MQ01-poly

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MQ01 : Eléments de résistance des matériaux
Jean-Claude Dantaux
07/04/2003

Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
2
Sommaire
I Extension simple 3
I.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.2 Contraintes d’extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.3 Etude des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.5 Solides d’égale résistance à l’extension . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
I.6 Concentrations de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
I.7 Systèmes statiquement indéterminés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
I.8 Particularités de la compression simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
I.9 Analyse des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
3
Chapitre I
Extension simple
I.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.2 Contraintes d’extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.3 Etude des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.5 Solides d’égale résistance à l’extension . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
I.6 Concentrations de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
I.7 Systèmes statiquement indéterminés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
I.8 Particularités de la compression simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
I.9 Analyse des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
chapitre section suivante
4
I.1 Hypothèses
I.1.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section
5
I.1.1 Hypothèses
Ce sont les hypothèses générales de la Résistance des Matériaux, avec en plus les
particularités suivantes :
– la ligne moyenne (γ) doit être droite ;
– la longueur de la poutre doit être supérieure à six fois la plus grande dimension
de la section droite (S) ;
– en G, centre de gravité d’une section droite (S) d’abscisse x, on doit avoir comme
éléments de réduction :
−→
RG
¸
¸
¸
¸
N = 0
T = 0
−→
M
r
/G
¸
¸
¸
¸
Mt = 0
Mf = 0
– les charges doivent être uniformément réparties sur les sections droites extrêmes
de la poutre ;
– si la section droite de la poutre est constante, alors l’allongement se répartit de
façon uniforme sur toute la longueur (dans le domaine élastique).
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section précédente chapitre section suivante
6
I.2 Contraintes d’extension
I.2.1 Equilibre d’une poutre tendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.2.2 Condition de résistance - Notations . . . . . . . . . . . . . . 10
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section suivant
7
I.2.1 Equilibre d’une poutre tendue
La poutre ci-contre est en équilibre sous l’action de :

