Subiecte Masi i 2014

CAPITOLUL 1
INTRODUCERE
1.1 Originea şi obiectul metrologiei
Denumirea de metrologie dată ştiinţei de care încercăm să ne ocupăm,
însemnă din punct de vedere etimologic “ştiinţă a măsurărilor considerând faptul că
“metron” însemnă măsură şi “logos” însemnă vorbire în greaca veche.
Originea metrologiei se îndepărtează tot mai mult de momentul prezent dacă
ţinem seama de faptul că procesul de cunoaştere a lumii înconjurătoare are la bază
experimentul, adică evaluarea calitativă şi/sau cantitativă, care este singurul capabil
să dea răspunsuri corecte la întrebările pe care omul şi le-a pus şi încă şi le pune şi,
probabil şi le va pune atât timp cât va exista.
Dacă considerăm că existenţa unei ştiinţe presupune fundamentarea unor
ipoteze de lucru, a unor metode şi mijloace de studiu, atunci putem considera
metrologia ca o ştiinţă datând de aproximativ două sute de ani, de la prima tentativă
de unificare a unităţilor de măsură într-un sistem general pe care o datorăm lui
Talleirand (1799).
Esenţa tehnicii măsurării este aceea de a crea şi dezvolta metode şi mijloace
de măsurare care pot preleva, prelucra şi transmite informaţii cantitative cât mai
aproape de adevăr asupra fenomenelor naturale.
Savantul englez William Thomson, Lord Kelvin (1824-1907) a exprimat
importanţa măsurărilor ca putem referi despre un fenomen numai atunci când îl
putem măsura, iar rezultatul măsurării se poate exprima în cifre. Dacă acest lucru nu
este posibil, atunci cunoaşterea este sumară şi nesatisfăcătoare”. Ìn timp această
idee s-a concentrat în “A măura !neamnă a cunoaşte"
Puternica dezvoltare a tuturor ramurilor ştiinţei şi tehnicii a impus necesitatea
creării unor noi mijloace şi metode de măsurare.
Cu toate că are origini pierdute în evoluţia ştiinţelor, metrologia este o ştiinţă
relativ nouă, o ramură a ştiinţelor fizice, impunându-se tot mai mult ca disciplină de
sine stătătoare, datorită rolului deosebit de important pe care îl are în dezvoltarea
tuturor ştiinţelor fundamentale: fizică, chimie-fizică, matematică aplicată. Paşii înainte
făcuţi de aceste ştiinţe nu pot fi concepuţi fără sisteme şi metode de măsurare noi,
dar tocmai noile cunoştinţe creează premizele apariţiei a noi mijloace, mai
perfecţionate, în tehnica măsurărilor.
Se poate spune deci, că obiectul metrologiei este de a folosi rezultatele
ştiinţelor fundamentale şi aplicative pentru crearea sau dezvoltarea unor metode şi
mijloace de măsurare, de a stabili cât mai precis unităţi de măsură şi etaloane,
5
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
metode de stabilire a exactităţii măsurărilor, care, la rândul lor, să înlesnească noi
descoperiri ştiinţifice.
#etrologia este deci, “$omeniul $e cunoştin%e &ri'in$ măurările” (STAS
10093/1-86). Ea cuprinde toate aspectele teoretice şi practice referitoare la măsurări,
oricare ar fi precizia acestora, din orice domeniu al ştiinţei şi tehnologiei, sau din alte
domenii de activitate, şi se ocupă, în principal, de : unităţi şi sisteme de unităţi de
măsură, metode de măsurare, metode de determinare a preciziei măsurărilor, bazele
asigurării uniformităţii, preciziei şi legalităţii măsurărilor.
Din aceasta, metrologia generală este “partea metrologiei care are ca
obiect aspectele comune tuturor domeniilor acesteia, independent de mărimile care
se măsoară” şi deci se ocupă de structura sistemelor de unităţi de măsură,
conversiunea unităţilor de măsură între sisteme, teoria erorilor de măsurare,
caracteristicile metrologice ale mijloacelor de măsurat din punct de vedere al
destinaţiei acestora, metode de măsurare, asigurare metrologică, informaţia de
măsurare, prelucrarea şi interpretarea rezultatelor măsurării, teoria generală a
fiabilităţii metrologice etc.
Teoria măurărilor sau metrologia teoretică reprezintă ”partea metrologiei
care are ca obiect aspectele teoretice generale privind măsurările”.
#etrologia a&licată este “partea metrologiei care are ca obiect aspectele
teoretice şi practice privind măsurările unei anumite mărimi sau cele dintr-un anumit
domeniu de activitate”, iar te(nica măurărilor reprezintă “partea metrologiei care
are ca obiect aspectele practice ale măsurării unei anumite mărimi sau a unei
anumite grupe de mărimi”.
Ìn domeniul vast al metrologiei, se distinge un alt aspect al său, deosebit de
important, şi anume metrologia legală care este “partea metrologiei care are ca
obiect ansamblul prescripţiilor tehnice şi juridice privind reproducerea, conservarea şi
transmiterea unităţilor de măsură, în vederea asigurării uniformităţii, preciziei şi
legalităţii măsurărilor”.
Datorită acestui fapt, a fost înfiinţat, în anul 1956¸ un for internaţional ÷
ORGANÌZA|ÌA ÌNTERNA|ÌONALÄ DE METROLOGÌE LEGALÄ ÷ care se ocupă cu
aspectele juridice ce le incumbă activitatea metrologică şi din care România face
parte ca membru fondator.
Problemele ştiinţifice ale metrologiei sunt rezolvate de un alt organism
internaţional CONFERÌN|A ÌNTERNA|ÌONALÄ DE MÄSURÌ SÌ GREUTÄ|Ì, care se
întruneşte ori de câte ori este nevoie, iar organismul executiv care pune în practică
hotărârile conferinţelor şi rezolvă problemele curente este Biroul Ìnternaţional de
măsuri şi greutăţi care funcţionează, din anul 1975, conform Convenţiei Metrului, la
Sèvres (Franţa).
6
CAPITOLUL )
NO*IUNI +UNDA#ENTALE
SUBIECTUL 1
).1. No%iuni metrologice
Raţionamentele ştiinţifice efectuate în cadrul unui experiment în fizică
se fundamentează pe o serie de noţiuni abstracte de specii diferite (geometrice,
mecanice, calorice etc.) denumite entită%i. Fiecare entitate este caracterizată prin
categoriile de calitate şi cantitate.
Calitatea reprezintă determinarea obiectelor şi fenomenelor prin stabilirea
trăsăturilor şi laturilor lor esenţiale şi stabile care le fac şa fie obiectele şi fenomenele
respective, ea determină unitatea lucrului. Calitatea unei entităţi nu poate exista în
afara aspectului său cantitativ.
Cantitatea caracterizează obiectele şi fenomenele prin gradul de dezvoltare
a însuşirilor lor. Cantitatea este legată de calitate; schimbarea uneia provoacă
modificarea celeilalte. Ìnterdependenţa dintre ele se exprimă prin noţiunea de
măsură care este graniţa existenţei obiectului indicând limita până la care
modificările cantitative nu duc la modificări calitative.
Pro&rietatea unui obiect sau fenomen reprezintă expresia exterioară a
calităţii în relaţia dintre el şi alte obiecte.
Fiecare entitate are numeroase proprietăţi independente: mărime,
sens, natură scalară sau vectorială, culoare, miros etc.
Din puncte de vedere metrologic prezintă interes numai mărimea entităţii. Din
această cauză, în locul cuvântului entitate se foloseşte, în mod curent, cuvântul
mărime, considerat ca o proprietate a entităţii. Această substituire nu constituie o
eroare atâta timp cât nu se urmăreşte stabilirea naturii entităţii. Pentru simplificarea
exprimării se acceptă această înlocuire fără să se piardă, însă, din vedere că este
vorba de mărimea entităţii, adică mărimea lungimii, mărimea forţei etc. şi nu de
lungime, forţa etc.
B
A
n ·
. (2.1.)
Pentru realizarea comparării este necesară cunoaşterea aparatelor utilizate
cât şi a operaţiilor efectuate, iar raportul “n” să fie independent de natura mărimilor.
Ìntr-un ansamblu de mărimi n 1 0
A A A , ,
,

se pot compara între ele cel puţin
două câte două; se spune că acestea sunt diverse cantităţi ale unei mărimi date.
Astfel, distanţa dintre două puncte, înălţimea unui reper faţă de sol, lungimea unui
curs de apă sunt cantităţi ale mărimii lungime. Deci, se poate ajunge la mărimi când
7
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
se iau în considerare cantităţile, fapt ce corespunde procesului natural de trecere de
la concret cantitate) la abstract (mărime).
).). #ărimi şi unită%i $e măură
2.2.1. MÄRÌMÌ. CLASÌFÌCAREA MÄRÌMÌLOR
Având în vedere faptul că mărimea entităţii este o proprietate a sa,
putem avea în vedere sub această denumire atât calitatea cât şi cantitatea entităţii.
Ìn general, se foloseşte cu sensul de cantitate şi, în consecinţă, mărimea este ceea
ce are proprietatea esenţială de a aria, de a creşte sau descreşte, de a !i ealuat
cantitati, adică de a !i e"primată numeric#
Dintre toate mărimile posibile ne interesează numai acelea ce pot fi
exprimate printr-o formulă algebrică, adică numai mărimile fizice care sunt elemente
caracteristice ale unor stări fizice şi care pot fi evaluate prin comparare, măsurare
sau reperare şi exprimate numeric.
După compunerea lor, mărimile se pot clasifica în :
a) mărimi e,teni'e
1
care au proprietatea de a putea fi ordonate şi sumate.
E-E#PLU: masa
$ 1
m m m + · poate fi obţinută prin sumarea maselor
1
m şi
$
m ,
care dacă nu sunt egale, pot fi ordonate în funcţie de valoarea lor.
b) mărimi inteni'e* ce sunt definite prin proprietăţi de ordonare, dar nu şi
de sumare.
E-E#PLU. temperaturile
1
% şi
$
% a două medii distincte pot fi ordonate după
valoarea lor, dar nu pot fi sumate.
Mărimile fizice, prin caracterul lor de a putea fi evaluate cantitativ reprezintă
un element de bază al metrologiei. Distingem :
− mărimi /un$amentale, adică mărimi independente sau distincte
convenţional alese, cu ajutorul cărora pot fi definite alte mărimi. Condiţia
care li se impune este de a da posibilitatea ca unităţile de măsură care li
se atribuie să poată fi determinate cu cea mai mare exactitate, uşor
reproduse, transmise şi păstrate. Numărul lor nu este limitat.
− mărimi $eri'ate, adică mărimile definite cu ajutorul mărimilor
fundamentale. Definirea lor se face prin relaţii de definiţie.
Exemplu :
timp
spatiu
ite&a ·
.
Din punct de vedere al expresiei matematice, mărimile se pot clasifica după
cum urmează:
1
Mărimile puterii şi energiei sunt produsele unei mărimi intensive şi a uneia extensive (ex. Lucru mecanic =
forţă ⋅ deplasare putere electrică = tensiune ⋅ intensitate forţa şi tensiunea fiind mărimi intensive iar deplasarea
şi intensitatea mărimi extensive!
"
Capitolul 0. Măsurarea
− mărime calară dacă este determinată numai prin valoarea ei numerică
şi prin unitatea de măsură în care se exprimă această valoare;
− mărime 'ectorială dacă este descrisă prin valoarea ei numerică, un
suport orientat şi unitatea de măsură în care se exprimă această valoare;
− mărime tenorială dacă este exprimată prin tablouri de valori scalare
stabilite într-un anumit spaţiu geometric ce se modifică cu schimbarea
bazei de referinţă.
Ìn realitate, nici o mărime nu este constantă în timp. Ìn metrologie, se
consideră că o mărime este constantă dacă variaţiile ei într-un interval de timp de
măsurare %
m
sunt suficient de mici, de regulă, mult mai mici decât incertitudinea de
măsurare. Timpul %
m
, de măsurare poate să varieze de la ordinul secundelor la
ordinul orelor, în funcţie de complexitatea experimentului, el fiind specific fiecărei
aplicaţii.
Mărimile variabile pot să fie de două feluri (vezi schema de mai jos):
staţionare (de regim permanent) sau nestaţionare.
M ă r i m e
c o n s t a n t ă
v a r i a b i l ă
s t a ţ i o n a r ă
n e s t a ţ i o n a r ă
p e r i o d i c ă
n e p e r i o d i c ă
s i n u s o i d a l ă
n e s i n u s o i d a l ă
Mărimile staţionare au un parametru caracteristic (valoare efectivă, valoare
medie, valoare de vârf) constant. Ìn cazul lor se poate măsura : o anumită valoare
instantanee; ansamblul valorilor instantanee dintr-un interval de timp sau unul din
parametrii caracteristici enumeraţi mai sus. Pentru mărimile nestaţionare pot fi
măsurate : o anumită valoare instantanee sau un şir de valori instantanee discrete la
momente diferite t
1
, t
$
, ' ,t
i
, ', valoarea medie pe un interval de timp t
$
-t
1
sau
ansamblul valorilor instantanee pentru un interval dat. Dintre acestea, valoarea
medie pe un interval de timp t
$
-t
1
(numit timp de mediere) are o importanţă deosebită
atunci când variaţia în timp a măsurandului constituie o perturbaţie. Ansamblul
valorilor instantanee discrete sau continui se măsoară prin vizualizarea sau
înregistrarea evoluţiei măsurandului.
SUBIECTUL 2
#
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
2.2.2. DÌMENSÌUNÌLE MÄRÌMÌLOR
Dimeniunile mărimilor sunt reprezentate de expresia în care respectivele
mărimi derivate sunt exprimate ca produse ale puterilor mărimilor fundamentale ale
sistemului din care fac parte, coeficienţii numerici fiind unitari.
Pentru mărimile fundamentale există dimensiuni fundamentale ce se exprimă
prin simbolurile mărimilor scrise cu majuscule. ("ponenţii puterilor la care sunt
ridicate dimensiunile !undamentale )n ecuaţiile de dimensiuni se numesc e,&onen%i
$imenionali.
Orice mărime A va avea o dimensiune de forma
λ η γ ε δ β α
θ * + I % , - A ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ · . dim (2.2)
unde : -, ,, %, I, ., +, * sunt dimensiunile mărimilor fundamentale şi /, 0, 1, 2, 3, 4, 5
sunt exponenţii lor dimensionali, utilizaţi în S.Ì.
E-E#PLU . ecuaţia de definiţie a vitezei medii arătate mai sus, este ⋅ ·
t
s

Deoarece atât spaţiul cât şi timpul sunt mărimi fundamentale, atunci pentru viteză
se obţine ecuaţia de dimensiuni :
1
% -
−
⋅ · . dim .
Dacă în ecuaţia de definiţie intervine un coeficient numeric numit coeficient
de coerenţă, atunci în ecuaţia de dimensiuni se înlocuieşte cu unitatea iar
dimensiunile mărimilor fundamentale care au coeficienţi dimensionali nuli se ignoră.
E-E#PLU . Ecuaţia de definiţie a energiei cinetice este
$
c
m
$
1
( · , iar ecuaţia
de dimensiuni, prin prisma celor afirmate mai sus, va fi :
$ $
c
% , - (
−
⋅ ⋅ · . dim .
Dimensiunile caracterizează incomplet specia căreia aparţine mărimea
respectivă şi nu reprezintă proprietatea distinctă a acesteia, deoarece există mărimi
fizice aparţinând unor specii diferite care, exprimate prin aceleaşi mărimi
fundamentale, au aceleaşi dimensiuni.
E-E#PLU. S-a arătat mai sus că dimensiunea energiei cinetice este
$ $
c
% , - (
−
⋅ ⋅ · . dim .
Ecuaţia de definiţie a momentului static este
6
7
8 8 d 9 ρ ρ ⋅ · ⋅ ·
∫
) (
şi, implicit,
dimensiunea :
$ $
% , - 9
−
⋅ ⋅ · . dim .
Ìn consecinţă, nu se poate stabili unitatea de măsură a mărimii derivate
cunoscând numai dimensiunea ei şi unităţile de măsură ale mărimilor fundamentale,
deoarece din dimensiune nu reiese coeficientul de coerenţă. Pentru ca determinarea
să fie unică este necesară şi ecuaţia de definiţie care conţine acest coeficient.
Ecuaţiile de dimensiuni pot, de asemenea, servi la verificarea omogenităţii
ecuaţiilor de definiţie.
1$
Capitolul 0. Măsurarea
SUBIECTUL 3
).0. Unită%i $e măură
Problemele impuse de dezvoltarea continuă a ştiinţei şi a aplicaţiilor ei
practice, au dus la necesitatea unor unităţi de măsură bine stabilite, precise, care să
asigure crearea unui sistem capabil să exprime unitar rezultatele măsurărilor.
Pentru fiecare specie de mărimi s-a adoptat o unitate $e măură ÷ o
cantitate din aceeaşi specie adoptată convenţional ca unitate cu care să se poată
compara toate mărimile speciei, astfel încât să fie uşor definită, reprodusă, păstrată
şi transmisă cu precizie.
Dat fiind numărul foarte mare de specii de mărimi, în concordanţă cu
mărimile fundamentale şi derivate s-au adoptat unită%i $e măură /un$amentale şi
unită%i $e măură $eri'ate.
Unităţile de măsură derivate se stabilesc cu ajutorul ecuaţiilor de definiţie
formând ecuaţiile de dimensiuni prin înlocuirea directă a mărimilor fundamentale cu
unităţile lor.
Multiplii şi submultiplii unităţilor de măsură se formează cu ajutorul prefixelor
standardizate, prezentate în tabelul 2.1.
Tabelul 2.1. Lista prefixelor standardizate pentru multiplii şi submultiplii unităţilor de măsură.
Denumirea
&re/i,ului
1imbol +actorii care !nmul%ec unită%ile $e re/erin%ă
atto a 10
-18
0,000 000 000 000 000 001
fempto f 10
-15
0,000 000 000 000 001
pico p 10
-12
0,000 000 000 001
nano n 10
-9
0,000 000 001
micro µ 10
-6
0,000 001
mili m 10
-3
0,001
centi c 10
-2
0,01
deci d 10
-1
0,1
deca da 10
1
10
hecto ha 10
2
100
kilo k 10
3
1 000
mega M 10
6
100 000
giga G 10
9
100 000 000
tera T 10
12
100 000 000 000
peta P 10
15
100 000 000 000 000
exa E 10
18
100 000 000 000 000 000
Ìn afară de multiplii şi submultiplii formaţi cu prefixele arătate în tabel, se mai
construiesc şi alţii, cu caracter practic, pentru anumite domenii, ca de exemplu :
− angström 1 Å = 10
-10
m;
− tonă 1 t = 10
3
kg;
11
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
− tonă forţă 1 tf = 9,81·10
3
N;
− stenă 1 sn = 1 kN;
− unitate astronomică 1 UA = 1,496·10
11
m;
− an lumină 1 a.l. = 9,4605·10
15
m.
Unităţile de măsură ale mărimilor derivate care se formează fără intervenţia
vreunui coeficient numeric (coe/icient $e coeren%ă egal cu 1) se numesc coerente
2
.
E-E#PLU. 1 N = 1 kg·m·s
-2
; 1 W = 1 N·m·s
-1
= 1 kg·m
2
·s
-3
.
Există şi unităţi de măsură cu coeficient de coerenţă diferit de 1 care pot fi
găsite în alte sisteme decât S.Ì., numite unită%i necoerente.
E-E#PLU.1 mm Hg = 133,3 N/m
2
; 1 CP = 736 W ; 1 kgf = 9,8065 N.
).2. 1iteme $e unită%i $e măură. 1itemul interna%ional 31I4
2.4.1. SÌSTEME DE UNÌTÄ|Ì DE MÄSURÄ
Dezvoltarea rapidă a ştiinţei şi tehnologiei a pus problema definii şi
măsurării cât mai precise a noi şi noi mărimi. S-au adoptat şi s-au materializat noi
unităţi de măsură, a crescut precizia de reproduce, conservare şi transmitere a
unităţilor de măsură.
Datorită numărului mare de specii de mărimi fizice, s-a recurs la o categorie
de unităţi de măsură fundamentale cu ajutorul cărora s-au putut apoi determina
unităţile de măsură derivate. Ìn acest mod, s-a ajuns la sisteme de mărimi şi apoi la
iteme $e unită%i $e măură, care sunt ansamblul tuturor unităţilor !undamentale
şi a unităţilor deriate caracteristice unui sistem de mărimi#
Un sistem de mărimi este coerent dacă toate unităţile de măsură
corespunzătoare mărimilor derivate sunt coerente.
Este evident că dacă sistemul de mărimi este coerent, atunci şi sistemul de
unităţi de măsură este coerent.
SUBIECTUL 4
2.4.2. SÌSTEMUL ÌNTERNA|ÌONAL DE UNÌTÄ|Ì DE MÄSURÄ (SÌ)
%
&oerent = care se compune din elemente str'ns legate (şi armoni(ate! )ntre ele* )nc+egat (,icţionarul explicativ
al Lim-ii rom'ne .cademia /om'nă 0ucureşti 1##6!
1%
Capitolul 0. Măsurarea
Pe măsură ce ştiinţa şi tehnica au progresat, deci au avut nevoie de diverse
posibilităţi de măsurare, s-au creat sisteme de unităţi specifice problemelor ce le
serveau. S-au creat sisteme ca MKFS, CGS, MKSA etc. Existenţa a numeroase
astfel de sisteme de unităţi de măsură, la care pot fi adăugate alte unităţi specializate
existente în uz şi care nu erau încă incluse în sisteme, a condus în primele decenii
ale secolului al XX-lea la o situaţie confuză şi complicată în acest domeniu. Se
impunea tot mai mult crearea unui sistem de unităţi care să fie practic, coerent şi
general, cu unităţi care să poată să fie reproduse şi conservate cu precizie, care să
acopere toate domeniile fizicii şi să fie în concordanţă cu cunoştinţele ştiinţifice la zi.
La cererea celei de a ÌX-a CGMC (Conferinţa generală de măsuri şi greutăţi)
din 1948, s-a întreprins o anchetă în mediile ştiinţifice, tehnice şi pedagogice din
ţările participante la Convenţia metrului referitoare la crearea unui nou sistem de
unităţi de măsură susceptibil de a fi utilizat cu caracter general. Ìn consecinţă, XÌ-a
CGMG, din anul 1960, a adoptat noul sistem propus cu simbolizarea 1I 31itemul
interna%ional4. Sistemul SÌ conţine unităţi fundamentale, unităţi derivate fără
dimensiuni şi unităţi derivate. Unităţile derivate fără dimensiuni pot fi folosite atât ca
unităţi fundamentale cât şi ca unităţi derivate, dar în ambele cazuri servesc la
determinarea unor unităţi derivate.
Ìn anul 1961, prin HCM 550/30, sistemul SÌ a devenit legal şi obligatoriu în
România. Ìn timp (de la a XÌ-a 1967 la a XVÌÌ-a 1983 CGMG), s-au adus unele
perfecţionări sistemului iniţial adoptat, fără a-Ì schimba însă fondul ci doar în scopul
de a-l face mai sistematic. SÌ are la bază şapte mărimi fundamentale, după cum este
prezentat în tabelul 2.2.
Tabelul 2.2 Lista mărimilor fundamentale şi a unităţilor de măsura corespunzătoare în S.Ì.
Nr.
crt.
#ărimea /un$amentală 1imbol
mărime
Unitatea /un$amentală
Denumire Simbol
1. Lungime L, l metru m
2. Masă M, m kilogram kg
3. Timp T, t Secundă s
4. Ìntensitatea curentului electric Ì, i amper A
5. Temperatura termodinamică T, 0 kelvin K
6. Ìntensitatea luminoasă J, j candelă cd
7. Cantitate de substanţă N, n mol mol
Tabelul 2.3. Lista mărimilor derivate fără dimensiuni şi a unităţilor lor de măsură.
11
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
Nr.
crt.
#ărimea /un$amentală 1imbol mărime
Denumire Simbol
1. Unghi plan radian rad
2. Unghi solid steradian sr
Mărimile derivate fără dimensiuni (prezentate în tabelul 2.3), s-au numit până
la recomandarea CÌMG (Comitetul Ìnternaţional de Măsuri şi Greutăţi) din 1980
mărimi suplimentare.
Unităţile mărimilor fundamentale ale sistemului SÌ au suferit diverse
modificări în timp, în concordanţă cu evoluţia cunoştinţelor referitoare la acestea.
Unitatea $e măură /un$amentală &entru lungime !n 1I5 metrul a avut o
primă definiţie ca 10
-7
din sfertul lungimii meridianului terestru (1799 Taleyrand),
definiţie ce s-a dovedit insuficient de precisă. S-a apelat apoi la un metru etalon
confecţionat dintr-un aliaj de platină şi iridiu păstrat la 0
o
C.
Definiţia care s-a dat metrului în anul 1960, a fost adoptată de SÌ ca fiind
“lungimea egală cu 1650763,73 lungimi de undă în vid ale radiaţiei care corespunde
tranziţiei atomului de Kr 86 între nivelele 2p
10
şi 2d
5
“. Etalonul astfel definit este
reproductibil cu o precizie de 2·10
-8
. Ìn această formă a fost legiferată definiţia
metrului în ţara noastră până în 1984.
La a XVÌÌ-a CGMG 1983 s-a dezbătut şi aprobat în CGMG o nouă definiţie a
metrului ca fiind “lungimea drumului parcurs de lumină în timpul de
1/299792458s.
Actuala definiţie a metrului nu le contrazice pe cele precedente, dar asigură o
reproductibilitate mai bună a etaloanelor corespunzătoare.
O data cu această definiţie, se adoptă pentru viteza luminii în vid o valoare
convenţională, considerată exactă.
Unitatea de măsură fundamentală pentru masă în SÌ, :ilogramul a fost
adoptat tot în 1799 ca fiind “masa unui decimetru cub de apă la temperatura de ;
o
C,
la presiunea de <=0 mm >g” şi în anul 1901 s-a construit un etalon din aliaj de
platină şi iridiu, de forma unui cilindru cu diametrul egal cu înălţimea de 38 mm, care
se păstrează la Biroul Ìnternaţional de Măsuri şi Greutăţi la Sévres în Franţa, în
condiţiile stabilite de prima conferinţă internaţională de Măsuri şi Greutăţi în 1889.
Unitatea $e măură /un$amentală !n 1I &entru tim&5 secunda a suferit
modificări fundamentale , având evoluţii deosebite datorită creşterii exactităţii de
măsurare a timpului. Ìn prezent se defineşte ca fiind “9 162 61 77! peri"ade ale
radia#iei care c"respunde tran$i#iei între cele d"uă ni%ele &iper'ine ale stării
'undamentale a at"mului de(s 1”.
12
Capitolul 0. Măsurarea
Definiţiile anterioare ale secundei, bazate pe fenomene astronomice
(fracţiunea 1/86400 din ziua solară medie, apoi o altă definiţie bazată pe anul tropic)
nu ofereau o precizie suficient de mare din cauza neregularităţilor mişcării
Pământului. Prin reglementări internaţionale se asigură în permanenţă un decalaj
minim între “timpul atomic” şi “timpul astronomic”.
Unitatea de măsură fundamentală în SÌ pentru intensitatea curentului electric,
amperul s-a adoptat în anul 1960 şi se păstrează şi astăzi în aceeaşi formă:
“intensitatea unui curent electric constant, care menţinut )ntre două conductoare
paralele, rectilinii, de lungime in!inită şi de secţiune circulară negli?abilă, aşe&ate )n
id la distanţa de 1 m unul de altul, ar produce )ntre aceste două conductoare o !orţă
egală cu $@10
-<
* pe metru de lungime”.
Definiţia amperului este echivalentă cu stabilirea unei valori convenţionale de
4¬·10
-7
H/m, a permeabilităţii vidului, µ
0
, ceea ce dovedeşte că el este legat de
unităţile mecanice : metru, kilogram şi secundă.
Unitatea de măsură fundamentală în SÌ pentru temperatura termodinamică,
kelvinul se defineşte ca “unitatea de temperatură termodinamică egală cu fracţiunea
1/273,16 din temperatura punctului triplu al apei”.
Temperatura termodinamică, se exprimă în kelvini (simbolul T) sau poate fi
temperatura Celsius (simbol t)exprimată în grade Celsius (simbol °C)) şi definită prin
relaţia
0
% % t − ·
, unde
K 273,15 ·
0
%
, prin definiţie. Ìntervalul sau diferenţa de
temperatură poate fi exprimat prin ambele unităţi de măsură.
Unitatea de măsură fundamentală în SÌ pentru intensitatea luminoasă,
candela are o definiţie relativ nouă, adoptată în 1979 ca fiind “intensitatea luminoasă,
)ntr-o direcţie dată, a unei surse care emite o radiaţie monocromatică de !recenţă
A;0@10
1$
>& şi a cărei intensitate energetică )n această direcţie este de 1B=CD EBsr”,
definiţie adoptată datorită faptului că poate fi reprodusă în condiţii de precizie mult
mai bune decât etalonul anterior.
Definiţia a fost adoptată în 1979, ea se bazează pe măsurarea fluxului
energetic al radiaţiilor optice, prin mijloace radiometrice şi ea o înlocuieşte pe cea
precedentă, bazată pe radiatorul lui Planck (corpul negru) şi pe mijloace fotometrice.
Unitatea de măsură fundamentală în SÌ pentru cantitatea de substanţă, molul
a fost definită în anul 1971 ca fiind “cantitatea de substanţă a unui sistem care
conţine atâtea entităţi elementare câţi atomi există în 0,012 kg de C 12”.
Atunci când se utilizează molul astfel definit, entităţile elementare trebuie
specificate, ele putând fi atomi, molecule, ioni, electroni, alte particule sau grupuri de
particule.
15
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
Această definiţie, adoptată în 1971 a unificat exprimarea cantităţilor de
diferite elemente sau compuşi, eliminând anumite divergenţe existente.
Unită%ile $eri'ate /ără $imeniuni ale 1I sunt, aşa cum s-a arătat în
Tabelul 2.3, radianul şi steradianul.
Unitatea de măsură derivată fără dimensiuni în SÌ pentru unghiul plan,
radianul a fost adoptat în SÌ din necesitatea stabilirii unor unităţi coerente pentru
viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară şi este “ung&iul cuprins între d"uă ra$e
care interceptea$ă pe lungimea cercului un arc de lungime egală cu ra$a
cercului”.
Datorită unor dificultăţi de divizare a unghiului plan complet într-un număr
raţional de radiani, în practică se mai folosesc şi alte unităţi pentru unghiuri : gradele
sexazecimale, centesimale etc.
Unitatea de măsură derivată fără dimensiuni în SÌ pentru unghiul solid,
steradianul a fost stabilită ca fiind “unghiul solid care având vârful în centrul unei
sfere decupează pe aceasta o arie egală cu pătratul razei”.
Unită%ile $eri'ate ale 1I se definesc prin relaţii de definiţie în care se
înlocuiesc unităţile de măsură fundamentale şi suplimentare. Unele dintre ele au
primit o denumire şi un simbol, având unităţi de măsură cu denumire de sine
stătătoare şi care pot folosi la definirea unor alte unităţi derivate.
Unităţile de măsură derivate pot fi clasificate în mai multe categorii după
modul de exprimare :
− exprimate în funcţie de unităţile fundamentale : arie, volum, densitate etc.;
− cu denumiri speciale : forţă, rezistenţă electrică, inductanţă etc.;
− exprimate cu ajutorul unităţilor cu denumiri speciale: energie, permitivitate etc.;
− exprimate cu ajutorul unităţilor suplimentare : viteză şi acceleraţie unghiulară etc.
2.4.3. COMPARAREA SÌ CU ALTE SÌSTEME
Aşa cu s-a mai arătat, SÌ s-a dezvoltata având alte sisteme cu arii de aplicare
mai restrânse. Vom prezenta mai jos o încercare de comparaţie între unele sisteme
şi SÌ (Tabelul 2.4) fără ca acesta să fie exhaustivă.
Dacă primele sisteme de mărimi (CGS, MTS, MKS) au avut la bază câte trei
mărimi fundamentale (lungime. masă, timp), cele care le-au urmat s-au îmbogăţit cu
mărimi fundamentale ca: forţa (MKfS), permitivitatea vidului (CGS es şi CGS em),
temperatura termodinamică, sau intensitatea luminoasă (CGS Grd şi MKS Grd)
1
)

N

(
n
e
w
t
o
n
)

e
s
t
e

u
n
i
t
a
t
e
a

d
e

m
2
)

F
r

(
f
r
a
n
k
l
i
n
)

e
s
t
e

u
n
i
t
a
t
e
a

d
e

m
ă
s
u
r
a

n
e
r
a
ţ
i
o
n
a
l
i
z
a
t
ă

p
e
n
t
r
u

f
l
u
x

e
l
e
c
t
r
i
c

i
n

s
i
s
t
e
m
u
l

C
G
S
P
e
r
m
e
a
b
i
l
i
-
t
a
t
e
a

v
i
d
u
l
u
i
P
e
r
m
i
t
i
v
i
t
a
-
t
e
a

v
i
d
u
l
u
i
F
o
r
t
a
C
a
n
t
i
t
a
t
e

d
e

m
a
t
e
r
i
e
Ì
n
t
e
n
s
i
t
a
t
e

l
u
m
i
n
o
a
s
a
T
e
m
p
e
r
a
t
u
-
r
a

t
e
r
m
o
d
i
-
n
a
m
i
c
a
Ì
n
t
e
n
s
i
t
a
t
e

d
e

c
u
r
e
n
t
T
i
m
p
M
a
s
a
L
u
n
g
i
m
e
D
e
n
u
m
i
r
e
1
i

t
e
m
e

$
e

u
n
i
t
ă
%
i

$
e

m
ă

u
r
a
16
Capitolul 0. Măsurarea
3
)

(
e
r
g
)

e
s
t
e

u
n
i
t
a
t
e
a

d
e

m
ă
s
u
r
a

p
e
n
t
r
u

c
a
n
t
i
t
a
t
e
a

d
e

c
ă
l
d
u
r
ă

i
n

s
i
s
t
e
m
u
l

C
G
S
ε
0
;

1

e
r
g

=

1
0
-
7

J
µ
0
ε
0
FnJT
Ìt
m
l
1
i
m
b
o
l
µ
0
ε
0
FN
J
θ
Ì
T
M
L
D
i
m
e
n
6

i
u
n
e
---
m
o
l
C
d
KAs
k
g
m1
I
U
n
i
t
a
t
e

$
e

m
a

u
r
a

i
n


i

t
e
m
u
l

7
-------sg
c
m
C
8
1
-------s
t
m
#
T
1
-------s
k
g
m
#
9
1
--
k
g
f
----s-
m
#
9
/
1
-
1
-----sg
c
m
C
8
1
e

--
F
r
2
)
⋅
e
r
g
3
)
----sg
c
m
C
8
1
ε
:
1
------sg
c
m
C
8
1
e
m
u
.
n
.

