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CUADERNO DE FÓRMULAS, TABLAS, FIGURAS Y PROBLEMAS PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Juan Carlos Ramos González Doctor Ingeniero Industrial Raúl Antón Remírez Doctor Ingeniero Industrial Diciembre de 2009
FÓRMULAS, TABLAS Y FIGURAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Juan Carlos Ramos González Doctor Ingeniero Industrial Raúl Antón Remírez Doctor Ingeniero Industrial Diciembre de 2009
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
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Transferencia de Calor / Curso 2009-10
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ÍNDICE Fórmulas Tema 1. Introducción a la transferencia de calor y a la conducción......................................1 conducción...................................... 1 Tema 2. Conducción unidimensional unidimensional en régimen estacionario estacionario ............................................. .............................................33 Tema 3. Conducción bidimensional bidimensional en régimen estacio estacionario nario ............................................... ...............................................66 Tema 4. Conducción en régimen transitorio................................... transitorio........................................................... ....................................... ............... 6 Tema 5. Introducción a la convección...................... convección .............................................. ................................................ ..................................... ............. 9 Tema 6. Convección forzada en flujo externo.................................................................... externo...................................................................... 11 Tema 7. Convección forzada en flujo interno................. interno......................................... ................................................ ............................. ..... 14 Tema 8. Convección libre o natural...................... natural .............................................. ................................................. ....................................... .............. 17 Tema 9. Introducción a la radiación radiación ...................... .............................................. ................................................ ...................................... .............. 19 Tema 10. Intercambio Intercambio radiativo entre supe superficies rficies ....................... .............................................. ........................................ .................22 22
Tablas y Figuras Tema 2. Conducción unidimensional unidimensional en régimen estacionario estacionario ........................................... ...........................................24 24 Tema 3. Conducción bidimensional en régimen estacionario.............................................27 Tema 4. Conducción en régimen transitorio................................... transitorio........................................................... ..................................... ............. 34 Tema 6. Convección forzada en flujo externo.................................................................... externo...................................................................... 37 Tema 7. Convección forzada en flujo interno................. interno......................................... ................................................ ............................. ..... 42 Tema 8. Convección libre o natural...................... natural .............................................. ................................................. ....................................... .............. 46 Tema 9. Introducción a la radiación radiación ...................... .............................................. ................................................ ...................................... .............. 48 Tema 10. Intercambio Intercambio radiativo entre supe superficies rficies ....................... .............................................. ........................................ .................50 50 Tablas de propiedades termofísicas y de funciones matemáticas........................................ matemáticas........................................55 55 Alfabeto griego ............................................. .................................................................... .............................................. .............................................. ........................... 62
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TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR Y A LA CONDUCCIÓN • Calor o transferencia de calor o velocidad de transferencia de calor: q [J/s = W]. • Flujo calorífico o de calor: q ′′ [W/m2]. • Ley de Fourier: q x′′ = −k
dT dx
. q x = q x′′ ⋅ A . En condiciones de régimen estacionario y con una
distribución lineal de temperaturas: q x′′ = − k
dT dx
T 2 − T 1
= − k
T 1 − T 2
= k
L
L
= k
∆T L
.
• Conductividad térmica: k [W/m·K]. [W/m·K]. • Ley de enfriamiento de Newton: q x′′ = h(T s − T ∞ ) . • Coeficiente de transferencia de calor por convección: h [W/m2·K].
[W/m2]. • Potencia emisiva superficial: E [W/m • Ley de Stefan-Boltzmann para un cuerpo negro: E b = σ T s4 .
= 5,67·10-8 W/m2·K 4. • Constante de Stefan-Boltzmann: σ = • El flujo de calor emitido por una superficie real a la misma temperatura que un cuerpo negro
siempre será menor y viene dado por: E = εσ T s4 , donde ε es es la emisividad, que puede variar entre 0 y 1. • Se llama irradiación, G, a la velocidad con la que la radiación incide sobre un área unitaria.
La proporción de la irradiación total que es absorbida por la superficie viene dada por la absortividad , α
(0≤α ≤1), según la siguiente expresión: Gabs = α G . Irradiación de los 4 alrededores: G = σ T alr . • Intercambio ′′ = q rad
q A
de
radiación
para
una
4 ). = ε E b (T s ) − α G = εσ (T s4 − T alr
′′ = h rad (T s − T alr ) , q rad
(
superficie También
gris se
y puede
difusa
( α =
expresar
ε ))::
como:
siendo hrad el coeficiente de transferencia de calor por radiación:
2 hrad = εσ (T s + T alr ) T s2 + T alr
).
• Principio de conservación de la energía en un volumen de control formulado en un instante de & ent + E & gen − E & sal = dE alm = E & alm . tiempo (t ): ): E
dt
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• Principio de conservación de la energía en un volumen de control formulado en un intervalo de tiempo (∆t ): ): E ent + E gen − E sal = ∆ E alm . & − E & • Principio de conservación de la energía en una superficie de control: E ent sal = 0 . r r r ∂T r ∂ T r ∂T r r • Ley de Fourier vectorial: q ′′ = −k ∇T = −k i + j + k = i q x′′ + j q y′′ + k q z ′′ . ∂ z ∂ y ∂ x
• Capacidad térmica volumétrica: ρ c p [J/m3·K]. Mide la capacidad de un material para
almacenar energía térmica. • Difusividad térmica: α =
k ρ c p
[m2/s]. Mide la capacidad de un material para conducir energía
térmica en relación con su capacidad para almacenarla. • Ecuación
de
difusión
de
calor
en
coordenadas
cartesianas:
W . k ∂T + ∂ k ∂T + ∂ k ∂T + q& = ρ c p ∂∂T t m 3 ∂∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z ∂ z • Ecuación de difusión de calor vectorial: ∇·(k ∇T ) + q& = ρ c p
∂T . ∂t
• En el caso de transmisión unidimensional en régimen estacionario y sin generación de
energía:
d dT k = 0 . Teniendo en cuenta la ley de Fourier ( q x′′ = −k dT dx ), esta ecuación dx dx
implica que el flujo de calor en la dirección de transmisión es una constante ( d q x′′ / dx = 0 ⇒ q x′′ = cte. ). • Ecuación de difusión de calor en coordenadas cilíndricas (r radial, φ angular o longitud, z
axial,
elemento
diferencial
de
volumen:
dr ·rd φ φ· dz ))::
1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T k + k + q& = ρ c p . + 2 ∂r r ∂φ ∂φ ∂ z ∂ z ∂t
1 ∂ ∂T kr r ∂r
radial, θ polar, polar, cenital o colatitud, φ • Ecuación de difusión de calor en coordenadas esféricas (r radial, azimutal
o
longitud,
elemento
diferencial
de
volumen:
dr ·rsenθ d d φ · d θ φ θ)): :
1 1 ∂ ∂T ∂T ∂ ∂T k + 2 2 . ksenθ + q& = ρ c p + 2 2 ∂θ ∂t ∂r r sen θ ∂φ ∂φ r sen θ ∂θ
1 ∂ 2 ∂T kr
r 2 ∂r
• Condición de contorno de primera clase o de Dirichlet: superficie mantenida a temperatura x = 0, t ) = T s. constante, T ( x
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• Condición de contorno de segunda clase o de Neumann: flujo de calor fijo o constante en la ∂T . Un caso especial es la superficie perfectamente aislada o ∂ x x =0
superficie, q s′′( x = 0) = − k adiabática, ∂T
∂ x x=0
= 0.
• Condición de contorno de tercera clase o de Fourier: corresponde a la transferencia de calor ′′ , superficie = qconv ′′ . Si el fluido está en contacto con la por convección en la superficie, q cond ∂T = h[T ∞ − T ( x = 0, t ) ] . Si ∂ x x =0
superficie de la pared donde está el origen de coordenadas: − k
el fluido está en contacto con la superficie de la pared opuesta al origen de coordenadas: ∂T = h[T ( x = L, t ) − T ∞ ] . − k ∂ x x = L
TEMA 2. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO T − T s 2
• Resistencia térmica de conducción para pared plana: Rt ,cond = s1 T − T ∞
• Resistencia térmica de convección: Rt ,conv = s
q
T − T alr
• Resistencia térmica de radiación. Rt ,rad = s
qrad
=
=
1 hA
1 hr A
L
=
q x
.
kA
.
.
∆T 1 x tot t • Coeficiente global de transferencia de calor, U : q = UA∆T . R = ∑ R = q = UA . • Ley de Fourier expresada en forma integral para un sistema general en condiciones de
régimen estacionario sin generación de calor y con conducción unidimensional (en este caso, dx
x
la transferencia de calor, q x, es una constante independiente de x): q x ∫ x
0
• Resistencia térmica de conducción para una pared cilíndrica: Rt ,cond = • Resistencia térmica de convección para una pared cilíndrica: Rt ,conv =
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T
A( x)
= −∫ k (T )dT . T 0
(T s1 − T s 2 )
1 Ah
qr
=
=
1 2π rLh
ln(r 2 / r 1 ) . 2π Lk .
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• Resistencia Rt ,cond =
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térmica
(T s1 − T s 2 ) qr
=
de
conducción
para
una
pared
esférica:
1 1 1 − . 4π k r 1 r 2
• Resistencia térmica de convección para una pared esférica: Rt ,conv = 1 = Ah
1
4π r 2 h
.
• El coeficiente global de transferencia de calor en una pared cilíndrica o esférica depende del
−1
área en función de la cual se exprese: U 1 A1 = U 2 A2 = U 3 A3 = ... = U i Ai = (∑ Rt ) . • Generación de energía térmica por unidad de volumen: q& = e& gen • Ecuación de calor para una aleta: •
& E gen W . = Vol m 3
d 2T 1 dAc dT 1 h dA s dx 2
(T − T ∞ ) = 0 . − + A dx dx A k dx c c
Distribución de temperaturas y transferencia de calor para aletas de área de sección transversal uniforme: • Caso A, con transferencia de calor por convección desde el extremo de la aleta
( hA c [T ( L) − T ∞ ] = −kAc θ ( x ) θ b
dT dx
): x = L
cosh m( L − x) + (h / mk )senh m( L − x) cosh mL + (h / mk )senh mL
=
siendo θ ( x) = T ( x) − T ∞ , θ b = T b − T ∞ , m 2 = el área transversal. d θ θ • Caso B, extremo adiabático ( dx
θ ( x ) θ b
kAc
senh mL + (h / mk ) cosh mL cosh mL + (h / mk )senh mL
, M = hPkA el perímetro y Ac c θ b , P el
= 0 ): x = L
cosh m( L − x) cosh mL
=
hP
q f = M
q f = M tanh mL
• Caso C, extremo con temperatura establecida (θ ( xx = L) = θ L): θ ( x ) θ b
(θ L / θ b )senh mx + senh m( L − x) senh mL
=
q f = M
cosh mL − (θ L / θ b ) senh mL
· L > 2,65): L → ∞ y θ L → 0, aplicable si m L • Caso D, aleta muy larga ( L
− mx
θ ( x) = θ b e
q f = M = hPkAc θ b
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• La efectividad de una aleta se define como la razón entre la transferencia de calor de la aleta y
la transferencia de calor que existiría sin la aleta: ε f =
q f hAc ,bθ b
, siendo Ac,b el área de la
sección transversal de la base de la aleta. El uso de aletas sólo se justifica cuando ε f ≥ 2.
• Resistencia térmica de una aleta: Rt , f =
θ b q f
.
• Teniendo en cuenta la resistencia térmica de convección de la base de la aleta, Rt ,b = 1/hAc,b,
se puede expresar la efectividad como: ε f =
Rt ,b Rt , f
.
• La eficiencia o rendimiento de una aleta se define como la razón entre el calor real transferido
por la aleta y el calor que transferiría si estuviera toda ella a la temperatura de la base: q f
q f
η f = q máx = hA f θ b , siendo A f la superficie total de la aleta.
• Teniendo en cuenta la ecuación que define la resistencia térmica de una aleta, se puede
expresar ésta en función de su eficiencia: Rt , f =
1 hA f η f
.
• Para el caso de una aleta recta de sección transversal uniforme y con su extremo adiabático se
tiene: η f =
M tanh mL hPLθ b
=
tanh mL mL
.
• Se puede emplear la expresión de la aleta con extremo adiabático para una aleta con extremo
activo, empleando una longitud de aleta corregida de la forma Lc = L+(t /2) /2) para aleta D/4) para aleta de aguja. Esta aproximación es válida cuando (ht /k ) o rectangular y Lc = L+( D
(hD/2k) < 0,0625. • Aletas de sección transversal no uniforme. En las expresiones de la distribución de
temperaturas, la transferencia de calor y el rendimiento o eficiencia de este tipo de aletas aparecen las funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase de orden 0 y orden 1 ( I I 0, I 1, K 0 y K 1) cuyos valores están tabulados en la Tabla H. En la Tabla 2.1 se muestran las expresiones del rendimiento para distintos tipos de aletas de sección transversal no uniforme. • Dispositivo de varias aletas. Eficiencia global de la superficie: η o =
qt
q máx
=
qt hAt θ b
, siendo qt
la transferencia total de calor de la superficie total, At , que es la asociada a la superficie de las 5
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aletas, A f , más la parte expuesta de la base, Ab. Es decir, At = NA f + Ab , siendo N el el número total de aletas. • Este rendimiento también se puede expresar en función del rendimiento de una sola aleta: NA f qt = Nq f + qb = N η f hA f θ b + hAbθ b ⇒ qt = η o hAt θ b ⇒ η o = 1 − At
θ b
• Resistencia térmica efectiva del dispositivo de aletas: Rt ,o =
qt
=
(1 − η f ) .
1 hAt η o
.
TEMA 3. CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO (T 1 − T 2 ) . Se obtiene • Factor de forma de conducción para sistemas bidimensionales, S : q = Sk
de la Tabla 3.1. 1 • Resistencia de conducción bidimensional: R
t ,cond ( 2 D )
= Sk .
• MDF: Para obtener la ecuación de diferencias finitas de un nodo aplicando el principio de
conservación de la energía a un volumen de control alrededor del nodo se supone que todo el flujo de calor es hacia el nodo. Como estamos en régimen permanente la ecuación a emplear & & es: E ent + E gen = 0 . El término de energía entrante puede incluir calores de conducción o de
convección que se evalúan con la ley de Fourier ( q ( m −1,n )→( m,n ) = k (∆ y ·1)
T m−1,n − T m, n
∆ x
) o la ley
de enfriamiento de Newton ( q( ∞ )→( m ,n ) = h(∆ x ·1)(T ∞ − T m,n ) .
TEMA 4. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO • Definición general del número de Biot: Bi =
Rt,int Rt ,ext
=
onvección: Bi = • Número de Biot para un sólido con cconvección:
∆T int . ∆T ext hLc k
=
Rt ,cond Rt ,conv
.
A s. Para una pared plana de espesor 2 L sometida a • Longitud característica: Lc = Vol / A
convección simétrica en su superficie ⇒ L Lc = L, y para un cilindro largo o una esfera de radio r o ⇒ L Lc = r o.
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α ·t
• Número de Fourier: Fo =
L2c
.
• El método de la resistencia interna despreciable es aplicable cuando Bi =
hLc
< 0,1 .
k
• Distribución de temperaturas temporal en un sólido en el que se puede aplicar el método de la
resistencia interna despreciable: θ (t ) θ ini
=
t hA s t = exp − . = exp− T ini − T ∞ τ t ρ Volc p
T (t ) − T ∞
1
• Constante de tiempo térmica: τ t = ·ρ Volc p = Rt ·C t , siendo Rt la resistencia a la hA s
transferencia de calor por convección y C t t la capacidad térmica del sólido. • La transferencia total de energía que tiene lugar desde un sólido en el que se puede aplicar el
método Q(t ) =
de t
∫0
la
resistencia
interna
despreciable
durante
un
tiempo
t
será:
t
∫0
qdt = hA s θ (t )dt ⇒ Q (t ) = ρ Volc pθ ini [1 − exp(− t τ t )] = U ini [ 1 − exp(− t τ t )] .
t ) = −[U (t ) − U (0)] . • Q(t ) = −∆U (0 →
• Solución analítica aproximada con el primer término (aplicable cuando Fo > 0,2) de la
distribución de temperaturas en una pared plana de espesor 2 L sometida a convección: θ * ( x*, t *) =
θ o
T ( x, t ) − T ∞ T ini − T ∞
* ( x* = 0, t ) =
= C 1 exp(−ζ 12 Fo) cos(
180 π
ζ 1 x*) = θ o
* cos(
180 π
ζ 1 x*) ,
siendo
T ( x = 0, t ) − T ∞ L = = C 1 exp(−ζ 12 Fo) la temperatura del plano medio ( xx* = x/ L
T ini − T ∞ 0). Los valores de C 1 y ζ 1 se obtienen de la Tabla 4.1.
• Transferencia total de energía en función del tiempo desde o hacia una pared plana de espesor
2 L sometida a convección: T ∞)
Q (t ) U o
180 ζ 1 π θ * (0, t ) , siendo U = U = ρ c Vol (T o iini ni p iini ni o
sen = 1−
ζ 1
= U máx máx la energía interna inicial de la pared referida a la temperatura del fluido o la
máxima cantidad de energía que se podría transferir al fluido o desde el fluido, fl uido, según éste esté a menor o mayor temperatura que la pared. • Solución analítica aproximada con el primer término (aplicable cuando Fo > 0,2) de la
distribución de temperaturas en un cilindro largo de radio r o sometido a convección: 7
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θ * ( r *, t *) =
θ o
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T (r , t ) − T ∞
= C 1 exp(−ζ 12 Fo) J 0 (ζ 1 r *) = θ o * J 0 (ζ 1 r *) ,
T ini − T ∞ T − T ∞
siendo
= C 1 exp(−ζ 12 Fo) la temperatura del eje central ( r * = r /r o = 0) y J 0
* (r * = 0, t ) = o
T ini − T ∞
la función de Bessel de primera clase de orden cero cuyos valores se encuentran en la Tabla G. • Transferencia total de energía en función del tiempo desde o hacia un cilindro largo de radio r o sometido
a convección:
Q(t ) U o
= 1−
2θ o * (0, t ) ζ 1
J 1 (ζ 1 ) ,
siendo J 1 la función de Bessel de
primera clase de orden uno cuyos valores se encuentran en la Tabla G y U o = U ini ini = ρ c pVol (T iini máx la energía interna inicial del cilindro referida a la temperatura del ni - T ∞) = U máx
fluido o la máxima cantidad de energía que se podría transferir al fluido o desde el fluido, según éste esté a menor o mayor temperatura que el cilindro. • Solución analítica aproximada con el primer término (aplicable cuando Fo > 0,2) de la distribución de temperaturas en una esfera de radio r o sometida a convección: θ * ( r *, t *) =
T (r , t ) − T ∞
= C 1 exp( −ζ 12 Fo)
T ini − T ∞
T − T ∞
siendo θ o * (r * = 0, t ) = o
T ini − T ∞
180 180 1 sen( ζ 1 r *) , sen( ζ 1 r *) = θ o * ζ 1r * π ζ 1 r * π 1
= C 1 exp( −ζ 12 Fo) la temperatura del eje central (r * = r /r o =
0). • Transferencia total de energía en función del tiempo desde o hacia una esfera de radio r o
sometida a convección:
Q(t ) U o
= 1−
180 180 ni = sen( π ζ 1 ) − ζ 1 cos( π ζ 1 ) , siendo U o = U iini
3θ o * ζ 13
ρ c pVol (T iini ni - T ∞) = U máx máx la energía interna inicial de la esfera referida a la temperatura del
fluido o la máxima cantidad de energía que se podría transferir al fluido o desde el fluido, según éste esté a menor o mayor temperatura que la esfera. • Conducción multidimensional. Para las geometrías multidimensionales de la Tabla 4.2, la
solución multidimensional se expresa como un producto de soluciones unidimensionales que corresponden a un sólido semiinfinito, una pared plana de espesor 2 L o un cilindro infinito de radio r o: S ( x, t ) = T ini − T ∞
T ( r , t ) − T ∞
T ( x, t ) − T ∞
T ( x, t ) − T ∞ Sólido semiinfinito
; P ( x, t ) = T ini − T ∞ 8
Pared plana
; C (r , t ) = T ini − T ∞
Cilindro infinito
.
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• En un sólido semiinfinito la condición de frontera interior es T ( xx→∞, t ) = T iini ni y la condición
inicial es T ( x x, 0) = T ini ini. Las soluciones analíticas para tres condiciones de frontera exterior son: Condición de frontera
Distribución de temperaturas T ( x, t ) − T s x = erf T ini − T s t 2 α k (T s − T ini ) ∂T = q s′′ (t ) = − k ∂ x x =0 (πα t )1 / 2
Temperatura superficial constante: T (0, t ) = T s
Condición de frontera Flujo de calor superficial constante: q s′′ = q o′′
Distribución de temperaturas x 2 q o′′ x 2qo′′ (α t / π )1 / 2 x − exp − erfc − T ( x, t ) − T ini = 4 k t k α 2 t α T ( x, t ) − T ini
Convección superficial:
T − T
T − k ∂ = h[T ∞ − T (0, t )] ∂ x x =0
x − = erfc
ini
2 α t hx h 2α t x h α t + − exp + 2 erfc k k k 2 α t ∞
donde la función gaussiana de error, erf ( η ), ), y la función complementaria de error, erfc (w) = 1 – erf (w), son funciones matemáticas estándar cuyos valores se encuentran en la Tabla E. • MDF en régimen transitorio. Expresión en diferencias finitas de la velocidad de variación de & la energía almacenada: E alm = ρ c pV
T m p,+n1 − T m p, n
∆t
.
• Criterio de estabilidad en el MDF explícito: el coeficiente asociado con el nodo de interés en
el tiempo anterior (coeficiente de T m p,n ) debe ser mayor o igual que cero. Así se obtiene un valor límite para Fo =
α ∆t
(∆ x) 2
, del que se obtiene el máximo valor permisible de ∆t .
TEMA 5. INTRODUCCIÓN A LA CONVECCIÓN • Ley de enfriamiento de Newton: q ′′ = h(T s − T ∞ ) ; q = h A(T s − T ∞ ) . • Coeficiente de transferencia de calor por convección local, h o promedio, h [W/m2·K].
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• Relación q=
∫
A s
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entre
los
q ′′dA s = (T s − T ∞ )
∫
A s
coeficientes
de
hdA s = h A s (T s − T ∞ )
convección ⇒
h =
1 A s
local
∫
A s
hdA s
y
promedio:
. Para flujo sobre una
L placa plana: h = 1 ∫0 hdx .
L
x): la y para la que u( yy) = 0,99·u∞. • Espesor de la capa límite de velocidad, δ ( x x): la y para la que ( T s - T ( yy))/(T s - T ∞) = 0,99. • Espesor de la capa límite térmica, δ t t( x
• Relación del coeficiente de convección en la capa límite: h =
Reynolds: Re x = • Número de Reynolds:
ρ u ∞ x µ
=
u ∞ x
ν
− k f ∂T / ∂ y y =0 T s − T ∞
.
.
Reynolds crítico para el inicio de la turbulencia en flujo externo: Re x,c = 5·105. • Número de Reynolds • Expresión diferencial de la ecuación de conservación de la masa o de continuidad: ∂ ρ ∂ ( ρ u ) ∂( ρ v) kg = 0 3 . + + ∂ y ∂ x ∂t m ·s • Expresiones diferenciales de las ecuaciones de balance de la cantidad de movimiento o del
momento lineal: ∂u ∂ p ∂ ∂u 2 ∂u ∂v ∂ ∂u ∂v ∂u ∂u kg N + v + = − + µ 2 − + + µ + + X 3 = 2 2 ∂ x ∂ x ∂ x 3 ∂ x ∂ y ∂ y ∂ y ∂ x ∂ y ∂t m ·s m ∂ x ∂v ∂ p ∂ ∂v 2 ∂u ∂v ∂ ∂u ∂v ∂v ∂v + v + = − + µ 2 − + + µ + + Y . ρ u ∂ y ∂ y ∂ y 3 ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y ∂t ∂ x
ρ u
• Expresión diferencial de la ecuación de conservación de la energía: ∂( pu ) ∂( pv) ∂ ∂T ∂ ∂T = − k + k + q& − Xu − Y v + µ Φ − ∂ y ∂ x ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y V 2 W V 2 ∂ V 2 ∂ ∂ + ρ v e + gy + + ρ e + gy + ρ u e + gy + 2 ∂ y 2 ∂t 2 m 3 ∂ x
, siendo V 2 = u2 + v2.
• Expresión diferencial de la ecuación de conservación de la energía térmica para fluido
incompresible en flujo estacionario: ∂T ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T + v = k + k + µ Φ + q& . ∂ y ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x
ρ c p u
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∂u ∂v 2 ∂u 2 ∂v 2 • Disipación viscosa: µ Φ = µ + + 2 + . ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x • Aproximaciones de capa límite: fluido incompresible ( ρ constante), con propiedades
constantes (k , µ , etc.), fuerzas de cuerpo insignificantes ( X X =Y =0) =0) y sin generación de energía ∂u ∂v ∂v ∂u ∂T ∂T en la capa límite de velocidad y en >> , , >> ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y
( q& = 0 ).Además: u >> v y la capa límite térmica.
• Ecuación de conservación de la masa o de continuidad en la capa límite:
∂u ∂v = 0. + ∂ x ∂ y
• Ecuaciones de balance de la cantidad de movimiento o del momento lineal en la capa límite:
1 ∂ p ∂ 2u ∂u ∂u u + ν 2 y +v =− ∂ y ∂ x ρ ∂ x ∂ y
∂ p = 0. ∂ y
∂ 2T ν ∂T ∂T • Ecuación de conservación de la energía en la capa límite: u = α 2 + +v c p ∂ y ∂ x ∂ y • Número de Prandtl: Pr =
ν α
Nusselt: Nu = • Número de Nusselt:
2
∂u . ∂ y
.
hL k f
=
∂T * . ∂ y * y *=0
• Las formas adimensionales de las soluciones de la capa límite adoptan la siguiente forma: Nu = f ( x*, Re L , Pr ) y Nu =
h L
= f ( Re L , Pr ) .
k f
• Relación entre los espesores de las capas límites hidrodinámica y térmica en régimen laminar: δ δ t
≈ Pr 1 / 3 .
