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CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

FEDERICO MILANO

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA, AUTOMÁTICA Y COMUNICACIONES ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES UNIVERSIDAD DE CASTILLA - LA MANCHA

CAMPUS UNIVERSITARIO S/N E-13071 CIUDAD REAL ESPAÑA

CURSO 2010/11

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

CONTENIDOS
1. INTRODUCCIÓN 2. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LOS SISTEMAS ELECTROMAGNÉTICOS 3. CIRCUITOS ELÉCTRICOS VERSUS CIRCUITOS MAGNÉTICOS 4. FLUJO, INDUCTANCIA Y ENERGÍA 5. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES MAGNÉTICOS 6. EXCITACIÓN DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS 7. PÉRDIDAS 8. CIRCUITO EQUIVALENTE DE UNA BOBINA CON NÚCLEO DE HIERRO 9. FUERZA Y PAR EN CAMPOS MAGNÉTICOS 10. ENERGÍA 11. DETERMINACIÓN DE LA FUERZA MAGNÉTICA: ENERGÍA Y COENERGÍA 11.1. EXCITACIÓN SIMPLE 11.2. EXCITACIÓN MÚLTIPLE

2

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

INTRODUCCIÓN



FORMULACIÓN RIGUROSA ⇒ ECUACIONES DE MAXWELL SIMPLIFICACIONES:



1)

$VARIABLE EN EL TIEMPO ! CORRIENTE ELÉCTRICA: # !NO VARIABLE EN EL ESPACIO "
REDUCCIÓN: PROBLEMA TRIDIMENSIONAL ⇒ PROBLEMA UNIDIMENSIONAL

2)

3

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LOS SIST. ELECTROMAGNÉTICOS
Líneas de flujo magnético Longitud magnética media ! c Sección transversal Ac

i v
+ –

N espiras
CIRCUITO MAGNÉTICO:


Núcleo magnético Permeabilidad µ



NÚCLEO MAGNÉTICO DE GRAN PERMEABILIDAD ⇒ FLUJO RESTRINGIDO AL NÚCLEO SECCIÓN UNIFORME

4

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LOS SIST. ELECTROMAGNÉTICOS


EXCITADO POR N ESPIRAS. CORRIENTE DE INTENSIDAD i FUERZA MAGNETOMOTRIZ ≡ ℑ = N·i (A-v)
&A-v# CAMPO MAGNÉTICO ' H $ ! % m "







RELACIÓN H ~ i :

! H " d! = N " i


(LEY DE AMPERE)

SI CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME:

! H " d! = H " !
5

c

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LOS SIST. ELECTROMAGNÉTICOS


RELACIÓN B ~ H ⇒ CARACTERÍSTICA MATERIAL

B ! INDUCCIÓN MAGNÉTICA (T =
B = µH


Wb ) 2 m

&H# µ ≡ PERMEABILIDAD MAGNÉTICA $ ! %m"

µ = µ0·µr µ0 =

4! & H # !≡ PERMEABILIDAD DEL VACÍO 7$ m" 10 %

6

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LOS SIST. ELECTROMAGNÉTICOS
µr ≡ PERMEABILIDAD RELATIVA (2000 - 80000)


FLUJO MAGNÉTICO ≡ φ (WEBER) RELACIÓN B ~ ! :



! s B # dS = " (LÍNEAS CERRADAS)


(FLUJO DISPERSO NULO) ⇒ ECUACIÓN ESCALAR φ = B·S

7

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LOS SIST. ELECTROMAGNÉTICOS
ENTREHIERRO:

NÚCLEO

LÍNEAS DEL FLUJO MAGNÉTICO

EFECTO DE BORDE



AUMENTO SECCIÓN DEL ENTREHIERRO VARIOS MÉTODOS EMPÍRICOS PARA CUANTIFICAR TÍPICAMENTE IGNORADO: ÁREA NÚCLEO = ÁREA ENTREHIERRO





