Pret Forward. Val Contract Forward

Published on February 2017 | Categories: Documents | Downloads: 26 | Comments: 0 | Views: 280
of 5
Download PDF   Embed   Report

Comments

Content

Prețul forward. Valoarea contractului forward
Introducere
Vom considera în cele ce urmeazǎ un activ suport (AS) al cǎrui preț la momentul t  t 0 , T  îl
vom nota S t .

La momentul inițial t 0 , pe acest AS se scrie un contract forward cu scadența T. Notǎm F t 0 , T 

prețul forward al respectivului contract, f L t 0 , t , T  valoarea acelui contract la momentul

t  t 0 , T  (poziția long), respectiv f S t 0 , t , T  valoarea poziției short din contract.

Precizare (care dacǎ nu este clarǎ acum, va deveni mai clarǎ pe parcurs – sper): prețul forward și
valoarea contractului forward sunt lucruri diferite. Prețul forward reprezintǎ prețul la care va fi
cumpǎrat (de poziția long), respectiv vândut (de short) AS la scadențǎ. Valoarea contractului
forward ne aratǎ nouǎ ce ar câștiga fiecare din cele douǎ contrapartide din poziția adoptatǎ în
contract. Bineînțeles, fiind un joc cu sumǎ nulǎ, f S t 0 , t , T    f L t 0 , t , T  .
Practic, prețul forward este o specificație a contractului, iar valoarea contractului forward este
chiar valoarea derivativului respectiv.
Ce știm deja? Ce ne intereseazǎ sǎ aflǎm în continuare?
Noi știm câte ceva despre contractul forward, mai ales despre valoarea sa. Prin definiție,
valoarea contractului forward la momentul încheierii acestuia ( t 0 ) este 0, cu noile notații, asta
înseamnǎ f L t 0 , t 0 , T   f S t 0 , t 0 , T   0

Este important de observat cǎ prețul forward F t 0 , T  din contract nu poate fi oricât. Altfel spus,
definiția contractului forward se respectǎ pentru anumit preț forward – de echilibru, iar dacǎ
prețul din contract diferǎ de prețul de echilibru, pe piațǎ existǎ oportunitǎți de arbitraj. Noi ne
propunem sǎ calculǎm prețul forward de echilibru.
Întorcându-ne la valoarea contractului forward – știm de asemenea relațiile care dau valoarea
contractului la scadența T: aceasta va fi chiar valoarea payoff-ului pentru fiecare poziție
(valoarea instrumentului la scadențǎ este suma de bani pe care ne-o aduce):
f L t 0 , T , T   ST  F t 0 , T 
f S t 0 , T , T   F t 0 , T   ST

Astfel, știm valoarea contractului forward la momentul inițial și la scadențǎ. Ne mai propunem sǎ
determinǎm aceastǎ valoare la orice moment t  t 0 , T  .
Vom purta discuția în 3 contexte diferite: AS nu genereazǎ venit; AS genereazǎ venit în timp
discret; AS genereazǎ venit în timp continuu.

Cazul în care AS nu genereazǎ venit
Pentru a calcula F t 0 , T  de echilibru folosim bineînțeles AOA. Trebuie sǎ construim douǎ
portofolii.
Avem nevoie de o relație pentru prețul forward, deci primul portofoliu va format dintr-o poziție
pe forward, sǎ zicem long
1 : long forward, 1 T   ST  F t 0 , T 
Al doilea portofoliu trebuie sǎ conținǎ active astfel încât valoarea sa la scadențǎ sǎ fie egalǎ cu
cea a primului. Astfel, vom avea:
 2 : long AS + short pe o.z.c. cu VN  F t 0 , T  și scadența T.

1 T   ST  F t 0 , T    2 T   1 t 0    2 t 0 
AOA

Având în vedere cǎ adoptarea unei poziții într-un contract forward e gratuitǎ, atunci 1 t 0   0 .
 2 t 0   St 0  F t 0 , T   e  rT t 0 

Prin urmare, St 0  F t 0 , T   e  rT t 0   0  F t0 , T   St 0  e rT t 0 
Exemplu: Avem o acțiune cu prețul de 20, iar pe piaţa rata dobânzii fără risc este 5%.
Determinaţi preţul forward al unui contract cu scadenţa peste o lună.
0, 05
1

F  t 0 , t 0    20  e 12  20,0835
12 

1

1

Să presupunem că pe piaţă contractul forward are preţul Fpiata  t 0 , t 0    20,15 . Construiţi,
12 

dacă se poate, un portofoliu de arbitraj.
Observăm că Fpiata  FAOA , deci putem construi un portofoliu de arbitraj.

