Pi - 1.4 i.o. Colas de Espera - Abril 2012

INVESTIGACION DE
OPERACIONES
Procesos y cadenas de valor

Modelos de Colas de Espera

Abril 2012
Identificar los elementos de un
problema de colas de espera en una
situación real.
Describir la estructura de los modelos
de colas de espera con un sólo servidor,
múltiples servidores y fuente infinita
Explicar como se aplica los modelos
de colas de espera para estimar las
características de operación de un
sistema de producción.
Explicar como se usan las colas de
espera para tomar decisiones racionales.
OBJETIVOS DEL
APRENDIZAJE
Análisis de Líneas de Espera
USOS DE LOS MODELOS
Los Modelos relacionan:
La llegada de los clientes
Las características de procesamiento del sistema de
producción
Las características de las salidas del sistema

SISTEMA DE
PRODUCCION
INPUTS
OUTPUTS
SERVICIO: Acción de atender al cliente
APLICACIÒN: Manufactura y servicios

Estructura de los Modelos

Los Modelos contemplan los siguientes elementos:
1. Población de clientes: sitio donde se generan los potenciales
clientes
2. Disciplina de la cola: Regla en que las llegadas reciben atención
3. Filas de Espera: formadas por los clientes
4. Regla de prioridad: para seleccionar el cliente a atender
5. Instalación del servicio: formado por personas, máquinas, o una
combinación para proveer el servicio ( diseño y distribución
estadística)
INSTALACIONES
DE SERVICIO
Población de
clientes
Fila de espera
Clientes atendidos
Regla de prioridad
+Cola: Línea de espera.
+Llegada: Una persona, máquinas, pieza, etc.
que llega y demanda un servicio.
+Disciplina de cola: Reglas para determinar el
orden en el que las llegadas reciben la
atenciòn del servicio.
+Canal: Número de líneas de espera.
+Fase: número de pasos a seguir en el servicio.
TERMINOLOGÍA DE LAS LÍNEAS DE ESPERA
SISTEMA DE SERVICIO



+ Tamaño de la población:
+ Finita (limitada)
+ Infinita (Ilimitada)
+ Comportamiento de las
llegadas:
+ Ponerse a la cola y esperar a ser
servido
+ Se niegan a colocarse en la cola
+ Reniegan, abandonan la cola
Dispositivo
de servicio
Línea de espera
+ Distribución de la
llegada:
+ Poisson
+ Otras
+ Patrón de las llegadas:
+Aleatoria
+Secuencia conocida
Características de la llegada
Características de
un sistema de líneas de espera
Regla de prioridad
Clientes
atendidos
Dispositivo
de servicio
Línea de espera
Características de la línea de espera

+Tamaño de la cola:
Limitado (finita)
Ilimitado (infinita)
+Prioridad del servicio:
+ FIFO(FCFS)
+SPT(Shortest Processing Time)
+EDD (Earliest Due Date)
+Regla prioritaria
+ Otros
Características del sistema de líneas de
espera
Dispositivo
de servicio
Línea de espera
Características de la Población

+Tamaño de la población:
+ Finita: cuando el número de clientes presentes es una fracción
considerable de la población
+Ejemplos: automòviles que llegan al Centro de lavado

+ Infinita: cuando el número de clientes presentes es una fracción pequeña
de la población
+Ejemplo: màquinas que están esperando para reparaciòn
Características del sistema de líneas de
espera
Dispositivo
de servicio
Línea de espera
Características de la Población

+Comportamiento de las llegadas:
+ Cliente paciente: cuando ingresa al sistema y espera
ser atendido
+Cliente impaciente: cuando decide no entrar al sistema
o sale de él sin ser atendido
+Patrón de llegadas: clientes llegan al sistema.
+Según programa (15 clientes cada hora)
+Aleatoriamente: con legadas independientes uno de
otro

