteza luminii în vid. Dacă mediul e de aşa
107
natură că 1 = μ (de exemplu, apă), atunci ε / c v
1
= , de unde
2 2
v c = ε sau, ţinând seama de formula (1):
2 2
1
2
v
c
λ
ε = . (2)
Viteza undelor electromagnetice în aer se poate considera
egală cu c şi atunci v c = λ , unde λ este lungimea de undă emisă
de generator în aer. Ţinând cont de această relaţie, expresia (2) se
poate scrie sub forma:
2
1
2
λ λ ε = . (3)

Exerciţiul 1. Determinarea lungimii undei electromagnetice
în aer
La executarea acestui exerciţiu trebuie să se ţină cont că linia
Lecher este acordată în rezonanţă cu generatorul şi de aceea la
capetele ei sunt ventre ale curentului (noduri ale tensiunii) şi
respectiv ventre ale câmpului magnetic (noduri ale câmpului
electric).
Cu ajutorul instrumentului de măsurat curentul G se stabilesc
coordonatele x ale ventrelor câmpului magnetic al liniei bifilare şi
se determină distanţa medie <λ > dintre două ventre succesive ale
câmpului magnetic (adică lungimea medie a undei
electromagnetice staţionare). Lungimea medie a undei
electromagnetice se calculează cu formula: <λ >=2<
st
λ > (vezi
formula (3.40)).
Exerciţiul 2. Determinarea lungimii undei electromagnetice
în apă şi a permitivităţii apei
În acest exerciţiu sistemul Lecher în aer e înlocuit cu unul
situat în apă distilată. La fel ca în exerciţiul 1, linia este acordată în
rezonanţă cu generatorul. Deoarece linia Lecher se află în apă, e
mai comod să se folosească instrumentul de măsurat tensiunea T,
108
cu ajutorul căruia se determină coordonatele x ale nodurilor
câmpului electric al liniei şi se află distanţa medie <
st
λ > dintre
nodurile învecinate ale câmpului electric. Valoarea medie a
lungimii undei electromagnetice în apă se calculează cu formula
<λ > = 2 <
st
λ >.
Pemitivitatea apei se calculează, folosind formula (3).
Lucrarea se încheie cu estimarea erorilor.

Întrebări de control
1. Definiţi noţiunea de undă.
2. Care unde se numesc longitudinale, transversale?
3. Definiţi frontul de undă, suprafaţă de undă.
4. Definiţi viteza de fază.
5. Ce se numeşte lungime de undă?
6. În ce constă principiul superpoziţiei undelor?
7. Care unde se numesc unde coerente?
8. În ce constă fenomenul interferenţei undelor?
9. Care unde se numesc unde progresive, unde staţionare?
10. Care este relaţia dintre lungimea de undă a undelor progresive
şi acele a undelor staţionare?
11. Ce este ventrul şi nodul undei staţionare? Scrieţi formulele
pentru coordonatele lor.
12. Explicaţi mecanismul formării undelor electromagnetice
staţionare în linia Lecher.
13. În ce cazuri la capetele liniei Lecher se formează antinoduri ale
curentului şi noduri ale tensiunii?
14. Care este dependenţa vitezei de propagare a undelor
electromagnetice de proprietăţile electrice şi magnetice ale
nodului?
15. Să se deducă formula pentru calculul permitivităţii mediului
contorului liniei Lecher.

109
Bibliografie

1. Detlaf A.A., lavorski B.M. Curs de fizică. Chişinău: Lumina,
1991.
2. Saveliev I.V. Curs de fizică. Chişinău: Lumina, 1990.
3. David Holliday, Robert Resnick. Fizica. Bucureşti: Editura
didactică şi pedagogică, 1975
4. Калашников Э.Г., Электричество. М.: Наука, 1977.
5. Лa6opaтopный практикум по физике/ Под ред. К.А.
Барсукова и Ю.М. Уханова. М.: Высшая школа, 1989.
6. Лaбopaтopный практикум по физике/ Под ред. С Ахматова.
М.: Высшая школа, 1980.
7. Евграфов Н.М., Коган В.П. Pyководство к лабораторным
работам по физике. M.: Bыcшaя школа, 1970.




















110
Cuprins

1. Electromagnetism
1.1. Cîmpul electric în dielectrici 3
1.2. Cîmpul magnetic în vid. Inducţia cîmpului magnetic 9
1.3. Legea lui Biot – Savart – Laplace 13
1.4. Legea Ampere. Cîmpul magnetic al solenoidului 16
1.5. Mişcarea sarcinilor electrice în câmp magnetic 18
1.6. Cîmpul magnetic în substanţă 20
Lucrarea de laborator Nr.10. 28
Polarizarea dielectricilor în cîmp electric variabil. Studiul
dependenţei permitivităţii seignettoelectricilor de temperatură
Lucrarea de laborator Nr.11. 30
Determinarea componentei orizontale a inducţiei cîmpului
magnetic al Pămîntului
Lucrarea de laborator Nr.12. 35
Studiul cîmpului magnetic al solenoidului
Lucrarea de laborator Nr.13. 38
Studiul proprietăţilor feromagneţilor
Lucrarea de laborator Nr.14. 43
Determinarea sarcinii specifice a electronului prin metoda
magnetronului
2. Mişcarea oscilatorie
2.1. Oscilaţii libere 51
2.2. Oscilaţii mecanice 52
2.3. Oscilaţii electromagnetice 54
2.4. Ecuaţia oscilaţiilor libere 57
2.5. Oscilaţii libere neamortizate 58
2.6. Pendulul fizic 59
2.7. Oscilaţii libere amortizate 62
2.8. Oscilaţii forţate 63
2.9. Compunerea oscilaţiilor reciproc perpendiculare 68
Lucrarea de laborator Nr.15.
Studiul mişcării oscilatorii a pendulului de torsiune 70
111
Lucrarea de laborator Nr.16.
Studiul pendulului fizic 74
Lucrarea de laborator Nr.17.
Studiul oscilaţiilor libere într-un circut oscilant 78
3. Mişcarea ondulatorie
3.1. Noţiuni generale 81
3.2. Unde staţionare 84
3.3. Unde staţionare în coarda tensionată 86
3.4. Unde elastice în coloana de fluid 89
3.5. Unde electromagnetice staţionare în conductoare 90

Lucrarea de laborator Nr.18.
Determinarea vitezei sunetului în aer 96
Lucrarea de laborator Nr.18a.
Studiul undelor staţionare sonore în coloana de aer 98
Lucrarea de laborator Nr.19.
Studiul experimental al undelor staţionare într-o coardă întinsă 102
Lucrarea de laborator Nr.20.
Studiul experimental al undelor electromagnetice staţionare 105
















112




















Electromagnetism
Oscilaţii şi unde
Alcătuitori: I.Nistiriuc, V.Boţan, Gh.Golban, V.Chistol.
Redactor: Valentina Mustea
--------------------------------------------------------------------------
Bun de tipar 20.09.01. Formatul 60x84 1/16.
Hârtie ofset. Tipar ofset. Coli de tipar 6,25. Tiraj 400 ex.
Comanda nr.
--------------------------------------------------------------------------
U.T.M., 2004, Chişinău, bd. Ştefan cel Mare, 168.
Secţia Redactare, Editare şi Multiplicare a U.T.M.
2068, Chişinău, str. Studenţilor, 11

Sponsor Documents

Or use your account on DocShare.tips

Hide

Forgot your password?

Or register your new account on DocShare.tips

Hide

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link to create a new password.

Back to log-in

Close