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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LOS SIST. ELECTROMAGNÉTICOS
Líneas de flujo magnético Longitud magnética media ! c

i v
+ –

g

Entrehierro Permeabilidad µ0 Núcleo magnético Permeabilidad µ

N espiras
! ⇒ ℑ ≡ N·i = Hc·c + Hg·g A

Bc = Bg =

Bg Bc ℑ= c + g µ µ0
9

µ >>> µ0

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LOS SIST. ELECTROMAGNÉTICOS
EN TÉRMINOS DE FLUJO: ℑ=φ ℜ ≡ RELUCTANCIA
& 1# ℘ ≡ PERMEANCIA $ = ! % '" !c g +φ = φ·ℜc + φ·ℜg µ0 A c µA c

µ0 << µ ⇒ ℜc << ℜg ⇒ DESPRECIABLE

10

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

CIRCUITOS ELÉCTRICOS VS. CIRCUITOS MAGNÉTICOS

e:

J: σ: E: i: V:

CIRCUITO ELÉCTRICO f.e.m. densidad de corriente conductividad campo eléctrico corriente eléctrica potencial eléctrico

CIRCUITO MAGNÉTICO ℑ: f.m.m. B : inducción permeabilidad µ: H : campo magnético flujo magnético φ: Vm: potencial magnético

11

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

CIRCUITOS ELÉCTRICOS VS. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
CIRCUITO ELÉCTRICO CIRCUITO MAGNÉTICO Primer lema de Kirchhoff Σi = 0 Σφ = 0 Segundo lema de Kirchhoff Σe = ΣR·i Σℑ = Σℜ·φ ! ! Resistencia: R = Reluctancia: ℜ = !S µS Resistencias en serie: RT = ΣRi Resistencias en paralelo: 1 1 =! RT Ri Reluctancias en serie: ℜT = Σℜi Reluctancias en paralelo: 1 1 =! "T "i

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

TENSIÓN INDUCIDA
CAMPO MAGNÉTICO VARIABLE ! CAMPO ELÉCTRICO VARIABLE (FARADAY)

e = "N

d# d! =" dt dt

¡SIGNO!

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CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

FLUJO, INDUCTANCIA Y ENERGÍA
FLUJO CONCATENADO SI B-H LINEAL:
Wb ! v ! (H, ) i A

λ ≡ N·φ (Wb-v)

L≡

$B UNIFORME ! ADEMÁS, SI # !A CONSTANTE " c

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

FLUJO, INDUCTANCIA Y ENERGÍA
N2 µH N ! B ! Ac 2 µA c L= = = N·Ac· =N· H! i ! ! N

$APROX. LINEALIDAD B - H ! µ LINEAL: # !EFECTO NÚCLEO DESPRECIABLE FRENTE ENTREHIERRO "

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

FLUJO, INDUCTANCIA Y ENERGÍA
CASO PARTICULAR: CIRCUITO MAGNÉTICO CON ENTREHIERRO Y DOS ARROLLAMIENTOS ℑ = N·i = N1·i1 + N2·i2

Bc i1 v1
+ –

Entrehierro

i2
N1 espiras N2 espiras
+ –

v2

Núcleo magnético Permeabilidad µ Longitud magnética media ! c Sección transversal Ac

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

FLUJO, INDUCTANCIA Y ENERGÍA
SI SE DESPRECIA LA RELUCTANCIA DEL NÚCLEO (µ >>> µ0) φ = (N1·i1 + N2·i2)·
µ0 A c g

φ: FLUJO EN EL NÚCLEO RESULTANTE APLICANDO SUPERPOSICIÓN (HIPÓTESIS LINEAL):


FLUJO CONCATENADO POR LA BOBINA 1 (≡ λ1):
2 λ1 = N1·φ1 = N1·φ = N1 !

µ0 A c µ A ! i1 + N1·N2· 0 c ! i2 = L11i1 + L12i2 g g

L11: AUTOINDUCTANCIA BOBINA 1 L12: INDUCTANCIA MUTUA ENTRE BOBINAS 1 Y 2

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

FLUJO, INDUCTANCIA Y ENERGÍA



FLUJO CONCATENADO POR LA BOBINA 2 (≡ λ2): λ2 = N2·φ2 = N2·φ = N1·N2·
µ0 A c µ A ! i1 + N2 ! 0 c ! i2 = L21i1 + L22i2 2 g g

L22: AUTOINDUCTANCIA BOBINA 2 L21: INDUCTANCIA MUTUA ENTRE BOBINAS 2 Y 1 L12 = L21

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

FLUJO, INDUCTANCIA Y ENERGÍA
ENERGÍA (LINEAL) (FARADAY) e = p = i·e = i· ΔW =

d! d di dL = (Li) = L + i dt dt dt dt

d! ≡ POTENCIA INSTANTÁNEA (W) dt

!t

t2
1

pdt = !

