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APUNTE: RENTAS O ANUALIDADES
PROFESOR: JAIME REYES M.
RENTA Renta o anualidad es una serie de pagos iguales efectuados a intervalos de tiempo iguales. Las rentas se pueden clasificar según el siguiente esquema:
y EVENTUALES Vencidas A Plazo Anticipadas No Diferidas Vencidas Perpetuas Anticipadas y CIERTAS Vencidas A Plazo Anticipadas Diferidas Vencidas Perpetuas Anticipadas
Rentas Eventuales: Son aquellas en las que el primer o último pago dependen de algún acontecimiento previsible, pero cuya fecha de realización exacta no se puede fijar. Ejemplo: un contrato hecho con una compañía de seguros de vida, en la que ésta se obliga a pagar una cierta cantidad de dinero a una persona mientras esté viva en el caso que fallezca el asegurado. Rentas Ciertas: Son aquellas cuya fecha de inicio y término se conocen. Ejemplo: el pago de un préstamo. Rentas no diferidas: Son aquellas en las cuales el primer pago ocurre en el primer período. Ejemplo: el pago de un préstamo sin períodos de gracia. Rentas Diferidas: Son aquellas en las que el primer pago ocurre en un período posterior al primero. Ejemplo: el pago de un préstamo con períodos de gracia.
Rentas a Plazo: son aquellas en las que la duración del pago es limitada. Esto es, la fecha de término es conocida. Ejemplo: el pago de un préstamo. Rentas perpetuas: Son aquellas en las que la duración del pago es ilimitado. Ejemplo: el Premio Nobel Rentas Vencidas: Son aquellas en las que los pagos ocurren al final de cada período o intervalo de pago. Ejemplo: sueldos. Rentas anticipadas: Son aquellas en las que los pagos ocurren al principio de cada intervalo de pago. Ejemplo: arriendos. RENTAS ORDINARIAS Se denominan rentas ordinarias, aquellas que cumplen con las siguientes características: ciertas, no diferidas, a plazo y vencidas. Gráficamente podemos expresarlo como sigue: X
0 1
X
2
X
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4 ...
X
n
Se debe visualizar y entender porqué la gráfica muestra una renta cierta, no diferida, a plazo y vencida. VALOR FUTURO DE UNA RENTA ORDINARIA Ejemplo: Se depositan $10.000 al final de cada mes a una tasa de interés del 2% mensual. ¿Que cantidad se tendrá acumulada al cabo de 4 meses? Desarrollo: 1. Expresemos gráficamente los datos del ejercicio, esto es:
$10.000 $10.000 $10.000 $10.000
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períodos de interés
2. Desarrollemos para cada uno de los depósitos, esto es: y Primer depósito Gana interese por 3 meses. Por lo tanto el monto compuesto de éste, aplicando la formula respectiva es:
M1 = 10.000 ( 1 + 0,02 )3 y Segundo depósito Gana intereses por 2 meses. Por lo tanto el monto compuesto es: M2 = 10.000 ( 1 + 0,02 )2 y Tercer depósito Gana intereses por 1 mes. Por lo tanto el monto compuesto es: M3 = 10.000 ( 1 + 0,02 )1 y Cuarto depósito Gana intereses por 0 meses, es decir no alcanza a ganar intereses. Por lo tanto el monto compuesto es: M4 = 10.000 ( 1 + 0,02 )0 3. Obtengamos el monto total de la renta, para ello debemos sumar compuestos de cada uno de los distintos pagos, esto es: los montos
M = M1 + M2 + M3 + M4 = 10.000 ( 1 + 0,02 )3 + 10.000 ( 1 + 0,02 )2 + 10.000 ( 1 + 0,02 )1 + 10.000 ( 1 + 0,02 )0
4. Expresemos gráficamente el proceso realizado, esto es:
$10.000 $10.000 $10.000 $10.000
2% 0 1
2% 2
2% 3
2% 4 periodos de interés
10.000 + 10.000 ( 1 + 0,02 ) + 10.000 ( 1 + 0,02 )2 + 10.000 ( 1 + 0,02 )3 Es decir: M = 10.000 + 10.000 ( 1 + 0,02 ) + 10.000 ( 1 + 0,02 )2 + 10.000 ( 1 + 0,02 )3 Factorizando, tenemos que: M = 10.000 ( 1 + ( 1 + 0,02 ) + ( 1 + 0,02 )2 + ( 1 + 0,02 )3) M = 10.000 (4,121608) = 41.216,08 Por lo tanto la cantidad que tendrá acumulada a los 4 meses es $ 41.216,08 Considerando el ejemplo anteriormente resuelto generalizaremos, esto es: Sea M ó FV= Monto o valor futuro (FV= Future Value) R = Renta o pago periódico i = Tasa de interés por período n = Número de períodos
Luego: (1 + i)n - 1 FV = R -------------i
(*)
Observación: Al factor (1 + i)n - 1 se le denomina FACTOR DE CAPITALIZACION y i se denota comúnmente por S y constituye el monto de una renta vencida de una unidad ni por período, colocada a la tasa de interés ³i´ por período, durante ³n´ períodos.