Características del sistema de líneas de
espera
Dispositivo
de servicio
Línea de espera
Características del dispositivo o sistema de servicio
+ Número de canales o filas:
+ Único
+ Múltiple
+ Número de fases en el sistema de
servicio:
+ Único de un solo canal
+Único y múltiples canales
+ Múltiple y un solo canal
+Múltiple y multiples canales
+ Distribución del tiempo
de servicio:
+Exponencial negativo
+ Otros
Características del sistema de líneas de
espera
Reglas de prioridad
Determinan a qué cliente se debe atender a
continuación
+ FCFS, FIFO: “a quien llega primero, se le atiende
primero”
+ EDD: concede la preferencia al cliente que tenga la
fecha prometida más próxima (Earliest Due Date)
+ SPT: se atiende al cliente que corresponda el
tiempo de procesamiento más corto (Shortest
processing time)
Sistema de servicio
Línea de espera
Dispositivo
de servicio
Llegadas
© 1995 Corel Corp.
Sistema de líneas de espera
Llegadas
Unidades
servidas
Dispositivo
de servicio
Cola
Sistema de servicio
Bahía
Línea de espera de
los barcos
Barcos en
el mar
Sistema de descarga de barcos
Barcos
vacíos
Sistema de un canal, una fase
Coches y
comida
Sistema de un canal, multifase
Llegadas
Unidades
servidas
Dispositivo
de servicio
Cola
Sistema de servicio
Recogida
Coches en cola
Coches
en el área
Ventanilla de servicio a automòviles de McDonald´s
Pago
Dispositivo
de servicio
Llegadas
Unidades
servidas
Dispositivo
de servicio
Cola
Sistema de servicio
Dispositivo
de servicio
Ejemplo: los clientes del banco esperan en una única cola para
ser atendidos en alguna de las diferentes ventanillas.
Sistema multicanal, una fase
Dispositivo
de servicio
Llegadas
Unidades
servidas
Dispositivo
de servicio
Cola
Sistema de servicio
Dispositivo
de servicio
Ejemplo: En una lavandería, los clientes utilizan una de las
diferentes lavadoras y después, una de las diferentes
secadoras.
Dispositivo
de servicio
Sistema multicanal, multifase
Origen de
las
llegadas
(población)
Tamaño
Ilimitado
Distribuciones de probabilidad:
Las llegadas al sistema son aleatorias con tiempos de servicio
variables, se usan para describir las llegadas mediante
distribuciones de probabilidad
Origen de
las llegadas
(población)
Tamaño
Limitado Ilimitado
© 1995 Corel Corp.
Número fijo
de aviones
para revisión
Características de las llegadas
Origen de
las llegadas
(población)
Tamaño
Patrón
de llegadas
Limitado Ilimitado Aleatorio No aleatorio
Caracterísiticas de las llegadas
Origen de
las llegadas
(población)
Tamaño
Patrón
de llegadas
Limitado Ilimitado Aleatorio
No
aleatorio
Poisson Otros
Características de las llegadas
+ Número de sucesos
(clientes) que ocurren en
un intervalo de tiempo:
+Ejemplo: número de
clientes que llegan en
15minutos.
+ Media = µ (por ejemplo:
5/hora)
+ Probabilidad:
0,0
0,3
0,6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
0,0
0,3
0,6
0 2 4 6 8 10
X
P(X)
ì = 0,5
ì = 6,0
Distribución de Poisson:
x
e
) x ( P
x
ì
=
ì ÷
Especifica la probabilidad de que x clientes lleguen en T
períodos de tiempo
(λT)
x
P(x) =
x !
e
– λT para x=1,2,3.…
λ ritmo medio de llegadas de clientes (por período λT)
Distribuciones de Poisson para
los tiempos de llegada
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
0,00
0,05
0,10
0.15
0,20
0,25
0,30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
P
r
o
b
a
b
i
l
i
d
a
d

P
r
o
b
a
b
i
l
i
d
a
d

ì=2 ì=4
Origen de
las llegadas
(población)
Tamaño Comportamiento
Patrón
de llegada
Limitado Ilimitado Aleatorio
No
aleatorio
Paciente Impaciente
Poisson Otros
Características de las llegadas
Origen de las
llegadas (población)
Tamaño Comportamiento
Patrón
de llegada
Limitado
Ilimitado
Aleatorio
No
aleatorio
Paciente Impaciente
Rehúsa Poisson Otros
Características de las llegadas
Origen
de las
llegadas
Dispositivo
de servicio
Línea de
espera
Sistema de servicio
© 1995 Corel Corp.
¡La cola era
demasiado
larga!
Rehusar
Origen de
las llegadas
(población)
Tamaño Comportamiento
Patrón
de llegada
Limitado Ilimitado Aleatorio
No
aleatorio
Paciente Impaciente
Rehúsa Reniega Poisson Otros
Características de las llegadas
Renegar
Origen
de las
llegadas
Dispositivo
de servicio
Línea de espera
Sistema de servicios
© 1995 Corel Corp.
¡Me
voy!
Línea de espera
Duración
Ilimitada
© 1995 Corel Corp.
Características de la línea de
espera
Línea de espera
Duración
Limitada Ilimitada
© 1995 Corel Corp.
© 1995 Corel Corp.
Características de la línea de espera
Línea de espera
Duración
Disciplina
de cola
Limitada Ilimitada
FIFO
(FCFS)
Aleatorio Prioridad
Características de la línea de
espera
Dispositivo
de servicio
Configuración
Multicanal
Canal
único
Fase
única
Características del servicio
+ Tiempo de servicio y
tiempo entre llegadas:
+Ejemplo: el tiempo de
servicio es de 20 minutos.
+ Tasa de servicio media = µ
+Por ejemplo:
clientes/hora.
+ Tiempo de servicio medio =
1/µ
+ Ecuación:
Distribución del tiempo de servicio
La Distribución exponencial negativa describe el tiempo de servicio, y da la
probabilidad de que el tiempo de servico del cliente en una instalación no sea mayor
que T períodos de tiempo
x μ
e ) x t ( f
÷
= >
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 2 4 6 8 10
x
P
r
o
b
a
b
i
l
i
d
a
d