C
G
S
µ
------sg
c
m
C
8
1
µ
:
------
As
k
g
m
#
9
1
A
-----
K

s
a
u

O
C-sg
c
m
C
8
1
8
r
$
-----
K

s
a
u
O
C-s
k
g
m
#
9
1
8
r
$
----
c
d
--sg
c
m
C
8
1
C
$
----
c
d
--s
k
g
m
#
9
1
C
$
1

u
.
n
.

C
G
S
µ
0

=

7
,
9
5
7
7
4
⋅
1
0
-
2

F
/
m
1

F
r
/
e
r
g
⋅
c
m

=

8
,
8
5
4
8
7
8
⋅
1
0
1
2

F
/
m
1

k
g
f

=

9
,
8
0
6
6
5

N
1
)
-----
1

k
g
=
1
0
0
0

g
1

t
=
1
0
0
0

k
g
1

m
=
1
0
0

c
m
R
e
l
a
%
i
i

$
e

l
e
g
ă
t
u
r
ă
(CGSCd şi MKSCd), ajungând, în momentul de faţă, la SÌ cu şapte mărimi
fundamentale (lungime, masă, timp, intensitate de curent, temperatură
termodinamică, intensitate luminoasă, cantitate de materie) considerat ca fiind
suficient pentru exprimarea oricărei mărimi derivate.
17
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
Ìn afara acestora se mai utilizează sisteme de unităţi britanice şi americane
denumite anglo ÷ saxone, la care pentru mărimile fundamentale s-au adoptat
unităţile de măsură din tabelul 2.5.
Tabelul ).; Unităţi de măsură anglo ÷ saxone.
#ărimea
/un$amentală
Abolute 1<tem o/
Unitie
A1U
8eneral 1<tem o/
Unitie
81U
Rela%ia cu unitatea
core&un=ătoare
$in 1I
Denumire Simbol Denumire Simbol
Lungime foot Ft foot ft 1 ft = 0,3048 m
Masă pound lb - - 1 lb=0,45359237
kg
Timp second s second s 1 s = 1 s
Forţa - - pound force lbf bf = 4,44822 N
Comparând sistemul internaţional de unităţi de măsură cu celelalte sisteme
care l-au precedat, sau care coexistă cu el se observă calităţile sale care l-au impus
în marea majoritate a statelor lumii. Pe scurt, el este:
− General ÷ este aplicabil în toate domeniile ştiinţei şi tehnicii;
− Coerent ÷ unităţile de măsură derivate nu conţin factori de
proporţionalitate diferiţi de unitate;
− Practic ÷ valorile măsurate nu sunt nici prea mici, nici prea mari, având
ordinul de mărime comparabil cu valorile uzuale din activitatea umană;
− Simplu ÷ se exprimă clar, fără confuzii prin ecuaţii între unităţile de
măsură;
− Separă în mod clar unităţile de masă şi forţă;
− Învăţarea lui nu necesită cunoaşterea unor sisteme anterioare.
Ìn cadrul acţiunii de trecere de la un sistem anterior la S.Ì. se impune
reetalonarea, recalibrarea, reverificarea, respectiv regradarea tuturor mijloacelor de
măsură. Această trecere nu constituie o problemă în etalonarea documentaţiilor,
manualelor, la marcarea aparatelor nou construite, dar transformarea tuturor
mijloacelor de măsurare în uz presupune o acţiune de durată şi costisitoare.
2.4.4. REGULÌ DE SCRÌERE SÌ CÌTÌRE A UNÌTÄ|ÌLOR SÌ
A. Reguli pentru denumiri :
− denumirile se scriu cu litere mici ;
− denumirile unităţilor derivate care au forma unui raport (sau produs) de unităţi se
scriu : metru pe secundă ÷ m/s; (newton ori metru ÷ N/m);
− pluralul se formează după regulile gramaticale.
B. Reguli pentru simboluri :
1"
Capitolul 0. Măsurarea
− prima literă se scrie cu majuscule când derivă din nume proprii : A (amper); Pa
(pascal), iar celelalte cu litere mici;
− nu se pune punct după simbol decât dacă termină o frază ;
− intre o valoare numerică a mărimii şi simbolul unităţii se lasă liber un spaţiu de o
literă: 4 A; 5 m ;
− simbolurile unităţilor de măsură a căror expresii au forma unui produs se pot scrie
cu punct sau fără punct între ele, dar neapărat se va utiliza punctul când simbolul
prefixului de multiplu sau submultiplu coincide cu simbolul unei unităţi de măsură :
Nm sau N·m pentru newton ori metru, dar obligatoriu mN ·m pentru milinewton ori
metru.
− Pentru simbolurile unităţilor de măsură derivate a căror formă este un raport se va
scrie în următorul mod : m·s
-1
sau m/s sau
s
m
pentru metru pe secundă si m·K·W
-1
sau m·K/W sau
W
mK
pentru metru ori kelvin pe watt,
iar pentru cazul în care la numitor există mai multe unităţi :
J·kg
-1
·K
-1
sau
K kg
J
⋅
sau J/(kg·K) pentru joule pe kilogram ori kelvin;
− la plural, simbolurile rămân invariabile : 1,5 rad; 158 m/s; 140 W; 400 mV;
− formarea multiplilor sau multiplilor zecimali se face cu ajutorul prefixelor
din tab.2.1: 1 cm = 10
-2
m; 1 µs = 10
-6
s; 1 mm
2
/s = (10
-3
m)
2
/s = 10
-6
m
2
/s.
2.4.5. CONSTANTE
Constantele sunt mărimi ale căror valori caracterizează un fenomen, un
material, un aparat etc.
Dacă constanta îşi păstrează valoarea pentru orice condiţii, atunci ea este
absolută, universală (numărul lui Avogadro, constanta lui Plank, constanta
gravitaţională etc.).
Constantele universale permit identificarea celorlalte constante şi mărimi
fizice. Constanta de material este o mărime independentă de forma geometrică care
exprimă o proprietate caracteristică a unei substanţe sau a unui material în condiţii
date de presiune, temperatură etc. (temperatura de topire, densitatea la o anumită
temperatură, constanta dielectrică etc.).
2
9
.
2
8
.
2
7
.
2
6
.
2
5
.
2
4
2
3
.
2
2
.
2
1
.
2
0
.
1
9
.
1
8
.
1
7
.
1
6
.
1
5
.
1
2
.
1
3
.
1
2
.
1
1
.
1
0
.
9
.
8
.
7
.
6
.
5
.
4
.
3
.
2
.
1
.N
r
.

c
r
t
.
1#
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
R
a
p
o
r
t
u
l

g
i
r
o
m
a
g
n
e
t
i
c

a
l

p
r
o
t
o
n
u
l
u
i

î
n

a
p
ă

(
n
e
c
o
r
e
c
t
a
t
)
C
o
n
s
t
a
n
t
a

s
t
r
u
c
t
u
r
i
i
R
a
p
o
r
t
u
l

d
i
n
t
r
e

s
a
r
c
i
n
a

ş
i

m
a
s
a

e
l
e
c
t
r
o
n
u
l
u
i
R
a
p
o
r
t
u
l

d
i
n
t
r
e

m
a
s
a

p
r
o
t
o
n
u
l
u
i

ş
i

m
a
s
a

e
l
e
c
t
r
o
n
u
l
u
i
C
o
n
s
t
a
n
t
a

l
u
i

R
y
d
b
e
r
g
R
a
z
a

c
l
a
s
i
c
ă

a

e
l
e
c
t
r
o
n
u
l
u
i
R
a
z
a

l
u
i

B
o
h
r
C
o
n
s
t
a
n
t
a

l
u
i

P
l
a
n
c
k
S
a
r
c
i
n
a

e
l
e
m
e
n
t
a
r
ă
M
a
s
a

d
e

r
e
p
a
u
s

a

n
e
u
t
r
o
n
u
l
u
i
M
a
s
a

d
e

r
e
p
a
u
s

a

p
r
o
t
o
n
u
l
u
i
M
a
s
a

d
e

r
e
p
a
u
s

a

e
l
e
c
t
r
o
n
u
l
u
i
C
o
n
s
t
a
n
t
a

(
u
n
i
f
i
c
a
t
ă
)

m
a
s
e
i

a
t
o
m
i
c
e
M
a
s
a

a
t
o
m
u
l
u
i

d
e

H
C
o
n
s
t
a
n
t
a

l
u
i

F
a
r
a
d
a
y
C
o
n
s
t
a
n
t
a

l
u
i

B
o
l
t
z
m
a
n
n
C
o
n
s
t
a
n
t
a

u
n
i
v
e
r
s
a
l
ă

a

g
a
z
e
l
o
r
C
o
n
s
t
a
n
t
a

l
u
i

L
o
s
c
h
m
i
d
t
V
o
l
u
m
u
l

m
o
l
a
r

a
l

u
n
u
i

g
a
z

p
e
r
f
e
c
t
,

î
n

c
o
n
d
i
ţ
i
i

n
o
r
m
a
l
e
N
u
m
ă
r
u
l

l
u
i

A
v
o
g
a
d
r
o
C
o
n
s
t
a
n
t
a

l
u
i

W
i
e
n
C
o
n
s
t
a
n
t
a

l
u
i

S
t
e
f
a
n

B
o
l
t
z
m
a
n
n
A

d
o
u
a

c
o
n
s
t
a
n
t
ă

a

r
a
d
i
a
ţ
i
e
i
P
r
i
m
a

c
o
n
s
t
a
n
t
ă

a

r
a
d
i
a
ţ
i
e
i
V
i
t
e
z
a

d
e

p
r
o
p
a
g
a
r
e

a

u
n
d
e
l
o
r

e
l
e
c
t
r
o
m
a
g
n
e
t
i
c
e

î
n

v
i
d
P
e
r
m
e
a
b
i
l
i
t
a
t
e
a

v
i
d
u
l
u
i
P
e
r
m
i
t
i
v
i
t
a
t
e
a

v
i
d
u
l
u
i
C
o
n
s
t
a
n
t
a

g
r
a
v
i
t
a
ţ
i
e
i

u
n
i
v
e
r
s
a
l
e
A
c
c
e
l
e
r
a
ţ
i
a

n
o
r
m
a
l
ă

a

c
ă
d
e
r
i
i

l
i
b
e
r
e
D
e
n
u
m
i
r
e
y
p
d
d
d
e
/
m
e
m
p
/
m
e
R
F
r
e

aGe
m
n
m
p
m
e
m
u
,
H
1
>
I
3
K
R
n
o
V
m
V
A
bo
c
2
c
1
c
µ
o
s
o
G
g
n
1
I
#
>
O
L
1
/
(
T
·
s
)
1
C
/
k
g
1
1
/
m
Mm
J
·
s
C
k
g
k
g
k
g
k
g
k
g
C
/
m
o
l
J
/
K
J
/
(
m
o
l
·
K
)
1
/
m
3
m
3
/
m
o
l
1
/
m
o
l
m
·
K
W
/
(
m
2
⋅
K
4
)
m
·
K
W
·
m
2
m
/
s
H
/
m
F
/
m
N
⋅
m
2
/
k
g
2
m
/
s
2
U
N
I
T
A
T
E

D
E

#
Ă
1
U
R
?
2
,
6
7
5
1
3
0
1
·
1
0
8
7
,
2
9
7
3
5
1
·
1
0
-
3
1
,
7
5
8
8
0
4
·
1
0
1
1
1
8
3
6
,
1
5
1
5
2
1
,
0
9
7
3
7
3
1
7
7
·
1
0
4
7
2
,
8
1
7
9
3
8
·
1
0
-
1
5
5
,
2
9
1
7
7
0
6
·
1
0
-
1
1
6
,
6
2
6
1
7
6
·
1
0
-
3
1
,
6
0
2
1
8
9
·
1
0
-
1
9
1
,
6
7
4
9
5
4
3
·
1
0
-
2
7
1
,
6
7
2
6
4
8
5
·
1
0
-
2
7
9
,
1
0
9
5
3
4
·
1
0
-
3
1
1
,
6
6
0
5
6
5
·
1
0
-
1
7
1
,
6
7
3
5
5
9
·
1
0
-
2
7
9
,
6
4
8
4
5
6
·
1
0
4
8
,
3
1
4
4
1
1
,
3
8
0
6
6
2
·
1
0
-
2
3
8
,
3
1
4
4
1
2
,
6
8
6
7
5
4
·
1
0
2
5
2
2
,
4
1
3
8
3
·
1
0
-
3
6
,
0
2
2
0
4
5
·
1
0
2
3
2
,
8
9
7
7
9
·
1
0
-
3
5
,
6
7
0
3
2
·
1
0
-
8
1
,
4
3
8
7
8
6
·
1
0
-
2
3
,
7
4
1
8
3
2
·
1
0
-
6
2
,
9
9
7
9
2
4
5
8
·
1
0
8
4
¬
·
1
0
-
7
8
,
8
5
4
1
8
7
8
2
·
1
0
-
1
2
6
,
6
7
2
·
1
0
-
1
2
9
,
8
0
6
6
5
@
A
L
O
A
R
E
±
0
,
0
0
0
0
0
7
5
·
1
0
8
±
0
,
0
0
0
0
1
1
·
1
0
-
3
±
0
,
0
0
0
0
0
4
9
·
1
0
1
1
±
0
,
0
0
0
7
0
±
0
,
0
0
0
0
0
0
8
3
·
1
0
8
±
0
,
0
0
0
0
0
7
·
1
0
-
1
5
±
0
,
0
0
0
0
0
4
4
·
1
0
-
1
1
±
0
,
0
0
0
0
3
6
·
1
0
-
3
4
±
0
,
0
0
0
0
0
4
6
·
1
0
-
1
9
±
0
,
0
0
0
0
8
6
·
1
0
-
2
7
±
0
,
0
0
0
0
8
6
·
1
0
-
2
7
±
0
,
0
0
0
0
4
7
·
1
0
-
3
1
±
0
,
0
0
0
0
0
8
6
·
1
0
-
1
7
±
0
,
0
0
0
0
0
9
·
1
0
-
2
7
±
0
,
0
0
0
0
2
7
·
1
0
4
±
0
,
0
0
0
0
4
4
·
1
0
-
2
3
A
:
5
:
:
:
)
B
±
0
,
0
0
0
0
8
6
·
1
0
2
5
±
0
,
0
0
0
7
0
·
1
0
-
3
±
0
,
0
0
0
0
3
1
·
1
0
2
±
0
,
0
0
0
0
0
7
5
·
1
0
8
±
0
,
0
0
0
7
1
·
1
0
-
8
±
0
,
0
0
0
0
4
5
·
1
0
-
2
±
0
,
0
0
0
0
2
0
·
1
0
-
1
6
@
a
l
o
a
r
e

e
,
a
c
t
ă

3
&
r
i
n

c
o
n
'
e
n
%
i
e
4
@
a
l
o
a
r
e

e
,
a
c
t
ă

3
&
r
i
n

c
o
n
'
e
n
%
i
e
4
0
,
0
0
0
0
0
0
0
7
·
1
0
-
1
2
±
0
,
0
0
4
·
1
0
-
1
1
@
a
l
o
a
r
e

e
,
a
c
t
ă

3
&
r
i
n

c
o
n
'
e
n
%
i
e
4
I
N
C
E
R
T
I
T
U
D
I
N
E
%$
CAPITOLUL 0.
SUBIECTUL 5
#?1URAREA
0.1. No%iuni /un$amentale
Măsurarea, în esenţa, este un complex proces informaţional care poate să se
adreseze unui domeniu subiectiv (neinstrumental) sau obiectiv (instrumental) şi a
devenit principalul mijloc prin intermediul căruia se obţin informaţiile de măsurare pe
care le reclamă conducerea diverselor tipuri de sisteme fizice, tehnologice, biologice,
sociologice, militare etc., indiferent de structura sau dimensiunile acestora.
Ìn actualul stadiu de dezvoltare ştiinţifică şi tehnologică, este necesară o
precizare mai exactă a noţiunilor şi implicaţiilor care derivă din ele.
Nu se poate vorbi de măsurare înainte de a aborda problema măsurabilităţii.
Această noţiune se poate explica după o diagramă construită de Venn (Fig.3.1), în
care, în mod intuitiv, putem face un bilanţ gnoseologic calitativ asupra limitelor
cunoaşterii.
M ( T )
M ( O )
M ( P )
M ( M )
Fig. 3.1. Diagrama lui Venn.
Ìn diagramă, în dreptunghiul de bază s-a inclus totalitatea mărimilor
(entităţilor) existente în univers, notate cu ,
H%I.
Mulţimea ,
HJI
⊂ ,
H%I.
reprezintă mărimile observa-bile, adică acele mărimi de
la care putem obţine informaţii calitative care să permită identificarea lor.
,
HKI
⊂ ,
HJI
este mulţimea mărimilor principial măsurabile. aceste mărimi
îndeplinesc o condiţie necesară ÷ aceea de a fi observabile şi o condiţie suficientă -
aceea de a se putea ordona într-o formă oarecare, adică li se poate găsi o scalare.
Ultima şi cea mai restrânsă din diagramă este mulţimea ,
H,I
⊂ ,
HKI
a
mărimilor măsurabile care dispun de mijloace adecvate de observare şi li s-au
construit scale corespunzătoare de măsurare.
%1
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
Se observă că între mulţimile descrise de diagrama lui Venn există relaţia de
incluziune în lanţ : ,
H,I
⊂ ,
HKI
⊂ ,
HJI
⊂ ,
H%I
.
Având în vedere domeniul instrumental, sau obiectiv al măsurărilor
industriale, măurarea poate fi definită ca o operaţie de comparare cantitativă a
două mărimi de acelaşi fel, dintre care una, în mod convenţional, este aleasă unitate
de măsură, în scopul de a se stabili un raport numeric între mărimea de măsurat “X”
şi unitatea de măsură “u”, obţinându-se valoarea numerică a mărimii
7
L
astfel :
u
L
L
7
·
. (3.1.)
Ìn consecinţă, valoarea măsurată a mărimii fizice de măsurat va fi :
u L L
7
⋅ ·
. (3.2.)
Ìn general, măsurarea unei mărimi presupune existenţa anumitor relaţii de
echivalenţă şi ordonare, stabilirea funcţiei de scalare şi originea ei.
Prin determinarea unei legături obiective, reale între caracteristicile
fenomenelor studiate şi relaţiile matematice folosite, modelul calitativ pe care acesta
îl reprezintă va reflecta realitatea în mod izomorf.
Fie un şir de mărimi fizice
# I 1,: Hi u L L
i
7 i
· ⋅ ·
(3.3)
Dacă valorile
i
L
se găsesc la intervale egale, atunci intervalul
( )
? i
L L ,

exprimat prin unitatea de măsură va fi :
( ) . : L L u L L
i
7
?
7 i ?
· − ⋅ · −
(3.4)
Relaţia obţinută va exprima corespondenţa dintre valorile fizice echivalente X
şi valorile numerice echidistante L
7
.
Dacă considerăm două mărimi fizice de aceeaşi natură, măsurate cu unităţi
diferite M şi MN, ecuaţiile de mişcare vor fi :
, ) )
* ) )
M L M L A
M L M L A
$ $
1 1
7 7 $
7 7 1
⋅ · ⋅ ·
⋅ · ⋅ ·
(3.5)
sau, raportând :
.
)
)
const
L
L
L
L
A
A
$
7
1
7
$
7
1
7
$
1
· · ·
(3.6)
Din relaţiile (3.5) şi (3.6) rezultă că măsurarea este echivalentă cu
construirea unei dependenţe funcţionale, de o formă specială, în care mărimile sunt
argumente, iar valorile pe care le reprezintă sunt fracţii. Pentru ca o astfel de funcţie
să îndeplinească condiţiile enunţate, este necesar să fie aditivă. Ca o consecinţă a
%%
Capitolul 0. Măsurarea
proprietăţii de aditivitate, orice transformare complexă a mărimilor măsurate va avea
o structură de izomorfism faţa de operaţiile corespunzătoare cu valorile care exprimă
mărimile lor.
0.). #ăurarea ca &roce in/orma%ional
Privită ca un proces informaţional, măsurarea poate fi asimilată cu un proces
de înlăturare a unei nedeterminări cu privire la starea caracteristicii ce se măsoară.
Deci, informaţia de măsurare este egală cu nedeterminarea înlăturată, dar variază
invers proporţional ei. Aceasta conduce la posibilitatea ca pentru determinarea
cantităţii de informaţie şi pentru gradul de nedeterminare să se folosească un singur
indicator.
Pentru o caracteristică a unei mărimi fizice pe care vrem să o determinăm, în
cazul în care nu deţinem informaţii referitoare la stările anterioare, vom obţine valori
posibile dispersate pe întreaga scară convenţională divizată în intervale elementare.
Ìn urma măsurării vom putea localiza, cu un anumit grad de încredere (cu o anumită
probabilitate) intervalul în care există valoarea adevărată a mărimii măsurate, cu cât
numărul măsurărilor efectuate asupra aceleaşi mărimi fizice este mai mare, cu atât
vom avea o siguranţă mai mare asupra rezultatului obţinut.
Ìn sensul integrării ei în prelucrarea automată a datelor, măsurarea
reprezintă “procesul de recepţionare şi transformare succesivă a informaţiei despre o
anumită mărime fizică în scopul comparării ei cu scara convenţională sau unitatea de
măsură şi folosirea rezultatului obţinut în alte activităţi productive”.
Procesul de măsurare poate fi interpretat ca un sistem în care mărimea de
măsurat, numită “măsurand” ca fiind mulţimea
{ } L
de elemente { } L L
i
∈ fiecare
corespunzător unei stări posibile astfel încât să se poată găsi caracteristica ce se
constituie ca obiect al măsurării pentru care găsim o mulţime
{ } O
de numere reale,
putând să evidenţiem una sau mai multe funcţii de scalare având proprietatea că
fiecărui element { } L L
i
∈ să-Ì facă corespunzător un anunţ { } O O
i
∈ , atunci
{ } O
este
o imagine a mulţimii
{ } L
.
Deci, oricărei măsurări îi va corespunde triada
i i
O ! L → →
, adică måsurand
→
funcţie de scalare
→
imagine.
Scalele care se atribuie mărimilor măsurabile şi principial măsurabile pot fi de
mai multe feluri după principiile pe baza cărora se construiesc. Dintre acestea, cele
mai semnificative sunt :
- Scalele absolute în care numerele se folosesc pentru desemnarea
entităţilor, atribuirea lor făcându-se aleator ;
- Scalele de clasificare în care numerele se folosesc pentru desemnarea
entităţilor bazându-se pe transpunerea numerică a unei proprietăţi a lor ;
%1
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
- Scalele de ordine, care sunt scale arbitrare din toate punctele de vedere în
afara ordinii. Ìn acest caz mărimea caracterizată de gradul “n” nu va avea valoarea
de n ori mai mare decât cea de gradul întâi, scala neavând decât rol de ordonare ;
- Scalele de raport (caracteristica mărimilor extensive) ÷ sunt acelea care
permit pentru orice valoare reală a lui L transformarea :
( ) * L : L ! ⋅ ·
(3.7)
- Scalele de interval (caracteristice mărimilor intensive) sunt acelea care
permit pentru orice valoare L reală, o transformare liniară de forma
( ) , β α + ⋅ · L L !
(3.8)
unde
α
este un număr real pozitiv, iar
β
un număr real.
Prin prisma consideraţiilor anterioare, informaţia de măsurare, este un tip
specific de informaţie, obţinut în urma procesului de măsurare, conţinând rezultatul
identificării unui măsurand
{ } L
prin intermediul unei funcţii de scalare ! adecvate cu
imaginea sa
{ } O
Relaţia care apare între ele se poate exprima de forma :
( ), , θ L ! O ·
(3.9)
unde : L -mărimea de intrare sau caracteristica de măsurat a mărimii fizice
determinate; ! ÷ funcţia de scalare, sau operatorul de transformare; . ÷ un factor de
influenţare a procesului de măsurare; O - imaginea mulţimii L prin funcţia de scalare
(sau scala) !.
Prelucrarea informaţiei în cadrul sistemului este redată printr-o operaţie
matematică, rezultând proprietăţi ale sistemului care caracterizează comportarea de
transfer a acestuia. Sistemele similare au aceleaşi proprietăţi de transfer, chiar dacă,
din punct de vedere constructiv, diferă, ceea ce constituie un mare avantaj pentru
tratarea informaţiei sub aspect informaţional.
Ìn general, sistemele de măsurare au o mărime de intrare H"
i
I ÷ mărimea de
măsurat şi o mărime de ieşire H"
e
I ÷ valoarea măsurată. Comportarea statică a
acestor sisteme se poate descrie prin caracteristica de convertire
( ) ,
i e
" ! " ·
(3.10)
care este o relaţie funcţională care descrie, cu o eroare limită prestabilită, legătura
dintre parametrul informaţional al semnalului de ieşire din sistemul de măsurare şi
parametrul informaţional al semnalului de intrare, în situaţia în care parametrii
neinformaţionali ai acestui semnal se găsesc în condiţii de referinţă.
%2
Capitolul 0. Măsurarea
DEFÌNÌ|ÌE: Prin parametru informaţional se înţelege caracteristica semnalului purtător
al informaţiei, care se găseşte în legătură cu măsurandul. Parametrul neinformaţional
este o caracteristică a semnalului purtător al informaţiei fără legătură cu măsurandul.
Pentru cazul general, atât "
i
cât şi "
e
sunt variabile în timp, comportarea
dinamică a sistemului este redată de o relaţie de forma
( ) ( ) ( ) , t " ! t "
i e
·
(3.11)
numită funcţie de transfer sau caracteristică dinamică totală a sistemului de
măsurare.
Datorită variaţiei factorilor ce influenţează direct procesul de măsurare,
parametri funcţiei de scalare suferă anumite transformări, ceea ce duce la
modificarea imaginii O cu o eroare 2, egală cu diferenţa dintre rezultatul măsurării şi
valoarea adevărată a mărimii măsurate.
"
1
"
$
"
n
θ
! H L , I θ
ε
Y
Fig.3.2. Schema bloc a unui sistem de măsurare.
Ìn acest caz, relaţia (3.9) devine :
( ) . , ε θ + · L ! O
(3.12)
Finalitatea esenţială a procesului de prelucrare a informaţiilor de măsurare
este de a reduce la maximum influenţa erorilor 2, adică de a găsi o corecţie C care,
în general, să fie egală şi de semn contrar lor, adică să poată fi satisfăcută relaţia :
( ) . , C O L ! + · θ
(3.14)
Datorită faptului că în foarte multe cazuri practice, procesul de măsurare are
un caracter dinamic, rezultatele măsurărilor şi erorilor lor vor fi influenţate de un
parametru
τ
variabil de timp. Ìn acest caz relaţiile (3.12) şi (3.13) devin :
( ) ( ) { } ( )* , τ ε θ τ τ + · L ! O (3.14)
( ) { } ( ) ( ) . , τ τ θ τ C O L ! + ·
(3.15)
%5
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
SUBIECTUL 6
0.0. In/orma%ia şi măura cantită%ii $e in/orma%ie. Entro&ia
in/orma%ională
Dat fiind atât caracterul aleator al erorilor de măsurare in analiza cărora
aplicăm teoria probabilităţilor, cât şi faptul că orice sistem de măsurare poate fi
asimilat cu un sistem de comunicaţie (Fig.3.3), tratarea procesului de măsurare prin
teoria informaţiei este absolut justificată.
P e r t u r b a ţ i e
X Y
S u r s a
e m i ţ ă t o r
C a n a l d e
c o m u n i c a ţ i e
R e c e p t o r
Fig.3.3. Schema de transmitere a informaţiei : X ÷ semnalul emis; Y ÷ semnalul recepţionat.
Este de semnalat, că un sistem de comunicaţie cuprinde, în general,
emiţătorul ca element sensibil ÷ sesizor, traductor, circuit de intrare etc., canalul de
comunicaţie ca sistem de identificare şi prelucrare (amplificare, modulare), linie de
transmitere etc.; respectiv receptorul ca operatorul uman, element de comandă,
indicator de ieşire etc.
Operaţia de transmitere a informaţiei, respectiv măsurarea, reclamă
vehicularea unei cantităţi de informaţie.
Analizând informaţia sub aspectul cantitativ şi calitativ, Shannon dă o măsură
a cantităţii de informaţie în lucrarea “J teorie matematică a comunicaţiei”, publicată
în 1948 şi a elaborat metode pentru reducerea perturbaţiei care o alterează.
Ìnformaţia, pentru un sistem oarecare, este un mesaj despre evenimentele
care au avut loc, au loc sau vor avea loc în sistem. Astfel, la prelucrarea în serie a
unui reper, măsurând un eşantion de piese, obţinem o informaţie a felului în care a
lucrat maşina, dar şi asupra modului în care va lucra, adică în condiţii specifice
putem “prognoza” limitele în care au fost şi vor fi executate aceste piese. Cu cât
eşantionul va fi mai mare, deci ci cât primim mai multe informaţii, cu atât prognoza va
fi mai certă.
Aşa cum am arătat la paragraful anterior, informaţia are rolul de a înlătura o
nedeterminare care există cu privire la starea caracteristicii ce se măsoară. Datorită
%6
Capitolul 0. Măsurarea
acestei corelaţii ce există între informaţie şi nedeterminare, se poate utiliza aceeaşi
unitate de măsură pentru ambele mărimi.
Pentru stabilirea acestei unităţi vom folosi relaţia stabilită de Shannon pentru
gradul de nedeterminare, pe care a denumit-o entropie, preluată din termodinamică
printr-o analogie cu formula stabilită de fizicianul austriac Boltzmann (1844-1906)
pentru interpretarea probabilistică a principiului al doilea al termodinamicii.
Principiul al doilea are forma :
∑
·
⋅ − ·
n
1 i
i i
, logp p : 9
(3.16)
unde : : = 1,38054·10
-23
J/K este constanta lui Boltzmann; p
i
÷ probabilitatea ca
sistemul să se afle în starea “i” H1 P i P nI, considerând un număr finit “n” de stări
posibile ale sistemului.
Pentru determinarea acestei relaţii, vom considera un experiment L (de
exemplu determinarea unei dimensiuni pentru un lot de piese executate) al cărui
rezultat nu este cunoscut apriori, cu presupunerea că experimentul poate conduce la
mai multe rezultate posibile (mai multe valori) nu neapărat echiprobabile. Rezultatul
experimentului (al măsurării) poate scoate la iveală un număr finit de “n evenimente
posibile (valori) elementare H"
1
, "
$
, ' ,"
n
I, fiecare având probabilitatea de realizare
Hp
1
, p
$
, ' ,p
n
I, astfel că vom avea un câmp de evenimente (o repartiţie a variabilei
discrete) ce se poate nota cu :
,
, ,
, ,


