Momentum Angular
Content
Física I: Dinámica de Rotación
Cantidad de movimiento angular o
ímpetu angular (L)
Dr. Ing. y Lic. Raúl C. Pérez
Plan de Exposición:
I. Ímpetu angular de una partícula
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
III. Giróscopo y precesión
I. Ímpetu angular de una partícula
Definición relacionada con el ímpetu lineal (p)
Vimos en dinámica lineal que cuando una partícula de masa m se mueve a
velocidad v respecto de un marco de referencia:
Tiene un ímpetu lineal
z
m
r
p=
v
p
y
x
m v
I. Ímpetu angular de una partícula
Definición relacionada con el ímpetu lineal (p)
Si la partícula se encuentra rotando en el plano x-y del sistema de referencia:
Tiene un ímpetu angular definido por:
z
L = rxp = r x m v
w
L
y
x
r
m
v
Unidades de la magnitud:
MKS = Kg. m2/S
cgs = g. cm2/S
I. Ímpetu angular de una partícula
Definición relacionada a magnitudes angulares
L = rxp
Definición del ímpetu angular a partir de magnitudes lineales
veamos
L = rxp = rpsenq
z
L = rpT = rmvT
L = rmvT = rmwr
L = mr2w = Iw
w
L
L = Iw
vT
x
r
m
v
y
q
Analogía con el ímpetu lineal
Definición del ímpetu angular a partir
de magnitudes angulares
P = mv
I. Ímpetu angular de una partícula
Relación entre el ímpetu angular (L) y el momento de Fuerza o Torsión (t)
L = rxp
Si existe un cambio en la velocidad de la partícula
existe un cambio en su w, p y L
z
w
Se debe a la aplicación de fuerzas y
torques aplicados sobre la partícula
L
y
x
r
m
v
La rapidez del cambio del ímpetu
angular L
= 0 (cero)
Es igual al momento de fuerza
resultante sobre la partícula.
I. Ímpetu angular de una partícula
Conservación el ímpetu angular (L)
La sumatoria de los momentos de
torsión aplicadas sobre las
partículas es nula
tenemos que
z
w
Si la sumatoria de los momentos
de torsión aplicadas sobre las
partículas es nula
L
y
x
r
m
v
La cantidad de movimiento angular o
ímpetu angular L se conserva
Principio de conservación de la cantidad de movimiento angular o
ímpetu angular
Plan de Exposición:
I. Ímpetu angular de una partícula
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
III. Giróscopo y precesión
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
Los sistemas de partículas susceptibles de ser estudiados por la dinámica
newtoniana pueden ser :
fluidos clásicos
sólidos
Ímpetu Angular L de un
sistema de partículas es:
Particularmente los sólidos rígidos
Donde Li es el ímpetu
angular de cada partícula
que compone el sistema
Idéntico resultado obtenido para el
caso de una sola partícula.
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
Relación entre el ímpetu angular y el momento de torsión de un sólido rígido
En un cuerpo rígido que gira
alrededor de un centro de simetría
La rapidez del cambio del ímpetu
angular L de un sistema de partículas
Es igual a la resultante de la suma de
los momentos de torsión externos
sobre él.
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
Relación entre el ímpetu angular y el momento de torsión de un sólido rígido
Ejemplo
= I.(40 rad/S2).2.t
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
Conservación del ímpetu angular de un sistemas de partículas
Vimos que:
La rapidez del cambio del ímpetu
angular L de un sistema de partículas
Es igual a la resultante de la suma de
los momentos de torsión externos
sobre él.
Principio de conservación de la cantidad de movimiento angular o
ímpetu angular de un sistema de partículas.
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
Ejemplo
a) Conservación de
L= I1.w1 = I2.w2
Imancc. = 2. m.r2
(I1/I2).w1 = w2
I1sistema. = 3. Kg.m2 + 2. 5Kg. (1 m)2
I2sistema. = 2,2. Kg.m2 + 2. 5Kg. (0,2 m)2
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
Ejemplo
¿De dónde salió la energía adicional?