−→
F charge supportée, uniformément répartie dans la section S
0

−→
P poids propre de la poutre

−→
R action du plan d’ancrage sur la poutre, uniformément répartie dans la section
S
1
FIG. I.2.1 –
Eléments de réduction en G, centre de gravité d’une section droite (S) d’abscisse x :
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section suivant
8
Equilibre d’une
poutre tendue
¸
¸
¸
¸
¸
¸
−F −P (x)
0
0
+
¸
¸
¸
¸
¸
¸
N
T
y
T
z
=
¸
¸
¸
¸
¸
¸
0
0
0
Les actions situées "à gauche" de (S) passent toutes par G et leurs moments par rapport
à ce point sont donc nuls. Il ne peut donc pas exister de moment de torsion ni de moment
de flexion le long de cette poutre.
Les éléments de réduction en G seront donc :
¸
¸
¸
¸
N = F + P (x)
T = 0
¸
¸
¸
¸
Mt = 0
Mf = 0
Il ne pourra exister dans une telle section droite que des "actions de cohésion" normales,
soit :
−→
dF =
−→
σ · dS
Ecrivons maintenant que le tronçon de poutre de longueur x est en équilibre d’une part
sous l’action de
−→
P (x) et
−→
F et, d’autre part, sous l’action des forces de cohésion :
_
S
σ · dS −F −P (x) = 0
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section suivant
9
Equilibre d’une
poutre tendue
soit
_
S
σ · dS = N
Pour pouvoir résoudre cette équation, on est amené à faire une hypothèse supplémen-
taire, justifiée par le fait que les charges sont uniformément réparties sur les sections
droites extrêmes de la poutre et que donc chaque fibre de la poutre supporte rigoureu-
sement la même chose. On supposera donc que les contraintes normales sont uniformé-
ment réparties dans une section droite.
soit
σ = Cte
d’ou on déduit immédiatement
σ =
N
S
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
10
I.2.2 Condition de résistance - Notations
On doit vérifier que les actions de cohésion restent acceptables, ce qui revient à dire
que la contrainte en tout point doit être inférieure à une limite appelée contrainte
normale admissible (σ
a
) appelée également résistance pratique (R
p
).
De plus, on impose de ne jamais dépasser la limite d’élasticité du matériau (σ
e
ou
R
e
) ou bien sa limite d’élasticité conventionnelle à 0,2% (R
0,002
) dans le cas de matériaux
sans limite d’élasticité apparente.
Notations :
– R ou R
re
ou σ
r
... résistance ou contrainte de rupture par extension
– R
re
ou σ
e
... limite d’élasticité à l’extension
– sr ... coefficient de sécurité relatif à la limite de rupture
– se ... coefficient de sécurité relatif à la limite d’élasticité
Le coefficient de sécurité est fonction de multiples facteurs, comme les incertitudes sur
l’homogénéité du matériau, son sens de fibrage éventuel, les incertitudes sur les valeurs
des efforts mis en jeu, etc...
Définition I.2.1 (Résistance pratique (ou contrainte normale admissible) ).
R
p
= σ
a
=
R
re
sr
avec
R
p
≤ (R
0,002
)
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
11
Condition de
résistance -
Notations
dans le cas de matériaux raides
ou encore
R
p
= σ
a
=
R
e
se
dans le cas de matériaux ductiles.
La condition de résistance s’écrira donc :
σ
maxi
≤ σ
a
ou σ
maxi
≤ R
p
(ce qui est rigoureusement la même chose).
Exemple : Exemples de valeurs du coefficient de sécurité relatif à R.
Ces valeurs sont purement indicatives. Le but principal de ce tableau est de montrer
l’étendue du coefficient Sr, suivant qu’on est capable ou non d’appréhender correctement
une sollicitation, et le désir que l’on a de pousser plus ou moins les calculs.
Il faut également remarquer que dans certains cas, on n’a aucune latitude quant au
choix du coefficient de sécurité, les valeurs et les modes de calcul étant imposées par
des règles de construction ou des codes de calcul (appareils de levage, appareils sous
pression, etc...).
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
12
Sr emploi
1,5 à 2 Cas exceptionnels de grande légèreté
2 à 3
Construction légère (aviation). Hypothèses de calcul
très défavorables
3 à 4 Bonne construction. Calculs soignés
4 à 5
Construction courante. Effets dynamiques légers pas
envisagés
5 à 8
Calculs sommaires. Efforts impossibles à déterminer
exactement
8 à 10 Matériaux non homogènes ou mal connus
10 à 15
Chocs violents. Efforts alternés ou très mal connus
TAB. I.2 – Titre
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section précédente chapitre section suivante
13
I.3 Etude des déformations
I.3.1 Essai d’extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.3.2 Contraction diamétrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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14
I.3.1 Essai d’extension
Il s’agit de l’essai de base pour l’étude des matériaux. Son principe est le suivant :
on soumet une éprouvette normalisée à un effort d’extension
−→
F croissant et on mesure
l’allongement ∆L correspondant.
La figure ci-dessous donne l’allure du graphe obtenu pour un matériau homogène :
l’acier doux.
FIG. I.3.2 –
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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15
Essai
d’extension
OA : zone linéaire (élastique)
AB : palier ductile (n’existe pas pour certains matériaux)
BCD : zone des grandes déformations
en C : point de striction
en D : effort ultime