,
_


¸
¸
·
n $ 1
n $ 1
p p p
" " "
L


(3.17)
astfel ca
, * n : 1 0 p
:
≤ ≤ ≥
iar,
∑
·
·
n
1 :
:
1 p ,
constituind o repartiţie a evenimentelor elementare din care în cadrul experimentului
L se poate obţine una din valorile "
:
cu probabilitatea p
:
.
Măsura gradului de nedeterminare a experimentului depinde de
probabilităţile p
:
ale evenimentelor elementare "
:
. El este maxim dacă p
1
Q p
$
Q ' Q
p
:
Q ' Q p
n
, adică dacă evenimentele elementare sunt echiprobabile, este mai redus
dacă are tendinţa spre un eveniment cu probabilitatea maximă de apariţie şi este
zero, dacă apariţia evenimentului "
:
este sigură (p
:
Q 1).
Măsura gradului de nedeterminare a experimentului după Shannon are
forma:
( )
∑
·
⋅ − ·
n
1 :
: b : n $ 1
, p log p p , , p , p > 
(3.18)
%7
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
şi este denumită entropia experimentului
.
, ,
, ,


,
_


¸
¸
·
n $ 1
n $ 1
p p p
" " "
L


Analizând expresia entropiei (3.16), putem face câteva precizări şi observaţii:
1. Ìn cazul când considerăm nQbQ$ şi
$
1
p p
$ 1
· ·
în relaţia entropiei obţinem :
( )
∑
·
·
,
_

¸
¸
− · ⋅ − ·
n
1 :
$ : $ :
# bit 1
$
1
log
$
1
$ p log p p >
Rezultă o unitate de măsură a entropiei (nedeterminării) conţinute de un
exponent format din două evenimente echiprobabile, unitatea +inară sau +it-ul.
Termenul provine din denumirea sa engleză ÷ BinarR 7igit, adică număr în baza de
numeraţie binară.
Dacă b=10, unitatea de măsură se denumeşte dit (7ecimal 7igit), iar dacă
b=e, atunci se numeşte nit (*atural 7igit).
). Semnul minus a fost adoptat pentru a se obţine valori pozitive ale entropiei, având
în vedere că se logaritmează valori pozitive subunitare (0 P p
:
P 1) cu baze
supraunitare. Având valori pozitive, entropia se bucură de proprietatea de ordonare.
0. Datorită existentei factorului logaritmic, entropia satisface proprietatea de
aditivitate.
De exemplu, fiind date două experimente cu n
1
şi n
$
evenimente
echiprobabile, având fiecare probabilitatea de realizare p
1
şi p
$
, numărul total de
cazuri posibile va fi nQn
1
@n
$
, adică
,
$ 1
p
1
p
1
p
1
⋅ ·
entropia este >HpI Q >Hp
1
I S >Hp
$
I,
adică pentru rezolvarea simultană a celor două experimente este nevoie de
cantitatea de informaţie necesară rezolvării lor parţiale.
2. Relaţia (3.18) arată că entropia informaţională >HpI poate fi rezolvată dacă
obţinem o cantitate de informaţie egală cu entropia >HpI. Ìn cazul în care cantitatea
de informaţie este mai mică, experimentul nu este complet determinat.
Ìn timpul desfăşurării unui experiment se pot obţine informaţii (se poate
scade gradul de nedeterminare) numai dacă nu se cunoaşte apriori rezultatul.
Datorită corelaţiei existente între informaţie şi nedeterminare, unităţile lor de
măsură sunt aceleaşi. Se observă, de asemenea, că sensul de variaţie a informaţiei
este opus sensului de variaţie a gradului de nedeterminare.
Considerăm un experiment L al cărui rezultat nu-l cunoaştem şi în urma
căruia se pot realiza mai multe evenimente, nu neapărat echiprobabile. Fie n
numărul evenimentelor H"
1
, "
$
, ' , "
n
I cu probabilitatea Hp
1
, p
$
, ' , p
n
I, ceea ce ne
conduce la un şir de variabile discrete :
%"
Capitolul 0. Măsurarea
,
, , ,
, , ,


,
_


¸
¸
·
n $ 1
n $ 1
p p p
" " "
L


unde
. , ,
∑
·
· ≤ ≤ ≥
n
1 :
: :
1 p n : 1 0 p
Dacă notăm cu Ì cantitatea de informaţie obţinută în urma experimentului
vom putea scrie :
, >THpI >HpI I − ·
(3.19)
unde : >HpI ÷ entropia dinaintea experimentului; >NHpI ÷ entropia după experiment.
Adoptând bQe şi aplicând relaţia (3.16) asupra relaţiei (3.17), aceasta devine:
∑ ∑
· ·


,
_


¸
¸
⋅ − − ⋅ − ·
n
1 :
n
1 :
: : : :
U pT ln pT p ln p I
sau:
∑ ∑
· ·
⋅ + ⋅ − ·
n
1 :
n
1 :
: : : :
# pT ln pT p ln p I
(3.20)
;. Relaţia (3.16), de definiţie a entropiei, se poate generaliza pentru o repartiţie a
unor variabile continue, astfel că relaţia (3.18) poate lua şi forma :
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ∫
⋅ + ⋅ − ·
$
"
1
"
$
"
1
"
# d" " lnpT " pT d" " lnp " p I
(3.21)
B. Entropia are valoarea maximă >
0
pentru evenimentele care au stările posibile
echiprobabile
, , , n 1 :
n
1
p
:
· ·
# > >
n
1
n
1
log
n
1
0 0
n
1 :
n
1 :
$
· ⋅


,
_


¸
¸
·
,
_

¸
¸
⋅
∑ ∑
· ·
(3.22)
0.2. Legătura !ntre in/orma%ia $e măurare şi claa $e &reci=ie
Ìn general, conceptul informaţional cu privire la analiza preciziei de măsurare,
presupune ca rezultatul măsurării să fie interpretat ca un proces de micşorare a
incertitudinii cu privire la starea obiectului supus măsurării.
Să folosim spre exemplificare un aparat (voltmetru, ampermetru etc.) al cărui
interval de măsurare are lungimea - Q L
$
V L
1
= 100 unităţi (diviziuni). Datorită unor
factori perturbatori, rezultatul L obţinut diferă de valoarea adevărată a măsurandului
cu cantitatea W X.
Se poate afirma ÷ din punct de vedere informaţional ÷ că dacă înainte de
măsurare incertitudinea este dispersată pe între intervalul >
$
V >
1
, după măsurare,
gradul de nedeterminare se restrânge la un interval de lungime $X (Fig.3.4).
Ìnformaţia de măsurare reprezintă, în acest caz, (conform relaţiei (3.19))
diferenţa dintre entropia iniţială şi cea rămasă datorită factorilor perturbatori.
%#
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
Dacă C=0.5 este clasa de precizie a aparatului (adică eroarea raportată
maximă este de ±0,5 %), eroarea absolută maximă a aparatului dată de relaţia
C
100
L L
1 $
⋅
−
· ε (3.23)
"
$
"
1
0
2
0
3
0
1
0
4
0
5 0 6
0
7
0
8
0
9
0
1
0
0
−
∆
+
∆
C
+ig.0.2. Ìntervalul de incertitudine al unui aparat de măsură.
şi va avea valoarea numerică
diviziuni. A 0 A 0
100
0 100
, , · ⋅
−
· · ∆ ε
Ìn acest caz, gradul
de nedeterminare este egal cu lungimea intervalului de incertitudine, adică $XQ1,
ceea ce implică :
∆ $
-
C $
100
·
. (3.24)
Rezultă că, informaţia de măsurare este dată de numărul de rezultate
posibile * egal cu numărul de intervale H$XI cuprinse în limitele de măsurare ale
aparatului H-Q L
$
V L
1
I , adică
∆ $
-
* ·
. Altfel spus, informaţia de măsurare este :
$X
-
log * lg
*
1
log I
$ $
· · − ·
. (3.25)
având în vedere relaţia (3.24), rezultă relaţia:
#
$C
-
log I
$
·
(3.26)
Din relaţia de mai sus, reiese evident faptul a un aparat cu cât are o clasă de
precizie mai bună (intervalul $X este mai îngust), cu atât furnizează informaţii mai
bogate despre măsurand, reducându-se proporţional gradul de nedeterminare al
măsurării.
Deoarece probabilitatea obţinerii rezultatelor măsurării (pentru o variaţie
continuă a variabilei de ieşire "
e
) poate fi mai bune descrisă de legea de repartiţie
normală (sau legea Gauss ÷ Laplace), rezultatul operaţiei de măsurare îl constituie,
practic, o îngustare a curbei de densitate de probabilitate a valorilor măsurate
(Fig.3.5).
1$
Capitolul 0. Măsurarea
" - "
$
"
1
! H " I
0
σ
σ 4
+ig.0.;. Variaţia lărgimii curbei densitate de probabilitate.
Altfel spus, nesiguranţa existentă înaintea măsurării se elimină cu atât mai
bine, cu cât intervalul de incertitudine este mai strâns. Ìn acest caz, cantitatea de
informaţia obţinută înainte şi după măsurare se obţine generalizând (relaţia 3.20)
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ∫
+ − ·
$
L
1
L
$
"
1
"
$ $
, d" " pT log " pT d" " p log " p I
(3.27)
unde : " este valoarea mărimii de măsurat; pH"I ÷ densitatea de probabilitate înainte
de măsurare, caracterizatå de curba YU pNH"I ÷ densitatea de probabilitate după
măsurare (caracterizată de curba o'); "
1
, "
$
÷limitele intervalului de măsurare.
Se poate arăta că informaţia de măsurare are forma :
,
Y
Y
log
Y
YT Y
log I
m
$
$
m
$ $
$
≈
+
· (3.28)
unde Y
m
este eroarea medie pătratică a măsurării; Y şi YN având semnificaţiile
prezentate mai sus.
Stiind ce de regulă o
m
<<o, din relaţia (3.28) rezultă faptul că prin măsurare
se reduce substanţial incertitudinea cu care se determină mărimea de măsurat.
Eficienţa cu care o sursă produce o informaţie depinde, deci, de repartiţia
probabilităţilor de apariţie a stărilor discrete Raportul
,
0
r
>
>
> ·
(3.29)
se numeşte entropie relativă sau coeficient de comprimare al informaţiei si exprimă
gradul de comprimare al informaţiei, fiind întotdeauna o mărime pozitivă.
Cu ajutorul entropiei relative se poate stabili redundanţa relativă a sistemului:
11
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
,
0
0
r
>
> >
> 1 R
−
· − ·
(3.30)
care exprimă abaterea entropiei relative de la unitate. . Cu cât redundanţa este mai
mare, cu atât mai puţin sunt folosite toate stările posibile ale mărimii de ieşire. Este
evident că, pentru > Q >
0
avem R = 0. Prin urmare sistemul cu redundanţă mai mare
dispune de o rezervă mai mare de semnale de ieşire neutilizate.
Deoarece în tehnica măsurărilor se folosesc tot mai mult instalaţii numerice
pentru prelucrarea sau stocarea informaţiilor, în scopul protejării acestora faţă de
perturbaţiile posibile de-a lungul lanţului de măsurare, se utilizează procedee de
mărire a redundanţei prin introducerea unor cuvinte “cod” neutilizate, deci prin
mărirea rezervei de semnale de ieşire disponibile, faţă de valorile posibile ale
rezultatelor măsurărilor.
0.;. Tranmiterea in/orma%iei &rin iteme $e măurare. Debit $e
in/orma%ie. @ite=a $e tranmitere a in/orma%iei $e măurare
3.5.1. TRANSMÌTEREA ÌNFORMA|ÌEÌ PRÌN SÌSTEME DE MÄSURARE
Transmiterea poate fi succesivă, la distanţe relativ mici sau pe distanţe lungi
sau foarte lungi (ex.: Transmiterea spre Pământ a rezultatelor măsurărilor sondelor
spaţiale), dacă punctul de măsurare este la distanţă de locul de prelucrare a datelor.
Exceptând situaţiile speciale, de regulă transmiterea se face prin cablu şi trebuie să
aibă loc în ambele sensuri cu minim de erori. Se preferă transmiterea semnalelor
digitale datorită următoarelor avantaje :
− Posibilitatea transmiterii cu oricâte ranguri zecimale;
− Siguranţa transmisiei datorită exigenţei codurilor detectoare şi corectoare
de erori;
− Posibilitatea de a utiliza în transmisie liniile telefonice obişnuite. Dacă x
e
reprezintă semnalul de ieşire din sistemul de măsurare, iar x
i
semnalul de
intrare, se defineşte P(x
i
/x
e
) ca fiind probabilitate condiţionată sau
probabilitate ca semnalul de intrare să fie x
i
atunci când la ieşire avem x
e
.
Având în vedere şi relaţia (3.18) se poate afirma că >H
"i
I reprezintă entropia
de intrare (conţinutul mediul al informaţiei de intrare în sistemul de măsurare) >H"
e
I
este entropia de ieşire (conţinutul mediu de informaţii la ieşire din sistemul de
măsurare) pentru o probabilitate cunoscută a valorilor de ieşire.
Raportul >H"
i
B"
e
I se numeşte entro&ia con$i%ionată sau $e ec(i'oca%ie şi
reprezintă o măsură a echivocului ce există asupra câmpului de valori posibile "
i
HiQ1,
$, ' , nI când se cunoaşte câmpul de rezultate obţinute din măsurările "
e
. Reciproc,
1%
Capitolul 0. Măsurarea
termenul >H"
e
B"
i
I este entropia de echivocaţie (irelevanţă a valorilor de ieşire când se
cunoaşte câmpul de rezultate de la intrarea în sistem.
Ìn acest caz, informaţia transmisă prin sistemul de măsurare are forma :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )# B" " > " > B" " > " > " , " I
i e e e i i e i
− · − ·
(3.31)
> H " B " I
i e
> H " , " I
i e
> H " I
e
> H " I
i
> H " B " I
e i
+ig.0.B. Fluxul $e in/orma%ie &rin item.
Sugestiv, relaţia (3.31) este redată grafic în figura 3.6. Din figură reiese faptul
că termenul >H"
i
B"
e
I reprezentând entropia de echivocaţie de la intrare în sistem se
pierde, termenul >H"
i
B"
e
I parcurge sistemul şi ajunge la ieşire (denumit şi
transinformaţie) împreună cu irelevenţa >H"
e
B"
i
I formează conţinutul mediul al
informaţiei de la ieşirea din sistem.
3.5.2. DEBÌT DE ÌNFORMA|ÌE
Teoria semnalelor permite o tratare simplă şi a problemelor legate de
măsurarea continuă a unor mărimi cu variaţie rapidă în timp sau de obţinerea mai
multor valori măsurate în timp scurt. Ìn acest sens, este importantă cunoaşterea unor
noţiuni care să caracterizeze informaţia transmiså într-un anumit interval de timp.
Dacă la măsurare, se obţin n valori măsurate independente, acestea
formează o mulţime de informaţii M, care se poate descrie prin :
, > n , ⋅ ·
(3.32)
deoarece fiecare valoare măsurată are un conţinut al informaţiei >. Presupunând, din
nou, că fiecare valoare măsurată poate apărea cu aceeaşi probabilitate în fiecare
interval de valori din do mulţimea de informaţii va fi dată de relaţia :
m log n ,
$
⋅ ·
. (3.33)
Relaţia (3.33) arată că mulţimea de informaţii se măreşte cu numărul de
măsurări şi cu numărul de intervale de valori din domeniul de măsurare pe care le
poate lua rezultatul măsurării (m), fiind deci, cu atât mai mare cu cât este mai mică
eroarea de măsurare.
11
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
Ìn cazul general când pentru fiecare valoare măsurată transinformaţia este
>H"
i
U "
e
I bit, mulţimea de informaţii este :
( ). ,
e i
" " > n , ⋅ ·
(3.34)
Analog debitmetriei, se numeşte debit de informaţii :
# bitBs
Xt
X,
dt
d>
Z ≅ ·
(3.35)
Ìn condiţii optime (codificare optimă) există o valoare limita pentru debitul de
informaţii, care depinde de parametrii sistemului şi puterea perturbaţiilor. Această
valoare limită reprezintă o caracteristică importantă a sistemului de măsurare
considerat ca sistem informaţional şi se numeşte capacitate de trecere (a canalului)
C
t
#
1 0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2 , 5 0
2 , 2 5
, 2 , 0 0
1 , 7 5
1 , 5 0
1 , 2 5
1 , 0 0
0 , 7 5
0 , 5 0
0 , 2 5
0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 2 , 5 3 , 0 3 , 5 4 , 0 4 , 5 5 , 0
c l a s a d e p r e c i z i e
>

[
b
i
t
]
I

[
b
i
t
/
s
]
+ig.0.C. Dependenţa dintre capacitatea $e trecere şi claa $e &reci=ie &entru miDloacele
$e măurare cu elemente mobile.
Calculând cantitatea de informaţie obţinută în urma unei măsurări şi
acceptând c egal cu clasa de precizie a mijlocului de măsurare, dependenţa cantităţii
de informaţie obţinută în urma unei măsurări în funcţie de clasa de precizie este
redată în fig.3.7. Considerând că aceste aparate pot efectua o măsurare în circa 4
secunde (timpul mediu de stabilire a indicaţiilor la majoritatea mijloacelor de
măsurare cu elemente mobile ÷ ampermetre, comparatoare, manometre),
capacitatea lor informaţională de trecere este redată în diagrama din fig.3.7
Din cele de mai sus rezultă două concluzii importante :
12
Capitolul 0. Măsurarea
− deoarece cantitatea de informaţie obţinută în urma unei măsurări depinde
printr-o funcţie logaritmică de precizie, iar costul mijlocului de măsurare
depinde, de asemenea, exponenţial de precizie, o problemă centrală a
strategiei de alegere a aparatelor şi instrumentelor de măsură constă în
determinarea cantităţilor necesare de informaţie pentru desfăşurarea
optimă a operaţiilor de măsurare pentru o anumită precizie impusă;
− dacă se notează cu R viteza de generare a informaţiei, atunci
( ) , ) t C R I
t p
⋅ − ·
(3.36)
va fi pierderea de informaţie, şi unde tN este durata de funcţionare a sistemului.
3.5.3. VÌTEZA DE TRANSMÌTERE A ÌNFORMA|ÌEÌ DE MÄSURARE
Se ştie că un număr oarecare se poate exprima într-un sistem de numeraţie
cu baza b cu relaţia :
, b a *
n
1 i
1 i
i b
∑
·
−
⋅ ·
(3.37)
unde : * ÷ este numărul ales; b ÷ baza sistemului de numeraţie; a
i
÷ simboluri
poziţionale.
Ne putem apropia statistic de formulele de bază ale teoriei informaţiei
punându-ne problema transmiterii prin sistemul de măsurare a şirului de valori în
baza b :
  , , , ,
n $ 1
C C C
(3.38)
cu ajutorul şirului de semne binare :
. , , , ,  
n $ 1
b b b
(3.39)
Se cunoaşte faptul că pentru fiecare semn C
n
care trebuie reprezentat prin
semne binare (recodificat din baza b în baza 2), se utilizează individual o succesiune
de 4 semne binare pentru un semnal zecimal (pentru că 2
3
= 8 < 10 şi numai 2
4
= 16
> 10).
Pentru a transmite o pereche de semne zecimale, trebuie să consumăm 7
semne binare (deoarece 2
6
= 64 < 100 şi doar 2
7
= 128 > 100). Pentru a transmite
trei semne zecimale avem nevoie de 10 semne binare etc. Ìn medie, avem nevoie
(pentru a transmite în unitatea de timp) de u
1
= 4; u
$
= 7/2 = 3,5; u
D
= 10/3 = 3,33 .
semne binare, şirul de numere care apare astfel, converge spre:
# D,D$ 10 log u
$
 · ·
(3.40)
15
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
Relaţia (3.40) reprezintă viteza de creare a semnelor binare pentru a nu se
produce o întârziere sistematică în transmitere. Se poate afirma că viteza de creare a
informaţiei admite o măsură cantitativă fără a ţine seama de deosebirile calitative.
16
CAPITOLUL 2
+ACTORII CARE IN+LUEN*EAE? #?1URAREA
Ìn orice proces de măsurare există o serie de elemente, factori care
influenţează esenţial o măsurare corectă, cum ar fi mediul exterior, operatorul ,
măsurandul, metoda de măsurare şi mijlocul de măsurare (vezi fig.4.1).
E
o p
E
Ì
E
e x t
E
m e t
E
m d
E
r
F a c t o r i i
u m a n i
M i j l o c u l d e
m ă s u r a r e
F a c t o r i i
e x t e r n i
M e t o d a d e
m ă s u r a r e
R e z u l t a t
( r e c e p t o r )
R
+ig.2.1. Clasificarea erorilor din punct de vedere al surselor care le generează (după STAS
2872-86): (JK ÷ eroare de operator ÷ lector al măsurării şi/sau adresant al informaţiei de
măsurare; (m ÷ eroare de metodă datorată imperfecţiunii metodelor utilizate; (I ÷ eroare
instrumentală datorată mijlocului de măsurare; (e"t ÷ eroare externă datorată condiţiilor
externe (factori climatici, mecanici şi electrici); (md ÷ eroare de model; (r ÷ eroare de
retroacţiune (interacţiune)
2.1. #e$iul e,terior
Prin mediul exterior sau ambianţa, se înţeleg factorii externi care
influenţează în mod esenţial măsurările. Aceştia pot factori de climă, factori mecanici
şi factori electrici.
4.1.1 FACTORÌÌ DE CLÌMÄ
Factorii de climă au influenţa cea mai pregnantă asupra măsurărilor. Ei se
întâlnesc în toate domeniile de măsurare ÷ la măsurări geometrice de precizie,
variaţiile de temperatură pot aduce prejudicii valorilor determinate pentru măsurand;
depunerile de praf, diferite soluţii de acizi sau săruri de acizi şi chiar microorga-
17
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
nismele pot denatura rezultatele măsurării. Neasigurarea unor condiţii de
compensare a variaţiei presiunii atmosferice sau neprotejarea sistemului de
măsurare de umiditate sau raze solare, poate conduce la rezultate eronate.
a. Temperatura .
Este factorul cel mai incomod care influenţează frecvent măsurările. Aproape
toate organele mijloacelor de măsurare se resimt de pe urma influenţei temperaturii.
Temperatura face să varieze dimensiunile pieselor metalice, producând modificări
importante în jocul pieselor metalice, măreşte frecarea. Ea determină variaţia
volumului lichidelor, modifică tensiunile superficiale, deci influenţează evaporarea,
acţionează asupra vâscozităţii etc.
Ìn vederea eliminării influenţei temperaturii, a variaţiei ei asupra rezultatelor
măsurării se iau o serie de măsuri astfel ca efectul perturbator să fie minim. Ìn primul
rând, prin standardizare se fixează aşa numita temperatură de referinţă. Aceasta,
după STAS 1033-69, este, în România, de 20°C. Ea este stabilită, pentru fiecare
zonă geografică, ţinându-se seama de temperaturile medii multianuale locale.
Temperatura de referinţă are menirea (ca prin respectarea ei) să asigure o variaţie
neînsemnată a valorii măsuranzilor şi o modificare neperturbatoare a elementelor
mijloacelor de măsurare. Abaterile admise de la această temperatură sunt în funcţie
de gradul de precizie la care se efectuează măsurările (Tabelul 4.2).
Tabelul 2.). Abaterile maxime de la temperatura standard de măsurare admise pentru
diferite medii in care se desfăşoară activităţi metrologice.
Locul de activitate Ateliere Laboratoare
industriale
Laboratoare de
precizie ridicată
Puncte de măsurare
cu precizie specială
Abaterea admisă
[grade]
± 5 ± 2 ± 1 ± (0,1.0,5)
Pentru încadrarea în aceste limite se utilizează larg procedeul termostatării
încăperilor, prin diferite procedee. Ìn primul rând se utilizează termostatarea naturală
prin izolarea termică a încăperilor. De cele mai multe ori laboratoarele se
organizează în subsolurile clădirilor. Cu cât subsolul este mai adânc, cu atât se poate
menţine mai uşor o temperatura constantă fără a se recurge la alte mijloace. Ìn cazul
în care termostatarea naturală nu poate asigura condiţiile impuse, se recurge la
termostatarea artificială. Ìn cazul în care nu este necesară răcirea aerului, se
utilizează numai dispozitive de încălzire. Pentru încăperi mai pretenţioase
(laboratoare de precizie), se utilizează instalaţii de climatizare adică, termostate cu
aer condiţionat. Pentru condiţii şi mai riguroase, se utilizează sistemul de
termostatare în cascadă în care reglarea temperaturii se face trecând aerul prin
încăperi şi incinte concentrice (asemenea Laboratorului de la Sévres-Franţa unde se
1"
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
păstrează etaloanele internaţionale). Metoda poate asigura o abatere de maxim
0,1°C.
Ìn construcţia modernă a aparatelor de măsură se utilizează pe scară largă
sistemele de compensare a variaţiei temperaturii mediului înconjurător : elemente de
reacţie negative cum ar fi bobine de rezistenţă cu coeficienţi negativi de variaţie,
legarea în opoziţie a unui termocuplu care urmăreşte variaţia temperaturii mediului
etc. Ìn condiţii industriale, o metodă des întrebuinţată este cea a egalizării
temperaturii măsurandului şi a mijloacelor de măsurare. Aceasta se realizează prin
menţinerea lor în aceeaşi incintă un timp suficient pentru a se ajunge la aceeaşi
temperatură. Pentru calculul timpului necesar, se poate utiliza formula :
,
Xt
Xt
log
A
6
[ \
!
0
⋅ ·
(4.1)
în care : \ ÷ timpul în minute pentru ca corpul să ajungă de la o diferenţă de
temperatură Xt
0
la Xt
!
faţă de mediul respectiv al unui corp cu masa 6 (în grame) şi
suprafaţa de contact cu mediul A (în centimetri); [ ÷ constantă de mediu ([QD1,D
pentru aer; [Q= pentru placă de oţel în aer; [Q1,A pentru ulei; etc).
Ìn cadrul unei măsurări de precizie se va ţine cont atât de diferenţele de
temperatură dintre măsurand şi mijlocul de măsurare cât şi de abaterea de la
temperatura de referinţă, calculând dimensiunea respectivă cu ajutorul legii de
dilataţie. Ìn general, pentru lungimi se va folosi formula :
( ) ( ) [ ] , 20 20
2 2 1 1 20
− − − − · t t l l -
n m
α α
(4.2)
în care : -
$0
÷ este dimensiunea liniară a măsurandului la 20°C [în mm]; l
m
÷
dimensiunea măsurată a măsurandului citită pe aparat [mm]; /
1
÷ coeficientul de
dilatare liniară a măsurandului [1/K];/
$
÷ coeficientul de dilatare liniară a mijlocului de
măsurare [1/K]; t
1
÷ temperatura măsurandului [°C]; t
$
÷ temperatura mijlocului de
măsurare [°C]; l
n
÷ lungimea nominală.
Pentru evaluarea alungirii diferitelor materiale cu abateri faţă de temperatura
standard de lucru (20
o
C) se pot utiliza grafurile din figurile 4.2 şi 4.3 de mai jos.
Exemple de calcul:
1. La măsurarea unai piese din aluminiu cu diametrul de 80 mm la o temperatură
de 30
o
C (deci cu o diferenţă de 10 grade faţă de temperatura standard de lucru)
obţinem, urmărind traseul indicat prin săgeţi pe figura 4.2, o diferenţă de 19,5 µm
ce se va scade din valoarea măsurată pentru a obţine valoarea măsurandului la
20
o
C.
). La măsurarea aceleaşi piese din aluminiu cu diametrul de 80 mm, cu un
aparat construit din oţel, la temperatura de 25
o
C (deci cu o diferenţă de 5 grade
faţă de temperatura standard de lucru) obţinem, urmărind traseul indicat prin
săgeţi pe figura 4.3, o diferenţă de 5 µm ce se va scade din valoarea măsurată
pentru a obţine valoarea măsurandului la 20
o
C.
1#
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5
D i f e r e n ţ a p r o d u s ă d e v a r i a ţ i a
d e t e m p e r a t u r ă ( f a ţ ă d e 2 0 C ) [ m ]
o
µ
Ì n v a r
O l C r
F o n t ă
O l n e a l i a t
C u
B z
A l a m ă
A l
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
o o o o o o o o o o
V a l o a r e a m ă s u r a t ă [ m m ]
+ig. 2.). Graf pentru calculul diferenţei de lungime a măsurandului între valoarea măsurată şi
valoarea la 20
o
C !n /unc%ie $e calitatea materialului şi $e $i/eren%a $e tem&eratură.
1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0
A b a t e r e a p r o d u s ă d e d i f e r e n ţ a d i n t r e
c o e f i c i e n ţ i i d e d i l a t a r e l i n i a r ă a i m ă s u r a n d u l u i
ş i m i j l o c u l u i d e m ă s u r ă [ m ] µ
Ì n v a r
C u
B z
A l a m ă
A l
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
o o o o o o o o o o
V a l o a r e a m ă s u r a t ă [ m m ]
F o n t ă
+ig. 2.0. Graf pentru calculul abaterii produse de diferenţele între coeficienţii de dilatare
liniară (ai măsurandului şi mijlocului de măsurare) pentru valoarea măsurată în funcţie de
diferenţa de temperatură şi de materialul măsurandului (pentru situaţia când mijlocul de
măsurare este din oţel aliat şi cele două elemente au aceeaşi temperatură).
2$
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
Tabelul 2.). Valorile coeficienţilor de dilatare pentru materiale frecvent utilizate în industrie.
Denumirea materialului
A
l
u
m
i
n
i
u
A
l
a
m
ă
B
r
o
n
z
C
u
p
r
u
C
o
n
s
t
a
n
t
a
n
O
ţ
e
l

