PERKALIAN TRIPLE

Published on December 2016 | Categories: Documents | Downloads: 219 | Comments: 0 | Views: 1993
of 9
Download PDF   Embed   Report

Comments

Content

BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Besaran dibagi dalam dua kategori, pertama, besaran skalar yaitu besaran
yang hanya mempunyai nilai/besar saja. Kedua, adalah besaran vektor, yaitu
besaran Fisika yang selain memiliki nilai, juga bergantung pada arah. Definisi
vektor seperti ini sudah kita kenal sejak SMU. Definisi ini sebetulnya tidaklah
cukup, karena arus listrik misalnya, memiliki nilai dan juga arah, akan tetapi kuatarus bukanlah besaran vektor. Dengan demikian diperlukan definisi yang lebih
lengkap untuk vektor sebagai berikut:
“Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah serta dapat
memenuhi aturan-aturan operasi matematika vektor”.
Aturan-aturan operasi Matematika untuk vektor akan dijelaskan dalam
bagian berikutnya. Dalam kehidupan sehari-hari volume air, massa benda,
temperatur, banyak mahasiswa, waktu,temperatur dan lain lain merupakan contohcontoh besaran skalar yang tidak bergantung arah dan hanya memiliki nilai/besar
(magnitude), artinya dari arah manapun kita mengukurnya nilainya tetap sama,
sedangkan hal-hal seperti kecepatan aliran sungai, gaya gravitasi, medan listrik
adalah beberapa besaran yang tidak hanya mempunyai nilai tapi juga bergantung
arah, maksud dari bergantung pada arah adalah bahwa nilai dari besaran tadi dapat
berubah pada arah yang berbeda. Arah, dalam operasi vektor didefinisikan lebih
khusus adalah sudut yang dibentuk terhadap sumbu x positif atau arah timur
dengan arah putaran berlawanan jarum jam (Counter Clock Wise /CCW)
Pengategorian besaran ke dalam dua jenis ini tidak semata-mata untuk
tujuanklasifikasi, akan tetapi nantinya sangat berguna dalam perhitungan dan
operasi matematika,dan juga bermanfaat dalam menjelaskan sifat-sifat sebuah
besaran fisika. Dibandingkan dengan besaran skalar, besaran vektor memiliki
banyak keunikan dankompleksitas dalam sifatnya, sehingga memerlukan
pembahasan tersendiri yang(biasanya) terangkum dalam suatu kajian ANALISIS
VEKTOR. Untuk tujuan itulah dalam awal kuliah Fisika Dasar, akan diberikan
pengantar singkat analisis vektor.
Vektor adalah serangkaian instruksi matematis yang dijabarkan dalam
bentuk, garis, dan bagian-bagainl ain yang saling berhubungan dalam sebuah
gambar. Ukuran file relatif kecil dan jika diubah ukurannya(seperti gambar
1

dibawah ini) kualitasnya tetap. Contoh file vektor adalah .wmf, swf , cdr dan .ai.
Dan sering dipakai dalam membuat logo, animasi, ilustrasi, kartun, clipart dsb.
Besaran skalar adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah,
seperti massa, panjang, waktu, suhu dan sebarang bilangan riil. Skalar dinyatakan
oleh huruf-huruf biasa seperti dalam aljabar elementer. Operasi-operasi dalam
skalar mengikuti aturan-aturan yang sama seperti halnya dalam aljabar elementer.
Aljabar Vektor adalah operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, dan
perkalian yang lazim dalam aljabar dari bilangan-bilangan atau skalar-skalar,
dengan definisi yang sesuai, dapat diperluas kedalam aljbar dari vektor-vektor.
Hukum-hukum aljabar vector, jika A, B dan C adalah vektor-vektor dan
m dan n skalar-skalar, maka
1.
2.
3.
4.
5.
6.

