Wiki LaTex
Content
Un sistem axiomatic cuprinde o mulțime de '''noțiuni''' și '''relații primare''' sau ''fundamentale'', din care
se deduc noțiunile și relațiile ''derivate''. Sistemul mai cuprinde un set de propoziții adevărate, numite
'''axiome''', din care se deduc alte propoziții adevărate, numite '''teoreme'''.
[[Fișier:George_David_Birkhoff_1.jpg|miniatura|George David Birkhoff (1884-1944)]]
==Noțiuni primare==
Noțiunile primare în axiomatica lui [[George_David_Birkhoff|Birkhoff]] sunt: '''punct''', '''dreaptă''',
'''plan''', '''distanță''', '''măsură'''.
'''Punctele''' sunt elemente ale unei mulțimi <math>S</math>, care constituie '''spațiul''' și se notează cu
litere mari: <math>A, B, C, ... </math>.
'''Dreptele''' sunt mulțimi de puncte și se notează cu litere mici : <math>a, b, c, ...</math> . Mulțimea
dreptelor <math>D</math> este o mulțime inclusă în mulțimea părților lui <math>S:D \subset P(S)
</math>.
'''Planele''' sunt de asemenea mulțimi de puncte care se notează cu litere grecești mici :
<math>\alpha, \beta, \gamma, ...</math> . Mulțimea planelor <math>\Pi</math> este o mulțime
inclusă în mulțimea părților lui <math>S:\Pi \subset P(S) </math>.
==Relații primare==
'''Relațiile primare''' sunt cele aparținând teoriei mulțimilor: ''apartenență'', ''incluziune'', ''funcție'',
''relația de echivalență'' etc.
Simbolurile logice <math>\rightarrow , \vee, \wedge, \forall, \exists, \equiv etc.</math>
Se presupun cunoscute proprietățile algebrice, ''de ordine'', ''de continuitate'' și ''metrice'' ale mulțimii
numerelor reale. <math>\R \times \R </math>este un ''corp comutativ'', ''ordonat arhimedian'' și
''euclidian''. Structura metrică pe <math>\R </math>este dată de funcția '''''distanță''''':
'''Distanța''' este o funcție <math>d:S \times S \rightarrow \R </math>.
Se notează cu <math>U</math> mulțimea unghiurilor. Noțiunea de '''unghi''' nu este o noțiune
primară, se va defini pe baza altor noțiuni. ''Măsura unghiului'' este o funcție <math>m:U \rightarrow
[0;180] </math>.
În cadrul axiomaticii lui [[Birkhoff]], geometria apare ca o structură:<math>(S, D, \Pi, d, m)</math> .
==Axiome==
'''Axiomele geometriei euclidiene''' plane sunt structurate in sase grupe:
===Axiomele de incidenta===
:(A1) orice dreapta are cel putin doua puncte distincte: <math> \forall l\in S \exists A, B\in S, A \ne
B \ a.i. \ A \in l \ si \ B \in l</math>
:(A2) orice doua puncte distincte sunt coliniare: <math> \forall A, B\in S , A \ne B , \ \exists l \in S \
a.i. \ A \in l \ si \ B \in l</math>
:(A3) oricare ar fi doua puncte <math> A, B \in S </math>, exista cel mult o dreapta care le
contine;
:(A4) exista 3 puncte distincte necoliniare.
===(A5) Axioma distantei===
:Exista pe S o functie <math>d:S \times S \rightarrow \R </math> cu proprietatile:
::D1. (pozitivitatea) <math>d(A,B) \geqslant 0, \forall A,B \in S ; d(A,B) = 0 \Rightarrow A=B</math>
::D2. (simetria) <math>d(A,B)=d(B,A), \forall A,B \in S </math>
===(A6) <u>Axioma riglei</u>===
: Orice dreapta admite un sistem de coordonate.
Introducem relatia derivata “a fi intre”:
Defnitie Punctul B se afla intre punctele A si C (notam A−B−C) daca A, B, C
sunt puncte coliniare distincte si d(A,B)+d(B,C)=d(A,C).
Folosind bijectia intre multimea punctelor dreptei si multimea numerelor reale, bijectie data de un
sistem de coordonate, se demonstreaza urmatoarele proprietati ale relatiei “a fi intre”:
Teorema:
:1) Daca , atunci .
