Matematica in Economie

Published on March 2017 | Categories: Documents | Downloads: 36 | Comments: 0 | Views: 302

of 109

Content

Monica Alice APRODU
MATEMATICI APLICATE
ˆ
IN
ECONOMIE
13 noiembrie 2005
Materialul de fat ¸˘ a reprezint ˘ a o introducere ˆın aparatul matematic
necesar interpret ˘ arii fenomenelor economice tot mai complexe s¸i este
destinat student ¸ilor anilor ˆınt ˆ ai din ˆınv˘ at ¸˘ amˆ antul economic.
Materialul este ˆımp˘ art ¸it ˆın s¸ase capitole.
Capitolul 1 este dedicat studiului unor propriet ˘ at ¸i de baz˘ a ale spa-
tiului liniar (vectorial). O mare parte din disciplinele matematice : Alge-
bra, Analiza matematic˘ a, Programarea matematic˘ a, Cercet ˘ arile ope-
rationale, etc folosesc propriet ˘ at ¸i din teoria spat ¸iilor liniare. Majoritatea
aplicat ¸iilor din economie se plaseaz˘ a ˆın spat ¸iul vectorial ﬁnit.
Capitolul 2 prezint ˘ a elemente esent ¸iale de programare liniar ˘ a. Un
loc important printre disciplinele matematice care s-au impus ˆın op-
timizarea activit ˘ at ¸ii economice ˆıl ocup˘ a programarea liniar ˘ a. Modelul
liniar acoper ˘ a o clas˘ a larg˘ a de probleme practice : organizare, ames-
tec, transport, investit ¸ii, decizii.
Capitolul 3 trateaz˘ a not ¸iuni de Analiz˘ a matematic˘ a, instrument ma-
tematic intens utilizat ˆın aplicat ¸ii. De exemplu, cererea unui produs pe
piat ¸a concurent ¸ial ˘ a depinde de pret ¸urile sale la divers¸i furnizori. Deci,
cantitatea cerut ˘ a este o funct ¸ie de mai multe variabile reprezentate de
aceste pret ¸uri. Derivatele part ¸iale ale acestei funct ¸ii determin˘ a viteza
cu care se modiﬁc˘ a cererea atunci cˆ and pret ¸ul cerut de un furnizor
variaz˘ a.
Caopitolul 4 prezint ˘ a succint not ¸iunile Teoriei probabilit ˘ at ¸ilor s¸i apli-
catiile ei ˆın analiza fenomenelor economice cu caracter aleator, urma-
rind cercetarea legit ˘ at ¸ilor respective.
Capitolul 5 este o introducere ˆın Statistica matematic˘ a, ce adˆ ances¸te
realitatea desf ˘ as¸ur ˘ arii viet ¸ii economice, in variate probleme cu caracter
aleator, preluˆ and instrumentul probabilistic,
V
Cuprins
1 ALGEBR
˘
A LINIAR
˘
A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 STRUCTURI ALGEBRICE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 SPAT¸ II VECTORIALE. SUBSPAT¸ II VECTORIALE. . . . . . . 2
1.2.1 EXERCIT¸ II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 LINIAR DEPENDENT¸
˘
A, LINIAR INDEPENDENT¸
˘
A,
BAZ
˘
A S¸ I DIMENSIUNE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 EXERCIT¸ II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 APLICAT¸ II LINIARE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 EXERCIT¸ II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 PROGRAMARE LINIAR
˘
A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 PROBLEMA DE FOLOSIRE EFICIENT
˘
A A
RESURSELOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 FORME ALE MODELULUI MATEMATIC PENTRU O
PROBLEM
˘
A DE PROGRAMARE LINIAR
˘
A. . . . . . . . . . . . . 24
2.3 PROGRAM DE BAZ
˘
A, PROGRAM OPTIM, TEOREMA
FUNDAMENTAL
˘
A A PROGRAM
˘
ARII LINIARE. . . . . . . . . . 27
2.4 FORMULE DE SCHIMBARE A BAZEI PENTRU
DETERMINAREA UNEI NOI SOLUT¸ II DE BAZ
˘
A. . . . . . . . 29
2.4.1 METODA SIMPLEX DE REZOLVARE A
PROBLEMEI DE PROGRAMARE LINIAR
˘
A.
ALGORITMUL SIMPLEX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.2 TEHNICI ALE BAZEI ARTIFICIALE PENTRU
DETERMINAREA UNUI PROGRAM INIT¸ IAL DE
BAZ
˘
A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 DUALITATE
ˆ
IN PROGRAMAREA LINIAR
˘
A. . . . . . . . . . . . . 47
2.5.1 EXERCIT¸ II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 ELEMENTE DE ANALIZ
˘
A MATEMATIC
˘
A. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1 SPAT¸ IUL METRIC R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 S¸ IRURI DE PUNCTE DIN SPAT¸ IUL METRIC R
n
. . . . . . . . 57
3.3 FUNCT¸ II REALE DE n VARIABILE REALE. . . . . . . . . . . . . 57
3.3.1 LIMITA FUNCT¸ IILOR REALE DE n VARIABILE
REALE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.2 CONTINUITATEA FUNCT¸ IILOR REALE DE n
VARIABILE REALE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 DERIVATE PART¸ IALE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5 DIFERENT¸ IABILITATEA FUNCT¸ IEI REALE DE n
VARIABILE REALE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5.1 EXERCIT¸ II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6 EXTREME LOCALE PENTRU FUNCT¸ IA REAL
˘
A DE n
VARIABILE REALE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6.1 EXERCIT¸ II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.7 AJUST
˘
ARI. METODA CELOR MAI MICI P
˘
ATRATE. . . . . . 70
4 ELEMENTE DE TEORIA PROBABILIT
˘
AT¸ ILOR S¸ I
STATISTIC
˘
A MATEMATIC
˘
A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1 C
ˆ
AMP DE EVENIMENTE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.1 EVENIMENTE. OPERAT¸ II CU EVENIMENTE. . . . . 75
4.2 DEFINIT¸ IA CLASIC
˘
A A PROBABILIT
˘
AT¸ II. . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 C
ˆ
AMP DE EVENIMENTE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4 C
ˆ
AMP DE PROBABILITATE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.1 DEFINIT¸ IA AXIOMATIC
˘
A A PROBABILIT
˘
AT¸ II. . . . . . 78
4.4.2 EVENIMENTE INDEPENDENTE.
PROBABILITATE CONDIT¸ IONAT
˘
A. . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5 VARIABILE ALEATOARE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5.1 FUNCT¸ IA DE REPARTIT¸ IE A UNEI VARIABILE
ALEATOARE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5.2 TIPURI DE VARIABILE ALEATOARE. . . . . . . . . . . . . 81
4.6 OPERAT¸ II CU VARIABILE ALEATOARE DISCRETE. . . . . 82
4.7 CARACTERISTICI NUMERICE ALE VARIABILELOR
ALEATOARE DISCRETE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.8 FUNCT¸ IA CARACTERISTIC
˘
A A UNEI VARIABILE
ALEATOARE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.8.1 EXERCIT¸ II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5 ELEMENTE DE STATISTIC
˘
A MATEMATIC
˘
A. . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1 NOT¸ IUNEA DE SELECT¸ IE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 REPARTIT¸ IA SELECT¸ IEI. FUNCT¸ IA DE REPARTIT¸ IE A
SELECT¸ IEI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
VIII
5.3 VALORI TIPICE DE SELECT¸ IE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.1 EXERCIT¸ II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6 TESTE DE EVALUARE ORIENTATIVE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1 TEST 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 TEST 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3 TEST 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4 TEST 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Bibliograﬁe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
IX
1 ALGEBR
˘
A LINIAR
˘
A.
1.1 STRUCTURI ALGEBRICE.
ˆ
In aceast ˘ a sect ¸iune sunt reamintite not ¸iunile de lege de compozit ¸ie,
grup, inel, corp. Fie M o mult ¸ime nevid˘ a. Cˆ and se deﬁnes¸te not ¸iunea
de lege de compozit ¸ie pe M, nu este necesar s˘ a preciz˘ am natura ele-
mentelor mult ¸imii, sau modul efectiv ˆın care act ¸ioneaz˘ a legea pe pro-
dusul cartezian M M. Ins˘ a, se dovedes¸te a ﬁ interesant studiul legi-
lor de compozitie avˆ and anumite propriet ˘ at ¸i. Mult ¸imea M ˆınzestrat ˘ a cu
una sau mai multe legi de compozit ¸ie care satisfac anumite propriet ˘ at ¸i
speciﬁce se numes¸te structur ˘ a algebric˘ a. Structurile algebrice studiate
ˆın liceu sunt : monoidul, grupul, inelul s¸i corpul.
Deﬁnit¸ie. O mult ¸ime nevid˘ a M este monoid ˆın raport cu o lege de
compozit ¸ie deﬁnit ˘ a pe M:
M M → M
(x , y) →x ∗ y
dac˘ a sunt satisf ˘ acute urm˘ atoarele axiome :
1) (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z), ∀x, y, z ∈ M
2) ∃e ∈ M astfel ˆıncˆ at e ∗ x = x ∗ e, ∀x ∈ M.
Deﬁnit¸ie. Un cuplu (G, ∗) format cu o mult ¸ime nevid˘ a G s¸i o lege de
compozit ¸ie pe G :
G G → G
(x , y) →x ∗ y
se numes¸te grup dac˘ a (G, ∗) este monoid s¸i ˆın plus este satisf ˘ acut ˘ a
axioma : ∀x ∈ G, ∃x

∈ G astfel ˆıncˆ at x

∗ x = x ∗ x

= e. Mai mult,
dac˘ a : x∗y = y ∗x, ∀x, y ∈ G, atunci G se numes¸te grup comutativ sau
abelian.
Deﬁnit¸ie. O mult ¸ime M ˆımpreun˘ a cu dou˘ a legi de compozit ¸ie :
M M → M
(x , y) →x +y
s¸i
M M →M
(x , y) →xy
se numes¸te inel dac˘ a :
1)(M, +) este grup abelian ;
2)(M, .) este monoid ;
3)ˆınmult ¸irea este distributiv˘ a fat ¸˘ a de adunare :
x(y +z) = xy +xz, ∀x, y, z ∈ M.
Deﬁnit¸ie. Un inel K se numes¸te corp dac˘ a 0 ,= 1 s¸i pentru orice
element x ∈ K, x ,= 0 ∃x
−1
∈ K astfel ˆıncˆ at x
−1
x = xx
−1
= 1. Corpul
K se numes¸te comutativ dac˘ a ˆınmult ¸irea sa este comutativ˘ a.
1.2 SPAT¸ II VECTORIALE. SUBSPAT¸ II VECTORIALE.
Deﬁnit¸ie. Fie V o mult ¸ime nevid˘ a s¸i K un corp comutativ. Pe mult ¸imea
V se deﬁnesc dou˘ a operat ¸ii :
- o operat ¸ie intern˘ a, numit ˘ a adunare :
” + ” : V V → V
(x , y) →x +y
- o operat ¸ie extern˘ a, numit ˘ a ˆınmult ¸ire cu scalari :
”.” : K V → V
(α , y) →αy.
V se numes¸te spat ¸iu vectorial peste corpul K s¸i se noteaz˘ a V/K, dac˘ a
relativ la adunare s¸i ˆınmult ¸irea cu salari din K, satisface urm˘ atoarele
condit ¸ii :
I) (V, +) este grup comutativ ;
II)∀v, w ∈ V, ∀α, β ∈ K :
1. (α +β)v = αv +βv,
2. α(v +w) = αv +αw,
3. α(βv) = (αβ)v,
2
4. 1.v = v, 1 ∈ K.
Elementele lui V se numesc vectori iar elementele lui K se numesc
scalari. V se numes¸te spat ¸iu vectorial real cˆ and K = R.
Deﬁnit¸ie. Fie V/K un spat ¸iu vectorial s¸i S ⊆ V o submult ¸ime nevid˘ a
ˆın V . S se numes¸te subspat ¸iu vectorial al spat ¸iului vectorial V dac˘ a,
relativ la operat ¸iile de adunare s¸i ˆınmult ¸ire cu scalari induse din V ˆın
S, acesta devine spat ¸iu vectorial.
Propozitia 1. Fie V/K un spat ¸iu vectorial. Se demonstreaz˘ a c˘ a S ⊆ V
este subspat ¸iu vectorial dac˘ a s¸i numai dac˘ a: ∀α ∈ K, ∀u, v ∈ S,
(1.1)
_
a) u +v ∈ S
b) αu ∈ S,
dac˘ a s¸i numai dac˘ a: ∀α ∈ K, ∀u, v ∈ S,
(1.2) ∀α, β ∈ K, ∀u, v ∈ S, αu +βv ∈ S.
Solut ¸ie. Presupunem c˘ a S este subspat ¸iu vectorial ˆın V . Atunci, din
deﬁnit ¸ia subspat ¸iului vectorial, pe S avem deﬁnite operat ¸iile din V ,
adic˘ a relat ¸iile (1.1) sunt veriﬁcate.
Presupunem c˘ a relat ¸iile (1.1) sunt veriﬁcate s¸i demonstr ˘ am (1.2).
Folosind condit ¸iile ((1.1) (b) s¸i (a)) avem:
∀α ∈ K, ∀u ∈ S ⇒αu ∈ S
∀α ∈ K, ∀v ∈ S ⇒ βv ∈ S
_
⇒αu +βv ∈ S.
R˘ amˆ ane de demonstrat c˘ a relat ¸ia (1.2) implic˘ a relat ¸iile (1.1). Pentru
aceasta se observ˘ a c˘ a pentru α = 1 s¸i β = −1 ˆın (1.2), obt ¸inem:
u − v ∈ S, ∀u, v ∈ S, adic˘ a S este subgrup aditiv al grupului (V, +).
As¸adar (S, +) este grup abelian.
Consider ˆ and α oarecare s¸i β = 0 ˆın (1.2), obt ¸inem: αu ∈ S, ∀u ∈ S,
adic˘ a operat ¸ia extern˘ a este deﬁnit ˘ a pe S.
Deoarece S ⊆ V , condit ¸iile (II) din deﬁnit ¸ia spat ¸iului vectorial sunt
veriﬁcate pentru elementele lui S.
Cu aceasta, am demonstrat c˘ a S este spat ¸iu vectorial ˆın raport cu
operat ¸iile induse din V s¸i mai mult, S este subspat ¸iu vectorial ˆın V .
Q.E.D.
3
Observat¸ie. Fie V/K un spat ¸iu vectorial s¸i v
1
, ..., v
n
∈ V , n vectori.
Mult ¸imea :
L(v
1
, ..., v
n
) = ¦v =
n

i=1
α
i
v
i
, α
i
∈ K, ∀ i = 1, . . . , n¦
este un subspat ¸iu vectorial ˆın V s¸i se numes¸te subspat ¸iul generat de
vectorii v
1
, ..., v
n
.
1.2.1 EXERCIT¸ II.
Exercitiu 1. Consider ˘ ammult ¸imea R
2
pe care se deﬁnesc urm˘ atoarele
perechi de operat ¸ii :
a)
”+” (x
1
, x
2
) + (y
1
, y
2
) := (x
1
+y
1
, x
2
+y
2
), ∀ (x
1
, x
2
), (y
1
, y
2
) ∈ R
2
”.” α(x
1
, x
2
) := (αx
1
, αx
2
), ∀ (x
1
, x
2
) ∈ R
2
, ∀ α ∈ R ;
b)
”+” (x
1
, x
2
) + (y
1
, y
2
) := (x
1
, x
2
+y
2
), ∀ (x
1
, x
2
), (y
1
, y
2
) ∈ R
2
”.” α(x
1
, x
2
) := (αx
1
, αx
2
), ∀ (x
1
, x
2
) ∈ R
2
, ∀ α ∈ R ;
c)
”+” (x
1
, x
2
) + (y
1
, y
2
) := (x
1
+y
1
, 0), ∀ (x
1
, x
2
), (y
1
, y
2
) ∈ R
2
”.” α(x
1
, x
2
) := (αx
1
, αx
2
), ∀ (x
1
, x
2
) ∈ R
2
, ∀ α ∈ R ;
d)
”+” (x
1
, x
2
) + (y
1
, y
2
) := (x
1
+y
1
, x
2
+y
2
), ∀ (x
1
, x
2
), (y
1
, y
2
) ∈ R
2
”.” α(x
1
, x
2
) := (0, 0), ∀ (x
1
, x
2
) ∈ R
2
, ∀ α ∈ R ;
S˘ a se stabileasc˘ a, dintre perechile de operat ¸ii de mai sus, care anume
deﬁnesc pe R
2
o structur ˘ a de spat ¸iu vectorial real.
Solut ¸ie.
a) Veriﬁc˘ am condit ¸ia (I) din deﬁnit ¸ia spat ¸iului vectorial :
- lege de compozit ¸ie : ∀ (x
1
, x
2
), (y
1
, y
2
) ∈ R
2
,
(x
1
, x
2
) + (y
1
, y
2
) := (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
) ∈ R
2
deoarece x
1
+ y
1
∈ R s¸i
x
2
+y
2
∈ R.
- asociativitatea : ∀ (x
1
, x
2
), (y
1
, y
2
), (z
1
, z
2
) ∈ R
2
,
4
((x
1
, x
2
) + (y
1
, y
2
)) + (z
1
, z
2
) = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
) + (z
1
, z
2
) = ((x
1
+
y
1
) + z
1
, (x
2
+ y
2
) + z
2
) = (x
1
+ (y
1
+ z
1
), x
2
+ (y
2
+ z
2
)) = (x
1
, x
2
) +
((y
1
, y
2
) + (z
1
, z
2
))
- element neutru : ∃ (e
1
, e
2
) = (0, 0) ∈ R
2
astfel ˆıncˆ at (0, 0) +
(x
1
, x
2
) = (x
1
, x
2
) + (0, 0) = (x
1
, x
2
), ∀(x
1
, x
2
) ∈ R
2
.
- element simetrizabil : ∀ (x
1
, x
2
) ∈ R
2
, ∃(x

1
, x

2
) = (−x
1
, −x
2
) ∈ R
2
,
astfel ˆıncˆ at (−x
1
, −x
2
) + (x
1
, x
2
) = (x
1
, x
2
) + (−x
1
, −x
2
) = (0, 0).
- comutativitatea : ∀ (x
1
, x
2
), (y
1
, y
2
) ∈ R
2
, (x
1
, x
2
) + (y
1
, y
2
) = (x
1
+
y
1
, x
2
+y
2
) = (y
1
+x
1
, y
2
+x
2
) = (y
1
, y
2
) + (x
1
, x
2
)
Veriﬁc˘ am condit ¸iile (II) din deﬁnit ¸ia spat ¸iului vectorial :
Pentru ˆınceput se observ˘ a c˘ a ∀ α ∈ Rs¸i ∀(x
1
, x
2
) ∈ R
2
, α(x
1
, x
2
) :=
(αx
1
, αx
2
) ∈ R
2
deoarece αx
1
∈ R, αx
2
∈ R.
1) ∀ (x
1
, x
2
) ∈ R
2
, ∀ α, β ∈ R, (α + β)(x
1
, x
2
) = ((α + β)x
1
, (α +
β)x
2
) = (αx
1
+ βx
1
, αx
2
+ βx
2
) = (αx
1
, αx
2
) + (βx
1
, βx
2
) = α(x
1
, x
2
) +
β(x
1
, x
2
).
2) ∀ (x
1
, x
2
), (y
1
, y
2
) ∈ R
2
, ∀α ∈ R, α((x
1
, x
2
) + (y
1
, y
2
)) = α(x
1
+
y
1
, x
2
+y
2
) = (α(x
1
+y
1
), α(x
2
+y
2
)) = (αx
1
+αy
1
, αx
2
+αy
2
) = α(x
1
, x
2
)+
α(y
1
, y
2
).
3) ∀ α, β ∈ R, ∀ (x
1
, x
2
) ∈ R
2
, α(β(x
1
, x
2
)) = α(βx
1
, βx
2
) =
(α(βx
1
), α(βx
2
)) = ((αβ)x
1
, (αβ)x
2
) = (αβ)(x
1
, x
2
).
4) ∀ (x
1
, x
2
) ∈ R
2
, 1.(x
1
, x
2
) = (x
1
, x
2
).
Deoarece toate condit ¸iile din deﬁnit ¸ia spat ¸iului vectorial sunt veri-
ﬁcate, putem spune c˘ a R
2
ˆımpreun˘ a cu operat ¸iile de mai sus devine
spat ¸iu vectorial real.
b) Analog cazului precedent, se demonstreaz˘ a ca (R
2
, +) este grup.
Veriﬁc˘ am axioma de comutativitate : ∀(x
1
, x
2
), (y
1
, y
2
) ∈ R
2
, (x
1
, x
2
) +
(y
1
, y
2
) = (x
1
, x
2
+y
2
), (y
1
, y
2
) +(x
1
, x
2
) = (y
1
, y
2
+x
2
). As¸adar, aceast ˘ a
axioma ne ﬁind veriﬁcat ˘ a, R
2
ˆımpreun˘ a cu operat ¸iile de la punctul (b)
nu este spatiu vectorial.
c) Nu admite element neutru fat ¸˘ a de adunare.
d) Nu este veriﬁcat ˘ a condit ¸ia (II-4) din deﬁnit ¸ia spat ¸iului vectorial.
Q.E.D.
Exercitiu 2. Veriﬁcat ¸i fat ¸˘ a de care dintre urm˘ atoarele perechi de operat ¸ii
R
3
devine spat ¸iu vectorial real : ∀ (x
1
, y
1
, z
1
), (x
2
, y
2
, z
2
) ∈ R
3
, ∀α ∈ R
1. (x
1
, y
1
, z
1
) + (x
2
, y
2
, z
2
) = (0, 0, 0) s¸i α(x, y, z) = (αx, αy, αz),
2. (x
1
, y
1
, z
1
) + (x
2
, y
2
, z
2
) = (0, 0, 0) s¸i α(x, y, z) = (0, 0, 0).
5
Exercitiu 3. Fie mult ¸imea n-uplurilor de numere reale
R
n
= ¦(x
1
, x
2
, ..., x
n
)/x
i
∈ R¦
pe care se deﬁnesc dou˘ a operat ¸ii :
” + ” (x
1
, x
2
, ..., x
n
) + (y
1
, y
2
, ..., y
n
) := (x
1
+y
1
, ..., x
n
+y
n
)
”.” α(x
1
, x
2
, ..., x
n
) := (αx
1
, αx
2
, ..., αx
n
),
∀ (x
1
, x
2
, ..., x
n
), (y
1
, y
2
, ..., y
n
) ∈ R
n
, ∀ α ∈ R. S˘ a se arate c˘ a R
n
, cu
aceste dou˘ a operat ¸ii, devine spat ¸iu vectorial real.
Exercitiu 4. Consider ˘ am mult ¸imea V = ¦x ∈ R/x > 0¦ pe care se
deﬁnesc dou˘ a operat ¸ii :
: x y = xy
¸ : α ¸x = x
α
, ∀α ∈ R, ∀ x, y ∈ V
S˘ a se veriﬁce dac˘ a V ˆımpreun˘ a cu cele dou˘ a operat ¸ii este spat ¸iu vec-
torial real.
Solut ¸ie.
Veriﬁc˘ am condit ¸ia (I) din deﬁnit ¸ia spat ¸iului vectorial :
- lege de compozit ¸ie : consider ˘ am x, y ∈ V ⇒ x, y ∈ R, x > 0, y > 0.
Atunci x y = xy ∈ R s¸i xy > 0. As¸adar x y ∈ V .
- asociativitatea : ∀ x, y, z ∈ V , (xy)z = (xy)z = x(yz) = x(yz)
- element neutru : ∃ e = 1 ∈ V astfel ˆıncˆ at 1 x = x 1 = x, ∀x ∈ V
- element simetrizabil : ∀ x ∈ V , ∃x