Dans la partie OA, nous avons proportionnalité entre effort et déformation soit :
F = k · ∆L
ou encore :
F
S
=
_
1
S
· k · L
_
∆L
L
avec :
S = Cte : section initiale de l’éprouvette (ou S
0
)
L = Cte : longueur initiale de l’éprouvette (ou L
0
)
∆L
L
= (allongement relatif) et
F
S
= σ(contrainte)
Ce qui nous donne la loi de HOOKE
1
:
σ = E ·
1
Robert HOOKE : physicien et mathématicien anglais (1635-1703).
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section suivant
16
Essai
d’extension
E est appelé module d’élasticité longitudinale ou module de YOUNG
2
. Sa valeur
est d’environ 2.105 MPa pour les aciers.
Remarque I.3.1 (Phénomène d’écrouissage). Au cours de l’essai décrit précédemment,
tant qu’on reste dans la partie OA de la courbe, c’est à dire tant que la charge reste in-
férieure à Fe, la poutre reprend son état initial quand la charge redescend à zéro. Il n’y
a donc pas de déformation permanente.
Par contre, si on dépasse le point A, qu’on atteint la partie BC et qu’on fasse redes-
cendre l’effort à zéro, on va revenir suivant une parallèle à OA. Le matériau a mainte-
nant une nouvelle zone linéaire O’A’ ce qui signifie qu’il a une nouvelle limite élastique,
supérieure à la précédente (mais plus proche de la limite de rupture). L’éprouvette a à
présent un allongement permanent OO’.
Remarque I.3.2 (Cas des matériaux sans limite d’élasticité apparente :). Avec certains
matériaux, on obtient un courbe contrainte/allongement relatif analogue à celle repré-
sentée sur la figure ci-dessous. Dans ce cas, on définit une à 0,2% : R
0,002
.
C’est la limite obtenue pour un allongement permanent de l’éprouvette correspon-
dant à 0,2% de sa longueur initiale L ou L
0
.
Remarque I.3.3 (Effet d’une variation de température :). Sous l’effet d’une variation
de température ∆T une poutre de longueur L va s’allonger d’une quantité :
∆L = α · ∆T · L
avec ∆T = température finale - température initiale
2
Thomas YOUNG : médecin et physicien anglais (1773-1829).
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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section suivant
17
Essai
d’extension
FIG. I.3.3 –
Dans le premier cas, le déplacement est libre et il ne se produit aucune contrainte.
Dans le second cas, le déplacement est empêché et il se produit une contrainte égale
à celle que créerait une compression due à un effort
−→
F , produisant un raccourcissement
∆L de la première barre (librement déformée). soit
σ = E ·
ou
σ = −E · α · ∆T
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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section suivant
18
Essai
d’extension
FIG. I.3.4 –
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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précédent section
19
I.3.2 Contraction diamétrale
Pendant l’essai d’extension, en plus de la variation de longueur, on mesure la varia-
tion de diamètre sous charge.
Dans le domaine élastique, on obtient pour tout point de la poutre la courbe sui-
vante :
FIG. I.3.5 –
Loi de POISSON
3
:
a = −v ·
ν est appelé coefficient de POISSON et vaut environ 0,3 pour les aciers.
3
Denis Poisson : mathématicien français (1781-1840). Travaux en physique et calcul des probabilités.
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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précédent section
20
Contraction
diamétrale
Remarque I.3.4. – le signe (-) traduit le fait qu’une extension (∆L > 0) donnera une
contraction (∆D < 0) et qu’inversement, une compression (∆L < 0) donnera une
dilatation (∆D > 0).
– dans une direction perpendiculaire à l’axe de sollicitation, il n’y a aucune contrainte
normale (σ
y
= 0) alors qu’on vient de voir qu’il y avait déformation (
y
= 0).
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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section précédente chapitre section suivante
21
I.4 Exemples
I.4.1 Système de levage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.4.2 Allongements d’une poutre de section droite constante et
de poids propre non négligeable . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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section suivant
22
I.4.1 Système de levage
FIG. I.4.6 – Système de levage
Le tirant CC’ du système de levage représenté ci-dessus est soumis à une effort
d’extension de 52000 N.
Il s’agit d’une barre de section droite cylindrique pleine, en acier de construction
dont les caractéristiques mécaniques sont :
E = 21.104 MPa
ν = 0,285
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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section suivant
23
Système de
levage
résistance élastique à l’extension :
R
e
= 300 MPa
On adoptera un coefficient de sécurité de 2 par rapport à R
e
. Le poids propre de la
barre est négligeable devant les efforts qui lui sont appliqués.
FIG. I.4.7 –
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
24
I.4.2 Allongements d’une poutre de section droite constante et de poids
propre non négligeable
Dans ce cas, on ne peut pas appliquer la loi de HOOKE à l’ensemble de la poutre
puisque la contrainte σ est variable avec la position.
Etudions l’équilibre d’une tranche d’épaisseur dx.
Cette tranche est soumise à :