TEMA 6. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO EXTERNO • Temperatura de película es la temperatura media entre la del fluido y la de la superficie: T f =
T s + T ∞
2
.
11
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
5
• Espesor de la capa límite laminar: δ lam ( x) =
u ∞ / ν x
=
5 x Re x
.
• Correlación de convección local para el flujo laminar sobre una placa plana con temperatura
superficial constante: Nu x = h x x = 0,332 Re x1 / 2 Pr 1 / 3 . Con propiedades a T f y Pr ≥ 0,6. k
• Relación entre los espesores de las capas límites de velocidad y térmica:
δ lam δ t ,lam
≈ Pr 1 / 3 .
• Correlación de convección promedio para el flujo laminar sobre una placa plana con h x
temperatura superficial constante: Nu x = x = 0,664 Re x1 / 2 Pr 1 / 3 . Con propiedades a T f y Pr ≥ k
0,6. −1 / 5 . • Espesor de la capa límite de velocidad turbulenta: δ turb = 0,37 xRe x
• Espesor de la capa límite térmica turbulenta: δ t ,turb ≈ δ turb . • Correlación de convección local para el flujo turbulento sobre una placa plana con T s = cte: Nu x = 0,0296 Re x4 / 5 Pr 1 / 3 . Con propiedades a T f y 0,6 < Pr < < 60.
• Para condiciones de capa límite mezclada (laminar y turbulenta) se trabaja con el coeficiente
de convección promedio: h L =
1 x
L ∫0 hlam dx + ∫ x hturb dx . L c
c
• Correlación de convección promedio para capa límite mezclada (laminar y turbulenta) sobre
una placa plana con T s = cte: Nu L = (0,037 Re L4 / 5 − 871) Pr 1 / 3 . Con propiedades a T f y 0,6 < Pr < 60 5 8 5·10 < Re L < 10 . Re x = 5·10 5 c
• Correlación de convección promedio para capa límite mayoritariamente turbulenta, es decir,
la longitud de la capa límite laminar es despreciable ( L >> xc y Re L >> Re x,c), sobre una placa 0,6 < Pr < 60 plana con T s = cte: Nu L = 0,037 Re L4 / 5 Pr 1 / 3 . Con propiedades a T f y 5·10 5 < Re L < 10 8 . Re x = 5·10 5 c
• Correlación de convección local para flujo laminar sobre una placa plana que desprende un
flujo de calor superficial constante: Nu x = 0,453 Re x1 / 2 Pr 1 / 3 , con Pr ≥ 0,6 y propiedades a T f . 12
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
• Correlación de convección local para flujo turbulento sobre una placa plana que desprende un
flujo de calor superficial constante: Nu x = 0,0308 Re x4 / 5 Pr 1 / 3 , con 0,6 ≤ Pr Pr ≤ 60 y propiedades a T f . • Flujo sobre una placa plana que desprende un flujo de calor superficial constante. La
variación de la temperatura superficial local se obtiene con: T s ( x) = T ∞ +
q s′′ h x ( x )
.
Reynolds para flujo cruzado cruzado sobre un cilindro: Re D = V · D D/ν . • Número de Reynolds • Correlación de Hilpert para flujo cruzado sobre un cilindro: Nu D = CRe Dm Pr 1 / 3 . Los valores
de las constantes C yy m se dan en la Tabla 6.3 en función de Re D. La Tabla 6.4 da los valores de las constantes para cilindros no circulares. Las propiedades se evalúan a T f . Válida para fluidos con Pr ≥ 0,7. 1/ 4
Pr • Correlación de Zhukauskas para flujo cruzado sobre un cilindro: Nu D = CRe Dm Pr n Pr s n = 0,37 si Pr ≤ 10 Con y n Pr = 0 , 36 si > 10
.
0,7 < Pr < 500 1 < Re < 10 6 . Los valores de las constantes C yy m se dan en D
la Tabla 6.5 en función de Re D. Las propiedades se evalúan a T ∞, excepto Pr s a T s. • Correlación Nu D = 0,3 +
• Correlación
de Churchill y Bernstein para flujo cruzado sobre un cilindro: 0,62 Re D1 / 2 Pr 1 / 3 2 / 3 1/ 4
[1 + (0,4 / Pr ) ] de
Zhukauskas
Re D 5 / 8 1 + 282 . 000
para
flujo
4/5
. Con propiedades a T f y Re D Pr · Pr > > 0,2.
a
través de un banco de tubos: N L ≥ 20 1/ 4 Pr . Con 1.000 < Re D ,máx < 2·10 6 . Las constantes C y m se dan Nu D = CRe Dm,máx Pr 0 , 36 Pr s 0,7 < Pr < 500 en la Tabla 6.6. Las propiedades se evalúan a T = ( T ent + T sal ) / 2 , excepto Pr s a T s. Para N L < 20 se aplica un factor de corrección tal que Nu D
N L < 20
= C 2 Nu D
N L ≥ 20
, donde C 2 está dado en
la Tabla 6.7. • Re D,máx se define en función de la velocidad máxima del fluido dentro del banco de tubos. •
S T es
el espaciado transversal y S L el espaciado longitudinal (distancias entre centros de tubos). 13
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
• Para la configuración alineada la velocidad máxima se da en el plano transversal entre dos tubos verticales y su valor es V máx =
S T S T − D
V .
• Para la configuración escalonada se utiliza la misma expresión si la velocidad máxima se da
en el plano transversal. Pero si se da en el plano diagonal la expresión es V máx =
S T
2( S D − D)
V .
La velocidad máxima ocurre en el plano diagonal si se cumple la siguiente condición (ver 2 S T 2 Figura 6.2): 2( S D − D ) < ( S T − D) ⇒ S D = S L + 2
• Diferencia de temperaturas media logarítmica: ∆T ml =
1/ 2
<
S T + D
2
.
(T s − T ent ) − (T s − T sal ) T s − T ent T T − s sal
.
ln
π DN h = exp − , donde N es es el • Cálculo de la temperatura de salida del flujo: ρ VN T S T c p T s − T ent T s − T sal
número total de tubos y N T T el número de tubos en el plano transversal. • Cálculo de la transferencia de calor por unidad de longitud de tubo: q ′ = h N π D∆T ml .
TEMA 7. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO INTERNO I NTERNO • El número de Reynolds para flujo interno se define en función del diámetro del tubo y de la ρ u D
velocidad media del fluido sobre la sección transversal del tubo: Re = m D
µ
=
u m D
. Como
ν
& = ρ u m Ac , para un tubo circular el número de Reynolds se puede expresar: Re D = m
4m& π Dµ
.
• Número de Reynolds Reynolds crítico para el inicio de la turbulencia en flujo interno: Re D,c = 2.300. x l aminar: cd ,h ≈ 0,05 Re D . • Longitud hidrodinámica de entrada para flujo laminar: D lam x • Longitud hidrodinámica de entrada para flujo turbulento: t urbulento: 10 ≤ cd ,h ≤ 60 . D turb
14
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
• Expresión de la velocidad media en función del flujo másico integrado en la sección
transversal: u m ( x) =
& m
ρ Ac
∫ =
Ac
ρ u ( r , x) dAc ρ Ac
=
2 r o2
r o
∫0 u(r , x)rdr .
x • Longitud de entrada térmica para flujo laminar: cd ,t ≈ 0,05 Re D Pr . D lam x • Longitud de entrada térmica para flujo turbulento: cd ,t = 10 . D turb
• Temperatura media definida en función de la energía térmica transportada por el fluido: t = ∫ ρ u ( r )c v T ( r , x ) dAc
& = E & U
• Bajo
Ac
condiciones
∫ = m& c T ( x) ⇒ T ( x) =
Ac
v
térmicas
m
m
& cv m
completamente
dT s ∂ T s ( x) − T (r , x) ∂T . Además: 0 = = ∂ x T s ( x) − T m ( x) cd ,t ∂ x cd ,t dx T − T dT m ∂T = s ∂ x cd ,t T s − T m dx
ρ uc vTdAc
2 u m r o2
desarrolladas =
cd ,t
=
dT m dx
r o
∫0 u (r )T (r , x)rdr . se
cumple:
≠ f (r ) para q s′′ = cte y cd ,t
= f (r ) para T s = cte. cd ,t
• Al aplicar un balance de energía al flujo interno en un tubo de un gas ideal o de un líquido
incompresible se obtiene que la transferencia de calor por convección al fluido es igual a la rapidez a la que aumenta la energía térmica del fluido: qconv = m& c p (T m, sal − T m,ent ) . • Variación axial de la temperatura media para el caso de flujo de calor superficial constante: ′ x . T m ( x) = T m ,ent + q s′ P & c p m • Variación axial de la temperatura media para el caso de temperatura superficial constante: T s − T m ( x ) T s − T m,ent
Px h. = exp − m& c p
• La transferencia total de calor se expresa en función de la diferencia de temperaturas media
logarítmica: qconv = h A s ∆T ml ; ∆T ml =
(T − T m, sal ) − (T s − T m,ent ) ∆T sal − ∆T ent . = s (T s − T m, sal ) ln(∆T sal / ∆T ent ) ln (T s − T m ,ent )
15
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
• Caso de un tubo rodeado de un fluido externo (convección interna y externa simultáneas): U A ∆T ml ∆T sal T ∞ − T m, sal 1 q conv = U A s ∆T ml = . ; = = exp − s = exp − & c p & c p Rtot R m m ∆T ent T ∞ − T m,ent tot • Correlación de convección local para flujo laminar en la región completamente desarrollada
con flujo de calor superficial constante: Nu =
hD k
=
48 = 4,36 . Propiedades a T m. 11
• Correlación de convección local para flujo laminar en la región completamente desarrollada
con temperatura superficial constante: Nu =
hD k
= 3,66 . Propiedades a T m.
• Número de Graetz: Gz D = ( D / x) Re D Pr . • Correlación de Hausen para flujo laminar con longitud de entrada térmica (perfil de
velocidades Nu D =
h D k
desarrollado) = 3,66 +
y
con
temperatura
superficial
constante:
0,0668( D / L) Re D Pr m ,ent + T m, sal ) / 2 . . Propiedades a T m = (T 2/3 1 + 0,04[( D / L) Re D Pr ]
• Correlación de Sieder y Tate para flujo laminar interno con longitud de entrada combinada y Re Pr con temperatura superficial constante: Nu D = 1,86 D L / D
1/ 3
µ µ s
0 ,14
. Con propiedades a
0,48 < Pr < 16.700 T m = (T m,ent + T m , sal ) / 2 , excepto µ s a T s y 0,0044 < µ < 9,75 . µ s
• Correlación de Dittus-Boelter para flujo turbulento interno completamente desarrollado,
válida tanto para flujo de calor como para temperatura superficial constante: Nu D = 0,023 Re D4 / 5 Pr n .
Con n = 0,4 para calentamiento (T s > T m), n = 0,3 para enfriamiento
0,7 ≤ Pr ≤ 160 (T s < T m), las propiedades evaluadas a T m y Re D ≥ 10.000 . ( x / D) ≥ 10
• Correlación de Sieder y Tate para flujo turbulento interno completamente desarrollado y con
grandes variaciones de las propiedades del fluido, válida tanto para flujo de calor como
16
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
µ temperatura superficial constante: Nu D = 0,027 Re D4 / 5 Pr 1 / 3 µ s
0 ,14
. Con propiedades a T m,
0,7 ≤ Pr ≤ 16.700
excepto µ s a T s y Re D ≥ 10.000 ( x / D ) ≥ 10
.
• El número de Nusselt promedio en flujo turbulento para todo el tubo t ubo es igual al valor asociado
con la región completamente desarrollada, Nu D ≈ Nu D ,cd , para valores de ( L L / D) > 60 y las propiedades del del fluido a T m = (T m,ent + T m , sal ) / 2 . • Para tubos no circulares se trabaja con el diámetro hidráulico: Dh =
4 Ac P mojado
, donde Ac es el
área de la sección transversal y P mojado mojado el perímetro mojado. Las expresiones del número de Reynolds para el diámetro hidráulico son: Re D = ρ u m Dh = u m Dh = 4m& . h
µ
ν
µ P
• Número de Nusselt local para flujo laminar completamente desarrollado en tubos no
circulares: Tabla 7.2. • Correlaciones de convección para flujo turbulento completamente desarrollado en tubos no
circulares: Las mismas que para tubos circulares trabajando con el diámetro hidráulico.
TEMA 8. CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL Grashof: Gr x = • Número de Grashof:
g β (T s − T ∞ ) x 3
ν 2
.
• Relación entre la convección forzada y la convención libre: si Gr L / Re L2 << 1 , la convección
libre se desprecia frente a la forzada; si Gr L / Re L2 >> 1 , la forzada se desprecia frente a la libre. • Soluciones de similitud para la convección libre laminar sobre una superficie vertical.
Número
de
Nusselt
Gr Nu x = = x k 4 hx
local:
17
1/ 4
· f ( Pr ) ,
siendo
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
0,75 Pr 1 / 2 f ( Pr ) = . 1/ 4 1/ 2 (0,609 + 1,221 Pr + 1,238 Pr )
Número
de
Nusselt
promedio:
1/ 4
4 Gr L 4 = = = L Nu L k 3 4 · f ( Pr ) 3 Nu . h L
Rayleigh: Ra x = Gr x Pr = • Número de Rayleigh:
g β (T s − T ∞ ) x 3
να
.
• Transición entre la capa límite laminar y la turbulenta en placas verticales: Gr x,c ≈ 109 ⇒ Ra x,c / Pr ≈ 109.
• Correlación de Churchill y Chu para la convección libre sobre una superficie vertical a
temperatura
constante
aplicable
para
todo
Ra L:
2
0,387 Ra L1 / 6 Nu L = = 0,825 + . Propiedades calculadas a T f = (T s + T ∞)/2. 9 / 16 8 / 27 k [1 + (0,492 / Pr ) ] h L
• Correlación para la convección libre sobre una superficie vertical a temperatura constante
0,670 Ra L1 / 4 aplicable al flujo laminar: Nu L = = 0,68 + con Ra L ≤ 109. 4/9 9 / 16 k [1 + (0,492 / Pr ) ] h L
Propiedades calculadas a T f = (T s + T ∞)/2. • Si la condición de la superficie es un flujo de calor constante en vez de una temperatura
uniforme, la diferencia de temperaturas (T s - T ∞) aumentará con x. Las correlaciones anteriores son aplicables en este caso si Nu L y Ra L se definen en términos de la diferencia de temperaturas en el punto medio de la placa, ∆T L / 2
= T ( L / 2) − T ∞ . Como h = q ′′ / ∆T es s
s
L / 2
necesario realizar un proceso iterativo para determinar T s ( L L/2). Es posible obtener una expresión para la temperatura en cualquier punto en función de la temperatura en el punto x medio: ∆T x = T s ( x) − T ∞ ≈ 1,15 L
1/ 5
∆T L / 2 .
• Los resultados anteriores también se pueden aplicar a cilindros verticales de altura L si el
espesor de la capa límite, δ , es mucho menor que el diámetro del cilindro, condición que viene dada por:
D L
≥
35 Gr L1 / 4
.
18
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
• Para placas inclinadas (superficie superior de placa fría o superficie inferior de placa caliente)
se pueden emplear las correlaciones para placas verticales sustituyendo g por por g ·cos ·cos (θ ) para 0º ≤ θ ≤ 60º (θ se se mide desde la vertical). • Para placas horizontales se utiliza una longitud característica definida como el cociente entre
el área y el perímetro de la placa: Lc = A s / P . • Correlaciones de convección libre para la superficie superior de una placa horizontal caliente
o para la superficie inferior de una placa horizontal fría a temperatura constante: Nu Lc = 0,54 Ra L1 c/ 4 si
104 ≤ Ra Ra Lc ≤ 107 y Nu L = 0,15 Ra L1 / 3 si 107 ≤ Ra Ra Lc ≤ 1011. Propiedades c
c
calculadas a T f . • Correlaciones de convección libre para la superficie inferior de una placa horizontal caliente o
para la superficie superior de una placa horizontal fría a temperatura constante: 1/ 4 Lc
5
10
Lc
Ra Lc ≤ 10 . Propiedades calculadas a T f . con 10 ≤ Ra • Correlación de Churchill y Chu para la convección libre sobre un cilindro largo horizontal: Nu = 0,27 Ra
2
0,387 Ra D1 / 6 Ra D ≤ 1012. Propiedades calculadas a T f . Nu D = = 0,60 + con 8 / 27 k [1 + (0,559 / Pr ) 9 / 16 ] h D
• Convección libre y forzada combinadas. Se produce cuando
correlaciones
convenientes
3 3 3 Nu combinada = Nu forzada ± Nu libre .
corregidas
con
la
Gr L Re L2
≈ 1 . Se utilizan las
siguiente
expresión:
El signo + se emplea cuando los dos flujos tienen el mismo
sentido o son perpendiculares y el signo - se emplea cuando los dos flujos tienen sentidos opuestos.
TEMA 9. INTRODUCCIÓN A LA RADIACIÓN • Ángulo sólido diferencial: d ω ω = = dAn / r 2 = senθ ··ddθ ··ddφ . Unidad: estereorradián (sr). El ángulo
sólido subtendido por el hemisferio sobre un diferencial de área dA1 vale:
∫
d ω =
h
2π
π / 2
∫0 ∫0
senθ d θ d φ = 2π sr .
• Intensidad espectral emitida: I λ ,e (T , λ , θ , φ ) =
W 2 . dA cos θ d ω d λ m ·sr· µm dqe
1
19
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
dqe
E λ (T , λ ) = q ′λ ′,e (T , λ ) =
• Potencia emisiva espectral: =∫
2π
0
dA1 d λ
=∫
2π
0
π / 2
∫0
I λ ,e (T , λ ,θ , φ ) cosθ d ω =
W I λ ,e (T , λ ,θ , φ ) cosθ senθ d θ d φ 2 m · µm
π / 2
∫0
∞
.
2
′ ,emit = ∫ E λ (T , λ )d λ [W/m ]. • Potencia emisiva total: E (T ) = q ′rad 0
• Emisor difuso: I λ ,e (T , λ , θ , φ ) = I λ ,e (T , λ ) ⇒ E λ (T , λ ) = π I λ ,e (T , λ ) ⇒ E = π I e . • Irradiación
espectral:
Gλ (λ ) = q λ ′′,i (λ ) =
dqi
dA1 ·d λ
2π
π / 2
0
0
= ∫ ∫ I λ ,i (λ ,θ , φ ) cosθ senθ d θ d φ
[W/m2·µ m]. m]. ∞
′′ ,inc = ∫ Gλ (λ )d λ [W/m2]. • Irradiación total: G = q rad 0
• Radiación incidente difusa: I λ ,i (λ , θ , φ ) = I λ ,i (λ ) ⇒ Gλ (λ ) = π I λ ,i (λ ) ⇒ G = π I i . • Radiosidad espectral:
′′ ,emit + reflj (λ ) = J λ (λ , T ) = q rad
dqe + r dA1 ·d λ
= ∫
2π
0
π / 2
∫0
2 I m]. λ , e + r (λ , T , θ , φ ) cos θ senθ d θ d φ [W/m ·µ m].
∞
2 ′′ ,emit + ref • Radiosidad total: J (T ) = q rad = ∫ J λ (λ , T )d λ [W/m ]. 0
• Emisor y reflector difuso: I λ ,e+ r (λ , T ,θ , φ ) = I λ ,e+ r (λ , T ) ⇒ J λ (λ , T ) = π I λ ,e+ r (λ , T ) ⇒ J (T ) = π I e+ r (T ) .
2hco2
• Distribución de Planck: I λ ,b (λ , T ) =
5
−
, donde h = 6,6256·10-34 J·s es la
o
λ [exp( hc / λ kT ) 1]
8
constante de Planck, co = 2,998·10 m/s es la velocidad de la luz en el vacío y k = = 1,3805·10-23 J/K es la constante de Boltzmann. Como el cuerpo negro es un emisor difuso: E λ ,b (λ , T ) = π I λ ,b (λ , T ) =
C 1
λ 5 [exp(C 2 / λ T ) − 1]
, donde C 1 y C 2 son la primera y segunda
constantes de radiación. • Ley de desplazamiento de Wien:
dE λ ,b (λ , T ) d λ
• Ley de Stefan-Boltzmann: E b = ∫
∞
0
= 0 ⇒ λ máxT = C 3 = 2.898µ m·K .
C 1 d λ = σ T 4 , 5 exp(C / T ) − 1 2 λ λ [ ]
W/m2·K 4 es la constante de Stefan-Boltzmann.
20
donde σ = 5,67·10-8
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras λ
λ
E , d λ E , ∫ ∫ 0 0 d (λ T ) = f (λ T ) . = = • Emisión de banda: F (0 → λ ) = 4 ∫ 0 σ T 5 T σ ∫0 E , d λ E λ ,b d λ
λ
λ b
λ b
∞
λ b
E λ (λ , T ) . • Emisividad superficial, ε : Emisividad (hemisférica) espectral: ε λ (λ , T ) = E (λ , T ) λ ,b
∞
Emisividad total (hemisférica): ε (T ) =
E (T ) E b (T )
=
∫0 ε (λ , T ) E , (λ , T )d λ . En un emisor difuso λ b
λ
E b (T )
la emisividad direccional es independiente de la dirección. • Absortividad superficial, α : Absortividad (hemisférica) espectral: α λ (λ ) = ∞
Absortividad (hemisférica) total: α =
Gabs
α (λ )G ∫ 0 = λ
(λ )d λ
∞
G
∫
0
∞
• Para radiación solar (T b = 5.800 K): α Sol
λ
Gλ ,abs (λ ) Gλ (λ )
.
. α = α (λ ,θ , φ , sup .) ≠ α (T ) .
Gλ (λ ) d λ
α (λ ) E , (λ , 5.800 K ) d λ ∫ 0 = . ∫0 E , (λ , 5.800 K )d λ λ b
λ
∞
λ b
• Reflectividad superficial, ρ : Reflectividad (hemisférica) espectral: ρ λ (λ ) =
Gλ ,ref (λ ) Gλ (λ )
.
∞
Reflectividad (hemisférica) total: ρ = •
+ ρ λ
+ α λ
• Ley
de
E 1 (T s )
α 1 ε 1 α 1
=
=
ε 2 α 2
= ⇒ τ λ
+
G ref G
ρ (λ )G (λ ) d λ ∫ 0 . = ∫0 G (λ )d λ λ
∞
λ
+ =
1 ρ α τ 1 . Kirchhoff (para superficies
E 2 (T s )
α 2
λ
en
el
interior
de
un
recinto):
= ... = E b (T s ) . Como α ≤ 1 ⇒ E (T s) ≤ E b(Ts). También se cumple:
= α . = ... = 1 ⇒ ε =
• Superficie difusa (emisora y receptora difusa): ε λ λ, θ y α λ λ, θ son son independientes de la dirección
= α λ λ. (θ , φ ) ⇒ ε λλ = independientes de λ . • Superficie gris: ε λ λ y α λ λ son
21
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
son independientes de λ (gris) (gris) y de la dirección (difusa) ⇒ ε • Superficie gris difusa: ε λ λ, θ yy α λ λ, θ son = α .
TEMA 10. INTERCAMBIO RADIATIVO ENTRE SUPERFICIES (t ambién llamado de configuración, de apariencia, de visión o de • Factor de forma de radiación (también vista): F ij =
q i → j Ai J i
=
1 Ai
∫∫ Ai
cosθ i cosθ j π R 2
Aj
dAi dA j . F ji =
q j →i A j J j
=
1 A j
∫∫ Ai
cosθ i cosθ j π R 2
Aj
dAi dA j
.
Estas dos ecuaciones son válidas para superficies emisoras y reflectoras difusas y con radiosidad uniforme. • Relación de reciprocidad: Ai F ij = A j F ji . • Regla de la suma en un recinto de N superficies:
N
∑1 F = 1 . ij
j =
• Superficie plana o convexa: F iiii = 0. n
• Para una superficie que se puede descomponer en la suma de varias, A j = ∑ Ak , se tiene que: k =1 n
F i ( j ) =
n
∑1 F
ik
∑1 A F k
y F ( j )i =
k =
ki
k =
n
∑1 A
.
k
k =
• Intercambio
neto
de
radiación
entre
dos
superficies
negras:
qij = qi → j − q j →i = Ai F ij E bi − A j F ji E bj = Ai F ijσ (T i 4 − T j4 ) .
• Transferencia neta de radiación desde la superficie i en un recinto con N superficies superficies negras: qi =
N
∑1 A F σ (T 4 − T 4 ) . i
ij
i
j
j =
• Transferencia neta de radiación desde una superficie gris difusa en un recinto: qi = ( J i − Gi ) Ai = ( E i − α i Gi ) Ai =
E bi − J i
(1 − ε i ) / ε i Ai
, siendo (1 - ε i) /ε A i i, la resistencia radiativa
superficial. • Transferencia neta de radiación desde una superficie gris difusa en un recinto: N
qi =
∑1 q j =
N ij
i j -1 A F = ∑ J − J −1 , siendo ( A i ij ij) la resistencia radiativa geométrica. j =1
( Ai F ij )
22
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
• Intercambio
neto
q1 = − q 2 = q12 =
de
radiación
E b1 − E b 2
1 − ε 1
+
ε 1 A1
1
+
A1 F 12
1 − ε 2
en
un
recinto
de
dos
superficies:
.
ε 2 A2
• Intercambio neto de radiación entre dos superficies separadas por una cubierta de radiación: A1σ (T 14 − T 24 ) q12 = . 1 1 − ε 3,1 1 − ε 3, 2 1 Para el caso de N cubiertas de radiación con ε iguales + + + ε 1
ε 3,1
ε 3, 2
ε 2
(incluyendo las superficies extremas): (q12 ) N =
1 N + 1
(q12 ) 0 .
• Superficie rerradiante: superficie idealizada en la que la transferencia de calor neta por
radiación es cero: qi = 0 ⇒ J J i = Gi = E bibi.