=
1
x
∈ V , astfel ˆıncˆ at x
1
x
=
1
x
x = 1
-comutativitatea : ∀ x, y ∈ V , x y = xy = yx = y x.
Deci (V, ) este grup comutativ.
Veriﬁc˘ am condit ¸iile (II) din deﬁnit ¸ia spat ¸iului vectorial :
1)∀ α, β ∈ R, ∀ x ∈ V , (α +β) ¸x = x
α+β
= x
α
.x
β
= α ¸x β ¸x
2)∀ α ∈ R, ∀ x, y ∈ V , α ¸ (x y) = α ¸ (xy) = (xy)
α
= x
α
y
α
=
α ¸x α ¸y
3)∀ α, β ∈ R, ∀ x ∈ V , α¸(β¸x) = α¸(x
β
) = (x
β
)
α
= x
αβ
= (αβ)¸x
4)∀ x ∈ V , 1 ¸x = x.
As¸adar V ˆımpreuna cu cele dou˘ a operat ¸ii devine spat ¸iu vectorial
real. Q.E.D.
6
Exercitiu 5. Pe mult ¸imea R se deﬁnesc operat ¸iile :
: x y = x +y −2
¸ : α ¸x = αx + 2(1 −α), ∀ α ∈ R, ∀ x, y ∈ R
S˘ a se veriﬁce dac˘ a R cu cele dou˘ a operat ¸ii este spat ¸iu vectorial real.
Exercitiu 6. Consider ˘ am grupul abelian (G, +) (diferit de grupul nul) s¸i
K un corp oarecare. Care dintre urm˘ atoarele operat ¸ii externe :
1)α.x = x, ∀ x ∈ G, ∀ α ∈ K
2)α.x = 0, ∀ x ∈ G, ∀ α ∈ K,
confer ˘ a lui G o structur ˘ a de spat ¸iu vectorial.
Solut ¸ie.
Indicat ¸ie : Pentru punctul (a) se veriﬁc˘ a toate axiomele (II) din
deﬁnit ¸ia spat ¸iului vectorial, mai put ¸in :
(II1) : ∀ α, β ∈ K, ∀ x ∈ G, (α + β)x = x, αx + βx = x + x ⇒
(α +β)x ,= αx +βx.
Pentru punctul (b) se observ˘ a c˘ a nu se veriﬁc˘ a axioma (II4) :∀ x ∈
G,
1.x = 0 ,= x.
Q.E.D.
Exercitiu 7. S˘ a se arate c˘ a mult ¸imea matricilor /
3×2
(R) are o struc-
tur ˘ a de spat ¸iu vectorial real ˆın raport cu operat ¸iile de adunare a matri-
cilor s¸i ˆınmult ¸ire cu scalar real.
Solut ¸ie. Fie A =
_
_
a
11
a
12
a
21
a
22
a
31
a
32
_
_
= (a
ij
)
i=1,3;j=1,2
,
B =
_
_
b
11
b
12
b
21
b
22
b
31
b
32
_
_
= (b
ij
)
i=1,3;j=1,2
∈ /
3×2
(R).
Evident, A + B =
_
_
a
11
+b
11
a
12
+b
12
a
21
+b
21
a
22
+b
22
a
31
+b
31
a
32
+b
32
_
_
= (a
ij
+ b
ij
)
i=1,3;j=1,2
∈
/
3X2
(R).
Asociativitatea adun˘ arii se deduce din :
A + (B + C) = (a
ij
)
ij
+ (b
ij
+ c
ij
)
ij
= (a
ij
+ (b
ij
+ c
ij
))
ij
= ((a
ij
+
b
ij
) + c
ij
)
ij
= (a
ij
+b
ij
)
ij
+ (c
ij
)
ij
= (A +B) + C
7
Elementul neutru la adunare este matricea : O =
_
_
0 0
0 0
0 0
_
_
iar A+O =
(a
ij
+ 0) = (0 +a
ij
) = O +A = A, ∀A ∈ /
3×2
(R)
∀A =
_
_
a
11
a
12
a
21
a
22
a
31
a
32
_
_
∈ /
3×2
(R), elementul simetrizabil este matricea
−A =
_
_
−a
11
−a
12
−a
21
−a
22
−a
31
−a
32
_
_
∈ /
3×2
(R)
A + (−A) = (a
ij
+ (−a
ij
)) = (0)
ij
= O,
−A +A = (−a
ij
+a
ij
) = (0)
ij
= O
Comutativitatea adun˘ arii :
∀ A, B ∈ /
3X2
(R),
A+B = (a
ij
)
ij
+(b
ij
)
ij
= (a
ij
+b
ij
)
ij
= (b
ij
+a
ij
)
ij
= (b
ij
)
ij
+(a
ij
)
ij
=
B +A
As¸adar, /
3×2
(R) fat ¸˘ a de adunarea matricilor devine grup comuta-
tiv.
Pentru operat ¸ia extern˘ a, s¸i anume ˆınmult ¸irea matricilor cu scalari :
∀ A ∈ /
3X2
(R), ∀α ∈ R
αA = (αa
ij
)
ij
=
_
_
αa
11
αa
12
αa
21
αa
22
αa
31
αa
32
_
_
∈ /
3×2
(R),
veriﬁc˘ am condit ¸iile (II1-II4) :
1) ∀ A ∈ /
3X2
(R), ∀ α, β ∈ R
(α +β)A = (α +β)(a
ij
)
ij
= (αa
ij
+βa
ij
)
ij
= (αa
ij
)
ij
+ (βa
ij
)
ij
=
α(a
ij
)
ij
+β(a
ij
)
ij
= αA +βA
2) ∀ A, B ∈ /
3X2
(R), ∀ α ∈ R
α(A +B) = α(a
ij
+b
ij
)
ij
= (αa
ij
+αb
ij
)
ij
=
(αa
ij
)
ij
+ (αb
ij
)
ij
= αA +αB
3) ∀ A ∈ /
3X2
(R), ∀ α, β ∈ R
α(βA) = α(βa
ij
)
ij
= (α(βa
ij
))
ij
=
8
((αβ)a
ij
)
ij
= (αβ)(a
ij
)
ij
= (αβ)A
4) ∀ A ∈ /
3X2
(R)
1.A = 1.(a
ij
)
ij
= (1.a
ij
)
ij
= A
Mult ¸imea /
3×2
(R) devine spat ¸iu vectorial real. Q.E.D.
Exercitiu 8. Fie k ∈ N. Consider ˘ am mult ¸imea P
3
[R] a polinoamelor de
grad cel mult 3 cu coeﬁcient ¸i ˆın R, de forma :
p(x) = p
0
+p
1
x +p
2
x
2
+p
3
x
3
,
unde p
0
, p
1
, p
2
, p
3
∈ R. Pentru orice dou˘ a polinoame p(x) = p
0
+ p
1
x +
p
2
x
2
+p
3
x
3
s¸i q(x) = q
0
+q
1
x +q
2
x
2
+q
3
x
3
din P
3
s¸i pentru orice num˘ ar
real α, deﬁnim operat ¸iile :
- adunarea : p(x)+q(x) = (p
0
+q
0
)+(p
1
+q
1
)x+(p
2
+q
2
)x
2
+(p
3
+q
3
)x
3
- ˆınmult ¸irea cu scalari: αp(x) = αp
0
+αp
1
x+αp
2
x
2
+αp
3
x
3
Veriﬁcat ¸i
c˘ a P
3
cu cele dou˘ a operat ¸ii devine spat ¸iu vectorial real.
Solut ¸ie.
- lege de compozit ¸ie : ∀ p(x), q(x) ∈ P
3
[R], deoarece (p
0
+q
0
), (p
1
+
q
1
), (p
2
+q
2
), (p
3
+q
3
) ∈ R, rezult ˘ a p(x) +q(x) ∈ P
3
[R].
- asociativitate : ∀ p(x), q(x), r(x) ∈ P
3
[R],
p(x)+(q(x)+r(x)) = (p
0
+(q
0
+r
0
))+(p
1
+(q
1
+r
1
))x+(p
2
+(q
2
+r
2
))x
2
+
(p
3
+ (q
3
+r
3
))x
3
= ((p
0
+q
0
) + r
0
) + ((p
1
+q
1
) +r
1
)x+
((p
2
+q
2
) +r
2
)x
2
+ ((p
3
+q
3
) + r
3
)x
3
= ((p(x) + q(x)) +r(x))
- element neutru : dac˘ a consider ˘ am O polinomul cu tot ¸i coeﬁcient ¸ii
egali cu zero, avem:
p(x) +O = O +p(x) = p(x)
- element simetrizabil : ∀ p(x) ∈ P
3
[R], ∃ (−p(x)) = −p
0
− p
1
x −
p
2
x
2
−p
3
x
3
∈ P
3
[R] astfel ˆıncˆ at p(x) + (−p(x)) = O
Se observ˘ a c˘ a: ∀ p(x) = p
0
+ p
1
x + p
2
x
2
+ p
3
x
3
∈ P
3
[R], ∀ α ∈ R,
αp
0
, αp
1
, αp
2
, αp
3
∈ R de unde rezult ˘ a c˘ a αp(x) ∈ P
3
[R].
1) ∀ α, β ∈ R, ∀ p(x) ∈ P
3
[R],
(α +β)p(x) = (α +β)p
0
+ (α +β)p
1
x + (α +β)p
2
x
2
+ (α +β)p
3
x
3
=
(αp
0
+αp
1
x +αp
2
x
2
+αp
3
x
3
) + (βp
0
+βp
1
x +βp
2
x
2
+βp
3
x
3
) =
9
αp(x) + βp(x)
2)∀ α ∈ R, ∀ p(x), q(x) ∈ P
3
[R] ,
α(p(x) +q(x)) = α((p
0
+q
0
) + (p
1
+q
1
)x + (p
2
+q
2
)x
2
+ (p
3
+q
3
)x
3
) =
(αp
0
+αq
0
) + (αp
1
+αq
1
)x + (αp
2
+αq
2
)x
2
+ (αp
3
+αq
3
)x
3
=
(αp
0
+αp
1
x +αp
2
x
2
+αp
3
x
3
) + (αq
0
+αq
1
x +αq
2
x
2
+αq
3
x
3
) =
αp(x) +αq(x).
3) ∀ α, β ∈ R, ∀ p(x) ∈ P
3
[R],
(αβ)p(x) = (αβ)p
0
+ (αβ)p
1
x + (αβ)p
2
x
2
+ (αβ)p
3
x
3
=
α(βp
0
) +α(βp
1
)x +α(βp
2
)x
2
+α(βp
3
)x
3
=
(α(βp
0
+βp
1
x +βp
2
x
2
+βp
3
x
3
)) = α(β(p(x)))
4) Evident, 1.p(x) = p(x), ∀ p(x) ∈ P
3
[R].
Am demonstrat astfel c˘ a P
3
[R] este spat ¸iu vectorial real.
Q.E.D.
Exercitiu 9. Mult ¸imea / = ¦f/f : R →R¦ a tuturor funct ¸ilor de o va-
riabil ˘ a real ˘ a, cu valori reale, este spat ¸iu vectorial ˆın raport cu operat ¸iile:
(f
1
+f
2
)(x) := f
1
(x) +f
2
(x), ∀f
1
, f
2
∈ /,
(αf)(x) := αf(x), ∀f ∈ /, ∀α ∈ R.
Solut ¸ie.
Indicat ¸ie: elementul neutru la adunare este funct ¸ia ε : R → R,
ε(x) = 0, ∀x ∈ R; elementul simetrizabil fat ¸˘ a de adunare este funct ¸ia
−f(x). Q.E.D.
Exercitiu 10. Care dintre urm˘ atoarele submult ¸imi este subspat ¸iu vec-
torial?
1. L
1
= ¦(x, y, z, w) ∈ R
4
/x +y −z +w = 0¦ ⊆ R
4
;
2. L
2
= ¦(x, y, z) ∈ R
3
/x +y +z = 1¦ ⊆ R
3
;
3. L
3
= ¦(x, y, z) ∈ R
3
/x
2
+y
2
+z
2
= 1¦ ⊆ R
3
;
4. L
4
= ¦(x, y, z) ∈ R
3
/x −2y +z = 0¦ ⊆ R
3
;
5. L
5
= ¦(x, y) ∈ R
2
/x + 3y = 4 s¸i 2x −y = 3 s¸i 6x + 4y = 10¦ ⊆ R
3
.
10
Solut ¸ie. Toate cele cinci cazuri se rezolv˘ a ˆın mod similar. Vom trata (2):
∀(x
1
, y
1
, z
1
), (x
2
, y
2
, z
2
) ∈ L
2
⇒x
1
+y
1
+z
1
= 1, x
2
+y
2
+z
2
= 1
(x
1
, y
1
, z
1
) +(x
2
, y
2
, z
2
) = (x
1
+x
2
, y
1
+y
2
, z
1
+z
2
) iar (x
1
+x
2
) +(y
1
+
y
2
) +(z
1
+z
2
) = 2, adic˘ a (x
1
, y
1
, z
1
) +(x
2
, y
2
, z
2
) nu apart ¸ine mult ¸imii L
2
.
As¸adar L
2
nu este subspat ¸iu vectorial.
Punctul 4): ∀(x
1
, y
1
, z
1
), (x
2
, y
2
, z
2
) ∈ L
4
⇒ x
1
− 2y
1
+ z
1
= 0, x
2
−
2y
2
+z
2
= 0
(x
1
, y
1
, z
1
)+(x
2
, y
2
, z
2
) = (x
1
+x
2
, y
1
+y
2
, z
1
+z
2
) iar (x
1
+x
2
)−2(y
1
+
y
2
) + (z
1
+z
2
) = 0 ⇒ (x
1
, y
1
, z
1
) + (x
2
, y
2
, z
2
) ∈ L
4
.
∀α ∈ R, ∀(x, y, z) ∈ L
4
,
α(x, y, z) = (αx, αy, αz). Se observ˘ a , deoarece x − 2y + z = 0, c˘ a
αx − 2αy + αz = 0, adic˘ a α(x, y, z) ∈ L
4
. Am demonstrat c˘ a L
4
este
subspat ¸iu vectorial. Q.E.D.
Urm˘ atoarele exercit ¸ii se rezolv˘ a cu ajutorul Propozit ¸iei 1.
Exercitiu 11. Determinat ¸i care dintre urm˘ atoarele submult ¸imi ale lui
R
3
este subspat ¸iu vectorial:
1. ¦(x, y, z) ∈ R
3
/x = 0¦
2. ¦(x, y, z) ∈ R
3
/xz = 0¦
3. ¦(x, y, z) ∈ R
3
/x = y = z¦
4. ¦(x, y, z) ∈ R
3
/x +y = 0¦
Exercitiu 12.
ˆ
In spat ¸iul vectorial R
2
se consider ˘ a submult ¸imea L =
¦(x, y) ∈ R
2
/αx + βy = 0¦(L este dreapta din plan care trece prin
punctul (0, 0)). S˘ a se arate c˘ a L este subspat ¸iu vectorial.
Exercitiu 13. Consider ˘ amspat ¸iul vectorial real /
2,2
(R) s¸i submult ¸imea :
M = ¦
_
a
11
a
12
a
21
0
_
/a
11
, a
12
, a
21
∈ R¦ ⊆ /
2,2
(R)
S˘ a se demonstreze c˘ a M este subspat ¸iu vectorial.
1.3 LINIAR DEPENDENT¸
˘
A, LINIAR INDEPENDENT¸
˘
A,
BAZ
˘
A S¸ I DIMENSIUNE.
Deﬁnit¸ie. Presupunem c˘ a v
1
, v
2
, ..., v
r
sunt vectori ˆıntr-un spat ¸iu vec-
torial V/K. Printr-o combinat ¸ie liniar ˘ a cu vectorii v
1
, v
2
, ..., v
r
, ˆınt ¸elegem
o expresie de tipul:
11
α
1
v
1
+α
2
v
2
+... +α
r
v
r
,
unde α
1
, ..., α
r
∈ K.
Deﬁnit¸ie. Vom spune c˘ a vectorii v
1
, v
2
, ..., v
r
genereaz˘ a spat ¸iul V ( sau
formeaz˘ a un sistemde generatori pentru spat ¸iul V ), dac˘ a L(v
1
, v
2
, ..., v
r
) =
V ; cu alte cuvinte orice vector din V poate ﬁ exprimat ca o combinat ¸ie
liniar ˘ a cu vectorii v
1
, v
2
, ..., v
r
:
∀v ∈ V, v = α
1
v
1
+α
2
v
2
+... +α
r
v
r
, α
1
, ..., α
r
∈ K.
Dac˘ a ˆıntr-un sistem de generatori schimb˘ am ordinea generatorilor
sau ˆınmult ¸im unul dintre generatori cu un scalar diferit de zero, sau
ˆınlocuim unul dintre generatori cu el ˆınsus¸i la care se adaug˘ a un alt
generator ˆınmult ¸it cu un scalar diferit de zero, se obt ¸ine tot un sistem
de generatori.
Deﬁnit¸ie. Presupunem c˘ a v
1
, v
2
, ..., v
r
sunt vectori ˆıntr-un spat ¸iu vec-
torial V/K. Vom spune c˘ a vectorii sunt:
– liniar dependent ¸i : dac˘ a exist ˘ a α
1
, α
2
, ..., α
r
∈ K, nu tot ¸i zero, astfel
ˆıncˆ at α
1
v
1
+α
2
v
2
+... +α
r
v
r
= θ.
– liniar independent ¸i : dac˘ a nu sunt liniar dependent ¸i, adic˘ a dac˘ a sin-
gurii scalari care veriﬁc˘ a α
1
v
1
+ α
2
v
2
+ ... + α
r
v
r
= θ sunt α
1
= α
2
=
... = α
r
= 0.
Observat¸ie.
ˆ
Intr-un spat ¸iu vectorial V/K ˆın care se consider ˘ a un sis-
tem de vectori = ¦u
1
, . . . , u
m
¦ se demonstreaz˘ a:
1. Dac˘ a θ ∈ , atunci este un sistem de vectori liniar dependent;
2. Dac˘ a cont ¸ine un subsistem de vectori liniar dependent ¸i, atunci
este sistem liniar dependent;
3. Dac˘ a este sistem liniar independent, atunci orice subsistem
1
⊂
este liniar independent.
Ca o caracterizare a vectorilor liniar independent ¸i respectiv dependent ¸i
avem urm˘ atoarele dou˘ a rezultate:
1. Un sistem de vectori ¦u
1
, . . . , u
m
¦ dintr-un spat ¸iu vectorial V/K este
liniar independent dac˘ a s¸i numai dac˘ a nici unul dintre vectori nu se
scrie combinat ¸ie liniar ˘ a de ceilalt ¸i.
2. Un sistem de vectori este liniar dependent dac˘ a s¸i numai dac˘ a unul
dintre vectori se scrie combinat ¸ie liniar ˘ a de ceilalt ¸i vectori.
Deﬁnit¸ie. Fie V/K un spat ¸iu vectorial s¸i v
1
, v
2
, ..., v
r
∈ V . Vom spune
c˘ a ¦v
1
, v
2
, ..., v
r
¦ formeaz˘ a o baz˘ a pentru V dac˘ a urm˘ atoarele doua
condit ¸ii sunt satisf ˘ acute:
12
1. Vectorii v
1
, v
2
, ..., v
r
sunt liniar independent ¸i;
2. L(v
1
, v
2
, ..., v
r
) = V , adic˘ a orice vector u ∈ V se scrie combinat ¸ie
liniar ˘ a de vectorii v
1
, v
2
, ..., v
r
:
(1.3) u =
r

i=1
α
i
v
i
.
Observat¸ie. Scalarii α
1
, . . . , α
r
∈ K din exprimarea (1.3) se numesc
coordonatele vectorului u ˆın baza B = ¦v
1
, v
2
, ..., v
r
¦ s¸i se noteaz˘ a
u = (α
1
, α
2
, ..., α
r
)
B
.
Coordonatele unui vector ˆıntr-o baz˘ a sunt unice.
Deﬁnit¸ie. Un spat ¸iu vectorial se numes¸te ﬁnit dimensional dac˘ a are o
baz˘ a ﬁnit ˘ a.
Propozitia 2. Presupunem c˘ a V/K este un spat ¸iu vectorial ﬁnit dimen-
sional. Atunci oricare dou˘ a baze ale lui V au acelas¸i num˘ ar de ele-
mente.
Deﬁnit¸ie. Vom spune c˘ a spat ¸iul vectorial ﬁnit dimensional V/K are
dimensiunea n dac˘ a num˘ arul vectorilor dintr-o baz˘ a este exact n.
Propozitia 3. Fie V un spat ¸iu vectorial n-dimensional. Atunci orice
mult ¸ime de n vectori liniar independent ¸i din V formeaz˘ a o baz˘ a ˆın V .
Formulele de schimbare a bazei s¸i a coordonatelor.
Fie V/K un spat ¸iu vectorial n-dimensional s¸i B = ¦u
1
, ..., u
n
¦, B

=
¦v
1
, ..., v
n
¦ dou˘ a baze ale spat ¸iului vectorial.
– Fie matricea C = (c
ij
)
1≤i,j≤n
. Formulele de schimbare de baz˘ a de
matrice
t
C sunt:
(1.4)
v
1
= c
11
u
1
+c
21
u
2
+... +c
n1
u
n
v
2
= c
12
u
1
+c
22
u
2
+... +c
n2
u
n
...... ...................................
v
n
= c
1n
u
1
+c
2n
u
2
+... +c
nn
u
n
(c
1i
, c
2i
, ..., c
ni
) reprezint ˘ a coordonatele vectorului v
i
, ∀i = 1, ..., n, ˆın
baza B.
13
– Fie w ∈ V un vector care are ˆın baza B coordonatele x
1
, ..., x
n
, iar ˆın
baza B

coordonatele y
1
, ..., y
n
. Not ˆ and cu
X =
_
_
_
_
x
1
x
2
...
x
n
_
_
_
_
, Y =
_
_
_
_
y
1
y
2
...
y
n
_
_
_
_
,
atunci relat ¸ia ˆıntre coordonatele, ˆın cele dou˘ a baze, ale vectorului w
este:
X = CY,
unde C este matricea de trecere de la baza B la baza B

(formulele
(1.4)).
1.3.1 EXERCIT¸ II.
Exercitiu 14. S˘ a se arate c˘ a ˆın spat ¸iul vectorial R
4
/Rvectorul (1, 4, −2, 6)
se poate scrie ca o combinat ¸ie de vectorii (1, 2, 0, 4) s¸i (1, 1, 1, 3). Ce
putet ¸i spune despre vectorul (2, 6, 0, 9)?
Solut ¸ie. Vectorul (1, 4, −2, 6) este combinat ¸ie liniar ˘ a de vectorii (1, 2, 0, 4)
s¸i (1, 1, 1, 3), dac˘ a exist ˘ a doi scalari α, β ∈ R astfel ˆıncˆ at putem scrie:
α(1, 2, 0, 4) +β(1, 1, 1, 3) = (1, 4, −2, 6) ⇔
⇔
_
¸
¸
_
¸
¸
_
α +β = 1
2α +β = 4
β = −2
4α + 3β = 6
Este us¸or de v˘ azut ca sistemul de ecuat ¸ii anterior admite ca solut ¸ie :
α = 3, β = −2. Cu alte cuvinte, vectorul (1, 4, −2, 6) este combinat ¸ie
liniar ˘ a de vectorii (1, 2, 0, 4) s¸i (1, 1, 1, 3).
Pentru vectorul (2, 6, 0, 9) egalitatea :
α(1, 2, 0, 4) +β(1, 1, 1, 3) = (2, 6, 0, 9) ⇔
⇔
_
¸
¸
_
¸
¸
_
α +β = 2
2α +β = 6
β = 0
4α + 3β = 9
Se veriﬁc˘ a us¸or c˘ a acest sistemnu are solut ¸ii, adic˘ a vectorul (2, 6, 0, 9)
nu se scrie combinat ¸ie liniar ˘ a de vectorii: (1, 2, 0, 4) s¸i (1, 1, 1, 3).
Q.E.D.
14
Exercitiu 15. Veriﬁcat ¸i care dintre urm˘ atorii vectori din R
3
/R se pot
scrie combinat ¸ii liniare de vectorii u = (1, 0, 1), v = (2, 1, 0):
a)w = (1, 2, 3); b)w = (1, 1, −1); c)w = (3, 1, 1); d)w = (5, 2, 3).
Solut ¸ie. Pornindu-se de la combinat ¸ia liniar ˘ a : αu + βv, α, β ∈ R, se
observ˘ a c˘ a singurele cazuri ˆın care exist ˘ a scalari α, β astfel ˆıncˆ at avem
egalitatea αu +βv = w, sunt (b) s¸i (c).
Q.E.D.
Exercitiu 16.
ˆ
In spat ¸iul vectorial R
3
/R se consider ˘ a sistemul de vec-
tori ¦e
1
= (1, 0, 0), e
2
= (0, 1, 0), e
3
= (0, 0, 1)¦. S˘ a se arate c˘ a e
1
, e
2
, e
3
sunt vectori liniar independent ¸i.
Solut ¸ie. Pornim de la combinat ¸ia liniar ˘ a cu vectorii e
1
, e
2
, e
3
s¸i scalarii
α
1
, α
2
, α
3
∈ R:
α
1
e
1
+α
2
e
2
+α
3
e
3
= θ ⇒
α
1
(1, 0, 0) +α
2
(0, 1, 0) +α
3
(0, 0, 1) = (0, 0, 0) ⇒
(α
1
, α
2
, α
3
) = (0, 0, 0) ⇒
α
1
= α
2
= α
3
= 0,
adic˘ a vectorii sunt liniar independent ¸i. Q.E.D.
Exercitiu 17. S˘ a se arate c˘ a vectorii ¦u
1
= (2, 0, 2), u
2
= (2, 3, 2), u
3
=
(0, 4, 0)¦ din spat ¸iul vectorial R
3
/R sunt liniar dependent ¸i.
Solut ¸ie. Pornim de la combinat ¸ia liniar ˘ a cu vectorii u
1
, u
2
, u
3
s¸i scalarii
α
1
, α
2
, α
3
∈ R:
α
1
u
1
+α
2
u
2
+α
3
u
3
= θ ⇒
(2α
1
, 0, 2α
1
) + (2α
2
, 3α
2
, 2α
2
) + (0, 4α
3
, 0) = (0, 0, 0) ⇒
(2α
1
+ 2α
2
, 3α
2
+ 4α
3
, 2α
1
+ 2α
2
) = (0, 0, 0) ⇒
_
_
_
2α
1
+ 2α
2
= 0
3α
2
+ 4α
3
= 0
2α
1
+ 2α
2
= 0
. Acesta este un sistem omogen de matrice:
A =
_
_
2 2 0
0 3 4
2 2 0
_
_
s¸i det(A) = 0. Adic˘ a exist ˘ a cel put ¸in un α
i
,= 0 solut ¸ie a sistemului
omogen. As¸adar vectorii sunt liniar dependent ¸i. Q.E.D.
15
Exercitiu 18. S˘ a se studieze liniar dependent ¸a urm˘ atorilor vectori:
1. v
1
= (1, 2), v
2
= (3, 5), v
3
= (−1, 3) ˆın R
2
/R
2. v
1
= (1, 1, 0), v
2
= (5, 1, −3), v
3
= (2, 7, 4) ˆın R
3
/R;
3. v
1
= (1, 2, 3), v
2
= (3, 2, 1), v
3
= (3, 3, 4) ˆın R
3
/R;
4. v
1
= (1, 2, 3), v
2
= (3, 2, 1), v
3
= (3, 3, 3) ˆın R
3
/R;
5. v
1
= (0, −1, 2, 1), v
2
= (1, 1, −1, 1), v
3
= (1, 1, 2, −1), v
4
= (1, 0, −1, −1)
ˆın R
4
/R;
6. v
1
= (1, 3, 5, 7), v
2
= (1, 0, 1, 0), v
3
= (0, 1, 0, 1), v
4
= (0, 0, 1, 1) ˆın
R
4
/R;
7. v
1
= (2, 5, −3, 6), v
2
= (1, 0, 0, 1), v
3
= (4, 0, 9, 6) ˆın R
4
/R
Solut ¸ie. Vomstudia al treilea sistemde vectori: pornimde la combinat ¸ia
liniar ˘ a cu vectorii v
1
= (1, 2, 3), v
2
= (3, 2, 1), v
3
= (3, 3, 4) ˆın R
3
/R s¸i
scalarii α
1
, α
2
, α
3
∈ R,
α
1
v
1
+α
2
v
2
+α
3
v
3
= θ ⇒
(α
1
, 2α
1
, 3α
1
) + (3α
2
, 2α
2
, α
2
) + (3α
3
, 3α
3
, 4α
3
) = (0, 0, 0) ⇒
_
_
_
α
1
+ 3α
2
+ 3α
3
= 0
2α
1
+ 2α
2
+ 3α
3
= 0
3α
1
+α
2
+ 4α
3
= 0
. Matricea sistemului este
A =
_
_
1 3 3
2 2 3
3 1 4
_
_
.
det(A) = 8+6+27−18−3−24 = −4. Sistemul liniar omogen are deter-
minantul matricei diferit de zero. Singura solut ¸ie a sistemului omogen
este: α
1
= α
2
= α
3
= 0, adic˘ a vectorii sunt liniar independent ¸i.
Q.E.D.
Exercitiu 19.
ˆ
In spat ¸iul vectorial al matricelor /
2X2
se consider ˘ a urm˘ atorii
vectori :
M
1
=
_
2 1
5 3
_
, M
2
=
_
5 −3
2 1
_
, M
3
=
_
−11 α
4 β
_
.
S˘ a se determine α, β ∈ R astfel ˆıncˆ at matricele M
1
, M
2
, M
3
s˘ a ﬁe liniar
dependente.
16
Exercitiu 20.
ˆ
In spat ¸iul vectorial R
3
/Rse dau vectorii: u
1
= (1, 0, 0), u
2
=
(2, 1, 0), u
3
= (−3, 2, 1).
a)S˘ a se arate c˘ a vectorii u
1
, u
2
, u
3
formeaz˘ a o baz˘ a ˆın R
3
/R;
b)S˘ a se g˘ aseasc˘ a matricea de trecere de la baza canonic˘ a a
spat ¸iului vectorial R
3
/R la baza format ˘ a cu vectorii u
1
, u
2
, u
3
s¸i reci-
proc;
c)S˘ a se aﬂe coordonatele vectorului v = (3, 2, −1) ˆın baza ¦u
1
, u
2
, u
3
¦;
d)Cum se modiﬁc˘ a coordonatele vectorului v cˆ and se trece de la
baza canonic˘ a la baza ¦u
1
, u
2
, u
3
¦.
Solut ¸ie. a) Deoarece se cunoas¸te dimensiunea spat ¸iului vectorial R
3
/R,
dimR
3
= 3, pentru a ar ˘ ata c˘ a vectorii u
1
= (1, 0, 0), u
2
= (2, 1, 0), u
3
=
(−3, 2, 1) formeaz˘ a o baz˘ a, este suﬁcient s˘ a demonstr ˘ am ca sunt vec-
tori liniar independent ¸i. Pentru aceasta pornim de la o combinat ¸ie li-
niar ˘ a cu vectorii ¦u
1
, u
2
, u
3
¦ s¸i scalarii α
1
, α
2
, α
3
∈ R:
α
1
u
1
+α
2
u
2
+α
3
u
3
= θ ⇒
(α
1
, 0, 0) + (2α
2
, α
2
, 0) + (−3α
3
, 2α
3
, α
3
) = (0, 0, 0) ⇒
_
_
_
α
1
+ 2α
2
−3α
3
= 0
α
2
+ 2α
3
= 0
α
3
= 0
. Matricea sistemului este
A =
_
_
1 2 −3
0 1 2
0 0 1
_
_
.
det(A) = 1. Sistemul liniar omogen are determinantul matricei diferit
de zero, adic˘ a vectorii sunt liniar independent ¸i.
b) Matricea de trecere de la baza canonic˘ a a spat ¸iului vectorial
R
3
/R, e
1
= (1, 0, 0), e
2
= (0, 1, 0), e
3
= (0, 0, 1) la baza format ˘ a din
vectorii u
1
= (1, 0, 0), u
2
= (2, 1, 0), u
3
= (−3, 2, 1) este dat ˘ a de relat ¸iile:
u
1
= c
11
e
1
+c
21
e
2
+c
31
e
3
u
2
= c
12
e
1
+c
22
e
2
+c
32
e
3
v
3
= c
13
e
1
+c
23
e
2
+c
33
e
3
.
ˆ
Inlocuind vectorii e
i
, i = 1, 2, 3 s¸i vectorii u
i
, i = 1, 2, 3 ˆın relat ¸iile
anterioare, obt ¸inem:
17
(1, 0, 0) = (c
11
, c
21
, c
31
)
(2, 1, 0) = (c
12
, c
22
, c
32
)
(−3, 2, 1) = (c
13
, c
23
, c
33
)
.
As¸adar matricea de trecere de la baza canonic˘ a la baza format ˘ a cu
vectorii u
1
= (1, 0, 0), u
2
= (2, 1, 0), u
3
= (−3, 2, 1) este:
C =
_
_
1 2 −3
0 1 2
0 0 1
_
_
.
c) Coordonatele vectorului v = (3, 2, −1) ˆın baza ¦u
1
, u
2
, u
3
¦ se
g˘ asesc astfel: se pornes¸te de la egalitatea
v = α
1
u
1
+α
2
u
2
+α
3
u
3
.
Se ˆınlocuiesc valorile vectorilor u
i
, i = 1, 2, 3 ˆın egalitatea anterioar ˘ a
s¸i se obt ¸ine:
(3, 2, −1) = (α
1
, 0, 0) + (2α
2
, α
2
, 0) + (−3α
3
, 2α
3
, α
3
) ⇔
_
_
_
α
1
+ 2α
2
−3α
3
= 3
α
2
+ 2α
3
= 2
α
3
= −1
.
Din sistemul anterior obt ¸inem coordonatele vectorului v: α
1
= −8, α
2
=
4, α
3
= −1.
d) Dac˘ a not ˘ am coordonatele vectorului v ˆın baza canonic˘ a cu
(β
1
, β
2
, β
3
),
X =
_
_
β
1
β
2
β
3
_
_
s¸i
Y =
_
_
−8
4
−1
_
_
,
relat ¸ia ˆıntre coordonatele vectorului v ˆın cele dou˘ a baze este:
X = CY ⇔
_
_
β
1
β
2
β
3
_
_
=
_
_
1 2 −3
0 1 2
0 0 1
_
_
_
_
−8
4
−1
_
_
.
Q.E.D.
18
Exercitiu 21.
ˆ
In spat ¸iul vectorial R
3
/R se dau dou˘ a sisteme de vec-
tori: B = ¦u
1
= (0, 0, 1), u
2
= (0, 1, 0), u
3
= (1, 0, 0)¦ s¸i B

= ¦v
1
=
(1, −1, 0), v
2
= (0, 1, 1), v
3
= (1, −1, −1)¦.
a)S˘ a se arate c˘ a B s¸i B

sunt dou˘ a baze ˆın R
3
/R;
b)S˘ a se g˘ aseasc˘ a matricea de trecere de la baza B la baza B

s¸i
reciproc;
c)S˘ a se aﬂe coordonatele vectorului v = (3, 2, −1) ˆın baza B;
d)G˘ asit ¸i coordonatele vectorului v ˆın baza B

.
Exercitiu 22.
ˆ
In spat ¸iul vectorial R
4
/R se dau dou˘ a sisteme de vec-
tori: B = ¦u
1
= (0, −1, 2, 1), u
2
= (1, 1, −1, 1), u
3
= (1, 1, 2, −1), u
4
=
(1, 0, −1, −1)¦ s¸i B

= ¦v
1
= (1, 0, 1, 2), v
2
= (2, 2, 1, 0), v
3
= (2, 1, 1, −2), v
4
=
(2, 1, 3, 1)¦.
a)S˘ a se arate c˘ a B s¸i B

sunt dou˘ a baze ˆın R
4
/R;
b)S˘ a se g˘ aseasc˘ a matricea de trecere de la baza B la baza B

s¸i
reciproc;
c)S˘ a se aﬂe coordonatele vectorului v = (3, 0, 0, 0) ˆın baza B;
d)G˘ asit ¸i coordonatele vectorului v ˆın baza B

.
Exercitiu 23.
ˆ
In spat ¸iul vectorial R
4
/Rse dau dou˘ a sisteme de vectori:
B = ¦u
1
= (1, 0, 0, 0), u
2
= (0, 1, 0, 0), u
3
= (0, 0, 1, 0), u
4
= (0, 0, 0, 1)¦ s¸i
B

= ¦v
1
= (1, 1, 0, 0), v
2
= (1, 0, 1, 0), v
3
= (1, 0, 0, 1), v
4
= (1, 1, 1, 1)¦.
a)S˘ a se arate c˘ a B s¸i B

sunt dou˘ a baze ˆın R
4
/R;
b)S˘ a se g˘ aseasc˘ a matricea de trecere de la baza B la baza B

s¸i
reciproc;
c)S˘ a se aﬂe coordonatele vectorului v = (1, 1, 1, 1) ˆın baza B;
d)G˘ asit ¸i coordonatele vectorului v ˆın baza B

.
Exercitiu 24.
ˆ
In spat ¸iul vectorial R
3
/R se consider ˘ a o baz˘ a B =
¦u
1
, u
2
, u
3
¦ s¸i vectorii w
1
= u
1
+ u
2
+ u
3
, w
2
= u
1
+ u
2
− u
3
, w
3
=
u
1
−u
2
+u
3
. S˘ a se demonstreze c˘ a w
1
, w
2
, w
3
formeaz˘ a o baz˘ a pentru
R
3
/R s¸i s˘ a se calculeze coordonatele vectorului −8u
1
+ 4u
2
− u
3
ˆın
aceast ˘ a baz˘ a.
1.4 APLICAT¸ II LINIARE.
Fie V/K s¸i W/K dou˘ a spat ¸ii vectoriale peste corpul K.
Deﬁnit¸ie. O aplicat ¸ie f : V →W care satisface condit ¸iile:
1. f(u +v) = f(u) + f(v), ∀u, v ∈ V
19
2. f(αu) = αf(u), ∀α ∈ K, u ∈ V
se numes¸te aplicat ¸ie liniar ˘ a.
Teorema 1. O aplicat ¸ie f : V → W este liniar ˘ a dac˘ a s¸i numai dac˘ a
∀α, β ∈ K, ∀u, v ∈ V, f(αu +βv) = αf(u) +βf(v).
Solut ¸ie.
” ⇒ ” Presupunem c˘ a f este liniar ˘ a. Atunci ∀α, β ∈ K, ∀u, v ∈
V, αu ∈ V, βv ∈ V, f(αu +βv) = f(αu) +f(βv) = αf(u) +βf(v).
” ⇐ ” Presupunem c˘ a ∀α, β ∈ K, ∀u, v ∈ V, f(αu + βv) = αf(u) +
βf(v).
Pentru α = β = 1 ⇒f(u +v) = f(u) +f(v);
Pentru ∀α, β = 0 ⇒f(αu) = αf(u). Q.E.D.
MATRICEA UNEI APLICAT¸ II LINIARE.
Fie V/K un spat ¸iu vectorial de dimensiune n s¸i B = ¦u
1
, . . . , u
n
¦
o baz˘ a ˆın V ; ﬁe W/K un spat ¸iu vectorial de dimensiune m s¸i B

