Maestr´ıa en Ingenier´ıa F´ısica
Facultad de Ciencias F´ısico Matem´
aticas - UMSNH
rax - 2012
Ecuaciones de Hamilton
Ismael Cort´es Maldonado
31 de octubre de 2014
v.1.0 (b.1410311158)
¿Qu´e aprenderemos?
1 Descripci´
on de la din´
amica Hamiltoniana
2 Par´
entesis de Poisson
Descripci´
on de la din´
amica Hamiltoniana
Introducci´on
Comenzaremos el estudio de uno de los m´etodos m´
as poderosos de la f´ısica
te´
orica conocido como: Formalismo Hamiltoniano, sin embargo, dicho m´etodo
no es superior a las t´ecnicas Lagrangianas para resolver de forma directa
problemas de mec´
anica cl´
asica.
Desde el punto de vista Hamiltoniano su importancia radica en que proporciona un marco para extensiones te´
oricas en muchos campos de la f´ısica tales
como: Sistemas Din´
amicos, Mec´
anica Estad´ıstica y Teor´ıa de Campos.
Figura : Sir William Rowan Hamilton (1805-1865)
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Descripci´
on de la din´
amica Hamiltoniana
Ecuaciones de Hamilton
Hab´ıamos visto que:
La formulaci´
on de la Mec´
anica a partir del Lagrangiano L(qi , q˙i , t), i = 1, ..., s,
describe el movimiento de un sistema en t´erminos de sus coordenadas y
velocidades generalizadas, lo cual se denomina espacio de configuraci´
on.
Ahora,
Una descripci´
on alternativa del movimiento de un sistema es posible en t´erminos de sus coordenadas generalizadas y de sus momentos conjugados pi , lo
cual se llama espacio de fase (pi , qi ) del sistema.
El espacio de fase es empleado para representar la evoluci´
on de sistemas en
diversas a
´reas de la f´ısica, tales como Mec´
anica Cu´
antica y Sistemas din´
amicos.
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Descripci´
on de la din´
amica Hamiltoniana
Ecuaciones de Hamilton
¿C´
omo transformar la descripci´
on del movimiento desde el espacio de configuraciones al espacio de fase?, i,e: (qi , q˙i , t) → (pi , qi , t).
Consideremos un sistema cuyo Lagrangiano esta dado por: L(qi , q˙i , t). Escribimos el diferencial del Lagrangiano como:
X ∂L
∂L
∂L
dL =
dqi +
q˙i +
dt
(1)
∂q
∂
q
˙
∂t
i
i
i
Por lo que los momentos conjugados asociados a las coordenadas generalizadas {qi } son:
∂L
pi =
= pi (qi , q˙i , t),
i = 1, ..., s
(2)
∂ q˙i
El paso de un conjunto de variables independientes a otro puede efectuarse
por medio de lo que se llama en matem´
aticas: Transformaciones de Legendre.
Por lo que las ecuaciones de Lagrange se pueden escribir como:
d ∂L
∂L
=
dt ∂ q˙i
∂qi
∂L
⇒
p˙i =
∂qi
(3)
(4)
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Descripci´
on de la din´
amica Hamiltoniana
Ecuaciones de Hamilton
Sustituyendo en la Ec. 1
dL =
X
p˙i dqi +
i
X
i
pi dq˙i +
∂L
dt
∂t
lo cual puede expresarse como:
X
∂L
X
X
dL =
p˙i dqi +
d(pi q˙i ) −
q˙i dpi +
dt
∂t
i
i
i
(5)
(6)
es decir,
d
X
i
X
X
∂L
pi q˙i − L =
dt
q˙i dpi −
p˙i dqi −
∂t
i
i
(7)
El lado izquierdo de la Ec. 7 corresponde al diferencial total de una funci´
on de
varias variables, mientras que el lado derecho que contiene los diferenciales
dpi , dqi y dt, indica que los argumentos de esta funci´
on son (pi , qi , t). Si
expresamos las velocidades generalizadas q˙i = q˙i (pi , qi , t), podemos llamar a
esta funci´
on como:
X
X
H(pi , qi , t) ≡
pi q˙i − L =
pi q˙i (pi , qi , t) − L(qi , q˙i (pi , qi , t), t)
(8)
i
i
La funci´
on H(pi , qi , t) se llama el Hamiltoniano del sistema y es generado
por las transformaciones de Legendre.