:2) Dintre oricare trei puncte distincte de pe o dreapta, unul si numai unul este situat intre celelalte
doua.
:3) Oricare puncte distincte de pe o dreapta pot fi notate intr-o ordine .
:4) Daca A, B sunt doua puncte distincte oarecare, atunci exista un punct C astfel ca si exista un punct
D astfel ca .
:5) Daca , atunci A, B, C sunt coliniare si diferite.
In toate aceste demonstratii este esentiala proprietatea: .
Sa facem o comparatie cu sistemul axiomatic al lui Hilbert. In cazul acestui sistem axiomatic,
relatia “a fi intre” este o relatie primara, data prin intermediul unui set de axiome, numite axiome de
ordine. Ele contin cu aproximatie proprietatile incluse in teorema de mai sus. In plus, aceasta grupa de
axiome mai contine si axioma lui Pash care este o teorema in cazul sistemului Birkhoff. In ambele
sisteme axiomatice se introduc notiunile derivate de segment, semidreapta, unghi si triunghi. Datorita
bijectiei dintre multimea punctelor unei drepte si , introducerea notiunii de semidreapta este mult mai
simpla in cazul sistemului [[Birkhoff]].
De exemplu:
segmentul de capete A, B este notat cu (AB) si se defineste prin .
Fie . Semidreapta (AB (semidreapta de la A spre B) se defineste prin , unde am notat prin C−A−B
negatia relatiei “a fi intre” (A nu se afla intre C si B ).
Se introduce o noua axioma:
===(A7) Axioma de separare a planului===
Data o dreapta l intr-un plan , multimea punctelor planului ce nu apartin dreptei este reuniunea a doua
multimi disjuncte, a.i.
• fecare dintre ele este convexa
• daca si , atunci .
Fiecare din cele doua multimi poarta numele de semiplan marginit de dreapta l.
Cu ajutorul notiunii de semiplan se definesc notiunile derivate: interiorul unui unghi, respectiv al unui
triunghi.
'''[[Teorema lui Pash]]''' (ce apare ca axioma de ordine a sistemului axiomatic Hilbert) poate fi acum
demonstrata:
Fie un triunghi ABC o dreapta l din acelasi plan. Daca l contine un punct E intre A si C atunci l
intersecteaza sau pe (AB), sau pe (BC).
Facem observatia ca in lucrarile lui Pash aceasta teorema apare ca o axioma, si axioma de separare a
planului este o teorema demonstrata cu ajutorul axiomei lui Pash, exact ca in cazul sistemului
axiomatic al lui Hilbert.
Congruenta segmentelor apare ca o relatie derivata (pe multimea segmentelor), introdusa prin
intermediul distantei: doua segmente (AB) si (CD) sunt congruete daca d(A,B)=d(C,D). Notam
(AB)≡(CD). Daca introducem anterior acestei definitii pe aceea a lungimii unui segment (distanta intre
capetele sale), este preferabil sa definim congruenta a doua segmente prin intermediul lungimii
segmentelor respective. Se demonstreaza o serie de proprietati legate de relatia de congruenta a
segmentelor:
::1. Congruenta segmentelor este o relatie de echivalenta;
::2. Teorema de constructie a unui segment: Fie segmentul (AB) si semidreapta (CD. Exista un unic
punct E ∈ (CD astfel incat (AB)≡(CE).
::3. Teorema de adunare a segmentelor: daca A−B−C, A'−B'−C' a.i. (AB)≡(A'B') si (BC)≡(B'C'), atunci
(AC)≡(A'C').
::4. Teorema de scadere a segmentelor: daca A−B−C, A'−B'−C' a.i. (AB)≡(A'B') si (AC)≡(A'C'), atunci
(BC)≡(B'C').
::5. Orice segment are un mijloc unic.
Pentru a defini congruenta a doua unghiuri, este necesara introducerea unei functii masura a
unghiurilor:
:(A8) Axioma functiei masura a unghiurilor: Exista o functie , (U =multimea tuturor unghiurilor ) cu
proprietatile:
===(Ax. de constructie a unghiurilor)===
: Fie (AB o semidreapta ce margineste un semiplan . Pentru orice numar real α ∈ [0, 180], exista o
unica semidreapta (AC cu C ∈ a.i. m(<CAB)=α;
===(Ax. adunarii unghiurilor)===
: Daca D ∈ Int<BAC atunci m(<BAC)=m(<BAD)+m(<DAC);
===(Ax. suplementului)===
: Daca doua unghiuri sunt cu laturile in prelungire, atunci ele sunt suplementare.