23
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
TEMA 2. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO. Tabla 2.1. Eficiencia de formas comunes de aletas. Descripción
Esquema
Dimensiones
Eficiencia
A f = 2wLc Aleta recta de perfil rectangular
t
Lc = L + (t / 2)
η f =
m = (2h / kt )1 / 2 siendo w >> t
w
tanh mLc mLc
L
Aleta recta de perfil triangular
1/ 2
A f = 2 w[ L2 + (t / 2) 2 ]
η f =
1/ 2
m = (2h / kt ) siendo w >> t
w
t
1 I 1 (2mL) mL I 0 ( 2mL)
L
24
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 2.1. Eficiencia de formas comunes de aletas (continuación). Descripción
Aleta recta de perfil parabólico
Esquema
Dimensiones
Eficiencia
A f = w C 1 L2 + ( L2 / t ) ln(t / L + C 1 ) C 1 =
w
t
2 1/ 2
[1 + (t / L) ]
η f =
m = (2h / kt )1 / 2
2
[4(mL)
2
1/ 2
+ 1]
+1
L
Aleta anular de perfil rectangular
A f = 2π (r 22c − r 12 ) t
r 2 c = r 2 + (t / 2) m = (2h / kt )1 / 2
L r 1 r 2
25
η f = C 2
K 1 ( mr 1 ) I 1 ( mr 2 c ) − I 1 (mr 1 ) K 1 ( mr 2 c ) I 0 ( mr 1 ) K 1 ( mr 2 c ) + K 0 ( mr 1 ) I 1 ( mr 2 c ) C 2 =
(2r 1 / m) (r 22c − r 12 )
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
Tabla 2.1. Eficiencia de formas comunes de aletas (continuación). Descripción
Esquema
Dimensiones
Eficiencia
A f = π DLc
Aleta de aguja cilíndrica
η f =
Lc = L + ( D / 4)
D
m = ( 4h / kD)1 / 2
tanh mLc mLc
L
Aleta de aguja cónica
A f =
D
π D
1/ 2
[ L2 + ( D / 2) 2 ]
2
η f =
m = ( 4h / kD)1 / 2
2 I 2 (2mL) mL I 1 ( 2mL)
L
A f = Aleta de aguja parabólica
y = ( D/2)·(1 D/2)·(1 - x - x / L) L)2
π L3 L ln[(2 DC 4 / L) + C 3 ] C 3 C 4 − 8 D 2 D C 3 = 1 + 2( D / L) 2
D
C 4 =
2 1/ 2
[1 + ( D / L) ]
m = (4h / kD)
L
1/ 2
η f =
2
[4 / 9(mL) 2 + 1]1 / 2 + 1
26
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
TEMA 3. CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO. Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q [q = Sk (T 1 - T 2)]. Descripción del sistema
Esquema
Restricciones
Factor de forma
T 2
1.1. Esfera enterrada en un medio semiinfinito
z T 1
z > > D / 2 D
1.2. Esfera enterrada en un medio
aislado
z
S =
2π D
1 − ( D / 4 z )
medio semiinfinito con superficie aislada
T 1
T 2
T 2
D
S =
z > > D / 2
2π D
1 + ( D / 4 z )
T 2
(Bejan pág. 115) 1.3. Esfera enterrada en un medio infinito (Holman pág. 55)
T 2 T 1
T 2
T 2
S = 2π D
Ninguna
D T 2
1.4. Conducción entre dos esferas en un medio infinito (Bejan y Holman)
T 2
T 1
D
w / D > 3
d w
S =
2π d 4 ( D / 2w) d d − 1− 2 D 1 − ( d / 2 w) w
27
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q [q = Sk (T 1 - T 2)] (continuación). Descripción del sistema 1.5. Cavidad hemisférica en medio semiinfinito
Esquema
D
aislado
Factor de forma
Ninguna
S = π D
aislado
T 1 T 2
T 2
con superficie aislada (Bejan) 2.1. Cilindro de longitud L longitud L enterrado en un medio
Restricciones
T 2
T 2
L >> D
z
S =
2π L arc cosh(2 z / D)
T 1 L
L >> D
S =
2π L
z > > 3 D / 2
D
semiinfinito
ln(4 z / D)
2.2. Cilindro de longitud infinita enterrado en un medio semiinfinito (Rohsenow pág. 3-120)
S ′ =
z ≈ D D
T 2 z
T 1
S ′ =
∞
z > > 2 D
∞
2π arc cosh(2 z / D )
2π
2 ln (2 z / D ) + (2 z D ) − 1
D
z >> >> D
S ′ =
L >> D
S =
2π ln(4 z / D )
T 2
2.3. Cilindro vertical de longitud L L enterrado
L
T 1
2π L
ln(4 L / D)
D
en un medio semiinfinito 2.4. Conducción entre dos cilindros paralelos de longitud L longitud L en un medio infinito
T 2
T 1
D
L >> D1 , D2 L >> w
d
S =
w
2π L 4w 2 − D 2 − d 2 arc cosh Dd 2
28
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q [q = Sk (T 1 - T 2)] (continuación). Descripción del sistema 2.5. Cilindro de longitud L longitud L en medio de planos paralelos de igual longitud y ancho infinito
Esquema
Restricciones
Factor de forma
z >> >> D / 2 L >> z
2π L S = ln(8 z / π D)
T 2 ∞
∞
z T 1 L D
∞
T 2
z
∞
T 2
2.6. Cilindro de longitud L longitud L centrado en un sólido de
T 1
w > D
S =
2π L
L >> w
w
sección cuadrada de igual longitud
ln(1,08w / D )
D
T 2 T 1
2.7. Cilindro excéntrico de longitud L longitud L en en el interior de un cilindro de igual longitud
d z D
2π L
D > d L >> D
S =
z > > D
S ′ =
D 2 + d 2 − 4 z 2 arc cosh Dd 2
2.8. Fila infinita de cilindros longitudde infinita en un medio semiinfinito (Rohsenow)
2π ln[(2 L / π D)·senh(2π z / L)]
29
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q [q = Sk (T 1 - T 2)] (continuación). Descripción del sistema
Esquema
Restricciones
Factor de forma
2.9. Fila infinita de cilindros de longitud infinita en el plano medio de una placa infinita (Rohsenow)
3.1. Cubo enterrado en
z > > D
S ′ =
2π ln[(2 L / π D )·senh (π z / L)]
L
un medio infinito (Holman)
S = 8,24 L
Ninguna
4.1. Paralelepípedo inmerso en un medio semiinfinito (Holman)
S =
Ninguna
4.2. Agujero de sección rectangular muy largo en
b 1,685 L log1 + a b c
a S ′ =
a > b
un medio semiinfinito (Rohsenow)
2b
−0, 59
0 , 078
+ 5,7
3,5 z 0 , 25 0 , 75 ln a b
30
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q [q = Sk (T 1 - T 2)] (continuación). Descripción del sistema
Esquema
Restricciones
Factor de forma
W
5.1. Pared plana con superficies isotermas
H
A
H > L / 5 W > L / 5
T 1
(Bejan)
S =
WH
L
T 2
L
T 2
5.2. Esquina de dos paredes contiguas
L
W > L / 5 T
S = 0,54W
1
T 2 W
T 2
L
5.3. Esquina de tres paredes contiguas con diferencia de temperaturas entre las superficies interior y exterior (Bejan)
T 1
T 2
Ninguna
S = 0,15 L
Ninguna
S = 2 D
W
T 2
T 2
T 2
T 1
D
6.1.medio Discosemiinfinito delgado sobre
T 2
T 1
6.2. Disco delgado horizontal enterrado en un medio semiinfinito (Kreith pág. 112)
z
Ninguna
T 2
S =
4,45 D 1 − ( D / 5,67 z )
D
31
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q [q = Sk (T 1 - T 2)] (continuación). Descripción del sistema 6.3. Disco delgado horizontal enterrado en un medio semiinfinito (Bejan) 6.4. Disco delgado horizontal enterrado en un medio semiinfinito
Esquema
Restricciones
Factor de forma
T 1 z
> D z >
T 2
S =
2π D (π / 2) − arc tan( D / 4 z )
D
aislado T 1
T 1
z T 2
z > > D
S =
2π D (π / 2) + arc tan( D / 4 z )
con superficie aislada (Bejan)
D
6.5. Dos discos paralelos coaxiales en un medio infinito (Bejan) 7.1. Placa horizontal delgada de anchura W (dimensión ⊥ al dibujo)
T 1
T 2
S =
L / D > 2
D
2π D (π / 2) − arc tan( D / 2 L)
L
T 1 z
enterrada en un medio semiinfinito (Bejan y Holman)
T 2 L
z >> >> L L > W
S =
z = 0 L > W
S =
L >> W z > 2W
S =
2π L ln(4 L / W )
π L
ln(4 L / W )
2π L ln(2π z / W )
32
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q [q = Sk (T 1 - T 2)] (continuación). Descripción del sistema
Esquema
Restricciones
7.2. Placa vertical delgada y larga según la dimensión ⊥ al dibujo enterrada en un medio semiinfinito (Rohsenow)
7.3. Placa horizontal delgada y larga según la dimensión ⊥ al
Factor de forma
1 z 2 < L < 12
L S ′ = 2,38· z
0 , 24
1 z
L S ′ = 2,94·
0 ,32
T 1 z T 2
<
< 12
2 L
dibujo enterrada en un medio semiinfinito (Rohsenow)
z z
L
33
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
TEMA 4. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO. Tabla 4.1. Coeficientes de la aproximación con un término de las soluciones de conducción transitoria unidimensional. Pared plana C 1 ζ 1 (rad)
Cilindro infinito C 1 ζ 1 (rad)
Esfera C 1 ζ 1 (rad)
0,01
0,0998
1,0017
0,1412
1,0025
0,1730
1,0030
0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10
0,1410 0,1732 0,1987 0,2217 0,2425 0,2615 0,2791 0,2956 0,3111
1,0033 1,0049 1,0066 1,0082 1,0098 1,0114 1,0130 1,0145 1,0160
0,1995 0,2439 0,2814 0,3142 0,3438 0,3708 0,3960 0,4195 0,4417
1,0050 1,0075 1,0099 1,0124 1,0148 1,0173 1,0197 1,0222 1,0246
0,2445 0,2989 0,3450 0,3852 0,4217 0,4550 0,4860 0,5150 0,5423
1,0060 1,0090 1,0120 1,0149 1,0179 1,0209 1,0239 1,0268 1,0298
Bi
0,15 0,20 0,25 0,30
0,3779 0,4328 0,4801 0,5218
1,0237 1,0311 1,0382 1,0450
0,5376 0,6170 0,6856 0,7465
1,0365 1,0483 1,0598 1,0712
0,6608 0,7593 0,8448 0,9208
1,0445 1,0592 1,0737 1,0880
0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 100,0 ∞
0,5932 0,6533 0,7051 0,7506 0,7910 0,8274 0,8603 1,0769 1,1925 1,2646 1,3138 1,3496 1,3766 1,3978 1,4149 1,4289 1,4961 1,5202 1,5325 1,5400 1,5552 1,5707
1,0580 1,0701 1,0814 1,0919 1,1016 1,1107 1,1191 1,1795 1,2102 1,2287 1,2402 1,2479 1,2532 1,2570 1,2598 1,2620 1,2699 1,2717 1,2723 1,2727 1,2731 1,2731 1,2733
0,8516 0,9408 1,0185 1,0873 1,1490 1,2048 1,2558 1,5995 1,7887 1,9081 1,9898 2,0490 2,0937 2,1286 2,1566 2,1795 2,2881 2,3261 2,3455 2,3572 2,3809 2,4050
1,0932 1,1143 1,1346 1,1539 1,1725 1,1902 1,2071 1,3384 1,4191 1,4698 1,5029 1,5253 1,5411 1,5526 1,5611 1,5677 1,5919 1,5973 1,5993 1,6002 1,6015 1,6015 1,6018
1,0528 1,1656 1,2644 1,3225 1,4320 1,5044 1,5708 2,0288 2,2889 2,4556 2,5704 2,6537 2,7165 2,7654 2,8044 2,8363 2,9857 3,0372 3,0632 3,0788 3,1102 3,1415
1,1064 1,1441 1,1713 1,1978 1,2236 1,2488 1,2732 1,4793 1,6227 1,7201 1,7870 1,8338 1,8674 1,8921 1,9106 1,9249 1,9781 1,9898 1,9942 1,9962 1,9 1,9990 990 2,0000
Bi = = hL hL//k para para la pared plana y Bi y Bi = = hr o/k para para el cilindro infinito y la esfera.
34
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 4.2. Soluciones de conducción transitoria de sistemas multidimensionales expresadas como producto de soluciones de sistemas unidimensionales. Sistema
Esquema
Solución
S ( x, x, t )
Sólido semiinfinito
S ( x, t ) =
x
T ( x, t ) − T ∞ T ini − T ∞
sólido semiinfinito
∞
P ( x, x, t )
Pared plana
x
P ( x, t ) =
T ( x, t ) − T ∞ T − T
pared
ini
∞
plana
2 L1
∞ ∞
C (r, t )
Cilindro infinito
C ( r , t ) =
r
T (r , t ) − T ∞ T ini − T ∞
cilindro infinito
r o
∞ ∞
S ( x x 1 , t ))·· P P (( x x 2, t )
Placa semiinfinita
S ( x1 , t )· P ( x 2 , t )
x 2 x 1
2 L2
35
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
Tabla 4.2. Soluciones de conducción transitoria de sistemas multidimensionales expresadas como producto de soluciones de sistemas unidimensionales (continuación). Sistema
Esquema
Solución ∞
Barra rectangular infinita
P ( x x 1 , t ))· P ·P (( x x 2, t ) x 1
P ( x1 , t )· P ( x 2 , t )
x 2
∞
2 L1
2 L2 ∞
Cilindro semiinfinito
· S (( x C (r, t ))· S x , t ) r
C ( r , t )·S ( x, t )
x r o
∞
Barra rectangular semiinfinita
P ( x x 1 , t ))·· P P (( x x 2, t ))· S · S (( x x 3, t )
S ( x 3 , t )· P ( x1 , t )· P ( x 2 , t )
x 3 x 2
x 1
2 L1
2 L2
P ( x x 1 , t ))· P ·P (( x x 2, t ))·· P P (( x x 3, t ) x 3
Paralelepípedo rectangular
2 L3
P ( x1 , t )· P ( x 2 , t )· P ( x3 , t )
x 2
x 1
2 L1 2 L2
C (r, t ))·· P P (( x x , t )
x
Cilindro corto
2 L1
C ( r , t )· P ( x, t ) r
r o
36
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
TEMA 6. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO EXTERNO Tabla 6.1. Tabla resumen de correlaciones para flujo externo sobre placa plana. Correlaciones h x x
Transferencia de calor
Nu x =
2**
h x Nu x = x = 0,664 Re x1 / 2 Pr 1 / 3 k
k
h x x
3*
Nu x =
4**
h L L
Nu L =
k
k
q x′′ = h x (T s − T ∞ )
= 0,332 Re x Pr
1*
1/ 2
1/ 3
dq = h x (T s − T ∞ )dA s q ′′ = h (T s − T ∞ ) q x′′ = h x (T s − T ∞ ) dq = h x (T s − T ∞ )dA s q ′′ = h (T s − T ∞ )
= (0 ,037 Re L4 / 5 − 871) Pr 1 / 3
q ′′ = h (T s − T ∞ ) q = h A s (T s − T ∞ )
q s′′ = cte. / Nu x = 0,453 Re x Pr 1/ 2
6*
1/ 3
T s ( x) = T ∞ +
q s′′ h x ( x)
Placa que desprende un flujo de calor uniforme. Régimen laminar. Valor local en x. Pr > 0,6.
Placa que desprende un flujo de calor uniforme. Rég. turbulento. Valor local en x. 0,6 < Pr < < 60.
q s′′ = cte. / Nu x = 0,0308 Re x4 / 5 Pr 1 / 3
7* *: Re =
ρ u ∞ x
x
µ
=
u ∞ x
ν
**: Re =
T s ( x) = T ∞ +
ρ u ∞ L
L
µ
=
u ∞ L
q s′′ h x ( x)
Placa a T s constante. Régimen turbulento. Valor local en x. 0,6 < Pr < < 60. Placa a T s constante. Régimen mixto (parte laminar y parte turbulento). Valor promedio entre 0 y x = L. Pr > > 0,6. 5·105 < Re x,c < 108. Placa a T s constante. Régimen predominantemente turbulento (parte laminar despreciable ⇒ L >> xc y Re L >> Re x,c). Valor promedio entre 0 y x = L. Pr > > 0,6. 5·105 < Re x,c < 108.
q = h A s (T s − T ∞ )
h L Nu L = L = 0,037 Re L4 / 5 Pr 1 / 3 k
5**
Placa a temperatura T s constante. Régimen laminar. Valor local en x. Pr > > 0,6. Placa a T s constante. Régimen laminar. Valor promedio entre 0 y x (ó entre 0 y x = L). Pr > > 0,6.
q = h A s (T s − T ∞ )
= 0,0296 Re x4 / 5 Pr 1 / 3
Condiciones
Condición de rég rég.. turbu turbulento lento par paraa placa plana: Re x,c > 5·105
Número de Prandtl: Pr =
ν α
ν
=
µ ρ c p µ c p
=
ρ k
k
En todas las correlaciones las propiedades del fluido se calculan a la temperatura de película: T = (T + T ∞ ) / 2 ; T s: Temperatura de la superficie [K]; T ∞ ∞ : Temp. del flujo libre [K]; 2 2 2 2 A s: Área de transferencia de calor [m ]; ν: viscosidad cinemática [m /s]; µ: viscosidad dinámica [N/m ·s]; α: difusividad térmica [m /s]; k : conductividad térmica del fluido [W/m·K]. f
37
s
Tabla 6.2. Tabla resumen de correlaciones para flujo cruzado sobre cilindros. Correlaciones para flujo cruzado sobre un cilindro
Transferencia de calor q ′′ = h (T s − T ∞ )
h D = CRe Dm Pr 1 / 3 Nu D = k
1
Nu D =
2
Pr = CRe Dm Pr n k Pr s
h D
Condiciones
Correlación de Hilpert. Los valores de las constantes C y m se dan en la Tabla 6.3 en función de Re D. La Tabla 6.4 da los valores de las constantes para cilindros no circulares. Las propiedades se evalúan a T f . Válida para fluidos con Pr ≥ 0,7. n = 0,37 si Pr ≤ 10 Correlación de Zhukauskas. Con n = 0,36 si Pr > 10 y
q = h A s (T s − T ∞ )
1/ 4
q ′′ = h (T s − T ∞ )
0,7 < Pr < 500 1 < Re < 10 6 . Los valores de las constantes C yy m se dan en la Tabla D
q = h A s (T s − T ∞ )
6.5 en función de Re D. Las propiedades se evalúan a T ∞, excepto Pr s a T s 3
Nu D =
h D k
1/ 2
= 0,3 +
1/ 3
0,62 Re D Pr
2 / 3 1/ 4
[1 + (0,4 / Pr ) ]
Re D 1 + 282000
5/8
4/5
q ′′ = h (T s − T ∞ ) q = h A s (T s − T ∞ )
Correlación de Churchill y Bernstein. Con propiedades a T f y Re D· Pr Pr > 0,2.
Transferencia de calor
Condiciones
Correlaciones para flujo cruzado sobre un banco de N de N cilindros
Correlación de Zhukauskas. Con Nu D =
4
h D k
Pr = CRe Dm, máx Pr 0, 36 Pr s
q ′′ = h ∆T ml
1/ 4
Las
constantes C y m se dan en la Tabla 6.6. Las propiedades se evalúan a T = ( T ent + T sal ) / 2 , excepto Pr s a T s. Para N L < 20 se aplica un factor de
q′ = h π D∆T ml
N L ≥ 20 1.000 < Re 6 < 2·10 . D , máx 0,7 < Pr < 500
′ = h N π DL∆T ml q = q NL
corrección tal que Nu D
N L < 20
= C 2 Nu D
N L ≥ 20
, donde C 2 está dado en la
Tabla 6.7 Re D =
ρ u ∞ D µ
=
u ∞ D
ν
ρ V D V D Re D , max = max = max µ ν
Diferencia de temperaturas media logarítmica: ∆T ml =
Config. alineada: V máx =
S T S T − D
2( S D − D) > ( S T − D) ó V máx =
V ;
Cálculo de la temperatura de salida del flujo: (T s − T ent ) − (T s − T sal ) T − T ln s ent T s − T sal
Config. escalonada: V máx =
S T
2( S D − D)
S T S T − D
V
π DN h = exp − T s − T ent ρ VN T S T c p T s − T sal
S T T : espaciado transversal; S L: espaciado longitudinal; N T T : número de tubos en direc. transversal; N L: número de tubos en direc. longitudinal; N = = N T T x N L: núm. total de tubos.
si
V si 2( S D − D) < ( S T − D) ;
38
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 6.3. Coeficientes de la correlación de Hilpert para flujo cruzado sobre un cilindro (Pr ≥ 0,7). Re D
C
m
0,4 - 4 4 - 40 40 - 4.000 4.000 - 40.000 40.000 - 400.000
0,989 0,911 0,683 0,193 0,027
0,330 0,385 0,466 0,618 0,805
Tabla 6.4. Coeficientes de la correlación de Hilpert para flujo de aire cruzado sobre un paralelepípedo. Geometría Cuadrado en diagonal
Dibujo V
D
Re D
C
m
5·103 - 105
0,246
0,588
Cuadrado recto
Hexágono recto
V
5·103 - 105
0,102
0,675
5·103 - 1,95·104
0,160
0,638
1,95·104 - 105
0,0385
0,782
5·103 - 105
0,153
0,638
4·103 - 1,5·104
0,228
0,731
D
V
D
V
Hexágono en diagonal
D
D
Placa vertical
Tabla 6.5. Coeficientes de la correlación de Zhukauskas para flujo de aire cruzado sobre un cilindro. Re D
C
m
1 - 40 40 - 1.000 103 - 2·105 2·105 - 106
0,75 0,51 0,26 0,076
0,4 0,5 0,6 0,7
39
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
Figura 6.1. Nu 6.1. Nu local local para flujo de aire cruzado sobre un cilindro. (Incropera)
Tabla 6.6. Coeficientes de la correlación de Zhukauskas para el flujo cruzado sobre un banco de tubos. Configuración Alineado Escalonado Alineado Escalonado / S Alineado ( S S L > 0,7) S TT / Escalonado ( S S TT / / S S L < 2) Escalonado ( S S TT / / S S L > 2) Alineado Escalonado
Re D,máx
C
m
10 - 10
0,80
0,40
2
2
102 -- 10 0,90 10 103 Se aproxima como un cilindro0,40 único 2 3 10 - 10 Se aproxima como un cilindro único 103 - 2·105 0,27 0,63 3 5 1/5 10 - 2·10 0,35(S T T / S L) 0,60 3 5 10 - 2·10 0,40 0,60 5 6 2·10 - 2·10 0,021 0,84 5 6 2·10 - 2·10 0,022 0,84
Para S TT / S L < 0,7, la transferencia de calor es ineficiente y los tubos alineados no se deben usar.
40
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 6.7. Coeficiente de corrección C 2 de la correlación de Zhukauskas para el flujo 3
cruzado sobre un banco de tubos para N para N L < 20 y Re y Re D > 10 . N L Alineado Escalonado
1 0,70 0,64
2 0,80 0,76
3 0,86 0,84
4 0,90 0,89
5 0,92 0,92
7 0,95 0,95
10 0,97 0,97
13 0,98 0,98
16 0,99 0,99
Figura 6.2. Disposición de los tubos en configuración alineada (a) y escalonada (b) en un banco de tubos. (Incropera)
N L N T T
Figura 6.3. Esquema de un banco de tubos en flujo cruzado. (Incropera)
41
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
TEMA 7. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO INTERNO Figura 7.1. Número de Nusselt local en la región de entrada para flujo laminar en el interior de un tubo circular con temperatura superficial uniforme. (Bejan)
Figura 7.2. Número de Nusselt local en la región de entrada para flujo laminar en el interior de un tubo circular con flujo de calor superficial uniforme. (Bejan)
42
Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Fórmulas, Tablas y Figuras Diagrama 7.1. Metodología para seleccionar las correlaciones de convención forzada en flujo interno. -1 - Región de entrada ⇒ ( x x < xcd ,t ó G z < 0,05) ⇒ Figuras 7.1. y 7.2. Siendo: xcd,t = 0.05· D D· Re Re D· Pr Pr .
- Correlación local: - Región c. d. ⇒ Nu Nu D = cte ( x x > xcd ,t ó G z -1 > 0,05): Re D < 2.300 ⇒ Régimen Laminar:
Nu D = 4,36. - q s′′ = cte ⇒ Nu - T s = cte ⇒ Nu Nu D = 3,66. - Tubo no circular ⇒ Tabla 7.1.
- Problema de longitud de entrada térmica (si xcd ,t >> xcd ,h; Pr >> >> 1): Correlación de Hausen. - Reg. de entrada + c. d.:
- Problema de longitud de entrada combinada (si O( xxcd ,t )≈O( xxcd ,h); O( Pr Pr )≈1): Correlación de Sieder y Tate.
- Correlación promedio: - q s′′ = cte ⇒ Nu D = 4,36 . - Región c. d. ⇒ Nu D = cte :
- T s = cte ⇒ Nu D = 3,66 . - Tubo no circular ⇒ Tabla 7.1.
- Correlación de Dittus-Boelter. - Correlación local (en región c. d.: x/ D D > 10):
- Correlación de Sieder y Tate: (se usa con aceite siempre; con agua y con aire si hay grandes ∆T ). ).
Re D > 2.300 ⇒ Régimen Turbulento:
- Correl. de Dittus-Boelter. con prop. a T m =
- Correlación promedio (condiciones c. d.: L/ D D > 60): * En el
- Correl. de Sieder y Tate.
temario de este curso no se estudia la región de entrada en régimen turbulento.
43
T m,ent + T m, sal
2
.
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
Tabla 7.2. Números de Nusselt para flujo laminar completamente desarrollado en tubos de diferente sección transversal. Nu D Sección transversal Circular Rectangular (a = altura, b =base) Rectangular (a = altura, b =base) Rectangular (a = altura, b =base) Rectangular (a = altura, b =base)
b
hD h k
q s′ uniforme
T s uniforme
-
4,36
3,66
1,0
3,61
2,98
1,43
3,73
3,08
2,0
4,12
3,39
3,0
4,79
3,96
a
Rectangular (a = altura, b =base) Rectangular (a = altura, b =base) Rectangular (a = altura, b =base) Triangular
4,0
5,33
4,44
8,0
6,49
5,60
∞
8,23 3,11
7,54 2,47
-
45
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
TEMA 8. CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL Figura 8.1. Perfiles de velocidad y de temperatura para la capa límite laminar de convección libre sobre una superficie vertical isoterma. (Incropera)
Figura 8.2. Vista lateral de los patrones de flujo de la convección libre sobre placas planas inclinadas: T s > T ∞ a la izquierda y T s < T ∞ a la derecha.