"2 "1

id" ≡ CAMBIO DE ENERGÍA MAGNÉTICA ALMACENADA (J)
ΔW =

#!

!2
1

id! =

#!

!2
1

! 1 2 d! = ! 2 " !2 1 L 2L

(

)

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

FLUJO, INDUCTANCIA Y ENERGÍA
ENERGÍA TOTAL ALMACENADA PARA UN λ DADO: W=
1 2 1 2 λ = L·i 2L 2

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PROPIEDADES DE LOS MATERIALES MAGNÉTICOS
CONTEXTO CONVERTIDORES ELECTROMECÁNICOS: 1º) ↑↑ DENSIDAD FLUJO CON F.M.M. RELATIVAMENTE ↓
$% FUERZAS MAGNÉTICAS ! ↑↑ B ⇒ # !% ENERGÍA ALMACENADA "

2º)

DEFINEN UN CAMINO PARA CAMPO MAGNÉTICO
$& ACOPLAMIENTO ENTRE BOBINAS ! TRAFO ⇒ # !% I " exc





MÁQUINA ROTATIVA ⇒ DIRECCIONA FLUJO ⇒ ↑PAR
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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PROPIEDADES DE LOS MATERIALES MAGNÉTICOS
BÁSICAMENTE, HIERRO Y ALEACIONES DE HIERRO ACTUACIÓN:


FUERZA MAGNÉTICA EXTERIOR ⇒ ALINEACIÓN MOMENTOS MAGNÉTICOS CON EL CAMPO EXTERIOR ⇒ SUPERPOSICIÓN EFECTOS: CAMPO MAGNÉTICO EXTERIOR + MOMENTOS MAGNÉTICOS DIPOLO = ↑↑B



SATURACIÓN: TOTALIDAD MOMENTOS MAGNÉTICOS ALINEADOS MAGNETISMO REMANENTE: DESAPARICIÓN CAMPO MAGNÉTICO EXTERIOR ⇒ INDUCCIÓN MAGNÉTICA NETA SENTIDO CAMPO



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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PROPIEDADES DE LOS MATERIALES MAGNÉTICOS

$NO LINEAL (SATURACIÓN) ! RELACIÓN B – H: # !MULTIVALOR (HISTÉRESIS ) "

INDEFINICIÓN ANALÍTICA ⇒ REPRESENTACIÓN GRÁFICA A PARTIR DE ENSAYOS EXPERIMENTALES

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PROPIEDADES DE LOS MATERIALES MAGNÉTICOS

CURVAS B–H PARA ACERO GRANO ORIENTADO
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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PROPIEDADES DE LOS MATERIALES MAGNÉTICOS CURVA DE MAGNETIZACIÓN DC O NORMAL

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

EXCITACIÓN DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS
A. CORRIENTE CONTINUA

! I V
+ –

N espiras

R
! metros
V⇒I=
V ⇒ ℑ = N·I ∼ φ R
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S

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

EXCITACIÓN DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS
B. CORRIENTE ALTERNA v=

2 Vcosωt
d! ; dt
SI R = 0

v = R·i + N· φ=

1 2V vdt = sen !t = "max sen !t N# N!
φ = φmaxcos(ωt – 90) V=

2! Nfφmax = 4,44Nfφmax 2

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ℑ =ℜ ℜ·φ
MÁQUINAS ELÉCTRICAS CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

EXCITACIÓN DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS

Vc.a. ⇒ φ∼



i

PARA PRODUCIR CAMPO MAGNÉTICO: INTENSIDAD EXCITACIÓN (iϕ) NO LINEALIDAD CURVA B-H ⇒ iϕ NO SENOIDAL

1.