Folosind proprietatile masurii unghiurilor, se poate demonstra faptul ca relatia de congruenta a
unghiurilor este o relatie de echivalenta, cat si o teorema de constructie a unui unghi congruent cu un
unghi dat, o teorema de adunare si una de scadere a unghiurilor.
In cazul [[sistemului axiomatic al lui Hilbert]], relatia de congruenta a segmentelor este o relatie
primara, data impreuna cu relatia de congruenta a unghiurilor, ale caror proprietati sunt date in grupa
axiomelor de congruenta. Aceasta contine 2 axiome legate de congruenta segmentelor (axioma de
existenta a unui segment congruent cu un segment dat, axioma adunarii unghiurilor), doua axiome
legate de congruenta unghiurilor (axioma existentei unghiului congruent cu un unghi dat, axioma de
adunare a unghiurilor) si axioma LUL de congruenta a triunghiurilor, data evident dupa definirea
relatiei derivate de triunghiuri congruente.
Aparent, calea este mai directa in acest ultim set de axiome ([[Hilbert]]), dar introducerea functiei
masura a unghiurilor simplifica demonstratiile. Putem defini acum unghiul drept, fie ca un unghi de
masura 90, fie ca un unghi congruent cu suplementul sau. Pentru a obtine mai multe proprietati de
perpendicularitate, se defineste mai intai congruenta a doua triunghiuri apoi, introducand
===(A9) Axioma L.U.L.===
: In triunghiurile ABC si A’B’C’ daca avem |AB|≡|A’B’|, |AC|≡|A’C’|, m(∠BAC)=m(∠B’A’C’) => |BC|
≡|B’C’|, m(∠ABC)=m(∠A’B’C’), m(∠ACB)=m(∠A’C’B’)
se demonstreaza toate cazurile de congruenta a triunghiurilor. Aceste cazuri sunt aplicate in teorema de
existenta a perpendicularei duse dintr-un punct exterior unei drepte pe acea dreapta. Unicitatea acestei
perpendiculare necesita insa introducerea axiomei paralelelor.
In cazul [[sistemului axiomatic al lui Hilbert]], dupa introducerea celor 3 grupe de axiome (de
incidenta, de ordine si de congruenta), cu toate notiunile derivate din teoremele deduse din ele, se
contureaza ideea demonstrarii existentei unui sistem de coordonate pe fiecare dreapta si a unei functii
distanta. Legatura cu se face aici prin axiomele de continuitate: [[Cantor]] si [[Arhimede]].
Deci, fie ca tratam metric geometria plana, construind teoria deductiva (axiomatica) bazata pe
geometria metrica (S, L, d) si restul de axiome, fie pe cele 4 grupe de axiome ([[Hilbert]]), obtinem
ceea ce se numeste geometria absoluta.
Alegand acum o axioma a paralelelor, putem obtine:
[[geometria euclidiana]]: (Ax. euclidiana a paralelelor): Fie dreapta l si punctul , exista o singura
dreapta l' a.i. .
[[geometria hiperbolica]]: (Ax. paralelelor a lui [[Lobacevschi]]): Fie dreapta l si punctul . Atunci
exista cel putin doua drepte prin P, paralele cu l.
[[geometria sferica]]: (Ax. Paralelelor a lui [[Riemann]]): Nu exista doua drepte in acelasi plan care sa
fie paralele.
Exista o serie de modele pentru fiecare dintre aceste geometrii .
Avantajele sistemului lui Birkhoff:
- număr mai mic de axiome
- practic din punct de vedere didactic
doar ca se presupun cunoscute:
- teoria. naivă a multimilor si logica uzuală
- teoria. numerelor reale
SB={N, R, B1–B13} sistemul axiomatic al lui Birkhoff
T (SB) – gometria euclidiană
Metateorema 1. SB ≅ SH
Metateorema 2. SB este necontradictoriu, independent, complet si categoric .
