Momento Angular

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Momento Angular de una PartículaMovimiento Giroscópico

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Momento Angular

Nombre: Luis Alejandro Linarez Zerpa

•   El momento angular de una partícula respecto
al origen O es la cantidad vectorial definida como:
 
donde r es el vector posición de la partícula con
respecto a O. Para determinar la magnitud de
empleamos la siguiente ecuación:
donde es el ángulo más pequeño entre .

Momento Angular de un
sistema de Partículas
• 
El momento angular de un sistema de
partículas está definido como la suma de los
momentos angulares de las partículas
individuales que lo conforman:

Momento Angular y Torca
•    Por otro lado, la suma vectorial de todas las
torcas externas , que actúan sobre un sistema de
partículas es igual a la velocidad de cambio del
momento angular total del sistema:
Cuando el cuerpo es rígido y rota alrededor de uno
de sus ejes principales, se cumple la siguiente
igualdad:
Donde es la velocidad angular del cuerpo al
rotar alrededor de ese eje. E es el momento de
inercia del cuerpo.

Momento de Inercia
•   El momento de inercia del cuerpo I que se define
de la siguiente manera:
Donde es la masa de una partícula que forma
parte del sistema y su distancia al eje de rotación.
El momento de inercia de un cuerpo depende del eje
en torno al cual está girando, así como de la manera
en que está distribuida su masa, y desempeña el
papel de “masa” en las ecuaciones rotacionales.
Para cuerpos rígidos:
es la distancia del diferencial de masa (dm) al eje
de rotación.

Conservación del momento angular
•   Si la suma de torcas externas es cero, entonces
el momento angular del sistema se conserva, sin
importar qué cambios se efectúen en el sistema. Por
lo tanto, si el cuerpo rota alrededor de uno de sus
ejes principales, tenemos la siguiente ecuación:
Donde los subíndices se refieren a los valores de
la inercia rotacional y a la velocidad angular antes y
después de la redistribución de masa.

Cinemática Rotacional
•   La energía cinética rotacional de un cuerpo con
inercia rotacional I y velocidad angular ω:

Y el torque es:
Además:

Ejemplo
Gabriel que tiene una masa de 70Kg, un torso de
40cm de ancho, se sube a una rueda giratoria en un
parque infantil. Un amigo, lo pone a girar con los
brazos extendidos y bolas de acero de 1.5 kg masa
en cada mano. Para determinar un aproximado de su
inercia rotacional, su cuerpo se aproxima como un
cilindro. La longitud de cada uno de sus brazos es
65cm. Si el periodo de la rueda es 6 segundos
cuando Gabriel tiene los brazos extendidos, si
inmediatamente recoge los brazos, ¿cual es su
velocidad angular, con los brazos extendidos y con
los brazos recogidos?.

Solución
 

El momento de inercia para un cilindro es ,
donde M es la masa del integrante y R es la
mitad del ancho de su torso. De modo que:
El momento de inercia con los brazos extendidos:
El momento de inercia con los brazos contraídos:

donde B es la masa de una bola de acero y h es
la longitud del brazo.

Como:
• 
Entonces:

Como no actúan torcas externas:
Sustituyendo:

• 
Sustituyendo en:
Con:
M = 70Kg; R= 0,40m/2 = 0,20m; h = 0,65m; B = 1,5Kg

Comparación de las ecuaciones de la
dinámica lineal y rotacional
Movimiento lineal
Desplazamiento

Movimiento rotacional

x

Velocidad
Velocidad

Desplazamiento angular

θ

Velocidad
Velocidad angular
angular

ω

Aceleración
Aceleración

a
a

Aceleración
Aceleración angular
angular

α
α

Masa
Masa (inercia
(inercia de
de traslación)
traslación)

m
m

Momento
Momento de
de inercia
inercia (Rotacional)
(Rotacional)