46
Tabla 8.1. Tabla resumen de correlaciones de convención libre. Correlación
1
1/ 4
Nu L =
3
h L k
= 0,68 +
Nu Lc =
= 0,27 Ra Lc k con 105 ≤ Ra Ra Lc ≤ 1010
6
7
Nu D =
1/ 4
q ′′ = h (T s − T ∞ )
Placa vertical con T s = cte. Ra L ≤ 109. Correlación promedio.
q = h A s (T s − T ∞ ) T s > T ∞ ∞
s
ν
2
q ′′ = h (T s − T ∞ )
q = h A s (T s − T ∞ )
0,387 Ra D1 / 6 = 0,60 + 9 / 16 8 / 27 k [1 + (0,559 / Pr ) ]
∞
2
q ′′ = h (T s − T ∞ )
= Pr ; x
Ra L = Gr L Pr =
T s > T ∞ ∞
q = h A s (T s − T ∞ )
s
να
∞
T s < T ∞ ∞
Placa horizontal con T s = cte. Superficie inferior de placa caliente o superior de placa fría. Correlación promedio. Longitud característica definida como el cociente entre el área y el perímetro de la placa: Lc = A s / P .
Correlación de Churchill y Chu (promedio) para la convección libre sobre un cilindro largo horizontal: con Ra D ≤ 1012.
g β (T − T ) D 3
g β (T − T ) L3
Ra
Placa horizontal con T s = cte. Superficie superior de placa caliente o inferior de placa fría. Correlación promedio. Longitud característica definida como el cociente entre el área y el perímetro de la placa: Lc = A s / P .
h D
g β (T − T ) x 3
T s < T ∞ ∞
q = h A s (T s − T ∞ )
Gr x =
Placa vertical con temperatura superficial constante, T s = cte. Régimen laminar, Gr x < 109. Correlación local. h L 4 Correlación promedio: Nu L = = Nu L k 3 Correlación de Churchill y Chu. Placa vertical con T s = cte. Correlación promedio. Válida para todo Ra L.
T s > T ∞ ∞ h Lc
T s < T ∞ ∞
Condiciones
q ′′ = h (T s − T ∞ )
h L Nu Lc = c = 0,15 Ra L1 c/ 3 k con 107 ≤ Ra Ra Lc ≤ 1011
5
T s > T ∞ ∞
q = h A s (T s − T ∞ )
0,670 Ra L1 / 4 [1 + (0,492 / Pr )9 / 16 ]4 / 9
h L Nu Lc = c = 0,54 Ra L1c/ 4 k 7 con 104 ≤ Ra Ra Lc ≤ 10
4
gráfica
q ′′ = h (T s − T ∞ )
0,387 Ra L1 / 6 = 0,825 + 9 / 16 8 / 27 k [1 + (0,492 / Pr ) ]
h L
Nu L =
calor
dq = h (T s − T m )dA z
2
2
Representación
q x′′ = h (T s − T m )
0,75 Pr 1 / 2 Gr Nu x = = x · 1/ 4 k 4 (0,609 + 1,221 Pr 1 / 2 + 1,238 Pr ) hx
Transferencia de
;
Ra D =
s
να
∞
; Propiedades calculadas a T f = (T s + T ∞)/2; Correlaciones 1 a 3: válidas para q x′′ = cte si
propiedades, Nu L y Ra L se definen en función de la temperatura en el punto medio de la placa: T f = (T s( L L/2) + T ∞)/2; ∆T L / 2 = T s ( L / 2) − T ∞ ⇒ h = q s′′ / ∆T L / 2 ⇒ 1/5
∆T x = T s ( x) − T ∞ ≈ 1,15( x / L ) ∆T L / 2 ; Correlaciones 1 a 3: válidas para cilindros verticales de altura L si el espesor de la capa límite, δ , es mucho menor que el diámetro del cilindro
por ⇒ ( D / L ) ≥ (35 / Gr L1 / 4 ) ; Para placas inclinadas (superficie superior de placa fría o superficie inferior de placa caliente) se pueden emplear las correlaciones 1 a 3 sustituyendo g por g ·cos ·cos (θ ) para 0º ≤ θ ≤ 60º (θ se se mide desde la vertical).
47
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
TEMA 9. INTRODUCCIÓN A LA RADIACIÓN Figura 9.1. Distribución de Planck. Potencia Emisiva espectral del cuerpo negro.
10
9
108 10 10 10 10
Potencia emisiva espectral, E espectral, E λ b 2 (W/m ·µ m)
10 10 10 10 10
T = 5.800 K
λ máx máx·T = 2.898 m·K
7 6 5
T = 2.000 K
4
T = 1.000 K
3
T = 800 K
2 1
T = 300 K
0
T = 100 K
-1
10-2 10 10
T = 50 K
-3 -4
0.1
0.2
0.4 0.6
1
2
4
6
10
20
40 60 60
longitud de onda, λ (µ m) Tabla 9.1. Funciones de radiación de cuerpo negro.
λ T
(µ m·K)
I λ ,b (λ , T ) F ( 0
λ)
5
σ T
(µ m·K·sr)-1
I λ ,b (λ , T ) I λ ,b ( λ máx , T )
200 400
0,000000 0,000000
0,3750·10-27 0,4903·10-13
0,000000 0,000000
600 800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000 2.200 2.400 2.600 2.800 2.898
0,000000 0,000016 0,000321 0,002134 0,007790 0,019718 0,03934 0,06673 0,10089 0,14026 0,1831 0,2279 0,250108
0,1040·10 0,9911·10-7 0,1185·10-5 0,5239·10-5 0,1344·10-4 0,2491·10-4 0,3756·10-4 0,4934·10-4 0,5896·10-4 0,6589·10-4 0,7013·10-4 0,7202·10-4 0,7223·10-4
0,000014 0,001372 0,016406 0,072534 0,18608 0,3449 0,5199 0,6831 0,8163 0,9122 0,9709 0,9971 1,000000
3.000 3.200 3.400
0,2732 0,3181 0,3617
0,7203·10-4 0,7060·10 0,6815·10-4
0,9971 0,9774 0,9436
-8
-4
48
100
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 9.1. Funciones de radiación de cuerpo negro (continuación).
λT
(µm·K)
F ( 0
λ)
I λ ,b ( λ , T )
3.600 3.800 4.000 4.200 4.400 4.600 4.800 5.000 5.200 5.400 5.600 5.800 6.000
0,4036 0,4434 0,4809 0,5160 0,5488 0,5793 0,6076 0,6337 0,6590 0,6804 0,7010 0,7202 0,7378
6.200 6.400 6.600 6.800 7.000 7.200 7.400 7.600 7.800 8.000 8.500 9.000 9.500 10.000 10.500 11.000 11.500 12.000 13.000 14.000 15.000 16.000 18.000 20.000 25.000 30.000 40.000 50.000 75.000 100.000
0,7541 0,7692 0,7832 0,7961 0,8081 0,8192 0,8295 0,8391 0,8480 0,8563 0,8746 0,8900 0,9031 0,9142 0,9237 0,9319 0,9400 0,9451 0,9551 0,9629 0,9700 0,9738 0,9809 0,9856 0,9922 0,9953 0,9980 0,9990 0,9997 0,999905
5
σ T
I λ ,b (λ , T )
-1
(0,6504·10 µm·K·sr)-4
0,6152·10 0,5781·10-4 0,5404·10-4 0,5033·10-4 0,4673·10-4 0,4331·10-4 0,4008·10-4 0,3706·10-4 0,3424·10-4 0,3164·10-4 0,2923·10-4 0,2701·10-4
0,9004 0,8517 0,8003 0,7481 0,6967 0,6470 0,5996 0,5549 0,5130 0,4741 0,4380 0,4047 0,3740
0,2497·10-4 0,2310·10 0,2138·10-4 0,1980·10-4 0,1835·10-4 0,1703·10-4 0,1581·10-4 0,1469·10-4 0,1366·10-4 0,1272·10-4 0,1068·10-4 0,9015·10-5 0,7653·10-5 0,6533·10-5 0,5605·10-5 0,4833·10-5 0,4187·10-5 0,3644·10-5 0,2795·10-5 0,2176·10-5 0,1719·10-5 0,1374·10-5 0,9082·10-6 0,6233·10-6 0,2765·10-6 0,1405·10-6 0,4739·10-7 0,2016·10-7 0,4186·10-8 0,1358·10-8
0,3457 0,3198 0,2960 0,2741 0,2541 0,2357 0,2188 0,2034 0,1891 0,1761 0,1478 0,1248 0,1060 0,09044 0,077600 0,066913 0,057970 0,050448 0,038689 0,030131 0,023794 0,019026 0,012574 0,008629 0,003828 0,001945 0,000656 0,000279 0,000058 0,000019
-4
-4
49
I λ ,b (λ máx , T )
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
TEMA 10. INTERCAMBIO RADIATIVO ENTRE SUPERFICIES Tabla 10.1. Factores de forma radiativos para geometrías bidimensionales. bidimensionales.
Geometría
Esquema
Factor de forma [(W i + W j ) 2 + 4]1 / 2 F ij = − 2W i
w i
Placas paralelas centradas
i
L
[(W − W )
−
j
i
+ 4]
1/ 2
2W i
j
W i = wi / L W j = w j / L
w j
Placas paralelas inclinadas de igual anchura y una arista en común
2
j
w
α F ij = 1 − sen
2
i w j
Placas perpendiculares con una arista en común
1/ 2
w j
F ij =
1 + ( w j / wi ) − [1 + ( w j / wi ) 2 ] 2
i
wi
wk
Recinto de tres lados
w j k
F ij =
j
wi + w j − wk
2 wi
i wi
j
Cilindros paralelos de radios diferentes
F ij =
i r i
1 2 2 1/ 2 π + [C − ( R + 1) ] − 2π
− [C 2 − ( R − 1) 2 ]
1/ 2
r j
+ ( R − 1)
s
+
R 1 cos −1 − − 180º C C π π
R cos −1 + 1 180º C C R = r j / r i S = s / r i C = 1 + R + S
− ( R + 1)
j r
Cilindro y placa paralelos
F ij =
L s1
i
s1 − s 2
π
s1
180º
L
−1 tan
− tan −1
s 2 L
s2
s
D 2 F ij = 1 − 1 − s
j D
Plano infinito y fila
r
de cilindros
1/ 2
+
s − D D π tan −1 + 2 s 180º D 2
i
50
2
1/ 2
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras Figura 10.1. Factor de forma radiativo para dos rectángulos paralelos alineados.
j
L
i
Y
X 1 0.8
Y / L = inf.
Y / L = 10 Y/L=4
0.5
Y/L=2 Y/L=1
0.3
Y / L = 0,6
0.2
Y / L = 0,4
j i F
0.1 0.08
Y / L = 0,2
0.05 Y / L = 0,1
0.03 0.02 Y / L = 0,05
0.01 0.1
0.2 0.3
0. 5
1
2 X / L
51
3
5
10
20
40
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
Figura 10.2. Factor de forma radiativo para dos discos paralelos coaxiales.
j
r j L
i
r i
1 0.9
8 6
5
3
4
0.8
rj / L = 2
0.7 1,5
0.6
1,25
j i 0.5 F
1
0.4 0,8
0.3 0.2
0,6
0.1
0,4 0,3
0 0.1
0.2
0.4
0.6 0.8 1 L / ri
52
2
4
6
8 10
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras Figura 10.3. Factor de forma radiativo para dos rectángulos perpendiculares con una arista en común.
j Z
i
X
Y
0.5 Y / X = 0,02
0.45 0,05
0,1
0.4
0,2
0.35 0,4
0.3 0,6
j i 0.25 F
1
0.2
1,5 2
0.15
4
0.1
10
0.05 0 0.1
20
0.2
0.4
0.6 0.8 1
2
4
6
8 10
Z / X
53
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
Tabla 10.2. Intercambio neto de radiación en recintos especiales de dos superficies grises y difusas.
Geometría
Esquema
Condiciones
Planos paralelos grandes (infinitos)
plano 1 plano 1
A1 = A 2 = A
A2 , T 2 , ε 2
A1 , T 1 , ε 1
q12 =
1
F 12 = 1
plano 2 plano 2 r 1
Intercambio de radiación Aσ (T 14 − T 24 )
ε 1
+
1 ε 2
−1
r 2
A1
Cilindros concéntricos largos (infinitos)
A2
=
r 1 r 2
q12
A1σ (T 14 − T 24 ) = 1 1 − ε 2 r 1
F 12 = 1
ε 1
+
ε 2
r 2
Esferas concéntricas
A1
r 1
A2 r 2
=
r 12 r 22
F 12 = 1
q12 =
A1σ (T 14 − T 24 )
1 ε 1
+
1 − ε 2 r 1 ε 2
2
r 2
Objeto convexo pequeño en una cavidad grande
A1
A1 , T 1 , ε 1
A2
≈ 0
F 12 = 1
A2 , T 2 , ε 2
54
q12 = A 1 ε 1σ (T 14 − T 24 )
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
TABLAS DE PROPIEDADES TERMOFÍSICAS Y DE FUNCIONES MATEMÁTICAS Tabla A. Propiedades termofísicas del aire a presión atmosférica. ρ
3 k ·10 ·10 2 2 (N·s/m ) (m /s) (W/m·K) 7
µ ·10
6
ν ·10
6
·10
T (K)
c p 3 (kg/m ) (J/kg·K)
100 150 200 250 300 350 400 450
3,5562 2,3364 1,7548 1,3947 1,1614 0,9950 0,8711 0,7740
1032 1012 1007 1006 1007 1009 1014 1021
71,1 103,4 132,5 159,6 184,6 208,2 230,1 250,7
2,00 4,426 7,590 11,44 15,89 20,92 26,41 32,39
9,34 13,8 18,1 22,3 26,3 30,0 33,8 37,3
2,54 5,84 10,3 15,9 22,5 29,9 38,3 47,2
0,786 0,758 0,737 0,720 0,707 0,700 0,690 0,686
500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1100 1200
0,6964 0,6329 0,5804 0,5356 0,4975 0,4643 0,4354 0,4097 0,3868 0,3666 0,3482 0,3166 0,2902
1030 1040 1051 1063 1075 1087 1099 1110 1121 1131 1141 1159 1175
270,1 288,4 305,8 322,5 338,8 354,6 369,8 384,3 398,1 411,3 424,4 449,0 473,0
38,79 45,57 52,69 60,21 68,10 76,37 84,93 93,80 102,9 112,2 121,9 141,8 162,9
40,7 43,9 46,9 49,7 52,4 54,9 57,3 59,6 62,0 64,3 66,7 71,5 76,3
56,7 66,7 76,9 87,3 98,0 109 120 131 143 155 168 195 224
0,684 0,683 0,685 0,690 0,695 0,702 0,709 0,716 0,720 0,723 0,726 0,728 0,728
1300 1400 0,2679 0,2488 1500 0,2322
11189 189 1207 1230
496,0 530 557
185,1 213 240
82 91 100
238 303 350
0,719 0,703 0,685
55
Pr
2
(m /s)
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
Tabla B. Propiedades termofísicas del aceite de motor a presión atmosférica. 6
2
T (K)
ρ 3 (kg/m ) (J/kg·K)
c p
3
3
7
µ ·10 2 ν ·10 2 2 k ·10 ·10 /s) (W/m·K) (N·s/m ) (m (m·10 /s)
Pr
-1 ·10 (K )
273 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370
899,1 895,3 890,0 884,1 877,9 871,8 865,8 859,9 853,9 847,8 841,8
1796 1827 1868 1909 1951 1993 2035 2076 2118 2161 2206
385 217 99,9 48,6 25,3 14,1 8,36 5,31 3,56 2,52 1,86
4280 2430 1120 550 288 161 96,6 61,7 41,7 29,7 22,0
147 144 145 145 145 143 141 139 138 138 137
0,910 47000 0,70 0,880 27500 0,70 0,872 12900 0,70 0,859 6400 0,70 0,847 3400 0,70 0,823 1965 0,70 0,800 1205 0,70 0,779 793 0,70 0,763 546 0,70 0,753 395 0,70 0,738 300 0,70
380 390 400 410 420 430
836,0 830,6 825,1 818,9 812,1 806,5
2250 2294 2337 2381 2427 2471
1,41 1,10 0,874 0,698 0,564 0,470
16,9 13,3 10,6 8,52 6,94 5,83
136 135 134 133 133 132
0,723 0,709 0,695 0,682 0,675 0,662
56
233 187 152 125 103 88
0,70 0,70 0,70 0,70 0,70
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla C. Propiedades termofísicas del agua saturada. 3
6
ρ 3 (kg/m ) (kJ/kg) (J/kg·K)
µ ·10 2 k ·10 ·10 (N·s/m ) (W/m·K)
T (K)
P (bar)
27 273, 3,15 15 27 2755 28 2800 28 2855 29 2900 29 2955 30 3000 30 3055 31 3100 31 3155 320
0, 0,00 0061 6111 0, 0,00 0069 6977 0, 0,00 0099 9900 0, 0,01 0138 3877 0, 0,01 0191 9177 0, 0,02 0261 6177 0, 0,03 0353 5311 0, 0,04 0471 7122 0, 0,06 0622 2211 0, 0,08 0813 1322 0,1053
10 1000 00 10 1000 00 10 1000 00 10 1000 00 99 999, 9,00 99 998, 8,00 99 997, 7,00 99 995, 5,00 99 993, 3,00 99 991, 1,11 989,1
25 2502 02 2249 4977 24 2485 85 24 2473 73 24 2461 61 24 2449 49 24 2438 38 24 2426 26 24 2414 14 24 2402 02 2390
4217 4217 4211 4211 4198 4198 418 41899 4184 4184 41 4181 81 41 4179 79 41 4178 78 41 4178 78 41 4179 79 4180
17 1750 50 16 1652 52 14 1422 22 12 1225 25 10 1080 80 95 9599 85 8555 76 7699 69 6955 63 6311 577
325 330 335 340 345 350 355 360 365 370 373,15 375 380
0,1351 0,1719 0,2167 0,2713 0,3372 0,4163 0,5100 0,6209 0,7514 0,9040 1,0133 1,0815 1,2869
987,2 984,3 982,3 979,4 976, 973,7 970,9 967,1 963,4 960,6 957,9 956,9 953,3
2378 2366 2354 2342 2329 2317 2304 2291 2278 2265 2257 2252 2239
4182 4184 4186 4188 4191 4195 4199 4203 4209 4214 4217 42 4220 20 42 4226 26
385 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500
1,5233 1,794 2,455 3,302 4,370 5,699 7,333 9,319 11,71 14,55 17,90 21,83 26,40
949,7 945,2 937,2 928,5 919,1 909,9 900,9 890,5 879,5 868,1 856,9 844,6 831,3
2225 2212 2183 2153 2123 2091 2059 2024 1989 1951 1912 1870 1825
42 4232 32 4239 4256 4278 4302 4331 4360 4400 4440 4480 4530 4590 4660
i fg
c p
Pr
·10 -1 (K )
56 5699 57 5744 58 5822 59 5900 59 5988 60 6066 61 6133 62 6200 62 6288 63 6344 640
12 12,9 ,999 12,22 12,22 10,2 10,266 8, 8,81 81 7, 7,56 56 6, 6,62 62 5, 5,83 83 5, 5,20 20 4, 4,62 62 4, 4,16 16 3,77
-6 -68, 8,05 05 -3 -32, 2,74 74 46 46,0 ,044 11 114, 4,11 17 174, 4,00 22 227, 7,55 27 276, 6,11 32 320, 0,66 36 361, 1,99 40 400, 0,44 436,7
528 489 453 420 389 365 343 324 306 289 279 274 260
645 650 656 660 668 668 671 674 677 679 680 681 683
3,42 3,15 2,88 2,66 2,45 2,29 2,14 2,02 1,91 1,80 1,76 1,70 1,61
471,2 504,0 535,5 566,0 595,4 624,2 652,3 697,9 707,1 728,7 750,1 761 788
248 237 217 200 185 173 162 152 143 136 129 124 118
685 686 688 688 688 685 682 678 673 667 660 651 642
1,53 1,47 1,34 1,24 1,16 1,09 1,04 0,99 0,95 0,92 0,89 0,87 0,86
814 841 896 852 1010
i fg : entalpía específica del cambio de fase entre líquido y gas.
57
6
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
Tabla D. Funciones hiperbólicas. x
senh x
cosh x
tanh x
x
senh x
cosh x
tanh x
0,00 0,00 0,10 0, 10 0,20 0, 20 0,30 0, 30 0,40 0, 40 0,50 0, 50 0,60 0, 60 0,70 0, 70 0,80 0, 80 0,90 0, 90 1,00 1, 00 1,10 1, 10 1,20 1, 20 1,30 1, 30 1,40 1, 40 1,50 1, 50 1,60 1, 60 1,70 1, 70 1,80 1, 80 1,90 1, 90
0,0000 0,00 00 0,10 0, 1002 02 0,20 0, 2013 13 0,30 0, 3045 45 0,41 0, 4108 08 0,52 0, 5211 11 0,63 0, 6367 67 0,75 0, 7586 86 0,88 0, 8881 81 1,02 1, 0265 65 1,17 1, 1752 52 1,33 1, 3356 56 1,50 1, 5095 95 1,69 1, 6984 84 1,90 1, 9043 43 2,12 2, 1293 93 2,37 2, 3756 56 2,64 2, 6456 56 2,94 2, 9422 22 3,26 3, 2682 82
1,0000 1,00 00 1,00 1, 0050 50 1,02 1, 0201 01 1,04 1, 0453 53 1,08 1, 0811 11 1,12 1, 1276 76 1,18 1, 1855 55 1,25 1, 2552 52 1,33 1, 3374 74 1,43 1, 4331 31 1,54 1, 5431 31 1,66 1, 6685 85 1,81 1, 8107 07 1,97 1, 9709 09 2,15 2, 1509 09 2,35 2, 3524 24 2,57 2, 5775 75 2,82 2, 8283 83 3,10 3, 1075 75 3,41 3, 4177 77
0,0000 0,00 0000 0,09 0, 0996 9677 0,19 0, 1973 7388 0,29 0, 2913 1311 0,37 0, 3799 9955 0,46 0, 4621 2122 0,53 0, 5370 7055 0,60 0, 6043 4377 0,66 0, 6640 4044 0,71 0, 7163 6300 0,76 0, 7615 1599 0,80 0, 8005 0500 0,83 0, 8336 3655 0,86 0, 8617 1722 0,88 0, 8853 5355 0,90 0, 9051 5155 0,92 0, 9216 1677 0,93 0, 9354 5411 0,94 0, 9468 6811 0,95 0, 9562 6244
2,00 2,00 2,10 2, 10 2,20 2, 20 2,30 2, 30 2,40 2, 40 2,50 2, 50 2,60 2, 60 2,70 2, 70 2,80 2, 80 2,90 2, 90 3,00 3, 00 3,50 3, 50 4,00 4, 00 4,50 4, 50 5,00 5, 00 6,00 6, 00 7,00 7, 00 8,00 8, 00 9,00 9, 00 10 10,0 ,000
3,6269 3,62 69 4,02 4, 0219 19 4,45 4, 4571 71 4,93 4, 9370 70 5,46 5, 4662 62 6,05 6, 0502 02 6,69 6, 6947 47 7,40 7, 4063 63 8,19 8, 1919 19 9,05 9, 0596 96 10 10,0 ,018 18 16 16,5 ,543 43 27 27,2 ,290 90 45 45,0 ,003 03 74 74,2 ,203 03 20 201, 1,71 71 54 548, 8,32 32 14 1490 90,5 ,5 40 4051 51,5 ,5 11 1101 0133
3,76 3,7622 22 4,14 4,1443 43 4,56 4,5679 79 5,03 5,0372 72 5,55 5,5569 69 6,13 6,1323 23 6,76 6,7690 90 7,47 7,4735 35 8,25 8,2527 27 9,11 9,1146 46 10 10,0 ,068 68 16 16,5 ,573 73 27 27,3 ,308 08 45 45,0 ,014 14 74 74,2 ,210 10 20 201, 1,72 72 54 548, 8,32 32 14 1490 90,5 ,5 40 4051 51,5 ,5 11 1101 0133
0,96 0,9640 4033 0,97 0,9704 0455 0,97 0,9757 5744 0,98 0,9801 0100 0,98 0,9836 3677 0,98 0,9866 6611 0,98 0,9890 9033 0,99 0,9910 1011 0,99 0,9926 2633 0,99 0,9939 3966 0,99 0,9950 5055 0,99 0,9981 8188 0,99 0,9993 9333 0,99 0,9997 9755 0,99 0,9999 9911 0,99 0,9999 9999 1,00 1,0000 00 1,00 1,0000 00 1,00 1,0000 00 1,000 1,0 0000
Tabla E. Función gaussiana de error. x
x ) erf ( x
x
x ) erf ( x
x
x ) erf ( x
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08
0,00000 0,02256 0,04511 0,06762 0,09008
0,36 0,38 0,40 0,44 0,48
0,38933 0,40901 0,42839 0,46623 0,50275
1,04 1,08 1,12 1,16 1,20
0,85865 0,87333 0,88679 0,89910 0,91031
0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34
0,11246 0,13476 0,15695 0,17901 0,20094 0,22270 0,24430 0,26570 0,28690 0,30788 0,32863 0,34913 0,36936
0,52 0,56 0,60 0,64 0,68 0,72 0,76 0,80 0,84 0,88 0,92 0,96 1,00
0,53790 0,57162 0,60386 0,63459 0,66378 0,69143 0,71754 0,74210 0,76514 0,78669 0,80677 0,82542 0,84270
1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00
0,93401 0,95229 0,96611 0,97635 0,98379 0,98909 0,99279 0,99532 0,99814 0,99931 0,99976 0,99992 0,99998
erf w
2 π
∫
w
0
e u du 2
erfc w 1 erf w
58
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla F. Primeras cuatro raíces de la ecuación trascendental, ξ n·tan(ξ n) = Bi , para conducción transitoria en una pared plana. Bi = =
hL k
ξ 1
ξ 2
ξ 3
ξ 4
0 0,001 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 15,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 80,0
0,0000 0,0316 0,0447 0,0632 0,0774 0,0893 0,0998 0,1410 0,1987 0,2425 0,2791 0,3111 0,4328 0,5218 0,5932 0,6533 0,7051 0,7506 0,7910 0,8274 0,8603 0,9882 1,0769 1,1925 1,2646 1,3138 1,3496 1,3766 1,3978 1,4149 1,4289 1,4729 1,4961 1,5202 1,5325 1,5400 1,5451 1,5514
3,1416 3,1419 3,1422 3,1429 3,1435 3,1441 3,1448 3,1479 3,1543 3,1606 3,1668 3,1731 3,2039 3,2341 3,2636 3,2923 3,3204 3,3477 3,3744 3,4003 3,4256 3,5422 3,6436 3,8088 3,9352 4,0336 4,1116 4,1746 4,2264 4,2694 4,3058 4,4255 4,4915 4,5615 4,5979 4,6202 4,6353 4,6543
6,2832 6, 6,2833 2833 6, 6,2835 2835 6, 6,2838 2838 6, 6,2841 2841 6, 6,2845 2845 6,2848 6,2864 6,2895 6,2927 6,2959 6,2991 6,3148 6,3305 6,3461 6,3616 6,3770 6,3923 6,4074 6,4224 6,4373 6,5097 6,5783 6,7040 6,8140 6,9096 6,9924 7,0640 7,1263 7,1806 7, 7,2281 2281 7, 7,3959 3959 7, 7,4954 4954 7, 7,6057 6057 7, 7,6647 6647 7, 7,7012 7012 7, 7,7259 7259 7, 7,7573 7573
9,4248 9,4249 9,4249 9,4250 9,4250 9,4252 9,4252 9,4254 9,4254 9,4256 9,4256 9,4258 9,4269 9,4290 9,4311 9,4333 9,4354 9,4459 9,4565 9,4670 9,4775 9,4879 9,4983 9,5087 9,5190 9,5293 9,5801 9,6296 9,7240 9,8119 9,8928 9,9667 10,0339 10,0949 10,1502 10,2003 10,3898 10,5117 10,6543 10,7334 10,7832 10,8172 10,8606
100,0 ∞
1,5552 1,5708
4,6658 4,7124
7,7764 7,8540
10,8871 10,9956
59
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
Tabla G. Funciones de Bessel de primera clase.