Pornim de la Fpiata  FAOA , şi încercăm să manipulăm această relaţie pentru a obţine valorile
celor două portofolii  1  2
Astfel, Fpiata  FAOA  Fpiata  S t 0  e rT t 0   S t 0  Fpiatae  rT t 0   0


 1t 0 
 2 t 0 

Valorile celor două portofolii ar trebui să fie egale la momentul iniţial, în schimb primul
portofoliu (long forward) este supraapreciat, iar al doilea (long pe AS + short pe o.z.c.cu VN=F)
este subapreciat. Astfel, portofoliul de arbitraj va avea următoarea structură:
 : long AS + short pe o.z.c.cu VN=F + short forward + depozit în valoare de 0,0662 la rata fără
risc.
t 0   20  20,15  e

1
0, 05
12

 0  0,0662  0

T   ST  20,15  20,15  ST  0,0662  e

1
0, 05
12

 0,0665  0

Temă: Construiţi un portofoliu de arbitraj dacă preţul forward pe piaţă este Fpiata  20,02
Referitor la valoarea contractului forward, aceasta este 0 la momentul iniţial, dar se poate
modifica până la scadenţă.
Pentru a determina valoarea contractului forward, utilizăm aceleaşi două portofolii, cu menţiunea
că nu vom folosi egalitatea dintre valorile lor la momentul iniţial (am făcut deja acest lucru
pentru a determina preţul forward), ci la un moment intermediar t.

1 T   ST  F t 0 , T    2 T   1 t    2 t , t  t 0 , T 
1 t   f L t 0 , t , T   f t 0 , t , T 
(dacǎ renunț la indicele L/S, înseamnǎ cǎ mǎ refer la long, iar valoarea pentru short este opusa
celei pentru long)
 2 t   St  F t 0 , T   e  r T t 
AOA

Astfel, f t 0 , t , T   St  F t 0 , T   e  r T t 
Pot rescrie relaţia de mai sus, introducând în discuţie contractul forward încheiat la momentul t şi
cu scadenţa T, al cărui preţ este F t , T   St  e rT t 
Astfel, obţinem:
f t 0 , t , T   F t , T   F t 0 , T  e  r T t 
Temă: Interpretaţi economic relaţia de mai sus.
Continuând exemplul de mai sus, dacă la jumătatea lunii respective cursul activului suport se
situa la nivelul de 17, atunci valoarea contractului forward (poziţie long) este:
1
0, 05
1
1

24
f  t 0 , t 0  , t 0    17  20,0835  e
 3,0417
24
12 

Bineînţeles, valoarea poziţei short va fi 3,0417
Observaţie: Spre deosebire de valoarea unei opţiuni simple, care este mereu pozitivă, valoarea
unei poziţii într-un contract forward poate fi şi negativă, întrucât poziţia respectivă poate genera
pierdere la scadenţă (spre deosebire de poziţia pe opţiune, care în cel mai rău caz va fi 0 la
scadenţă – abandon).
Cazul în care AS genereazǎ venit
a) AS genereazǎ venit în timp discret
Aceastǎ situație este foarte similarǎ celei discutate deja (în cazul paritǎții put-call). Cele douǎ
portofolii construite la punctul anterior nu mai oferǎ aceeași valoare la scadențǎ, cel care conține
poziția pe AS va include și valoarea capitalizatǎ a veniturilor. Acestea trebuie „neutralizate”
conform modelului discutat deja, cu o.z.c. a cǎror valoare nominalǎ sǎ fie egalǎ cu valoarea
veniturilor iar scadența sǎ fie la momentul apariției acestora (sau o modalitate echivalentǎ).