- Consideram cunoscute necontradictia aritmeticii si constructia numerelor reale .
se deduc noțiunile și relațiile ''derivate''. Sistemul mai cuprinde un set de propoziții adevărate, numite
'''axiome''', din care se deduc alte propoziții adevărate, numite '''teoreme'''.
[[Fișier:George_David_Birkhoff_1.jpg|miniatura|George David Birkhoff (1884-1944)]]
==Noțiuni primare==
Noțiunile primare în axiomatica lui [[George_David_Birkhoff|Birkhoff]] sunt: '''punct''', '''dreaptă''',
'''plan''', '''distanță''', '''măsură'''.
'''Punctele''' sunt elemente ale unei mulțimi <math>S</math>, care constituie '''spațiul''' și se notează cu
litere mari: <math>A, B, C, ... </math>.
'''Dreptele''' sunt mulțimi de puncte și se notează cu litere mici : <math>a, b, c, ...</math> . Mulțimea
dreptelor <math>D</math> este o mulțime inclusă în mulțimea părților lui <math>S:D \subset P(S)
</math>.
'''Planele''' sunt de asemenea mulțimi de puncte care se notează cu litere grecești mici :
<math>\alpha, \beta, \gamma, ...</math> . Mulțimea planelor <math>\Pi</math> este o mulțime
inclusă în mulțimea părților lui <math>S:\Pi \subset P(S) </math>.
==Relații primare==
'''Relațiile primare''' sunt cele aparținând teoriei mulțimilor: ''apartenență'', ''incluziune'', ''funcție'',
''relația de echivalență'' etc.
Simbolurile logice <math>\rightarrow , \vee, \wedge, \forall, \exists, \equiv etc.</math>
Se presupun cunoscute proprietățile algebrice, ''de ordine'', ''de continuitate'' și ''metrice'' ale mulțimii
numerelor reale. <math>\R \times \R </math>este un ''corp comutativ'', ''ordonat arhimedian'' și
''euclidian''. Structura metrică pe <math>\R </math>este dată de funcția '''''distanță''''':
'''Distanța''' este o funcție <math>d:S \times S \rightarrow \R </math>.
Se notează cu <math>U</math> mulțimea unghiurilor. Noțiunea de '''unghi''' nu este o noțiune
primară, se va defini pe baza altor noțiuni. ''Măsura unghiului'' este o funcție <math>m:U \rightarrow
[0;180] </math>.
În cadrul axiomaticii lui [[Birkhoff]], geometria apare ca o structură:<math>(S, D, \Pi, d, m)</math> .
==Axiome==
'''Axiomele geometriei euclidiene''' plane sunt structurate in sase grupe:
===Axiomele de incidenta===
:(A1) orice dreapta are cel putin doua puncte distincte: <math> \forall l\in S \exists A, B\in S, A \ne
B \ a.i. \ A \in l \ si \ B \in l</math>
:(A2) orice doua puncte distincte sunt coliniare: <math> \forall A, B\in S , A \ne B , \ \exists l \in S \
a.i. \ A \in l \ si \ B \in l</math>
:(A3) oricare ar fi doua puncte <math> A, B \in S </math>, exista cel mult o dreapta care le
contine;
:(A4) exista 3 puncte distincte necoliniare.
===(A5) Axioma distantei===
:Exista pe S o functie <math>d:S \times S \rightarrow \R </math> cu proprietatile:
::D1. (pozitivitatea) <math>d(A,B) \geqslant 0, \forall A,B \in S ; d(A,B) = 0 \Rightarrow A=B</math>
::D2. (simetria) <math>d(A,B)=d(B,A), \forall A,B \in S </math>
===(A6) <u>Axioma riglei</u>===
: Orice dreapta admite un sistem de coordonate.
Introducem relatia derivata “a fi intre”:
Defnitie Punctul B se afla intre punctele A si C (notam A−B−C) daca A, B, C
sunt puncte coliniare distincte si d(A,B)+d(B,C)=d(A,C).
Folosind bijectia intre multimea punctelor dreptei si multimea numerelor reale, bijectie data de un
sistem de coordonate, se demonstreaza urmatoarele proprietati ale relatiei “a fi intre”:
Teorema:
:1) Daca , atunci .