x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
J ( x x ) 1,0000 0,9975 0,9900 0,9776 0,9604 0,9385 0,9120 0,8812 0,8463 0,8075 0,7652 0,7196
J ( x x ) 0,0000 0,0499 0,0995 0,1483 0,1960 0,2423 0,2867 0,3290 0,3688 0,4059 0,4401 0,4709
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
0,6711 0,6201 0,5669 0,5118 0,4554 0,3980 0,3400 0,2818 0,2239 0,1666 0,1104 0,0555 0,0025
0,4983 0,5220 0,5419 0,5579 0,5699 0,5778 0,5815 0,5812 0,5767 0,5683 0,5560 0,5399 0,5202
0
60
1
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla H. Funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase. - x x x ) ·I 0( x e I
- x x x ) ·I 1( x e I
x x ) e K ·K 0( x
x x ) K 1( x e · K
0,0 1,0000 0,2 0,8269 0,4 0,6974 0,6 0,5993 0,8 0,5241 1,0 0,4658 1,2 0,4198 1,4 0,3831 1,6 0,3533 1,8 0,3289 2,0 0,3085 2,2 0,2913 2,4 0,2766 2,6 0,2639 2,8 0,2528 3,0 0,2430 3,2 0,2343 3,4 0,2264 3,6 0,2193 3,8 0,2129 4,0 0,2070 4,2 0,2016 4,4 0,1966 4,6 0,1919 4,8 0,1876 5,0 0,1835 5,2 0,1797 5,4 0,1762 5,6 0,1728 5,8 0,1697 6,0 0,1667 6,4 0,1611 6,8 0,1561 7,2 0,1515 7,6 0,1473 8,0 0,1434 8,4 0,1399 8,8 0,1365 9,2 0,1334 9,4 0,1305 9,6 0,1278 10,0 1,0000 I n+1 ( x ) = I n −1 ( x ) − ( 2n / x ) I n ( x )
0,0000 0,0823 0,1368 0,1722 0,1945 0,2079 0,2153 0,2185 0,2190 0,2177 0,2153 0,2121 0,2085 0,2047 0,2007 0,1968 0,1930 0,1892 0,1856 0,1821 0,1788 0,1755 0,1725 0,1695 0,1667 0,1640 0,1614 0,1589 0,1565 0,1542 0,1521 0,1479 0,1441 0,1405 0,1372 0,1341 0,1312 0,1285 0,1260 0,1235 0,1213 0,0000
∞
∞
2,1408 1,6627 1,4167 1,2582 1,1445 1,0575 0,9881 0,9309 0,8828 0,8416 0,8057 0,7740 0,7459 0,7206 0,6978 0,6770 0,6580 0,6405 0,6243 0,6093 0,5953 0,5823 0,5701 0,5586 0,5478 0,5376 0,5280 0,5188 0,5101 0,5019 0,4865 0,4724 0,4595 0,4476 0,4366 0,4264 0,4168 0,4079 0,3995 0,3916
5,8334 3,2587 2,3739 1,9179 1,6362 1,4429 1,3011 1,1919 1,1048 1,0335 0,9738 0,9229 0,8790 0,8405 0,8066 0,7763 0,7491 0,7245 0,7021 0,6816 0,6627 0,6454 0,6292 0,6143 0,6003 0,5872 0,5749 0,5634 0,5525 0,5422 0,5232 0,5060 0,4905 0,4762 0,4631 0,4511 0,4399 0,4295 0,4198 0,4108
x
61
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Fórmulas, Tablas y Figuras
ALFABETO GRIEGO Mayúsculas
Minúsculas
Nombre
Α
α
alfa
Β
β
beta
Γ
γ
gamma
∆
δ
delta
Ε
ε
épsilon
Ζ
ζ
seta o zeta
Η
η
eta
Θ
θ
zeta o theta
Ι
ι
iota
Κ
κ
kappa o cappa
Λ
λ
lambda
Μ
µ
my o mu
Ν
ν
ny o nu
Ξ
ξ
xi
Ο
ο
ómicron
Π
π
pi
Ρ Σ
ρ σ, ς
ro o rho
Τ
τ
tau
Υ
υ
ípsilon
Φ
ϕ
fi o phi
Χ
χ
ji
Ψ
ψ
psi
Ω
ω
omega
sigma
62
PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Juan Carlos Ramos González Doctor Ingeniero Industrial Raúl Antón Remírez Doctor Ingeniero Industrial Diciembre de 2009
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Problemas
2
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Problemas
ÍNDICE Problemas Tema 1. Introducción Introducción a la transferencia de calor y a la conducción ............................. ............................. 1 Problemas Tema 2. Conducción unidimensional unidimensional en régimen estacionario..................................... estacionario.....................................7 7 Problemas Tema 3. Conducción bidimensional bidimensional en régimen estacionario..................................... 15 Problemas Tema 4. Conducción Conducción en régimen transitorio ............................................. ............................................................... .................. 21 Problemas Tema 5. Introducción a la convección........................................................ convección......................................................................... ................. 29 Problemas Tema 6. 6. Convección forzada en flujo externo ................................................ ............................................................ ............ 33 Problemas Tema 7. Convección Convección forzada en flujo interno ................................................. ............................................................. ............ 37 Problemas Tema 8. Convección Convección libre o natural .............................................. ..................................................................... .............................. ....... 41 Problemas Tema 9. Introducción a la radiación ............................................. ..................................................................... ............................... ....... 45 Problemas Tema 10. Intercambio radiativo entre superficies ............................................. ....................................................... .......... 51
i
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Problemas
2
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Problemas
PROBLEMAS TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR Y A LA CONDUCCIÓN 1.
(2.7 del Incropera; Ley de Fourier) En el sistema mostrado en la figura se produce una conducción de régimen estacionario unidimensional sin generación de calor. La conductividad térmica es 25 W/m·K y el espesor L espesor L es es 0,5 m.
T 1
T 2
L L
x x
Determine las cantidades desconocidas para cada caso de la tabla siguiente y dibuje la distribución de temperatura indicando la dirección del flujo de calor. Caso 1 2 3 4 5
T 1 400 K 100 ºC 80 ºC
T 2
dT /dx dx (K/m)
q x′′ (W/m2)
300 K -250 200 -5 ºC
30 ºC
4.000 -3.000
Solución: 1) 200 K/m, -5.000 W/m2; 2) 498 K, 6.250 W/m2; 3) -20 ºC, -5.000 W/m 2; 4) -85 Solución: ºC, -160 K/m; 5) -30 ºC, 120 K/m. 2.
(1.13 del Incropera; Convección) Un chip cuadrado isotérmico de lado 5 mm está montado en un sustrato de manera que sus superficies laterales e inferior están bien aisladas, mientras que la superficie frontal se expone a la corriente de un fluido refrigerante a 15 ºC. La temperatura del chip no debe sobrepasar los 85 ºC. Si el fluido refrigerante es aire ( h = 200 W/m2·K), ¿cuál es la potencia máxima admisible del chip? Si el fluido refrigerante es un líquido dieléctrico (h (h = 3.000 W/m2·K), ¿cuál es la potencia máxima admisible del chip? Solución:: 0,35 W y 5,25 W. Solución
3.
(Radiación y balance de energía) Un antiguo alumno de la Escuela que trabaja en la ESA (Agencia Espacial Europea) nos ha transmitido la siguiente cuestión: Una sonda de exploración espacial cuyas placas de energía fotovoltaica tienen una superficie A p y una temperatura de fusión T p = 2.000 K es enviada en dirección al Sol. Calcular el radio de la órbita solar mínima ( Ro) a la que se podrá acercar la sonda al Sol. Datos: constante de 1
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Problemas
Stefan-Boltzmann σ = = 5,67·10-8 W/m 2·K 4; temperatura de la superficie solar T s = 6.000 K; radio del Sol R Sol R s = 7·108 m; suponer que tanto el Sol como las placas se comportan como cuerpos negros (ε (ε = = α = = 1). Solución:: Ro = R Solución = R s (T (T s/T p)2. 4.
(Convección y radiación) Una persona desvestida tiene una superficie de 1,5 m2 expuesta a un ambiente y a unos alrededores de 27 ºC. La temperatura de su piel es de 33 ºC y se puede considerar un emisor de radiación perfecto. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 9 W/m 2·K, hállese: a) Las pérdidas de calor por convección y por radiación. b) El gasto energético en kcal/día. Solución:: a) qconv = Q& conv = 81 W, qrad = Q& rad = 56,8 W; b) 2.846 kcal/día. Solución
5.
(2.6 del Incropera; Ley de Fourier) Para determinar el efecto de la dependencia de la temperatura de la conductividad térmica sobre la distribución de temperatura en un sólido, considere un material para el que esta dependencia puede representarse como k = = k o + aT donde k o es una constante positiva y a es un coeficiente que puede ser positivo o negativo. Dibuje la distribución de temperatura de régimen estacionario asociada con la transferencia de calor en una pared plana para tres casos que corresponden a a > 0, a = 0 y a < 0.
6.
(2.11 del Incropera; Ley de Fourier) En el cuerpo bidimensional que se muestra en la figura se encuentra que el gradiente en la superficie A es ∂T /∂ y y = = 30 K/m. ¿Cuánto valen y y ∂T /∂ x en x en la superficie B? ∂T /∂ y y
Solución:: ∂T /∂ y = Solución y = 0; ∂T /∂ x = x = 60 K/m. 7.
(1.27 del Incropera; Balance de energía) Una placa de aluminio de 4 mm de espesor se monta en posición horizontal con su superficie inferior bien aislada. Se aplica a su superficie superior un recubrimiento que absorbe el 80% de cualquier radiación solar incidente y tiene una emisividad de 0,25. La densidad y el calor específico del aluminio son 2.700 kg/m3 y 900 J/kg·K, respectivamente. a) Considere las condiciones para las que la placa está a una temperatura de 25 ºC y la superficie superior se expone súbitamente al aire ambiente a T ∞ = 20 ºC y a radiación solar que proporciona un flujo incidente de 900 W/m2. El coeficiente de transferencia 2
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Problemas de calor por convección entre la superficie y el aire es h = 20 W/m2·K. ¿Cuál es la velocidad inicial de cambio de la temperatura de la placa? Suponga que no hay alrededores. b) ¿Cuál será la temperatura de equilibrio de la placa cuando se alcancen las condiciones de régimen estacionario? c) Represente mediante Excel ® una gráfica de la temperatura de régimen estacionario como función de la emisividad para 0,05 ≤ ε ≤ 1, para tres valores de la absortividad de la placa de 0,5, 0,8 y 1 con el resto de condiciones constantes. Si la finalidad es maximizar la temperatura de la placa, ¿cuál es la combinación más deseable de emisividad y absortividad de la placa? Solución:: a) 0,052 K/s; b) T s = 321 K. Solución 8.
(1.31 del Incropera; Balance de energía) En una etapa de un proceso de recocido, 1 hoja de acero inoxidable AISI 304 se lleva de 300 K a 1.250 K conforme pasa a través de un horno calentado eléctricamente a una velocidad de v s = 10 mm/s. El espesor y ancho de la hoja son t s = 8 mm y w s = 2 m, respectivamente, mientras que la altura, ancho y largo del horno son H son H o = 2 m, W o = 2,4 m y L y Lo = 25 m, respectivamente. La parte superior y cuatro lados del horno se exponen al aire ambiental y a alrededores a 300 K, y la temperatura de la superficie del horno, su emisividad y el coeficiente de convección respectivos son T s = 350 K, ε s = 0,8 y h = 10 W/m2·K. La superficie inferior del horno también está a 350 K y reposa en una placa de cemento de 0,5 m de espesor cuya base está a 300 K. Estimar la potencia eléctrica que se requiere suministrar al horno. Datos: k cemento cemento (a 300 K) = 1,4 W/m·K. Propiedades termofísicas del acero inoxidable AISI 304: ρ = = 7.900 kg/m3. T (K) (K) c p (J/kg·K) 600 557 800 582
Solución:: 841 kW. Solución 9.
(2.12 del Incropera; Ley de Fourier) Algunas secciones del oleoducto de Alaska están tendidas sobre tierra, sostenidas por columnas verticales de acero (k (k = = 25 W/m·K) de 1 m 2
de longitud y seccióndetransversal de de 0,005 m . En acondiciones normales sabe que la variación temperatura un extremo otro de la longitud dede unaoperación columna se se rige por una expresión de la forma 3
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Problemas
T = = 100 – 150 x + x + 10 x2
donde T y x x tienen unidades de ºC y metros, respectivamente. Las variaciones de temperatura son insignificantes sobre la sección transversal de la columna. Evalúe la temperatura y la rapidez de conducción de calor en la unión columna-ducto ( x x = = 0) y en la interfaz columna-tierra ( x = x = 1). Explique la diferencia en las transferencias de calor. Solución:: 18,75 W y 16,25 W. Solución 10. (2.17 del Incropera; Ley de Fourier) Un aparato para medir la conductividad térmica emplea un calentador eléctrico intercalado entre dos muestras idénticas de 30 mm de diámetro y 60 mm de longitud, prensadas entre placas que se mantienen a una temperatura uniforme T o = 77 ºC mediante la circulación de un fluido. Se pone grasa conductora entre todas las superficies para asegurar un buen contacto térmico. Se empotran termopares diferenciales en las muestras con un espaciado de 15 mm. Las caras laterales de las muestras se aíslan para que la transferencia de calor sea unidimensional.
a) Con dos muestras de acero inoxidable AISI 316 en el aparato, el calentador toma 0,353 A a 100 V y los termopares diferenciales indican ∆T 1 = ∆T 2 = 25,0 ºC. ¿Cuál es la conductividad térmica del material de la muestra de acero inoxidable y cuál la temperatura promedio de las muestras? Compare los resultados con los valores de la Tabla A.1 del Incropera. b) Calcular la conductividad térmica y la temperatura promedio de una muestra de hierro Armco puesta en lugar de la muestra inferior del acero AISI 316. En este caso el calentador toma 0,601 A a 100 V y los termopares diferenciales indican ∆T 1 = ∆T 2 = 15,0 ºC. c) ¿Cuál es la ventaja de construir el aparato con el calentador intercalado entre dos muestras en lugar de construirlo con una sola combinación muestra-calentador? ¿Cuándo resulta significativo el escape de calor por la superficie lateral de las muestras? ¿Bajo que condiciones esperaría que ∆T 1 ≠ ∆T 2? Datos: Propiedades termofísicas del acero inoxidable AISI 316: T (K) (K) k (W/m·K) (W/m·K) 300 13,4 400 15,2 4
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Problemas Propiedades termofísicas del Armco: T (K) (K) k (W/m·K) (W/m·K) 300 72,7 Solución:: a) k = Solución = 15 W/m·K y T = 400 400 K; b) 65,7 k = = 70 W/m·K y T = 380 K. 11. (2.21 del Incropera; Ecuación de calor) En una varilla cilíndrica de 50 mm de diámetro de combustible de un reactor nuclear ocurre generación interna de calor a q&1 = 5·10 7 W/m3, y en condiciones de régimen estacionario la distribución de temperatura es T (r ) = a+br 2, donde T está está en grados Celsius y r en en metros, mientras a = 800 ºC y b = -4,167·105 ºC/m2. Las propiedades de la varilla de combustible son k = = 30 W/m·K, ρ = = 1.100 kg/m3 y c p = 800 J/kg·K. a) ¿Cuál es la velocidad de transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla en r = 0 (línea central) y en r = = 25 mm (superficie)? b) Si el nivel de potencia del reactor aumenta súbitamente a q& 2 = 10 8 W/m3, ¿cuál es la velocidad de cambio de temperatura en el tiempo inicial en r = = 0 y en r = = 25? Solución:: a) q r ′ ( r = 0) = 0 y q r ′ (r = 25) = 9,8 × 10 4 W/m ; b) 56,8 K/s. Solución 12. (2.24 del Incropera; Ley de Fourier, ecuación de calor y balance de energía) Un estanque solar poco profundo con gradiente salino consiste en tres capas fluidas distintas y se utiliza para absorber energía solar. Las capas superior e inferior están bien mezcladas y sirven para mantener las superficies superior e inferior de la capa central a temperaturas uniformes T 1 y T 2, donde T 2 > T 1. Considere condiciones para las que la absorción de la radiación solar en la capa central proporciona una generación no uniforme de calor de la forma q& ( x ) = Ae − ax , y la distribución de temperatura en la capa central es: T ( x ) = −
A ka
2
e − ax + Bx + C
Las cantidades A (W/m3), a (1/m), B (K/m) y C (K) son constante conocidas, y k es la conductividad térmica que también es constante.
a) Obtenga expresiones para la rapidez a la que se transfiere calor por unidad de área de la capa inferior a la capa central y de ésta a la capa superior. 5
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Problemas
b) Determine si las condiciones son estacionarias o transitorias. c) Obtenga una expresión para la rapidez a la que se genera energía térmica en la capa central, por unidad de área superficial. Solución: a) q x′′ ( x = L) = − A e − aL − Bk ; q x′′ ( x = 0) = − A − Bk ; b) Régimen estacionario; c) a a
& ′′ = E gen
A a
(1 − e − ). aL
6
Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Problemas
PROBLEMAS TEMA 2. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO Pared plana 1.
(3.2 del Incropera) La ventana posterior de un automóvil se desempaña mediante el paso de aire caliente sobre su superficie interna. a) Calcular las temperaturas de las superficies interna y externa de una ventana de vidrio de 4 mm de espesor, siendo la temperatura del aire caliente T ∞,int = 40 ºC y su coeficiente de convección hint = 30 W/m2·K y la temperatura del aire exterior T ∞,ext = 10 ºC y su coeficiente de convección hext = 65 W/m2·K. b) Evalúe cualitativamente la influencia de T ∞,ext y hext sobre las temperaturas. Datos: k vidrio vidrio (a 300 K) = 1,4 W/m·K. int = xt = Solución: a) T int Solución: = 7,7 ºC y T eext = 4,9 ºC; b) Ambas disminuyen al aumentar hext y y aumentan al aumentar T ∞,ext .
2.
(3.3 del Incropera) En la ventana posterior del automóvil del problema anterior se instala como sistema para desempañar su superficie interior un elemento de calentamiento consistente en una película transparente delgada con resistencias eléctricas. Al calentarse eléctricamente este dispositivo se establece un flujo de calor uniforme en la superficie interna. a) Calcular la potencia eléctrica por unidad de área de ventana necesaria para mantener la temperatura de la superficie interna a 15 ºC cuando la temperatura del aire interior es T ∞,int = 25 ºC y su coeficiente de convección hint = 10 W/m2·K. El aire exterior está en las mismas condiciones que en el problema anterior. b) Calcular la temperatura de la superficie externa de la ventana. c) Evalúe cualitativamente la influencia de T ∞,ext y hext sobre la potencia eléctrica.
′′ = 1,27 kW/m2; b) T eext ′′ Solución:: a) P elec Solución xt = 11,1 ºC; c) P elec aumenta al aumentar hext y disminuye al aumentar T ∞,ext . 3.
(3.15 del Incropera) Una casa tiene una pared compuesta de madera, aislante de fibra y tablero de yeso, como se indica en el esquema. En un día frío de invierno los coeficientes de transferencia de calor por convección son hext = 60 W/m2·K y hint = 30 W/m2·K. El área total de la superficie es de 350 m2. Datos: Tablero de yeso: k (a (a 300 K) = 0,17 W/m·K. Propiedades termofísicas de la fibra de vidrio: T (K) (K) ρ (kg/m (W/m·K) (kg/m3) k (W/m·K) 300 300 300
16 28 40
0,046 0,038 0,035 7
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Problemas
Tablero de madera contraplacada: k (a (a 300 K) = 0,12 W/m·K.
a) Determine una expresión simbólica para la resistencia térmica total de la pared incluyendo los efectos de convección. b) Determine la pérdida de calor total de la pared. c) Si el viento soplara de manera violenta elevando hext a 300 W/m2·K, ¿cuál sería el porcentaje de aumento relativo de la pérdida de calor? d) ¿Qué resistencia térmica influye en mayor medida sobre la pérdida de calor a través de la pared? Solución: b) 4.214 W; c) 0,45 %; d) La de la fibra de vidrio, que es el aislante y tiene la k Solución: menor. Resistencia de contacto 4.
(3.25 del Incropera) Un circuito integrado (chip) disipa 30.000 W/m 2 de calor eléctrico. El chip, que es muy delgado, se expone a un líquido dieléctrico en su superficie superior con hext = 1.000 W/m2·K y T ∞,ext = 20 ºC. En la superficie inferior se une a una tarjeta de circuitos de espesor L espesor Lb = 5 mm y conductividad k b = 1 W/m·K. La resistencia térmica de contacto entre el chip y la tarjeta es Rt ′′,c = 10-4 m2·K/W. La superficie inferior de la tarjeta se expone al aire ambiente para el que hint = 40 W/m2·K y T ∞,int = 20 ºC. a) Dibuje el circuito térmico equivalente señalando las resistencias térmicas, las temperaturas y los flujos de calor. b) ¿Cuál es la temperatura del chip para las condiciones de disipación de qc′′ = 30.000 W/m2? c) ¿Qué influencia tendría en la temperatura del chip el aumentar en un orden de magnitud la conductividad de la tarjeta de circuitos y en disminuir en un orden de magnitud la resistencia térmica de contacto entre el chip y la tarjeta? Solución:: b) T c = 49 ºC; c) Prácticamente ninguna. Solución
8
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Problemas Pared cilíndrica 5.
(3.37 del Incropera) Un calentador eléctrico delgado se inserta entre una varilla circular larga y un tubo concéntrico con radios interior y exterior de 20 y 40 mm. La varilla A tiene una conductividad térmica k A = 0,15 W/m·K y el tubo B k B = 1,5 W/m·K. La superficie externa está en contacto con un fluido a temperatura T ∞ = -15 ºC y un coeficiente de convección de 50 W/m2·K. a) Determine la potencia eléctrica por unidad de longitud de los cilindros que se requieren para mantener la superficie externa del tubo B a 5 ºC. b) ¿Cuál es la temperatura en el centro de la varilla A? Solución:: a) 251 W/m; b) 23,4 ºC. Solución
6.
(3.44 del Incropera) Una corriente eléctrica de 700 A fluye a través de un cable de acero inoxidable que tiene un diámetro de 5 mm y una resistencia eléctrica de 6·10 -4 Ω/m. El cable esté en un medio que tiene una temperatura de 30 ºC y el coeficiente total asociado con la convección y la radiación entre el cable y el medio es aproximadamente 25 W/m 2·K. a) Si el cable está expuesto, ¿cuál es la temperatura de la superficie? b) Si se aplica un recubrimiento muy delgado de aislante eléctrico al cable, con una resistencia de contacto de 0,02 m2·K/W, ¿cuáles son las temperaturas superficiales del aislante y del cable? c) Si se usa un aislante de conductividad térmica 0,5 W/m·K, ¿cuál será el espesor de este aislante que dará el valor más bajo de la temperatura del cable? ¿Cuál es el valor de esa temperatura? Solución: a) T s, Solución: s,cable cable = 778,7 ºC; b) T s, s,cable cable = 1.153 ºC y T s,aislante s,aislante = 778,7 ºC; c) e = 17,5 mm y T s,cable s,cable = 318,2 ºC.
7.
(3.45 del Incropera) Un tubo de acero de pared delgada de 0,20 m de diámetro y emisividad 0,8 se utiliza para transportar vapor saturado a una presión de 20 bar ( T sat = 485 K) en un cuarto para el que la temperatura del aire y de las paredes es 25 ºC y el coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie externa del tubo es 20 W/m2·K. a) ¿Cuál es la pérdida de calor por unidad de longitud del tubo expuesto (sin aislante)? b) Calcule la pérdida de calor por unidad de longitud del tubo si se añade una capa aislante de 50 mm de óxido de magnesio que también tiene una emisividad de 0,8. Calcular también la temperatura superficial exterior del aislante. c) El coste asociado con la generación del vapor saturado es de 4 €/10 9 J y el del aislante y su instalación de 100 €/m. Si la línea de vapor opera 7.500 horas al año, ¿cuánto tiempo se necesita para amortizar la instalación del aislante? Datos: Propiedades termofísicas del óxido de magnesio: T (K) (K) k (W/m·K) (W/m·K) 310 0,051 365 0,055 420 0,061 Solución:: a) 3.702 W/m; b) q ′ ≈ 162 W/m y T s,ail,ext ≈ 30 ºC; c) ≈ 3 meses. Solución 9
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Problemas
Pared esférica 8.