Astfel, obţinem F t 0 , T   St 0  D  e rT t 0  , unde D este valoarea totală a veniturilor actualizate.
Temă: Demonstraţi relaţia de mai sus
Observaţii:
1. Sunt relevante doar veniturile generate pe parcursul existenţei contractului forward.
2. Cazul în care AS generează costuri se tratează în analogie (costul = venit negativ).
Temă: Să presupunem că un activ care în prezent valorează 20 generează următoarele venituri: 1
(peste 1M), 1,5 (peste 4M) şi 2,5 (peste 6M). Pe piaţa r = 4%. Determinaţi preţul forward al
contractului cu scadenţa peste 5M.
b) AS genereazǎ venit în timp continuu
Notǎm q rata venitului în timp continuu. Astfel, pe fiecare interval de timp t , t  dt  , de lungime
infinitezimalǎ dt, o unitate de activ suport va genera venitul q  S t  dt
Fiind interesați de calcularea prețului forward de echilibru, vom porni tot de la portofoliile
iniţiale, observând totuși cǎ, în configurația respectivǎ, portofoliul al doilea va fi mai valoros la
scadențǎ decât primul, întrucât deținǎtorul de AS va avea dreptul și la veniturile generate de
acesta. Astfel, cǎutǎm sǎ „neutralizǎm” aceste venituri, și vom proceda incluzând la început în al
doilea portofoliu un numǎr mai mic de unitǎți de AS, care va crește mereu, pentru cǎ tot venitul
rezultat este cheltuit cumpǎrând alte unitǎți de AS. Mai precis
 La momentul inițial t 0 , vom porni în al doilea portofoliu cu un numǎr mai redus de
unitǎți de activ suport, notat nt 0 
 Pe fiecare interval infinitezimal t , t  dt  , încasǎm venitul care se cuvine din deținerea
unitǎților de AS și îl cheltuim simultan achizițonând alte unitǎți de AS.
La momentul t, numǎrul unitǎților de AS deținute sunt nt  , ele generând venitul
q  nt   S t  dt
q  nt   St  dt . Cu acest venit, putem cumpǎra
 q  nt   dt unitǎți de AS.
St
Prin urmare, variația numǎrului unitǎților de AS este dnt   q  nt   dt
 La scadența T, trebuie sǎ avem nT   1 , pentru ca cele douǎ portofolii sǎ aibǎ aceeași
valoare.

Întrebarea se pune: cu câte unitǎți nt 0  trebuie sǎ pornim astfel încât, acumulând noi unitǎți la
fiecare pas, dupǎ regula de mai sus, sǎ ajungem în final cu nT   1 unitate?
dnt 
dnt   q  nt   dt  dt  q  d ln nt   q  ln nt   qt  const1  nt   e qt  const
nt 
Calculǎm valoarea constantei din condiția finalǎ nT   1

nT   1  e qT  const  1  const  e  qT

Prin urmare, nt   e qt  e  qT  e  q T t  , t  t 0 , T 
În concluzie, vom avea 1 : long forward și  2 : long pe nt 0   e  q T t 0  unitǎți de AS și short pe
o.z.c. cu scadența T și valoarea nominalǎ F t 0 , T 
La scadențǎ,

1 T    2 T   ST  F t 0 , T   1 t 0    2 t 0   0  St 0  e q T t 0   F t 0 , T   e r T t 0 
AOA

Obținem F t 0 , T   St 0  e  q T t 0   e rT t 0   St 0  e r q T t 0 
Printr-un raționament similar, vom obține versiuni ale celorlalte relații de echilibru cunoscute,
pentru aceastǎ situație în care AS genereazǎ venit în timp continuu cu ratǎ constantǎ q.
Exemplu: relația de paritate put-call se va scrie: ct  K  e  rT t   pt  St  e  qT t 
Observații
1. Dacǎ activul suport este o monedǎ, atunci rata venitului în timp continuu va fi rata de dobândǎ
a acesteia în timp continuu, pe care o notǎm r f .
Astfel, cursul forward de echilibru se scrie: F t 0 , T   St 0  e r rf T t 0 
Paritatea put-call va fi: ct  K  e  rT t   pt  St  e  rf T t 

Exemplu: Determinați prețul forward al unui contract cu suport cursul EUR/RON și scadențǎ 4
luni, știind cǎ rRON  4% și rEUR  1% , știind cǎ în prezent cursul este 1 EUR = 4,35 RON.
În acest contract, EUR reprezintǎ „marfa”, iar RON reprezintǎ „banii”. Investitorul care adoptǎ o
poziție pe o sumǎ de EUR va prefera sǎ o plaseze (într-un depozit) pânǎ la scadențǎ, prin urmare
EUR va genera venit cu rata continuǎ r f  rEUR  1% . Bineînțeles, r  rRON  4%
F t 0 , T   4,35  e

0, 040, 01 4

12

 4,3937

Sponsor Documents

Or use your account on DocShare.tips

Hide

Forgot your password?

Or register your new account on DocShare.tips

Hide

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link to create a new password.

Back to log-in

Close