=
¦v
1
, . . . , v
m
¦ o baz˘ a ˆın W; ﬁe f : V → W o aplicat ¸ie liniar ˘ a s¸i x ∈ V un
vector. Atunci x =
n

k=1
x
k
u
k
, iar y = f(x) ∈ W, f(x) =
m

k=1
y
k
v
k
.
Deoarece f(u
i
) ∈ W, ∀i = 1, . . . , n, aces¸ti vectori pot ﬁ exprimat ¸i cu
ajutorul vectorilor bazei B

astfel:
(1.5)
_
¸
¸
_
¸
¸
_
f(u
1
) = a
11
v
1
+a
21
v
2
+... +a
m1
v
m
f(u
2
) = a
12
v
1
+a
22
v
2
+... +a
m2
v
m
.... ....................................
f(u
n
) = a
1n
v
1
+a
2n
v
2
+... +a
mn
v
m
Not ˘ am cu A = (a
ij
)
i=1,...,m;j=1,...,n
transpusa matricei cu ajutorul c˘ areia
se exprim˘ a vectorii f(u
i
), i = 1, . . . , n. Aceast ˘ a matrice se numes¸te
matricea aplicat ¸iei liniare relativ la bazele B s¸i B

.
Vom g˘ asi ˆın continuare ecuat ¸iile aplicat ¸iei liniare relativ la bazele B
s¸i B

:
Calcul ˘ am
f(x) = f(
n

k=1
x
k
u
k
) =
n

k=1
x
k
f(u
k
) =
n

k=1
x
k
m

i=1
a
ik
v
i
=
m

i=1
(
n

k=1
a
ik
x
k
)v
i
Luˆ and ˆın considerare s¸i f(x) =
m

k=1
y
k
v
k
, obt ¸inem ecuat ¸iile aplicat ¸iei
liniare:
20
(1.6) y
i
=
n

k=1
a
ik
x
k
, ∀i = 1, . . . , m.
Dac˘ a not ˘ am cu
X =
_
_
_
_
x
1
x
2
...
x
n
_
_
_
_
s¸i Y =
_
_
_
_
y
1
y
2
...
y
m
_
_
_
_
,
relat ¸iile (1.6) se scriu: Y = AX.
1.4.1 EXERCIT¸ II.
Exercitiu 25. S˘ a se studieze care dintre urm˘ atoarele aplicat ¸ii sunt li-
niare. S˘ a se gaseasc˘ a matricea aplicat ¸iilor ˆın baza canonic˘ a:
1. f : R
2
→R
2
, f(x) = (x
1
+ 2x
2
, 2x
1
+x
2
), ∀x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
;
2. f : R
3
→ R
3
, f(x) = (3x
1
+ x
2
, 12x
1
− x
2
, 4x
1
− 8x
2
− 2x
3
), ∀x =
(x
1
, x
2
, x
3
) ∈ R
3
;
3. f : R
3
→R
3
, f(x) = (x
1
−2x
3
, 2x
1
+2x
2
−2x
3
, 0), ∀x = (x
1
, x
2
, x
3
) ∈
R
3
;
4. f : R
4
→ R
4
, f(x) = (x
1
+ x
2
, x
2
− 2x
3
, x
3
+ x
4
, 3x
4
), ∀x =
(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) ∈ R
4
;
5. f : R
3
→R
3
, f(x) = (0, x
1
, x
1
+x
2
), ∀x = (x
1
, x
2
, x
3
) ∈ R
3
;
Solut ¸ie. Vom rezolva punctul (5); celelalte se trateaz˘ a ˆın mod similar.
Pentru a demonstra c˘ a f este aplicat ¸ie liniar ˘ a avem de veriﬁcat:
f(x +y) = f(x) +f(y), ∀x = (x
1
, x
2
, x
3
), y = (y
1
, y
2
, x
3
) ∈ R
3
Calcul ˘ am f(x + y) = (0, x
1
+ y
1
, x
1
+ y
1
+ x
2
+ y
2
). Pe de alt ˘ a parte
f(x)+f(y) = (0, x
1
, x
1
+x
2
)+(0, y
1
, y
1
+y
2
) = (0, x
1
+y
1
, x
1
+y
1
+x
2
+y
2
).
As¸adar egalitatea este veriﬁcat ˘ a.
R˘ am˘ ane de ar ˘ atat f(αx) = αf(x), ∀α ∈ R, ∀x = (x
1
, x
2
, x
3
) ∈ R
3
.
f(αx) = (0, αx
1
, αx
1
+αx
2
); αf(x) = α(0, x
1
, x
1
+x
2
) = (0, αx
1
, αx
1
+
αx
2
). Cum s¸i a doua condit ¸ie din deﬁnit ¸ia aplicat ¸iei liniare este veriﬁ-
cat ˘ a obt ¸inem c˘ a f este aplicat ¸ie liniar ˘ a.
Pentru a g˘ asi matricea aplicat ¸iei liniare ˆın baza canonic˘ a a spat ¸iului
vectorial R
3
, reamintim c˘ a vectorii bazei canonice sunt:
¦e
1
= (1, 0, 0), e
2
= (0, 1, 0), e
3
= (0, 0, 1)¦
21
s¸i calcul ˘ am:
f(e
1
) = (0, 1, 1); f(e
2
) = (0, 0, 1); f(e
3
) = (0, 0, 0).
ˆ
In relat ¸iile (1.5) ˆınlocuim valorile vectorilor bazei canonice si ale vec-
torilor f(e
1
), f(e
2
), f(e
3
) s¸i obt ¸inem:
(1.7)
_
_
_
(0, 1, 1) = a
11
(1, 0, 0) +a
21
(0, 1, 0) +a
31
(0, 0, 1)
(0, 0, 1) = a
12
(1, 0, 0) +a
22
(0, 1, 0) +a
32
(0, 0, 1)
(0, 0, 0) = a
13
(1, 0, 0) +a
23
(0, 1, 0) +a
33
(0, 0, 1)
As¸adar matricea aplicat ¸iei liniare este:
A =
_
_
0 0 0
1 0 0
1 1 0
_
_
.
Q.E.D.
22
2 PROGRAMARE LINIAR
˘
A
Printre metodele matematice utilizate ˆın economie un rol important ˆıl
are programarea liniar ˘ a, care ofer ˘ a posibilitatea obt ¸inerii solut ¸iei op-
time la o gam˘ a larg˘ a de probleme. Acest fapt conduce la cres¸terea
eﬁcient ¸ei economice.
Exemple de probleme de programare liniar˘ a
1. probleme de planiﬁcare a product ¸iei (folosirea eﬁcient ˘ a a resurselor
limitate);
2. probleme de transport;
3. probleme de amestec;
4. utilizarea optim˘ a a capacit ˘ at ¸ii mas¸inilor;
5. probleme de investit ¸ii;
6. reducerea pierderilor la t ˘ aierea materialelor.
2.1 PROBLEMA DE FOLOSIRE EFICIENT
˘
A A
RESURSELOR.
O intreprindere dispune de R
1
, R
2
, ..., R
m
resurse (materii prime, fort ¸a
de munc˘ a, mas¸ini-unelte) ˆın cantit ˘ at ¸ile b
1
, b
2
, ..., b
m
, numite s¸i disponibil
de resurs˘ a sau capacitate de resurs˘ a.
Rezultatul product ¸iei const ˘ a ˆın n tipuri de produse P
1
, ..., P
n
.
Vom nota cu: c
j
-beneﬁciul obt ¸inut pentru o unitate din produsul P
j
;
a
ij
-cantitatea din resursa R
i
folosit ˘ a ˆın fabricarea unei unit ˘ at ¸i din produ-
sul P
j
(cantitate numit ˘ a s¸i consum speciﬁc sau coeﬁcient tehnologic).
Se pune problema ce cantit ˘ at ¸i x
1
, ..., x
n
trebuiesc produse din P
1
, ..., P
n
astfel ˆıncˆ at beneﬁciul total:
Z =
n

j=1
c
j
x
j
s˘ a ﬁe maxim ; se t ¸ine seama de restrict ¸iile impuse de disponibilul limi-
tat.
Datele problemei se pot prezenta, ˆın tabelul de mai jos, dup˘ a cum
urmeaz˘ a :
P
1
P
2
. . . P
j
. . . P
n
R
1
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
b
1
R
2
a
21
a
22
. . . a
2j
. . . a
2n
b
2
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
R
i
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
b
i
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
R
m
a
m1
a
m2
. . . a
mj
. . . a
mn
b
m
c
1
c
2
. . . c
j
. . . c
n
Modelul matematic al problemei este:
(2.1)
max [Z =
n

j=1
c
j
x
j
]
cu condit ¸iile:
(2.2)
_
¸
¸
_
¸
¸
_
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ... a
1n
x
n
≤ b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ... a
2n
x
n
≤ b
2
... ... ... ...
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ ... a
mn
x
n
≤ b
m
Funct ¸ia Z este numit ˘ a funct ¸ie obiectiv iar inegalit ˘ at ¸ile (2.2) se nu-
mesc restrict ¸ii.
Problema se numes¸te de programare liniar ˘ a deoarece toate funct ¸iile
ce intervin ˆın relat ¸iile (2.1) s¸i (2.2) sunt funct ¸ii liniare.
2.2 FORME ALE MODELULUI MATEMATIC PENTRU O
PROBLEM
˘
A DE PROGRAMARE LINIAR
˘
A.
Restrict ¸iile unei probleme de programare liniar ˘ a pot ﬁ ecuat ¸ii s¸i inecuat ¸ii.
Variabile care apar sunt supuse condit ¸iei de negativitate iar funct ¸ia
obiectiv poate ﬁ maximizat ˘ a sau minimizat ˘ a.
24
1. Forma general ˘ a
max/min [Z =
n

j=1
c
j
x
j
]
n

j=1
a
ij
x
j
≤ b
i
; 1 ≤ i ≤ p
n

j=1
a
ij
x
j
= b
k
; p + 1 ≤ k < s
n

j=1
a
ij
x
j
≥ b
l
; s + 1 ≤ l ≤ m
x
j
≥ 0; j = 1, ..., n
2. Spunem c˘ a o restrict ¸ie a unei probleme de programare liniar ˘ a este
concordant ˘ a dac˘ a este o inegalitate ”≥” cˆ and funct ¸ia obiectiv tre-
buie minimizat ˘ a sau o inegalitate ”≤” cˆ and funct ¸ia obiectiv trebuie
maximizat ˘ a.
ˆ
Int ¸elegemprin form˘ a canonic˘ a modelul ˆın care toate restrict ¸iile sunt
concordante iar variabilele nenegative, adic˘ a:
min[Z =
n

j=1
c
j
x
j
] max[Z =
n

j=1
c
j
x
j
]
n

j=1
a
ij
x
j
≥ b
i
; i = 1, ..., m sau
n

j=1
a
ij
x
j
≤ b
i
; i = 1, ..., m
x
j
≥ 0; j = 1, ..., m x
j
≥ 0; j = 1, ..., m
3. Modelul are forma standard cˆ and toate restrict ¸iile sunt egalit ˘ at ¸i:
max/min [Z =
n

j=1
c
j
x
j
]
n

j=1
a
ij
x
j
= b
i
; 1 ≤ i ≤ m
x
j
≥ 0; j = 1, ..., n
Observat¸ie. O problem˘ a de programare liniar ˘ a sub form˘ a gene-
ral ˘ a poate ﬁ adus˘ a la forma standard sau forma canonic˘ a folosind
urm˘ atoarele transform˘ ari echivalente:
– sensul unei inegalit ˘ at ¸i se schimb˘ a prin ˆınmult ¸ire cu −1,
– inegalit ˘ at ¸ile se transform˘ a ˆın egalit ˘ at ¸i prin ad˘ augarea sau sc˘ aderea
unor variabile pozitive numite variabile ecart sau variabile de com-
pensare; variabilele ecart nu apar ˆın funct ¸ia obiectiv (adic˘ a apar cu
coeﬁcient ¸i nuli),
– o egalitate poate ﬁ ˆınlocuit ˘ a cu dou˘ a inegalit ˘ at ¸i de sens contrar,
– deoarce max Z = −min(−Z), orice problem˘ a de maximizare se
poate transforma ˆın una de minimizare.
25
Observat¸ie. Deoarece un sistem de inegalit ˘ at ¸i se transform˘ a cu
ajutorul variabilelor ecart ˆın sistem de egalit ˘ at ¸i, conform observat ¸iei
urm˘ atoare, prin rezolvarea acestuia din urm˘ a cunoas¸tem s¸i solut ¸ia sis-
temului de inegalit ˘ at ¸i.
Observat¸ie. Se cunoaste din algebr ˘ a urm˘ atorul rezultat :
Fie sistemul de inegalit ˘ at ¸i:
(2.3)
_
¸
¸
_
¸
¸
_
a
11
x
1
+a
12
x
2
+... +a
1n
x
n
≤ b
1
a
21
x
1
+a
22
x
2
+... +a
2n
x
n
≤ b
2
............................. ..... ...
a
m1
x
1
+a
m2
x
2
+... +a
mn
x
n
≤ b
m
Oricare ar ﬁ (x
0
1
, x
0
2
, ..., x
0
n
) solut ¸ie a sistemului (2.3) exist ˘ a constan-
tele nenegative x
0
n+1
, x
0
n+2
, ..., x
0
n+m
astfel ˆıncˆ at
(x
0
1
, x
0
2
, ..., x
0
n
, x
0
n+1
, x
0
n+2
, ..., x
0
n+m
)
s˘ a ﬁe solut ¸ie a sistemului de egalit ˘ at ¸i:
(2.4)
_
¸
¸
_
¸
¸
_
a
11
x
1
+a
12
x
2
+... +a
1n
x
n
+x
n+1
= b
1
a
21
x
1
+a
22
x
2
+... +a
2n
x
n
+x
n+2
= b
2
............................. ..... ...
a
m1
x
1
+a
m2
x
2
+... +a
mn
x
n
+x
n+m
= b
m
,
s¸i reciproc.
Un rezultat asem˘ an˘ ator obt ¸inems¸i ˆın cazul unui sistemde inegalit ˘ at ¸i
de forma:
n

j=1
a
ij
x
j
≥ b
i
, i = 1, ..., m.
Concluzie. Conform celor spuse anterior ne vom ocupa numai de
modelul sub form˘ a standard:
(2.5)
min [Z =
n

j=1
c
j
x
j
]
n

j=1
a
ij
x
j
= b
i
; 1 ≤ i ≤ m
x
j
≥ 0; j = 1, ..., n
care se poate scrie sub form˘ a matriceal ˘ a:
26
(2.6)
min [Z = C
T
X]
AX = b
X ≥ 0,
unde A = (a
ij
)
i=1,...,m;j=1,...,n
, b
T
= (b
1
, ..., b
m
) ; c
T
= (c
1
, ..., c
n
).
Dac˘ a not ˘ am cu a
1
, ..., a
n
coloanele matricei A, atunci modelul se
poate prezenta s¸i sub forma:
(2.7)
min[Z = C
T
X]
a
1
x
1
+... +a
n
x
n
= b
X ≥ 0,
Observat¸ie. Deoarece modelul este al unei probleme practice, trebuie
s˘ a aib˘ a cel put ¸in o solut ¸ie.
Sistemul are solut ¸ii cˆ and rangA = m < n. Dac˘ a m = n, problema
are o singur ˘ a solut ¸ie admisibil ˘ a s¸i optimizarea este banal ˘ a.
2.3 PROGRAM DE BAZ
˘
A, PROGRAM OPTIM,
TEOREMA FUNDAMENTAL
˘
A A PROGRAM
˘
ARII
LINIARE.
Fie problema de programare liniar ˘ a sub forma standard:
min[Z =
n

j=1
c
j
x
j
]
n

j=1
a
ij
x
j
= b
i
; 1 ≤ i ≤ m
x
j
≥ 0; j = 1, ..., n
(2.8)
sau matricial,
(2.9)
min [Z = C
T
X]
AX = b
X ≥ 0
sau
(2.10)
min[Z = C
T
X]
a
1
x
1
+... +a
n
x
n
= b
x
j
≥ 0; j = 1, ..., n.
27
Presupunem c˘ a rangul matricei A este egal cu m, m < n. Rezult ˘ a
c˘ a exist ˘ a un minor de ordin m cu determinantul diferit de zero. F˘ ar ˘ a a
restr ˆ ange generalitatea, putem presupune c˘ a este format din primele
m coloane ale matricei A.
ˆ
In aceste condit ¸ii, vectorii coloane: a
1
, ..., a
m
sunt liniar independent ¸i.
Not ˘ am cu L(a
1
, ..., a
m
) spat ¸iul liniar generat de vectorii a
i
, 1 ≤ i ≤ m.
B = ¦a
1
, ..., a
m
¦ constituie o baz˘ a a acestui spat ¸iu. Atunci dimensiunea
sa este egal ˘ a cu m.
Necunoscutele x
1
, ..., x
m
corespunz˘ atoare, se numesc variabile de
baz˘ a.
Matricea A a restrict ¸iilor s¸i vectorul X se pot partit ¸iona astfel:
A = (B, R); X =
_
X
B
X
R
_
.
unde
R = ¦a
m+1
, . . . , a
n
¦, X
B
=
_
_
_
x
1
.
.
.
x
m
_
_
_
., X
R
=
_
_
_
x
m+1
.
.
.
x
n
_
_
_
..
Atunci sistemul de restrict ¸ii (2.8) se scrie:
(2.11) (B, R)
_
X
B
X
R
_
= b ⇔BX
B
+RX
R
= b.
Deoarece matricea B este inversabil ˘ a putem determina X
B
:
(2.12) X
B
= B
−1
b −B
−1
RX
R
Deﬁnit¸ie. O solut ¸ie a sistemului de restrict ¸ii AX = b, ce satisface
condit ¸ia X ≥ 0, se numes¸te solut ¸ie admisibil ˘ a sau program.
Mult ¸imea P = ¦X ∈ R
n
/AX = b, X ≥ 0¦ se numes¸te mult ¸imea
programelor.
Deﬁnit¸ie. Un program X
∗
∈ P pentru care obt ¸inem valoarea minim˘ a
a funct ¸iei Z se numes¸te program optim.
Observat¸ie.
– deoarece Z
∗
= min¦C
T
X/X ∈ P¦ = C
T
X
∗
, avem C
T
X
∗
≤
C
T
X, ∀X ∈ P.
– dac˘ a P = ∅, convenim s˘ a punem Z
∗
= ∞.
28
– dac˘ a Z
∗
= −∞, spunem c˘ a problema (2.8) are minim inﬁnit.
Deﬁnit¸ie. O solut ¸ie a sistemului de restrict ¸ii (2.8) se numes¸te solut ¸ie
de baz˘ a dac˘ a toate componentele sale diferite de zero corespund co-
loanelor liniar independente ale matricei A.
Observat¸ie. O solut ¸ie de baz˘ a se poate obt ¸ine din (2.12) pentru X
R
=
0 s¸i aceasta este X
B
= B
−1
b.
Deﬁnit¸ie. O solut ¸ie de baz˘ a X
B
= B
−1
b s¸i X
R
= 0 a sistemului AX =
b care satisface condit ¸ia X ≥ 0 se numes¸te program de baz˘ a ( sau
solut ¸ie admisibil ˘ a de baz˘ a ).
Deﬁnit¸ie. Un program de baz˘ a cu exact m componente pozitive se
numes¸te program de baz˘ a nedegenerat.
ˆ
In caz contrar se numes¸te
program de baz˘ a degenerat.
Teorema 2 (Teorema fundamental ˘ a a program˘ arii liniare).
1. Dac˘ a problema (2.8) are un program atunci are un program de
baz˘ a.
2. Dac˘ a problema (2.8) are un program optim atunci are un program
de baz˘ a optim.
Observat¸ie. Din teorem˘ a rezult ˘ a c˘ a din punct de vedere teoretic de-
terminarea programului optim se realizeaz˘ a astfel:
– se demonstreaz˘ a c˘ a problema are program optim;
– se determin˘ a toate programele de baz˘ a;
– se caut ˘ a printre acestea acela care este optim.
ˆ
In 1951 matematicianul Dantzig a dat un algoritm ce permite explo-
rarea ˆın mod sistematic a mult ¸imii programelor de baz˘ a prin trecerea
de la un program la altul care este cel put ¸in tot at ˆ at de bun ca cel pre-
cedent. Deci problema care se pune este: cum se trece de la o baz˘ a
la o alt ˘ a baz˘ a care ne va furniza un alt program de baz˘ a.
2.4 FORMULE DE SCHIMBARE A BAZEI PENTRU
DETERMINAREA UNEI NOI SOLUT¸ II DE BAZ
˘
A.
Presupunem c˘ a se cunoas¸te o baz˘ a B = ¦a
1
, ..., a
m
¦ pentru care
solut ¸ia corespunz˘ atoare de baz˘ a este:
(2.13) (X
B
= B
−1
b; X
R
= 0).
29
Aceast ˘ a solut ¸ie o presupunem nedegenerat ˘ a.
Consider ˘ amcunoscute s¸i coordonatele vectorilor a
m+1
, a
m+2
, ..., a
n
, b
ˆın aceast ˘ a baz˘ a.
Ne propunem s˘ a construim o nou˘ a baz˘ a B

care s˘ a difere de baza
B printr-un singur vector s¸i s˘ a aﬂ˘ am coordonatele ˆın aceast ˘ a baz˘ a a
vectorilor care nu fac parte din ea.
Solut ¸ia de baz˘ a veriﬁc˘ a sistemul de restrict ¸ii:
(2.14) AX
B
= b ⇔a
1
x
1
+... +a
m
x
m
= b,
unde X
B
= (x
1
, ..., x
m
)
T
.
Consider ˘ am vectorul a
m+1
care ˆın baza B are scrierea:
(2.15) a
m+1
= a
1m+1
a
1
+... +a
mm+1
a
m
.
Presupunem c˘ a cel put ¸in o coordonat ˘ a a
im+1
> 0.
ˆ
Inmult ¸im (2.15)
cu un num˘ ar θ real s¸i sc˘ adem din (2.14). Obt ¸inem:
(2.16)
a
1
(x
1
−θa
1m+1
) +a
2
(x
2
−θa
2m+1
) +... +a
m
(x
m
−θa
mm+1
) +θa
m+1
= b.
Din relat ¸ia (2.16) rezult ˘ a c˘ a vectorul
X

= (x
1
−θa
1m+1
, ..., x
m
−θa
mm+1
, θ)
este solut ¸ie a sistemului de condit ¸ii al problemei. Pentru a ﬁ solut ¸ie ad-
misibil ˘ a, coordonatele sale: x

i
= x
i
− θa
im+1
, ∀i = 1, ..., m s¸i x

m+1
= θ
trebuie s˘ a ﬁe pozitive. Deci se alege θ > 0 astfel ˆıncˆ at x

i
≥ 0. Coordo-
natele x

i
, pentru care a
im+1
< 0, ˆındeplinesc condit ¸ia de pozitivitate.
Se caut ˘ a as¸adar θ pozitiv, astfel ˆıncˆ at coordonatele x
i
− θa
im+1
, cu
a
im+1
> 0, s˘ a ﬁe pozitive.
Din condit ¸ia
x
i
−θa
im+1
≥ 0
a
im+1
> 0
_
⇒0 < θ ≤
x
i
a
im+1
.
Solut ¸ia X

devine solut ¸ie de baz˘ a dac˘ a va avea exact m componente
nenegative.
Alegˆ and θ
0
= min
i
a
im+1
> 0
x
i
a
im+1
, o coordonat ˘ a a vectorului X

se va
anula. De exemplu, presupunem a
1m+1
> 0 s¸i θ
0
=
x
1
a
1m+1
; ˆın acest
caz avem x
1
−θa
1m+1
= 0. Rezult ˘ a :
30
X

= (0, x
2
−θ
0
a
2m+1
, ..., x
m
−θ
0
a
mm+1
, θ
0
).
Pentru a declara X

solut ¸ie de baz˘ a, trebuie s˘ a arat ˘ am c˘ a B

=
¦a
2
, a
3
, ..., a
m
, a
m+1
¦ formeaz˘ a un sistem de vectori liniar independent ¸i.
Pentru aceasta presupunem prin absurd contrariul, s¸i anume, c˘ a exist ˘ a
combinat ¸ia liniar ˘ a :
(2.17) α
2
a
2
+α
3
a
3
+... +α
m
a
m
+α
m+1
a
m+1
= θ,
cu cel put ¸in un scalar nenul. Acest scalar este α
m+1
(deoarece, con-
formprimei observat ¸ii din Sect ¸iunea 1.3, vectorii ¦a
2
, . . . , a
m
¦ sunt liniar
independent ¸i. Atunci din relat ¸ia (2.17) obt ¸inem:
(2.18) a
m+1
= β
2
a
2
+... +β
m
a
m
cu β
i
= −
α
i
α
m+1
, ∀ i = 2, m.
Scadem relat ¸ia (2.18) din (2.15) s¸i obt ¸inem:
(2.19) a
1m+1
a
1
+ (a
2m+1
−β
2
)a
2
+... + (a
mm+1
−β
m
)a
m
= θ
Deoarece ¦a
1
, ..., a
m
¦ sunt liniar independent ¸i rezult ˘ a a
1m+1
= 0,
FALS.
ˆ
In concluzie, B

= ¦a
2
, ..., a
m
, a
m+1
¦ este o nou˘ a baz˘ a s¸i X

este
solut ¸ia corespunz˘ atoare acestei baze.
Se pune problema exprim˘ arii celorlalt ¸i vectori ˆın noua baz˘ a.
Deoarece X

veriﬁc˘ a sistemul de restrict ¸ii, avem:
(2.20) (x
2
−
x
1
a
1m+1
a
2m+1
)a
2
+...+(x
m
−
x
1
a
1m+1
a
mm+1
)a
m
+
x
1
a
1m+1
a
m+1
= b
de unde rezult ˘ a c˘ a ˆın noua baz˘ a coordonatele vectorului b sunt:
(2.21)
b

1
=
x
1
a
1m+1
b

i
= (x
i
−
x
1
a
1m+1
a
im+1
) =
˛
˛
˛
˛
˛
˛
x
i
x
1
a
im+1
a
1m+1
˛
˛
˛
˛
˛
˛
a
1m+1
Consider ˘ am a
j
/ ∈ B

. Acest vector ˆın vechea baz˘ a B are scrierea
31
(2.22) a
j
= a
1j
a
1
+a
2j
a
2
+... +a
mj
a
m
.
T¸ inˆ and seama c˘ a a
1m+1
> 0, din relat ¸ia (2.15), a
1
se expliciteaz˘ a:
(2.23) a
1
=
1
a
1m+1
(a
m+1
−a
2m+1
a
2
−... −a
mm+1
a
m
).
Aceast ˘ a expresie o ˆınlocuim ˆın relat ¸ia (2.22) s¸i obt ¸inem:
(2.24) a
j
= (a
2j
−
a
1j
a
2m+1
a
1m+1
)a
2
+... +(a
mj
−
a
1j
a
mm+1
a
1m+1
)a
m
+
a
1j
a
1m+1
a
m+1
.
As¸adar noile coordonate sunt:
(2.25) a