t
>
x

µ=1
µ=2
µ=3
µ=4
P(t≤T) =1-eµT
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
P
r
o
b
a
b
i
l
i
t
y
0 30 60 90 120 150 180
Servi ce time (minutes)
Distribución exponencial negativa
Tiempo de
servicio medio =
1 hora
Tiempo de servicio medio
= 20 minutos
Llegadas
Unidades
servidas
Dispositivo
de servicio
Cola
Sistema de servicio
Bahía
Línea de espera de
los barcos
Barcos en
el mar
Sistema de descarga de barcos
Barcos
vacíos
Sistema de un canal, una fase
Coches y
comida
Sistema de un canal, multifase
Llegadas
Unidades
servidas
Dispositivo
de servicio
Cola
Sistema de servicio
Recogida
Coches en cola
Coches
en el área
Ventanilla de servicio a automóviles de McDonald´s
Pago
Dispositivo
de servicio
Llegadas
Unidades
servidas
Dispositivo
de servicio
Cola
Sistema de servicio
Dispositivo
de servicio
Ejemplo: los clientes del banco esperan en una única
cola para ser atendidos en alguna de las diferentes
ventanillas.
Sistema multicanal, una fase
Dispositivo
de servicio
Llegadas
Unidades
servidas
Dispositivo
de servicio
Cola
Sistema de servicio
Dispositivo
de servicio
Ejemplo: en una lavandería, los clientes utilizan una de las
diferentes lavadoras y después, una de las diferentes
secadoras.
Dispositivo
de servicio
Sistema multicanal, multifase
Utilizacion promedio del sistema, µ.
Probabilidad de n clientes esté en el
sistema, Pn.
Número promedio de clientes en el
sistema, L
s
.
Número promedio de clientes en la
cola, L
q
.
Tiempo promedio gastado en el
servicio, W
s
.
Tiempo promedio de espera en la cola,
W
q
.
Probabilidad de que el dispositivo de
servicio esté desocupado, P
0
.
Probabilidad de que haya unidades k
en el sistema, P
n > k
.















Características de Operación del
sistema

Este Modelo requiere de las siguientes
suposiciones:
La población de clientes es infinita y todos los
clientes son pacientes.
Los clientes llegan de acuerdo con una
distribución de Poisson y con una tasa media
de llegada de λ. (n independiente de n-1)
La distribución del servicio es exponencial,
con una tasa media de servicio de µ.
La tasa media de servicio es mayor que la tasa
media de llegadas, µ›λ.
A los clientes que llegan primero se les
atiende primero, FIFO.
La longitud de la cola de espera es ilimitada,
L.


Características de Operación del
sistema
Simple (M/M/1): modelo con un solo servidor
 Ejemplo: ventanilla de información en unos almacenes.
Multicanal (M/M/S): modelo de canales múltiples
 Ejemplo: mostrador de venta de billetes de una línea
aérea.
Servicio constante (M/D/1)
 Ejemplo: túnel de lavado de coches.
Población limitada
 Ejemplo: departamento que tiene sólo 7 taladradoras.
TIPOS DE MODELOS DE COLAS
Modelo: sistema de un canal, una
fase.
Origen de la llegada: ilimitado, no
rehúsa, no reniega.
Distribución de llegada: Poisson.
Cola: ilimitado, una sola cola.
Disciplina de cola: FIFO (FCFS).
Distribución del servicio:
Exponencial negativa.
Relación: Servicio y llegada
independientes.
Ritmo de servicio > ritmo de llegada
Características del modelo simple
(M/M/1)
ECUACIONES DEL MODELO
SIMPLE (M/M/1)
Número medio de unidades
en el sistema de servicios

Tiempo medio en el sistema:
Número medio de unidades en cola:

Tiempo medio en cola:

Utilizacion Promedio del sistema:
L
W
L
W
s
s
q
q
=
=
=
=
ì
µ - ì
ì
1
2
ì
µ - ì
µ (µ - ì )
µ (µ - ì )

= µ
ì
µ
ECUACIONES DEL MODELO
SIMPLE (M/M/1)



Distribución de Poisson de la llegada de los
clientes
Distribución exponencial del tiempo de
servicio