A+B=B+A
A + (B + C) = (A +B) + C
mA = Am
m (nA) = ( mn ) A
( m + n ) A = mA + Na
m (A + B) = mA + mB

Hukum Komutatif untuk Penjumlahan
Hukum Asosiatif untuk Penjumlahan
Hukum Komutatif untuk Perkalian
Hukum Asosiatif untuk Perkalian
Hukum Distributif
Hukum Distributif

B. Rumusan Masalah
1. Ada berapa jenis - jenis Perkalian Triple?
2. Ada berapa Hukum – Hukum Pada Perkalian Triple?
C. Tujuan Penyusunan
1. Memahami materi analisis vektor tentang jenis – jenis perkalian triple.
2. Membantu memecahkan masalah yang berhubungan dengan dengan perkalian
triple berdasar pada hukum – hukum perkalian triple.
D. Manfaat Penyusunan
1. Guru, sebagai bahan masukan dalam menggunakan strategi pembelajaran yang
berguna dalam meningkatkan mutu pembelajaran matematika serta motivasi
siswa.
2. Siswa, sebagai pengalaman belajar yang menyenangkan dan menstimulus
kecerdasan siswa untuk membantu pemahaman konsep matematika.
3. Penulis, sebagai pengalaman dan wawasan yang akan menjadi bekal sebagai
calon guru matematika.

BAB II
PEMBAHASAN PERKALIAN TRIPLE
1. Jenis – Jenis Perkalisn Triple

2

Ada tiga jenis perkalian Triple (Triple Product), yaitu:

( A ∙ B ) C ,yang merupakan vektor, sebab

i.

A ∙ B skalar sedangkan

ii.

vektor.
A ∙(B × C)

iii.

juga vektor.
A ×( B ×C ) ,yang merupakan suatu vektor, sebab
B×C

,yang merupakan skalar, sebab

A

C

vektor sedangkan
A

adalah
B×C

suatu vektor dan

juga vektor.

Hasil perkalian

A ∙(B × C) disebut “Hasil Kali Triple Skalar” yang dituliskan dengan

[ ABC ] kadang-kadang tanda kurung pada A ∙(B × C) sering dihilangkan jadi cukup
ditulis dengan A ∙ B ×C .
Hasil perkalian

A ×(B ×C )

disebut “Hasil Kali Triple Vektor”. Untuk perkalian ini

tanda kurung tidak boleh dihilangkan, sebab

A ×( B ×C )

dan

( A × B)× C

memberikan vektor-vektor yang (berlainan.
2.

Hukum - Hukum Pada Perkalian Triple
a. Hukum 1
( A ∙ B)C ≠ A (B ∙ C)
Bukti:
Untuk membuktikannya kita harus mencari hasil perkalian dari masing-masing
( A ∙ B)C

dan

A (B ∙C ) .

( A ∙ B ) C=(( A1 i+ A 2 j+ A 3 k ) ∙ ( B1 i+ B2 j+ B3 k ) ) ( C 1 i+C 2 j+C 3 k )
C
(¿ ¿ 1 i+ C2 j+C3 k )
¿( A 1 B1+ A 2 B2 + A3 B 3)¿
A 1 B 1 C 3 + A 2 B2 C 3 + A 3 B 3 C 3
¿ ( A1 B1 C1 + A2 B2 C 1+ A 3 B3 C1 ) i+ ( A 1 B1 C2 + A2 B 2 C 2+ A 3 B3 C2 ) j+¿ )
3

A ( B ∙ C ) =( A 1 i+ A 2 j+ A 3 k ) ( ( B1 i+ B2 j+ B 3 k ) ∙ ( C 1 i+C2 j +C 3 k ) )
¿ ( A1 i+ A 2 j+ A 3 k ) ( B1 C 1+ B2 C2 + B3 C3 )
¿ ( A1 B1 C1 + A1 B 2 C 2+ A 1 B3 C3 ) i+ ( A 2 B1 C1 + A2 B 2 C 2+ A 2 B3 C3 ) j+ ( A 3 B1 C 1 + A3 B 2 C 2+ A 3 B3 C3 ) k
Dari perkalian diatas dapat dilihat bahwa hasil dari ( A ∙ B)C ≠ A (B ∙ C)
b. Hukum 2
A ∙ ( B ×C )=B ∙ ( C × A )=C ∙ ( A × B)
i.
Bukti :
Berdasar hukum

|

|

A 1 A 2 A3
A ∙ B ×C= B1 B2 B3
C1 C 2 C3

Menurut salah satu teorema dari determinan yang menyatakan bahwa pertukaran
dua buah baris dari sebuah determinan mengubah tandanya, sehingga :
A1 A 2 A 3
B 1 B 2 B3 B 1 B 2 B3
´ × A)
´
´ ∙( C
=−
B 1 B2 B3
A 1 A2 A 3 = C 1 C 2 C3 = B
C 1 C2 C 3
C 1 C 2 C 3 A 1 A 2 A3

|
|

||
||

||
||

|
|

A1 A 2 A 3
C 1 C 2 C3 C 1 C 2 C3
B 1 B2 B3 =− B1 B 2 B3 = A 1 A 2 A3 =C ∙( A × B)
C 1 C2 C 3
A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B3

ii.