B & '% " $ ! RESOLUCIÓN GRÁFICA CURVA B-H H & i( " #

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

EXCITACIÓN DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS

(LEY DE AMPERE REFERIDA A VALORES EFICACES ( i2 )) ! Iϕ =
H! !c N
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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

EXCITACIÓN DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS
INTENSIDAD DE EXCITACIÓN: 2. REPRESENTACIÓN EN V.A. V·Iϕ = 4,44·N·f·φmax·Iϕ V·Iϕ = 4,44 N·f·Bcmax·Ac·
H! !c N

V·Iϕ = 4,44·f·Ac·c·Bcmax·H V·Iϕ = 4,44·f·Vol·Bcmax·H Pa =

& VA # 4,44 ! f ! B cmax ! H $ ! "c % kg "

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

EXCITACIÓN DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS

31

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

EXCITACIÓN DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS
INTENSIDAD MAGNETIZANTE (≡ iϕ):
• •



F.M.M. PARA PRODUCIR FLUJO MAGNÉTICO POTENCIA ASOCIADA A LA ENERGÍA ALMACENADA EN EL CAMPO MAGNÉTICO



POTENCIA:
• •

ACTIVA: PÉRDIDAS REACTIVA: VARIACIÓN CÍCLICA (CON FRECUENCIA) DE ENERGÍA ALMACENADA EN EL NÚCLEO

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PÉRDIDAS EN CIRCUITOS MAGNÉTICOS
DOS CAUSAS: 1. CORRIENTES PARÁSITAS O DE FOUCAULT (I2R)


MATERIAL MAGNÉTICO ⇒ CONDUCTOR ELÉCTRICO ⇒ CIRCULACIÓN CORRIENTES INTERIORES ⇒ EFECTO DESMAGNETIZANTE LÁMINAS AISLADAS ELÉCTRICAMENTE
2 PROPORCIONALES A f2, Bcmax





2. CURVA HISTÉRESIS


iϕ(t) ⇒ RECORRIDO CÍCLICO CURVA HISTÉRESIS

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PÉRDIDAS EN CIRCUITOS MAGNÉTICOS PÉRDIDAS POR HISTÉRESIS

W = ! i # d" =

Hc ! c ! N AcNdBc = Volc ! Hc dB c

PROPORCIONALES A f, Vol, ÁREA CICLO
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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PÉRDIDAS EN CIRCUITOS MAGNÉTICOS

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CIRCUITO EQUIVALENTE DE UNA BOBINA CON NÚCLEO DE HIERRO
V∼ → φ∼ → i
.

V

!

HIPÓTESIS: CIRCUITO MAGNÉTICO LINEAL

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CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

CASO a) NÚCLEO SIN PÉRDIDAS
$= Ni! # Ni! = =µ S ! " ! µS

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

CIRCUITO EQUIVALENTE DE UNA BOBINA CON NÚCLEO DE HIERRO
d" N2 S di ! v =N =µ dt ! dt di ! N2 L= "v =L # dt
PFE = 0 i! v(t)
+ –

i" +
.

V

N

"

v(t) –

L ! = Xµ

#

I! "

38

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

CIRCUITO EQUIVALENTE DE UNA BOBINA CON NÚCLEO DE HIERRO
CASO b) NÚCLEO CON PÉRDIDAS PARA Iϕ NO FORMARÁ 90º CON V ⇔ POTENCIA ACTIVA NECESARIA VENCER LAS PÉRDIDAS



!

IFE V I!

"
! ! ! I! = IFE + Iµ
! I ≡ COMPONENTE DE PÉRDIDAS EN EL HIERRO (MAGNÉTICAS) !FE Iµ ≡ CORRIENTE MAGNETIZANTE (ORIGINA LA ℑ)

39

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

CIRCUITO EQUIVALENTE DE UNA BOBINA CON NÚCLEO DE HIERRO
I" + V – RFE IFE L ! = Xµ Iµ

IFE EN FASE CON V ⇒ RFE ≡ RESISTENCIA DE PÉRDIDAS EN EL HIERRO REACTANCIA X µ =

V = !L Iµ PFE = I R FE
2 FE

V2 = R FE

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FUERZA Y PAR EN CAMPOS MAGNÉTICOS
LEY DE LORENTZ:
F = q E + v !B