−→
F +
−→
P (x) action du tronçon inférieur sur la tranche isolée

−→
P (dx) = d
−→
P poids propre de la tranche, négligeable devant
−→
F et
−→
P (x)

−→
R action du tronçon supérieur sur la tranche isolée
Appliquons la loi de HOOKE à cette tranche :
σ = E.
soit
F + P (x)
S
= E ·
d (∆L)
dx
E · d (∆L) =
F + · S · x
S
· dx
avec
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
25
Allongements
d’une poutre
de section
droite
constante et
de poids
propre non
négligeable
FIG. I.4.8 –
= ρ · g
(poids volumique du matériau)
E · ∆L =
L
_
0
_
F
S
+ · x
_
· dx
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
26
Allongements
d’une poutre
de section
droite
constante et
de poids
propre non
négligeable
soit
E · ∆L =
F · L
S
+
· L
2
2
ou en faisant apparaître le poids propre de la poutre
P = · S · L
E · ∆L =
F · L
S
+
· S · L · L
2S
d’où finalement :
∆L =
F · L
E · S
+
P · L
2 · E · S
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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section précédente chapitre section suivante
27
I.5 Solides d’égale résistance à l’extension
I.5.1 Solide d’égale résistance à l’extension . . . . . . . . . . . . 28
I.5.2 Forme théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
I.5.3 Formes approchées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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28
I.5.1 Solide d’égale résistance à l’extension
Définition I.5.1 (solide d’égale résistance à l’extension). On appelle solide d’égale ré-
sistance à l’extension un solide tel, que son poids ayant une action non négligeable, la
contrainte normale soit la même dans toutes les sections droites.
La contrainte σ étant constante quelle que soit la position, nous aurons une section
droite qui sera variable en fonction de x. Le problème se ramène donc au calcul de la loi
de variation de la section droite.
Nous envisagerons deux cas :
1. Forme théorique
2. Formes approchées
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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29
I.5.2 Forme théorique
Etude d’une tranche d’épaisseur dx
FIG. I.5.9 –
La contrainte σ étant constante tout le long de la poutre, nous pouvons écrire :
dans la section droite située à l’abscisse x, nous aurons :
Sommaire
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Notions
Exemples
Exercices
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30
Forme
théorique
R
S
= σ
dans la section droite située à l’abscisse x + dx, nous aurons :
R + dR
S + dS
= σ
ce qui donne
R + dR = S · σ + σ · dS
avec
R = S · σ
soit
dR = σ · dS
dR représente en réalité le poids propre dP de la tranche d’épaisseur dx.
Ce poids propre sera sensiblement égal à
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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31
Forme
théorique
· S · dx
si on se limite à des infiniment petits d’ordre un.
d’où
· S · dx = σ · dS
ou encore
dS
S
=

σ
· dx
lorsque x varie de 0 à X, la section S(x) varie de S
0
à S
soit
S
_
S
0
dS
S
=

σ
·
X
_
0
dx
ou
In
_
S
S
0
_
=

σ
· x
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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32
Forme
théorique
et, en passant aux exponentielles :
S = S
0
· e

σ
·x
avec
S
0
=
F
σ
d’où la forme exponentielle adoptée pour un tel solide.
Remarque I.5.2. Un solide soumis uniquement à son propre poids ne peut pas être un
solide d’égale résistance. En effet, si F = 0 dans l’équation précédente, on trouve que S
0
= 0 et donc, S = 0 quel que soit x.
Allongement d’un tel solide
Appliquons la loi de HOOKE à la tranche d’épaisseur dx précédemment étudiée. Le
poids propre d
−→
R étant parfaitement négligeable devant
−→
R, nous pouvons écrire pour
cette tranche :
σ = E ·
d (∆L)
dx
soit
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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33
Forme
théorique
FIG. I.5.10 –
∆L =
L
_
0
σ
E
· dx
or σ est constante par définition et par conséquent, nous pouvons la sortir du signe
somme.
Sommaire
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Notions
Exemples
Exercices
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34
Forme
théorique
∆L =
σ
E
·
L
_
0
dx
ce qui donne
∆L =
F · L
E · S
0
si on avait pris une longueur x au lieu de L, on aurait trouvé :
∆x =
F · x
E · S
0
L’allongement est donc le même que celui d’une poutre droite de section droite constante
S
0
et de poids propre négligeable devant l’effort
−→
F qui lui est appliqué.
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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précédent section
35
I.5.3 Formes approchées
La forme théorique est en général assez difficile à réaliser. Pratiquement, on se
contente souvent de formes approchées.
Exemple : Piles de ponts.
La figure ci-dessous représente des piles de ponts (la forme théorique en compres-
sion est la même qu’en extension, mais inversée).
FIG. I.5.11 –
Pour les solides de grande longueur, les câbles de puits de mines par exemple, on
décompose la poutre en tronçons et on vérifie pour chaque tronçon :

maxi
]
troncon
= constante
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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précédent section
36
Formes
approchées
Exemple : .
FIG. I.5.12 –
Pour une poutre constituée de n tronçons de longueur égale a, on arrive aux résultats
suivants :
S
i
= S
0
·
_
σ

σ

−a ·
_
i
avec
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
37
Formes
approchées
S
0
=
F
σ