(3.56 del Incropera) Una sonda esférica crioquirúrgica se incrusta en tejido enfermo con el propósito de congelarlo y destruirlo. La sonda tiene un diámetro de 3 mm y su superficie se mantiene a -30 ºC cuando se incrusta en tejido que está a 37 ºC. Se forma una capa esférica de tejido congelado alrededor de la sonda con una temperatura de 0 ºC en su superficie de contacto con el tejido normal. Si la conductividad térmica del tejido congelado es 1,5 W/m·K y el coeficiente de transferencia de calor por convección entre el tejido congelado y el normal es 50 W/m 2·K, ¿cuál es el espesor de la capa del tejido congelado? Resolución:: Resolución En primer lugar se expone una manera de obtener una expresión de la resistencia térmica para una esfera. En un elemento diferencial de esfera la aplicación de la conservación de la energía implica que qr = qr+dr , es decir que la transferencia de calor es independiente del radio, para condiciones unidimensionales de régimen estacionario y sin generación interna de calor. La ecuación de Fourier para una esfera hueca cuyas superficies están en contacto con fluidos a temperaturas distintas y en condiciones de régimen estacionario sin generación de calor adopta la forma: qr = − kA
dT dr
= −k (4π r 2 )
dT dr
donde A = donde A = 4πr 2 es el área normal a la dirección de la transferencia de calor. Al integrar la ecuación anterior: qr 4π
r 2
dr
T s 2
r 1
r
T s 1
∫
= − ∫ k (T )dT 2
Suponiendo k constante y al resolver para las condiciones de contorno de temperaturas conocidas en las superficies se obtiene: qr =
4π k (T s1 − T s 2 )
(1 / r 1 ) − (1 / r 2 ) La resistencia térmica para conducción adopta, por la tanto, la forma: Rt ,cond =
Y la de convección: Rt ,conv =
(T s1 − T s 2 )
1 4π r 2 h
qr
=
1 − 4π k r 1 r 2 1 1
Una vez visto esto se puede representar el circuito térmico equivalente al enunciado del problema: q T s1
T s2 1 1 1 − 4π k r r + e
T ∞ 1 4π (r + e) 2 h
10
q
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Problemas La velocidad de transferencia de calor se puede expresar: q=
T ∞ − T s 2 1
=
T s 2 − T s1 1 1
1
− 4π k r r + e
2
4π h( r + e)
Al resolver se obtiene la siguiente ecuación en e2: e 2 + re −
k T s 2 − T s1 h T ∞ − T s 2
r = 0
Al resolver se obtiene: e = 5,34 mm. Generación interna de calor 9.
(3.73 del Incropera) El aire dentro de una cámara a T ∞,int = 50 ºC se calienta convectivamente con hint = 20 W/m2·K mediante una pared de 200 mm de espesor que tiene una conductividad térmica de 4 W/m·K y una generación de calor uniforme de 1.000 W/m3. Para prevenir que algo del calor generado se pierda hacia el exterior de la cámara, a T ∞,ext = 25 ºC con hext = 5 W/m2·K, se coloca un calentador de listón muy delgado sobre la pared exterior para proporcionar un flujo de calor uniforme, q o′′ .
a) Dibuje la distribución de temperaturas en la pared (T (T - x) x) para la condición de que no se pierde nada del calor generado dentro de la pared hacia el exterior de la cámara (es decir, quitando el calentador y aislando la superficie externa de la pared). b) ¿Cuáles son las temperaturas en las superficies externa e interna de la pared para esa condición? c) Determine el valor de qo′′ que debe suministrar el calentador de listón de modo que todo el calor generado dentro de la pared se transfiera al interior de la cámara. d) Si la generación de calor en la pared se cortara mientras el flujo de calor del calentador de listón permanece constante, ¿cuál sería la temperatura de la pared exterior en régimen permanente? Solución:: b) T (0) Solución (0) = 65 ºC y T ( L) L) = 60 ºC; c) 200 W/m2; d) 55 ºC. 10. (3.83 del Incropera) Un elemento de combustible de reactor nuclear consiste en un núcleo cilíndrico sólido de radio r 1 y conductividad térmica k f . El núcleo de combustible está en buen contacto con un material de encamisado enca misado de radio externo exte rno r 2 y conductividad térmica k c. Considere condiciones de régimen estacionario para las que ocurre una generación de calor uniforme dentro del combustible a una razón volumétrica q& = e& gen y la superficie 11
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Problemas
externa del encamisado se expone a un fluido refrigerante que se caracteriza por una temperatura T ∞ y un coeficiente de convección h. a) Obtenga expresiones para las distribuciones de temperatura en el combustible y en el encamisado, T (r ) y T (r ). ). f
c
b) Considere un núcleo de combustible de óxido de uranio para el que K f = 2 W/m·K y r 1 = 6 mm y un encamisado para el que K que K c = 25 W/m·K y r 2 = 9 mm. Si q& = e& gen = 2·108 W/m3, h = 2.000 W/m2·K y T ∞ = 300 K, ¿cuál es la temperatura máxima en el elemento de combustible? c) Evalúe cualitativamente la influencia de h sobre las temperaturas. ¿Es posible mantener la temperatura de la línea central del combustible por debajo de 1.000 K ajustando el flujo de refrigerante y, por tanto, el valor de h? Solución:: b) T f (r = Solución = 0) = 1.458 K; c) Si h aumenta T f y T c disminuyen. No es posible. Superficies extendidas y aletas 11. (3.109 del Incropera) Varillas de cobre circulares de diámetro D diámetro D = = 1 mm y longitud L longitud L = = 25 s1 s1 = mm ºC. se usan para reforzar transferencia de una(en x superficie se mantiene 100 Un extremo de la la varilla se une a de estacalor superficie (en x = = 0) yque el otro ( x x = = 25) aseT une a una segunda superficie que se mantiene T s s22 = 0 ºC. El aire que fluye entre las superficies también está a una temperatura T ∞ = 0 ºC y tiene un coeficiente de convección h = 100 W/m2·K.
a) ¿Cuál es la transferencia de calor de una sola varilla de cobre? b) ¿Cuál es la transferencia total de calor de una sección de 1 m x 1 m de la superficie a 100 ºC, si se instala una disposición de varillas separadas entre centros 4 mm? Datos: k cobre cobre (a 300 K) = 401 W/m·K. Solución:: a) q f = 1,51 W; b) qt = 103,8 kW. Solución 12. (3.114 del Incropera) A menudo se forman pasajes de aletas entre placas paralelas para reforzar la transferencia de calor por convección en núcleos compactos de intercambiadores de calor. Considere una pila de aletas de 200 mm de ancho y 100 mm de profundidad con 50 aletas de 12 mm de longitud. La pila completa está fabricada de aluminio (k (k = 240 W/m·K) de 1 mm de espesor. Las temperaturas máximas permisibles asociadas a las placas opuestas son T o = 400 K y T L = 350 K. El aire que fluye entre las placas tiene t iene una h = 150 W/m2·K y una T ∞ = 300 K. ¿Cuáles son las disipaciones de calor de una aleta y del sistema de aletas en cada una de las placas?
12
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Problemas
Solución:: q fo = 114,95 W; q fL = -88,08 W; qto = 5.972,5 W; qtL = -4.291,5 W. Solución 13. (3.131 del Incropera modificado, examen septiembre 2005) Se quiere disipar el calor generado en el interior de un transformador situando en una de sus paredes un dispositivo de rectas. La pared delella transformador una conductividad térmica rectangular de 5 W/m·Kdey un aletas espesor de 6 mm. Sobre se coloca untiene dispositivo de aletas de sección aluminio (k (k al al = 240 W/m·K). El soporte del dispositivo de aletas tiene un espesor de 4 mm. Entre la pared del transformador y el soporte de las aletas hay una resistencia de contacto de valor Rt ′′,c = 10 −4 m 2 ·K/W . Las aletas tienen una longitud de 25 mm, un espesor de 2 mm y la distancia entre ellas es de 2 mm. El calor generado en el transformador se puede asimilar a un flujo de calor uniforme sobre la pared de valor qi′′ = 10 5 W/m 2 . El aire
exterior está a 320 K y proporciona un coeficiente de convección de 100 W/m 2·K.
Pared del transformador k tra = 5 W/m·K
R" t,c
Soporte de k = 240 W/m·K las aletas al T al
T b
T int
t = = 2 mm
q" i
= 2 mm
h = 100 W/m2·K T = 320 K
6 mm 4 mm
25 mm 13
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Problemass Problema
a) Dibuje el circuito térmico equivalente entre el interior del transformador y el aire exterior para la parte de pared que le corresponde a una aleta teniendo en cuenta que la dimensión perpendicular al dibujo es muy larga. b) Calcule los valores de las resistencias térmicas que aparecen en el circuito térmico anterior. c) Calcule la temperatura de la superficie interna del transformador, T iint nt . d) Calcule la temperatura de la superficie interna del soporte de aluminio (en contacto con la resistencia de contacto), T al al . e) Calcule la temperatura de la base de las aletas, T b. Solución:: c) T iint Solución nt = 532,3 K; d) T al al = 402,3 K; e) T b = 400,6 K.
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Problemas
PROBLEMAS TEMA 3. CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO Factores de forma 1.
(4.16 del Incropera) Con las relaciones de resistencia térmica desarrolladas en el tema 3 determine expresiones del factor de forma para las siguientes geometrías: a) Pared plana, capa cilíndrica y coraza esférica. b) Esfera hueca de superficie isotérmica de diámetro D diámetro D en en el interior de un medio infinito. Solución:: a) A Solución a) A// L, L, 2π L/ln( L/ln(r r 2/r 1), 4πr 1r 2/( /(r r 2-r 1); b) 2π D D..
2.
(4.20 del Incropera) Un cable largo de transmisión de energía se entierra a una profundidad (distancia de la tierra a la línea central del cable) de 2 m. El cable está enfundado en un tubo de pared delgada de 0,1 m de diámetro y para hacer al cable superconductor (esencialmente cero disipación de energía), el espacio entre el cable y el tubo está lleno de nitrógeno líquido a 77 K. Si el tubo se cubre con un superaislante ( k i = 0,005 W/m·K) de 0,05 m de espesor y la superficie de la tierra (k ( k g = 1,2 W/m·K) está a 300 K, ¿cuál es la carga de enfriamiento por unidad de longitud de tubo [W/m] que debe suministrar un refrigerador criogénico para mantener el nitrógeno a 77 K? Solución:: 9,89 W/m. Solución
3.
(4.25 del Incropera) Por un tubo de cobre de pared delgada de 30 mm de diámetro fluye agua caliente a 85 ºC. El tubo está forrado de una capa cilíndrica excéntrica que se mantiene a 35 ºC y mide 120 mm de diámetro. La excentricidad, definida como la distancia entre los centros del tubo y la capa, es 20 mm. El espacio entre el tubo y la capa está lleno de un material aislante que tiene una conductividad térmica de 0,05 W/m·K. Calcule la pérdida de calor por unidad de longitud de tubo y compare el resultado con la pérdida de calor para una disposición concéntrica. Solución:: 12,5 W/m y 11,33 W/m. Solución Factores de forma con circuitos térmicos
4.
(4.28 del Incropera) Un fluido caliente pasa por tubos circulares de una plancha de hierro colado de espesor L espesor LA = 60 mm que está en contacto con unas placas de cubierta de espesor LB = 5 mm. Los canales tienen un diámetro D diámetro D = = 15 mm con un espaciado de línea central de de L Lo = 60 mm. Las conductividades térmicas de los materiales son k A = 20 W/m·K y k B = −4 75 W/m·K, y la resistencia de contacto entre los dos materiales es Rt ′′,c = 2·10 m2·K/W. El fluido caliente está a T i = 150 ºC y el coeficiente de convección es 1.000 W/m 2·K. Las placas de cubierta se exponen al aire ambiental que está a 25 ºC y tiene un coeficiente de convección de 200 W/m2·K.
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Problemass Problema
a) Determine la transferencia de calor de un solo tubo por unidad de longitud de la plancha en dirección dirección normal normal a la página, qi′ . b) Determine la temperatura de la superficie externa de la placa de cubierta, T s. c) Comente los efectos sobre q i′ y T s de un cambio en el espaciado de los canales. ¿Cómo afectaría a q i′ y T s aislar la superficie inferior? Solución:: a) qi′ = 1.578,6 W/m; b) T s = 90,8 ºC; c) Si Lo aumenta, q i′ aumenta y T s Solución disminuye. Si la superficie inferior está aislada, qi′ disminuye y T s permanece constante. 5.
(4.31 del Incropera) En el Tema 3 se supuso que cuando se une una aleta a un material base, la temperatura temperatura de la base no cambia. Lo que en verdad ocurre es que, si la temperatura del material de la base excede la temperatura del fluido, al colocar una aleta disminuye la temperatura de la unión, T j, por debajo de la de la base y el flujo de calor del material de la base a la aleta es bidimensional. Considere condiciones en las que una aleta larga circular de aluminio de diámetro D D = 5 mm se une al material de la base cuya temperatura lejos de la unión se mantiene a T b = 100 ºC. Las condiciones de convección en la superficie de la aleta son T ∞ = 25 ºC y h = 50 W/m2·K.
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Problemas a) Calcule la temperatura de la unión y la transferencia de calor cuando el material de la base es (i) aluminio aluminio (k (k = = 240 W/m·K) y (ii) acero inoxidable (k (k = = 15 W/m·K). b) Repita los cálculos anteriores para el caso del aluminio si entre la unión de la aleta y el "
=
−5
2
material de la base hay una resistencia térmica Rtc 3·10 m ·K/W c) ¿Cómo influye el coeficiente de convección en la transferencia de calor? Solución: a) (i) T j = 98 ºC, q f = Q& f = 4,8 W; (ii) T j = 78,4 ºC, q f = Q& f = 3,24 W; b) T j = 92 ºC, q f = Q& f = 4,08 W; c) Si h aumenta q f aumenta. 6.
(4.32 del Incropera) Se construye un iglú en forma de hemisferio con un radio interno de 1,8 m y paredes de nieve compactada de 0,5 m de espesor. En el interior del iglú el coeficiente de transferencia de calor por convección es 6 W/m2·K; en el exterior, en condiciones normales de viento, es 15 W/m 2·K. La conductividad térmica de la nieve compactada es 0,15 W/m·K. La temperatura de la capa de hielo sobre la que se asienta el iglú es de -20 ºC y tiene la misma conductividad térmica que la nieve compactada.
a) Suponiendo que el calor corporal de los ocupantes proporciona una fuente continua de 320 W dentro del iglú, calcule la temperatura del aire interior cuando la del aire exterior es -40 ºC. Considere las pérdidas de calor a través del suelo. b) ¿Cómo afecta a la temperatura interior el que el coeficiente de convección exterior se triplique debido al viento? ¿Y cómo afecta el doblar el espesor de las paredes?
Solución: a) T i = 1,2 ºC; b) T i = 0,8 ºC; T i = 20,8 ºC. 7.
(4.34 del Incropera) Un dispositivo electrónico en forma de disco de 20 mm de diámetro disipa 100 W cuando se monta sobre un bloque grande de aleación de aluminio (2024-T6) cuya temperatura se mantiene a 27 ºC. En la interfaz entre el dispositivo y el bloque hay −5 una resistencia de contacto Rtc" = 5·10 m2·K/W.
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Problemass Problema
a) Calcule la temperatura que alcanzará el dispositivo suponiendo que toda la potencia que genera debe transferirse por conducción al bloque. b) Para aumentar la potencia del dispositivo se instala un sistema de aletas en la parte superior del dispositivo. Las aletas rectas de sección circular (aletas de aguja) están hechas de cobre (k = = 400 W/m·K) y están expuestas a un flujo de aire a 27 ºC para el que el coeficiente de convección es 1.000 W/m 2·K. Para la temperatura del dispositivo que se calculó en el apartado a), ¿cuál es la potencia de operación permisible? Datos: Propiedades termofísicas de la aleación de aluminio 2024-T6: (K) k (W/m·K) (W/m·K) T (K) 200 163 300 177 400 186 Solución: a) T dd = 57 ºC; b) P eléct. eléct. = 138,65 W. Método de las diferencias finitas 8.
(4.41 del Incropera) Las superficies superior e inferior de una barra de conducción se enfrían convectivamente por acción de aire a T ∞, pero con h sup hinf . Los lados se enfrían manteniendo contacto con sumideros de calor a T o, a través de ≠una resistencia térmica de contacto Rt ′′,c . La barra tiene conductividad térmica k y y el ancho es el doble del espesor L. Considere condiciones de estado estacionario para las que se genera calor de manera uniforme a una tasa volumétrica q& debido al paso de una corriente eléctrica. Obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para los nodos 1 y 13.
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Problemas
9.
(4.48 del Incropera) Las temperaturas de estado estacionario (en K) en tres puntos nodales de una varilla rectangular son como se muestra en la figura. La varilla experimenta una 7
3
rapidez de generación de calor volumétrica uniforme de 5·10 W/m y tiene una conductividad térmica de 20 W/m·K. Dos de sus lados se mantienen a una temperatura constante de 300 K, mientras que los otros dos están aislados. a) Determine las temperaturas en los nodos 1, 2 y 3 resolviendo el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que forman las ecuaciones nodales. b) Calcule la transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla (W/m) a partir de las temperaturas nodales. Compare este resultado con la transferencia de calor calculada a partir del conocimiento de la generación volumétrica de calor y las dimensiones de la varilla.
Solución: a) T 1 = 362,4 K; T 2 = 390,2 K; T 3 = 369 K; b) q’ = 7.502,5 W/m; q’ = 7.500 W/m.
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Problemass Problema
10. (4.52 del Incropera) Una barra larga de sección transversal rectangular tiene 60 mm de ancho, 90 mm de largo, y una conductividad térmica de 1 W/m·K. Uno de sus anchos está sometido a un proceso de convección con aire a 100 ºC y un coeficiente de convección de 100 W/m2·K. El resto de los lados se mantiene a 50 ºC.
a) Con un espaciado de malla de 30 mm y mediante el método iterativo de Gauss-Seidel, determine las temperaturas nodales y la transferencia de calor (por unidad de longitud normal a la página) desde el aire a la barra. b) Utilizando Matlab® para resolver el sistema de ecuaciones (método de inversión de matrices), repita los cálculos con un espaciado de malla de 15 mm.
Solución: a) Empezando desde el lado sometido a convección las temperaturas nodales son: 81,7 ºC, 58,5 ºC y 52,1 ºC; q’ = 205 W/m; b) Temperaturas de los nodos a lo largo del ancho sometido a convección: 50 ºC, 80,33 ºC, 85,16 ºC, 80,33 ºC y 50 ºC; q’ = 156,27 W/m. 11. (Basado en Ejemplo 5.1 del Chapman, 5ª edición) Se dispone de una varilla de hierro ( k = = 50 W/m·K) de 1 cm de diámetro y 20 cm de longitud. La varilla se une en un extremo a una superficie calentada a 120 ºC y en el extremo libre se encuentra aislada. Su superficie lateral está en contacto con un fluido a 20 ºC para el que el coeficiente de transferencia de 2
calor por convección es 10 W/m ·K. a) Determine la distribución de temperaturas en la varilla resolviendo las ecuaciones nodales mediante el método iterativo de Gauss-Seidel y con un ∆ x = 5 cm. El número de iteraciones viene dado por un criterio de convergencia en la temperatura del extremo de un 1 %. Es decir, la diferencia relativa de la temperatura en el extremo en dos iteraciones sucesivas ha de ser inferior al 1 %.
E r (%) =
i i −1 − T extremo T extremo i T extremo
100 ≤ 1 %
b) Determine una aproximación a la pérdida de calor de la varilla a partir de la distribución discreta de temperaturas calculada en el apartado anterior. c) Compare la solución anterior con el calor perdido por la aleta calculado de manera exacta. Solución: a) Comenzando desde la base la distribución de temperaturas es: 120 ºC, 84,8 ºC, 63,6 ºC, 52,8 ºC, 49,9 ºC; b) q faprox. = 3,24 W; c) q f = 3,32 W.
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Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Problemas
PROBLEMAS TEMA 4. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO Método de la resistencia interna despreciable 1.
(5.8 del Incropera) Una bala esférica de plomo de 6 mm de diámetro se mueve aproximadamente a Mach 3. La onda de choque resultante calienta el aire alrededor de la bala a 700 K, y el coeficiente de convección promedio para la transferencia t ransferencia de calor entre 2 el aire y la bala es 500 W/m ·K. Si la bala sale de la escopeta a 300 K y el tiempo de vuelo es 0,4 s, ¿cuál es la temperatura en la superficie en el momento del impacto? Datos: Propiedades termofísicas del plomo a 300 K: k = = 35,3 W/m·K; ρ W/m·K; ρ = = 11.340 kg/m3; c p = 129 J/kg·K.
Solución: T = = 351 K. 2.
(5.10 del Incropera) Una unidad de almacenamiento de energía térmica consiste en un canal rectangular largo, que está bien aislado en la superficie externa y encierra capas alternadas del material de almacenamiento y rejillas para el flujo.
Cada capa del material de almacenamiento es una plancha de aluminio de ancho W = = 0,05 m está a una temperatura 25 ºC. condiciones en lasde quelasla rejillas, unidad de que almacenamiento se carga inicial con eldepaso deConsidere un gas caliente a través suponiendo que la temperatura del gas y el coeficiente de convección tienen valores constantes de T ∞ = 600 ºC y h = 100 W/m2·K a lo largo del canal. ¿Cuánto tiempo se tardará en alcanzar el 75 % del almacenamiento máximo posible de energía? ¿Cuál es la temperatura del aluminio en ese momento? Datos: Propiedades termofísicas del aluminio: ρ aluminio: ρ = = 2.702 kg/m3.
T (K) (K) k (W/m·K) (W/m·K) c p (J/kg·K) 300 237 903 400 240 949 600 231 1.033 = 933,5 s ≈ 15,55 min y T = = 456 ºC. Solución: t = 3.
(5.14 del Incropera) La pared3 plana de un horno se fabrica de acero al carbono simple ( k = = 60 W/m·K; ρ = 7.850 kg/m ; c p = 430 J/kg·K) y tiene un espesor de L = 10 mm. Para protegerla de los efectos corrosivos de los gases de combustión del horno, una superficie
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Problemass Problema
de la pared se cubre con una película delgada de cerámica que, para un área superficial unitaria, tiene una resistencia térmica de Rtf ′′ = 0,01 m2·K/W. La superficie opuesta está bien aislada de los alrededores.
Al poner en funcionamiento el horno, la pared está a una temperatura inicial de T i = 300 K y los gases de combustión entran en el horno a T ∞ = 1.300 K, con lo que proporcionan un coeficiente de convección de 25 W/m2·K en la película cerámica. Suponiendo que la película tiene una resistencia térmica interna insignificante, ¿cuánto tiempo tardará la superficie interior del acero en alcanzar una temperatura de T si = 1.200 K? ¿Cuál es la temperatura T so de la superficie expuesta de la película cerámica en ese momento?
Resolución: Se dibuja el circuito térmico equivalente del sistema:
T so so
T ∞ ∞
q
1
hA
T si si Rtf ′′
A
Como entre la pared y el fluido existe una película que aporta una resistencia térmica de contacto, para poder calcular el número de Biot y estudiar si se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable hay que trabajar con el coeficiente global de transferencia de calor, U : UA =
1
∑ R
⇒ U =
t
1 1 h + Rtf ′′
=
1 1 / 25 + 0,01
= 20 W/m 2 ·K
El número de Biot correspondiente será: Bi =
ULc k
=
20·0,01 60
= 0,0033
Al ser menor que 0,1 se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable: T si − T ∞ = exp − t T i − T ∞ τ
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Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Problemas τ = Rt C c =
ρ Vc p
UA s
=
7.850·0,01·430 20
T si − T ∞
= 1.687,75 s
1.200 − 1.300
t = −τ ln T i − T ∞ = 1.687,75·ln 300 − 1.300 = 3.886 s ≈ 65 min A partir del circuito térmico equivalente, la temperatura de la superficie de la película vendrá dada por:
h(T ∞ − T so ) = (T so − T si ) / Rtf ′ ′ ⇒ T so =
hT ∞ + T si / Rtf ′′ h + 1 / Rtf ′′
= 1.220 K
Efectos espaciales: análisis de semejanza 4.
(5.28 del Incropera) Considere la pared unidimensional que se muestra en el dibujo que inicialmente se encuentra a temperatura uniforme T i y se somete de pronto a la condición de frontera de convección con un fluido a T ∞.
Para una pared en particular, caso 1, la temperatura en x = L1 después de t 1 = 100 s es T 1( L L1,t 1) = 315 ºC. Otra pared, caso 2, tiene diferentes condiciones de espesor y térmicas como se muestra en la siguiente tabla. Caso
L (m)
2
(m /s)
k (W/m·K) (W/m·K) T ii (ºC) T
(ºC)
h (W/m
2
·K)
-6
1 0,10 15·10 50 300 400 200 -6 2 0,40 25·10 100 30 20 100 ¿Cuánto tiempo tardará la segunda pared en alcanzar 28,5 ºC en la posición x = L2? Solución: t = = 960 s = 16 min.
Conducción unidimensional: pared plana 5.
(5.32 del Incropera) Considere la unidad de almacenamiento de energía del problema 2, 3 pero con un material material de mamposterí mamposteríaa de k = = 0,70 W/m·K; ρ = = 1.900 kg/m ; c p = 800 J/kg·K empleado en lugar del aluminio. ¿Cuánto tiempo se tardará en alcanzar el 75 % del almacenamiento máximo posible de energía? ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima de la mampostería en ese momento? x = W /2) x = 0) = 412 ºC; T máx Solución: t = /2) = 538 ºC. = 1.174 s ≈ 19,6 min; T mín máx ( x mín ( x
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Problemas
Conducción unidimensional: cilindro 6.
