Tockasti masi
Comments
Content
Točkasti masni telesi v gravitacijskem polju
Nina Reščič
Julij 2010
Rešujemo problem gibanja sistema dveh točkastih masnih teles v gravitacij-
skem polju z masama m
1
in m
2
na razdalji r.
t
t
©
m
1
m
2
F
1
F
2
Točkasti masi postavimo v koordinatni sistem tako, da so koordinate za
m
1
enake r
1
= (x
1
, y
1
, z
1
) in koordinate za m
2
enake r
2
= (x
2
, y
2
, z
2
). Za
vsako izmed točkastih masnih teles imamo podan tudi vektor začetnih hitrosti
v
i
= (v
xi
, v
yi
, v
zi
) za i = 1, 2.
V splošnem v gravitacijskem polju silo opišemo z naslednjo enačbo:
F
g
=
Gm
1
m
2
r
2
,
1
V našem primeru pa uporabimo naslednji formuli:
F
1
=
Gm
1
m
2
|r
2
− r
1
|
3
( r
2
− r
1
)
in
F
2
=
Gm
1
m
2
|r
2
− r
1
|
3
( r
1
− r
2
).
Uporabimo drugi Newtonov zakon in dobimo sledeči zvezi:
a
1
=
Gm
2
|r
2
− r
1
|
3
( r
2
− r
1
)
in
a
2
=
Gm
1
|r
2
− r
1
|
3
( r
1
− r
2
).
Ta dva sistema enabč predstavljata del sistema diferencialnih enačb prvega
reda, s katerimi bomo rešili problem. Drugi del dobimo iz začetnih hitrosti
za vsako točkasto telo posebej. Dobimo torej sistem dvanajstih diferencialnih
enačb:
v
x1
v
y1
v
z1
Gm2
|r2−r1|
3
(x
2
− x
1
)
Gm2
|r2−r1|
3
(y
2
− y
1
)
Gm2
|r2−r1|
3
(z
2
− z
1
)
v
x2
v
y2
v
z2
Gm1
|r2−r1|
3
(x
1
− x
2
)
Gm1
|r2−r1|
3
(y
1
− y
2
)
Gm1
|r2−r1|
3
(z
1
− z
2
)
,
ki ga rešujemo z v MatLab vgrajeno funkcijo ode45. Sistem enacb rešujemo
s programom tocki_R3.m, ki rešuje sistem v trirazsežnem prostoru. (Opomba:
tocki_R2.m nam rešuje sistem v xy-ravnini.) Za animacijo sem uporabila funk-
cijo risi3.m (oz. risi2.m), ki nariše animacijo za točkasti masni telesi, na
koncu pa izriše e celotno pot za vsako posamezno telo.
2
PRIMER: Poglejmo si primer za točkasti telesi z masama m
1
= 2kg,
m
2
= 3kg, začetnimi koordinatami
(r
1
) = (0, 0, 0),
(r
2
) = (15, 0, 0) ter zače-
tnimi hitrostmi
(v
1
) = (0.001, −0.05, 0.01) in
(v
2
) = (0.1, 0.5, −0.05). Čas opa-
zovanja je t = 500s, pri čemer lego vsake masne toke preverimo na pol sekunde.
Privzemimo, da je gravitacijska konstanta enaka 1.
Dobimo:
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
50
100
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
3
Sponsor Documents