Subiecte Masi i 2014

Capitolul 5. Erori de măsurare
CAPITOLUL 2
NOŢIUNI FUNDAMENTALE
SUBIECTUL 1
2.1. Noţiuni metrologice
Raţionamentele ştiinţifice efectuate în cadrul unui experiment în fizică
se fundamentează pe o serie de noţiuni abstracte de specii diferite (geometrice,
mecanice, calorice etc.) denumite entităţi. Fiecare entitate este caracterizată prin
categoriile de calitate şi cantitate.
Clitte reprezintă determinarea obiectelor şi fenomenelor prin stabilirea
trăsăturilor şi laturilor lor esenţiale şi stabile care le fac şa fie obiectele şi fenomenele
respectie, ea determină unitatea lucrului. Calitatea unei entităţi nu poate exista în
afara aspectului său cantitati.
Cntitte caracterizează obiectele şi fenomenele prin gradul de dezoltare
a însuşirilor lor. Cantitatea este legată de calitate! sc"imbarea uneia prooacă
modificarea celeilalte. #nterdependenţa dintre ele se exprimă prin noţiunea de
măsură care este graniţa existenţei obiectului indic$nd limita p$nă la care
modificările cantitatie nu duc la modificări calitatie.
Pro!riette unui obiect sau fenomen reprezintă expresia exterioară a
calităţii în relaţia dintre el şi alte obiecte.
Fiecare entitate are numeroase proprietăţi independente% mărime,
sens, natură scalară sau ectorială, culoare, miros etc.
&.&.'. ()R#(#. C*+,#F#C+R-+ ()R#(#*.R
+$nd în edere faptul că mărimea entităţii este o proprietate a sa,
putem aea în edere sub această denumire at$t calitatea c$t şi cantitatea entităţii.
#n general, se foloseşte cu sensul de cantitate şi, în consecinţă, mărimea este ceea
ce are proprietatea esenţială de a varia, de a creşte sau descreşte, de a fi evaluat
cantitativ, adică de a fi exprimată numeric.
/intre toate mărimile posibile ne interesează numai acelea ce pot fi
exprimate printr0o formulă algebrică/upă compunerea lor, mărimile se pot clasifica în
%
a) mărimi e"ten#i$e
1
care au proprietatea de a putea fi ordonate şi sumate.
1
Mărimile puterii şi energiei sunt produsele unei mărimi intensive şi a uneia extensive (ex. Lucru mecanic =
forţă ⋅ deplasare, putere electrică = tensiune ⋅ intensitate, forţa şi tensiunea fiind mărimi intensive, iar deplasarea
şi intensitatea mărimi extensive)
Capitolul 5. Erori de măsurare
b) mărimi inten#i$e1 ce sunt definite prin proprietăţi de ordonare, dar nu şi
de sumare.
(ărimile fizice, prin caracterul lor de a putea fi ealuate cantitati reprezintă
un element de bază al metrologiei. /istingem %
− mărimi %un&mentle, adică mărimi independente sau distincte
conenţional alese, cu a2utorul cărora pot fi definite alte mărimi.
− mărimi &eri$te, adică mărimile definite cu a2utorul mărimilor
fundamentale. /efinirea lor se face prin relaţii de definiţie.
-xemplu %
timp
spatiu
viteza =
.
/in punct de edere al expresiei matematice, mărimile se pot clasifica după
cum urmează%
− mărime scalară
− mărime ectorială
− mărime tensorială
SUBIECTUL 2
&.&.&. /#(-3,#43#*- ()R#(#*.R
Dimen#iunile mărimilor sunt reprezentate de expresia în care respectiele
mărimi deriate sunt exprimate ca produse ale puterilor mărimilor fundamentale ale
sistemului din care fac parte, coeficienţii numerici fiind unitari.
5entru mărimile fundamentale există dimensiuni fundamentale ce se exprimă
prin simbolurile mărimilor scrise cu ma2uscule. Exponenţii puterilor la care sunt