−a ·
En posant
σ

= [σ
maxi
]
troncon
∆L = n ·
_
a
E
·
_
σ


a ·
2
__
le terme entre crochets représente l’allongement d’un tronçon (∆a = Cte, quel que soit
le tronçon considéré).
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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section précédente chapitre section suivante
38
I.6 Concentrations de contraintes
I.6.1 Concentrations de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
I.6.2 Coefficient de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
I.6.3 Valeurs de Kt pour les plaques et cylindres tendus . . . . . . 43
I.6.4 Exemple : Répartition des contraintes dans le corps d’une
vis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section suivant
39
I.6.1 Concentrations de contraintes
Les solides réels présentent pratiquement toujours des "accidents de forme" (pas-
sages d’axes, de vis, changements de section, etc...). Il s’agit de discontinuités qui font
que la répartition des contraintes dans la section droite n’est plus du tout constante
dans la zone perturbée par le changement de section. Il existe dans cette zone des
contraintes bien supérieures aux contraintes théoriques calculées à l’aide de la seule
section résistante.
Ce phénomène est appelé "concentration de contraintes".
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section suivant
40
I.6.2 Coefficient de forme
Prenons par exemple une pièce cylindrique épaulée et étudions la répartition des
contraintes dans les différentes zones :
FIG. I.6.13 –
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
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précédent section suivant
41
Coefficient de
forme
Premier cas : Coupure hors de la zone perturbée.
Les hypothèses sont vérifiées c’est à dire que les contraintes sont uniformément
réparties dans la section droite :
σ =
F
S
= Cte
Second cas : Coupure dans la zone perturbée.
La répartition n’est plus uniforme. σ
maxi
est la contrainte qui nous intéresse dans
les calculs. C’est la contrainte dangereuse, les cassures se produisent toujours à cet
endroit.
Dans ce cas, nous aurons :
Contrainte théorique, ou nominale ou moyenne :
σ =
F
S
= Cte
avec S qui est la section résistante.
Dans les calculs, on devra vérifier simultanément :
σ
th
=
N
S
k
t
est appelé "coefficient de concentration de contraintes" (statique) ou plus générale-
ment "coefficient de forme". Sa détermination est expérimentale (courbes de PETER-
SON) ou résulte de calculs par éléments finis (CETIM : guide du dessinateur...).
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section suivant
42
Coefficient de
forme
Remarque I.6.1. Plus le changement de forme est progressif, plus le coefficient k
t
est
faible.
FIG. I.6.14 –
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section suivant
43
I.6.3 Valeurs de Kt pour les plaques et cylindres tendus
FIG. I.6.15 –
Sur les courbes ci-dessous, on peut voir que la forme a une influence sur la valeur
du coefficient de concentration de contraintes, le troisième cas étant nettement le plus
défavorable.
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section suivant
44
Valeurs de Kt
pour les
plaques et
cylindres
tendus
FIG. I.6.16 –
si
r
d
< 0, 05
alors
kt →3
σ
maxi
= kt · σ
th
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section suivant
45
r/d →
0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
cas 1 2,55 2,35 2,05 1,80 1,62 1,50 1,40 1,34 1,30 1,26 1,22
cas 2 1,92 1,80 1,66 1,57 1,50 1,40 1,38 1,32 1,28 1,25 1,22
cas 3 2,65 2,50 2,30 2,22 2,20 2,12 2,10 2,08 2,06 2,04 2,02
TAB. I.4 – Valeurs du coefficient de forme kt
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
46
I.6.4 Exemple : Répartition des contraintes dans le corps d’une vis
FIG. I.6.17 – Étude de la répartition des contraintes dans un boulon de serrage en acier
C20 (acier fin non allié pour traitement thermique)
Effort de serrage : 10000 N
Caractéristiques mécaniques : σ
r
= 650 MPa ; σ