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Descripci´
on de la din´
amica Hamiltoniana
Ecuaciones de Hamilton
Luego, tomando la diferencial se tiene:
X
X
∂L
dt
dH =
q˙i dpi −
p˙i dqi −
∂t
i
i
por lo que el diferecial total del Hamiltoniano es
X ∂H
X ∂H
∂H
dH =
dqi +
dpi +
dt
∂q
∂p
∂t
i
i
i
(9)
(10)
Si comparamos estas dos u
´ltimas ecuaciones tenemos que:
∂H
(11)
q˙i =
∂pi
∂H
p˙i = −
(12)
∂qi
∂H
∂L
= −
(13)
∂t
∂t
Las ecuaciones 11 y 12 se conocen como ecuaciones can´
onicas de Hamilton
y constituyen un conjunto de 2s ecuaciones de movimiento de primer orden.
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Descripci´
on de la din´
amica Hamiltoniana
Ecuaciones de Hamilton
Las ecuaciones 11 y 12 son ecuaciones diferenciales de primer orden con respecto al tiempo para qi y pi , i = 1, 2, ..., s. Las soluciones qi (t) y pi (t) de
las ecuaciones de Hamilton requieren 2s constantes de integraci´
on relacionadas con las s condiciones iniciales qi (0) para las coordenadas y las pi (0) s
condiciones iniciales para los momentos.
La din´
amica del sistema en un tiempo t se pueden representar como un
punto (qi (t), pi (t)) en el espacio de fase euclidiano 2s−dimensional (qi , pi ),
donde cada coordenada corresponde a un eje cartesiano de ese espacio. Las
soluciones de las ecuaciones de Hamilton corresponden a una trayectoria
(qi (t), pi (t)) en el espacio de fase 2s−dimensional (qi , pi ) que pasan por el
punto (qi (0), pi (0)).
p_i
(q_i(t),p_i(t))
(q_i(0),p_i(0))
q_i
Figura : Trayectoria en el espacio fase
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Descripci´
on de la din´
amica Hamiltoniana
Ecuaciones de Hamilton
Note que el Hamiltoniano H es equivalente a la funci´
on de energ´ıa expresada
en variables del espacio fase
X ∂L
E(qi , q˙i ) =
q˙i − L(qi , q˙i , t)
(14)
∂ q˙i
i
X
=
pi q˙i − L = H(qi , pi , t)
en coordenadas (qi , pi )(15)
i
Por otro lado,
dH
(qi , pi , t)
dt
=
=
∂H X
+
∂t
i
∂H X
+
∂t
i
X ∂H
∂H
q˙i +
p˙i
∂qi
∂pi
i
∂H ∂H X ∂H ∂H
−
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i
(16)
(17)
∂H
(18)
∂t
Esto es, si el Hamiltoniano no depende expl´ıcitamente del tiempo, entonces
H(qi , pi ) es una constante.
=
. Un sistema caracterizado por un Lagrangiano siempre tiene un Hamiltoniano asociado.
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Descripci´
on de la din´
amica Hamiltoniana
Ecuaciones de Hamilton
En la formulaci´
on Lagrangiana, el movimiento de un sistema con s grados
de libertad se describe en t´erminos de s ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en el tiempo para las coordenadas generalizadas qi ,
(i = 1, 2, ..., s); mientras que en la fomulaci´
on Hamiltoniana, la din´
amica del
sistema se expresa medinate 2s ecuaciones diferenciables de primer orden con
respecto al tiempo: s ecuaciones para las coordenadas qi y s ecuaciones para
los momentos conjugados pi .