n
e
a
l
i
a
t
F
o
n
t
ă
O
ţ
e
l

a
l
i
a
t

c
u

C
r
O
ţ
e
l

a
l
i
a
t

c
u

N
i
Ì
n
v
a
r
S
t
i
c
l
ă

c
u
a
r
ţ
Coeficient de dilatare liniară
[⋅10
-6
/
o
C]
23,
8
18,
5
17,
5
16,
5
15,
2
11,
5
10,
4
10,
0
12,
0
1,5 0,5
b. Presiunea atmosferică
Presiunea atmosferică intră mai rar ca factor perturbator în procesul de
măsurare. Ea are un efecte pregnant la măsurări de debite, de presiuni, temperaturi,
mase etc., mai puţin la măsurarea lungimilor.
Presiunea standard de referinţă este de 101325 Pa (N/m
2
) = 760 mm Hg =
1,01325 bari.
La măsurările în care măsurandul este afectat de variaţiile presiunii
atmosferice, eliminarea efectului perturbator se realizează fie prin corecţia mărimii,
fie prin amplasarea unor dispozitive de compensare şi corecţie.
La măsurări de precizie înaltă (de exemplu mase etalon), măsurandul se
amplasează în vid, pentru a elimina cu totul efectul presiunii atmosferice.
c. Umiditatea
Conţinutul de vapori de apă în aerul ambiant (exprimat în procente) faţă de
conţinutul de vapori de apă din aerul saturat este măsura umidităţii relative.
Menţinerea ei la valori prea înalte provoacă condensarea vaporilor de apă din aerul
încăperii la atingerea suprafeţelor metalice mai reci a mijloacelor de măsurare,
favorizând astfel oxidarea şi disfuncţia lor. O valoare prea redusă înlesneşte
circulaţia uşoară a prafului, care depunându-se pe suprafeţele de masurare pot
aduce perturbări determinării valorii corecte a mărimii măsurate, de asemenea, prin
atingerea corpurilor încălzite se calcinează producând amoniac şi alte gaze
neplăcute pentru operator. Pe lângă efectul negativ pe care îl are asupra măsurării, o
umiditate excesivă dereglează confortul termic al încăperii influenţând asupra
schimbului de căldură al operatorului cu mediul ambiant ce se face prin evaporarea
apei la suprafaţa pielii. Limitele admise ale umidităţii relative a aerului din
laboratoarele industriale se fixează între 30.70 %, iar pentru laboratoare de precizie
35.55 %. Valoarea ideală ar fi de 45 %, însă respectarea ei ar fi neeconomicoasă.
d. Praful
Conţinutul de praf (particule solide în aer a căror viteză de cădere în curenţi
liberi este mult mai mică decât cea corespunzătoare legilor căderii corpurilor datorită
dimensiunilor mici ale acestora) în aerul laboratoarelor şi punctelor de măsurare pot
21
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
avea influenţe grave asupra rezultatelor măsurărilor. Condiţia eliminării prafului se
impune în special pentru laboratoarele în care se fac măsurări geometrice, optice
(pentru că poate forma un strat perturbator modificând dimensiunile măsurandului
sau caracteristicile optice datorită dispersiei razelor de lumină folosite),
microanalitice, de presiuni, de debite (prin murdărirea fluidelor măsurate), a maselor
de înaltă precizie (prin modificarea valorii reale a masei), respectiv la măsurări
electrice de curent continuu şi de joasă frecvenţă (prin adunarea prafului pe
suprafeţele izolatoarelor deformează rezultatele măsurărilor şi poate provoca
coroziuni).
În laboratoarele industriale se admit 1 mg/m
3
, iar în laboratoarele de înaltă
precizie, condiţiile sunt mult mai severe.
Pentru înlăturarea prafului, se recomandă amenajări de nişe exhaustoare,
dispozitive de captare locală, filtre mecanice sau electrostatice. Pe lângă amenajările
enumerate se impun măsuri de izolare a accesului prin anticamere (în unele cazuri
numărul lor poate să se ridice până la 7) şi folosirea de îmbrăcăminte şi încălţăminte
speciale, menţinute într-o perfectă curăţenie. Nu se admite folosirea creioanelor şi a
hârtiei, nu se admite fardarea etc. amplasarea laboratoarelor se face departe de
drumurile cu circulaţie rutieră, de instalaţii care prin procesul tehnologic elimină praf,
fum şi alte materii pulverizate care pot antrena praful şi pot forma materii coloidale
dăunătoare funcţionării mijloacelor de măsurare. De asemenea, se recomandă ca
încăperile laboratoarelor să aibă o suprapresiune de 0,2.0,8 milibari, care va avea
rolul de a antrena spre exterior praful din încăperi.
Pe lângă factorii climatici enumeraţi, se mai poate aminti acţiunea razelor
solare, microorganismelor, a diferitelor soluţii şi săruri de acizi, a vitezei de circulaţie
a aerului care contribuie şi el la efecte perturbatoare în măsurări de precizie, dar
înlăturarea acestor efecte se realizează odată cu măsurile luate împotriva factorilor
discutaţi, sau efectele lor sunt de o importanţă mai mică şi nu le vom discuta.
4.1.2. FACTORÌÌ MECANÌCÌ
Ìn cadrul factorilor mecanici se va ţine cont de efectele vibraţiilor şi şocurilor.
Problema şocurilor şi acceleraţiilor se pune numai la măsurări efectuate în timpul
transportului fiind vorba în special de bordul navelor, avioanelor şi al rachetelor,
respectiv de mijloacele din tehnica de luptă militară. De asemenea, la laboratoarele
transportabile.
Ìn laboratoarele industriale şi cele de precizie, rezultatele măsurării pot fi
afectate de vibraţii şi trepidaţii. Se recomandă ca laboratoarele optice, de presiune,
de mase, acceleraţii şi forţe să nu fie sub influenţa unor vibraţii la baza aparatelor
2%
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
peste 0,001 g (g=9,81 m/s
2
) sau amplitudini de 0,25 µm la frecvenţe de cel puţin 200
Hz.
Pentru a obţine citiri repetate de aceeaşi mărime, o măsurare trebuie sa fie
supusă la cât mai puţine vibraţii. Cea mai bună dovadă a efectului vibraţiilor o
constituie lipsa de fidelitate a aparatului.
Sursele de vibraţii pot fi exterioare, provenite de la instalaţii mecanice
amplasate în apropierea laboratoarelor, de asemenea, pot fi de provenienţă proprie
de la aparatele de măsură în funcţiune, fie de la elemente în mişcare periodică
neechilibrate dinamic sau greşit amplasate provocând rezonanţa sistemului, fie de la
elemente glisante care nu sunt întreţinute corespunzător sau prezintă uzuri avansate.
Eliminarea efectelor vibraţiilor asupra rezultatului măsurării nu se poate face în
totalitate, ele însă se pot reduce la minimum printr-o identificare a sursei şi analiza
propagării acestuia. Măsurile ce se pot lua împotriva efectelor vibraţiilor pot fi de
izolare locală exterioară sau direct la sursă. Astfel, o izolare locală poate limita
efectul vibraţiilor prin amplasarea aparatelor (de protejat) pe o bucată de fetru, pâslă
sau cauciuc. O altă posibilitate este aşezarea aparatelor pe piedestale (socluri) zidite
în pardoseală sau pe console încastrate în pereţi. Fundaţia soclurilor va avea o
adâncime de 4.6 m. Dacă adâncimea este mai mică se vor aşeza în jurul lor
materiale amortizoare de vibraţii (deşeuri de plută îmbibate în ulei sau bitum, deşeuri
de cauciuc etc.). Pentru precizii mai mari se vor utiliza elemente de suspendare
antivibratorie, mese antivibrante echipate cu un sistem de arcuri sau de coarde; de
asemenea, se practică folosirea spaţiilor insonorizate. Se evită amplasarea
laboratoarelor la mai puţin de 150 m de la surse puternice de vibraţii (centrale de
forţă, prese cu excentric etc,). Dacă nu este posibil, se va practica un şanţ în jurul şi
sub fundaţia clădirii şi se va umple cu zgură.
Măsurile de limitare a efectelor vibraţiilor direct la sursă se realizează prin
echilibrarea maselor, în special la motoarele cu cilindri, construindu-se totodată
fundaţii antivibratoare adecvate în special când este vorba de puteri mari.
Dezechilibrarea poate să apară şi în cazul unor uzuri avansate care trebuiesc
înlăturate, propagarea undelor vibratoare se amplifică dacă fundaţia antivibratoare se
calculează greşit, rezonând la frecvenţa proprie a maşinii pe care ar trebui să o
izoleze. Evaluarea vibraţiilor se face prin determinarea parametrilor lor caracteristici.
Dacă vibraţia este armonică, este suficient să măsurăm frecvenţa şi una din
amplitudini ÷ fie a deplasării, fie a vitezei sau acceleraţiei. Dacă vibraţiile sunt
nearmonice, este necesară înregistrarea lor, iar parametrii caracteristici se vor
determina în baza analizei armonice.
4.1.2. FACTORÌÌ ELECTRÌCÌ
21
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
Printre factorii electrici perturbatori ai măsurării se enumeră variaţia tensiunii
şi frecvenţei reţelei de alimentare, paraziţii industriali, perturbaţiile electrice şi
atmosferice, semnalele de înaltă frecvenţă, distorsiunile, care prin acţiunile lor directe
şi secundare ale câmpurilor magnetice şi electrostatice pot influenţa rezultatele
măsurării.
Câmpul electric şi magnetic nu influenţează prea mult aparatele din domeniul
presiunilor, forţelor, acceleraţiilor, mărimilor geometrice, optice şi debite în măsura în
care nu se utilizează aparatură electronică.
Ìn laboratoarele de frecvenţe joase sau înalte şi în cele de temperaturi,
valoarea maximă pentru intensitatea câmpului este de 10 mV/m. rezistenţa legării la
pământ cu bare pentru curent continuu este de cel mult 2 ohmi, iar pentru curent
alternativ de 50 ohmi. Pentru eliminarea bruiajelor, respectiv mărirea raportului
semnal/zgomot se impune ecranarea minuţioasă atât a aparatelor
electrice/electronice, cât şi a conductorilor de legătură utilizaţi; de asemenea, legarea
la pământ a acestora şi uneori şi a încăperii ecranate. Se impune amplasarea
laboratoarelor la minimum 40 m de liniile de transport de energie cu tensiunea de
110 kV, în caz contrar, se impune ecranarea electrostatică ce se realizează
înglobând sub tencuială plasă de sârmă galvanizată.
Pentru ecranări contra câmpurilor electromagnetice de înaltă frecvenţă se
utilizează materiale de mare conductibilitate electrică. Protejarea laboratoarelor de
câmpuri se realizează cu materiale magnetice de mare permeabilitate magnetică şi
câmp coercitiv redus, care să asigure un circuit magnetic continuu fără puncte de
întrerupere care ar putea constitui surse de câmpuri magnetice ce influenţează
măsurările. Asemenea ecranări sunt suficiente şi prin executarea unor cutii locale,
deasupra aparatului de măsură, susceptibil de a fi influenţat.
Cât priveşte sursele de alimentare ale aparatelor electronice, trebuie să aibă
o oscilaţie maximă a tensiunii de 0,1 %, ceea ce se realizează prin folosirea
stabilizatoarelor de diverse tipuri.
4.2. FACTORUL UMAN, OPERATORUL SÌ CONDÌ|ÌÌ DE LUCRU
Ìnfluenţa factorului uman asupra rezultatelor măsurării este de cea mai mare
importanţă. Ea apare sub mai multe aspecte.
Ìn primul rând, operatorul, după nivelul de pregătire, pricepere, îndemânare,
experienţă şi interesul cu care lucrează, poate realiza sau prejudicia o măsurare
corectă. Ìn al doilea rând, modul de organizare, dotare, amenajare a laboratorului,
microclimatul, atitudinea factorilor responsabili de buna desfăşurare a activităţii,
stimulează sau înrăutăţeşte siguranţa şi competenţa personalului laboratorului şi
rezultatul muncii acestora. Un operator dezinteresat, nepregătit nu va putea niciodată
22
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
să efectueze o măsurare concludentă, chiar dacă dispune de instrumentaţie, condiţii
de lucru corespunzătoare, de receptivitatea factorilor de decizie. Nu este mai puţin
adevărat faptul că un operator bine pregătit, cu cunoştinţe teoretice şi practice, cu
bune intenţii de a desfăşura o activitate competentă, poate fi frustrat de un climat
stimulator. Problema este de a realiza o armonizare atât a intenţiilor cât şi
concepţiilor cu necesităţile concrete ale activităţii respective.
Factorul uman îşi poate valorifica calităţile numai în condiţiile unei bune
organizări a locului de muncă şi prin crearea unor condiţii de lucru optime din punct
de vedere ergonomic. Relevarea promptă a semnalelor informaţionale nealterate în
cadrul procesului de măsurare este condiţionată de modul în care sunt executate şi
plasate elementele care le furnizează.
a) La aparatele indicatoare se recomandă de a evita supraîncărcarea scalei
cu gradaţii inutile si, astfel, de a permite operatorului să aprecieze prin interpolare
diviziunile intervalelor negradate (max. 4 ÷ 5 părţi).
Este bine dacă cadranul unui aparat industrial peste clasa de precizie 1 nu
cuprinde mai mult de 20 de diviziuni. În cazul aparatelor de precizie mai ridicată,
numărul optim al gradaţiilor se stabileşte cu formula:
p A
100
m ·
, (4.3)
în care: m este numărul diviziunilor şi p este clasa de precizie (eroarea raportată =
eroarea admisă calculată în procente faţă de valoarea maximă a scării gradate). Se
acceptă o interpolare de maximum 2 părţi, dacă s-a asigurat valoarea diviziunii de
1,5 mm, pentru aparatele industriale.
b) La stabilirea valorilor numerice ale diviziunilor cifrate, se recomandă seria
de cifre crescătoare din unu în unu (0, 1, 2, 3, 4, 5.), din cinci în cinci (0, 5, 10, 15,
20.) sau din 10 în 10 (10, 20, 30, 40.), mai puţin seriile din 2 în 2 şi din 20 în 20.
Se evită seriile din 3 în 3 care sunt admise numai pentru unghiuri exprimate în grade
sexazecimale, pentru turaţii şi timp, precum şi scările din 4 în 4 sau valori fracţionare:
1,5 ; 4,5; 7,5 etc. În figura 4.4 se dau câteva exemple de gradări optime ale scalelor
mijloacelor de măsurare. În dreptul lor sunt trecute valorile probabile de apreciere a
diviziunilor negradate atât în unităţi ale scalei cât şi în procente faţă de valoarea
maximă a scării gradate. Se recomandă ca aprecierea să fie de 1/4 sau 1/5 din
intervalul cuprins între două diviziuni marcate. Este de menţionat că operatorii sunt
tentaţi să facă aprecieri până la a 10-a parte dintr-un interval dar la citirea lor sunt
preferate fracţiunile 0, 2, 5 şi 8, evitând 1, 3, 4, 6, 7 sau 9.
c) Dimensiunile reperelor şi ale cifrelor marcate sunt în funcţie de distanţa de
la care se face citirea (distanţa de lectură, exprimată în mm). În figura 4.5 sunt date
25
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
raporturile procentuale orientative a dimensiunii reperelor majore, intermediare şi
minore (pentru reperele majore se consideră înălţimea G ca fiind 100 %).
0 , 1 u n i t ă ţ i = 1 %
0 , 2 u n i t ă ţ i = 0 , 8 %
1 u n i t a t e = 1 , 7 %
2 u n i t ă ţ i = 1 , 2 5 %
2 u n i t ă ţ i = 1 , 3 %
2 u n i t ă ţ i = 1 %
2 u n i t ă ţ i = 1 %
F o r m a d e i n s c r i p ţ i o n a r e a d i v i z i u n i l o r
( r e p r e z e n t a t e l a s c a r e 1 : 1 )
P r e c i z i i p r o b a b i l e d e
a p r e c i e r e ( c u a n t i f i c a r e )
+ig. 2.2 Gradări optime ale scalelor mijloacelor de măsurare şi precizii de apreciere.
G

=

1
0
0
1 4
1 4
9 . . . 1 4
5
0
7
5
d
6 6
1
6
>
Q
1
0
0
> Q
-
1 0 0
+ig. 2.; Dimensiunile orientative ale diviziunilor în funcţie de distanţa de lectură -.
Lungimea diviziunii d egală cu distanţa dintre axele a două repere
consecutive se determină (conform STAS 6419-70) în funcţie de numărul de
subdiviziuni (diviziuni interpolate în care se împarte lungimea diviziunii minore de
către operatorul uman la recepţia informaţiei de măsurare):
- [ d ⋅ ⋅ · α [mm] (4.4)
26
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
în care: d este lungimea diviziunii [mm], α este unghiul critic de observare [rad], [
este numărul de subdiviziuni şi - distanţa de lectură [mm]. Relaţia între α şi [ este
dată în tabelul de mai jos:
K 1 2 5 10
α 0,0017 0,001 0,0007 0,001
De aici, putem exemplifica pentru:
- = 250mm la un [ = 10; d = 2,5 mm,
- = 750mm la un [ = 10; d = 7,5 mm,
[ = 5; d = 2,6 mm.
Pentru înălţimea reperelor majore, se consideră: G Q $d, iar raportul dimensiunilor
cifrelor este dat considerând înălţimea lor > Q 100 % (> Q 0,28⋅- = 1/35⋅-).
d) Orientarea cifrelor pe cadrane circulare se realizează în funcţie de
mişcarea relativă cadran - ac indicator fiind recomandate orientările arătate în figura
4.6 de mai jos.
0
0
9 0
9
0
8 0
7 0
6 0
5 0
4 0
3 0
2 0
1 0
8
0
7
0
6
0
5 0
4
0
3
0
2
0
1
0
C a d r a n f i x i n d i c a t o r m o b i l C a d r a n m o b i l i n d i c a t o r f i x
+ig. 2.B Orientarea cifrelor pe cadrane circulare.
e) Poziţia acelor indicatoare trebuie să fie cât mai aproape de diviziuni fără
să le acopere aşa cum se arată în figura 4.7.
5 0 5 0
4 5 4 5
4 0 4 0
3 5 3 5
3 0 3 0 B i n e
B i n e N e r e c o m a n d a t N e r e c o m a n d a t
+ig. 2.C Poziţia acului indicator faţă de poziţia diviziunilor.
f) Forma acelor indicatoare trebuie să fie cât mai simplă evitând
ornamentaţiile de prisos. Figura 4.8 conţine câteva forme recomandate. Dimensiunile
se aleg în funcţie de grosimea diviziunilor.
27
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
F o r m e r e c o m a n d a t e N e r e c o m a n d a t
+ig. 2.F Forme ale acelor indicatoare.
g) Forma cadranului influenţează destul de mult precizia de citire.
Experienţele ergonomice au arătat că cele mai eficace din punct de vedere al
preciziei sunt cadranele cu fereastră (în care cadranul se mişcă faţă de indicator) şi
cele mai puţin avantajoase sunt cadranele verticale, aşa cum este prezentat în figura
4.9.
F e r e a s t r ă
e Q 0 , A ]
c i t
R o t u n d
e Q 1 , 1 ]
c i t
S e m i c e r c
e Q 1 , = ]
c i t
O r i z o n t a l
e Q $ , C ]
c i t
V e r t i c a l
e Q D , A ]
c i t
+ig. 2.G Forme ale cadranelor.
h) În cazul în care aparatele sunt montate pe panouri verticale se recomandă
ca acestea să se găsească într-un câmp vizual limitat de laturile unghiurilor de 15
o
în
sus şi 45
o
în jos faţă de linia orizontală de vizare a observatorului (fig. 4.10). Aceste
unghiuri sunt valorile optime de încadrare a câmpului vizual pentru un observator
mediu.
1 5
o
4 5
o
+ig. 2.1: Câmp de vizare optimă. +ig. 2.11 Poziţia normală (la zero) a acelor indicatoare.
Dacă pe panou se fixează mai multe aparate, acestea se amplasează astfel
ca indicatoarele să fie orientate ca în figura 4.11.
2.0 #ăuran$ul
Măsurandul despre care dorim să obţinem informaţii prin măsurare,
contribuie la realizarea acestor informaţii. Starea măsurandului este hotărâtoare
2"
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
pentru calitatea valorilor măsurate. În funcţie de aceasta se aleg metodele şi
mijloacele de măsurare. Este de la sine înţeles că nu vom putea aplica o metodă
directă de măsurare a densităţii unui corp solid când aceasta este imposibilă, ea
putând fi determinată numai indirect prin măsurarea masei şi volumului său şi prin
efectuarea calculelor asupra lor conform relaţiei de definiţie. Din contră, pentru un
lichid se va folosi o măsurare directă, cu ajutorul unui densimetru ce se scufundă în
recipient şi permite citirea directă a valorilor măsurate.
La măsurarea diametrului unei piese de secţiune circulară realizată prin
aşchiere (de regulă, prin strunjire) se va folosi un şubler sau un micrometru pentru că
starea suprafeţei ei nu reclamă utilizarea unui aparat de mare exactitate caz în care
măsurarea ar fi neeconomică prin timpul de măsurare necesar prea lung şi prin uzura
asociată. De asemenea, se va ţine seama ca forţa de măsurare ce se aplică
elementelor în contact cu măsurandul să nu producă deformaţii şi, implicit, erori de
măsurare. Măsurarea temperaturii unei matriţe de presat mase plastice va fi eficace
dacă palpăm în apropierea cuibului de formare a piesei şi nu la extremităţi deoarece
matriţa nu este încălzită uniform în toată mase ei.
S-au prezentat mai sus câteva exemple în care există interacţiune între
elementele sau caracteristicile mijlocului de măsurare şi măsurand care au drept
urmare afectarea rezultatelor măsurării. Există cazuri când pot interveni unele reacţii
cu urmări catastrofale ca de exemplu, măsurând cu un manometru etalonat cu ulei
presiunea dintr-un recipient cu oxigen se poate provoca o explozie cu urmări foarte
grave datorită reacţiei foarte rapide de ardere a uleiului chiar dacă acesta se găseşte
într-o cantitate foarte mică. Într-un astfel de caz se recomandă folosirea unui
manometru etalonat cu glicerină care este neutră din punct de vedere chimic faţă de
oxigen. Poziţionarea corectă a unei piese circulare prelucrate exterior prin strunjire
sau rectificare, permite identificarea abaterii de formă provocate de vibraţiile produse
în timpul aşchierii. Determinarea abaterii de la cilindricitate va fi posibilă dacă se
alege o prismă în V cu un unghi de deschidere potrivit. Unghiul prismei este funcţie
de numărul laturilor poligonului, conform figurii 4.12.
n
D = 0
1 C 0 $
o
o
o p t i m
− · α
R
e
R
e
R
i
R
i
∆
S
∆
S
2 α
2 α
( a ) ( b )
n
D = 0
1 C 0 $
o
o
o p t i m
− · α
+ig. 2.1) Determinarea unghiului optim pentru prisma de poziţionare.
2#
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
Dependenţa între indicaţia aparatului s şi abaterea de la circularitate ∆R Q R
e
V R
i
va ţine seama de faptul că măsura poligonalităţii este dată de funcţia
!HαIQ∆9B∆R pentru fiecare număr de laturi ale poligonului:
( )
/ sin
$/ cos
1
R X
s X
/ !
laturi $ n
− · ·
· ;
( )
( )


,
_


¸
¸
+ −
+
−
· ·
·
1
/ sin
1
/ sin
D0 / $sin
=0 sin 1
=0 sin
R X
s X
/ !
o
o
o
laturi D n
pentru
o
=0 ≤ α ;
( )


,
_


¸
¸
−
−
·
·
1
/ sin
1
=0 sin 1
=0 sin
/ !
o
o
laturi D n
; pentru
o
=0 ≥ α .
Pentru mai multe laturi unde formulele sunt prea complicate, valorile pentru
valoarea lui $α se vor citi din grafurile prezentate în figura 4.13.
α $ α $
R
9
∆
∆
R
9
∆
∆
6
5
4
3
2
1
0
6
5
4
3
2
1
0
2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0

2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0
$ $
R
9
∆ R
9
∆
n Q 9 n Q 2
n Q 5
n Q 7
n Q 3
+ig. 2.10 Grafuri pentru determinarea valorii optime a unghiului $α în funcţie de raportul
∆9B∆R pentru diverse numere de laturi ale poligonului.
5$
CAPITOLUL ;
ERORI DE #?1URARE
SUBIECTRUL 7
;.1. No%iuni /un$amentale
Toate măsurările au ca scop determinarea valorilor adevărate ale unor
mărimi.
Valoarea adevărată, prin ea însăşi, este o noţiune absolută şi, în general, nu
poate fi determinată
Ceea ce se cunoaşte întotdeauna este o valoare măsurată, afectată în mod
inevitabil de erori generate de imperfecţiunile aparatelor de măsură şi de imprecizia
de citire a observatorului pe de o parte, iar pe de altă parte de variaţiile ce se produc
în condiţiile de măsurare şi reglaj ale aparatelor.
Eroarea $e măurare se defineşte ca diferenţa dintre valoarea măsurată şi
valoarea adevărată a mărimii măsurate.
Având în vedere aceste considerente, se va considera pentru scopuri
practice, ca valoare adevărată o valoare măsurată cu o incertitudine suficient de
mică pentru cerinţele unei situaţii date. De exemplu, pentru verificarea unui aparat de
măsură, valoarea considerată adevărată este valoarea etalonului cu care se face
verificarea, iar pentru determinarea rezultatului măsurării prin măsurări repetate în
condiţii identice, valoarea presupusă adevărată va fi media şirului de valori.
Din cauza celor arătat mai sus, orice măsurare este afectată de o
incertitu$ine $e măurare, care este intervalul în care se estimează, cu o anumită
probabilitate (ni'el $e !ncre$ere), că se află valoarea adevărată a măsurandului.
Rezultatul măsurării trebuie să fie însoţit de indicarea incertitudinii, deoarece
în lipsa ei poate să nu servească scopului propus, sau cantitatea de informaţie
conţinută să fie insuficientă.
Pentru evaluarea corectă a incertitudinii de măsurare, este necesar să se
identifice natura şi sursa erorilor şi incertitudinile parţiale ce revin acestora.
Din punct de vedere al exprimării matematice , în vederea evaluării lor,
erorile pot fi :
- Eroare absolută :
0
" " − · δ
, unde : 1 este eroarea absolută, x ÷ valoarea
obţinută în urma măsurării; "
0
÷ valoarea adevărată a măsurandului.
- Eroare relativă :
0
0
0
"
" "
"
−
· ·
δ
ε
,
51
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
- Eroare raportată :
re!
"
e
δ
·
care se defineşte ca raportul dintre eroarea
absolută şi o anumită valoare de referinţă, stabilită prin specificaţii cum ar fi :
intervalul de măsurare, limita superioară a intervalului de măsurare, lungimea scării
gradate etc. Eroarea raportată se foloseşte pentru a putea caracteriza într-un mod
unitar mijloacele de măsurare.
;.). 1urele erorilor $e măurare
Ìn timpul procesului de măsurare, când aparatul de măsură este pus în
legătură cu măsurandul, între acestea apare o interacţiune. Pe lângă aceasta, mai
există şi alţi factori care influenţează măsurarea, putând avea efecte şi asupra
măsurandului şi asupra aparatului. Ìn consecinţă, sursele din care pot proveni erorile
de măsurare sunt cele prezentate în figura 4.1.
Erorile $atorate măuran$ului sunt denumite şi “erori de model”, deoarece
ele sunt o consecinţă a alegerii neadecvate a modelului teoretic care să reprezinte
măsurandul. De exemplu, dacă se măsoară diametrul unei piese cilindrice a cărei
secţiune nu este perfect circulară, se obţin rezultate diferite după poziţia aparatului
cu care se face măsurarea. Ìncertitudinea măsurării provine, în acest caz, din
imperfecţiunea piesei în comparaţie cu modelul unui cilindru perfect circular.
Măsurandul provoacă erori de măsurare şi prin anumite mărimi caracteristice
proprii, altele decât mărimea care se măsoară, care influenţează aparatul de
măsurat. Acestea se numesc “mărimi HparametriI nein!ormatii”, spre deosebire de
mărimea care se măsoară şi care este “mărime HparametruI in!ormati” în procesul
respectiv de măsurare. Mărimile neinformative caracteristice unui obiect fac parte din
mărimile de influenţă.
De exemplu, la măsurarea debitului unui lichid, debitmetrul este gradat corect
pentru valori date ale vâscozităţii şi ale densităţii lui; dacă aceşti parametri
neinformativi au alte valori decât cele presupuse, pot apărea erori care au caracter
de erori de model, deoarece lichidul se abate de la modelul adoptat, prin valorile
diferite ale densităţii şi vâscozităţii.
Erorile $atorate a&aratului $e măurat sau erorile intrumentale, apar
datorită proiectării şi construcţiei aparatului de măsură. Ìn condiţii normale de lucru,
limitele erorilor instrumentale sunt cunoscute din documentele care însoţesc
instrumentul. De aceea erorile instrumentale sunt cel mai uşor de evaluat de către
orice utilizator.
Erorile $atorate interac%iunii obiect6a&arat sau erorile $e retroac%iune
sunt provocate de modificarea stării obiectului de către aparatul de măsură,
5%
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
perturbaţia produsă ducând la o altă valoare a măsurandului decât cea anterioară
interacţiunii obiect-aparat.
Erorile de interacţiune apar întotdeauna la măsurarea cu aparate care nu au
surse proprii de energie (aparate pasive) şi preiau de la obiect energia necesară
măsurării. Dacă această cantitate de energie este semnificativă în raport cu energia
totală a obiectului, atunci apar erori de retroacţiune. De exemplu, pot să apară astfel
de erori la măsurarea temperaturii unui corp răcit de termometrul pus în contact cu
el, la măsurarea tensiunii electrice cu un voltmetru care consumă curent etc.
Erori instrumentale pot apare şi în cazul măsurării cu aparate care posedă
energie proprie de măsurare (aparate active), datorită schimbului energetic ce poate
avea loc în ambele sensuri între obiect şi aparat. De exemplu, astfel de erori apar în
cazul unei piese căreia i se măsoară dimensiunile, sub acţiunea forţei exercitate de
palpatorul aparatului de măsură.
Erori $atorate in/luen%elor e,terioare sau erorile $e in/luen%ă, provin de la
factorii care acţionează asupra obiectului supus măsurării şi asupra aparatului de
măsură.
Aşa cum am arătat în capitolul anterior, aceşti factori sunt, în primul rând, cei
caracteristici mediului ambiant : temperatura, umiditatea şi presiunea aerului, dar şi
câmpuri electromagnetic, radiaţii, gravitaţia terestră, acţiuni mecanice, şocuri, vibraţii,
sunete, ultrasunete.
Ìn anumite situaţii, mai ales la metodele indirecte de măsurare, apar erori
specifice numite erori $e meto$ă. Ele se pot încadra fie în categoria erorilor de
model. Fie în categoria erorilor de interacţiune.
Atunci când se apelează la metode de măsurare subiective, şi când este
nevoie ca operatorul uman să aprecieze nuanţe, intensităţi luminoase, subdiviziuni,
făcând raportarea modului în care operatorul real efectuează această operaţie, cu
operatorul ideal, pot să apară ca distincte şi erorile $e o&erator. Din punct de
vedere al categoriilor mari de surse de erori, ele se pot încadra în categoria erorilor
instrumentale.
După cum rezultă din cele arătate anterior, multitudinea surselor de erori
afectează măsurarea şi ele vor trebui să fie analizate calitativ şi cantitativ. Variaţia în
timp a tuturor acestor surse influenţează mult rezultatul măsurării.
Măsurarea nu se încheie odată cu citirea unor valori pe aparatul de măsură.
O parte componentă necesarå fiecărei măsurări o constituie interpretarea indicaţiei
obţinute. La analiza calitativă a erorilor, trebuie să se verifice căile pe care apar ele
pentru a le preveni. Dacă se cunoaşte sursa erorii şi căile de propagare a acestora,
se pot efectua operaţii de eliminare sau de compensare a lor.
51
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
SUBIECTRUL 8
;.0. Clai/icarea erorilor $u&ă mo$ul !n care e mani/etă la
măurări re&etate
Ìdentificarea erorilor din punct de vedere calitativ este foarte grea, câteodată
imposibilă, dar există modalitatea de a fi evaluate. Ìdentificarea sau evaluarea
erorilor de măsurare se realizează pe de o parte prin cunoaşterea perfectă a
caracteristicilor mijloacelor de măsurare, a condiţiilor de măsurare, iar pe de altă
parte prin repetarea măsurării în aceleaşi condiţii cu acelaşi măsurand şi cu aceleaşi
metode şi mijloace de măsurare sau prin modificarea controlată a acestora.
Rezultatele astfel obţinute vor forma structuri statistice pentru analiza cărora un
instrument bine pus la punct este statistica matematică.
Din punct de vedere al structurii statistice avem:
erori sistematice;
erori aleatoare (întâmplătoare);
erori aberante (grosolane sau parazite).
Eroarea itematică se poate recunoaşte prin aceea că la repetarea
măsurării în condiţii identice rămâne constantă atât ca valoare absolută cât şi ca
semn, sau variază pe baza unei legi cunoscute sau care poate fi definită când
condiţiile se modifică. Rezultanta erorilor sistematice furnizează corecţiile.
Erorile aleatoare (întâmplătoare) sunt necontrolabile, neputând fi
identificate, ele variază imprevizibil atât ca valoare absoluta cât şi ca semn atunci
când se măsoară repetat acelaşi măsurand în condiţii practic identice. Ele se pot
evalua cu ajutorul metodelor statisticii matematice în baza cărora se determină
incertitudinea măsurării, adică valoarea limită a erorilor aleatoare.
Erorile aberante (grosolane sau parazite) care au valori considerabil mai
mari, depăşind erorile cele mai probabile şi care introduc riscul afectării
fundamentale a rezultatului final al măsurării.
;.2. E,actitatea5 /i$elitatea şi Dute%ea măurărilor
E,actitatea constituie calitatea unei măsurări de a da rezultate apropiate de
valoarea adevărată a măsurandului. O măsurare este cu atât mai exactă cu cât
erorile de măsurare care o însoţesc (atât aleatoare cât şi sistematice) sunt mai mici.
52
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
Ìn locul termenului “precizie de măsurare” se va folosi termenul “exactitate”,
termen adoptat în ultimele reglementări internaţionale; prin aceasta nu se creează
confuzii cu alte accepţiuni ale termenului precizie.
+i$elitatea sau re&etabilitatea constituie calitatea unor măsurări repetate
ale aceluiaşi măsurand de a da rezultate apropiate între ele.
O fidelitate bună a unei măsurări însemnă erori aleatoare mici la repetarea
măsurării respective, în aceleaşi condiţii. Trebuie precizat că repetabilitatea se referă
la măsurarea aceluiaşi măsurand, în aceleaşi condiţii de mediu, cu aceleaşi mijloace
şi metode, de către acelaşi operator etc. Calitatea de a nu fi afectată de erori a
măsurării aceluiaşi măsurand în condiţii diferite, cu mijloace şi metode diferite etc., se
numeşte re&ro$uctibilitate. Termenul se aplică, de regulă, unor anumite determinări
efectuate la intervale mari de timp şi eventual în locuri diferite.
Hute%ea constituie calitatea unor măsurări repetate ale aceluiaşi măsurand
de a da rezultate ale căror valoare medie este apropiată de valoarea adevărată a
măsurandului.
O justeţe bună a unei măsurări însemnă o eroare sistematică mică a valorii
medii a rezultatelor obţinute prin repetarea de un număr mare de ori a măsurării
respective.
Exactitatea, fidelitatea şi justeţea sunt atribute generale ale oricărui proces
de măsurare. Exactitatea include fidelitatea şi justeţea ca două componente distincte,
complementare. Fidelitatea sugerează concentrarea, stabilitatea, siguranţa, iar
justeţea însemnă, în sens larg, apropiere de adevăr.
Pentru a efectua o comparaţie între erorile sistematice şi cele întâmplătoare,
vom recurge la precizia de ochire cu o armă într-o ţintă. O armă loveşte în ţintă cu
atât mai precis cu cât loviturile intră mai aproape de centrul ţintei (având eroare
sistematică mică) şi cu cât loviturile sunt mai concentrate intr-un acelaşi punct (au
erori aleatoare mici). Această caracteristică se poate ilustra semnificativ prin schema
loviturilor în ţintă (fig.5.1.)
a) b) c) d)
+ig.;.1. Schema loviturilor la ţintă.
55
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
Ìn ţinta din figura 5.1,a, loviturile marcate cu cruciuliţe au o împrăştiere mare
(eroare aleatoare mare) şi centrul împrăştierii marcat cu punct este cu mult deplasat
de centrul ţintei (eroare sistematică mare), prin urmare avem de-a face cu o precizie
redusă.
Ìn ţinta din figura 5.1,b, loviturile au o împrăştiere mare (eroare aleatoare
mare), dar centrul împrăştierii (media loviturilor) este foarte aproape de centrul ţintei.
Arma folosită este de proastă calitate, dar ochirea a fost foarte bună. Se spune că
avem o justeţe bună.
Ìn ţinta din figura 5.1,c s-a tras cu o armă bună având erori întâmplătoare
mici (împrăştiere mică = fidelitate bună), dar ochirea a fost defectuoasă datorită
deplasării centrului loviturilor (justeţe necorespunzătoare).
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 6
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 5 6
- 2 - 1 0 1 2
!
!
!
!
x = 0 , 3
x = 4 , 1
x = 0 , 1
ε
ε
ε
ε
a )
c )
b )
d )
+ig.;.). Schema de separare a erorilor sistematice şi aleatoare (unde ! este frecvenţa
cu care se repetă acelaşi rezultat al măsurării şi " este media valorilor şirului).
Ìn ţinta din figura 5.1,d, atât arma cât şi ochirea sunt bune, realizându-se
lovituri precise, având fidelitate şi justeţe ridicată a loviturilor.
56
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
Dacă grupăm într-o diagramă (Fig.5.2) într-un mod convenabil rezultatele
unor măsurări repetate, obţinem un sistem grafic după care putem separa şi evalua
erorile sistematice şi cele întâmplătoare.
Ìn figura 5.2,a, cele 18 măsurări au dat erori împrăştiate faţă de dimensiunea
nominală (reprezentată prin abscisa x=0), având erori aleatoare mari şi un centru de
împrăştierea deplasat (eroarea medie s mare) prin urmare, nu avem nici fidelitate nici
justeţe, asigurate de către mijlocul de măsurare. Figura 5.2,b prezintă eroare mare la
justeţe, însă eroare acceptabilă de fidelitate în timp ce în figura 5.2,c constatăm o
eroare mică la justeţe, dar o eroare mare de fidelitate, datorită împrăştierii mari. În
fine, figura 5.2,d arată o măsurare fidelă şi justă. Aceste grafice permit, pe lângă
observarea existenţei unor erori sistematice şi a celor aleatoare, o analiză pentru
evaluarea şi identificarea lor. Astfel, figurile 5.2, a şi c arată apariţia simultană a unor
erori sistematice variabile care poate avea ca sursă folosirea a trei aparate de
măsură sau trei metode diferite de măsurare, sau la trei temperaturi diferite, sau
execuţia piesei prelucrate a fost efectuată în 3 condiţii diferite etc. Dacă după o
analiză amănunţită se constată că sursa este una din cele arătate, se poate conchide
că avem de-a face numai cu erori sistematice diferite, iar erorile aleatoare sunt
acceptabile. Ìn acest caz se vor elimina sursele erorilor sistematice şi vor rămâne
numai erorile întâmplătoare faţă de care nu putem interveni în aceste condiţii.
Dacă se dovedeşte că aceste erori aleatoare nu sunt acceptabile, se va trece
la alte metode de măsurare mai precise (care au erori de fidelitate mai mici), mărind
astfel siguranţa de măsurare.
M a x
M i n
ε
P
r
e
ţ