Ejercicio Nº1 (aplicando fórmula) 1. Identificar los datos R = 10.000 i = 2% = 0,02 n =4 FV = ? 2. Reemplazar los datos en la formula, esto es: (1 + 0,02)4 - 1 FV = 10.000 ------------------- = 10.000 ( 4,121608) = 41.216,08 0,02 El factor (1 + 0,02)4 - 1 de acuerdo a la simbología mencionada es S 0,02 4 monto de una renta de $1 colocado al 2% de interés durante 4 períodos. y representa el
0,02
De la fórmula anterior (*) podemos despejar ³n´ y ³R´, esto es: FV log (----- i + 1) R n = -------------------------log (1 + i)
FV
R = ------------------(1+i)n -1 ----------i
Observación: La variable ³i´ no se puede despejar, mediante el uso de una calculadora financiera.
pero su valor se puede obtener
Ejercicio Nº2 ¿En cuanto tiempo, depósitos de $50.000 anuales se transforman en $305.255 al 10% anual? Desarrollo 1. Identificar los datos R = 50.000 i = 10% = 0,10 FV = 305.255 n =? 2. Reemplazar los datos en la formula, esto es: 305.255 log (---------- x 0,10 + 1) 50.000 n = --------------------------------- = 5 (años) log (1 + 0,10) 3. Por lo tanto, depósitos de $50.000 anuales se transformaran en $305.255 al 10% anual, al cabo de 5 años.
Ejercicio Nº3 ¿Cuanto se debe depositar trimestralmente al 5% trimestral para acumular US$ 6.305 al cabo de 9 meses? Desarrollo 1. Identificar los datos i = 5% = 0,05 trimestral FV = 6.305 n = 3 trimestres
R =?
2. Reemplazar los datos en la formula, esto es: 6.305 R = ----------------------- = 2.000 (1+0,05)3 -1 ---------------0,05 3. Por lo tanto se deben depositar US$ 2.000 trimestralmente al 5% trimestral para acumular US$6.305 al cabo de 9 meses.
VALOR PRESENTE DE UNA RENTA ORDINARIA Ejemplo: Si usted va a percibir US$5.000 al final de cada mes durante 3 meses. ¿Cuánto estaría dispuesto a aceptar hoy a cambio de esos pagos si la tasa de interés a la que usted puede invertir es del 3% mensual? Desarrollo: 1. Expresemos gráficamente los datos del ejercicio, esto es:
US$5.000 US$5.000 US$5.000
0
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2. Desarrollemos para cada uno de los pagos, esto es: y Primer pago. Se actualiza 1 mes, por lo tanto el valor presente, aplicando la fórmula respectiva es: 5000 C1 = -------------(1 + 0,03)1 y Segundo pago. Se actualiza 2 meses. Por tanto el valor presente es: 5000 C2 = -------------(1 + 0,03)2 y Tercer pago. Se actualiza 3 meses. Por tanto el valor presente es: 5000 C3 = -------------(1 + 0,03)3
3. Obtengamos el valor presente total, para ello debemos sumar el valor presente de cada una de las rentas, esto es: 5000 5000 5000 C= C1 + C2 + C3 = -------------- + --------------- + -------------(1 + 0,03)1 (1 + 0,03)2 (1 + 0,03)3
4. Expresemos gráficamente el proceso realizado, esto es:
US$5.000 US$5.000 US$5.000 3% 3% 3% 0 1 2 3
5000 -------------(1 + 0,03) + 5000 -------------(1 + 0,03)2 + 5000 -------------(1 + 0,03)3 Es decir: 5000 5000 5000 C = -------------- + --------------- + -------------(1 + 0,03) (1 + 0,03)2 (1 + 0,03)3 Factorizando, tenemos que: 1 1 1 C = 5.000 ( -------------- + --------------- + -------------- ) (1 + 0,03) (1 + 0,03)2 (1 + 0,03)3 Esto es: C = 5.000 ( (1 + 0,03)-1 + (1 + 0,03)-2 + (1 + 0,03)-3 ) C = 5.000 ( 2,828611354) = 14.143,06 Por lo tanto estaría dispuesto a aceptar hoy una cantidad mayor o igual a US$ 14.143,06