ridicate dimensiunile fundamentale în ecuaţiile de dimensiuni se numesc e"!onenţi
&imen#ionli.
.rice mărime + a aea o dimensiune de forma
λ η γ ε δ β α
θ N J I T M ! ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = . dim (&.&)
unde % , M, T, I, ", J, N sunt dimensiunile mărimilor fundamentale şi #, $, %, &, ', (, )
sunt exponenţii lor dimensionali, utilizaţi în ,.#.
/acă în ecuaţia de definiţie interine un coeficient numeric numit coeficient
de coerenţă, atunci în ecuaţia de dimensiuni se înlocuieşte cu unitatea iar
dimensiunile mărimilor fundamentale care au coeficienţi dimensionali nuli se ignoră.
#n consecinţă, nu se poate stabili unitatea de măsură a mărimii deriate
cunosc$nd numai dimensiunea ei şi unităţile de măsură ale mărimilor fundamentale,
deoarece din dimensiune nu reiese coeficientul de coerenţă. 5entru ca determinarea
să fie unică este necesară şi ecuaţia de definiţie care conţine acest coeficient.
Capitolul 5. Erori de măsurare
-cuaţiile de dimensiuni pot, de asemenea, seri la erificarea omogenităţii
ecuaţiilor de definiţie.
SUBIECTUL 3
2.'. Unităţi &e mă#ură
5entru fiecare specie de mărimi s0a adoptat o unitte &e mă#ură 6 o
cantitate din aceeaşi specie adoptată conenţional ca unitate cu care să se poată
compara toate mărimile speciei, astfel înc$t să fie uşor definită, reprodusă, păstrată
şi transmisă cu precizie.
/at fiind numărul foarte mare de specii de mărimi, în concordanţă cu
mărimile fundamentale şi deriate s0au adoptat unităţi &e mă#ură %un&mentle şi
unităţi &e mă#ură &eri$te.
4nităţile de măsură deriate se stabilesc cu a2utorul ecuaţiilor de definiţie
form$nd ecuaţiile de dimensiuni prin înlocuirea directă a mărimilor fundamentale cu
unităţile lor.
#n afară de multiplii şi submultiplii formaţi cu prefixele arătate în tabel, se mai
construiesc şi alţii, cu caracter practic, pentru anumite domenii, ca de exemplu %
4nităţile de măsură ale mărimilor deriate care se formează fără interenţia
reunui coeficient numeric (coe%icient &e coerenţă egal cu ') se numesc coerente
&
.
-xistă şi unităţi de măsură cu coeficient de coerenţă diferit de ' care pot fi
găsite în alte sisteme dec$t ,.#., numite unităţi necoerente.
2.(. )i#teme &e unităţi &e mă#ură. )i#temul internţionl *)I+
&.7.'. ,#,8-(- /- 43#8)9# /- (),4R)
. ,0au adoptat şi s0au materializat noi unităţi de măsură, a crescut precizia de
reproduce, conserare şi transmitere a unităţilor de măsură.
/atorită numărului mare de specii de mărimi fizice, s0a recurs la o categorie
de unităţi de măsură fundamentale cu a2utorul cărora s0au putut apoi determina
unităţile de măsură deriate. #n acest mod, s0a a2uns la sisteme de mărimi şi apoi la
#i#teme &e unităţi &e mă#ură, care sunt ansam*lul tuturor unităţilor fundamentale
şi a unităţilor derivate caracteristice unui sistem de mărimi.
2
oerent = care se compune din elemente str!ns legate (şi armoni"ate) #ntre ele$ #nc%egat (&icţionarul explicativ
al Lim'ii rom!ne, (cademia )om!nă, *ucureşti, 1++,)
Capitolul 5. Erori de măsurare
4n sistem de mărimi este coerent dacă toate unităţile de măsură
corespunzătoare mărimilor deriate sunt coerente.
SUBIECTUL 10
:.:.;. -R.R# #3,8R4(-38+*-
,e datorează în principal imperfecţiunii mi2loacelor de măsurare. -le apar ca
urmare a toleranţelor de execuţie ale pieselor componente, a toleranţelor de monta2