d
e

c
o
s
t
+ig.;.0. Relaţia dintre preţul de cost şi exactitatea măsurării.
De menţionat este faptul că incertitudine de măsurare mai mică (exactitate
de măsurare mare), măreşte mult preţul de cost al măsurării. Relaţia dintre
exactitatea de măsurare şi preţul de cost al măsurării este redată în figura 5.3.
SUBIECTRUL 9
;.;. Erori itematice
57
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
5.5.1. CARACTERÌSTÌCÌLE ERORÌLOR SÌSTEMATÌCE
Erorile sistematice au cauze care, în principiu, pot fi identificate individual.
Din moment ce s-au identificat, se elimină cauzele care le-au produs sau se
efectuează calculele necesare pentru corecţia rezultatelor obţinute cu relaţia C=-E
(corecţia este egală cu eroarea cu semn schimbat). Ìn acest fel, obţinem un rezultat
corectat pentru valoarea măsurandului, adică o remediere a rezultatului măsurării. Ìn
cazul în care repetăm de mai multe ori operaţia de măsurare în aceleaşi condiţii,
aceasta nu a seri la remedierea re&ultatelor întrucât erorile sistematice se vor
reproduce de fiecare dată. După cum se va arăta mai departe, repetarea măsurării
ne va ajuta la stabilirea erorilor aleatoare care însă nu vor servi la corectarea
rezultatelor ci vor fi folosite pentru stabilirea limitelor incertitudinii măsurării (limitele în
care se va găsi rezultatul cu o anumită probabilitate
Prin urmare, pentru identificarea şi evaluarea erorilor sistematice este
necesară o analiză amănunţită şi circumspectă care să se extindă la toate cauzele şi
sursele posibile de a le genera. Analiza va comporta încercări şi experienţe prin care
vom lua pe rând sursele susceptibile amplificând influenţa lor, pentru a ne convinge
cât afectează rezultatele măsurării.
Principalele caracteristici ale erorilor sistematice sunt :
− se pot deduce prin calcul ca valoare şi semn cunoscând cauzele ce le
provoacă;
− se pot elimina prin schimbarea principiului de măsură;
− nu se pot observa sau elimina prin schimbarea aparatului de măsură cu
altul de acelaşi tip, prin schimbarea operatorului sau repetarea
măsurărilor;
− la schimbarea condiţiilor de măsurare, după o anumită dependenţă,
erorile sistematice se schimbă conform unei legi anumite sau rămân
constante.
Pentru o analiză cât mai bună a erorilor sistematice, în vederea evaluării lor,
este necesară cunoaşterea unor forme matematice sub care intervin aceste erori
asupra rezultatelor măsurării.
Din acest punct de vedere distingem :
Erori sistematice constante care sunt de forma :
, const " · ·∆ ε
(5.1)
şi reproduc eroarea X" a mărimii de influenţă.
Erori sistematice variabile proporţionale care sunt de forma :
,
e
" C " ⋅ · · ∆ ε
(5.2.)
5"
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
adică proporţională cu valoarea măsurată.
Erori sistematice variabile periodic, descrise prin relaţii de forma :
( ) ( ) , :% " ! " ! " + · · ·∆ ε
(5.3)
unde
% ^ : , ∈
- este perioada de variaţie a argumentului ".
Erori sistematice variabile după o lege oarecare, având forma generală :
( ) , u " ! " · · ·∆ ε
(5.4)
unde !H"IQu este o funcţie oarecare, dar care poate fi determinată.
Pe lângă erorile itematice i$enti/icabile sau reme$iabile (care au cauze
cunoscute şi se pot elimina prin calcule), în cadrul unei măsurări pot apare erori
itematice nei$enti/icabile sau nereme$iabile. Ìn acest caz nu vom putea utiliza
sisteme de compensare sau calcule de corecţii, ele vor afecta rezultatele măsurării
ca şi erorile aleatoare, deci vor mări limitele de incertitudine a măsurării.
Ìn cazul în care valorile lor nu depăşesc ordinul de mărime al erorilor
aleatoare, ele se vor putea compune cu acestea. S-a folosit termenul de compunere
şi nu de sumă algebrică, pentru că, în cele mai multe cazuri se face o compunere
geometrică.
5.5.2. ERORÌ DE OPERATOR
Erorile datorate operatorului provin din cauze subiective acestuia şi care sunt
legate fie de calităţi native ÷ viteza de reacţie şi acomodare a ochiului, manualitate,
tendinţa de apreciere a subdiviziunilor etc.
Se acceptă că orice observator care efectuează o măsurare poate să
introducă o eroare sistematică neremediabilă de observare cuprinsă între limitele :
DY X
o
t ·
, (5.5)
numită limita erorii de observare, unde o este abaterea pătratică medie a şirului de
determinări.
Eroarea de apreciere a subdiviziunilor unei scale (sau nesiguranţa de
apreciere sau de citire) este funcţie de distanţa dintre două diviziuni succesive ale
scale şi este de forma :
d 10
1
XA t ·
diviziuni de scală, (5.6)
unde : [d]=cm.
Este de remarcat faptul că anumiţi observatori preferă anumite fracţiuni ale
diviziunii, prin aceasta mărind nesiguranţa. S-a observat că majoritatea operatorilor
apreciază mai uşor subdiviziunile 2, 5 şi 8 decât pe celelalte.
5#
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
SUBIECTUL 10
5.5.3. ERORÌ ÌNSTRUMENTALE
Se datorează în principal imperfecţiunii mijloacelor de măsurare. Ele apar ca
urmare a toleranţelor de execuţie ale pieselor componente, a toleranţelor de montaj
al pieselor, a reglajelor necorespunzătoare, a principiului de funcţionare, a lanţului de
amplificare al aparatului etc. Ìn principiu, erorile instrumentale pot fi reduse folosind
aparate de măsură construite şi montate precis, printr-un reglaj corespunzător sau cu
un principiu de măsurare corespunzător ales. Determinate valoric, se dau de obicei
în diagrame sau tabele care însoţesc aparatul şi cu ele se corectează rezultatul
măsurării.
Deci, această categorie de erori ţine de tehnica experimentală propriu-zisă şi,
în consecinţă, discutarea lor se va face odată cu examinarea mijloacelor de
măsurare, condiţiile de etalonare şi a metodelor de măsurare. Partea necalculabilă a
erorii sistematice instrumentale, care se poate aprecia ca o imprecizie, se dă
împreună cu erorile întâmplătoare, în notiţa tehnică a fiecărui mijloc de măsurare, ca
valoare maximă a erorii sistematice sau drept clasă de precizie pe scala aparatului.
;.;.).1 Erori $e etalonare
Orice etalon, oricât de precis ar fi prelucrat, are abateri faţă de valoarea
nominală. Dacă există posibilitatea ca etalonul să fie comparat cu unul mai precis,
atunci abaterile obţinute vor însoţi etalonul în formă tabelară. Dacă acest lucru nu
este posibil, atunci se indică abaterea WX
e
, adică eroarea maximă sistematică a
etalonului, de care trebuie să se ţină seama la măsurare. Folosind un astfel de
etalon, şi considerând sistemul de amplificare perfect (adică dând o caracteristică
constantă), la o variaţie unitară a mărimii de intrare, mărimea de ieşire va avea o
variaţie care va fi afectată de eroarea de etalonare pentru o diviziune :
,
e
: ∆ ε ⋅ ·
(5.7)
unde k este factorul de amplificare.
Ìn consecinţă, pentru o anumită citire cu n diviziuni, eroarea de indicare va fi :
.
e i
n : n ∆ ε δ ⋅ ⋅ · ⋅ ·
(5.8)
;.;.).) Erori $atorate /or%elor maice
Greutatea proprie a elementelor mijloacelor de măsurare, a etaloanelor sau
chiar a măsurandului, poate să producă acestora deformaţii sau deplasări care să
6$
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
conducă la afectarea fundamentală a rezultatelor măsurării. Din această cauză, ele
trebuie să fie construite cu rigiditate suficientă şi trebuie sprijinite pe suporţi aşezaţi
perpendicular pe lungimea lor. Problema care se pune este de a alege poziţia
punctelor de sprijin ale unei rigle astfel încât scurtarea şi deformarea să fie minime,
în cazul în care o considerăm uniform încărcată pe lungime cu greutatea proprie. Ea
a fost studiată pentru prima dată, de G.B. Airy în 1857.
Considerăm o grindă de lungime $-, rigiditate constantă, încărcată cu
greutatea proprie m [N/m] şi rezemată simetric la distanţa l de capete (fig. 5.4).
l l
$ -
m [ N / m ]
1
2 3
4
O Q - m
$
O Q - m
D
%
,
i
+
_
+
_
_
_
__
+
+
+
m l
m l B $
$
m l B $
$
m l
m H - - l I
m H - - l I
m - H m - B $ - l I
+ig. ;.2 Con/igura%ia &entru $eterminarea &unctelor >eel 6 Air<.
Ne propunem să determinăm lungimea l astfel ca grinda să se scurteze cât
mai puţin şi să aibă o deformaţie minimă.
Din condiţia de echilibru static obţinem :
. m - O O
D $
⋅ · ·
(5.9)
Diagrama de forţe tăietoare şi de momente încovoietoare se prezintă ca în
figura 5.4. Ecuaţia fibrei medii deformate este, pentru acest caz, este de forma :
,
&
i
$
$
I (
,
d"
d
⋅
− ·
(5.10)
unde : ,
i
este momentul în secţiunea ", ( este modulul de elasticitate longitudinală
al materialului barei, iar I
&
este momentul de inerţie al secţiunii grinzii.
Prin integrarea ecuaţiei (5.10), se obţin rotirea şi săgeata în secţiunea ", date
de relaţiile:
61
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
∫
+


,
_


¸
¸
⋅
− · U C d"
I (
,
1
&
i
ϕ
(5.11)
∫ ∫
+
1
]
1

¸

+


,
_


¸
¸
⋅
− ·
# $ 1
&
i
C d" C d"
I (
,

(5.12)
Momentele în secţiunea curentă sunt :
,
$
m"
,
$
$ 1
− ·
−
(5.13)
( ) .
$
ml
l - m"
$
m"
,
$ $
D $
− − + − ·
−
(5.14)
Aplicând relaţia (5.10) şi integrând obţinem :
( )
.
,
$
$ $ D
& D $
1
D
& $ 1
C
$
" ml
$
" l - m
=
m"
I (
C
=
m"
I (
+ +
−
− · ⋅ ⋅
+ · ⋅ ⋅
−
−
ϕ
ϕ
Punem condiţia ca grinda să fie orizontală la extremităţi şi să aibă săgeata
minimă la mijlocul lungimii sale, obţinând :
( ) ( )
.
,
=
l -l ; - $ l - m
C 0 l - "
0 C 0 0 "
$ $
$ D $
1 $
− − −
· ⇒ · − −
· ⇒ · ·
−
−
ϕ
ϕ
(5.15)
Din ipoteza de continuitate a grinzii în dreptul reazemului
, ,
st
$
dr
$
$ ϕ ϕ ·

unde se ţine seama de condiţia
( )( )
0 "
D $
$ $
dr
$
=
l -l ; - $ l - m
·
−
·
− − −
· ϕ ϕ şi de condiţia
,
l "
$ 1
$
st
$
=
ml
·
−
· · ϕ ϕ găsim ecuaţia în l :
, 0 - $ l - = -l D
D $ $
· + − (5.16)
cu soluţia posibilă :
( ) . , - $
_
$
- ;;$$=A 0 -
D
D D
l ≅ ⋅ ·
−
· (5.17)
Rezultatul obţinut ne conduce la concluzia că, pentru a obţine o eroare
minimă, distanţa punctelor de sprijin de la capetele barei trebuie să fie la 2/9 din
lungimea ei.
;.;.).0 Erori $e aliniament
Erorile de aliniament sunt erori care apar, în principal rând, la măsurări cu
ajutorul mijloacelor de măsurare prevăzute cu elemente mobile pe ghidaje, datorită
abaterii acestora de la direcţia ideală de deplasare.
6%
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
Considerăm un cilindru de diametru D care se măsoară cu un aparat cu
palpator a cărei axă face cu direcţia ideală de deplasare un unghi /. Când este în
legătură cu baza de aşezare, punctul de contact este A
1
, iar când este în contact cu
cilindrul (M), punctul de contact este A (fig.5.5).
α
7
-
M
A
A
1 A
2
+ig. ;.; Con/igura%ia &entru $eterminarea erorii $e aliniament.
Lungimea indicată de aparatul de măsură va fi l
1
QAA
1
, iar mărimea adevărată
a măsurandului este 7.
Eroarea absolută de aliniament va fi :
. 7 l l
1 a
− · ∆
(5.18)
Din considerente geometrice, valoarea 7 este 7Ql
1
@cos/ şi înlocuind în relaţia
anterioară,
( ) # cos/ 1 l cos/ l l Xl
1 1 1 a
− · ⋅ − ·
(5.19)
Prelucrând ,
$
/
$
/
sin $ cos/ 1
$
$
≅ ⋅ · − obţinem :
,
$
l l
$
1 a
α
∆ ⋅ · (5.20)
valoarea erorii de aliniament pentru o indicaţie l
1
a aparatului de măsură şi o abatere
/ de la poziţia optimă de lucru a palpatorului.
Prin acelaşi mecanism se tratează şi cazurile legate de măsurarea unei piese
cu suprafaţa plană cu un palpator sferic, sau a unei piese cu profil circular cu un
palpator cu suprafaţa activă plană.
;.;.).2 Erori $e am&li/icare
Erorile de amplificare apar, printre altele, la sistemele mecanice cu
amplificare prin pârghii ca în exemplul ce urmează.
Considerăm cazul în care deplasarea H"
i
I, primită în timpul măsurării este
amplificată printr-un sistem de pârghii ca în figura 5.6.
61
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
"
i
M
m
a
1
a
$
O
O
+ig. ;.B. Eroare la amplificarea cu pârghii.
Deplasarea O a elementului de legătură cu restul aparatului, va fi
proporţională cu deplasarea "
i
a palpatorului cu relaţia :
.
i
1
$
i
" :
a
a
" O ⋅ · ·
(5.21)
Valoarea lui O va fi influenţată de variaţia raportului de amplificare
1
2
a
a
: ·
.
Variaţia X: va fi dependentă de variaţia lungimii pârghiilor de lungimi a
1
şi a
$
,
respectiv Xa
1
şi Xa
$
.
Se ştie că, dacă o mărime R depinde de n factori "
i
printr-o funcţie de forma :
y=f(x
1
, x
2
,.,x
i
,., x
n
) (5.22)
şi fiecare factor suferă, respectiv o variaţie (sau o eroare) X"
i
, atunci eroarea mărimii
R , XR va fi dată de diferenţiala totală a funcţiei ! :
.
n
i
i
$
$
1
1
"
!
"
"
!
"
"
!
"
"
!
R
∂
∂
+ + ⋅
∂
∂
+ + ⋅
∂
∂
+ ⋅
∂
∂
·   ∆ ∆ ∆ ∆
(5.23)
Aplicând cele de mai sus la variaţia factorului de amplificare : vom avea
pentru aceasta :
# Xa
a
:
Xa
a
:
X:
$
$
1
1
⋅
∂
∂
+ ⋅
∂
∂
·
(5.24)
Dar,
$
1
$
1
a
a
a
:
− ·
∂
∂
şi
1 $
a
1
a
:
·
∂
∂
(5.25)
şi deci :


,
_


¸
¸
+ − · ⋅ + ⋅ − ·
$
$
1
1
1
$
$
1
1
$
1
$
a
a X
a
a X
a
a
Xa
a
1
Xa
a
a
X:
. (5.26)
Cum variaţiile Xa
1
şi Xa
$
pot avea valori pozitive sau negative, cazul cel mai
defavorabil va fi acela când se însumează influenţa celor două variaţii, adică :
62
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
,
a
a X
a
a X
a
a
X:
$
$
1
1
1
$
ma"


,
_


¸
¸
+ ·
sau, după prelucrări, variaţia maximă va fi :
#
a
Xa
a
Xa
: X:
$
$
1
1
ma"


,
_


¸
¸
+ ·
(5.27)
Eroarea sistematică maximă a mărimii de ieşire R va fi, prin urmare :
,
a
Xa
a
Xa
: " X: " XO Xl
$
$
1
1
i i
ma"
R


,
_


¸
¸
+ ⋅ ⋅ · ⋅ · ·
(5.28)
iar eroarea relativă maximă va fi dată de relaţia:
#
a
Xa
a
Xa
: "
a
Xa
a
Xa
: "
O
Xl
2
$
$
1
1
i
$
$
1
1
i
ma"
R
ma"
+ ·
⋅


,
_


¸
¸
+ ⋅ ⋅
· ·
(5.29)
Relaţia (5.29) arată că eroarea relativă a deplasării elementului de legătură
O
Xl
R
este suma erorii relative
$
$
1
1
a
Xa
a
Xa
+ −
a lungimii pârghiilor a
1
şi a
$
şi că aceasta
poate să atingă valoarea maximă în aceleaşi condiţii ca şi eroarea absolută, adică
atunci când abaterile celor două braţe ale pârghiei sunt de semne contrarii ceea ce
conduce la cumularea erorii de valoare totală, pozitivă sau negativă.
5.5.3. ERORÌ DE RETROAC|ÌUNE (ÌNTERAC|ÌUNE)
;.;.0.1 Eroarea $atorată $e/ormării ub ac%iunea /or%ei $e măurare
Atunci când o piesă este măsurată prin contact cu tija palpatoare a
aparatului, datorită forţei de măsurare, va apare o deformaţie, introducându-se în
acest fel o eroare de determinare. La rezultatul înregistrat, în cazul în care se
măsoară dimensiuni exterioare, trebuie adăugată întotdeauna mărimea acestei
deformaţii.
Ìn figura 5.7 este prezentat efectul deformaţiei la contactul dintre piesa de
măsurat şi suprafaţa palpatorului, iar valoarea deformaţiei se poate calcula după
teoria elaborată de Hertz care este, în bună concordanţă cu rezultatele
experimentale:
Deformaţia combinată
F
l ∆
poate fi calculată cu relaţia :
, ` \ B 8 Xl
1BD $BD
8
· (5.30)
unde: 8 este forţa de măsurare, exercitată de palpator asupra piesei;


,
_


¸
¸
+ ·
$ 1
R
1
R
1
$
1
B

este un coeficient ce depinde de raza R
1
la vârf a palpatorului şi de raza R
$
a piesei
65
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
de verificat;
$
$ 1
$
a a
\
,
_

¸
¸ +
· este o constantă de material prin coeficienţii Poisson a
1
şi a
$
ai materialului palpatorului şi al piesei si ` ÷ constanta ce depinde de raportul între
geometria piesei şi a palpatorului.
P i e s a d e m ă s u r a t
P a l p a t o r
8
D e f o r m a r e a p i e s e i
D e f o r m a r e a p a l p a t o r u l u i
D e f o r m a r e a
c o m b i n a t ă
+ig.;.C. Eroare $e retroac%iune $atorată /or%ei $e măurare.
Relaţiile care se utilizează în practică şi care ţin seama de modul de aşezare
al piesei de controlat şi de săgeata de încovoiere, considerând contactul dintre piese
oţel pe oţel cu modulul de elasticitate ( = 2·105 Mpa sunt:
0 , 4 0 , 6 1 2 4 6 8 1 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
3 , 5
3 , 0
2 , 5
2 , 0
1 , 5
1 , 0
0 , 5
∆
l


[
m
m
.
1
0


]
8
-
3
∆
l
8
d
d
8
8
+ig.;.F. Diagrama pentru determinarea deformaţiei de contact Xl8 pentru cazul sferă ÷ sferă.
66
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
0 , 4 0 , 6 1 2 4 6 8 1 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
3 , 5
3 , 0
2 , 5
2 , 0
1 , 5
1 , 0
0 , 5
∆
l


[
m
m
.
1
0


]
8
-
3
∆
l
8
d
8

+ig.;.G. Diagrama pentru determinarea deformaţiei de contact AlF pentru cazul sferă ÷
plan.
a) sferă ÷ sferă (fig.5.8) :
D
$ =
8
7
1
d
1
8 10 1_ Xl
,
_

¸
¸
+ ⋅ ⋅ ·
−
mm, (5.31)
şi dacă dQ7 :
D
$ =
8
d
1
8 10 $; Xl ⋅ ⋅ ⋅ ·
−
mm, (5.32)
b) sferă ÷ plan (fig.5.9) :
D
$ =
8
d
1
8 10 1_ Xl ⋅ ⋅ ⋅ ·
−
mm, (5.33)
plan ÷ sferă ÷ plan :
D
$ =
8
d
1
8 10 DC Xl ⋅ ⋅ ⋅ ·
−
mm, (5.34)
0 , 4 0 , 6 1 2 4 6 8 1 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
2 , 0
1 , 5
1 , 0
0 , 5
∆
l


[
m
m
.
1
0


]
8
-
3
∆
l

∆
l

8
8
8
8
+ig.;.1:. Diagrama pentru determinarea deformaţiei de contact AlF pentru cazul plan ÷
cilindru.
67
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
c) plan ÷ cilindru (fig.5.10) :
D
=
8
d
1
l
8
10 0,;= Xl ⋅ ⋅
−
mm, (5.35)
unde : 8 este forţa de măsurare [daN]; 7, d ÷ diametre [mm]; l ÷ lungimea contactului
cilindru-plan [mm]; Xl
8
÷ deformarea de contact [mm].
;.;.0.) Eroarea la măurarea $ebitului unui /lui$ cu un $ebitmetru $i/eren%ial
Considerând cazul când se măsoară debitul unui fluid cu un debitmetru
diferenţial, neprevăzut cu un dispozitiv de compensare a presiunii sau (şi)
temperaturii.
Se ştie că debitul este funcţie de presiune după formula :
, p % B Z ⋅ ⋅ ·
(5.36)
unde : B este o constantă; % ÷ temperatura; p- presiunea fluidului.
La o variaţie a presiunii p cu o valoare Ap şi a temperaturii % cu o valoare X%,
apare o eroare XZ.
Ìn general, valoarea lui AQ se determină prin relaţia (5.23) şi deci ea va fi :
. p
p
Z
%
%
Z
Z ∆ ∆ ∆ ⋅
∂
∂
+ ⋅
∂
∂
·
(5.37)
SUBIECTUL11
;.;.0.0 Eroarea la măurarea tem&eraturii unui /lui$ !nc(i !ntr6o incintă
a$iabatică
Considerăm un fluid de masă m şi căldură specifică c, închis intr-un
calorimetru de masă m⋅c şi căldură specifică c⋅c, ambele având temperatura t. Ìn fluid
se introduce un termometru de masă m⋅t şi căldură specifică c⋅t, aflat la temperatura
t
0
. Ìntre termometru, fluid şi calorimetru are loc un schimb energetic până la stabilirea
echilibrului termodinamic la o temperatură finală t
!
.
Dacă tbt
0
, ecuaţia de bilanţ energetic a elementelor care participă la
măsurare este :
( ) ( ) ( ) .
0 ! t t ! c c !
t t c m t t t m t t mc − · − + −
(5.38)
De aici rezultă :
( ) ( )
( )
( )
( )
.
c c
0 ! t t
!
c c
! 0 t t c c !
c m c m
t t c m
t t
c m c m
t t c m c m c m t
t
⋅ + ⋅
− ⋅
+ · ⇔
⋅ + ⋅
− ⋅ − ⋅ + ⋅
·
Eroarea sistematică a măsurării este :
( )
#
c m c m
t t c m
t t Xt
c c
0 ! t t
!
⋅ + ⋅
− ⋅
− · − ·
(5.39)
6"
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
Se observă că, eroarea este cu atât mai mică cu cât capacitatea calorică a
termometrului este mai mică şi temperatura sa mai apropiată de cea a fluidului.
Eroarea relativă se scrie :
( )
( )
#
t t c m
c m c m t
1
1
t
Xt
2
0 ! t t
c c !
t
− ⋅
⋅ + ⋅
+
− · ·
(5.40)
Din condiţia ma" t
2 2 ≤
, unde 2
ma"
este eroarea relativă maximă admisă pentru
măsurarea respectivă, obţinem pentru capacitatea calorică a termometrului :
( )
( ) ( )
,
2 1 t t
2 c m c m t
c m
ma" 0 !
ma" c c !
t t
− −
⋅ + ⋅
≤ ⋅
(5.41)
ceea ce ne permite să alegem un anumit termometru pentru o anumită precizie
impusă experimentului respectiv.
O>1ER@A*IE: Ìn relaţia (5.41) apare temperatura finală t! , ceea ce ar putea
genera anumite semne de întrebare în sensul de a utiliza o valoare ce rezultă la
sfârşitul măsurării pentru o operaţie ce se desfăşoară anterior ei. Ìn procedeul de
alegere a termometrului, temperatura finală este înlocuită cu valoarea maximă a
domeniului de măsurare pentru clasa de termometre din care se va selecta
instrumentul necesar.
SUBIECTUL12
;.;.0.2 Eroarea itematică la măurarea teniunii electromotoare a unei ure
reale $e c.c.
Fie un circuit de curent continuu, alimentat de o sursă de t.e.m. şi rezistenţa
interioară rc0.
La introducerea în circuit a voltmetrului cu rezistenţa proprie R
d
c0, se închide
circuitul şi apare un curent I care străbate şi sursa pe care are loc o cădere de
tensiune I@r, astfel încât tensiunea măsurată M
"
nu mai este egală cu t.e.m. pe care
intenţionam să o determinăm la începutul experimentului şi care va fi exprimată prin
relaţia :
r I M (
"
⋅ + ·
, (5.42)
dar, prin legea lui Ohm
,
r R
(
I
d
+
·
(5.43)
înlocuind în (5.33) obţinem :
#
R
r
1 M (
d
"


,
_


¸
¸
+ ·
(5.44)
6#
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
M

"
( U r
R

I
+ig.;.11. Măsurarea t.e.m. a unei surse de c.c.
Eroarea sistematică relativă va fi :
,
R
r
M ( M X(
d
" "
⋅ − · − ·
(5.45)
adică, ea va fi cu atât mai mică cu cât va fi mai mare rezistenţa interioară a
voltmetrului.
Eroarea relativă este, în acest caz :
#
r R
r
(
X(
2
d
(
+
− · ·
(5.46)
Ìmprimând condiţia ma" (
2 2 ≤
, unde 2
ma"
este eroarea maximă admisă,
obţinem pentru rezistenţa R
d
o condiţie ce permite alegerea voltmetrului astfel încât
eroarea relativă maximă tolerată să nu fie depăşită :
( )
ma"
ma"
d
2
2 1 r
R
−
≥
. (5.47)
;.;.0.; Eroarea itematică la măurarea intenită%ii c. c. cu un am&ermetru
real
( U r ( U r
R
A
I
I I
"
I
"
R R
a) b)
7$
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
+ig. ;.1). Măsurarea intensităţii curentului continuu.
Fie un circuit de curent continuu, format dintr-o sursă cu t.e.m. ( şi rezistenţa
interioară r şi o rezistenţă R (fig. 5.12,a).
Curentul generat în circuit va fi, în absenţa ampermetrului :
.
r R
(
I
+
·
(5.48)
Când în circuit se introduce ampermetrul (fig. 5.12,b), curentul de măsurat va fi :
#
R r R
(
I
A
"
+ +
·
(5.49)
de aici, (QI
"
⋅HR
A
SRSrI şi (5.48) devine :
( )