| A ∙ ( B ×C )|=¿

isi paralelepidedum dengan rusuk-rusuk

A h

n

C
B

c. Hukum 3
A= A 1 i+ A 2 j+ A3 k
Jika :
B=B1 i+ B2 j+B 3 k
C=C1 i+C 2 j+C3 k

4

A ,B

dan C

Maka :

|

|

A 1 A 2 A3
A ∙ B ×C= B1 B2 B3
C 1 C 2 C3
Bukti :

|

|

i
j
k
A ∙ ( B ×C )= A ∙ B1 B 2 B3
C1 C 2 C 3

[

¿ ( A1 i+ A 2 j+ A 3 k ) ∙ ( ( B 2 C 3 ) i+ ( B3 C1 ) j+ ( B1 C2 ) k ) −( ( B 2 C 1 ) k + ( B3 C 2 ) i+ ( B1 C3 ) j)
¿ ( A1 i+ A 2 j+ A 3 k ) ∙ [ ( B2 C3−B3 C 2) i+ ( B3 C 1−B1 C 3 ) j+ ( B1 C 2−B2 C1 ) k ]
¿ A 1 ( B2 C3 −B 3 C 2 ) + A 2 ( B3 C 1−B 1 C 3 ) + A 3 ( B 1 C 2−B 2 C 1 )

|

|

A1 A 2 A 3
¿ B 1 B2 B3
C 1 C2 C 3

d. Hukum 4
A × ( B× C )=( A ∙C ) B−( A ∙ B)C
i.
ii.

( A × B ) × C=( A ∙C ) B−(B ∙C ) A
Bukti :

i.

|

|

i
j k
(
)
A × B× C =A × B 1 B2 B3
C 1 C 2 C3

B
¿
(¿ 2C 3 i+ B3 C1 j+ B1 C 2 k ¿ )−(B3 C2 i+ B1 C3 j+ B2 C 1 k )
¿
¿ A ׿
B
¿
(¿ 2C 3−B3 C2 ¿ )i + ( B3 C1−B1 C3 ) j+( B1 C 2−B2 C 1) k
¿
¿ ( A 1 i+ A 2 j+ A 3 k ) × ¿

5

]

|

|

i
j
k
¿
A1
A2
A3
B2 C 3−B3 C2 B3 C1−B1 C3 B1 C 2−B 2 C 1

(( A 2 B1 C 2− A2 B2 C 1 ) i+ ( A 3 B2 C 3− A 3 B3 C 2 ) j+ ( A1 B 3 C 1− A1 B 1 C 3) k )−( A 3 B3 C1 −A 3 B1 C3 ) i+ ( A
¿¿

¿ ( A2 B1 C2 −A 2 B2 C1− A 3 B3 C1 + A3 B 1 C 3 ) i+ ( A 3 B2 C 3− A 3 B3 C 2− A1 B1 C 2+ A 1 B2 C1 ) j+ ( A1 B3 C

( A ∙C ) B−( A ∙ B ) C=( A 1 C 1 + A 2 C 2 + A3 C3 ) ( B1 i+ B2 j+B 3 k )−( A 1 B1 + A2 B 2+ A 3 B3 )(C1 i+C 2 j +C

¿( ( A 1 B1 C 1 + A 2 B1 C2 + A3 B 1 C 3 ) i+ ( A 1 B2 C 1+ A 2 B2 C2 + A3 B 2 C 3 ) j+ ( A1 B 3 C 1+ A 2 B3 C 2 + A3 B 3 C

¿ ( A2 B1 C2 −A 2 B2 C1− A 3 B3 C1 + A3 B 1 C 3 ) i+ ( A 3 B2 C 3− A 3 B3 C 2− A1 B1 C 2+ A 1 B2 C1 ) j+ ( A1 B3 C

Dari hasil diatas dapat dibuktikan bahwa

A × ( B× C )=( A ∙C ) B−( A ∙ B)C

karena hasil dari keduanya sama.

e. Hukum 5
A × ( B× C ) ≠ ( A × B ) × C
f. Hukum 6
Jika A , B

dan C

sebidang , maka

CONTOH SOAL :
1.