Para construir el Hamiltoniano a trav´es de la formulaci´
on Lagrangiana se
siguen los siguientes pasos:
I
Dado un sistema de coordenadas generalizadas, qi se construye la
funci´
on Lagrangiana L(qi , q˙i , t).
I
Los momentos conjugados est´
an definidos como funciones de qi , q˙i y t
por medio de la ecuaciones pi = ∂∂L
q˙i
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Descripci´
on de la din´
amica Hamiltoniana
Ecuaciones de Hamilton
I
P
Usamos la ecuaci´
on H(pi , qi , t) = i pi , q˙i − L para construir el
Hamiltoniano. En este paso encontraremos una funcion mixta de qi , q˙i
y t.
I
Se invierten las ecuaciones pi =
(q, p, t).
I
Aplicando los resultados del paso anterior para eliminar de H las q˙ de
tal forma que se pueda expresar s´
olo en funci´
on de (q, p, t).
∂L
∂ q˙i
para obtener las q˙i en funci´
on de
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Par´
entesis de Poisson
Par´entesis de Poisson
Consideremos una funci´
on f (qi , pi , t) definida en el espacio fase (qi , pi ),
i = 1, ..., s de un sistema. La derivada total con respecto al tiempo de esta
funci´
on es:
X ∂f
df
∂f ∂f
=
q˙i +
p˙i +
(19)
dt
∂ q˙i
∂pi
∂t
i
Las ecuaciones de Hamilton para este sistema son:
∂H
q˙i =
∂pi
∂H
p˙i = −
∂qi
Sustituyendo estas ecuaciones en la Ec 19, tenemos:
X ∂f ∂H
df
∂f ∂H ∂f
=
−
+
dt
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
∂t
i
(20)
(21)
(22)
Se define el par´entesis de Poisson de H con f como la operaci´
on
[f, H] ≡
X ∂f ∂H
∂f ∂H
−
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i
(23)
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Par´
entesis de Poisson
Par´entesis de Poisson
Luego podemos escribir
df
∂f
= [f, H] +
(24)
dt
∂t
Si f es una cantidad conservada en el espacio fase, o una primera integral del
movimiento, entonces se tiene que df
= 0 y f satisface
dt
∂f
=0
(25)
∂t
Si adicionalmente, la integral de movimiento no depende expl´ıcitamente del
tiempo, tenemos que [f, H] = 0.
[f, H] +
En general, dadas dos funciones f (qi , pi , t) y g(qi , pi , t) en el espacio fase, se
puede definir el par´entesis de Poisson de f y g como la operaci´
on
X ∂f ∂g
∂f ∂g
[f, g] ≡
(26)
−
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i
El par´entesis de Poisson puede ser considerado como una operaci´
on entre
dos funciones definidas en un espacio algebraico que asigna otra funci´
on en
ese espacio.
13 / 1
Par´
entesis de Poisson
Par´entesis de Poisson
El par´entesis de Poisson es un operador que posee las siguientes propiedades:
1.
2.
3.
4.
5.
[f, g] = −[g, f ], [f, f ] = 0
(antisimetr´ıa.)
[f, c] = 0,
si
c = cte.
[af1 + bf2 , g] = a[f1 , g] + b[f2 , g],
a, b = ctes.