al pieselor, a regla2elor necorespunzătoare, a principiului de funcţionare, a lanţului de
amplificare al aparatului etc. #n principiu, erorile instrumentale pot fi reduse folosind
aparate de măsură construite şi montate precis, printr0un regla2 corespunzător sau cu
un principiu de măsurare corespunzător ales. /eterminate aloric, se dau de obicei
în diagrame sau tabele care însoţesc aparatul şi cu ele se corectează rezultatul
măsurării.
,.,.2.' Erori &e liniment
-rorile de aliniament sunt erori care apar, în principal r$nd, la măsurări cu
a2utorul mi2loacelor de măsurare preăzute cu elemente mobile pe g"ida2e, datorită
abaterii acestora de la direcţia ideală de deplasare.
-roarea absolută de aliniament a fi %
. + l l
, a
− = ∆
(:.'<)
5rin acelaşi mecanism se tratează şi cazurile legate de măsurarea unei piese
cu suprafaţa plană cu un palpator sferic, sau a unei piese cu profil circular cu un
palpator cu suprafaţa actiă plană.
Erori &e m!li%icre
-rorile de amplificare apar, printre altele, la sistemele mecanice cu
amplificare prin p$rg"ii ca în exemplul ce urmează.
(:.&')
,ubiectul''
Erore l mă#urre tem!erturii unui %lui& -nc.i# -ntr/o incintă &i0tică
Considerăm un fluid de masă m şi căldură specifică c, înc"is intr0un
calorimetru de masă m⋅c şi căldură specifică c⋅c, ambele a$nd temperatura t. #n fluid
se introduce un termometru de masă m⋅t şi căldură specifică c⋅t, aflat la temperatura
t
-
. #ntre termometru, fluid şi calorimetru are loc un sc"imb energetic p$nă la stabilirea
ec"ilibrului termodinamic la o temperatură finală t
f
.
/acă t.t
-
, ecuaţia de bilanţ energetic a elementelor care participă la
măsurare este %
( ) ( ) ( ) .
- f t t f c c f
t t c m t t t m t t mc − = − + −
(:.;<)
Capitolul 5. Erori de măsurare
/e aici rezultă %
( ) ( )
( )
( )
( )
.
c c
- f t t
f
c c
f - t t c c f
c m c m
t t c m
t t
c m c m
t t c m c m c m t
t
⋅ + ⋅
− ⋅
+ = ⇔
⋅ + ⋅
− ⋅ − ⋅ + ⋅
=
-roarea sistematică a măsurării este %
( )
.
c m c m
t t c m
t t /t
c c
- f t t
f
⋅ + ⋅
− ⋅
− = − =
(:.;=)
,e obseră că, eroarea este cu at$t mai mică cu c$t capacitatea calorică a
termometrului este mai mică şi temperatura sa mai apropiată de cea a fluidului.
-roarea relatiă se scrie %
( )
( )
.
t t c m
c m c m t
,
,
t
/t
&
- f t t
c c f
t
− ⋅
⋅ + ⋅
+
− = =
/in condiţia max t
& & ≤
, unde &
max
este eroarea relatiă maximă admisă pentru
măsurarea respectiă, obţinem pentru capacitatea calorică a termometrului %
( )
( ) ( )
,
& , t t
& c m c m t
c m
max - f
max c c f
t t
− −
⋅ + ⋅
≤ ⋅
ceea ce ne permite să alegem un anumit termometru pentru o anumită precizie
impusă experimentului respecti.
SUBIECTUL12
,.,.'.( Erore #i#temtică l mă#urre ten#iunii electromotore unei #ur#e
rele &e c.c.
Fie un circuit de curent continuu, alimentat de o sursă de t.e.m. şi rezistenţa
interioară r0-.
*a introducerea în circuit a oltmetrului cu rezistenţa proprie 1
2
0-, se înc"ide
circuitul şi apare un curent I care străbate şi sursa pe care are loc o cădere de
tensiune I3r, astfel înc$t tensiunea măsurată 4
x
nu mai este egală cu t.e.m. pe care
intenţionam să o determinăm la începutul experimentului şi care a fi exprimată prin
relaţia %
r I 4 E
x
⋅ + =
, (:.7&)
dar, prin legea lui ."m
,
r 1
E
I
2
+
=
(:.7;)
înlocuind în (:.;;) obţinem %
Capitolul 5. Erori de măsurare
.
1
r
, 4 E
2
x