1j
=
a
1j
a
1m+1
, a

ij
=
¸
¸
¸
¸
a
ij
a
1j
a
im+1
a
1m+1
¸
¸
¸
¸
a
1m+1
.
2.4.1 METODA SIMPLEX DE REZOLVARE A PROBLEMEI DE
PROGRAMARE LINIAR
˘
A. ALGORITMUL SIMPLEX.
Metoda simplex const ˘ a ˆın construirea succesiv˘ a a unor solut ¸ii de baz˘ a
din ce ˆın ce mai bune pˆ an˘ a se obt ¸ine solut ¸ia optim˘ a.
Fie problema de programare liniar ˘ a:
(2.26)
min[Z = C
T
X]
AX = b
X ≥ 0
Not ˘ am cu B = ¦a
1
, a
2
, ..., a
m
¦ s¸i R = ¦a
m+1
, ..., a
n
¦. Atunci A = (B, R),
unde B formeaz˘ a o baz˘ a. Sistemul de restrict ¸ii devine:
(2.27) BX
B
+RX
R
= b
cu solut ¸ia:
(2.28) X
B
= B
−1
b −B
−1
RX
R
.
32
Fie J
B
= ¦i/1 ≤ i ≤ m¦ s¸i J
R
= ¦i/m + 1 ≤ i ≤ n¦.
Solut ¸ia corespunz˘ atoare bazei B este:
X
B
= B
−1
b, X
R
= 0.
Not ˘ am cu X
B
= (x
B
i
)
1≤i≤m
coordonatele vectorului B
−1
b ˆın baza
B, cu X
B
= (x
B
i
)
1≤i≤n
coordonatele vectorului X
B
ˆın baza B s¸i cu
a
B
ij
coordonatele vectorului a
j
, ∀j ∈ J
R
ˆın baza B. Atunci sistemul de
restrict ¸ii (2.28) se scrie:
(2.29) x
B
i
= x
B
i
−

j∈J
R
a
B
ij
x
j
, i ∈ J
B
.
Funct ¸ia obiectiv a problemei este: Z = C
T
X = C
B
X
B
+C
R
X
R
, care
pe componente se scrie:
(2.30) Z =

j∈J
B
c
i
x
B
i
+

j∈J
R
c
j
x
j
.
Folosind relat ¸ia (2.29), expresia funct ¸iei obiectiv devine:
(2.31)
Z =

j∈J
B
c
i
(x
B
i
−

j∈J
R
a
B
ij
x
j
) +

j∈J
R
c
j
x
j
=

j∈J
B
c
i
x
B
i
−

j∈J
R
(

j∈J
B
c
i
a
B
ij
−c
j
)x
j
Se noteaz˘ a cu:
(2.32) Z
B
=

j∈J
B
c
i
x
B
i
s¸i cu z
j
=

j∈J
B
c
i
a
B
ij
Funct ¸ia obiectiv se scrie :
(2.33) Z = Z
B
−

j∈J
R
(z
j
−c
j
)x
j
ˆın care Z
B
reprezint ˘ a valoarea funct ¸iei obiectiv pentru solut ¸ia de baz˘ a:
X
B
= B
−1
b.
Se noteaz˘ a cu :
33
(2.34) ∆
j
= z
j
−c
j
s¸i se observ˘ a c˘ a pentru ∆
j
≤ 0, ∀j ∈ J
R
, din relat ¸ia (2.33) obt ¸inem:
Z > Z
B
. Cu alte cuvinte valoarea funct ¸iei obiectiv pentru un program
oarecare este mai mare decˆ at valoarea pentru un program de baz˘ a.
Teorema 3 (Criteriul de optim). Dac˘ a pentru o baz˘ a B avem ∆
j
=
z
j
−c
j
≤ 0, ∀j ∈ J
R
, atunci programul de baz˘ a corespunz˘ ator bazei B
este program optim pentru problema de programare liniar ˘ a.
Solut ¸ie. Dac˘ a pentru o baz˘ a B avem ∆
j
≤ 0, ∀j ∈ J
R
, atunci oricare ar
ﬁ solut ¸ia admisibil ˘ a X a problemei (2.33), rezult ˘ a : Z > Z
B
deoarece
x
j
≥ 0, ∆
j
≤ 0 s¸i (z
j
−c
j
)x
j
≥ 0. Q.E.D.
Teorema 4. Dac˘ a pentru o baz˘ a exist ˘ a un indice k ∈ J
R
pentru care
∆
k
= z
k
− c
k
> 0, atunci programul de baz˘ a corespunz˘ ator nu este
optim.
Solut ¸ie. Fie X
B
solut ¸ia de baz˘ a corespunz˘ atoare bazei B pentru care
exist ˘ a k ∈ J
R
cu ∆
k
= z
k
−c
k
> 0. Consider ˘ am o alt ˘ a solut ¸ie a proble-
mei (2.26) ale c˘ arei componente coincid cu cele ale lui X
B
cu except ¸ia
celei de rang k, notat ˘ a cu x
0
k
. Aceast ˘ a solut ¸ie X
0
nu este ˆın general de
baz˘ a. Deci X
0
= (x
0
1
, ..., x
0
m
, 0, ..., 0, x
0
k
, ...0)
T
. Dac˘ a not ˘ am cu Z
0
valoa-
rea funct ¸iei obiectiv pentru solut ¸ia X
0
, atunci: Z
0
= Z
B
−(z
k
−c
k
)X
0
k
<
Z
B
. Cu alte cuvinte, solut ¸ia de baz˘ a corespunz˘ atoare bazei B nu este
optim˘ a. Q.E.D.
Teorema 5. Dac˘ a pentru o baz˘ a B exist ˘ a un indice k ∈ J
R
pentru care
∆
k
= z
k
− c
k
> 0 iar coordonatele vectorului a
k
ˆın baza B, a
B
ij
≤ 0,
pentru orice i ∈ J
B
, atunci problema (2.26) are optim inﬁnit.
Solut ¸ie. Fie X(α) = (x
1
(α), . . . , x
n
(α)) ∈ R
n
deﬁnit astfel: pentru α ≥ 0,
x
i
(α) =
_
_
_
x
B
i
−αa
B
ik
dac˘ a i ∈ J
B
α dac˘ a i = k
0 dac˘ a i ∈ J
R
¸¦k¦.
Se veriﬁc˘ a us¸or c˘ a X(α) este solut ¸ie a problemei (2.26) pentru orice
α ≥ 0 (se veriﬁc˘ a ecuat ¸iile sistemului de condit ¸ii).
Valoarea funct ¸iei obiectiv este: Z(α) = Z
B
− (z
k
− c
k
)α. Rezult ˘ a
lim
α→∞
Z(α) = −∞. Q.E.D.
34
Observat¸ie. Vom ar ˘ ata cum putem obt ¸ine o nou˘ a baz˘ a s¸i o solut ¸ie de
baz˘ a corespunz˘ atoare ˆın condit ¸iile teoremei (4), cˆ and exist ˘ a un indice
k ∈ J
R
cu ∆
k
> 0 s¸i coordonatele vectorului a
k
nu sunt toate mai mici
sau egale cu zero.
Teorema 6. Fie o baz˘ a B pentru care ∃k ∈ J
R
astfel ˆıncˆ at ∆
k
> 0 s¸i
vectorul a
k
are s¸i componente strict pozitive, adic˘ a exist ˘ a a
B
ik
> 0, 1 ≤
i ≤ m. Dac˘ a indicele l ∈ J
B
este acela pentru care se obt ¸ine θ
0
=
min
i
¦
x
B
i
a
B
ik
/a
B
ik
> 0¦ =
x
B
l
a
B
lk
, atunci baza
¯
B ce difer ˘ a de baza B printr-un
singur vector (vectorul a
l
s-a ˆınlocuit cu a
k
) este o baz˘ a admisibil ˘ a s¸i
solut ¸ia de baz˘ a corespunz˘ atoare
¯
X
B
este tot at ˆ at de bun˘ a ca s¸i X
B
,
adic˘ a
¯
Z
B
≤ Z
B
.
Solut ¸ie. Pentru solut ¸ia de baz˘ a X
B
= (x
B
1
, ..., x
B
m
, 0, ..., 0) avem:
(2.35) x
B
1
a
1
+... +x
B
m
a
m
= b (veriﬁc˘ a sistemul de condit ¸ii)
Dac˘ a vectorul a
k
are ˆın baza B scrierea:
(2.36) a
k
= a
B
1k
a
1
+a
B
2k
a
2
+... +a
B
mk
a
m
,
ˆınmult ¸im relat ¸ia (2.36) cu θ
0
s¸i sc˘ adem din (2.35). Obt ¸inem astfel:
(2.37)
(x
B
1
−θ
0
a
B
1k
)a
1
+...+ (x
B
l
−θ
0
a
B
lk
)
. ¸¸ .
a
l
+... + (x
B
m
−θ
0
a
B
mk
)a
m
+θ
0
a
k
= b
= 0
din care rezult ˘ a c˘ a solut ¸ia
¯
X = (x
B
1
− θ
0
a
B
1k
, ..., 0, ..., x
B
m
− θ
0
a
B
mk
, θ
0
)
este o nou˘ a solut ¸ie de baz˘ a.
Dac˘ a Z
B
= c
1
x
B
1
+c
2
x
B
2
+... +c
m
x
B
m
s¸i z
k
= a
B
1k
c
1
+a
B
2k
c
2
+... +a
B
mk
c
m
,
ˆınmult ¸ind z
k
cu θ
0
s¸i sc˘ azˆ and din Z
B
, obt ¸inem:
(2.38) (x
B
1
−θ
0
a
B
1k
)c
1
+... + (x
B
m
−θ
0
a
B
mk
)c
m
+θ
0
c
k
= Z
B
−θ
0
(z
k
−c
k
)
adunˆ and ˆın ﬁecare membru θ
0
c
k
.
Din relat ¸ia (2.38) rezult ˘ a c˘ a
(2.39)
¯
Z = Z
B
−θ
0
(z
k
−c
k
).
Deoarece θ
0
> 0, z
k
−c
k
> 0, rezult ˘ a
¯
Z ≤ Z
B
.
Observat¸ie.
35
1. Dac˘ a exist ˘ a mai mult ¸i indici j ∈ J
R
pentru care ∆
j
= z
j
− c
j
> 0
conform relat ¸iei (2.39) rezult ˘ a c˘ a este convenabil de ales diferent ¸a
∆
j
cea mai mare pentru care
¯
Z are cea mai mic˘ a valoare.
Criteriul de intrare ˆın baz˘ a: operat ¸ia de a alege dintre diferent ¸ele
∆
j
> 0 pe ∆
k
= max
j
(z
j
−c
j
) = z
k
−c
k
arat ˘ a c˘ a vectorul a
k
va intra
ˆın noua baz˘ a.
2. Criteriul de ies¸ire din baz˘ a: valoarea θ
0
= min
i
¦
x
B
i
a
B
ik
¦ cu a
B
ik
> 0, indic˘ a
vectorul care p˘ ar ˘ ases¸te baza.
3. Trecerea de la baza B la baza
¯
B se numes¸te iterat ¸ie a algoritmului
simplex.
4.
ˆ
In metoda simplex ne intereseaz˘ a la pornire o baz˘ a lesnicioas˘ a.
Aceasta este baza unitar ˘ a. Dac˘ a matricea A cont ¸ine aceast ˘ a baz˘ a,
vectorii a
j
care nu se g˘ asesc ˆın baz˘ a vor avea ˆın baza unitar ˘ a coor-
donatele as¸a cum apar ele ˆın matrice. Dac˘ a matricea A nu cont ¸ine
baza unitar ˘ a, exist ˘ a procedee prin care se obt ¸ine aceast ˘ a baz˘ a la
primul pas.
ALGORITMUL SIMPLEX.
– Pasul 0: se scrie matricea A s¸i se identiﬁc˘ a baza unitar ˘ a (presu-
punˆ and c˘ a exist ˘ a). Se determin˘ a solut ¸ia init ¸ial ˘ a de baz˘ a X
B
, im-
punˆ and ˆın sistemul de restrict ¸ii X
R
= 0.
Deoarece ˆın baza unitar ˘ a a
B
ij
= a
ij
se ˆıntocmes¸te tabelul:
B C
B
X
B
c
1
a
1
c
2
a
2
....
c
n
a
n
a
k1
a
k2
a
kn
∆
j
∆
1
∆
2
... ∆
n
– Pasul 1: Pentru ﬁecare j ∈ J
R
= ¦m + 1, m + 2, ..., n¦ se calculeaz˘ a
diferent ¸ele ∆
j
:
∆
j
=
_
z
j
−c
j
ˆın cazul problemei de minim
c
j
−z
j
ˆın cazul problemei de maxim ,
unde z
j
=
m

i=1
c
i
a
ij
, m+1 ≤ j ≤ n. Diferent ¸ele ∆
j
cu 1 ≤ j ≤ m (cele
corespunz˘ atoare vectorilor bazei) sunt egale cu zero.
1. Dac˘ a ∆
j
≤ 0, ∀j ∈ J
R
, STOP; X
B
este conform criteriului de optim,
solut ¸ia optim˘ a.
36
2. Dac˘ a exist ˘ a indici j ∈ J
R
pentru care ∆
j
> 0 se aplic˘ a criteriul
de intrare ˆın baz˘ a alegˆ andu-se diferent ¸a ∆
k
= max
j∈J
R
∆
j
care indic˘ a
vectorul a
k
ce intr ˘ a ˆın noua baz˘ a.
3. Dac˘ a toate componentele vectorului a
k
sunt mai mici sau egale cu
zero, STOP, problema are optim inﬁnit.
Dac˘ a vectorul a
k
are s¸i componente pozitive, pentru acestea se
calculeaz˘ a rapoartele
x
B
i
a
ik
s¸i se alege θ
0
= min¦
x
B
i
a
ik
¦ =
x
B
l
a
lk
; con-
form criteriului de ies¸ire din baz˘ a, vectorul a
l
p˘ ar ˘ ases¸te baza ﬁind
ˆınlocuit cu a
k
. Se obt ¸ine o nou˘ a baz˘ a. Elementul de la intersect ¸ia
liniei l cu coloana k se numes¸te pivot.
– Pasul 2: Se reface tabelul simplex:
* se scrie noua baz˘ a;
* se completeaz˘ a coloana c corespunz˘ atoare;
* ˆıncepˆ and cu coloana lui X
B
, linia l a pivotului se scrie ˆımp˘ art ¸it ˘ a la
pivot;
* se completeaz˘ a vectorii unitari ai noii baze;
* celelalte elemente ale tabelului se calculeaz˘ a conform formulelor
de schimbare a bazei cu regula ”dreptunghiului”;
* se calculeaz˘ a diferent ¸ele ∆
j
s¸i se reia Pasul 1 s¸i 2.
Exemplul 1. Consider ˘ am problema de programare liniar ˘ a:
max[Z = 500x
1
+ 600x
2
+ 400x
3
]
_
¸
¸
_
¸
¸
_
2x
1
+x
3
≤ 200
1
2
x
1
+x
2
+x
3
≤ 100
x
1
+ 3x
2
≤ 400
x
1
, x
2
, x
3
≥ 0.
Solut ¸ie. Se aduce la forma standard ad˘ augˆ and ecarturile x
e
4
, x
e
5
, x
e
6
≥ 0.
max[Z = 500x
1
+ 600x
2
+ 400x
3
]
_
_
_
2x
1
+x
3
+x
e
4
= 200
1
2
x
1
+x
2
+x
3
+x
e
5
= 100
x
1
+ 3x
2
+x
e
6
= 400
Matricea sistemului de restrict ¸ii este:
A =
_
_
2 0 1 1 0 0
1
2
1 1 0 1 0
1 3 0 0 0 1
_
_
37
Coloanele matricei A vor ﬁ notate cu: a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
; de exemplu
a
3
=
_
_
1
1
0
_
_
.
Baza este:
B = ¦a
4
, a
5
, a
6
¦.
Pentru determinarea solut ¸iei init ¸iale de baz˘ a X
B
, ˆın sistemul de condit ¸ii
se fac toate variabilele ne bazice, adic˘ a x
1
, x
2
, x
3
, egale cu zero. Re-
zult ˘ a X
B
= (0, 0, 0, 200, 100, 400).
B C
B
X
B
c
1
= 500
a
1
c
2
= 600
a
2
c
3
= 400
a
3
c
4
= 0
a
4
c
5
= 0
a
5
c
6
= 0
a
6
a
4
0 200 2 0 1 1 0 0
a
5
0 100
1
2
1 1 0 1 0 θ
2
=
100
1
a
6
0 400 1 3 0 0 0 1 θ
3
=
400
3
∆
j
= c
j
−z
j
∆
1
= 500 ∆
2
= 600 ∆
3
= 400 0 0 0
Se observ˘ a c˘ a cea mai mare valoare ∆
j
, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 este
∆
2
= 600, deci vectorul a
2
va intra ˆın baz˘ a. Se calculeaz˘ a s¸i rapoar-
tele θ
i
=
x
B
i
a
ik
, i = 1, 2, 3; k = 2 corespunz˘ atoare coloanei a
2
, adic˘ a :
θ
2
=
100
1
, θ
3
=
400
3
s¸i se alege dintre ele cea mai mic˘ a valoare: θ
2
.
As¸adar vectorul a
5
va p˘ ar ˘ asi baza. Pivotul este elementul 1 din co-
loana lui a
2
.
ˆ
In noul tabel c-ul corespunz˘ ator vectorului a
5
din baz˘ a se
va ˆınlocui cu c-ul corespunz˘ ator vectorului a
2
care intr ˘ a ˆın baz˘ a, adic˘ a
c
2
= 600. Linia pivotului, ˆın noul tabel, se va trece ˆımp˘ art ¸it ˘ a la pivot.
Coloana pivotului, ˆın noul tabel, se va completa cu zerouri. Restul ele-
mentelor se calculeaz˘ a cu regula ”dreptunghiului”.
Tabelul se continu˘ a astfel :
B C
B
X
B
c
1
= 500
a
1
c
2
= 600
a
2
c
3
= 400
a
3
c
4
= 0
a
4
c
5
= 0
a
5
c
6
= 0
a
6
a
4
0 200 2 0 1 1 0 0 θ
1
=
200
2
a
2
600 100
1
2
1 1 0 1 0 θ
2
=
100
1
2
a
6
0 100 −
1
2
0 -3 0 -3 1
∆
j
= c
j
−z
j
∆
1
= 200 ∆
2
= 0 ∆
3
= −200 0 ∆
5
= −600 0
38
Se observ˘ a c˘ a cea mai mare valoare ∆
j
, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 este
∆
1
= 200, deci vectorul a
1
va intra ˆın baz˘ a. Se calculeaz˘ a s¸i rapoar-
tele θ
i
=
x
B
i
a
ik
, i = 1, 2, 3; k = 1 corespunz˘ atoare coloanei a
1
, adic˘ a :
θ
1
=
200
2
, θ
2
=
100
1
2
s¸i se alege dintre ele cea mai mic˘ a valoare: θ
1
.
As¸adar vectorul a
4
va p˘ ar ˘ asi baza. Pivotul este elementul 2 din co-
loana lui a
1
.
ˆ
In noul tabel c-ul corespunz˘ ator vectorului a
4
din baz˘ a se
va ˆınlocui cu c-ul corespunz˘ ator vectorului a
1
care intr ˘ a ˆın baz˘ a, adic˘ a
c
1
= 500. Linia pivotului, ˆın noul tabel, se va trece ˆımp˘ art ¸it ˘ a la pivot.
Coloana pivotului, ˆın noul tabel, se va completa cu zerouri. Restul ele-
mentelor se calculeaz˘ a cu regula ”dreptunghiului”.
Tabelul se continu˘ a astfel:
B C
B
X
B
c
1
= 500
a
1
c
2
= 600
a
2
c
3
= 400
a
3
c
4
= 0
a
4
c
5
= 0
a
5
c
6
= 0
a
6
a
1
500 100 1 0
1
2
1
2
0 0
a
2
600 50 0 1
3
4
−
1
4
1 0
a
6
0 150 0 0 -
11
4
−
1
4
-3 1
∆
j
= c
j
−z
j
0 0 ∆
3
= −300 ∆
4
= −100 ∆
5
= −600 0
Algoritmul se opres¸te.
Solut ¸ia optim˘ a este: X = (100, 50, 0, 0, 0, 0). Deci Z
max
= 80000.
Q.E.D.
2.4.2 TEHNICI ALE BAZEI ARTIFICIALE PENTRU
DETERMINAREA UNUI PROGRAM INIT¸ IAL DE BAZ
˘
A.
ˆ
In aplicarea algoritmului simplex este necesar ˘ a existent ¸a unei baze
init ¸iale unitare.
ˆ
In cazul ˆın care aceast ˘ a baz˘ a nu ﬁgureaz˘ a printre co-
loanele matricei A s¸i nu apare nici dup˘ a efectuarea compens˘ arilor prin
ad˘ augarea variabilelor ecart este necesar s˘ a folosim tehnici prin care
s˘ a obt ¸inem acest lucru.
Fie problema de programare liniar ˘ a :
(2.40)
min[Z = C
T
X]
AX = b
X ≥ 0
39
pentru care matricea A a sistemului de restrict ¸ii (2.40) nu cont ¸ine baz˘ a
unitar ˘ a. Ad˘ augˆ and cˆ ate o variabil ˘ a artiﬁcial ˘ a x
a
i
≥ 0, i = 1, ..., m, ˆın
ﬁecare restrict ¸ie a problemei (2.40), obt ¸inem sistemul:
(2.41) AX +IX
a
= b ⇔
n

j=1
a
ij
x
j
+x
a
i
= b
i
, i = 1, . . . , m.
O solut ¸ie a sistemului (2.41) este solut ¸ie s¸i pentru sistemul (2.40),
dac˘ a ˆın aceast ˘ a solut ¸ie elementele x
a
i
, i = 1, . . . , m sunt toate zero
(numai ˆın acest caz solut ¸ia sistemului (2.41) veriﬁc˘ a s¸i sistemul (2.40).
Asociem problemei (2.40) o problem˘ a extins˘ a al carui sistem de
restrict ¸ii este (2.41). Vom urm˘ ari s˘ a g˘ asim o solut ¸ie de baz˘ a a mode-
lului extins ˆın care variabilele artiﬁciale s˘ a ﬁe variabile nebazice (adic˘ a
sa aib˘ a valori nule). O astfel de solut ¸ie de baz˘ a a problemei extinse
va reprezenta ˆın anumite condit ¸ii o solut ¸ie de baz˘ a init ¸ial ˘ a pentru pro-
blema (2.40) cu care se poate ˆıncepe algoritmul simplex.
Metoda folosit ˘ a se numet ¸e metoda celor dou˘ a faze.
METODA CELOR DOU
˘
A FAZE.
ˆ
In prima faz˘ a se rezolv˘ a problema:
(2.42)
min[x
a
1
+x
a
2
+ +x
a
m
]
AX +IX
a
= b
X, X
a
≥ 0
Problema (2.42) are baz˘ a admisibil ˘ a unitar ˘ a c˘ areia ˆıi corespunde
programul de baz˘ a (X = 0, X
a
= b) cu care se ˆıncepe algoritmul sim-
plex.
Analizˆ and ultimul tabel simplex pentru problema (2.42) pot ap˘ area
urm˘ atoarele cazuri:
1. min(x
a
1
+x
a
2
+ +x
a
m
) = 0; deci ˆın solut ¸ia optim˘ a a problemei (2.42)
toate variabilele artiﬁciale sunt nule.
ˆ
In acest caz baza care ne d˘ a aceast ˘ a solut ¸ie optim˘ a este format ˘ a
numai cu vectori coloan˘ a ai matricei A s¸i va constitui o baz˘ a init ¸ial ˘ a
a problemei (2.40).
Urmeaz˘ a faza a doua ˆın care problemei (2.40) i se aplic˘ a algoritmul
simplex plecˆ and de la baza optim˘ a s¸i solut ¸ia optim˘ a a problemei
(2.42).
40
2. min(x
a
1
+x
a
2
+ +x
a
m
) > 0; ˆın acest caz problema (2.40) nu are pro-
grame.
ˆ
Intr-adev˘ ar, presupunˆ and prin absurd c˘ a problema (2.40)
are un program
¯
X atunci (
¯
X, X
a
= 0) este program pentru pro-
blema (2.42).
ˆ
In acest caz min(x
a
1
+ x
a
2
+ + x
a
m
) = 0 ceea ce
contrazice ipoteza c˘ a minimul este strict pozitiv.
Observat¸ie.
1. Este posibil s˘ a obt ¸inem la prima faz˘ a min(x
a
1
+x
a
2
+ +x
a
m
) = 0 s¸i
ˆın acelas¸i timp s˘ a mai r ˘ amˆ an˘ a ˆın baza optim˘ a vectori artiﬁciali pen-
tru care variabilele bazice corespunz˘ atoare s˘ a aib˘ a valoarea zero.
Aceasta are loc dac˘ a rangA < m sau rangA = m dac˘ a problema
(2.40) este degenerat ˘ a.
Trebuie precizat c˘ a prima faz˘ a se consider ˘ a ˆıncheiat ˘ a ˆın momentul
ˆın care vectorii artiﬁciali sunt eliminat ¸i din baz˘ a.
Dac˘ a rangA = m, dar problema (2.40) este degenerat ˘ a, variabi-
lele artiﬁciale care au valoarea zero pot ﬁ ˆınlocuite cu variabile ale
problemei init ¸iale care vor lua deasemenea valoarea zero.
Dac˘ a rangA < m, nu este posibil ˘ a eliminarea tuturor variabilelor
artiﬁciale.
ˆ
In acest caz, liniile matricei A corespunz˘ atoare acestor
variabile sunt combinat ¸ii ale celorlalte s¸i pot ﬁ neglijate; deci liniile
respective se vor s¸terge din tabelul simplex.
2. Dac˘ a ˆın problema init ¸ial ˘ a exist ˘ a ˆın matricea A cˆ at ¸iva vectori unitari,
atunci se vor ad˘ auga at ˆ atea variabile artiﬁciale cˆ at este necesar
pentru completarea bazei , iar prima faz˘ a minimizeaz˘ a doar aceste
variabile artiﬁciale.
Exemplul 2. Fie problema
max[Z = 3x
1
+ 2x
2
+x
3
+ 2x
4
]
_
_
_
2x
1
+x
2
+x
3
+ 2x
4
= 12
x
1
+ 2x
2
+x
3
+ 3x
4
= 14
x
1
, x
2
, x
3
, x
4
≥ 0.
Solut ¸ie.
A =
_
2 1 1 2
1 2 1 3
_
nu cont ¸ine baz˘ a unitar ˘ a.
Construim sistemul extins :
41
_
_
_
2x
1
+x
2
+x
3
+ 2x
4
+x
a
5
= 12
x
1
+ 2x
2
+x
3
+ 3x
4
+x
a
6
= 14
x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
a
5
, x
a
6
≥ 0.
unde
A =
_
2 1 1 2 1 0
1 2 1 3 0 1
_
Coloanele matricei A vor ﬁ notate cu: a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
; de exemplu
a
3
=
_
1
1
_
.
Prima faz˘ a rezolv˘ a problema:
min[x
a
5
+x
a
6
]
_
_
_
2x
1
+x
2
+x
3
+ 2x
4
+x
a
5
= 12
x
1
+ 2x
2
+x
3
+ 3x
4
+x
a
6
= 14
x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
a
5
, x
a
6
≥ 0.
cu baza init ¸ial ˘ a B = ¦a
5
, a
6
¦ s¸i X
B
= (12, 14).
B C
B
X
B
c
1
= 0
a
1
c
2
= 0
a
2
c
3
= 0
a
3
c
4
= 0
a
4
c
5
= 1
a
5
c
6
= 1
a
6
a
5
1 12 2 1 1 2 1 0 θ
1
=
12
2
a
6
1 14 1 2 1 3 0 1 θ
2
=
14
3
∆
j
= z
j
−c
j
3 3 2 5 0 0
Se observ˘ a c˘ a cea mai mare valoare ∆
j
, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 este
∆
4
= 5, deci vectorul a
4
va intra ˆın baz˘ a. Se calculeaz˘ a θ
1
=
12
2
, θ
2
=
14
3
s¸i se alege dintre ele cea mai mic˘ a valoare: θ
2
. As¸adar vectorul a
6
va
p˘ ar ˘ asi baza. Pivotul este elementul 3 din coloana lui a
4
.
ˆ
In noul tabel
c-ul corespunz˘ ator vectorului a
6
din baz˘ a se va ˆınlocui cu c-ul cores-
punz˘ ator vectorului a
4
care intr ˘ a ˆın baz˘ a, adic˘ a c
4
= 0. Linia pivotului,
ˆın noul tabel, se va trece ˆımp˘ art ¸it ˘ a la pivot. Coloana pivotului, ˆın noul
tabel, se va completa cu zerouri. Restul elementelor se calculeaz˘ a cu
regula ”dreptunghiului”.
Tabelul se continu˘ a astfel:
42
B C
B
X
B
c
1
= 0
a
1
c
2
= 0
a
2
c
3
= 0
a
3
c
4
= 0
a
4
c
5
= 1
a
5
c
6
= 1
a
6
a
5
1
8
3
4
3
−
1
3
1
3
0 1 −
2
3
θ
1
=
8
4
a
4
0
14
3
1
3
2
3
1
3
1 0
1
3
θ
2
=
14
1
∆
j
= z
j
−c
j
4
3
−
1
3
1
3
0 0 −
5
3
Se observ˘ a c˘ a cea mai mare valoare ∆
j
, j = 1, 2, 3, 4, 5 este ∆
1
=
4
3
,
deci vectorul a
1
va intra ˆın baz˘ a. Se calculeaz˘ a θ
1
=
8
4
, θ
2
= 14 s¸i se
alege dintre ele cea mai mic˘ a valoare: θ
1
. As¸adar vectorul a
5
va p˘ ar ˘ asi
baza. Pivotul este elementul
4
3
din coloana lui a
1
.
ˆ
In noul tabel c-ul co-
respunz˘ ator vectorului a
5
din baz˘ a se va ˆınlocui cu c-ul corespunz˘ ator
vectorului a
1
care intr ˘ a ˆın baz˘ a, adic˘ a c
1
= 0. Linia pivotului, ˆın noul
tabel, se va trece ˆımp˘ art ¸it ˘ a la pivot. Coloana pivotului, ˆın noul tabel,
se va completa cu zerouri. Restul elementelor se calculeaz˘ a cu regula
”dreptunghiului”.
Tabelul se continu˘ a astfel:
B C
B
X
B
c
1
= 0
a
1
c
2
= 0
a
2
c
3
= 0
a
3
c
4
= 0
a
4
c
5
= 1
a
5
c
6
= 1
a
6
a
1
0 2 1 −
1
4
1
4
0
a
4
0 4 0
3
4
1
4
1
∆
j
= z
j
−c
j
0 0 0 0
Faza ˆınt ˆ ai s-a ˆıncheiat cu baza optim˘ a ¦a
1
, a
4
¦ s¸i solut ¸ia de baz˘ a
(2, 0, 0, 4) s¸i min(x
a
1
+x
a
2
) = 0.
Faza a doua ˆıncepe cu baza init ¸ial ˘ a ¦a
1
, a
4
¦ s¸i solut ¸ia de baz˘ a
(2, 0, 0, 4) obt ¸inut ˘ a ˆın ultimul tabel simplex al primei faze.
B C
B
X
B
c
1
= 3
a
1
c
2
= 2
a
2
c
3
= 1
a
3
c
4
= 2
a
4
a
1
3 2 1 −
1
4
1
4
0
a
4
2 4 0
3
4
1
4
1 θ
2
=
4
3
4
∆
j
= z
j
−c
j
0
5
4
−
1
4
0
Avem o singur ˘ a diferent ¸˘ a pozitiv˘ a ∆
2
=
5
4
, deci vectorul a
2
intr ˘ a ˆın
noua baz˘ a. Deoarece pe coloana a
2
avem un singur element pozitiv,
rezult ˘ a c˘ a a
4
p˘ ar ˘ ases¸te baza. Pivotul este elementul
3
4
din coloana lui
a
2
.
ˆ
In noul tabel c-ul corespunz˘ ator vectorului a
4
din baz˘ a se va ˆınlocui
cu c-ul corespunz˘ ator vectorului a
2
care intr ˘ a ˆın baz˘ a, adic˘ a c
1
= 2.
Linia pivotului, ˆın noul tabel, se va trece ˆımp˘ art ¸it ˘ a la pivot. Coloana
43
pivotului, ˆın noul tabel, se va completa cu zerouri. Restul elementelor
se calculeaz˘ a cu regula ”dreptunghiului”.
Tabelul se continu˘ a astfel :
B C
B
X
B
c
1
= 3
a
1
c
2
= 2
a
2
c
3
= 1
a
3
c
4
= 2
a
4
a
1
3
10
3
1 0
1
3
1
3
a
2
2
16
3
0 1
1
3
4
3
∆
j
= z
j
−c
j
0 0 −
2
3
−
5
3
Algoritmul se opres¸te. X
optim
= (
10
3
,
16
3
, 0, 0), −Z
min
= −10 −
32
3
de
unde rezult ˘ a Z
max
=
62
3
. Q.E.D.
METODA PENALIZ
˘
ARII. Fie problema de programare liniar ˘ a :
(2.43)
min[Z = C
T
X]
AX = b
X ≥ 0
pentru care matricea A a sistemului de restrict ¸ii (2.43) nu cont ¸ine baz˘ a
unitar ˘ a. Se asociaz˘ a problemei (2.43) o problem˘ a extins˘ a:
(2.44)
min[Z = C
T
X +Λ
T
X
a
]
AX +IX
a
= b
X, X
a
≥ 0
obt ¸inut ˘ a prin ad˘ augarea la ﬁecare restrict ¸ie a cˆ ate unei variabile
artiﬁciale x
a
i
. Aceste variabile artiﬁciale vor crea ˆın matricea A baza
unitar ˘ a.
ˆ
In funct ¸ia obiectiv variabilele artiﬁciale apar cu coeﬁcient ¸i egali
cu M, un num˘ ar foarte mare pozitiv care nu va permite funct ¸iei obiectiv
sa ˆıs¸i ating˘ a valoarea minim˘ a decˆ at atunci cˆ and ˆın solut ¸ia optim˘ a nu
vor mai ﬁ variabile artiﬁciale.
Observat¸ie.
ˆ
In cazul problemei de max coeﬁcient ¸ii variabilelor arti-
ﬁciale din funct ¸ia obiectiv sunt −M iar ˆın cazul problemei de min
coeﬁcient ¸ii variabilelor artiﬁciale din funct ¸ia obiectiv sunt M. Coeﬁcien-
tul M se numes¸te coeﬁcient de penalizare.
Problema (2.44) se rezolv˘ a cu ajutorul algoritmului simplex.
Pe parcursul aplic˘ arii algoritmului simplex se pot ˆınt ˆ alni urm˘ atoarele
situat ¸ii:
44
– la un anumit moment al algoritmului tot ¸i vectorii artiﬁciali au p˘ ar ˘ asit
baza; se continu˘ a algoritmul pˆ an˘ a se obt ¸ine solut ¸ia optim˘ a.
– algoritmul simplex s-a ˆıncheiat, dar ˆın solut ¸ia optim˘ a au r ˘ amas varia-
bile artiﬁciale.
ˆ
In acest caz:
a)dac˘ a variabilele artiﬁciale r ˘ amase ˆın solut ¸ia optim˘ a au toate valoa-
rea zero, problema init ¸ial ˘ a admite solut ¸ie.
b)dac˘ a variabilele artifciale r ˘ amase ˆın solut ¸ia optim˘ a nu au toate va-
loarea zero, problema init ¸ial ˘ a nu are solut ¸ie.
Observat¸ie. Pe parcursul algoritmului, cˆ and un vector artiﬁcial p˘ ar ˘ ases¸te
baza, ˆın general el nu va mai reveni ˆın baz˘ a, deci ˆın etapele urm˘ atoare
el nu se mai ia ˆın considerare.
Exemplul 3. Consider ˘ am problema de programare liniar ˘ a:
min[Z = 6x
1
+x
2
]
_
_
_
x
1
+ 2x
2
≥ 3
3x
1
+x
2
≥ 4
x
1
, x
2
≥ 0.
Solut ¸ie. Se aduce problema la forma standard prin sc˘ aderea cˆ atei unei
variabile ecart din ﬁecare restrict ¸ie:
min[Z = 6x
1
+x
2
]
_
_
_
x
1
+ 2x
2
−x
e
3
= 3
3x
1
+x
2
−x
e
4
= 4
x
1
, x
2
, x
e
3
, x
e
4
≥ 0.
Matricea sistemului de restrict ¸ii:
A =
_
1 2 −1 0
3 1 0 −1
_
nu admite baz˘ a unitar ˘ a. Se rezolv˘ a problema folosind metoda pena-
lit ˘ at ¸ii. Asociem problema:
min[Z = 6x
1
+x
2
+Mx
a
5
+Mx
a
6
]
_
_
_
x
1
+ 2x
2
−x
e
3
+x
a
5
= 3
3x
1
+x
2
−x
e
4
+x
a
6
= 4
x
1
, x
2
, x
e
3
, x
e
4
, x
a
5
, x
a
6
≥ 0.
45
Matricea sistemului de restrict ¸ii
¯
A =
_
1 2 −1 0 1 0
3 1 0 −1 0 1
_
cont ¸ine baza unitar ˘ a B = ¦a
5
, a
6
¦, unde cu a
1
, . . . , a
6
am notat coloa-
nele matricei
¯
A.
ˆ
In continuare se aplic˘ a algoritmul simplex.
B C
B
X
B
c
1
= 6
a
1
c
2
= 1
a
2
c
3
= 0
a
3
c
4
= 0
a
4
c
5
= M
a
5
c
6
= M
a
6
a
5
M 3 1 2 -1 0 1 0 θ
1
=
3
1
a
6
M 4 3 1 0 -1 0 1 θ
2
=
4
3
∆
j
= z
j
−c
j
4M −6 3M −1 −M −M 0 0
Se observ˘ a c˘ a cea mai mare valoare ∆
j
, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 este
∆
1
= 4M − 6, deci vectorul a
1
va intra ˆın baz˘ a. Se calculeaz˘ a s¸i ra-
poartele θ
i
=
x
B
i
a
ik
, i = 1, 2; k = 1 corespunz˘ atoare coloanei a
1
, adic˘ a:
θ
1
=
3
1
, θ
2
=
4
3
s¸i se alege dintre ele cea mai mic˘ a valoare: θ
2
. As¸adar
vectorul a
6
va p˘ ar ˘ asi baza. Pivotul este elementul 3 din coloana lui a
1
.
ˆ
In noul tabel c-ul corespunz˘ ator vectorului a
6
din baz˘ a se va ˆınlocui cu
c-ul corespunz˘ ator vectorului a
1
care intr ˘ a ˆın baz˘ a, adic˘ a c
1
= 6. Linia
pivotului, ˆın noul tabel, se va trece ˆımp˘ art ¸it ˘ a la pivot. Coloana pivo-
tului, ˆın noul tabel, se va completa cu zerouri. Restul elementelor se
calculeaz˘ a cu regula ”dreptunghiului”. Noul tabel arat ˘ a astfel:
B C
B
X
B
c
1
= 6
a
1
c
2
= 1
a
2
c
3
= 0
a
3
c
4
= 0
a
4
c
5
= M
a
5
c
6
= M
a
6
a
5
M
5
3
0
5
3
-1
1
3
1 −
1
3
θ
1
= 1
a
1
6
4
3
1
1
3
0 −
1
3
0
1
3
θ
2
= 4
∆
j
= z
j
−c
j
0
5M
3
+ 1 −M
M
3
−2 0 −
4M
3
+ 2
Se observ˘ a c˘ a cea mai mare valoare ∆
j
, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 este
∆
2
=
5M
3
+ 1, deci vectorul a
2
va intra ˆın baz˘ a. Se calculeaz˘ a s¸i ra-
poartele θ
i
=
x
B
i
a
ik
, i = 1, 2; k = 2 corespunz˘ atoare coloanei a
2
, adic˘ a:
θ
1
= 1, θ
2
= 4 s¸i se alege dintre ele cea mai mic˘ a valoare: θ
1
. As¸adar
vectorul a
5
va p˘ ar ˘ asi baza. Pivotul este elementul
5
3
din coloana lui a
2
.
ˆ
In noul tabel c-ul corespunz˘ ator vectorului a
5
din baz˘ a se va ˆınlocui cu
46
c-ul corespunz˘ ator vectorului a
2
care intr ˘ a ˆın baz˘ a, adic˘ a c
2
= 1. Linia
pivotului, ˆın noul tabel, se va trece ˆımp˘ art ¸it ˘ a la pivot. Coloana pivo-
tului, ˆın noul tabel, se va completa cu zerouri. Restul elementelor se
calculeaz˘ a cu regula ”dreptunghiului”.
B C
B
X
B
c
1
= 6
a
1
c
2
= 1
a
2
c
3
= 0
a
3
c
4
= 0
a
4
c
5
= M
a
5
c
6
= M
a
6
a
2
1 1 0 1 −
3
5
1
5
3
5
−
1
5
θ
1
= 5
a
1
6 1 1 0
1
5
2
5
−
1
5
2
5
θ
2
=
5
2
∆
j
= z
j
−c
j
0 0
3
5
13
5
−
3
5
−M
11
5
−M
Se observ˘ a c˘ a cea mai mare valoare ∆
j
, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 este
∆
4
=
13
5
, deci vectorul a
4
va intra ˆın baz˘ a. Se calculeaz˘ a s¸i rapoar-
tele θ
i
=
x
B
i
a
ik
, i = 1, 2; k = 4 corespunz˘ atoare coloanei a
4
, adic˘ a: θ
1
= 5,
θ
2
=
5
2
s¸i se alege dintre ele cea mai mic˘ a valoare: θ
2
. As¸adar vecto-
rul a
1
va p˘ ar ˘ asi baza. Pivotul este elementul
2
5
din coloana lui a
4
.
ˆ
In
noul tabel c-ul corespunz˘ ator vectorului a
1
din baz˘ a se va ˆınlocui cu
c-ul corespunz˘ ator vectorului a
4
care intr ˘ a ˆın baz˘ a, adic˘ a c
4
= 0. Linia
pivotului, ˆın noul tabel, se va trece ˆımp˘ art ¸it ˘ a la pivot. Coloana pivo-
tului, ˆın noul tabel, se va completa cu zerouri. Restul elementelor se
calculeaz˘ a cu regula ”dreptunghiului”.
B C
B
X
B
c
1
= 6
a
1
c
2
= 1
a
2
c
3
= 0
a
3
c
4
= 0
a
4
c
5
= M
a
5
c
6
= M
a
6
a
2
1
1
2
−
1
2
1 −
7
2
0
7
2
−
2
5
a
4
0
5
2
5
2
0
1
2
1 −
1
2
1
∆
j
= z
j
−c
j
−
1
2
−6 0 −
7
2
0
7
2
−M −
2
5
−M
Algoritmul se opres¸te. X
optim
= (0,
1
2
, 0,
5
2
), Z
min
=
1
2
. Q.E.D.
2.5 DUALITATE
ˆ
IN PROGRAMAREA LINIAR
˘
A.
Ca s¸i ˆın multe alte domenii matematice, dualitatea are ˆın programarea
liniar ˘ a un rol cheie at ˆ at ˆın teorie cˆ at s¸i ˆın practic˘ a.
Pornim de la o problem˘ a de programare liniar ˘ a sub forma general ˘ a:
min[Z =
3