,
_

¸
¸
+
+ ·
+
+ +
·
r R
R
1 I
r R
r R R I
I
A
"
A "
. (5.50)
Eroarea sistematică absolută este :
"
A
"
I
r R
R
I I XI
+
− · − · . (5.51)
Raportând la valoarea adevărată, obţinem eroarea relativă de forma :
r R R
R
I
XI
2
A
A
I
+ +
− · ·
. (5.52)
Pentru o eroarea relativă maximă tolerată, 2
ma"
, impusă pentru asigurarea unei
anumite exactităţi a măsurării se poate determina o condiţie ma" I
2 2 ≤
, ce ne permite
să alegem un anumit ampermetru prin rezistenţa sa interioară:
( )
ma"
ma"
A
2 1
2 r R
R
−
+
≤
. (5.53)
5.5.4. ERORÌ DATORATE ABATERÌÌ DE LA CONDÌ|ÌÌLE STANDARD DE LUCRU.
EROARE DE TEMPERATURÄ
Erorile sistematice datorate variaţiei de temperatură au cele mai mari
influenţe asupra rezultatului măsurării lungimilor. Ele apare atunci când măsurandul
şi măsura au temperaturi diferite, dar şi atunci când au aceeaşi temperatură, dar
diferită de temperatura standard de lucru.
Reducerea acestor erori se face în principal prin impunerea unui timp de
menţinere a măsurii şi măsurandului în acelaşi mediu de temperatură cunoscută şi
menţinerea temperaturii mediului cât mai aproape de temperatura de 20°C.
;.;.2.1 Erori &ro$ue $e tem&eratură la măurări $irecte $e lungime
71
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
Fie măsurandul M care la temperatura t
,
are lungimea -, citită pe un etalon
m, gradat la 20°C, dar care, de asemenea, are o temperatură tm diferită de t
0
=20°C
(fig. 5.13). Pentru masurand şi măsură, se cunosc coeficienţii de dilatare liniară /
,
şi
respectiv /
m
.
m
M
-
+ig.;.10. Schema unei măsurări directe de lungime.
Lungimea măsurandului la temperatura t
,
= t
0
este :
( )
, ,
0
,
Xt / 1 l - ⋅ + ·
, (5.54)
unde : Xt
,
Q t
,
- t
0
şi
0
,
l
- lungimea sa la t
0
.
Dacă lungimea măsurii la t
0
este
0
m
l
, atunci la temperatura t
,
, lungimea
indicată - va fi :
( )
m m
0
m
Xt / 1 l - + ·
, (5.55)
unde : At
m
=t
m
- t
0
.
Prin raportarea relaţiilor (5.54) şi (5.55) obţinem :
m m
, ,
0
,
0
m
Xt / 1
Xt / 1
l
l
⋅ +
⋅ +
·
. (5.56)
Dar, cantitatea citită de fapt pe măsură, va fi
0
m
l
, deci eroarea de temperatură va fi :
, ,
m m , ,
0
m
, ,
m m
0
m
0
,
0
m t
Xt / 1
Xt / Xt /
l
Xt / 1
Xt / 1
1 l l l Xl
⋅ +
⋅ − ⋅
·


,
_


¸
¸
⋅ +
⋅ +
− · − ·
. (5.57)
Eroarea relativă se exprimă prin relaţia :
, ,
m m , ,
0
m
t
t
Xt / 1
Xt / Xt /
l
Xl
2
⋅ +
⋅ − ⋅
· ·
. (5.58)
Ìn cazul în care, înainte de măsurare, măsurandul şi măsura au fost aduse la aceeaşi
temperatură prin menţinerea lor în acelaşi mediu un timp suficient de lung, vom
putea scrie pentru diferenţele de temperatură relaţia : XtQXt
,
QXt
m
şi eroarea relativă
va fi:
Xt / 1
Xt I / H/
2
,
m ,
t
⋅ +
⋅ −
·
. (5.59)
7%
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
Dacă impunem erorii relative o valoare maximă admisă smax, atunci obţinem
pentru diferenţa de temperatură o valoare maximă admisă :
( )
ma" m ,
ma"
2 1 / /
2
Xt
− −
≤
. (5.60)
;.;.2.) Erori &ro$ue $e tem&eratură la măurări $e lungime &rin com&arare
$irectă
Fie un măsurând de lungime
t
,
l
şi un bloc de cale de lungime
t
m
l
la
temperaturile %
,
şi respectiv, t
m
, diferite de t
0
=20°C.
Dacă notăm cu
0
,
l
şi
0
m
l
lungimile măsurandului şi respectiv măsurii la
temperatura t
0
, atunci avem :
( )
, ,
0
,
t
,
Xt / 1 l l ⋅ + ·
; (5.61)
( )
m m
o
m
t
m
Xt / 1 l l ⋅ + ·
. (5.62)
Rezultatul măsurării (citit) afectat de temperatură va fi :
1
0
m
l l - + ·
, (5.63)
unde :
0
m
l
este inscripţia de pe cală, marcată la t
0
=20°C. Din figura 5.14 obţinem :
1
t
m
t
,
l l l + ·
. (5.64)
m
M
l
l
l m
,
t
t
+ig.;.12. Schema unei măsurări de lungime prin comparare directă.
Întorcându-ne la relaţiile (5.61) şi (5.62) obţinem :
( )
( ) ( ) , l Xt / 1 l Xt / 1 l
, l l Xt / 1 l
1 m m
0
, , ,
0
,
1
t
m , ,
0
m
+ ⋅ + · ⋅ +
+ · ⋅ +
sau,
, ,
1
, ,
m m
0
m
0
,
Xt / 1
l
Xt / 1
Xt / 1
l l
⋅ +
+
⋅ +
⋅ +
⋅ ·
. (5.65)
Eroarea sistematică absolută de temperatură este :
, ,
1
, ,
m m
0
m 1
0
, t
Xt / 1
l
Xt / 1
Xt / 1
l l l - Xl
⋅ +
−
⋅ +
⋅ +
⋅ − + − ·
,
71
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
, ,
, ,
1
, ,
m m , ,
0
m t
Xt / 1
Xt /
l
Xt / 1
Xt / Xt /
l Xl
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅ +
⋅ − ⋅
⋅ ·
. (5.66)
Eroarea relativă va fi dată de :
( )
( )
1 m m
0
m
, , 1 m m , ,
0
m
0
,
t
t
l Xt / 1 l
Xt / l Xt / Xt / l
l
Xl
2
+ ⋅ +
⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅
· ·
. (5.67)
Dacă după un anumit timp de menţinere a măsurii şi măsurandului în
aceleaşi condiţii de mediu, respectiv de temperatură, putem să scriem că Xt Q Xt
,
Q
Xt
m
şi relaţia (5.67) devine :
( )
( )
1 m
0
m
, 1 m ,
0
m
t
l Xt / 1 l
Xt / l Xt / / l
2
+ ⋅ +
⋅ ⋅ − ⋅ −
·
, (5.68)
şi impunând erorii relative o valoare maximă admisă, vom găsi pentru variaţia de
temperatură suportată de nivelul de exactitate impus al măsurării relaţia :
( )
( ) ( )
, 1
0
m m ,
0
m
1
0
m
/ l l 2 / / l
2 l l
Xt
+ − ⋅ −
+
≤
. (5.69)
Din relaţie, rezultă că erorile sunt mult mai mari în cazul măsurărilor prin
comparare decât cele care se manifestă la măsurări directe.
SUBIECTUL13
;.B. Erori aleatoare
5.6.1. CAUZE, PROPRÌETÄ|Ì
Erorile aleatoare sunt cele care variază imprevizibil, atât ca valoare absolută
cât şi ca semn, atunci când se măsoară aceeaşi mărime în condiţii identice.
Ele nu pot fi determinate numeric sau eliminate, deoarece nu li se pot stabili
şi separa cu precizie cauzele care le produc.
De fapt cauzele globale care produc erorile aleatoare sunt aceleaşi ca ale
erorilor sistematice, cu deosebirea că dacă la erorile sistematice putem stabili valorile
lor în funcţie de mărimile de influenţă, pentru erorile aleatoare variaţiile mărimilor de
influenţă sunt mult mai rapide şi nu se poate stabili decât un interval de variaţie a lor.
Prin măsurarea mărimilor se obţin serii de valori care pot fi interpretate ca
evenimente aleatorii care formează populaţii statistice. Aceste populaţii, analizate
riguros, pot furniza informaţii deosebit de utile asupra rezultatului final al măsurării şi
asupra intervalului în care acesta poate exista cu o anumită probabilitate.
Prin probabilitate înţelegem măsura şanselor de realizare a unui eveniment
A, adică :
72
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
posibile rezultate Numar
favorabile rezultate Numar
ate probabilit · ·
A
K
,
aceasta însemnând că probabilitatea realizării evenimentului ă poate fi cuprinsa între
zero şi unu. Se consideră că pentru un eveniment imposibil, probabilitatea este zero,
iar pentru un eveniment sigur, probabilitatea este egală cu unu.
Variabilele aleatoare pot fi discrete sau continue, caracterizate de legi de
repartiţie bine definite care sunt funcţii numerice definite pe mulţimea rezultatelor
unui experiment.
@ariabila aleatoare $icretă ia o mulţime finită sau numărabilă de valori "
1
,
"
$
, ', "
n
, fiecare valoare "
i
având o &robabilitate $e reali=are p
i
, adică :
∑
·
· ≤ ≤
1
1
]
1


¸

·
n
1 i
i i
n i $ 1
n i $ 1
1 p 1 p 0
p p p p
" " " "
L , cu
 
 
. (5.72)
@ariabila aleatoare continuă poate lua orice valoare dintr-un interval H",
"SX"I al dreptei reale şi i se poate ataşa o funcţie reală şi pozitivă !H"Ie05 numită
$enitate $e &robabilitate5 astfel că !
L
H"I reprezintă probabilitatea ca variabila L să
ia valori în intervalul H", "SX"I . Pentru o variabilă L care ia valori pe toată axa reală,
vom avea îndeplinită condiţia :
( ) 1 d" " !
L
·
∫
∞
∞ −
. (5.73)
Reprezentarea grafică a formulei (5.73) este redată în figura 5.15.
Funcţia
( ) ( )
∫
∞ −
·
"
L L
d" " ! " 8
, (5.74)
reprezintă funcţia asociată evenimentului “L ia toate valorile mai mici decât o valoare
dată "”, dată prin relaţia : ( ) ( ) " L K " 8
L
< · şi deci, este o probabilitate.
Dacă considerăm că erorile aleatoare se supun distribuţiei normale ele vor
avea proprietăţile :
• Erorile pozitive şi negative având aceeaşi valoare, au aceeaşi probabilitate
de apariţie;
• Erorile mici în valoare absolută au probabilitate mai mare de repartiţie decât
cele cu valori mari;
• Probabilitatea de apariţie a unei erori oarecare este independentă de
probabilitatea celorlalte erori;
• Eroarea minimă are probabilitatea maximă de apariţie.
75
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
! H " I
"
0 x X
+ig. ;.1; Densitate de probabilitate.
Ìn studiul statistic al erorilor de măsurare este fundamentală noţiunea de
frecvenţă de apariţie a unei erori aleatoare .Dacă eroarea "
1
a apărut de
1
"
n
ori într-
un şir de măsurări, atunci
,
n
n
!
1
"
1
"
· (5.75)
se numeşte frecvenţă relativă de apariţie a erorii "
1,
iar
1
"
n
frecvenţă absolută de
apariţie.
Dacă experimentul prin care am obţinut valoarea
1
"
!
se repetă efectuând
alte serii de măsurări, această valoare, în general, se va modifica dar va diferi rareori
esenţial de un număr pozitiv constant numit probabilitatea de apariţie a valorii "
1,
notat cu pH"
1
I# Ca măsură aproximativă a probabilităţii pH"
1
I, se poate considera
frecvenţa relativă
1
"
!
, care rezultă după un număr ”n” mare de determinări în
aceleaşi condiţii.
Aplicaţia care face ca fiecărei valori ( )
n $ 1
" " " , , ,  să-i corespundă o
probabilitate ( ) ( ) ( ) ( )
n $ 1
" p " p " p , , ,  , respectiv ( ) ( ) ( ) ( )
n $ 1
" ! " ! " ! , , ,  se numeşte
$enitate $e &robabilitate, respectiv $enitate $e /rec'en%ă sau de repartiţie.
Aplicaţia . = 8
L
: /fg0,1h dată de ( ) ( ) " L K " 8
L
< · se numeşte /unc%ie $e
re&arti%ie (sau de distribuţie) a variabilei aleatoare L.
Orice funcţie de repartiţie 8 are proprietăţile :
Este nedescrescătoare pe R :
( ) ( )
$ 1 $ 1 $ 1
" 8 " 8 " " R, " , " ≤ ⇒ < ∈ (5.76)
( ) ( ) ( ) ( ) # 1 " 8
lim
8 U 0 " 8
lim
8
" "
· · ∞ + · · ∞ −
∞ → −∞ →
(5.77)
Este continuă la stânga :
( ) ( ) ( ) R " U " 8 " 8 lim 0 " 8
0 0
0
" "
0
" "
∈ ∀ · · −
→
<
. (5.78)
76
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
Ìn figura 5.16, a este prezentată funcţia ( ) " 8
L
ce reprezintă probabilitatea
asociată evenimentului ca L să ia valori mai mici decât o valoare " :
( ) ( ) ( )
∫
∞ −
≤ · ·
"
L
" L K d" " ! " 8
. (5.79)
! H " I ! H " I ! H " I
8 H " I
L
1
8 H " I
1 - 8 H " I
8 H " I
L
1
8 H " I
L
1
" " "
" " "
P
(
X



x
)
P
(
x



X



x
)
P ( x X x )
P ( X x )
P
(
X



x
)
P ( X x )
( a ) ( b ) ( c )
+ig.;.1B. Funcţia densitate de probabilitate !H"II şi funcţia de distribuţie 8LH"I#
Ìn figura 5.16, b este prezentată funcţia
( ) " 8
L
ce reprezintă probabilitatea asociată
evenimentului ca L să ia cel puţin o valoare mai mare decât o valoare " :
( ) ( ) ( )
∫
∞ −
≥ · − ·
"
L
" L K d" " ! 1 " 8
(5.80)
Ìn figura 5.16, c este prezentată funcţia ( ) " 8
L
ce reprezintă probabilitatea
asociată evenimentului ca L să ia valori cuprinse în intervalul g"
1
, "
$
hi
( ) ( ) ( ) ( )
∫
≤ ≤ · · −
$
"
1
"
$ 1 1 L $ L
" L " K d" " ! " 8 " 8
. (5.81)
Din figura 5.16 se observă că densităţii de probabilitate îi corespunde o
frecvenţă relativă !H"I, iar funcţiei de repartiţie îi corespunde frecvenţa cumulată 8
L
H"I
Ìn cazul în care variabila aleatoare L este de tip discret, relaţia (5.73) devine :
( ) ( )
∑
·
· ·
n
1 i
i L
1 " ! " 8
(5.82)
S-a arătat că probabilitatea ca variabila L să se găsească într-un interval H", "SX"),
este dată de relaţia (fig. 5.17):
77
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) " ! X" " ! " X" "
X" " L " K " 8 X" " 8
⋅ · ⋅ − + ·
· + ≤ ≤ · − +
. (5.83)
! H " I
! H " I
! H " I " ∆
"
.
" ∆ "
+ig. ;.1C Probabilitatea ca variabila L să se găsească într-un interval H", "SX").
Dacă această probabilitate se raportează la intervalul de existenţă X" , vom
obţine funcţia $enitate $e re&arti%ie .
( )
( )
X"
X" " L " K
L !
+ ≤ ≤
·
(5.84)
care arată cât de des se distribuie variabila L pe intervalul X".
Ìn concluzie, putem spune că 8H"I ÷ funcţia de repartiţie dă o imagine
perfectă asupra probabilităţii de repartiţie a variabilei aleatoare L, iar !H"I ÷ funcţia
densitate de probabilitate dă o imagine asupra probabilităţii de grupare a variabilei
de-a lungul intervalului de existenţă.
SUBIECTUL14
5.6.2. ALEGEREA PARAMETRÌLOR STATÌSTÌCÌ AÌ ERORÌLOR ALEATOARE
Ìn practică, în urma unui experiment, se obţine o informaţie de măsurare
primară, constituită din valori de măsurare, obţinute cu ajutorul unor mijloace de
măsurare asupra obiectului supus investigării. Mulţimea datelor numerice constituie
baza de informaţie asupra populaţiei respective.
Considerând o variabilă aleatoare L, principalii parametrii statistici vor fi :
;.B.).1 Parametri $e ten$in%ă
14 #e$ia şirului $e $ate se notează cu ,g"hU m, jU x #
− Pentru variabilele aleatoare continue, cu funcţia densitate de probabilitate
f(x) are expresia :
∫
+∞
∞ −
· U !H"Id" ,g"h
(5.85)
− Pentru variabilele aleatoare discrete poate fi dată de relaţiile :
7"
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
∑
∑
·
·
· ·
n
1 i
i i
n
1 i
i i
! "
n
n "
"
, (5.86)
unde
n
n
f
i
i
· reprezintă frecvenţa relativă şi n
i
numărul de valori egale cu "
i
din şirul
de n determinări.
)4 #e$iana şirului $e $ate (,
e
) împarte aria cuprinsă sub curba densităţii
de probabilitate în două suprafeţe egale.
− Pentru o variabilă aleatoare continuă este dată de relaţia:
( ) ( ) 0,A L , K , L K
e e
· ≤ · ≤
sau
( ) ( )
∫ ∫
∞ −
∞
· ·
e
,
e
,
0,A d" " ! d" " !
(5.87)
− Pentru o variabilă aleatoare discretă, va avea forma :
( )
( )
( )
( )
0,A p p
e
, p
i
" p
n
" p
e
, p
i i
· ·
∑ ∑
(5.88)
04 #o$ul 3#o$a4 se notează cu ,
o
şi este egal cu valoarea variabilei L
având frecvenţa absolută de apariţie cea mai mare. Modul se găseşte la punctul de
maxim absolut al reprezentării grafice densităţii de probabilitate şi în dreptul punctului
de inflexiune al reprezentării grafice a funcţiei de repartiţie.
Pentru o relaţie moderat asimetrică, se poate folosi relaţia empirică :
[ ] [ ] ( )
e o
, " , D " , , − − ·
(5.89)
Pentru o repartiţie simetrică :
[ ]
o e
, , " , · ·
(5.90)
4) Momentul necentrat de ordinul “s” notat cu m
s
g"h
− a) Pentru o variabilă aleatoare continuă :
[ ] ( )
∫
+∞
∞ −
· d" " ! " " m
s
s (5.91)
− b) Pentru o variabilă aleatoare discretă :
[ ]
∑
·
·
n
1 i
i
s
i s
p " " m
. (5.92)
;4 #omentul centrat $e or$inul “s" notat cu
[ ] x
s
µ
− Dacă variabila aleatoare este continuă :
[ ] ( ) ( )
∫
+∞
∞ −
− · d" " ! , " " j
s
s (5.93)
− Dacă variabila aleatoare este discretă
7#
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
[ ] ( )
∑
·
− ·
n
1 i
i
s
i s
p , " " j
(5.94)
Ìntre momentele necentrate şi centrate de diverse ordine există relaţii de
genul :
;
1 $
$
1 D 1 ; ;
D
1 $ 1 D D
$
1 $ $
1
Dm m =m m ;m m j
$m m Dm m j
m m j
0 j
− + − ·
+ − ·
− ·
·
(5.95)
Pentru o serie statistică dată conţinând n valori discrete "
i
,

momentul
necentrat şi momentul centrat de ordinul “s” va fi dat respectiv şi de relaţiile de mai
jos :
∑
·
·
n
1 i
s
i s
"
n
1
m
(5.96)
( ) ( )
∑ ∑
· ·
− · − ·
n
1 i
n
1 i
$
i i
s
i s
" " ! " "
n
1
j
(5.97)
;.B.).) Parametri $e !m&răştiere
14 Di&eria (7g"hI este momentul centrat de ordinul doi :
g"h j
$
− Pentru variabila aleatoare continuă :
[ ] ( ) ( )
∫
+∞
∞ −
− · · d" " ! , " Y " 7
$ $
(5.98)
− Pentru variabila aleatoare discretă
[ ] ( )
∑
·
− · ·
n
1 i
i
$
i
$
p , " Y " 7
(5.99)
− Abaterea me$ie &ătratică 3abaterea tan$ar$4 se defineşte ca fiind
rădăcina pătrată a dispersiei sau momentului centrat de ordinul doi :
[ ] " 7 · σ
(5.100)
)4 Coe/icientul $e 'aria%ie HI este raportul exprimat în procente a abaterii
standard la medie :
[ ] " ,

σ
·
(5.101)
04 Coe/icientul $e aimetrie H3
1
I este raportul dintre diferenţa dintre media
aritmetică şi mod la abaterea standard. Folosind relaţia (5.89) obţinem :
[ ] [ ] ( )
Y
, " , D
Y
, " ,
3
e o
1
−
·
−
· (5.102)
"$
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
! H " I
"
γ > 0
γ · 0
γ < 0
1
1
1
+ig.;.1F Alura curbei densitate de probabilitate pentru diferite valori ale coeficientului de
asimetrie.
Pentru o serie statistică dată, putem scrie :
( )
D
i
D
D
1
s n
" "
Y
j
3
⋅
−
· ·
(5.103)
24 Coe/icientul $e boltire H0
$
I este dat de relaţia :
( )
∑
·
·
⋅
−
·
n
1 i
;
;
;
;
i
$
Y
j
s n
" "
0 (5.104)
Măsura boltirii este dată de coe/icientul $e e,ce :
D
$ $
− · β γ
După valorile
pe care le poate lua coeficientul de exces (pozitive, negative sau nule) se pot
trage concluzii asupra alurii curbei reprezentate a densităţii de repartiţie
(fig.5.18). Dacă
0 > γ
, atunci curba este mult alungită şi coeficientul de exces
se zice leptocurtic, dacă
0 < γ
curba este aplatisată şi coeficientul de exces
este platocurtic, iar dacă 3Q0, atunci curba are o alură corespunzătoare unei
distribuţii normale.
;4 Am&litu$inea HkI este diferenţa dintre valoarea maximă şi valoarea
minimă dintr-un şir de determinări :
min ma"
" " k − ·
. (5.105)
;.B.).0 8ru&area $atelor tatitice &rimare
Valorile măsurate ale unei mărimi studiate alcătuiesc o mulţime dezordonată.
Dacă valorile obţinute în urma măsurării se ordonează în sens crescător, adică
,
n i D $ 1
" " " " " ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤  
se obţine un şir care se numeşte serie statistică sau variaţională. Dacă "
i
P"
?
când il?,
atunci "
1
corespunde valorii celei mai mici, iar "
n
valorii celei mai mari din şir. Pentru
un număr mare de valori, seria statistică se grupează în intervale sau grupe, de
obicei echidistante, pentru a putea fi uşor comparabile, numite inter'ale $e gru&are.
Mărimea intervalelor de grupare se alege pentru a satisface cel puţin două condiţii :
"1
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
− să se poată trata toate valorile dintr-o grupă ca şi cum ele ar fi egale cu
valoarea mijlocie a intervalului respectiv, fără a se face o eroare prea
mare;
− pentru uşurinţă şi simplitate, intervalul să se realizeze pe cât posibil mai
mare.
Condiţiile anterioare se îndeplinesc dacă se aleg astfel intervalele încât
numărul lor total să fie cuprins între 5 şi 30.
Lungimea intervalului de grupare se face în baza relaţiei Sturges :
,
:
" "
logn D,D$$ 1
k
d
min ma"
−
·
⋅ +
·
(5.106)
unde : n este volumul de selecţie (sau volumul eşantionului) şi : numărul de clase.
Se mai poate folosi, în acelaşi scop şi relaţia aproximativă
# 1 n log :
$
+ ·
(5.107)
Când există posibilitatea aglomerării unor valori, este necesar ca datele
astfel grupate încât valorile pentru care se constată aglomerări să cadă, pe cât
posibil, în mijlocul intervalelor. Aceasta duce la evitarea erorilor sensibile provenite
din presupunerea că valoarea mijlocie a intervalului este reprezentantă pentru
valorile grupei.
Se recomandă ca numărul de grupe să fie :Q1D'$0 sau :Qlogn pentru un
număr total de determinări nb $A0 şi :Q10'1D pentru nl$A0.
Dacă numărul de valori din şir nl$A, atunci nu se recomandă formarea de
clase.
Cel puţin din punct de vedere economic, se pune problema stabilirii
numărului minim de determinări (volumul eşantionului) necesar pentru ca măsurarea
să conducă la rezultate concludente.
Volumul eşantionului este funcţie de precizia cu care se doreşte
determinarea valorii mărimii măsurate şi de nivelul de încredere.
Determinarea volumului eşantionului se poate face folosind relaţia :
,
" a
Y
t n
$
p
1
]
1

¸

−
≥ (5.108)
unde : t
p
este variabila Student, Y este incertitudinea de măsurare şi " a − eroarea
de identificat.
;.B.).2 #e$ia şirului $e 'alori
Valoarea medie a şirului de date este principalul parametru statistici de
tendinţă şi se stabileşte prin repetarea măsurărilor în condiţii identice, pentru calculul
estimaţiei sale folosindu-se mai multe expresii ce le vom prezenta mai jos.
"%
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
Dacă valorile din şir sunt toate diferite între ele, atunci media se calculează
cu expresia :
n
"
"
n
1 i
i
∑
·
·
. (5.109)
Dacă fiecare valoare "
i
se repetă de n
i
ori atunci media va fi dată de :
#
n
n "
"
n
1 i
i
n
1 i
i i
∑
∑
·
·
·
(5.110)
Dacă ponderea are o influenţă asupra evaluării mai bune a rezultatului unei
măsurări, se foloseşte expresia :
,
p
p "
"
i
n
1 i
i i
∑
∑
·
·
(5.111)
unde : p
i
este ponderea cu care se creditează valoare de ordinul i.
E-E#PLUL 1. La măsurarea repetată de 10 ori a diametrului unei piese rotunde,
se obţin următoarele valori: 7,06; 7,05; 7,08; 7,04; 7,02; 7,01; 7,08; 7,06; 7,04;
7,06 mm ; să se stabilească valoarea medie aritmetică a diametrului piesei.
(
) 7,05mm 7,06 7,04 7,06 7,08
7,01 7,02 7,04 7,08 7,05 7,06
10
1
x
10
1 i
i
· + + + +
· + + + + + + · ·
∑
·
n
1
"
deci media şirului de valori este 7,05 mm.
E-E#PLUL ). S-a măsurat diametrul unei piese cu trei mijloace diferite, obţinându-
se următoarele valori :
- cu micrometrul 1/100 "D = 20,49 mm;
- cu şublerul 1/50 "2 = 20,46 mm;
- cu şublerul 1/10 "1 = 20,5 mm.
Să se determine media aritmetică.
Rezultatului obţinut cu mijlocul de măsurare cel mai puţin precis îi acordăm
ponderea 1, iar ponderile pentru restul valorilor se vor atribui invers proporţional
cu exactitatea (diviziunea) mijlocului folosit pentru măsurarea lor. Deci şublerul
1/10 va avea ponderea p1=1, şublerul 1/50 ponderea p$=5 şi micrometrul 1/100
ponderea pD=10. Ìn acest caz media şirului de valori va fi :
"1
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
20,48
10 5 1
20,49 10 20,46 5 20,5 1
·
+ +
⋅ + ⋅ + ⋅
· ·
∑
∑
·
·
n
1 i
i
n
1 i
i i
p
p "
"
mm.
După cunoaşterea mediei aritmetice, se pot defini următoarele forme de
exprimare a erorilor (care se adaugă formei generale a erorii absolute
)
0 i i
" " 1 − ·
:
a) Eroarea absolută aparentă :
" " a
i i
− · (5.112)
b) Eroarea absolută a mediei aritmetice :
# " " 5
0
− ·
(5.113)
E-E#PLUL 0. La măsurarea cu un micrometru a unei cale plan paralele cu
valoarea adevărată de 20,004 mm se obţin rezultatele :
20,000 20,008 19,998 20,000 20,005 20,000
19,992 19,998 20,002 20,000 20,000 19,995
20,005 20,002 19,995 19,995 20,005 20,002
19,998 20,000 20,002 20,000 19,998 19,998
19,995 20,002 20,000 20,000 19,998 20,005
Ordonând rezultatele crescător, se va putea întocmi tabelul următor :
i
"
[mm]
1
n
i i
n " ⋅ [ ] m " "
0 i i
µ δ − ·
[ ] m " "
i i
µ ν − ·
19,992 1 19,992 -8,4 -8
19,995 4 79,980 -5,4 -5
19,998 5 99,990 -2,4 -2
20,000 10 200,000 -0,4 0
20,002 5 100,010 +1,6 2
20,005 4 80,020 +4,6 5
20,008 1 20,008 +7,6 8
I 30 600,000 -2,8 0
mm 20
30
600
· · ⋅ ·
∑
·
n
1 i
i i
n "
n
1
"
, şi
mm 0,004 20,004 20,000 − · − · − ·
0
" " 5
.
Analizând rezultatele vom încerca să facem anumite consideraţii asupra
exactităţii de măsurare găsind un criteriu de a o evalua.
Pentru un moment să presupunem că media aritmetică ar putea fi un criteriu.
Observăm în exemplul dat, că are o diferenţă mică faţa de valoarea adevărată ÷
numai 0,4 µm, ceea ce ne-ar îndreptăţi să afirmăm că şirul de valori obţinute conţine
"2
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
rezultate bune. Dar această speculaţie ne va dezamăgi întru-cât putem să imaginăm
nişte măsurări mai puţin exacte decât cele de mai sus având aceeaşi medie
aritmetică. De exemplu, chiar numai patru măsurări : 20,05; 19,89; 19,95 şi 21,10, au
media de 20,00 mm, ori se vede că aici avem nişte erori limită de a
i
=110 µm faţa de
8 µm obţinuţi anterior. Ìn acest fel se demonstrează că media nu poate fi un criteriu
pentru evaluarea exactităţii măsurării.
Ìn cazul în care am presupune că eroarea absolută sau media acestora ar
putea fi un criteriu de precizie, va trebui să abandonăm ideea întru-cât :
( )
,
∑
∑ ∑ ∑
·
· · ·
· − · − ·
·
1
1
]
1


¸

−


,
_


¸
¸
· − · ·
n
1 i
0 0 i
n
1 i
n
1 i
0
n
1 i
i 0 i i med
5 " " " "
n
1
n" "
n
1
" "
n
1
1
n
1
1
,
ceea ce conţine chiar pe " despre care ne-am convins că nu poate fi ales drept
criteriu de aprecierea a exactităţii de măsurare.
La o concluzie asemănătoare ajungem dacă încercăm media erorilor
aparente :
( )
.
1
1
]
1


