Fluide Reale CURS Probleme R5

Published on June 2016 | Categories: Documents | Downloads: 33 | Comments: 0 | Views: 114
of x
Download PDF   Embed   Report

mecanica fluidelor

Comments

Content

Fluide reale.
Calculul coeficientului de pierderi liniare λ (coeficientul Darcy).
Debite reale.
Conexiune la curs
Caracterul de fluid real schimbă aspectul ecuaţiei de bilanţ energetic în sensul că pentru a
păstra egalitatea între cei doi termeni adăugăm în membrul drept pierderile energetice din
timpul transportului între cele două secţiuni
 hp12 - termenul pierderilor energetice totale
Deci
p1 1v1
p  v2

 z2  2  2 2   hp1 2

2g

2g
de obicei se adoptă 1   2  1.0
Pierderile pot fi locale şi liniare
a) pierderile locale au ca formă generică
v2
hploc  
2g
şi apar în regiuni de arie relativ restrânsă, unde are loc o variaţie (bruscă,
r
accentuată) a vectorului viteză v . Problema pierderii locale este corecta
determinare a coeficientului ξ , o valoare adimensională de sursă (majoritar)
experimentală. Foarte rar, sau în foarte puţine situaţii, modelarea matematică
permite o corectă determinare teoretică a acestui coefficient.
În principiu, valorile acestor coeficienţi sunt valori de catalog (sau oferite de
producătorii de armături)
b) pierderile liniare, distribuite pe lungimea conductei, proporţionale cu
lungimea rectilinie a conductei, de forma
L v2
hplin  

Dh 2 g
unde problema centrală devine determinarea lui λ .
Celelalte mărimi sunt determinate de regimul de curgere sau de geometria
instalaţiei (conductei).
O discuţie merită Dh (diametrul hidraulic) care devine un diametru echivalent în
cazul unor conducte de altă secţiune decât cea circulară.
Definiţia diametrului hidraulic Dh
Dh=4Rh
Unde Rh – raza hidraulică este definită la rândul ei prin raportul
A
Rh  uda respectiv Auda - aria udă, aria secţiunii ocupate de fluidul în curgere
Pudat
z1 

Pudat - perimetrul secţiunii conductei în contact cu fluidul în curgere

În general, λ depindea de Reynolds (regimul de curgere) şi de k/D (rugozitatea relativă),
k

adică  =f  Re, 
D

Problema tipică în acest domeniu este aceea în care se cunosc
- diametrul conductei D (sau Dh)
- rugozitatea echivalentă k (revenim cu explicaţii suplimentare)
- debitul Q sau viteza medie în secţiune (vm=Q/s)
- natura şi temperatura fluidului pentru determinarea vâscozităţii cinematice υ
Observaţie. Calculul care urmează este legat de cunoaşterea rugozităţii echivalente k, fie
adoptând valori recomandate conform tabelului (Ancuşa, curs, pag 51) sau din
k
 f  D  mm  
nomograma rugozităţii relative
Diagrama lui Moody
D

Trebuie să intervenim însă cu o explicaţie asupra necesităţii introducerii noţiunii de
rugozitate echivalentă.
În discuţia purtată asupra mişcării laminare şi turbulente în conducte forţate am văzut că
la un moment dat impasul teoretic a fost depăşit de încercările experimentale ale lui
Nicuradse, executate pe conducte cu rugozitate artificială (granule de nisip « calibrate »).
Se impune însă determinarea unui mod unic de raportare a rugozităţii, care să nu depindă
de tehnologia de fabricaţie, durata de funcţionare (depuneri), etc., şi în acest moment
definim rugozitate echivalentă ca rugozitatea uniformă de tip emisferic (de tip nisip) a
unei conducte cu aceleaşi dimensiuni geometrice şi care conduce la aceleaşi pierderi în
domeniul conductelor hidraulic rugoase.
Rugozitatea echivalentă se determină experimental prin ridicarea unei curbe λ=f(Re)
(vezi figura).