:2) Dintre oricare trei puncte distincte de pe o dreapta, unul si numai unul este situat intre celelalte
doua.
:3) Oricare puncte distincte de pe o dreapta pot fi notate intr-o ordine .
:4) Daca A, B sunt doua puncte distincte oarecare, atunci exista un punct C astfel ca si exista un punct
D astfel ca .
:5) Daca , atunci A, B, C sunt coliniare si diferite.
In toate aceste demonstratii este esentiala proprietatea: .
Sa facem o comparatie cu sistemul axiomatic al lui Hilbert. In cazul acestui sistem axiomatic,
relatia “a fi intre” este o relatie primara, data prin intermediul unui set de axiome, numite axiome de
ordine. Ele contin cu aproximatie proprietatile incluse in teorema de mai sus. In plus, aceasta grupa de
axiome mai contine si axioma lui Pash care este o teorema in cazul sistemului Birkhoff. In ambele
sisteme axiomatice se introduc notiunile derivate de segment, semidreapta, unghi si triunghi. Datorita
bijectiei dintre multimea punctelor unei drepte si , introducerea notiunii de semidreapta este mult mai
simpla in cazul sistemului [[Birkhoff]].
De exemplu:
segmentul de capete A, B este notat cu (AB) si se defineste prin .
Fie . Semidreapta (AB (semidreapta de la A spre B) se defineste prin , unde am notat prin C−A−B
negatia relatiei “a fi intre” (A nu se afla intre C si B ).
Se introduce o noua axioma:
===(A7) Axioma de separare a planului===
Data o dreapta l intr-un plan , multimea punctelor planului ce nu apartin dreptei este reuniunea a doua
multimi disjuncte, a.i.
• fecare dintre ele este convexa
• daca si , atunci .
Fiecare din cele doua multimi poarta numele de semiplan marginit de dreapta l.
Cu ajutorul notiunii de semiplan se definesc notiunile derivate: interiorul unui unghi, respectiv al unui
triunghi.
'''[[Teorema lui Pash]]''' (ce apare ca axioma de ordine a sistemului axiomatic Hilbert) poate fi acum
demonstrata:
Fie un triunghi ABC o dreapta l din acelasi plan. Daca l contine un punct E intre A si C atunci l
intersecteaza sau pe (AB), sau pe (BC).
Facem observatia ca in lucrarile lui Pash aceasta teorema apare ca o axioma, si axioma de separare a
planului este o teorema demonstrata cu ajutorul axiomei lui Pash, exact ca in cazul sistemului
axiomatic al lui Hilbert.
Congruenta segmentelor apare ca o relatie derivata (pe multimea segmentelor), introdusa prin
intermediul distantei: doua segmente (AB) si (CD) sunt congruete daca d(A,B)=d(C,D). Notam
(AB)≡(CD). Daca introducem anterior acestei definitii pe aceea a lungimii unui segment (distanta intre
capetele sale), este preferabil sa definim congruenta a doua segmente prin intermediul lungimii
segmentelor respective. Se demonstreaza o serie de proprietati legate de relatia de congruenta a
segmentelor:
::1. Congruenta segmentelor este o relatie de echivalenta;
::2. Teorema de constructie a unui segment: Fie segmentul (AB) si semidreapta (CD. Exista un unic
punct E ∈ (CD astfel incat (AB)≡(CE).
::3. Teorema de adunare a segmentelor: daca A−B−C, A'−B'−C' a.i. (AB)≡(A'B') si (BC)≡(B'C'), atunci
(AC)≡(A'C').
::4. Teorema de scadere a segmentelor: daca A−B−C, A'−B'−C' a.i. (AB)≡(A'B') si (AC)≡(A'C'), atunci
(BC)≡(B'C').
::5. Orice segment are un mijloc unic.
Pentru a defini congruenta a doua unghiuri, este necesara introducerea unei functii masura a
unghiurilor:
:(A8) Axioma functiei masura a unghiurilor: Exista o functie , (U =multimea tuturor unghiurilor ) cu
proprietatile:
===(Ax. de constructie a unghiurilor)===
: Fie (AB o semidreapta ce margineste un semiplan . Pentru orice numar real α ∈ [0, 180], exista o
unica semidreapta (AC cu C ∈ a.i. m(<CAB)=α;
===(Ax. adunarii unghiurilor)===
: Daca D ∈ Int<BAC atunci m(<BAC)=m(<BAD)+m(<DAC);
===(Ax. suplementului)===
: Daca doua unghiuri sunt cu laturile in prelungire, atunci ele sunt suplementare.