(

)

SI EL CAMPO ES PURAMENTE ELÉCTRICO:
F = qE



CAMPOS MAGNÉTICOS:
F = q v !B

(

)

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

FUERZA Y PAR EN CAMPOS MAGNÉTICOS
DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA:
& N # F = J'B $ 3 ! %m "




INTENSIDAD UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA:
F = I ! !B

( )

(N)

ÚTIL:
$ELEMENTOS CON CORRIENTE ELÉCTRICA ! FUERZA ACTÚA # !GEOMETRÍA SIMPLE "

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

FUERZA Y PAR EN CAMPOS MAGNÉTICOS
CONVERTIDORES ELECTRO-MECÁNICOS: F ⇒ MATERIAL MAGNÉTICO HIPÓTESIS: ESTRUCTURAS RÍGIDAS ≡ NO DEFORMABLES FUERZA O PAR NETO EJEMPLO - MÁQUINA ROTATIVA: ALINEAMIENTO DE CAMPOS

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PAR ELECTROMAGNÉTICO
DOS PUNTOS DE VISTA: A) CIRCUITO ACOPLADO B) DOS GRUPOS DE DEVANADOS QUE PRODUCEN CAMPOS MAGNÉTICOS EN EL ENTREHIERRO MISMAS CONCLUSIONES

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PAR ELECTROMAGNÉTICO
CIRCUITO ACOPLADO –

Lss = CONSTANTE Lrr = CONSTANTE Lsr(θ) = LsrCos(θ)
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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PAR ELECTROMAGNÉTICO
λs = Lssis + Lsr(θ)ir λr = Lsr(θ)is + Lrrir

&) s # & L ss $ !=$ $ ! $ $ ) r ! $L sr (() % " %
v s = Rs is + v r = Rr ir +

L sr (()# &is # !'$ ! ! $ ! L rr ! $ir ! " % "

d (! s ) dt d (! r ) dt

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PAR ELECTROMAGNÉTICO
di s di d! + LsrCos(θ)· r - LsrirSen(θ)· dt dt dt

vs = Rsis + Lss· vr = Rrir + Lrr· COENERGÍA (W’)
W' =

di dir d! + LsrCos(θ)· s - LsrisSen(θ)· dt dt dt

1 1 2 L ssi2 + L rr ir + L sr isir Cos(!) s 2 2

T=

#W ' #W ' d! = " #!mec #! d!mec

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PAR ELECTROMAGNÉTICO
T = -pLsrisirSen(θ) = -pLsrisirSen(pθmec) p ≡ NÚMERO DE PARES DE POLOS PAR ANTAGONISTA QUE TIENDE A ALINEAR LOS CAMPOS MAGNÉTICOS DEL ESTATOR Y DEL ROTOR

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PAR ELECTROMAGNÉTICO
CAMPO MAGNÉTICO –

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PAR ELECTROMAGNÉTICO
ℑsr = H·g
2 2 Fsr = Fs + Fr2 + 2FsFr Cos(! sr )

Hmax =

Fsr g

DENSIDAD DE COENERGÍA =

µ0 2 H 2
2

2 µ 0 Hmax µ 0 & Fsr # DENSIDAD MEDIA DE COENERGÍA = ' = $ ! 2 2 4 % g " 2

µ (F % µ !D! 2 W ' = 0 & sr # " Volumen = 0 Fsr 4 ' g $ 4g

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PAR ELECTROMAGNÉTICO
D ≡ DIÁMETRO MEDIO DEL ENTREHIERRO  ≡ LONGITUD AXIAL DEL ENTREHIERRO g ≡ LONGITUD RADIAL DEL ENTREHIERRO
W' = µ 0 "D! 2 (Fs + Fr2 + 2FsFr Cos(! sr )) 4g
µ "D! $W ' =# 0 FsFr Sen(! sr ) $! sr 2g

T=

PARA p PARES DE POLOS:
T = #p µ 0 "D! FsFr Sen(! sr ) 2g

51

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

PAR ELECTROMAGNÉTICO
FsSen(δsr) = FsrSen(δr) FrSen(δsr) = FsrSen(δs)
µ 0 "D! FsFsr Sen(! s ) 2g µ 0 "D! Fr Fsr Sen(!r ) 2g