+ =
(:.77)
4

x
E 5 r
1
v
I
Fig.,.11. (ăsurarea t.e.m. a unei surse de c.c.
-roarea sistematică relatiă a fi %
,
1
r
4 E 4 /E
2
x x
⋅ − = − =
(:.7:)
adică, ea a fi cu at$t mai mică cu c$t a fi mai mare rezistenţa interioară a
oltmetrului.
-roarea relatiă este, în acest caz %
.
r 1
r
E
/E
&
2
E
+
− = =
(:.7>)
#mprim$nd condiţia max E
& & ≤
, unde &
max
este eroarea maximă admisă,
obţinem pentru rezistenţa 1
2
o condiţie ce permite alegerea oltmetrului astfel înc$t
eroarea relatiă maximă tolerată să nu fie depăşită %
( )
max
max
2
&
& , r
1
−
≥
. (:.7?)
,.,.'., Erore #i#temtică l mă#urre inten#ităţii c. c. cu un m!ermetru
rel
E 5 r E 5 r
1
!
I
I I
x
I
x
1 1
Capitolul 5. Erori de măsurare
a) b)
Fig. ,.12. (ăsurarea intensităţii curentului continuu.
Fie un circuit de curent continuu, format dintr0o sursă cu t.e.m. E şi rezistenţa
interioară r şi o rezistenţă 1 (fig. :.'&,a).
Curentul generat în circuit a fi, în absenţa ampermetrului %
.
r 1
E
I
+
=
(:.7<)
C$nd în circuit se introduce ampermetrul (fig. :.'&,b), curentul de măsurat a fi %
.
1 r 1
E
I
!
x
+ +
=
de aici, E6I
x
⋅71
!
818r9 şi (:.7<) deine %
( )






+
+ =
+
+ +
=
r 1
1
, I
r 1
r 1 1 I
I
!
x
! x
.
-roarea sistematică absolută este %
x
!
x
I
r 1
1
I I /I
+
− = − = .
Raport$nd la aloarea adeărată, obţinem eroarea relatiă de forma %
r 1 1
1
I
/I
&
!
!
I
+ +
− = =
.
5entru o eroarea relatiă maximă tolerată, &
max
, impusă pentru asigurarea unei
anumite exactităţi a măsurării se poate determina o condiţie max I
& & ≤
, ce ne permite
să alegem un anumit ampermetru prin rezistenţa sa interioară%
( )
max
max
!
& ,
& r 1
1
−
+
≤
.
SUBIECTUL13
,.1. Erori letore
:.>.'. C+4@-, 5R.5R#-8)9#
-rorile aleatoare sunt cele care ariază impreizibil, at$t ca aloare absolută
c$t şi ca semn, atunci c$nd se măsoară aceeaşi mărime în condiţii identice.
-le nu pot fi determinate numeric sau eliminate, deoarece nu li se pot stabili
şi separa cu precizie cauzele care le produc.
Capitolul 5. Erori de măsurare
/e fapt cauzele globale care produc erorile aleatoare sunt aceleaşi ca ale
erorilor sistematice, cu deosebirea că dacă la erorile sistematice putem stabili alorile
lor în funcţie de mărimile de influenţă, pentru erorile aleatoare ariaţiile mărimilor de
influenţă sunt mult mai rapide şi nu se poate stabili dec$t un interal de ariaţie a lor.
5rin probabilitate înţelegem măsura şanselor de realizare a unui eeniment
!, adică %
posibile rezultate 3umar
faorabile rezultate 3umar
ate probabilit = =
!
:
,
aceasta însemn$nd că probabilitatea realizării eenimentului ă poate fi cuprinsa între
zero şi unu
Aariabilele aleatoare pot fi discrete sau continue, caracterizate de legi de
repartiţie bine definite care sunt funcţii numerice definite pe mulţimea rezultatelor
unui experiment.
2ri0il letore &i#cretă ia o mulţime finită sau numărabilă de alori x
,
,
x
;
, <, x
n
, fiecare aloare x
i
a$nd o !ro00ilitte &e reli3re p
i
2ri0il letore continuă poate lua orice aloare dintr0un interal 7x,
x8/x9 al dreptei reale şi i se poate ataşa o funcţie reală şi pozitiă f7x9=-4 numită
&en#itte &e !ro00ilitte4 astfel că f
>
7x9 reprezintă probabilitatea ca ariabila > să
ia alori în interalul 7x, x8/x9 .
/acă considerăm că erorile aleatoare se supun distribuţiei normale ele or
aea proprietăţile %
-rorile pozitie şi negatie a$nd aceeaşi aloare, au aceeaşi probabilitate
de apariţie!
-rorile mici în aloare absolută au probabilitate mai mare de repartiţie dec$t
cele cu alori mari!
5robabilitatea de apariţie a unei erori oarecare este independentă de
probabilitatea celorlalte erori!
-roarea minimă are probabilitatea maximă de apariţie.
#n studiul statistic al erorilor de măsurare este fundamentală noţiunea de
frecenţă de apariţie a unei erori aleatoare
Ca măsură aproximatiă a probabilităţii p7x
,
9, se poate considera frecenţa
relatiă
,
x
f
, care rezultă după un număr BnB mare de determinări în aceleaşi condiţii.
+plicaţia care face ca fiecărei alori ( )
n ; ,
x x x , , ,  să0i corespundă o
probabilitate ( ) ( ) ( ) ( )
n ; ,
x p x p x p , , ,  , respecti ( ) ( ) ( ) ( )
n ; ,
x f x f x f , , ,  se numeşte
&en#itte &e !ro00ilitte, respecti &en#itte &e %rec$enţă sau de repartiţie.
Capitolul 5. Erori de măsurare
+plicaţia F C ?
>
% R@A-,,B dată de ( ) ( ) x > : x ?
>
< = se numeşte %uncţie &e
re!rtiţie (sau de distribuţie) a ariabilei aleatoare >.
.rice funcţie de repartiţie ? are proprietăţile %
-ste nedescrescătoare pe R %
( ) ( )
; , ; , ; ,
x ? x ? x x 1, x , x ≤ ⇒ < ∈