Remarcăm că după o anumită
valoare Re, curba se aplatizează
(intră într-un palier) deci, valoarea
lui λ din acel punct mai departe
rămâne constantă λ=λ1
Suntem deci în domeniul curgerii
turbulente în conducte hidraulic
rugoase, în care pentru calculul lui λ
se aplică relaţia von KàrmànNicuradse

1
D
3,17 D
=2 lg
 1,14  2 lg
kech
kech
1
şi de unde


1
2 1

kech  3, 71D 10
Numai utilizarea rugozităţii echivalente permite utilizarea (REP) următoarelor relaţii de
calcul din domeniul conductelor netede şi rugoase
Revenim la breviarul de calcul
În primul rand se calculează numărul Reynolds
v D
Re  m

Numărul Reynolds permite separarea curgerii în două domenii, fizic distincte.
1. mişcare laminară Re<2300, în care
 '  f ( Re), respectiv
expresie perfect dedusă teoretic şi adecvată
64
=
Re
practic, în special pentru conducte cu pereţi rigizi.
2. mişcare turbulentă Re>2300 (4000)
În acest domeniu nu există o relaţie unică de calcul a lui λ. Mişcarea turbulentă se
subdivide în 3 domenii, determinate de relaţia dintre k (rugozitate echivalentă) şi
δ (grosimea stratului laminar de la perete).
În consecinţă:
mişcarea turbulentă cu pereţi hidraulic netezi δ>k în care λ=f(Re) şi putem utiliza una din
aceste relaţii semiempirice
1
 2 lg( Re  )  0,8 valabilă pentru Re<3·106
Prandtl


Blasius



0,3164
1

valabilă pentru Re<105
4
4
Re
100 Re

1
 1,8lg Re 1,5
valabilă pentru Re<107

mişcare turbulentă în domeniul mixt sau de tranziţie   k
k
în care pentru prima dată   f (Re, )
D
1
k 
 2,51
 2 lg 

Colebrook- White


 Re  3, 71D
mişcare turbulentă în domeniul conductelor hidraulice rugoase (regimul turbulent
 k
pătratic) δ<k şi unde     
 D
1
D
 2 lg  1,14
von Kàrmàn – Nicuradse
k

Pentru confirmarea funcţionării în aceste subdomenii pote fi utilizat un criteriu de forma
k
Re 
în aşa fel încât dacă:
D
k
Re   9, 4 suntem în 2.1 (turbulent hidraulic neted)
D
k
9, 4  Re  <200 suntem în 2.2 (turbulent mixt sau de tranziţie)
D
k
Re  >200 suntem în 2.3 (turbulent hidraulic rugos)
D
Observaţie: În momentul calculului la utilizarea acestor relaţii observăm că unele sunt
explicite (în raport cu λ), altele sunt implicite.
Pentru rezolvarea celor implicite, se recomandă metoda iteraţiilor successive, şirul
valorilor fiind rapid convergent (3-4 paşi).
Konakov

Problema IV-1
Fluidul cu densitate constantă ρ şi vâscozitate cinematică υ curge printr-o secţiune inelară
între două conducte circulare coaxiale orizontale.
Razele secţiunii inelare sunt R1, R2 R2>R1
Ştiind că mişcarea este laminară, permanentă, determinaţi raza la care intervine (apare)
viteza maximă.
Detaşăm din fluidul în mişcare un inel de grosime dr, aflat la raza curentă R1  r  R2 , de
lungime mică dx.

