@ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS 1
MATEMÁTICAS A. CS II
Tema VI
Límites y continuidad
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LÍMITES INFINITOS EN
UN PUNTO
Tema 6.3 * 2º BCS
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Límites infinitos
• Sea la función de proporcionalidad inversa:
• f(x) = k / x , donde k es un número real distinto de cero.
• Cuando hallamos el siguiente límite:
• Lím f(x) = lím (k / x) = k / 0 = ± oo
• x0 x0
• Vemos que el resultado, en un punto finito, es infinito.
• Si el resultado es ± oo, no existe límite en dicho punto.
• El signo del infinito dependerá del signo de k, no de su valor.
• Lo mismo ocurrirá si hallamos sus límites laterales, a la izquierda y derecha
de x=0.
• Cuanto más próximo a cero se encuentre el valor de x, más grande se hará
el valor de la función.
• Gráficamente el resultado de dicho límite es una recta vertical, llamada
ASÍNTOTA VERTICAL, con la cual la gráfica tiende a juntarse.
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• LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO
• EJEMPLO 1
• Si representamos la función:
• x 3
• f(x)= ------ = 1 + -------
• x – 3 x - 3
• Hipérbola de centro (3, 1)
• Vemos que en x=3 la función no existe.
Sin embargo existe en las proximidades
de x=3, donde la gráfica tiende a juntarse
con una recta vertical.
• Decimos que presenta una asíntota
vertical en el punto x=3.
• Sin embargo, a la hora de dibujar la
función, no es lo mismo el trazo a la
derecha que a la izquierda de x=3
0 3 x
Y
1
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• Para ver cómo se comporta la función
en las proximidades de x=3 habrá que
calcular sus límites laterales:
• Límite por la derecha:
x 3
• lím -------- = ----- = + oo
• x3
+
x - 3 +0
• pues x vale algo más de 3.
• Límite por la izquierda:
x 3
• lím -------- = ----- = - oo
• x3
-
x - 3 - 0
• pues x vale algo menos de 3.
• Los límites laterales nos ayudan a
definir la tendencia de una función en
determinados puntos críticos.
0 3 x
Y
• Queremos representar la función:
• f(x) = x / ( x
2
- 4)
• Vemos que cuando x vale 2 ó -2 , el
valor de y es +/- 2 / 0
• La función no existe en x=2 ni en x=-2
• Sin embargo sí existe en las proximidades
de dichos valores de x.
• Decimos que presenta una asíntota
vertical en el punto x
1
= 2 y otra en x
2
= - 2.
• Veamos su comportamiento en x = 2
• x 2
• lím ---------- = ----- = + oo
• x2+ x
2
- 4 +0
• x 2
• lím -------- = ------ = - oo
• x2- x
2
- 4 - 0
-2 0 2 x
Y
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• Teníamos f(x) = x / ( x
2
- 4)
• Veamos ahora su comportamiento
• en x = - 2
• x - 2
• lím ---------- = ----- = + oo
• x- 2+ x
2
- 4 - 0
• pues x vale algo más de – 2 y por
• tanto x
2
< 4
• x - 2
• lím -------- = ----- = - oo
• x- 2- x
2
- 4 + 0
• pues x vale algo menos de – 2 y por
• tanto x
2
> 4
-2 0 2 x
Y
•Los límites laterales nos ayudan a
definir la tendencia de una función
en determinados puntos críticos.
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LÍMITES EN EL INFINITO
Tema 6.4 * 2º BCS
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Límites en el infinito
• Sea la función de proporcionalidad inversa:
• f(x) = k / x , donde k es un número real distinto de cero.
• Cuando hallamos el siguiente límite:
• Lím f(x) = lím (k / (± oo)) = 0
• x± oo x ± oo
• Vemos que el resultado, en un punto infinito, es finito.
• En este caso el límite existe y vale cero.
• Cuanto más grande sea el valor de x, positivo o negativo, más
pequeño se hará el valor de la función.
• Gráficamente el resultado de dicho límite es una recta horizontal,
llamada ASÍNTOTA HORIZONTAL, con la cual la gráfica tiende a
juntarse.
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• Ejemplo 1
• y = x / (x – 3)
• Para x = 1000 y = 1000/997 = 1,003
• Para x=10000 y = 10000/9997 = 1,0003
• Para x = 100000 y = 1,00003
• Por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco.
• Además se acerca a y=1, aunque nunca llega.
• Lím f(x) = 1
• x+oo
• Ejemplo 2
• y = x / (x
2
– 4)
• Para x = 1000 y = 1000/999996 = 0,001
• Para x=10000 y = 10000/9999996 = 0,0001
• Para x = 100000 y = 0,00001
• Para x = 1000000 y = 0,000001
• Lím f(x) = 0
• x+oo
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• Otro ejemplo
• y = x / (x
2
– 4)
• Para x = 1000 y = 1000/999996 = 0,001
• Para x=10000 y = 10000/9999996 = 0,0001
• Para x = 100000 y = 0,00001
• Para x = 1000000 y = 0,000001
• Está ya claro que:
• Lím f(x) = 0
• x+oo
• Si x toma valores negativos muy grandes, el valor de f(x) seguirá una
sucesión de valores idéntica, aunque ahora negativos.
• Lím f(x) = 0
• x – oo
• La función presenta una recta asíntota horizontal que es y = 0.
• Si los dos límites hallados fueran de distinto valor, la función tendría dos
asíntotas horizontales: y = L
1
e y = L
2
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• EJEMPLO 1
• Sea f(x) = 4 / x
• Cuando el valor de x se
aproxima a cero, x0,por
su derecha o por su
izquierda, la gráfica tiende
a juntarse con el eje de
ordenadas.
• Por ello x=0 es una
Asíntota Vertical.
• Cuando el valor de x
aumenta o disminuye en
exceso, x± oo, vemos
que la gráfica tiende a
juntarse con el eje de
abscisas.
• Por ello la recta y=0 es
una Asíntota Horizontal.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
y=f(x)
-
4
• Cuando el valor de x se
aproxima a - 2, por su
derecha o por su
izquierda, la gráfica tiende
a juntarse con la recta
vertical x = - 2.
• Por ello x= - 2 es una
Asíntota Vertical.
• Cuando el valor de x
aumenta o disminuye en
exceso, vemos que la
gráfica tiende a juntarse
con la recta y = 1.
• Por ello la recta y=1 es
una Asíntota Horizontal.
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• EJEMPLO 3
• Sea
• f(x) = x / (x
2
+ 1)
• Cuando el valor de x
aumenta o disminuye en
exceso, x ± oo, el valor
de f(x) tiende a cero.
• La gráfica tiende a
juntarse con el eje de
abscisas x=0
• Por ello la recta y=0 es
una Asíntota Horizontal.
• Como se aprecia no
existen asíntotas
verticales ni oblicuas.
Mín
-2 -1 0 1 2 x
y
-
1