Considerando el ejemplo anteriormente resuelto generalizaremos, esto es: Sea C ó PV = Capital ó Valor Actual ó Valor Presente (PV= Present Value) R = Renta o pago periódico i = Tasa de interés por período n = Número de períodos 1 - (1 + i) -n PV = R -----------------i
(**)
Observación: Al factor 1 - (1 + i) -n se le denomina FACTOR DE ACTUALIZACION y i se le denota comúnmente por A y representa el valor actual de una renta vencida de una ni unidad monetaria por período colocada a la tasa de interés ³i´ por período, durante ³n´ períodos.
Ejercicio Nº4 (aplicando fórmula al ejemplo anterior) 1. Identificar los datos R = 5.000 i = 3% = 0,03 n =3 PV = ? 2. Reemplazar los datos en la fórmula, esto es: 1 - (1 + 0,03) -3 PV = 5.000 -------------------- = 5.000 (2,828611354) = 14.143,06 0,03 El factor 1 - (1 + 0,03) -3 de acuerdo a la simbología mencionada es A y representa el 0,03 3 0,03 valor actual de una renta de $1 colocada al 3% de interés durante 3 períodos.
De la fórmula anterior (**) podemos despejar ³n´ y ³R´, esto es:
PV -log ( 1 - ---- i ) R n = ---------------------------log (1 + i)
PV R = ---------------------1 - (1 + i)-n -------------i
Ejercicio Nº5 La herencia de una persona asciende a US$390.000. Una compañía recibe instrucciones de pagar a los herederos US$25.000 por año. Si el capital se invierte al 5%. ¿Durante cuántos años los herederos recibirán los pagos? Desarrollo 1. Identificar los datos PV = 390.000 R = 25.000 i = 5% = 0,05 n =? 2. Reemplazar los datos en la formula, esto es: 390.000 -log ( 1 - ------------ x 0,05 ) 25.000 n = ----------------------------------------- = 31,03 (años) log (1 + 0,05) 3. Por lo tanto los herederos recibirán los pagos durante 31,03 años.
Ejercicio Nº6
Se depositaron $550.000 al 4% trimestral para percibir una determinada renta trimestral durante 6 años. ¿A cuanto ascienden dichas rentas? Desarrollo 1. Identificar los datos PV = 550.000 i = 4% = 0,04 trimestral n = 6 años =>24 trimestres (6 x 4) R =? 2. Reemplazar los datos en la formula, esto es: 550.000 R = -------------------------- = 36.072,76 1 - (1 + 0,04)-24 --------------------0,04 3. Por lo tanto las rentas ascienden a $36.072,76
EJERCICIOS PROPUESTOS
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Encuentre el valor futuro y valor presente de una renta de US$7.800 mensuales durante 4 años y medio al 18% capitalizable mensualmente. Compruebe que el valor actual capitalizado al término del plazo de la renta, es igual al valor futuro a esta fecha. Hace 5 años, Ripsy está depositando US$1.000 al final de cada trimestre obteniendo un 4% trimestral. ¿Cuánto tiene en la cuenta hoy día si no ha efectuado retiros? ¿Cuanto tiene Ripsy, si hace 5 trimestres suspendió los depósitos? Matín recibe una herencia de su padre. Un banco le ofrece una renta de $45.000 mensuales durante 20 años si deposita la herencia al 12% capitalizable mensualmente. Encuentre el monto de la herencia recibida por Matín. Un vehículo de transporte se vende al crédito bajo las siguientes condiciones: US$5.000 de pié y 15 cuotas mensuales. Si la tasa de interés cargada es de 15% capitalizable mensualmente, determine el valor de cada cuota si el valor contado del vehículo es de US$22.000 Un fundo se vende el las siguientes condiciones: 5.000 UF de pié y 20 cuotas mensuales de 800 UF c/u. Se cobra un interés de 1% mensual. Determine el valor contado del fundo. Se compra un barco cancelando US$ 80.000 de pié y se