j=1
c
j
x
j
]
47
(2.45)
_
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
_
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
_
3

j=1
a
1j
x
j
≥ b
1
3

j=1
a
2j
x
j
= b
2
3

j=1
a
3j
x
j
≤ b
3
x
1
≥ 0, x
2
oarecare, x
3
≤ 0
Problema dual ˘ a a problemei (2.45) este urm˘ atoarea problem˘ a de
programare liniar ˘ a:
max[Z =
3

j=1
b

j
x
j
]
(2.46)
_
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
_
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
_
3

j=1
a

1j
u
j
≥ b
1
3

j=1
a

2j
u
j
= b
2
3

j=1
a

3j
u
j
≤ b
3
u
1
≥ 0, u
2
oarecare, u
3
≤ 0
Problema (2.45) se numes¸te problema primal ˘ a. Duala problemei
duale este problema primal ˘ a, iar problemele (2.45) s¸i (2.46) se numesc
un cuplu de probleme duale. Din punct de vedere practic, problema
dual ˘ a se obt ¸ine din problema primal ˘ a astfel:
1) Termenii liberi din problema primal ˘ a devin coeﬁcient ¸i ai funct ¸iei obiec-
tiv ˆın problema dual ˘ a.
2) Coeﬁcient ¸i funct ¸iei obiectiv din problema primal ˘ a devin termeni liberi
ˆın problema dual ˘ a.
3) Minimizarea se transform˘ a ˆın maximizare s¸i reciproc.
4) Matricea coeﬁcient ¸ilor din problema dual ˘ a este transpusa matricei
coeﬁcient ¸ilor din problema primal ˘ a.
5) Variabilele duale corespunz˘ atoare unor restrict ¸ii concordante din
problema primal ˘ a sunt nenegative, iar cele corespunz˘ atoare unor
restrict ¸ii primale neconcordante sunt nepozitive.
6) Variabilele duale corespunz˘ atoare restrict ¸iilor primale care sunt ecuat ¸ii
pot ﬁ de semn oarecare.
48
7) Variabilelor primale negative le corespund ˆın dual ˘ a restrict ¸ii con-
cordante, iar variabilelor primale nepozitive le corespund ˆın dual ˘ a
restrict ¸ii neconcordante.
8) Variabilelor primale oarecari le corespund restrict ¸ii duale care sunt
ecuat ¸ii.
Prezent ˘ am cˆ ateva cazuri particulare de probleme duale.
(2.47)
min[C
T
X] max[b
T
U]
AX ≥ b A
T
U ≤ C
X ≥ 0 U ≥ 0.
(2.48)
min[C
T
X] max[b
T
U]
AX = b A
T
U ≤ C
X ≥ 0 U oarecare.
Ca s¸i ˆın cazul problemei primale, pentru problema dual ˘ a, prin trans-
form˘ ari echivalente se poate trece de la forma general ˘ a la forma cano-
nic˘ a s¸i standard. Din acest motiv, pentru studiul propriet ˘ at ¸ilor de duali-
tate se consider ˘ a numai cupluri de probleme duale de tipul (2.47) care
datori ˘ a simetriei se numesc s¸i probleme duale simetrice.
Exemplul 4. (Exemplu de construct ¸ie a problemei duale). Fie problema de
programare liniar ˘ a
max[3x
1
−6x
2
+x
4
]
(2.49)
_
¸
¸
_
¸
¸
_
2x
1
+ 5x
2
−x
3
+ 2x
4
≥ 3
−x
1
+ 2x
2
+x
3
= 5
2x
1
−x
2
+x
4
≤ −2
x
1
, x
2
≥ 0, x
3
oarecare, x
4
≤ 0
– Problema dat ˘ a are 3 restrict ¸ii s¸i 4 variabile.
– Fiec˘ arei restrict ¸ii i se atas¸eaz˘ a cˆ ate o variabile dual ˘ a: u
1
, u
2
, u
3
, res-
pectiv.
– Fiec˘ arei variabile primale ˆıi corespunde o restrict ¸ie ˆın problema
dual ˘ a. Vom avea deci 3 variabile s¸i 4 restrict ¸ii ˆın problema dual ˘ a.
– Variabila u
1
trebuie s˘ a ﬁe nepozitiv˘ a corespunzˆ and unei restrict ¸ii ne-
concordante. Variabila u
2
este oarecare deoarece corespunde unei
egalit ˘ at ¸i, iar variabila u
3
trebuie s˘ a ﬁe nenegativ˘ a deoarece cores-
punde unei restrict ¸ii concordante.
49
– Deoarece variabila primal ˘ a x
1
este nenegativ˘ a, restrict ¸ia dual ˘ a co-
respunz˘ atoare trebuie s˘ a ﬁe concordant ˘ a, adic˘ a
2u
1
−u
2
+ 2u
3
≥ 3,
coeﬁcient ¸ii care apar ˆın aceast ˘ a restrict ¸ie ﬁind coeﬁcient ¸ii lui x
1
, adic˘ a
prima coloan˘ a a matricei sistemului, iar termenul liber ﬁind coeﬁcien-
tul lui x
1
din funct ¸ia obiectiv.
– Analog, variabilei x
2
ˆıi corespunde restrict ¸ia concordant ˘ a
5u
1
+ 2u
2
−u
3
≥ 0,
termenul liber 0 explicˆ andu-se prin faptul c˘ a ˆın funct ¸ia obiectiv nu
apare variabila x
2
.
– Variabilei x
3
, care este oarecare, ˆıi corespunde o ecuat ¸ie ˆın dual ˘ a
−u
1
+u
2
= −6.
– Variabilei nepozitive x
4
ˆıi corespunde ˆın dual ˘ a o restrict ¸ie neconcor-
dant ˘ a
2u
1
+u
3
≤ 1.
ˆ
In concluzie, problema dual ˘ a este
(2.50)
_
¸
¸
¸
¸
¸
¸
_
¸
¸
¸
¸
¸
¸
_
min[3u
1
+ 5u
2
−2u
3
]
2u
1
−u
2
+ 2u
3
≥ 3
5u
1
+ 2u
2
−u
3
≥ 0
−u
1
+u
2
= −6
2u
1
+ u
3
≤ 1
u
1
≤ 0, u
2
oarecare, u
3
≥ 0
Urm˘ atorul rezultat-cheie va ﬁ prezentat f ˘ ar ˘ a demonstrat ¸ie:
Teorema 7 (Teorema Fundamental ˘ a a Dualit ˘ at¸ii). Pentru orice cuplu
de probleme duale, una s¸i numai una dintre urm˘ atoarele situat ¸ii este
posibil ˘ a:
1)Ambele probleme au programe: ˆın acest caz ambele probleme au
programe optime pentru care valorile funt ¸iilor obiectiv coincid.
2)Una din probleme are programe, iar cealalt ˘ a nu.
ˆ
In acest caz, cea
care are programe are optim inﬁnit.
3)Nici una dintre probleme nu are programe.
50
Se consider ˘ a cuplul de probleme (2.48). Teorema urm˘ atoare pre-
cizeaz˘ a condit ¸iile ˆın care o baz˘ a B extras˘ a din matricea A este baz˘ a
optim˘ a pentru problema primal ˘ a.
Teorema 8. Dac˘ a baza B extras˘ a din matricea A veriﬁc˘ a condit ¸iile
(2.51) B
−1
b ≥ 0
(2.52) C
T
B
B
−1
A −C
T
≤ 0.
Atunci programul optim al problemei primale este X
B
= B
−1
b, X
R
= 0,
iar programul optim al problemei duale este U
T
B
= C
T
B
B
−1
.
Observat¸ie. Relat ¸iile (2.51) s¸i (2.52) sunt suﬁciente pentru ca baza B s˘ a ﬁe
optim˘ a. Aceste condit ¸ii sunt s¸i necesare dac˘ a problema este nedegenerat˘ a.
Observat¸ie. Relat ¸ia (2.52) se scrie s¸i sub forma
C
T
B
B
−1
a
j
−c
j
≤ 0, 1 ≤ j ≤ n
sau inc˘ a z
B
j
−c
j
≤ 0 t ¸inˆ and seama de deﬁnit ¸ia cantit˘ at ¸ii z
B
j
.
Observat¸ie. O baz˘ a B care veriﬁc˘ a relat ¸ia (2.52) se numes¸te dual ad-
misibil˘ a deoarece ˆıi corespunde un program al problemei duale, s¸i anume,
U
T
B
= C
T
B
B
−1
.
Observat¸ie. Dac˘ a matricea A a problemei primale (2.48) cont ¸ine matricea
unitate I, atunci la ﬁecare iterat ¸ie a algoritmului simplex se g˘ ases¸te ˆın coloa-
nele corespunz˘ atoare lui I inversa bazei corespunz˘ atoare tabelului, adic˘ a B
−1
.
Deci, ˆın ultimul tabel simplex, vomavea inversa bazei optime s¸i deci vomavea
z
j
= C
T
B
B
−1
e
j
care reprezint˘ a componenta j a vectorului U
T
B
= C
T
B
B
−1
. Cu
alte cuvinte, cu cantit˘ at ¸ile z
j
− c
j
care se aﬂ˘ a ˆın ultimul tabel simplex ˆın
dreptul coloanelor corespunz˘ atoare matricii unitate I, putem determina us¸or
componentele solut ¸iei optime pentru problema dual˘ a.
2.5.1 EXERCIT¸ II.
S˘ a se rezolve urm˘ atoarele probleme de programare liniar ˘ a:
1.
max[Z = 3x
1
+ 7x
2
+ 5x
3
]
_
_
_
3x
1
+ 4x
2
+ 4x
3
≤ 100
2x
1
+ 5x
2
+ 4x
3
≤ 90
x
1
, x
2
, x
3
≥ 0.
51
2.
min[Z = x
2
−3x
3
+ 2x
5
]
_
¸
¸
_
¸
¸
_
x
1
+ 3x
2
−x
3
+ 2x
5
= 7
−2x
2
+ 4x
3
+x
4
= 12
−4x
2
+ 3x
3
+ 8x
5
+x
6
= 10
x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
≥ 0.
3.
max[Z = x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+x
4
]
_
_
_
x
1
−x
3
+
1
2
x
4
= 1
x
2
+x
3
−x
4
= 1
x
1
, x
2
, x
3
, x
4
≥ 0.
4.
min[Z = 6x
1
+x
2
−2x
3
]
_
¸
¸
_
¸
¸
_
5x
1
−x
2
+x
3
≥ 6
2x
1
+x
2
+ 3x
3
≤ 7
−3x
1
+x
2
+ 2x
3
≥ 2
x
1
, x
2
, x
3
≥ 0.
5.
max[Z = x
1
+ 2x
2
+x
3
]
_
¸
¸
¸
¸
_
¸
¸
¸
¸
_
3x
1
+ 2x
2
+x
3
= 15
x
1
≤ 10
x
2
≤ 5
x
3
≤ 3
x
1
, x
2
, x
3
≥ 0.
6.
min[Z = x
1
+ 2x
2
]
_
¸
¸
¸
¸
_
¸
¸
¸
¸
_
5x
1
+ 2x
2
≥ 10
−2x
1
+ 3x
2
≤ 6
3x
1
+ 4x
2
≤ 12
3x
1
≤ 2
x
1
, x
2
≥ 0.
7.
min[Z = x
1
−x
2
+x
3
+x
4
+x
5
−x
6
]
52
_
¸
¸
_
¸
¸
_
x
1
+x
4
−x
6
= 9
3x
1
+x
2
−4x
3
+ 2x
6
= 2
x
1
+ 2x
3
+x
5
+ 2x
6
= 4
x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
≥ 0.
8.
max[Z = x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
−x
4
]
_
¸
¸
_
¸
¸
_
x
1
+ 2x
2
+x
3
+x
4
= 10
2x
1
+x
2
+ 5x
3
= 20
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 15
x
1
, x
2
, x
3
≥ 0.
9.
min[Z = 12x
1
+ 15x
2
+ 13x
3
]
_
_
_
x
1
+x
2
+ 2x
3
≥ 50
x
2
+x
3
≥ 100
x
1
, x
2
, x
3
≥ 0.
53
3 ELEMENTE DE ANALIZ
˘
A MATEMATIC
˘
A.
3.1 SPAT¸ IUL METRIC R
n
.
Fie spat ¸iul vectorial R
n
. Pe l ˆ ang˘ a structura de spat ¸iu vectorial introdus˘ a
ˆın primul capitol, pe R
n
se poate introduce s¸i o alt ˘ a structur ˘ a, de spat ¸iu
metric, necesar ˘ a pentru deﬁnirea conceptelor de limit ˘ a s¸i continuitate.
Pentru deﬁnirea acestei structuri este necesar ˘ a not ¸iunea de distant ¸˘ a.
Distant ¸a pe R
n
este ˆın leg˘ atur ˘ a direct ˘ a cu funct ¸ia:
[[.[[ : R
n
→R, x →
¸
¸
¸
_
n

i=1
x
2
i
,
numit ˘ a norm˘ a euclidian˘ a. Spat ¸iul vectorial R
n
devine un spat ¸iu metric
deﬁnind distant ¸a
d : R
n
R
n
→R, d(x, y) = [[x −y[[, ∀ x, y ∈ R
n
.
Propozitia 4. Funct ¸ia distant ¸˘ a deﬁnit ˘ a mai sus are urm˘ atoarele pro-
priet ˘ at ¸i:
1.∀ x, y ∈ R
n
, d(x, y) ≥ 0 s¸i d(x, y) = 0 dac˘ a s¸i numai dac˘ a x = y.
2.∀ x, y ∈ R
n
, d(x, y) = d(y, x).
3.∀ x, y, z ∈ R
n
, d(x, y) +d(y, z) ≥ d(x, z).
Observat¸ie.
– Perechea (R
n
, d) se mai numes¸te s¸i spat ¸iu metric euclidian, iar ele-
mentele lui se mai numesc puncte.
– Dac˘ a n = 1, pe mult ¸imea R distant ¸a euclidian˘ a coincide cu funct ¸ia
modul: d(x, y) = [x −y[, ∀x, y ∈ R.
– Pentru n = 2, pe mult ¸imea R
2
distant ¸a euclidian˘ a este deﬁnit ˘ a prin:
d(x, y) = [[x − y[[ =
_
(x
1
−y
1
)
2
+ (x
2
−y
2
)
2
, ∀x = (x
1
, x
2
), y =
(y
1
, y
2
) ∈ R
2
.
Deﬁnit¸ie. Fie punctul a ∈ R
n
. Pentru orice num˘ ar real r pozitiv, se
numes¸te bil ˘ a deschis˘ a de centru a s¸i raz˘ a r, mult ¸imea notat ˘ a B
r
(a)
deﬁnit ˘ a prin
B
r
(a) = ¦x ∈ R
n
, [[x −a[[ < r¦.
Se numes¸te bil ˘ a ˆınchis˘ a de centru a s¸i raz˘ a r, mult ¸imea:
B
r
[a] = ¦x ∈ R
n
, [[x −a[[ ≤ r¦.
Observat¸ie.
ˆ
In spat ¸iul metric euclidian R, avem B
r
(a) = (a −r, a +r),
adic˘ a un interval deschis simetric centrat ˆın a, iar B
r
[a] va ﬁ intervalul
ˆınchis de forma [a −r, a +r].
Observat¸ie.
ˆ
In spat ¸iul metric euclidian R
2
, o bil ˘ a deschis˘ a de centru
a = (a
1
, a
2
) s¸i raz˘ a r este
B
r
(a) = ¦x ∈ R
n
, [[x −a[[ < r¦
s¸i reprezint ˘ a mult ¸imea punctelor din interiorul unui cerc cu centrul ˆın a
s¸i raz˘ a r, numit ˘ a s¸i disc deschis. Bila ˆınchis˘ a este mult ¸imea punctelor
interioare cercului la care se adaug˘ a s¸i punctele de pe circumferint ¸a
acestuia.
Deﬁnit¸ie. Se numes¸te vecin˘ atate a unui punct a ∈ R
n
orice submult ¸ime
V a lui R
n
pentru care exist ˘ a r > 0 astfel ˆıncˆ at B
r
(a) ⊂ V .
Deﬁnit¸ie. O submult ¸ime D a lui R
n
se numes¸te deschis˘ a dac˘ a este
vecin˘ atate a oric˘ arui punct al s˘ au.
Observat¸ie.
ˆ
In spat ¸iul metric euclidian R, intervalele de forma (a, b),
(a, ∞), (−∞, a) sunt mult ¸imi deschise.
ˆ
In spat ¸iul metric euclidian R
2
,
discurile deschise sunt mult ¸imi deschise.
Deﬁnit¸ie. Fie A ⊂ R
n
. Se numes¸te punct interior al lui A orice punct
x ∈ A cu proprietatea c˘ a exist ˘ a r > 0 astfel ˆıncˆ at B
r
(x) ⊂ A. Mult ¸imea
punctelor interioare se numes¸te interiorul lui A s¸i se noteaz˘ a cu
◦
A
.
Observat¸ie. Orice mult ¸ime deschis˘ a este format ˘ a numai din puncte
interioare.
Deﬁnit¸ie. Fie A ⊂ R
n
. Se numes¸te punct aderent al lui A orice punct
x ∈ R
n
cu proprietatea c˘ a oricare ar ﬁ r > 0, B
r
(x) ∩ A ,= ∅. Mult ¸imea
punctelor aderente se numes¸te ˆınchiderea lui A.
Observat¸ie. Orice punct interior este un punct aderent.
Deﬁnit¸ie. Fie A ⊂ R
n
. Un punct aderent al lui A cu proprietatea c˘ a
ˆın orice vecin˘ atate a sa exist ˘ a o inﬁnitate de puncte din A se numes¸te
punct de acumulare.
Deﬁnit¸ie. Fie A ⊂ R
n
. Un punct izolat al lui A este un punct x ∈ R
n
pentru care exist ˘ a r > 0 astfel ˆıncˆ at B
r
(x) ∩ A = ¦x¦.
56
3.2 S¸ IRURI DE PUNCTE DIN SPAT¸ IUL METRIC R
n
.
Deﬁnit¸ie. Se numes¸te sir de puncte ˆın R
n
o funct ¸ie de la N la R
n
care asociaz˘ a lui m ∈ N, punctul x
m
. Un s¸ir se noteaz˘ a cu (x
m
)
m∈N
;
x
m
se numes¸te termen general al s¸irului.
Deﬁnit¸ie. Un punct x
0
∈ R
n
se numes¸te limita s¸irului (x
m
)
m∈N
dac˘ a
pentru orice vecin˘ atate V a lui x
0
, exist ˘ a un rang m
0
astfel ˆıncˆ at pentru
orice rang m > m
0
s˘ a avem x
m
∈ V . Se noteaz˘ a ˆın acest caz
x
0
= lim
m→∞
x
m
.
Un s¸ir care are limit ˘ a se numes¸te s¸ir convergent.
ˆ
In caz contrar, se
numes¸te s¸ir divergent.
Teorema 9. Fie s¸irul (x
m
)
m∈N
din R
n
s¸i x
0
∈ R
n
. Atunci x
0
= lim
m→∞
x
m
dac˘ a s¸i numai dac˘ a pentru orice ε > 0 exist ˘ a m(ε) ∈ N astfel ˆıncˆ at
∀m > m(ε), [[x
m
−x
0
[[ < ε.
3.3 FUNCT¸ II REALE DE n VARIABILE REALE.
Deﬁnit¸ie. O funct ¸ie f deﬁnit ˘ a pe A ⊂ R
n
cu valori ˆın R care asociaz˘ a
unui punct x = (x
1
, . . . , x
n
) num˘ arul real f(x
1
, . . . , x
n
) se numes¸te
funct ¸ie real ˘ a de n variabile reale.
Observat¸ie. Sunt nenum˘ arate exemple de probleme economice ˆın
care intervine funct ¸ia real ˘ a de n variabile reale :
1.O sect ¸ie a unei societ ˘ at ¸i comerciale fabric˘ a patru produse realizˆ and
beneﬁciile unitare b
i
, cu i = 1, . . . , 4. Se pune problema s˘ a se ex-
prime beneﬁciul total dac˘ a din ﬁecare produs sunt fabricate can-
tit ˘ at ¸ile x
i
, cu i = 1, . . . , 4. Not ˘ am cu f funct ¸ia care reprezint ˘ a be-
neﬁciul total. Funct ¸ia f depinde de cantit ˘ at ¸ile fabricate s¸i se exprim˘ a
prin f(x
1
, . . . , x
4
) =