e
= 365 MPa
Coefficient de sécurité adopté : 2 (par rapport à la limite élastique)
Existence de filetage ⇒ kt ≈ 3
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
47
FIG. I.6.18 –
Diamètre nominal d
(mm)
Section
résistante
(mm2)
Rayon de
raccorde-
ment : r
(mm)
5 12,7 0,3
6 17,9 0,4
8 32,9 0,6
10 52,3 0,6
12
76,2 1,0
14
106,0 1,0
16 144,0 1,0
18 175,0 1,0
20 225,0 1,2
TAB. I.6 – Extrait de normes (vis à tête cylindrique creuse CHc)
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section précédente chapitre section suivante
48
I.7 Systèmes statiquement indéterminés
I.7.1 Degré d’hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
I.7.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section suivant
49
I.7.1 Degré d’hyperstatisme
Lors de l’étude d’un système mécanique, on a :
– n équations fournies par la statique
– p inconnues
Trois cas peuvent alors se présenter :
– n > p : le système est déformable
– n = p : le système est isostatique (on peut donc le résoudre à l’aide des seules
équations de la statique)
– n < p : le système est hyperstatique d’ordre (p - n)
symbole : H
p−n
: il manque (p-n) équations pour pouvoir résoudre.
Dans ce cas, on est amené à étudier les déformations du système. Les efforts étant
liés aux déformations, on en déduit des relations supplémentaires qui vont nous
permettre de résoudre.
La méthode présentée ci-dessous n’est évidemment valable que pour l’extension,
dans le domaine élastique.
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section suivant
50
FIG. I.7.19 –
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
51
I.7.2 Exemple
Le système à étudier est constitué de trois barres suspendues et reliées entre-elles
en O.
FIG. I.7.20 –
Toutes les liaisons sont des articulations parfaites, sans frottement.
Les trois barres sont construites avec un matériau rigide ; c’est à dire que les défor-
mations restent très petites devant les longueurs initiales.
Elles sont en même matière et ont même section droite constante S. Leurs poids
propres sont parfaitement négligeables devant les autres efforts qui leur sont appliqués.
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
52
Exemple
Étude statique
FIG. I.7.21 –
équilibre du point O :
la condition d’équilibre s’écrit :
−→
F
1
+
−→
F
2
+
−→
F
3
+
−→
F =
−→
0
ce qui donne en projection sur Ox :
F
1
×sinα −F
3
×sinα = 0(1)
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
53
Exemple
et en projection sur Oy :
(F
1
+ F
3
) · cosα + F
2
−F = 0(2)
Nous avons à notre disposition deux équations (équilibre d’un point dans un plan) et
trois inconnues (F
1
, F
2
et F
3
) il s’agit d’un système hyperstatique d’ordre 1 : H
1
.
Il nous manque donc une équation pour pouvoir résoudre.
Recherche d’une équation supplémentaire : étude des déformations
Le système étant parfaitement symétrique, on se limitera à l’étude des déformations
d’une moitié seulement.
Les barres restant en contact et le système étant parfaitement symétrique (géomé-
trie et caractéristiques mécaniques), il est évident ici que le point O va se déplacer
suivant la verticale pour venir en O’.
De plus le fait d’avoir des déformations très faibles devant les longueurs initiales
nous permet de simplifier et d’assimiler les arcs de cercles à leurs tangentes.
Ceci nous permet donc de trouver l’équation de déformation :
∆L
1
= ∆L
2
· cosα
dans le domaine élastique, nous savons que
σ
i
= E
i
·
i
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
54
Exemple
FIG. I.7.22 –
soit
F
i
S
i
= E
i
·
∆L
i
L
i
et dans notre cas, E
i
= E = Cte et S
i
= S = Cte également
d’où
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
55
Exemple
∆L
i
=
F
i
· L
i
E · S
en remplaçant dans l’équation de déformation, nous obtenons
F
1
· L
1
E · S
=
F
2
· L
2
E · S
· cosα
et
L
2
= L
1
· cosα
ce qui nous donne l’équation supplémentaire :
F
1
= F
2
cos
2
α
(3)
Nous avons maintenant trois équations pour trois inconnues et nous pouvons ré-