convienen pagos de US$10.000 cada dos meses durante 10 años. El interés utilizado en los cálculos es del 12% capitalizable bimestralmente. Si después de haberse cancelado la décima cuota se desea liquidar la deuda: a) ¿Cuanto debe cancelarse en el vencimiento de la onceava cuota además del pago regular? b) Si se dejan de pagar las primeras 8 cuotas, ¿Cuanto debe pagar en la novena para ponerse al día?. c) ¿Cuanto cuesta el barco al contado? d) Si se omiten las primeras 8 cuotas y se quiere pagar todo de una vez en la fecha de vencimiento de la novena cuota ¿Cuanto se debe pagar? Para financiar sus estudios universitarios Ud., deposita US$ 8.000 trimestrales durante 3 años antes de ingresar a la universidad. El último deposito lo efectúa al momento de entrar. Estos depósitos ganan un 12% capitalizable trimestralmente. ¿Cuantos retiros trimestrales de US$ 5.000 puede realizar durante los 7 años que duran los estudios, iniciando los retiros al cumplir un trimestre en la universidad? Suponga en el problema anterior que los retiros son mensuales y que en el momento de ingresar a la universidad la tasa de interés baja al 10% capitalizable mensualmente. ¿Cuantos retiros de US$ 5.000 podrá realizar mientras duren sus estudios? Cuando Ud. llegue a disponer de un ahorro ascendente a 2 millones de pesos se iniciará como empresario. De sus ingresos de $200.000 puede ahorrar el 20% e invertirlos al 12% capitalizable mensualmente. Determine el número de depósitos que debe efectuar y el monto del deposito final.
PROFESOR: JAIME REYES M.
RENTA Renta o anualidad es una serie de pagos iguales efectuados a intervalos de tiempo iguales. Las rentas se pueden clasificar según el siguiente esquema:
y EVENTUALES Vencidas A Plazo Anticipadas No Diferidas Vencidas Perpetuas Anticipadas y CIERTAS Vencidas A Plazo Anticipadas Diferidas Vencidas Perpetuas Anticipadas
Rentas Eventuales: Son aquellas en las que el primer o último pago dependen de algún acontecimiento previsible, pero cuya fecha de realización exacta no se puede fijar. Ejemplo: un contrato hecho con una compañía de seguros de vida, en la que ésta se obliga a pagar una cierta cantidad de dinero a una persona mientras esté viva en el caso que fallezca el asegurado. Rentas Ciertas: Son aquellas cuya fecha de inicio y término se conocen. Ejemplo: el pago de un préstamo. Rentas no diferidas: Son aquellas en las cuales el primer pago ocurre en el primer período. Ejemplo: el pago de un préstamo sin períodos de gracia. Rentas Diferidas: Son aquellas en las que el primer pago ocurre en un período posterior al primero. Ejemplo: el pago de un préstamo con períodos de gracia.
Rentas a Plazo: son aquellas en las que la duración del pago es limitada. Esto es, la fecha de término es conocida. Ejemplo: el pago de un préstamo. Rentas perpetuas: Son aquellas en las que la duración del pago es ilimitado. Ejemplo: el Premio Nobel Rentas Vencidas: Son aquellas en las que los pagos ocurren al final de cada período o intervalo de pago. Ejemplo: sueldos. Rentas anticipadas: Son aquellas en las que los pagos ocurren al principio de cada intervalo de pago. Ejemplo: arriendos. RENTAS ORDINARIAS Se denominan rentas ordinarias, aquellas que cumplen con las siguientes características: ciertas, no diferidas, a plazo y vencidas. Gráficamente podemos expresarlo como sigue: X
0 1
X
2
X
3
X
4 ...