(5.45 del Incropera) Una varilla larga de 40 mm de diámetro fabricada de zafiro (óxido de aluminio) e inicialmente a una temperatura uniforme de 800 K, se enfría de súbito con un 2
fluido a de 300 que tiene un coeficiente de en transferencia de 1.600 W/m ·K. Después 35Ksegundos la varilla se envuelve un aislante ydenocalor experimenta pérdidas de calor. ¿Cuál será la temperatura de la varilla después de un largo tiempo? Datos: Propiedades termofísicas del óxido de aluminio (zafiro) a T = 600 K: k = 18,9 W/m·K; ρ = = 3.970 kg/m3; c p = 1.110 J/kg·K. Solución: T inf inf = 510 K.
Conducción unidimensional: esfera 7.
(5.48 del Incropera) En el tratamiento térmico para endurecer bolas de acero de rodamientos (k = 50 W/m·K; ρ = 7.800 kg/m3; c p = 500 J/kg·K) se desea aumentar la temperatura de la superficie por un tiempo corto sin calentar de manera significativa el interior de la bola. Este tipo de calentamiento se lleva a cabo mediante la inmersión súbita 2
T ∞ = de la bola posición en un baño de salde derretida 1.300 K y h = 5.000 W/mK·K. que cualquier dentro la bolacon cuya temperatura exceda 1.000 seSuponga endurecerá. Estime el tiempo que se necesita para endurecer el milímetro externo de una bola de 20 mm de diámetro si su temperatura inicial es de 300 K. Solución: t = = 3,4 s.
Sólido semiinfinito 8.
(5.61 del Incropera) Una grúa para levantar losas adheridas al suelo emplea un bloque de hierro que se mantiene a temperatura constante de 150 ºC mediante un calentador eléctrico empotrado. El bloque de hierro se pone en contacto con la losa para suavizar el adhesivo, lo que permite levantarla posteriormente. El adhesivo entre la losa y el suelo se suavizará lo suficiente si se calienta por encima de 50 ºC durante al menos 2 minutos, pero su temperatura no debe superar 120 ºC para evitar su deterioro. Suponga que la losa y el suelo 6 inicial 3 tienen una de 25 ºC y propiedades termofísicas equivalentes de k = = 0,15 ρ ·ctemperatura W/m·K; p = 1,5·10 J/m ·K.
a) ¿Cuánto tiempo se tardará en despegar una losa de espesor 4 mm empleando el bloque de hierro? ¿La temperatura del adhesivo excederá 120 ºC? b) Si el bloque de hierro tiene un área superficial cuadrada de 254 mm de lado, ¿cuánta energía se eliminará de él durante el tiempo que se tarda en despegar la losa? Solución: a) t = = 168,7 s; la temperatura es menor que 120 ºC; b) Q = 56.063,6 J.
Conducción multidimensional 9.
(5.75 del Incropera) Una punta cilíndrica de cobre de 100 mm de longitud y 50 mm de diámetro está inicialmente a una temperatura uniforme de 20 ºC. Las caras de los extremos se someten de pronto a una intensa rapidez de calentamiento que las eleva a una temperatura de 500 ºC. Al mismo tiempo, la superficie cilíndrica se somete a calentamiento por un flujo de gas con una temperatura temperatura de 500 ºC y un coeficiente coeficiente de transferencia transferencia de 2 calor de 100 W/m ·K. Determine la temperatura en el punto central del cilindro 8 segundos después de la aplicación súbita del calor.
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Problemas
Resolución:
En el problema en cuestión la longitud y el diámetro del cilindro son comparables por lo que se tiene una transmisión de calor bidimensional. La expresión de la ecuación de calor para este caso caso será: 1 ∂ ∂T ∂ 2T 1 ∂T = r + r ∂r ∂r ∂ x 2 α ∂t
Se puede demostrar que la solución ha esta ecuación se puede obtener por el método de separación de variables, llegando a la siguiente expresión: T ( x, r , t ) − T ∞ T i − T ∞
=
T ( x, t ) − T ∞ T i − T ∞
· Pared plana
T ( r , t ) − T ∞ T i − T ∞
Cilindro infinito
Es decir, la solución bidimensional se expresa como producto de las soluciones unidimensionales correspondientes a una pared plana y a un cilindro infinito. Para las soluciones unidimensionales se emplearán el método de la resistencia interna despreciable (si (si Bi Bi < < 0,1), la solución exacta o la aproximada con el primer término (si Fo (si Fo > > 0,2) según corresponda. En la Tabla 4.2 del Cuaderno de Fórmulas, Tablas y Figuras se Figuras se presenta un resumen de soluciones para distintos sistemas multidimensionales como productos de las soluciones unidimensionales. Visto esto se resuelve este problema en concreto. Como se pide la temperatura central en t = 8 s, a partir de la ecuación vista antes se tiene que: T (0,0,8) − T ∞ T i − T ∞
=
T (0,8) − T ∞ T i − T ∞
· Pared plana
T (0,8) − T ∞ T i − T ∞
Cilindro infinito
A continuación se resuelve cada sistema unidimensional por separado. Se calcula el número de Biot para la conducción a través de una pared plana: hLc Bi pp = =∞ k
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Problemas
Como para este caso la temperatura superficial está fijada esto es equivalente a tener una h infinita. Como el número de Biot es mayor que 0,1 no se puede emplear el método de la resistencia interna despreciable. Empleamos la solución aproximada con el primer término. A partir de la Tabla 4.1 del Cuaderno de Fórmulas, Tablas y Figuras Figuras se obtienen los coeficientes de la aproximación de un término: ξ 1 = 1,5707 y C 1 = 1,2733. Se
buscan las propiedades del cobre para una temperatura media de: 20 + 500 T = ρ = = 8.933 kg/m3; k = = 384 W/m·K; c p = 410 J/kg·K. = 260 º C = 533 K ⇒ ρ 2
Se calcula el número de Fourier: Fo =
α t L2c
=
kt ρ c p L2c
=
384·8
8.933·410·0,05 2
Como Fo = 0,304 . Como Fo
> 0,2 la aproximación con el primer término es correcta. T (0,8) − T ∞ T i − T ∞
Pared plana
= C 1 exp(−ξ 12 Fo) = 1,2733·exp(−1,5707 2 ·0,304) = 0,601
A continuación se resuelve la conducción a través de un cilindro infinito. Se calcula el número de Biot: Bicil . =
hr o k
=
100·0,025 384
= 6,51·10 −3
Por ser menor que 0,1 se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable: T (0,8) − T ∞ T i − T ∞ τ = Rt C c =
Cilindro infinito
ρ Vc p hA s
T (0,8) − T ∞ T i − T ∞
Cilindro infinito
T (0,0,8) − T ∞ T i − T ∞
=
t = exp − τ
=
8.933·0,025·410 100·2
= 457,8 s
8 = exp − 457,8 = 0,9827
T (0,0,8) − 500 20 − 500
=
T (0,8) − T ∞ T i − T ∞
· Pared plana
T (0,8) − T ∞ T i − T ∞
= 0,601·0,9827 = 0,5906 Cilindro infinito
T (0,0,8) (0,0,8) = 216,5 ºC Lo correcto sería volver a calcular las propiedades del cobre para esta temperatura y repetir el problema. Método de las diferencias finitas 10. (5.82 del Incropera) Un cilindro de material plástico (α (α = = 6·10-7 m2/s) está inicialmente a una temperatura uniforme de 20 ºC y está bien aislado a lo largo de su superficie lateral y en aumenta un extremo. En el tiempo = 0 se lea aplica calor el extremo izquierdo de manera que T linealmente con elt = tiempo una razón deen 1 ºC/s. 0
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Problemas
a) Con el método explícito obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para los nodos 1, 2, 3 y 4. b) Con Fo Fo = = ½ construya una tabla que tenga como encabezados p p,, t y y las temperaturas nodales de T 0 a T 4. Determine la temperatura de la superficie, T 0, cuando T 4 = 35 ºC. c) Resuelva el problema mediante el método implícito y el método de la inversión de matrices Solución:: b) ∆t = Solución = 30 s; T 0 ( (t t = = 210 s) = 230 ºC. Resolución del apartado c): c): De las ecuaciones nodales explícitas se pueden deducir las ecuaciones nodales implícitas fácilmente: Nodo
1:
T 0 p +1 + T 2 p +1 − 2T 1 p +1 =
1 Fo
(T +
p 1 1
− T 1 p ) ⇒ − (1 + 2 Fo)T 1 p +1 + FoT 2 p +1 = − FoT 0 p +1 − T 1 p
Nodo 2: FoT 1 p +1 − (1 + 2 Fo)T 2 p +1 + FoT 3 p +1 = −T 2 p Nodo 3: FoT 2 p +1 − (1 + 2 Fo)T 3 p +1 + FoT 4 p +1 = −T 3 p Nodo 4: 2 FoT p +1 − (1 + 2 Fo )T p +1 = −T p 3
4
4
Expresadas en forma matricial: Fo 0 0 − (1 + 2 Fo) T 1 p +1 − FoT 0 p +1 − T 1 p Fo p +1 p − Fo (1 + 2 Fo) 0 T T − 2 2 = p +1 p T 3 − (1 + 2 Fo) Fo Fo 0 − T 3 − (1 + 2 Fo) T 4 p +1 0 0 2 Fo − T 4 p
[ A]·[T ] = [C ] ⇒ [T ] = [ A]−1 ·[C ] Se inicia un proceso iterativo en que para cada tiempo p tiempo p hay hay que evaluar el vector [C] antes de resolver las temperaturas en el tiempo siguiente p siguiente p+1. +1. Los resultados se pueden expresar en forma de tabla. Con Fo Con Fo = = 0,5 ⇒ ∆t = = 30 s.
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Problemas
p
t
T 0
T 1
T 2
T 3
T 4
0
0
20
20
20
20
20
1
30
50
2
60
80
3
90
110
11. (5.100 del Incropera) Se sueldan dos barras muy largas en la dirección normal a la página, las cuales tienen las distribuciones de temperaturas iniciales que se muestran en la tabla inferior. En el tiempo t = = 0, la cara m = 3 de la barra de cobre hace contacto con la cara m = 4 de la barra de acero AISI 1010. La soldadura actúa como una capa interfacial de espesor insignificante y resistencia efectiva de contacto Rt ′′,c = 2·10-5 m2·K/W.
a) Obtenga la ecuación en diferencias finitas explícita en términos de Fo Fo y Bic =
∆ x , k · R t ′′,c
para T 44,2 ,2 y determine el criterio de estabilidad correspondiente. b) Si Si Fo Fo = = 0,01, determine T 44,2 ,2 un intervalo de tiempo después de que se hace contacto. ¿Cuál es el ∆t ? ¿Se satisface el criterio de estabilidad? Datos: Propiedades termofísicas del acero AISI 1010 a 1.000 K: k = 31,3 W/m·K; ρ = 7.832 kg/m3; c p = 1.168 J/kg·K. Solución: a) Criterio de estabilidad: Fo Solución: Fo ≤ 1/(4 + 2 Bic); b) ∆t = = 1,17 s; T 44,2 = 1,17 s) = ,2 (t = 806,3 K; sí se satisface el criterio de estabilidad.
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Problemas
PROBLEMAS TEMA 5. INTRODUCCIÓN A LA CONVECCIÓN Coeficientes de transferencia de calor 1.
(6.2 del Incropera) Para la convección laminar libre de una superficie vertical caliente, el coeficiente de convección local se expresa como h x = Cx-1/4, donde h x es el coeficiente a la distancia x distancia x desde desde el inicio de la superficie y la cantidad C , que depende de las propiedades del fluido, es independiente de x de x.. Obtenga una expresión para la razón h x / h x, donde h x es el coeficiente promedio entre el inicio ( x = x = 0) y la posición x posición x.. Dibuje la variación de h x y con x h x con x.. Solución:: h x / h x = 4/3. Solución
2.
(6.5 del Incropera) Aire a una temperatura de flujo libre T ∞ = 20 ºC está en un flujo paralelo sobre una pla ca plana placa longitud longitud L L = = 5 la m mezcla y temperatura T s = 90 ºC. Sin embargo, los obstáculos colocados en el de flujo intensifican al aumentar la distancia x x desde desde el inicio, y la variación espacial de las temperaturas medidas en la capa límite están correlacionadas por una expresión de la forma T ( ( x x,, y y)) [ºC] = 20 + 70 exp(-600 xy xy), ), donde x donde x e y están y están en metros. Determine y elabore una gráfica de la forma en que varía el coeficiente de convección local h con x. x. Evalúe el coeficiente de convección promedio h para la placa. Solución:: h x = 600·k Solución 600·k x [W/m ·x [W/m2·K] = 15,44· x[W/m x[W/m2·K]; h = 38,6 W/m2·K. Perfiles de la capa límite
3.
(6.10 del Incropera) Agua a una temperatura T ∞ = 25 ºC fluye sobre una de las superficies de una pared de acero (AISI 1010) cuya temperatura es T s1 s1 = 40 ºC. La pared es de 0,35 m de espesor y la temperatura de la otra superficie es T s2 s2 = 100 ºC. Para condiciones de estado estacionario, ¿cuál es el coeficiente de convección asociado con el flujo de agua? ¿Cuál es el gradiente de temperatura en la pared y en el agua que está en contacto con la pared? Dibuje la distribución de temperaturas en la pared y en el agua contigua. Datos: Propiedades termofísicas del acero AISI 1010: ρ 1010: ρ = = 7.832 kg/m3. T c p k (K) (J/kg·K) (W/m·K) 300 434 63,9 400 487 58,7 ∂T agua ∂T pared = -171,4 K/m; Solución:: h = 700 W/m2·K; Solución ∂ y ∂ y
= -17.222,22 K/m. y = 0
Transición de la capa límite 4.
(6.12 del Incropera) Considere un flujo de aire sobre una placa plana de longitud L = L = 1 m en condiciones para las que ocurre la transición en xc = 0,5 m con base en el número de
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Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Problemas
Reynolds crítico Re x,c = 5·105. En las regiones laminar y turbulenta los coeficientes de convección local son, respectivamente: −0 ,5 hlam ( x ) = C lam x
−0 , 2 hturb ( x) = C turb x
y
3/2 1,8 donde C lam y x tiene tiene unidades de m. lam = 8,845 W/m ·K, C turb turb = 49,75 W/m ·K y x
a) Mediante la evaluación de las propiedades termofísicas del aire a 350 K determine la velocidad del flujo de aire. b) Desarrolle una expresión para el coeficiente de convección promedio hlam ( x) , como función de la distancia desde el inicio de la placa, x placa, x,, para la región laminar, 0 ≤ x x ≤ xxc. c) Desarrolle una expresión para el coeficiente de convección promedio de toda la placa h ( x) , como función de la distancia desde el inicio de la placa, x x,, para la región turbulenta, x turbulenta, xc≤ x x ≤ L. L . d) Dibuje una gráfica de hlam ( x) , hlam ( x ) , hturb ( x) y h ( x ) para 0 ≤ x x ≤ L. L . Solución:: Solución h ( x ) =
1 x
a)
V
=
u∞
=
20,92
m/s;
b)
h
( x ) = 2 C x −0,5 ;
lam
[2C
c)
lam
]
x c0 ,5 + 1,25C turb x 0,8 − 1,25C turb x c0,8 .
lam
Ecuaciones de conservación y soluciones: flujo de Couette 5.
(6.18 del Incropera 5ª edición en inglés) Considere un cojinete hidráulico ligeramente cargado que usa aceite con propiedades constantes ρ = = 800 kg/m3, ν = = 10 -5 m2/s y k = = 0,13 W/m·K. El diámetro del eje es de 75 mm, el espacio hasta su apoyo es de 0,25 mm y trabaja a 3.600 rpm. a) Determine la distribución de temperaturas en la película de aceite suponiendo que no hay transferencia de calor hacia el interior del eje y que la superficie del apoyo del cojinete se mantiene a 75 ºC. b) ¿Cuál es la transferencia de calor del cojinete? 2
Solución:: a) T ( y ) = T 0 − Solución 6.
ρν ∂u y 2
− Ly ; b) q’( y = y = 0) = -1.508 W/m. K ∂ y 2
(6.21 del Incropera) Considere el flujo de Couette con transferencia de calor para el cual la placa inferior (placa móvil) se mueve con una velocidad de U = = 5 m/s y está perfectamente aislada. La placa superior (placa estacionaria) está construida con un material de conductividad térmica k pe = 1,5 W/m·K y espesor L pe = 3 mm. La superficie externa se mantiene a T pe = 40 ºC. Las placas están separadas por una distancia Lo = 5 mm, que se llena con un aceite de motor de viscosidad µ o = 0,799 N·s/m2 y conductividad térmica k o = 0,145 W/m·K.
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Transferencia de Calor / Curso 2009-10
Problemas
a) Determine la distribución de temperaturas en la película de aceite, T o( y). y). b) Determine la temperaturas en los extremos de la película de aceite en contacto con las dos placas, T o( y = y = 0) y T o( y = y = L Lo). c) Dibuje la distribución de temperaturas en la película de aceite y en la placa estacionaria. Solución:: a) T ( y) Solución y) = -2,755·106 y ·y2 + 390 [K]; b) T o( y = y = 0) = 390 K y T o( y = y = L Lo) = 321 K. 7.
(6.22 del Incropera) Un eje con un diámetro de 100 mm gira a 9.000 rpm en un cojinete hidráulico de 700 mm de longitud. Las propiedades del aceite lubricante son µ = 0,03 N·s/m2 y k = 0,15 W/m·K, mientras que el material del cojinete tiene una conductividad térmica de k c = 45 W/m·K.
a) Determine la disipación viscosa µ Φ [W/m3] en el lubricante. b) Determine la transferencia de calor [W] del lubricante suponiendo que no se pierde calor a través del eje. c) Si la cubierta del cojinete se enfría con agua, de modo que la superficie externa del cojinete se mantiene a 30 ºC, determine las temperaturas del cojinete y del eje, T c y T e. Solución:: a) µ Φ = 6,66·107·W/m3; b) q = 14.646 W; c) T c = 81,3 ºC y T e = 303,3 ºC. Solución Similitud y parámetros adimensionales 8.
(6.27 del Incropera, examen septiembre 2002) Un objeto de forma irregular tiene una longitud característica L característica L1 = 1 m y se mantiene a una temperatura superficial uniforme T s,1 s,1 = 400 K. Cuando se coloca en aire atmosférico a una temperatura T ∞ = 300 K y se mueve con 2 una velocidad V 1 = 100 m/s, el promedio de pero calorcon desde superficie al aire es 20.000 W/m . Si un segundo objeto deflujo la misma forma, unalalongitud característica, L2 = 5 m, se mantiene a la misma temperatura superficial y se coloca en aire atmosférico a T ∞ =
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Problemas
300 K, ¿cuál será el valor del coeficiente promedio de convección si la velocidad del aire es V 2 = 20 m/s? 9.
(6.31 y 6.34 del Incropera) Considere las condiciones para las que un fluido con una velocidad V = = 1 m/sun fluye sobre unapromedio superficie de contransferencia una longitud de característica L L = 1 m,deloflujo quelibre proporciona coeficiente calor por 2 convección h = 100 W/m ·K. y Pr Pr para para los siguientes fluidos: aire, a) Calcule los parámetros adimensionales Nu L , Re L y aceite de motor, mercurio y agua. Suponga que los fluidos están a una temperatura de 300 K. b) Dibuje la variación relativa entre el espesor de la capa límite hidrodinámica y la capa límite térmica para el flujo laminar sobre una placa plana para los cuatro fluidos anteriores. Suponga un coeficiente del número de Prandtl n = 0,35. Datos: Propiedades termofísicas del mercurio: k ·10 ·103 Pr c p T α ·10 ·107 µ ·10 ·102 ν ·10 ·106 ρ 2 2 2 3 (K) (kg/m ) (kJ/kg·K) (N·s/m ) (m /s) (W/m·K) (m /s) 30 300 0 13 13.5 .529 29 0,13 0,1393 93 0,15 0,1523 23 0,11 0,1125 25 8. 8.54 540 0 45 45,3 ,30 0 0, 0,02 0248 48 Solución:: a) aire: Nu Solución aire: Nu L = 3.802; Re 3.802; Re L = 62.932; Pr 62.932; Pr = = 0,706; aceite de motor: Nu motor: Nu L = 690; Re 690; Re L = 1.818; Pr 1.818; Pr = = 6.403; mercurio: Nu mercurio: Nu L = 11,7; Re 11,7; Re L = 8.888.889; Pr 8.888.889; Pr = = 0,0248; agua: Nu agua: Nu L = 163; Re L = 1.166.092; Pr = 5,83; b) δ δ t
δ δ t
= 0,885 ; aire
δ δ t
= 21,5 ; aceite
δ δ t
= 0,27 ; mercurio
= 1,85 . agua
10. (6.35 del Incropera) Se utiliza aire forzado a T ∞ = 27 ºC y V = 10 m/s para enfriar elementos electrónicos sobre una tarjeta de circuitos. Uno de tales elementos es un chip, de 4 mm por 4 mm, que se localiza a 120 mm desde el inicio de la tarjeta. Los experimentos revelan que el flujo sobre ésta es perturbado por los elementos y que la transferencia de calor por convección está correlacionada mediante una expresión de la forma: Nu x = 0,04 Re x0,85 Pr 1 / 3 Estime la temperatura superficial del chip si éste disipa 30 mW. Nota: Las propiedades del fluido se deben calcular a la temperatura media entre el fluido y la superficie.
Solución:: T = Solución = 317 K = 44 ºC.
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Problemas
PROBLEMAS TEMA 6. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO EXTERNO Placa plana en flujo paralelo 1.
(7.3 del Incropera) Sobre ambas superficies de una placa plana de 1 m de longitud que se mantiene a 20 ºC fluye aceite de motor a 100 ºC y a una velocidad de 0,1 m/s. Determine: a) Los espesores de las capas límite de velocidad y térmica al final de la placa. b) El flujo local de calor al final de la placa. c) La transferencia de calor por unidad de ancho de la placa.
′′ = 1.304 W/m2; c) qtotal ′ = 5.216 W/m. Solución:: a) δ L = 146,7 mm; δ t,L Solución t,L = 14,3 mm; b) q L 2.
(7.11 del Incropera) Una placa plana de 1 m de ancho se mantiene a una temperatura superficial uniforme T s = 150 ºC mediante el uso de módulos rectangulares generadores de calor, controlados de manera independiente, de espesor a = 10 mm y longitud b = 50 mm. Cada módulo está aislado de sus alrededores, así como de su parte posterior. Aire atmosférico a 25 ºC fluye sobre la placa a una velocidad de 30 m/s. Las propiedades termofísicas del módulo son k = = 5,2 W/m·K, c p = 320 J/kg·K y ρ y ρ = = 2.300 kg/m3.
a) Encuentre la generación de potencia que se requiere, q& [W/m3], en el módulo situado a 700 mm del inicio. b) Encuentre la temperatura máxima en ese módulo generador de calor. Solución:: a) q& = 873.448 W/m3; b) T máx Solución máx = 158,4 ºC. 3.
(7.32 del Incropera) Un conjunto de componentes electrónicos disipadores de calor se monta sobre el lado inferior de una placa horizontal de aluminio de 1,2 x 1,2 m, mientras que el lado superior se enfría con un flujo de aire para el que u∞ = 15 m/s y T ∞ = 300 K. La placa se une a un recinto bien aislado de manera que todo el calor se debe transferir al aire. a ire. Además la placa de aluminio es lo suficientemente delgada para asegurar una temperatura casi uniforme en ella.
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Problemas
a) Si la temperatura del aluminio no debe exceder de 350 K, ¿cuál es la disipación de calor máxima permisible? b) Determine la disipación de calor máxima permisible si sobre la placa de aluminio se coloca un sistema de aletas longitudinales cuya longitud, espesor y espaciado (entre planos centrales de las aletas) son 25 mm, 5 mm y 10 mm, respectivamente. Datos: Propiedades termofísicas del aluminio: T ρ c p k 3 (K) (kg/m ) (J/kg·K) (W/m·K) 300 2.702 903 237 Solución:: a) q = 2,14 kW; b) q = 12,71 kW. Solución Flujo alrededor de un cilindro 4.
(7.42 del Incropera) Un tubo circular de 25 mm de diámetro exterior se coloca en un flujo de aire a 25 ºC y presión de 1 atm. El aire se mueve en flujo cruzado sobre el tubo a 15 m/s, mientras que la superficie externa del tubo se mantiene a 100 ºC. ¿Cuál es la transferencia de calor del tubo por unidad de longitud? Solución:: q ′ = 527 W/m. Solución
5.
(7.49 del Incropera) Aire a 27 ºC y a velocidad de 5 m/s pasa sobre la pequeña región A s (20 x 20 mm) en una superficie grande que se mantiene a T s = 127 ºC. Para estas condiciones se eliminan 0,5 W de la superficie A s. Con el fin de aumentar la velocidad de eliminación de calor, se sujeta una aleta de alfiler de acero inoxidable AISI 304 de diámetro 5 mm a A a A s, que se supone permanece a T s = 127ºC. Datos: Propiedades termofísicas del acero inoxidable AISI 304: c p k T ρ 3 (K) (kg/m ) (J/kg·K) (W/m·K) 300 7.900 477 14,9 400 7.900 515 16,6
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Problemas
a) Determine la velocidad máxima posible de eliminación de calor a través de la aleta. b) ¿Qué longitud de aleta proporciona esa velocidad máxima de eliminación de calor? c) Determine la efectividad de la aleta, ε f . d) ¿Cuál es el porcentaje de aumento en la transferencia de calor de A s debido a la instalación de la aleta? Solución:: a) q fmáx = 2,3 W; b) L Solución b) L = = 37,4 mm; c) ε f = 93,7; d) 455 %. 6.
(7.62 del Incropera) En un proceso de fabricación, una varilla larga recubierta de plástico ( ρ = = 2.200 kg/m3, c p = 800 J/kg·K, k = = 1 W/m·K) de diámetro D diámetro D = = 10 mm está inicialmente a una temperatura uniforme de 25 ºC y súbitamente se expone a un flujo cruzado de aire a u∞ = 50 m/s y T ∞ = 350 ºC. ¿Cuánto tiempo le costará a la superficie de la varilla alcanzar 175 ºC, temperatura por arriba de la cual se curará el recubrimiento especial? Solución: t = Solución: = 8,27 s (Calculado con T f = ((25+175)/2 +350) /2 y correlación de Hilpert ⇒ ·K); Fo Fo = = 0,1879. h = 240 W/m2·K); Flujo a través de bancos de tubos
7.