( ) ( ) ( ) ( ) . , x ?
lim
? 5 - x ?
lim
?
x x
= = ∞ + = = ∞ −
∞ → −∞ →
-ste continuă la st$nga %
( ) ( ) ( ) 1 x 5 x ? x ? lim - x ?
- -
-
x x
-
x x
∈ ∀ = = −
→
<
.
#n concluzie, putem spune că ?7x9 6 funcţia de repartiţie dă o imagine
perfectă asupra probabilităţii de repartiţie a ariabilei aleatoare >, iar f7x9 6 funcţia
densitate de probabilitate dă o imagine asupra probabilităţii de grupare a ariabilei
de0a lungul interalului de existenţă.
SUBIECTUL14
:.>.&. +*-D-R-+ 5+R+(-8R#*.R ,8+8#,8#C# +# -R.R#*.R +*-+8.+R-
#n practică, în urma unui experiment, se obţine o informaţie de măsurare
primară, constituită din alori de măsurare, obţinute cu a2utorul unor mi2loace de
măsurare asupra obiectului supus inestigării. (ulţimea datelor numerice constituie
baza de informaţie asupra populaţiei respectie.
Consider$nd o ariabilă aleatoare >, principalii parametrii statistici or fi %
,.1.2.1 Prmetri &e ten&inţă
1+ Me&i 5irului &e &te se notează cu MAxB5 m, C5 x .
SUBIECTUL16
:.>.:. C.(543-R-+ -R.R#*.R +*-+8.+R-
5roblema compunerii erorilor aleatoare se pune în următoarele cazuri %
− la influenţa mai multor factori!
− la înserierea mai multor elemente (captor, conductor de legătură, indicator
etc.)!
− la măsurări indirecte c$nd mărimea de măsurat se găseşte într0o relaţie
de definiţie cu alte mărimi, de tipul D6f7x
,
, x
;
,<,x
n
9.
Capitolul 5. Erori de măsurare
#n toate cazurile, fiind orba de fenomene aleatorii cu o anumită distribuţie,
probabilitatea apariţiei tuturor erorilor cu alori extreme de acelaşi semn este prea
puţin probabilă, practic imposibilă. /in această cauză, la găsirea erorii componente
se procedează la însumarea pătratică a lor. Calculele se fac la niel de , E #n cazul
relaţiilor de definiţie, la măsurări indirecte, în compunerea erorilor se a ţine seama
de influenţa tuturor mărimilor care se măsoară şi definesc măsurandul calcul$nd o
diferenţială totală, în care termenii ce se însumează se or lua cu semnul poziti.
+stfel compunerea, la nielul erorii medii pătratice a aea următoarea
formă%
, F
x
D
F
x
D
F
x
D
F
;
n
n
;
;
;
;
,
,
D