(operador lineal)
[f1 f2 , g] = f1 [f2 , g] + f2 [f1 , g]
(no asociativo)
[f, [g, h]] + [g, [h, f ]] + [h, [f, g]] = 0 (suma de permutaciones c´ıclicas
es cero). Esta identidad es conocida como la identidad de Jacobi
Adicionalmente, puesto que los pi y los qi representan coordenadas independientes en el espacio de fase, tenemos que para toda f
[qi , f ]
=
=
X ∂qi ∂f
∂qi ∂f
−
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
k
X
∂f
∂f
=
δik
∂pk
∂pi
(27)
(28)
k
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Par´
entesis de Poisson
Par´entesis de Poisson
[pi , f ]
=
=
X ∂pi ∂f
∂pi ∂f
−
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
k
X
∂f
∂f
=−
−
δik
∂qk
∂qi
(29)
(30)
k
Notemos que si f = pi , o
´ f = qj se tiene:
[qi , qj ] = 0,
[pi , pj ] = 0,
[qi , pj ] = δij
Ahora, utilizando los par´entesis de Poisson se tiene:
∂H
q˙i =
= [qi , H]
∂pi
(31)
(32)
∂H
= [pi , H].
(33)
∂qi
En Mec´
anica Cu´
antica, la operaci´
on [A, B] = AB − BA se denomina el
p˙i = −
conmutador de los operadores A y B. En part´ıcular, [qi , pj ] = i~δij .
15 / 1
Par´
entesis de Poisson
Teorema de Poisson
Si f y g son ambas constantes de movimiento, entonces [f, g] = cte.
Demostraci´
on
Si f y g son constantes de movimiento, entonces satisfacen
df
dg
= 0,
= 0.
dt
dt
ahora calculemos
∂
d
[f, g] =
[f, g] + [[f, g], H].
dt
∂t
donde la derivada parcial es:
h ∂f i h ∂g i
∂
[f, g] =
, g + f,
.
∂t
∂t
∂t
Luego, usando la identidad de Jacobi
[[f, g], H] = −[[g, H], f ] − [[H, f ], g].
Sustituyendo estas dos u
´ltimas expresiones en la Ec. 35 se tiene
h ∂f i h ∂g i
d
[f, g] =
, g + f,
− [[g, H], f ] − [[H, f ], g]
dt
∂t
∂t
h ∂f i h ∂g i
=
, g + f,
+ [f, [g, H]] + [[f, H], g]
∂t
∂t
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
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Par´
entesis de Poisson
Teorema de Poisson
=
i h ∂g
i
+ [f, H], g + f,
+ [g, H]
∂t
∂t
h df i h dg i
, g + f,
dt
dt
0
⇒
[f, g] = cte
=
=
h ∂f
(40)
(41)
(42)
(43)
El Teorema de Poisson puede ser u
´til para encontrar una nueva constante
de movimiento en un sistema, si se conocen dos de ellas.
La condici´
on de integrabilidad de un sistema puede expresarse en el
lenguaje de los par´entesis de Poisson, de la siguiente manera:
Un sistema con s grados de libertad es integrable si existen s funciones
independientes Ii (q1 , ..., qs , p1 , ...ps ), con i = 1, ..., s cuyos par´entesis de
Poisson mutuos son cero,
[Ii , Ij ] = 0,
para
i, j = 1, ...s
(44)
Luego, Ii (q1 , ..., qs , p1 , ..., pj ) = Ci , donde cada Ci es una constante, debido
a la propiedad 2 de los par´entesis de Poisson. En sistemas conservativos, el
Hamiltoniano H(qi , pi ) ser´
a una de las constantes de movimiento.
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Par´
entesis de Poisson
Pueden consultar la siguiente bibliograf´ıa:
I
Classical Mechanics (3rd Edition) Herbert Goldstein, Charles P. Poole
Jr., John L. Safko. Cap. 8 y Cap 9.5
I
Landau, Lifshitz, Vol. 1 Mechanics. Cap. 8
I
Classical Dynamics of Particles and Systems, S. Thornton, J. Marion.
Cap. 7.10.
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Maestr´ıa en Ingenier´ıa F´ısica
Facultad de Ciencias F´ısico Matem´
aticas - UMSNH
rax - 2012
Ecuaciones de Hamilton
Ismael Cort´es Maldonado
31 de octubre de 2014