(7.76 del Incropera) Considere un banco de tubos escalonado para el que el diámetro exterior del tubo es 16,4 mm y los espaciados longitudinal y transversal son S L = S T = 20,5 mm. Hay siete líneas de tubos en la dirección del flujo de aire y ocho tubos por línea ( N ( N L = 7 y N T T = 8). La temperatura superficial de los tubos es de 70 ºC y la temperatura y velocidad del flujo de aire son 15 ºC y 6 m/s, respectivamente. Determine el coeficiente de convección y la transferencia de calor para el banco de tubos. Comience evaluando las propiedades del aire a T ∞ = 15 ºC. Solución:: h = 235 W/m2·K; q’ = 28,5 kW/m. Solución
8.
(7.80 del Incropera) Los componentes eléctricos montados en cada una de dos placas isotérmicas se enfrían al hacer pasar aire atmosférico entre ellas, y se usa un dispositivo en línea de aletas de alfiler de aluminio para aumentar la transferencia de calor al aire. Las aletas son de diámetro D diámetro D = = 2 mm, longitud L longitud L = = 100 mm y conductividad térmica k = = 240 W/m·K. Los espaciados longitudinales y transversales son S L = S T T = 4 mm con un T = 25) montadas en placas cuadradas de ancho dispositivo cuadrado de 625 aletas ( N L = N = N de W = = 100 mm. El aire entra a una velocidad 10 m/s y a una temperatura de 300 K.
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Problemas
a) Evaluando las propiedades del aire a 300 K, estime el coeficiente promedio de convección para el dispositivo de aletas. b) Suponiendo el coeficiente de convección anterior uniforme sobre las aletas y las placas determine la temperatura de salida del aire y la transferencia total de calor cuando las placas se mantienen a 350 K. Sugerencia Sugerencia:: La temperatura de salida del aire está gobernada por una relación exponencial de la forma [(T [( T placa – T sal ) / (T placa – T eent nt )] = & c p)], donde m& = ρ VLN exp[-( h At η o) / ( m VLN T T S T T es el flujo de masa del aire que pasa a través de las aletas, A aletas, At es el área superficial total de transferencia de calor (placas más aletas) y η o es la eficiencia superficial global del conjunto placas más aletas. Solución:: a) h = 435 W/m2·K; b) T sal = 321 K; qtotal = 2.467,3 W. Solución
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Problemas
PROBLEMAS TEMA 7. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO INTERNO Consideraciones térmicas y balance de energía 1.
(8.12 del Incropera) Considere una varilla cilíndrica de combustible nuclear de longitud L longitud L y diámetro D D que está encerrada en un tubo concéntrico. Por la región anular entre la & y la superficie exterior del varilla y el tubo fluye agua presurizada a un flujo másico m tubo está bien aislada. Hay generación de calor dentro de la varilla de combustible y se sabe que la rapidez de generación volumétrica varía senoidalmente con la distancia a lo largo de la varilla: q& ( x ) = q& o sen (π x / L) , siendo q& o [W/m3] una constante. Se puede suponer que existe un coeficiente de convección uniforme entre la superficie de la varilla y el agua.
a) Obtenga expresiones para el flujo de calor local q ′′( x) y para la transferencia total de calor q de la varilla de combustible al agua. b) Obtenga una expresión para la variación de la temperatura media del agua a lo largo del tubo, T ( x). x). m
c) Obtenga una expresión para la variación de la temperatura superficial de la varilla a lo largo del tubo, T s( x). x). Desarrolle una expresión para la posición x x para la que se maximiza. D 2 Lq& o D 2 Lq& o π x Solución:: a) q ′′( x) = Solución ; b) T m ( x) = T m,ent + sen ; q = & c p 4m L 4 2 m& c p L q ′′( x) . ; x máx = arctan − c) T s ( x ) = T m ( x ) + π h DLh D q& o
2.
π x 1 − cos L ;
(8.15 del Incropera) Aire atmosférico entra en la sección caliente de un tubo circular con un flujo de 0,005 kg/s y una temperatura de 20 ºC. El tubo es de diámetro D D = = 50 mm y 2 existen condiciones completamente desarrolladas con h = 25 W/m ·K sobre toda la longitud L = longitud L = 3 m. a) Para el caso de un flujo de calor superficial uniforme, q s′′ = 1.000 W/m2, determine la transferencia total de calor, q, y la temperatura media del aire que sale del tubo, T m,sal m,sal .
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Problemas
¿Cuál son los valores de las temperaturas superficiales del tubo en la entrada y en la salida, T s,ent y T s,sal ? Dibuje la variación con x con x de de T m y T s. b) Si el flujo de calor superficial varía linealmente con x x,, q s′′( x ) = 500 x x [W/m [W/m2], ¿cuáles son los valores de q, T m,sal , T s,ent y T s,sal ? Dibuje la variación con x con x de de T m y T s. c) Para cada tipo de proceso de calentamiento anterior, ¿qué flujos de calor se requieren para alcanzar en la salida una temperatura del aire de T m,sal m,sal = 125 ºC? Solución: a) q = 471,24 W; T m,sal Solución: m,sal = 113,6 ºC; T s,sal = 153,6 ºC; T s,ent = 60 ºC; b) q = 353,4 2 x W; T m,sal m,sal = 90,2 ºC; T s,sal = 150,2 ºC; T s,ent = 20 ºC; c) q s′′ = 1.122 W/m ; q s′′ ( x ) = 748 x [W/m2]. Correlaciones de transferencia en tubos circulares 3.
(8.19 del Incropera) Aceite de motor a razón de 0,02 kg/s fluye por un tubo de 3 mm de diámetro y de 30 m de longitud. El aceite tiene una temperatura de entrada de 60 ºC, mientras que la temperatura de la pared del tubo se mantiene a 100 ºC por condensación de vapor sobre su superficie externa. a) Estime el coeficiente promedio de transferencia de calor para el flujo interno del aceite. b) Determine la temperatura de salida del aceite. c) Calcule la transferencia total de calor al aceite. Solución:: a) h = 201 W/m2·K; b) T m,sal Solución m,sal = 89,6 ºC; c) q = 1.249 W.
4.
(8.24 del Incropera) En las etapas finales de producción se esteriliza un fármaco calentándolo de 25 a 75 ºC a medida que se mueve a 0,2 m/s por un tubo recto de acero inoxidable de pared delgada de 12,7 mm de diámetro. Un flujo de calor uniforme se mantiene mediante un calentador de resistencia eléctrica enrollado alrededor de la superficie externa del tubo. Si el tubo es de 10 m de longitud, ¿cuál es el flujo de calor que se requiere? Si entra fluido al tubo con un perfil de velocidad completamente desarrollado y un perfil uniforme de temperatura, ¿cuál es la temperatura superficial en la salida del tubo y a una distancia de 0,5 m desde la entrada? Las propiedades del fluido se pueden aproximar a: ρ a: ρ = = 1.000 kg/m3; c p = 4.000 J/kg·K; µ = = 2·10-3 kg/s·m; k = = 0,48 W/m·K; Pr W/m·K; Pr = = 10. Solución:: q s′′ =12.700 W/m2; T s,sal = 152 ºC; T s ( x = Solución x = 0,5) = 65,7 ºC.
5.
(8.39 del Incropera) El núcleo de un reactor nuclear de alta temperatura enfriado por gas tiene tubos de fluido refrigerante de 20 mm de diámetro y 1.500 mm de longitud. Entra helio a 600 K y sale a 1.000 K cuando el flujo es de 8·10 -3 kg/s por tubo. a) Determine la temperatura superficial uniforme de la pared del tubo para estas condiciones. b) Si el gas refrigerante es aire en vez de helio, determine el flujo másico y la temperatura de salida del aire si la rapidez de eliminación de calor y la temperatura superficial del tubo permanecen iguales.
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Problemas Datos: Propiedades termofísicas del helio: T (K)
ρ (kg/m3)
k ·10 ·103 c p α ·10 ·106 µ ·10 ·107 ν ·10 ·106 (J/kg·K) (N·s/m2) (m2/s) (W/m·K) (m2/s)
800 0,05924 5193 382 304 & Solución: a) T s = 1.142,8 K; b) T m,sal Solución: 919 K; m 0,0474 kg/s. ≈ ≈ m,sal aire 6.
Pr 0,654
(8.50 del Incropera) Considere un tubo de pared delgada de 10 mm de diámetro y 2 m de & = 0,2 kg/s y T m,ent longitud. Entra agua al tubo desde un recipiente grande a m m,ent = 47 ºC. a) Si la superficie del tubo se mantiene a una temperatura uniforme de 27 ºC, ¿cuál es la temperatura de salida del agua, T m,sal m,sal ? b) ¿Cuál es la temperatura de salida del agua si se calienta mediante el paso de aire a T ∞ = 100 ºC y V = = 10 m/s en flujo cruzado sobre el tubo? Las propiedades del aire se pueden evaluar a una temperatura de película supuesta de 350 K. Solución: a) T m,sal Solución: m,sal ≈ 35-36 ºC; b) T m,sal m,sal ≈ 47 ºC.
7.
(8.53 del Incropera) Una tubería de acero (k ( k = 60 W/m·K) que conduce agua caliente se enfría externamente mediante aire en flujo cruzado a una velocidad de 20 m/s y una temperatura de 25 ºC. Los diámetros interno y externo de la tubería son Dint = 20 mm y D y Dext = 25 mm, respectivamente. En cierta posición a lo largo de la tubería, la temperatura media del agua es 80 ºC. Suponga que el flujo dentro del tubo está completamente desarrollado con un número de Reynolds de 20.000. Encuentre la transferencia de calor al flujo de aire por unidad de longitud de tubería. tubería. Solución:: q ′ = 490 W/m. Solución Correlaciones en conductos no circulares
8.
(8.72 del Incropera) Aire a 3·10-4 kg/s y 27 ºC entra en un conducto de sección rectangular de 1 m de longitud y con una sección de 4 por 16 mm. Se impone un flujo de calor uniforme de 600 W/m2 sobre la superficie del conducto. ¿Cuáles son las temperaturas del aire y la de la superficie del conducto en la salida? Solución:: T m,sal Solución m,sal = 106,2 ºC; T s,sal ≈ 128,5 ºC.
9.
(8.80 del Incropera) Una placa fría es un dispositivo de enfriamiento activo que se une a un sistema generador de calor con el fin de disipar el calor mientras se mantiene el sistema a una temperatura aceptable. Normalmente se fabrica de un material de alta conductividad térmica, k pf , dentro del que se hacen canales por los que pasa el fluido refrigerante. Considere la placa fría de las dimensiones de la figura en la que las paredes laterales se pueden suponer s uponer aisladas ais ladas y las paredes superior e inferior se mantienen en e n contacto con el dispositivo generador de calor a una temperatura constante T s. La velocidad y la temperatura media del refrigerante son um y T m,ent m,ent , respectivamente.
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Problemas
a) Suponiendo flujo turbulento completamente desarrollado a través de cada canal plantee todas las ecuaciones necesarias para calcular la temperatura de salida del refrigerante, T m,sal m,sal , y la transferencia total de calor a la placa fría, q. b) Resuelva el sistema con los siguientes datos: W = 100 mm, H = 10 mm, 10 canales cuadrados de w = h = 6 mm, δ = = 4 mm. T s = 360 K y k pf = 400 W/m·K. El refrigerante es agua a um = 2 m/s y T m,ent = 984 kg/m3, m,ent = 300 K. Propiedades promedio del agua: ρ = c p = 4.184 J/kg·K, µ = = 489·10-6 N·s/m2, k = = 0,65 W/m·K, Pr W/m·K, Pr = = 3,15. Solución:: T m,sal Solución m,sal = 305,3 K; q = 15.818 W.
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Problemas
PROBLEMAS TEMA 8. CONVECCIÓN LIBRE Placas verticales 1.
(9.12 del Incropera) La puerta de un horno de 0,5 m de altura y 0,7 m de ancho alcanza una temperatura superficial promedio de 32 ºC durante el funcionamiento del horno. Estime la pérdida de calor al cuarto con aire ambiente a 22 ºC. Si la puerta tiene t iene una emisividad de ε = 1 y los alrededores también están a 22 ºC, comente la pérdida de calor por convección libre con relación a la de radiación. Solución:: qconv = 9,9 W; qrad = 21,4 W; qconv / qrad = 46 %. Solución
2.
(9.17 del Incropera) El vidrio delgado de una ventana cuadrada de 1 m de lado separa aire quieto de una habitación a T ∞int = 20 ºC del aire ambiental exterior a T ∞ex ext t = -20 ºC. Las paredes de la habitación y el medio externo están a la misma temperatura (T alr, alr, int = 20 ºC, T = 1, ¿cuál es su temperatura T ? ¿Cuál alr, ext = -20 ºC). Si el vidrio tiene una emisividad de ε = es la pérdida de calor a través del vidrio?
Solución:: T ≈ 1 ºC; q = 174 W. Solución 3.
(9.20 del Incropera) Un contenedor de paredes delgadas con agua caliente a 50 ºC se coloca en un baño de agua fría en reposo a 10 ºC. La transferencia de calor en las superficies interna y externa del contenedor se pueden aproximar por la convección libre en una placa vertical.
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Problemas
Determine el coeficiente global promedio de transferencia de calor, U , entre el agua caliente del contenedor y el agua fría del baño. Solución:: U ≈ 350 W/m2·K. Solución Placas inclinadas 4.
(9.42 del Incropera) Una placa cuadrada de 1 m de lado inclinada un ángulo de 45º se expone a un flujo neto de calor por radiación de 300 W/m2 en su superficie inferior. Si la superficie superior de la placa está bien aislada, estime la temperatura que alcanza la placa cuando el aire ambiente está en reposo y a 0 ºC. Solución: T = Solución: = 61 ºC. Placas horizontales
5.
(9.34 del Incropera) Una parrilla circular de 0,25 m de diámetro y emisividad de 0,9 se mantiene a una temperatura superficial constante de 130 ºC. ¿Qué potencia eléctrica se requiere cuando el aire ambiente y los alrededores están a 24 ºC? Suponga que la parte inferior de la parrilla está aislada. Solución:: q = 91 W. Solución
6.
(9.29 del Incropera) Se tiene un transformador de potencia eléctrica de forma cilíndrica de diámetro 300 mm y altura 500 mm. Se desea mantener su temperatura superficial a 47 ºC mediante refrigeración por convección libre y radiación. La superficie tiene una emisividad de ε = = 0,80. a) Determine cuanta potencia se puede eliminar de sus superficies lateral y horizontal superior (la inferior se supone aislada) cuando la temperatura ambiente y los alrededores están a 27 ºC. b) Se añaden 30 aletas verticales de 5 mm de espesor y 75 mm de longitud a lo largo de toda la superficie lateral. ¿Cuál es ahora la rapidez de eliminación de calor si las aletas tienen la misma emisividad de 0,80 y una conductividad térmica de 240 W/m·K?
Solución:: a) q = 104,5 W; b) q = 531 W. Solución Cilindros horizontales 7.
(9.60 del Incropera) En un tubo de pared delgada de 20 mm de diámetro circula un fluido caliente a una temperatura media de 45 ºC. El tubo se monta horizontalmente en aire en reposo a 15 ºC. Se enrolla una cinta delgada de calentamiento eléctrico sobre la superficie externa del tubo para evitar pérdidas de calor del fluido caliente al aire ambiente y mantener su temperatura constante.
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Problemas
a) Ignorando las pérdidas de calor por radiación, calcule el flujo de calor qe′′ que se debe suministrar mediante la cinta eléctrica. b) Calcule el flujo de calor teniendo en cuenta la radiación. La emisividad de la cinta es 0,95 y los alrededores también están a 15 ºC. c) Calcule el flujo de calor si se añade una capa de aislante ( k = = 0,050 W/m·K) de espesor 20 mm y emisividad 0,60. ¿Cuál será la temperatura superficial del aislante? Solución:: a) qe′′ = 208 W/m2; b) q e′′ = 388 W/m2; c) q e′′ = 113,65 W/m2; T aisl Solución aisl = 20 ºC. 8.
(9.51 del Incropera) Vapor saturado a 4 bar de presión con una velocidad media de 3 m/s fluye a través de una tubería horizontal de acero inoxidable AISI 302 cuyos diámetros interior y exterior son 55 y 65 mm, respectivamente. Se sabe que el coeficiente de transferencia de calor por convección para el flujo de vapor es 11.000 W/m 2·K. a) Si la tubería se cubre con una capa de 25 mm de espesor de aislante ( k = = 0,051 W/m·K) y se expone a aire atmosférico a 25 ºC, determine la transferencia de calor por convección libre al cuarto por unidad de longitud de tubería. ¿Cuál es la temperatura de la superficie exterior del aislante? b) La radiación neta a los alrededores también contribuye a la pérdida de calor de la tubería. Si el aislante tiene una emisividad ε = 0,80 y los alrededores están a 25 ºC, ¿cuál será ahora la pérdida de calor de la tubería por unidad de longitud? Calcule la temperatura de la superficie exterior del aislante en estas condiciones. Datos: Acero inoxidable AISI 302: k (a (a 300 K) = 15,1 W/m·K. aisl ≈ 52 ºC. Solución:: a) q ′ ≈ 50 W/m; T aisl Solución
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Problemas
PROBLEMAS TEMA 9. INTRODUCCIÓN A LA RADIACIÓN Intensidad, potencia emisiva e irradiación 1.
(12.11 del Incropera) Con el fin de iniciar la operación de un proceso se emplea un sensor de movimiento infrarrojo (detector de radiación) para determinar la aproximación de una pieza caliente sobre un sistema transportador. La señal de salida del sensor es proporcional a la rapidez a la que la radiación incide sobre el sensor.
Para Ld = 1 m, ¿en qué posición x1 la señal S 1 del sensor es el 75 % de la señal correspondiente a la posición directamente debajo del sensor, S o ( x = x = 0)? Solución:: x1 = 0,39 m. Solución Radiación de cuerpo negro 2.
(12.17 del Incropera) Suponiendo que la superficie de la Tierra es negra, estime su temperatura si el Sol tiene una temperatura equivalente de cuerpo negro de 5.800 K. Los diámetros del Sol y de la Tierra son 1,39·10 9 y 1,29·107 m, respectivamente, y la distancia entre ellos es 1,5·1011 m. Solución:: T T Solución T = 279 K = 6 ºC.
3.
(12.24 del Incropera) Un elemento de calentamiento radiante eléctrico en forma de anillo se comporta como un cuerpo negro y se mantiene a una temperatura de T h = 3.000 K y se usa en un proceso de producción para calentar una pequeña pieza que tiene un área superficial A p = 0,007 m2. La superficie del elemento de calentamiento se puede suponer negra. Para θ 1 = 30º, θ 2 = 60º, L 60º, L = = 3 m y W = = 30 mm, ¿cuál es la rapidez a la que la energía radiante emitida por el calentador incide sobre la pieza?
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Problemas
Solución:: q = 278,4 W. Solución Emisividad, absortividad, reflectividad y transmisividad 4.
(12.25 del Incropera) La emisividad hemisférica espectral del tungsteno se puede aproximar mediante la distribución que se describe más adelante. Considere un filamento cilíndrico de tungsteno de diámetro D D = = 0,8 mm y longitud L L = 20 mm. El filamento se encierra en un bulbo al vacío y se calienta mediante una corriente eléctrica a una temperatura de estado estable de 2.900 K.
a) ¿Cuál es la emisividad hemisférica total cuando la temperatura del filamento es 2.900 K? b) Suponga que los alrededores están a 300 K. ¿Cuál es la rapidez inicial de enfriamiento del filamento cuando se desconecta la corriente? Suponga que el tungsteno se comporta como una superficie difusa. Propiedades termofísicas del tungsteno: ρ = = 19.300 kg/m3; c p (T ( T = = 2.000 K) = 167 J/kg·K; c p (T (T = = 2.500 K) = 176 J/kg·K. Solución:: a) ε = Solución = 0,352; b) dT / / dt = = -1.996 K/s.
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Problemas 5.
(12.39 del Incropera) Un pequeño objeto difuso y opaco a T s = 400 K se suspende en un horno grande cuyas paredes interiores están a T f = 2.000 K. Las paredes son difusas y grises y tienen una emisividad de 0,20. La emisividad hemisférica espectral para la superficie del objeto se da a continuación.
a) Determine la emisividad y la absortividad total de la superficie del objeto. b) Evalúe el flujo radiante reflejado y el flujo neto radiativo hacia la superficie. c) ¿Cuál es la potencia emisiva espectral a λ = = 2 µ m? m? d) ¿Cuál es la longitud de onda λ 1/2 1/2 para la que la mitad de la radiación total emitida por la superficie está en la región espectral λ > > λ 11/2 /2?
′ = 362.880 W/m2; q rad ′′ , neto = 543.594 W/m2; c) E Solución:: a) ε s = 0,5; α s = 0,6; b) q ′ref Solución c) E λ λ (λ ( λ = 2 µ m) m) = 0,1265 W/m2·µ m; m; d) λ 1/2 m. 1/2 = 10,26 µ m. 6.
(12.55 del Incropera) Considere una superficie difusa opaca cuya reflectividad espectral varía con la longitud de onda como se muestra. La superficie está a 750 K, y la irradiación sobre un lado varía con la longitud de onda como se muestra. El otro lado de la superficie está aislado. ¿Cuáles son la absortividad total y la emisividad de la superficie? ¿Cuál es el flujo neto de calor radiativo hacia la superficie?
′′ , neto = -11.757 W/m2. Solución:: α = Solución = 0,72; ε = = 0,756; q rad Aplicaciones 7.
(12.74 del Incropera) Un procedimiento para medir la conductividad térmica de sólidos a temperaturas elevadas implica la colocación de una muestra en la parte inferior de un horno. La muestra tiene espesor L espesor L y y se coloca en un contenedor cuadrado de lado W cuyos cuyos lados están bien aislados. Las paredes de la cavidad se mantienen a T w, mientras que la superficie inferior de la muestra se mantiene a una temperatura mucho más baja T c al hacer
circular un refrigerante a través del contenedor de la muestra. La superficie superior de la 47
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Problemas
muestra es difusa y gris con una emisividad ε s. Su temperatura T s se mide de manera óptica.
a) Ignorando los efectos de la convección, obtenga una expresión de la cual se pueda evaluar la conductividad térmica de la muestra en términos de las cantidades medidas y conocidas (T (T w, T s, T c, ε s y L). L). Las mediciones se realizan bajo condiciones de estado estacionario. Si T w = 1.400 K, T s = 1.000 K, T c = 300 K, ε s = 0,85 y L y L = = 0,015 m, ¿cuál es la conductividad térmica de la muestra?
& c = 0,1 kg/s, ¿es b) Si W = 0,1 m y el refrigerante es agua con un flujo másico de m razonable suponer una temperatura uniforme T c de la superficie inferior? Solución:: a) k = Solución = 2,93 W/m·K; b) ∆T agua agua = 3,3 K ⇒ Sí es razonable suponer T c uniforme. 8.
(12.78 del Incropera) Un termógrafo es un dispositivo que responde a la potencia radiativa que incide sobre su detector en la región espectral 9-12 µ m. m. El termógrafo proporciona una imagen, por ejemplo del lado de un horno, de la que se puede determinar la temperatura superficial.
a) Para una superficie negra a 60 ºC determine la potencia emisiva para la región espectral 9-12 µ m. m. b) Calcule la potencia radiante (en W) recibida por el termógrafo en el mismo rango (9-12 µ m) m) cuando ve, en una dirección normal, una pequeña área de una pared negra, 200
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Problemas mm2, a T s = 60 ºC. El ángulo sólido ω subtendido por la abertura del termógrafo cuando se ve desde el área objetivo es 0,001 sr. c) Determine la potencia radiante (en W) que recibe el termógrafo para la misma área de pared y ángulo sólido anterior cuando la pared es un material gris, gris , opaco y difuso a T s = 60 ºC, con emisividad 0,70 y los alrededores son negros a T aalr lr = 23 ºC. Solución:: a) E Solución a) E b (9-12) = 144,77 W/m 2; b) qrad = 9,216·10-6 W; c) qrad = 8,08·10-6 W.
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Problemas
PROBLEMAS TEMA 10. INTERCAMBIO DE RADIACIÓN ENTRE SUPERFICIES Factores de forma 1.
(13.1 del Incropera) Determine F Determine F 12 12 y F 21 21 para las siguientes configuraciones con el uso de las relaciones básicas de los factores de forma. No use tablas ni gráficas.
Solución:: a) F Solución a) F 12 y F 21 b) F 12 y F 21 c) F 12 y F 21 d) F 12 12 = 1 y F 21 = 4/3π; b) F 12 = 0,5 y F 21 = 0,25; c) F 12 = 1 y F 21 = 2/ π; d) F 12 = 0,5 y F y F 21 y F 21 f) F 12 y F 21 g) F 12 y F 21 21 = 1/ 2 ; e) F 12 12 = 0,5 y F 21 = 0; f) F 12 = 1 y F 21 = 1/8; g) F 12 = 0,5 y F 21 = 2/π. 2.
(13.4 del Incropera) Una capa metálica hemisférica delgada de diámetro D D = 0,8 m se suspende dentro de un recinto cúbico de 1,5 metros de lado. Determine los factores de forma F forma F 11 y F 33 11, F 22 22 y F 33.
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Problemas
Solución:: F 11 Solución 0,5; F 22 0; F 33 11 = 0,5; F 22 = 0; F 33 = 0,888. 3.
(13.7 del Incropera) Determine el factor de forma F 12 12 de los rectángulos perpendiculares que se muestran en la figura.
Solución: F 12 Solución: 12 = 0,075. Intercambio de radiación de cuerpo negro 4.
(13.15 del Incropera) Un calentador tubular con una superficie interior negra de temperatura uniforme T s = 1.000 K irradia un disco coaxial. Determine la potencia radiante del calentador que incide sobre el disco, q s→1, y la irradiación sobre el disco, G1.
Solución:: q s→1 = 15,6 W; G1 =7.938 W/m2. Solución