¸



,
_


¸
¸
⋅ −


,
_


¸
¸
·
·
1
1
]
1


¸

−


,
_


¸
¸
· − · ·
∑ ∑
∑ ∑ ∑
· ·
· · ·
n
1 i
i
n
1 i
i
n
1 i
n
1 i
n
1 i
i i i med
"
n
1
n "
n
1
" n "
n
1
" "
n
1
a
n
1
a
.
Nu ajungem la un rezultat nici dacă luăm în considerare erorile limită
absolute, întru-cât probabilitatea apariţiei unei erori limită este redusă (adică are
frecvenţa unor valori centrale, sau apropiate de valori centrale). După cum am arătat,
frecvenţa erorilor cu modul mare (cu valoare mare) este mult mai mică decât
frecvenţa erorilor cu modul mic (cu valoare mică) adică decât erorile rezultatelor care
sunt aproape de centru. La un număr mare de măsurări, erorile cu valori opuse au
aceeaşi frecvenţă, astfel încât nu poate fi vorba de o asimetrie de împrăştiere a
erorilor luată ca şi criteriu de evaluare a exactităţii.
;.B.).; Abaterea tan$ar$ 3eroarea &ătratică me$ie4
Abaterea standard este indice statistic de împrăştiere şi este cel mai
important criteriu de apreciere a exactităţii măsurării.
Estimaţia sa este egală cu rădăcina pătrată din dispersie şi satisface relaţia :
( )
1 n
a
1 n
" "
9
n
1 i
$
i
n
1 i
$
i
1
−
·
−
−
·
∑ ∑
· ·
, (5.114)
"5
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
sau dacă se cunoaşte valoarea adevărată a măsurandului (adică în cazul când se
face o verificarea unui mijloc de măsurare cu un etalon cu mult mai precis, încât îl
considerăm valoare adevărată):
( )
n
1
n
" "
Y
n
1 i
$
i
n
1 i
$
0 i
∑ ∑
· ·
·
−
·
. (5.115)
Se pune problema verificării dacă cele două expresii sunt echivalente în
limite acceptabile de eroare.
Se ştie că :
, " " a
U " " 1
i i
0 i i
− ·
− ·
şi făcând diferenţa celor două relaţii :
5 a 1 5 " " a 1
i i 0 i i
+ · ⇒ · − · −
.
Ridicând la pătrat ecuaţia (a), vom obţine :
$
i
$
i
$
i
5 a $5 a 1 + ⋅ + · ,
relaţie la care dacă îi aplicăm un operator de sumă pentru întreg şirul de valori de la
1 la n, devine :
∑ ∑ ∑
· · ·
+ + ·
n
1 i
n
1 i
$
i
$
i
n
1 i
$
i
# n5 a $5 a 1
(a)
Dar :
( )
( )
( ) ( )
$
n
1 i
$
i
$
$
n
$
$
$
1
$
n 1 n $ 1
$
n
$
$
$
1
$
$
n $ 1
$
$
0 n 0 $ 0 1
$
$
0
n
1 i
i
$
0
$
n
1
n
1 1 1
n
1 1 1 1 $ 1 1 1
n
1 1 1
n
" " " " " "
n
" n "
" " 5
∑
∑
·
−
·
·
+ + +
≅
≅
+ + + + +
·
+ + +
·
− + + − + −
·


,
_


¸
¸
⋅ −
· − ·

  

, (b)
şi :
( ) 0# "
n
1
n " " n " " " a
n
1 i
i
n
1 i
i
n
1 i
i
n
1 i
i
n
1 i
i
· ⋅ − · ⋅ − · − ·
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
· · · · ·
(c)
Întorcându-ne la relaţia (a) avem :
, a 1
n
1
1
n
1 i
n
1 i
$
i
n
1 i
$
i
$
i
∑ ∑ ∑
· · ·
+ ·
"6
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
sau :
,
1 n
a
n
1
,
1 n
a
n
1
n
1 i
$
i
n
1 i
$
i
n
1 i
$
i
n
1 i
$
i
−
· ⇔
−
·
∑ ∑ ∑ ∑
· · · ·
ceea ce ne demonstrează că :
$ $
Y 9 · (5.116)
Cunoaşterea acestor parametri ne permite delimitarea intervalului între care
poate fluctua rezultatul măsurării.
Cu ajutorul erorii medii pătratice se pot determina, cu o probabilitate propusă,
limitele (X) în care poate fluctua media aritmetică.
SUBIECTUL15
5.6.3. LEGÌ DE DÌSTRÌBU|ÌE (REPARTÌ|ÌE) A ERORÌLOR ALEATOARE
După cum s-a arătat la § 5.5.1, o lege de repartiţie este dată de relaţia :
( ) ( ) ( ) [ ]
∫
∈ · ·
$
"
1
"
$ 1 L L
" , " L K d" " ! " 8
, (5.117)
unde : !
L
H"I este densitatea de probabilitate şi reprezintă probabilitatea ca variabila L
să ia una din valorile cuprinse în intervalul H"
1
, "
$
I .
Funcţia de repartiţie 8
L
H"I = ( ) [ ]
% 1
x , x X P ∈ este de fapt suma probabilităţilor
ca variabila să ia valorile cuprinse în intervalul H"
1
, "
$
I .
;.B.0.1 Re&arti%ia normală 38au 6 La&lace4
Din grupa repartiţiilor continue (pentru variabile continue), legea care stă la
baza metodelor de prelucrare a datelor de măsurare este legea normală,
descoperită de Gauss tocmai în studiul şi fundamentarea teoriei erorilor.
Legea normală de repartiţie a erorilor aleatoare a fost dedusă şi există numai
în condiţiile admiterii unor postulate :
− toate rezultatele măsurărilor sunt afectate de erori aleatoare;
− abaterea rezultatului " de la valoarea adevărată a mărimii măsurate este
cazată de n factori aleatori, fiecare din aceştia provocând o eroare
elementară;
− cauzele care provoacă apariţia erorilor aleatoare sunt independente între
ele;
− probabilitatea de apariţie a erorilor negative este egală cu probabilitatea
de apariţie a erorilor pozitive, egale în valoare absolută;
"7
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
− erorile mici au probabilităţi mai mari de apariţie în comparaţie cu erorile
mari.
Dacă măsurarea unei mărimi, cum ar fi o masă de 100 kg este repetată de
foarte multe ori, se vor obţine mai multe rezultate cuprinse de exemplu Ìntre 99,9 kg
şi 100 kg şi între 100 kg şi 101,1, mai puţine rezultate între 99,8.99,9 kg şi între
100,1.100,2 kg si mai puţine rezultate între 99,7.99,8 kg şi între 100,2.100,3 kg
etc. Ìntr-o reprezentare grafică, numărul rezultatelor cuprinse în aceste intervale
poate fi figurat prin dreptunghiuri, astfel ca înălţimea fiecărui drept-unghi să fie
proporţională cu numărul corespunzător. Se obţine astfel o histogramă ca în fig.5.19.
Curba înfăşurătoare a vârfurilor dreptunghiurilor are un maxim în dreptul
valorii centrale de 100 kg şi scade în ambele sensuri în mod simetric.
Ea se numeşte curbă de repartiţie a valorilor individuale, reprezentând grafic
legea de repartiţie a valorilor individuale variabile aleator.
"
9 9 , 6 9 9 , 8 1 0 0 1 0 0 , 2 1 0 0 , 4
+ig.;.1G. Exemplu de repartiţie a rezultatelor măsurării repetare a aceleiaşi mărimi.
Densitatea de repartiţie a erorii aleatoare ( ) " " " a − · este de forma :
( ) ( )
( )
$
$Y
$
" "
$
$Y
$
a
e
$m Y
1
e
$m Y
1
" a !
−
− −
· ·
, (5.118)
şi este reprezentată în figura 5.20.
! H " I ! H I ν
,
p # i # p # i #
x - 3 x - 2 x - x x + x + 2 x + 3 x

σ σ σ σ σ σ
- 3 - 2 - 0 + + 2 + 3 σ σ σ σ σ σ ν
+ig.;.):. Curba densitate de probabilitate a distribuţiei normale.
Denitatea normală $e re&arti%ie e bucură $e următoarele &ro&rietă%i .
""
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
1. Curba de repartiţie a erorilor normal repartizate admite un maxim în punctul aQ0 şi
scade treptat de ambele părţi ale sale, apropiindu-se asimptotic de axa absciselor.
Din :
0, ae
$m Y
1
da
d! $
$Y
$
a
D
· − ·
−
(5.119)
rezultă aQ0, pentru care !HaH"IIQ!
ma"#
De asemenea :
0 e
$m Y
1
lim lim
$
$Y
$
a
a a
· ·
−
t∞ → t∞ →
(5.120)
ceea ce ne conduce la concluzia că RQ0 este asimptotă ori&ontală a funcţiei la WF#
). Curba erorilor normal repartizate este întotdeauna situată deasupra axei
absciselor şi simetrică faţă de axa ordonatelor.
Dacă
( )
,
1 n
" "
Y
n
1 i
$
i
−
−
·
∑
·
atunci Yb0 şi cum eb1, rezultă că
0
$
$Y
$
a
e
> −
, deci
!HaH"IIb0#
Dată fiind expresia funcţiei, este evident că !H-aI Q !HaI, deci este simetrică
faţă de axa ordonatelor.
0. Curba de repartiţie normală a erorilor are două puncte de inflexiune situate
simetric faţă de axa ordonatelor.
Derivata a doua în raport cu a este :
$
$Y
$
a
$
$
D $
$
e
Y
a
1
$m Y
1
da
! d
−


,
_


¸
¸
− − ·
(5.121)
şi anulând-o obţinem :
Y a 0,
Y
a
1
$
$
t · ⇔ · − . (5.122)
Deci funcţia admite două puncte de in!le"iune, simetrice faţă de axa ordonatelor
pentru a Q WY, adică pentru Y " " t · .
2. Comprimarea sau aplatisarea curbei de repartiţie este condiţionată de micşorarea,
respectiv mărirea dispersiei rezultatelor sau erorilor de măsurare.
Ìn figura 5.21 sunt prezentate trei curbe de repartiţie a erorilor de măsurare,
având acelaşi centru de grupare şi erori medii pătratice diferite (
D $ 1
Y Y Y > >
) .
Pentru $ · x (axa ordonatelor este axă de simetrie a graficului densităţii de
repartiţie) şi YQ1, se obţine funcţia de repartiţie normală nH&I#
"#
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
Pentru variabila aleatoare normală normată, se foloseşte notaţia &, care se
cunoaşte ca :
Y
a
Y
" "
& ·
−
· şi
Y
1
da
d&
·
⇒ da Q Y@d&# (5.123)
! H I ν
ν
σ
σ
σ
3
2
1
+ig.;.)1. Curbe densitate de probabilitate pentru diferite valori ale abaterii standard (
1 % 1
σ σ σ > >
).
Pentru funcţia de repartiţie normală normată, vom obţine :
( )
∫
∞ −
−
·
&
$
$
t
dt e
$m
1
& n
, (5.124)
care este funcţia lui Laplace şi reprezintă suma probabilităţilor ca variabila aleatoare
să ia valori mai mici decât &.
Φ H & I
x - 3 x - 2 x - x x + x + 2 x + 3 z σ σ σ σ σ σ
1 , 0
0 , 9
0 , 8
0 , 7
0 , 6
0 , 5
0 , 4
0 , 3
0 , 2
0 , 1
+ig.;.)). Repartiţia normală normată.
Probabilitatea ca 'ariabila aleatoare ă ia 'alori !n inter'alul (0
1
, 0
2
)5
re&ecti' ($
1
, $
2
) 'a /i $ată $e .
( ) dt e
$m
1
L L " K
$
&
1
^
$
$
t
$ 1
∫
−
· < <
. (5.125)
Stim că :
1 dt e
$m
1
$
$
t
·
∫
+∞
∞ −
−
(5.126)
Tabelul 5.2 Valorile distribuţiei normale normate.
#$
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
$ 1($) $ 1($) $ 1($)
:5:: :5;::::: 15:: :5F2102; )5:: :5GCC);:
:5:; :5;1GG0G 15:; :5F;0121 )5:; :5GCGF1F
:51: :5;0GF)F 151: :5FB2002 )51: :5GF)10B
:51; :5;;GB1F 151; :5FC2G)F )51; :5GF2)))
:5): :5;CG)B: 15): :5FF2G0: )5): :5GFB:GC
:.); :5;FGC:B 15); :5FG20;: )5); :5GFCCCB
:50: :5B1CG11 150: :5G:0):: )50: :5GF))CB
:50; :5B0BF01 150; :5G112G) )50; :5GG:B10
:52: :5B;;2)) 152: :5G1G)20 )52: :5GG1F:)
:52; :5BC0B2; 152; :5G)B2C1 )52; :5GG)F;C
:5;: :5BG12B0 15;: :5G001G0 )5;: :5GG0CG:
:5;; :5C:FF2: 15;; :5G0G2)G )5;; :5GG2B12
:5B: :5C);C2C 15B: :5G2;):1 )5B: :5GG;00G
:5B; :5C2)1;2 15B; :5G:;;)F )5B; :5GG;GC;
:5C: :5C;F:0B 15C: :5G;;202 )5C: :5::B;00
:5C; :5CC00C0 15C; :5G;GG21 )5C; :5GGC:)2
:5F: :5CFF12; 15F: :5GB2:C: )5F: :5GGC22;
:5F; :5F:)00F 15F; :5GBCF20 )5F; :5GGCF12
:5G: :5F1;G2: 15G: :5GC1)F0 )5G: :5GGF102
:5G; :5F)FG22 15G; :5GC221) )5G; :5GGF211
05:: :5GGFB;:
şi că :
$
1
dt e
$m
1
dt e
$m
1
0
$
$
t
0
$
$
t
· ·
∫ ∫
+∞
−
∞ −
−
. (5.127)
De aici :
( )
∫ ∫
−
∞ −
−
+ · ·
&
0
$
$
t
&
$
$
t
dt e
$m
1
$
1
dt e
$m
1
& n
(5.128)
şi relaţia (5.125) devine :
( ) , dt e dt e
$m
1
" L " K
1
&
$
$
t $
&
$
$
t
$ 1



,
_



¸
¸
− · < <
∫ ∫
∞ −
−
∞ −
−
(5.129)
adică :
( ) ( ) ( ) # & n & n " L " K
1 $ $ 1
− · < < (5.130)
Graficul funcţiei nH&I este dat în figura 5.22, iar valorile sale în tabelul 5.2.
#1
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
Considerând variabila aleatoare ca repartizată normal cu parametri " şi Y,
folosind relaţia (3.19) pentru funcţii continue, vom obţine entropia normală sub forma:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) $mm Y log loge
$
1
$m Y log
d" e
$m Y
1
d" e
$m Y
1
log
$m Y
1
d" e
$m Y
1
log e
$m Y
1
L >
$
$Y
$
" "
$
$Y
$
" "
$
$Y
$
" "
$
$Y
$
" "
· + ·
· − − ·
· ⋅ ⋅ ·
∫ ∫
∫
∞ +
∞ −
∞ +
∞ −
−
−
−
−
∞ +
∞ −
−
−
−
−
(5.131)
;.B.0.) Re&arti%ia 8amma
Distribuţia (repartiţia) Gamma are densitatea de repartiţie :
( )
( )
, e "
b
1
a o
1
" !
b
"
1 a
a
−
−
⋅ ⋅ ⋅ · (5.132)
cu
0 b a 0 " > ≥ , ,
şi
( ) a a · Γ
.
Funcţie de valorile parametrilor a şi b, graficul densităţii de probabilitate a
repartiţiei (fig.5.23) are diferite forme.
Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare cu distribuţia Gamma se scrie :
( )
( )
∫
−
−
⋅ ⋅ ⋅ ·
"
o
b
"
1 a
a
d", e "
b
1
a o
1
" 8
(5.133)
şi este reprezentată în figura 5.24.
! H " I
1
0 , 5
0 0 , 5 1 "
a Q 0
a Q 1
b Q 1 B $
b Q 1
8 H " I
"
a Q 0
a Q 1
b Q 1 B $
b Q 1
+ig.;.)0. Densitatea de probabilitate a
distribuţiei Gamma.
+ig.;.)2. Distribuţia Gamma.
Pentru 9Q1, se obţine media şirului ab " · .
Dispersia se determină cu relaţia :
, ab 9
$
· (5.134)
iar abaterea standard este :
#%
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
# a b Y · (5.135)
Estimarea parametrilor a şi b ai repartiţiei pentru distribuţia Gamma se face
cu relaţiile :
$
9
"
a


,
_


¸
¸
·
(5.136)
şi
#
"
9
b
$
· (5.137)
;.B.0.0 Re&arti%ia >eta
Distribuţia Beta a variabilei aleatoare L are densitatea de repartiţie (fig.5.25) :
( )
( )
( ) , " 1 "
b a, 0
1
" !
1 b 1 a − −
− ⋅ ·
(5.138)
cu parametri 1 ≤ ≤ x a şi
( )
( ) ( )
( )
#
b a o
b o a o
b a, 0
+
⋅
·
! H " I
1
0 , 5
0 0 , 5 1 "
a Q 1 ,
b Q $
a Q 1 , b Q 1
a Q $ , b Q A
a Q A , b Q $
8 H " I
"
a Q $ , b Q 1
a Q 1 , b Q $
a Q A , b Q $
a Q b Q 1
+ig.;.);. Densitatea de probabilitate a
distribuţiei Beta.
+ig.;.)B. Distribuţia Beta.
Funcţia de repartiţie a variabilei cu distribuţia Beta este :
( )
( )
( )
∫
− −
− ⋅ ·
"
0
1 b 1 a
d"# " 1 "
b a, 0
1
" 8
(5.139)
Funcţia 8H"I este prezentată în figura 5.26, pentru diverse valori ale
parametrilor a şi b, aceleaşi ca şi la reprezentarea funcţiei densitate de probabilitate
(fig.5.25). Ìn particular, pentru 9Q1 se obţine media :
#
b a
a
"
+
·
(5.140)
Dispersia este :
#1
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
( ) ( )
,
1 b a b a
ab
9
$
$
+ + +
·
(5.141)
iar abaterea standard
#
1 b a
ab
b a
1
Y
+ + +
· (5.142)
Parametri a şi b se obţin din expresiile mediei şi abaterii standard, având
forma
( )
$
$
Y
" 1 "
" a
−
+ · şi
( )
#
Y
" " 1
" 1 b
$
$
−
+ − · (5.143)
;.B.0.2 Re&arti%ia Ji6&ătrat 3K
)
4
Legea de distribuţie Hi-pătrat, descoperită de K. Pearson are densitatea de
probabilitate de forma :
( ) , e "
$
n
o Y $
1
" !
$
$
"
1
$
n
n
$
n
τ
−
−
⋅ ⋅

,
_

¸
¸
⋅ ⋅
·
(5.144)
cu . , * * 0 n " 0 "
$
> · ≥ τ χ
Funcţie de diverse valori ale lui
τ
şi n, graficul densităţii de repartiţie a
funcţiei !H"I şi a distribuţiei :
( )
∫
−
⋅ ⋅

,
_

¸
¸
⋅ ⋅
·
$
$
p
o
$
"
$
n
n
$
n
d" e "
$
n
o \ $
1
" 8
τ
, (5.145)
cu diverse forme.

! H " I
0 5 1 0 1 5 "
τ · 1
n = 1
n = 4
n = 1 0

8 H " I
0 5 1 0 1 5 " Q Ξ
τ · 1
n = 1
n = 4
n = 1 0
1 , 0
0 , 5
+ig.;.)C. Densitatea de probabilitate a
distribuţiei ¿
2
.
+ig.;.)F. Distribuţia ¿
2
.
Ìn figurile 5.27 şi 5.27 s-au prezentat aceste grafice pentru 1 · τ şi nQ1, ;, 10#
Valoarea mediei, pentru 9=1, este
#2
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
# n "
$
τ · (5.146)
Dispersia este :
, $n 9
$
τ · (5.147)
iar abaterea standard
# $n Y τ ·
(5.148)
Din relaţiile de mai sus, se pot exprima valorile parametrilor n şi τ :
$
$
Y
" $
n · şi
#
" $
Y
· τ
(5.149)
;.B.0.; Ditribu%ia 1tu$ent 3t4
Această lege de repartiţie a variabilei aleatoare t, unde
∈ t
/ , adică
repartiţia numerelor reale, este de forma :
( ) ,
$
t
1
$
n
o
$
1 n
o
n m
1
" !
$
1 n
$
+
−


,
_


¸
¸
+ ⋅

,
_

¸
¸

,
_

¸
¸ +
⋅
⋅
·
(5.150)
iar funcţia de repartiţie a variabilei t se scrie :
( )
∫
∞ −
+
−


,
_


¸
¸
+

,
_

¸
¸

,
_

¸
¸ +
⋅
⋅
·
n
t
$
1 n
$
# dt
n
t
1
$
n
o
$
1 n
o
n m
1
" 8
(5.151)
Densitatea de probabilitate şi funcţia de repartiţie sunt reprezentate în figura
5.29 şi respectiv în figura 5.30, pentru valorile nQ1, ;, 10#
! H t I
n = 1 0
n = 4
n = 1
0 , 2
0 , 1
0 , 4
0 1 2 3 t
8 H t I
1 , 0
0 , 8
0 , 6
0 , 4
0 , 2
0 1 2 3 4 t
n = 1 0
n = 4
n = 1
+ig.;.)G. Densitatea de probabilitate a
distribuţiei Student.
+ig.;.0:. Distribuţia Student.
Pentru 9=1 se obţine dispersia :
#
$ n
n
9
−
·
(5.152)
#5
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
Se observă, din reprezentările de mai sus, că distribuţia Student are o alură
foarte asemănătoare cu distribuţia normală. Din analiza funcţiilor de repartiţie
studiate, se poate observa că dacă ∞ → b , distribuţia Beta tinde către distribuţia
Gamma şi dacă
∞ → a
, cât şi
, b ∞ →
atunci distribuţia Beta tinde către distribuţia
normală în forma normată. Dintre toate distribuţiile prezentate la acest paragraf şi
dintre cele existente, cea mai folosită la prelucrarea statistică a datelor de măsurare
este distribuţia Gauss-Laplace (distribuţia normală).
5.6.4 ÌNTERVAL DE ÎNCREDERE
Pentru o variabilă aleatoare L continuă, se poate determina, cu un anumit
grad de incertitudine că valoarea sa se găseşte într-un anumit interval din
vecinătatea parametrului estimat ".
2 " L 2 " + < < − . (5.153)
Domeniul ( ) 2 " 2, " + − se numeşte inter'al $e !ncre$ere, iar extremităţile lui
÷ limite $e !ncre$ere.
Probabilitatea 1-/ ca variabila L să se găsească în acest interval se numeşte
ni'el $e !ncre$ere sau iguran%a etima%iei (/ = risc).
;.B.2.1 Inter'al $e !ncre$ere &entru o 'aloare a 'ariabilei aleatoare
Ìn analiza datelor experimentale, este adesea necesar, să se determine
probabilitatea ca variabila aleatoare L să se afle într-un interval H"
1
, "
$
I, adică, să se
determine KH"
1
lLl"
$
I cu "
1
b"
$
.Anterior s-a arătat că pentru distribuţia normală
normată, această probabilitate este :
( ) ( ) ( ) , / & n & n " L " K
1 $ $ 1
· − · < <
unde
σ
" "
&
1
1
−
· şi
σ
" "
&
$
$
−
· , iar / este nivelul de încredere, şi extremităţile
intervalului sunt limitele $e !ncre$ere.
Deoarece distribuţia normală este simetrică, intervalul de încredere poate fi
luat sub forma
# Y t " " Y t " ⋅ + < < ⋅ −
(5.154)
Valorile Y t X ⋅ t · se mai numesc şi erori limită a unei măurări ingulare
dintr-o serie de măsurări.
Pentru t
/
=1, 2, 3 se obţine, respectiv (la o repartiţie normală) :
( )
( )
( ) . ,
* ,
* ,
__< 0 D " " D " K
_A; 0 $ " " $ " K
=CD 0 " " " K
· + < < −
· + < < −
· + < < −
σ σ
σ σ
σ σ
(5.155)
#6
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
Tabelul 5.3 Valorile coeficienţilor t pentru stabilirea intervalelor de încredere pentru o valoare
oarecare din şirul de determinări şi pentru medie.
N
r
.

$
e
t
e
r
m
i
n
ă
r
i
l
o
r
Limitele
( )
α
t t
şi &robabilitatea P3L4 3ni'elul $e !ncre$ere4 la care &oate ă
a&ară o eroare !ntre limitele
α
t t
2 , * D =C K 1 t · ·
α
2 * _= K $ t · ·
α
2 * , __ K AC $ t · ·
α
2 , , <D __ K D t · ·
α
t
n
t
t
n
t
t
n
t
t
n
t
0 150) :5CB 250 )5; G5G ;5C 1G5) 1151
2 15): :5B: 05) 15B ;5F )5G G5) 25B
; 151; :5;1 )5F 15)2 25B )51 B5B 0
B 1511 :52; )5B 15:; 25: 15B ;5; )50
F 15:F :50F )52 :5F2 05; 15)2 25; 15B
1: 15:B :502 )50 :5C) 05); 15:0 251 15)G
): 15:0 :5)0 )51 :52C )5G :5B2 052 :5CC
0: 15:) :51G )5:; :50C )5F :5;: 050 :5B:
;: 15:1 :512 ) :5)F )5C :50F 051B :52;
1:: 15:: :51: ) :5): )5B :5)B 051 :501
):: 15:: :5:C 15GC :512 )5B 151F 05:2 :5))
M):: 15:: : 15GB : )5;F : 0 :
;.B.2.) Inter'al $e !ncre$ere &entru me$ie şi abaterea tan$ar$
Ìntervalul de încredere pentru medie se poate scrie de forma :
( ) , X " , X " I
"
+ − ·
(5.156)
unde:
, Y
n
t
X
"
·
(5.157)
în care n este numărul de determinări obţinute în urma măsurării.
Valorile coeficienţilor t şi
n
t
sunt prezentate în tabelul 5.3 în funcţie de
nivelul de încredere şi numărul de determinări din şir, pentru o distribuţie normală.
Ìntervalul de încredere a erorii medii pătratice de selecţie 9 se stabileşte cu
ajutorul repartiţiei p
$
care, pentru *Q1-/Q_A ] şi __ ] dă valorile din tabelul 5.4 şi
se stabileşte cu relaţia :
9 q 9 9 q
sup in!
⋅ < < ⋅
(5.160)
Tabelul 5.4.Valorile parametrilor ψin! şi ψsup pentru stabilirea intervalelor de încredere ale
abaterii standard.
n
* Q 1-/ = 95 % * Q 1-/ = 99 %
µinf µsup µinf µsup
1 0,356 15,9 0,446 81,9
2 0,434 14,1 0,581 6,28
3 0,483 6,47 0,566 3,73
4 0,519 4,39 0,599 2,87
#7
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
5 0,546 3,48 0,624 2,45
6 0,569 2,98 0,644 2,2
7 0,588 2,66 0,661 2,035
8 0,604 2,44 0,675 1,92
9 0,618 2,28 0,688 1,83
10 0,630 2,15 0,699 1,755
15 0,656 1,81 0,739 1,548
20 0,707 1,64 0,765 1,444
25 0,730 1,54 0,784 1,38
30 0,748 1,48 0,799 1,29
40 0,774 1,39 0,821 1,28
50 0,793 1,34 0,835 1,24
100 0,845 1,22 0,878 1,16
E-E#PLUL 2 : Ìntervalul de încredere al erorii medii pătratice 9=1,5, obţinut prin
n=7 măsurări cu nivel de încredere 99 %, va fi:
0,661⋅1,5<1,5<2,035⋅1,5,
adică :
( ) A D 1 9 , * ∈

Reluând exemplul nr.3, în care pentru 30 de măsurări s-a găsit o valoare medie
x Q$0 mm, vom calcula şi abaterea standard :
, , m A=$ D
n
D0
1 i
i
D0
µ
δ
σ · ·
∑
·
sau :
. , m A=$ D
1 n
9
D0
1 i
i
D0
µ
ν
·
−
·
∑
·
Calculând limitele erorii singulare pentru o probabilitate de apariţie (adică
pentru un nivel de încredere) de 95 %, avem :
A=t·s = 2,05 · 3,562 = 7,3 µm,
iar pentru limitele în care se găseşte eroarea medie :
# jm 1,D$ D,A=$ 0,D<
n
s t
X
"
· ⋅ ·
⋅
·
Dacă reluăm şi cele patru valori : 20,05;
19,89; 19,95 şi 20,11 la care am intuit că sunt nişte precizii de determinare mult
mai reduse, vom obţine valori pentru X şi
"
X
mult mai mari reflectând imprecizia
de măsurare.
Abaterea standard ne va da :
, jm _C,==
1 n
a
9
;
1 i
i
;
·
−
·
∑
·
deci cu o precizie mai slabă de aproape 30 ori.
#"
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
Tot în aceeaşi măsură, se măresc şi limitele de variaţie a erorilor şi a mediei
aritmetice. Pentru acelaşi nivel de încredere de 95 % vom obţine :
# jm $;,< _C,== $,A
n
9 t
X
, jm ;$; _C,== ;,D 9 t X
"
· ⋅ ·
⋅
·
· ⋅ · ⋅ ·
Prin urmare, precizii evident mai slabe. Dacă la prima măsurare valoarea mediei
aritmetice este de 20 mm creditată cu o eroare de ±1,32 mµ, la cea de a doua,
valoarea mediei este tot 20 mm, insă creditată cu o eroare de ±24,7 µm.
SUBIECTUL16
5.6.5. COMPUNEREA ERORÌLOR ALEATOARE
Problema compunerii erorilor aleatoare se pune în următoarele cazuri :
− la influenţa mai multor factori;
− la înserierea mai multor elemente (captor, conductor de legătură,
indicator etc.);
− la măsurări indirecte când mărimea de măsurat se găseşte într-o relaţie
de definiţie cu alte mărimi, de tipul RQ!H"
1
, "
$
,',"
n
I#
Ìn toate cazurile, fiind vorba de fenomene aleatorii cu o anumită distribuţie,
probabilitatea apariţiei tuturor erorilor cu valori extreme de acelaşi semn este prea
puţin probabilă, practic imposibilă. Din această cauză, la găsirea erorii componente
se procedează la însumarea pătratică a lor. Calculele se fac la nivel de 1 Y (vezi
relaţia 5.170).
Ìn cazul relaţiilor de definiţie, la măsurări indirecte, în compunerea erorilor se
va ţine seama de influenţa tuturor mărimilor care se măsoară şi definesc măsurandul
calculând o diferenţială totală, în care termenii ce se însumează se vor lua cu semnul
pozitiv.
Astfel compunerea, la nivelul erorii medii pătratice va avea următoarea
formă:
, 9
"
R
9
"
R
9
"
R
9
$
n
n
$
$
$
$
1
1
R


,
_


¸
¸
∂
∂
+ +


,
_


¸
¸
∂
∂
+


,
_


¸
¸
∂
∂
·  (5.161)
care pentru diferite funcţii mai uzuale va avea forme după (5.162) :
#
"
9
9 ln" R
U
"
9
"
9
R 9
"
"
R
U 9 " 9 " 9 " " R
U 9 9 9 " " R
"
R
$
$
$
$
1
1 $
R
$
1
$
1 $
$
$
$
1 R $ 1
$
$
$
1 R $ 1
· ·
1
1
]
1


¸



,
_


¸
¸
+


,
_


¸
¸
· ·
⋅ + ⋅ · ⋅ ·
+ · + ·
(5.162)
##
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
Ìn mod uzual, pentru a compara diverse exactităţi (precizii) de măsurare
suntem interesaţi să cunoaştem valorile relative ale erorilor (incertitudinilor) sub
forma 9
R
BR astfel că relaţiile (5.162) se simplifică devenind uşor de evaluat dintr-o
privire.
De exemplu, pentru RQ"
1
@"
$
, incertitudinea compusă relativă va fi :
$
$
$
$
1
1
R
"
9
"
9
R
9


,
_


¸
¸
+


,
_


¸
¸
· care uşurează folosirea erorilor relative în procente.
;.C Pre=entarea re=ultatelor ob%inute &rin măurare
Rezultatul unui şir de măsurări se va prezenta astfel ca să reprezinte o
valoare cât mai apropiată de valoarea adevărată, indicând, totodată, un interval
estimat care, cu o anumită probabilitate, include valoarea adevărată a măsurandului.
Apropierea lui de valoarea adevărată, se realizează, în primul rând, prin
eliminarea erorilor sistematice, prin corectarea rezultatului brut cu :
CQ-( (5.163)
în care : C este corecţia aplicată rezultatului brut " (valoarea presupusă adevărată)
pentru obţinerea rezultatului corectat "
C
, iar ( este valoarea totală (rezultanta) a
erorilor sistematice identificate, determinabile (remediabile).
Astfel avem :
"
C
Q"SC. (5.164)
După corecţia aplicată se va stabili (estima) intervalul care include cu o
probabilitate prestabilită valoarea adevărată, reprezentat prin relaţia :
u, " "T
C K
t ·
(5.165)
în care : u este incertitudinea de măsurare; "N
K
este rezultatul corectat cu un nivel de
încredere K. Evident :
, ) u C " "
K
t + ·
(5.166)
respectiv,
u " "
K
t ·
(5.167)
va fi rezultatul creditat al măsurării.
Incertitu$inea $e măurare este un estimator al limitelor intervalului de
valori care cu o anumită probabilitate include valoarea adevărată a măsurandului. Ea
estimează limitele erorilor de măsurare cuprinzând o componentă stabilită în baza
unor repartiţii statistice (ca cele ale erorilor aleatoare) printr-o medie pătratică
experimentală şi alta estimată, de regulă, pe baza unor experimente anterioare sau a
1$$
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
altor informaţii bazate pe experienţa, intuiţia şi cunoştinţele apriorice ale celui ce
efectuează evaluarea. Fiecare din aceste componente pot cuprinde in general, mai
mulţi termeni.
Ìn conformitate cu recomandările ÌNC-1 (1980) a Biroului Ìnternaţional pentru
Măsuri şi Greutăţi (BÌPM) se vorbeşte de :
incertitudine de tip A : u
A;
incertitudine de tip B : u
B
;
incertitudine compusă : u
C
;
incertitudine globală : u
r
.
Com&onenta $e ti& A a incertitu$inii $e măurare se determină pe baza
rezultatelor obţinute prin repetarea măsurării. Dacă x este media aritmetică obţinută
dintr-o serie de măsurări efectuate asupra aceluiaşi măsurand atunci :
#
n
9
u u
"
A
· ·
(5.168)
Com&onenta $e ti& > a incertitu$inii $e măurare se evaluează pe baza
unor informaţii apriorice sau suplimentare bazate pe experienţa, intuiţia şi
cunoştinţele celui care efectuează evaluarea. Ìn această categorie intră erorile
sistematice neremediabile (nedeterminabile), reziduul erorilor sistematice după
aplicarea corecţiilor, incertitudinea de etalonare a mijlocului de măsurare utilizat la
operaţia de măsurare; incertitudinea cunoaşterii constantelor fizice ce intervin etc.
,
D
m
u
B
t ·
(5.169)
în care : Wm este intervalul între care variază erorile luate în consideraţie,
presupunând că au o repartiţie uniformă.
Incertitu$inea com&uă este compunerea după o regulă dată a
componentelor de tip A şi B exprimate ambele prin abateri medii pătratice
corespunzătoare HY, 9I :
, Y Y r $ Y Y u
n
1 i ? i
? i i,?
$
i C C
∑ ∑
· <
+ t · ·
(5.170)
în care coeficientul de corelaţie este:
( )( )
( ) ( )
#
" " " "
" " " "
Y Y
Y
r
n
1 ?
$
? ?
n
1 i
$
i i
n
1 i
? ? i i
? i
i,?
i,?
1
1
]
1