X
n
Se debe visualizar y entender porqué la gráfica muestra una renta cierta, no diferida, a plazo y vencida. VALOR FUTURO DE UNA RENTA ORDINARIA Ejemplo: Se depositan $10.000 al final de cada mes a una tasa de interés del 2% mensual. ¿Que cantidad se tendrá acumulada al cabo de 4 meses? Desarrollo: 1. Expresemos gráficamente los datos del ejercicio, esto es:
$10.000 $10.000 $10.000 $10.000
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períodos de interés
2. Desarrollemos para cada uno de los depósitos, esto es: y Primer depósito Gana interese por 3 meses. Por lo tanto el monto compuesto de éste, aplicando la formula respectiva es:
M1 = 10.000 ( 1 + 0,02 )3 y Segundo depósito Gana intereses por 2 meses. Por lo tanto el monto compuesto es: M2 = 10.000 ( 1 + 0,02 )2 y Tercer depósito Gana intereses por 1 mes. Por lo tanto el monto compuesto es: M3 = 10.000 ( 1 + 0,02 )1 y Cuarto depósito Gana intereses por 0 meses, es decir no alcanza a ganar intereses. Por lo tanto el monto compuesto es: M4 = 10.000 ( 1 + 0,02 )0 3. Obtengamos el monto total de la renta, para ello debemos sumar compuestos de cada uno de los distintos pagos, esto es: los montos
M = M1 + M2 + M3 + M4 = 10.000 ( 1 + 0,02 )3 + 10.000 ( 1 + 0,02 )2 + 10.000 ( 1 + 0,02 )1 + 10.000 ( 1 + 0,02 )0
4. Expresemos gráficamente el proceso realizado, esto es:
$10.000 $10.000 $10.000 $10.000
2% 0 1
2% 2
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2% 4 periodos de interés
10.000 + 10.000 ( 1 + 0,02 ) + 10.000 ( 1 + 0,02 )2 + 10.000 ( 1 + 0,02 )3 Es decir: M = 10.000 + 10.000 ( 1 + 0,02 ) + 10.000 ( 1 + 0,02 )2 + 10.000 ( 1 + 0,02 )3 Factorizando, tenemos que: M = 10.000 ( 1 + ( 1 + 0,02 ) + ( 1 + 0,02 )2 + ( 1 + 0,02 )3) M = 10.000 (4,121608) = 41.216,08 Por lo tanto la cantidad que tendrá acumulada a los 4 meses es $ 41.216,08 Considerando el ejemplo anteriormente resuelto generalizaremos, esto es: Sea M ó FV= Monto o valor futuro (FV= Future Value) R = Renta o pago periódico i = Tasa de interés por período n = Número de períodos
Luego: (1 + i)n - 1 FV = R -------------i
(*)
Observación: Al factor (1 + i)n - 1 se le denomina FACTOR DE CAPITALIZACION y i se denota comúnmente por S y constituye el monto de una renta vencida de una unidad ni por período, colocada a la tasa de interés ³i´ por período, durante ³n´ períodos.
Ejercicio Nº1 (aplicando fórmula) 1. Identificar los datos R = 10.000 i = 2% = 0,02 n =4 FV = ? 2. Reemplazar los datos en la formula, esto es: (1 + 0,02)4 - 1 FV = 10.000 ------------------- = 10.000 ( 4,121608) = 41.216,08 0,02 El factor (1 + 0,02)4 - 1 de acuerdo a la simbología mencionada es S 0,02 4 monto de una renta de $1 colocado al 2% de interés durante 4 períodos. y representa el
0,02
De la fórmula anterior (*) podemos despejar ³n´ y ³R´, esto es: FV log (----- i + 1) R n = -------------------------log (1 + i)
FV
R = ------------------(1+i)n -1 ----------i
Observación: La variable ³i´ no se puede despejar, mediante el uso de una calculadora financiera.
pero su valor se puede obtener
Ejercicio Nº2 ¿En cuanto tiempo, depósitos de $50.000 anuales se transforman en $305.255 al 10% anual? Desarrollo 1. Identificar los datos R = 50.000 i = 10% = 0,10 FV = 305.255 n =? 2. Reemplazar los datos en la formula, esto es: 305.255 log (---------- x 0,10 + 1) 50.000 n = --------------------------------- = 5 (años) log (1 + 0,10) 3. Por lo tanto, depósitos de $50.000 anuales se transformaran en $305.255 al 10% anual, al cabo de 5 años.