4
i=1
b
i
x
i
. Deci f : A ⊂ R
4
→ R este o funt ¸ia
real ˘ a de 4 variabile reale.
2.Se noteaz˘ a cu V venitul nat ¸ional, cu x
1
orele de munc˘ a produc-
tiv˘ a cheltuite s¸i x
2
fondurile ﬁxe angajate ˆın produt ¸ie. Atunci funt ¸ia
V : A ⊂ R
2
→ R, deﬁnit ˘ a prin V (x
1
, x
2
) = k(x
α
1
x
β
2
) unde k, α, β
sunt constante, este o funct ¸ie real ˘ a de dou˘ a variabile reale ce esti-
meaz˘ a leg˘ atura dintre factorii s¸i rezultatul product ¸iei la nivelul eco-
nomiei nat ¸ionale. Funct ¸ia V se numes¸te funct ¸ia de product ¸ie Cobb-
Douglas. Funt ¸ia de product ¸ie se poate prezenta s¸i mai general sub
forma V (x
1
, . . . , x
n
) = k

n
i=1
x
α
i
i
.
57
3.3.1 LIMITA FUNCT¸ IILOR REALE DE n VARIABILE REALE.
Fie funct ¸ia real ˘ a de n variabile reale f : A ⊂ R
n
→ R s¸i a ∈ R
n
un
punct de acumulare pentru mult ¸imea A.
Deﬁnit¸ie. Num˘ arul ∈ R se numes¸te limita funct ¸iei f ˆın punctul a ∈
R
n
s¸i se noteaz˘ a
= lim
x→a
f(x)
dac˘ a pentru orice vecin˘ atate U a lui , exist ˘ a o vecin˘ atate V a lui a
astfel ˆıncˆ at pentru orice x ∈ (V ¸ ¦a¦) ∩ A s˘ a avem f(x) ∈ U.
Teorema 10 (Teorema de caracterizare a limitei). Fie f : A ⊂ R
n
→
R, a ∈ R
n
un punct de acumulare pentru mult ¸imea A s¸i ∈ R.
Urm˘ atoarele aﬁrmat ¸ii sunt echivalente :
1.Num˘ arul este limita funct ¸iei f ˆın punctul a.
2.Pentru orice ε > 0, exist ˘ a δ > 0 astfel ˆıncˆ at pentru orice x ∈ A, x ,= a,
cu proprietatea c˘ a [[x −a[[ < δ s˘ a avem [f(x) −[ < ε.
3.Pentru orice s¸ir (x
n
)
n∈N
de puncte din A, x
n
,= a s¸i lim
n→∞
x
n
= a, avem
lim
n→∞
f(x
n
) = ,
Solut ¸ie. ”1. ⇒ 2.” Pentru orice ε > 0, bilele B
ε
() reprezint ˘ a vecin˘ at ˘ at ¸i
ale punctului s¸i ˆın conformitate cu aﬁrmat ¸ia 1, exist ˘ a o vecin˘ atate
V a punctului a astfel ˆıncˆ at pentru orice x ∈ (V ¸ ¦a¦) ∩ A s˘ a avem
f(x) ∈ B
ε
(), adic˘ a [f(x) −[ < ε.
Deoarece V este vecin˘ atate pentru punctul a, exist ˘ a δ > 0 astfel
ˆıncˆ at B
δ
(a) ⊂ V . Atunci pentru orice x ,= a cu x ∈ B
δ
(a) ⊂ V , deci cu
[[x −a[[ < δ, avem [f(x) −[ < ε.
”2. ⇒ 3.” Fie (x
n
)
n∈N
un s¸ir arbitrar din A cu x
n
,= a oricare ar ﬁ
n ∈ N s¸i lim
n→∞
x
n
= a. Exist ˘ a ˆın acest caz un rang n
0
astfel ˆıncˆ at pen-
tru orice n > n
0
s˘ a avem [[x
n
− a[[ < δ. Conform aﬁrmat ¸iei 2 avem s¸i
[f(x
n
) −[ < ε adic˘ a lim
n→∞
f(x
n
) = .
”3. ⇒ 1.” Presupunem prin absurd c˘ a aﬁrmat ¸ia 1 nu este adev˘ arat ˘ a.
Exist ˘ a atunci o vecin˘ atate U
0
a lui astfel ˆıncˆ at pentru orice vecin˘ atate
V a lui a, s˘ a avem x ∈ (V ¸ ¦a¦) ∩ A; dar f(x) ,= U
0
.
Vecin˘ at ˘ at ¸ile V ﬁind arbitrare, le putem alege bile de raz˘ a
1
n
s¸i centru
a. Pentru orice n ∈ N
∗
, exist ˘ a x
n
cu [[x
n
− a[[ <
1
n
, dar f(x
n
) ,∈ U
0
.
58
Conform aﬁrmat ¸iei 3, pentru [[x
n
−a[[ <
1
n
avem f(x
n
) ∈ U
0
. S-a ajuns
astfel la o contradict ¸ie care arat ˘ a c˘ a ipoteza de lucru este fals˘ a.
Q.E.D.
Observat¸ie.
1.Cele trei aﬁrmat ¸ii ale Teoremei 10 ﬁind logic echivalente, oricare din-
tre ele poate ﬁ considerat ˘ a ca deﬁnit ¸ie a limitei. Aﬁrmat ¸ia 3 se mai
numes¸te s¸i deﬁnit ¸ia limitei cu ajutorul s¸irurilor.
2.Dac˘ a limita exist ˘ a, atunci conform aﬁrmat ¸iei 3 din Teorema 10,
aceasta este unic˘ a, ca limit ˘ a de s¸ir.
ˆ
In consecint ¸˘ a, dac˘ a se poate ar ˘ ata c˘ a exist ˘ a dou˘ a siruri (x
n
)
n∈N
s¸i
(x

n
)
n∈N
cu acceas¸i limit ˘ a a pentru care s¸irurile de valori (f(x
n
))
n∈N
s¸i (f(x

n
))
n∈N
au limte distincte sau cel put ¸in unul dintre s¸iruri nu este
convergent, funct ¸ia f nu are limit ˘ a ˆın punctul a.
Exemplul 5. S˘ a se arate c˘ a funct ¸ia deﬁnit ˘ a prin
f(x, y) =
y
2
+ 4x
y
2
−4x
, ∀ (x, y) ∈ R
2
, y
2
,= 4x,
nu are limit ˘ a ˆın a = (0, 0).
Solut ¸ie. Se aleg s¸irurile cu termeni generali
z
n
=
_
1
n
,
2
√
n
_
s¸i
z

n
=
_
1
n
,
5
√
n
_
care au aceeas¸i limit ˘ a a = (0, 0). Pentru aceste s¸iruri avem f(z
n
) =
5
3
s¸i f(z

n
) =
26
24
. Deci s¸irurile de valori nu au aceeas¸i limit ˘ a. Rezult ˘ a c˘ a
funct ¸ia f nu are limit ˘ a ˆın a = (0, 0). Q.E.D.
Exemplul 6. S˘ a se calculeze lim
(x,y)→(0,0)
(x+y) tan(x
2
+y
2
)
(x
2
+y
2
)
1
2
.
Solut ¸ie. Se aplic˘ a deﬁnit ¸ia limitei cu s¸iruri. Pentru orice s¸ir (z
n
)
n∈N
,
z
n
= (x
n
, y
n
) ∈ R
2
cu limita a = (0, 0), avem:
lim
n→∞
(x
n
+y
n
) tan(x
2
n
+y
2
n
)
(x
2
n
+y
2
n
)
1
2
= lim
n→∞
tan(x
2
n
+y
2
n
)
(x
2
n
+y
2
n
)
(x
2
n
+y
2
n
)
1
2
(x
2
n
+y
2
n
) = 0
Deci lim
n→∞
f(z
n
) = 0 s¸i lim
(x,y)→(0,0)
(x+y) tan(x
2
+y
2
)
(x
2
+y
2
)
1
2
= 0. Q.E.D.
59
3.3.2 CONTINUITATEA FUNCT¸ IILOR REALE DE n VARIABILE
REALE.
Deﬁnit¸ie. Fie funct ¸ia f : A ⊂ R
n
→ R s¸i a ∈ A. Funct ¸ia f se numes¸te
continu˘ a ˆın punctul a dac˘ a pentru orice vecin˘ atate U a punctului f(a)
exist ˘ a o vecin˘ atate V a lui a astfel ˆıncˆ at pentru orice x ∈ V ∩A s˘ a avem
f(x) ∈ U.
Observat¸ie. Deﬁnit ¸ia anterioar ˘ a se numes¸te deﬁnit ¸ia cu vecin˘ at ˘ at ¸i a
continuit ˘ at ¸ii funct ¸iei ˆıntr-un punct.
Deﬁnit¸ie. Funct ¸ia f : A ⊂ R
n
→ R se numes¸te continu˘ a pe mult ¸imea
A dac˘ a este continu˘ a ˆın orice punct x ∈ A.
Observat¸ie. Un punct x ∈ A ˆın care funct ¸ia f nu este continu˘ a se
numes¸te punct de discontinuitate.
Teorema 11 (Teorema de caracterizare a continuit ˘ at¸ii). Fie funct ¸ia
f : A ⊂ R
n
→R s¸i a ∈ A. Urm˘ atoarele aﬁrmat ¸ii sunt echivalente:
1. Funct ¸ia f este continu˘ a ˆın a ∈ A.
2. Pentru orice ε > 0, exist ˘ a δ > 0 astfel ˆınc˘ at pentru orice a ∈ A cu
proprietatea [[x −a[[ < δ s˘ a avem [f(x) −f(a)[ < ε.
3. Oricare ar ﬁ sirul de puncte (x
n
)
n∈N
din A, x
n
,= a s¸i convergent cu
limita a, s¸irul de valori (f(x
n
))
n∈N
este convergent s¸i are limita f(a).
Solut ¸ie. Teorema se demonstreaz˘ a ˆın mod analog cu Teorema 10, cu
observat ¸ia c˘ a ˆın acest caz ˆın locul punctului se consider ˘ a valoarea
funct ¸iei ˆın punctul a ∈ A. Q.E.D.
Observat¸ie. Oricare dintre aﬁrmat ¸iile Teoremei 11 poate ﬁ luat ˘ a drept
deﬁnit ¸ie a continuit ˘ at ¸ii funct ¸iei ˆıntr-un punct.
Dac˘ a ˆın plus punctul a ∈ A este un punct de acumulare pentru
mult ¸imea A, deﬁnit ¸iile continuit ˘ at ¸ii si a limitei ˆıntr-un punct, coincid s¸i
deci f este continu˘ a ˆın a ∈ A dac˘ a lim
x→a
f(x) = f(a).
Observat¸ie. O funct ¸ie este continu˘ a ˆın orice punct izolat al domeniului
de deﬁnit ¸ie.
3.4 DERIVATE PART¸ IALE.
Fie f : A ⊂ R
n
→R, A mult ¸ime deschis˘ a a = (a
1
, . . . , a
n
) ∈ A.
Deﬁnit¸ie. Funct ¸ia f se numes¸te derivabil ˘ a part ¸ial ˆın raport cu variabila
x
i
ˆın punctul a dac˘ a exist ˘ a s¸i este ﬁnit ˘ a limita
60
(3.1)
lim
x
i
→a
i
f(a
1
, . . . , a
i−1
, x
i
, a
i+1
, . . . , a
n
) −f(a
1
, . . . , a
i−1
, a
i
, a
i+1
, . . . , a
n
)
x
i
−a
i
Limita (3.1) se noteaz˘ a
∂f
∂x
i
(a
1
, . . . , a
n
) s¸i se numes¸te derivata part ¸ial ˘ a
de ordinul 1 a funct ¸iei f ˆın raport cu variabila x
i
. Deoarece f depinde
de n variabile, rezult ˘ a c˘ a poate avea n derivate part ¸iale de ordinul 1.
De exemplu, ﬁe funct ¸ia real ˘ a de dou˘ a variabile reale f : A ⊂ R
2
→R,
(x, y) →f(x, y) s¸i a = (a
1
, a
2
) ∈ A punct interior.
∂f
∂x
(a
1
, a
2
) = lim
x→a
1
f(x, a
2
) −f(a
1
, a
2
)
x −a
1
∂f
∂y
(a
1
, a
2
) = lim
y→a
2
f(a
1
, y) −f(a
1
, a
2
)
y −a
2
Derivata
∂f
∂x
se obt ¸ine consider ˆ and pe f numai ˆın funct ¸ie de variabila x,
iar varibila y se consider ˘ a constant ˘ a. Analog,
∂f
∂y
se obt ¸ine consider ˆ and
pe f numai ˆın funct ¸ie de variabila y, iar variabila x se consider ˘ a con-
stant ˘ a.
ˆ
In concluzie, rezult ˘ a c˘ a derivata part ¸ial ˘ a ˆın raport cu o variabil ˘ a
x
i
este derivata lui f privit ˘ a ca funct ¸ie de o singur ˘ a variabil ˘ a x
i
, celelalte
consider ˆ andu-se constante.
Practic, pentru obt ¸inerea unei derivate part ¸iale ˆın raport cu o varia-
bil ˘ a, se deriveaz˘ a funct ¸ia f ˆın raport cu acea variabil ˘ a conform regulilor
de derivare de la funct ¸ia real ˘ a de o variabil ˘ a real ˘ a, celelalte variabile
consider ˆ andu-se constante.
Exemplul 7. Fie funct ¸ia deﬁnit ˘ a prin legea:
f(x, y, z) = x
2
y+y sin(x+z)+xz+ln(y
2
+z
2
), (x, y, z) ∈ R
3
, y
2
+z
2
,= 0
Derivatele part ¸iale ale funct ¸iei f sunt:
∂f
∂x
(x, y, z) = 2xy +y cos(x +z) +z
∂f
∂y
(x, y, z) = x
2
+ sin(x +z) +
2y
y
2
+z
2
∂f
∂z
(x, y, z) = y cos(x +z) + x +
2z
y
2
+z
2
Deﬁnit¸ie. Fie f : A ⊂ R
n
→ R, A mult ¸ime deschis˘ a. Funct ¸ia f se
numes¸te derivabil ˘ a part ¸ial pe mult ¸imea A, dac˘ a ∀x ∈ A s¸i ∀i = 1, . . . , n,
exist ˘ a
∂f
∂x
i
(x).
ˆ
In acest caz se pot deﬁni n funct ¸ii
∂f
∂x
i
: A ⊂ R
n
→ R
numite derivatele part ¸iale ale funct ¸iei f pe mult ¸imea A.
61
Deﬁnit¸ie. Fie f : A ⊂ R
n
→ R, A mult ¸ime deschis˘ a, o funct ¸ie de-
rivabil ˘ a part ¸ial pe mult ¸imea A s¸i
∂f
∂x
i
: A ⊂ R
n
→ R funct ¸iile derivate
part ¸iale, ∀i = 1, . . . , n. Dac˘ a funct ¸iile
∂f
∂x
i
, ∀i = 1, . . . , n admit la r ˆ andul
lor derivate part ¸iale ˆın orice punct a ∈ A, funct ¸ia f se numes¸te de dou˘ a
ori derivabil ˘ a part ¸ial pe mult ¸imea A.
Derivatele
∂
∂x
j
(
∂f
∂x
i
) =
_
¸
_
¸
_
∂
2
f
∂x
j
∂x
i
; i ,= j
∂
2
f
∂x
2
i
; i = j
se numesc derivatele part ¸iale de ordinul doi ale funct ¸iei f.
Observat¸ie.
1. Derivatele part ¸iale
∂
2
f
∂x
j
∂x
i
cui ,= j, se numesc derivate part ¸iale mixte
de ordinul doi.
2.
ˆ
In mod asem˘ an˘ ator , dac˘ a exist ˘ a, se deﬁnesc derivatele part ¸iale de
ordin mai mare ca doi.
Exemplul 8. Fie funct ¸ia deﬁnit ˘ a prin legea:
f(x, y) = x
3
y
3
−x
2
y
2
Derivatele part ¸iale de ordinul ˆınt ˆ ai, doi si derivatele part ¸iale mixte de
ordinul doi sunt:
∂f
∂x
(x, y) = 3x
2
y
3
−2xy
2
;
∂f
∂y
(x, y) = 3x
3
y
2
−2x
2
y
∂
2
f
∂x
2
(x, y) = 6xy
3
−2y
2
;
∂
2
f
∂y
2
(x, y) = 6x
3
y −2x
2
∂
2
f
∂y∂x
(x, y) = 9x
2
y
2
−4xy;
∂
2
f
∂x∂y
(x, y) = 9x
2
y
2
−4xy
Observat¸ie. Se observ˘ a ˆın exemplul de mai sus c˘ a derivatele mixte
sunt egale.
ˆ
In general, acest lucru nu se ˆınt ˆ ampl ˘ a.
Urm˘ atoarea teorem˘ a stabiles¸te condit ¸ii suﬁciente de egalitate a
derivatelor part ¸iale mixte cu posibilitatea de extindere la derivatele
part ¸iale mixte de ordin mai mare.
Teorema 12. Dac˘ a funct ¸ia f : A ⊂ R
n
→ R, A mult ¸ime deschis˘ a,
admite derivate part ¸iale de ordinul doi pe mult ¸imea A s¸i aceste derivate
sunt funct ¸ii continue, atunci
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(a) =
∂
2
f
∂x
j
∂x
i
(a),
oricare ar ﬁ a ∈ A, i ,= j, i, j = 1, . . . , n.
62
Interpret ˘ ari economice ale derivatelor part¸iale. Consider ˘ am funct ¸ia
f : A ⊂ R
n
→R
care admite derivate part ¸iale de ordinul ˆınt ˆ ai continue.
i) Se numes¸te vitez˘ a de variat ¸ie a lui f ˆın raport cu variabila x
i
expre-
sia:
∂f
∂x
i
(x
1
, . . . , x
n
).
ii) Se numes¸te ritm de variat ¸ie a lui f ˆın raport cu variabila x
i
expresia:
R
f;x
i
=
1
f(x
1
, . . . , x
n
)
∂f
∂x
i
(x
1
, . . . , x
n
).
iii) Se numes¸te elasticitatea lui f ˆın raport cu variabila x
i
expresia:
E
f;x
i
=
x
i
f(x
1
, . . . , x
n
)
∂f
∂x
i
(x
1
, . . . , x
n
).
Vitez˘ a de variat ¸ie, ritmul de variat ¸ie s¸i elasticitatea sunt indicatori
economici.
3.5 DIFERENT¸ IABILITATEA FUNCT¸ IEI REALE DE n
VARIABILE REALE.
Fie A ⊂ R
n
o mult ¸ime deschis˘ a , a ∈ A s¸i f : A →R o funct ¸ie.
Deﬁnit¸ie. Funct ¸ia f este diferent ¸iabil ˘ a ˆın a dac˘ a exist ˘ a aplicat ¸ia liniar ˘ a
L : R
n
→R cu proprietatea :
lim
x→a
f(x) −f(a) −L(x −a)
[[x −a[[
= 0.
Funct ¸ia se numes¸te diferent ¸iabil ˘ a pe mult ¸imea Adac˘ a este diferent ¸iabil ˘ a
ˆın orice punct din A.
Observat¸ie. Aplicat ¸ia liniar ˘ a L ce satisface Deﬁnit ¸ia 3.5., se numes¸te
diferent ¸iala funct ¸iei f asociat ˘ a punctului a s¸i se noteaz˘ a df(a).
Observat¸ie. Se demontreaz˘ a c˘ a:
1. Dac˘ a f este diferent ¸iabil ˘ a ˆın a ∈ A, atunci diferent ¸iala df(a) este
unic˘ a.
2. Funct ¸ia f este continu˘ a in a ∈ A.
63
3. Exist ˘ a derivatele part ¸iale de ordinul ˆınt ˆ ai ale funct ¸iei f ˆın punctul
a ∈ A.
Observat¸ie. Se demonstreaz˘ a c˘ a orice aplicat ¸ie liniar ˘ a L : R
n
→
R este diferent ¸iabil ˘ na s¸i diferent ¸iala ei coincide cu aplicat ¸ia, adic˘ a
dL(a) = L, ∀a ∈ R
n
.
ˆ
In particular, funct ¸iile proiect ¸ie pr
i
: R
n
→ R,
pr
i
(x
1
, . . . , x
n
) = x
i
, i = 1, . . . , n, sunt liniare, deci d(pr
i
)(a) = pr
i
. Se
noteaz˘ a d(pr
i
)(a) = x
i
.
Teorema 13 (Expresia diferent¸ialei). Fie f : A → R, A ⊂ R
n
, o funct ¸ie
diferent ¸iabil ˘ a pe mult ¸imea deschis˘ a A. Pentru orice punct a ∈ A, are
loc egalitatea de aplicat ¸ii liniare:
df(a) =
∂f
∂x
1
(a)dx
1
+
∂f
∂x
2
(a)dx
2
+ +
∂f
∂x
n
(a)dx
n
Exemplul 9. Fie f(x, y) = ln(1 + xy), ∀x, y ∈ R
2
, 1 +xy > 0
∂f
∂x
(x, y) =
y
1 +xy
s¸i
∂f
∂y
(x, y) =
x
1 +xy
.
df(x, y) =
y
1 +xy
dx +
x
1 + xy
dy.
Dac˘ a (x,y)=(1,2), atunci
df(1, 2) =
2
3
dx +
1
3
dy.
Deﬁnit¸ie. Fie f : A → R unde A ⊂ R
n
este o mult ¸ime deschis˘ a s¸i
a ∈ A un punct. f admite diferent ¸ial ˘ a de ordinul 2 ˆın a dac˘ a toate
derivatele part ¸iale de ordin ˆınt ˘ ai exist ˘ a ˆıntr-o vecin˘ atate a punctului a s¸i
sunt diferent ¸iabile ˆın a.
Observat¸ie. Analog cazului diferent ¸ialei de ordin ˆınt ˆ ai, diferent ¸iala de
ordinul doi se poate exprima prin:
(3.2) d
2
f(a) =
n

i,j=1
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(a)dx
i
dx
j
.
Dac˘ a f : A ⊂ R
2
→R, formula (3.2) devine:
(3.3) d
2
f(x, y) =
∂
2
f
∂x
2
(x, y)dx
2
+ 2
∂
2
f
∂x∂y
(x, y)dxdy +
∂
2
f
∂y
2
(x, y)dy
2
64
Dac˘ a f : A ⊂ R
3
→R, formula (3.2) devine:
(3.4)
d
2
f(x, y, z) =
∂
2
f
∂x
2
(x, y, z)dx
2
+ 2
∂
2
f
∂x∂y
(x, y, z)dxdy+
+2
∂
2
f
∂x∂z
(x, y, z)dxdz + 2
∂
2
f
∂y∂z
(x, y, z)dydz+
+
∂
2
f
∂y
2
(x, y, z)dy
2
+
∂
2
f
∂z
2
(x, y, z)dz
2
.
Diferent ¸ialei de ordin doi (3.2), i se asociaz˘ a o matrice H, numit ˘ a
matrice Hessian˘ a, deﬁnit ˘ a prin:
H =
_
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(a)
_
i,j=1,n
.
Hessiana asociat ˘ a diferent ¸ialei (3.3) este:
H =
_
_
_
∂
2
f
∂x
2
(x, y)
∂
2
f
∂x∂y
(x, y)
∂
2
f
∂y∂x
(x, y)
∂
2
f
∂y
2
(x, y)
_
_
_
Hessiana asociat ˘ a diferent ¸ialei (3.4) este:
H =
_
_
_
_
_
_
_
∂
2
f
∂x
2
(x, y, z)
∂
2
f
∂x∂y
(x, y, z)
∂
2
f
∂x∂z
(x, y, z)
∂
2
f
∂y∂x
(x, y, z)
∂
2
f
∂y
2
(x, y, z)
∂
2
f
∂y∂z
(x, y, z)
∂
2
f
∂z∂x
(x, y, z)
∂
2
f
∂z∂y
(x, y, z)
∂
2
f
∂z
2
(x, y, z)
_
_
_
_
_
_
_
Exemplul 10. Consider ˘ am funct ¸ia f(x, y) = e
xy
, ∀(x, y) ∈ R
2
. Atunci
derivatele part ¸iale de ordinul ˆınt ˆ ai s¸i doi sunt:
∂f
∂x
= ye
xy
;
∂f
∂y
= xe
xy
∂
2
f
∂x
2
= y
2
e
xy
;
∂
2
f
∂y
2
= x
2
e
xy
∂
2
f
∂x∂y
= xye
xy
d
2
f(x, y) = y
2
e
xy
dx
2
+ 2xye
xy
dxdy +x
2
e
xy
dy
2
.
ˆ
In punctul particular (x, y) = (1, 2),
65
d
2
f(1, 2) = 4e
2
dx
2
+ 4e
2
dxdy +e
2
dy
2
iar matricea Hessian˘ a este:
H =
_
_
_
∂
2
f
∂x
2
(1, 2)
∂
2
f
∂x∂y
(1, 2)
∂
2
f
∂y∂x
(1, 2)
∂
2
f
∂y
2
(1, 2)
_
_
_
=
_
4e
2
4e
2
4e
2
e
2
_
3.5.1 EXERCIT¸ II.
Exercitiu 26. Pentru urm˘ atoarele funct ¸ii, s˘ a se calculeze derivatele
part ¸iale de ordinul ˆınt ˆ ai s¸i doi.
ˆ
In plus s˘ a se scrie s¸i expresiile diferent ¸ialelor
de ordinul ˆınt ˆ ai s¸i doi:
1. f(x, y) =
x−y
x+y
, ∀(x, y) ∈ R
2
, x ,= −y
2. f(x, y) =
x
√
x
2
+y
2
, ∀(x, y) ∈ R
2
, x, y ,= 0
3. f(x, y) = ln(x +
_
x
2
+y
2
), ∀(x, y) ∈ R
2
, x > 0
4. f(x, y, z) = x
3
y
2
z, ∀(x, y, z) ∈ R
3
5. f(x, y, z) =
y
x
+
z
y
+
x
z
, ∀(x, y, z) ∈ R
3
, x ,= 0, y ,= 0, z ,= 0
3.6 EXTREME LOCALE PENTRU FUNCT¸ IA REAL
˘
A DE
n VARIABILE REALE.
Fie A ⊂ R
n
o mult ¸ime deschis˘ a , a ∈ A s¸i f : A → R o funct ¸ie.
Deﬁnit¸ie. Punctul a se numes¸te punct de maxim local al funct ¸iei f
dac˘ a exist ˘ a o bil ˘ a B
r
(a) ⊂ A astfel ˆıncˆ at
f(x) −f(a) ≤ 0, ∀x ∈ B
r
(a).
Punctul a se numes¸te punct de minim local dac˘ a
f(x) −f(a) ≥ 0, ∀x ∈ B
r
(a).
Observat¸ie. Un punct de maxim sau minim local se numes¸te punct
de extrem local.
Conform Deﬁnit ¸iei 3.6, punctul a este un extrem local pentru funct ¸ia
f dac˘ a exist ˘ a o bil ˘ a deschis˘ a centrat ˘ a ˆın a, pe care diferent ¸a: f(x) −
f(a) p˘ astreaz˘ a un semn constant.
Deﬁnit¸ie. Dac˘ a funct ¸ia f este diferent ¸iabil ˘ a ˆın punctul a s¸i diferent ¸iala
df(a) = 0, punctul a se numes¸te stat ¸ionar sau critic pentru funct ¸ia f.
66
Teorema 14 (Fermat). Dac˘ a funct ¸ia f este diferent ¸iabil ˘ a ˆın punctul a s¸i
acesta este un punct de extrem local, atunci a este s¸i punct stat ¸ionar.
Observat¸ie. Oricare ar ﬁ un punct x = (x
1
, . . . , x
n
) ∈ A, df(x) = 0 este
echivalent cu sistemul:
(3.5)
_
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
_
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
_
∂f
∂x
1
(x
1
, . . . , x
n
) = 0
∂f
∂x
2
(x
1
, . . . , x
n
) = 0
.... ....
∂f
∂x
n
(x
1
, . . . , x
n
) = 0
ˆ
In consecint ¸˘ a, conformTeoremei lui Fermat, extremele locale se g˘ asesc
printre solut ¸iile sistemului (3.5).
Observat¸ie. Teorema lui Fermat este condit ¸ie necesar ˘ a de extrem.
Teorema 15 (Condit¸ie suﬁcient ˘ a de extrem). Dac˘ a diferent ¸iala d
2
f(a) >
0 (respectiv d
2
f(a) < 0), atunci punctul a este un punct de minim (res-
pectiv punct de maxim) local al funct ¸iei f.
Observat¸ie. Fie
H =
_
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(a)
_
i,j=1,n
.
Not ˘ am cu a
ij
=
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(a), ∀i, j = 1, . . . , n. Din matricea H consider ˘ am
minorii principali:
∆
1
= a
11
, ∆
2
=
¸
¸
¸
¸
a
11
a
12
a
21
a
22
¸
¸
¸
¸
, ∆
3
=
¸
¸
¸
¸
¸
¸
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¸
¸
¸
¸
¸
¸
, ..., ∆
n
=
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
... ... ...
a
n1
a
n2
... a
nn
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
.
Se demonstreaz˘ a:
1. Dac˘ a ∆
1
> 0, ∆
2
> 0, ..., ∆
n
> 0, atunci d
2
f(a) > 0 s¸i a este punct
de minim.
2. Dac˘ a ∆
1
< 0, ∆
2
> 0, ∆
3
< 0..., (−1)
n
∆
n
> 0, atunci d
2
f(a) < 0 s¸i a
este punct de maxim.
67
Exemplul 11. S˘ a se studieze extremele funct ¸iei deﬁnit ˘ a prin:
f(x, y) = x
3
+y
3
+ 3xy + 2
Solut ¸ie.
Sistemul
_
_
_
∂f
∂x
(x, y) = 0
∂f
∂y
(x, y) = 0
⇔
_
3x
2
+ 3y = 0
3y
2
+ 3x = 0
⇔x = 0, y = 0 sau x = −1, y = −1.
Derivatele part ¸iale de ordinul doi sunt:
∂
2
f
∂x
2
(x, y) = 6x,
∂
2
f
∂y
2
(x, y) = 6y
∂
2
f
∂x∂y
(x, y) =
∂
2
f
∂y∂x
(x, y) = 3.
ˆ
In punctul particular (0,0), derivatele de ordinul doi sunt:
∂
2
f
∂x
2
(0, 0) = 0,
∂
2
f
∂y
2
(0, 0) = 0
∂
2
f
∂x∂y
(0, 0) = 3
Matricea Hassian˘ a:
H =
_
0 3
3 0
_
,
iar ∆
1
= 0, ∆
2
= −9. Se observ˘ a c˘ a punctul (0, 0) nu este punct de
extrem.
ˆ
In punctul (−1, −1),
∂
2
f
∂x
2
(−1, −1) = −6,
∂
2
f
∂y
2
(−1, −1) = −6
∂
2
f
∂x∂y
(−1, −1) = 3
iar Hessiana este:
H =
_
−6 3
3 −6
_
.
Deoarece ∆
1
= −6 < 0, ∆
2
= 27 > 0, rezult ˘ a d
2
f(−1, −1) ≤ 0, adic˘ a
(−1, −1) este punct de maxim. Q.E.D.
68
Exemplul 12. S˘ a se studieze extremele funct ¸iei deﬁnit ˘ a prin:
f(x, y, z) = −x
2
−y
2
−z
2
+ 2x −4y + 6z + 7, ∀(x, y, z) ∈ R
3
.
Solut ¸ie.
Consider ˘ am sistemul:
_
¸
¸
¸
¸
_
¸
¸
¸
¸
_
∂f
∂x
(x, y, z) = 0
∂f
∂y
(x, y, z) = 0
∂f
∂z
(x, y, z) = 0
⇔
_
_
_
−2x + 2 = 0
−2y −4 = 0
−2z + 6 = 0
Solut ¸ia acestui sistem este: x = 1, y = −2, z = 3.
Calcul ˘ am derivatele part ¸iale de ordinul doi:
∂
2
f
∂x
2
(x, y, z) = −2,
∂
2
f
∂y
2
(x, y, z) = −2,
∂
2
f
∂z
2
(x, y, z) = −2
∂
2
f
∂x∂y
(x, y, z) =
∂
2
f
∂x∂z
(x, y, z) =
∂
2
f
∂y∂z
(x, y, z) = 0.
Matricea Hessian˘ a este:
H =
_
_
−2 0 0
0 −2 0
0 0 −2
_
_
,
iar
∆
1
= −2 < 0, ∆
2
= 4 > 0, ∆
3
= −8 < 0.
As¸adar d
2
f(x, y, z) ≤ 0 ⇒(1, −2, 3) este punct de maxim. Q.E.D.
3.6.1 EXERCIT¸ II.
S˘ a se determine extremele locale ale funct ¸iilor deﬁnite prin:
1. f(x, y) = x
3
+y
3
+ 3xy + 2, ∀(x, y) ∈ R
2
2. f(x, y) = (x +y)e
−(x
2
+y
2
)
, ∀(x, y) ∈ R
2
3. f(x, y, z) = x
2
+y
2
+z
2
−xy +x −2z, ∀(x, y, z) ∈ R
3
69
3.7 AJUST
˘
ARI. METODA CELOR MAI MICI P
˘
ATRATE.
Un proces economic, ˆıntr-un interval de timp, poate ﬁ modelat mate-
matic printr-o funct ¸ie f a c˘ arei expresie analitic˘ a nu este cunoscut ˘ a.
Se cunosc doar anumite valori y
i
ale funct ¸iei f, ˆıntr-un num˘ ar ﬁnit de
momente de timp t
i
, i = 1, . . . , n.
Pentru a aﬂa evolut ¸ia ˆın viitor a procesului economic, se impune
determinarea unei funct ¸ii g care s˘ a aproximeze suﬁcient de bine com-
portarea procesului s¸i s˘ a satisfac˘ a condit ¸ia g(t
i
) = y
i
sau eroarea cu
care g(t
i
) aproximeaz˘ a valoarea y
i
s˘ a ﬁe foarte mic˘ a.
Teoria matematic˘ a a ajust ˘ arii urm˘ ares¸te determinarea unor astfel
de funct ¸ii care de cele mai multe ori sunt funct ¸ii polinomiale.
Ofunct ¸ie de ajustare g se mai numes¸te s¸i trend-ul (tendint ¸a) evolut ¸iei
procesului studiat, iar metoda de determinare a acesteia este metoda
celor mai mici patrate.
Fie funct ¸ia g(t) = a
n
t
n
+a
n−1
t
n−1
+... +a
1
t +a
0
.
Vom determina coeﬁcient ¸ii necunoscut ¸i a
i
punˆ and condit ¸ia ca eroa-
rea total ˘ a de aproximare
ε
t
=
n

i=1
(g(t
i
) −y
i
)
s˘ a ﬁe minim˘ a. Acest ˘ a abordare este simpl ˘ a dar prezint ˘ a inconvenientul
c˘ a nu admite solut ¸ie unic˘ a.
O alt ˘ a posibilitate ar ﬁ de a c˘ auta minimul
n

i=1
[(g(t
i
) −y
i
)[.
ˆ
Ins˘ a s¸i ˆın
acest caz apare apare diﬁcultatea neexistent ¸ei derivatei funct ¸iei modul
ˆın originea reperului.
Pentru a evita diﬁcult ˘ at ¸ile amintite mai sus, se minimizeaz˘ a suma
p˘ atratelor erorilor.
Consider ˘ am funct ¸ia:
F(a
0
, a
1
, ..., a
n
) =
n