II

Fuerza
Fuerza

F
F=
= m.a
m.a

Torque
Torque

Trabajo

Trabajo

Energía
Energía cinética
cinética

Energía
Energía cinética
cinética rotacional
rotacional

Potencia
Cantidad de movimiento

P =Fv
p = mv

Potencia
Momento angular

τ
τ=
= I.α
I.α

P = τω
L= Iω

Movimiento
giroscópico
¿Por qué un trompo parece desafiar la ley de la
gravedad?
¿Por
qué
personas
normales,
sin
habilidades de equilibristas, pueden conducir tanto
bicicletas como motocicletas sin caerse? ¿Porqué los
proyectiles que giran sobre su eje mantienen una
trayectoria tan estable? Todos estos fenómenos
cotidianos, nos rodean y suceden normalmente. Y por
supuesto, al igual que todo suceso que ocurre en la
Tierra poseen una explicación física.
Todos estos hechos, implican una cierta estabilidad por
parte de cuerpos rígidos en rotación. Esta estabilidad
intrínseca y otros fenómenos pueden ser explicados
gracias al efecto giroscópico.

Movimiento
giroscópico

En sí, un giroscopio o giróscopo es un dispositivo
mecánico formado esencialmente por un cuerpo
con simetría de rotación que gira alrededor de su
eje de simetría y cuyo eje de giro no es fijo, sino
que puede cambiar de orientación en el espacio.
Cuando se somete el giroscopio a un momento de
fuerza que tiende a cambiar la orientación del eje
de rotación su comportamiento es aparentemente
paradójico ya que el eje de rotación, en lugar de
cambiar de dirección como lo haría un cuerpo que
no girase, cambia de orientación en una dirección
perpendicular a la dirección "intuitiva".
Este principio se ha utilizado en diversas
aplicaciones, particularmente en relación con el
control y guía de aeroplanos, barcos, proyectiles,
etc. Los giroscopios se han utilizado en

Elementos del movimiento
Giroscópico
La rigidez en el espacio es la tendencia que
tienen todos los cuerpos en rotación a seguir
girando en el mismo plano y sobre el mismo eje.
La precesión es el movimiento generado al
cambiar la orientación del eje (o plano) de
rotación, producto de una fuerza externa que
actúa perpendicular a la variación.

Para el análisis consideremos la
siguiente imagen.

Análisis

Este
•   fenómeno se relaciona el momento de torsión neto que
actúa sobre un cuerpo y la razón a la que cambia el momento
angular del cuerpo, dada por la ecuación:
Cuando el volante gira alrededor de su eje de simetría, Li está
a lo largo del eje. Cada cambio del momento angular dL es
perpendicular al eje, porque el momento de torsión también
lo es. Esto hace que cambie la dirección de L, pero no su
magnitud. Los cambios dL siempre están en el plano
horizontal x-y, así que el momento angular y el eje del
volante con el que se mueve siempre son horizontales. Es
decir, el eje no se cae, tiene precesión. El cambio infinitesimal
del momento angular es
, que es perpendicular a L. Esto implica que el eje del
volante del giróscopo giró un ángulo pequeño dθ dado por .
La razón a la cual se mueve el eje, dθ /dt, se denomina
velocidad angular de precesión:

•   De modo que la velocidad angular de
precesión es inversamente proporcional a la
velocidad angular de giro alrededor del eje.
Un giróscopo que gira rápidamente tiene
precesión lenta; si la fricción hace que el
volante se frene, la velocidad angular de
precesión aumenta.
Al precesar un giróscopo, su centro de
masa describe un círculo de radio r en un
plano horizontal. La componente vertical de
la aceleración es cero, así que la fuerza
normal hacia arriba η ejercida por el pivote
debe ser igual en magnitud al peso. El
movimiento circular del centro de masa con

Este análisis del giróscopo anterior fue
hecho suponiendo que el vector momento
angular solo está asociado a la rotación del
volante y es puramente horizontal. Sin
embargo, también habrá una componente
vertical del momento angular asociada a la
precesión del giróscopo. Al ignorar esto,
se supone que la precesión es lenta; Es
decir, Ω es mucho menor que la velocidad
angular de rotación ω.

Gracias por su
atención…

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