Ejercicio Nº3 ¿Cuanto se debe depositar trimestralmente al 5% trimestral para acumular US$ 6.305 al cabo de 9 meses? Desarrollo 1. Identificar los datos i = 5% = 0,05 trimestral FV = 6.305 n = 3 trimestres
R =?
2. Reemplazar los datos en la formula, esto es: 6.305 R = ----------------------- = 2.000 (1+0,05)3 -1 ---------------0,05 3. Por lo tanto se deben depositar US$ 2.000 trimestralmente al 5% trimestral para acumular US$6.305 al cabo de 9 meses.
VALOR PRESENTE DE UNA RENTA ORDINARIA Ejemplo: Si usted va a percibir US$5.000 al final de cada mes durante 3 meses. ¿Cuánto estaría dispuesto a aceptar hoy a cambio de esos pagos si la tasa de interés a la que usted puede invertir es del 3% mensual? Desarrollo: 1. Expresemos gráficamente los datos del ejercicio, esto es:
US$5.000 US$5.000 US$5.000
0
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2. Desarrollemos para cada uno de los pagos, esto es: y Primer pago. Se actualiza 1 mes, por lo tanto el valor presente, aplicando la fórmula respectiva es: 5000 C1 = -------------(1 + 0,03)1 y Segundo pago. Se actualiza 2 meses. Por tanto el valor presente es: 5000 C2 = -------------(1 + 0,03)2 y Tercer pago. Se actualiza 3 meses. Por tanto el valor presente es: 5000 C3 = -------------(1 + 0,03)3
3. Obtengamos el valor presente total, para ello debemos sumar el valor presente de cada una de las rentas, esto es: 5000 5000 5000 C= C1 + C2 + C3 = -------------- + --------------- + -------------(1 + 0,03)1 (1 + 0,03)2 (1 + 0,03)3
4. Expresemos gráficamente el proceso realizado, esto es:
US$5.000 US$5.000 US$5.000 3% 3% 3% 0 1 2 3
5000 -------------(1 + 0,03) + 5000 -------------(1 + 0,03)2 + 5000 -------------(1 + 0,03)3 Es decir: 5000 5000 5000 C = -------------- + --------------- + -------------(1 + 0,03) (1 + 0,03)2 (1 + 0,03)3 Factorizando, tenemos que: 1 1 1 C = 5.000 ( -------------- + --------------- + -------------- ) (1 + 0,03) (1 + 0,03)2 (1 + 0,03)3 Esto es: C = 5.000 ( (1 + 0,03)-1 + (1 + 0,03)-2 + (1 + 0,03)-3 ) C = 5.000 ( 2,828611354) = 14.143,06 Por lo tanto estaría dispuesto a aceptar hoy una cantidad mayor o igual a US$ 14.143,06
Considerando el ejemplo anteriormente resuelto generalizaremos, esto es: Sea C ó PV = Capital ó Valor Actual ó Valor Presente (PV= Present Value) R = Renta o pago periódico i = Tasa de interés por período n = Número de períodos 1 - (1 + i) -n PV = R -----------------i
(**)
Observación: Al factor 1 - (1 + i) -n se le denomina FACTOR DE ACTUALIZACION y i se le denota comúnmente por A y representa el valor actual de una renta vencida de una ni unidad monetaria por período colocada a la tasa de interés ³i´ por período, durante ³n´ períodos.
Ejercicio Nº4 (aplicando fórmula al ejemplo anterior) 1. Identificar los datos R = 5.000 i = 3% = 0,03 n =3 PV = ? 2. Reemplazar los datos en la fórmula, esto es: 1 - (1 + 0,03) -3 PV = 5.000 -------------------- = 5.000 (2,828611354) = 14.143,06 0,03 El factor 1 - (1 + 0,03) -3 de acuerdo a la simbología mencionada es A y representa el 0,03 3 0,03 valor actual de una renta de $1 colocada al 3% de interés durante 3 períodos.