Folosind proprietatile masurii unghiurilor, se poate demonstra faptul ca relatia de congruenta a
unghiurilor este o relatie de echivalenta, cat si o teorema de constructie a unui unghi congruent cu un
unghi dat, o teorema de adunare si una de scadere a unghiurilor.
In cazul [[sistemului axiomatic al lui Hilbert]], relatia de congruenta a segmentelor este o relatie
primara, data impreuna cu relatia de congruenta a unghiurilor, ale caror proprietati sunt date in grupa
axiomelor de congruenta. Aceasta contine 2 axiome legate de congruenta segmentelor (axioma de
existenta a unui segment congruent cu un segment dat, axioma adunarii unghiurilor), doua axiome
legate de congruenta unghiurilor (axioma existentei unghiului congruent cu un unghi dat, axioma de
adunare a unghiurilor) si axioma LUL de congruenta a triunghiurilor, data evident dupa definirea
relatiei derivate de triunghiuri congruente.
Aparent, calea este mai directa in acest ultim set de axiome ([[Hilbert]]), dar introducerea functiei
masura a unghiurilor simplifica demonstratiile. Putem defini acum unghiul drept, fie ca un unghi de
masura 90, fie ca un unghi congruent cu suplementul sau. Pentru a obtine mai multe proprietati de
perpendicularitate, se defineste mai intai congruenta a doua triunghiuri apoi, introducand
===(A9) Axioma L.U.L.===
: In triunghiurile ABC si A’B’C’ daca avem |AB|≡|A’B’|, |AC|≡|A’C’|, m(∠BAC)=m(∠B’A’C’) => |BC|
≡|B’C’|, m(∠ABC)=m(∠A’B’C’), m(∠ACB)=m(∠A’C’B’)
se demonstreaza toate cazurile de congruenta a triunghiurilor. Aceste cazuri sunt aplicate in teorema de
existenta a perpendicularei duse dintr-un punct exterior unei drepte pe acea dreapta. Unicitatea acestei
perpendiculare necesita insa introducerea axiomei paralelelor.
In cazul [[sistemului axiomatic al lui Hilbert]], dupa introducerea celor 3 grupe de axiome (de
incidenta, de ordine si de congruenta), cu toate notiunile derivate din teoremele deduse din ele, se
contureaza ideea demonstrarii existentei unui sistem de coordonate pe fiecare dreapta si a unei functii
distanta. Legatura cu se face aici prin axiomele de continuitate: [[Cantor]] si [[Arhimede]].
Deci, fie ca tratam metric geometria plana, construind teoria deductiva (axiomatica) bazata pe
geometria metrica (S, L, d) si restul de axiome, fie pe cele 4 grupe de axiome ([[Hilbert]]), obtinem
ceea ce se numeste geometria absoluta.
Alegand acum o axioma a paralelelor, putem obtine:
[[geometria euclidiana]]: (Ax. euclidiana a paralelelor): Fie dreapta l si punctul , exista o singura
dreapta l' a.i. .
[[geometria hiperbolica]]: (Ax. paralelelor a lui [[Lobacevschi]]): Fie dreapta l si punctul . Atunci
exista cel putin doua drepte prin P, paralele cu l.
[[geometria sferica]]: (Ax. Paralelelor a lui [[Riemann]]): Nu exista doua drepte in acelasi plan care sa
fie paralele.
Exista o serie de modele pentru fiecare dintre aceste geometrii .
Avantajele sistemului lui Birkhoff:
- număr mai mic de axiome
- practic din punct de vedere didactic
doar ca se presupun cunoscute:
- teoria. naivă a multimilor si logica uzuală
- teoria. numerelor reale
SB={N, R, B1–B13} sistemul axiomatic al lui Birkhoff
T (SB) – gometria euclidiană
Metateorema 1. SB ≅ SH
Metateorema 2. SB este necontradictoriu, independent, complet si categoric .
- Consideram cunoscute necontradictia aritmeticii si constructia numerelor reale .