În mişcare permanentă şi proiectat pe direcţia de curgere
 Fvisc   Fpres  0

   d  2  r  dr  dx   2 rdx   p  dp  2 rdr  p 2 rdr  0

Neglijând după efectuarea produselor şi reduceri, în infiniţii mici de ordin superior,
relaţia devine
 drdx  rd dx  rdpdr  0
: drdx
d
dp
rr
dr
dx
sau, concentrând
d  r 
dp
r
dr
dx
În curgerea laminară se respectă legea lui Newton
dv
 
dr
şi aceeaşi ecuaţie devine



d 
dv
dp
 r   r
dr 
dr
dx
d  dv
1 dp
r
 r  
dr  dr
 dx

Acum, totul (oportunitatea de integrare) depinde de cunoaşteres dependenţei p=p(x),
adică variaţia presiunii pe direcţia curgerii şi decidem
dp
 const
dx
După integrare (integrală nedefinită)
dv 1 dp 2
r

r A
(A= constanta de integrare)
dr  dx
dv 1 dp
A

r
dr 2 dx
r
1 dp 2
v
r  A ln r  B
(B - constanta de integrare)
4 dx
Determinarea constantelor de integrare se face prin condiţii la limită. Prin principiul
aderenţei la r=R1 şi la r=R2 v== şi obţinem sistemul
1 dp 2
0
R1  A ln R1  B
4 dx
1 dp 2
0
R2  A ln R2  B
4 dx
Determinarea constantei A (deocamdată) se face uşor, eliminând B
R 2  R22  dp
1
A 1
 
4  dx
 R
ln  2
 R1
deci în această fază
1  dp 2 R12  R22 dp ln r
v
B
 r 
4  dx
4 dx  R2
ln  
 R1
Dacă urmărim strict obiectivul problemei, ne dezinteresăm deocamdată de B.
Ne preocupă maximul lui v, deci căutăm un extrem al funcţiei, prin anularea primei
derivate
dv
0
dr
dv 1 dp
R 2  R22 dp
1

r 1
0
dr 2 dx
4 dx
 R2
r In  
 R1
de unde, raza la care se găseşte viteza maximă
R 2  R22
r2  1
 R
2 ln  2
 R1

Problema IV-2
Două conducte, fiecare lungă de 30 m, dar cu diametre diferite, D1=50 mm, respectiv
D2=100 mm fac legătura în paralel între două rezervoare între care diferenţa de nivel este
de 8 m.
Determinaţi :
- debitul pe fiecare conductă ;
- care ar fi diametrul unei singure conducte, tot de 30 m lungime, care asigură
acelaşi debit cu cele două conducte în paralel.
Se admit coeficienţii de pierderi
- la intrarea în conductă ξi=0,5
- la ieşirea din conductă (în rezervor) ξe=1,0
Ecuaţia energetică se aplică pe fiecare ramură în parte, între suprafeţe libere ale celor
două rezervoare (plecare, sosire).
p
v2
p
v2
v2
v2
L v12
z A  A  A  zB  B  B  i 1  1
 e 1
 g 2g
 g 2g
2g
D1 2 g
2g
p A v A2
pB vB2
v22
L v22
v22
zA 

 zB 

 i
 2
 e
 g 2g
 g 2g
2g
D2 2 g
2g

particularizările care se impun reduc ecuaţiile de mai sus.

z A  zB  H

H 8 m

p A  pB  pat (suprafeţe libere la presiune atmosferică)
v A , vB  1 
v1 

vB2 v A2
,
0
2g 2g

2 gH
2 9,80665 
8




L
0,5  
 1  0,5  0, 032 30 / 0,1 1
D1

1
2

 2, 76

m
s

2 gH
m
 3, 76
L
s
0,5  
1
D2
debitul total care se scurge din A în B este
 D12
 D2
m3
Q  Q1  Q2 
v1  2 v2 0, 0349
4
4
s
Acest debit trebuie asigurat de către o singură conductă, al cărei diametru urmează să-l
determinăm.
Aplicăm din nou relaţia de bilanţ energetic pentru o conductă de diametrul D3.
v2
v2
p
v3
p
v2
L v32
z A  A  A  zB  B  B  i 3  
 e 3
 g 2g
 g 2g
2g
D3 2 g
2g
v2 

z A  zB  H
p A  pB  pat
v A , vB  1

v A2 vB2
,
0
2g 2g

v32 
L 
 1  H
 0,5  
2g 
D3 
Acum viteza este însă cunoscută
v A2 vB2
v A , vB  1
,
0
2g 2g
v32 
L 
 1  H
 0,5  
2g 
D3 
şi încercăm să formulăm o ecuaţie în D3
30  2 D34 9,80665 8
1,5  0, 032