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
Ejemplo
por conservación del ímpetu angular:
y despejando:
Plan de Exposición:
I. Ímpetu angular de una partícula
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
III. Giróscopo y precesión
III. Giróscopo y precesión
¿Qué ocurren cuando el eje de rotación cambia su posición respecto de un pivote fijo?
Vamos a analizar la siguiente
situación:
En cada intervalo diferencial de tiempo dt
el momento de torsión t produce siempre un incremento de
ímpetu angular dL en la misma dirección
la cantidad de movimiento angular Lf tendrá la misma
dirección que t y caerá sobre la mesa
III. Giróscopo y precesión
¿Qué ocurren si el giróscopo tiene una velocidad inicial w a lo largo del eje del volante?
un intervalo dt después
la cantidad de movimiento angular es L + dL
el volante del giróscopo giró un ángulo df
df = dL / L
W = df / dt
W = (dL / L) / dt = t z /L z =
W se conoce como rapidez angular de precesión
Inversamente proporcional a w
Si W es lento
El centro de masa del giróscopo gira en el plano
horizontal
Si W no es lento
Aparece movimiento de Nutación
III. Giróscopo y precesión
Ejemplo interesante: El trompo
suponiendo que la punta del
trompo está fija en 0
el eje del trompo gira con w rápidamente
L es perpendicular a t siempre
L cambia en dirección pero no en
magnitud
W preceza lento
centro de masa
La fuerza de gravedad proporciona un momento de
rotación:
Cambiar el vector de L a L+DL en dirección solamente
en un intervalo de tiempo Dt
el eje gira un ángulo Df
la rapidez angular de precesión es:
wp es inversamente proporcional a L
Efecto del momento de
torsión
III. Giróscopo y precesión
Ejemplo:
a) veamos los vectores de las
magnitudes de rotación
b) Utilizando el resultado
La precesión es horaria
W=
Remplazando por los valores numéricos
correspondientes:
Despejando:
Muchas Gracias......
… por su atención
Cantidad de movimiento angular o
ímpetu angular (L)
Dr. Ing. y Lic. Raúl C. Pérez
Plan de Exposición:
I. Ímpetu angular de una partícula
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
III. Giróscopo y precesión
I. Ímpetu angular de una partícula
Definición relacionada con el ímpetu lineal (p)
Vimos en dinámica lineal que cuando una partícula de masa m se mueve a
velocidad v respecto de un marco de referencia:
Tiene un ímpetu lineal
z
m
r
p=
v
p
y
x
m v
I. Ímpetu angular de una partícula
Definición relacionada con el ímpetu lineal (p)
Si la partícula se encuentra rotando en el plano x-y del sistema de referencia:
Tiene un ímpetu angular definido por:
z
L = rxp = r x m v
w
L
y
x
r
m
v
Unidades de la magnitud:
MKS = Kg. m2/S
cgs = g. cm2/S
I. Ímpetu angular de una partícula
Definición relacionada a magnitudes angulares
L = rxp
Definición del ímpetu angular a partir de magnitudes lineales
veamos
L = rxp = rpsenq
z
L = rpT = rmvT
L = rmvT = rmwr
L = mr2w = Iw
w
L
L = Iw
vT
x
r
m
v
y
q
Analogía con el ímpetu lineal
Definición del ímpetu angular a partir
de magnitudes angulares
P = mv
I. Ímpetu angular de una partícula
Relación entre el ímpetu angular (L) y el momento de Fuerza o Torsión (t)
L = rxp
Si existe un cambio en la velocidad de la partícula
existe un cambio en su w, p y L
z
w
Se debe a la aplicación de fuerzas y
torques aplicados sobre la partícula
L
y
x
r
m
v
La rapidez del cambio del ímpetu
angular L
= 0 (cero)
Es igual al momento de fuerza
resultante sobre la partícula.