i=1
(a
n
t
n
i
+a
n−1
t
n−1
i
+... +a
1
t
i
+a
0
−y
i
)
2
Condit ¸iile de minim impuse acestei funct ¸ii sunt:
∂F
∂a
0
= 0,
∂F
∂a
1
= 0, ....,
∂F
∂a
n
= 0
ˆ
Inlocuind derivatele part ¸iale, se ajunge la un sistem liniar de (n + 1)
ecuat ¸ii cu (n + 1) necunoscute, numit sistemul de ecuat ¸ii normale ale
70
lui Gauss care are determinantul diferit de zero, deci admite solut ¸ie
unic˘ a.
Cele mai frecvent utilizate curbe de ajustare sunt:
1. dreapta: g(t) = a
1
t +a
0
2. parabola: g(t) = a
2
t
2
+a
1
t +a
0
3. hiperbola: g(t) =
a
1
t
4. exponent ¸iala: g(t) = kb
t
.
Pentru a se alege cˆ at mai corect funct ¸ia de ajustare, se reprezint ˘ a
graﬁc punctele t
i
, y
i
s¸i se apreciaz˘ a tipul curbei, dup˘ a care aceste
puncte se ˆımpr ˘ as¸tie.
1. Ajustare liniar˘ a. Fie g(t) = a
1
t +a
0
, F(a
1
, a
0
) =
n

i=1
(a
1
t
i
+a
0
−y
i
)
2
.
Sistemul lui Gauss este:
_
¸
_
¸
_
a
1
n

i=1
t
2
i
+a
0
n

i=1
t
i
=
n

i=1
t
i
y
i
a
1
n

i=1
t
i
+na
0
=
n

i=1
y
i
2. Ajustare parabolic˘ a . Fie g(t) = a
2
t
2
+ a
1
t + a
0
, F(a
0
, a
1
, a
2
) =
n

i=1
(a
2
t
2
i
+a
1
t
i
+a
0
−y
i
)
2
.
Sistemul lui Gauss este:
_
¸
¸
¸
¸
¸
_
¸
¸
¸
¸
¸
_
a
2
n

i=1
t
4
i
+a
1
n

i=1
t
3
i
+a
0
n

i=1
t
2
i
=
n

i=1
t
2
i
y
i
a
2
n

i=1
t
3
i
+a
1
n

i=1
t
2
i
+a
0
n

i=1
t
i
=
n

i=1
t
i
y
i
a
2
n

i=1
t
2
i
+a
1
n

i=1
t
i
+a
0
n =
n

i=1
y
i
3. Ajustare hiperbolic˘ a. Se alege g(t) =
a
1
t
+ a
0
. Not ˆ and
1
t
= z se
obt ¸ine h(z) = a
1
z +a
0
care este o funct ¸ie de ajustare liniar ˘ a.
4. Ajustare dup˘ a o funct¸ie exponent¸ial ˘ a. Fie g(t) = kb
t
, k > 0, b > 0, b ,=
1. Prin logaritmare se obt ¸ine: ln(g(t)) = ln k + t ln b, o funct ¸ie de
ajustare liniar ˘ a.
Exemplul 13. Volumul vˆ anz˘ arilor, ˆın primele cinci luni ale anului, la
un produs, a ˆınregistrat valorile exprimate ˆın unit ˘ at ¸i monetare date de
urm˘ atorul tabel:
71
luna t
i
1 2 3 4 5
volumul vanz˘ arilor y
i
1 5 10 14 16
ˆ
In ipoteza c˘ a evolut ¸ia vˆ anz˘ arilor are acelas¸i caracter, s˘ a se estimeze
valoarea acestora ˆın urm˘ atoarele dou˘ a luni, ˆın vederea determin˘ arii
stocurilor lunare.
Solut ¸ie.
Se reprezint ˘ a graﬁc puntele (t
i
, y
i
) s¸i se observ˘ a c˘ a tendint ¸a este
liniar ˘ a. Se alege g(t) = a
1
t + a
0
s¸i se determin˘ a coeﬁcient ¸ii a
0
, a
1
re-
zolvˆ and sistemul lui Gauss corespunz˘ ator. Vom folosi tabelul:
t
i
y
i
t
i
y
i
t
2
i
1 1 1 1
2 5 10 4
3 10 30 9
4 14 56 16
5 16 80 25

t
i
= 15

y
i
= 46

t
i
y
i
= 177

t
2
i
= 55
Sistemul lui Gauss este :
_
¸
¸
_
¸
¸
_
a
1
5

i=1
t
2
i
+a
0
5

i=1
t
i
=
n

i=1
t
i
y
i
a
1
5

i=1
t
i
+ 5a
0
=
5

i=1
y
i
⇔
_
55a
1
+ 15a
0
= 177
15a
1
+ 5a
0
= 46
Solut ¸ia sistemului este: a
1
= 3, 9; a
0
= 1, 4 iar g(t) = 3, 9t + 1, 4 pentru
care g(6) = 24, 8 s¸i g(7) = 28, 7. Q.E.D.
Exercitiu 27. Consumul de energie al unei ˆıntreprinderi exprimat ˆın
unit ˘ at ¸i convent ¸ionale a evoluat ˆın timp de 6 ani astfel:
ani t
i
1 2 3 4 5 6
consum y
i
32 23 17 14 12 11
S˘ a se stabileasc˘ a funct ¸ia de ajustare s¸i s˘ a se fac˘ a prognoza pentru
urm˘ atorii doi ani.
Exercitiu 28. Product ¸ia unui bun material, exprimat ˘ a ˆın unit ˘ at ¸i convent ¸ionale
a evoluat timp de 9 ani astfel:
72
ani t
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9
product ¸ie y
i
7 8 10 13 19 29 47 60 82
S˘ a se stabileasc˘ a funct ¸ia de ajustare s¸i s˘ a se fac˘ a prognoza product ¸iei
pentru urm˘ atorii trei ani.
73
4 ELEMENTE DE TEORIA
PROBABILIT
˘
AT¸ ILOR S¸ I STATISTIC
˘
A
MATEMATIC
˘
A.
4.1 C
ˆ
AMP DE EVENIMENTE.
4.1.1 EVENIMENTE. OPERAT¸ II CU EVENIMENTE.
Teoria probabilit ˘ at ¸ilor este ramura matematicii care studiaz˘ a fenome-
nele aleatoare de mas˘ a s¸i legile c˘ arora li se supun aceste fenomene.
Prin fenomen aleator se ˆınt ¸elege un fenomen care reprodus de mai
multe ori ˆın aceleas¸i condit ¸ii se desf ˘ as¸oar ˘ a de ﬁecare dat ˘ a mai mult
sau mai put ¸in diferit.
Exemple de fenomene aleatoare din sfera economic˘ a: aparit ¸ia de
rebuturi la un strung, defectarea mas¸inilor unelte ˆıntr-o zi de lucru,
num˘ arul apelurilor telefonice ˆıntr-un schimb la o central ˘ a telefonic˘ a,
etc.
Fie Ω o mult ¸ime nevid˘ a. O proprietate luat ˘ a ˆın considerat ¸ie fat ¸˘ a de
elementele mult ¸imii Ω se numes¸te criteriu de cercetate. Realizarea
practic˘ a a complexului de condit ¸ii corespunz˘ ator criteriului de cerce-
tare se numes¸te experient ¸˘ a. Orice reluare a experient ¸ei se numes¸te
prob˘ a. O situat ¸ie ce se poate realiza prin una sau mai multe probe, se
numes¸te eveniment.
Exemplul 14. Se consider ˘ a urm˘ atoarea experient ¸˘ a: dintr-o urn˘ a ˆın
care se g˘ a sesc bile identice ca marime form˘ a s¸i greutate, numerotate
de la 1 la 6 se extrage la ˆınt ˆ amplare o bil ˘ a. Se pot considera evenimen-
tele:
1) aparit ¸ia bilei cu cifra k, ∀k = 1, . . . , 6;
2) aparit ¸ia bilei cu cifra k sau j, k ,= j, k, j = 1, . . . , 6;
3) aparit ¸ia unei bile;
4) aparit ¸ia unei bile cu num˘ ar par;
5) aparit ¸ia unei bile cu num˘ ar mai mic sau egal cu 4.
Din exemplul de mai sus rezult ˘ a urm˘ atoarele observat ¸ii:
– un eveniment este precizat printr-o propozit ¸ie logic˘ a s¸i se realizeaz˘ a
sau nu dup˘ a cum aﬁrmat ¸ia din propozit ¸ia logic˘ a este adev˘ arat ˘ a sau
fals˘ a;
– consider ˆ and mult ¸imea Ω = ¦1, 2, 3, 4, 5, 6¦ numit ˘ a s¸i mult ¸imea tutu-
ror rezultatelor posibile ale experient ¸ei, se observ˘ a c˘ a ﬁec˘ arui eveni-
ment ˆıi corespunde o submult ¸ime a lui Ω care se va numi mult ¸imea
cazurilor favorabile ale lui Ω. Deci, evenimentele asociate experient ¸ei
se indentiﬁc˘ a cu submult ¸imi ale lui Ω, adic˘ a sunt elemente a mult ¸imii
p˘ art ¸ilor lui Ω, notat ˘ a
T
(Ω).
– elementele mult ¸imii Ω corespund evenimentelor ce se pot realiza la
o singur ˘ a prob˘ a s¸i numai una. Ele se mai numesc s¸i evenimente
elementare care se identiﬁc˘ a cu submult ¸imile formate cu un singur
element. Un eveniment care nu este elementar se realizeaz˘ a ˆıntr-o
prob˘ a dac˘ a ˆın acea prob˘ a s-a realizat unul din evenimentele elemen-
tare ce intr ˘ a ˆın component ¸a sa.
– unei experient ¸e ˆıi corespund dou˘ a evenimente speciale : evenimen-
tul sigur c˘ aruia ˆıi corespunde mult ¸imea Ω s¸i se va nota cu Ω s¸i eveni-
mentul imposibil, c˘ aruia ˆıi corespunde mult ¸ime a vid˘ a s¸i se noteaz˘ a
cu ∅. Evenimentul sigur se realizeaz˘ a ˆıntotdeauna ; evenimentul im-
posibil nu se realizeaz˘ a la nici o efectuare a experient ¸ei.
– datorit ˘ a identiﬁc˘ arii evenimentelor cu submult ¸imile cazurilor favora-
bile lor, aceastea se vor nota cu aceeas¸i liter ˘ a cu care se noteaz˘ a
mult ¸imea corespunz˘ atoare, iar relat ¸iile ce se pot stabili ˆıntre eveni-
mente se vor exprima utilizˆ and teoria mult ¸imilor.
Vom ˆınt ¸elege prin sistem de evenimente asociat unei experient ¸e,
mult ¸imea evenimentelor ce pot apare ˆın acea experient ¸˘ a.
Fie M sistemul de evenimente asociat unei experient ¸e s¸i A, B ∈ M.
ˆ
In cazul ˆın care mult ¸imea Ω este ﬁnit ˘ a, M =
T
(Ω), ˆın general ˆıns˘ a
putem avea M
T
(Ω).
Deﬁnit¸ie. Evenimentul A implic˘ a evenimentul B dac˘ a realizarea lui A
atrage dup˘ a sine realizarea lui B. Se noteaz˘ a implicat ¸ia A ⊂ B.
Observat¸ie. Din deﬁnit ¸ie rezult ˘ a c˘ a orice caz care realizeaz˘ a pe A,
realizeaz˘ a s¸i pe B, adic˘ a mult ¸imea cazurilor favorabile lui A este in-
clus˘ a ˆın mult ¸imea cazurilor favorabile lui B. Dac˘ a A ⊂ B s¸i B ⊂ A,
evenimentele A s¸i B se numesc echivalente s¸i se noteaz˘ a aceasta
prin A = B. Evenimentele echivalente nu sunt considerate distincte.
Pe mult ¸imea M se introduc urm˘ atoarele operat ¸ii :
76
– Reuniunea evenimentelor As¸i B este evenimentul care se realizeaz˘ a
dac˘ a cel put ¸in unul din evenimentele A sau B se realizeaz˘ a s¸i se
noteaz˘ a A ∪ B.
– Intersect ¸ia evenimentelor A s¸i B este evenimentul care se realizeaz˘ a
atunci cˆ and evenimentele As¸i B se realizeaz˘ a simultan s¸i se noteaz˘ a
A ∩ B.
– Diferent ¸a evenimentelor A, B, ˆın aceast ˘ a ordine este evenimentul
care se realizeaz˘ a cˆ and se realizeaz˘ a A s¸i nu se realizeaz˘ a B ; se
noteaz˘ a A ¸ B.
– Evenimentul contrar unui eveniment A este evenimentul care se rea-
lizeaz˘ a atunci cˆ and evenimentul A nu se realizeaz˘ a ; se noteaz˘ a
¯
A
sau CA.
Deﬁnit¸ie. Dou˘ a evenimente A s¸i B se numesc compatibile dac˘ a ele
se pot realiza simultan s¸i incompatibile dac˘ a nu se pot realiza simultan.
Observat¸ie. Pentru dou˘ a evenimente compatibile As¸i B avemA∩B ,=
∅, iar pentru dou˘ a evenimente incompatibile A s¸i B avem A ∩ B = ∅.
4.2 DEFINIT¸ IA CLASIC
˘
A A PROBABILIT
˘
AT¸ II.
Fie M mult ¸imea evenimentelor atas¸ate unei experient ¸e cu un num˘ ar
ﬁnit de rezultate posibile. Evenimentele din M se deosebesc ˆıntre ele
prin posibilitatea de aparit ¸ie sau grad de realizare. Pentru a m˘ asura
gradul de realizare a unui eveniment se deﬁnes¸te not ¸iunea de pro-
babilitate ˆın sens clasic.
ˆ
In deﬁnit ¸ia clasic˘ a a probabilit ˘ at ¸ii se presu-
pune c˘ a orice eveniment asociat experient ¸ei este ori elementar, ori se
exprim˘ a ca o reuniune de evenimente elementare. Evenimentele ele-
mentare sunt considerate egal posibile (au acelas¸i grad de realizare).
Reamintim c˘ a evenimentele elementare care intr ˘ a ˆın component ¸a unui
eveniment A se numesc cazuri favorabile, iar toate evenimentele ele-
mentare se numesc cazuri posibile.
Deﬁnit¸ie. Se ˆınt ¸elege prin probabilitate ˆın sens clasic al unui eveni-
ment A s¸i se noteaz˘ a cu P(A) raportul dintre num˘ arul cazurilor favora-
bile si num˘ arul cazurilor posibile.
Se consider ˘ a n probe ale unei experient ¸e cu un num˘ ar ﬁnit de eve-
nimente elementare echiprobabile (cu aceeas¸i probabilitate)
Deﬁnit¸ie. Se numes¸te frecvent ¸˘ a relativ˘ a a unui eveniment A num˘ arul
f
n
(A) egal cu raportul dintre num˘ arul k al probelor ˆın care s-a realizat
evenimentul A s¸i num˘ arul total de probe, adic˘ a f
n
(A) =
k
n
.
77
Observat¸ie.
ˆ
Intre frecvent ¸a relativ˘ a s¸i probabilitatea unui eveniment
exist ˘ a urm˘ atoarea leg˘ atur ˘ a : dac˘ a se efectueaz˘ a un num˘ ar din ce ˆın
ce mai mare de probe, frecvent ¸a relativ˘ a corepsunz˘ atoare oscileaz˘ a
ˆın jurul probabilit ˘ at ¸ii, apropiindu-se din ce ˆın ce mai mult de aceasta.
Frecvent ¸a relativ˘ a are un caracter experimental. Leg˘ atura de mai sus
justiﬁc˘ a aproximarea probabilit ˘ at ¸ii unui eveniment prin frecvent ¸a sa re-
lativ˘ a.
4.3 C
ˆ
AMP DE EVENIMENTE.
Deﬁnit¸ie. Fie Ω o mult ¸ime nevid˘ a. Se numes¸te corp de p˘ art ¸i a lui Ω o
familie nevid˘ a de mult ¸imi K ⊂
T
(Ω) cu propriet ˘ at ¸ile :
– Pentru orice A ∈ K, avem CA ∈ K.
– Pentru orice A, B ∈ K, avem A ∪ B ∈ K.
Deﬁnit ¸ia ne conduce direct la urm˘ atoarele consecint ¸e :
1.Ω ∈ K s¸i ∅ ∈ K.
2.Pentru orice A, B ∈ K, avem A ∩ B ∈ K.
3.Pentru orice A, B ∈ K, avem A ¸ B ∈ K.
Un exemplu elementar de corp de p˘ art ¸i este
T
(Ω).
Deﬁnit¸ie. Ω ˆımpreun˘ a cu un corp K de evenimente se numes¸te cˆ amp
de evenimente s¸i se noteaz˘ a (Ω, K).
4.4 C
ˆ
AMP DE PROBABILITATE.
4.4.1 DEFINIT¸ IA AXIOMATIC
˘
A A PROBABILIT
˘
AT¸ II.
Deﬁnit¸ie. Fie (Ω, K) un cˆ amp ﬁnit de evenimente. Se numes¸te proba-
bilitate pe acest cˆ amp o funt ¸ie P : K →R care stisface axiomele :
1.P(A) ≥ 0, pentru orice A ∈ K.
2.P(Ω) = 1.
3.Pentru orice A, B ∈ K cu A∩B = ∅, avem P(A∪B) = P(A) +P(B).
Observat¸ie. Axioma 3. din deﬁnit ¸ie se poate extinde prin induct ¸ie la
orice reuniune ﬁnit ˘ a de evenimente incompatibile dou˘ a cˆ ate dou˘ a. Se
arat ˘ a c˘ a probabilitatea clasic˘ a este un caz particular de probabilitate
axiomatic˘ a.
78
Deﬁnit¸ie. Un cˆ amp ﬁnit de evenimente (Ω, K) ˆımpreun˘ a cu o proba-
bilitate P pe acest cˆ amp se numes¸te cˆ amp ﬁnit de probabilitate s¸i se
noteaz˘ a (Ω, K, P).
Direct din deﬁnit ¸ie rezult ˘ a urm˘ atoarele propriet ˘ at ¸i ale probabilit ˘ at ¸ii.
Propozitia 5. Fie (Ω, K, P) un cˆ amp de probabilitate. Atunci :
1.Orice ar ﬁ A ∈ K, P(
¯
A) = 1 −P(A).
2.P(∅) = 0.
3.0 ≤ P(A) ≤ 1, pentru orice A ∈ K.
4.P(A ¸ B) = P(A) −P(A ∩ B), pentru orice A, B ∈ K.
5.Dac˘ a B ⊂ A, atunci P(A ¸ B) = P(A) −P(B) s¸i P(A) ≥ P(B).
6.P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) s¸i P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B),
pentru orice A, B ∈ K.
4.4.2 EVENIMENTE INDEPENDENTE. PROBABILITATE
CONDIT¸ IONAT
˘
A.
Deﬁnit¸ie. Fie (Ω, K, P) un cˆ amp de probabilitate. Evenimentele A s¸i B
apat ¸inˆ and lui K se numesc independente dac˘ a P(A∩B) = P(A)P(B).
Observat¸ie. Dac˘ a P(A ∩ B) ,= P(A)P(B), evenimentele se numesc
dependente.
Deﬁnit¸ie. Fie (Ω, K, P) un cˆ amp de probabilitate, A ∈ K s¸i P(A) > 0.
Se numes¸te probabilitate a unui eveniment B condit ¸ionat ˘ a de eveni-
mentul A, notat ˘ a cu P(B/A) sau P
A
(B), num˘ arul
P
A
(B) =
P(A ∩ B)
P(A)
.
Observat¸ie. Se demonstreaz˘ a c˘ a funct ¸ia P
A
: K →R satisface axio-
mele din deﬁnit ¸ie probabilit ˘ at ¸ii.
Observat¸ie. Dac˘ a P(B) > 0, se poate deﬁni s¸i P
B
(A) =
P(A∩B)
P(B)
.
Observat¸ie. Dac˘ a P(A) > 0 s¸i P(B) > 0, atunci avem P(A ∩ B) =
P
A
(B)P(A) = P
B
(A)P(B).
Observat¸ie. Evenimentele As¸i B sunt dependente, ˆın cazul P(A) > 0,
dac˘ a P
A
(B) ,= P(B).
4.5 VARIABILE ALEATOARE.
Deﬁnit¸ie. Se ˆınt ¸elege prin m˘ arime aleatoare o m˘ arime ale c˘ arei valori
se schimba sub inﬂuent ¸a unor factori aleatori. Pentru astfel de m˘ arime,
79
faptul c˘ a atinge o valoare reprezint ˘ a un eveniment ce se realizeaz˘ a cu
o anumit ˘ a probabilitate.
De exemplu, ˆın experient ¸a arunc˘ arii zarului, m˘ arimea aleatoare co-
respunz˘ atoare este num˘ arul de puncte. Not ˆ and aceast ˘ a m˘ arime cu
X, realizarea evenimentului ”apare fat ¸a cu trei puncte” ˆınseamn˘ a c˘ a
m˘ arimea ia valoarea 3. Vom numi m˘ arimile aleatoare ”variabile alea-
toare”.
Deﬁnit¸ie. Fie (Ω, K, P) un cˆ amp de probabilitate. O aplicat ¸ie X : Ω →
R, dat ˘ a de ω → X(ω) se numes¸te variabil ˘ a aleatoare K dac˘ a pentru
orice x ∈ R mult ¸imea
¦ω ∈ Ω, X(ω) < x¦
este un element din K.
Observat¸ie. ¦ω ∈ Ω, X(ω) < x¦ reprezint ˘ a reuniunea evenimentelor
elementare ω care au proprietatea X(ω) < x. Deci ¦ω ∈ Ω, X(ω) < x¦
este un eveniment s¸i X este variabil ˘ a aleatoare ˆın raport cu cˆ amplu K
dac˘ a acest eveniment apart ¸ine cˆ ampului K. Vom nota acest eveniment
cu (X < x).
Observat¸ie. Se pot considera s¸i urm˘ atoarele evenimente :
¦ω ∈ Ω, X(ω) ≤ x¦ = (X ≤ x)
¦ω ∈ Ω, X(ω) = x¦ = (X = x)
¦ω ∈ Ω, X(ω) ≥ x¦ = (X ≥ x)
¦ω ∈ Ω, X(ω) > x¦ = (X > x)
¦ω ∈ Ω, a < X(ω) ≤ b¦ = (a < X ≤ b)
¦ω ∈ Ω, a ≤ X(ω) ≤ b¦ = (a ≤ X ≤ b)
¦ω ∈ Ω, a ≤ X(ω) < b¦ = (a ≤ X < b)
¦ω ∈ Ω, a < X(ω) < b¦ = (a < X < b)
Se poate demonstra c˘ a evenimentele de mai sus apart ¸in cˆ ampului K.
80
4.5.1 FUNCT¸ IA DE REPARTIT¸ IE A UNEI VARIABILE ALEATOARE.
Fie (Ω, K, P) un cˆ amp de probabilitate s¸i X : Ω → R o variabil ˘ a alea-
toare ˆın raport cu cˆ ampul K.
Deﬁnit¸ie. Se numes¸te funct ¸ie de repartit ¸ie a variabilei aleatoare X, o
funct ¸ie F : R →R deﬁnit ˘ a prin
F(x) = P (¦ω ∈ Ω, X(ω) < x¦)
Teorema 16 (Propriet ˘ at¸i ale funct¸iei de repartit¸ie).
1. Funct ¸ia F este monoton cresc˘ atoare pe R.
2. Funct ¸ia F este continu˘ a la st ˆ anga ˆın orice punct x ∈ R, i.e. F(x −
o) = F(x).
3. lim
x→−∞
F(x) = 0, lim
x→∞
F(x) = 1.
4. F(x +o) = F(x) + P(X = x).
Cu ajutorul funct ¸iei de repartit ¸ie se pot exprima probabilit ˘ at ¸ile ca o
variabil ˘ a aleatoare X s˘ a ia valori ˆıntr-un interval s¸i anume se poate
ar ˘ ata c˘ a
1. P(a ≤ X < b) = F(b) −F(a).
2. P(a < X < b) = F(b) −F(a) −P(X = a).
3. P(a < X ≤ b) = F(b) −F(a) −P(X = a) +P(X = b).
4. P(a ≤ X ≤ b) = F(b) −F(a) + P(X = b).
Observat¸ie. Dac˘ a funct ¸ia de repartit ¸ie F este o funct ¸ie continu˘ a, toate
probabilit ˘ at ¸ile de mai sus devin egale cu F(b) −F(a).
4.5.2 TIPURI DE VARIABILE ALEATOARE.
Deﬁnit¸ie. Fie (Ω, K, P) un cˆ amp de probabilitate. O variabil ˘ a alea-
toare X : Ω → R care ia un num˘ ar ﬁnit de valori se numes¸te variabil ˘ a
aleatoare simpl ˘ a.
Observat¸ie. Mult ¸imea valorilor variabilei simple X este X(Ω) =
¦x
1
, . . . , x
n
¦. Evenimentul din cˆ ampul (Ω, K) care const ˘ a ˆın faptul c˘ a
variabila aleatoare X ia valoarea x
i
este ¦ω, X(ω) = x
i
¦, adic˘ a
(X = x
i
). Fie p
i
= P(X = x
i
) ce inseamn˘ a c˘ a X ia valoarea x
i
. Atunci
funct ¸ia de repartit ¸ie F este dat ˘ a de relat ¸ia
F(x) =

{i, x
i
<x}
p
i
.
81
Deﬁnit¸ie. Fie (Ω, K, P) un cˆ amp de probabilitate. O variabil ˘ a alea-
toare X : Ω → R pentru care X(Ω) este cel mult num˘ arabil ˘ a se
numes¸te variabil ˘ a aleatoare discret ˘ a.
Observat¸ie. Orice variabil ˘ a aleatoare simpl ˘ a este s¸i variabil ˘ a alea-
toare discret ˘ a.
Teorema 17. Funct ¸ia de repartit ¸ie F a unei variabile aleatoare discrete
este o funct ¸ie scar ˘ a deﬁnit ˘ a prin F(x) =

p
i
.
Exemplul 15. Fie
X =
_
0 1 2 3
0, 20 0, 45 0, 20 0, 15
_
S˘ a se determine funct ¸ia de repartit ¸ie s¸i s˘ a se calculeze F(−2), F(2, 3),
P(1, 5 ≤ X < 3), P(1 < X ≤ 2, 6).
Solut ¸ie.
F(x) =
_
¸
¸
¸
¸
_
¸
¸
¸
¸
_
0 x ∈ (−∞, 0]
0, 20 x ∈ (0, 1]
0, 65 x ∈ (1, 2]
0, 85 x ∈ (2, 3]
1 x ∈ (1, ∞).
F(−2) = 0 ; (2, 3) = 0, 85 ; P(1, 5 ≤ X < 3) = F(3) − F(1, 5) =
0, 85 − 0, 65 = 0, 20 ; P(1 < X ≤ 2, 6) = F(2, 6) − F(1) − P(X =
1) +P(X = 2, 6) = 0, 85 −0, 20 −0, 45 + 0 = 0, 20.
Un alt tip de variabil ˘ a aleatoare este variabila aleatoare continu˘ a
care se deﬁnes¸te cu ajutorul funct ¸iei de repartit ¸ie.
4.6 OPERAT¸ II CU VARIABILE ALEATOARE DISCRETE.
Fie (Ω, K, P) un cˆ amp de probabilitate s¸i X, Y variabile aleatoare ˆın
raport cu cˆ ampul K.
Teorema 18. Funct ¸iile X + a, aX, [X[, X
n
,
1
X
, X + Y , XY , X − Y ,
X
Y
sunt variabile aleatoare ˆın raport cu cˆ ampul K.
Observat¸ie.
1. Orice constant ˘ a poate ﬁ considerat ˘ a ca o variabil ˘ a aleatoare dis-
cret ˘ a cu repartit ¸ia
_
a
1
_
.
82
2. Dac˘ a X este variabil ˘ a aleatoare discret ˘ a cu repartit ¸ia
_
x
i
p
i
_
i∈I
atunci repartit ¸iile variabilelor aleatoare X + a, aX, [X[, X
n
,
1
X
sunt
_
x
i
+a
p
i
_
i∈I
,
_
ax
i
p
i
_
i∈I
,
_
[x
i
[
p
i
_
i∈I
,
_
x
n
i
p
i
_
i∈I
s¸i, respectiv,
_
1
x
i
p
i
_
i∈I
cu x
i
,= 0.
4.7 CARACTERISTICI NUMERICE ALE
VARIABILELOR ALEATOARE DISCRETE.
ˆ
In aplicat ¸iile concrete de folosesc divers¸i indicatori sau caracteristici
numerice ale unei variabile aleatoare care permit o imagine a modu-
lui de repartizare a valorilor sale. Aces¸ti caracteristici pun ˆın evident ¸˘ a
tendint ¸a de grupare a acestor valori, ˆımpr ˘ as¸ierea lor, forma graﬁcelor
de repartit ¸ie.
Fie (Ω, K, P) un cˆ amp de probabilitate s¸i X o variabil ˘ a aleatoare ˆın
raport cu cˆ ampul K.
Deﬁnit¸ie. Se numes¸te media variabilei aleatoare X un unm˘ ar notat
M(X) s¸i egal cu
M(X) =

i∈I
x
i
p
i
dac˘ a X =
_
x
i
p
i
_
i∈I
Observat¸ie. Media variabilei este un indicator numeric al tendint ¸ei
centrale de grupare. Valoarea medie a unei variabile aleatoare este
cuprins˘ a ˆıntre cea mai mic˘ a s¸i cea mai mare dintre valorile posibile ale
variabilei.
Propozitia 6 (Propriet ˘ at¸i ale mediei). Fie X, Y variabile aleatoare ˆın
raport cu cˆ ampul K, a ∈ R.
1. M(X +Y ) = M(X) +M(Y ).
2. M(XY ) = M(X)M(Y ), dac˘ a variabilele aleatoare sunt indepen-
dente.
3. M(a) = a, adic˘ a media unei constante privit ˘ a ca o variabil ˘ a alea-
toare cu repartit ¸ia
_
a
1
_
este egal ˘ a cu acea constant ˘ a.
4. M(a +X) = a +M(X).
5. M(aX) = aM(X).
83
6. Se noteaz˘ a cu Y = X − M(X) s¸i se numes¸te variabila aleatoare
abatere de la medie. Atunci M(Y ) = M(X) −M(X) = 0.
Deﬁnit¸ie. Se numes¸te moment de ordin r al variabilei aleatoare X,
media variabilei X
r
. Vom nota momentul de ordin r cu m
r
s¸i avem
m
r
(X) =

i∈I
x
r
i
p
i
dac˘ a X =
_
x
i
p
i
_
i∈I
Observat¸ie. Pentru r = 1 se obt ¸ine expresia mediei m
1
= M.
Deﬁnit¸ie. Se numes¸te moment absolut de ordin r al variabilei alea-
toare X, media variabilei [X[
r
. Vom nota momentul absolut de ordin r
cu m
r
s¸i avem
m
r
(X) =

i∈I
[x
i
[
r
p
i
dac˘ a X =
_
x
i
p
i
_
i∈I
Deﬁnit¸ie. Se numes¸te moment centrat de ordin r al variabilei alea-
toare X, media variabilei abatere de la medie. Se noteaz˘ a cu µ
r
s¸i
avem
µ
r
(X) = M((X −M(X))
r
) =

i∈I
(x
i
−m)
r
p
i
dac˘ a X =
_
x
i
p
i
_
i∈I
,
unde m = M(X) este media variabilei X.
Observat¸ie. µ
r
arat ˘ a cˆ at de mult se abat valorile variabilei de la va-
loarea medie, cu alte cuvinte cum se ˆımpr ˘ as¸tie ele ˆın jurul mediei.
Deﬁnit¸ie. Se numes¸te dispersia variabilei aleatoare X s¸i se noteaz˘ a
cu D
2
(X) momentul centrat de ordin doi
D
2
(X) =