soudre le système.
L’équation (1) donne :
F
1
= F
3
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
56
Exemple
(ce qui est évident vu la symétrie du système)
l’équation (2) devient donc
2 · F
1
· cosα + F
2
= F
et avec (3)
F
2
·
_
2 · cos
3
α + 1
_
= F
soit
F
2
=
F
1 + 2 · cos
3
α
et
F
1
= F
3
=
F · cos
2
α
1 + 2 · cos
3
α
Seconde méthode de résolution
On relie directement entre eux les déplacements des éléments constituant le sys-
tème étudié (déplacements compatibles avec les liaisons).
Soit par exemple ici :
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
57
Exemple
FIG. I.7.23 –
Comme précédemment, le système est parfaitement symétrique et on sait que le
point O se déplacera sur la verticale. On peut donc écrire simplement :
−→
BO
barre [2]
=
−→
BC
support
+
−→
CO
barre [1]
¸
¸
¸
¸
0
−L
2
=
¸
¸
¸
¸
Cte
0
+
¸
¸
¸
¸
−L
1
· sinα
−L
1
· cosα
différentions les deux relations ainsi obtenues
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
58
Exemple
0 = −dL
1
· sinα −L
1
· cosα · dα
−dL
2
= −dL
1
· cosα + L
1
· sinα · dα
−dL
2
· cosα = −dL
1
· sin
2
α −dL
1
· cos
2
α
c’est à dire
dL
1
= dL
2
· cosα
qui est bien identique à
∆L
1
= ∆L
2
· cosα
Remarque I.7.1. Ici le système étudié est parfaitement symétrique - géométrie et ca-
ractéristiques mécaniques - et on sait donc que le point O va se déplacer suivant l’axe
vertical By ce qui ne nécessite pas de paramétrage angulaire dα
2
pour la barre BO (pour
O : ∆x = 0 et ∆y = 0).
Attention ce n’est pas toujours le cas et si nous avions eu le même système mais
avec une barre OA en acier, une barre OB en laiton et une barre OC en aluminium
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
59
Exemple
par exemple il est bien évident que le système n’est plus considéré comme symétrique
car le point O ne va plus se déplacer suivant la verticale. Dans ce cas de figure, six
paramètres seront nécessaires (dL
1
, dα
1
, dL
2
, dα
2
, dL
3
, dα
3
) et il faudra trouver des
équations permettant de les relier entre-eux.
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section précédente chapitre section suivante
60
I.8 Particularités de la compression simple
I.8.1 Détails des particularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section
61
I.8.1 Détails des particularités
La compression pure, n’est ni plus ni moins qu’une extension négative donc tout ce
qui a été dit pour l’extension est valable pour la compression, avec en plus :
3 ×D ≤ L ≤ 8 ×D
Avec L qui est la longueur de la poutre et D qui est son diamètre.
Dans le premier cas, on a une compression non uniforme et dans le second - cas
d’une poutre dite "élancée" - on a des risques de flambage. Il convient de vérifier impé-
rativement que le flambage ne se produira pas (se reporter au chapitre traitant cette
sollicitation non linéaire de flexion pour de plus amples informations sur ce phénomène
extrêmement important et responsable de la ruine de nombreuses structures).
Contrainte de compression
σ =
N
S
Condition de résistance
Vérifier que l’on a
σ =
N
S
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section
62
Détails des
particularités
R
pc
= résistance pratique à la compression ou contrainte admissible de compression.
Deux cas peuvent se présenter (voir tableau sur les caractéristiques mécaniques des
matériaux en annexe) :
– le matériau est homogène et il résiste aussi bien à l’extension qu’à la compression.
⇒ R
pc
= R
pe
= R
p
= σ
a
– le matériau n’est pas homogène et il résiste bien mieux à la compression qu’à
l’extension :
⇒ R
pc
est nettement plus grand que R
pe
Déformations
σ = E ·
La loi de HOOKE est toujours valable dans le domaine élastique
Exemple : Poutre comprimée, de section droite S constante.
1. Poids propre négligeable devant F
σ = −
F
S
= Cte
et
∆L = −
F · L
E · S
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section
63
Détails des
particularités
FIG. I.8.24 –
1. Le poids propre intervient :
et
∆L = −
F · L
E · S