Utilización promedio del sistema
Probabilidad de que hay n clientes en el
sistema
Número promedio de clientes en el sistema
de servicio
Número promedio de clientes en la cola de
espera
Tiempo promedio pasado en el sistema,
incluido el servicio
Tiempo promedio de espera en la cola
Probabilidad de que haya 0 unidades en el sistema,
es decir, que el sistema esté desocupado:
Probabilidad de que haya más de k unidades en el sistema,
donde n es el número de unidades en el sistema.
P
k+1
0
1 1
= - = -
=
P
n>k
µ
ì
µ
Ecuaciones de probabilidad
simple (M/M/1)
ì
µ
( )
+Tipo: sistema multicanal.
+Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no
reniega.
+Distribución de llegada: Poisson.
+Cola: ilimitada, colas múltiples.
+Disciplina de cola: FIFO (FCFS).
+Distribución del servicio: exponencial negativa.
+Relación: servicio y llegada independientes.
+ E Ritmo de servicio > ritmo de llegada
Características del modelo de
cola multicanal (M/M/S)
Ecuaciones del modelo de cola
multicanal (M/M/S)
λ Mμ
Mμ
μ
λ
M!
1
μ
λ
n!
1
1
P
M
1 M
0 n
n
0
÷
|
|
.
|


\
|
+
(
(
¸
(


¸

¿
|
|
.
|


\
|
=
÷
=
Probabilidad de que
haya cero personas o
unidades en el
sistema:
( ) ( ) µ
ì
ì ÷ µ 1 ÷
|
.
|

\
|
µ
ì
ìµ
=
0
P
M ! M
L
M
s
Número medio de
personas o unidades
en el sistema:
( ) ( ) µ
1
+
ì ÷ µ 1 ÷
|
.
|

\
|
µ
ì
µ
=
0
P
M ! M
W
M
s
Tiempo medio que
una unidad
permanece en el
sistema:
Ecuaciones del modelo de cola
multicanal (M/M/S)
µ
1
÷ =
µ
ì
÷ =
s q
s q
W W
L L
Número medio de
personas o unidades
esperando en la cola
para recibir el servicio:
Tiempo medio que una
persona o unidad
permanece en la cola:
+Modelo: sistema de un canal, una fase.
+Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no
reniega.
+Distribución de llegada: Poisson.
+Cola: Ilimitada, una única cola.
+Disciplina de cola: FIFO (FCFS).
+Distribución del servicio: exponencial negativa.
+Relación: llegada y servicio independiente.
+ E Ritmo de servicio > ritmo de llegada
Características del modelo de tiempo
de servicio constante (M/D/1)
Ecuaciones del modelo de tiempo
de servicio constante (M/D/1)
Número medio de personas
o unidades en el sistema:
Tiempo medio que una unidad
permanece en el sistema:
( )
( ) ì ÷ µ µ 2
ì
=
ì ÷ µ µ 2
ì
=
2
q
q
W
L
Número medio de
personas o unidades
esperando para recibir
servicio:
Tiempo medio que una
persona o unidad
permanece en la cola:
µ
1
+ =
µ
ì
+ =
q s
q s
W W
L L
+Modelo: sistema de un canal, una fase.
+Origen de la llegada: limitado, no rehúsa, no
reniega.
+Distribución de llegada: Poisson.
+Cola: ilimitada, una única cola.
+Disciplina de cola: FIFO (FCFS).
+Distribución del servicio: exponencial negativa.
+Relación: servicio y llegada independientes.
+ E Ritmo de servicio > ritmo de llegada
Características del modelo de
población limitada
Ecuaciones del modelo de
población limitada
XF
) F ( T
) L N (
) U T ( L
W
) F ( N L
U T
T
X
÷ 1
=
÷
+
=
÷ 1 =
+
=
Factor servicio:
Número medio de
personas o unidades
esperando a recibir
servicio:
Tiempo medio que una
persona o unidad
permanece en la cola:
Ecuaciones del modelo de
población limitada
H L J N
FNX H
) X ( NF J
+ + =
=
÷ 1 =
Número medio en
funcionamiento:
Número medio
que se sirven:
Tamaño de
la población:
Ecuaciones del modelo de
población limitada
Notación:
 D = probabilidad de que una unidad deba
permanecer en cola.
 F = factor de eficiencia.
+H = número medio de unidades que se
sirven.
+J = número medio de unidades que no están
en la cola o en el servicio.
+ L = número medio de unidades en espera de
ser servidas.

Ecuaciones del modelo de
población limitada
+M = número de canales de servicio.
+N = número de clientes potenciales.
+T = tiempo de servicio medio.
+U = tiempo medio entre las necesidades de
servicio de una unidad.
+W = tiempo medio de espera en la cola de una
unidad.
+X = factor de servicio.
 Se obtendrán los datos de tablas de cola
limitadas.