Diketahui :
B=i+ j−k

A=2i−3 j

C=3 i−k
Tentukan

A ∙(B × C)

Penyelesaian :

6

A ∙ ( B ×C )=0

|

|

2 −3 0
A ∙ ( B ×C )= 1 1 −1
3 0 −1
¿4

Atau dengan cara lain :

|

|

i j k
A ∙ ( B ×C )=( 2 i−3 j ) ∙ 1 1 −1
3 0 −1
¿(2 i−3 j)∙(−i−2 j−3 k )

¿ ( 2 )(−1 ) + (−3 )(−2 ) + ( 0 ) ( 3 )
¿4

2. Jika

A=i−2 j−3 k , B=2 i+ j−k

a.

A ∙ ( B ×C )

b.

( A × B)(B ∙ C)

dan C=i+3 j−2 k . hitunglah

Penyelesaian :
A ∙ ( B ×C )=( i−2 j−3 k ) ∙( ( 2i+ j −k ) × ( i+3 j−2k ))

a.

|

|

i j k
¿(i−2 j−3 k )∙ 2 1 −1
1 3 −2

¿ ( i−2 j−3 k ) ∙ ( (−2i− j+ 6 k )− (−3 i−4 j +k ) )
¿(i−2 j−3 k )∙(i+3 j +5 k )
¿ ( 1−6−15 )=−20
b.

( A × B ) ( B ∙ C )=( ( A1 i+ A 2 j+ A 3 ) × ( B1 i+ B2 j +B 3 k ))( ( B 1 i+ B 2 j+ B3 k ) ∙ ( C1 i+C 2 j+C3 k ) )

|

|

i
j
k
¿ 1 −2 −3 ( ( 2i+ j−k ) ∙ ( i+3 j−2 k ))
2 1 −1
¿( ( 2 i−6 j+ k )−(−3 i− j−4 k ))(2+3+ 2)
¿(5 i−5 j+5 k )(7)

¿ 35 i−35 j+35 k

7

3. Carilah volume sebuah Paralelepipedum yang sisi-sisinya dinyatakan oleh
A=2i−3 j+ 4 k , B=i+2 j−k ,C=3 i− j+ 2 k
Penyelesaian:
V.paralelepipedum

|

(i+2 j−k )×(3 i− j+ 2 k)
A ∙ ( B ×C )=( 2i−3 j+ 4 k )∙ ¿

|

i
j
k
¿(2 i−3 j+ 4 k )∙ 1 2 −1 =( 2i−3 j+ 4 k)∙( ( 4 i−3 j−k )−( 1 i+2 j+6 k ))
3 −1 2
¿(2 i−3 j+ 4 k )∙(3i−5 j−7 k )
¿ 6+15−28

¿|−7|=7

BAB III
PENUTUP

1. Kesimpulan
Yang terpenting dalam Perkalian Triple adalah kita harus paham hukum-hukum
tentang Perkalian Triple yaitu:
( A ∙ B)C ≠ A (B ∙ C)
a.
b.

A ∙ ( B ×C )=B ∙ ( C × A )=C ∙ ( A × B)
8

c.

| A ∙ ( B ×C )|=¿

d.

A 1 A 2 A3
A ∙ B ×C= B1 B2 B3
C 1 C 2 C3

e.

A × ( B× C )=( A ∙C ) B−( A ∙ B)C

isi paralelepidedum dengan rusuk-rusuk

|

A ,B

dan C

|

( A × B ) × C=( A ∙C ) B−( B ∙ C ) A
A × ( B× C ) ≠ ( A × B ) × C

f.

g. Jika

A ,B

dan C

sebidang , maka

A ∙ ( B ×C )=0

2. Saran
 Sebaiknya dalam mempelajari materi analisis vektor tidak terpaku pada satu
sumber referensi saja, sehingga harus mengacu lebih dari satu sumber


referensi.
Dalam mempelajari Analisis Vektor lebih ditekankan pada pemahaman
konsep dasar terlebih dahulu sehingga mempermudah dalam pemahaman
materi tersebut.

9

Sponsor Documents

Or use your account on DocShare.tips

Hide

Forgot your password?

Or register your new account on DocShare.tips

Hide

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link to create a new password.

Back to log-in

Close