D3
8 0, 03492
8, 05 104 D35 1,5 D3 0,96 0
Cea mai economică cale (ca timp) pentru rezolvare, este cea a aproximaţiilor succesive,
în 2-3 paşi cădem peste rezultat D3=0,107 m

Problema IV-3
Două rezervoare având o diferenţă de nivel de 100 m sunt în legătură printr-o serie de
conducte format :
a) dintr-o conductă lungă de 800 m şi diametrul de 400 mm
b) continuată de o a doua conductă de o lungime de 200 m şi diametrul de 200
mm.
Presupunând λ= const şi egal cu λ=0,04, determinaţi :
1. debitul volumetric iniţial
2. variaţia procentuală a debitului volumic care părăseşte rezervorul superior,
dacă conducta de 200 mm este prevăzută cu ieşiri laterale care fac ca un sfert
din debitul care intră să fie descărcat uniform pe lungime.
Se neglijează pierderile locale.
Pentru punctul 1. aplicăm ecuaţia de bilanţ energetic între A şi B.
pA
v2
p
v2
L v2
L v2
 z A  A  B  zB  B   1 1   2 2
g
2g  g
2g
D1 2 g
D2 2 g
p A  pB  pat

z A  zB  H
v A , vB  1

v A2 vB2
,
0
2g 2g

L1 v12
L2 v22
H 

D1 2 g
D2 2 g
unde

4Q
 D12

v1 

H 

v2 

şi

4Q
 D22

L1 8Q 2
L2 8Q 2


D1  2 gD14
D2  2 gD22







Q




 8 


gH  2 
L1 L2 
 
D15 D25 

1
2

 0, 207

m3
s



Pentru al doilea punct al problemei facem o pregătire a datelor. Dacă notăm cu
3
q[m /s] debitul pierdut pe unitatea de lungime pe al doilea tronson, după intrarea
lichidului în a doua conductă putem scrie că la distanţa x, viteza în cea ce-a doua
conductă
Q  qx 4  Q1  qx 
v2  1 2 
 D2
 D22
4
şi pierderile liniare în formulare Darcy pe un traseu infinit scurt (dx) al conductei 2 sunt
2
dx 1  4  Q1  qx 
hp dx  


D2 2 g 
 D22 
iar pentru înteaga lungime a conductei 2
L2
8
2
hplin 2  
Q  qx  dx 
2 5 0  1
g D2
3
L22
2
2 L2
Q
L

q

2
Q
q
 1 2

1
g 2 D25 
3
2
Însă q este cunoscut din textul problemei pentru că reprezintă ¼ Q1 uniform distribuit pe
lungime
Q
q 1
4 L2



8



Q21 L32
Q
2
Q
L

 Q1 L22 1  
1 2
2 5 
2
g D2 
16 L2 3
4 L2
8  2
Q12 L2
L

Q1 L2 
 Q21 2 
2 5 
g D2 
48
4
hplin 2  

8



8Q12 L2 
1 1
48  1  12 8Q21 L2
1



 2 5


g 2 D25 
48 4
48
2 D2
Bilanţul energetic, este acum, după simplificări,
8Q21 L1 37 8Q21 L2
8Q12  L1 37 L2
H  2 5  




 gD1 48 g 2 D25
g 2  D15 48 D25
necunoscuta este Q1


Q1 


8 

gH  2
4 37 L2

D15 48 D25

 0, 232

m3
s


se constată deci că avem o majorare a debitului care părăseşte rezorvorul A, care în
exprimarea procentuală înseamnă
 0, 232  0, 207
100 12,1%