De la fórmula anterior (**) podemos despejar ³n´ y ³R´, esto es:
PV -log ( 1 - ---- i ) R n = ---------------------------log (1 + i)
PV R = ---------------------1 - (1 + i)-n -------------i
Ejercicio Nº5 La herencia de una persona asciende a US$390.000. Una compañía recibe instrucciones de pagar a los herederos US$25.000 por año. Si el capital se invierte al 5%. ¿Durante cuántos años los herederos recibirán los pagos? Desarrollo 1. Identificar los datos PV = 390.000 R = 25.000 i = 5% = 0,05 n =? 2. Reemplazar los datos en la formula, esto es: 390.000 -log ( 1 - ------------ x 0,05 ) 25.000 n = ----------------------------------------- = 31,03 (años) log (1 + 0,05) 3. Por lo tanto los herederos recibirán los pagos durante 31,03 años.
Ejercicio Nº6
Se depositaron $550.000 al 4% trimestral para percibir una determinada renta trimestral durante 6 años. ¿A cuanto ascienden dichas rentas? Desarrollo 1. Identificar los datos PV = 550.000 i = 4% = 0,04 trimestral n = 6 años =>24 trimestres (6 x 4) R =? 2. Reemplazar los datos en la formula, esto es: 550.000 R = -------------------------- = 36.072,76 1 - (1 + 0,04)-24 --------------------0,04 3. Por lo tanto las rentas ascienden a $36.072,76
EJERCICIOS PROPUESTOS
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Encuentre el valor futuro y valor presente de una renta de US$7.800 mensuales durante 4 años y medio al 18% capitalizable mensualmente. Compruebe que el valor actual capitalizado al término del plazo de la renta, es igual al valor futuro a esta fecha. Hace 5 años, Ripsy está depositando US$1.000 al final de cada trimestre obteniendo un 4% trimestral. ¿Cuánto tiene en la cuenta hoy día si no ha efectuado retiros? ¿Cuanto tiene Ripsy, si hace 5 trimestres suspendió los depósitos? Matín recibe una herencia de su padre. Un banco le ofrece una renta de $45.000 mensuales durante 20 años si deposita la herencia al 12% capitalizable mensualmente. Encuentre el monto de la herencia recibida por Matín. Un vehículo de transporte se vende al crédito bajo las siguientes condiciones: US$5.000 de pié y 15 cuotas mensuales. Si la tasa de interés cargada es de 15% capitalizable mensualmente, determine el valor de cada cuota si el valor contado del vehículo es de US$22.000 Un fundo se vende el las siguientes condiciones: 5.000 UF de pié y 20 cuotas mensuales de 800 UF c/u. Se cobra un interés de 1% mensual. Determine el valor contado del fundo. Se compra un barco cancelando US$ 80.000 de pié y se convienen pagos de US$10.000 cada dos meses durante 10 años. El interés utilizado en los cálculos es del 12% capitalizable bimestralmente. Si después de haberse cancelado la décima cuota se desea liquidar la deuda: a) ¿Cuanto debe cancelarse en el vencimiento de la onceava cuota además del pago regular? b) Si se dejan de pagar las primeras 8 cuotas, ¿Cuanto debe pagar en la novena para ponerse al día?. c) ¿Cuanto cuesta el barco al contado? d) Si se omiten las primeras 8 cuotas y se quiere pagar todo de una vez en la fecha de vencimiento de la novena cuota ¿Cuanto se debe pagar? Para financiar sus estudios universitarios Ud., deposita US$ 8.000 trimestrales durante 3 años antes de ingresar a la universidad. El último deposito lo efectúa al momento de entrar. Estos depósitos ganan un 12% capitalizable trimestralmente. ¿Cuantos retiros trimestrales de US$ 5.000 puede realizar durante los 7 años que duran los estudios, iniciando los retiros al cumplir un trimestre en la universidad? Suponga en el problema anterior que los retiros son mensuales y que en el momento de ingresar a la universidad la tasa de interés baja al 10% capitalizable mensualmente. ¿Cuantos retiros de US$ 5.000 podrá realizar mientras duren sus estudios? Cuando Ud. llegue a disponer de un ahorro ascendente a 2 millones de pesos se iniciará como empresario. De sus ingresos de $200.000 puede ahorrar el 20% e invertirlos al 12% capitalizable mensualmente. Determine el número de depósitos que debe efectuar y el monto del deposito final.