T = #p

T = #p

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

ENERGÍA
MÉTODO DE LA ENERGÍA (PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN ENERGÍA)
i + e – SISTEMA QUE ALMACENA ENERGÍA MAGNÉTICA (SIN PÉRDIDAS) f, (T) + x, (!) –

dW dx = e !i " f ! dt dt

(CRITERIO MOTOR)

dW = e·i·dt – f·dx dW = i·dλ – f·dx

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

ENERGÍA
APLICADO A SISTEMAS ELECTROMECÁNICOS:
ENERGÍA ELÉCTRICA ENERGÍA MECÁNICA ! ENERGÍA ALMACENADA PÉRDIDAS (CALOR)

=

+

+

PÉRDIDAS: (MODELO)


EFECTO JOULE: RESISTENCIA EXTERIOR ROZAMIENTO: DISPOSITIVO MECÁNICO EXTERIOR HISTÉRESIS: SE DESPRECIA e·i·dt = dWe = dWmec + dWalm





54

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

ENERGÍA
CASO PARTICULAR: EXCITACIÓN SIMPLE
Fuente eléctrica

" i R !, e
– +

x f
Fuente mecánica

v

+ –

Armadura sin masa Núcleo magnético

Bobina sin pérdidas

e=

d! ⇒ dWe = i·dλ dt

ENTREHIERRO ⇒ ℜg >>> ℜc ⇒ ENERGÍA ALMACENADA ENTREHIERRO HIPÓTESIS MODELO: B-H LINEAL

55

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

ENERGÍA
λ = L(x)·i dWalm = i·dλ – f·dx
SISTEMA SIN PÉRDIDAS ⇒ (λ, x) ⇒ Walm ¡¡INDEPENDIENTE DEL CAMINO!! CAMINO 1: DIFÍCIL DE ANALIZAR (λ(x))

! !0 Walm(!0, x0) 1 2b 2a x0 x

dWalm = i·dλ – f·dx

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

ENERGÍA
$MISMO RESULTADO ! CAMINO 2: # !FÁCIL DE ANALIZAR "
Walm =

! 2a dWalm + ! 2b dWalm
dλ = 0, λ = 0, f = 0 ⇒ dx = 0

2a) 2b)

! 2a dWalm = 0

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

ENERGÍA
(LINEAL) ⇒

Walm (! 0 , x 0 ) = #

!0 0

i(!, x 0 )d! = #

!0 0

! 1 !2 d! = " 0 L(x 0 ) 2 L(x 0 )

W = ! H ( dB

' J $ % 3" &m #

58

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

DETERMINACIÓN DE LA FUERZA MAGNÉTICA
CASO PARTICULAR: EXCITACIÓN SIMPLE dWalm(λ, x) = i·dλ - f·dx Walm(λ, x) dWalm(λ, x) = IDENTIFICANDO:

!Walm !Walm d" + dx !" !x

i=

"Walm (!, x ) "!
x = CONSTANTE

f=

# "Walm (!, x ) "x
! = CONSTANTE

OBTENCIÓN FUERZA (INTENSIDAD) ⇒ COENERGÍA (≡ W’)

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

DETERMINACIÓN DE LA FUERZA MAGNÉTICA
W’(i, x) ≡ i·λ – W(λ, x)

! (!,i) W W’ i
dW’(i, x) ≡ d(i·λ) – dW(λ, x) dW’(i, x) ≡ λ·di + f·dx
60

(LINEAL)
MÁQUINAS ELÉCTRICAS CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

DETERMINACIÓN DE LA FUERZA MAGNÉTICA
W’(i, x) dW’(i, x) = IDENTIFICANDO:

!W ' !W ' di + dx !i !x

"=

!W ' (i, x ) !i
x = CONSTANTE
i0 0

f=

!W ' (i, x ) !x
1 2
i = CONSTANTE
2 ! L(x 0 )! i0

W' =

#

"(i, x 0 )di =

#

i0 0

L(x 0 )! i'!di' =

W’ = ! B ( dH

' J $ % 3" &m #

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

DETERMINACIÓN DE LA FUERZA MAGNÉTICA (EXCITACIÓN MÚLTIPLE)
CASO PARTICULAR: EXCITACIÓN DOBLE

"1 "2

+ + -

i1 i2 SISTEMA QUE ALMACENA ENERGÍA MAGNÉTICA (SIN PÉRDIDAS)
W = W(λ1, λ2, θ) dW(λ1, λ2, θ) = i1·dλ1 + i2·dλ2 – T·dθ