0, 207 


Problema IV-4
O conductă orizontală de alimentare cu apă are diametrul D=200 mm şi coeficientul
Darcy λ=0,0241. În vederea semnalării unor pierderi accidentale de debit (prin fisurarea
conductei) s-au montat la extremităţile conductei A şi B câte un manometru şi câte un
debitmetru, lungimea totală a conductei fiind AB=L=200 m. La fisurarea conductei întrun anumit punct, în punctele A şi B se citesc presiunile pA=105N/m2, pB=0,38·105 N/m2 şi
se măsoară debitele QA=80 l/s, QB=70 l/s.
Determinaţi prin calcul locul de apariţie al fisurii (la ce distanţă de punctul A).
(Problemă propusă la faza naţională a Concursului studenţesc „Traian Lalescu”,
Bucureşti, 1985.)

Soluţie. Notând cu x diferenţa de la A la fisură, scriem o ecuaţie de bilanţ energetic între
A – B.
p
 v2
p
 v2
z A  A  A A  z B  B  B B  hpAx  hpxB  hloc .
 g 2g
 g 2g
desen
hloc – pierderea locală în zona fisurii, datorită variaţiei bruşte de viteză, se determină
printr-o relaţie de tip Borda-Carnot (analogă unui salt brusc de secţiune).

( v A  vB ) 2
hloc 
2g
Totodată z A  z B şi putem neglija coeficienţii Coriolis  A   B  1,
8
2
QA  QB 
4 
 gD
hpAx , hpxB  pierderi liniare pe cele două tronsoane:
hloc 

2

hpAx  
hpxB  

x 8QA2
,
D  2 gD 4

 L  x 
D

8QB2
 2 gD 4

p A  pB
8  2
8
2

QB  QA2   QA  QB     2 5  QA2 x  QB2  L  x 
2 4 

g
g D
 gD
de unde
 p A  pB
 2 gD 5
1
8
 2
 2 4
2 
8
QA  QB 
g
g D
După înlocuirile numerice x=99 m
x




2
2
 QB QA  QA QB 

2

Q 2 L  
 B1  
D  

Problema IV-5
Dintr-un rezervor al cărui nivel (la presiunea atmosferică) rămâne permanent acelaşi, apa
se scurge printr-o conductă orizontală de diametru cunoscut D=100 mm şi lungime L= 7
m. La distanţa 1= 3 m de rezervor se află ataşat pe conductă un tub piezometric vertical,
în care nivelul apei se află la h= 0,3 m faţă de axa conductei. Să se determine coeficientul
pierderilor liniare (Darcy) pentru această conductă şi valoarea debitului real.
Coeficientul pierderii locale la intrarea în conductă este ξ1=0,47.

Notăm cu indicele 0 (p0, v0) mărimile ataşate nivelului suprafeţei libere şi aplicăm relaţia
Bernoulli în fluid real în două etape.
(0 – 3)
p
v2
p
v2
z0  0  0  z3  3  3  hp 03 ;
 g 2g
 g 2g
Desen
(0 – 2)
p0 v02
p
v2
z0 

 z2  2  2  hp 0  2 ;
 g 2g
 g 2g
care pot fi particularizate prin observaţiile următoare:
z 0  z3  z 0  z 2  H ,
p2  pat ,
v2  v3  v prin ecuaţia de continuitate,
v02
 0, şi din ecuaţia piezometrică p3  pat   gh.
2g
Totodată, din analiza pierderilor energetice între puncte
v2
L v2
hp 0 2  1

,
2g
D 2g
v0  1,

hp 03  1

v2
l v2

,
2g
D 2g

relaţiile devin
pat pat   gh v 2
v2
1 v2
H


 1

;
g
g
2g
2g
D 2g
p
p
v2
v2
L v2
H  at  at 
 1

,
 g  g 2g
2g
D 2g
sau
v2 
1
H h 
 1  1   
2g 
D
2
v 
L
H
 1  1    ,
2g 
D
un sistem de două ecuaţii cu necunoscute λ, v
l
1  1  
H h
D , de unde se obţine λ şi imediat v sau

