M A T E K
Content
Gradien Vektor
Kita perhatikan suatu medan scalar di runag yang diberikan oleh fungsi bernilai scalar (P) = (lihat pasal 8.1). Kita tahu bahwa turunan parsial pertama dari
adalah laju perubahan dari f searah dngan sumbu koordinat. Rasanya aneh membagi perhatian pada ketiga arah itu, dan kita boleh menanyakan lagi laju perubahan dari f dalam sembarang arah. Gagasan sederhana ini membawa perhatian pada suatu turunan berarah.
Turunan Berarah
Untuk mendefinisikan turunan berarah kita pilih suatu titik P di ruang dan suatu arah pada P yang diberikan oleh vector b. Andaikan C suatu sinar dari P dalam arah b, dan andaikan Q sebuah titik pada C, yang jaraknya dari P adalah s. maka jika limit
(1) dan Q )
( s = jarak antara P
Ada (ujud), ini disebut turunan berarah dari f pada P dalam arah b. Jelaslah ini adalah laju perubahan f di P dalam arah b. Kedua notasi Dbf dan df/ds adalah biasa, tetapi Dbf lebih unggul menunujukan arah. Dalam cara ini sekarang ada tak berhingga banyaknya turunan berarah dari f pada P, masing-masing berkaitan dengan arah tertentu. Tetapi bila diberikan sistem koordinat
cartesius, kita dapat menyatakan setiap turunan seperti itu dalam turunan parsial pertama dari f di P sebagai
Gambar 1. Turunan Berarah
Berikut. Jika P mempunyai vektor posisi po dan sekarang kita mengasumsikan b vektor satuan maka sinar C dapat dinyatakan dalam bentuk
(2)
r(s) = x(s)i + y(s)j + z(s)k = po + sb
Jadi Dbf =df/ds adalah turunan fungsi f[x(s), y(s), z(s)] terhadap panjang busur s dari C. Jadi, dengan memisalkan bahwa f mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dan dengan menerapkan aturan rantai ( teorema 1 dalam bagian terakhir ) kita peroleh
(3)
Dengan tanda aksen menyatakan turunan terhadap s (yang dihitung pada s=0 )
Gradien
Sekarang dari (2), kita peroleh
r’ = x’i + y’j + z’k = b
dengan menyulihkan persamaan ini dengan (3) menyarankan kita memperkenalkan vector
(4)
Yang disebut gradien fungsi skalar f; maka kita dapat menulis (3) dalam bentuk hasil kali dalam (hasil kali titik):
(5)
Perhatian jika arah yang diberikan oleh vektor a dari sembarang panjang (≠ 0), maka
(5’)
Dengan memperkenalkan operator differensial
(dibaca nabla atau ”del”) kita dapat menulis
Notasi f untuk gradien ini sering digunakan dalam teknik. Jika b tertntu mengarah sumbu x positif, maka b = i, dan
Demikian pula, turunan berarah dalam arah y positif adalah ∂f/∂y, dan seterusnya.
CONTOH
1. Turunan berarah Carilah turunan berarah dari f ( x, y, z) = 2x 2 + 3y2 + z2 di titik P ( 2, 1, 3), searah dengan vektor a = i – 2k. Penyelesaian. Kita peroleh
Grad f= 4xi +6yj +2zk,dan atau P, grad f = 8i +6j + 6k.
Persamaan ini dan ( 5’ ),
Tanda negatif menunjukan bahwa f berkurang pada titik P searah a.
Kita perhatikan suatu medan scalar di runag yang diberikan oleh fungsi bernilai scalar (P) = (lihat pasal 8.1). Kita tahu bahwa turunan parsial pertama dari
adalah laju perubahan dari f searah dngan sumbu koordinat. Rasanya aneh membagi perhatian pada ketiga arah itu, dan kita boleh menanyakan lagi laju perubahan dari f dalam sembarang arah. Gagasan sederhana ini membawa perhatian pada suatu turunan berarah.
Turunan Berarah
Untuk mendefinisikan turunan berarah kita pilih suatu titik P di ruang dan suatu arah pada P yang diberikan oleh vector b. Andaikan C suatu sinar dari P dalam arah b, dan andaikan Q sebuah titik pada C, yang jaraknya dari P adalah s. maka jika limit
(1) dan Q )
( s = jarak antara P
Ada (ujud), ini disebut turunan berarah dari f pada P dalam arah b. Jelaslah ini adalah laju perubahan f di P dalam arah b. Kedua notasi Dbf dan df/ds adalah biasa, tetapi Dbf lebih unggul menunujukan arah. Dalam cara ini sekarang ada tak berhingga banyaknya turunan berarah dari f pada P, masing-masing berkaitan dengan arah tertentu. Tetapi bila diberikan sistem koordinat
cartesius, kita dapat menyatakan setiap turunan seperti itu dalam turunan parsial pertama dari f di P sebagai
Gambar 1. Turunan Berarah
Berikut. Jika P mempunyai vektor posisi po dan sekarang kita mengasumsikan b vektor satuan maka sinar C dapat dinyatakan dalam bentuk
(2)
r(s) = x(s)i + y(s)j + z(s)k = po + sb
Jadi Dbf =df/ds adalah turunan fungsi f[x(s), y(s), z(s)] terhadap panjang busur s dari C. Jadi, dengan memisalkan bahwa f mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dan dengan menerapkan aturan rantai ( teorema 1 dalam bagian terakhir ) kita peroleh
(3)
Dengan tanda aksen menyatakan turunan terhadap s (yang dihitung pada s=0 )
Gradien
Sekarang dari (2), kita peroleh
r’ = x’i + y’j + z’k = b
dengan menyulihkan persamaan ini dengan (3) menyarankan kita memperkenalkan vector
(4)
Yang disebut gradien fungsi skalar f; maka kita dapat menulis (3) dalam bentuk hasil kali dalam (hasil kali titik):
(5)
Perhatian jika arah yang diberikan oleh vektor a dari sembarang panjang (≠ 0), maka
(5’)
Dengan memperkenalkan operator differensial
(dibaca nabla atau ”del”) kita dapat menulis
Notasi f untuk gradien ini sering digunakan dalam teknik. Jika b tertntu mengarah sumbu x positif, maka b = i, dan
Demikian pula, turunan berarah dalam arah y positif adalah ∂f/∂y, dan seterusnya.
CONTOH
1. Turunan berarah Carilah turunan berarah dari f ( x, y, z) = 2x 2 + 3y2 + z2 di titik P ( 2, 1, 3), searah dengan vektor a = i – 2k. Penyelesaian. Kita peroleh
Grad f= 4xi +6yj +2zk,dan atau P, grad f = 8i +6j + 6k.
Persamaan ini dan ( 5’ ),
Tanda negatif menunjukan bahwa f berkurang pada titik P searah a.