i∈I
(x
i
−m)
2
p
i
dac˘ a X =
_
x
i
p
i
_
i∈I
,
unde m = M(X) este media variabilei X. σ(X) =
_
D
2
(X) se
numes¸te abatere medie p˘ atratic˘ a.
Observat¸ie. Dispersia este cel mai comod moment centrat pentru
calcule, deoarece m˘ asoar ˘ a ˆımpr ˘ as¸tierea valorilor variabilei aleatoare
fat ¸˘ a de media sa.
Observat¸ie. Dispersia s¸i abaterea medie p˘ atratic˘ a se mics¸oreaz˘ a
sau se m˘ aresc dup˘ a cum ˆımpr ˘ as¸tierea valorilor se mics¸oreaz˘ a sau
se m˘ ares¸te. Cu cˆ at intervalul pe care se aﬂ˘ a valorile este mai mic, s¸i
dispersia este mai mic˘ a.
84
Propozitia 7 (Propriet ˘ at¸i ale dispersiei).
1. D
2
(X) ≥ 0 s¸i D
2
(X) = 0 dac˘ a X este variabil ˘ a aleatoare constant ˘ a.
2. D
2
(X) = M(X
2
) −(M(X))
2
.
3. D
2
(aX) = a
2
D
2
(X).
4. D
2
(a +X) = D
2
(X).
5. D
2
(X +Y ) = D
2
(X) +D
2
(Y ), dac˘ a X s¸i Y sunt independente.
Deﬁnit¸ie. Fie X s¸i Y variabile aleatoare ˆın raport cu cˆ ampul K, M(X),
M(Y ) mediile lor s¸i X−M(X), Y −M(Y ) variabilele abatere de la me-
die. Se numes¸te covariant ¸˘ a sau corelat ¸ie a variabilelor X s¸i Y media
produsului
cov(X, Y ) = M((X −M(X))(Y −M(Y ))).
Propozitia 8 (Propriet ˘ at¸i ale covariant¸ei).
1. cov(X, Y ) = M(XY ) −M(X)M(Y ).
2. Dac˘ a X s¸i Y sunt independente, atunci cov(X, Y ) ; reciproca nu
este adev˘ arat ˘ a.
3. cov(aX, bY ) = ab cov(X, Y )
4. cov(X +Z, Y ) = cov(X, Y ) + cov(Z, Y ).
Observat¸ie.
1. Dac˘ a cov(X, Y ) ,= 0 atunci X s¸i Y sunt dependente.
2. ρ
X,Y
=
cov(X,Y )
√
D
2
(X)D
2
(Y )
se numes¸te coeﬁcient de corelat ¸ie ; se demon-
streaz˘ a c˘ a ρ ∈ [−1, 1] ; dac˘ a ρ = ±1, atunci ˆıntre variabile exist ˘ a o
dependent ¸˘ a liniar ˘ a de forma Y = aX + b cu a > 0 pentru ρ = 1 s¸i
a < 0 pentru ρ = −1.
3. Se numesc drepte de regresie ale variabilelor X s¸i Y dreptele
X −M(X)
D
2
(X)
= cov(X, Y )
Y −M(Y )
D
2
(Y )
Y −M(Y )
D
2
(Y )
= cov(X, Y )
X −M(X)
D
2
(X)
.
85
4.8 FUNCT¸ IA CARACTERISTIC
˘
A A UNEI VARIABILE
ALEATOARE.
Este tot o o funct ¸ie ce caracterizeaz˘ a o variabil ˘ a aleatoare s¸i cu aju-
torul c˘ areia se pot determina momentele de orice ordin s¸i funct ¸ia de
repartit ¸ie.
Fie X o variabil ˘ a aleatoare real ˘ a cu funct ¸ia de repartit ¸ie F. e
itX
=
cos(tX) + i sin(tX), unde t ∈ R se numes¸te variabil ˘ a aleatoare com-
plex˘ a.
Deﬁnit¸ie. Funct ¸ia (
X
: R → C, (
X
(t) = M(e
itX
) se numes¸te funct ¸ie
caracteristic˘ a a variabilei aleatoare X.
Observat¸ie. Rezult ˘ a din deﬁnit ¸ie c˘ a (
X
(t) =

i∈I
e
itx
i
, dac˘ a X =
_
x
i
p
i
_
i∈I
.
Propozitia 9. 1. (
X
(0) = 1 s¸i [(
X
(t)[ ≤ 1 pentru orice t ∈ R.
2. (
X
(−t) = (
X
(t).
3. Dac˘ a X
1
, . . . , X
n
sunt variabile independente cu (
X
1
,...,(
X
n
funct ¸iile
caracteristice, atunci pentru variabila aleatoare X =

n
i=1
X
i
avem
funct ¸ia caracteristic˘ a:
(
X
(t) =
n

j=1
(
X
j
(t)
4.8.1 EXERCIT¸ II.
Exercitiu 29. Fie variabilele aleatoare independente :
X :
_
1 2 3
0, 2 0, 5 0, 3
_
s¸i
Y :
_
1 4 6
0, 6 0, 2 0, 2
_
Se cere :
a)repartit ¸iile variabilelor X +Y, XY, X
3
;
b)media s¸i dispersia variabilelor X s¸i 2X + 3Y ;
c)funct ¸ia de repartit ¸ie a variabilei X.
86
Exercitiu 30. Fie variabila aleatoare independent ˘ a :
X :
_
1 2 3 4
α
2 7
4
α
1
3
1
6
_
S˘ a se determine valoarea parametrului α ∈ R s¸i s˘ a se calculeze
P(X ≤ 3)
Exercitiu 31. O variabil ˘ a aleatoare X ia valorile 1, 2, 3 avˆ and media
M(X) =
7
4
s¸i dispersia
D
2
(X) =
11
16
. S˘ a se determine repartit ¸ia variabilei.
87
5 ELEMENTE DE STATISTIC
˘
A MATEMATIC
˘
A.
5.1 NOT¸ IUNEA DE SELECT¸ IE.
Statistica matematic˘ a se fundamenteaz˘ a cu ajutorul teoriei probabilit ˘ a
t ¸ilor, avˆ and ca obiect sistematizarea, prelucrarea, s¸i utilizarea datelor
statistice (de observat ¸ie) ˆın vederea studierii pe cale inductiv˘ a a feno-
menelor de mas˘ a.
Datele care se culeg se refer ˘ a la una sau mai multe caracteristici
comune unei mult ¸imi.
Mult ¸imea a c˘ arei elemente au cel put ¸in o caracteristic˘ a comun˘ a s¸i
este supus˘ a unei prelucr ˘ ari statistice, se numes¸te populat ¸ie statistic˘ a.
Elementele ei se numesc unit ˘ at ¸i, iar num˘ arul lor va reprezenta volumul
populat ¸iei, care poate ﬁ ﬁnit sau inﬁnit.
Caracteristica luat ˘ a ˆın considerare poate ﬁ cantitativ˘ a (se poate
m˘ asura), sau calitativ˘ a s¸i se asimileaz˘ a cu o variabil ˘ a aleatoare. Aceast ˘ a
variabil ˘ a aleatoare se numet ¸e variabil ˘ a aleatoare asociat ˘ a populat ¸iei
sau caracteristic˘ a sub cercetare. Informat ¸iile privind valorile caracte-
risticii, practic, nu se pot culege de la ˆıntreaga populat ¸ie ci se exami-
neaz˘ a numai un num˘ ar limitat de unit ˘ at ¸i, sper ˆ and ca informat ¸ia primit ˘ a
pe aceast ˘ a cale s˘ a spun˘ a cu suﬁcient ˘ a precizie ce dorims˘ a cunoas¸tem
despre ˆıntreaga populat ¸ie.
Cercetarea part ¸ial ˘ a, asupra unei submult ¸imi ﬁnite luat ˘ a la ˆınt ˆ amplare,
se numet ¸e sondaj.
Submult ¸imea ﬁnit ˘ a considerat ˘ a ˆımpreun˘ a cu valorile observate se
numet ¸e es¸antion sau select ¸ie. Num˘ arul de elemente cont ¸inut de o
select ¸ie se numes¸te volumul select ¸iei.
Presupunemc˘ a select ¸ia se face luˆ and cˆ ate un element din populat ¸ie
s¸i m˘ asur ˆ and acest element din punct de vedere al caracteristicii no-
tat ˘ a X. Repet ˆ and de n ori ˆın mod independent acest experiment, se
obt ¸ine un sir de valori ¦x
1
, . . . , x
n
¦. Select ¸ia poate ﬁ cu ˆıntoarcere s¸i
f ˘ ar ˘ a ˆıntoarcere.
ˆ
In primul caz, elementul extras din populat ¸ie este rein-
trodus ˆın aceasta ˆınainte de a se extrage urm˘ atorul.
ˆ
In al doilea caz,
el nu mai revine ˆın populat ¸ie. Dac˘ a populat ¸ia este inﬁnit ˘ a, deosebirea
ˆıntre cele dou˘ a tipuri de select ¸ie nu exist ˘ a. Ea se impune atunci cˆ and
populat ¸ia are un num˘ ar ﬁnit de elemente.
ˆ
In cazul populat ¸iei inﬁnite, metoda select ¸iei este singura metod˘ a de
cercetare a populat ¸iei dup˘ a caracteristica X. Prin aceast ˘ a metod˘ a de
cercetare, pe baza analizei unei colectivit ˘ at ¸i part ¸iale, se trag concluzii
asupra ˆıntregii colectivit ˘ at ¸i. Din acest motiv este necesar ca select ¸ia s˘ a
ﬁe reprezentativ˘ a , adic˘ a toate valorile de select ¸ie, x
1
, . . . , x
n
, s˘ a aib˘ a
aceeas¸i probabilitate de a intra ˆın component ¸a ei.
Conceptul de select ¸ie poate ﬁ examinat s¸i sub urm˘ atorul aspect:
consider ˆ and un experiment aleator c˘ aruia i se asociaz˘ a caracteris-
tica X s¸i efectuˆ and un sir de n repet ˘ ari ale experimentului, obt ¸inem
un sistem de n variabile aleatoare, X
1
, . . . , X
n
, unde X
i
este rezul-
tatul aleator care corespunde celei de a i-a repet ˘ ari a experimentu-
lui. Se obt ¸ine astfel o variabil ˘ a aleatoare n- dimensional ˘ a (X
1
, . . . , X
n
)
ˆın care componentele X
i
sunt variabile aleatoare independente, iden-
tic repartizate, adic˘ a avˆ and ﬁecare aceeas¸i funct ¸ie de repartit ¸ie ca s¸i
variabila X asociat ˘ a populat ¸iei.
ˆ
In acest caz se spune c˘ a variabilele
X
1
, . . . , X
n
, constituie o select ¸ie aleatoare de volum n asupra variabilei
aleatoare X. Not ¸iunea de select ¸ie realizat ˘ a asupra variabilei aleatoare
X din populat ¸ia cercetat ˘ a s¸i deﬁnit ˘ a de ansamblul valorilor x
1
, . . . , x
n
,
reprezint ˘ a realizarea prin select ¸ie a variabilei aleatoare n- dimensio-
nale (X
1
, . . . , X
n
) ˆın sensul c˘ a X
1
ia valoarea x
1
, X
2
ia valoarea x
2
,
etc.
ˆ
In concluzie, ˆınaintea efectu˘ arii experimentului, rezultatele alea-
toare X
i
sunt privite ca variabile aleatoare independente identic repar-
tizate ca variabila X, iar dup˘ a efectuarea experimentului ele sunt nis¸te
valori concrete x
i
care se folosesc ca informat ¸ie asupra caracteristicii
X.
Se numes¸te statistic˘ a s¸i se noteaz˘ a T
n
(X
1
, . . . , X
n
), o funct ¸ie ce
depinde de variabilele X
1
, . . . , X
n
ale unei select ¸ii de volum n. Dato-
rit ˘ a caracterului aleator al variabilelor, orice statistic˘ a este o variabil ˘ a
aleatoare.
5.2 REPARTIT¸ IA SELECT¸ IEI. FUNCT¸ IA DE
REPARTIT¸ IE A SELECT¸ IEI.
Descrierea s¸i sistematizarea datelor de select ¸ie se face cu ajutorul
repartit ¸iei select ¸ie.
ˆ
Intelegem prin repartit ¸ia select ¸iei, sau repartit ¸ia em-
90
piric˘ a, repartit ¸ia probabilit ˘ at ¸ilor variabilei discrete X
∗
, numit ˘ a variabil ˘ a
de select ¸ie sau variabila empiric˘ a, care se noteaz˘ a :
(5.1) X
∗
:
_
x
1
x
2
... x
n
1
n
1
n
...
1
n
_
Din relat ¸iile (5.1) se observ˘ a c˘ a variabila X
∗
ia ﬁecare din valorile x
i
cu
aceeasi probabilitate P(X
∗
= x
i
) =
1
n
.
Dac˘ a valorile x
i
, i = 1, . . . , n nu sunt toate diferite ˆıntre ele s¸i avem
doar m < n valori distincte, le vom renota x
1
, . . . , x
m
, as¸ezate ˆın ordine
cresc˘ atoare, toate distincte ˆıntre ele.
Fie n
k
num˘ arul de aparit ¸ii a valorii x
k
. Acest num˘ ar se numes¸te
frecvent ¸a absolut ˘ a a valorii x
k
.
Raportul
(5.2) f
k
=
n
k
n
,
k = 1, . . . , m, se numes¸te frecvent ¸˘ a relativ˘ a a valorii x
k
ˆın select ¸ia rea-
lizat ˘ a de volum n.
ˆ
In acest caz, repartit ¸ia select ¸iei este :
(5.3) X
∗
:
_
x
1
x
2
... x
m
f
1
f
2
... f
m
¸
¸
¸
¸
n
_
unde
m

k=1
f
k
=
1
n
m

k=1
n
k
= 1.
ˆ
In cazul ˆın care volumul de select ¸ie este mare, nu se consider ˘ a
valori individuale x
i
ci numai num˘ arul valorilor observate care cad ˆıntr-
o anumit ˘ a clas˘ a speciﬁcat ˘ a de interval. De exemplu se consider ˘ a un
interval ˆınchis [a, b] ˆın care se g˘ asesc toate valorile x
i
s¸i se ˆımparte
acest interval ˆın r subintervale egale I
k
= [a
k−1
, a
k
). Se noteaz˘ a cu
µ
k
num˘ arul valorilor x
i
din select ¸ie care apart ¸in intervalului I
k
s¸i se
numes¸te frecvent ¸a absolut ˘ a a intervalului. Raportul ϕ
k
=
µ
k
n
se numet ¸e
frecvent ¸a relativ˘ a a intervalului.
ˆ
In acest caz repartit ¸ia variabilei de
select ¸ie este
X
∗
:
_
(a
k−1
, a
k
)
µ
k
_
k=1,2,...,r
Dac˘ a ˆıntr-un reper se ﬁgureaz˘ a pe axa ox subintervalele [a
k−1
, a
k
] s¸i
pe ﬁecare subinterval luat ca baz˘ a se construies¸te cˆ ate un dreptunghi
cu ˆın˘ alt ¸imea
µ
k
nh
, unde h este lungime unui interval s¸i µ
k
este num˘ arul
de valori de select ¸ie care cad ˆın acest interval, ﬁgura astfel obt ¸inut ˘ a se
91
numes¸te histograma select ¸iei. Aria ﬁec˘ arui dreptunghi al histogramei
este egal ˘ a cu frecvent ¸a corespunz˘ atoare ϕ
k
=
µ
k
n
. Pentru un volum de
select ¸ie suﬁcient de mare, aceast ˘ a frecvent ¸˘ a este aproximativ egal ˘ a
cu probabilitatea ca o valoare observat ˘ a s˘ a apart ¸in˘ a intervalului cores-
punz˘ ator.
Analog cazului teoretic se deﬁnes¸te pentru o repartit ¸ie empiric˘ a
funct ¸ia de repartit ¸ie a select ¸iei.
Pe o populat ¸ie statistic˘ a, se consider ˘ a variabila X avˆ and funct ¸ia de
repartit ¸ie teoretic˘ a F = P(X < x), ∀x ∈ R. Dac˘ a ¦x
1
, . . . , x
n
¦ este
o select ¸ie realizat ˘ a de volum n din populat ¸ie s¸i x este un num˘ ar real
oarecare, se noteaz˘ a cu n
x
num˘ arul de valori x
i
din select ¸ie care sunt
mai mici decˆ at x. Raportul
n
x
n
reprezint ˘ a frecvent ¸a relativ˘ a a valorilor x
i
care cad la st ˆ anga punctului x, adic˘ a frecvent ¸a relativ˘ a a evenimentului
X < x.
Deﬁnit¸ie. Se numes¸te funct ¸ie de repartit ¸ie de select ¸ie funct ¸ia
F
∗
n
: R →[0, 1],
deﬁnit ˘ a prin F
∗
n
=
n
x
n
.
ˆ
In cazul ˆın care repartit ¸ia variabilei X
∗
este dat ˘ a de formula (5.1),
funct ¸ia de repartit ¸ie F
∗
n
(x) este : F
∗
n
(x) =
n
x
n
=

x
i
<x
f
i
, adic˘ a este egal ˘ a
cu suma frecvent ¸elor relative corespunz˘ atoare tuturor valorilor x
i
pen-
tru care x
i
< x. Avem as¸adar :
F
∗
n
(x) =
_
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
_
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
_
0 ; x ≤ x
1
f
1
; x
1
< x ≤ x
2
f
1
+f
2
; x
2
< x ≤ x
3
... ...
m−1

i=1
f
i
; x
m−1
< x ≤ x
m
1 ; x > x
m
Exemplul 16.
ˆ
Intr-un laborator se fac n = 100 de m˘ asur ˘ atori asupra
unui reper obt ¸inˆ andu-se rezultatele :
rezultatul m˘ asur ˘ atorii 1 5 9 12
num˘ ar de aparit ¸ii 30 15 10 45
Se cere repartit ¸ia variabilei de select ¸ie s¸i funct ¸ia de repartit ¸ie a select ¸iei.
92
Solut ¸ie. Frecvent ¸ele relative sunt, respectiv :
f
1
=
30
100
= 0.3, f
2
=
15
100
= 0.15, f
3
=
10
100
= 0.1, f
4
=
45
100
= 0.45.
X
∗
:
_
1 5 9 12
0.3 0.15 0.1 0.45
¸
¸
¸
¸
n
_
F
∗
100
=
_
¸
¸
¸
¸
_
¸
¸
¸
¸
_
0 ; x ≤ 1
0.3 ; 1 < x ≤ 5
0.3 + 0.15 = 0.45 ; 5 < x ≤ 9
0.3 + 0.15 + 0.1 = 0.55 ; 9 < x ≤ 12
0.3 + 0.15 + 0.1 + 0.45 = 1 ; x > 12
5.3 VALORI TIPICE DE SELECT¸ IE.
Se numes¸te moment de select ¸ie de ordin r statistica
m
∗
r
=
1
n
n

i=1
X
r
i
.
ˆ
In particular pentru r = 1, momentul de select ¸ie de ordinul ˆınt ˆ ai, m
∗
1
se
numes¸te s¸i media de select ¸ie s¸i se noteaz˘ a m
∗
. As¸adar avem :
m
∗
=
1
n
n

i=1
X
i
.
Dac˘ a ˆın select ¸ia realizat ˘ a exist ˘ a m < n valori distincte, cu frecvent ¸ele
absolute n
i
, atunci
m
∗
=
1
n
n

i=1
n
i
X
i
.
Se numes¸te moment centrat de ordin r, statistica
ν
∗
r
=
1
n
n

i=1
(X
i
−m
∗
)
r
.
Se numes¸te dispersie de select ¸ie s¸i se noteaz˘ a S
2
, momentul cen-
trat de select ¸ie de ordin doi. Avem :
S
2
=
1
n
n

i=1
(X
i
−m
∗
)
2
.
Alte formule folosite pentru dispersia de select ¸ie, sunt :
93
– cˆ and se cunoas¸te media teoretic˘ a m, se foloses¸te expresia dispersiei
S
2
=
1
n
n

i=1
(X
i
−m)
2
.
– cˆ and volumul de select ¸ie este mic se foloses¸te
S
2
=
1
n −1
n

i=1
(X
i
−m
∗
)
2
.
Tot valori tipice de select ¸ie sunt considerate s¸i asimetria s¸i excesul,
deﬁnite prin :
– (asimetria)
A
∗
=
1
nS
3
n

i=1
(X
i
−m
∗
)
3
.
– (excesul)
E
∗
=
1
2S
2
n

i=1
(X
i
−m
∗
)
4
−3.
Exemplul 17. Se fac n = 5 m˘ asur ˘ atori asupra lungimii unei bare s¸i se
g˘ asesc rezultatele : 92mm, 94mm, 103mm, 105mm, 106mm. S˘ a se
determine valoarea medie a lungimii s¸i dispersia de select ¸ie.
Solut ¸ie.
m
∗
=
1
n
n

i=1
x
i
;
S
2
=
1
n −1
n

i=1
(X
i
−m
∗
)
2
(deoarece volumul de select ¸ie este mic)
ˆ
In cazul particular al ipotezei, m
∗
=
1
5
(92+94+103+105+106) = 100;
S
2
=
1
4
[(92 −100)
2
+ (94 −100)
2
+ (103 −100)
2
+
+(105 −100)
2
+ (106 −100)
2
] = 42.5
Q.E.D.
94
Exemplul 18.
ˆ
Intr-un laborator se fac n = 24 m˘ asur ˘ atori asupra unui
reper, obt ¸inˆ andu-se urm˘ atoarele rezultate :
rezultatul m˘ asur ˘ atorii 30.2 30.3 30.5 30.6 30.7
num˘ ar de aparit ¸ii 1 4 10 7 2
Se cere :
a) s˘ a se scrie repartit ¸ia variabilei de select ¸ie X
∗
;
b) s˘ a se determine funct ¸ia derepartit ¸ie a select ¸iei;
c) s˘ a se calculeze media de select ¸ie;
d) s˘ a se calculeze probabilitatea evenimentului [X
∗
− 30.5[ < 0.2,
adic˘ a P([X
∗
−30.5[ < 0.2).
Solut ¸ie. a) T¸ inˆ and seama de formula (5.2), frecvent ¸ele relative sunt
respectiv :
1
24
,
4
24
,
10
24
,
7
24
,
2
24
.
Atunci:
X
∗
:
_
30.2 30.3 30.5 30.6 30.7
1
24
4
24
10
24
7
24
2
24
_
b) Funct ¸ia de repartit ¸ie este :
F
∗
24
=
_
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
_
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
_
0 ; x ≤ 30.2
1
24
; 30.2 < x ≤ 30.3
5
24
; 30.3 < x ≤ 30.5
15
24
; 30.5 < x ≤ 30.6
22
24
; 30.6 < x ≤ 30.7
1 ; x > 30.7
c) m
∗
=
1
24
(1 30.2 + 4 30.3 + 10 30.5 + 7 30.6 + 2 30.7) = 30.5
d) conform sect ¸iunii (4.5.1), P([X
∗
−30.5[ < 0.2) se calculeaz˘ a ast-
fel :
[X
∗
−30.5[ < 0.2 ⇔−0.2 < X
∗
−30.5 < 0.2 ⇔30.3 < X
∗
< 30.7.
P(30.3 < X
∗
< 30.7) = F
∗
24
(30.7) −F
∗
24
(30.3) −P(X
∗
= 30.3) =
95
=
22
24
−
1
24
−
4
24
= 0.7.
Q.E.D.
5.3.1 EXERCIT¸ II.
Exercitiu 32. Dintr-o select ¸ie ordonat ˘ a de 20 de piese a c˘ aror caracte-
ristic˘ a este grosimea ˆın mm s-au obt ¸inut urm˘ atoarele date:
x
i
10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11 11.2 11.3
n
i
1 1 2 2 2 4 4 2 1 1
Se cere :
a) s˘ a se calculeze F
∗
20
(10), F
∗
20
(10, 6), F
∗
20
(11).
b) s˘ a se calculeze momentele centrate de ordin 1 s¸i 2.
Exercitiu 33. Repartit ¸ia valorilor unei variabile observate pe baza a
n = 50 de observat ¸ii este dat ˘ a de tabelul :
x
i
0 1 2 3 4 5 6 7
n
i
3 8 5 10 8 6 7 3
Se cere :
a)valoarea medie a m˘ arimii observate s¸i dispersia;
b)s˘ a se scrie funct ¸ia de repartit ¸ie a selecct ¸iei.
Exercitiu 34. Se face o select ¸ie de volum n = 100 asupra unei varia-
bile aleatoare X care a furnizat valorile 1, 3, 7, 10 respectiv cu frecvent ¸e
20, 15, 40, 25. Se cere : repartit ¸ia select ¸iei,funct ¸ia de repartit ¸ie a select ¸iei,
media s¸i dispersia variabilei de select ¸ie.
96
6 TESTE DE EVALUARE ORIENTATIVE.
6.1 TEST 1.
Exercitiu 35. Veriﬁcat ¸i dac˘ a, ˆın raport cu urm˘ atoarele operat ¸ii, R
3
de-
vine spat ¸iu vectorial real : ∀ (x
1
, y
1
, z
1
), (x
2
, y
2
, z
2
) ∈ R
3
, ∀α ∈ R
(x
1
, y
1
, z
1
) + (x
2
, y
2
, z
2
) = (0, 0, 0) s¸i α(x, y, z) = (αx, αy, αz),
Exemplul 19. S˘ a se rezolve problema de programare liniar ˘ a :
max[Z = 3x
1
+ 2x
2
+x
3
+ 2x
4
]
_
_
_
2x
1
+x
2
+x
3
+ 2x
4
= 12
x
1
+ 2x
2
+x
3
+ 3x
4
= 14
x
1
, x
2
, x
3
, x
4
≥ 0.
Exercitiu 36. S˘ a se determine extremele locale ale funct ¸iei deﬁnite
prin
f(x, y) = (x +y)e
−(x
2
+y
2
)
, ∀(x, y) ∈ R
2
6.2 TEST 2.
Exercitiu 37. Decidet ¸i dac˘ a submult ¸imea ¦(x, y, z) ∈ R
3
/x = 0¦ este
subspat ¸iu vectorial ˆın spat ¸iul vectorial R
3
/R .
Exercitiu 38. S˘ a se rezolve problema de programare liniar ˘ a :
min[Z = 12x
1
+ 15x
2
+ 13x
3
]
_
_
_
x
1
+x
2
+ 2x
3
≥ 50
x
2
+x
3
≥ 100
x
1
, x
2
, x
3
≥ 0.
Exercitiu 39. Dintr-o select ¸ie ordonat ˘ a de 20 de piese a c˘ aror caracte-
ristic˘ a este grosimea ˆın mm s-au obt ¸inut urm˘ atoarele date:
x
i
10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11 11.2 11.3
n
i
1 1 2 2 2 4 4 2 1 1
Se cere :
a) s˘ a se calculeze F
∗
20
(10, 6).
b) s˘ a se calculeze momentele centrate de ordin 1 s¸i 2.
6.3 TEST 3.
Exercitiu 40.
ˆ
In spat ¸iul vectorial R
4
/Rse dau dou˘ a sisteme de vectori:
B = ¦u
1
= (0, −1, 2, 1), u
2
= (1, 1, −1, 1), u
3
= (1, 1, 2, −1),
u
4
= (1, 0, −1, −1)¦
s¸i
B

= ¦v
1
= (1, 0, 1, 2), v
2
= (2, 2, 1, 0), v
3
= (2, 1, 1, −2),
v
4
= (2, 1, 3, 1)¦.
a)S˘ a se arate c˘ a B s¸i B

sunt dou˘ a baze ˆın R
4
/R;
b)S˘ a se g˘ aseasc˘ a matricea de trecere de la baza B la baza B

s¸i
reciproc;
Exercitiu 41. S˘ a se rezolve problema de programare liniar ˘ a :
max[Z = x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
−x
4
]
_
¸
¸
_
¸
¸
_
x
1
+ 2x
2
+x
3
+x
4
= 10
2x
1
+x
2
+ 5x
3
= 20
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 15
x
1
, x
2
, x
3
≥ 0.
Exercitiu 42. Fie variabila aleatoare independent ˘ a :
X :
_
1 2 3 4
α
2 7
4
α
1
3
1
6
_
S˘ a se determine valoarea parametrului α ∈ R s¸i s˘ a se calculeze
P(X ≤ 3)
98
6.4 TEST 4.
Exercitiu 43. S˘ a se studieze dac˘ a urm˘ atoarea aplicat ¸ie este liniar ˘ a.
S˘ a se gaseasc˘ a matricea aplicat ¸iei ˆın baza canonic˘ a: f : R
2
→
R
2
, f(x) = (x
1
+ 2x
2
, 2x
1
+x
2
), ∀x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
;
Exercitiu 44. S˘ a se rezolve problema de programare liniar ˘ a :
max[Z = 3x
1
+ 7x
2
+ 5x
3
]
_
_
_
3x
1
+ 4x
2
+ 4x
3
≤ 100
2x
1
+ 5x
2
+ 4x
3
≤ 90
x
1
, x
2
, x
3
≥ 0.
Exercitiu 45. Consumul de energie al unei ˆıntreprinderi exprimat ˆın
unit ˘ at ¸i convent ¸ionale a evoluat ˆın timp de 6 ani astfel:
ani t
i
1 2 3 4 5 6
consum y
i
32 23 17 14 12 11
S˘ a se stabileasc˘ a funct ¸ia de ajustare s¸i s˘ a se fac˘ a prognoza pentru
urm˘ atorii doi ani.
99
Bibliograﬁe
1. S. Antohe, N. Cod˘ au, T. Buh˘ aescu, Algebr ˘ a liniar ˘ a, geometrie analitic˘ a s¸i geometrie
diferent ¸ial ˘ a, Galat ¸i 1986.
2. T. Buh˘ aescu, G. Dut ¸u, Matematici aplicate ˆın economie. Editura Fundat ¸iei Universitare
”Dun˘ area de Jos” Galat ¸i 1999.
3. G. Boldur-L˘ at ¸escu, G. S˘ acuiu, E. T¸ ig˘ anescu, Cercetare operat ¸ional ˘ a cu aplicat ¸ii ˆın eco-
nomie, EDP, Bucures¸ti 1979.
4. W.W.L. Chen, Note de curs.
5. M. Donciu, D. Flondor, Algebr ˘ a s¸i analiz˘ a matematic˘ a, EDP Bucures¸ti 1979.
6. J. Hefferon, Linear Algebra.
7. C.Mihoc, Micu, Teoria probabilit ˘ at ¸ilor s¸i statistic˘ a matematic˘ a, EDP, Bucurs¸ti 1980.
8. V. Ob˘ adeanu, Elemente de algebr ˘ a liniar ˘ a s¸i geom etrie analitic˘ a, Editura Facla, Timis¸oara
1981.
9. O. Popescu, D. Baz, A. Popescu, V. Butescu, N. Stremt ¸an, P. Vasiliu,Matematici aplicate
ˆın economie. Bucures¸ti 1987.
10. O. Popescu, C. Raischi, V. B˘ adin, V. Butescu, O. Firic˘ a, M. Toma, S. Woinaroski, Mate-
matici aplicate ˆın economie. Vol. 1, Ed. did. s¸i ped. Bucures¸ti 1993.
11. R. Trandaﬁr, Introducere ˆın teoria probabilit ˘ at ¸ilor, Editura Albatros 1979.
12. C. Zid˘ aroiu, Programare Liniar ˘ a, Editura Tehnic˘ a, Bucures¸ti.

Matematica in Economie

Comments

Content

Sponsor Documents

Recommended