L
H
1  1  
D
2
D
Q
v.
4
Observaţie. A doua ecuaţie a sistemului putea fi obţinută şi prin aplicarea relaţiei
Bernoulli între (3-2)

p3 v32
p2 v22
L  l v2
z3 

 z2 


,
 g 2g
 g 2g
D 2g
L  l v2
sau
h
D 2g
Problema IV-6
Să se calculeze debitul care trece prin instalaţie, neglijând toate pierderile cu excepţia
celor care apar pe conducta dreaptă.
Se cunosc:
- diametrul conductei D=25 mm;
- lungimea L=5 m
- rugozitatea k=0,7 mm
- vâscozitatea dinamică a lichidului η=1·10-2 Pa·s
- densitatea lichidului ρ=920 kg/m3
- H=6 m
p0
 v2 p
 v2
L v2
 z0  0 0  1  z1  1 1  

2g

2g
D 2g
planul de referinţă este z1=0, deci z0=H

p0=p1=pat
v0 , v1  1, deci

 0v02 1v12

0
2g
2g

L v2
D 2g
o singură ecuaţie, două elemente necunoscute, λ şi v.
Soluţia I
 k
Presupunem mişcarea turbulent rugoasă      şi determinăm valoarea lui λ prin
 D
relaţia Kàrmàn-Nicuradse.
1
D
25
 2 lg  1,14  2 lg
 1,14
k
0, 7

  0, 0554759
Viteza calculată cu această valoare a lui λ este
D
v
2 gH 3, 257 m/s
L
Verificăm însă ipoteza făcută, întâi prin Reynolds
vD 3, 257·0, 025
Re 

 7491

102
deci, mişcarea este turbulentă, dar nu avem certitudinea subdomeniului turbulent
k
0, 7
Re   7491 0, 0554759
 49, 4  200
D
25
49,4>9,4
adică, criteriul ne plasează în domeniul mixt sau de tranziţie şi trebuie să apelăm la
relaţia Colebrook-White
1
k 
 2,51
 2 lg 



 Re  3, 71D
H 

înlocuind în membrul drept ultimele valori Re şi λ se obţine λ=0,0596501
Se recalculează viteza acum
D
v
2 gH  3,141 m/s
L
şi criteriul Re=7224
k
criteriul Re   49, 4
D
domeniul s-a păstrat şi procedăm la calculul lui λ înlocuind în membrul drept ultimul λ
calculat (λ=0,0596501)
Se obţine în membrul stâng λ=0,0596502 şi respectiv o nouă viteză v=3,141 m/s
Termenii iteraţiei s-au stabilizat, deci putem calcula debitul.
 D2
 0, 0252
Q  vS 
·v  3.141
 1,541 l/s
4
4

Soluţia II
Pornim calculul cu λi (iniţial, de iniţializare) luat în domeniul 0,02-0,06 şi se parcurg
aceleaşi etape.
Bibliografie
LOWE, H. C. – Fluid mechanics, Theory, Worked Examples and Problems, Mc Millan
Press Ltd 1979
ANCUŞA, Victor – Mecanica fluidelor şi maşini hidraulice, volumul II, Institutul
Politehnic “Traian Vuia” Timişoara, Facultatea de Mecanică, 1980
TODICESCU, Al. , BENCHE, V., TURZÓ, G., CRĂCIUN, O-M., IVĂNOIU, M.,
UNGUREANU V-B, FILIP, N. – Mecanica Fluidelor şi Maşini Hidropneumatice –
Culegere de probleme, Universitatea din Braşov, 1989.

Sponsor Documents

Or use your account on DocShare.tips

Hide

Forgot your password?

Or register your new account on DocShare.tips

Hide

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link to create a new password.

Back to log-in

Close