¸

−
1
1
]
1


¸

−
− −
· ·
∑ ∑
∑
· ·
·
(5.171)
1$1
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
Expresia il? indică faptul că însumarea se realizează pentru toate
combinaţiile variabilelor.
Ìn cazul în care
( ) , , , , ,
, , n $ 1 n 1 n ? i n 1 1D 1$
" " " 0 r r r r r     · · · · · · ·
− luate
două câte două,
( ) .
n $ 1 C C
u σ σ σ σ + + + t · · 
(5.172)
Se poate admite
$ ≅
j , i
r
pentru
1 $, r
j , i
≤
, respectiv
1 ≅
j , i
r
pentru
. , r
j , i
7 $ ≥
Ìn cazul în care intervin incertitudini independente de tip A, respectiv de tip B
cât şi o lipsă de corelaţie între incertitudinile de tip A şi de tip B :
, u u u
,
1 ?
$
B
*
1 i
$
A C
∑ ∑
· ·
+ ·
(5.173)
în care : * şi , reprezintă numărul incertitudinilor de tip A, respectiv de tip B ce se
însumează.
Ìn cazul când intervine numai o singură incertitudine de tip A :
# 9
n
9
u u u
" "
A C
t · t · · ·
(5.174)
Ìn cazurile particulare în care rezultatul măsurării este afectat excesiv de un
număr de componente de incertitudine de tip B necorelate, toate având acelaşi ordin
de mărime :
, m
D
1
u
n
1 i
$
i C
∑
·
t ·
(5.175)
in care m
i
reprezintă limitele luate cu ±, între care sunt repartizate uniform erorile
considerate.
Ìn cazul în care intervine numai o singură componentă de tip A,
n
9
u
A
t ·
şi
o singură componentă de tip B,
,
D
m
u
B
t ·
.
$
B
$
A C
u u u + · (5.176)
O>1ER@A*IE I#PORTANT? : Ìn toate cazurile incertitudinile compuse se determină
la nivel de 1 o, ceea ce corespunde la un nivel de încredere respectiv unei
probabilităţi de 68,3 % (P
*
=68,3 %), atunci când repartiţia erorilor este normală.
Ìn cazul în care dorim ca intervalul de încredere să fie extins, utilizăm
incertitudinea globală care poate fi exprimată la un nivel de încredere K
s
Q_A ]
(utilizată la măsurări în industrie, laborator, încercări, recepţii, expertiză etc) sau la
K
s
Qg__U __,AU __,<DU __,__ ]h (utilizate la măsurări de înaltă calitate şi răspundere, în
tehnologie şi ştiinţă, biologie, medicină etc), se utilizează :
1$%
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
Ìncertitudinea globală de măsurare, egală cu produsul dintre incertitudinea
compusă şi un coeficient global de amplificare :
.
C
u : u ⋅ t ·
Σ Σ
(5.177)
Coeficientul global de amplificare se alege în funcţie de nivelul de încredere
şi de repartiţia incertitudinii compuse după cum urmează :
− în cazul în care u
C
conţine numai componente de tip A, coeficientul global
de amplificare va fi variabila t a repartiţiei Student (tabelul 5.5) :
− Pentru cazul în care u
C
conţine numai componente de tip B (relaţia
5.175), coeficientul global se alege din tabelul 5.6.
Tabelul 5.5 Valorile distribuţiei Student folosite pentru calculul incertitudinii globale în cazul
când incertitudinea compusă este reprezentată numai prin incertitudini de tip A.
P
*
=1-d
n 0,90 0,95 0,98 0,99 0,999
4 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610
5 2,015 2,571 3,365 4,032 6,859
6 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959
7 1,895 2,365 2,998 3,499 5,405
8 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041
9 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781
10 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587
20 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850
30 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646
40 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551
50 1,676 2,008 2,403 2,677 3,497
60 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460
70 1,667 1,995 2,381 2,648 3,436
80 1,664 1,990 2,374 2,639 3,416
90 1,662 1,987 2,368 2,632 3,401
100 1,660 1,984 2,364 2,626 3,391
Tabelul 5.6 Valorile coeficientului global de amplificare folosite în calculul incertitudinii glo-
bale în cazul când incertitudinea compusă este reprezentată numai prin incertitudini de tip B.
Numărul
componentelor
Nivelul de încredere al măsurării (P
*
=1-d) P
*
[%]
90 95 99 99,73
kZ
2 0,97 1,10 1,27 1,34
3 0,96 1,12 1,37 1,50
4 1,12 1,41 1,58
5 1,42 1,61
6 1,64

×

0,95

1,13

1,49

1,73
1$1
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
− Dacă alcătuirea lui u
C
intervine o singură componentă de tip A şi una de
tip B, (relaţia 5.176), coeficientul global de amplificare va fi luat din tabelul
5.7, în funcţie de raportul celor două componente ale incertitudinii
( )
"
9 m/
:
Tabelul 5.7 Valorile coeficientului global de amplificare folosite în calculul incertitudinii
globale în cazul când incertitudinea compusă este reprezentată numai printr-o incertitudine
de tip A şi o incertitudine de tip B.
Nivelul
de
încredere
(P
*
=1-d)
[%]
x
S / m
0,5 1 2 3 4 5 6 8 10
kZ
0,90 1,65 1,64 1,63 1,61 1,59 1,58 1,57 1,56 1,55
0,95 1,96 1,95 1,90 1,84 1,78 1,75 1,72 1,69 1,67
0,99 2,57 2,54 2,40 2,24 2,13 2,05 1,99 1,91 1,86
;.F Tete $e 'eri/icare a unor i&ote=e tatitice
5.8.1. CONCORDAN|A MEDÌÌLOR (TESTUL T)
Ìn cazul în care asupra unei mărimi fizice L s-au efectuat două serii de
măsurări, se pune problema concordanţei mediilor celor două serii de date de
măsurare (Ìpoteza nulă >
0
:
$ 1
" " · cu varianta >
1
:
$ 1
" " ≠ ).
Dacă datele de măsurare s-au obţinut în ambele cazuri în aceleaşi condiţii,
atunci putem admite că
,
$ 1
σ σ ≅
iar variabila normată va avea forma:
,
$
$
$
1
$
1
$ 1
n n
" "
t
σ σ
+
−
·
(5.178)
unde :
$ 1
" " , sunt mediile pentru cele două şiruri de valori;÷ erorile medii pătratice
corespunzătoare celor două şiruri, n
1 ,
n
$
÷ numărul de măsurări în fiecare caz şi t
funcţia discriminantă.
Dacă notăm Y
1
Q Y
$
Q 9, atunci relaţia devine :
,
$ 1
$ 1
n
1
n
1
9
" "
t
+
−
·
(5.179)
considerând că raportul t este repartizat Student cu n
1 S
n
$
V$ grade de libertate.
Din considerente algebrice elementare, putem scrie :
( ) ( )
,
$ n n
9 1 n 9 1 n
9
$ 1
$
$ $
$
1 1
− +
− + −
· (5.180)
1$2
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
ceea ce conduce la :
( ) ( )
( )
.
$ 1
$ 1 $ 1
$
$ $
$
1 1
$ 1
n n
$ n n n n
9 1 n 9 1 n
" "
t
+
− +
⋅
− + −
−
·
(5.181)
Dacă numărul de determinări din cele două şiruri este acelaşi, adică n
1
Q

n
$
Q
n, atunci variabila normată devine:
( )
( ) ( )
.
1
1
]
1


¸

− + −
−
−
·
∑ ∑
· ·
n
1 i
n
1 i
$
$ i $
$
1 i 1
$ 1
" " " "
1 n n
1
" "
t
(5.182)
Valoarea calculată a lui t se compară cu valorile din tabelul 5.8 prevăzute
pentru aceeaşi probabilitate K % şi acelaşi număr de determinări n.
Decizia ce se ia în urma studierii concordanţei mediilor celor două şiruri se va
baza pe această comparaţie:
− dacă valoarea calculată este mai mică decât valoarea corespunzătoare
din tabel aleasă cum s-a descris mai sus, atunci mediile celor două şiruri
concordă cu o probabilitate K %;
− dacă din contră, valoarea calculată este mai mică decât valoarea aleasă
din tabel, atunci cele două medii nu îndeplinesc criteriul de concordanţă
impus cu probabilitatea K %.
Tabelul 5.8 Valorile probabilităţilor pentru testarea ipotezelor statistice.
P
n
0,99 0,98 0,95 0,90 0,80 0,70 0,60
1 B05B;C 015F): 1)5C:B B5012 05:CF 15GB0 150CB
) G5G); B5GB; 250:0 )5)G: 15FFB 150FB 15:B1
0 ;5F21 25;21 051F) )50;0 15B0F 15);: :5GCF
2 25B:2 05C2C )5CCB )510) 15;00 151G: :5G21
; 25:0) 050B; )5;C1 )5:1; 152CB 151;B :5G):
B 05C:C 05120 )522C 15G10 1522: 15102 :5G:B
C 052GG )5GGF )50B; 15FG; 1521; 1511G :5FGB
F 050;; )5FGB )50:B 15FB: 150GC 151:F :5FFG
G 05);: )5F)1 )5)B) 15F00 150F0 151:: :5FF0
1: 051BG )5CB2 )5))F 15F1) 150C) 15:G0 :5FCG
11 051:B )5C1F )5):1 15CGB 150B0 15:FF :5FCB
1) 05:;; )5BF1 )51CG 15CF) 150;B 15:F0 :5FC0
10 05:1) )5B;: )51B: 15CC1 150;: 15:CG :5FC:
12 )5GGC )5B)2 )512; 15CB1 1502; 15:CB :5FBF
1; )5G2C )5B:) ).101 1.C;0 15021 15:C2 :5FBB
1B )5G)1 )5;F0 )51): 15C2B 1500C 15:C1 :5FB;
1C )5FGF )5;BC )511: 15C2: 15000 15:BG :5FB0
1F )5FCF )5;;) )51:1 15C02 1500: 15:BC :5FB)
1G )5FB1 )5;0G )5:G0 15C)G 150)F 15:BB :5FB1
): )5F2; )5;)F )5:FB 15C); 150); 15:B2 :5FB:
1$5
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
)1 )5F01 )5;1F )5:F: 15C)1 150)0 15:B0 :5F;G
)) )5F1G )5;:F )5:C2 15C1C 150)1 15:B1 :5F;F
)0 )5F:C )5;:: )5:BG 15C12 1501G 15:B: :5F;F
)2 )5CGC )52GC )5:B2 15C11 1501F 15:;G :5F;C
); )5CFC )52F; )5:B: 15C:F 1501B 15:;F :5F;B
)B )5CCG )52CG )5:;B 15C:B 1501; 15:;F :5F;B
)C )5CCG )52CG )5:;B 15C:B 1501; 15:;C :5F;B
)F )5CC) )52C0 )5:;) 15C:0 15012 15:;B :5F;;
)G )5C;B )52B) )5:2; 15BGG 15011 15:;; :5F;2
0: )5C;: )52;C )5:2) 15BGC 1501: 15:;; :5F;2
2: )5C:2 )52)0 )5:)1 15BF2 150:0 15:;: :5F;1
B: )5BB: )50G: )5::: 15BC1 15)GB 15:2B :5F2F
1): )5B1C )50;F 15GF: 15B;F 15)FG 15:21 :5F2;
N )5;CB )50)B 15GB: 15B2; 15)F) 15:0B :5F2)
5.8.2 CONCORDAN|A ABATERÌLOR PÄTRATÌCE MEDÌÌ (TESTUL FÌSCHER
PENTRU $ 1 0
> σ σ · ,
)
Considerăm aceleaşi două şiruri de valori obţinute prin măsurarea în aceleaşi
condiţii (de la punctul anterior), având parametri statistici
1 1
" σ , şi respectiv, . ,
$ $
" σ
Deoarece :
( ) ( )
,
$
$
$
$ $ $
$
$
1
$
1 1 $
1
9 1 n
ş
9 1 n
σ
χ
σ
χ
−
·
−
· i
(5.183)
atunci dacă Y
1
Q Y
$
avem :
( )
( )
, ,
$
$
$
1
$
1
$
$ $
$
1 1
$
$
$
1
9
9
8 8
9 1 n
9 1 n
E · ⋅ ·
−
−
· ·
ν
ν
χ
χ
(5.184)
unde : 8 este funcţia discriminantă.
Mărimea E va avea funcţia de repartiţie >HEI, care depinde numai de
gradele de libertate a
1
Q n
1
-1 şi a
$
Q n
$
-1. Această funcţie de repartiţie este de tip
Fischer, ceea ce dă şi numele testului.
Ìn cazul când valoarea raportului 8, calculată, este mai mică sau cel puţin
egală cu valoarea 8
/
din tabelul 5.9, corespunzătoare valorilor lui n
1
şi n
$
şi nivelului
de semnificaţie /, atunci valorile pătratice medii concordă cu o probabilitate P=1-d %.
Tabelul 5.9 Valorile probabilităţilor pentru testarea concordanţei abaterilor pătratice medii.
N1
n2
1 2 3 5 7 10 15 20 30 ×
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
% P % #$ 1$ · ⇔ · α

2 8,5 9,0 9,2 9,3 9,3 9,4 9,4 9,4 9,5 9,5
3 5,5 5,4 5,3 5,3 5,2 5,2 5,2 5,2 5,2 5,1
5 4,1 3,8 3,6 3,5 3,4 3,3 3,2 3,2 3,2 3,1
7 3,6 3,3 3,1 2,9 2.8 2,7 2,6 2,6 2,6 2,5
10 3,3 2,9 2,7 2,5 2,4 2,3 2,2 2,2 2,2 2,1
1$6
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
15 3,1 2,7 2,5 2,3 2,2 2,1 2,0 1,9 1,9 1,8
20 3,0 2,6 2,4 2,2 2,0 1,9 1,8 1,8 1,7 1,6
30 2,9 2,5 2,3 2,0 1,9 1,8 1,7 1,7 1,6 1,5
× 2,7 2,3 2,1 1,8 1,7 1,6 1,5, 1,4 1,3 1,0
% P % #5 5 · ⇔ · α
3 10,1 9,6 9,3 9,0 8,9 8,8 8,7 8,7 8,6 8,5
Tabelul 5.9. continuare
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 6,6 5,8 5,4 5,1 4,9 4,7 4,6 4,6 4,5 4,4
7 5,6 4,7 4,3 4,0 3,8 3,6 3,5 3,4 3,4 3,2
10 5,0 4,1 3,7 3,3 3,1 3,0 2,8 2,8 2,7 2,5
15 4,5 3,7 3,3 2,9 2,7 2,5 2,4 2,3 2,2 2,1
20 4,4 3,5 3,1 2,7 2,5 2,3 2,2 2,1 2,0 1,8
30 4,2 3,3 2,9 2,5 2,3 2,2 2,0 1,9 1,8 1,6
× 3,8 3,0 2,6 2,2 2,0 1,8 1,7 1,5 1,5 1,0
% P % ## 1 · ⇔ · α
5 16,3 13,3 12,1 11,0 10,5 10,1 9,7 9,6 9,4 9,0
7 12,2 9,5 8,5 7,5 7,0 6,6 6,3 6,2 6,0 5,6
10 10,0 7,6 6,6 5,6 5,2 4,8 4,6 4,4 4,2 3,9
15 8,7 6,4 5,4 4,6 4,1 3,8 3,5 3,4 3,2 2,9
20 8,1 5,8 4,9 4,1 3,7 3,4 3,1 2,9 2,8 2,4
30 7.6 5,4 4,5 3,7 3,3 3,0 2,7 2,5 2,4 2,0
× 6,6 4,6 3,8 3,0 2,6 2,3 2,0 1,9 1,9 1,0
Mărimea E va avea funcţia de repartiţie >HEI, care depinde numai de
gradele de libertate a
1
Q n
1
-1 şi a
$
Q n
$
-1. Această funcţie de repartiţie este de tip
Fischer, ceea ce dă şi numele testului.
În cazul când valoarea raportului 8, calculată, este mai mică sau cel puţin
egală cu valoarea 8
/
din tabelul 5.9, corespunzătoare valorilor lui n
1
şi n
$
şi nivelului
de semnificaţie /, atunci valorile pătratice medii concordă cu o probabilitate P=1-d %.
SUBIECTUL17
;.G Erori aberante 3groolane4
Este posibil ca, în timpul măsurării, unele rezultate să fie afectate de erori
aberante (grosolane), care pot, în cazul când sunt menţinute în şirul de determinări,
să conducă la rezultate ale măsurării departe de valoarea adevărată a măsurandului.
Pentru depistarea şi eliminarea acestora, se folosesc teste statistice care, în
general, se bazează pe ipoteza că datele ce se prelucrează provin dintr-o populaţie
cu distribuţie normală.
Ìn continuare se vor prezenta câteva teste pentru eliminarea erorilor
aberante, pe baza mediei şi abaterii standard ( ) σ , " şi a dispersiei de sondaj
1$7
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
( ) ,


,
_


¸
¸
− ·
∑
·
n
1 i
$
i
$
" "
n
1
9
adică teste de ipoteze de forma >
0
:l
critic
cu alternativa >
1
:
b
critic
.
5.9.1 TESTUL ÌRWÌN
Se consideră şirul H"
1
, "
$
, ',"
n
I ordonat a datelor ce urmează a fi prelucrate
şi se cercetează cele de la extremităţile sale, de exemplu "
n
. Se calculează valoarea
,
9
" "
1 n n −
−
· λ (5.185)
unde : 5 este funcţia discriminantă.
Valoarea calculată a lui 5 se compară cu valorile tabelare ale lui 5
critic
:
− dacă 5l5
critic
, valoarea "
n
nu este aberantă şi se păstrează în şirul de
determinări;
− dacă 5b5
critic
, "
n
se declară aberant şi se elimină din şirul de date.
Algoritmul se reia pentru valoarea "
n-1
care devine, în acest caz, valoarea
extremă a şirului şi se recalculează 9 pentru cele n-1 valori rămase.
Calculele continuă până când pentru o anumită valoare extremă a şirului
se obţine 5l5
critic
#
5.9.2 TESTUL GRUBBS
Din şirul ordonat al celor n date, se cercetează cele de la extremităţile sale.
Astfel, pentru a verifica dacă valoarea "
n
nu este aberantă se calculează expresia :
,
9
" "
g
n
−
·
(5.186)
unde : g este funcţia discriminantă.
Valorile calculate ale lui g se compară după modul descris mai sus cu valorile
tabelare ale lui g
critic
.
5.9.3 TESTUL ROMANOVSKÌ
Pentru a verifica valoarea "
s
din şirul de date se foloseşte expresia:
,
3
1 n
n
9
" "
t
−
−
·
(5.187)
unde : t este funcţia discriminantă, în care " şi 9 sunt calculate fără considerarea
valorii "
s
(valoarea suspectată). Compararea parametrului calculat t cu t
critic
se
efectuează în acelaşi mod cum s-a descris mai sus, pentru primele două teste.
Valorile parametrilor 5
critic
, g
critc
şi t
critic
sunt date în tabelul 5.10, în funcţie de
nivelul de încredere şi numărul de valori din şirul prelucrat.
1$"
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
Tabelul 5.10 Valorile parametrilor pentru testarea erorilor aberante.
Denumirea
testului
Ìrwin /critic Grubbs gcritic Romanovski tcritic
Nivelul de
încredere
d
0,90 0,95 0,99 0,90 0,95 0,99 0,90 0,95 0,99
Nr. date
n
3 1,79 2,17 2,90 1,41 1,41 1,41 4,93 8,04 11,96
4 1,64 2,05 2,73 1,71 1,72 1,72 3,56 5,08 6,53
5 1,51 1,93 2,60 1,92 1,96 1,97 3,04 4,11 5,04
6 1,39 1,81 2,45 2,07 2,13 2,16 2,78 3,64 4,36
7 1,31 1,69 2,30 2,18 2,27 2,31 2,62 3,36 3,96
8 1.24 1,57 2,16 2,27 2,37 ,243 2,51 3,18 3,71
9 1,20 1,51 2,09 2,35 2,46 2,53 2,43 3,05 3,54
10 1,31 1,46 2,03 2,41 2,54 2,62 2,37 2,96 3,41
11 1,14 1,43 2,00 2,47 2,61 2,69 2,33 2,89 3,31
12 1,11 1,41 1,97 2,52 2,66 2,75 2,29 2,83 3,23
13 1,09 1,39 1,94 2,56 2,71 2,81 2,26 2,78 3,17
14 1,07 1,37 1,91 2,60 2,76 2,86 2,24 2,74 3,12
15 1,06 1,35 1,98 2,64 2,80 2,91 2,22 2,71 3,08
16 1,05 1,33 1,86 2,67 2,84 2,95 2,20 2,68 3,04
17 1,04 1,31 1,84 2,70 2,87 2,98 2,18 2,66 3,01
18 1,03 1,29 1,82 2,73 2,90 3,02 2,17 2,64 3,00
19 1,03 1,28 1,81 2,75 2,93 3,05 2,16 2,62 2,95
20 1,03 1,27 1,80 2,78 2,96 3,08 2,15 2,60 2,93
;.1: Determinarea &arametrilor unei $e&en$en%e /unc%ionale.
Corela%ie şi regreie. #eto$a celor mai mici &ătrate
Dacă între două variabile " şi R există o dependenţă funcţională de forma
RQ!H"I, în care la o valoare " corespunde o valoare bine determinată R, atunci "
furnizează informaţia maximă despre R . Ìn cazul în care la fiecare valoare "
corespunde o repartiţie de valori R, apare o dependenţă statistică între variabile.
Tehnica de analiză a legăturilor parţiale între variabilele statistice se numeşte
corela%ie.
Pentru a măsura intensitatea legăturii dintre două variabile aleatoare, se
foloseşte coe/icientul $e corela%ie dat prin relaţia :
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
,
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
· ·
·
− −
− −
· · ·
n
1 i
i
n
1 i
$
i
n
1 i
i i
$ $
R "
R R " "
R R " "
R "
"R
n
"R
r
σ σ
(5.188)
unde : Y
"
şi Y
R
sunt abaterile medii pătratice ale variabilelor aleatoare ", respectiv R,
iar
( )
∑
"R
n
1
este momentul mixt de ordinul întâi.
1$#
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
O corelaţie, chiar perfectă, între două variabile " şi R nu indică o relaţie
cauzală necesară sau specifică între ele. Adeseori insă, variaţiile uneia dintre ele
poate fi cauzată de variaţiile celeilalte, sau variaţiile ambelor variabile pot fi cauzate
de o a treia variabilă.
Coeficientul de corelaţie poate lua valori în intervalul (-1, 1). Cu cât
coeficientul de corelaţie este mai apropiat de valorile ±1, legătura dintre variabile este
mai puternică, iar dacă valoarea sa se apropie de zero, legătura este slabă sau
lipseşte, semnele plus sau minus indică tipul de legătură, directă sau pozitivă când "
şi R variază în acelaşi sens, respectiv inversă sau negativă când " şi R au variaţii în
sensuri contrare.
Ìn cazul a două populaţii aleatorii corelate, se pune problema tipului de
dependenţă statistică dintre ele, care grafic este reprezentată printr-o curbă numită
curbă $e regreie. Dacă dependenţa dintre variabilele statistice este liniară, curba
de regresie este o dreaptă ($rea&tă sau linie $e regreie).
Ìn practică se pune adesea problema de a determina analitic dependenţa
funcţională dintre două sau mai multe variabile, plecând de la datele experimentale.
Pentru precizare, se consideră dependenţa dintre două variabile R şi ", studiate
experimental, prin efectuarea de măsurări ale variabilei R pentru diferite valori ale
variabilei ". Pe baza valorilor măsurate, se vor determina relaţii funcţionale care să
descrie rezultatele experimentale. Forma acestor relaţii poate fi, adesea, dinainte
cunoscută din considerente teoretice, sau pe baza reprezentării grafice a rezultatelor
experimentale, urmând a se determina aceste caracteristici.
Dependenţa funcţională considerată se scrie sub forma generală:
( )
n $ 1
" " " ! R , , ,  · . (5.189)
Datorită variaţiilor aleatoare ale variabilelor " şi R, graficul funcţiei nu va trece
prin toate punctele determinate experimental.
R
α = a r c t g a
b
A H " , R I
i i i
"
i
"
R
i
O
i
7 Q R - O Q
Q R - H a " S b I

i i i
i i
( ) ∆
+ig.;.01. Determinarea dreptei de regresie prin metoda celor mai mici pătrate.
11$
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
#eto$a celor mai mici &ătrate serveşte la trasarea curbei celei mai
probabile a unei funcţii determinate experimental între mărimile dependente R şi ".
Reprezentând datele experimentale prin n puncte A
i
într-un sistem de
coordonate rectangulare ("JR), vom avea imaginea acestora, caracterizată prin
perechile de coordonate ca : ( ) ( ) ( ) ( )
n n i i $ $ 1 1
R , " , , R , " , , R , " , R , " ... ... (figura 5.31).
Ecuaţia dreptei adevărate (cea mai probabilă) este :
, b a" R + ·
(5.190)
unde : a este o constantă reprezentând panta dreptei şi b este ordonata la origine.
Pentru un punct oarecare "
i
corespunde pe dreaptă un punct de ordonată O
i
,
diferită, de regulă, de valoarea R
i
obţinută experimental.
Diferenţa dintre R
i
determinat şi O
i
ales va fi :
( ) . b a" R O R 7
i i i i i
+ − · − ·
(5.190)
Conform acestei metode, pentru ca linia să reprezinte aprecierea cea mai
bună este necesar ca suma pătratelor tuturor diferenţelor de la măsurări, pe
verticală, să fie minimă.
Pentru punctul oarecare ( )
i i
R " , pătratul deviaţiei acestuia de la dreapta
presupusă este :
( ) [ ] ,
$
i i
$
i
b a" R 7 + − ·
(5.191)
iar suma pătratelor va fi funcţia 7 ce urmează a fi minimizată :
( ) [ ]
∑
·
+ − ·
n
1 i
$
i i
b a" R 7 .
(5.192)
Din condiţia ca 7 Q 7
min
se vor deduce parametrii a şi b care determină
dreapta.
Calculăm derivatele parţiale ale lui 7 în raport cu a şi b şi le egalăm cu zero :
( ) [ ]
( ) [ ]
¹
¹
¹
¹
¹
'
¹
· + − − ·
∂
∂
· + − − ·
∂
∂
∑
∑
·
·
.
*
0 b a" R $
b
7
0 b a" R " $
a
7
n
1 i
i i
n
1 i
i i i
(5.193)
Din ecuaţia a doua obţinem :
nb " a R
n
1 i
i
n
1 i
i
+ ·
∑ ∑
· ·
(5.194)
şi deci,
111
Ileana-Constanţa Roşca Măsurări i instrumentaţie Ì ș
. " a R
n
"
a
n
R
n
" n R
b
n
1 i
i
n
1 i
i
n
1 i
i
n
1 i
i
− · − ·
−
·
∑ ∑ ∑ ∑
· · · ·
(5.195)
Înlocuind în prima relaţie din sistemul (5.193) vom avea :
,
$
n
1 i
$
i
n
1 i
i
n
1 i
$
i
n
1 i
i i
" an R " n " a " R " a R " − + · + ·
∑ ∑ ∑ ∑
· · · ·
(5.196)
de unde,
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
'
¹
⋅ −
−
·
⋅ −
⋅ ⋅ −
·
∑
∑ ∑
∑
∑
·
· ·
·
·
(5.198)
(5.197)
.
*
$
n
1 i
$
i
n
1 i
i i
n
1 i
$
i
n
1 i
$
$
i
n
1 i
i i
" n "
R " " R
b
" n "
R " n R "
a
coeficienţi ce determină dreapta presupusă cea mai probabilă din punct de vedere al
funcţiei de optimizare propuse ÷ suma pătratelor distanţelor măsurate pe verticală.
;.11 Coni$era%ii au&ra tetelor i&ote=elor tatitice
Statistica are ca obiect fundamental, problema deciziei în cazul unei
incertitudini. Ìncertitudinea este produsă de faptul că eşantionarea repetată oferă
rezultate diferite.
O decizie înseamnă adoptarea sau respingerea unei ipoteze.
Ìn statistică prin i&ote=ă se înţelege o presupunere asupra uneia sau mai
multor repartiţii, sau asupra unuia sau mai multor parametri ai repartiţiei respective.
Ìpoteza se numeşte tatitică deoarece este justificată statistic pe baza datelor de
sondaj. Metodele de verificare ale ipotezelor statistice se numesc tete tatitice.
Ìpotezele sunt, în general, presupuneri care se referă la populaţie şi nu la
eşantioane. Decizia se ia, insă, pe baza eşantioanelor. Ìn consecinţă, orice decizie
comportă un anumit risc din cauza eşantionului pe baza căruia s-a obţinut variabila
aleatoare. Dacă ipoteza este adevărată, dar pe baza eşantionului se respinge ca
falsă, se comite o eroare de genul Ì. Probabilitatea acestei erori se notează cu /. Se
poate întâmpla şi invers : să se accepte ca ipoteză adevărată o ipoteză falsă. Ìn
acest caz, se produce o eroare de genul al ÌÌ-lea. Probabilitatea acestei erori se
notează cu 0.
11%
Capitolul 5. -r"ri de măsurare
Acceptarea ipotezei potrivit căreia lotul din care s-a extras eşantionul are
media j
0
sau nu, revine la a compara media de eşantion x cu o valoare limită "
lim
,
determinată cu ajutorul nivelului de semnificaţie / şi care reprezintă criteriul de
acceptare sau de respingere. Valoarea erorii de genul al doilea va depinde de
valoarea adevărată j
0
. Se poate trasa o curbă care reprezintă valoarea probabilităţii
de acceptare în funcţie de adevărata valoare j,

numită curbă de eficacitate.
Probabilitatea de respingere a unei ipoteze false, egală cu 1-0 este denumită
&uterea tetului.
Considerând o populaţie având pentru o caracteristică L funcţia de repartiţie
8HL, .I, ne propunem să verificăm ipoteza potrivit căreia parametrul . are valoarea
.
0
. Notăm această ipoteză astfel :
>
0
i . Q .
0
cu alternativa >
1
: . c .
0
# (5.199)
Dacă se testează o astfel de ipoteză cu ajutorul valorii unei statistici u
denumită şi funcţie discriminantă (vezi variabila “t” de la punctul 5.6.1; şi 8 de la
punctul 5.6.2), se defineşte pentru nivelul de semnificaţie / adoptat un interval de
acceptare, denumit şi regiunea $e acce&tare5 astfel că :
. α − ·


,
_


¸
¸
∈ 1
>
k
u K
0
(5.200)
Mulţimea complementară regiunii de acceptare, k se numeşte regiune critică.
111