Tockasti masi

Published on January 2017 | Categories: Documents | Downloads: 38 | Comments: 0 | Views: 167
of 3
Download PDF   Embed   Report

Comments

Content


Točkasti masni telesi v gravitacijskem polju
Nina Reščič
Julij 2010
Rešujemo problem gibanja sistema dveh točkastih masnih teles v gravitacij-
skem polju z masama m
1
in m
2
na razdalji r.
t
t









©
m
1
m
2
F
1
F
2
Točkasti masi postavimo v koordinatni sistem tako, da so koordinate za
m
1
enake r
1
= (x
1
, y
1
, z
1
) in koordinate za m
2
enake r
2
= (x
2
, y
2
, z
2
). Za
vsako izmed točkastih masnih teles imamo podan tudi vektor začetnih hitrosti
v
i
= (v
xi
, v
yi
, v
zi
) za i = 1, 2.
V splošnem v gravitacijskem polju silo opišemo z naslednjo enačbo:
F
g
=
Gm
1
m
2
r
2
,
1
V našem primeru pa uporabimo naslednji formuli:
F
1
=
Gm
1
m
2
|r
2
− r
1
|
3
( r
2
− r
1
)
in
F
2
=
Gm
1
m
2
|r
2
− r
1
|
3
( r
1
− r
2
).
Uporabimo drugi Newtonov zakon in dobimo sledeči zvezi:
a
1
=
Gm
2
|r
2
− r
1
|
3
( r
2
− r
1
)
in
a
2
=
Gm
1
|r
2
− r
1
|
3
( r
1
− r
2
).
Ta dva sistema enabč predstavljata del sistema diferencialnih enačb prvega
reda, s katerimi bomo rešili problem. Drugi del dobimo iz začetnih hitrosti
za vsako točkasto telo posebej. Dobimo torej sistem dvanajstih diferencialnih
enačb:






















v
x1
v
y1
v
z1
Gm2
|r2−r1|
3
(x
2
− x
1
)
Gm2
|r2−r1|
3
(y
2
− y
1
)
Gm2
|r2−r1|
3
(z
2
− z
1
)
v
x2
v
y2
v
z2
Gm1
|r2−r1|
3
(x
1
− x
2
)
Gm1
|r2−r1|
3
(y
1
− y
2
)
Gm1
|r2−r1|
3
(z
1
− z
2
)






















,
ki ga rešujemo z v MatLab vgrajeno funkcijo ode45. Sistem enacb rešujemo
s programom tocki_R3.m, ki rešuje sistem v trirazsežnem prostoru. (Opomba:
tocki_R2.m nam rešuje sistem v xy-ravnini.) Za animacijo sem uporabila funk-
cijo risi3.m (oz. risi2.m), ki nariše animacijo za točkasti masni telesi, na
koncu pa izriše e celotno pot za vsako posamezno telo.
2
PRIMER: Poglejmo si primer za točkasti telesi z masama m
1
= 2kg,
m
2
= 3kg, začetnimi koordinatami

(r
1
) = (0, 0, 0),

(r
2
) = (15, 0, 0) ter zače-
tnimi hitrostmi

(v
1
) = (0.001, −0.05, 0.01) in

(v
2
) = (0.1, 0.5, −0.05). Čas opa-
zovanja je t = 500s, pri čemer lego vsake masne toke preverimo na pol sekunde.
Privzemimo, da je gravitacijska konstanta enaka 1.
Dobimo:
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
50
100
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
3

Sponsor Documents

Or use your account on DocShare.tips

Hide

Forgot your password?

Or register your new account on DocShare.tips

Hide

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link to create a new password.

Back to log-in

Close