T + ! -

62

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

DETERMINACIÓN DE LA FUERZA MAGNÉTICA (EXCITACIÓN MÚLTIPLE)
"W "W "W ·dλ1 + ·dλ2 + ·dθ "! "!1 "! 2

dW = IDENTIFICANDO:

#W ($1, $ 2 , ") "W (!1, ! 2 , #) "W (!1, ! 2 , #) = !T = i1; = i2 ; #" "!1 "! 2
SISTEMA SIN PÉRDIDAS ⇒ ENERGÍA INDEPENDIENTE DEL CAMINO DE INTEGRACIÓN

63

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

DETERMINACIÓN DE LA FUERZA MAGNÉTICA (EXCITACIÓN MÚLTIPLE)
!1 !10 Walm(!10, !20, "0) 3 1 "0 2 "
dW(λ1, λ2, θ) = i1·dλ1 + i2·dλ2 – T·dθ

!20

!2

64

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

DETERMINACIÓN DE LA FUERZA MAGNÉTICA (EXCITACIÓN MÚLTIPLE)
CAMINO 1: dλ1 = 0 ⇒ ! i1d"1 = 0 dλ2 = 0 ⇒ ! i2d" 2 = 0 λ1 = 0, λ2 = 0 ⇒ T = 0 ⇒ ! Td" = 0 CAMINO 2: dλ1 = 0 ⇒ ! i1d"1 = 0

65

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

DETERMINACIÓN DE LA FUERZA MAGNÉTICA (EXCITACIÓN MÚLTIPLE)
" 20

λ2 ⇒

!0

i2 ("1 = 0, " 2 , # = #0 )d" 2

θ = θ0 ⇒ ! Td" = 0 CAMINO 3: λ1 ⇒

!

" 10 0

i1("1, " 2 = " 20 , # = #0 )d"1

dλ2 = 0 ⇒ ! i2d" 2 = 0 θ = θ0 ⇒ ! Td" = 0

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

DESPEJANDO

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

DETERMINACIÓN DE LA FUERZA MAGNÉTICA (EXCITACIÓN MÚLTIPLE)
W(λ10, λ20, θ0) =

!0

" 20

i2 ("1 = 0, " 2 , # = #0 )d" 2 +

!

" 10 0

i1("1, " 2 = " 20 , # = #0 )d"1

HIPÓTESIS: LINEALIDAD, RELACIÓN λ ∼ i: Lij = Lij(θ)
&1 = L11 % i1 + L12 % i2 $ ! ! ! & 2 = L 21 % i1 + L 22 % i2 # ! ! ! L12 = L 21 "

1 $ i1 = % (L 22 % (1 & L12 % ( 2 ) ! D ! ! #i = 1 % (& L % ( + L % ( ) 21 1 11 2 !2 D ! ! "D ' L11 % L 22 & L12 % L 21

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MÁQUINAS ELÉCTRICAS

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA

DETERMINACIÓN DE LA FUERZA MAGNÉTICA (EXCITACIÓN MÚLTIPLE)
" 20 ! 10 1 L11" 2 1 ·L11· !2 + d" 2 + $ # (L 22 # !1 " L12 ! 20 )d!1 = 20 0 D D 2D 1 L ·L22· !2 - 12 ·λ10·λ20 10 2D D

W(λ10, λ20, θ0) =

!0

COENERGÍA: dW'(i1, i2, θ) = λ1·di1 + λ2·di2 + T·dθ W’(i10, i20, θ0) =

!0

i 20

# 2 (i1 = 0, i2 , " = "0 )di2 +

!

i10 0

# 1 (i1, i2 = i20 , " = " 0 )di1

W’(i1, i2, θ) =

1 1 2 ·L11· i1 + ·L22· i2 + L12·i1·i2 2 2 2

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