P · L
2 · E · S
Exemple : Solides d’égale résistance à la compression.
Il suffit de prendre un axe x orienté vers la bas et une origine au sommet de la
poutre pour retrouver les mêmes lois que dans le cas de l’extension :
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section
64
Détails des
particularités
FIG. I.8.25 –
S
0
=
F
|σ|
S
(x)
=
F
|σ|
· e

|σ|
·x
S
1
=
F
|σ|
· e

|σ|
·L
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section
65
Détails des
particularités
∆L = −
F · L
E · S
0
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section précédente chapitre
66
I.9 Analyse des contraintes
I.9.1 Contraintes dans une direction quelconque . . . . . . . . . 67
I.9.2 Construction : cercle de MOHR . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
I.9.3 Contraintes dans deux facettes perpendiculaires . . . . . . 73
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section suivant
67
I.9.1 Contraintes dans une direction quelconque
FIG. I.9.26 –
Détermination des contraintes existant dans une facette (élément de surface) dont
la normale est inclinée d’un angle θ par rapport à l’axe de sollicitation I.
– Dans une section droite quelconque, on a :
σ
I
=
F
S
= Cte dans (S)
– Problème : quelles sont les contraintes qui existent dans une section oblique ?
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section suivant
68
Contraintes
dans une
direction
quelconque
Équilibre du prisme élémentaire
FIG. I.9.27 –
sur nθ :
−(σ
I
· dS · cosθ) · cosθ + σ
θ
· dS = 0
sur tθ :
−(σ
I
· dS · cosθ) · sinθ + τ
θ
· dS = 0
ce qui donne :
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
section suivant
69
Contraintes
dans une
direction
quelconque
σ
θ
= σ
I
· cos
2
θ =
σ
I
2
+
σ
I
2
· cos2θ
τ
θ
= σ
I
· sinθ · cosθ =
σ
I
2
· sin2θ
Remarque I.9.1 (Contraintes maximales).
σ
maxi
= σ
I
pour
cosθ = 1 soit θ = 0
τ
maxi
=
σ
I
2
pour
sin2θ = 1 soit θ =
π
4
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section suivant
70
I.9.2 Construction : cercle de MOHR
Les expressions précédentes permettent d’écrire, en posant :
R =
σ
I
2
σ
θ
= R + R · cos2θ
τ
θ
= R · sin2θ
qui sont les équations paramétriques d’un cercle symétrique par rapport à l’axe σ.
OA = 2 · R = σ
I
OP = R + R · cos2θ = σ
θ
PM = R · sin2θ = τ
θ
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section suivant
71
Construction :
cercle de
MOHR
FIG. I.9.28 –
Remarque I.9.2. – Attention au sens de τ
θ
:
PM positif sur τ ⇒τ
θ
positif sur t
θ
– On vérifie aisément sur le cercle de MOHR que :
σ
maxi
= σ
I
pour
θ = 0 + k · π
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section suivant
72
Construction :
cercle de
MOHR

maxi
| =

I
|
2
pour
θ =
π
4
+ k ·
π
2
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
73
I.9.3 Contraintes dans deux facettes perpendiculaires
θ

= θ +
π
2
– direction θ :
σ
θ
= σ
I
· cos
2
θ
τ
θ
= σ
I
· sinθ · cosθ
– direction θ +
π
2
:
σ
θ+
π
2
= σ
I
·
_
cos
_
θ +
π
2
__
2
= σ
I
· [−sin(θ)]
2
τ
θ+
π
2
= σ
I
· sin
_
θ +
π
2
_
· cos
_
θ +
π
2
_
= σ
I
· (cosθ) · (−sinθ)
d’où
σ
θ+
π
2
= σ
I
· sin
2
θ
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
précédent section
74
Contraintes
dans deux
facettes per-
pendiculaires
ce qui donne
σ
θ
+ σ
θ+
π
2
= σ
I
τ
θ+
π
2
= −σ
I
· sinθ · cosθ
ce qui donne
τ
θ+
π
2
= −τ
θ
Remarque I.9.3. Ceci est évident sur le cercle de MOHR
Oω =
OP + OP

2
=
OA
2
puisque ω milieu de OA est également milieu de PP’ (projections sur l’axe σ de deux
points diamétralement opposés M et M’).
soit : σ
θ
+ σ
θ+
π
2
= σ
I
et P

M

= −PM
soit τ
θ+
π
2
= −τ
θ
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
75
Index des concepts
Le gras indique un grain où le concept est
défini ; l’italique indique un renvoi à un exer-
cice ou un exemple, le gras italique à un docu-
ment, et le romain à un grain où le concept est
mentionné.
A
Allongements d’une poutre de section droite
constante et de poids propre non
négligeable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
C
Coefficient de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Concentrations de contraintes. . . . . . . . . . 39
Condition de résistance - Notations . . . . 10
Construction : cercle de MOHR. . . . . . . . . 70
Contraction diamétrale. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Contraintes dans deux facettes perpendi-
culaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Contraintes dans une direction quelconque
67
D
Détails des particularités. . . . . . . . . . . . . . . 61
Degré d’hyperstatisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
E
Equilibre d’une poutre tendue . . . . . . . . . . . 7
Essai d’extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Exemple : Répartition des contraintes dans
le corps d’une vis . . . . . . . . . . . . . . . 46
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
76
F
Forme théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Formes approchées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
H
Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
S
Solide d’égale résistance à l’extension . 28
Système de levage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
V
Valeurs de Kt pour les plaques et cylindres
tendus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
77
Index des notions
R
Résistance pratique (ou contrainte normale
admissible) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
S
solide d’égale résistance à l’extension . . 28

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