I. Ímpetu angular de una partícula
Conservación el ímpetu angular (L)
La sumatoria de los momentos de
torsión aplicadas sobre las
partículas es nula
tenemos que
z
w
Si la sumatoria de los momentos
de torsión aplicadas sobre las
partículas es nula
L
y
x
r
m
v
La cantidad de movimiento angular o
ímpetu angular L se conserva
Principio de conservación de la cantidad de movimiento angular o
ímpetu angular
Plan de Exposición:
I. Ímpetu angular de una partícula
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
III. Giróscopo y precesión
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
Los sistemas de partículas susceptibles de ser estudiados por la dinámica
newtoniana pueden ser :
fluidos clásicos
sólidos
Ímpetu Angular L de un
sistema de partículas es:
Particularmente los sólidos rígidos
Donde Li es el ímpetu
angular de cada partícula
que compone el sistema
Idéntico resultado obtenido para el
caso de una sola partícula.
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
Relación entre el ímpetu angular y el momento de torsión de un sólido rígido
En un cuerpo rígido que gira
alrededor de un centro de simetría
La rapidez del cambio del ímpetu
angular L de un sistema de partículas
Es igual a la resultante de la suma de
los momentos de torsión externos
sobre él.
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
Relación entre el ímpetu angular y el momento de torsión de un sólido rígido
Ejemplo
= I.(40 rad/S2).2.t
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
Conservación del ímpetu angular de un sistemas de partículas
Vimos que:
La rapidez del cambio del ímpetu
angular L de un sistema de partículas
Es igual a la resultante de la suma de
los momentos de torsión externos
sobre él.
Principio de conservación de la cantidad de movimiento angular o
ímpetu angular de un sistema de partículas.
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
Ejemplo
a) Conservación de
L= I1.w1 = I2.w2
Imancc. = 2. m.r2
(I1/I2).w1 = w2
I1sistema. = 3. Kg.m2 + 2. 5Kg. (1 m)2
I2sistema. = 2,2. Kg.m2 + 2. 5Kg. (0,2 m)2
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
Ejemplo
¿De dónde salió la energía adicional?
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
Ejemplo
por conservación del ímpetu angular:
y despejando:
Plan de Exposición:
I. Ímpetu angular de una partícula
II. Ímpetu Angular de un sistema de partículas
III. Giróscopo y precesión
III. Giróscopo y precesión
¿Qué ocurren cuando el eje de rotación cambia su posición respecto de un pivote fijo?
Vamos a analizar la siguiente
situación:
En cada intervalo diferencial de tiempo dt
el momento de torsión t produce siempre un incremento de
ímpetu angular dL en la misma dirección
la cantidad de movimiento angular Lf tendrá la misma
dirección que t y caerá sobre la mesa
III. Giróscopo y precesión
¿Qué ocurren si el giróscopo tiene una velocidad inicial w a lo largo del eje del volante?
un intervalo dt después
la cantidad de movimiento angular es L + dL
el volante del giróscopo giró un ángulo df
df = dL / L
W = df / dt
W = (dL / L) / dt = t z /L z =
W se conoce como rapidez angular de precesión
Inversamente proporcional a w
Si W es lento
El centro de masa del giróscopo gira en el plano
horizontal
Si W no es lento
Aparece movimiento de Nutación
III. Giróscopo y precesión
Ejemplo interesante: El trompo
suponiendo que la punta del
trompo está fija en 0
el eje del trompo gira con w rápidamente
L es perpendicular a t siempre
L cambia en dirección pero no en
magnitud
W preceza lento
centro de masa
La fuerza de gravedad proporciona un momento de
rotación:
Cambiar el vector de L a L+DL en dirección solamente
en un intervalo de tiempo Dt
el eje gira un ángulo Df
la rapidez angular de precesión es:
wp es inversamente proporcional a L
Efecto del momento de
torsión
III. Giróscopo y precesión
Ejemplo:
a) veamos los vectores de las
magnitudes de rotación
b) Utilizando el resultado
La precesión es horaria
W=
Remplazando por los valores numéricos
correspondientes:
Despejando:
Muchas Gracias......
… por su atención