∂
∂
+ +








∂
∂
+








∂
∂
= 
#n mod uzual, pentru a compara dierse exactităţi (precizii) de măsurare
suntem interesaţi să cunoaştem alorile relatie ale erorilor (incertitudinilor) sub
forma F
D
GD astfel că relaţiile (:.'>&) se simplifică deenind uşor de ealuat dintr0o
priire.
/e exemplu, pentru D6x
,
3x
;
, incertitudinea compusă relatiă a fi %
;
;
;
;
,
,
D
x
F
x
F
D
F








+








= care uşurează folosirea erorilor relatie în procente.
SUBIECTUL17
,.6 Erori 0ernte *gro#olne+
-ste posibil ca, în timpul măsurării, unele rezultate să fie afectate de erori
aberante (grosolane), care pot, în cazul c$nd sunt menţinute în şirul de determinări,
să conducă la rezultate ale măsurării departe de aloarea adeărată a măsurandului.
5entru depistarea şi eliminarea acestora, se folosesc teste statistice care, în
general, se bazează pe ipoteza că datele ce se prelucrează proin dintr0o populaţie
cu distribuţie normală.
#n continuare se or prezenta c$tea teste pentru eliminarea erorilor
aberante, pe baza mediei şi abaterii standard ( ) σ , x şi a dispersiei de sonda2
( ) ,








− =
∑
=
n
, i
;
i
;
x x
n
,
F
adică teste de ipoteze de forma H
-
%vIv
critic
cu alternatia H
,
%
v.v
critic
.
:.=.' 8-,84* #RE#3
,e consideră şirul 7x
,
, x
;
, <,x
n
9 ordonat a datelor ce urmează a fi prelucrate
şi se cercetează cele de la extremităţile sale, de exemplu x
n
. ,e calculează aloarea
Capitolul 5. Erori de măsurare
,
F
x x
, n n −
−
= λ (:.'<:)
unde % ) este funcţia discriminantă.
Aaloarea calculată a lui ) se compară cu alorile tabelare ale lui )
critic
%
− dacă )I)
critic
, aloarea x
n
nu este aberantă şi se păstrează în şirul de
determinări!
− dacă ).)
critic
, x
n
se declară aberant şi se elimină din şirul de date.
+lgoritmul se reia pentru aloarea x
nJ,
care deine, în acest caz, aloarea
extremă a şirului şi se recalculează F pentru cele nJ, alori rămase.
Calculele continuă p$nă c$nd pentru o anumită aloare extremă a şirului
se obţine )I)
critic
.
:.=.& 8-,84* DR4FF,
/in şirul ordonat al celor n date, se cercetează cele de la extremităţile sale.
+stfel, pentru a erifica dacă aloarea x
n
nu este aberantă se calculează expresia %
,
F
x x
K
n
−
=
unde % K este funcţia discriminantă.
Aalorile calculate ale lui K se compară după modul descris mai sus cu alorile
tabelare ale lui K
critic
.
:.=.; 8-,84* R.(+3.A,G#
5entru a erifica aloarea x
L
din şirul de date se foloseşte expresia%
,
*
, n
n
F
x x
t
−
−
=
unde % t este funcţia discriminantă, în care x şi F sunt calculate fără considerarea
alorii x
L
(aloarea suspectată). Compararea parametrului calculat t cu t
critic
se
efectuează în acelaşi mod cum s0a descris mai sus, pentru primele două teste.
Aalorile parametrilor )
critic
, K
critc
şi t
critic
sunt date în tabelul :.'H, în funcţie de
nielul de încredere şi numărul de alori din şirul prelucrat.